ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE."

Transkript

1 ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE. Bakalářská práce Studijní program: Studijní obory: Autor práce: Vedoucí práce: B1101 Matematika 7504R015 Matematika se zaměřením na vzdělávání 7507R036 Anglický jazyk se zaměřením na vzdělávání Martina Chlumská RNDr. Martina Šimůnková, Ph.D. Liberec 2014

2

3

4

5 Poděkování Děkuji RNDr. Martině Šimůnkové, Ph.D. za vedení a pomoc a děkuji své rodině za podporu a trpělivost.

6 Anotace Tato bakalářská práce se zabývá analytickým pojetím kuželoseček. Hlavním cílem práce je poskytnout čtenáři návod, jak z grafického znázornění kuželosečky sestavit její obecnou rovnici, a naopak, jak najít kuželosečku, která je zadána obecnou rovnicí. V první části práce jsou zopakovány a rozšířeny středoškolské znalosti o kuželosečkách. Po zavedení důležitých pojmů je ukázáno několik postupů, které je možné pro přechod mezi rovnicí kuželosečky a jejím grafickým znázorněním použít. Využita je především transformace soustavy souřadnic. Jednotlivé postupy jsou doplněny řešenými příklady. V závěru práce jsou stručně shrnuty a zopakovány pojmy lineární algebry, které byly v práci použity. Znalost těchto pojmů je nezbytná pro porozumění textu. Klíčové pojmy Kuželosečka, rovnice kuželosečky, transformace, lineární algebra.

7 Annotation This bachelor thesis deals with the analytical concept of conic sections. The main aim of this work is to give us a guide how to make a general equation of conic section from its graphical representation, and on the contrary how to find the conic section that is given by a general equation. In the first part of this work, the high-school attainment about conic sections is revised and upgraded. After setting of important terms several methods are shown here. These methods can be used for a changeover from the conic section equation to its graphical representation. The transformation of coordinate system is mainly used for that. Each of these methods is supported with solved problems. Linear algebra terms used in this work are briefly summarised and revised in the last part of this bachelor thesis. Knowing these terms is necessary for understanding the text. Key words Conic section, equation of conic section, transformation, linear algebra.

8 Obsah Seznam symbolů 9 1 Úvod 10 2 Historický úvod 11 3 Kuželosečky na ZŠ a SŠ 12 4 Kartézská a lineární soustava souřadnic Kartézská soustava souřadnic Lineární soustava souřadnic Transformace souřadnic v rovině Kuželosečky a jejich vlastnosti Definice kuželosečky Průsečík přímky s kuželosečkou Klasifikace kuželoseček Asymptotické směry kuželosečky Hlavní směry kuželosečky Střed kuželosečky, singulární bod Od rovnice ke kuželosečce Od rovnice ke kuželosečce na SŠ Kvadratická forma Zkoumání středů Od kuželosečky k rovnici Od kuželosečky k rovnici na SŠ Transformace Závěr 42 9 Dodatek 43 Literatura 50 7

9 Seznam obrázků 1 Kartézská soustava souřadnic Lineární soustava souřadnic Transformace souřadnic Příklad 1 elipsa na SŠ Příklad 1 parabola Příklad 2 hyperbola Příklad 2 hyperbola Elipsa rovnoběžná osa Transformace soustavy Příklad elipsa Symetrie

10 Seznam použitých symbolů A matice deta determinant matice A E jednotková matice A 1 A T inverzní matice k matici A transponovaná matice C množina všech komplexních čísel R množina všech reálných čísel v vektor x norma 9

11 1 Úvod Na kuželosečky je možné pohlížet dvěma způsoby a to geometricky a analyticky. V geometrickém pojetí jsou kuželosečky bud definovány jako rovinné křivky, vznikající průnikem roviny a rotační kuželové plochy, nebo jako množiny bodů daných vlastností. V této práci se ale budeme zabývat přístupem druhým, analytickým, kde jsou kuželosečky vnímány jako množiny všech bodů jejichž souřadnice splňují obecnou rovnici kuželosečky. Základní čtyři typy kuželoseček (rovnice, elipsa, parabola a hyperbola) známe již ze střední školy, zajímavé ale jsou i další útvary, které daná rovnice popisuje a kterým jsme na střední škole zatím nevěnovali pozornost, tzv. degenerované kuželosečky. Hlavním cílem následujícího textu je ukázat, jak sestavit obecnou rovnici pro graficky zadanou kuželosečku a naopak jak najít kuželosečku, která je zadaná obecnou rovnicí. Zatímco přechod od rovnice ke kuželosečce je v literatuře poměrně přehledně zpracován, opačný postup od kuželosečky k rovnici, se v literatuře téměř neobjevuje. V textu je uvedeno několik postupů, u každého z nich je uveden řešený příklad. Pro snažší porozumění a názornost je text doplněn obrázky. V první části textu jsou shrnuty a rozšířeny středoškolské znalosti o kuželosečkách, které jsou pro tento přechod mezi obecnou rovnicí kuželosečky a jejím grafickým znázorněním třeba. Na konci práce je pak stručně shrnuto a zopakováno to, co je k takovému přechodu od rovnice ke kuželosečce a od kuželosečky k rovnici potřeba znát některé pojmy a operace lineární algebry (maticový počet, vektory, vlastní čísla, apod.) a také některé důležité geometrické pojmy, které jsou v první části práce použity. Znalost těchto pojmů a postupů je nezbytně nutná k porozumění textu. 10

12 2 Historický úvod Pojem kuželosečka byl znám již učencům ve starověku. Prvním z nich byl Menechmos (kolem roku 350 př.n.l.), který se zdvojením krychle pokoušel řešit jeden z klasických problémů geometrie, tzv. delský problém. Obyvatelé města Delos měli bohu Apollónovi postavit nový oltář ze zlata, který měl být stejného tvaru jako oltář stávající, ale jeho objem měl být dvojnásobný. Menechmos řešil tento problém, který vede na algebraickou rovnici 2x 3 = a 3, pomocí průsečíků kuželoseček y = 2x 2 a xy = a 3. Přitom si byl již vědom toho, že každá kuželosečka je průnikem rotační kuželové nebo válcové plochy a roviny. Samotné pojmy, které dnes pro označení kuželoseček používáme (tj. elipsa, parabola a hyperbola) zavedl ve svých osmi knihách o kuželosečkách Apollonios z Pergy (kolem roku 200 př.n.l.). V těchto knihách jsou podány zcela nové definice kuželoseček a rotačních těles kuželosečky definoval nejen pomocí řezů kužele rovinou, ale také jako geometrické místo bodů určitých vlastností. Apollonios již znal pojmy jako sdružené průměry, asymptoty a ohniska kuželoseček, jeho knihy jsou dodnes fascinující pro jejich úplnost. Další rozkvět kuželoseček přichází až v 17. století a souvisí s astronomickými objevy Johannese Keplera ( ) a Isaaca Newtona ( ). V této době J. Kepler objevil, že se planety pohybují po eliptických drahách, jejichž jedno ohnisko leží ve středu Slunce. Tyto elipsy mají velmi malou výstřednost a jen velmi málo se liší od kružnic. Keplerovy zákony byly později potvrzeny objevem Newtonova gravitačního zákonu. Užitím tohoto zákona lze dokázat, že i družice planety Země se pohybují po kuželosečkách a jejich jedním ohniskem je střed Země. Analytická geometrie kuželoseček vznikla zároveň s analytickou geometrií. Její základ položil René Descartes ( ) ve svém spisu Géometrie, kde již pohlíží na některé algebraické rovnice druhého stupně jako na rovnice kuželoseček. Z jeho jména (Cartesius latinský přepis) také vzniká název kartézská soustava souřadnic. Ve stejné době, píše pojednání o analytické geometrii také jiný francouzský matematik Pierre de Fermat ( ), je ale vydáno až po jeho smrti, a proto je za zakladatele analytické geometrie považován Descartes. S analytickou geometrií kvadrik přichází až v 18. století Leonhard Euler ( ). Úplnou klasifikaci kvadrik podává Augustin L. Cauchy ( ). [1] [7] 11

13 3 Kuželosečky na ZŠ a SŠ Přestože se žáci s kuželosečkami setkávají již na základní škole (kružnice, grafy, apod), samotný pojem kuželosečka a její rovnice jsou zaváděny až na střední škole (analytická geometrie). Probírány jsou obvykle pouze čtyři základní typy kuželoseček kružnice, elipsa, parabola a hyperbola, tedy kuželosečky tzv. pravé. Žáci znají rovnice těchto kuželoseček (obecné a středové/vrcholové) a nejdůležitější pojmy, které s kuželosečkami souvisí (ohnisko, řidící přímka, hlavní osa, excentricita, asymptota, apod), umí určit vzájemnou polohu přímky a kuželosečky nebo dvou kuželoseček a řešit jednodušší metrické úlohy. Také umí ze zadaných parametrů rovnice sestavit, případně ze zadané rovnice určit druh kuželosečky a sestavit rovnice asymptot a tečen. 4 Kartézská a lineární soustava souřadnic V Euklidovské rovině lze k bodu A přičíst vektor u, výsledkem je bod B této roviny, tedy B = A + u. Stejně tak jeden vekor je určen dvěma body tak, že platí u = B A (vektor u je rozdílem bodů B a A). Toto přičítání a odečítání bodů splňuje dvě navzájem ekvivalentní podmínky (A + u) + v = A + ( u + v ) (B A) + (C B) = C A. Dále každým dvěma vektorům u, v z Euklidovské roviny je přiřazeno reálné číslo u. v zvané skalární součin daných vektorů a to tak, že jsou splněny tyto podmínky u. v = v. u (a. u + b. v ). w = a.( u. w ) + b.( v. w ); a, b R u 0 u. u > 0. Číslo u = u. u je velikost vektoru u. Vzdálenost AB bodů A, B je rovna B A. Úhel γ dvou nenulových vektorů u, v je dán vztahem u. v cos γ = u. v. Je tedy zřejmé, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, je-li jejich skalární součin nulový. [1] [5] 12

14 4.1 Kartézská soustava souřadnic Kartézská soustava souřadnic je v Euklidovské rovině dána bodem P (ten je obvykle označovaný jako počátek) a uspořádanou dvojicí dvou navzájem kolmých jednotkových vektorů e, d. Každý vektor u, který leží v této rovině, se dá právě jedním způsobem zapsat ve tvaru u = u. e + v. d. Uspořádaná dvojice reálných čísel (u, v) představuje souřadnice vektoru u vzhledem k bázi { e, d }.Každý její bod X můžeme jednoznačně zapsat ve tvaru X = P + x. e + y. d, jsou tedy definovány kartézské souřadnice x, y bodu X vzhledem ke zvolené kartézské soustavě souřadnic {P, e, d }. (Obr. 1) Obrázek 1: Kartézská soustava souřadnic Jestliže je přímka p v této rovině určena jedním bodem A a nenulovým vektorem u, pak může být každý její bod zapsán ve tvaru X = A + t. u, kde t R. 13

15 Tento tvar označujeme jako parametrické vyjádření přímky p. Je-li X = [x, y], A = [a, b] a u = (u, v), můžeme tuto rovnici rozepsat do jednotlivých souřadnic x = a + t.u, y = b + t.v. Vyloučením parametru t z těchto dvou rovnic získáme po jednoduchých úpravách neparametrické vyjádření přímky px + qy + r = 0, kde alespoň jeden z koeficientů p, q 0, které nazýváme obecná rovnice přímky; vektor p = (p, q) je na tuto přímku kolmý.[1] [5] 4.2 Lineární soustava souřadnic Lineární soustava souřednic je dána bodem P a dvěma vektory e, d, které jsou lineárně nezávislé, ale (na rozdíl od vektorů v kartézské soustavě souřadnic) nemusí být ani navzájem kolmé, ani jednotkové. I v tomto případě platí, že každý vektor u může být jednoznačně zapsán ve tvaru u = u. e + v. d, a tedy i každý bod lze zapsat ve tvaru X = P + x. e + y. d. Stejně jako v kartézské soustavě souřadnic dostáváme vzájemně jednoznačné zobrazení roviny na množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel. (Obr. 2) 4.3 Transformace souřadnic v rovině Mějme v rovině pevně zvolenou lineární soustavu souřadnic {P, e, d } a další lineární soustavu souřadnic {P, e, d }. Bod P má vzhledem k první soustavě souřadnice [p, q], vektor e souřadnice (α, β) a vektor d souřadnice (γ, δ). Vektory e a d jsou nezávislé, proto platí α.δ β.γ 0. Označíme-li souřadnice bodu X dané roviny vzhledem ke druhé soustavě souřadnic x, y, pak můžeme psát X = P + x. e + y. d. 14

16 Obrázek 2: Lineární soustava souřadnic 15

17 Jedná se o vztah mezi geometrickými objekty, zvolíme si novou soustavu a pomocí původní soustavy určíme souřadnice. x p α γ y = q + x β + y δ Můžeme tedy psát ( x y Rozepíšeme-li rovnici ) = ( p q ) ( α + x β ) ( γ + y δ ) pro jednotlivé souřadnice, dostáváme X = P + x. e + y. d x = αx + γy + p, y = βx + δy + q. Tyto tranformační rovnice udávají vztah mezi souřadnicemi x, y (druhá soustava) a souřadnicemi x, y (původní soustava) téhož bodu X. Má-li vektor u = (u, v) vzhledem ke druhé soustavě souřadnic souřadnice (u, v ), pak můžeme psát u = u e + v d. Po rozepsání této rovnice do souřadnic, dostáváme x = αu + γv, y = βu + δv. Pomocí těchto rovnic transformujeme souřadnice vektoru. Jestliže jsou obě soustavy souřadnic kartézské, jsou tedy vektory e, d jednotkové a navzájem kolmé a proto platí α 2 + β 2 = 1, γ 2 + δ 2 = 1, αγ + βδ = 0. Pak zvolíme úhel ω tak, aby α = cos ω a β = sin ω (úhel ω je orientovaný úhel, který mezi sebou svírají vektory e a e - otáčíme kartézskou soustavu souřadnic). Musí tedy platit i vztahy γ = sin ω a δ = cos ω (resp. γ = sin ω a δ = cos ω; v závislosti na tom, na kterou stranu soustavu otáčíme). [1] 16

18 [4] Transformační rovnice, vyjadřující vztah mezi souřadnicemi téhož bodu X vzhledem ke dvěma kartézským soustavám, mají tvar a naopak x = x cos ω + y sin ω, y = y cos ω x sin ω, x = x cos ω y sin ω, y = y cos ω + x sin ω. V případě, že P P mají transformační rovnice tvar x = x cos ω y sin ω + p, y = y cos ω + x sin ω + q. Pro větší přehlednost můžeme vztah zapsat i maticově ( ) ( ) ( ) x cos ω sin ω x y =, sin ω cos ω y Obrázek 3: Transformace souřadnic 17

19 K transformaci soustavy souřadnic lze přistupovat ze dvou pohledů lze bud otáčet objektem na jednu stranu (aktivní transformace afinita) nebo objekt zůstává na místě a otáčíme soustavu na druhou stranu (pasivní transformace způsob uváděný v této kapitole). [10] 18

20 5 Kuželosečky a jejich vlastnosti 5.1 Definice kuželosečky Kuželosečku můžeme definovat jako rovinnou křivku, která vzniká průnikem roviny a rotační kuželové plochy = geometrický přístup. Podle úhlu, který svírá rovina s osou rotační kuželovou plochou můžeme rozlišit čtyři základní typy kuželoseček kružnice - rovina kolmá na osu rotační kuželové plochy elipsa - rovina svírá s osou rotační kuželové plochy úhel menší než 90, ale větší než polovina vrcholového úhlu kuželové plochy parabola - rovina rovnoběžná s právě jednou z přímek kuželové plochy hyperbola - rovina svírá s osou roteční kuželové plochy úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželové plochy V případě, že rovina prochází vrcholem kuželové plochy, vznikají tzv. degenerované kuželosečky. V této práci se ale budeme upřednostňovat následující analytický přístup ke kuželosečkám. [7] [3] Předpokládáme-li, že se nacházíme v rovině (dvourozměrném euklidovském nebo afinním prostoru), kde je pevně zvolena kartézská soustava souřadnic daná počátkem P a dvojicí vektorů e, d, potom množinu všech bodů X = [x, y] ležících v této rovině, jejichž souřadnice splňují rovnici nazveme kuželosečkou. ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (1) Výraz na levé straně rovnice lze vyjádřit v maticovém tvaru ( x ) a b d x y 1 b c e y = (X) T A(X) = } d e {{ f 1 }}{{} A X = ((ax + by + d)x + (bx + cy + e)y + (dx + ey + f)) = = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f Definice. Necht je dána rovnice (1), v níž je alespoň jedno z čísel a, b, c různé od nuly, popřípadě její libovolný nenulový násobek. Pak množinu všech bodů X = [x, y], jejichž souřadnice vyhovují rovnici (1), nazveme 19

21 kuželosečkou o rovnici (1). Body jejichž souřadnice této rovnici vyhovují, jsou jejími body. Pokud rovnici nevyhovují souřadnice žádného bodu, označujeme tuto kuželosečku jako formálně reálnou. V opačném případě ji nazýváme kuželosečkou bodově reálnou. [1] 5.2 Průsečík přímky s kuželosečkou Hledejme průsečíky přímky p dané bodem M = [m, n] a nenulovým vektorem u = (u, v), tedy a kuželosečky dané rovnicí (1). Maticový zápis rovnice přímky x y = 1 dosazením do (1) dostáváme p : x = m + ut, y = n + vt, m n 1 } {{ } M +t u v 0, }{{} U (M + tu) T A(M + tu) = t 2 U T AU + 2tMAU + M T AM, tedy rovnici ve tvaru At 2 + 2Bt + C = 0. Potom mohou nastat tyto případy [1] A 0, B 2 AC > 0, rovnice má dva různé reálné kořeny přímka má s kuželosečkou právě dva různé společné body A 0, B 2 AC = 0, rovnice má jeden dvojnásobný kořen přímka má s kuželosečkou právě jeden společný bod A 0, B 2 AC < 0, rovnice nemá reálné kořeny přímka nemá s kuželosečkou žádný společný bod (přímka kuželosečku neprotíná) A = 0, B 0, rovnice je lineární a má právě jeden kořen přímka má s kuželosečkou právě jeden společný bod 20

22 A = 0, B = 0, C 0, rovnice nemá žádný kořen přímka nemá s kuželosečkou žádný společný bod A = 0, B = 0, C = 0, každé t splňuje rovnici každý bod dané přímky je zároveň i bodem kuželosečky (přímka je částí kuželosečky) 5.3 Klasifikace kuželoseček Jak již bylo v předchozím textu řečeno rozlišujeme čtyři základní typy tzv. pravých neboli nedegenerovaných kuželoseček (v případě, že kružnici považujeme za samostatnou kuželosečku). Kromě nich ale existují ještě degenerované kuželosečky ty vznikají průnikem kuželové plochy rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Označme = a b d b c e d e f δ = a b b c. Definice. Kuželosečka, pro níž je determinant roven nule, se nazývá singulární (nepravá, nevlastní, degenerovaná) kuželosečka. Kuželosečka pro níž je determinant různý od nuly se označuje jako regulární (pravá, vlastní, nedegenerovaná). Důkaz lze najít v [4] Kuželosečky pak můžeme klasifikovat následovně Regulární kuželosečky 0 δ 0 středová kuželosečka jetsliže δ > 0, < 0 imaginární elipsa jestliže δ > 0, > 0 elipsa jestliže δ < 0 hyperbola δ = 0 nestředová kuželosečka jestliže δ = 0 parabola Sigulární kuželosečky ( = 0) jestliže δ < 0 dvě různoběžky jestliže δ > 0 bod jestliže δ = 0 dvě různé rovnoběžky, dvě splývající rovnoběžky (přímka) nebo prázdná množina 21

23 5.4 Asymptotické směry kuželosečky Mějme kuželosečku = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, označme δ = a b b c tzv. malý determinant kuželosečky. Věta. Je-li δ > 0, kuželosečka nemá žádný asymptotický směr - o takové kuželosesečce říkáme, že je eliptického typu. Je-li δ = 0, kuželosečka mé právě jeden asymptotický směr říkáme, že kuželosečka je parabolického typu. Je-li δ < 0, má kuželosečka dva různé asymptotické směry říkáme, že kuželosečka je hyperbolického typu. Reálná přímka, která nemá s kuželosečkou společný žádný bod a její směr je asymptotický, se nazývá asymptota této kuželosečky. Důkaz v [4] Definice. Směr v rovině daný nenulovým vektorem u = (u, v) se nazývá asymptotickým směrem kuželosečky k, jestliže platí au 2 + 2buv + cv 2 = 0, což můžeme přepsat do tvaru (v 0) u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, u bu + cv = v au + bv. Hledáme tedy takové reálné číslo λ, aby platilo u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, au + bv = λv, bu + cv = λu. Rovnice asymptoty je dána středem a asymptotickým směrem. 5.5 Hlavní směry kuželosečky Mějme kuželosečku ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, pak směry určené nenulovými vektory u = (u, v) a u = (u, v ) nazýváme sdruženými směry kuželosečky, právě tehdy, platí-li vztah auu + b(uv + u v) + cvv = 0. 22

24 Můžeme psát ( ) ( a b u v b c ) ( u v ) = u(au + bv ) + u(bu + cv ) Definice. Hlavním směrem kuželosečky nazveme takový směr, který je sdružený se směrem k němu kolmým. Mějme dány dva libovolné sdružené směry, které jsou určeny vektory u = (u, v) a u = (u, v ), kde u = bu cv, v = au + bv. Směry určené vektory u, u jsou na sebe kolmé, právě tehdy, jsou-li vektory ( v, u) a ( bu cv, au + bv) lineárně závislé. Tedy existuje číslo λ takové, že platí Tuto soustavu upravíme na tvar au + bv = λu, bu + cv = λv. (a λ)u + bv = 0, bu + (c λ)v = 0. Tato soustava má vzhledem k neznámým u, v nenulové řešení jen tehdy, je-li determinant soustavy rovný nule, tedy a λ b b c λ = 0 Vypočítáme kořeny λ a dosadíme je do soustavy, vektory u, u hledané hlavní směry kuželosečky. Důkaz je podrobně proveden v [4]. Věta. Každá kuželosečka má alespoň dva k sobě kolmé hlavní směry. určují parabola jeden z těchto hlavních směrů je asymptotickým směrem paraboly, druhý hlavní směr je k němu kolmý elipsa, hyperbola právě dva hlavní směry kružnice nekonečně mnoho hlavních směrů, každý směr je jejím hlavním směrem Definice. Průměr kuželosečky, který je kolmý na směr s ním sdružený, nazýváme osa kuželosečky. Průsečík osy s kuželosečkou se nazývá vrchol kuželosečky. Tedy parabola má jednu osu. Středové kuželosečky (kromě kružnice) elipsa, hyperbola mají dvě osy a kružnice má nekonečně mnoho os. 23

25 5.6 Střed kuželosečky, singulární bod Definice. Středem kuželosečky k : (X) T A(X) = 0 rozumíme bod M takový, že obsahuje-li přímka procházející bodem L bod L k, obsahuje i bod L k takový, že S je středem úsečky LL. Je ale třeba ověřit, zda se skutečně jedná o střed kuželosečky - je totiž možné, že kuželosečka má i jiné body souměrnosti. V takovém případě můžeme postupovat následovně mějme kuželosečku k : (X) T A(X) = 0 a bod M = [m, n]. Bodem M proložíme přímku p p : x = m + ut, y = n + vt, t R hledáme průsečíky přímky p s kuželosečkou k (stejně jako v předchozí kapitole), po úpravách dostáváme rovnici (M + tu) T A(M + tu) = t 2 U T AU + 2tMAU + M T AM, Aby bod M byl středem kuželosečky k, pak jestliže kořen t je kořenem této rovnice, pak jejím kořenem musí být i t. Pro splnění této podmínky stačí, když koeficient u t bude roven nule - tato rovnost nastane bez ohledu na volbu vektoru u = (u, v), pokud souřadnice bodu M splňují rovnice am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0. Na kuželosečce tedy s každým bodem M + t u leží také bod M t u. Maticově píšeme ( ) a b d m am + bn + d m m n 1 b c e n = bm + cn + e n = d e f 1 dm + en + f 1 = (am + bn + d)m + (bm + cn + e)n + (dm + en + f). Věta. Bod M = [m, n] je středem kuželosečky k právě tehdy, když platí am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0. Definice. Bod kuželosečky, který je zároveň jejím středem, nazýváme singulární bod kuželosečky. 24

26 Jestliže je bod M = [m, n] středem kuželosečky a zároveň na této kuželosečce leží, z rovnice kuželosečky k vypadne absolutní člen. Protože je bod M středem a bodem kuželosečky, oba průsečíky přímky p splývají s bodem M - koeficient u lineárního členu t musí být opět nulový. Musí tedy platit i rovnice dm + en + f = 0. Věta. Bod M = [m, n] je singulárním bodem kuželosečky právě tehdy, splňuje-li rovnici a b d m 0 b c e n = 0, d e f 1 0 což je rovnice pro střed, který leží na kuželosečce. [1] Věta. Každá přímka, která prochází singulárním bodem kuželosečky, leží bud celá na kuželosečce (její směr je zároveň asymptotickým směrem kuželosečky) nebo má s kuželosečkou společný pouze tento singulární bod (její směr není asymptotickým směrem kuželosečky). Věta. Obsahuje-li kuželosečka singulární bod, je tato kuželosečka singulární. Kuželosečka, na které leží singulární bod je tedy tvořena dvěma různoběžkami, jedinou přímkou nebo pouze tímto jediným bodem a to v závislosti na počtu asymptotických směrů má-li dva asymptotické směry dvě různoběžky, jeden asymptotický směr přímka, žádný asymptotický směr bod. Jestliže je kuželosečka přímkou, pak je každý její bod singulární (má nekonečně mnoho středů). 25

27 6 Od rovnice ke kuželosečce V obecné rovnici kuželosečky rozlišujeme tři druhy koeficientů ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 koeficienty u kvadratických členů a, b, c určují typ kuželosečky koeficienty u lineárních členů d, e posouvají kuželosečku absolutní člen f posouvá kuželosečku Samotnou konstrukcí kuželoseček se v této práci zabývat nebudeme. Nejznámější konstrukce kuželoseček (Rytzova konstrukce, konstrukce pomocí oskulačních kružnic) jsou podrobně vysvětleny například v pomocném učebním textu Deskriptivní geometrie 1, S. Tomiczková. 6.1 Od rovnice ke kuželosečce na SŠ Úlohy, v nichž mají žáci z obecné rovnice kuželosečky určit, jak kuželosečka vypadá, jsou zadávány již na střední škole. Všechny rovnice z těchto středoškolských příkladů se ale vyznačují tím, že neobsahují smíšený kvadratický člen. V takovém případě obecnou rovnici pouze upravíme na středový tvar (doplníme na čtverec) postup je zřejmý a v tomto textu ho nebudeme uvádět. Můžeme ho ale najít například v [8]. Po převedení rovnice na středový tvar provedeme klasifikaci kuželosečky. Zapíšeme-li obecnou rovnici ve tvaru Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, potom platí-li A = B 0 podezření na kružnici A.B > 0 podezření na elipsu A.B < 0 podezření na hyperbolu A.B = 0 A + B 0 podezření na parabolu O typu kuželosečky můžeme navíc rozhodnou již podle znaménka u koeficientů a a c a > 0, c > 0 kružnice, elipsa nebo formálně reálná elipsa a > 0, c < 0 (nebo naopak) hyperbola 26

28 a = 0 c = 0 parabola Příklad 1 Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice Doplníme na čtverec po úpravě dostáváme rovnici Když rovnici převedeme do tvaru x 2 + 4y 2 6x + 32y + 48 = 0. (x 3) [(y + 4) 2 16] + 48 = 0, (x 3) 2 + 4(y + 4) 2 = 25. (x 3) (y + 4)2 25 = 1, je zřejmé, že jde o rovnici elipsy. Jejím středem je bod S = [3, 4], a = 5 (délka hlavní poloosy), b = 5/2 (délka vedlejší poloosy. V případě potřeby můžeme ještě najít souřadnice ohnisek, případně hlavní i vedlejší vrcholy. (Obr. 4) Příklad je převzat z [8]. V následujících dvou podkapitolách se budeme zabývat obecnými rovnicemi kuželoseček, které smíšený kvadratický člen obsahují. 6.2 Kvadratická forma Chceme-li z obecné rovnice kuželosečky určit, jak kuželosečka vypadá, musíme z rovnice odstranit smíšený kvadratický člen. Naším cílem je zjistit, která rovinná křivka vyhovuje zadané rovnici. Volbou vhodné kartézské soustavy zjednoduššíme rovnici kuželosečky na nejjednodušší možný tvar (tzv. kanonický tvar) a teprve potom provedeme klasifikaci. Kvadratickou část obecné rovnice kuželosečky označíme K, tedy K = ax 2 + 2bxy + cy 2. K je nenulová kvadratická forma v R 2. Formu K chceme převést na diagonální tvar. Jedna z možností, jak postupovat je popsána v [5], my ji zde ve zkratce uvedeme. Nejprve určíme matici A příslušnou k této kvadratické formě, sestavíme charakteristickou rovnici a najdeme vlastní čísla λ 1, λ 2 a vlastní vektory 27

29 Obrázek 4: Příklad 1 elipsa na SŠ (postup je podrobněji popsán v dodatku této práce). Vektory volíme tak, aby v = (v 1, v 2 ) a w = ( v 2, v 1 ) taková volba má dvě výhody za prvé vektory v, w jsou vzájemně kolmé a za druhé mají stejnou velikost ( v = w ). Nová soustava, kterou získáme otočením, bude mít tedy kolmé osy a jednotky budou stejné i když nemusí být jednotkové ( skoro kartézská soustava). Volíme ortonormální bázi, ve které má forma K diagonální tvar (koeficient b = 0) λ 1 u 2 η λ 2 u 2 η 2 2. Takovou bází je báze složená z vektorů f 1 = v / v a f 2 = w / w provedli jsme normalizaci vektorů v a w. Této změně odpovídají nové souřadnice ζ 1 = η 1 v ζ 2 = η 2 v. Sestavíme matici M přechodu od původní báze k bázi nové, tvořené vektory f 1 a f 2 M = 1 ( ) v1 v 2 v v 2 v 1 a v původní obecné rovnici provedeme substituci, kde x a y jsou řádky transponované matice M T (tedy sloupce matice M). Rovnici upravíme. [5] [4] [10] 28

30 Příklad 1 Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice Obecná rovnice kuželosečky má tvar 16x 2 8xy + y 2 + 4x 2y = 0. ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0. Nejprve určíme příslušnou matici kvadratické formy ( ) 16 4 L =. 4 1 Poté sestavíme charakteristickou rovnici det(l λe) = 16 λ λ = λ2 17λ = 0, řešením charakteristické rovnice jsou dvě vlastní čísla λ 1 = 0, λ 2 = 17. Vlastními vektory jsou například vektory v = (1, 4) a w = ( 4, 1). Jejich norma je N = 17. Vektory v, w jsou navzájem kolmé. Znormujeme je a dosadíme do matice M. M = 1 ( ) Použijeme substituci x = 1 17 (ζ 4η) y = 1 17 (4ζ + η). Z původní rovnice v zadání získáme po úpravě rovnici tu můžeme ještě upravit do tvaru ( 17 η η η = 4 17 ζ, ) 2 = 4 17 ( ζ ze kterého je již zřejmé, že se jedná o parabolu původně s vodorovnou osou, vrcholem V = [ ; ] =. [ 0, 29; 0, 13]; parabola popsaná zadanou rovnicí vznikla z původní paraboly otočením o úhel arctan 4 = a 17 její vrchol má souřadnice [ 225; 72] =. [ 0, 19; 0, 25]. (Obr. 5) ),

31 Obrázek 5: Příklad 1 parabola 30

32 Příklad je převzat z [5]. Příklad 2 Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice Nejprve určíme příslušnou matici 16xy + 4x 28y 15 = 0. L = ( ). Poté sestavíme charakteristickou rovnici det(l λe) = λ 8 8 λ = λ2 64 = 0, řešením charakteristické rovnice jsou dvě vlastní čísla λ 1 = 8, λ 2 = 8. Vlastními vektory jsou například vektory v = (1, 1) a w = ( 1, 1). Jejich norma je N = 2 2. Vektory jsou navzájem kolmé provedeme normalizaci a dosadíme je do matice M Použijeme substituci M = ( ). x = (ζ η); y = 2 2 (ζ + η). 2 Z původní rovnice v zadání získáme po úpravě rovnici ( ζ 3 ) 2 ( 2 η + 2 2), 2 ze kterého je již zřejmé, že se jedná původně o rovnoosou hyperbolu, se 3 středem S = [ 2 ; 2] =. [1, 06; 1.41]; hyperbola popsaná zadanou rovnicí 2 vznikla z původní rovnoosé hyperboly otočením o úhel arctan 1 = 45 a její střed má souřadnice [ 7; 1 ] = [1, 75; 0, 25]. (Obr. 6) 4 4 Příklad je převzat z [5]. 31

33 6.3 Zkoumání středů Obrázek 6: Příklad 2 hyperbola Z hodnoty determinantu příslušného k matici kuželosečky snadno určíme, zda se jedná o kuželosečku singulární ( = 0) nebo regulární ( 0). Z hodnoty determinantu kvadratických členů (tzv. malého determinantu) určíme, zda je kuželosečka středová nebo nestředová. Jestliže δ = 0, je kuželosečka parabolického typu, má jediný asymptotický směr a je tedy nestředová. Jestliže δ > 0, pak je kuželoseečka eliptického typu, nemá žádný asymptotický směr a je středová. A jestliže δ < 0, kuželosečka je hyperbolického typu, má dva různé asymptotické směry a je středová. Středové kuželosečky mají právě jeden střed, zatímco nestředové kuželosečky bud nemají žádný střed nebo mají nekonečně mnoho středů. V případě vyšetřování rovnice kuželosečky nejprve vypočteme determinanty a δ (hodnota determinantu nám ukazuje, zda je kuželosečka singulární nebo regulární, zatímco hodnota determinantu δ určuje typ kuželosečky). Střed kuželosečky S = [m, n] je dán soustavou dvou rovnic o dvou neznámých am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0. Pokud je třeba najdeme asymptotické směry, které jsou dány rovnicí au 2 + 2buv + cv 2 = 0, 32

34 tedy u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, au + bv = λv, bu + cv = λu. Asymptoty jsou pak dány středem a asymptotickým směrem. V případě potřeby můžeme ještě najít osy a vrcholy kuželosečky. [1] [4] Příklad 1 Vyšetřete kuželosečku danou rovnicí 3x 2 2xy + 2y 2 4x 2y + 3 = 0. Sestavíme determinant příslušný k matici této kuželosečky a determinant kvadratických členů δ = = 0 δ = = 5 > 0 Kuželosečka je tedy singulární ( = 0) a je tvořena pouze jedním bodem (δ > 0). Tento jeden bod je středem této kuželosečky. Souřadnice středu S získáme vyřešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých 3x y 2 = 0, x + 2y 1 = 0. Středem zadané kuželosečky je bod S = [1, 1]. Příklad převzat z [4]. Příklad 2 Vyšetřete kuželosečku danou rovnicí 2x 2 12xy 7y 2 + 8x + 6y = 0. Sestavíme determinant příslušný k matici této kuželosečky a determinant kvadratických členů δ = = 50 33

35 δ = = 38 < 0 Kuželosečka je tedy regulární a je hyperbolického typu. Její střed je dán rovnicemi 2x 6y + 4 = 0, 6x 7y + 3 = 0. Středem zadané kuželosečky je bod S = [ 1/5, 3/5]. Asymptotické směry jsou dány rovnicí 2u 2 12uv 7v 2 = 0, můžeme tedy dosadit u(2u 6v) + v( 6u 7v) = 0, 2u 6v = λv, 6u 7v = λu. Dostáváme λ = ±5 2. Jeden asymptotický směr je dán rovnicí 2u + ( )v = 0, je tedy určen vektorem u 1 = ( , 2). Druhý asymptotický směr je dán rovnicí 2u + ( 6 5 2)v = 0, je určen vektorem u 2 = ( 6 5 2, 2). Pomocí středu a nalezeného asymptotického směru můžeme sestavit rovnici asymptot. První asyptota má parametrické vyjádření x = 1/5 t( ), y = 3/5 2t, vyloučením parametru získáme neparametrickou rovnici asymptoty 2x ( )y = 0. Stejným způsobem sestavíme i rovnici druhé asymptoty 2x (6 5 2)y = 0. 34

36 Dále můžeme ještě najít osy kuželosečky a vrcholy kuželosečky (průsečíky os s kuželosečkou). Osami kužeosečkami jsou ty průměry, které jsou kolmé na sdružený směr. Tento sdružený směr musí splňovat rovnice au + bv = ρu, pro zadanou kuželosečku tedy bu + cv = ρv, po úpravě dostáváme 2u 6v = ρu, 6u 7v = ρv, (2 ρ)u 6v = 0, 6u (7 + ρ)v = 0, ρ 2 + 5ρ 50 = 0. Kořeny této soustavy jsou tedy ρ 1 = 5 a ρ 2 = 10. Po dosazení je zřejmé, že první takový směr je dán rovnicí 3u + 6v = 0, tedy vektorem u 3 = ( 2, 1), a druhý 12u 6v = 0, tedy vektorem u 4 = (1, 2). Protože průměr sdružený k vektoru u 3 je na něj kolmý, má směr totožný s vektorem u 4 a obráceně. Proto směry vektorů u 3, u 3 udávají přímo směry os. Osy samotné procházejí středem, proto jejich rovnice můžeme dostat jako rovnice průměrů, sdružených s vektory u 3 a u 3. Rovnice první osy bude mít tvar ( 2a + b)x + ( 2b + c)y + ( 2d + e) = 0, Rovnice druhé osy 10x + 5y 5 = 0, 2x + y 1 = 0. (a + 2b)x + (b + 2c)y + (d + 2e) = 0, 10x 20y + 10 = 0, x + 2y 1 = 0. 35

37 Vrcholy jsou průsečíky os kuželoseečky s kuželosečkou samotnou. Proto z rovnice pro první osu vyjádříme y, dostáváme a dosadíme do rovnice kuželosečky Po úpravě dostáváme y = 2x + 1, 2x 2 12xy 7y 2 + 8x + 6y = 0. x = 1 5 ± 2 10, y = ± 5. Souřadnice vrcholů jsou tedy [ A = , 3 ] [ 2 5 +, B = , 3 ] Druhá osa kuželosečku neprotíná. (Obr. 8) Příklad převzat z [1]. 36

38 Obrázek 7: Příklad 2 hyperbola 37

39 7 Od kuželosečky k rovnici 7.1 Od kuželosečky k rovnici na SŠ Žáci na středních školách jsou schopni sestavit obecnou rovnici graficky zadané kuželosečky, v případě, že osy této kuželosečky jsou rovnoběžné s osami kartézské soustavy souřadnic. V takovém případě pouze dosadíme potřebné parametry (souřadnice středu, délky os, apod.) do středového tvaru rovnice dané kuželosečky a rovnici upravíme. Obrázek 8: Elipsa rovnoběžná osa 7.2 Transformace Chceme-li z grafického znázornění kuželosečky sestavit její rovnici, pak v případě, že osy kuželosečky nejsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, potřebujeme pomocí transformačních rovnic získat smíšený kvadratický člen. Nejprve tedy zvolíme vhodnou kartézskou soustavu souřadnic a pomocí souřadnic v této nové (otočené a posunuté) soustavě vyjádříme souřadnice v soustavě původní {P, e, d }. [10] [4] 38

40 Transformační rovnice pro posunutí x = x m, y = y n. Transformační rovnice pro otočení x = x cos ω y sin ω, y = y cos ω + x sin ω. Obrázek 9: Transformace soustavy V případě, že jsme kartézskou soustavu souřadnic {P, e, d } posunuli do bodu P a zároveň jsme vektory e, d otočili kolem počátku o orientovaný úhel ω, můžeme transformační rovnice psát ve tvaru ( ) ( ) ( x y = x y cos ω sin ω sin ω cos ω ) + ( p q ), 39

41 nebo po složkách ve tvaru x = x cos ω y sin ω + p, y = y cos ω + x sin ω + q. Je patrné, že matice přechodu je ortogonální a její deta = 1. Potřebujeme-li tedy vyjádřit nové souřadnice pomocí původních - uvědomíme si, že A 1 = A T. ( ) ( ) cos ω sin ω cos ω sin ω A = A 1 = sin ω cos ω sin ω cos ω transformační rovnice tedy můžeme upravit ( ) ( ) ( ) x y cos ω sin ω = x y ( p q ) ( cos ω sin ω sin ω cos ω sin ω cos ω po složkách píšeme x = (x p) cos ω + (y q) sin ω, y = (x p) sin ω + (y q) cos ω. Transformační rovnice můžeme psát i takto ( ) ( x y 1 = x y 1 ) cos ω sin ω 0 sin ω cos ω 0. p q 1 Příklad 1 Sestavte rovnici zobrazené kuželosečky. (Obr. 10) Kanonická rovnice elipsy má tvar ( ) x 2 ( ) y 2 + = 1 ), a b Ze zadaného grafu kuželosečky dále určíme, že M = [3, 4], úhel ω = π/6; hlavní poloosa a = 3, vedlejší poloosa b = 1. Použijeme transformační rovnice ( ) ( ) ( x y cos ω sin ω = x y sin ω cos ω ) ( cos ω sin ω (p, q) sin ω cos ω ), 40

42 Obrázek 10: Příklad elipsa dosadíme ( ) ( ) ( ) x y 3/2 1/2 = x y (3, 4) 1/2 3/2 rozepíšeme na složky x = (x 3) 3/2 + (y 4)1/2, y = (x 3)1/2 + (y 4) 3/2. ( 3/2 1/2 1/2 3/2 ), Tyto souřadnice dosadíme do rovnice elipsy v kanonickém tvaru. Rovnici upravíme. Rovnice zadané elipsy má tvar 0.67x 2 1, 54xy + 1, 56y 2 + 2, 16x 7.83y = 0. 41

43 8 Závěr V textu jsou shrnuty a rozšířeny středoškolské znalosti kuželoseček, především z analytického pohledu. Jsou zde zopakovány afinní vlastnosti kuželoseček a je ukázáno, jak transformovat souřadnice v rovině. Hlavním záměrem práce bylo poskytnout přehledný návod pro čtenáře, jak přecházet mezi obecnou rovnicí kuželosečky a jejím grafickým znázorněním, tedy zmapovat oblast, která se v literatuře příliš často neobjevuje. Geometrický přístup ke kuželosečkám byl v této práci potlačován. Text je doplněn řešenými příklady a obrázky nakreslenými v programu GeoGebra. 42

44 9 Dodatek Matice, operace s maticemi Maticí A typu (m, n) nazýváme obdélníkové schéma m x n reálných (resp. komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n A = a m1 a m2 a m3... a mn V případě, že m = n, pak matici A nazýváme čtvercovou maticí n-tého řádu. Prvky a 11, a 22, a 33,..., a nn tvoří hlavní diagonálu této matice a prvky a 1n, a 2,n 1, a 3,n 2,..., a n1 diagonálu vedlejší. Čtvercovou matici E označujeme jako jednotkovou, právě tehdy, když { 1, i = j e ij = 0, i j Matici A T, která vznikne vzájemnou výměnou řádků a sloupců z matice A označujeme jako transponovanou matici. Pro jednotlivé prvky v této matici tedy platí a T ij = a ji. a 11 a 21 a a m1 A T a 12 a 22 a a m2 = a 1n a 2n a 3n... a mn Matice A se nazývá symetrická, jestliže platí A = A T. Dvě matice se rovnají, jsou-li stejného řádu a rovnají se všechny jejich odpovídající si prvky. Sčítání,odčítání a násobení matic číslem α R provádíme tzv. po složkách. Sčítat a odčítat můžeme pouze matice stejného typu. a a 1n b b 1n a 11 + b a 1n + b 1n A+B = =....., a m1... a mn b m1... b mn a m1 + b m1... a mn + b mn a a 1n αa 11 α... αa 1n αa = α..... = a m1... a mn αa m1... αa mn 43

45 Násobíme-li dvě matice A, C, musí být počet sloupců matice A roven počtu sloupců matice C (násobíme-li matici typu (m, n) s maticí typu (n, p), výsledná matice D musí být typ (m, p). Násobení matic není komutativní. A.B = a a 1n c c 1p a m1... a mn c n1... c np = d d 1p..... d m1... d mp = D kde prvek d ik = a i1 c 1k + a i2 c 2k a in c nk. To znamená, že prvek matice D na i-tém řádku a v k-tém sloupci je skalárním součinem i-tého řádku matice A a k-tého sloupce matice C. Matici A nazýváme inverzní, pokud k ní existuje matice B taková, že AB = BA = E. V takovém případě matici B nazýváme inverzní maticí k matici A a značíme ji A 1. Determinant matice A je zobrazení, které každé matici A přiřadí číslo (skalár); obvykle ho značíme deta nebo a 11 a a 1n a 21 a a 2n deta = a n1 a n2... a nn, Pro výpočet determinantů druhého a třetího řádu používáme Sarrusovo pravidlo. Determinantem matice třetího řádu rozumíme číslo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 33(a 11 a 22 a 21 a 12 ) a 32 (a 11 a 23 a 21 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 a 22 a 13 ), determinatem matice druhého řádu rozumíme číslo a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. [7] [1] Vektory, operace s vektory Z geometrického hlediska je vektor veličina určená směrem, velikostí a orientací. Výjimku tvoří nulový vektor, což je vektor o nulové velikosti a nemá tedy ani směr ani orientaci. Vektory stejné velikosti a stejného směru, ale s opačnou orientací nazýváme opačné vektory. 44

46 Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AB, nazývají se čísla u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2 souřadnice vektoru u (v rovině) souřadnice vektoru u. Pro každé dva vektory u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) platí u + v = (u1 + v 1 ; u 2 + v 2 ). Velikost vektoru u = (u 1, u 2 ) spočítáme vztahem u = u 12 + u 22. Vektor jehož velikost se rovná jedné nazýváme jednotkový vektor. Skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) v rovině je číslo u 1 v 1 + u 2 v 2. Definice. Necht je dána konečná posloupnost vektorů. Říkáme, že vektory jsou lineárně závislé, jestliže je alespoň jedna jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Naopak, je-li každá jejich netriviální lineární kombinace nenulová, říkáme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Norma Norma je nezáporná reálná funkce,která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (délku, velikost). V rovině R 2 normu definujeme jako x := (x.x). Norma má tyto vlastnosti: [5] x = 0 x = 0; x X; α R αx = α. x ; x X; y X x + y x + y ; tzv. trojúhelníková nerovnost. Vlastní čísla, vlastní vektory Definice. Necht A je čtvercová matice typu n n a E je jednotková matice typu n n, potom říkáme, že λ C je vlasní číslo matice A, je-li řešením rovnice det(a λe) = 0. 45

47 Tuto rovnici nazýváme charakteristickou rovnicí matice A. a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n det(a λe) = a n1 a n2... a nn λ }{{} charakteristický polynom matice A Každá čtvercová matice A typu n n má právě n vlastních čísel, počítámeli každé vlastní číslo v jeho násobnosti. V případě, že je matice A symetrická, jsou všechny kořeny rovnice det(a λe) = 0 reálná čísla. Říkáme, že n-rozměrný vektor v je vlastní vektor matice A příslušný k jejímu vlastnímu číslu λ, je-li v nenulovým řešením rovnice (A λe) v = 0. Věta. Vlastní vektory příslušné k různým vlastním číslům symetrické matice A jsou ortogonání - jejich skalární součin je rovný nule. [5] [4] [2] Symetrie Symetrii můžeme definovat jak geometricky, tak analyticky. Definice. Říkáme, že body K = [k, l ], K = [k, l ] jsou symetrické vzhledem k přímce p, je-li K p a K p, přímka procházející těmito dvěma body je kolmá k přímce p,oba body mají od této přímky stejnou vzdálenost a leží v různých polorovinách určených přímkou p. (Obr. 11) Množinu N R 2 označujeme jako symetrickou vzhledem k přímce p, leží-li v N spolu s každým bodem K i bod K symetrický s K vzhledem k p; v takovém případě přímku p nazýváme osou symetrie množiny N. Má-li množina N nějakou osu symetrie, říkáme o ní, že je osově symetrická. Definice. Říkáme, že body K = [k, l ], K = [k, l ] jsou symetrické vzhledem k bodu K 0 = [k 0, l 0 ], platí-li 1 2 (k + k ) = k 0, 1 2 (l + l ) = l 0. Množina N R 2 se nazývá symetrická vzhledem k bodu K 0, obsahujeli spolu s každým bodem K i bod K s ním symetrický vzhledem k bodu K 0 ; každý takový bod K 0 budeme nazývat střed symetrie množiny N. Má-li množina alespoň jeden střed symetrie, říkáme o ní, že je středově symetrická. 46

48 Každá kuželosečka je osově souměrná kružnice, jednobodová množina, prázdná množina - nekonečně mnoho os symetrie parabola, rovnoběžky - právě jedna osa symetrie elipsa (kromě kružnice), hyperbola, dvojice různoběžek - právě dvě osy symetrie Obrázek 11: Symetrie Každá kuželosečka kromě paraboly je středově souměrná elipsa (včetně kružnice), hyperbola, dvojice různoběžek a jednobodová množina- jeden střed symetrie rovnoběžky, prázdná množina - nekonečně mnoho středů symetrie parabola - žádný střed symetrie 47

49 Afinita Afinita je prosté zobrazení afinního prostoru na sebe; (A B C ) = (ABC). Jedná se vlastně o rovnoběžné promítání bodů jedné roviny do roviny druhé. Afinita je určena osou a uspořádanou dvojicí bodů AA, tyto body určují směr osové afinity. Vzor a obraz přímky (různoběžné s osou) se protínají na ose afinity. Body na ose afinity jsou silně samodružné a přímky rovnoběžné se směrem afinity jsou slabě samodružné. Afinita zachovává rovnoběžnost, dělící poměr(tato vlastnost je důležitá zejména proto, že střed úsečky opět odpovídá středu úsečky) a incidenci. Na rovnoběžkách s osou afinity se zachovává i délka úsečky. Naopak velikost úhlu není zachována. Podle směru rozlišujeme tři základní případy osové afinity - kosoúhlá afinita, pravoúhlá afinita a elace. [3] 48

50 Přehled kuželoseček A. Kružnice střed v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ), poloměr r x 2 + y 2 = r 2, resp. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. B. Elipsa střed v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ); hlavní poloosa a, vedlejší poloosa b ( x ) 2 ( y ) ( ) 2 2 ( ) 2 x x0 y y0 + = 1, resp. + = 1. a b a b B. Hyperbola střed v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ); hlavní poloosa a, vedlejší poloosa b, hlavní osou je osa x ( x ) 2 ( y ) ( ) 2 2 ( ) 2 x x0 y y0 = 1, resp. = 1, a b a b hlavní poloosa b, vedlejší poloosa b, hlavní osou je osa y ( y ) 2 ( x ) ( ) 2 2 ( ) 2 y y0 x x0 = 1, resp. = 1. b a b a D. Parabola vrchol v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ); osa y je osou paraboly osa x je osou paraboly y = ±2ax 2, resp. y 0 = y 0 ± 2a(x x 0 ) 2, x = ±2by 2, resp. x 0 = x 0 ± 2b(y y 0 ) 2. E. Dvojice různoběžných přímek průsečík v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ) ( x ) 2 ( y ) ( ) 2 2 ( ) 2 x x0 y y0 =, resp. =. a b a b F. Dvojice rovnoběžných přímek rovnoběžných s osou x rovnoběžných s osou y y 2 = b 2, resp. (y y 0 ) 2 = b 2, x 2 = a 2, resp. (x x 0 ) 2 = a 2. G. Jednobodová množina bod (0, 0), resp. (x 0, y 0 ) ax 2 + by 2 = 0, resp. a(x x 0 ) 2 + b(y y 0 ) 2 = 0. H. Prázdná množina ax 2 + by 2 = ρ, resp. a(x x 0 ) 2 + b(y y 0 ) 2 = ρ. 49

51 Literatura [1] [2] [3] BOČEK, L. Analytická geometrie kuželoseček pro III. ročník gymnázií se zaměřením na matematiku. 1.vydání. Praha: SPN,1977. JANYŠKA, J., SEKANINOVÁ, A. Analytická teorie kuželoseček a kvadrik [online]. Brno, Dostupné z: vondra/ums/kuakv/skripta.pdf. TOMICZKOVÁ, S. Deskriptivní geometrie 1, pomocný učební text [online]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, Dostupné z: [4] PECH, P. Kuželosečky [online]. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, Dostupné z: ISBN [5] [6] [7] [8] ČERNÝ, I. Kuželosečky a kvadriky [online]. 3. upravené a doplněné vydání. Praha: Univerzita Karlova, Dostupné z: MIROVÁ, A. Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás [online]. Dostupné z: HÁJKOVÁ, I. Kuželosčky a kvadriky ve výuce na SŠ diplomová práce [online]. Brno: Masarykova univerzita, Dostupné z: KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. 3.vydání. Praha: Prometheus,1995. ISBN [9] HAVEL, V., HOLENDA, J. Lineární algebra. Nakladatelství technické literatury,1984. [10] Ústní sdělení RNDr. Martina Šimůnková, Ph.D. 50

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Afinní zobrazení v příkladech Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2013 Vypracoval:

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Kuželosečky. Kapitola Elipsa

Kuželosečky. Kapitola Elipsa Kapitola 4 Kuželosečky 4.1 Elipsa DEFINICE 4.1.1. Množinu všech bodů v rovině E, které mají od dvou různých pevně zvolených bodů F 1, F konstantní součet vzdáleností a, nazýváme elipsa; tj. k e = {X E

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple Roman HAŠEK, Pavel PECH Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 1 Obsah Předmluva 4 1 Kvadriky jako plochy. stupně 9 1.1 Úvod.................................

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

3. Analytická geometrie

3. Analytická geometrie 3. Analytická geometrie 3A. Vektorový počet 3. Analytická geometrie Objekty v rovině i prostoru (body, úsečky, přímky, křivky, roviny, plochy atd.) lze popsat pomocí čísel. Popisem a studiem těchto objektů

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více