Abstrakt. Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena Bairstowova metoda

Transkript

1 Hledání kořenů algebraické rovnice Michaela Kožuchová 1,MichaelaSládková 2,Vojtěch Pék 3 Abstrakt Práce se zabývá hledáním kořenů algebraické rovnice za pomoci Bairstowovy iterační metody. V práci je odvozena Bairstowova metoda a je zde uvedeno několik příkladů jejího použití. 1 Úvodem Úkolem projektu bylo prověřit využití Hornerova algoritmu a Bairstowovy metody pro libovolnou algebraickou rovnici jak v C, tak v R číslech a naprogramování daných algoritmů v programu Matlab 6.5 Release 13. Úloha stanovit kořeny algebraické rovnice polynomu ve tvaru p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n se v matematické praxi vyskytuje natolik často, že nás to motivuje k samostatnému projektu. Výpočet kořenů algebraické rovnice se provádí pomocí metody Bairstowovy a Hornerova algoritmu. Podrobnější informace můžete nalézt v odkazech doporučené literatury [2, 4, 5, 6]. 2 Algebraická rovnice Rovnice typu a z n +a 1 z n a n 1 z+a n =,kdea k pro k =, 1, 2,...,n jsou daná čísla (koeficienty rovnice) a a,nazýváme algebraickou rovnicí n-tého stupně. Na levé straně algebraické rovnice je polynom n p(z) = a k z n k k= obecněskomplexními koeficienty. Základní operace s polynomy jsou sčítání, odčítání, násobeníadělení. Řešením (kořenem) rovnice tohoto typu rozumíme každé číslo α, které anuluje polynom p(z), tj. takové číslo α, prokteréplatí rovnost p(α) =.Pakplatínásledující velice důležitá základní věta algebry. Důkaz této věty naleznete (viz. [7], kapitola 7 a 8). 1 mysicka1@students.zcu.cz, Západočeská univerzita v Plzni 2 michslad@students.zcu.cz, Západočeská univerzita v Plzni 3 vpek@students.zcu.cz, Západočeská univerzita v Plzni

2 2.1 Základní věta algebry Každá algebraickárovnicemá v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy řečeno: Je-li dána nějaká algebraická rovnice (je lhostejné, zda má reálné či komplexní koeficienty),pak vždy existuje alespoň jedno komplexní číslo, jež je kořenem této rovnice. 2.2 Stupeň polynomu Necht C je těleso komplexních čísel, necht a,a 1,...,a n C, a. Funkce p : C C definovaná předpisem p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n se nazývá polynom (mnohočlen) stupně n. Čísla a,a 1,..., a n se nazývají koeficienty polynomu p(z). Jestliže pro každé i =, 1,...,n je a i R, kder označuje těleso reálných čísel, potom mluvíme o polynomu s reálnými koeficienty. Jestliže a i =prokaždé i, potom p =senazývá nulový polynom. (U nulového polynomu nebudeme mluvit o stupni). Má-li algebraická rovnice n-tého stupně p(z) = za kořen číslo α, pak polynom p(z) je dělitelný kořenovým činitelem (z α) aplatírovnostp(z) =(z α)g(z), kde g(z) je polynom stupně n 1. Zřejmým důsledkem právě uvedené věty a základní věty algebry jsou následující dvě tvrzení: Každý polynom p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n lze, až napořadí činitelů, jednoznačně rozložit na součin kořenových činitelů, tj. p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )...(z α n ), kde α 1,α 2,...,α n jsou kořeny algebraické rovnice p(z)=. Algebraická rovnice n-tého stupněmánejvýše n různých obecně komplexních kořenů. Předpokládejme, že ve vztahu p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )...(z α n )jsouprávějenčísla α 1,α 2,...,α n vesměs různá. Pak evidentně můžeme psát p(z) =a (z α 1 ) n 1 (z α 2 ) n 2...(z α s ) ns, kde s k=1 n k = n. Přirozené číslo n k (1 n k n s +1) nazýváme násobností kořene α k algebraické rovnice p(z) =. 2.3 Kořen polynomu Číslo α C se nazývá kořen polynomu p(z), jestliže p(α) =.

3 Podle základní věty algebry má uvedená algebraická rovnice právě n kořenů α 1,α 2,...,α n,počítáme-li každýkořen tolikrát, kolik je jeho násobnost a polynom p(z) lzepsát ve tvaru p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )(z α n ) 2.4 Polynom s reálnými a komplexními koeficienty Jestliže koeficienty a,a 1,...,a n jsou reálné, potom eventuální komplexní kořeny se vyskytují vkomplexněsdružených dvojicích. Všechny kořeny algebraické rovniceleží v mezikruží r< z <R. Při řešení algebraických rovnic se často ukazuje účelným využít znalost jednoho nebo více kořenů (resp. jejich aproximací) ke snížení stupně uvažovaného polynomu. V další fázi pak hledáme kořen (kořeny) rovnice nižšího stupně. Necht a(z), b(z) jsou polynomy s komplexními koeficienty, necht b(z). Potom existují a jsou jednoznačně určeny polynomy q(z), r(z) takové, že a(z) = b(z)q(z) + r(z), st(r) < st(b) nebor =. Polynom a(z) senazývá dělenec, polynom b(z) dělitel, polynom q(x)(částečnýpodíl) a polynom r(z) zbytek. Je-li α C kořen polynomu a(z), potom a(z) =(z α)q(z), kde st(q) = st(a) 1. Použijeme nyní opakovaně základní větu algebry, a věty předchozí na polynom a(z) stupně n: vezměme α 1 C kořen polynomu a(z), potom a(z) =(z α 1 )q 1 (z), kde st(q 1 )=n 1, vezměme α 2 C kořen polynomu q 1 (z), potom q 1 (z) =(z α 2 )q 2 (z), kde st(q 2 )=n 2, vezměme α 3 C kořen polynomu q 3 (z), potom q 3 (z) =(z α 3 )q 3 (z), kde st(q 3 )=n 3, atd. vezměme α n C kořen polynomu q n 1 (x), potom q n 1 (z) = (z α n )q 2 (z), kde st(q n )=n n =. Tedy a(z) =(z α 1 )(z α 2 )(z α 3 )...(z α n )q n. Je li polynom a(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n, potom porovnáním koeficientů umocninyz n vidíme, že a = q n.tím jsme ukázali následujcí větu.

4 2.5 Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice Věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů nám umožňuje odvodit obecné vzorce udávající vztahy mezi koeficienty a kořeny algebraické rovnice n-tého stupně, které jsou všeobecně známé propřípad kvadratické rovnice. např. pro n =2 z 2 + a 1 z + a 2 =(z α 1 )(z α 2 )=z 2 (α 1 + α 2 )z + α 1 α 2 Tyto vztahy jsou známy jako Viétovy vzorce. V následující větě uvedeme alespoň dva. Jsou-li α 1,α 2,...,α n všechny kořeny rovnice a z n + a 1 z n a n 1 z + a n =pakplatí (tzv.vietovy vzorce) a n =( 1) n a α 1 α 2...α n a 1 = a (α 1 + α α n ). Důkaz naleznete (viz 1.1 [3]). Je-li číslo α C kořenem polynomu p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n s reálnými koeficienty, potom také číslo komplexně sdružené α C je kořenem polynomu p(z). Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Jeli α 1 s 1 násobný kořen polynomu p(z), α 2 s 2 násobný kořen polynomu p(z), až α k s k násobný kořen polynomu p(z), potom p(z) =a (z α 1 )(z α 2 )...(z α n )=a (z α 1 ) s 1 (z α 2 ) s 2...(z α k ) s k, kde s1 +s s k = n. Jestliže polynom p(z) stupně n je polynom s reálnými koeficienty, potom všechny komplexní kořeny jsou po dvojicích (vždy s kořenem komplexně sdruženým). Jestliže v rozkladu polynomu na kořenové činitele roznásobíme každé dva kořenové činitele, které odpovídají dvojici komplexně sdružených kořenů, získáme reálný rozklad polynomu p(z) =a (z α 1 ) s 1 (z α 2 ) s 2...(z α k ) s k (z 2 + p 1 z + q 1 ) t 1 (z 2 + p 2 z + q 2 ) t 2...(z 2 + p l z + q l ) t l, kde s 1 + s s k +2t 1 +2t t l = n, kdeα 1,...,α k jsou navzájem různé reálné kořeny polynomu p(z) a kvadratické trojčleny z 2 + p i z + q i mají za kořeny vždy dvojici komplexně sdružených komplexních čísel pro každé i =1,...,l.

5 3 Bairstowova metoda Předpokládáme, že d(z) =z 2 pz q =(z z 1 )(z z 2 ) je aproximace kvadratického trojčlenu d (z) =z 2 p z q =(z α)(z α), kde α, α jsou komplexně sdružené kořeny rovnice s reálnými koeficienty p(z) a z n +a 1 z n a n 1 z+a n =, n 4. Čísla z 1 a z 2 proto aproximují kořeny α, α. Dělením polynomu p(z) trojčlenem d(z) (algoritmus, který je analogií Hornera) dostaneme polynom stupně n 2 azbytek apřičemž platí Q(z) =b z n 2 + b 1 z n b n 2 ϕ(z) =b n 1 z + b n, p(z) =d(z)q(z)+ϕ(z). Koeficienty b n 1, b n lineárního polynomu ϕ závisejí na parametrech p, q, což zapíšeme ve tvaru b n 1 =f(p, q), b n =g(p, q). Protože polynom P je dělitelný polynomem d, budou koeficienty b n 1, b n pro p = p, q = q nulové, tj. f(p,q )=, g(p,q )=. Tedy čísla p, q můžeme považovat za řešení soustavy (nelineárních) rovnic f(p, q)=, g(p, q)=.

6 Tuto soustavu převedeme Newtonovou metodou (viz 15.4 [1]) na posloupnost lineárních rovnic typu ( f(p,q) f(p,q) ) p g(p,q) p q g(p,q) q ) ( p q = ( f(p, q) g(p, q) ), (1) kde p, q jsou opravy parametrů p, q. Abychom mohli stanovit derivace funkcí f, g budeme polynom Q určený vztahem p(z) = d(z)q(z) + ϕ(z) dělit tak, aby kde Q(z) =d(z)r(z)+ψ(z), R(z)=c z n 4 +c 1 z n c n 5 z+c n 4, ψ(z)=c n 3 z+c n 2. Dosazením do vztahu p(z) = d(z)q(z)+ ϕ(z) dostáváme p(z) =d(z)[d(z)r(z)+ψ(z)]+ϕ(z) =d 2 (z)r(z)+d(z)(c n 3 z+c n 2 )+zf +g. Derivujeme tuto rovnost [p(z) na p, q nezávisí] podle p a q: = 2d(z)zR(z) z(c n 3 z + c n 2 )+d(z) (c q n 3z + c n 2 )+z f + g, p p = 2d(z)R(z) (c n 3 z + c n 2 )+d(z) (c q n 3z + c n 2 )+z f + g. q q Protože d(z i )=,i=1, 2, máme odtud (po dosazení z 2 i = pz i + q) z i ( f p c n 2 pc n 3 )+( g q qc n 3) =, z i ( f p c n 3)+( g q c n 2) =. Pro z 1 z 2 lze tyto vztahy současně splnit pouze, kdyžvýrazy v závorkách jsou nulové. Soustavu (1) proto můžeme psát ve tvaru Tedy ( pcn 3 + c n 2 c n 3 qc n 3 c n 2 )( p q ) = ( bn 1 b n ). p = c n 3b n c n 2 b n 1, q = c n 3W c n 2 b n, N N kde jsme označili W = qb n 1 pb n,m = pc n 2 qc n 3,N = c n 3 M + c 2 n 2.

7 Tímto postupným zpřesňováním koeficientů kvadratického trojčlenu odpovídajícího aproximacím kořenůdostáváme určující součin kořenových činitelů přesných kořenů. 3.1 Algoritmus Bairstowovy metody Vstup: (n 4), p, q, a,a 1,...,a n,δ. b = c = a. b 1 = c 1 =. Pro k =1, 2,...,n 1: b k = a k + pb k 1 + qb k 2. b n = a n + qb n 2. Pro j =1, 2,...,n 3: c j = b j + pc j 1 + qc j 2. c n 2 = b n 2 + qc n 4. M = pc n 2 qc n 3. W = qb n 1 pb n. N = c 2 n 2 + Mc n 3. p =(c n 3 b n c n 2 b n 1 )/N. q =(c n 3 W c n 2 b n )/N. Výstup: p + p, q + q. 4 Hornerovo schéma Dělení polynomu p(z) polynomem z c lze jednoduše zapsat do tabulky. Tento způsob dělení polynomu polynomem z c bývá nazýváno Hornerovo schéma. Označme p(z) =(z c)q(z) +a(c), kde p(z) =a z n + a 1 z n a n 1 z + a n,q(z) =q z n 1 + q 1 z n q n 2 z + q n 1. Potom a z n + a 1 z n a n 1 z +a n =(z c)(q z n 1 +q 1 z n q n 2 z +q n 1 )+a(c)= q z n + q 1 z n q n 1 z cq z n 1 cq 1 z n 2... cq n 2 z zq n 1 + a(c). Porovnáním koeficientů u mocnin z obdržíme následující rovnosti:

8 z n : a = q q = a z n 1 : a 1 = q 1 q c q 1 = a 1 + q c z n 2 : a 2 = q 2 q 1 c q 2 = a 2 + q 1 c... z 1 : a n 1 = q n 1 q n 2 c q n 1 = a n 1 + q n 2 c z : a n = a(c) q n 1 c a(c) =a n + q n 1 c Získanou rovnost koeficientů zapíšeme do tabulky Hornerova schématu takto: a a 1 a 2 a 3 a n 1 a n c q c q 1 c q 2 c q n 2 c q n 1 c q q 1 q 2 q 3 q n 1 a(c) Hornerovo schéma platí jak pro reálné, tak pro komplexní koeficienty. Pro programování jedobrésiuvědomit, že tvar rekurencí a (j) n = a n (j 1) umožňuje průběžně nahrazovat veličiny a (j 1) i postupně vypočítávanými veličinami a (j) i, takže je třeba uchovávat v paměti pouze jeden (n+1) dimenzionální vektor. 5 Testování 5.1 První výsledky a předpoklady Bairstowova metoda při hledání kořenů s přesností.1 ( p <.1 q <.1) velice rychle konvergovala (průměrnýpočet iterací nepřesahoval 1 iterací, maximální počet nikdy nebyl vyššínež 25) a shodovala se i s výsledky funkce roots systému Matlab. Např. pro polynom s koeficienty [ ] byl počet iterací 7,7,6 během jednotlivých průběhů metody při vstupních stupních polynomů 7,5,3. Bairstowova metoda nacházela kořeny velmi rychle i při zcela nevhodné počáteční aproximaci koeficientů p, q. Zpomalení oproti vhodné počáteční aproximaci (zkoušeli jsme polynom aproximovat parabolou a pomocí ní určit koeficienty p, q) nebylo větší než 4 iterace. Toto nás vedlo k domněnce, že k Bairstowově metodě nebudemepotřebovat žádnou,,nástřelovou metodu, protože to pouze zdržuje program výpočtu. Proto jsme si vytvořili jen metodu na řešení kvadratické rovnice, kterou jsme použili k nalezení kořenů z koeficientů p, q a k závěrečnému určení posledních kořenů, kdy už bylo použití Bairstowovy metody nemožné. Dále jsme ještě vytvořili algoritmus Hornerova schématu k otestování výsledků Bairstowovy metody a ke snížení stupně polynomu.

9 5.2 Závěrěčné testování Náš program jsme po dokončení začali testovat na různých polynomech (řádově několika stech), nejčastěji však desátého a dvacáteho stupně s celočíselnými koeficienty v rozsahu až 9.Ve většině případů byly výsledky velmi zajímavé, při přesnosti hledání kořenů 1 7 (zastavovací podmínka iteračního procesu Bairstowovy metody) se výsledky našeho programu shodovaly s výsledky roots, ve zhruba 5 procentech případů byly dokonce nepatrně přesnější(jako přesné řešení jsme považovali symbolický výpočet řešení pomocí vlastních čísel matice), přičemž byl náš program 1 až 1 pomalejší než roots. Např. na tomto polynomu: [ ] byla chyba roots: zatímco chyba našeho programu: V některých případech, především u vyšších stupňů polynomu se stávalo, že Bairstowova metoda vracela nepřesné výsledky (ve většině případů hned při prvním průběhu Bairstowovy metody), které jsou způsobeny oscilací aproximovaných koeficientů p,q mezi různými kořeny, které se pro takto volené polynomy vyskytují ve velmi malých vzdálenostech od sebe. Tato chyba, by se, jak se domníváme dala odstranit vhodnou,,nástřelovou metodou. Nutné je však podotknout, že během našeho testování jsme našli i polynomy, ve kterých velkou chybu dělala také metoda roots (řádově až desítky). Např. pro následující polynom: [ ] byla chyba roots: a chyba našeho programu:

10 6 4 2 Zavislost delta p na iteracich Zavislost delta q na iteracich abs. hodnota 1.korenu 8 6 abs. hodnota 2.korenu uhel 1. korenu 4 3 uhel 2. korenu Obrázek 1: Obrázek ukazuje oscilaci koeficientů p, q mezi různými kořeny a tedy i chybu Bairstowovy metody Reference [1] Stanislav Míka: Numerické metody- Lineární algebra, Plzeň 1996 [2] Petr Přikryl: Numerické metody (Aproximace funkcí a matematická analýza), Plzeň 1994 [3] Libuše Tesková: Lineární algebra, Plzeň 23 [4] Milan Práger: Vybrané kapitoly z numerické analýzy, Plzeň 1993 [5] Anthony Ralston: Základy numerické matematiky, Praha, Academia 1973 [6] Emil Vitásek: Numerické metody (Technický průvodce 67), SNTL Praha 1987 [7] A.G.Kuroš: Kapitoly z obecné algebry, Praha, Academia 1968