LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle
|
|
- Kamil Marek
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obyčejné diferenciální rovnice Jiří Fišer LS Úvodní moivační příklad Po prosudování éo kapioly zjisíe, k čemu mohou bý diferenciální rovnice užiečné. Jak se pomocí nich dá modelova prakický problém, jak může vypada jejich řešení a co nám přináší jeho další zkoumání. Prakická moivace je vždy a nejlepší. Spojením s fyzikou volného pádu si uvědomíme, že diferenciální rovnice skuečně nejsou jen dalším maemaickým výmyslem určeným na erorizování sudenů. Než si přesně nadefinujeme, co o vlasně obyčejné diferenciální rovnice jsou, uvedeme si jeden ilusrační příklad. Příklad 1.1 (Vrh ělesem svisle dolů). Těleso o hmonosi m vrhneme svisle dolů s počáeční rychlosí v 0 a budeme zkouma, jak se mění jeho rychlos v = v() v následujícím čase 0, jesliže počíáme s odporem vzduchu s koeficienem k(> 0). Řešení: Pokud si nejse moc jisi svými fyzikálními znalosmi (a chcee s ím něco děla), ak doporučuji dvě videa z cyklu České elevize Rande s fyzikou. První je věnováno Newonovým zákonům 1 a druhé zrychlení a volnému pádu 2. Na padající ěleso působí zemská íže (urychluje pád) a současně odpor vzduchu (zpomaluje pád). Zaímco zemskou íži považujeme za konsanní (mg), ak odpor vzduchu závisí přímo úměrně na akuální rychlosi (kv). Jiné síly působící na ěleso neuvažujeme. 1 hp:// newonovy-zakony/video/ 2 hp:// zrychleni-a-volny-pad/video/ 1
2 Počáeční rychlos v čase = 0 Síly v průběhu pádu Odpor prosředí: kv v(0) = v 0 Tíhová síla: mg Obrázek 1: Grafické znázornění siuace padajícího ělesa. Pokud na ěleso působí nějaká nenulová síla, uděluje mu zrychlení. Závislos éo síly F, hmonosi ělesa m a jeho zrychlení a popisuje druhý Newonův zákon: m a = F. Hmonos ělesa m je dána, zrychlení a = dv vyjádříme jako derivaci akuální d rychlosi a F = mg kv je souče uvažovaných sil (síla působící směrem k Zemi je brána kladně, v opačném směru záporně). Po dosazení do rovnice druhého Newonova zákona: m dv = mg kv. (1) d V éo rovnici se vyskyuje derivace neznámé (hledané) funkce v = v() a je o příklad zv. lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Rovnice ohoo ypu se v průběhu semesru naučíme řeši (=nají funkce, keré dané rovnici vyhovují). V uo chvíli si ukážeme, k čemu lze při řešení akové rovnice dojí. Uvedeme si jednoparamerickou řídu funkcí, keré všechny (se svými derivacemi) vyhovují rovnici (1) pro 0: v = v() = c e k m + mg, c R, [0, ). (2) k Zkusme uo skuečnos ověři. Abychom mohli dosadi řešení (2) do rovnice (1), pořebujeme vypočís derivaci rychlosi dv d = c e k m + mg = c k k m k e m. Dosadíme do levé srany (1) a upravíme: ( c km ) km e L = m = c k e k m. 2
3 Podobně pro pravou sranu (1) po dosazení dosaneme: P = mg k c e k m + mg = c k e k m. k Tedy L = P pro libovolné c R a [0, ). Jelikož c R, exisuje nekonečně mnoho řešení (funkcí), keré vyhovují rovnici (1) na inervalu [0, ). Čím se liší? Co předsavují? Jak mezi nimi rozlišova? Klíčem bude zaím nezapočíaná počáeční rychlos v 0. Mezi všemi možnými řešeními budeme vybíra jen a, kerá splňují počáeční podmínku v(0) = v 0. Uvidíme, že bude právě jedno: Dosadíme zpě do (2): v = v() = v(0) = v 0, c e k m 0 + mg = v 0, k c + mg = v 0, k c = v 0 mg k. v 0 mg e k m + mg, [0, ). (3) k k Řešení (2) nazýváme obecné (zahrnuje všechna řešení), zaímco řešení (3) nazýváme parikulární. Na závěr prozkoumáme dva liminí savy parikulárního řešení, pro k 0 + (zanedbání odporu vzduchu) lim v 0 mg 0<k 0 + k e k m + mg k = v 0 + g. a pro (liminí chování rychlosi v čase) v := lim v 0 mg e k m + mg = mg k k k. Zde je v liminí (konsanní) rychlos, při keré se odpor vzduchu vyrovná s íhovým zrychlením. Na obrázku 2 je znázorněn vývoj rychlosi padajícího ělesa při počáeční rychlosi v 0 < v. 3
4 v v v 0 0 Obrázek 2: Graf rychlosi padajícího ělesa v = v(), kde v(0) = v 0 značí počáeční rychlos a v je rychlos liminí. 2 Diferenciální rovnice základní pojmy Po prosudování éo kapioly již budee zná přesnou definici obyčejné diferenciální rovnice n-ého řádu (dokonce budee vědě i co je o en řád) a jejího řešení. Budee umě ověři, podle definice, zda nějaká daná funkce je řešením dané diferenciální rovnice. Po vágním moivačním úvodu je řeba zamíři do bezpečí přesných definic. Jak jsme si ilusrovali na předchozí ukázce, při prakických úlohách časo pořebujeme naléz neznámou funkci, jejíž vlasnosi jsou popsány pomocí jejích derivací, zasazených do nějaké rovnice. Takovou rovnici pak nazýváme diferenciální rovnice. Poznámka 2.1. V maemaice i v aplikacích se pracuje s obyčejnými diferenciálními rovnicemi, o jsou y, kde neznámá funkce je funkcí jedné nezávisle proměnné a derivace neznámé funkce je obyčejnou derivací, a aké s parciálními diferenciálními rovnicemi, kde neznámá funkce je funkcí více proměnných a její derivace jsou edy derivacemi parciálními. V omo exu se budeme zabýva výhradně obyčejnými diferenciálními rovnicemi, a ak si občas budeme moci dovoli vynecha slovo obyčejný a použí pouze ermín diferenciální rovnice. 4
5 kde Rovnici F(, y, y,... y (n) ) = 0, (4) F je daná funkce n + 2 proměnných, definovaná na nějaké množině kde I R je inerval 3 a Ω R n+1, I je nezávisle proměnná, y = y() je neznámá funkce, a G = I Ω,, y,... y (n) jsou derivace éo neznámé funkce y, nazýváme obyčejná diferenciální rovnice n-ého řádu. Řádem diferenciální rovnice (4) rozumíme řád nejvyšší derivace, kerá se v (4) vyskyuje. Speciálně, pro n = 1, edy máme obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu F(, y, y ) = 0. Nyní si ukážeme ři příklady jednoduchých diferenciálních rovnic, u kerých (jen se znalosí základů diferenciálního a inegrálního poču) budeme schopni urči alespoň někerá řešení. Příklad 2.2. Hledáme funkci y = y(), pro niž plaí y = 2 + cos. Ukažme, že jde opravdu o diferenciální rovnici. Rovnici y = 2 + cos lze přepsa na y 2 cos = 0, což můžeme psá jako F(, y, y ) = 0, kde funkci F definujeme předpisem F(, x 1, x 2 ) = x cos. Poom skuečně F(, y, y ) = y 2 cos, a ak dosáváme edy F(, y, y ) = 0, I = (, ) = R, Ω = R R, G = I Ω = R R 2. Podle definice primiivní funkce je hledanou funkcí y() každá funkce primiivní k zadané funkci 2+cos, edy y = 2 +sin +C, kde C je (libovolná) inegrační konsana a R. 3 Inerval I může bý různého varu, například (a, b), [a, b], (a, ) nebo (, ). 5
6 Příklad 2.3. Najdeme funkci y = y(), pro niž plaí y = y. Nejprve opě určíme F(, y, y, y ) = y + y, G = R R 3. Dále z vlasnosí derivací funkcí cos a sin vidíme, že uvedená rovnice je splněna například pro funkci y 1 = cos, aké pro funkci y 2 = sin, ale rovněž pro y = C 1 cos + C 2 sin, kde C 1, C 2 R. Ve všech ěcho případech nejsou na žádná definiční omezení (ani v zadání, ani u řešení), a ak můžeme opě vzí R. Příklad 2.4. Najdeme funkci y = y(), pro niž plaí y = 1, přičemž y(2) = 5. Určíme F(, y, y ) = y 1, G = R R 2. Nejprve si všimněme jen rovnice y = 1; vyhovuje jí každá funkce y = + C, kde R a C je libovolná konsana. Použijeme-li nyní uvedenou podmínku, dosaneme 5 = 2+C, a z oho C = 3. Takže funkce y = +3, R, vyhovuje jak uvedené rovnici, ak zadané podmínce. V našich příkladech jde posupně o obyčejné diferenciální rovnice prvního, druhého a opě prvního řádu. Je čas se pá po přesnější definici pojmu řešení. Jelikož v diferenciální rovnici je neznámou funkce, množinou řešení akové rovnice je množina funkcí. Tyo funkce musí splňova dva požadavky: musí se dá dosadi do rovnice; edy musí exisova všechny jejich pořebné derivace a mohou nabýva jen akové hodnoy, aby byly v definičním oboru funkce F, po jejich dosazení musí bý F idenicky rovna nule. Tyo požadavky hledané funkce nemusí splňova všude ( I), ale sačí na nějakém inervalu. Proo obvykle hovoříme o řešení diferenciální rovnice na inervalu. 6
7 Definice 2.5 (Řešení diferenciální rovnice). Funkce ϕ, kerá je n-krá spojiě diferencovaelná na inervalu J, je řešením diferenciální rovnice (4) na J, jesliže pro každé J plaí (, ϕ(), ϕ (),..., ϕ (n) () ) G a F (, ϕ(), ϕ (),..., ϕ (n) () ) = 0. Z éo definice vyplývá, že kromě řešení y = ϕ() je aké řeba urči inerval J I, na kerém je ϕ řešením. J nebudeme zjiš ova v om případě, kdy bude odpovída přirozenému definičnímu oboru funkce ϕ. Poznámka 2.6 ([2]). Řešení diferenciální rovnice prvního řádu F(, y, y ) = 0 se aké nazývá inegrál diferenciální rovnice a jeho graf v rovině (, y) zase inegrální křivka. Ne vždy se podaří naléz řešení v expliciním varu, a ak inegrální křivky mohou bý dány i implicině: explicině: y = ϕ(), J, implicině: H(, y) = 0, (, y) D R 2. Řeši diferenciální rovnici znamená urči všechna její řešení. Ale ne každá aková rovnice musí bý řešielná. Množinu všech řešení naší diferenciální rovnice (4) nazýváme obecné řešení. 4 Obecné řešení (4) lze v někerých případech (například u lineárních diferenciálních rovnic) vyjádři ve varu y = ϕ(, C 1, C 2,..., C n ), kde C 1, C 2,..., C n R. Když z obecného řešení vybereme jedno konkréní (například volbou konsan C 1, C 2,..., C n ), hovoříme o parikulárním řešení 5. 4 Někeří auoři do obecného řešení nezahrnují zv. singulární řešení. To je definováno ak, že každým bodem inegrální křivky odpovídající omuo řešení prochází alespoň jedna další inegrální křivka příslušné diferenciální rovnice. Příkladem singulárního řešení je funkce y 0 v příkladu 3.5 na sraně 20 ve skripech [1]. 5 Singulární řešení lze rovněž chápa jako parikulární řešení. 7
8 Příklad 2.7. Zjisěe, zda funkce je řešením diferenciální rovnice a na jaké množině (inervalu). y = 1 + e y y = 0 (5) Řešení. Jde o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, kde definiční obor funkce F (na levé sraně rovnice (5)) je G = I Ω = R R 3, nebo F(, y, y, y ) je definována pro libovolné hodnoy svých argumenů. Nabízená funkce je aké definována pro všechna R. Nyní vypočeme první a druhou derivaci nabízené funkce, abychom mohli výsledek dosadi do rovnice (5): y () = (1+e ) = 0+e +1 = e +1, y () = (e +1 ) = e 1. Nyní dosadíme do (5): L = y y = (e 1) (e + 1 ) = 2 0 = P. Daná funkce y = 1 + e edy není řešením rovnice (5), nebo jsme nedosali idenickou rovnos levé a pravé srany rovnice (5) na žádném inervalu pro. Když se ovšem zamyslíme, uvědomíme si, že cíl jsme minuli jen o kousek. Sačí upravi znaménko u a jedničky se nám ve výsledku odečou: Tedy y = 1 + e 1 2 2, y () = e 1, y () = e 1. L = y y = (e 1) (e 1 ) = 0 = P, pro všechna R. Funkce y = 1 + e je edy řešením rovnice (5) na R (J = R). 8
9 Další příklady: Příklad 2.8. Zjisěe, zda funkce y() = 2 5 sin 1 5 cos 1 2 e je řešením diferenciální rovnice y + 2y cos = 0 a na jaké množině (inervalu). [Ano, je řešením na celé reálné ose.] Příklad 2.9. Zjisěe, zda funkce y() = je řešením diferenciální rovnice y = 0 a na jaké množině (inervalu). [Ano, je řešením pro [0, + ). Tedy J = I = [0, + ), Ω = R 2.] Příklad Zjisěe, zda funkce je řešením diferenciální rovnice y() = 1 2 ln 1 2 2y 1 = 0 a na jaké množině (inervalu). [Ze zadání: I = (, 0) nebo I = (0, ) a Ω = R 3. Nabízená funkce je řešením na inervalu J = (0, ).] 9
10 3 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu Po éo přednášce již vcelku bezpečně poznáe obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu a budee vědě, jak sesroji její směrové pole. Čekají Vás obrázky! Budou z Vás malíři diferenciálních rovnic. Na předchozí přednášce jsme si uvedli, že obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu má obecný impliciní var F(, y, y ) = 0. Pro naše účely je o var zbyečně obecný. Úplně nám budou sači rovnice, ve kerých je první derivace neznámé funkce vyjádřena explicině (jsou zapsány v zv. normálním varu): y = f(, y). (6) Budeme předpokláda, že k rovnici (6) exisují inegrální křivky (grafy řešení) na nějaké množině G = I Ω, I, Ω R, kde je funkce f definována. 3.1 Geomerická inerpreace obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu směrové pole Proměnné a y z rovnice (6) můžeme chápa jako souřadnice bodu (, y) v rovině y. Každému bodu (, y) G je přiřazena hodnoa f(, y) a na základě vzahu (6) je ao hodnoa spojena s derivací neznámé funkce y. Vzhledem k omu, že geomericky derivace udává směr, máme na G pomocí (6) definováno zv. směrové pole {(, y, f(, y) ) ; (, y) G }, kde uspořádaným rojicím (, y, f(, y) ) říkáme lineární elemeny. Tyo se dají znázorni pomocí krákých úseček se sředem v (, y) a se směrnicí f(, y). Inegrální křivky diferenciální rovnice (6) mají v každém bodě v G ečnu orienovanou shodně se směrovým polem (směrnice ečny v bodě (, y) má hodnou f(, y)) Křivky v G, ve kerých je y = f(, y) = c, c R, se nazývají izokliny. (Lineární elemeny ležící na éo křivce mají všechny sejnou směrnici c.) 10
11 Příklad 3.1 (Směrové pole). Znázorněe směrové pole diferenciální rovnice y = y, a o pomocí izoklin. Dále načrněe graf jednoho řešení. Řešení. Pravá srana f(, y) = y je definována pro 0 a y R. Tím je dáno, že úlohu můžeme uvažova na dvou oblasech: G 1 = (,0) R, nebo G 2 = (0, ) R. Izokliny jsou y křivky v G, na kerých je derivace y, a edy i hodnoy f(, y), konsanní. Budeme je edy hleda pomocí rovnice y = c, c R, odkud (snažíme se explicině vyjádři závislos y na ) y = c, c R. Pro každé c R jde o rovnici přímky, kerá prochází počákem a má směrnici c. Když vezmeme v poaz podmínku 0 (resp. naše uvažované oblasi G 1 a G 2 ), ak dosaneme vždy dvě polopřímky, na kerých směrnice lineárních elemenů mají oožnou hodnou c. To znamená, že jsou v dané polopřímce obsaženy. Současně z oho plyne, že i grafy řešení se s ěmio polopřímkami shodují. Vše je graficky znázorněno na obrázku 3. 11
12 c = 2 c = 1 c = 1 2 c = 0 y c = 2 c = 1 c = 0 c = 1 2 Řešení y = 1, > 0. 2 c = 1 2 c = 1 2 c = 1 c = 2 c = 2 c = 1 Obrázek 3: Směrové pole z příkladu 3.1 sesrojené pomocí izoklin. y ' = y/ y Obrázek 4: Směrové pole z příkladu 3.1 sesrojené pomocí počíače (síě bodů). 12
13 Příklad 3.2 (Směrové pole). Znázorněe směrové pole diferenciální rovnice y = y pomocí izoklin. Také se pokuse načrnou graf někerého řešení. Řešení. Pravá srana f(, y) = y je definována pro R a y 0, ím je dáno G = (, ) [0, ). Izokliny: y = c, a edy y = c. Zde můžeme nahlédnou, že výraz dává smysl jen pro c, nebo levá srana ( y) je nuně nezáporná, což samozřejmě musíme požadova i po pravé sraně. Celkově edy dosaneme: y = ( c) 2, c R, c. Pro zvolené c edy půjde o pravou polovinu paraboly s vrcholem (počákem) v bodě (c, 0). Vše (i s náčrkem řešení) je znázorněno na obrázku 5. y c = 2 c = 1 c = 0 c = 1 c = 2 Řešení Obrázek 5: Směrové pole z příkladu 3.2 sesrojené pomocí izoklin. 13
14 y ' = - sqr(y) y Obrázek 6: Směrové pole z příkladu 3.1 sesrojené pomocí počíače (síě bodů). Další příklady: Příklad 3.3. Znázorněe směrová pole následujících diferenciálních rovnic. Pokuse se načrnou i graf nějakého řešení. a) y = y 2, b) 2y + 2y 3 = 0, c) y = y y, d) y = 2 + y 2, e) y = y. 14
15 y ' = y y Obrázek 7: Směrové pole z příkladu 3.3a) sesrojené pomocí počíače (síě bodů). 3.2 Exisence a jednoznačnos řešení Cauchyovy úlohy Časo nás ve výsledku nebudou zajíma všechna řešení dané úlohy, ale jen aková, kerá mají požadovanou vlasnos, splňují určiou podmínku. Přiom je důležié, zda akové řešení vůbec exisuje (exisence řešení), a když ano, zda jich nemůže bý víc ((ne)jednoznačnos řešení). Takové podmínky mohou bý formulovány různě, my se však zaměříme jen na jeden yp. Cauchyova úloha Budeme se věnova zv. počáeční podmínce y( 0 ) = y 0, (7) kerá společně s diferenciální rovnicí (6) voří zv. Cauchyovu úlohu, kerá je základní úlohou v eorii diferenciálních rovnic. Definice 3.4 (Cauchyova úloha). Mějme diferenciální rovnici (6) a počáeční podmínku (7). 15
16 Jejich kombinaci, úlohu y = f(, y), y( 0 ) = y 0, ( 0, y 0 ) G, (8) nazýváme Cauchyova úloha. Za její řešení bereme akové řešení y = y() diferenciální rovnice y = f(, y), keré je definováno na nějakém inervalu J (kde 0 J) a splňuje počáeční podmínku y( 0 ) = y 0. Příklad Cauchyovy úlohy je v příkladu 2.3 na sraně 12 skrip [1]. Inegrální křivky z ohoo příkladu předsavují sousavu navzájem rovnoběžných přímek y = + C, C R. Parikulární řešení dané Cauchyovy úlohy (s počáeční podmínkou y(2) = 5) je pak reprezenováno ou přímkou sousavy, kerá prochází bodem (2, 5). Vše je znázorněno na obrázku 8. y Obrázek 8: Grafické znázornění řešení (přímky y = + C, C R) rovnice y = 1. Zvýrazněno je řešení y = +3 splňující počáeční podmínku y(2) = 5. Exisence a jednoznačnos řešení Cauchyovy úlohy Posačující podmínky pro exisenci a jednoznačnos řešení Cauchyovy úlohy můžeme schemaicky znázorni následovně: f(, y) spojiá na D = Exisence 16
17 f(, y) spojiá na D + = Exisence a jednoznačnos f omezená na D y Obdélník D, kerý se ve schémau vyskyuje je definován ve skripech [1] na sraně 19, kde je o exisenci a jednoznačnosi řešení Cauchyovy úlohy pojednáno podrobněji. Zde si vysačíme s následující věou, ve keré D nahradíme celou rovinou R R. Věa 3.5. Nech pravá srana rovnice (6) splňuje následující dvě podmínky: je spojiá funkce na R R vzhledem k oběma proměnným a y; má na R R spojiou a ohraničenou parciální derivaci f y. Poom Cauchyova úloha (8) má právě jedno řešení y = y() definované na celém R. Příklad 3.6 ([2]). Ukážeme, že řešení rovnice y = + cos y s počáeční podmínkou y( 0 ) = y 0 je definované na celém inervalu (, ). Řešení. Pravá srana je spojiá nar R v obou proměnných a y a parciální derivace pravé srany vzhledem k y exisuje a je ohraničená v celé rovině (, y), proože f = 0 sin y = sin y 1. y Tím jsou splněny předpoklady věy 3.5, a ak podle ní má úloha y = + cos y, y( 0 ) = y 0, právě jedno řešení y = y() definované pro R = (, ). Ukázku nejednoznačného řešení najdee v příkladu 3.5 skrip [1] na sraně
18 4 Vybrané elemenární meody řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu Po prosudování éo kapioly již budee umě rozezna a vyřeši separovaelnou obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu. Konečně se vám dosane do ruky násroj (posup) k akivnímu vyřešení nějaké diferenciální rovnice. Chceme-li úspěšně řeši diferenciální rovnice, je řeba: pozna, jakého ypu je zadaná rovnice, zná algorimus řešení ohoo ypu rovnic, správně zvládnou pořebné výpočení operace. Pojd me si edy předsavi první yp diferenciálních rovnic, kerý se naučíme řeši. 4.1 Separace proměnných Tuo meodu lze uží u zv. separovaelných rovnic. Ty lze převés na zv. separovanou rovnici ϕ(y) dy = ψ() d, (9) ve kerém jsou proměnné a y separovány (odděleny), každá na své sraně rovnice. Uvažujme dále rovnici Φ(y) = Ψ() + C, (10) kde Φ(y) je funkce primiivní k ϕ(y), Ψ() je primiivní k ψ() a C je (inegrační) konsana. Jinými slovy, levou sranu rovnice (9) jsme inegrovali podle y a pravou sranu podle, přičemž jsme dvě inegrační konsany nahradili jedinou, umísěnou na pravé sraně. Dá se ukáza (naznačeno je o ve skripech [1] na sraně 22), že funkce y = u() je řešením rovnice (9) právě ehdy, když vyhovuje rovnici (10); ouo rovnicí lze edy vyjádři obecné řešení dané diferenciální rovnice (9). 18
19 Vra me se nyní k naší rovnici y = f(, y). Kdy ona bude separovaelná? Zřejmě ehdy, když její pravá srana půjde vyjádři jako součin, f(, y) = g()h(y): y = g()h(y). (11) Za předpokladu h(y) 0 a při vědomí y = dy můžeme (11) převés na d separovanou rovnici dy = g() d, (12) h(y) kerá se již řeší jako (9). Zbývá vyšeři podmínku h(y) 0. Pokud má rovnice h(y) = 0 (13) nějaké řešení y = y 0 ( R), poom je konsanní funkce y y 0 řešením (11), nebo po dosazení do (11) posupně dosáváme: (y 0 ) = h(y 0 )g(), 0 = 0g(), 0 = 0 (nebo derivace konsany na levé sraně rovnice je nula). Za obecné řešení (11) budeme brá obecné řešení (12) doplněné o kořeny (13). Vše si prakicky ukážeme na následujících příkladech. Příklad 4.1. Najdeme obecné řešení rovnice y = (1 y). 1 + Řešení. Ze zadání vyplývá, že řešení budeme hleda pro 1, nebo pro uo hodnou není pravá srana definována. Tao rovnice sice zaím není separovaná, ale je separovaelná, j. lze v ní separova proměnné. Vyjádříme-li y jako dy, lze rovnici upravi na var, kde d proměnné jsou již separované: dy 1 y = d 1 +, (14) přičemž použiá úprava vyžaduje předpoklad y 1. Dále Po inegraci máme dy 1 y = d 1 +. ln 1 y = ln C, kde C je libovolná konsana. V éo chvíli je daná diferenciální rovnice již v podsaě vyřešena, všechno další jsou úpravy a kompleace řešení. 19
20 Předně, jsou-li v ako získané rovnici logarimy, bývá vhodné i inegrační konsanu vyjádři jako logarimus: C = ln C 1, kde C 1 je libovolná kladná konsana (zůsává zachováno, že C je libovolná konsana). Rovnici odlogarimujeme a máme Položíme-li C 2 = 1 C 1 a z oho kde C 3 0, edy ln 1 + ln 1 y = + ln C y = C 1 e. (C 2 > 0 je pak aké libovolná kladná konsana), pak 1 y 1 + = ±C 2 e 1 y 1 + = C 3 e, 1 y = C 3 e (1 + ), y = 1 C 3 e (1 + ), což je obecné řešení (14) v expliciním varu. Nyní se vráíme k podmínce (y 1), kerou si vyžádala meoda řešení, a podíváme se, zda jsme ím nezanedbali nějaké řešení. Tedy ověříme, zda y 1, je řešením, ím, že uo funkci dosadíme do levé a pravé srany dané diferenciální rovnice: L = y = 0, P = (1 y) 1 + = 0. Jelikož L = P pro 1, funkce y 1, 1, je skuečně řešením. Too řešení však nemusíme uvádě zvláš, proože je dosaneme, když ve výše uvedeném obecném řešení připusíme nulovou hodnou C. Konečný var obecného řešení je edy [ ] y = 1 + C e (1 + ), C R, 1. Siuace je znázorněna na obrázku 9. Všimněe si zajímavého chování řešení v blízkosi bodu ( 1, 1). 20
21 Obrázek 9: Grafické znázornění několika řešení úlohy 4.1. Příklad 4.2. Najdeme (obecné) řešení diferenciální rovnice y = 1 2 y 2. Řešení. Ze zadání éo separovaelné diferenciální rovnice plyne, že neznámá funkce y se nikdy nesmí rovna nule, y 0, nebo se vyskyuje ve jmenovaeli. Tao skuečnos nám umožňuje vynásobi celou rovnici y 2 a po přepsání derivace na podíl diferenciálů dosáváme (zde bez dodaečných podmínek): y 2 y = 1 2. Pokračujeme v úpravách a výpočech: y 2 dy = (1 2) d, y 2 dy = (1 2) d, 1 3 y3 = 2 + C 1, C 1 R, y 3 = C 2, C 2 = 3C 1 C 2 R, y = C 2, C 2 R. 21
22 Obecné řešení dané rovnice je y = C, C R, y 0. Na obrázku 10 je poněkud nedokonale znázorněno několik kladných řešení Obrázek 10: Grafické znázornění několika řešení úlohy 4.2. Další příklady: Příklad 4.3. Pomocí separace proměnných vyřeše následující diferenciální rovnice: 1. y = y, [y = Cx, C R, x 0], x 2. y = x y, [ y = ± x2 + C, C R, y 0, x C ], 3. y = y x, [ y = C x, C R, x 0], 22
23 4. y = x y, [y2 + x 2 = C, C 0, y 0], 5. y = y 1 x 2 y 2, [ y 2 + y + ln(y 1) = 1 + C, C R, x 0, y 0, 2 x y 1 ]. 5 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu (LDR 1.ř ) Po prosudování éo kapioly budee schopni rozpozna a vyřeši LDR 1.ř meodou variace konsany. Výhodou LDR 1.ř je jejich jednoduchý var a přímočaré řešení. Lineární diferenciální rovnicí prvního řádu nazýváme rovnici varu y + p()y = f(). (15) Funkce f() se nazývá pravá srana. Pokud pravá srana není idenicky rovna nule, máme nehomogenní LDR 1.ř (NHLDR 1.ř ), v opačném případě máme rovnici homogenní (HLDR 1.ř ): y + p()y = 0 (16) Budeme předpokláda, že p a f jsou spojié funkce na nějakém inervalu I. Jak je o poom s exisencí řešení počáeční úlohy? Věa 5.1 (O globálnosi řešení LDR 1.ř, [2]). Jesliže jsou funkce p a f spojié na inervalu I, poom úloha y + p()y = f(), y( 0 ) = y 0, kde 0 I a y 0 je libovolné reálné číslo, má jediné řešení y = y() na celém inervalu I. LDR 1.ř jsou velmi důležié. Jednak na ně vede řada významných prakických problémů (chemické reakce, množení bakerií, radioakivní rozpad, ochlazování ěles,... ) a jednak lze někeré jiné ypy rovnic řeši ak, že je ransformujeme na LDR 1.ř. Exisuje několik meod, jak řeši LDR 1.ř ; lze je například řeši i vzorcem. 6 Nejznámější je meoda variace konsany. 6 Prakicky se dává přednos použií někeré z akivních meod, sloužících jinak i k odvození onoho vzorce. 23
24 Meoda variace konsany Tao meoda spočívá ve řech krocích: 1. Nejprve řešíme (separací proměnných) příslušnou rovnici homogenní a obecné řešení zapíšeme s inegrační konsanou K. 2. Řešení nehomogenní rovnice hledáme v oméž varu, kde však K = K() je funkce (odsud i název meody: z konsany se sane funkce). Dosadíme edy funkci vypočenou v bodě 1 do dané nehomogenní rovnice a dosaneme rovnici pro neznámou funkci K. 3. Inegrací vypočeme K() (s inegrační konsanou C) a dosadíme je do funkce vypočené v kroku 1. Posup při řešení LDR 1.ř příkladu. meodou variance konsany si ukážeme na Příklad 5.2. Určíme obecné řešení diferenciální rovnice y = + y. Řešení: Danou rovnici lze přepsa do sandardního varu y y =, máme edy p() 1 a f() =. Podle návodu řešíme ve řech krocích: 1. Meodou separace proměnných vyřešíme příslušnou homogenní rovnici y y = 0. Její obecné řešení je y = C e, C R. 2. Too řešení dosadíme do dané nehomogenní rovnice s ím, že C nahradíme funkcí K = K(). Po dosazení máme K e +K e K e = ; dva členy s K se ruší (a o vždy!) a máme K = e. 3. Inegrujeme: K = e d = [meoda per pares] = C e e. Too vypočené K dosadíme do rovnice y = K e a dosáváme y = (C e e ) e. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice je edy [ ] y = C e 1, C R. 24
25 Obrázek 11: Grafické znázornění několika řešení z příkladu 5.2. Poznámka 5.3. Vidíme, že obecné řešení nehomogenní rovnice je rovno souču obecného řešení příslušné rovnice homogenní (C e ) a parikulárního řešení dané rovnice nehomogenní ( 1). Teno poznaek plaí pro lineární rovnice obecně. Příklad 5.4. Určíme obecné řešení diferenciální rovnice y +y cos = sin 2. Řešení: Pravá srana je sin 2, příslušná rovnice homogenní je y +y cos = Separací proměnných dosáváme obecné řešení příslušné rovnice homogenní y = C e sin, C R. 2. Too řešení dosadíme do dané nehomogenní rovnice s ím, že C nahradíme funkcí K = K(). Po dosazení máme K e sin +K e sin ( cos ) + K e sin cos = sin 2; dva členy s K se ruší (jako vždy) a máme K = e sin sin Inegrujeme: K = e sin sin 2 d = e sin 2 sin cos d = v = e sin cos u = 2 cos v = e sin = 2 e sin sin 2 e sin cos d = 2 e sin sin 2 e sin +C, C R. 25
26 Too vypočené K dosadíme do rovnice y = K e sin a dosáváme y = (2 e sin sin 2 e sin +C) e sin. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice je edy [ y = 2(sin 1) + C e sin, ] C R Obrázek 12: Grafické znázornění několika řešení z příkladu 5.4. Další příklady: Příklad 5.5. Najděe obecné řešení diferenciální rovnice [ y + 2y = 2 e 2. y = C e e 2, C R ] Příklad 5.6. Najděe obecné řešení diferenciální rovnice [ y + 2y = y = C e ] 4 ( ), C R 26
27 Použiá a rozšiřující lieraura [1] J. Fišer: Úvod do eorie obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic. Skripa Přf UP, Olomouc, [2] J. Diblík, M. Růžičková: Obyčajné diferenciálne rovnice. EDISvydavaelsví ŽU, Žilina, [3] J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU Brno, PřF, [4] J. Kopáček: Maemaická analýza nejen pro fyziky II. Mafyzpress, Praha, [5] P. Kreml a kol.: Maemaika II. VŠB-TU Osrava, [online], dosupné z: hp:// [ciováno ]. [6] J. Kuben: Obyčejné diferenciální rovnice. VA Brno, [7] J. Nagy: Elemenární meody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MVŠT IX, SNTL, Praha,
6. dubna *********** Přednáška ***********
KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()
VíceSeznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
VíceDiferenciální rovnice 1. řádu
Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou
VíceIMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,
IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie
VíceDerivace funkce více proměnných
Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme
Vícex udává hodnotu směrnice tečny grafu
Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je
Vícetransformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.
finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární
VíceBiologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8
Biologické modely Rober Mařík 9. lisopadu 2008 Obsah 1 Diferenciální rovnice 3 2 Auonomní diferenciální rovnice 8 3 onkréní maemaické modely 11 Dynamická rovnováha poču druhů...................... 12 Logisická
VíceÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU
ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí
VíceParciální funkce a parciální derivace
Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září 2018 1. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci
VíceMatematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:
. Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.
VíceNA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli
NA POMOC FO Pád vodivého rámečku v maneickém poli Karel auner *, Pedaoická akula ZČU v Plzni Příklad: Odélníkový rámeček z vodivého dráu má rozměry a,, hmonos m a odpor. Je zavěšen ve výšce h nad horním
VíceLaplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)
aplaceova ransformace Modelování sysémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček 5. přednáška MSP čvrek 2. března 24 verze: 24-3-2 5:4 Obsah Fourierova ransformace Komplexní exponenciála
VíceKatedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY
Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 4. přednáška: Vekorové prosory Dalibor Lukáš Kaedra aplikované maemaiky FEI VŠB Technická univerzia Osrava email: dalibor.lukas@vsb.cz hp://www.am.vsb.cz/lukas/la Tex byl vyvořen v rámci
Více1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici
34 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Předpoklady: 33 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb exisují analogické veličiny popisující pohyb po kružnici: rovnoměrný pohyb pojíko rovnoměrný pohyb
VícePasivní tvarovací obvody RC
Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :
VíceKmitání tělesa s danou budicí frekvencí
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů
VíceEKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu
EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,
VíceNumerická integrace. b a. sin 100 t dt
Numerická inegrace Mirko Navara Cenrum srojového vnímání kaedra kyberneiky FEL ČVUT Karlovo náměsí, budova G, mísnos 14a hp://cmpfelkcvucz/~navara/nm 1 lisopadu 18 Úloha: Odhadnou b a f() d na základě
VíceTlumené kmity. Obr
1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující
VíceDERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y
Předmě: Ročník: Vvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr Tomáš MAŇÁK 5 srpna Název zpracovaného celku: DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE je monoónní na celém svém deiničním oboru D
Vícef ( x) = ψϕ ( ( x )). Podle vět o derivaci složené funkce
Funkce daná paramerick polárně a implicině 4 Funkce daná paramerick polárně a implicině Výklad Definice 4 Nechť jsou dán funkce ϕ() ψ () definované na M R a nechť ϕ () je prosá na M Složená funkce ψϕ definovaná
VíceFINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY
Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-
VícePráce a výkon při rekuperaci
Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava
VíceÚloha VI.3... pracovní pohovor
Úloha VI.3... pracovní pohovor 4 body; průměr,39; řešilo 36 sudenů Jedna z pracoven lorda Veinariho má kruhový půdorys o poloměru R a je umísěna na ložiscích, díky nimž se může oáče kolem své osy. Pro
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Vícelistopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.
6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceSTATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ
STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují
VíceÚloha V.E... Vypař se!
Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee
VíceDynamika hmotného bodu. Petr Šidlof
Per Šidlof Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teorie kmiání Aranz/Bombardier (Norwegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udržení
Více7.4.1 Parametrické vyjádření přímky I
741 Paramerické vyjádření přímky I Předpoklady: 7303 Jak jsme vyjadřovali přímky v rovině? X = + D Ke všem bodů z roviny se z bod dosaneme posním C o vekor Pokd je bod na přímce, posováme se o vekor, E
Více5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY
5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
Více5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav
5. Využií elekroanalogie při analýze a modelování dynamických vlasnosí mechanických sousav Analogie mezi mechanickými, elekrickými či hydraulickými sysémy je známá a lze ji účelně využíva při analýze dynamických
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceSkupinová obnova. Postup při skupinové obnově
Skupinová obnova Při skupinové obnově se obnovují všechny prvky základního souboru nebo určiá skupina akových prvků najednou. Posup při skupinové obnově prvky, jež selžou v určiém období, je nuno obnovi
VíceOBJÍMKA VÁZANÁ PRUŽINOU NA NEHLADKÉM OTOČNÉM RAMENI
OBJÍMKA VÁZANÁ RUŽINOU NA NELAKÉM OTOČNÉM RAMENI SEIFIKAE ROBLÉMU Rameno čvercového průřezu roue konanní úhlovou rychloí ω Na něm e nasazena obímka hmonoi m s koeicienem ření mezi ní a ěnami ramene Obímka
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více9 Viskoelastické modely
9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceUniverzita Tomáše Bati ve Zlíně
Unverza Tomáše Ba ve Zlíně ABOATONÍ VIČENÍ EEKTOTEHNIKY A PŮMYSOVÉ EEKTONIKY Název úlohy: Zpracoval: Měření čnného výkonu sřídavého proudu v jednofázové sí wamerem Per uzar, Josef Skupna: IT II/ Moravčík,
VíceRadek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010
Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21 Program 1 2 3 4 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace
Více4. Střední radiační teplota; poměr osálání,
Sálavé a průmyslové vyápění (60). Sřední radiační eploa; poměr osálání, operaivní a výsledná eploa.. 08 a.. 08 Ing. Jindřich Boháč TEPLOTY Sřední radiační eploa - r Sálavé vyápění = PŘEVÁŽNĚ sálavé vyápění
Více10 Lineární elasticita
1 Lineární elasicia Polymerní láky se deformují lineárně elasicky pouze v oblasi malých deformací a velmi pomalých deformací. Hranice mezi lineárním a nelineárním průběhem deformace (mez lineariy) závisí
VíceZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK
ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK Vzhledem ke skuečnosi, že způsob modelování elasomerových ložisek přímo ovlivňuje průběh vniřních sil v oblasi uložení, rozebereme v éo kapiole jednolivé možné
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceFyzikální praktikum II - úloha č. 4
Fyzikální prakikum II - úloha č. 4 1 4. Přechodové jevy v obvodech s kapaciory Úkoly 1) 2) 3) 4) Sesave obvod pro demonsraci jevu nabíjení a vybíjení kondenzáoru. Naměře průběhy napěí a proudů na vybraných
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Více14. Soustava lineárních rovnic s parametrem
@66 4. Sousava lineárních rovnic s aramerem Hned úvodem uozorňuji, že je velký rozdíl mezi sousavou rovnic řešenou aramerizováním, roože má nekonečně mnoho řešení zadaná sousava rovnic obsahuje jen číselné
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ TLUMENÉ
MECHNICKÉ KMITÁNÍ TLUMENÉ V skučnosi s čás nrgi u všch mchanických pohybů přměňuj vlivm řní a odporu prosřdí na plo, a nní dy využia V om případě s vlikosi po sobě jdoucích ampliud zmnšují a kmiající sousava
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceVyužijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je.
Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceStatika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha.
Saika 1 Saika 1 2. přednáška ové veličin Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.cz Konrolní
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceXI-1 Nestacionární elektromagnetické pole...2 XI-1 Rovinná harmonická elektromagnetická vlna...3 XI-2 Vlastnosti rovinné elektromagnetické vlny...
XI- Nesacionární elekromagneické pole... XI- Rovinná harmonická elekromagneická vlna...3 XI- Vlasnosi rovinné elekromagneické vlny...5 XI-3 obrazení rovinné elekromagneické vlny v prosoru...7 XI-4 Fázová
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceDiferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = =
Diferenciální poče funkcí více reálných proměnných -- SLOŽENÉ FUNKCE PŘÍKLAD Určee derivaci funkce h ( = f( g( g( kde g ( = + g ( = f ( / = e Podle pravidla o derivování složených funkcí více proměnných
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceREAKČNÍ KINETIKA 1. ZÁKLADNÍ POJMY. α, ß jsou dílčí reakční řády, α je dílčí reakční řád vzhledem ke složce A, ß vzhledem ke složce
REKČNÍ KINETIK - zabývá se ryhlosí hemikýh reakí ZÁKLDNÍ POJMY Definie reakční ryhlosi v - pro reake probíhajíí za konsanního objemu v dξ di v V d ν d i [] moldm 3 s Ryhlosní rovnie obeně vyjadřuje vzah
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VícePřibližná linearizace modelu kyvadla
Přibližná linearizace model kyvadla 4..08 9:47 - verze 4.0 08 Obsah Oakování kalkl - Taylorův rozvoj fnkce... Nelineární savový model a jeho řibližná linearizace... 4 Nelineární model vs-výs a jeho řibližná
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceZákladní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1
ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Více2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ
2 P ÌmoËar pohyb V roce 1977 vyvo ila Kiy OíNeilov rekord v z vodech dragser. Dos hla ehdy rychlosi 628,85 km/h za pouh ch 3,72 s. Jin rekord ohoo ypu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. p i jìzdï na
VíceTeorie obnovy. Obnova
Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi
VíceMaxwellovy a vlnová rovnice v obecném prostředí
Maxwellovy a vlnová rovnie v obeném prosředí Ing. B. Mihal Malík, Ing. B. Jiří rimas TCHNICKÁ UNIVRZITA V LIBRCI Fakula meharoniky, informaiky a mezioborovýh sudií Teno maeriál vznikl v rámi proeku SF
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceINTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování
INTEGRÁLNÍ POČET Primiivní unkce. Neurčiý inegrál Deinice. Jesliže pro unkce F einovné n oevřeném inervlu J plí F pro kžé J, říkáme, že F je primiivní unkcí k unkci n J. Vě. Je-li spojiá n J, pk k ní eisuje
Více