autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
|
|
|
- Zbyněk Šmíd
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou grafy, jejichž vrcholy jsou jisté množiny a hrany spojují pronikající se dvojice. Pochopitelně hlavní motivací studia těchto grafů je jejich geometrická názornost a aplikovatelnost v reálných situacích. Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
2 9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou grafy, jejichž vrcholy jsou jisté množiny a hrany spojují pronikající se dvojice. Pochopitelně hlavní motivací studia těchto grafů je jejich geometrická názornost a aplikovatelnost v reálných situacích. Stručný přehled lekce Co jsou průnikové grafy, příklad intervalových grafů. Chordální grafy a jejich vlastnosti. Některé další třídy průnikových grafů. Reprezentace grafů křivkami a úsečkami. Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
3 9.1 Průnikové a intervalové grafy Definice 9.1. Průnikovým grafem množinového systému M nazveme graf I M na vrch. V = M s množinou hran E = { {A, B} M : A B }. Petr Hliněný, FI MU Brno 2 FI: MA010: Průnikové grafy
4 9.1 Průnikové a intervalové grafy Definice 9.1. Průnikovým grafem množinového systému M nazveme graf I M na vrch. V = M s množinou hran E = { {A, B} M : A B }. Fakt: Průnikové grafy (určitého typu) jsou vždy uzavřené na indukované podgrafy. Fakt: Každý jednoduchý graf je isomorfní průnikovému grafu nějakého systému množin. Stačí zvolit soubor hran incidentních s vrcholem x za množinu M x reprezentující x. Petr Hliněný, FI MU Brno 2 FI: MA010: Průnikové grafy
5 Intervalové grafy Pro začátek se podívejme na průnikové grafy intervalů na přímce intervalové grafy (zkratka INT) Petr Hliněný, FI MU Brno 3 FI: MA010: Průnikové grafy
6 Intervalové grafy Pro začátek se podívejme na průnikové grafy intervalů na přímce intervalové grafy (zkratka INT) Vzpomeňte si, že s intervalovými grafy jsme se vlastně setkali už v Problému 5.5. Lema 9.2. Každá kružnice délky větší než tři v intervalovém grafu má chordu. Petr Hliněný, FI MU Brno 3 FI: MA010: Průnikové grafy
7 Věta 9.3. Třídu všech intervalových grafů lze charakterizovat pomocí násl. tvrzení. Petr Hliněný, FI MU Brno 4 FI: MA010: Průnikové grafy
8 Věta 9.3. Třídu všech intervalových grafů lze charakterizovat pomocí násl. tvrzení. Graf je intervalový právě když neobsahuje žádný z následujících zakázaných indukovaných podgrafů: Petr Hliněný, FI MU Brno 4 FI: MA010: Průnikové grafy
9 Věta 9.3. Třídu všech intervalových grafů lze charakterizovat pomocí násl. tvrzení. Graf je intervalový právě když neobsahuje žádný z následujících zakázaných indukovaných podgrafů: Graf je intervalový, právě když neobsahuje indukovanou kružnici C 4 a jeho doplněk má tranzitivní orientaci. Petr Hliněný, FI MU Brno 4 FI: MA010: Průnikové grafy
10 9.2 Chordální grafy Definice: Graf G je chordální pokud neobsahuje indukovanou kružnici delší než tři. Například: Petr Hliněný, FI MU Brno 5 FI: MA010: Průnikové grafy
11 9.2 Chordální grafy Definice: Graf G je chordální pokud neobsahuje indukovanou kružnici delší než tři. Například: Věta 9.4. Každý chordální graf G obsahuje simpliciální vrchol, tj. vrchol s takový, že všichni sousedé s tvoří kliku v G. Petr Hliněný, FI MU Brno 5 FI: MA010: Průnikové grafy
12 9.2 Chordální grafy Definice: Graf G je chordální pokud neobsahuje indukovanou kružnici delší než tři. Například: Věta 9.4. Každý chordální graf G obsahuje simpliciální vrchol, tj. vrchol s takový, že všichni sousedé s tvoří kliku v G. Důkaz: Dokazujeme posloupnost tří snadných tvrzení o chordálním grafu G. Řekneme, že graf H je bisimpliciální, pokud H je úplný nebo H obsahuje dva nespojené simpliciální vrcholy. Petr Hliněný, FI MU Brno 5 FI: MA010: Průnikové grafy
13 1. Pro každou kružnici C a hranu e v G existuje hrana f taková, že C \ {e} {f} obsahuje trojúhelník. Petr Hliněný, FI MU Brno 6 FI: MA010: Průnikové grafy
14 1. Pro každou kružnici C a hranu e v G existuje hrana f taková, že C \ {e} {f} obsahuje trojúhelník. 2. Necht uv je hranou G a sousedé v tvoří (indukují) bisimpliciální podgraf. Pokud v je simpliciální mezi sousedy u, ale ne v celém G, pak existuje vrchol w spojený s v a nespojený s u takový, že w je simpliciální mezi sousedy v. 3. Pokud G není bisimpliciální, ale sousedé každého jeho vrcholu indukují bisimpliciální podgraf, pak G obsahuje kružnici C odporující bodu Tudíž G je bisimpliciální. x 0 = u x 1 x 1 = v x 2 N G (x 1) N G (x 0 ) N G (x 1 ) x 2 = w x 3 x 3 Petr Hliněný, FI MU Brno 6 FI: MA010: Průnikové grafy
15 Přímým důsledkem Věty 9.4 je existence simpliciální dekompozice libovolného chordálního grafu; jedná se o seřazení jeho vrcholů do posloupnosti v 1, v 2,..., v n tak, že každé v i, i = 2,..., n, je simpliciální v podgrafu indukovaném na v 1,..., v i 1. Fakt: Simpliciální dekompozici lze využít k efektivnímu rozpoznávání intervalových i chordálních grafů. Petr Hliněný, FI MU Brno 7 FI: MA010: Průnikové grafy
16 Přímým důsledkem Věty 9.4 je existence simpliciální dekompozice libovolného chordálního grafu; jedná se o seřazení jeho vrcholů do posloupnosti v 1, v 2,..., v n tak, že každé v i, i = 2,..., n, je simpliciální v podgrafu indukovaném na v 1,..., v i 1. Fakt: Simpliciální dekompozici lze využít k efektivnímu rozpoznávání intervalových i chordálních grafů. Věta 9.5. Graf G je chordální právě když G je průnikovým grafem podstromů ve vhodném stromě. Petr Hliněný, FI MU Brno 7 FI: MA010: Průnikové grafy
17 Přímým důsledkem Věty 9.4 je existence simpliciální dekompozice libovolného chordálního grafu; jedná se o seřazení jeho vrcholů do posloupnosti v 1, v 2,..., v n tak, že každé v i, i = 2,..., n, je simpliciální v podgrafu indukovaném na v 1,..., v i 1. Fakt: Simpliciální dekompozici lze využít k efektivnímu rozpoznávání intervalových i chordálních grafů. Věta 9.5. Graf G je chordální právě když G je průnikovým grafem podstromů ve vhodném stromě. Důkaz (náznak ve směru doprava): Povedeme indukcí podle počtu vrcholů G. Báze pro jeden vrchol je zřejmá. Navíc zřejmě každý průnikový graf podstromů v nějakém stromě musí být chordální. Jinak necht v je simpliciální vrchol chordálního grafu G. Indukcí sestrojíme průnikovou reprezentaci také chordálního grafu G v. Pak sousedé v tvoří kliku, tudíž v průnikové reprezentaci grafu G v se v některém uzlu stromu všichni překrývají. Na tomto místě přidáme nový list stromu, který bude reprezentovat v a bude překryt reprezentanty sousedů v. Petr Hliněný, FI MU Brno 7 FI: MA010: Průnikové grafy
18 9.3 Třídy průnikových grafů Zde si uvedeme jen stručný neformální přehled některých typů průnikových grafů, které jsou běžně studovány. Hranový graf je průnikovým grafem hran v běžném grafu. Petr Hliněný, FI MU Brno 8 FI: MA010: Průnikové grafy
19 9.3 Třídy průnikových grafů Zde si uvedeme jen stručný neformální přehled některých typů průnikových grafů, které jsou běžně studovány. Hranový graf je průnikovým grafem hran v běžném grafu. Kruhově-intervalové grafy (CA) jsou průnikovými grafy intervalů na kružnici. Petr Hliněný, FI MU Brno 8 FI: MA010: Průnikové grafy
20 9.3 Třídy průnikových grafů Zde si uvedeme jen stručný neformální přehled některých typů průnikových grafů, které jsou běžně studovány. Hranový graf je průnikovým grafem hran v běžném grafu. Kruhově-intervalové grafy (CA) jsou průnikovými grafy intervalů na kružnici. Kružnicové grafy (CIR) jsou průnikovými grafy tětiv v kružnici. P 4 C 5 P 4 Petr Hliněný, FI MU Brno 8 FI: MA010: Průnikové grafy
21 Diskové grafy (DISC) jsou průnikovými grafy kruhů v rovině. Lze uvažovat také jen jednotkové kruhy (unit-disc). Petr Hliněný, FI MU Brno 9 FI: MA010: Průnikové grafy
22 Diskové grafy (DISC) jsou průnikovými grafy kruhů v rovině. Lze uvažovat také jen jednotkové kruhy (unit-disc). Kvádrové grafy (BOX) jsou průnikovými grafy kvádrů ve dvou, třech či více dimenzích, se stěnami rovnoběžnými se souřadnicemi. Petr Hliněný, FI MU Brno 9 FI: MA010: Průnikové grafy
23 Dotykové... grafy jsou variantou průnikových grafů geometrických objektů, ve které se požaduje, aby vnitřky objektů byly po dvou disjunktní. Petr Hliněný, FI MU Brno 10 FI: MA010: Průnikové grafy
24 Dotykové... grafy jsou variantou průnikových grafů geometrických objektů, ve které se požaduje, aby vnitřky objektů byly po dvou disjunktní. Věta 9.6. (Koebe) Graf je rovinný právě když je dotykovým grafem kruhů v rovině. Petr Hliněný, FI MU Brno 10 FI: MA010: Průnikové grafy
25 Dotykové... grafy jsou variantou průnikových grafů geometrických objektů, ve které se požaduje, aby vnitřky objektů byly po dvou disjunktní. Věta 9.6. (Koebe) Graf je rovinný právě když je dotykovým grafem kruhů v rovině. Jiné, tzv. viditelnostní grafy nejsou definovány průniky objektů, ale jejich vzájemnou viditelností v geometrickém světě. Použití nacházejí například při plánování cesty autonomního robota. Petr Hliněný, FI MU Brno 10 FI: MA010: Průnikové grafy
26 9.4 Průnikové grafy křivek a úseček Definice: Nit ovými grafy nazveme průnikové grafy (obyčejných) křivek v rovině. Tvrzení 9.7. Každý rovinný graf je nit ový. Petr Hliněný, FI MU Brno 11 FI: MA010: Průnikové grafy
27 9.4 Průnikové grafy křivek a úseček Definice: Nit ovými grafy nazveme průnikové grafy (obyčejných) křivek v rovině. Tvrzení 9.7. Každý rovinný graf je nit ový. Tvrzení 9.8. Existují grafy, které jsou nit ové, ale každá jejich taková reprezentace obsahuje dvojici křivek majících exponenciálně mnoho vzájemných průsečíků. Petr Hliněný, FI MU Brno 11 FI: MA010: Průnikové grafy
28 9.4 Průnikové grafy křivek a úseček Definice: Nit ovými grafy nazveme průnikové grafy (obyčejných) křivek v rovině. Tvrzení 9.7. Každý rovinný graf je nit ový. Tvrzení 9.8. Existují grafy, které jsou nit ové, ale každá jejich taková reprezentace obsahuje dvojici křivek majících exponenciálně mnoho vzájemných průsečíků. Co se týče algoritmické složitosti, je poznání nit ových grafů velmi algoritmicky náročné. Vhledem k Tvrzení 9.8 je mnohem obtížnější dokázat příslušnost problému do třídy N P, než jeho těžkost, [Kratochvíl / Pelsmajer, Schaeffer, Štefankovič]. Věta 9.9. Problém rozpoznat, zda daný graf je nit ový, je N P-úplný. Petr Hliněný, FI MU Brno 11 FI: MA010: Průnikové grafy
29 9.4 Průnikové grafy křivek a úseček Definice: Nit ovými grafy nazveme průnikové grafy (obyčejných) křivek v rovině. Tvrzení 9.7. Každý rovinný graf je nit ový. Tvrzení 9.8. Existují grafy, které jsou nit ové, ale každá jejich taková reprezentace obsahuje dvojici křivek majících exponenciálně mnoho vzájemných průsečíků. Co se týče algoritmické složitosti, je poznání nit ových grafů velmi algoritmicky náročné. Vhledem k Tvrzení 9.8 je mnohem obtížnější dokázat příslušnost problému do třídy N P, než jeho těžkost, [Kratochvíl / Pelsmajer, Schaeffer, Štefankovič]. Věta 9.9. Problém rozpoznat, zda daný graf je nit ový, je N P-úplný. Velmi podobně je definována třída úsečkových grafů, což jsou průnikové grafy úseček v rovině. Opět je dokázáno, že jejich rozpoznávání je N P-těžké [Kratochvíl], ale příslušnost problému do třídy N P zůstává otevřená kvůli následujícímu. Tvrzení Existují grafy, které jsou úsečkové, ale každá jejich taková reprezentace obsahuje úsečku, k zápisu jejíž souřadnic je třeba exponenciálně mnoho bitů. Petr Hliněný, FI MU Brno 11 FI: MA010: Průnikové grafy
30 9.4 Průnikové grafy křivek a úseček Definice: Nit ovými grafy nazveme průnikové grafy (obyčejných) křivek v rovině. Tvrzení 9.7. Každý rovinný graf je nit ový. Tvrzení 9.8. Existují grafy, které jsou nit ové, ale každá jejich taková reprezentace obsahuje dvojici křivek majících exponenciálně mnoho vzájemných průsečíků. Co se týče algoritmické složitosti, je poznání nit ových grafů velmi algoritmicky náročné. Vhledem k Tvrzení 9.8 je mnohem obtížnější dokázat příslušnost problému do třídy N P, než jeho těžkost, [Kratochvíl / Pelsmajer, Schaeffer, Štefankovič]. Věta 9.9. Problém rozpoznat, zda daný graf je nit ový, je N P-úplný. Velmi podobně je definována třída úsečkových grafů, což jsou průnikové grafy úseček v rovině. Opět je dokázáno, že jejich rozpoznávání je N P-těžké [Kratochvíl], ale příslušnost problému do třídy N P zůstává otevřená kvůli následujícímu. Tvrzení Existují grafy, které jsou úsečkové, ale každá jejich taková reprezentace obsahuje úsečku, k zápisu jejíž souřadnic je třeba exponenciálně mnoho bitů. Hypotéza Je každý rovinný graf úsečkovým grafem? Petr Hliněný, FI MU Brno 11 FI: MA010: Průnikové grafy
31 Zápalkové grafy Výše jsem zmínili obecný pojem geometrických dotykových grafů, nyní se z tohoto úhlu pohledu podíváme na dotykové grafy úseček v rovině: Tímto pojmem nazýváme ty průnikové grafy úseček v rovině, u nichž je dodatečnou podmínkou, že žádné dvě úsečky se neprotínají ve svých vnitřních bodech. (Jakoby zápalkové reprezentace v rovině.) Petr Hliněný, FI MU Brno 12 FI: MA010: Průnikové grafy
32 Zápalkové grafy Výše jsem zmínili obecný pojem geometrických dotykových grafů, nyní se z tohoto úhlu pohledu podíváme na dotykové grafy úseček v rovině: Tímto pojmem nazýváme ty průnikové grafy úseček v rovině, u nichž je dodatečnou podmínkou, že žádné dvě úsečky se neprotínají ve svých vnitřních bodech. (Jakoby zápalkové reprezentace v rovině.) Věta Graf je dotykovým grafem disjunktních horizontálních a disjunktních vertikálních úseček, právě když se jedná o rovinný bipartitní graf. Petr Hliněný, FI MU Brno 12 FI: MA010: Průnikové grafy
33 Zápalkové grafy Výše jsem zmínili obecný pojem geometrických dotykových grafů, nyní se z tohoto úhlu pohledu podíváme na dotykové grafy úseček v rovině: Tímto pojmem nazýváme ty průnikové grafy úseček v rovině, u nichž je dodatečnou podmínkou, že žádné dvě úsečky se neprotínají ve svých vnitřních bodech. (Jakoby zápalkové reprezentace v rovině.) Věta Graf je dotykovým grafem disjunktních horizontálních a disjunktních vertikálních úseček, právě když se jedná o rovinný bipartitní graf. Opět se jedná o výpočetně obtížnou třídu grafů, nebot již: Věta Problém rozpoznat dotykový graf úseček je N P-úplný. Petr Hliněný, FI MU Brno 12 FI: MA010: Průnikové grafy
34 Zápalkové grafy Výše jsem zmínili obecný pojem geometrických dotykových grafů, nyní se z tohoto úhlu pohledu podíváme na dotykové grafy úseček v rovině: Tímto pojmem nazýváme ty průnikové grafy úseček v rovině, u nichž je dodatečnou podmínkou, že žádné dvě úsečky se neprotínají ve svých vnitřních bodech. (Jakoby zápalkové reprezentace v rovině.) Věta Graf je dotykovým grafem disjunktních horizontálních a disjunktních vertikálních úseček, právě když se jedná o rovinný bipartitní graf. Opět se jedná o výpočetně obtížnou třídu grafů, nebot již: Věta Problém rozpoznat dotykový graf úseček je N P-úplný. Petr Hliněný, FI MU Brno 12 FI: MA010: Průnikové grafy
4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
8 Rovinnost a kreslení grafů
8 Rovinnost a kreslení grafů V přímé návaznosti na předchozí lekci se zaměříme na druhý důležitý aspekt slavného problému čtyř barev, který byl původně formulován pro barevné rozlišení států na politické
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování
problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso
10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
Geometrické vyhledávání
mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda Zdeněk Dvořák 12. prosince 2017 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
Teorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 zadáno 1.-4. 3. 2016, odevzdat do 8.-11. 3. 2016 1. Zjistěte, které z následujících funkcí definovaných pro n N jsou v relaci Θ(), a vzniklé třídy co nejlépe
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 17.1. 2007, var A... 1). Vašim úkolem je sestrojit všechny neisomorfní jednoduché souvislé grafy na 6 vrcholech mající posloupnost stupňů 1,2,2,2,2,3. Zároveň zdůvodněte, proč
TGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika 1. Definice oblasti souvisí: a) s definováním množiny všech bodů, které náleží do hranice a zároveň do jejího vnitřku b) s popisem její hranice c) s definováním množiny všech bodů, které
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
Jan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.
Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma
0. Pak existuje n tak, že Bµ APn
Euklidovský prostor Základní pojmy: bod, přímka rovina Základní vztahy: bod leží na přímce přímka prochází bodem bod leží v rovině rovina prochází bodem bod inciduje s přímkou přímka inciduje s bodem bod
Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Vrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]
![Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]](/thumbs/25/4817299.jpg "Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]")
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
5 Minimální kostry, Hladový algoritmus
5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho
Funkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
![AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]](/thumbs/93/113072660.jpg "AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]")
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.
7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik
TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající
8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016
Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,
Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
Matematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
Obrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky 2010 23.2. 27.2.2010 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů 23.2. 27.2.2010 1 / 66 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 11.1. 2007, var A... 1). Dány jsou následující tři grafy na 8 vrcholech každý. 1 A B C Vašim úkolem je mezi nimi najít všechny isomorfní dvojice. Pro každou isomorfní dvojici
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních
Elementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný
Kreslení grafů na plochy Tomáš Novotný Úvod Abstrakt. V první části příspěvku si vysvětlíme základní pojmy týkající se ploch. Dále si ukážeme a procvičíme možné způsoby jejich zobrazování do roviny, abychom
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
Syntetická geometrie I
Kruhová inverze Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Sférická inverze Autoportrét v kulovém zrcadle M.C.Escher, 1935 Pozor! jen pro ilustraci, inverze a zrcadlení se značně liší Kruhová
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde
Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny
1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
Stromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Základní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
Základy teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 11. 2006 Obsah přednášky 1 Literatura
Syntetická geometrie I
Afinita Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Směr Dvě rovnoběžné přímky mají stejný (neorientovaný) směr. Definice (Samodružný směr) Když se při zobrazení f zobrazí přímka p na přímku
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
Základní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!
MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 30 bodů Pro přijetí uchazečů je rozhodné umístění v sestupném pořadí uchazečů podle dosaženého bodového hodnocení. 1Základní informace k zadání zkoušky
Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
Mongeovo zobrazení. Osová afinita
Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A
PLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY
Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu
Syntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?
V ypoˇ cetn ı sloˇ zitost v teorii graf u Martin Doucha
Výpočetní složitost v teorii grafů Martin Doucha Parametrizovaná složitost Nástroj, jak zkrotit výpočetní složitost NP-těžkých problémů Klasický přístup: exponenciála v n Parametrizovaná složitost Nástroj,