Zpracování výsledků fyzikálních měření

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zpracování výsledků fyzikálních měření"

Transkript

1 Zpracováí výsledků fyzkálích měřeí J.Eglch, LS 999/000 Pomocý text pro úvodí kurs zpracováí výsledků fyzkálích měřeí pro Fyzkálí praktkum magsterského studa fyzky a MFF UK Text je urče pouze pro potřeby účastíků kursu, eprošel a věcou, a jazykovou korekturou. Jakékolv jeho další rozšřováí je po dohodě s autorem. Praha, březe 000

2 Sylabus:. Úvod - doporučeá lteratura. Fyzkálí velčy a jejch jedotky - systematka fyzkálích velč, velčy základí, odvozeé - jedotky fyzkálích velč - metrologcké rovce, velčové, jedotkové, rozměrové (rozměrová aalýza) - soustava jedotek, volba base, soustava koheretí, racoalsovaá - soustavy CGSE, CGSM, Gaussova, SI - realsace vybraých jedotek soustavy SI 3. Metody měřeí - základí systematka metod měřeí - potlačeí subjektvích faktorů - metody zvyšováí ctlvost - metody zlepšováí poměru sgál-šum 4. Chyby měřeí - základí systematka, chyba áhodá, hrubá, systematcká - zdroje a charakter chyb u růzých metod měřeí - chyby měřdel, třída přesost - záps výsledků měřeí 5. Základí pojmy matematcké statstky - áhodý jev, áhodá velča, pravděpodobost - rozděleí pravděpodobost - středí hodota, momety áhodé velčy - rozděleí pravděpodobost více áhodých velč, korelace - cetrálí lmtí věta 6. Prcp maxmálí pravděpodobost - odhad parametrů rozděleí - artmetcký průměr, dsperse (rozptyl) áhodé velčy - evychýleý odhad - zpracováí výsledků epřímých měřeí, uvážeí chyby měřícího přístroje 7. Metoda ejmeších čtverců - leárí regrese s jedou proměou - odhad přesost regresích koefcetů - eleárí regrese s jedou proměou

3 .Úvod Doporučeá lteratura:. Brož J., a kol.: Základy fyzkálích měřeí I, SPN Praha 967. Hajko V., a kol.: Fyzka v expermetech, vyd. SAV Bratslava, Sprušl B., Zelecová P.: Úvod do teore fyzkálích měřeí, skrptum MFF UK Praha Kamke D., Krämer K.: Physkalsche Grudlage der Messehete, B.G.Teuber Verl., Stuttgart 977 Ruský překlad: Fzčeskje osovy jedc zmereja, zd. Mr, Moskva Hudso D.J.: Statstcs, Geeva 964 (Ruský překlad: Statstka dlja fzkov, Izd. Mr, Moskva Šdelář V., Smrž L.: Nová soustava jedotek, SPN Praha 968

4 .Fyzkálí velčy a jejch jedotky.. Systematka fyzkálích velč [], [4], [6] V techcké prax, v řadě oblastí vědy v běžém žvotě se vyskytuje potřeba charaktersovat objektví vlastost a stav předmětů a okolího prostředí, popsat průběh růzých procesů a pod. K tomu zavádíme systém velč, které uvedeé vlastost a stav charaktersují. Potřebou formac získáme staoveím kvattatvích, popřípadě kvaltatvích parametrů příslušé velčy (měřeí, pozorováí). Fyzkálí velča (Leoard Euler, Algebra 766):. velčou rozumíme vše to, co se může zvětšovat ebo zmešovat, ebo to, k čemu můžeme ěco přdat ebo ubrat (hmotost, čas, délka, teplota, tlak, teplo, úhel,...).. exstují velčy růzého druhu, jejchž studem se zabývají růzé oblast vědy (fyzky). Každá oblast vědy má své charakterstcké velčy. Fyzka je aukou o velčách. 3. měřeí je srováváí daé velčy s vybraou velčou téhož druhu (jedotkou). Moderí defce: Velčou popsujeme objektví vlastost (stav) předmětu, ebo fyzkálího jevu, kterou lze kvaltatvě odlšt a kvattatvě popsat. Klasfkace velč: a) extesví (možství, kvatty) - adtví (hmotost, áboj, teplo,..) b) tesví (kvalty) - velčy stavové (teplota, apětí, tlak,...) c) protesví (stále plyoucí) - (čas) Velčy: a) základí - v daém systému ezávslé b) odvozeé - a základě vztahů mez velčam základím Pojmy souvsející: Pozorováí - studum dějů a procesů, které probíhají bez ašeho zásahu (astroomcká pozorováí) Pokus (expermet) - studum dějů a procesů, které cujeme, řídíme, volíme podmíky jejch průběhu a pod. Pokus -kvaltatví, kvattatví Měřeí: srováváí studovaé velčy s její jedotkou. Výsledky měřeí zapsujeme ve tvaru: A (a + ε a ) J,

5 (apř.: l (3.86 ± 0.0) m ), kde a - číselá hodota, ε a - chyba měřeí, J - ozačeí jedotky, ebo: A (a + ε a ) [A], (v (4.3 ± 0.5) m sec - ), kde [A] rozměr...jedotky fyzkálích velč [], [4], [6] Jedotky měřeí: Jedotky byly postupě zaváděy pro velčy užívaé v obchodě techcké prax s krtérem praktčost a dostupost (sadé realsovatelé) Příklad: Jakob Koebel, Geometre (6 stol., Frakfurt a/m) středí stopa - jedotka délky, vystředovaá délka choddla 6 áhodě vybraých osob aprot tomu apř. jedotka délky - loket Rozměr: Vyjádřeí jedotky pro daou velču pomocí jedotek základích (base systému jedotek).3.metrologcké rovce [6] Velčové rovce: popsují přírodí zákoy, defují velčy Příklad: F dp/dt, F q(e + (v x B)) dm ρ dv, v dr/dt Jedotkové rovce: Udávají vztah mez jedotkam. Užívají se velčové rovce ve zjedodušeé formě (bez dferecálích, tegrálích a jých složtějších operátorů) Příklad: J F J p / J t,.. J F J q. J E,..J v J r / J t Rozměrové rovce: jedotkové rovce, ve kterých jsou jedotky vyjádřey pouze jedotkam základím (v daém systému, bas)

6 Příklady: [F] [p]/[t] kgms - kgms - /s kgms - [F] [C].[v].[B] kgms - As.ms -.kgs - A - kgms - Rozměrová aalýza: testováí velčových rovc pomocí rovc rozměrových kotrola formulí: Příklad: Momet setrvačost homogeího válce o poloměru R a výšce h vůč ose byl vypočte užtím defčího vztahu: J r ρ dv. Prověřte výsledek ve tvaru: J / MR užtím rozměrové aalýzy. Řešeí: Rozměr J(SI) : kgm Rozměr výsledku (SI): kgm staoveí stupě mocých závslostí: Příklad: Hledáme vztah pro dobu kmtu matematckého kyvadla. Předpokládáme: T g α l β m γ Řešeí: Rozměr levé stray: T Rozměr pravé stray: L α T -α L β M γ α 0 α + β 0 γ Řešeí soustavy rovc: α /, β /, γ 0 Potom: T (l/g) / Příklad: V mezeře magetu s uzavřeým jádrem je homogeí magetcká dukce B, plocha pólových ástavců je S. Očekáváme, že síla, kterou a sebe působí ástavce magetu je úměrá permeabltě, dukc a ploše ástavců. Očekáváme: F µ α 0.B β.s γ Řešeí: Levá straa: MLT - Pravá straa: M α L α T -α A -α M β T -β A -β L γ α + β α + γ - -α - β 0 -α - β Řešeím soustavy je: α, β, γ Potom: F B S / µ 0

7 Semárí úloha : Těleso hmotost m se pohybuje rovoměrě zrychleě, přímočaře. Počátečí rychlost je ulová. Zrychleí tělesa je a. Jakou má těleso rychlost po uražeí dráhy x? Předpokládáme v a α x β. Semárí úloha : Odvoďte vztah pro rychlost zvuku v plyém prostředí o hustotě ρ. Předpokládáme: v ρ, p, T; platí stavová rovce, v ρ α.p β Semárí úloha 3.: Odvoďte vztah pro odpor prostředí, působící a automobl, pohybující se rovoměrě. Maxmálí plocha příčého průřezu automoblu je S, aerodyamcké efekty zaedbejte. Předpoklad: odporová síla F ρ α v β S γ. Semárí úloha 4.: Staovte vztah pro odporovou sílu působící a kulčku poloměru r pohybující se rychlostí v ve vskosí kapalě popsaé dyamckou vskoztou η. Předpokládáme: F r α η β v γ Semárí úloha 5.: Staovte vzorec pro dobu oběhu plaety v gravtačím pol sluce. Předpoklad: T κ α R β m s γ. Semárí úloha 6.: Staovte vztah pro středí kvadratckou výchylku leárího harmockého osclátoru. Předpokládáme: <x > h α m β ω γ.4.soustavy jedotek [], [4], [6] Soustava koheretí Soustava racoalsovaá defčí vztahy odvozeých velč vystupují bez číselých koefcetů v defčích vztazích, které vyhovují kulové symetr se zavádějí faktory 4π s cílem odstrat ásobky π z praktcky užívaých formulí. Příklad: Defujeme-l jedotku áboje Coulombovým zákoem ve vakuu ve tvaru: F k q /r, dostaeme pro kapactu deskového kodesátoru (ve vakuu) vzorec: C S/4πkd.

8 Volba base: A) Mechaka ) tříjedotková base mechackých velč velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr SI čas T T sec délka L L m hmotost M M kg rychlost vk v s/t k v LT - msec - zrychleí ak a v/t k a LT - msec - síla Fk N ma k N MLT - N eerge Ak A F.s k A ML T - J Jé zákoy: N.G.Z. F k G m /r k G κ κ o [κ], κ o, [κ] M - L 3 T - Kostata κ o závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například v SI: κ κ o [κ] kg - m 3 sec - Plackův z. E k P ν k P h h o [h], h o, [h] ML T - Kostata h o závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například v SI: h h o [h] kgm sec - Est.vztah E k E m k E k Eo [k E ], k Eo, [k E ] L T - Kostata k Eo závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například v SI: k E k Eo [k E ] m sec - c o [c], c je rychlost světla ve vakuu. ) čtyřjedotková base mechackých velč Velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr Čas T T Délka L L Hmotost M M Síla Φ Φ Rychlost vk v s/t k a - LT - Zrychleí ak a v/t k a - LT - Eerge Ak A Fs k A - ΦL Jé zákoy:.n.z. F k N ma k N k No [k N ], k No, [k N ] ΦM - L - T,

9 Kostata k No závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například v rozšířeé soustavě SI, platí-l Φ G.[N], je k No /G N.G.Z. F k G m /r k G k Go [k G ], k Go, [k G ] ΦM - L, Kostata k Go závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například ve výše zavedeé rozšířeé soustavě SI je: k Go κ o.k No Plackův z. E k P ν k P k Po [k P ], k Po, [k P ] ΦLT Kostata k Po závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například ve výše zavedeé rozšířeé soustavě SI je: k Po h o.k No Est.vztah E k E m k E k Eo [k E ], k Eo, [k E ] ΦLM - Kostata k Eo závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například ve výše zavedeé rozšířeé soustavě SI je: k Eo c o.k No!!Důsledkem zvětšeí počtu základích jedotek je zvětšeí počtu uverzálích kostat!!!!velkost a rozměr ových uverzálích kostat závsí a volbě dalších základích jedotek!! 3)dvoujedotková base mechackých velč velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr čas T T délka L L rychlost vk v s/t k v - LT - zrychleí ak a v/t k a - LT - hmotost mk m ar k m - L 3 T - síla Fk N ma k N - L 4 T -4 eerge Ak A Fs k A - L 5 T -4 Jé zákoy: N.G.Z. F k G m /r, k G k Go [k G ], k Go, [k G ], bez ohledu a velkost základích jedotek času a délky Plackův z. E k P ν k P k Po [k P ], k Po, [k P ] L 5 T -3

10 Kostata k Po závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například ve výše zmíěé zjedodušeé soustavě SI (m, sec) je k Po h o.κ o Est.vztah E k E m k E k Eo [k E ], k Eo, [k E ] L T - Kostata k Eo závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Například ve výše zmíěé zjedodušeé soustavě SI (m, sec) je k Eo c o!!!důsledkem sížeí počtu základích jedotek je sížeí počtu uverzálích kostat.!!! Zároveň se však ztrácí praktčost velkost odvozeých jedotek: apř. je-l: L,T m, sec J m / κ J a J r / kg a zhoršují se podmíky pro rozměrovou aalýzu, řada jedotek má stejý rozměr, sžuje se počet velč ve velčových rovcích. 4) jedojedotková base základích velč velča def.vztah Kostat rozměr jedotka rozměr a čas T T délka sc t c - T rychlost vk v s/t k v - zrychleí ak a v/t k a - T - hmotost mk m ar k m - T síla Fk N ma k N - eerge Ak A Fs k A - T Jé zákoy: N.G.Z F k G m /r, k G k Go [k G ], k Go, [k G ], opět bez ohledu a velkost základí jedotky času Plackův z. E k P ν k P k Po [k P ], k Po, [k P ] T Kostata k Po závsí a volbě základí jedotky času a musí být staovea měřeím. Například ve výše zmíěé dvakrát zjedodušeé soustavě SI (sec) je k Po h o.κ o / c o 5 Est.vztah E k E m k E k Eo [k E ], k Eo, [k E ] Kostata k Eo ezávsí a volbě základí jedotky času a je v takto kostruovaé jedotkové soustavě vždy rova jedé a bezrozměrá (položl jsme c, podobě jako výše u dvoujedotkové soustavy κ o ).

11 B) velčy elektrcké a magetcké Systém CGSE - tříjedotková base jedotek mechackých velč velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr čas sec T délka cm L hmotost g M rychlost vk v s/t k v - LT - zrychleí ak a v/t k a - LT - síla Fk N ma k N - MLT - eerge Ak A Fs k A - ML T - elektrcké velčy áboj F k C q / r k C sc M / L 3/ T - proud I k I q / t k I sa M / L 3/ T - t.el.pole E k E F / q k E - M / L / T magetcké velčy t.mag.pole H k H I / a k H - M / L / T - mag.mož. H k m F / m k m - M / L / mag.momet µ k µ.m.l k µ - M / L 3/ (Coulombův) další zákoy: terakce mag. možství: F k m / r k k o [k], k o, [k] L T - Kostata k o závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Bylo alezeo k o c o mag. momet. proudové smyčky (Ampérův): µ k I S k k o [k], k o, [k] L - T Kostata k o závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Bylo alezeo k o c o Síla mez vodč protékaým proudem: F k I.l / a k k o [k], k o, [k] L - T Kostata k o závsí a volbě základích jedotek a lze j sado staovt měřeím. Bylo alezeo k o c o Systém CGSM - tříjedotková base jedotek mechackých velč

12 velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr čas sec T délka cm L hmotost g M rychlost vk v s/t k v - LT - zrychleí ak a v/t k a - LT - síla Fk N ma k N - MLT - eerge Ak A Fs k A - ML T - magetcké velčy: Mag. mož F k m m / r k m - M / L 3/ T - It.mag.pole H k H F / m k H Oe M / L -/ T - Mag.mome µ k µ.m.l k µ - M / L 5/ T - t (Coulombův) elektrcké velčy: Proud H k I I / a k I aa M / L / T - Náboj I k C q / t k C ac M / L / It.el.pole E k E F / q k E - M / L / T - další zákoy: Coulombův záko: F k C q / r k C k Co [k C ], k Co, [k C ] L T - Kostata k Co závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Bylo alezeo k Co c o Síla mez rovoběžým vodč protékaým proudem: F k I.l / a k k o [k], k o, [k] Protéká-l vodč proud aa, působí a sebe slou jedotek síly. V soustavě CGS je jedotkou síly dy g cm sec kg m sec N Srovejme : Coulombův záko v CGSE: F q / r (sc) /cm dy Coulombův záko v CGSM: F c q / r c (ac) /cm c dy Co do velkost je tedy ac c sc (abychom dostal sílu dy musíme vzít áboj o velkost ac/c) Stejý poměr platí pro jedotky proudu aa c sa

13 Soustava GAUSSOVA - tříjedotková base jedotek mechackých velč Velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr Čas sec T Délka cm L Hmotost g M Rychlost vk v s/t k v - LT - Zrychleí ak a v/t k a - LT - Síla Fk N ma k N - MLT - Eerge Ak A Fs k A - ML T - elektrcké velčy: Náboj F k C q / r k C sc M / L 3/ T - Proud I k I q / t k I sa M / L 3/ T - It.el.pole E k E F / q k E - M / L -/ T - magetcké velčy: Mag.mož. F k m m / r k m - M / L 3/ T - It.mag.pole H k H F / m k H Oe M / L -/ T - Mag.mom. µ k µ.m.l k µ - M / L 5/ T - další zákoy: B.-S. záko: H k B I / a, k B k Bo [k B ], k Bo, [k B ] L - T Kostata k Bo závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Bylo alezeo k Bo c o - Soustava SI - čtyřjedotková, racoalzovaá (edůsledě NGZ) Velča def.vztah kostata rozměr jedotka rozměr Čas sec T Délka m L Hmotost kg M Proud A A Rychlost vk v s/t k v - LT - Zrychleí ak a v/t k a - LT - Síla Fk N ma k N - MLT - Eerge Ak A Fs k A - ML T - elektrcké velčy: Náboj I k q q / t k q C AT It.el.pole E k E F / q k E - MLT -3 A magetcké velčy

14 It.mag.pole H k H I/a k H - AL - Mag.dukce F k B q v B k B T MT - A - Praktcká jedotka proudu A 0. aa Síla mez dvěma rovob. vodč délky l ve vzdál. a protékaým proudem I: F k.. I.l / a Použjeme-l dříve (hstorcky) defovaou jedotku proudu A 0. aa působí a sebe vodče slou (vz soustavu CGSM):.0 - dy.0-7 N Kostata k musí mít tedy hodotu: k 0-7 N A - Požadujeme-l dále v duch racoalzace, aby vzorec pro sílu měl v důsledku válcové symetre problému tvar: F k /π I.l/a Máme pro kostaty úměrost:.k. 0-7 k /π A koečě: k µ 0 4 π 0-7 MLT - A - Další uverzálí kostata (µ 0 ) je důsledkem další (čtvrté) základí jedotky (A). Další zákoy: Coulombův záko: F k C q / 4 π r k C k Co [k C ], k Co, [k C ] ML 3 T -4 A - Kostata k Co závsí a volbě základích jedotek a musí být staovea měřeím. Bylo alezeo k Co 4 π Ozačme: k C / ε 0 Potom platí: µ 0. ε 0 4 π 0-7 [MLT - A - ] / 4 π [ML 3 T -4 A - ] ( L T - ) - µ 0. ε 0 /c Semárí úloha 7.: Napšte záko alektromagetcké dukce (U - dφ/dt) v soustavách jedotek CGSE, CGSM, Gaussově a SI. Řešeí: využjte výsledků rozměrové aalýzy (vz [], tab., str.50). CGSE [U] L / M / T - [dφ/dt] L / M / T - U - dφ/dt

15 CGSM [U] L 3/ M / T - [dφ/dt] L 3/ M / T - U - dφ/dt Gaussova [U] L / M / T - [dφ/dt] L 3/ M / T - [U] [v] U - /c dφ/dt SI [U] L M T -3 A - dφ/dt] L M T -3 A - U - dφ/dt Semárí úloha 8.: Napšte vzorec pro Loretzovu sílu F q (E + (v x B)) v soustavách jedotek CGSE, CGSM, Gaussově a SI. Návod: Využjte výsledků rozměrové aalýzy. Semárí úloha 9.: Napšte vztah pro magetcký momet proudové smyčky (µ I S) v soustavách jedotek CGSE, CGSM, Gaussově a SI. Návod: Vyžjte výsledků rozměrové aalýzy. Semárí úloha 0.: Určete poměr mez jedotkou magetcké dukce v soustavách Gaussově (CGSM) a SI. Návod: Využjte výsledků rozměrové aalýzy apř. v Loretzově vztahu a zámých vztahů mez velkostm jedotek proudu. Defce vybraých jedotek SI základích (vz [6]) velča jedotka Defce čas sec Jedotka času je defovaá frekvecí kvatového přechodu mez hladam hyperjemého štěpeí ve spektru základího stavu S / atomu 33 Cs, F4, m F 0 F3, m F 0. Tato frekvece je 9, GHz délka m Jede metr je dráha, kterou urazí světlo ve vakuu za dobu:(/ ) sec hmotost kg Etalo z platordové slty v mez. ústavu pro míry a váhy (reprodukovatelost řádu.0-8 ) el. proud A Proud, který vyvolává mez dvěma paralelím ekoečě dlouhým vodč vzdáleým m sílu.0-7 N a jede metr délky tepl. stupeň K 37,6 - tá část termodyamcké teploty trojého bodu vody mol. mož mol je látkové možství, které obsahuje tolk strukturích elemetů, kolk je atomů v 0.0 kg uhlíku C 6 svítvost cd Svítvost / m plochy absolutě čerého tělesa ve směru ormály př teplotě tuhutí platy př ormálím tlaku (0 35 Pa)

16 3. Metody měřeí V průběhu expermetu (pozorováí) lze obvykle rozlšt tř fáze - příprava - měřeí - zpracováí Příprava Měřeí Zpracováí výsledků studum teore, výběr metody měřeí, odhad výsledku, výběr přístrojů (odhad ctlvost a přesost, cejchováí, rozbor vějších vlvů), příprava vzorků, orgazačí opatřeí (výběr spolupracovíků, materálí zabezpečeí astroomcké expedce, expermety jaderé fyzky). Objektví regstrace výsledků pomocí čdel a detektorů subjektví-využtí smyslů- čteí a stupcích odhad maxm rezoačích křvek odhad maxmálího zaostřeí a pod Předzpracováí v průběhu expermetu Využtí výpočetí techky Klasfkace měřících metod - rozlšeí podle růzých hledsek metody přímé - měřeí přímým srováváím s jedotkou měřeé velčy apříklad: měřeí délky, vážeí epřímé - využtí defčích vztahů, fyzkálích zákoů apříklad: měřeí rychlost střely ze zákoa zachováí eerge a hybost ( [] kap....), měřeí specfckého áboje elektrou z charakterstky pohybu v mg. pol ( [] kap ) a pod. sporé!! - apř. měřeí hustoty, měřeí proudu, měřeí odporu (měřeí odporu metodou přímou) statcké -měřeá hodota se určuje z expermetu s časově eproměým charakterstkam apříklad: statcké měřeí modulu pružost ve smyku z torze tyčí ( [] kap dyamcké -měřeá velča se určuje z expermetu s časově proměým charakterstkam apříklad: dyamcká metoda měřeí modulu pružost ve smyku torzím kyvadlem ( [] kap..3...) absolutí - staoveí hodoty vůč jedotce relatví - staoveí hodoty vůč ormálu, stadartu, etalou, maxmálí hodotě

17 substtučí apříklad: měřeí odporu ( [] kap ) kompezačí -ulové metody, ezávslé a absolutí kalbrac dkačího přístroje, sadá automatzace apříklad: vážeí ( [] kap....), můstkové metody ( [] kap ) 3.. Možost potlačováí subjektvích faktorů terpolace (uvtř děleí stupce) - ručkové přístroje (metoda zrcátkových stupc), délková měřdla (oa) dvduálí vjem - vjem ostrost (optka, uvážeí tervalu ostrost) využtí regstračích přístrojů měřeí doby kyvu kyvadla (subjektvě, objektvě - apř. optcké čdlo) využtí elektrockých zařízeí A/D převodík měřeí apětí oscloskopem využtí výpočetí techky apř. ftace maxm rezoačí křvky 3.3. Metody zvyšováí ctlvost měřících zařízeí ctlvost zařízeí (metody) a změu sledovaé velčy p: c p dα/dp, kde: dα - změa velčy regstrovaé (úhel, délka, a pod.) dp - změa velčy studovaé. a) mechacké metoda zrcátka a škály (ϕ s/r, ϕ S/L S (L/R).s ) využtí mkrometrckých posuvů, pákových převodů (S (L/R).s) Semárí úloha : Galvaoměr se zrcátkem je zapoje v obvodu podle obrázku. Př zaputí klíče se světelý dex a stupc vzdáleé m vychýlí o 0 cm. Jaká je proudová a apěťová ctlvost galvaometru.

18 R R G ϕ m ϕ R R 3 g Obr.: schema zapojeí R Ω, R 0 3 Ω, R Ω, R g 0 Ω, U 6 V c I ds / di, ds 0.0 m (př vzdáleost stupce m a užtí metody zrcátka a škály) di 6. R / ((R +R 3 ) R + R R 3 ) A c I m/m/a. 0 6 mm/m/a c U ds / du ds / R g di c I / R g. 0-8 mm/m/v Semárí úloha Staovte proudovou ctlvost Wheatsoova můstku v rovováze ( X 0 R 3 (R /R ), c I (di g / dx) Xo ) b) elektrcké využtí zeslovačů, střídavé zeslovače (přerušováí optckých sgálů) b) využtí proudových a apěťových svorek pro měřeí malých odporů b) zvýšeí rozlšeí optckých soustav geometre (omezeí ohybových jevů, terferece více svazků, hraolový kotra mřížkový spektrometr) zúžeí šířky čáry - vlastí šířka čáry, Doplerovské rozšířeí (sížeí teploty) 3.4. Metody zlepšováí poměru sgál/šum a) omezeí zdrojů šumu (fluktuací) mechacké vbrace (mechacká pevost) šum elektrckých zařízeí - u 4 kt R ν (přzpůsobeí stupňů v zeslovačích, využtí vhodých součástek (s meším šumovým číslem), sížeí teploty, sížeí odporu)

19 b) omezeí šířky pásma přerušovaý sgál, sychroí detektor c) využtí číslcové techky metoda koheretí sumace

20 4. Chyby měřeí 4.. Základí pojmy Systematka chyb: Chyby hrubé - vzkají hrubým zásahem do procesu měřeí, jejch velkost výzamě převyšuje rozptyl chyby statstcké Systematcké Statstcké - vzkají v důsledku chybých kalbrací, terpretací a pod., zatěžují stejým způsobem výsledek každého měřeí - jsou důsledkem áhodých fluktuací, které se popsují metodam matematcké statstky Formálí záps výsledku měřeí: měřeá velča výsledek měřeí absolutí chyba [ ] A ( A ± ε ) A A A A ε A relatví chyba η A / ε ozačeí jedotky (rozměr [A] A A Symboly: Formát čísel: Platá číslce: A, ε A jsou čísla A, ε A Platým číslcem se azývají všechy číslce zaokrouhleého čísla s vyjímkou ul a začátku přblžé hodoty. Příklad: a platé číslce a platých číslc Zásady pro formu zápsu výsledků měřeí: a) chybu měřeí uvádíme a ejvýše dvě platé číslce

21 b) ve výsledku zaokrouhlujeme v řádu posledí platé číslce chyby Příklady: v ( ) msec - I ( ) 0-3 A P ( ) mw B 4.56(5) T Pozámka: Pokud se chyba měřeí ve výsledku eudává, předpokládá se mplctě, že je meší, ež polova řádu za posledí platou číslcí výsledku: v 3.5 msec - (3.45 v 3.55) msec - Pozor a zaokrouhlovací chybu! c ( ).0 5 kmsec - c kmsec - - správě c kmsec - - špatě, protože chyba zaokrouhleí: ε(c) 0 kmsec - > kmsec Základí pravdla pro prác s eúplým čísly metoda mezí, maxmálí odhad: echť: a a ± ε a, b b ± ε b Součet: S a + b (a + b ) ± (ε a + ε b ), ε S (ε a + ε b ), η S (ε a + ε b ) / (a + b ) Rozdíl: R a - b (a - b ) ± (ε a + ε b ), ε R (ε a + ε b ), η R (ε a + ε b ) / (a - b ), Pozor: a možost eormího zvýšeí relatví chyby př rozdílu téměř stejých hodot! Souč: N a.b a.b ± (b.ε a + a.ε b ), ε N (b.ε a + a.ε b ), Podíl: P a/b a / b ± (ε a / b + a.ε b / b), ε P ε a / b + a.ε b / b, η P η a + η b,

22 Semárí úloha 3: Dokažte výše uvedeé vztahy pro maxmálí absolutí a relatví chybu součtu, rozdílu, souču, podílu a mocy Chyby měřdel Třída přesost: třída přesost ručkových měřících přístrojů p(%) se udává v procetech a staovuje absolutí chybu měřeí a daém rozsahu R podle vztahu: ε p.r Příklad: rozsah ampérmetru je R 3 A, třída přesost je.5%. Absolutí chyba měřeí proudu a tomto rozsahu ε(i) A Pozámka: je zřejmé, že z důvodů mmalsace relatví chyby měřeí je uto měřt v horí polově stupce ručkového měřícího přístroje Třída přesost je údajem výrobce, který je získá statstckým šetřeím a serích hotových výrobků (měřících přístrojů). Chybu měřeí staoveou z třídy přesost je uto srovat s chybou staoveou statstckým zpracováím. V tomto případě se s í zachází jako s chybou staoveou odhadem a skládá se s chybou statstckou (vz dále). Pojem třídy přesost je možo zobect a jé měřící přístroje. Někdy je možo odhadout absolutí chybu měřeí z děleí stupce. Semárí úloha 4: Měřeí odporu metodou přímou (vz schema) bylo provede s přístroj třídy přesost. Byly aměřey ásledující hodoty: I 0 ma (rozsah 0.3 A), U 8.5 V rozsah 30 V). Vtří odpor voltmetru je 0 5 Ω a vtří odpor ampérmetru je 7 Ω. Staovte velkost měřeého odporu a chybu měřeí. Dskutujte možé alteratvy zapojeí a uté korekce s ohledem a chybu měřeí. Začeí přístrojů: Začeí ěkterých typů elektrckých měřících přístrojů (vz [])

23 5. Vybraé základí pojmy matematcké statstky 5.. Náhodý jev, pravděpodobost Expermet (E) - Výsledek expermetu je defová předpsem, který specfkuje možu možých výsledků{v(e)}. v {V} Příklad: kostka {V(E)} {., :, :., ::, :.:, :::} vážeí {V(E)} {(hmotost) } Poz.: defce pouze požaduje, aby v {V(E)}, kolv, aby každý prvek {V} astal Náhodý jev A a expermetu E ( A(E)): je zadá pravdlem, které určuje, zda jev astal, č eastal A(E) - je urče možou poztvích výsledků Příklad: E házeí kostkou A(E) {.,:, :.}, B(E) {::, :.:,:::} Náhodá proměá x a expermetu E ( x(e) ): je určea pravdlem, které výsledku expermetu přřazuje číslo jako hodotu áhodé proměé Příklad: ) E házeí kostkou x počet bodů, dskretí áhodá proměá, x {,,...,6} ) E vážeí x m hmotost (SI), spojtá áhodá proměá x {0, } Specelě: áhodý výběr (N) - expermet, jehož moža výsledků je koečá a realsace žádého z ch eí upředostěa Příklad: Defce: házeí kostkou E N x (N) {,,...,6} Nechť A (E) jsou jevy a expermetu E potom:

24 ) jev o A (E) jev A eastae ) jev 7 A ( E) astae alespoň jede z jevů A I 3) jev A ( E) astae každý z jevů A Specelě: A ( E) (prázdá moža výsledků) jevy dsjuktí Defce pravděpodobost (teore míry): Nechť je expermet E zadá možou {V(E)}. Na expermetu E echť jsou dále zadáy jevy A(E) a B(E) svým možam výsledků {V(A)} a {V(B)}, {V(A)},{V(B)} {V(E)}. Defujeme: pravděpodobost jevů A, B jako míru podmož {V(A)},{V(B)} ásledujícím pravdly: ) p(a) 0 ) p(v) 3) p(a B) p(a) + p(b) p(a B) Příklad: expermet (E) házeí kostkou áhodý výběr {x(n)} {,,..,6}, echť jevy A {},,...,6, dsjuktí a zároveň: A A {,..,6} {V(N)} 6 p(a) p ( A ), zároveň p(a ) p(a k ) p; (,k,..,6) Potom 6 p ( A ) p 6 p p / 6 ; Pro áhodý výběr platí: p(a) /, 6 kde je počet prvků možy {V(A )} a je počet prvků možy {V(N)} p(a) - redukovaá velkost podmožy. Příklad: expermet (E) házeí kostkou Nechť: A(N) je defová {V(A)} {,,3,4} a B(N) možou výsledků {V(B)} {4,5,6} {V(A)} {V(B)} {V(N)} p(a B) 4 / / 6 / 6 Jev opačý: Nechť: A {V(A)}, oa {V(oA)}

25 Platí: {V(A)} {V(oA)} {V(E)}, a dále: {V(A)} {V(oA)}, jevy dsjuktí Potom: p(a oa) p(a) + p(oa) tedy: p(oa) - p(a) Podmíěá pravděpodobost (áhodý výběr): Nechť: {V(N)} má prvků, {V(A)} má A prvků, {V(B)} má B prvků, {V(A)} {V(B)} má AB prvků, potom: p(a B) AB / ( AB / B ).( B / ) p(a/b).p(b) p(a / B) p(a B) / p(b) Pozámka: Dá se ukázat, že odvozeý vztah platí obecě, eje pro expermety typu áhodý výběr Příklad: N {,,..,6}, {V(A)} {,,3,4}, {V(B)} {4,5,6} p(a/b) (/6) / (3/6) /3 Nastal-l jev B, potom s pravděpodobostí p(a/b) /3 astae jev B Defce: Expermet E, který je spojeím expermetů E, (,..,) má za možu výsledků kartézský souč mož {V(E )}, kde {V(E )} jsou možy výsledků expermetů E. E E. E. E 3... E, {V(E)} {V(E )}x{v(e )}x{v(e 3 )}x...x{v(e )} Pozámka: Kartézský souč uspořádaá -tce Příklad: Současé házeí dvěma kostkam N {,,...,6}, N {,,...,6} E N. N, {V(E)} {(,), (,),.., (,6), (,), (,),.., (6,6)}, E 36 Defce: Expermety jsou ezávslé, pokud provedeí (výsledek) jedoho ezávsí a provedeí (výsledku) druhého. Pravděpodobost jevů a ezávslých expermetech jsou pak také ezávslé Defce: áhodý jev a spojeí expermetů je defová možou výsledků:

26 {V(A)} {V(A )}x {V(A )}x {V(A 3 )}x...x {V(A )} Defce: jevy jsou ezávslé, jsou-l defováy a ezávslých expermetech Pro áhodý jev a spojeí ezávslých expermetů platí: Příklad: p( A) p( A ) pro ezávslé áhodé výběry platí: p(a) A / N, kde A potom: p(a) A / A, N p( A ) Příklad: házeí dvěma kostkam - jev A a N : {V(A )} {, }, p(a ) / 6 jev A a N : {V(A )} {3, 4, 6}, p(a ) 3 / 6 A A. A, {V(A)} {V(A )} x {V(A )} {V(N.N )} má 36 prvků, {V(A)} má 6 prvků p(a) 6 / 36 p(a ). p(a ) jevy ezávslé Příklad: tažeí z balíčku karet (bez Jokera) - E N, {V(N )} {,3,4,...,E} 3 E N, {V(N )} {S,K,T,P} 4 A {0}, A {S}, A A. A {V(A)} {(0,S)} A, N p(a) /5, zkusíme: p(a) p(a ). p(a ) ( /3). ( / 4) / 5, A, A expermety ezávslé Příklad: tažeí z balíčku karet (s přdáím Jokera) E - {V } {,3,4,...,A,J} - 4 prvků E - {V } {S,K,T,P,J}- 5 prvků E, E ejsou expermety typu áhodý výběr (apř. realzace symbolů, 3,... A je upředostěa prot symbolu J) p(j) / 53, p(0) 4/ 53, p(s) / 53, P(J) /53 p(0,s) /53 x p(0).p(s) (4/53).(/53) 48/ 53 expermety ejsou ezávslé Defce: Ozačme: E (E.E... E), -krát opakovaý expermet E

27 a dále: Potom: {V(E)} možu výsledků expermetu E E {{V(E)} x {V(E) x...x {V(E)}} Defce: Je-l defová jev A(E) svoj možou výsledků {V(A)}, potom: jev a opakováí expermetu A (E ) je defová možou výsledků: {V(A )} {{V(A)} x {V(A)} x...x {V(A)}}, Alteratví defce pravděpodobost: Využtím pojmu relatví četost př ezávslém opakováí expermetu. Neí omezea a expermety typu áhodý výběr. Defce: Ozačme A počet realsací jevu A a expermetu E př -ásobém ezávslém opakováí expermetu E. Jako pravděpodobost jevu A potom ozačíme: p A A lm( ) Příklad užtí: tegrace metodou Mote-Carlo 5.. Rozděleí pravděpodobost Defce: Rozděleím pravděpodobost azýváme fukc, která hodotám áhodé proměé přřazuje jejch pravděpodobost a) dskrétí áhodá proměá Rovoměré rozděleí: Defce: Mějme a expermetu E jevy A, (,..., ). Je-l rozděleím pravděpodobost každému z těchto jevů přřazea stejá pravděpodobost hovoříme o rovoměrém rozděleí pravděpodobost: p(a) p, pro (,..,). Jsou-l jevy A dsjuktí: Užtím ormovací podmíky: p( A ) p. p dostaeme: p(a ) / ;

28 Příklad: expermet házeí kostkou 6, p / 6; Bomcké rozděleí: Defce: Mějme jev s pravděpodobostí p. Pravděpodobost, že př N-ásobém ezávslém opakováí astae jev s pravděpodobostí p právě k-krát, k (0,,,...,N) je dáa Bomckým rozděleím ve tvaru: P(k) N k p k (-p) N-k k - dskrétí áhodá proměá, p a N jsou parametry. Platí: Pravděpodobost jevu a ezávslém opakováí expermetu: P(k) C k p k (-p) N-k Normovací podmíka: Σ C k p k (-p) N - k C k Possoovo rozděleí: N k Uvažujme áhodý jev, který se realzuje v určtém tervalu (počet emsí γ-kvat v časovém tervalu (0,t), počet překlepů a stráce textu). Za předpokladu, že: ) realsace áhodého jevu jsou avzájem ezávslé ) pravděpodobost realsace jevu v malé část uvažovaého tervalu je úměrá velkost tohoto tervalu: P(t,t+dt) µ.dt ) pravděpodobost současé realsace (též místě) dvou jevů je ulová. Nechť P k (t) je pravděpodobost, že určtý jev (emse γ-kvata) astae v časovém tervalu (0,t) k-krát. ) k 0,? P 0 (t+dt) P 0 (t+dt)p 0 (t).(- µ.dt) Z toho: dp 0 (t)/dt - µ P 0 P 0 (t) C exp(- µ.t) Z okrajové podmíky: t 0 P 0 (t) C Tedy: P 0 (t) exp(-µ.t) ) k,? P (t+dt) P (t+dt)p 0 (t).µdt + P (t).(- µ dt) dp (t)/dt - µ P (t) + µ.exp(-µt) (*)

29 a dále: P (t) µt. exp(-µt) 3) pro obecé k (srovej vztah (*)): dp k (t)/dt - µ P k (t) + µ.p k- (t) a dále: P k (t) (µt) k /k! exp(-µt) Prověřme podmíku ormováí: Σ P k (t) exp(-µt). Σ(µt) k / k! exp(-µt). exp(µt) Obecě je terval (0,t) jedotkový, potom: Defce: Possoovým rozděleím azýváme rozděleí pravděpodobost ve tvaru: P k (µ) k /k! exp(-µ) b) spojtá áhodá proměá Moža možých výsledků expermetu je spojtá - terval, plocha, objem Defce: Pravděpodobost realzace áhodé proměé v tervalu (x, x+dx) je úměrá velkost tervalu dx : P(x,x+dx) p(x)dx Fukc p(x) azýváme hustotou pravděpodobost. Normováí: pxdx ( ) x Rovoměré rozděleí: Defce: Je-l áhodá proměá defovaá x a tervalu <a,b> a platí-l pro všecha x <a,b> : p(x) kost, hovoříme o rovoměrém rozděleí pravděpohobost. Užtím ormovací podmíky: b b p( x) dx kost dx kost( b a) a a

30 Dostaeme: p(x) ( ba) Cauchyho rozděleí: Mějme rovoměré rozděleí pro áhodou proměou (úhel ϕ) v tervalu ϕ <-π/, π/ >. Příklad: rovoměrě se otáčející, áhodě střílející dělo (vz obr.). 0 x ϕ Jaké je rozděleí zásahů v cílové rově v jedotkové vzdáleost? Hledáme rozděleí pravděpodobost q(x). Pravděpodobost výstřelu v tervalu <ϕ,ϕ+dϕ> je dáa fukcí p(ϕ) kost. Z ormovací podmíky: p( ϕ) dϕ kost. π π π plye: p(ϕ) π Trasformace proměých (vz obr.): tg(ϕ) x, ϕ arctg(x), dϕ Tedy: p(ϕ) dϕ π a: p(x) π ( + x ) ( + x ) dx p(x) dx dx ( + x ) (**) Defce: Rozděleí pravděpodobost áhodé velčy x v tervalu x (-, )

31 ve tvaru (**) azýváme Cauchy(ho) rozděleím Semárí úloha 5: Nalezěte fukc popsující rozděleí pravděpodobost výskytu matematckého kyvadla v tervalu <-A,+A> v aproxmac malého rozkmtu. Návod: uvažte souvslost mez pohybem kocového bodu matematckého kyvadla a rovoměrým pohybem po kružc o poloměru A. Normálí (Gaussovo rozděleí): Defce: Nechť je dáa spojtá áhodá proměá x v tervalu x (-, + ). Normálím rozděleím azýváme fukc ve tvaru: px ( ) e σ π ( x ) µ σ, kde: µ začí středí hodotu σ se azývá dsperse (varace, rozptyl) áhodé proměé σ se azývá stadartí odchylkou. Fukce p(x) je schematcky zázorěa a obr.3. ([] str.38). Pozámka: Je-l σ π > p (µ) >?????? Hodotu hustoty pravděpodobost elze směšovat s pravděpodobostí. Jak je uvedeo výše, výzam pravděpodobost výskytu velčy v tervalu dx má hodota : p(x)dx Uvažujme: µ + a P( µ a, µ + a) p( x) dx µ a P (µ - a,µ + a) a 0.5 σ/ σ σ σ

32 Semárí úloha 6. Dokažte, že Normálí rozděleí má v bodech x µ ± σ flexí body Středí hodota, momety áhodé velčy Defce: rozděleím mějme spojtou áhodou proměou x a tervalu <a,b> s pravděpodobost p(x). Potom středí hodota E x < x > je defováa vztahem: E x b xp( x) dx a Obdobě pro dskrétí áhodou proměou k platí: E k k kp k Příklad: jaká je středí hodota bodů př házeí kostkou? Itutvě - sečteme všech N pokusů a vydělíme je číslem N : E k N 6 k j j N N k j j 6 j N j lm p j Ek k p( k) N N k j ; Dále platí: pro fukc h(x) áhodé proměé x a tervalu <a,b> je: E h b ( x) h( x) p( x) dx v případě dskrétí áhodé proměé: a 3

33 E Specálě je-l: potom: ( ) h( k) p h k hx ( ) ag l l( x), l Ehx ( ) al. gl( x) l k k Defce: mějme spojtou áhodou velču x a tervalu V. Potom: -tým mometem áhodé velčy x azýváme výrazy: Ex x p() x dx x Pro dskrétí áhodou velču aalogcky: V E k p k k Příklad:, E x x µ k k Defce: mějme spojtou áhodou velču x a tervalu V. Potom: -tým cetrálím mometem áhodé velčy azýváme výrazy: cex ( x µ ) p ( x ) dx ( x µ ) Pro dskrétí áhodou velču aalogcky: V cek ( k µ ) pk ( k µ ) k 33

34 Příklad:, cex ( x µ ) p ( x ) dx ( x µ ) Dx σ Dále platí: D x <x > - µ V Defce: asymetrí rozděleí azýváme velču: γ 3 ce x 3 µ µ σ σ ( x ) p( x) dx ( x ) σ V 3 Příklad: Příklad: Asymetre rozděleí symetrckého kolem středí hodoty je ula (plye přímo z defce třetího cetrálího mometu). středí hodota Bomckého rozděleí: N N k N k µ kp ( p) k 0 k N N! k N k kp ( p) k k!( N k)! N N! l N l l p p l ( l )!( N l )! ( + + ) + ( ) 0 M ( M + )! l+ M l p ( p) l!( M l)! l 0 M M! l M l p( M + ) p ( p) l 0 l!( M l)! M pn M! l M l p ( p) pn l!( M l)! l 0 Příklad: Momety áhodé velčy pro ěkterá rozděleí Rozděleí Středí hodota Dsperse Asymetre dskrétí: Rovoměré N/ N(N+)/ 34

35 Bomcké N.p N.p.(-p) N.p.(-p)(-p) Possoovo µ µ µ -/ spojtá: Rovoměré b+a)/ (b-a) / Cauchyho 0 0 Normálí µ σ 0 Semárí úloha 7: Dokažte, že pro Bomcké rozděleí platí: D k N.p.(-p) a γ N.p.(-p).(-p) Pozámka: pro p / je γ 0 a rozděleí je symetrcké kolem středí hodoty. Semárí úloha 8: Dokažte, že pro Possoovo rozděleí platí: a) E k µ, b) D k µ, c) γ µ -/ Semárí úloha9: Dokažte, že pro Normálí rozděleí platí: a) E x µ, b) D x σ, c) γ 0 + t Návod: užjte vztahy: e dt π, t e dt 35 + t Semárí úloha 0: Dokažte, že př áhodé procházce (radom walk) platí pro středí hodotu čtverce vzdáleost uražeé po N krocích: <x > N.L, kde L je velkost jedého kroku. (radom walk - pohyb po krocích ± L se stejou pravděpodobostí p/) Návod: užjte Bomckého rozděleí a defce středí hodoty. Semárí úloha : Vypočítejte středí hodotu a dspers rovoměrého, spojtého rozděleí v tervalu <a,b>. Semárí úloha : Vypočítejte středí hodotu a dspers rovoměrého dskretího rozděleí v tervalu 0 k Kovergece Bomckého a Possoova rozděleí: ) s kostatí hodotou p a s rostoucí středí hodotou (rostoucím N) koverguje B(k) k N(k) π

36 ) Possoovo rozděleí koverguje s rostoucí středí hodotou µ též k rozděleí Normálímu 3) s rostoucím N, ale kostatí středí hodotou (epřílš vysokou) koverguje B(k) k P(k) 5.4 Rozděleí pravděpodobost více áhodých velč Defce: Mějme dvě spojté áhodé proměé x, y defovaé a tervalech V x, V y, s rozděleí pravděpodobost p(x) a q(y). Pravděpodobost, že x (x,x+dx) a zároveň y (y,y+dy) je dáa rozděleím ρ(x,y) ve tvaru: P(x,x+dx; y,y+dy) ρ(x,y).dx.dy V případě ezávslých velč je fukce ρ(x,y) zřejmě ve tvaru: ρ(x,y) p(x) q(y) Defce: mějme spojté áhodé velčy x, y, a tervalech V x, V y se středím hodotam µ x, µ y. Potom kovarace C x,y je dáa vztahem: Cx, y ( xµ x)( y µ y) ρ ( x, y) dxdy ( xµ x)( yµ y) xy, Dále vypočítáme: Příklad: C x,y <x.y> - µ x. µ y D x <(x-µ x ). (x-µ x )> C x,x Defce: korelačím koefcetem dvou áhodých velč r x,y azýváme hodotu: C x, y r x, y σ σ x y Posouzeí stupě korelace leárě závslých velč: 36

37 a) absolutí korelace (y ax+b) C x,y <(x-µ x )(y-µ y ) > <x.y> - µ x µ y <a.x +b.x>-µ x µ y a <x > + b. µ x - µ x µ y a.σ x + a. µ x + b.µ x - a.µ x - b.µ x a.σ x D y σ y <(y-µ y ) > <(a.x +b-a.µ x -b) > a.<(x-µ x ) >a.σ x Cxy, a. σ x rxy, σσ x y σ x. a. σ x b) x, y ezávslé C x,y <(x-µ x ) (y-µ y ) > <x.y> - µ x µ y µ x µ y - µ x µ y 0 r xy, Středí hodota součtu áhodých velč: Mějme áhodé velčy x,,,..., potom: x x x ρ( x, x,...) dx dx... x ρ( x, x,...) dx dx... x, x,...,,..,,... x, x,.. Příklad: středí hodota artmetckého průměru x x, (x - áhodá velča) _ x x Jde-l o stejé velčy: <x > µ (pro všecha ). Potom: < x> µ x Středí hodot souču ezávslých velč: Mějme ezávslé áhodé velčy x,,,.... Potom: x x 37

38 ( x ) ρ( x, x,...) dx dx... x p( x ) dx x, x,...,,..,,.. x Dsperse součtu áhodých velč: Mějme áhodé velčy x,,,... určeé jejch dspersem a středím hodotam: σ, µ. Ozačme: Potom: s x. s x x, x, j( j) D D + C j Platí: D s < (s - µ s ) > < s > - µ s, Kde: µ s s x x µ Dále platí: s ( x ) x + xxj x + x x a také: Dx ( x µ ) x µ j, j( j) j, ( j) Cx, x ( xµ )( xj µ j) xxj µ µ j j µ µ µ µ Dále: s + j Celkem:, j( j) D D + µ + C + µ µ µ µ µ s x x, xj j, j, j( j), j( j) s x + x, xj, j D D C, j Pozámka: D s V případě, že velčy x jsou ezávslé (pro všecha ), tedy C x,xj 0 pro všecha (,j,,..), potom: D x 38

39 Dsperse leárí kombace ezávslých velč: Mějme ezávslé áhodé velčy x,,,... určeé jejch dspersem a středím hodotam: σ, µ. Ozačme s jejch leárí kombac : s a x. Potom dsperse D s áhodé velčy s je rova: D a D a σ s x Příklad: Staovte dspers artmetckého průměru ezávslých opakováí téže velčy o středí hodotě µ a dspers D x. x x, <x > µ, D x D σ, (,,...,) < x> µ, D D D x σ 5.5. Cetrálí lmtí věta Je-l áhodá velča x popsáa rozděleím p(x) se středí hodotou µ a koečou dspersí D x : x p µ, σ (x), potom se rozděleí pravděpodobost artmetckého průměru ezávslých opakováí q µ, σ ( x ) s rostoucím blíží k Normálímu rozděleí N ( x ) se středí hodotou µ a dspersí D x : lm q ( x ) N ( x) µ, σ µ, Pozámka: a typu rozděleí p(x) ezáleží!! Dx Příklad: ukázka možost sestrojeí geerátoru áhodých čísel s ormálím rozděleím s ulovou středí hodotou a jedotkovou dspersí 39

40 N(0,), je-l k dsposc geerátor áhodých čísel s rovoměrým rozděleím v tervalu <a,b>. ) posueme terval symetrcky kolem uly, odečteím čísla (a+b)/. Nový terval hodot je potom: <(a-b)/,(b-a)/> <-A,+A> ) dsperse takového rovoměrého rozděleí je:d x (A -(-A)) / (A) / 3) dsperse artmetckého průměru z N-hodot je: D x (A) /.N Zvolíme-l tedy N a A6, dostaeme: D x 40

41 6. Prcp maxmálí pravděpodobost Ze všech možých hodot áhodé velčy se realzuje hodota ejpravděpodobější 6.. Odhad parametrů rozděleí a) Bomcké rozděleí - odhad parametru p: B N k p p ( ) N k N k k Pravděpodobost p chápeme yí jako proměou a hledáme maxmum pravděpodobost jako fukce p. Nutou podmíkou pro maxmum je: dbk dp N N dbk dp p 0 N k kp p N k N k N k k p k p N k ( ) ( ) ( ) 0 p k N př N ezávslých opakováích expermetu se určtý jev realzuje k-krát. Na základě prcpu maxmálí pravděpodobost potom odhademe pravděpodobost tohoto jevu jako: k( p ) ( N k ) p p k p N b) Possoovo rozděleí - odhad parametru µ: Pk ( ) k µ µ k! e Podmíkou maxma pravděpodobost je: je-l apříklad a jedé tskové straě alezeo k chyb, odhademe parametr µ touto hodotou k. 4

42 c) Normálí rozděleí - odhad parametru µ : Nµσ, ( x) e σ π ( xµ ) σ Podmíkou maxma pravděpodobost je opět: 0 ( x µ dnµσ, ) σ ( x µ ) e µ x dµ, σ π µσ Naměříme-l př jedém expermetu se spojtou áhodou proměou, která popsáa Normálím rozděleím, hodotu x, odhademe parametr µ touto hodotou x. Odhad a hodotě σ ezávsí. odhad parametru σ: 0 ( 3 dn x x x µ ) ( x µ µσ, () ) ( µ ) σ σ e e σ xµ dσ, ( ) µσ σ σ π σ π ) Vzhledem k tomu, že ezáme hodotu µ elze parametr σ z jedého měřeí odhadout. Je uto ejméě z jedoho dalšího měřeí odhadout µ a potom. Metoda odhadu parametrů rozděleí z jedého měřeí je zřejmě velce ejstá (parametry jsou staovey a ízké hladě pravděpodobost, jsou málo reprodukovatelé). Zlepšeí lze očekávat využtím opakovaých ezávslých expermetů. Odhad parametrů rozděleí a základě výsledků opakovaých ezávslých expermetů - artmetcký průměr, dsperse áhodé velčy. a) Normálí rozděleí - odhad parametru µ: Mějme výsledky opakovaých ezávslých expermetů x,,..,. Hustota pravděpodobost realsace takovéto -tce výsledků je: ( x µ ) ( x µ ) σ σ Pµσ, ( x, x,... x) e e σ π σ π Pro odhad opět požadujeme, aby: 4

43 ( x µ ) σ 0 dpµσ, ( x, x,... x ) dµ, σ π µσ ( x ) µ 0 µ x e ( x µ ) ( ) σ Artmetcký průměr je tedy odhadem středí hodoty podle prcpu maxmálí pravděpodobost. Podmíka extrému a hodotě σ ezáleží. b) Normálí rozděleí - odhad dsperse: obdobým postupem jako výše s využtím prcpu maxmálí pravděpodobost dostaeme: dp x x x µσ, (,,... ) 0 σ ( x µ ) dσ µσ, Odhadem dsperse je tedy středí hodota čtverce odchylek od odhadu středí hodoty µ. Pro kokrétí výpočet musíme vždy ejprve odhadout středí hodotu µ. Semárí úloha 3. Odvoďte výše uvedeý vztah pro odhad dsperse ormálího rozděleí. Semárí úloha 4. Dokažte, že v případě Bomckého rozděleí je př -ásobém ezávslém opakováí expermetu odhadem parametru p (pravděpodobost) velča: k p, N kde k je počet poztvích výsledků př každém z opakováí. Semárí úloha 5. Dokažte, že př -ásobém ezávslém opakováí expermetu je podle prcpu maxmálí pravděpodobost v případě Possoova rozděleí odhadem parametru µ velča: µ k 43

44 Pozámka: Alteratvě k prcpu maxmálí pravděpodobost lze odhad středí hodoty provést pomocí t.zv. prcpu ejmeších čtverců. Zde hledáme odhad středí hodoty a základě požadavku mma sumy čtverců odchylek: Příklad: Př -ásobém ezávslém opakováí expermetu byly alezey hodoty proměé x, (,...,). Odhaděte středí hodotu podle prcpu ejmeších čtverců. Ozačme : S () µ ( x µ ). Potom mmu fukce S ( µ ) odpovídá hodota µ, pro kterou platí: 0 ds ( µ ) ( x µ ) µ dµ µ µ x 6.3. Vychýleý odhad. Defce: Je-l a odhadem parametru a daého rozděleí a je-l a a, potom hovoříme o evychýleém odhadu. V opačém případě je odhad vychýleý. a) artmetcký průměr: µ x µ je áhodá velča, proto má smysl počítat její středí hodotu: µ x x µ µ, protože <µ > µ pro všecha měřeí (ezávslá opakováí). Artmetcký průměr je tedy evychýleým odhadem středí hodoty. b) dsperse:odhad dsperse: σ ( x µ ) je opět áhodou velčou a pro její středí hodotu platí (Sem. úloha 7): 44

45 σ ( µ ) σ x Odhad dsperse je tedy odhadem vychýleým. Semárí úloha 6. Ukažte, že výše uvedeé odhady parametrů p a µ pro bomcké, a Possoovo rozděleí jsou odhady evychýleé. Semárí úloha 7. Ukažte výše uvedeý výsledek pro středí hodotu odhadu dsperse σ. Nevychýleým odhadem dsperse je velča: σ σ ( µ ) x ( ) protože zřejmě platí: ( ) σ σ σ σ 6.4. Zpracováí výsledku měřeí jedé velčy: a) Je-l k dspozc statstcký soubor dat (výsledky opakovaých ezávslých měřeí), vyhodotíme velčy ( µ ) µ x, ( ) σ ( x µ ) Z aměřeých hodot x vyřadíme všechy, pro které je: x µ 3 σ a zopakujeme výpočet odhadů středí hodoty µ a stadartí odchylky σ.. 45

46 b) Je-l k dspozc údaj o přesost měřdla (apř. třída přesost) a jehož základě je možo vyhodott chybu jedého měřeí, považujeme tuto chybu za odhad rozptylu σ odh. Staovíme-l chybu měřeí odhadem, považujeme teto odhad za chybu a hladě 3σ odh. c) Spojíme oba výsledky: ( ) cel odh σ σ + σ Výsledek měřeí zapíšeme ve tvaru: popř.: X µ ± σ X ( cel )[ X] µ ± σ cel [ X ] kde chyba má yí výzam chyby artmetckého průměru. Pozor a rozdílý fyzkálí výzam obou zápsů: Dsperse jedého měřeí odhaduje šířku rozděleí pravděpodobost, kterou bychom testoval opakovaým měřeím velčy x. Dsperse artmetckého průměru odhaduje šířku rozděleí áhodé velčy, kterou bychom testoval opakovaým měřeím artmetckých průměrů (z opakovaých ezávslých měřeí) Přeos chyb. Mějme áhodou velču y, která je fukcí áhodých proměých x (,,...,): y f( x, x,..., x ) Náhodé velčy x echť jsou popsáy rozděleím p (x ) se středím hodotam µ a dspersem σ. V malém okolí bodu µ f(µ, µ,...,µ ) je možo rozvést fukc f(x,x,...,x ) v řadu: 46

47 y f f ( µ, µ,..., µ ) + ( x µ ) +... x Potom je zřejmě: ( µ,..., µ ) a dále: µ y f( µ, µ,..., µ ) σ y y protože dsperse kostaty je ula. f x ( µ,..., µ ) σ x, 6.6. Zpracováí výsledků epřímých měřeí Máme-l k dspozc odhady středích hodot a dsperzí jedotlvých velč x, tedy hodoty µ a ( σ x ) staoveé měřeím jedotlvých velč, je možo použít výše uvedeý vztahy k odhadu středí hodoty a dsperze velčy y : µ (,,..., y f µ µ µ ) * * ( f σ ) ( y σ x ) x ( µ,..., µ ) Příklad: Měříme hustotu látky měřeím objemu a hmotost daého možství. Hustotu staovíme ze vztahu: ρ m / V. Výsledky měřeí: m ( ± ) kg V (.00 ± 0.000) 0-3 m 3 Výpočet hustoty: Chyba měřeí: ρ kgm 3 ρ σ ρ σ ρ σ + m V m V, mv mv, 47

48 m σ + m σ 4 V V V σ ρ σ m σ V ρ + η + m ρ m V η Zaokrouhlíme: Výsledek: Výpočet chyby: 48 η V 6 σ ρ kg m 3 σ ρ kg m 3 σ ρ 6. kg m ρ kgm 3 ρ (. ±. ) kgm 3 η ρ.0-4, chyba vážeí je zaedbatelá!!!!!! Příklad: Měříme modul pružost ve smyku metodou torsího kyvadla realzovaého masví tyčkou zavěšeou a měřeém vlákě. Měřeí provádíme v uspořádáí podle obrázku. Pro modul pružost ve smyku G materálu závěsého vláka platí (vz apř. J.Brož: Základy fyz. měřeí): G 8 π Jl r 4 T kde l je délka vláka, J je momet setrvačost tyčky podle osy otáčeí (kolmé k ose tyčky), r je poloměr vláka a T je doba kmtu kyvadla. Nezávslým měřeím staovíme hodoty velč l, J, r, T: a) délku závěsu měříme kovovým měřítkem a aměříme l 500mm. Uvážeím okolostí měřeí (ejasý bod uputí, aputí vláka, přesost měřítka, odhademe přesost měřeí a hladě 3σ a hodotu 3 mm. Výsledek: l (500 + ). 0-3 m b) momet setrvačost tyčky J staovíme podle vztahu: J. ml kde m je její hmotost a L její délka. Hmotost je staovea: m ( ) 0-3 kg. Délku měříme posuvým měřítkem a aměřeé hodoty: Číslo 3 4 5

49 měřeí L (mm) Podle vztahu: L 5 L staovíme: L mm 5 5 * σ L mm 4 * Podle vztahu: ( ) ( ) Potom: * σ mm, zaokrouhlíme!!! σ 006mm. Odhademe přesost měřdla a úrov 3σ ± 0.05 mm. Spojíme oba výsledky: ( σ ) ( σ ) σ. mm ( σ ) * * * mm L cel stat odh L cel po zaokrouhleí!!!! ( ) * σ L 006. mm cel Celková chyba měřeí eí tedy chybou měřdla ovlvěa: Výsledek: L ( ).0-3 m Dosazeím do výrazu pro momet setrvačost dostaeme: J kgm. Podle vztahu pro přeos chyby sečteme čtverce relatvích chyb: * * * ( σ ) ( σ m L) ( η J ) + 4 m L Dostaeme: * 6 * η.. 3 J 090 ηj ( ) ( ) Odtud: ( ) * σ J * kgm σ J zaokrouhlíme: Výsledek: J ( ).0-7 kgm c) dobu kmtu měříme stopkam s odhadutou relatví přesostí 3.η T,odh.0-3. Naměříme ásledující hodoty pro 0 kmtů: č.měř. T (sec)

50 Výsledek: Najdeme: ( σ ). sec, *. sec * T 674 T σ,. sec stat Tstat 0 06 σ Todh 0. 3 sec. Je tedy zřejmé, že Z výše provedeého odhadu: * (, ) ( ) * σ σ σ T cel T, stat T, cel T (6.7 ± 0.06) sec, 006. sec d) poloměr vláka je zadá výrobcem ve tvaru: r ( ) mm r ( ).0-3 m e) yí můžeme dosadt do vztahu pro hledaý modul: Najdeme: G kgm sec f) pro relatví chybu měřeí platí: ( ) ( ) ( ).( η η η η ).( G l + J + 4 T + 6 ηr) dále: * * * * * ( ηl) ( ηj) ( ηt) ( ηr) * 6 * 6 * 4 * 4 Potom: 40., 0., 0.,. 50. * ( ) ( ) 6 6 η G *. * G 60 σ G kgm sec η 7 Po zaokrouhleí: * σ G kgm sec Výsledek: G ( ).0 8 kgm - sec - Pozámka: Z výše uvedeého je zřejmé, že slabým místem expermetu je ízká přesost staoveí poloměru vláka. Chceme-l proto užít této metody pro staoveí modulu pružost s vyšší přesostí, je třeba uvažovat apříklad o užtí vláka o větším poloměru, a současě zajstt dostatečou přesost měřeí doby kmtu, která se bude s rostoucím poloměrem vláka zkracovat. 50

51 7. Metoda ejmeších čtverců Je-l zám explctě tvar měřeé závslost, používá se obvykle pro terpolac aměřeé závslost metody ejmeších čtverců. Teoretcká závslost echť má tvar: y fabc,,,... () x kde a,b,c,.. jsou parametry. Mějme k dsposc dvojc aměřeých hodot (x,y ),,,..,. Předpokládáme, že přesost astaveí hodot ezávsle proměé x je řádově větší, ež přesost měřeí závsle proměé y, která má obecě pro každý bod jou dspers (σ y ). Vytvoříme velču: ( fabc,,,...( x) y) S ( a, b, c,...) σ Fukce, která optmálě terpoluje měřeou závslost, je taková, pro kterou je hodot S (a,b,c,..) mmálí. Úloha teda spočívá v alezeí mma fukce proměých a,b,c,.... Pro větší počet parametrů a složtější fukce se řeší umercky. 7.. Polyom k-tého stupě: Pro polyom: y a + a x+ a x a x 0 je S fukcí k+ parametrů a,,,...,k. Podmíkou mma je současé splěí podmíek: S ( a, a,..., a k ) a 0 0 a a kde 0,,,...,k, což zameá soustavu k+ rovc o k+ ezámých a. Nechť pro jedoduchost je σ σ pro všecha 0,,,...,k, což je dost častý praktcký případ. Potom z podmíek ulových dervací plye: a. a x... a k x y 0 I k 5 k, k

52 a. x + a x a k + x y x 0 I k k k + a x a x... a k x y x 0 I k Jedotlvé koefcety získáme řešeím soustavy rovc. Je zámo, že platí: a Det Det s kde Det s je determat soustavy a Det je determat soustavy s -tým sloupcem ahrazeým sloupcem pravých stra. a) specálí případ leárí fukce (y ax): Potom: Odtud: S a a ( a) x ( ax y ) σ y x I σ σ y x σ x σ Jsou-l σ σ pro všecha,...,, potom: a Ozačme dále: y x x k 5

53 y Y, x y XY, x X, x XX, y YY potom: a XY X X Odhad a je evychýleý, protože platí: a x XX y x XX ax Toto je obecá vlastost odhadů metodou ejmeších čtverců. Dsperse odhadu a : Odhad a je áhodá velča, kterou lze za předpokladů uvedeých výše vyjádřt ve tvaru: a x XX y x tedy ve tvaru leárí kombace áhodých velč y s koefcety X X Podle věty o dspers leárí kombace ezávslých velč platí: x σ a σ y XX Jsou-l velčy: σ y zámé a stejé pro všecha, σ y σ, pro,..., (všechy body jsou měřey se stejou přesostí), potom: σ σ a XX a Neí-l hodota σ zámá, lze j odhadout ze souboru aměřeých hodot (x,y ). V aalog s případem jedé proměé odhademe:. 53

54 σ y ( ax ) kde R je zbytková suma čtverců odchylek. Opět lze ukázat (vz semárí úlohy), že odhad je vychýleý: Pro evychýleý odhad volíme hodotu: ( σ ) * ( ax ) R y R Ozačíme-l počet parametrů úlohy jako počet stupňů volost, je výše dskutovaý případ případem s jedým stupěm volost. V obecém případě s p-stup volost platí: ( ) y ax R p σ p b) obecá přímka y a 0 + a x : Determat soustavy rovc m tvar: p X Det s XX X X XX p. Ostatí determaty potřebé pro výpočet koefcetů a 0 a a jsou potom: Potom: Det Y. XX X. XY, Det. XY X. Y 0 YXX. XXY., XY. XY. a a 0 XX. X XX. X Velčy X a XX lze chápat jako kostaty (áhodým proměým jsou pouze hodoty y ). V tomto případě lze opět výrazy pro a 0 a a přepsat jako leárí kombace áhodých proměých y a pro jejch dspers použít větu o dspers leárí kombace áhodých proměých: a. (.. ) XX. X XX y X x y XX X x. 0 XX X y 54

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

IV. MKP vynucené kmitání

IV. MKP vynucené kmitání Jří Máca - katedra mechaky - B35 - tel. 435 4500 maca@fsv.cvut.cz IV. MKP vyuceé kmtáí. Rovce vyuceého kmtáí. Modálí aalýza rozklad do vlastích tvarů 3. Přímá tegrace pohybových rovc 3. Metoda cetrálích

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák Korelačí aalýza Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor : Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma 2 Přímková a rová soustava sl Přímková soustava sl ový svazek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs. Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Geodézie 3 (154GD3) Téma č. 9: Hodnocení a rozbory přesnosti výškových měření.

Geodézie 3 (154GD3) Téma č. 9: Hodnocení a rozbory přesnosti výškových měření. Geodéze 3 (54GD3) Téma č. 9: Úvod o měřeí obecě. V geodéz měříme především déky, úhy, a dáe také apř. čas, vekost síy tíže apod. Výsedek měřeí je charakterzová čísem, závsým též a vobě jedotek. Ze zkušeost

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ

III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ Způsob, jímž se provádí fzkálí měřeí, závsí jedak a povaze měřeé velč, jedak a tom, ze kterých vztahů pro měřeou velču vjdeme a jakých přístrojů použjeme. Všech měřcí

Více

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:

7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: 7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více