Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková"

Transkript

1 Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015

2 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla

3 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla

4 Délka života T 0 Kombinace finanční matematiky a matematického modelování úmrtnosti- pojistná událost spočívá v úmrtí nebo dožití se určitého věku. charakteristika úmrtnosti: dva stavy- "naživu"a "zemřelý", o příslušném stavu každého z pojištěných lze jednoznačně rozhodnout; přechod mezi těmito stavy pouze jedním směrem- úmrtí; okamžik úmrtí je náhodný a může být popsán jen s použitím pravděpodobnosních nástrojů.

5 Délka života T 0 Délka života : spojitá náhodná veličina představující délku života právě narozeného jedince (doba mezi věkem 0 a úmrtím); měří se v letech; Představa na níž je založen model úmrtnosti: náhodně vybereme jednoho jedince z velké skupiny x-letých, jeho délka života není známá, ale můžeme na ni pohlížet jako na náhodnou veličinu s odhadnutelným pravděpodobnostním rozdělením.

6 Pravděpodobnostní rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení délky života T 0 popisujeme pomocí distribuční funkce díky spojitosti můžeme psát F 0 (t) = P(T 0 t) P(T 0 t) = P(T 0 < t). Někdy se zavádí také funkce přežití S 0 (t) = P(T 0 > t) = 1 F 0 (t)

7 Budoucí délku života ve věku x za podmínky, že jedinec se dožil věku x budeme značit T x. Distribuční funkci délky života ve věku x počítáme pomocí podmíněné pravděpodobnosti: F x (t) = P(T x t) = P(T 0 x + t T 0 > x) = = P(x < T 0 x + t) = F 0(x + t) F 0 (x). P(T 0 > x) 1 F 0 (x) Pro funkci přežití ve věku x platí S x (t) = P(T x > t) = P(T 0 > x + t T 0 > x) = = P(T 0 > x + t) = S 0(x + t). P(T 0 > x) S 0 (x)

8 Značení q x - pravděpodobnost úmrtí ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se nedožije věku x + 1 q x = F x (1) = P(T x 1); p x - pravděpodobnost dožití ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1: p x = S x (1) = P(T x > 1); tq x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + t tq x = F x (t) = P(T x t);

9 Značení tp x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + t tp x = S x (t) = P(T x > t); s q x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře ve věku x + s s q x = F x (s + 1) F x (s) = P(s < T x s + 1); s tq x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + s, ale zemře před dosažením věku x + s + t s tq x = F x (s + t) F x (s) = P(s < T x s + t).

10 Značení 0 e x - střední délka života ve věku x - udává průměrný počet let života zbývající jedinci ve věku x. Platí 0 e x = E(T x ).

11 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla

12 Intenzita úmrtnosti Označme si pravděpodobnostní hustotu veličiny T 0 jako f 0 (t) = d dt F 0(t) = d dt ( tq 0 ) = d dt (1 tp 0 ) = d dt t p 0. Jelikož platí tq x + t p x = 1, pak pravděpodobnostní hustota veličiny T x je f x (t) = d dt F x(t) = d dt ( tq x ) = d dt (1 tp x ) = d dt ( tp x ). Pro f 0 a f x platí f x (t) = f 0(x + t) 1 F 0 (x) = f 0(x + t) xp 0.

13 Intenzita úmrtnosti ve věku x µ x = f x (0) = f 0(x) = 1 d xp 0 xp 0 dx x p 0 = d dx ln( xp 0 ) µ x+t = f x+t (0) = f t(x) = 1 d xp t xp t dx x p t = d dx ln( xp t ). Budeme-li předpokládat malé přírůstky x, pak platí f 0 (x) x F 0 (x + x) F 0 (x) = P(x < T 0 < x + x), pak můžeme psát µ x x = f x (0) x F x ( x) F x (0) = P(x < T 0 < x + x T 0 > x). Výraz µ x x udává pravděpodobnost úmrtí ve věkovém intervalu (x, x + x) malé délky x za podmínky, že daný jedinec se dožil věku x.

14 Zákony úmrtnosti Praktické využití intenzity úmrtnosti. Snaha modelovat lidskou úmrtnost pomocí matematických vzorců, konstrukce křivek úmrtnosti pro danou populaci. Jedná se pak o úsporný popis velkého množství údajů. Úmrtnostní křivky jsou hladké a přispívají k vyhlazování úmrtnostních tabulek. Pro rozlišení různých zákonů úmrtnosti jsou vhodné různé volby intenzit úmrtnosti.

15 Konstantní intenzita úmrtnosti Intenzita úmrtnosti je konstantní, tedy Vyjdeme ze vztahu µ x = λ. µ x+s = d ds ln( sp x ) jehož integrací od 0 po t dostaneme ( t ) tp x = exp µ x+s ds = e λt. 0 Funkce přežití t p x zde nezávisí na věku, a proto je tento zákon úmrtnosti pro lidskou populaci nevhodný.

16 Moivrův zákon úmrtnosti Jedná se o rovnoměrné rozdělení délky života s pravděpodobnostní hustotou f x (t) = 1, pro 0 < t < ω x, ω x kde ω je stanovený nejvyšší věk pro uvažovanou populaci. Platí tp x = 1 t q x = 1 F x (t) = ω x t, pro 0 < t < ω x. ω x Intenzita úmrtnosti µ x = f x (0) = 1, pro 0 < x < ω, ω x je hyperbolicky rostoucí funkce.

17 Další zákony úmrtnosti Gompertzův zákon úmrtnosti: exponenciálně rostoucí intenzita úmrtnosti µ x = Bc x, kde B > 0, a c > 1 jsou parametry. Makehamův zákon úmrtnosti: zobecnění Gompertzovy intenzity úmrtnosti do tvaru µ x = A + Bc x, kde A > 0 je další parametr.

18 Področní pravděpodobnosti úmrtí a dožití Někdy je třeba v praxi určit rozsah kmene pojištěných l x+t, kde 0 < t < 1, jestliže známe rozsahy kmene pojištěných l x pro celočíselné věky x. Uvedeme si pro to dvě metody související s intenzitou úmrtnosti.

19 Předpoklad konstantní intenzity úmrtnosti mezi celočíselnými věky Metoda je založena na předpokladu µ x+t = µ = konstanta, pro 0 t 1, x je pevně zvolený celočíselný věk. Pro konstantní intenzitu úmrtnosti jsme již dříve odvodili tp x = e µt. Dosazením t = 1 dostáváme µ = ln ( 1 p x ) = ln (p x ). Hledané področní pravděpodobnosti jsou ( t ) tp x+s = exp µ x+s+z dz = e µt, tq x+s = 1 e µt, s, t 0, s + t 1. 0

20 Předpoklad področní linearity úmrtnosti Metoda je založena na předpokladu tq x = tq x, 0 t 1. Souvislost s intenzitou úmrtnosti je vidět zde: q x = d dt tq x = d dt t q x = d dt F x(t) = f x (t) = t p x µ x+t, platí µ x+t = q x 1 t.q x, 0 t 1.

21 Předpoklad področní linearity úmrtnosti Pro hledané področní pravděpodobnosti pak platí s, t 0, s + t 1. tp x+s = s+t p x sp x tq x+s = tq x 1 sq x, = 1 (s + t)q x 1 sq x,

22 Příklad Necht jsou známy hodnoty q 50 = 0, , q 51 = 0, , q 52 = 0, , p 50 = 0, 99501, p 51 = 0, 99442, a p 52 = 0, Najděte hodnoty 0,5q 50 ; 2p 50,5 ; µ 52,75.

23 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla

24 Úmrtnostní tabulky jsou základním nástrojem pro výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Prezentují model úmrtnosti praktickým způsobem. poskytují základní informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace- nedochází k migraci obyvatelstva a v čase se nemění ani velikost populace a její věkové složení. pro Českou republiku je každoročně publikuje Český statistický úřad.

25 Rozlišují se úmrtnostní tabulky: úplné - mají jednoleté věkové intervaly (tzn. údaje pro věk 0,1,...,ω roků) zkrácené - mají víceleté věkové intervaly běžné (průřezové) - vycházejí z úmrtnostní zkušenosti populace během krátkého (většinou ročního) časového období obvykle nepřesahujícího 10 let generační - představují skutečný záznam průběhu života konkrétní generace V pojišt ovací praxi se používají především běžné úplné úmrtnostní tabulky.

26 Popis úmrtnostni tabulky Sloupce úmrtnostní tabulky představují konkrétní veličiny, např. věk osob, počet žijících osob v daném věku, atd. Řádky představují hodnoty veličin uvedených ve sloupcích pro konkrétní věk. Charakteristika konkrétních veličin uvedených v úmrtnostních tabulkách: x - vyjadřuje věk osoby - x {0, 1,..., ω}, kde ω je předpokládaný nejvyšší věk, který může dosáhnout osoba sledovaného souboru

27 Veličiny úmrtnostní tabulky pravděpodobnost dožití p x - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se dožije věku (x + 1) pravděpodobnost úmrtí q x - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se nedožije věku (x + 1) platí p x + q x = 1 počet dožívajících se věku x l x - vyjadřuje počet osob žijících ve věku x. Počáteční hodnota l 0 vyjadřuje počáteční počet osob modelovaného souboru a nazývá se kořen úmrtnostní tabulky.

28 Pro libovolná přirozená x můžeme definovat posloupnost l x jako l x = l 0 x p 0 Protože pro libovolné přirozené n platí vztah x+np 0 = x p 0 n p x, dostaneme z něj vynásobením rovnice kořenem l 0 vztah l x+n = l x n p x. Pak pro n = 1 dostáváme rekurentní vztah pro posloupnost l x l x+1 = l x p x.

29 Můžeme tedy vyjádřit pravděpodobnost dožití z věku x do věku x + n jako Platí také np x = l x+n l x. nq x = l x l x+n l x. Jestliže l 0 je počet jedinců ve věku 0, pak počet jedinců, kterí přežijí do věku x je vzhledem k navzájem nezávislému úmrtnostnímu chování jedinců náhodná veličina s binomickým rozdělením Bi(l 0, x p 0 ). Střední hodnota této veličiny je tedy l 0 x p 0 = l x.

30 l x lze interpretovat jako střední počet jedinců, kteří se při daném výchozím stavu l 0 dožijí věku x. Je zřejmé, že posloupnost l x je nerostoucí tedy l 0 l 1 l 2... Bývá zvykem v praxi stanovit nejvyšší věkovou hranici ω jako nejnižší věk x takový, že pak již l x = 0, x > ω. ω se volí věk takový, jehož dožití je již málo pravděpodobné.

31 počet zemřelých ve věku x d x - vyjadřuje počet osob, které zemřely ve věku x. Definujeme Platí tedy, že d x = l x l x+1 s tím, že platí d ω = l ω. q x = d x l x nebo obecněji n q x = d x+n l x. d x se analogicky interpretuje jako střední počet jedinců, kteří při daném výchozím stavu l 0 zemřou ve věku x.

32 L x - počet let prožitých jedinci ve věku x je střední počet roků, které ve věku x celkem prožije l x jedinců z úmrtnostní tabulky. Využijeme dříve zavedenou aproximaci t q x = tq x, což dává q x = f x (t). Pak 1 1 L x = l x+1 + l x tf x (t) dt l x+1 + l x tq x dt 0 = l x q x l x = l x d x. Z původních l x jedinců ve věku x přispěje každý z l x+1 jedinců, kteří se dožijí věku věku x + 1, do L x jedním rokem, tj. celkem l x+1 roky. Navíc každý z l x t p x µ x+t jedinců kteří zemřou před dosažením věku x + 1 ve věku x + t, přispěje ještě t roky, tj. celkem t l x t p x µ x+t roky. 0

33 T x - počet zbylých let života jedinců ve věku x je střední počet roků, které do konce svého života ještě celkem prožije l x jedinců z úmrtnostní tabulky. Platí, že ω x 1 T x = L x +L x L ω = l x tf x (t) dt = l x t t p x µ x+t dt 0 e x - střední délka života ve věku x vyjadřuje průměrný počet roků, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x let. Platí následující aproximativní vztah 0 0 e x = T x l x. 0

34 Příklad Kolik osob ve věku 60 let zemřelo během 5 roků; 7 roků?

35 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla

36 Komutační čísla Jedná se o často se opakující součiny a součty v pojistných výpočtech. Tyto součiny a součty byly označeny a jejich hodnoty jsou tabelizovány. Hodnoty komutačních čísel závisí na úmrtnostní tabulce a na výšce úrokové míry. V dalším budeme používat označení v pro diskontní faktor v = i, kde i je úroková míra.

37 Rozlišujeme komutační čísla: nultého řádu: D x = l x v x diskontovaný počet dožívajících se věku x C x = d x v x+1 diskontovaný počet zemřelých ve věku x prvního řádu N x = M x = ω x D x+j j=0 ω x C x+j j=0

38 druhého řádu S x = R x = ω x N x+j j=0 ω x M x+j j=0 Komutační čísla vyšších řádů se nepoužívají.

39 Reference Červinek P.: I, Masarykova univerzita, 2008 Cipra T.: - Teorie a praxe, Ekopress, 1999 Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. : Actuarial Mathematics The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois 1997

Výpočet pojistného v životním pojištění. Adam Krajíček

Výpočet pojistného v životním pojištění. Adam Krajíček Výpočet pojistného v životním pojištění Adam Krajíček Dělení životního pojištění pojištění riziková - jedná se o pojištění, u kterých se předem neví, zda dojde k pojistné události a následně výplatě pojistného

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

součást systému tabulek života, které charakterizují řád reprodukce populace

součást systému tabulek života, které charakterizují řád reprodukce populace ÚMRTNOSTNÍ TABULKY součást systému tabulek života, které charakterizují řád reprodukce populace logický systém statistických ukazatelů, které charakterizují dekrementní řád, tj. proces postupného vymírání

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:

Více

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití 2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Matematika pro ekonomiku

Matematika pro ekonomiku Pojistná matematika 14.10.2011 1 I. POJISTNÁ MATEMATIKA Pojistná matematika 2 Základní odvětví: životní pojištění, do něhož spadá výplata předem sjednané částky v případě smrti nebo dožití se určitého

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

Neživotní pojištění. Brno 2012

Neživotní pojištění. Brno 2012 Neživotní pojištění Brno 2012 Osnova 1 Kalkulace pojistného 2 Tarifní skupiny Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojistné riziko přibližně stejné. V rámci každé tarifní

Více

Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) 1. ÚVOD...

Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) 1. ÚVOD... Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) OBSAH I. POJIŠŤOVNICTVÍ A FINANCE 1. ÚVOD... 13 2. POJIŠTĚNÍ JAKO OCHRANA

Více

ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl

ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým

Více

POJIŠŤOVNICTVÍ. Mezi složky současného pojišťovnictví patří. ekonomie a finance, pojistné právo pojistná matematika.

POJIŠŤOVNICTVÍ. Mezi složky současného pojišťovnictví patří. ekonomie a finance, pojistné právo pojistná matematika. POJIŠŤOVNICTVÍ Pojištění se historicky považuje za formu přesunu rizika negativních dopadů nahodilostí, z ekonomického nebo jiného subjektu na speciální instituce- pojišťovnu. Jde o zvláštní odvětví ekonomiky

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Analýza úmrtnosti. 26.10.2012 Seminář z aktuárských věd. Petr Sotona Kooperativa, pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group / 1

Analýza úmrtnosti. 26.10.2012 Seminář z aktuárských věd. Petr Sotona Kooperativa, pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group / 1 Analýza úmrtnosti 26.10.2012 Seminář z aktuárských věd Petr Sotona Kooperativa, pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group / 1 Agenda Úvod Trend v úmrtnosti Modelování úmrtnosti v pojistném kmeni Modely

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Naděje dožití (e x ) Konstrukce a dekompozice ukazatele. trendy v intenzitě úmrtnosti omyly při hodnocení naděje dožití dekompozice rozdílu ukazatele

Naděje dožití (e x ) Konstrukce a dekompozice ukazatele. trendy v intenzitě úmrtnosti omyly při hodnocení naděje dožití dekompozice rozdílu ukazatele Naděje dožití (e x ) Konstrukce a dekompozice ukazatele trendy v intenzitě úmrtnosti omyly při hodnocení naděje dožití dekompozice rozdílu ukazatele Michala Lustigová / Konzultační den CHŽP - Sledování

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality. Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Ukazatele zdravotního stavu. Martin Horváth Kateřina Ivanová

Ukazatele zdravotního stavu. Martin Horváth Kateřina Ivanová Ukazatele zdravotního stavu Martin Horváth Kateřina Ivanová 1 Subjektivní hodnocení zdraví Zdroj 2 Střední délka života při narození a její část prožitá bez zdravotního omezení, muži, 2003 emě, které byly

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2

A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2 Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Stochastické diferenciální rovnice

Stochastické diferenciální rovnice KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování úmrtnosti pro potřeby důchodového pojištění Bc. Jana Mudrochová

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování úmrtnosti pro potřeby důchodového pojištění Bc. Jana Mudrochová Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Modelování úmrtnosti pro potřeby důchodového pojištění Bc. Jana Mudrochová Diplomová práce 2010 SOUHRN Tato diplomová práce nazvaná Modelování úmrtnosti

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

13. Lineární procesy

13. Lineární procesy . Lineární procesy. Lineární procesy Našim cílem je studovat lineární (iterované) procesy. Každý takový proces je zadán čtvercovou maticí A Mat k k (R). Dále víme, že systém se v čase t n nachází ve stavu

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Matematika III přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy

Matematika III přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy S Matematika III - 14. přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 12. 2007 Obsah přednášky Řešení rekurencí Q Exponenciální vytvořující

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Modelování úmrtnosti v závislosti na rizikových faktorech

Modelování úmrtnosti v závislosti na rizikových faktorech Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Modelování úmrtnosti v závislosti na rizikových faktorech Bc. Kateřina Hájková Diplomová práce 2009 1 2 3 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracovala samostatně.

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Apriorní rozdělení. Jan Kracík.

Apriorní rozdělení. Jan Kracík. Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.

Více

1. Obyčejné diferenciální rovnice

1. Obyčejné diferenciální rovnice & 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá

Více

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více