VOLBA ČASOVÝCH OKEN A PŘEKRYTÍ PRO VÝPOČET SPEKTER ŠIROKOPÁSMOVÝCH SIGNÁLŮ

Transkript

1 VOLBA ČASOVÝCH OKEN A PŘEKRYTÍ PRO VÝPOČET SPEKTER ŠIROKOPÁSOVÝCH SIGNÁLŮ Jiří TŮA, VŠB Technická univerzita Ostrava Petr Czyž, Halla Visteon Autopal Services, sro Nový Jičín 2 Anotace: Referát se zabývá volbou časových oken a překrytí pro výpočet frekvenčních spekter širokopásmových signálů, tj signálů bez dominantních složek spektra, pro která jsou pravidla výběru časových oken známá Je upozorněno na zkreslení při odečtu hodnot přímo ze spektra Abstract: The paper deals with the choice of the time window and overlap to calculate frequency spectra of broadband signals, ie the signals without dominant components of the spectrum, for which the rules selection time windows are known Attention is drawn to the bias in reading the magnitude of the spectrum components directly from the spectrum Úvod Chyba odečtu velikostí dominantních složek spektra je známá a čelí se ji volbou časového okna Rectangular (Uniform), Hanning nebo Flat Top Okno Rectangular se používá jestliže složky spektra signálu odpovídají diskrétním frekvencím spektra V případě, že o frekvenčním spektru s dominantními složkami nevíme vůbec nic, pak volíme okno Hanning Okno Flat Top je pro kalibraci harmonickým signálem, kdy je třeba amplitudu odečíst ve spektru s nejmenší možnou chybou V praxi se můžeme setkat s náhodnými signály bez dominantních složek, tj s úseky spektra, které jsou ploché (konstantní) nebo skloněné Pro přímý odečet hodnot z těchto spekter je třeba respektovat určitá pravidla, která jsou dána na volbě časového okna Plochá 2 Spektrum obsahující dominantní složky V diagnostice se zájem soustřeďuje na zjištění RS dominantních složek spekter Jak je známo, frekvenční spektrum je vypočteno s využitím rychlé Fourierovy transformace (FFT), která využívá délku bloku o velikosti mocniny dvou Nejčastěji jsou pro FFT použity algoritmy s délkou bloku, která je rovna mocnině dvou Například to může být 2048 Rozlišení spektra f (a tedy i jednotlivé frekvence spektra) je pak dáno podílem Prof Ing Jiří Tůma, CSc VŠB etnická univerzita Ostrava, Fakulta strojní 7 listopadu 5, Ostrava-Poruba tel: , fax: , jirituma@vsbcz 2 Ing Petr Czyž Halla Visteon Autopal Services, sro Lužická 984/4, 74 0 Nový Jičín tel: , pczyz@hvccglobalcom

2 vzorkovací frekvence f S (vzorkovací perioda FFT T f S S ) a této délky bloku N pro výpočet f T NT S fs N Rozlišení spektra je také rovno převrácené hodnotě časové délky bloku T pro výpočet FFT Jestliže je vzorkovací frekvence 2048 Hz a délka bloku číselně shodná, pak rozlišení spektra je Hz Změřený signál je rozložen do bloků o konstantní délce N, v daném případě o velikosti mocniny dvou m N 2 Před výpočtem Fourierovy transformace jsou jednotlivé * vzorky v bloku vynásobeny časovým oknem x n wnx n, n 0,, N Rectangular znamená, že se vzorky nijak neupravují Okno Rectangular w n n, 0,,, N Okno Hanning wn cos2 n N n 0,,, N Okno Flat-Top wn,98cos2 n N,29cos4 n N 0,388cos6 n N 322cos8 n N n 0,,, N * Takto upravené bloky dat n, n 0,, 2,, N * oblasti X k FT x n, k 0,, 2,, N 2,, Okno x se transformují do frekvenční Výsledek výpočtu Fourierovy transformace (komplexní čísla) se přímo nezobrazuje, ale transformuje se na spektra v měřítcích RS, a PSD Autospektrum s měřítkem v efektivních hodnotách (RS) pro šířka nejmenšího rozlišitelného frekvenčního pásma f se vypočte podle následujícího vzorce RS k X X 0 k N, 2 N 2, k 0, k, 2,, N 2 Autospektrum s měřítkem ve výkonu () se vypočte podle následujícího vzorce k RS k 2 a autospektrum ve výkonové spektrální hustotě (PSD) se vypočte podle následujícího vzorce PSD k 2 RS k f Celkový výkon všech složek spektra je dán vzorcem N 2 k 0 PSD k f

3 Efektivní hodnota (RS) signálu v celém frekvenčním pásmu se vypočte jako odmocnina výkonu () Složky spektra náhodného signálu mají velký rozptyl Výkonové spektrum pwr m k je třeba průměrovat, tj je třeba určit, jaký zlomek nově vypočteného spektra je třeba přičíst ke spektru zprůměrovanému m k Tento zlomek je převrácenou hodnotou jistého celého čísla resp k k N 2 k k k pwr k 0,, 2,, m m pwr m Při průměrování je třeba určit způsob překrytí bloků při použití okna Hanning Jestliže bloky navazují na sebe bez překrytí, pak váha, kterou okno představuje, kolísá mezi 0 a 4 m Obrázek Efekt překrytí bloků na váhovou funkci Hanning V případě, že váhová funkce je po většinu doby konstantní, pak její velikost podle obrázku je,5 Jestliže je použito okno typu Rectangular, pak váhová funkce je jednotková Časové okno se používá pro kompenzaci leakage, který vzniká vlivem efektu odlišnosti frekvence složky naměřeného signálu od frekvencí, ze kterých se spektrum skládá Záznam signálu z měření je vždy náhodný Reprezentativní spektrum se získá průměrováním dílčích spekter z bloků signálu, které se překrývají ze 66%, tj 2/3 Efekt použití oken bude demonstrován na příkladu sinusových signálů o frekvenci 50 a 50,5 Hz v záznamu se vzorkovací frekvencí 256 Hz a délkou bloku 256 Tyto spektra na obrázku 2 se skládají z frekvencí, které jsou násobkem Hz Ve spektru je tedy složka o frekvenci 50 Hz a chybí složka o frekvenci 50,5 Hz, resp je přesně uprostřed mezi frekvencemi 50 a 5 Hz Podle grafů vlevo na obrázku 5 je velikost spektrální složky o frekvenci 50 Hz s časovým oknem a bez časového okna stejná Velká odchylka ve velikosti složek sousedních frekvenci 50,5 Hz je zřejmá ze spekter vpravo Použití okna tuto odchylku snižuje Účelem používání oken je tedy zmenšit chyby odhadu amplitud

4 RS [U] RS [U] RS [U] RS [U] dominantních složek spektra odulace signálu časovým oknem způsobí, že celkový výkon spektra se zvýší V případě použití okna Hanning je zvýšení celkového výkonu,5x Při odečítání amplitud izolovaných sinusových složek je tato skutečnost nepodstatná, ovšem při výpočtu výkonu vybraného frekvenčního intervalu nebo celého frekvenčního rozsahu signálu je třeba výkon kompenzovat, tj v případě okna Hanning dělit faktorem,5 Protože je mnohem pravděpodobnější, že frekvence například kmitání bude odlišná od jednotlivých frekvencí spektra, doporučuje se používat k výpočtu spekter okno Hanning Autospectrum - Rect : Sine - 50 Hz 0, Autospectrum - Rec :Sine - 50,5 Hz Autospectrum - Hanning : Sine - 50 Hz 0, Autospectrum - Hanning : Sine - 50,5 Hz Obrázek 2 Efekt volby časového okna 3 Spektrum obecného širokopásmového signálu K testům bude použit gaussovský bílý šum v rozsahu frekvencí 0 až 52 Hz, tj signál, který je vzorkovan s frekvencí 024 Hz RS tohoto signálu byla zvolena jednotka Výkon signálu ()je následující RS 2 2 Pro dílčí pásmo f Hz je výkon signálu Hz 52 0, Frekvenční analýza se nevztahuje na celou šířku pásma (52 Hz), ale jen na 400 Hz, čímž je napodoben vliv antialiasingového filtru, který je součástí všech signálových analyzátorů Výkon signálu bude pak jen 400 0,7825 Efektivní hodnota signálu (RS) v pásmu od 0 do 400 Hz je následující RS 839

5 RS U RS U a efektivní hodnota tohoto signálu v pásmu Hz je tato RS 442 Tomuto výsledku odpovídá spektrum na obrázku 3 Výpočet byl s časovým oknem Rektangular, průměrovalo se 0000x bez překrytí a odečtená amplituda konstantních složek spektra je 442 Protože průměrování 0000 bloků nevedlo ke konstantě, je tato hodnota zatížena drobnou chybou vlivem zvlnění spektra Konstantní spektrum lze dostat po výpočtu průměru z nekonečného počtu bloků RS signálu s frekvenčním rozsahem od 0 do 400 Hz, která byla vypočtena z plochy spektra, je 8448, což je blízká hodnota k velikosti RS, která je odhadnuta z časového průběhu signálu Autospectrum : Generator : Noise Obrázek 3 Okno Rectangular 0000 averages bez překrytí, RS 442 Jestliže je použito časové okno Hanning s překrytím nebo bez překrytí, pak je každá komponenta spektra doplněna postranními složkami, což zvyšuje výkon původního signálu V případě signálu s jedinou sinusovou složkou je zvýšení,5x, jak je dokázáno [] Pro spektrum bílého šumu bude zvýšení signálu zjištěno simulačním výpočtem Výsledné spektrum pro nepřekryté bloky je na obrázku 4 Autospectrum : Generator : Noise Obrázek 4 Okno Hanning, 0000 averages bez překrytí, RS 54 RS složek spektra je 54 Výkon signálu v pásmu o šířce Hz je 2 RS Pro pásmo od 0 do 400 Hz je výkon 400,7072 Poměr výkonů signálu v pásmu 0 až 400 Hz pro časové okno Hanning a Rectangular je přibližně,5 jako v případě signálu s jednou dominantní složkou

6 RS U, Hann Hz Rect Jak je zřejmé z obrázku 5, ani překrývání odečítané hodnoty nezmění Autospectrum : Generator : Noise Obrázek 5 Okno Hanning, 0000 averages s překrytím, RS 543 Pro náhodné signály je doporučeno používat okno Rectangular bez překrytí bloků Velikost izolovaných vrcholů spektra však bude s chybou, která byla odhadnuta výše 4 Spektrum signálů s diskrétními složkami, jejichž frekvence odpovídají frekvencím složek spektra Tyto signály zrychlení lze měřit u vibrátorů, jejichž buzení je řízeno algoritmem, který využívá inverzní Fourierovou transformaci Úkolem řídicího systému je dodržovat zadané frekvenční spektrum s frekvenčním krokem f ve formě výkonové spektrální hustoty PSD f RS 2 f Pro tento typ signálů se doporučuje používat okno Rectangular bez překrytí při průměrování, protože zobrazuje složky spektra bez amplitudové chyby 4 Závěr Referát popisuje použití časových oken pro náhodné signály, jejichž výkon je třeba kontrolovat Výsledkem analýzy je doporučení používat okno Rectangular bez překrytí pro zachování RS, a PSD hodnot spektra Literatura: [] Tůma, J Zpracování signálů získaných z mechanických systémů vyd Praha : Sdělovací technika, s ISBN Poděkování Referát vznikl za podpory grantu GAČR No P0/2/2520 Aktivní tlumení vibrací rotoru parametrickým buzením kluzných ložisek