MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch"

Transkript

1 MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková

2 RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D.

3 Vážení studenti, dostávají se vám do rukou skripta k Matematice 1 pro obor Finance a řízení a obor Cestovní ruch. Vzhledem k tomu, že vaším hlavním studiem není matematika, je matematická teorie funkcí jedné proměnné vysvětlována bez důkazů a pokud možno co nejsrozumitelněji. Srozumitelnost je dále podpořena větším množstvím řešených příkladů. Také lineární algebra je podána zjednodušenou formou bez důkazů. Na konci každé kapitoly naleznete základní příklady k procvičení spolu s jejich výsledky. Doporučujeme si nejprve prostudovat a poté samostatně vypočítat řešené příklady, a teprve pak se obrátit k příkladům neřešeným. Přejeme vám úspěšné studium s našimi skripty, a předem děkujeme za jakékoli připomínky k jejich zlepšení. M.Hojdarová, J.Krejčová, M.Zámková V Jihlavě, červen 2014

4

5 Přehled základních pojmů a označení N Z Q R R množina všech přirozených čísel množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech reálných čísel rozšířená o nevlastní body a +, R = R { ; + } konstanta (a; b) nenulové reálné číslo otevřený interval, (a; b) = {x R; a < x < b}, graficky vyjadřujeme pomocí prázdných kroužků u krajních bodů a, b a; b uzavřený interval, a; b = {x R; a x b}, graficky vyjadřujeme pomocí vyplněných kroužků u krajních bodů a, b a;b) polouzavřený (polootevřený) interval, a;b) = {x R; a x < b}, grafické znázornění (a; b polouzavřený (polootevřený) interval, (a; b = {x R; a < x b}, grafické znázornění ( ; b) (a; ) ( ; b a; ) otevřený interval, ( ; b) = {x R, x < b} otevřený interval, (a; ) = {x R, x > a} polouzavřený interval, ( ; b = {x b} polouzavřený interval, a; ) = {x a}

6 OBSAH 1. FUNKCE (Krejčová) Reálná funkce reálné proměnné Vlastnosti funkcí Inverzní funkce Přehled elementárních funkcí jedné proměnné Lineární funkce Lineární funkce s absolutní hodnotou Kvadratické funkce Mocninné funkce Lineární lomené funkce Exponenciální funkce Logaritmické funkce Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Definiční obor Cvičení LIMITA A SPOJITOST FUNKCE (Krejčová) Limita funkce Spojitost funkce Spojitost funkce v bodě Spojitost funkce na intervalu Výpočet it Limity polynomů v nevlastním bodě Limity podílu polynomů v nevlastním bodě Limity podílu polynomů ve vlastním bodě Limity výrazů s odmocninami v nevlastním bodě Limity výrazů s odmocninami ve vlastním bodě... 52

7 Limity exponenciálních funkcí v nevlastním bodě Cvičení DERIVACE FUNKCÍ (Zámková) Definice a geometrický význam derivace Pravidla pro derivování základních elementárních funkcí Derivace složených funkcí Derivace vyšších řádů Cvičení UŽITÍ DERIVACÍ (Zámková) Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo Neurčitý výraz typu Neurčitý výraz typu Neurčité výrazy typu 0 0, 0, Asymptoty grafu funkce Cvičení VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE (Krejčová) Význam první derivace pro vyšetření monotonie funkce Význam druhé derivace pro vyšetření zakřivenosti grafu funkce Cvičení EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE (Krejčová) Lokální extrémy Globální extrémy Vyšetření průběhu funkce Cvičení APROXIMACE FUNKCE (Hojdarová) Co je aproximace? Aproximace pomocí diferenciálu Taylorův a Maclaurinův polynom

8 7.4. Chyba aproximace, zbytek Taylorova polynomu Důležité Maclaurinovy polynomy Aproximace mnohočlenu vyššího stupně Taylorovým polynomem, Hornerovo schéma Aproximace funkce v intervalu Cvičení ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR (Hojdarová) Motivační příklad, vektorový prostor Cvičení MATICE A MATICOVÉ ROVNICE (Hojdarová) Typy matic Operace s maticemi Hodnost matice Inverzní matice Maticové rovnice Cvičení DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI (Hojdarová) Pojem determinantu Základní vlastnosti determinantu Subdeterminant, algebraický doplněk determinantu Výpočet inverzní matice pomocí determinantů Cvičení ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC (Hojdarová) Gaussova einační metoda, Frobeniova věta Řešení soustavy s regulární maticí Cramerovým pravidlem Řešení soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí inverzní matice Jordanova metoda úplné einace Cvičení SEZNAM LITERATURY

9 1. FUNKCE V této kapitole zavedeme a popíšeme nejdůležitější vlastnosti elementárních funkcí jedné proměnné REÁLNÁ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ DEFINICE: FUNKCE Buďte A, B neprázdné podmnožiny reálných čísel. Za reálnou funkci f jedné reálné proměnné považujeme neprázdnou množinu uspořádaných dvojic [x, y], kde x A, y B, splňující podmínku: ke každému x existuje nejvýše jedno y tak, že [x, y] f. Zapisujeme f: A B. Skutečnost [x, y] f zapisujeme y = f(x). Množina všech přípustných x se nazývá definiční obor funkce f a značíme ji D(f). Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce f množinu všech x, pro která má pravá strana rovnice y = f(x) smysl. Množina příslušných y se nazývá obor hodnot funkce f a značíme ji H(f). Funkce je tedy pravidlo, které danému číslu x přiřadí jediné, přesně definované, číslo y. Uvažujme následující funkci f, zadanou tabulkou: x y Definiční obor této funkce je D(f) = { 1; 0; 1; 2} a obor hodnot je H(f) = { 4; 1; 2; 5}. Naopak následující tabulkou není zadána funkce, protože není splněna podmínka z definice. Tzn. pro hodnotu x = 1 existují dvě různé hodnoty y. x y DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce f je množina všech uspořádaných dvojic bodů {[x, f(x)]}: x D(f) zobrazených v rovině R 2 = R R s kartézskou soustavou souřadnic. Kartézská soustava souřadnic je soustava souřadnic v rovině R 2 s osami souřadnic na sebe kolmými a se stejnými jednotkami na obou osách. Kapitola: FUNKCE 1

10 Na obrázku 1 je znázorněn graf funkce f(x) = x + 1. Definiční obor i obor hodnot této funkce jsou všechna reálná čísla, tj. D(f) = H(f) = R. Obrázek 1 Na obrázku 2 je znázorněn graf funkce f(x) = x + 1, jejíž definiční obor je omezen na interval 3; 2. Tedy grafem funkce již není přímka, ale pouze úsečka pro hodnoty x z daného intervalu. Obor hodnot neboli množina hodnot y, pro které daný graf existuje, je zúžen také na interval H(f) = 2; 3. Obrázek 2 Určeme, jestli je následujícími grafy znázorněna funkce. Pokud ano, určeme definiční obor a obor hodnot znázorněné funkce. a) b) c) 2

11 d) e) f) g) h) i) Řešení: a) Na obrázku je funkce, protože pro každou hodnotu x existuje nejvýše jedna hodnota y neboli jeden bod v grafu, viz obrázek. Definiční obor funkce je množina čísel na ose x, pro která existuje y, že bod [x, y] leží na grafu dané funkce. Tedy D(f) = R\{0}. Obor hodnot funkce je množina hodnot y, pro které existuje x, že bod [x, y] leží na grafu dané funkce. Tedy H(f) = R\{0}. Kapitola: FUNKCE 3

12 b) Na tomto obrázku je opět graf funkce. Definiční obor funkce je polouzavřený interval. To znamená, že obsahuje pouze jeden svůj krajní bod a druhý krajní bod neobsahuje. Hodnota x = 2 do definičního oboru patří a hodnota x = 2 do definičního oboru nepatří. Tedy D(f) = 2;2. Obor hodnot (čteme na ose y) je uzavřený interval. Tedy patří do něj oba krajní body. H(f) = 1; 3. c) D(f) = 2; 3, H(f) = 4;4. d) D(f) = 3; 2. Obor hodnot funkce tvoří pouze hodnota 2, tedy H(f) = {2}. e) D(f) = 4; 4, H(f) = 3; 2. f) Na tomto obrázku není graf funkce. Je patrné, že např. pro hodnotu x = 2 lze nalézt dvě různé hodnoty y, y = 2, y = 2. Tedy pro jednu hodnotu x existují dvě hodnoty y, což je v rozporu s definicí funkce. g) Jedná se o graf funkce, která má D(f) = R. Obor hodnot je ale pouze interval H(f) = 1 ;. Pro 4

13 hodnoty na ose y menší nebo rovno 1 odpovídající bod na grafu funkce neexistuje. h) Toto není graf funkce. Pro hodnotu x = 1 existují dvě hodnoty y, y = 2 a y = 1, což je v rozporu s definicí funkce. i) Obrázek je podobný předchozímu případu, ale rozdíl je v tom, že nyní pro x = 1 existuje již pouze jedna hodnota y, a to y = 1. Nyní se tedy jedná o graf funkce. Definiční obor je D(f) = 3; 3. Obor hodnot tvoří pouze dvě hodnoty, tedy H(f) = {-1;2} VLASTNOSTI FUNKCÍ DEFINICE: MONOTONIE FUNKCE Nechť f je funkce a interval I je podmnožinou D(f). Řekneme, že funkce f je na intervalu I rostoucí, jestliže pro každé x 1, x 2 I taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) < f(x 2 ). Řekneme, že funkce f je na intervalu I klesající, jestliže pro každé x 1, x 2 I, taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) > f(x 2 ). Poznámka: Řekneme, že funkce f je na intervalu I nerostoucí, jestliže pro každé x 1, x 2 I taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ). Řekneme, že funkce f je na intervalu I neklesající, jestliže pro každé x 1, x 2 I, taková, že x 1 < x 2, platí f(x 1 ) f(x 2 ). Řekneme, že funkce f je na intervalu I monotónní, je-li buď nerostoucí, nebo neklesající na I. Řekneme, že funkce f je na intervalu I ryze monotónní, je-li buď rostoucí, nebo klesající na I. Dále se budeme zabývat pouze Kapitola: FUNKCE 5

14 ryzí monotonnií, proto v následujícím textu pod pojmem monotónní budeme uvažovat výhradně ryze monotónní funkce. Funkce na obrázku 3 je klesající na intervalu ( ; 0 a rostoucí na intervalu 0; ). Tato funkce tedy není monotónní na definičním oboru. Obrázek 3 Funkce na obrázku 4 je neklesající. Je tedy monotónní na celém definičním oboru. Obrázek 4 Funkce na obrázku 5 je klesající na intervalu ( ; 0) a také na intervalu (0; ). Nemůžeme ale říci, že je klesající na celém definičním oboru. Např. pro x 1 = 1 je f(x 1 ) = 1 a pro x 2 = 1 je f(x 2 ) = 1. Tedy neplatí f(x 1 ) > f(x 2 ). Obrázek 5 6

15 DEFINICE: PERIODIČNOST FUNKCE Řekneme, že funkce f je periodická, existuje-li kladné číslo p takové, že platí, je-li x D(f), je i x ± p D(f) a platí f(x) = f(x + p) = f(x p). Nejmenší číslo p s touto vlastností nazýváme primitivní periodou funkce. Má-li funkce periodu p, pak také čísla 2p, 3p, atd. jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Na obrázku 6 je znázorněna goniometrická funkce f(x) = sin x. Tato funkce má primitivní periodu 2π. Základní část funkce, která se stále opakuje, je znázorněna červeně. Obrázek 6 Na obrázku 7 je funkce f(x) = 2. Tato funkce je rovněž periodická a má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá primitivní periodu. Obrázek 7 VĚTA Každá nekonstantní funkce má primitivní periodu. DEFINICE: PARITA FUNKCE Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x D(f) platí ( x) D(f) a platí f( x) = f(x). Řekneme, že funkce f je lichá, pokud pro každé x D(f) platí ( x) D(f) a platí f( x) = f(x). Kapitola: FUNKCE 7

16 Z definice vyplývá, že funkce, které jsou sudé či liché, musí mít definiční obor symetrický dle počátku, tj. bodu 0. Dále, graf funkce sudé je symetrický podle osy y a graf liché funkce je středově souměrný podle bodu [0,0]. Paritu funkce můžeme tedy poznat z grafu funkce nebo pomocí výpočtu. Funkce na obrázku 3 a 7 jsou sudé, jejich grafy jsou symetrické podle osy y. Naopak funkce na obrázku 4, 5 a 6 jsou liché, jejich graf je souměrný podle počátku. lichá funkce sudá funkce Funkce na obrázku 8 ale není sudá, protože nemá symetrický definiční obor, D(f) = ( 2; + ). Pokud bychom definiční obor zúžili na interval ( 2; 2), pak by takto definovaná funkce sudá byla. Obrázek 8 Pokud neumíme nakreslit graf funkce, lze paritu určit pomocí výpočtu hodnoty f( x). Určeme paritu následujících funkcí: a) f(x) = x 4 x na D(f) = ( 3; 4) b) f(x) = x 4 x na D(f) = 3; 3 c) f(x) = x 2 x + 1 na D(f) = ( ; 4) (4; ) Řešení: d) f(x) = 3x x 2 4 na D(f) = ( 1; 1) a) Definiční obor není symetrický podle 0, proto funkce nemůže být ani sudá, ani lichá. 8

17 b) Definiční obor této funkce je symetrický podle 0, funkce tedy může být sudá, či lichá. Toto ověříme výpočtem. Vyjádříme hodnotu f( x). To znamená, že do zadání funkce dosadíme místo x hodnotu x. Tedy: f( x) = ( x) 4 ( x) = x 4 x Tedy platí f( x) = f(x), což znamená, že je funkce podle definice sudá. c) Definiční obor této funkce je opět symetrický podle 0, tedy provedeme výpočet f( x) = ( x) 2 ( x) + 1 = x 2 + x + 1. Nyní neplatí, že f( x) = f(x) ani f( x) = f(x). Tedy funkce není ani sudá, ani lichá. d) Definiční obor je opět symetrický podle 0 a f( x) = 3( x) = 3x = 3x. ( x) 2 4 x 2 4 x 2 4 Tedy f( x) = f(x), z čehož plyne, že funkce je lichá. DEFINICE: OMEZENOST FUNKCE Nechť f je funkce a množina M je podmnožinou definičního oboru funkce f. Řekneme, že funkce f je na množině M zdola omezená, existuje-li reálné číslo r takové, že platí r f(x) pro všechna x M. Řekneme, že funkce f je na množině M shora omezená, existuje-li reálné číslo R takové, že platí R f(x) pro všechna x M. Pokud je funkce na množině M omezená zdola i shora, potom je funkce na množině M omezená. Poznámka: Místo termínu omezená se také používá pojem ohraničená. Graf funkce omezené shora (resp. zdola) si můžeme představit tak, že existuje rovnoběžná přímka s osou x, která leží celá nad grafem funkce (resp. pod grafem funkce). Funkce omezená zdola hodnotou -1. Funkce omezená hodnotou 1 shora. Kapitola: FUNKCE 9

18 Tato funkce je omezená shora hodnotou 1 a zdola hodnotou -1. Tedy jedná se o funkci omezenou. Tato funkce není omezená. DEFINICE: PROSTOST FUNKCE Řekneme, že funkce f je prostá, právě když pro všechna x 1, x 2 D(f) platí: Je-li x 1 x 2, pak f(x 1 ) f(x 2 ). Pro funkci prostou tedy platí, že nám pro různé hodnoty x nevyjde stejná hodnota y. Například funkce y = x 2 (obrázek 10) není prostá, protože pro hodnoty x = 2 a x = 2 vyjde stejná funkční hodnota y = 4. Naopak funkce y = x 3 (obrázek 9) je prostá, protože pro každou hodnotu x vyjde jiná hodnota y. V grafu tuto vlastnost poznáme tak, že pro každou hodnotu y nalezneme na grafu funkce pouze jeden odpovídající bod x. Obrázek 9 Obrázek 10 VĚTA: Je-li funkce f na intervalu I monotónní, je na tomto intervalu také prostá. 10

19 Poznámka: Připomeňme si, že pojmem monotónní myslíme ryze monotónní funkci INVERZNÍ FUNKCE DEFINICE: INVERZNÍ FUNKCE Nechť funkce f: A B je prostá. Pravidlo, které každému y z množiny B přiřadí jediné x z množiny A, pro které platí f(x) = y, se po přeznačení proměnných nazývá inverzní funkce k funkci f. Označujeme ji f 1. Graf funkce f a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky y = x, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu. Z definice vyplývá, že pro funkci f a funkci k ní inverzní platí: D(f) = H(f 1 ), H(f) = D(f 1 ). Inverzní funkci k funkci y = f(x) určíme takto. Zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f(y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y. Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že inverzní funkce neexistuje, protože funkce f není prostá) a definuje explicitně inverzní funkci f 1. Některé ze základních elementárních funkcí jsou definovány jako inverzní funkce k jiným. Například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně. Protože vlastnost být inverzní funkcí je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Názorný výpočet inverzní funkce si ukážeme v následující kapitole. VĚTA: Je-li funkce f rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní f 1. Poznámka: Uvedená věta se nevztahuje na funkce sudé, protože z definice sudé funkce vyplývá, že sudá funkce není prostá. Nemůže k ní tedy existovat inverzní funkce PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Nyní si připomeneme vlastnosti a grafy elementárních funkcí LINEÁRNÍ FUNKCE Lineární funkce je funkce, která je dána ve tvaru y = ax + b, kde a, b R. Grafem této funkce je přímka. Pokud není zadáno jinak, definiční obor jsou všechna reálná čísla. V případě kdy a 0 tvoří obor hodnot všechna reálná čísla. Pokud a = 0 obor hodnot je pouze jedna hotnota, tj. H(f) = {b}. Kapitola: FUNKCE 11

20 Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je a = 0, tj. funkce y = b, které nazýváme konstantní funkce. Grafem těchto funkcí jsou přímky rovnoběžné s osou x. Na obrázku 11 je graf konstantní funkce y = 1. Obrázek 11 Nakresleme graf funkce y = 2x 1. Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí zjistit dva body grafu této funkce a spojit je. Správný graf má mít vyznačené průsečíky se souřadnicovými osami, proto určíme rovnou tyto průsečíky. Průsečík s osou x zjistíme tak, že dosadíme do rovnice za y nulu. 0 = 2x 1 x = 1 2 Tedy P x [ 1 ; 0]. Průsečík s osou y vypočítáme tak, že 2 do rovnice dosadíme za x nulu. y = Tedy P y [0; 1]. Nyní nakreslíme oba body a spojíme je přímkou. Tato funkce je rostoucí, není omezená, není sudá ani lichá, je prostá. Načrtněme graf funkce y = 3x + 2, jejíž D(f) = ( 2; 1. 12

21 Opět určíme průsečíky s osami P x [ 2 ; 0], P 3 y [0; 2]. Protože má funkce omezený definiční obor, grafem bude úsečka. Spočteme tedy také souřadnice koncových bodů: [ 2; 4], [1; 5]. Tato funkce je omezená zdola i shora, je rostoucí a prostá. Není sudá ani lichá. H(f) = ( 4; 5. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = 2x 4. Budeme postupovat podle návodu, který jsme uvedli v předchozí kapitole. Vyměníme v zadání funkce x za y, a naopak. Poté z rovnice vyjádříme y. x = 2y 4 1 x + 2 = y 2 Vidíme, že inverzní funkcí k lineární funkci je opět lineární funkce. D(f) = H(f) = D(f 1 ) = H(f 1 ) = R Pokud načrtneme grafy obou funkcí, je patrné, že jsou symetrické dle přímky y = x LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Připomeňme si nejprve pojem absolutní hodnota. Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo a, pro které platí: je-li a 0, je a = a, je-li a < 0, je a = a. Další možnost, jak lze definovat absolutní hodnotu, je pomocí druhé odmocniny x = x 2. Načrtněme graf funkce y = x 1 2. Kapitola: FUNKCE 13

22 Pro všechna x R, pro která je x 1 0, tj. x 1, je x 1 = x 1. Naopak pro x R, pro která je x 1 < 0, tj. x < 1, je x 1 = x + 1. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: y = x 1 2 = x 3 pro x 1; ) y = x = x 1 pro x ( ; 1) Dopočítáme průsečíky s osami. Když za x dosadíme 0, získáme průsečík s osou y, y = = 1. Pokud do rovnice dosadíme 0 za y, získáme dva průsečíky s osou x. 0 = x = x 1 x = 3 nebo x = 1. Tato funkce není ani sudá, ani lichá, není prostá. Omezená je pouze zdola hodnotou 2. D(f) = R a H(f) = 2; ). Načrtněme graf funkce y = 1 x + 3. Pro všechna x R, pro která je x + 3 0, tj. x 3, je x + 3 = x + 3. Naopak, pro x R, pro která je x + 3 < 0, tj. x < 3, je x + 3 = x 3. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: y = 1 (x + 3) = x 2 pro x 3; ) y = 1 ( x 3) = x + 4 pro x ( ; 3) Dopočítáme průsečíky s osami. Když za x dosadíme 0, získáme průsečík s osou y, y = = 2. Pokud do rovnice dosadíme 0 za y, získáme dva průsečíky s osou x. 0 = 1 x + 3 x + 3 = 1 x = 4 nebo x = 2. 14

23 KVADRATICKÉ FUNKCE Kvadratická funkce je funkce definovaná předpisem y = ax 2 + bx + c, kde a R\{0}, b, c R. Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem V[x 0 ; y 0 ]. Pokud je a > 0, je parabola rozevřená nahoru, pokud je a < 0, je parabola rozevřená dolů. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot je v případě a > 0 interval y 0 ; ), v případě a < 0 interval ( ; y 0. Kvadratická funkce může být zadaná ve tvaru, z kterého jsou přímo vidět souřadnice vrcholu V[x 0 ; y 0 ]: y = a(x x 0 ) 2 + y 0 Nebo ve tvaru y = ax 2 + bx + c, z něhož po převedení na předchozí rovnici získáme vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu. Odvoďme si tyto vzorce. y = ax 2 + bx + c y = a (x 2 + b x) + c a y = a (x 2 + b b2 x + a 4a 2 b2 4a2) + c y = a (x 2 + b a b2 b2 x + 4a2) 4a + c y = a (x + b 2a ) 2 + c b2 4a Z tohoto tvaru je již patrné, že vzorce pro souřadnice vrcholu paraboly jsou x 0 = b 2a y 0 = c b2 4a Kapitola: FUNKCE 15

24 Načrtněme graf funkce y = (x 2) Vrchol paraboly má tedy souřadnice V[2; 1]. Spočítáme průsečíky s osami. Průsečík s osou y: x = 0 y = (0 2) = 3 P y [0; 3] Průsečíky s osou x: y = 0 0 = (x 2) (x 2) 2 = 1 x 2 = ±1 x = 3 nebo x = 1 tedy P x [3; 0], P x [1; 0] Můžeme určit vlastnosti této funkce. Funkce není prostá, není sudá ani lichá. Funkce je omezená pouze shora (např. hodnotou 1). D(f) = R a H(f) = ( ; 1. Načrtněme graf funkce y = x 2 + 6x + 8. Na výpočet souřadnic vrcholu jsme si uvedli vzorce, tedy x 0 = 6 = 3, souřadnici y lze vypočítat také pomocí uvedeného vzorce, nebo jednoduše tak, že stačí dosadit x 0 do zadání funkce, tedy y 0 = ( 3) ( 3) + 8 = 1. Tedy V[ 3; 1]. Průsečíky s osami jsou: 16

25 x = 0 y = = 8 P y [0; 8] y = 0 0 = x 2 + 6x = (x + 4)(x + 2) P x [ 4; 0], P x [ 2; 0] Určeme inverzní funkci k funkci f: y = x 2 pro x 0; ). Definiční obor funkce je zúžen pouze na nezáporné hodnoty, protože na svém maximálním definičním oboru, tedy v R, funkce f není prostá, a tedy k ní inverzní funkce neexistuje. Na intervalu 0; ) je ale funkce prostá, tedy můžeme určit inverzní funkci: x = y 2 x = y Inverzní funkce tedy je: f 1 : y = x, její D(f 1 ) = H(f 1 ) = 0; ). Grafy funkcí jsou symetrické podle osy y = x. Na obrázku vidíme modrý graf funkce f a červený graf funkce f 1. Kapitola: FUNKCE 17

26 MOCNINNÉ FUNKCE Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem y = x n, kde n N. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší v závislosti na n. Graf funkce je také závislý na tom, jestli je n liché, či sudé. Pro n liché je H(f) = R, funkce je lichá, rostoucí, prostá a není omezená. Mezi tyto funkce patří i lineární funkce. Na obrázku 12 jsou zobrazeny mocninné funkce pro n = 3; 5; 7. Pro n sudé je H(f) = 0; ), funkce je sudá, klesající na ( ; 0, rostoucí na 0; ), není prostá a je omezená zdola. Mezi tyto funkce patří i kvadratická funkce. Obrázek 12 Na obrázku 13 jsou zobrazeny mocninné funkce pro n = 2; 4; 6. Obrázek LINEÁRNÍ LOMENÉ FUNKCE Lineární lomená funkce je funkce definovaná předpisem y = ax+b, kde a, b, c, d R, c 0 a navíc platí ad bc 0, což zaručí, že nelze výraz ve funkčním předpisu zkrátit na konstantu. Tedy nenastane např. y = 2x+6 x+3 = 2(x+3) x+3 = 2. Grafem funkce je rovnoosá hyperbola se středem S[x 0 ; y 0 ]. Definiční obor funkce je R\{x 0 }. Obor hodnot funkce je R\{y 0 }. cx+d 18

27 Funkce má dvě asymptoty. Tento pojem je přesně definován v odstavci 4.3. Nyní si asymptoty můžeme představit jako přímky, ke kterým se graf funkce neomezeně přibližuje v krajních bodech definičního oboru. První asymptota je kolmá na osu x a její rovnice je x = x 0, druhá asymptota je kolmá na osu y a její rovnice je y = y 0. Funkce může být zadána ve tvaru, ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice středu: y = kde k R. Nebo ve tvaru: k x x 0 + y 0, y = ax+b cx+d, který lze převést na předchozí tvar a odtud vyjádřit souřadnice středu takto: x 0 = d c, y 0 = a c. Můžeme si všimnout, že první souřadnice středu hyperboly x 0 je bod, ve kterém funkce není definována, neboli nulový bod ze jmenovatele dané funkce, tedy cx + d = 0 x 0 = d c. hodnota, ke které se blíží graf svými konci v + a, což zapisujeme pomocí ity y 0 = x ± Uvedený výpočet provedeme v odstavci o itách ax + b cx + d = a c. Souřadnice středu y 0 je funkční Načrtněme graf funkce y = 1 x Ze zadání můžeme ihned vyčíst souřadnice středu hyperboly S[3; 1]. Spočítáme průsečíky s osami x = 0 y = = 2 3 P y [0; 2 3 ] y = 0 0 = 1 x = 1 x 3 x = 2 P x [2; 0] Při kreslení grafu si nejprve nakreslíme střed a skrz něj vedeme asymptoty grafu (tj. přímky, ke kterým se bude graf svými konci blížit). Asymptoty jsou kolmé na souřadnicové osy. Potom si vyznačíme v grafu průsečíky Kapitola: FUNKCE 19

28 s osami a nakonec dokreslíme graf tak, aby procházel danými průsečíky a svými konci se blížil k daným asymptotám. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu ( ; 3) a na intervalu (3; ). D(f) = R\{3} a H(f) = R\{1}. Načrtněme graf funkce y = 2x 1 x+1. Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme x 0 = 1 a y 0 = 2. Dále spočítáme průsečíky s osami: x = 0 y = = 1 P y [0; 1] y = 0 0 = 2x 1 x = 2x 1 x = 1 2 P x [ 1 2 ; 0] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je rostoucí na intervalu ( ; 1) a na intervalu ( 1; ). D(f) = R\{ 1} a H(f) = R\{2}. Načrtněme graf funkce y = 3x+1 2x 1. 20

29 Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme x 0 = 1 2 a y 0 = 3 2. Dále spočítáme průsečíky s osami: x = 0 y = = 1 P y [0; 1] y = 0 0 = 3x + 1 2x 1 0 = 3x + 1 x = 1 3 P x [ 1 3 ; 0] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu ( ; 1 2 ) a na intervalu ( 1 2 ; ). D(f) = R\ { 1 2 } a H(f) = R\ { 3 2 }. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = x+3 x 2. Funkce je prostá, existuje k ní tedy inverzní funkce. V původní funkci zaměníme neznámé a vyjádříme y: x = y + 3 y 2 xy 2x = y + 3 xy y = 2x + 3 y(x 1) = 2x + 3 f 1 : y = 2x + 3 x 1 Graf funkce f je na obrázku znázorněn modře, graf funkce f 1 je znázorněn červeně. D(f) = R\{2} = H(f 1 ) D(f 1 ) = R\{1} = H(f) Kapitola: FUNKCE 21

30 EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem y = a x, kde a je kladné číslo různé od 1. Grafem funkce je exponenciální křivka, která je buď rostoucí (obrázek 14) pro a > 1, nebo klesající (obrázek 15) pro 0 < a < 1. Obrázek 14 Obrázek 15 Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je (0; ). Funkce je prostá, není sudá ani lichá a je omezená zdola 0. Osa x je asymptota grafu exponenciální funkce. Příkladem rostoucí exponenciální funkce jsou: y = 2 x, y = e x, y = 10 x. Příkladem klesající exponenciální funkce jsou: y = 0, 2 x, y = ( 1 3 )x, y = 0,9 x LOGARITMICKÉ FUNKCE Logaritmická funkce o základu a je funkce definovaná předpisem y = log a x, kde a je kladné číslo různé od 1. Logaritmická funkce y = log a x je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y = a x. Proto je definičním oborem této funkce interval (0; ) a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla. Grafem funkce je logaritmická křivka, která je opět v závislosti na základu a buď rostoucí (obrázek 16) pro a > 1, nebo klesající (obrázek 17) pro 0 < a < 1. 22

31 Obrázek 16 Obrázek 17 Příkladem rostoucí logaritmické funkce jsou: y = log 5 x, y = log x, y = ln x. Příkladem klesající logaritmické funkce jsou: y = log 0,4 x, y = log 0,9 x, y = log2 x. 3 Logaritmická funkce není sudá ani lichá, není omezená a je prostá. Osa y je asymptota grafu logaritmické funkce. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = 10 x+3 1. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme x za y a naopak a vyjádříme y. x = 10 y+3 1 x + 1 = 10 y+3 log(x + 1) = y + 3 f 1 : y = log(x + 1) 3 Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: D(f) = R = H(f 1 ) D(f 1 ) = ( 1; ) = H(f). Na obrázku je graf funkce f vyznačen modře a graf funkce f 1 červeně. Určeme inverzní funkci k funkci f: y = ln(x 2) + 1. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme x za y a naopak a vyjádříme y. Kapitola: FUNKCE 23

32 x = ln(y 2) + 1 x 1 = ln(y 2) e x 1 = y 2 f 1 : y = e x Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: D(f) = (2; ) = H(f 1 ) D(f 1 ) = R = H(f). Na obrázku je graf funkce f vyznačen modře a graf funkce f 1 červeně. V tomto i předchozím příkladu je z obrázků patrná symetrie grafů podle osy y = x GONIOMETRICKÉ FUNKCE Elementární goniometrické funkce jsou čtyři: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Na obrázku 18 je funkce y = sin x. D(f) = R, H(f) = 1; 1 Funkce je lichá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou 2π. Funkce y = cos x je znázorněna na obrázku 19. D(f) = R, H(f) = 1; 1 Funkce je sudá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou 2π. Obrázek 18 Obrázek 19 24

33 Na obrázku 20 je funkce y = tg x. Tato funkce je definována jako tg x = D(f) = R\ { π + kπ}, kde k Z 2 H(f) = R. sin x cos x. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou π. Obrázek 20 Funkce y = cotg x je znázorněna na obrázku 21. Tato funkce je definována jako cotg x = D(f) = R\{kπ}, kde k Z H(f) = R. cos x sin x. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou π. Obrázek CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jedná se tedy o čtyři funkce. Víme, že inverzní funkce existují pouze k funkcím prostým, proto se při definování inverzní funkce k funkci sin x omezíme pouze na interval π 2 ; π 2, u funkce cos x na interval 0; π, u funkce tg x na interval ( π 2 ; π 2 ) a u funkce cotg x na interval (0; π). Tedy na intervaly, na nichž jsou původní funkce rostoucí nebo klesající a které mají 0 jako svůj vnitřní nebo krajní bod. Kapitola: FUNKCE 25

34 Inverzní funkce k funkci sin x se značí: y = arcsin x (čteme: [arkussinus]) D(f) = 1; 1 H(f) = π 2 ; π 2 Funkce je rostoucí, prostá, omezená, lichá (obrázek 22). Obrázek 22 Inverzní funkce k funkci cos x se nazývá: (čteme: [arkuskosinus]) y = arccos x D(f) = 1; 1 H(f) = 0; π Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 23). Obrázek 23 Inverzní funkce k funkci tg x se nazývá: y = arctg x (čteme: [arkustangens]) D(f) = R H(f) = ( π 2 ; π 2 ) Funkce je rostoucí, prostá, omezená a lichá (obrázek 24). Obrázek 24 26

35 Inverzní funkce k funkci cotg x se nazývá: (čteme: [arkuskotangens]) y = arccotg x D(f) = R H(f) = (0; π) Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 25). Obrázek 25 Určeme inverzní funkci k funkci f: y = arcsin(x 1) + π. Vyjádříme nejdříve předpis inverzní funkce: x = arcsin(y 1) + π x π = arcsin(y 1) sin(x π) = y 1 f 1 : y = sin(x π) + 1 Argument funkce arcsin(x 1) musí být z intervalu 1; 1, tedy: 1 x x 2 Proto D(f) = 0; 2 = H(f 1 ). Argument funkce sin(x π) musí být z intervalu π ; π, tedy: 2 2 π 2 x π π 2 π 2 x 3π 2 Proto D(f 1 ) = π 2 ; 3π 2 = H(f). Na obrázku vidíme modrý graf funkce f a červený graf funkce f 1 a je patrná jejich symetrie podle osy y = x. Kapitola: FUNKCE 27

36 Určeme inverzní funkci k funkci f: y = tg (x π 2 ) + 2. Vyjádříme nejdřív předpis inverzní funkce: x = tg (y π 2 ) + 2 x 2 = tg (y π 2 ) arctg (x 2) = y π 2 f 1 : y = arctg(x 2) + π 2 Argument funkce tg (x π ) musí být z intervalu 2 ( π ; π ), tedy: 2 2 π 2 < x π 2 < π 2 0 < x < π Proto D(f) = (0; π) = H(f 1 ). Argument funkce arctg(x 2) může být jakékoliv reálné číslo, tedy D(f 1 ) = R = H(f). Na obrázku vidíme modrý graf funkce f a červený graf funkce f GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V POSUNUTÉM TVARU Grafy elementárních funkcí, které jsme si popsali v předchozích kapitolách, lze také posunovat či překlápět. Ukážeme si tyto operace na různých funkcích. Tyto operace platí pro všechny výše uvedené funkce, nejen pro ty, na kterých to zde názorně aplikujeme. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY x: y = f(x + a) Pokud argument funkce bude místo x hodnota x + a, posunujeme graf funkce f(x) ve směru osy x o hodnotu a. 28

37 Graf funkce y = arccos (x 1), získáme tedy tak, že graf funkce arccos x posuneme o jedničku doprava. Graf funkce y = ln (x + 1), získáme tak, že graf funkce ln x posuneme o jedničku doleva. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY y: y = f(x) + a Pokud k funkci přičteme (resp. odečteme) nějakou konstantu, posouvá to graf funkce f(x) ve směru osy y o hodnotu a. Graf funkce y = arctg x π získáme posunutím 2 grafu funkce y = arctg x o hodnotu π dolu. 2 Graf funkce y = e x + 1 získáme posunutím grafu funkce y = e x o jedna nahoru. OTOČENÍ KOLEM OSY x: y = f(x) Pokud je funkce vynásobená konstantou 1, pak se otáčí graf funkce f(x) kolem osy x. Neboli část grafu funkce f(x), která je pod osou x, se otočí kolem osy x nahoru a ta část grafu, která je nad osou x, se otočí kolem osy x dolů. Kapitola: FUNKCE 29

38 Graf funkce y = e x tedy dostaneme tak, že otočíme graf funkce e x kolem osy x. Graf funkce y = arccotg x vznikne otočením grafu funkce arccotg x kolem osy x. OTOČENÍ KOLEM OSY y: y = f( x) Pokud je argument funkce vynásobený hodnotou 1, pak se otáčí graf funkce f(x) kolem osy y. Graf funkce y = ln ( x) tedy vznikne otočením grafu funkce ln x kolem osy y. Graf funkce y = 2 x vznikne otočením grafu funkce 2 x kolem osy y. ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE y = f(x) Pokud je funkce v absolutní hodnotě, znamená to, že všechny její záporné hodnoty se násobí číslem 1 neboli všechny body funkce pod osou x se otáčí kolem této osy nahoru. Ta část grafu funkce f(x), která je nad osou x, se neotáčí nikam. 30

39 Graf funkce y = arctg x získáme otočením záporné části grafu funkce arctg x (tj. části která je pod osou x) kolem osy x nahoru. Graf funkce y = ln x získáme otočením záporné části grafu funkce ln x nad osu x DEFINIČNÍ OBOR Při určování definičního oboru elementární funkce, hledáme množinu všech hodnot x, které lze dosazovat do funkčního předpisu y = f(x). Na základě znalostí definičních oborů základních elementárních funkcí tedy stanovujeme podmínky, které musí být splněny, aby daná funkce byla definována. Za základní elementární funkce označujeme všechny funkce zavedené v předchozích kapitolách. Každá reálná funkce jedné reálné proměnné, která z těchto základních funkcí vznikne konečným počtem algebraických operací a konečným počtem operací skládání, je elementární. Nyní ještě zavedeme pojem složená funkce. DEFINICE: SLOŽENÁ FUNKCE Nechť g: A B a f: B C jsou funkce. Pak funkce h: A C daná předpisem y = f(g(x)) se nazývá složená funkce. Funkce g se nazývá vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce h. Připomeneme si definiční obory některých elementárních funkcí, tedy podmínky, za nichž mají smysl vyšetřované složené funkce. 1 g(x) g(x) 0 g(x) g(x) 0 ln g(x) g(x) > 0 log z g(x) g(x) > 0 arcsin g(x) 1 g(x) 1 arccos g(x) 1 g(x) 1 tg g(x) g(x) π + kπ, k Z 2 cotg g(x) g(x) kπ, k Z Kapitola: FUNKCE 31

40 Určeme definiční obor f: y = ln(x 2 x 6) + arcsin x 2 3. Definiční obor funkce je množina všech reálných x, pro něž dané funkce existují. Logaritmus existuje pouze pro kladná reálná čísla, proto musí platit x 2 x 6 > 0, arkussinus je definován na množině 1; 1, proto musí platit 1 x 2 1. Nyní vyřešíme tyto nerovnice a definiční obor bude průnik řešení těchto nerovnic. 3 x 2 x 6 > 0 (x 3)(x + 2) > 0 ( ; 2) ( 2; 3) (3; ) x x x 5 x 1; 5 x ( ; 2) (3; ) Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor zadané funkce, tedy D(f) = (3; 5. Určeme definiční obor funkce f: y = x+2 x 1 + arccos x 3. Ze zadání funkce plynou tyto podmínky: x+2 x 1 0, x 1 0, 1 x 3 1. x + 2 x 1 0 ( ; 2) ( 2; 1) (1; ) + + x ( ; 2 (1; ) x 1 0 x 1 1 x x 3 x 3; 3 Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor funkce, tedy D(f) = 3; 2 (1; 3. Určeme definiční obor funkce f: y = ln( x2 +3x+4) 4 x 2. Stanovíme podmínky: x 2 + 3x + 4 > 0, 4 x 2 > 0. x 2 + 3x + 4 > 0 x 2 3x 4 < 0 4 x 2 > 0 (2 x)(2 + x) > 0 32

41 (x 4)(x + 1) < 0 ( ; 1) ( 1; 4) (4; ) + x ( 1; 4) ( ; 2) ( 2; 2) (2; ) + x ( 2; 2) Tedy D(f) = ( 1; 2). Určeme definiční obor funkce f: y = arccos x+3 2 x arctg x ln(x+2) Stanovíme podmínky: 1 x+3 1, 2 x 0, x + 2 > 0, ln(x + 2) 0. 2 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 x 0 x 2 ln(x + 2) 0 x + 2 e 0 x x x + 1 x x 2 x x x 1 0 x x 2 x 0 x + 2 > 0 x > 2 x ( 2; ) x x 2x x 0 ( ; 2) (2; ) ( ; 0,5) ( 0,5; 2) (2; ) + + x ( ; 2) x ( ; 0,5 (2; ) První nerovnici splňují hodnoty x ( ; 0,5. Definiční obor zadané funkce je pak průnik množin, v nichž jsou splněny jednotlivé podmínky, tedy D(f) = ( 2; 1) ( 1; 0, CVIČENÍ 1) Určete definiční obor funkce: a) y = 2 3x x 1 log(5x x2 ) b) y = arcsin x 4 3 x arccos x 4 Kapitola: FUNKCE 33

42 c) y = ln( x 2 + x + 6) + 2x+3 4x 1 d) y = arctg x log(x+2) e) y = ln(x 3) x 2 25 arcsin x 1 2 [a) 2 ; 1), b) 3 7 ; 4, c) ( 2; (1 ; 3), d) ( 1; 3, e) (5; )] 4 2) Určete inverzní funkce k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí: a) y = 2x 1 3x+5 b) y = 5 x c) y = 1 + sin(x + π 2 ) d) y = log (x 1) + 2 e) y = arccotg (x + 3) π [a) y = 1+5x 2 3x, D(f) = H(f 1 ) = R { 5 3 }, D(f 1 ) = H(f) = R { 2 3 }, b) y = log 5 (x 2) + 3, D(f) = H(f 1 ) = R, D(f 1 ) = H(f) = (2; ), c) y = arcsin(x 1) π 2, D(f) = H(f 1 ) = π; 0, D(f 1 ) = H(f) = 0; 2, 3) Určete, jestli jsou tyto funkce prosté, sudé, nebo liché a ohraničené. d) y = 10 x 2 + 1, D(f) = H(f 1 ) = (1; ), D(f 1 ) = H(f) = R, e) y = cotg (x + π) 3, D(f) = H(f 1 ) = R, D(f 1 ) = H(f) = ( π; 0)] a) y = x b) y = arcsin x c) y = 1 x d) y = arccotg x e) y = arccos x π 2 [a) není prostá, je sudá, omezená shora 2, b) není prostá, sudá, omezená shora π a zdola 0, c) prostá, lichá, 2 neomezená, d) prostá, ani sudá, ani lichá, omezená zdola π a shora 0, e) prostá, lichá, omezená shora π a 2 zdola π ] 2 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) y = x 4 1 b) y = e x 1 c) y = x 2 + 3x d) y = sin (x π 2 ) 1 e) y = π arctg x 2 f) y = ln (x 1) g) y = x 1 2x+3 h) y = (x 2) i) y = arccos (x + 1) π 2 j) y = cotg x 1 34

43 Výsledné grafy funkcí: a) b) c) d) e) f) Kapitola: FUNKCE 35

44 g) h) i) j) 36

45 2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 2.1. LIMITA FUNKCE Definice ity funkce je založena na pojmu okolí bodu. Začněme tedy touto definicí. DEFINICE: OKOLÍ BODU Nechť δ > 0. U δ (x 0 ) (x 0 δ; x 0 + δ) je δ-okolí bodu x 0. P δ (x 0 ) (x 0 δ; x 0 ) (x 0 ; x 0 + δ) je prstencové δ-okolí bodu x 0. Pokud x 0 {+ ; }, pak definujeme: U δ (+ ) = P δ (+ ) ( 1 δ ; ), U δ ( ) = P δ ( ) ( ; 1 δ ). Poznámka: Rozdíl mezi okolím bodu a prstencovém okolí bodu je tedy v tom, že do prstencového okolí bodu x 0 nepatří bod x 0. DEFINICE: LIMITA FUNKCE Nechť x 0, A R { ; + }. Funkce f má v bodě x 0 itu A, píšeme: f(x) = A, x x 0 jestliže ke každému okolí U ε (A) existuje okolí P δ (x 0 ) D(f), pak pro každé x P δ (x 0 ) platí f(x) U ε (A). Poznámka: Pokud pro x 0 R nahradíme P δ (x 0 ) levým okolím P δ (x 0 ) (x 0 δ; x 0 ), jedná se o itu zleva a píšeme f(x) = A. x x 0 Pokud pro x 0 R nahradíme P δ (x 0 ) pravým okolím P + δ (x 0 ) (x 0 ; x 0 + δ), jedná se o itu zprava a píšeme f(x) = A. x x + 0 V případě ± se jedná pouze o jednostranná okolí (pro + o levé a pro o pravé). Definice tedy říká, že funkce f má v bodě x 0 itu A, jestliže pro hodnoty x blízké hodnotě x 0, ale různé od x 0, jsou funkční hodnoty f(x) blízké číslu A. Na hodnotě funkce v bodě x 0 nezáleží, dokonce v něm funkce f nemusí být ani definována. Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 37

46 Na obrázku 26 je okolí U ε (A) zobrazeno zeleně a prstencové okolí P δ (x 0 ) červeně. Obrázek 26 Pokud x 0 je reálné číslo, mluvíme o itě ve vlastním bodě, pokud x 0 je nebo, mluvíme o itě v nevlastním bodě. Podobně pokud A je reálné číslo, říkáme, že funkce má vlastní itu, pokud A je nebo, říkáme, že funkce má nevlastní itu. Limita v bodě x 0 také nemusí existovat. Jinak řečeno, ita tedy vyjadřuje hodnotu, ke které se blíží funkční hodnoty f a mohou této hodnoty I dosáhnout (čteme na ose y), když se po ose x přibližujeme k hodnotě x 0 (ale tuto hodnotu nedosáhneme). Určeme následující ity funkce, která je znázorněna na obrázku 27. f(x) = 0 x f(x) = 1 x f(x) = + x 2 f(x) = + x 2 + f(x) = x 0 x 0 + f(x) = 1 2 x 1 f(x) = 2 Obrázek 27 38

47 VĚTA: Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu itu. VĚTA: Funkce f má v bodě x 0 R itu rovnou číslu A právě tehdy, existují-li a platí-li f(x), f(x) x x+ 0 x x 0 f(x) = f(x) = A. x x+ 0 x x 0 Podle obrázku 27 tedy můžeme říci, že x 2 f(x) existuje a rovná se +, protože tuto hodnotu nabývají i obě jednostranné ity, naproti tomu x 0 f(x) neexistuje, protože hodnoty jednostranných it jsou různé. Určeme následující ity funkce f, která je znázorněna na obrázku 28. f(x) = 0 x f(x) = 1 x f(x) = + x 2 f(x) = x 2 + f(x) x 2 neexistuje f(x) = 1 x 3 f(x) = 1 x 0 f(x) = + x 2 f(x) = + x 2 + f(x) = + x 2 Obrázek 28 Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 39

48 2.2. SPOJITOST FUNKCE Zavedeme nejprve spojitost funkce v bodě (tzv. lokální spojitost) a poté spojitost funkce na intervalu (tzv. globální spojitost) SPOJITOST FUNKCE V BODĚ Spojitost funkce v bodě je definována pomocí ity. DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE V BODĚ Funkce f je spojitá v bodě x 0 R, jestliže existuje vlastní ita x x0 f(x) a platí: Poznámka: f(x) = f(x 0 ). x x 0 Nahradíme-li v definici oboustrannou itu itou zleva, případně itou zprava, jedná se o spojitost zleva, případně zprava. Tedy funkce f je spojitá zprava v bodě x 0 R, jestliže existuje vlastní ita f(x) a platí: x x+ 0 f(x) = f(x x x+ 0). 0 Bod spojitosti x 0 musí být vnitřním bodem definičního oboru funkce, tedy nějaké jeho okolí U δ (x 0 ) musí celé náležet do definičního oboru funkce. Pro funkci f na obrázku 29 platí: f(x) = 2 x 1 f(1) = 2 Tyto hodnoty se sobě rovnají, funkce je tedy v bodě x 0 = 1 spojitá. Obrázek 29 40

49 Naopak, na obrázku 30 platí: f(x) = 2 x 1 f(1) = 3 Protože jsou tyto hodnoty různé, funkce není spojitá v bodě x 0 = 1. Obrázek 30 VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V BODĚ Nechť f je elementární funkce s definičním oborem D(f) a nechť x 0 D(f). Je-li x 0 vnitřním bodem D(f), je funkce f spojitá v x 0. Je-li U δ (x 0 ) D(f) pro nějaké δ > 0, je f spojitá v x 0 zleva. Je-li U δ + (x 0 ) D(f) pro nějaké δ > 0, je f spojitá v x 0 zprava SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU Nechť I D(f) je interval libovolného typu. Je-li I otevřený interval, je funkce f spojitá na I, jestliže je spojitá v každém jeho bodě. Je-li I je polouzavřený nebo uzavřený interval, je funkce f spojitá na I, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a jednostranně spojitá v krajních bodech. Poznámka: Tedy pokud se jedná o uzavřený interval I, pak je funkce f spojitá na I, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě, v levém krajním bodě je spojitá zprava a v pravém krajním bodě je spojitá zleva. VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ NA INTERVALU Nechť f je elementární funkce a nechť I je interval libovolného typu, který je podmnožinou definičního oboru funkce f. Potom f je spojitá na I. Tato věta se využívá při výpočtu it a to tak, že pokud počítáme itu elementární funkce f v bodě x 0 R a zároveň x 0 D(f), pak je tato ita rovna její funkční hodnotě v tomto bodě. Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 41

50 x+1 Vypočítejme itu:. x 1 x 2 +2 Tato funkce je elementární, můžeme tedy vypočítat itu přímo dosazením hodnoty 1 do výrazu. x + 1 x 1 x = = 2 3 Limity elementárních funkcí ve vlastních bodech tedy můžeme získat přímo dosazením, ity elementárních funkcí v nevlastních bodech lze někdy vyčíst z grafu funkce. V následujících příkladech určíme ity základních elementárních funkcí pomocí grafů. Limity lineární lomené funkce: 1 x x = 0 x 1 x = 0 1 x 0 + x = + 1 x 0 x = 1 x 0 x neexistuje Limity exponenciálních funkcí: x ex = x ex = 0 x 0 ex = 1 42

51 x (1 x 2 ) = 0 x (1 x 2 ) = x (1 x 0 2 ) = 1 Limity logaritmické funkce: ln x = x ln x = x 0 + ln x = 0 x 1 Limity goniometrických funkcí: sin x neexistuje x cos x neexistuje x Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 43

52 tg x = x π + 2 tg x = x π 2 tg x = 0 x 0 tg x = x π 2 cotg x = x 0 + cotg x = x 0 cotg x = 0 x π 2 Limity cyklometrických funkcí: x arctg x = π 2 x arctg x = π 2 arctg x = 0 x 0 44

53 arccotg x = 0 x arccotg x = π x x 0 arccotg x = π VÝPOČET LIMIT Pro výpočet it platí následující pravidla pro početní operace. VĚTA: Jsou-li f a g funkce, x 0 R, pak platí: (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x), x x0 x x0 x x0 (f(x) g(x)) = f(x) g(x), x x0 x x0 x x0 f(x) = x x0 f(x), x x0 g(x) x x0 g(x) f(x) = f(x), x x0 x x0 pokud existují ity na pravých stranách a algebraické operace na pravých stranách jsou definovány. Při výpočtu můžeme narazit na situace, kdy není hned jasné, jestli ita vůbec existuje nebo jaká je její hodnota. Mluvíme o tzv. neurčitých výrazech. Jedná se o výrazy následujících typů, k jejichž zápisu budeme používat tyto závorky. 0,,, 0 0, 0, 0 0, 1 V těchto případech lze využít různé algebraické úpravy, které nám pomohou získat výraz, jehož hodnotu lze již vypočítat, nebo lze využít l Hospitalovo pravidlo, které bude uvedeno v odstavci 4.2. Pro výpočet ity složené funkce jsou užitečné následující dvě věty. VĚTA: Předpokládejme, že x 0, A, B R, g(x) = A, x x 0 f(y) = B, y A a existuje okolí P δ (x 0 ) tak, že pro všechna x P δ (x 0 ) platí g(x) A. Potom Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 45

54 f(g(x)) = B. x x 0 Poznámka: Tato věta platí i pro jednostranné ity. Vypočtěme itu: x 3x2 +1 Jedná se o itu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve itu vnitřní funkce. Nyní vypočítáme itu vnější funkce. Tedy g(x) = x = x x 0 x f(y) = y A y 3y = x 3x2 +1 =. VĚTA: Předpokládejme, že x 0 R, A R. Nechť x x0 g(x) = A a funkce f je spojitá v bodě A. Potom f(g(x)) = f(a). x x 0 Vypočtěme itu: x arccotg 1 x Jedná se o itu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve itu vnitřní funkce. 1 g(x) = x x 0 x x = 0 Limitou vnitřní funkce je konečné reálné číslo, v jehož okolí je vnější funkce arccotg g(x) definovaná a spojitá. Tedy platí: x arccotg 1 x = arccotg 0 = π 2 46

55 VĚTA: O LIMITĚ SEVŘENÉ FUNKCE Nechť x 0 R a nechť pro funkce f, g a h platí f(x) g(x) h(x) v nějakém okolí P δ (x 0 ) bodu x 0. Nechť platí: kde A R. Potom x x0 g(x) = A. Poznámka: Tato věta platí i pro jednostranné ity. Využití této věty ilustruje následující příklad. f(x) = h(x) = A, x x 0 x x0 Vypočtěme itu: sin x x x Po dosazení nelze určit itu x sin x, a tedy nelze ihned určit hodnotu dané ity. Protože x +, tedy x > 0, je zřejmé, že platí: 1 x sin x x 1 x 1 x x = 1 x x = 0 Dle předchozí věty tedy: sin x x x = 0 Nyní si ukážeme, jak se postupuje při výpočtu různých druhů it LIMITY POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ Některé ity jdou vypočítat přímo dosazením. x x2 + x = + = Pokud nám ale po dosazení vyjde neurčitý výraz, musíme použít nějakou úpravu daného výrazu, aby výpočet vedl k výrazu, jehož hodnotu určit lze. Při výpočtu it polynomů používáme vytýkání nejvyšší mocniny v daném výrazu. Pomocí vytýkání získáme výrazy ve tvaru konstanta, o kterých víme, že jsou rovny nule. Uvažujme předchozí příklad, ale pro x : x x2 + x = = x x2 (1 + 1 ) = (1 + 0) = x ± Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 47

56 Vypočtěme ity: x 3x2 x 5 = = x 5 ( 3 1) = (0 1) = x x3 2 x x2 x 3 = 2 + = x x3 ( 2 x 3 1 1) = (0 0 1) = x LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ V těchto případech po dosazení opět vycházejí neurčité výrazy, proto zde postupujeme podobně jako v předchozích příkladech, tj. vytýkáme nejvyšší mocninu v čitateli a nejvyšší mocninu ve jmenovateli zlomku. Vypočtěme ity: x 2 + 3x + 1 x 2x 2 + x + 5 = x 2 ( x x 2) = + 1 x x 2 x x 2 ( x x 2) x = = 1 2 x x 2 x 3 + x + 1 x 2x 2 + 2x + 5 = x 3 ( x 2 x 3) x (1 + = + 1 x 2 x 3) ( ) x x 2 ( x x 2) x = = x x 2 1 x x x 4 + x + 3 = x x 5x 3 + 3x 4x 3 + x + 3 = x 2 (1 + 1 x 2) x 4 ( = 3 x x 3 x4) x x 2 x 2 ( = x 3 x 4) ( ) = 0 x 3 ( x 2) x x 3 ( = 2 3 x x 2 x3) = = 5 4 x 2 x 3 x 4 + 2x + 1 x 4 ( x 2x 2 = + 1 x 3 x 4) x 2 ( = + 1 x 3 x 4) 1 x x 2 (2 1 x 2) x 2 1 = ( )2 ( 1) = 2 x 2 3x 2 2x + 1 x x 3 + x = x x 2 ( x x 2) x 3 ( = 3 x x 3) x x x 2 3 x ( = 3 x x 3) 1 = 0 2x + 1 x 2 3x = x (2 + 1 ) x x x x ( 2 3) = x 2 3 = = 2 3 x x V odstavci Lineární lomené funkce jsme si uvedli, že souřadnici y 0 středu hyperboly lze spočítat také pomocí ity: 48

57 y 0 = x ± ax + b cx + d = a c Nyní si již tento výpočet můžeme dokázat: x ± ax + b cx + d = x (a + b ) x x (c + d ) = a + b x x ± c + d x x x ± = a + 0 c + 0 = a c LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ VE VLASTNÍM BODĚ V tomto případě mohou nastat tři situace. Buď lze vypočítat itu přímo dosazením: x 2 2x + 1 x 1 x 2 = = 1 Nebo nám vyjde neurčitý výraz 0 0, který značí, že x 0 je kořenem polynomu v čitateli i ve jmenovateli, lze tedy oba výrazy rozložit na součin a zlomek zkrátit. Tímto postupem převedeme příklad na výraz, který již lze vypočítat. Další možnost, kterou lze v tomto případě využít je L Hospitalovo pravidlo, které si popíšeme v odstavci 4.2. Vypočtěme ity: x 2 4x + 4 x 2 x 2 4 = 0 0 = (x 2) 2 x 2 (x 2)(x + 2) = x 2 x 2 x + 2 = 0 4 = 0 x 2 2x 3 x 3 x 2 5x + 6 = 0 0 = (x 3)(x + 1) x 3 (x 3)(x 2) = x + 1 x 3 x 2 = 4 1 = 4 x 1 x 3 x x 2 4x 5 = 0 0 = x(x 1)(x + 1) x 1 (x 5)(x + 1) = x(x 1) x 1 x 5 = 2 6 = 1 3 Třetí situace je případ, kdy nám po dosazení vyjde nula pouze ve jmenovateli zlomku a v čitateli bude nenulová konstanta. konstanta 0 V tomto případě spočítáme jednostranné ity. Protože pro výrazy následujícího typu již lze určit jejich hodnotu, použijeme tento symbolický zápis a předpokládáme, že konstanta c > 0: c 0 + = + c 0 = Pro c < 0 budou výsledky s opačným znaménkem. Ukažme si tento postup na příkladech. Kapitola: LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 49

58 Vypočítejme itu: 2x x 3 x 3 Po dosazení dostaneme výraz 6. Vypočítejme tedy jednostranné ity: 0 2x x 3 = = + x 3 + 2x x 3 = 6 0 = x 3 2x Protože jsou jednostranné ity různé, pak daná ita x 3 x 3 neexistuje. Vypočítejme itu: 2 + x x 1 (x 1) 2 Po dosazení dostaneme výraz 3. Vypočítejme tedy jednostranné ity: x (x 1) 2 = = + x x (x 1) 2 = = + x 1 Protože jsou jednostranné ity stejné, pak i původní ita = +. (x 1) 2 x 1 2+x Vypočítejme itu: 2x 1 x 2 1 x 1 Po dosazení dostaneme výraz 3. Vypočítejme tedy jednostranné ity: 0 2x 1 x 1 + x 2 1 = 2x 1 x 1 + (x 1)(x + 1) = = + 2x 1 x 1 x 2 1 = 2x 1 x 1 (x 1)(x + 1) = = Protože jsou jednostranné ity různé, pak daná ita 2x 1 x 1 x 2 1 neexistuje. 50

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829, 1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek Matematická analýza 1 Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek 2009 Obsah Obsah Seznam použitých symbolů.................................................. 2 1. Funkce Teoretické základy.................................................

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek

Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce 2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více