PROJEKT ŘEMESLO - TRADICE A BUDOUCNOST. Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.38/ PŘEDMĚT TECHNICKÁ MECHANIKA

Transkript

1 PROJEKT ŘEMESLO - TRADICE A BUDOUCNOST Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.38/ PŘEDMĚT TECHNICKÁ MECHANIKA Obor: Mechanik seřizovač Ročník: První Zpracoval: Ing. Jaromír Třetina

2 PROJEKT ŘEMESLO - TRADICE A BUDOUCNOST Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.38/ TÉMA ÚVOD DO MECHANIKY Předmět: Technická mechanika Obor: Mechanik seřizovač Ročník: První Zpracoval: Ing. Jaromír Třetina

3 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tento výukový materiál vypracoval samostatně, a to na základě poznatků získaných praktickými zkušenostmi z pozice učitele ve Střední odborné škole Josefa Sousedíka Vsetín, a za použití níže uvedených informačních zdrojů a literatury. Tento výukový materiál byl připravován se záměrem zkvalitnit a zefektivnit výuku minimálně v 68 vyučovacích hodinách. Cílem výukových textů není suplovat komplexní učebnice mechaniky, ale pouze stanovit základní minimum znalostí pro žáky naší školy, která je zaměřená především na praktické znalosti a dovednosti. Na trhu je dostatek učebnic mechaniky a vhodné literatury, které jsou žákům doporučovány. Důraz v učebním textu je kladen zejména na pochopení problematiky, procvičení matematiky na příkladech s aplikací do strojírenství. Ve Vsetíně dne podpis autora

4 Obsah 1. Úvod do mechaniky, význam mechaniky Význam technické mechaniky Statika tuhých těles. Část Těžiště, těžiště čar Těžiště ploch Guldin Pappovy věty Stabilita podepřených těles Smykové tření Tření na šroubu Tření v klínové drážce Valivé tření Jednočelisťová brzda Čepové tření Vláknové tření Kladky a kladkostroje Pružnost a pevnost Úvod, rozdělení, základní pojmy Namáhání tahem Princip tahové zkoušky, zařízení Diagram tahové zkoušky Diagram smluvních hodnot Hookův zákon Dovolené napětí Druhy namáhání strojních součástí Namáhání tlakem Namáhání ve smyku Namáhání v krutu Namáhání ohybem Nosník na dvou podporách Vetknutý nosník... 94

5 3.6.3 Spojitě zatížené nosníky Nosník zatížený momentem dvojice sil Deformace ohybem Nosníky stejného napětí Vzpěr Kombinovaná namáhání Zdroje Literatura: Internet:

6 1. Úvod do mechaniky, význam mechaniky 1.1 Význam technické mechaniky Význam symbolů ve výukovém textu Výklad učitele, zápis textu do sešitů Poznámka učitele k vysvětlení tématu, doplnění výkladu učitelem k zapsanému textu Seznámení s novými tématy, cíle kapitoly, opakování a doplnění znalostí Otázky k opakování probraného učiva, výsledky zadaných příkladů zadaných za domácí úkol Prostor pro poznámky studentů k probíranému učivu, doplnění, odkazy na literaturu

7 V této kapitole se seznámíme následujícím: Co je to mechanika, čím se vlastně zabývá_? Proč je pro techniky důležité základy mechaniky pochopit_? Základní jednotky SI, opakování Témata. Ročníku Technická mechanika je přírodní věda, která se vyčlenila z fyziky. Je to nauka o rovnováze a pohybu hmotných objektů v prostoru a čase, pracuje se základními veličinami a jednotkami v soustavě SI, jako např.: délka [m], čas [s], hmotnost [kg], Několik vědních oborů se zabývá studiem přírodních jevů na Zemi a ve vesmíru. Jsou to například fyzika, biologie, chemie, astronomie a další vědy. Mechanika o pohybu a rovnováze těles a o jejich vzájemném působení. Takže tato věda se zabývá studiem a aplikací fyzikálních zákonů při řešení konkrétních technických problémů. Poznámka: Technická mechanika je pro začínajícího technika, ale i pro ostatní obory jedním z důležitých oborů a předmětů pro pochopení abstraktních pojmů jako např. síla, moment síly, tlak, zrychlení, Jelikož tyto pojmy a veličiny činí některým žákům zpočátku studia problémy, budeme tyto pojmy a jejich význam procvičovat na řadě příkladů. Cílem těchto učebních textů není nahradit doporučené učebnice, ale naopak mají podpořit probíranou látku ve škole formou samostudia a je žádoucí, aby si žáci uvedené informace v textu doplňovali vlastními vhodnými poznámkami.

8 . Statika tuhých těles. Část.1 Těžiště, těžiště čar V této kapitole se seznámíme následujícím: Co je to těžiště tělesa nebo entity, definice pojmu těžiště, Naučit se určit těžiště čáry, plochy, tělesa, Uvědomit důležitost a význam těžiště těles v technické praxi. Těžiště Těžiště tělesa je střediskem elementárních tíhových sil časti tělesa. Do těžiště umisťujeme působiště gravitační sily působící na těleso. Pravidelné geometrické tvary mají těžiště uprostřed a u nepravidelných tvarů určujeme těžiště: a) zavěšováním b) podpíráním c) výpočtem Například při určování těžiště čáry nebo plochy postupujeme tak, že k jednotlivým úsečkám čáry nebo velikosti plochy přidělujeme rovnoběžné síly úměrné jejich délkám. Těžiště úsečky potom leží uprostřed její délky. Výslednici zvolené soustavy rovnoběžných sil hledáme ve dvou různých směrech a na průsečíku vektorových přímek výslednic leží těžiště. Těžiště některých čar (oblouk apod.) najdeme ve strojnických tabulkách. Má-li čára osu souměrnosti, leží těžiště na této ose. Poznámka: Těžiště je bod, kterým prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoliv.

9 Postup určení těžiště zavěšováním: Postup určení těžiště podpíráním: Zodpovězte otázky: 1. Co je to hmotný bod?. Co je to homogenní těleso? 3. Jak se chová těleso zavěšené v těžišti?

10 Těžiště úsečky: Při určování těžiště čáry postupujeme tak, že k jednotlivým úsečkám čáry přidělujeme rovnoběžné síly úměrné jejich délkám. Těžiště úsečky potom leží uprostřed její délky. Výslednici zvolené soustavy rovnoběžných sil hledáme ve dvou různých směrech a na průsečíku vektorových přímek výslednic leží těžiště. Těžiště některých čar (oblouk apod.) najdeme v tabulkách. Má-li čára osu souměrnosti, leží těžiště na této ose. Těžiště úsečky: l/ T l Těžiště úsečky leží v jejím středu Těžiště čar: Při řešení těžiště složených čar nejdříve složenou čáru rozdělíme na dílčí čáry, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích čar určíme a zavedeme do nich síly úměrné délkám čar. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích čar (v osách x i y)k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T.

11 Příklad 1 Stanovte těžiště složené čáry dle obrázku: Poznámka Postupujeme následovně: Volíme příslušný souřadnicový systém x, y Rozhodneme, zda se jedná o obrazec osově symetrický, pokud ano, bude osa symetrie současně i jednou souřadnou oso (nemusíme provádět výpočet, pokud není, snažíme se obrazec vždy umístit do 1. Kvadrantu, aby měly všechna znaménka hodnoty +) Potom složenou čáru rozdělíme na příslušný počet jednotlivých úseků, které dokážeme jednoduše počítat, úseky zakótujeme Každému úseku čáry určíme polohu těžiště a toto těžiště označíme l1 1 l l3 3 Nejdříve vypočteme pomocí goniometrických funkcí vzdálenosti x 1, x, x 3. Hledáme výslednici sil 1,,3 pro osu y 1. Výslednice sil ve směru osy x + Vx = Σix 1x = 0 x = 0 3x = 0

12 Vx = 0 Z toho vyplývá, že výslednice je kolmá na osu x. Výslednice sil ve směru osy y Vy = Σiy + 1y = 1 (50N) y = (30N) 3y = 3 (0N) Vy = 100 N = V 3. Polohu výslednice najdeme pomocí momentové věty, momentový bod volíme v bodě 0 Momentový bod volíme v bodě 0. M V = Vy.x M 1 = 1.x 1 = 50N.17,66mm = 883,50Nmm M =.x = 30N.45,93mm = 1377,9Nmm M 3 = 3.x 3 = 0N.63,40mm = 168,0Nmm M V = ΣMi M V = 883Nmm+ 1377,9Nmm+168Nmm = 359,4 Nmm r = M V / Vy = 359,4Nmm/100N = 35,94Nmm Výsledná síla má rameno 35,94mm Stejným způsobem jako v prvním případě postupujeme i pro síly (délky úseček), které budou kolmé na původní soustavu. 1. Výslednice sil ve směru osy x + Vx = Σ iy

13 1x = 1 (50N) x = (30N) 3x = 3 (0N) Vx = 100N. Výslednice sil ve směru osy y Vy = Σiy 1y = 0 y = 0 3y = 0 Vy = 0 3. Polohu výslednice najdeme pomocí momentové věty, momentový bod volíme v bodě 0. M V = V.x M 1 = 1.y 1 = 50Nmm =.Nmm M =.y = 30Nmm =.Nmm M 3 = 3.y 3 = 0Nmm =.Nmm M V = ΣMi M V =.Nmm+..Nmm+..Nmm =..Nmm r = M V / V = Nmm/100N = Nmm Výsledná síla má rameno mm

14 Těžiště půlkružnice pro půlkružnici dosadíme: Příklad Stanovte početně souřadnice těžiště složené čáry dle obrázku. l = 00, l 3 =300 Příklad 3 Stanovte početně souřadnice těžiště složené čáry dle obrázku. l = 00, l 3 =300

15 Poznámka: Při řešeni těžiště složených čar složenou čáru rozdělíme na dílčí čáry, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích čar určíme výpočtem a zavedeme do nich sily úměrné délkám čar. Vlastní řešení provedeme pomoci momentové věty. Součet momentů dílčích čar v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T. Výsledky: Př. - Souřadnice těžiště x T =04,8mm, y T =119,5mm Př. 3 Souřadnice těžiště x T =04,98mm, y T =119,5mm

16 . Těžiště ploch V této kapitole se budeme zabývat řešením těžiště ploch a významem znalosti těžiště ploch. Vysvětlení postupu výpočtu těžiště ploch s využitím dosavadních znalostí Aplikace momentové věty k výpočtům těžiště ploch Těžiště ploch: Těžiště ploch řešíme podobně jako těžiště čar s tím rozdílem, že do výpočtu dosazujeme velikost sil, které jsou úměrné obsahům jednotlivých ploch. Má-li plocha osu souměrnosti, leží těžiště na této ose. Vztahy pro výpočet polohy těžiště u některých základních plošných útvarů, kruhová výseč, úseč, apod. jsou uvedeny v tabulkách. Danou plochu rozdělíme na dílčí části, u kterých snadno určíme velikost a polohu těžiště, například obdélník, trojúhelník, kruh a podobně. Pak statický moment celkové plochy se musí rovnat součtu statických momentů dílčích ploch. Plocha obrazce leží v rovině, pak těžiště v této rovině má dvě souřadnice (nejčastěji x a y). Příklad 4 Stanovte početně souřadnice těžiště plochy dle obrázku.

17 Těžiště některých jednoduchých ploch Obrazec Plocha Souřadnice S = πd 4 S = ab S = πd 8 Příklad 5 Stanovte početně souřadnice těžiště plochy dle obrázku, jestliže a 1 = 50 mm, b 1 = 80 mm, a = 10 mm a b = 0 mm

18 Příklad 6 Stanovte početně souřadnice těžiště plochy dle obrázku. Postup řešení: Volba momentového bodu M=0 Plochu rozdělíme na tři plochy, které umíme počítat: 1. S 1 = 1 - obdélník axh. S = - trojúhelník ((B-a)xH)/ S 3 = 3 - Plocha kruhu (Π.d )/4 S V = S 1 +S -S 3 = V Otázky: 1. Vysvětlete, co je složeny obrazec.. Napište postup grafického řešeni těžiště složeného obrazce a početního řešeni těžiště složeného obrazce 3. Početně určete souřadnice plochy dle obrázku, jestliže a = 60 mm, b = 10 mm, c = 30 mm a d = 45 mm.

19 Výsledek: Počátek souřadného systému os je v levém dolním rohu obrazce T = [56,8; 30] Výsledky: Př. 4 - Těžiště leží 1,5 mm od momentového bodu 0 v kladném směru Př. 5 - Souřadnice těžiště x T =..mm, y T =.mm Př. 6 - Souřadnice těžiště x T =..mm, y T =.mm

20 .3 Guldin Pappovy věty V této kapitole se seznámíme následujícím: Výpočtem povrchu rotačně symetrických těles, známe- li těžiště tvořícího útvaru Výpočtem objemu rotačně symetrických těles, známe- li těžiště tvořícího útvaru Guldinovy věty slouží k výpočtu povrchu a objemu těles. Povrch rotačního tělesa vypočteme, když násobíme délku tvořící čáry dráhou těžiště čáry při otáčení kolem osy rotace. Objem rotačního tělesa vypočítáme, násobíme-li obsah tvořící plochy S dráhou jejího těžiště při otáčení kolem osy Příklad 7 Vypočtěte povrch a objem anuloidu dle obrázku. Oba výpočty jsou postaveny na základě: a) rotace kruhu kolem osy (L), dostáváme povrch tělesa b) rotace tvořící plochy (S) kolem osy, dostáváme objem tělesa r x T

21 1. Vypočet povrchu anuloidu: a) Vypočteme délku tvořící čáry: L = πr b) Vypočteme souřadnice těžiště tvořící čáry: x T = R c) Dosadíme do vzorce: S = πx T L S = πx T πr S = 4π x T r. Vypočet objemu anuloidu: a) Vypočteme obsah tvořící plochy: S = πr d) Vypočteme souřadnice těžiště tvořící čáry: x T e) Dosadíme do vzorce: V = πx T S V = πx T πr V = π x T r Příklad 8 Vypočtěte povrch a objem komolého kuželu dle obrázku. Dáno Ød= 40mm, ØD= 80mm, H= 60mm Výpočet povrchu kuželu S P

22 1a. Výpočet sil ve směru osy x Vx = 1x + x + 3x 1x = 0N x = 63,N 3y = 40N Vx = 13,N 1b. Výpočet sil ve směru osy y Vy = 1y + y + 3y 1y = 0N y = 63,N 3y = 40N Vy = Vx = 13,N. Výpočet výsledného momentu osa y M Vy = ΣM iy M 1y = - 1y.x 1 = 0N.10mm = -00,0 Nmm M y = - y.x = 63, N.9,9mm = -1890,9 Nmm M 3y = - 3y.x 3 = 40N.0mm = -800,0 Nmm M Vy = - 890,9 Nmm 3. Výpočet vzdálenosti těžiště složené čáry x T Výpočet provedeme pomocí momentové věty, momentový bod volíme na průsečíku os x a y. M Vy = Vy.x T x T = M Vy / Vy = - 890,9 Nmm/13,N = - 3,46 mm y T = M Vx / Vx = Nmm/13,N = 5,1mm 4. Výpočet povrchu komolého kužele S P S = πx T L S p =. π. 3,46mm. 13, mm = mm Povrch komolého kuželu je 18 0 mm

23 Výpočet objemu tělesa V: 1. Výpočet objemu kuželu V P : V = πx T S P Výpočet objemu tělesa V 1. Výpočet sil ve směru osy y V y = 1y + y 1y = 1 00N y = 600N Vy = Vx = N a. Výpočet výsledného momentu osa x, momentový bod volíme v průsečíku os x a y M Vy = ΣM iy M 1y = - 1y.x 1 = -100 N.10mm = Nmm M y = - y.x = -600 N (0mm+6,6mm) = ,0 Nmm M Vy = Nmm M V y = Vy.x x T = M V y/ V y = Nmm/1 800N = -15,53mm b. Výpočet výsledného momentu osa y, momentový bod volíme v průsečíku os x a y M Vx = ΣM ix M 1x = 1x.y 1 = 100 N.30mm = ,0 Nmm M x = x.y = 600 N.0mm = 1 000,0 Nmm M Vx = Nmm M V x = Vy.x T

24 x T = M Vx / Vx = Nmm/1800N = 6,7mm V =.3,14. x T. S =.3,14. 15, = ,1mm 3 Objem komolého kuželu je ,1 mm 3 Zodpovězte otázky: 1. K čemu slouží Guldin Pappovy věty?. jaký je princip výpočtu pomocí Guldin Pappovy věty? 3. Jaké podmínky musí splňovat tělesa pro výpočet? 4. Definujte těžiště ploch 5. Jaký je rozdíl mezi povrchem a objemem těles?

25 .4 Stabilita podepřených těles V této kapitole se seznámíme následujícím: Naučíme se popsat řešení těžiště těles Vysvětlíme si pojem stabilita tělesa Co je to stálá rovnovážná poloha Co je to vratká rovnovážná poloha Co je to volná rovnovážná poloha Stabilita těles Stabilita tělesa je určena mechanickou prací, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístili z polohy stabilní do polohy vratké. Těleso je stabilní, jestliže svislá těžnice prochází jeho podstavou. Větší stabilitu mají těžší tělesa s větší plochou podstavy a s níže položeným těžištěm. Typy rovnovážných poloh: Stálá rovnovážná poloha (stabilní) Stálá rovnovážná poloha (též stabilní rovnovážná poloha) je poloha, pro kterou platí, že vychýlením z této polohy se těleso vrací zpět, tzn., vychýlení se postupně zmenšuje. Potenciální energie tělesa ve stálé rovnovážné poloze je nejmenší, při vychýlení se zvětšuje. Příkladem může být kulička nacházející se v důlku. Při vychýlení se kulička bude vracet zpět do výchozí pozice. Při vychýlení se zvyšuje potenciální energie kuličky. Jiným příkladem může být těleso, které je zavěšeno, přičemž závěs je umístěn nad těžištěm (těžiště i zavěšení přitom leží na stejné těžnici). Při vychýlení tělesa ze stabilní polohy se těleso působením momentu sil vrací zpět do rovnovážné polohy. Při vychýlení se zvyšuje potenciální energie těžiště. Vratká rovnovážná poloha (též labilní rovnovážná poloha) je poloha, pro kterou platí, že vychýlením z této polohy se těleso nevrací zpět, ale výchylka se dále zvětšuje. Vychýlením z vratké polohy se potenciální energie tělesa zmenšuje. Příkladem může být kulička nacházející se na vrcholu kopce. Při vychýlení ze své pozice se kulička bude vždy kutálet dolů a sama se nevrátí na výchozí pozici. Při vychýlení se snižuje potenciální energie kuličky. Jiným příkladem může být těleso, které je zavěšeno, přičemž závěs je umístěn pod těžištěm (těžiště i zavěšení přitom leží na stejné těžnici). Při sebemenším vychýlení tělesa z rovnovážné polohy dochází v důsledku vzniku momentu sil od

26 tíhové síly ke zvětšování této výchylky. Potenciální energie těžiště se při vychýlení zmenšuje. Volná rovnovážná poloha Volná rovnovážná poloha (též indiferentní rovnovážná poloha) je poloha, pro kterou platí, že vychýlením tělesa se výslednice sil ani výsledný moment síly působících na těleso nemění. Při vychýlení tělesa se vzdálenost od původní polohy nemění (nezmenšuje se ani se nezvětšuje). Při vychýlení tělesa zůstává potenciální energie konstantní. Příkladem může být kulička nacházející se na vodorovné rovině. Posuneme-li kuličku na jiné místo, zůstane tam stát a nebude se od původní polohy ani vzdalovat, ani se k ní nebude vracet. Potenciální energie zůstává konstantní. Jiným příkladem může být těleso, které je zavěšeno, přičemž závěs je umístěn v těžišti. Při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy zůstává těleso v nové poloze a nevrací se zpět do původní polohy, ani se od ní nevzdaluje. Potenciální energie těžiště se nemění. Poznámka: Stabilita tělesa je určena mechanickou prací, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístili z polohy stabilní do polohy vratké. Těleso je stabilní, jestliže svislá těžnice prochází jeho podstavou. Větší stabilitu mají těžší tělesa s větší plochou podstavy a s níže položeným těžištěm.

27 Zodpovězte otázky: 1. Stručně vysvětlete, jakými problémy se zabýváme při řešeni úloh stability,. U jakých typů konstrukci se setkáváme s problémy stability? Uveďte alespoň příklady. 3. Za pomoci známého fyzikálního vyjádřeni stabilních poloh kuličky na tvarové podložce vysvětlete 3 základní stavy rovnováhy. 4. Charakterizuj moment sily jako fyzikální veličinu. 5. Jak vypočítáme moment sily, na čem závisí? 6. Jak určíme směr momentu sily? 7. Co je to rameno sily? 8. Kdy je moment sily nulový? 9. Odvoď jednotku momentu sily. 10. Jak zni momentová věta? 11. Změní se moment sily vzhledem k ose otáčení, posuneme-li působiště sily do jiného bodu její vektorové přímky? 1. Změní se moment sily vzhledem k ose otáčení, změní-li se směr sily? 13. Co znamená skládat sily? 14. Co je to výslednice sil? 15. Najdi výslednici různoběžných sil. 16. Charakterizuj dvojici sil. 17. Jak je vyjádřen otáčivý účinek dvojice sil? 18. Jak se vypočítá moment dvojice sil? 19. Odvoď vztah pro moment dvojice sil. 0. Uveď příklady působení dvojice sil na těleso. 1. Jak velká musí byt pouze 1 působící sila volant, aby byl stejný otáčivý účinek jako dvojice sil?. Co znamená rozložit sílu na složky? 3. Kde má působiště tíhová síla? 4. Jak se značí těžiště a kolik těžišť má každé těleso? 5. Jakými způsoby nalezneme těžiště? 6. Kde se nachází těžiště stejnorodých těles? 7. Může být těžiště i mimo látku tělesa? Uveď příklad? 8. Kdy je zavěšené nebo podepřené těleso v rovnovážné poloze? 9. Jaké jsou podmínky rovnováhy tuhého tělesa? 30. Které druhy rovnovážných poloh znáš?

28 .5 Smykové tření V této kapitole se seznámíme následujícím: Vysvětlíme si, co jsou to pasivní odpory Jaké je vyzužití pasivních odporů v praxi Vysvětlíe si, jaké předpoklady jsou nutné pro výpočet tření Smykové tření K uvedení tělesa do pohybu a udržení jeho rovnoměrného pohybu po podložce je třeba určité vnější síly, která překonává odpor proti pohybu ve stykových plochách těles, zvaných smykové tření. Smykové tření závisí na součiniteli smykového tření μ, který je dále závislý na použitém materiálu, jakosti povrchu stykových ploch a na velikosti normálové reakce N. Třecí síla působí vždy proti směru pohybu. Tření využíváme každodenně například při chůzi, jaké to může být, když je tření menší lze snadno zjistit při náledí. Přílišné tření je ale někdy i v technické praxi na škodu, proto se například ložiska a další součásti, které jsou v častém kontaktu a v pohybu s jinými mažou oleji nebo jinými přípravy, které naopak dokážou snižovat nežádoucí tření a opotřebení součástí. K uvedení tělesa do pohybu a udržení jeho rovnoměrného pohybu po podložce je třeba určité vnější síly, která překonává odpor proti pohybu ve stykových plochách těles, zvaných smykové tření.

29 G tíha tělesa T smykové tření vnější akční síla N normálová síla T = N. μ Poznámka: Při přímočarém rovnoměrném pohybu pro vypočet třecí síly platí vztah T = N. μ. Hodnoty koeficientu μ lze najit ve strojnických tabulkách. Při pohybu tělesa po vodorovné podložce dochází ke smýkaným tělesa po podložce a proti směru působící síly a pohybu tělesa působí vždy třecí síla T způsobené tíhou tělesa. Její velikost je závislá na jakosti materiálu a materiály styčných ploch. Síla N je tzv. normálová sila a je vždy kolmá na podložku. Tabulka součinitelů smykového tření u vybraných materiálů:

30 Příklad 9 Po podlaze nákladního auta obloženého plechem má být taženo okovaná bedna o hmotnosti m= 300 kg. Vypočítejte, jak velkou sílu musíme vynaložit pro pohyb bedny po podlaze. m= 300 kg μ = 0,17 N = m. g = 300 kg.9,81ms - = 943 N = T T = N. μ = 500,3 N Je potřeba vynaložit sílu 500,3 N Příklad 10 Dojde k posunutí bedny, když pracovník A vyvine sílu 1=500N a pracovník B vyvine sílu 450 N? Hmotnost břemena je 0 kg. Dřevěná bedna je posouvána po suché dřevěné podlaze; α 1 = 45, α = 0

31 Pro síly v ose X: Σ ix =0 Pro síly v ose Y: Σ iy =0 Mějme na paměti: T = N. μ - T =0 = T G - N =0 G T = N. μ = G μ Zodpovězte otázky: 1. Co je to třecí síla?. Co je to normálová síla? 3. Jaký je vztah mezi třecí a normálovou silou? 4. Co je to koeficient tření a k čemu slouží? 5. Jaké je využití tření v praxi?

32 Tření na nakloněné rovině Nakloněná rovina je taková rovina, která svírá s vodorovnou rovinou určitý úhel (tzv. úhel sklonu). Dále se udává stoupání úhlem α. Jedná se například o svah, závit na šroubu, klín jako strojní součást, Nakloněná rovina je jednoduchý stroj, ušetří sílu potřebnou ke zvednutí tělesa (břemene). Velikost potřebné síly závisí na úhlu naklonění roviny, neboli na délce a výšce nakloněné roviny. Nezmenšuje však množství práce potřebné k vykonání pohybu. 1. Pohyb nahoru, břemeno je taženo nahoru silou 1, postup výpočtu: n ix = 0 i=1 1 = G. sin T = 0 1 = G. sin N. μ = 0 1 = G. sin G. cos α. μ = 0 1 = G (sin + μ. cosα)

33 Pohyb dolů, je přidržovací síla n ix = 0 i=1 + T G. sin = 0 = G. sin T = G. sin N. μ = 0 = G (sin μ. cos α) Příklad 11 Jakou tíhu může mít náklad naložený na sáně tíhy G S = 1 00 N, táhne-li je malotraktor do kopce se sklonem α = 15, je li součinitel tření µ = 0,04 a tažná síla malotraktoru je = N. Jaký náklad malotraktor utáhne po rovině při stejné tažné síle?

34 Příklad 1 Břemeno tíhy G =3000 kg má být vytaženo po nakloněné rovině. Stoupání nakloněné roviny je 1:3 a součinitel tření f = 0,. Jakou sílu je třeba vynaložit, aby bylo břemeno vytaženo po nakloněné rovině? Nakreslete, vyřešte Výsledky: Příklad 10: = N Příklad 11: 1. Na rovině náklad může mít tíhu N.. Do kopce může mít náklad N.

35 .6 Tření na šroubu V této kapitole se seznámíme následujícím: Šroub je vlastně nakloněná rovina Vysvětlení pojmu samosvornost šroubu Vysvětlení pojmu účinnost šroubu Tření na šroubu Úhel odklonu roviny alfa je vlastně úhel stoupání šroubu a jde vlastně o výpočet tření při pohybu tělesa po nakloněné rovině. Výpočtu tření se zabýváme při návrhu pohybových šroubů např. šroubové zvedáky. Šrouby kontrolujeme z hlediska jeho samosvornosti a účinnosti. 1. Otočná opěrka. Matice 3. Šroub 4. Stojan 5. Páka Schéma šroubového zvedáku Poznámka: Působením síly na konci vratidla vyvineme sílu 1 na středním průměru závitu, která je potřebná k otáčení šroubu při zvedání břemena G.

36 α úhel stoupání závitu G osová síla (působí v ose šroubu) Samosvornost šroubu odvození podmínky Samosvornost šroubu znamená, že šroub se působením osové síly nemůže samovolně otáčet. (břemeno se šroubu zvedáku udrží bez zvláštní zdržovací síly). Podmínka samosvornosti šroubu: tg μ > tg α T > G sin α N μ > G sin α G. cos α. tg μ > G sin α tg μ > sin cos tg μ > tg α μ > α Účinnost šroubu Účinnost šroubu je vždy menší jak 1 a závisí na povrchu styčných ploch a úhlu stoupání. Účinnost šroubu vypočteme jako Podmínka samosvornosti šroubu: tg φ > tg α η = ovládací síla teoretická (bez zatížení) síla skutečná

37 η = η = G sin α G (sin α + μ cos α) sin α sin α + μ cos α Účinnost je vždy menší jak 1 a závisí na povrchu styčných ploch a úhlu stoupání. Příklad 13 Stanovte účinnost šroubu zvedáku, závit šroubu má střední průměr d o (střední průměr šroubu) = 75 mm, s (stoupání) = 14 mm. Zkontrolujte, zda je šroub samosvorný. Výsledky: Příklad 1 α = 3 4 μ = 5 tg φ > tg α podmínka samosvornosti je splněna. η = 37% účinnost šroubového zvedáku je 37 %.

38 .7 Tření v klínové drážce V této kapitole se seznámíme následujícím: Využití klínových drážek v technické praxi Odvození třecích sil v závislosti na úhlu klínové drážky Závislost součinitele tření na úhlu drážky α T = třecí síla T = N μ N = N1 + N N = sin α N1 = sin α N = sin α N1 = N = N = sin α sin α sin α + sin α T = μ N T = μ T = sin α μ sin α Příklad 14 jak se zvětší součinitel tření μ pro kov na kov hladce opracovaný, suchý, jestliže úhel α = 30. Dle ST pro tření za pohybu, suché tření μ = 0,17 T = μ sin α

39 T = 0,17 sin 30 T =. 0,34 Součinitel tření se dvojnásobně zvětšil. Úpravou styčných ploch do tvaru klínové drážky se zvětšuje součinitel tření. Vypočtěte a vložte do tabulky závislost změny součinitele tření úhel styku řemene a řemenice se mění v rozsahu 0-90 po 10 Zodpovězte otázky: 1. Jaké využití v praxi mají klínové drážky.. Nakreslete a odvoďte výslednou třecí sílu v klínové drážce. 3. Jak se mění součinitel tření v klínové drážce v závislosti na úhlu rozevření drážky.

40 .8 Valivé tření V této kapitole se seznámíme následujícím: Jak vzniká valivý odpor a co způsobuje Velikost valivého odporu, co ho ovlivňuje Co je to dokonale tuhé těleso Co je to deformace Valivý odpor Tření a pohyb automobilu? Je příčinou zpomalení, působí proti pohybu automobilu. Pneumatiky auta působí na vozovku silou směřující proti směru pohybu, proto podle zákona akce a reakce musí vozovka působit stejně velkou silou na kola, ale opačného směru. Tření mezi vozovkou a pneumatikami není silou, která by pohyb automobilu brzdila, ale je naopak silou hnací. Stejně to funguje i při chůzi. O opaku se můžeme přesvědčit při náledí. Toto platí při rozjíždění nebo jízdě stálou rychlostí. Pokud automobil brzdí, platí vše naopak. Síla valivého tření mezi vozovkou a pneumatikami tedy může být někdy silou hnací, v jiném případě silou brzdící. Poznámka Valivý odpor vzniká pohybem tělesa kruhového průřezu (tvaru) po podložce působením N vzniká deformace tělesa i podložky. Deformace podložky a valivého tělesa vyvolává odporovou sílu T, která působí na těleso a směřuje proti směru pohybu. Velikost odporové síly závisí na jakosti povrchu a rameni valivého odporu. Valivý odpor je mnohem menší než smykové tření, čehož se využívá v praxi při maximálním využití kol pro pohyb nebo pro valivá ložiska. Dokonale tuhé těleso (bez deformace) v praxi neexistuje. Skutečné těleso není dokonale tuhé, dochází vždy k deformaci.

41 Pro odvození síly použijeme opět momentovou větu Podmínka rovnováhy pro výpočet síly k valení tělesa k bodu A:. a = G. ξ = G. ξ a [ξ ]=m (rameno valivého odporu) []=N (síla potřebná pro valení) [ TO ] = odporová třecí síla [ N ] = normálová síla [G]= tíha tělesa v N [a] = působiště síly nad podložkou Příklad 14 1) Vypočtěte sílu potřebnou k valení dřevěného válce o průměru 1m a hmotnosti 400 kg po dřevěné podložce. ) Jak vysoko nad podložkou (b) by musela působit síla 1, aby nastalo smýkání válce po podložce a jak velká by musela být síla 1_? Dáno: D=1m, m=400kg, koeficient valení dřevo-dřevo ξ = (ST)

42 Výsledky: Příklad 14: pro valení = 7,9N pro smýkání = 1177, N Zodpovězte otázky: 1. Co je to hmotný bod?. Co znamená rozložit sílu na složky? 3. Kde má působiště tíhová síla? 4. Jak se značí těžiště a kolik těžišť má každé těleso? 5. Jakými způsoby nalezneme těžiště? 6. Kde se nachází těžiště stejnorodých těles? 7. Může být těžiště i mimo látku tělesa? Uveď příklad? 8. Kdy je zavěšené nebo podepřené těleso v rovnovážné poloze? 9. Jaké jsou podmínky rovnováhy tuhého tělesa?

43 .9 Jednočelisťová brzda V této kapitole se seznámíme následujícím: K čemu slouží brzdy Použití brzd ve strojírenství, mechanické brzdy Rozdělení mechanických brzd Princip výpočtu u jednočelisťové brzdy Mechanické brzdy Jednočelisťová brzda se skládá z brzdového kotouče (bubnu) a páky se špalíkem. Tato brzda se používá jen pro malé momenty a namáhá hřídel na ohyb. Schéma jednočelisťové brzdy Postup výpočtu jednočelisťové brzdy Vysvětlení symbolů: M = točivý moment, = ovládací síla. Dáno: smysl otáčení bubnu ve směru hodinových ručiček, hodnoty a, b, c, µ, r. Úkolem je odvodit ovládací sílu brzdy.

44 1. Uvolnění páky: M ia = 0 a T c N b = 0 = N ( b + μ c) a. Uvolnění bubnu s brzdovým kotoučem: M ib = 0 M T r = 0 M N μ r = 0 N = M μ r Tuto rovnici dosadíme do rovnice 1 a po úpravě dostaneme: = M ( b + μ c) a μ r

45 Příklad 15 Vyřešte rovnici pro opačný směr otáčení bubnu. Příklad 16 Na brzdový buben působí moment 40Nm. Jak velkou silou musíme působit na páku brzdy, aby došlo k zastavení kotouče? Suché tření litina-edoro. Vypočtěte pro oba směry otáčení kotouče. Dáno: c=0,5m, a=1,m, b=0,6m, µ=st (0,15), r=0,m, M=40Nm. Výsledky: Př. 15 = M ( b μ c) a μ r Př. 16 = 708N

46 .10 Čepové tření V této kapitole se seznámíme následujícím: Jak vzniká čepové tření, popis Využití čepového tření v praxi Co jsou to pasivní odpory Co jsou to čepy radiální a axiální Co jsou to zaběhané a nezaběhané čepy Čepové tření Na překonání čepového tření je potřeba mechanická energie, která se v podstatě mění v teplo. Čepy se zahřívají a mohou se vznikajícím teplem i poškodit. Proto se tření snažíme snížit na minimální hodnotu například mazáním, chlazením. Čepy rozdělujeme na axiální a radiální. Axiální čepy: T = μ N M č = T 3 r M č = μ N 3 r R U zaběhlého čepu: M č = μ N r Poznámka: Třecí sila T je rovnoměrně rozdělena po cele ploše čepu. Uvažujeme, že výslednice působí na rameni /3 R pro nezaběhnuty čep a 1/ R pro zaběhaný čep.

47 Radiální čepy: = zatěžující síla N = normálová reakce T = tření v čepu µ = koeficient čepového tření (ST) T = μ. N Odpor proti otáčivému pohybu vyjadřujeme u čepů vždy pomocí momentu čepového tření. M č = T. R M č = μ. N. R Výkon ztracený čepovým třením P č = M č ω n P č = M č π n Příklad 17 Hmotnost čtyřkolového vozu s nákladem je 45 kg. Určete výkon ztracený při rychlosti 0km/hod., jestliže Ø čepu d = 1 mm a koeficient čepového tření µ = 0,06 a Ø kola D = 300 mm.

48 P č = M č π n Výsledky: Příklad 17 - ztracený výkon při tlačení vozíku je 3, 064 W. Otázky: 1. Uveďte příčiny odporu proti pohybu.. Ve kterých případech je tření užitečné a kde naopak škodí. 3. Co je to třecí úhel a jak se zjišťuje. 4. Na čem je závislá třecí síla. 5. Je větší tření ve vodorovné rovině nebo v klínové drážce. 6. Co ovlivňuje tření u radiálních čepů.

49 .11 Vláknové tření V této kapitole se seznámíme následujícím: Co rozumíme vláknovým třením. Využití vláknového tření v praxi. Výpočet síly k brždění bubnu. Vláknové tření Vláknovým (pásovým) třením rozumíme tření vláken (lan, řemenů) po nehybné válcové ploše, tření při pohyblivém kotouči a nehybném pásu (pásová brzda) nebo tření na součástech, které jsou obě v pohybu (řemenový nebo lanový převod). Pasova brzda pracuje na principu vláknového třeni. Vzhledem k velkému uhlu opásaní mají pasové brzdy větší účinky než čelisťové. Jednoduchá a diferenciální brzda mají brzdný účinek závislý na směru otáčení bubnu. Poznámka: Matematické vztahy pro výpočet ovládací síly je možno dokázat a odvodit pomocí vyšší matematiky. 1. Podmínka vláknového tření ve směru pohybu zvedání břemene: α úhel opásání [rad] µ - koeficient vláknového tření e základ přirozených logaritmů > G > G. e αµ

50 1. Podmínka vláknového tření ve směru pohybu spouštění břemene: α úhel opásání [rad] µ - koeficient vláknového tření e základ přirozených logaritmů < G < G e αµ Příklad 18 Určete velikost síly pro zvedání břemene tíhy G = 500N, je-li úhel opásání α = 180 a součinitel smykového tření µ = 0,3. Dosazením do vztahu Dostaneme: > G. e αµ = 500N.,57 = 185 N Síla potřebná ke zvedání břemene je = 185 N.

51 Zodpovězte otázky: 1. Ve kterých případech je tření užitečné a kde naopak škodí.. Co je to třecí úhel a jak se zjišťuje. 3. Na čem je závislá třecí síla. 4. Jmenuj příklady škodlivé třecí síly. 5. Jakými způsoby se tření zmenšuje?

52 .1 Kladky a kladkostroje V této kapitole se seznámíme následujícím: Co je to kladka pevná, využití, výhody, nevýhody, účel Co je to kladka pevná, využití, výhody, nevýhody Co je to kladkostroj, využití, výhody, nevýhody Kladka pevná Pevná kladka mění směr ovládací síly, je upevněna na konstrukci a umožňuje jednak volný posun lana (řetězu), jednak změnu jeho směru, a to bez velkých ztrát. Kladka je v rovnováze, pokud na oba konce lana působí stejné síly. Při ručním zvedání břemen je výhodnější působit silou dolů, protože člověk může působit svou vlastní vahou. Poznámka: Pro některá použití je třeba vyloučit zpětný pohyb. Kladka může být blokována západkou, jenže lano by po ní mohlo sklouznout; proto se místo lana používá řetěz a kladka má po obvodě zuby nebo palce, které zapadají do jednotlivých ok řetězu. Pevné kladky také umožňují pohyb závěsného vozíku po napjatém laně jako u lanovky.

53 r G G tíha břemene ovládací síla ɳ - účinnost kladky ɳ = G 1 < 1 platí pro rovnoměrné zvedání břemene 1 = G ɳ ɳ = G < 1 = G ɳ platí pro rovnoměrné spouštění břemene Účinnost kladky bývá pro konopná lana ɳ = 0,9 0,95 a pro ocelová lana ɳ = 0,94 0,96 Kladka volná Volná kladka je zavěšena na laně, jehož jeden konec je upevněn a na druhý působí síla. Břemeno se zavěšuje na třmen kladky. K váze břemene se přičítá váha volné kladky. Hmotnost břemene se rozdělí do dvou složek S1 a S v laně. U kladky bez tření (beze ztrát) by se síla v laně 1 rovnala síle v laně. Poznámka: Samotná volná kladka se používá při napínání drátů a lan, například vrchního vedení (troleje) na železnici, v horolezectví i jinde. Při zvedání břemen by síla musela působit směrem vzhůru, proto se volná kladka obvykle kombinuje s pevnou, čímž vzniká jednoduchý kladkostroj.

54 S1 S r G S1 = S = G Kladkostroje Kladkostroje se používají pro zvedání větších břemen menšími silami. Kladkostroj je kombinace pevných a volných kladek, případně několika párů kladek. Kladkostroj kombinuje výhody volné a pevné kladky, znásobuje působící sílu, která přitom může působit směrem dolů. Poznámka: Vynález kladkostroje se připisuje Archimédovi, který prý s jeho pomocí sám zavlékl naloženou válečnou loď do přístavu. Po něm se také nazývá Archimédův kladkostroj

55 Teoretická ovládací síla: G - Tíha břemene n - Počet nosných průřezů lana = G n Skutečná ovládací síla pro zvedání bude: G 1 = n ɳ c ɳ - celková účinnost kladkostroje n počet kladek Skutečná ovládací síla pro spouštění bude: = G ɳ c n ɳ - celková účinnost kladkostroje n počet kladek Příklad 19 Určete hmotnost břemene, které je možno zvedat na jednoduchém kladkostroji se 4 kladkami silou 1 = 60 N. Celková účinnost kladkostroje ɳ C = 0,8. Jaká síla bude potřeba pro spouštění břemena? 1 = 60 N =? Počet kladek n = 4 Celková účinnost kladkostroje ɳ C = 0,8 G 1 = n ɳ c 60N = 60N = G 4. 0,8 G 4. 0,8 G = m g m = 86,85 kg

56 Hmotnost břemene pro zvedání silou 60N je 86,85 kg. Hmotnost břemene pro spouštění tělesa o hmotnosti 86,85 kg je 174,66 N Zodpovězte otázky: 1. Kde má působiště třecí síla?. Jakým směrem působí třecí síla? 3. Jakým způsobem změříme třecí sílu? 4. Co je příčinami třecí síly? 5. Na čem třecí síla nezávisí? 6. Na čem třecí síla závisí a jak? 7. Jak vypočítáme smykovou třecí sílu? 8. Co je to součinitel smykového tření, jak jej značíme a jakou má jednotku? 9. Na čem závisí součinitel smykového tření? 10. Jaký je rozdíl mezi součinitelem smykového tření a součinitelem klidového tření? 11. Jaké máme druhy tření? 1. Srovnej druhy tření podle velikosti třecí síly. 13. Jmenuj příklady užitečné třecí síly. 14. Jmenuj příklady škodlivé třecí síly. 15. Jakými způsoby se tření zmenšuje?

57 3. Pružnost a pevnost 3.1 Úvod, rozdělení, základní pojmy V této kapitole se seznámíme následujícím: Definicí základních pojmů z pružnosti a pevnosti. Uvědomíme si charakteristiky jednotlivých namáhaní. Vysvětlíme si pojem napětí. Definujeme, jak vzniká deformace součásti. Vysvětlíme pojem tečné a normalné napěti. Naučíme se definovat nebezpečný průřez součásti. Řešení kvadratických rovnic Úkolem nauky o pružnosti a pevnosti je určit k předepsanému vnějšímu zatížení rozměry a deformaci tělesa tak, aby se nepřekročila nejen mez pevnosti, ale ani mez pružnosti, za kterou se tělesa trvale deformují. U součástí určujeme takový tvar a rozměry, aby odolávaly vnějším silám s dostatečnou bezpečností při pokud možno nejmenší spotřebě materiálu. Vnější síly způsobují různé druhy deformací a namáhání uvnitř materiálu strojních součástí. Poznámka: Pružnost a pevnost je část mechaniky, která se zabývá studiem deformaci těles a jejich pevnosti s ohledem na působení vnějších sil. Vnější síly jsou způsobeny jinými tělesy nebo silovým polem a působí vně daného tělesa. Vnitřní síly působí uvnitř daného tělesa v důsledku působení vnějších sil a představují silovou vazbu, která brání deformací nebo porušení tělesa. Pro posouzení velikosti vnitřních sil je zavedena veličina nazvaná napětí. Druhy deformací: -Pružná (elastická) -Nepružná (plastická) Druhy namáhání: -Statické -Dynamické Prostá namáhání TAH TLAK OHYB KRUT Složená (kombinovaná) namáhání

58 STŘIH (SMYK) Zodpovězte otázky: 1. Jaká je definice napěti?. Jaký je rozdíl mezi vnější a vnitřní silou? 3. Jak budete určovat druh napěti?

59 3. Namáhání tahem V této kapitole se seznámíme následujícím: K čemu slouží pracovní diagram Co je to Hookův zákon a co vyjadřuje Vnitřní síly, vnější síly Namáhání tahem Tahem je namáháno těleso, na které působí dvě stejně velké protisměrné osové síly, směřující od sebe (ven z tělesa). Velikost vnitřního namáhání materiálu posuzujeme podle vnitřní síly, která připadá na jednotku plochy průřezu tělesa a nazývá se napětí. Poznámka: Základním principem pevnostních výpočtů při namáhání tahem je, že provozní napětí v tahu musí být vždy menší nebo rovno dovolenému napětí v tahu. Pružnost a pevnost je část mechaniky, která zkoumá deformace a napětí vnikající v zatížených konstrukčních prvcích strojů, zařízení a konstrukcí, obvykle řešíme tři základní úlohy: dimenzování (zjišťování rozměrů a tvaru) strojních součástí, známe-li její zatížení a materiál zjištění napětí a deformace v zatížených součástech, známe-li jejich zatížení, rozměry (tvar) a materiál zjištění velikosti maximálního (dovoleného) zatížení součásti, známe-li její rozměry (tvar) a materiál. Vnější síly, vnitřní síly, napětí Vnější síly jsou to síly zatěžující a vazbové. Vnitřní síly jsou vyvolány vnějšími silami a brání deformaci součásti, silový účinek vnitřních sil musí být vždy v rovnováze s účinkem vnitřních sil při jakémkoliv druhu namáhání.

60 Napětí - metoda řezu - provedeme řez součásti, na ploše řezu musíme uvolněnou a odstraněnou část součásti nahradit vnitřními silami. Poznámka: Zatěžující a vazbové síly jsou silami vnějšími. Vnější síly vyvolávají v materiálu vnitřní síly, kterými se materiál brání proti porušení. Při zatížení součásti dle obrázku (a) vyvolává zatěžující síla v každém kolmém průřezu vnitřní sílu v (b). Na základě statické podmínky rovnováhy, s přihlédnutím k zákonu akce a reakce, lze napsat + v = 0 v = Pro posouzení míry namáhání součásti je důležitá velikost vnitřní síly vztažená na jednotku plochy průřezu, tedy v /S (/S). Tento poměr se nazývá napětí. Napětí působící kolmo k vyšetřovanému průřezu se nazývá normálové napětí a značí se řeckým písmenem σ, napětí působící tečně k vyšetřovanému průřezu se nazývá tečné (tangenciální) napětí a značí se řeckým písmenem τ. zatěžující síla V vnitřní síla S plocha průřezu σ = S = v S Nebezpečný průřez [ N mm] = [MPa] [ N m] = [Pa] Všechny pevnostní výpočty provádíme na tzv. nebezpečný průřez, ve kterém je napětí největší.

61 Příklad 0 Ocelová tyč obdélníkového průřezu 100 x 10mm je zeslabena dvěma otvory pro nýty Ød = 0 mm a je namáhána osovou silou = 50 KN. Vypočtěte napětí v nebezpečném průřezu a stanovte vhodný materiál a) Pro statické namáhání, b) Pro střídavé namáhání Výpočet: σ = S = 50000N 600mm = 83,3Nmm materiál jakosti Pro střídavé namáhání použijeme materiál jakosti Zodpovězte otázky: 1. Jaké jsou jednotky napětí?. Co je to nebezpečný průřez materiálu? 3. Vysvětli, co je myšleno pod pojmem dimenzování strojních součástí 4. Vysvětlete způsoby zatížení a druhy namáhání součásti.

62 3..1 Princip tahové zkoušky, zařízení V této kapitole se seznámíme následujícím: Významem a diagramem tahové zkoušky Co je to mez kluzu a mez pevnosti materiálu Co je to tažnost a prodloužení vzorku Diagram tahové zkoušky Pro zjištění charakteristických hodnot materiálu provádíme na speciálních strojích a normalizovaných vzorcích zkoušky a to postupným a pozvolným zatěžováním zkušebního vzorku. Nejrozšířenější a nejdůležitější je zkouška v tahu (je normalizovaná), ve které můžeme usuzovat na vlastnosti materiálu i pro jiné druhy zatížení (střih, ohyb, ). Zkušební zařízení je opatřeno mechanismem, který zapisuje závislost prodloužení zkušební tyče na zatěžující síle a aby bylo možno měřit prodloužení zkušební tyče po přetržení, vyznačíme na ní před zkouškou rysky ve vzdálenosti 10 mm. Poznámka: Diagram tahové zkoušky je důležitou materiálovou charakteristikou. Zjišťujeme jej měřením na normalizovaných vzorcích plochého nebo kruhového průřezu. Vzorky se upínají do trhacího stroje, kde jsou namáhány tahem. Měří se velikost tahové síly a absolutního prodloužení vzorku l. Z těchto naměřených hodnot se sestrojí pracovní diagram materiálu (závislost velikosti napětí σ na poměrném prodloužení ε).

63 Diagram tahové zkoušky, schéma zkušebního zařízení Zkouška tahem (trhací zkouška) - ČSN EN je nejrozšířenější statickou zkouškou. Je nutná téměř u všech technických materiálů, protože pomocí ní získáme základní hodnoty potřebné pro výpočet konstrukčních prvků a volbu vhodného materiálu.

64 Příklady pracovních diagramů různých kovů a slitin 3.. Diagram tahové zkoušky Pracovní diagram tahové zkoušky měkké uhlíkové oceli Trhací stroje kreslí v průběhu trhací zkoušky, pracovní diagram viz obr., udávající závislost poměrného prodloužení ε na napětí σ (nebo změny délky l na zatěžující síle ).

65 U napětí σ U odpovídající bodu U, při němž je prodloužení ještě přímo úměrné napětí a platí zde Hookův zákon. V dalším průběhu zkoušky přestává být prodloužení přímo úměrné zatížení. σ = E. ε E Youngův modul pružnosti v tahu (ocel, MPa) E mez pružnosti Od bodu U až po bod E je protažení pružné, tj. po odlehčení nabývá tyč ještě původních rozměrů, po úplném odlehčení nevyvolává trvalé deformace v materiálu. (mez pružnosti σ E ). Vznikají pouze pružné (elastické) deformace. K mez kluzu Zvyšujeme-li zatížení, nastává přetvoření plastické (trvalé) a tyč po odlehčení již nenabude původní délky. Napětí R e (σkt) odpovídající bodu K označujeme jako mez kluzu v tahu, nastávají podstatné deformace, které někdy dočasně pokračují, aniž se dále zvyšuje napětí. Při zatížení roste poměrné prodloužení mnohem rychleji než napětí, vznikají již trvalé (plastické) deformace. Mez kluzu je důležitou materiálovou charakteristikou pro houževnaté materiály ( R e = 0,6 R m ). P mez pevnosti Od bodu K jde křivka diagramu téměř vodorovně, kov jako by tekl, tj. tyč se prodlužuje, aniž vzrůstá zatížení. Při dalším zvětšování zatížení se tyč prodlužuje mnohem rychleji, než vzrůstá zatížení. Bodu P na vrcholu křivky odpovídá největší napětí Rm (σpt) - mez pevnosti v tahu čili pevnost v tahu. Je to nejdůležitější materiálová hodnota pro pevnostní výpočty. Bod S zkušební tyč se přetrhne Při napětí odpovídajícím bodu S se tyčka přetrhne. Po překročení tohoto napětí se deformace rychle zvětšuje, přičemž napětí klesá, až dojde k přetržení zkušebního vzorku. Vyhledejte v tabulkách hodnoty Rm, Re pro materiály v tabulce: materiál Re(Rp0) Rm MPa 560MPa MPa 350MPa MPa 800MPa MPa 500MPa MPa 400_? MPa 500MPa

66 3..3 Diagram smluvních hodnot Diagram smluvních hodnot U některých materiálů jsou hodnoty σ u, σ e totožné. O takových materiálech říkáme, že nemají mez skluzu a zavádíme tzv. smluvní mez skluzu R p 0, což je hodnota napětí způsobující plastickou deformaci 0,%. Výpočty důležitých materiálových hodnot U některých materiálů jsou hodnoty σ u, σ e totožné. O takových materiálech říkáme, že nemají mez skluzu a zavádíme tzv. smluvní mez skluzu R p 0, což je hodnota napětí způsobující plastickou deformaci 0,%. Pevnost v tahu (mez pevnosti v tahu) σ Pt je hodnota napětí daného podílem největší zatěžující síly, kterou snese zkušební tyč a původního průřezu tyče S0: Absolutní prodloužení σ = S = v S l = l l 0 Poměrné prodloužení je dáno poměrem změny délky l k původní délce zkušební tyče l 0 :

67 ε = l l 0 l 0 = l l 0 Tažnost je poměrné prodloužení vyjádřené v procentech původní délky. U tažnosti uvádíme indexem (δ5, δ10), zda byla získána na krátké či dlouhé tyči. δ = l l 0 l 0 100[%] Kontrakce je dána poměrem zúžení průřezu tyče po přetržení (S 0 -S) k původnímu průřezu tyče S 0. Vyjadřujeme ji v procentech Pevnost v kluzu σ Kt (mez kluzu v tahu) ѱ = S 0 S S 0 100[%] je napětí, při němž se zkušební tyč začne výrazně prodlužovat, aniž by stoupala zatěžující síla, nebo při němž nastává prodlužování doprovázené poklesem zatěžující síly. Stanovíme ji ze vztahu: σ = K S O S 0 počáteční průřez zkušebního vzorku [mm ] S nejmenší průřez zkušebního vzorku po přetržení [mm ]

68 3..4 Hookův zákon Hookův zákon Hookův zákon Napětí je přímo úměrné poměrnému prodloužení. Konstanta úměrnosti E je modul pružnosti materiálu a má rozměr napětí. (MPa). σ t = /S σ tdov 1 σ t = E. ε ε = l lo 3 S = E. l lo 4 tg = σ t ε = E 5 l =.lo S.E 6 Pro výpočet poměrného prodloužení musí být splněna podmínka 1.

69 Příklad 1 Vypočtěte prodloužení ocelového táhla 5x60mm, délky l o = 100mm, zatížení silou = 30KN. Materiál: tažená ocel namáhání statické. Dáno: E =.10 5 MPa, = 30KN, lo = 100mm, S = 5 mm.60mm = 300 mm, l =?, a) Dokažte, že platí Hookův zákon. b) Vypočtěte l Vyhledáme Re, Rm, σ Dov Výsledky: Příklad 1 Prodloužení táhla je l = 0,6 mm Zodpovězte otázky: 1. Nakreslete pracovní diagram měkké oceli v tahu a vysvětlete. Napište vzorec Hookova zákona 3. Co vyjadřuje Hookův zákon 4. Popište mez kluzu v tahu 5. Popište mez pevnosti v tahu 6. Vyhledejte ve strojnických tabulkách modul pružnosti v tahu 7. Popište, jaký je rozdíl mezi absolutním a poměrným prodloužením

70

71 3..5 Dovolené napětí 4 V této kapitole se seznámíme následujícím: Jak určujeme u materiálu dovolené napětí Proč určujeme u materiálu dovolené napětí Co je to míra bezpečnosti u materiálu Dovolené napětí Strojní součásti se musí dimenzovat vždy s určitou bezpečností, aby skutečné napětí neporušilo danou součást. Velikost bezpečnosti je dána funkční důležitostí součásti. ČSN normy určují, jaké maximální napětí může v materiálu určitého druhu vzniknout pro daný způsob zatížení a druh namáhání. Toto napětí se nazývá dovolené napětí a označuje se σ dov a τ dov. Poznámka: Aby v součásti z tažného materiálu nevznikla plastická deformace, nesmí vypočtené napětí překročit mez kluzu. Je třeba ovšem uvážit: velikost zatížení neznáme zcela přesně nebo vznikají jeho malé výkyvy v materiálu mohou být vnitřní vady nepředvídatelné přetížení součásti úsporu hmotnosti a materiálu vlastní provozní a konstrukční zkušenosti. Dovolené napětí σ Dov určíme: o ze strojnických tabulek o výpočtem σ D = R e, kde k je tzv. míra bezpečnosti. Podle způsobu zatížení hodnotu dovoleného napětí k snížíme součiniteli: c II míjivé, c III střídavé zatížení. Pokud by neplatil vztah mezi skutečným a dovoleným napětím σ σ D, je možno např.: - zvolit kvalitnější materiál namáhané součásti, a tím zvýšit σ D - zvětšit nebezpečný průřez S namáhané součásti, a tím snížit σ. Dovolené napětí σ D v tlaku: Pro houževnatý materiál je dovolené napětí v tahu rovno dovolenému napětí v tlaku. Pro křehký materiál a jeho dovolené napětí v tlaku platí:

72 3..6 Druhy namáhání strojních součástí

73 Zodpovězte otázky: 1. Nakreslete pracovní diagram měkké oceli v tahu a vysvětlete. Popište mez kluzu v tahu 3. Vyhledejte ve strojnických dovolená napětí pro daný materiál

74 3.3 Namáhání tlakem V této kapitole se seznámíme následujícím: K čemu slouží pracovní diagram Co je to Hookův zákon a co vyjadřuje Vnitřní síly, vnější síly Namáhání na tlak Při dimenzování strojních součástí namáhaných na tlak se vychází z podmínky, že skutečné napětí vznikající v zatížené součásti nesmí být větší než příslušné napětí dovolené, odpovídající materiálu, ze kterého je součást vyrobena a způsobu zatížení. Poznámka je používána méně často (např. u ložiskových kovů, litiny, vrstvených tvrzených hmot, keramických látek, stavebních hmot apod.). U ocelí nebývá tato zkouška nutná, neboť hodnoty meze úměrnosti a meze kluzu v tahu i tlaku jsou přibližně stejné. Zkušební tělesa mívají obvykle tvar válečku o ød = 10 až 30 mm. Výška válečku h se při hrubých zkouškách rovná průměru d, při přesných měřeních volíme výšku h=(.5 až 3)d. Zkušební tělesa z kamene, betonu, dřeva apod., mají tvar krychle. Příklad 1. Vypočtěte absolutní zkrácení litinového sloupu z materiálu 4415 při statickém namáhání, průřez je mezikruží, vnější průměr sloupu 50 mm, tloušťka stěny sloupu = 5mm a délka sloupu je 3m. Sloup je zatížen na tlak osovou silou = N.. Vypočtěte poměrné zkrácení sloupu. 3. Vypočtěte napětí v tlaku. = N D = 50mm t = 5mm l = 3m E = 1,x10 5 MPa

75 Výsledky: 1. Absolutní zkrácení litinového sloupu = 0,7 mm. Poměrné zkrácení sloupu =, mm 3. Napětí v tlaku je 8,3 MPa

76 3.4 Namáhání ve smyku V této kapitole se seznámíme s následujícím: Naučíme se definovat namáhání ve smyku Vysvětlíme si, co je modul pružnosti ve smyku Naučíme se počítat strojní součásti namáhané na smyk Aplikace dalších možností výpočtů Namáhání ve smyku Namáhání prostým smykem vzniká tehdy, působí-li dvě stejně velké síly opačného smyslu na společné nositelce v rovině namáhaného průřezu, například u velmi přesného stříhání materiálu. Často se k tečnému napětí přidává napětí ohybové a kromě posuvu ve směru smykové síly dojde k ohybu, proto zde mluvíme o smyku doprovázeném ohybem. Pevnost ve střihu (mez pevnosti ve střihu) τ PS je největší smykové napětí potřebné k přestřižení. Poznámka: Napětí ve smyku se vypočítá, když zatěžující sílu, působící ve směru namáhaného průřezu, vydělíme plochou tohoto průřezu. Při dimenzování strojních součástí se vychází z podmínky, že skutečné napětí vznikající v zatížené součásti nesmí být větší než příslušné napětí dovolené, odpovídající materiálu, ze kterého je součást vyrobena, a způsobu zatížení. s S S Ds Tlak ve stykových plochách Porušení funkce šroubových, kolíkových, nýtových, pérových a jiných spojů může nastat i v tom případě, že napětí nepřekročí pevnost materiálu. Vlivem dynamického zatížení a chvění dochází u strojních součástí k otlačení jejich stykových ploch, a tím k uvolnění spojení, ztrátě tuhosti a následně k porušení.

77 Proto se strojní součásti kontrolují, zda tlak ve stykových plochách nepřekročí dovolenou hodnotu. Tlak ve stykových plochách označujeme písmenem p a jeho velikost vypočítáme ze vztahu: p S p S p p D vnější zatěžující síla [N] S p průmět opěrné stykové plochy do roviny kolmé ke směru působení zatěžující síly [mm ] p D dovolená hodnota tlaku ve stykových plochách [MPa] Příklad 3 Vypočtěte velikost a počet nýtů, kterými jsou spojeny dvě součásti. Nýty jsou namáhány střižnou silou = 50 KN Příklad 4 Vypočtěte potřebnou velikost střižné síly. Materiál plechu je jakosti

78 Výsledky: Výsledek příklad č. 3-4 nýty, průměr 10mm Výsledek příklad č. 4 - = 9 000N

79 3.5 Namáhání v krutu V této kapitole se seznámíme s následujícím: Definicí pojmu krutové napětí S definicí pevnostní podmínky v krutu S výpočty součástí namáhaných na krut Namáhání součástí v krutu Krutem je namáhána součást, na kterou působí moment ležící v rovině kolmé na podélnou osu (v rovině průřezu). Při krutu je napětí rozloženo nerovnoměrně po ploše průřezu, velikost napětí v průřezu závisí nejenom na velikosti plochy průřezu, ale také na tvaru průřezu. Z rovnice pevnosti vycházíme při návrhu nebo kontrole součásti zatížených krutem, nejrozšířenější součástí namáhanou na krut je hřídel tzn. kruhový průřez. Úhel zkroucení ѱ je úhel vzájemného pootočení dvou rovnoběžných průřezů kolmých k ose, vzdálených o délku l, které způsobí lom zkušební tyče namáhané kroucením (např. u křehkých látek). U houževnatých materiálů se zkušební tyč poruší až po několika otáčkách. Poznámka: Typickým příkladem namáhání na krut je namáhání pohybových hřídelů. Působí-li dvojice vnitřních sil k namáhanému průřezu tečně, musí ve stejném směru působit i napětí napětí v krutu je tečné napětí a značí se Ƭ k. Maximální napětí působí na povrchu hřídele.

80 Vzájemné posunutí vrstev vzrůstá od středu k povrchu, kdy v ose tyče je nulové a na povrchu sr je maximální a na povrchu sr je menší. Pak tečné napětí rovněž vzrůstá od středu k povrchu vrstev, tečné napětí představuje vazbu bránící vzájemnému posouvání a pro napětí v průřezu platí závislost: τ τ max = r R Polární moment průřezu: Jp = Sr a napětí v krutu τ k = τ max, pak krouticí moment je: polární moment kruhového průřezu je : M k = τ k R. Jp Jp = πr4 = πd4 3 Při namáhání krutem je používán modul průřezu v krutu: W k = Jp e = Jp R Kde e je vzdálenost krajních vláken od osy (pro kruhový průřez e = R) W k = J p /R je tzv. modul průřezu v krutu (mm 3 )

81 Pro kruhový průřez e = d/, pak modul průřezu v krutu je: Pro výpočet napětí v krutu platí vztah: W k = πd3 16 = 0,d3 M k k [MPa] Wk Rovnice bezpečné pevnosti v krutu: τ k = M k W k τ kdov τ k maximální hodnota napětí v krutu, působící na povrchu hřídele (MPa) Výpočet únosnosti při krutu: τ k = M k W k, jednotka MPa τ k = M k W k τ kdov Výpočet únosnosti v krutu: M k = W k. τ k dov Výpočet pro namáhání kruhového průřezu: W k = M k τ k dov, d 16 M k πτ k dov 3 Výpočet úhlu zkroucení: Deformace tělesa namáhaného krutem se nazývá zkrut a vyjadřuje se úhlem zkroucení. Při vzniku tečných napětí dochází ke zkosení pravoúhlých elementárních částí těles, které vyjadřujeme úhlem zkroucení γ zkroucení Pro výpočet úhlu zkroucení použijeme vztah: φ = M kl o G.Jp, zkrut = φ l o = [ m ]

82 Zkrut: θ = φ l o = [rad. m 1 ] Kde φ [ rad] je úhel zkroucení, Mk [Nm] je přenášený krouticí moment, l [m] je délka válcové součásti, G [Pa] je modul pružnosti v krutu a J P [m 4 ] je polární moment průřezu. Výpočet hřídelů Aby nedocházelo k torznímu kmitání hřídele, je normou předepsána určitá její tuhost v krutu. Je dána jako poměrné zkroucení na jednotku délky. γ zkos Příklad 6 Stanovte průměr hřídele turbíny z oceli délky l = 400 mm, který má přenášet M k = 00 Nm a u kterého nesmí zkrut přesáhnout hodnotu θ = 0,5 /m Příklad 7 Určete průměr transmisního hřídele, otáčky hřídele jsou 800min-1, přenášený výkon je P = 4,5 kw. Hřídel je vyroben z materiálu jakosti 11500, dovolené napětí v krutu pro střídavé zatížení = 5 MPa, dovolený zkrut ϑ = 0,9, modul pružnosti ve smyku G = MPa. Výpočet zkrucovaných pružin: Pružiny slouží k přeměně rázové energie na energii napjatosti. zmírňuje nepříznivý účinek otřesů a rázů, pohybovou energii mění v deformační práci a objemovou hustotu deformační energie, Vykonávají práci tvoří hnací element, např. pružiny u hodin, Vyvozují sílu např. pružiny pojišťovacích ventilů Z deformace pružiny lze určit sílu např. siloměry

83 Nejrozšířenějšími kroucenými pružinami jsou: 1. Pružina přímá. Pružina šroubovitá U pružin provádíme pevnostní výpočet a výpočet na deformaci (zkroucení). U některých torzních tyčí se také zjišťuje tzv. poměrné zkroucení ϑ viz př. 6 Pevnostní výpočet: Výpočet deformace pružiny: τ k = M k W k τ kdov U nekruhových průřezů použijeme pro výpočet úhlu zkroucení vztah: G modul pružnosti v krutu [Pa] Jp polární moment průřezu [m 4 ] φ = M kl o G. Jp, jednotka radián Příklad 8 Šroubovitá válcová pružina se má z nenapjatého stavu prodloužit největší silou = 300N o délku y = 60 mm. Vypočtěte průměr drátu, počet činných závitů a rozměry pružiny v nenapjatém stavu. Volte střední poloměr pružiny 4d a pružinový drát z materiálu τ kdov = 400MPa a G = 0, Nmm -. Výsledky: Př. č. 6 - průměr hřídele volíme 50 mm Př. č. 7 - průměr hřídele volíme 5 mm Př. č. 8 průměr drátu = 3,8 mm, φ = 0,33 rad., celkový počet závitů = 16, počet činných závitů = 14

84 h Kroucení nekruhových průřezů Největší napětí při kroucení nekruhového průřezu je na obvodě uprostřed delších stran průřezu. Jedná se o průřezy přibližně kruhové, například šestihran, hřídel s perem, drážkovaný hřídel, apod., pro čtyřhran, obdélník apod. lze najít příslušné přibližné vztahy pro výpočet v odborné literatuře. V těchto případech postupujeme ale podobně jako u kruhového průřezu: τ kmax Mk τ k = 0 b τ k1max τ Mk Mk k1 max = = Wk 1 hb τ Dk Wk 1 =. hb b = kratší strana průřezu h = delší strana průřezu α, β = strojnické tabulky τ Mk Mk k max = = Wk βh b Wk = β. b. h Kvadratický moment plochy: Jk = γb 3 h

85 Úhel zkroucení: φ = M kl o G. Jk, jednotka radián Poznámka: Nekruhové průřezy se při krouceni bortí, proto se jejich použiti vyhýbáme. Pro průřezy přibližně kruhové (šestihran, hřídel s perem, drážkovaný hřídel) počítáme přibližně s průměrem vepsané kružnice. U obecných průřezů (čtverec, obdélník) lze najit příslušné vzorečky v literatuře a jsou pouze přibližné. Pro průřez obdélníkový a samozřejmě i čtvercový je přesné řešení obtížné. Při kroucení nekruhových průřezů dochází totiž k tomu, že průřez před deformací rovinný se vlivem kroucení zbortí do křivé plochy. Příklad 9 Vypočtěte, jaký minimální čtvercový průřez musí mít tyč namáhaná na krut silou = 400N, na rameni 0,8 m, mat. 1040, namáhání statické.

86 Příklad 30 Vypočtěte rozměry čtyřhranu, na který se nasazuje vratidlo dle obrázku. Předpokládejme sílu ruky = 00N ve vzdálenosti 160 mm od osy otáčení. Materiál 11500, zatížení míjivé, bezpečnost k =. M 160 a Příklad 31 Navrhněte průměr spojovacího hřídele z materiálu , jestliže hřídel přenáší stálý (statický) kroutící moment 500 Nm a napětí dovolené v krutu je 85 MPa. Výsledky: Př. č. 9 - Minimální čtvercový průřez bude navržen 4 mm. Př. č. 30 Minimální čtvercový průřez bude 16,7 mm, volím 17 mm Př. č průměr hřídele d = 39,1 mm, volím d = 40 Zodpovězte otázky: 1. Jaký je postup výpočtu součástí na krut?. Jak je rozloženo napětí v průřezu? 3. Co rozumíme pojmem pružina? 4. Jaké jsou funkce pružin? 5. Napiš pevnostní a deformační podmínku pro torzní tyč?

87 3.6 Namáhání ohybem V této kapitole se seznámíme následujícím: Definicí účinků vnitřních sil Vysvětlení obrazce posouvajících sil a ohybových momentů Vysvětlení postup výpočtu nosníku Výpočty ohybových momentů v libovolném místě nosníku Nelezení místa maximálního namáhání nosníku Namáhání ohybem Typickým příkladem namáhání na ohyb je namáhání tzv. nosníků. Nosník je přímé těleso (prut) uložené na podporách nebo pevně vetknuté, jehož délkový rozměr je mnohonásobně větší než rozměry příčného průřezu. Je základním konstrukčním prvkem určeným k přenosu příčného zatížení. Poznámka: Nosník zatížený ohybovým momentem se deformuje a současně v jeho průřezu vzniká napětí, kterým se nosník brání proti porušení. Nejvíce jsou namáhána krajní vlákna (okrajové vrstvy). Přičemž vlákna jedné okrajové vrstvy jsou namáhána maximálním tahovým napětím (vlákna se prodlužují) a vlákna druhé okrajové vrstvy maximálním tlakovým napětím (jsou zkracována). V ose průřezu je nulová deformace i napětí tzv. neutrální osa. Tato neutrální osa se zakřivuje s poloměrem křivosti r. Napětí vyvolané namáháním na ohyb má charakter normálového napětí, působí tedy kolmo k rovině příčného průřezu, označujeme σ o. Nosníky zpravidla řešíme v místě nebezpečného průřezu, kde působí maximální ohybový moment. Z dříve odvozených vztahů pro výpočet modulu průřezu v ohybu vyplývá větší únosnost a menší průhyb obdélníkového průřezu orientovaného na výšku.

88 ε = z r 1 r = M o E I x E I x = M o r E = M o r I x σ = E ε = E z r = M o r I x z r = M o I x z Prochází-li neutrální osa těžištěm průřezu: σ o1 = M o I x σ o = M o I x e 1 = M o I x e 1 = e = M o I x e = M o W o1 M o W o Je-li průřez symetrický (e 1 =e ), stačí počítat pouze jedno napětí: σ o1 = σ o. Naopak, není-li průřez symetrický, neutrální osa neprochází jeho těžištěm a σ o1 σ o. Pro výpočet napětí při namáhání ohybem platí: σ o = M o W o M o ohybový moment [N. mm, N. m ] W o modul průřezu v ohybu [mm 3, m 3 ] σ o skutečné napětí v ohybu namáhané součásti [MPa = N/mm ], [Pa = N/m ],

89 Pevnostní rovnice v ohybu: σ o = M o W o σ Do Vypočtené ohybové napětí σ musí být menší nebo nejvýše rovno napětí dovolenému σ Do pro daný materiál, způsob zatížení a namáhání součásti. Pevnostní rovnici použijeme pro: 1. Kontrolní výpočet Nemá-li vzniknout v materiálu trvalá deformace, nesmí skutečné napětí překročit napětí dovolené. σ o = M o W o σ Do Neplatí-li vztah mezi skutečně vypočteným napětím a napětím dovoleným σ o σ Do, je možno postupovat: - zvolit kvalitnější materiál namáhaného nosníku s vyšší hodnotou σ Do - zvětšit modul průřezu v ohybu a tímto snížit σ o. Zpravidla není možné zmenšit velikost maximálního ohybového momentu, protože jeho velikost je dána vnějším zatížením.. Návrhový výpočet Počítáme velikost průřezu namáhané součásti, např. průměru kruhového průřezu: σ Do M omax. W o W o M omax. σ Do π d 3 3 M omax. σ Do d 3 M omax. π σ Do 3. Výpočet únosnosti Určujeme velikost maximálního ohybového momentu, který může daný průřez přenášet: 3 M omax. σ Do W o Určení dovoleného napětí v ohybu σ Do a) ze strojnických tabulek a norem materiálu b) výpočtem: σ Do = σ D pro houževnatý materiál σ Do = (1,7,0) σ D pro křehký materiál s neopracovaným povrchem σ Do = (,0,4) σ D pro křehký materiál s opracovaným povrchem Podle způsobu zatížení hodnotu dovoleného napětí snížíme součiniteli: c II míjivé zatížení, c III střídavé zatížení.

90 3.6.1 Nosník na dvou podporách Příklad 3 Určete početně velikost reakcí RA, RB u nosníku uloženého na dvou podporách, zatíženého silou =6000N, je-li: a = 4500mm, b = 1500mm. Zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů. Podmínky statické rovnováhy: n i=1 n i=1 n i=1 ix M iy ib = 0 : = 0 : = 0 : RBX RA RA = RBY = 0.( a + b) -.b = 0 RA =.b = ( a + b) = 1500N 6000 RBY = RB = - RA = = 4500N M =. a = = 6750N.m = 1 RA M o max.

91 Příklad 33 Vypočtěte velikost reakcí RA, RB a zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů nosníku s převislým koncem uloženého na dvou podporách, zatíženého střídavými silami 1 = 300N, = 00N, 3 = 100N, je-li: a = 150mm, b = 150mm, c = 50mm, d = 150mm. Navrhněte průměr nosníku z materiálu v místě jeho nebezpečného průřezu. n i=1 n i=1 n i=1 M ix iy ib = 0 : = 0 : = 0 : RBX RA RA - -.( a + b + c) -.( b + c) -.( c) +.d = 0 RA RBY = 0 1 ( ) ( ) 1. b + c +. c - 3.d = = = 818, N ( a + b + c) 550 = RB RBY = + 1 = RA 3 = , = 318, N M 1 = RA a = 81,8 150 = 470N mm

92 σ Do = 70MPa voleno z tabulek M = RA (a + b) 1 b = 81, = 39540N mm M 3 = M 3 = 3 d = = 15000N mm σ Do M omax. W o W o M omax. σ Do π d 3 3 M omax. σ Do d 3 M omax. π σ Do d = 18,3mm π 70 Z tabulek volen průměr nosníku 0mm z materiálu Příklad 34 Vypočtěte velikost reakcí RA, RB a zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů nosníku uloženého na dvou podporách, zatíženého statickou silou = 400N, je-li: a = 5mm, b = 50mm, l = 80mm. Vysvětlete vliv velikosti ramene a i vzdálenosti b na velikost reakcí a proveďte kontrolu obdélníkového průřezu o rozměrech b x h = 4 x 7 mm nosníku materiálu

93 n i=1 ix = 0 : - RAX + = 0 RAX = = 400N n i=1 iy = 0 : - RAY + RB = 0 n i=1 M ib = 0 : - RAY.l +.a = 0 RAY =.a l = = 15N 80 RB = RAY = 15N RA = RAX + RAY = = 419N tg β = RAY RAX 15 = 400 β = 17 1 M 1 = M omax. = RAY a = = 650N mm b h W o = 6 = = 3,7mm 3 σ o = M omax. W o = 650N mm 3,7 = 191,1MPa σ Do = 170MPa voleno z tabulek σ o > σ Do obdélníkový průřez o rozměrech 4 x 7 mm nevyhovuje, navrhneme nový průřez Zvolíme b = 5mm a vypočteme rozměr h: σ Do M omax. W o W o M omax. σ Do = = 36,8mm3 b h W o = 6 h = 6 W o b = 6 36,8 5 = 6,65 Navrhuji obdélníkový průřez o rozměrech 5 x 7 mm.

94 3.6. Vetknutý nosník n i=1 ix = 0 : RAX = 0 n i=1 iy = 0 : RAY - = 0 RAY = n i=1 M ia = 0 : M A +.l = 0 M A = M o max. = -.l Příklad 36: Vypočtěte velikost reakce RA a M A vetknutého nosníku zatíženého silou =3000N, je-li: l=450mm. + x + y +M n i=1 ix = 0 : RAX = 0 n i=1 iy = 0 : RAY - = 0 RAY = = 3000N n i=1 M ia = 0 : M A +.l = 0 M A = M o max. = -.l = = -1350N.m

95 Příklad 35 Vypočtěte velikost reakce RA a MA, zakreslete průběh posouvajících sil a ohybových momentů vetknutého nosníku zatíženého statickými silami 1 = 400N, = 600N je-li: l = 5m, a = 3m. Navrhněte průměr nosníku z materiálu v místě jeho nebezpečného průřezu. n i=1 ix = 0 : RAX = 0 n i=1 iy = 0 : RAY = 0 RAY = + 1 = 1000N n i=1 M ia = 0 : M A +.a +.l = 0 1 M A = -.a -.l = = - 400N.m 1 M A = M o max. = - 400N.m σ Do = 110MPa voleno z tabulek M 1 = RAY.a + M A = = -100N.m σ Do M omax. W W o M omax. = = 3818mm 3 o σ Do 110 π d3 W o = 3 3 d 3 W o π = = 73mm d π ČSN = 75mm

96 3.6.3 Spojitě zatížené nosníky V praxi se jedná o zatížení vlastní tíhou, větrem, tíhou sněhu nebo zdiva, hydrostatickým tlakem apod. Spojité zatížení je definováno jako síla působící na jednotku délky nosníků: q = [N. m 1, N. mm 1 ] l Pro použití podmínek rovnováhy sil nahradíme velikost spojitého zatížení q silou: q = = q. l a) nosník na dvou podporách: n i=1 ix = 0 : RBX = 0 n i=1 iy = 0 : RA - q + RBY = 0 RA = RB = RBY = q = q.l M o max. = M 1 = RA.l q - l. = 4 q.l.l q.l.l = q.l 4 q.l - 8 =.q.l - q.l 8 = q.l 8

97 Příklad 36 Vypočtěte velikost reakcí RA, RB a navrhněte průměr nosníku z materiálu 11500, uloženém na dvou podporách, přenášejícím spojité zatížení q=4000n/m, je-li: l=,8m. + x + y +M n i=1 ix = 0 : RBX = 0 n i=1 iy = 0 : RA - q + RBY = 0 RA = RB = RBY = q = q.l = 4000., 8 = 5600N M o max. = M 1 = RA.l q - l. = 4 q.l.l q.l.l = q.l 4 q.l - 8 =.q.l - q.l 8 = q.l , 8 M o max. = M 1 = 8 σ Do = 150MPa voleno z tabulek = 390N.m σ Do M omax. W W o M omax. = = 17818,mm 3 o σ Do 0 π d3 W o = 3 3 d 3 W o π , = = 56,6mm π Z tabulek volen průměr nosníku 60 mm.

98 b) vetknutý nosník n i=1 ix = 0 : RAX = 0 n i=1 iy = 0 : RAY - q = 0 RAY = q = q.l n i=1 M ia = 0 : M A + q l. = 0 M A = M o max. = -. q l = q.l.l - q.l = - Příklad 37 Vypočtěte velikost reakce RA a MA vetknutého nosníku přenášejícím spojité zatížení q=4000n/m, je-li: l=,8m. + x + y +M n i=1 ix = 0 : RAX = 0 n i=1 iy = 0 : RAY - q = 0 RAY = q = q.l = 4000., 8 = 1100N n i=1 M ia = 0 : M A l + q. = 0 M A = - q. l = q.l.l - q.l = , 8 = - = 15680N.m M o max. = M A = 15680N.m

99 3.6.4 Nosník zatížený momentem dvojice sil a) nosník na dvou podporách M o max. = M1 = RA.a = M.a ( a + b) M 1 = RB M.b.b = ( a + b) n i 1 M ib 0 : RA. a b - M 0 RA RBY RB M a b M 1 RA. a M. a M. b M. b 1 RB a b a b

100 b) vetknutý nosník Posouvající síla je po celé délce nosníku nulová. Ohybový moment je v celé délce nosníku konstantní, jeho velikost je rovna zatěžujícímu momentu M. n i=1 ix = 0 : RAX = 0 n i=1 iy = 0 : RAY = 0 n i=1 M ia = 0 : M A - M = 0 M A = M o max. = M

101 3.6.5 Deformace ohybem Při zatížení ohybem dochází na nosníku k deformaci, kdy původně přímá podélná osa nosníku přechází v křivku zvanou ohybová čára. Velikost deformace udává úhel sklonu α a velikost průhybu - průhyb y. Úhel natočení ohybové čáry určíme ze vztahu: α = S M E I [rad] Pro průhyb nosníku lze odvodit vztah: y = α x T = S M x T E I [mm] S M - plocha momentového obrazce [N mm ] E - modul pružnosti v tahu [MPa] I - kvadratický moment průřezu [mm 4 ] x T - vzdálenost těžiště momentové plochy od místa, kde určujeme průhyb [mm] E I - tzv. tuhost nosníku v ohybu a) Deformace vetknutého nosníku

102 n i=1 iy = 0 : RAY - = 0 RAY = n i=1 M ia = 0 : M A +.l = 0 M A = M o max. = -.l S α M B = M o max. S M.l = = E.I.E.I l l. =.l. =.l y B = α B.x T = 3.l.l. l =.E.I 3 3.E.I Poznámka: Vztahy pro určení průhybu a úhlu natočení u vetknutého nosníku zatíženého v libovolném místě svoji délky jsou uvedeny v tabulkách. Příklad 38 Určete délku strany a nosníku čtvercového průřezu, je-li maximální dovolený průhyb volného konce y max =10mm, velikost zatěžující síly = 10000N, délka nosníku l = 1m, E = 10000MPa. y max. 3.l = 3.E.I I.l = 3.E. y 3 max = = mm 4 I 4 a = 1 a = 4 1.I = = 661, mm a ČSN = 70mm

103 a) Deformace nosníku na dvou podporách M S α RA M B = o max. 1 = RB =.M = RB. l o max. = l. S M.l = = E.I 16.E.I l. 1 =.l = 4.l l.. 4 =.l 16 x T = l. 3 = l 3 y max. = y B = α B.x T.l l =. = 16.E.I 3 3.l 48.E.I Poznámka: Další vztahy pro určení úhlu natočení ohybové čáry a průhybu nosníku na dvou podporách jsou uvedeny v tabulkách.

104 Příklad 39 Určete maximální průhyb nosníku na dvou podporách průměru d=40mm, je-li velikost zatěžující síly =8000N, délka l=300mm a E=10000MPa. I = π.d 64 4 = π = 15664mm l ymax. = yc = = = 0, 17mm 48.E.I Příklad 40 Navrhněte průměr d nosníku uloženého na dvou podporách, je-li maximální dovolený průhyb y max. =0,mm. Velikost zatěžující síly, působící v polovině délky l=300mm, je =8000N, E=10000MPa. I = π.d 64 4 y max. = 3.l 48.E.I y max. = 64..l 3 48.E.π.d 4 d = l 48.E.π.y 3 max. = π. 0, = 38, 4mm d = 40mm Zodpovězte otázky: 1. Co je obrazec posouvajících sil a ohybových momentů?. Jaký je rozdíl, mezi osamělou silou a spojitým zatížením? 3. Jak je rozloženo napětí v průřezu?

105 3.6.6 Nosníky stejného napětí K efektivnímu využití materiálu je třeba, aby napětí v jednotlivých průřezech součástí bylo všude stejné a blížilo se hodnotě napětí dovoleného pro daný materiál. Proto je nutné přizpůsobovat velikost a tvar průřezu velikosti ohybového momentu. Při použití proměnného průřezu nesmí ovšem montážní a výrobní náklady přesáhnout úsporu materiálu. a) Nosník s konstantní šířkou a proměnnou výškou 1 V místě vetknutí: M o max. =.l W o max. = b.hmax. 6 1 V místě x: M o x =.x W o x = b.hx 6 1 M M.l b.hmax. o max. o x 6 l hmax. σ o = = = konst. = = h x = h Wo max. Wo x.x 1 x hx b.hx 6 Teoretický nosník má parabolický tvar: max.. x l x=0: h x =0 x=l/4: h x =h max. / x=l: h x = h max. b)nosníky s konstantní výškou a proměnnou šířkou V místě vetknutí: V místě x: M o max. = M o x =.x.l W W 1 6 o max. = bmax..h 1 6 o x = bx.h

106 1 M M.l bmax..h o max. o x 6 l bmax. σ o = = = konst. = = b x = b Wo max. Wo x.x 1 x bx bx.h 6 max.. x l Poznámka: Teoretický tvar nosníku nepoužíváme proto, že je z hlediska výroby velmi nákladný a také v místě působení osamělých sil či reakcí nemůže být průřez nulový (je např. namáhán smykem, tlakem).

107 3.7 Vzpěr V této kapitole se seznámíme následujícím: Dozvíme se, čím se zásadně liší vzpěr od všech předchozích druhů namáhání Dozvíme se, jaké jsou teoretické předpoklady pro ideálně zatížený prut na vzpěr Dozvíme se, co je to kritická síla Vzpěr Štíhlý prut namáhaný tlakovou silou se zdeformuje nebo přelomí již při napětí daleko nižším, než je mez pevnosti materiálu v tlaku. Je to způsobeno tím, že zatěžující síla nepůsobí přesně v ose prutu a proto namáhá prut vlastně na tlak a ohyb. Takovému namáhání říkáme vzpěr. K trvalé deformaci nebo zlomení dochází u štíhlých prutů při překročení tzv. kritické síly kr. Kritická síla je závislá na štíhlosti prutu, materiálu vzpěry a na způsobu uložení konců vzpěry. Poznámka: Oblast pružného vzpěru - pokusy bylo zjištěno: 1. Budeme-li měnit pouze délku prutu, zjistíme, že kritická síla je nepřímo úměrná druhé mocnině délky prutu,. Budeme-li měnit pouze materiál, zjistíme, že kritická síla je přímo úměrná modulu pružnosti v tahu E, 3. Budeme-li měnit pouze průřez prutu, zjistíme, že kritická síla je přímo úměrná velikosti kvadratického momentu průřezu J. Plyne z toho, že tuhost EJ má při vzpěru stejnou úlohu jako při ohybu, 4. Mimoto Euler zjistil, že při vzpěru má důležitou úlohu i uložení konců prutů.

108 Rozeznáváme 4 druhy uložení konců:

109 Při výpočtech dosazujeme vždy redukovanou délku vzpěry. Pro výpočet kritické síly používáme jednu ze dvou rovnic: a) rovnici Eulerovu pro pružný vzpěr b) rovnici Tetmajer pro nepružný vzpěr Oblast vzpěru (pružný, nepružný) určíme podle tzv. mezní štíhlosti λ m Oblast vzpěru (pružný, nepružný) určíme podle tzv. mezní štíhlosti λ m Oblast pružného vzpěru (EULER) štíhlosti λ λ m Oblast nepružného vzpěru (TETMAJER) λ λ m Namáhání prostý tlak λ < Pružný vzpěr podle Eulera: Při řešení pružného vzpěru dle Eulera musí být zatěžující síla menší než kritická síla, což je maximální přípustné zatížení prutu, pak platí kr. Kritická síla je: kr = π. E. J x l 0 kde E - je modul pružnosti v tlaku daného materiálu, J x - je kvadratický moment průřezu k ose x l 0 - je redukovaná délka prutu, závisí na délce prutu a uložení jeho konců. Nepružný vzpěr podle Tetmajera je zavedeno tzv. kritické napětí, které závisí na materiálu prutu a jeho štíhlosti. Výpočtem podle Tetmajera nelze stanovit průřezové rozměry. Tímto výpočtem pouze kontrolujeme hodnotu kritického napětí a míru bezpečnosti součásti k. K předběžnému odhadu průřezových rozměrů vzpěry používáme obvykle vzorce Eulerova, nebo rovnici pevnosti v tlaku se značně sníženým dovoleným namáháním (asi o 50%). k = kr

110 Bezpečnost volíme: k = 1,8 3 při statickém zatížení k = 5-6 při dynamickém namáhání k = 6-10 u cyklického namáhání Pro kritické napětí platí obecný vztah ve tvaru: σ kr = a b. λ + c. λ kde a [MPa]; b [MPa] a c [MPa] jsou konstanty závislé na daném materiálu vzpěry, Například pro materiál z oceli má Tetmajerova rovnice pro kritické napětí tvar: σ kr = 335 0,6. λ [MPa] a tato rovnice platí v oblasti štíhlostí od 60 do Výpočet štíhlosti prutu: λ = l j min j min = poloměr setrvačnosti Pro provozní napětí musí platit vztah: σ v = S σ kr

111 Příklad 41: Vypočtěte průměr pístu pístní tyče z oceli 11500, l=1050 mm pro největší zatěžující sílu = 10 kn při bezpečnosti k = 10. Příklad 4: Proveďte kontrolu tyče kruhového průřezu o průměru d = 80 mm o délce 000 mm z materiálu na vzpěr, jestliže tyč je v ose zatížena tlakovou silou N. Jeden konec tyče je vetknutý a druhý je volný. Modul pružnosti v tlaku pro daný materiál je, MPa a jeho mezní štíhlost je 105. Příklad 43: Proveďte kontrolu tyče obdélníkového průřezu o rozměrech a = 30 mm a b = 90mm o délce 150 mm z materiálu na vzpěr, jestliže tyč je v ose zatížena tlakovou silou 80000N. Oba konce tyče jsou vetknuté. Modul pružnosti v tlaku pro daný materiál je,1.105 MPa a jeho mezní štíhlost je 105. Štíhlost prostého tlaku je 60 a kritické napětí je σ kr = 335-0,6. l[mpa]. Výsledky: Př. č Výsledek: l = 00 > 105 => dle Eulera, kr = N > N, vyhovuje. Př. č. 4 Výsledek: l = 7, < 105 => dle Tetmajera, σ kr = 90,3; MPa > σ v = 103,7 MPa, vyhovuje. Př. č. 43 Výsledek: průměr vzpěry = 46,8 mm, volíme průměr 47 mm

112 3.8 Kombinovaná namáhání V této kapitole se seznámíme nebo naučíme následující: Definovat pojem složená namáhání Uvědomit si charakter napětí Vysvětlit jak se bude počítat výsledné napětí Vysvětlit způsob výpočtu redukovaného napětí Kombinovaná namáhání Kombinované namáhání nastane, vyskytnou-li se současně alespoň druhy namáhání. Může dojít k těmto kombinacím: 1. Kombinace napětí normálových. Kombinace napětí tečných 3. Kombinace napětí normálových a tečných Sourodá napětí: Při namáhání sourodými napětími najdeme výsledné napětí algebraickým součtem, protože obě napětí mají stejný směr. Výsledné napětí musí být menší, než napětí dovolená. Nesourodá napětí: Nesourodá napětí σ a τ nelze při složeném namáhání sčítat. Nahrazujeme je tzv. redukovaným napětím σ red, které má na součást stejný účinek jako obě nesourodá napětí. Pro různé materiály je převod na redukované namáhání různý. Poznámka: Pro nahrazování redukci- existují různé tzv. teorie pevnosti, které se zakládají na domněnkách, proč dojde k porušení celistvosti součásti. Z celkového počtu pěti teorií jsou nejrozšířenější dvě. 1. Teorie maximálních normálových napětí (platí pro materiály, které mají stejné napětí dovolené v tahu i ve smyku), kdy porušení součásti dojde při složeném stavu napjatosti, překročí-li maximální normálové napětí dovolenou hodnotu, pak. Tato teorie nejlépe odpovídá výsledkům zkoušek pro houževnaté materiály a je nejpoužívanější pro výpočet ocelových konstrukcí.

113 Úpravou vztahů pro redukované napětí vzniká často používaná rovnice pro ohyb a krut - redukovaný moment M ored. Příklad 43 Pravoúhlá páka o rozměrech b = 40mm,h = 5mm,a a = 90mm je zatížena silou = 3500N podle obrázku. Vypočítejte největší napětí v bodech 1 a. Zkontrolujte rozměry, je-li pro materiál σ Dov, τ Dov = 100 MPa. Napěti ve vlákně 1 Napěti ve vlákně σ1=σt-σo Napěti ve vláknech je menši než dovolené, součást vyhovuje.