Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková
|
|
- Ilona Müllerová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití 2015
2 Osnova 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
3 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
4 Délka života T 0 Kombinace finanční matematiky a matematického modelování úmrtnosti- pojistná událost spočívá v úmrtí nebo dožití se určitého věku. charakteristika úmrtnosti: dva stavy- "naživu"a "zemřelý", o příslušném stavu každého z pojištěných lze jednoznačně rozhodnout; přechod mezi těmito stavy pouze jedním směrem- úmrtí; okamžik úmrtí je náhodný a může být popsán jen s použitím pravděpodobnosních nástrojů.
5 Délka života T 0 Délka života : spojitá náhodná veličina představující délku života právě narozeného jedince (doba mezi věkem 0 a úmrtím); měří se v letech; Představa na níž je založen model úmrtnosti: náhodně vybereme jednoho jedince z velké skupiny x-letých, jeho délka života není známá, ale můžeme na ni pohlížet jako na náhodnou veličinu s odhadnutelným pravděpodobnostním rozdělením.
6 Pravděpodobnostní rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení délky života T 0 popisujeme pomocí distribuční funkce díky spojitosti můžeme psát F 0 (t) = P(T 0 t) P(T 0 t) = P(T 0 < t). Někdy se zavádí také funkce přežití S 0 (t) = P(T 0 > t) = 1 F 0 (t)
7 Budoucí délku života ve věku x za podmínky, že jedinec se dožil věku x budeme značit T x. Distribuční funkci délky života ve věku x počítáme pomocí podmíněné pravděpodobnosti: F x (t) = P(T x t) = P(T 0 x + t T 0 > x) = = P(x < T 0 x + t) = F 0(x + t) F 0 (x). P(T 0 > x) 1 F 0 (x) Pro funkci přežití ve věku x platí S x (t) = P(T x > t) = P(T 0 > x + t T 0 > x) = = P(T 0 > x + t) = S 0(x + t). P(T 0 > x) S 0 (x)
8 Značení q x - pravděpodobnost úmrtí ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se nedožije věku x + 1 q x = F x (1) = P(T x 1); p x - pravděpodobnost dožití ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1: p x = S x (1) = P(T x > 1); tq x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + t tq x = F x (t) = P(T x t);
9 Značení tp x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + t tp x = S x (t) = P(T x > t); s q x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře ve věku x + s s q x = F x (s + 1) F x (s) = P(s < T x s + 1); s tq x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + s, ale zemře před dosažením věku x + s + t s tq x = F x (s + t) F x (s) = P(s < T x s + t).
10 Značení 0 e x - střední délka života ve věku x - udává průměrný počet let života zbývající jedinci ve věku x. Platí 0 e x = E(T x ).
11 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
12 Intenzita úmrtnosti Označme si pravděpodobnostní hustotu veličiny T 0 jako f 0 (t) = d dt F 0(t) = d dt ( tq 0 ) = d dt (1 tp 0 ) = d dt t p 0. Jelikož platí tq x + t p x = 1, pak pravděpodobnostní hustota veličiny T x je f x (t) = d dt F x(t) = d dt ( tq x ) = d dt (1 tp x ) = d dt ( tp x ). Pro f 0 a f x platí f x (t) = f 0(x + t) 1 F 0 (x) = f 0(x + t) xp 0.
13 Intenzita úmrtnosti ve věku x µ x = f x (0) = f 0(x) = 1 d xp 0 xp 0 dx x p 0 = d dx ln( xp 0 ) µ x+t = f x+t (0) = f t(x) = 1 d xp t xp t dx x p t = d dx ln( xp t ). Budeme-li předpokládat malé přírůstky x, pak platí f 0 (x) x F 0 (x + x) F 0 (x) = P(x < T 0 < x + x), pak můžeme psát µ x x = f x (0) x F x ( x) F x (0) = P(x < T 0 < x + x T 0 > x). Výraz µ x x udává pravděpodobnost úmrtí ve věkovém intervalu (x, x + x) malé délky x za podmínky, že daný jedinec se dožil věku x.
14 Zákony úmrtnosti Praktické využití intenzity úmrtnosti. Snaha modelovat lidskou úmrtnost pomocí matematických vzorců, konstrukce křivek úmrtnosti pro danou populaci. Jedná se pak o úsporný popis velkého množství údajů. Úmrtnostní křivky jsou hladké a přispívají k vyhlazování úmrtnostních tabulek. Pro rozlišení různých zákonů úmrtnosti jsou vhodné různé volby intenzit úmrtnosti.
15 Konstantní intenzita úmrtnosti Intenzita úmrtnosti je konstantní, tedy Vyjdeme ze vztahu µ x = λ. µ x+s = d ds ln( sp x ) jehož integrací od 0 po t dostaneme ( t ) tp x = exp µ x+s ds = e λt. 0 Funkce přežití t p x zde nezávisí na věku, a proto je tento zákon úmrtnosti pro lidskou populaci nevhodný.
16 Moivrův zákon úmrtnosti Jedná se o rovnoměrné rozdělení délky života s pravděpodobnostní hustotou f x (t) = 1, pro 0 < t < ω x, ω x kde ω je stanovený nejvyšší věk pro uvažovanou populaci. Platí tp x = 1 t q x = 1 F x (t) = ω x t, pro 0 < t < ω x. ω x Intenzita úmrtnosti µ x = f x (0) = 1, pro 0 < x < ω, ω x je hyperbolicky rostoucí funkce.
17 Další zákony úmrtnosti Gompertzův zákon úmrtnosti: exponenciálně rostoucí intenzita úmrtnosti µ x = Bc x, kde B > 0, a c > 1 jsou parametry. Makehamův zákon úmrtnosti: zobecnění Gompertzovy intenzity úmrtnosti do tvaru µ x = A + Bc x, kde A > 0 je další parametr.
18 Področní pravděpodobnosti úmrtí a dožití Někdy je třeba v praxi určit rozsah kmene pojištěných l x+t, kde 0 < t < 1, jestliže známe rozsahy kmene pojištěných l x pro celočíselné věky x. Uvedeme si pro to dvě metody související s intenzitou úmrtnosti.
19 Předpoklad konstantní intenzity úmrtnosti mezi celočíselnými věky Metoda je založena na předpokladu µ x+t = µ = konstanta, pro 0 t 1, x je pevně zvolený celočíselný věk. Pro konstantní intenzitu úmrtnosti jsme již dříve odvodili tp x = e µt. Dosazením t = 1 dostáváme µ = ln ( 1 p x ) = ln (p x ). Hledané področní pravděpodobnosti jsou ( t ) tp x+s = exp µ x+s+z dz = e µt, tq x+s = 1 e µt, s, t 0, s + t 1. 0
20 Předpoklad področní linearity úmrtnosti Metoda je založena na předpokladu tq x = tq x, 0 t 1. Souvislost s intenzitou úmrtnosti je vidět zde: q x = d dt tq x = d dt t q x = d dt F x(t) = f x (t) = t p x µ x+t, platí µ x+t = q x 1 t.q x, 0 t 1.
21 Předpoklad področní linearity úmrtnosti Pro hledané področní pravděpodobnosti pak platí s, t 0, s + t 1. tp x+s = s+t p x sp x tq x+s = tq x 1 sq x, = 1 (s + t)q x 1 sq x,
22 Příklad Necht jsou známy hodnoty q 50 = 0, , q 51 = 0, , q 52 = 0, , p 50 = 0, 99501, p 51 = 0, 99442, a p 52 = 0, Najděte hodnoty 0,5q 50 ; 2p 50,5 ; µ 52,75.
23 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
24 Úmrtnostní tabulky jsou základním nástrojem pro výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Prezentují model úmrtnosti praktickým způsobem. poskytují základní informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace- nedochází k migraci obyvatelstva a v čase se nemění ani velikost populace a její věkové složení. pro Českou republiku je každoročně publikuje Český statistický úřad.
25 Rozlišují se úmrtnostní tabulky: úplné - mají jednoleté věkové intervaly (tzn. údaje pro věk 0,1,...,ω roků) zkrácené - mají víceleté věkové intervaly běžné (průřezové) - vycházejí z úmrtnostní zkušenosti populace během krátkého (většinou ročního) časového období obvykle nepřesahujícího 10 let generační - představují skutečný záznam průběhu života konkrétní generace V pojišt ovací praxi se používají především běžné úplné úmrtnostní tabulky.
26 Popis úmrtnostni tabulky Sloupce úmrtnostní tabulky představují konkrétní veličiny, např. věk osob, počet žijících osob v daném věku, atd. Řádky představují hodnoty veličin uvedených ve sloupcích pro konkrétní věk. Charakteristika konkrétních veličin uvedených v úmrtnostních tabulkách: x - vyjadřuje věk osoby - x {0, 1,..., ω}, kde ω je předpokládaný nejvyšší věk, který může dosáhnout osoba sledovaného souboru
27 Veličiny úmrtnostní tabulky pravděpodobnost dožití p x - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se dožije věku (x + 1) pravděpodobnost úmrtí q x - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se nedožije věku (x + 1) platí p x + q x = 1 počet dožívajících se věku x l x - vyjadřuje počet osob žijících ve věku x. Počáteční hodnota l 0 vyjadřuje počáteční počet osob modelovaného souboru a nazývá se kořen úmrtnostní tabulky.
28 Pro libovolná přirozená x můžeme definovat posloupnost l x jako l x = l 0 x p 0 Protože pro libovolné přirozené n platí vztah x+np 0 = x p 0 n p x, dostaneme z něj vynásobením rovnice kořenem l 0 vztah l x+n = l x n p x. Pak pro n = 1 dostáváme rekurentní vztah pro posloupnost l x l x+1 = l x p x.
29 Můžeme tedy vyjádřit pravděpodobnost dožití z věku x do věku x + n jako Platí také np x = l x+n l x. nq x = l x l x+n l x. Jestliže l 0 je počet jedinců ve věku 0, pak počet jedinců, kterí přežijí do věku x je vzhledem k navzájem nezávislému úmrtnostnímu chování jedinců náhodná veličina s binomickým rozdělením Bi(l 0, x p 0 ). Střední hodnota této veličiny je tedy l 0 x p 0 = l x.
30 l x lze interpretovat jako střední počet jedinců, kteří se při daném výchozím stavu l 0 dožijí věku x. Je zřejmé, že posloupnost l x je nerostoucí tedy l 0 l 1 l 2... Bývá zvykem v praxi stanovit nejvyšší věkovou hranici ω jako nejnižší věk x takový, že pak již l x = 0, x > ω. ω se volí věk takový, jehož dožití je již málo pravděpodobné.
31 počet zemřelých ve věku x d x - vyjadřuje počet osob, které zemřely ve věku x. Definujeme Platí tedy, že d x = l x l x+1 s tím, že platí d ω = l ω. q x = d x l x nebo obecněji n q x = d x+n l x. d x se analogicky interpretuje jako střední počet jedinců, kteří při daném výchozím stavu l 0 zemřou ve věku x.
32 L x - počet let prožitých jedinci ve věku x je střední počet roků, které ve věku x celkem prožije l x jedinců z úmrtnostní tabulky. Využijeme dříve zavedenou aproximaci t q x = tq x, což dává q x = f x (t). Pak 1 1 L x = l x+1 + l x tf x (t) dt l x+1 + l x tq x dt 0 = l x q x l x = l x d x. Z původních l x jedinců ve věku x přispěje každý z l x+1 jedinců, kteří se dožijí věku věku x + 1, do L x jedním rokem, tj. celkem l x+1 roky. Navíc každý z l x t p x µ x+t jedinců kteří zemřou před dosažením věku x + 1 ve věku x + t, přispěje ještě t roky, tj. celkem t l x t p x µ x+t roky. 0
33 T x - počet zbylých let života jedinců ve věku x je střední počet roků, které do konce svého života ještě celkem prožije l x jedinců z úmrtnostní tabulky. Platí, že ω x 1 T x = L x +L x L ω = l x tf x (t) dt = l x t t p x µ x+t dt 0 e x - střední délka života ve věku x vyjadřuje průměrný počet roků, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x let. Platí následující aproximativní vztah 0 0 e x = T x l x. 0
34 Příklad Kolik osob ve věku 60 let zemřelo během 5 roků; 7 roků?
35 Obsah 1 Délka života 2 Intenzita úmrtnosti 3 Úmrtnostní Tabulky 4 Komutační čísla
36 Komutační čísla Jedná se o často se opakující součiny a součty v pojistných výpočtech. Tyto součiny a součty byly označeny a jejich hodnoty jsou tabelizovány. Hodnoty komutačních čísel závisí na úmrtnostní tabulce a na výšce úrokové míry. V dalším budeme používat označení v pro diskontní faktor v = i, kde i je úroková míra.
37 Rozlišujeme komutační čísla: nultého řádu: D x = l x v x diskontovaný počet dožívajících se věku x C x = d x v x+1 diskontovaný počet zemřelých ve věku x prvního řádu N x = M x = ω x D x+j j=0 ω x C x+j j=0
38 druhého řádu S x = R x = ω x N x+j j=0 ω x M x+j j=0 Komutační čísla vyšších řádů se nepoužívají.
39 Reference Červinek P.: I, Masarykova univerzita, 2008 Cipra T.: - Teorie a praxe, Ekopress, 1999 Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. : Actuarial Mathematics The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois 1997
Výpočet pojistného v životním pojištění. Adam Krajíček
Výpočet pojistného v životním pojištění Adam Krajíček Dělení životního pojištění pojištění riziková - jedná se o pojištění, u kterých se předem neví, zda dojde k pojistné události a následně výplatě pojistného
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
Vícesoučást systému tabulek života, které charakterizují řád reprodukce populace
ÚMRTNOSTNÍ TABULKY součást systému tabulek života, které charakterizují řád reprodukce populace logický systém statistických ukazatelů, které charakterizují dekrementní řád, tj. proces postupného vymírání
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceMatematika pro ekonomiku
Pojistná matematika 14.10.2011 1 I. POJISTNÁ MATEMATIKA Pojistná matematika 2 Základní odvětví: životní pojištění, do něhož spadá výplata předem sjednané částky v případě smrti nebo dožití se určitého
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceNeživotní pojištění. Brno 2012
Neživotní pojištění Brno 2012 Osnova 1 Kalkulace pojistného 2 Tarifní skupiny Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojistné riziko přibližně stejné. V rámci každé tarifní
VíceTomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) 1. ÚVOD...
Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) OBSAH I. POJIŠŤOVNICTVÍ A FINANCE 1. ÚVOD... 13 2. POJIŠTĚNÍ JAKO OCHRANA
VíceROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl
Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům
Vícenaopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým
VícePOJIŠŤOVNICTVÍ. Mezi složky současného pojišťovnictví patří. ekonomie a finance, pojistné právo pojistná matematika.
POJIŠŤOVNICTVÍ Pojištění se historicky považuje za formu přesunu rizika negativních dopadů nahodilostí, z ekonomického nebo jiného subjektu na speciální instituce- pojišťovnu. Jde o zvláštní odvětví ekonomiky
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceAnalýza úmrtnosti. 26.10.2012 Seminář z aktuárských věd. Petr Sotona Kooperativa, pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group / 1
Analýza úmrtnosti 26.10.2012 Seminář z aktuárských věd Petr Sotona Kooperativa, pojišťovna, a.s., Vienna Insurance Group / 1 Agenda Úvod Trend v úmrtnosti Modelování úmrtnosti v pojistném kmeni Modely
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNaděje dožití (e x ) Konstrukce a dekompozice ukazatele. trendy v intenzitě úmrtnosti omyly při hodnocení naděje dožití dekompozice rozdílu ukazatele
Naděje dožití (e x ) Konstrukce a dekompozice ukazatele trendy v intenzitě úmrtnosti omyly při hodnocení naděje dožití dekompozice rozdílu ukazatele Michala Lustigová / Konzultační den CHŽP - Sledování
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7
Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Vícečasovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceGenerování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceUkazatele zdravotního stavu. Martin Horváth Kateřina Ivanová
Ukazatele zdravotního stavu Martin Horváth Kateřina Ivanová 1 Subjektivní hodnocení zdraví Zdroj 2 Střední délka života při narození a její část prožitá bez zdravotního omezení, muži, 2003 emě, které byly
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceA6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2
A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství Teorie spolehlivosti Přednáška 2 Vojta Vonásek vonasek@labe.felk.cvut.cz České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra kybernetiky
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceStochastické diferenciální rovnice
KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto
VíceUniverzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování úmrtnosti pro potřeby důchodového pojištění Bc. Jana Mudrochová
Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Modelování úmrtnosti pro potřeby důchodového pojištění Bc. Jana Mudrochová Diplomová práce 2010 SOUHRN Tato diplomová práce nazvaná Modelování úmrtnosti
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
VíceTest z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
Více13. Lineární procesy
. Lineární procesy. Lineární procesy Našim cílem je studovat lineární (iterované) procesy. Každý takový proces je zadán čtvercovou maticí A Mat k k (R). Dále víme, že systém se v čase t n nachází ve stavu
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceMatematika III přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy
S Matematika III - 14. přednáška Aplikace vytvořujících funkcí - další úlohy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 12. 2007 Obsah přednášky Řešení rekurencí Q Exponenciální vytvořující
VíceTest z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
VíceModelování úmrtnosti v závislosti na rizikových faktorech
Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Modelování úmrtnosti v závislosti na rizikových faktorech Bc. Kateřina Hájková Diplomová práce 2009 1 2 3 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracovala samostatně.
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
Více