Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem, ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií."

Miloš Bartoš
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö Ì ÖÑ Ò Ó Ð Ò º Ù Ò ¾¼½ ÐÓ ½º HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho j Poté si čísla navzájem ukážou Pokudje i j =vyhráváhráčibodahráčiinaopakbodztrácípokud i j nestane se nic Vyřešte hru pro libovolné pevné n 2(jmenovitě: nalezněte její hodnotu a alespoň jednu optimální strategii pro každého hráče) ÐÓ ¾º Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem ve kterémákaždýhráčnavýběrprávězedvoustrategií ÐÓ º Nalezněte všechny rovnovážné body a jejich příslušné očekávané hodnoty pro oba hráče ve hře dané dvojmaticí (4 4) ( ) (0) (0)

2 Teorie her º Ö ÐÓÚ Ö ÎÞÓÖÓÚ õ Ò Úloha (24; 22; 46; 40) HráčIsitajněnapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho ivestejnou chvílisirovněžhráčiinapíšenapapírnějaképřirozenéčíslozrozmezíaž noznačmeho j Poté si čísla navzájem ukážou Pokudje i j =vyhráváhráčibodahráčiinaopakbodztrácípokud i j nestane se nic Vyřešte hru pro libovolné pevné n 2(jmenovitě: nalezněte její hodnotu a alespoň jednu optimální strategii pro každého hráče) (Alča Skálová) Zvolme si pevné n 2 Výplatní matice prvního hráče je následující: PokudsehráčiIpodařínajíttakovou m-prvkovoupodmnožinuřádků M {2n}že vkaždémsloupci(tedyprolibovolnýtahii)budealespoňjednajedničkavřádkuzmnožiny M pakpřiřadí-lihráčikaždémuřádkuzmpravděpodobnost m zajistísitímočekávanouvýhru m (neboťhráčiisenemůže netrefit ) Naopak nalezne-li hráčii takovou s-prvkovoupodmnožinu sloupců S {2n} že vkaždémřádku(tedyprolibovolnýtahi)budenejvýšejednajedničkavevšechsloupcíchzs dohromadyapřiřadí-lihráčiikaždémusloupcizspravděpodobnost s budejehoočekávaná výhra s (hráčisenemůže trefit vícekrát) Podaří-lisenámnaléztvýšepopsanémnožiny M a S ostejnémohutnosti budezjevně hodnotahry m = s aoptimálnístrategiebudouodpovídatrovnoměrnévolběřádků/sloupců z M/S Označme p smíšenou strategii hráče I a q smíšenou strategii hráče II Není těžké ověřit že požadavkům na množiny M a S vyhovují v závislosti na n například následující smíšené strategie (začátky se vždy opakují s periodou 4 pouze v(před)poslední periodě mohou být změny): n=4k: p=(0pp00pp00pp0) q=(qq00qq00qq00) kde p=q= 2k ;hodnotahryje 2k Mohutnostmnožinyje(prokonečnoumnožinu)početjejíchprvků 2

3 n=4k+: p=(0pp00pp00ppp0) q=(qq00qq00qq00q) kde p=q= 2k+ ;hodnotahryje 2k+ n=4k+2: p=(0pp00pp00pp0pp) q=(qq00qq00qq00qq) kde p=q= 2k+2 ;hodnotahryje 2k+2 n=4k+: p=(0pp00pp00pp0pp0) q=(qq00qq00qq00qq0) kde p=q= 2k+2 ;hodnotahryje 2k+2 Polovina z vás si s úlohou poradila na plný počet Vyzdvihnout bych chtěla především Martina Raszyka který si za nejlepší zformulování úvodní myšlenky vysloužil +i Alternativou ke vzorovémuřešeníbylonalezeníoptimálníchstrategiípomocí vyškrtání všechdominovanýchtoje ostatnědobrýzpůsobjakna předpis prooptimálnístrategiepřijít Část řešení se nezvládla vypořádat se zobecněním z malých n na všechna Opakovaně se také vyskytlo(nesprávné) tvrzení že ze symetričnosti matice plyne symetričnost optimálních strategií obou hráčů Tady pozor celou dobu pracujeme s výplatní maticí prvního hráče která sice je symetrická ale hra rozhodně symetrická není (Alča Skálová) Úloha 2 (24; 22; 408; 50) Dokažte Větu 2(Minimax) ze třetího dílu seriálu pro libovolnou hru s nulovým součtem ve které má každý hráč na výběr právě ze dvou strategií (Alča Skálová) Pokud má výplatní matice sedlový bod tak hodnota hry je hodnota právě tohoto sedlového bodu a hráči hrají podle odpovídajících ryzích strategií Proto dále předpokládejme že naše maticesedlovýbodnemáaoznačmesiji a b c d Hledáme optimální strategii pro prvního hráče(p je pravděpodobnost s jakou volí první strategii a q pravděpodobnost že druhý hráč hraje dle své první strategie) Zkusme tedy podle návodu v seriálu najít takové p že očekávaná výhra prvního hráče nebude záviset na tahu druhého hráče: ap+c( p)=bp+d( p) d c Zapředpokladuže a+d b c 0dostáváme p= VezmemesiBÚNO a < b2 a+d b c Společněstímžematicenemásedlovýbodnámtoužjednoznačněurčujenerovnosti: b > d c > d c > aztohovidímeže a+d b cnemůžebýtnulovédálenámtytonerovnostiříkají že p (0) Stejným způsobem sestavíme rovnice pro výpočet q aq b( q)= cq d( q) a odvodíme že q= d b a+d b c (0) 2 Kdybychompřipustilirovnost a=bdostalibychomsedlovýbod

4 Zbývá ověřit zda jsou nalezené strategie skutečně optimální Očekávaná hodnota výhry prvníhohráčepro p= d c a+d b c je ap+c( p)= ad bc a+d b c cožjestejnéčíslojakoočekávanáhodnotavýhrydruhéhohráčepro q= ad bc strategie jsou tedy optimální a hodnota hry je a+d b c d b a+d b c Popsané Většina řešitelů si poctivě přečetla seriál takže jim úloha nedělala nejmenší potíže:) (Anna Chejnovská) Úloha (; 29; 49; 50) Nalezněte všechny rovnovážné body a jejich příslušné očekávané hodnoty pro oba hráče ve hře dané dvojmaticí (4 4) ( ) (0) (0) (Alča Skálová) Hledejme rovnou rovnovážné body ve smíšených strategiích neboť ryzí strategie jsou pouze speciálním případem strategií smíšených Pro hráče I uvažujme smíšenou strategii p =(p p) aprohráčeiismíšenoustrategiiq=(q q)očekávanéhodnotyvýhryjednotlivýchhráčů jsou následující: π (pq)=4 p q p ( q)+0 ( p) q+ ( p) ( q)= =2p(q ) q+ π 2 (pq)=4 p q p ( q)+ ( p) q+0 ( p) ( q)= = q( 4p) p Hledejmenejlepšíodpovědi R (q)hráčeivzávislostina q: (i) Je-li0 q< je π (pq)propevnouhodnotu qklesajícílineárnífunkcenejvětší hodnotynabývápro p=0vtomtopřípaděplatí R (q)=0 (ii) Pro q= je π ( p ( 2 )) konstantní(nulová)funkcevýsledektedynezáležínavolbě paproto R ( ) =[0] (iii) Je-li < q je π (pq)propevnouhodnotu qlineárnírostoucífunkcenejvětší hodnotynabývápro p=vtomtopřípaděplatí R (q)= Podobně pro hráče II odvodíme nejlepší odpověď v závislosti na p: pokud0 p < 4 R 2 (p)= [0] pokud p= 4 0 pokud 4 < p Zakresleme si reakční křivky do roviny: 4

5 q R (q) 4 ( 4 ) R 2 (p) p Jediný rovnovážný bod je tedy ( ) Nyní musíme ještě dopočítat příslušné očekávané hodnoty pro oba hráče jimiž jsou: π (( 4 4 π 2 (( 4 4 ) ( ) 2 ( 2 )) = 2 )) = 4 Vzhledemktomužebylaúlohatéměřtotožnásúlohouřešenouvseriáluvětšinazvásjinani prostě napasovala a měla vystaráno Nejčastějším důvodem vedoucím ke ztrátě bodu tedy bylo to že jste si pořádně nepřečetli zadání které po vás chtělo spočítat taktéž očekávané hodnoty (Lukáš Zavřel) 5

Podobné dokumenty

3. ANTAGONISTICKÉ HRY

3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,