Dynamika tuhého tělesa. Petr Šidlof

Transkript

1 Dnaika tuhého tělesa Pet Šidlof

2 Dnaika tuhého tělesa Pvní věta ipulsová F dp dt a t Zchlení těžiště Výslednice vnějších sil F A F B F C Celková hbnost soustav p p i Hotnost soustav i těžiště soustav se pohbuje jako b v ně bla soustředěná veškeá hotnost F : ákon achování hbnosti soustav (sážk těles,...)

3 Dnaika tuhého tělesa anslační pohb tělesa Rchlosti všech bodů stejné řešení dnaik tanslačního pohbu tělesa je ekvivalentní dnaice HB Hbnost eleentu d: Hbnost tělesa: dp d v p v d v d v F dp dt hotnost tělesa chlost libovolného bodu (těžiště)

4 Dnaika tuhého tělesa Obecný (ovinný) pohb tělesa Rchlosti jednotlivých bodů tělesa ůné oklad vhlede k efeenčníu bodu A v v A B a a A B Z kineatik: Veee-li a efeenční bod A těžiště tělesa, ůžee chlení a A učit pvní vět ipulsové bývá řešit dnaiku otačního pohbu

5 Dnaika tuhého tělesa Duhá věta ipulsová Moent hbnosti hotného bodu: i p (vžd vhlede k nějakéu bodu např. počátku souřadné soustav) - analogie hbnosti u tanslačního pohbu L i i Celkový oent vnějších sil k bodu M dl dt Zěna celkového oentu hbnosti soustav k téuž bodu L i p i M : ákon achování oentu hbnosti soustav

6 Dnaika tuhého tělesa Kinetická enegie tělesa otujícího kole pevné os Kinetická enegie eleentu d: d d v v Kinetická enegie tělesa: d v d d o o oent setvačnosti o

7 Dnaika tuhého tělesa Rotace tuhého tělesa kole pevné os pohbový ákon Moent hbnosti eleentu d: dl dp Moent hbnosti tělesa: L dp v d d Z duhé vět ipulsové: v d M d dt Rotace kole pevné os v, konst. : M d dt d d dt d M o úhlové chlení oent setvačnosti o

8 Dnaika tuhého tělesa Moent setvačnosti o d - ekvivalent hot po otační pohb vs. Kteý setvačník dá větší páci otočit? Vlastnosti neáponý vžd vhlede k bodu (ose) v tabulkách vhlede k těžišti [] = kg poloě setvačnosti: aditivní o o o s s

9 Dnaika tuhého tělesa Steineova věta o e oent setvačnosti vhlede k těžišti je iniální POZOR: o o

10 Dnaika tuhého tělesa Výpočet oentu setvačnosti o d V ρ dv.. vdálenost od os!! Katéský ssté Clindické souřadnice Sféické souřadnice o V ρ d d d o V ρ d dφd o V ρ s sinθ d s dφdθ ( S (S.. vdálenost od os S.. vdálenost od středu

11 Dnaika tuhého tělesa Příklad oent setvačnosti obuče Definice: d V ρ dv d R d R

12 Dnaika tuhého tělesa Příklad oent setvačnosti disku (válce) Definice: d V ρ dv V ρ dv ρ R πρh 4 4 R R πr hρ π d h πρh R R d Dutý válec R R (aditivita)

13 Dnaika tuhého tělesa Příklad oent setvačnosti tenké tče Definice: d ρ L L d ρ L d d ρ L L L L / ρ L L d ρ L L 8

14 Dnaika tuhého tělesa Příklad 4 oent setvačnosti obdélníku (desk, kvádu) Definice: d V ρ dv V 4ρh a / a d b b / a / b a 4ρh 8 ρ dv 4 d a d b / d b 8 ρ ρhab a h b

15 Dnaika tuhého tělesa Příklad 5 oent setvačnosti koule R 5 π π π R 5 R 5 ρ πr 4 π 5 R ρ sinθ dθ dφ d ρ d d d d d Moent setvačnosti vhlede ke tře osá:,,.. evidentně platí V s s o θ dφd d sinθ ρ

16 Dnaika tuhého tělesa Příklad 6 V jaké výšce h je třeba tefit táge kulečníkovou kouli, ab se pohbovala be falše (pětné či dopředné otace), tj. ab se odvalovala po plátně be pokluu? Řešení:. Sestavení pohbových ovnic: F a g N R F h. K dispoici ovnice, 4 nenáé jedna ovnice chbí.. Be pokluu: vaba 4. Řešení ovnic a R 7 h R 5

17 Dnaika tuhého tělesa Zákon achování enegie u otačního pohbu U U Wn.. kinetická enegie posuvná + otační Příklad: Jaký půběh á chlost a chlení hačk jojo, předpokládáe-li, že / R? Řešení:. ZZE. vaba g v ω v ω v 4g R. Zchlení: a dv v d R g

18 Dnaika tuhého tělesa Vvážená a nevvážená otace ve D () Pohbové ovnice: F R t F n t R n a t a n M O Statick vvážená otace : eakce R t, R n v ose otáčení (tj. naáhání ložisek) je nulové chlení těžiště usí být při otaci nulové, ted těžiště usí ležet v ose otáčení

19 Dnaika tuhého tělesa Vvážená a nevvážená otace ve D () osa otace v těžišti osa otace io těžiště a a t n a a t n e e při volné otaci eakce v ose nulové statick vvážená otace i při volné otaci vnikají v ose síl (eakce) statick nevvážená otace

20 Dnaika tuhého tělesa Rotace ve D D (ovinná otace) D (postoová otace),, M, L... skalá,, M, L... vekto i, i, M i... skalá... teno L ik L i ik ik k i k eno oentu setvačnosti ik j jδik i V k d ik d d d d d d d d d setický teno v hlavních osách ik iodiagonální pvk deviační oent diagonální pvk hlavní oent setvačnosti

21 Dnaika tuhého tělesa Dnaick nevvážená otace Vvážená, nebo nevvážená otace? (tj. jsou ložiska při otaci dnaick naáhaná?) statick i dnaick vvážená otace při volné otaci nevnikají žádné eakční síl ani oent v ložiskách dnaick nevvážená otace přestože pocháí osa těžiště deviační oent io ovinu otace

22 Dnaika tuhého tělesa Odvoení deviačních oentů () Vekto otace: Definice: ik d d d d d d d d d Ze setie tělesa: =, = ik

23 Dnaika tuhého tělesa d M Odvoení deviačních oentů () Moent k j i d a df dm Z kineatik: V naše případě: a ik,,, k j i k j i, k j i d M d d M d d M při ovnoěné otaci ( = ) nenulový oent M! d d d d d d d d d ik

24 Dnaika tuhého tělesa Analogie příočaého a otačního pohbu Poloha [] Rchlost v [/s] Zchlení a [/s ] Úhel φ [ad] Úhl. chlost ω [ad/s] Úhl. chlení [ad/s ] Hotnost [kg] Síla F [N] Hbnost p [kg /s] Moent setv. [kg. ] Moent M [N.] Moent hbn. L [kg. /s] Kineatika: Pohbová ovnice: Kinetická enegie: Páce: Hbnost: d dv v, a dt dt dp F a dt v W s F d p v dφ dω ω, dt dt dl M ( D ) dt W s ( D) L M dφ