6. Rozptyl Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Rozptyl

Transkript

1 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Rozpty Z předchozí kapitoy umíme spočítat pohyb částice v poi centrání síy. Nyní toho využijeme pro případ ehké částice (napříkad částice afa, tedy jádra héia) naétající na těžké centrum (napříkad jádro zata), které částici odpuzuje. Právě tohe se totiž děje ve savném Rutherfordově experimentu, který poprvé prokáza existenci atomového jádra. Rutherford ovšem asi těžko moh vypustit jedinou afa částici z přesného místa a sedovat ceou její trajektorii. Jak vastně výsedky tohoto pokusu pozorova a jak je porovna s tím, co předpovídá teorie? Pohyb částic naétajících na odpuzující siové centrum Částice s nábojem q a hmotností μ 1 se pohybuje v bízkosti siového centra s nábojem Q, viz obrázek vpravo. Pro jednoduchost budeme siové centrum považovat za nehybné 3. Potenciání energii částice v poi siového centra jsme si již uvedi v předchozí kapitoe, viz (5.13): 1 qq V =. (6.1) 4πε r Binetův vzorec (5.7) v tomto případě konkrétně je řešení 1 1 qqµ = u = + r 4πε Acosϕ. (Bíže viz kap. 5.) Označíme-i du 1 qqµ + u = a jeho dϕ 4πε 4πε p =, ε = Ap, (6.) qq µ dostaneme výsedný vzorec pro trajektorii 4 : p r = εcosϕ 1. (6.3) Pro daší úvahy bude výhodné obrázek výše otočit tak, aby částice naétaa zeva: Úhe je úhe mezi směrem, kterým částice etěa původně, a směrem, do něhož odétá, když už je hodně daeko. Právě tento úhe hraje v Rutherfordově pokusu důežitou roi. 1 Uvažujeme zde redukovanou hmotnost částice, stejně jako v předchozí kapitoe. Omezujeme se zde na případ Qq>, tedy na případ, kdy siové centrum částici odpuzuje. 3 Ve skutečnosti částice siové centrum také ovivní; i jádru zata naétající afa částice nějakou hybnost předá. Kdybychom ceý probém chtěi řešit přesně, musei bychom výsedky, které zde dostaneme, přepočítat na poohy a rychosti afa částice a jádra zata pode vztahů (5.3) a (5.4) z předchozí kapitoy. Výsedné vzorce by byy jen trochu kompikovanější. Princip pokusu však asi épe uvidíme, pokud budeme jádro zata považovat za nehybné a protože je toto jádro skoro padesátkrát hmotnější než afa částice, je to rozumná aproximace. 4 Srovnejte vztah (5.33) z předchozí kapitoy pro případ přitaživé síy. 1

2 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Rutherfordův vzorec Pojďme spočíst, jak úhe závisí na parametrech naétající částice. Budeme přitom uvažovat parametry ve veké vzdáenosti, teoreticky v nekonečnu 5. Parametry naétající částice budou: redukovaná hmotnost μ, rychost naétající částice (protože je v nekonečnu, označíme ji v ) a tzv. srážkový parametr b, což je vzdáenost částice od přímky rovnoběžné s její rychostí, která prochází siovým centrem 6 viz obrázek. Ze vztahu (6.3) je ε cosϕ 1 = pr. Odtud pro r pyne ε cosϕ 1=, čii ε = 1 cos ϕ. (6.4) Jako ϕ jsme přitom označii úhe mezi směrem k bodu, kde je částice siovému centru nejbíže, a směrem k částici ve vemi veké vzdáenosti (prakticky v nekonečnu), viz obrázek výše. Z obrázku je také vidět, že ϕ + = π, takže patí π ϕ =. (6.5) Pro odvození Rutherfordova vzorce budeme potřebovat ještě vztah (5.1) (pro sinθ = 1 ), tedy dϕ dt µ r =. (6.6) Zde (a také ve vztahu (6.)) představuje konstanta moment hybnosti naétající částice vzhedem k siovému centru. Ten ze z parametrů naétající částice ehce určit. Podobně, jako ve středoškoské fyzice počítáme moment síy jako sía krát rameno síy, můžeme moment hybnosti určit jako hybnost krát rameno hybnosti, viz obrázek 7. Je tedy = bµ v. (6.7) Teď už máme pohromadě vše, co potřebujeme k odvození Rutherfordova vzorce. Ze vztahu (6.3), čii r = p εcosϕ 1, 5 K výraznějšímu odpuzování afa částice od jádra dochází zřejmě ve vzdáenostech srovnatených s rozměry atomu (nebo spíše ještě podstatně menších), tedy na rozměrech < 1-1 m. V porovnání s těmito rozměry jsou zdroj afa částic i detektor nebo stínítko, na němž detekujeme odétající částice, prakticky v nekonečnu. 6 Kdyby se částice od siového centra neodpuzovaa, bya by b nejmenší vzdáenost, ve které by částice minua centrum. Pro b = by se částice trefia přesně do siového centra. = = r p = rp sinα = rsinα p= bp. 7 Formání odvození (α je úhe mezi r a p ): ( )

3 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 vypočteme derivací pode času radiání rychost 8 a při její úpravě postupně využijeme vztahy (6.3) a (6.6): dr d p p εsinϕ dϕ p εsinϕ = = = = = dt dt εcosϕ 1 cos 1 dt cos 1 µ r vr p εsinϕ εcosϕ 1 = = µ p µ p ( εcosϕ 1) ( ε ϕ ) ( ε ϕ ) ε sinϕ Pro vemi vzdáenou částici, tedy pro r dostaneme z (6.8) po dosazení (6.4) rychost naétající částice 9 Od úhu ϕ přejdeme pomocí (6.5) k : v sinϕ = vr = ε sinϕ = = tgϕ. µ p µ p cosϕ µ p v = tgϕ = cotg. µ p µ p Vyjádříme odtud cotg( ), dosadíme za p z(6.) a za pak z (6.7): µ µ 4πε 4πε 4πε cotg = p = = bµ qq µ = v v v qq v qq v. Toto již dává výsedný Rutherfordův vzorec: (6.8) cotg = 4πε qq µ b v (6.9) Tento vzorec popisuje, jak úhe, o nějž se částice odchýí od původního směru, závisí na nábojích částice i siového centra, na hmotnosti částice, rychosti, s jakou naétá, a na srážkovém parametru b, který určuje, jak přesně částice míří do centra 1. Rutherfordův vzorec se často také zapisuje konkrétně pro případ afa částice (s nábojem q= e, kde e je eementární náboj) a terčového jádra s nábojem Q = Ze, kde Z je atomové číso jádra zata: cotg = πε Ze µ b v (6.1) 8 Tj. průmět rychosti do směru poohového vektoru r. 9 Pro naétající částici je v <, což z (6.8) vyjde, když je <. (Viz kapitou 5: je sožka momentu hybnosti do r směru osy z.) V daších odvozeních už budeme pracovat jen s veikostmi rychostí a daších veičin, takže již budeme brát jako veikost momentu hybnosti, =, aniž bychom psai absoutní hodnotu. 1 Kvaitativně si můžeme zkontroovat, že úhe závisí na parametrech rozumně : Pro větší náboje centrum částice více odpuzuje, takže úhe rozptyu by ogicky mě být větší. Vzorec (6.9) toto skutečně dává: náboji cotg menší, úhe tedy větší. Naopak těžší naétající částice nebo děíme, takže pro větší qq vyjde ( ) částice naétající vyšší rychostí se zřejmě odchýí méně, vztah (6.9) tomu odpovídá; podobně pro závisost na b. 3

4 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Nešo by to jednodušeji? (Aespoň přibižně.) Rutherfordův pokus hrá důežitou roi ve vývoji modeů atomu. Je proto rozumné zmínit ho už na úrovni střední škoy. Přitom může být zajímavé uvést a diskutovat i Rutherfordův vzorec 11. Ovšem jeho výše uvedené odvození je někoik pater nad středoškoskou úrovní. Přitom výsedný Rutherfordův vzorec není vastně nijak sožitý. Nešo by ho nějak, aespoň přibižně, odvodit jednodušeji, způsobem dostupným i středoškoákům se zájmem o fyziku? Kupodivu ze závisost úhu na parametrech naétající částice určit i jednoduše ae jen v případě, že odchyka je maá. Půjde o dosti hrubé odvození, ae jistou představu o situaci nám dá. Obrázek naznačuje, jak na odvození půjdeme. Sía, kterou siové centrum odpuzuje částici, když je mu nejbíže, určíme z Couombova zákona jako 1 qq F = 4πε b. Tato sía působí prakticky komo k původní rychosti částice, což jsme už vyznačii symboem. Zrychení v tomto komém směru tedy je F 1 qq a = =. µ 4πε b µ Řekněme, že zhruba takto veké zrychení v daném směru má částice ceou dobu, kdy se nachází v obasti vyznačené na obrázku zeenými čarami, mimo tuto obast zrychení zanedbáme 1. Částice tuto obast déky b proétá rychostí v 13, takže jí to zabere čas t = b v. Ve směru komém na původní rychost tedy částice získá rychost 1 qq b 1 qq v = a t = = 4πε b µ v 4πε bµ v. Z obrázku je vidět, že tg =v v. Pro maé úhy, << 1, je ae tg =, takže můžeme psát 1 1v 1 qq = tg = = v 4πε bµ v. (6.11) Fakticky jsme tím již dostai Rutherfordův vzorec, protože pro maé úhy je ( ) (6.11) vyjde cotg =, takže z 11 Asi ne v běžné výuce, ae v nějakém speciáním semináři. 1 To jsou hodně hrubé předpokady! Ve skutečnosti zrychení míří v různých bodech různým směrem, vzdáenost částice od centra je větší než b (a v různých místech různá), sía na částici samozřejmě působí i mimo vyznačenou obast Ae aespoň řádový odhad veikosti efektu daného odpuzováním takto dostaneme. 13 To, že rychost ve vodorovném směru považujeme za konstantní, je daší přibížení. 4

5 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 což je vztah totožný s (6.9) b cotg πε µ = = v, qq Účinný průřez Jak ve skutečnosti probíha Rutherfordův experiment? Rozhodně ne tak, že by jedna afa částice naétaa na jedno jádro zata! Ve skutečnosti svazek afa částic dopada na vemi tenkou zatou fóii, tak tenkou, že každá afa částice interagovaa prakticky jen s jediným jádrem zata 15. Částice se odchyovay 16 do různých směrů a na stínítku, na něž dopaday, byo vidět, do jakých směrů se rozptýiy. Rurtherford ovšem jistě nemoh ovivňovat ani měřit srážkový parametr b u jednotivých částic. Výsedkem experimentu byo prostě zjištění, koik částic odétá do kterých směrů. Situaci ve zjednodušené podobě ukazuje násedující obrázek 17. Na fóii dopadá z jednoho směru svazek částic, každá částice se odchýí po interakci s některým z atomů, za fóií jsou částice rozptýeny do různých směrů. Od fóie částice etí na dostatečně vzdáené stínítko, jak to ukazuje pravá část obrázku. Pode směru, kterým částice etí, dopadne na určité místo stínítka. Na stínítku vyvoá zábesk. Poohy těchto zábesků Rutherfordův asistent zaznamenáva a z nich určovai, do kterých směrů etí koik částic. 14 Prosím, neprezentujte toto nikde jako rovnocennou náhradu přesného odvození. Použii jsme zde vemi hrubá přibížení a to, že nám nakonec vyše vzorec dobře i co se všech konstant týče, je spíše náhoda. Kdybychom déku obasti, kde jsme uvažovai působení síy, vzai nikoi b, ae jen b, vyše by nám výsedek s chybou 5%! Takže co se koeficientu týče, vastně jsme odvození spíše nafitovai, abychom dostai přesnou shodu s Rutherfordovým vzorcem. Podstatné ovšem je, že závisost na parametrech q, Q, μ, v a b jsme i v našem zjednodušeném přístupu dostai správně. (I když jsme ji odvodii jen pro maé úhy rozptyu.) 15 Samozřejmě, některé afa částice jistě proétay někde napů mezi dvěma atomy, ae tyto částice se odchýiy tak nepatrně, že je nemusíme brát v úvahu. 16 V souadu s názvem kapitoy a s používanou terminoogií může říci, že se rozptyovay do různých směrů. 17 Obrázek je opravdu hodně zjednodušený. Zato se dá vytepat do hodně tenké fóie (právě proto ho Rutherford používa jako materiá pro terčík, na němž se afa částice rozptyovay), ae ani ten nejepší zatník na světě by nedokáza vytepat vrstvičku tenkou jen dva průměry atomů zata. Také rozměry atomových jader jsou na obrázku o mnoho řádů přehnány. 5

6 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Co předpovídá teorie o tom, koik částic odétá do kterých směrů? Každá naétající částice interaguje prakticky jen s jedním jádrem zata, proto stačí uvažovat svazek částic naétající na jediné centrum. Budeme určovat, koik částic se (třeba za 1 sekundu) odchýí o úhe v rozmezí, Z obrázku je vidět, že ( ) jde o částice, jejichž srážkový parametr b, b+ b. by v rozmezí ( ) Dosud jsme situaci kresii v jedné rovině procházející odpuzujícím centrem (třeba jádrem zata). Ovšem ceá situace je vastně vácově symetrická, takže náš náčrtek bychom mohi otáčet koem zeeně vyznačené osy. Každá částice, jejíž srážkový parametr je b, se odchýí o úhe. Také stínítko, na něž částice dopadají, je pocha napříkad část sféry se středem ve zaté fóii, kde se částice rozptyují. Rozmezí úhů, kam se částice rozptyují, je proto vhodné popsat jako prostorový úhe Ω, jak se to snaží ukázat násedující obrázek: Představíme-i si stínítko jako sféru o jednotkovém pooměru, je pooměr pásku vyznačeného na sféře roven sin ; déka tohoto pásku je tedy πsin. Šířka pásku je. Pocha tohoto pásku je 18 Uvědomte si, že nemůžeme počítat částice, které se odchýí o zcea přesný úhe, napříkad přesně 45, ani o miióntinu stupně víc ani méně. Úhů, do nichž se mohou částice odchyovat, je nekonečný počet, takže je prakticky jisté, že když si vybereme napříkad 45, žádná částice se přesně o tento úhe neodchýí. Navíc, poohy bodů, v nichž částice dopadnou na stínítko, také nemůžeme měřit nekonečně přesně. Vždy proto musíme pracovat s určitým rozmezím úhů. 6

7 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 tedy πsin. Ovšem pocha na jednotkové sféře to je právě veikost prostorového úhu Ω. Je tedy 19 Ω = π sin. (6.1) Do tohoto prostorového úhu poetí všechny částice, jejichž srážkový parametr by v rozmezí ( b, b b) +. Z pohedu ze směru naétajících částic (na předchozích obrázcích tedy zeva, ve směru osy vyznačené zeeně) všechny tyto částice proetí mezikružím ohraničeným pooměry b a b+ b, viz obrázek. Pro b << b je pocha tohoto mezikruží přibižně σ = π b b. (6.13) Proč se vastně zajímáme o pochu mezikruží? Protože právě na této poše závisí, jak mnoho částic se rozptýí do výsedného prostorového úhu Ω! Částice naétají s nějakou hustotou, řekněme, že za 1 sekundu jich pochou 1 m projde n. Pak pochou σ projde za sekundu n σ částic a právě všechny tyhe se rozptýí do úhu Ω! Větší σ znamená větší počet částic, na stínítku v daném prostorovém úhu. Veičina, k níž jsme dospěi, průřez. 1 Účinný průřez pro Rutherfordův rozpty σ, je při popisu rozptyu kíčová. Nazývá se diferenciání účinný Spočíst diferenciání účinný průřez pro Ruhefordův rozpty je teď už jen přímočará matematika. Ze vztahu (6.1) vypočteme b: Změna b při změně je Účinný průřez je (viz (6.13) a (6.1)): b = Ze πε µ v cotg. (6.14) db Z e 1 1 b = =. d πε µ sin ( ) (6.15) v ( ) ( ) ( ) ( ) π Ze cos π Ze cos Ω σ = πb b = = 3. 3 πε µ v sin πε µ v sin π sin 19 Naše úvahy samozřejmě patí jen pro << 1, resp. zcea přesně v imitě. Místo s konečnými přírůstky, Ω, b se proto často pracuje s diferenciáy d, d Ω, db. Patí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ = π b+ b πb = π b + b b+ b b = πb b + b b = πb b. Rychejší odvození: Pro vemi úzký pásek ( b<< b) je pocha prakticky stejná, jesti je zatočený nebo natažený jako obdéník. Déka pásku je π b, šířka b. Odtud už je veikost pochy π b b. 1 Fakticky se pod tímto názvem často chápe poměr σ Ω. Zajímá-i nás totiž hustota částic dopadajících na stínítko (tj. počet částic za sekundu na steradián), musíme počet částic za sekundu, n σ, děit prostorovým úhem Ω, tedy uvažovat veičinu n σ Ω. Záporné znaménko je dáno tím, že pro větší úhe je b menší. Dáe nám půjde o veikost pochy a prostorového úhu, takže budeme pracovat s absoutními hodnotami. 7

8 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Dosadíme-i sem sin sin( ) cos( ) =, dostaneme po úpravě 4 Z e 1 σ = Ω 4 ( 4πε ) µ v 4 sin (6.16) Toto je diferenciání účinný průřez pro Rutherfordův rozpty. 3 Vidíme, že tento účinný průřez vemi výrazně závisí na úhu. Pro dokonce diverguje. 4 Co je ae důežité: Účinný průřez je nenuový i pro veké úhy, dokonce i pro úhy bízké = π. To znamená, že některé afa částice se od jader zata odrazí směrem dozadu! Právě tyto dozadu etící afa částice byy v Rutherfordově pokusu dokadem toho, že v atomu existuje maé kadně nabité jádro, v němž je soustředěna většina hmotnosti atomu 5. Podstatné byo, že závisost účinného průřezu na úhu byo možno měřit a porovnat s teoretickou předpovědí (6.16). Nešo tedy jen o kvaitativní pozorování typu někdy se afa částice odrazí dozadu. Právě shoda teoretického a naměřeného průběhu bya siným argumentem ve prospěch nového (Rutherfordova) modeu atomu. Poznámka k jednotkám (aneb o průřezu vekém jako stodoa) Účinný průřez je pocha, takže ho můžeme měřit v m. To však hodně veká jednotka. Jaderní a částicoví fyzikové tradičně používají výrazně menší jednotku zvanou barn. Patí 1 barn = 1-8 m. Zajímavé je, že název barn opravdu pochází z angického výrazu pro stodou 6. Než se s rozptyem rozoučíme, podívejme se ještě na jeden jednoduchý příkad případ, kdy nepotřebujeme nic počítat pode Binetova vzorce, ae vystačíme s jednoduchým pravidem úhe odrazu = úhu dopadu. 3 4 Z e 1 Často se také píše pomocí diferenciáů: dσ = dω. 4 ( 4πε ) µ v 4 sin 4 Není divu, částice, které naétávají daeko od terčíkového jádra a takových je mnoho se odchyují jen o vemi maé úhy. 5 Pode předchozího Thomsonova pudingového modeu mě být kadný náboj rozprostřen v ceém objemu atomu. Takovýmto útvarem by ae afa částice proéta, aniž by se výrazněji odchýia, rozhodně tam nebyo nic, co by ji moho odrazit směrem dozadu. 6 Jeden barn je tedy průřez veký jako stodoa. Na první pohed se nezdá, že by pocha o 8 řádů menší než metr čtvereční bya veká jako stodoa. Je ae nutno si uvědomit, že 1-8 m = (1-14 m) = (1 fm). Jde tedy o pochu deset krát deset femtometrů a právě femtometr je adekvátní jednotkou pro rozměry atomových jader. Napříkad oproti rozměrům afa částice samotné je opravdu barn veký jako stodoa. 8

9 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika 6. Rozpty Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Rozpty na tuhé koui Uvažujme částici (maou tuhou kuičku), která se ideáně pružně odrazí od koue pooměru R, viz obrázek. Z obrázku je vidět, že a také b = R sinα (6.17) π α + = π α =. Dosazením do (6.17) dostáváme a dáe Odtud už přímo A protože (viz (6.1)) b R sin π = = Rcos, db d cos R b = = R sin d d =. π σ = πb b = π R sin cos = R sin. (6.18) Ω =, π sin je výsedný diferenciání účinný průřez pro rozpty na tuhé koui: R σ = Ω (6.19) 4 Vidíme, že tento účinný průřez je konstantní, nezávisí na úhu. To znamená, že pokud bude na tuhou koui dopadat rovnoběžný svazek částic, bude se jich odrážet do všech směrů stejný počet. Na tomto příkadě můžeme iustrovat ještě jednu užívanou veičinu. Můžeme totiž sečíst (přesněji řečeno integrovat) diferenciání účinné průřezy do všech směrů. Dostaneme tak cekový neboi totání účinný průřez. V našem případě, kdy je diferenciání účinný průřez konstantní, je tato integrace triviání jedná se vastně jen o vynásobení pným prostorovým úhem (tedy 4π steradiánů): σ = Ω= R π = π ě R d 4 R. 4 4 (6.) všechny směry Tento totání účinný průřez má přitom vemi přirozenou interpretaci: π R je pocha příčného řezu kouí, tedy průřezu, který vidí částice naétající na koui. Pouze částice, které proétnou kruhem o pooměru R, narazí do koue a odrazí se od ní (do různých směrů); ostatní částice proétnou koem, aniž by s kouí interagovay. 7 7 Totání účinný průřez tedy vypovídá o tom, jak moc koue s částicemi v naétajícím svazku cekově interaguje: větší koue odrazí víc částic, než maá. 9