Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod
|
|
- Renáta Tomanová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Seriál TeoriečíselI Počínaje 17. ročníkem robíhá každý rok v PraSátku seriál na okračování. Jde o výklad nějakého odvětví matematiky, se kterým se na střední škole s velkou ravděodobností setkáš jenvomezenémířečivůbecne,alekteréjeřestomožnévyložittak,abybylostředoškolákům řístuné. Cílem seriálu je tedy rozšířit Tvé matematické obzory o nějaký zajímavý kout matematiky. Letošní seriál na téma Teorie čísel ro Tebe íší Pea Svoboda a Štěán Šimsa. Vrvních,druhýchatřetíchkomentáříchvyjdevždyjedendílakněmutrojiceúloh,kjejichž vyřešení by Ti měly stačit znalosti nabyté řečtením a lným ochoením doosud vydaných dílů. Na rozdíl od ostatních sérií se Ti z této do výsledného bodového hodnocení zaočítají všechny(tři) říklady. Jak seriál číst? Letošnítémajenatolikzajímavé,obsáhléaužitečné,žejsmeserozhodliudělatseriálvydatnější 1 než obvykle. Proto Tě v rvním díle seznámíme s důležitými základy, bez kterých bychom se v dalších dílech neobešli. Budeš-li mít ocit, že některou část seriálu máš v malíčku, můžeš ji s klidem řeskočit. Jestliže naoak nějakou část naorvé neochoíš, nezoufej a zkus to ještě jednou. Pokud to neomůže, neboj se zetat se na chatu nebo rostřednictvím u některého zautorů. Dohoda Abychomsenezbláznili,budemeceláčísla(tj., 1,5,0aod.)označovatouzejako čísla, rotože s nimi budeme racovat rakticky ořád. Pokud v seriálu oužijeme neznámé a, b, c, d, myslíme tím vždy čísla(tedy celá!). Neznámé m, n máme vyhrazené ro čísla řirozená. Úvod Můžešsiblahořátkvýběrutohonejlešího 3 tématu,kterýmjeteoriečísel.jdeooborzabývající se ředevším vlastnostmi řirozených a celých čísel. Přestože mohou řirozená čísla ůsobit jednoduše, oak je ravdou. Skrývají mnoho tajemství a nevyřešených roblémů. Kde jinde se dají najít otevřené roblémy s tak řístuným zadáním? Příkladem mohou být takzvaná dokonalá čísla. Dokonalé je takové číslo, které je rovno součtu svýchdělitelůsvýjimkousebesama.naříkladčíslošestjedokonalé,rotože1++3=6. Dalšímidokonalýmičíslyjsou8,496,818, Dohromadyjichzatímznámejen48, řičemž největší z nich má řes 17 miliónů cifer. Cvičení. Dokaž, že součet řevrácených hodnot dělitelů dokonalého čísla n je.(naříklad =.) Návod. Poděl definici číslem n. 1 Občassevoznámceodčarouvyskytnevti.Tenbudeoznačentakto. 1 ynajdešnaříkladnastráncehtt://mks.mff.cuni.cz/organizatori.h. 3 Myvlastněanijinátématane(u)zná(vá)me. 1 1
2 Velkou záhadou zůstává, jestli existuje i nějaké liché dokonalé číslo. Víme, že okud by existovalo, takbymuseloslňovatmnohoodmínek. Naříkladbybylovětší než10 300,o děleníčíslem468bydávalozbytek117,mělobyřesstotisícdělitelůaodobně. Než si sami budeme moci dokázat něco ěkného o dokonalých číslech, musíme si vysvětlit základy,nakterýchjeceláteorieostavena.alenebojse,užvtomtodílesedozvíšsoustu zajímavých věcí, které Ti ve škole nejsíše nerozradí. Tak s chutí do toho! Dělitelnost Definice. Číslo bjedělitelnéčíslem a 0,rávěkdyžexistuječíslo ctakové,že ac=b.tento faktzaisujeme a b.číslo anazývámedělitelemčísla babnásobkemčísla a. 4 Dělitelnost je základní ojem teorie čísel. Budeme se s ní setkávat na každém kroku, roto se s ní seznam v následujících cvičeních. Cvičení. Dokažsinásledujícítvrzení. 5 Nechťlatí a,b 0. (i) Platí1 aaa 0. (ii) Pokud a c,takia cdaokud ab c,tak a c. (iii) Pokud a bab c,tak a c.(protosimůžemedovolitzkrácenýzáis a b c.) (iv) Pokud a cab d,tak ab cd. (v) Pokud a c,tak c=0nebo a c. (vi) Pokud a bab a,tak a = b. (vii) Pokud a caa d,tak a c+d. Všimnisi,ževoslednímříadělatíia c d,badokonce a kc+ldrolibovolná čísla k, l. Úloha. Určivšechnařirozenáčísla m, ntaková,že ndělím 1amdělín 1. (MO 59 A II 3) Návod. Uvědomsi,žeokudvčásti(v)je c 0a a c,takdokoncelatí a c. Cvičení. Rozmysli si, že obecně nelatí: (i) Pokud a cab d,tak a+b c+d. (ii) Pokud a cab c,tak ab c. (iii) Pokud a cd,tak a cnebo a d. Následuje jednoduché tvrzení, se kterým ses jistě již setkal a které často využíváme. Tvrzení.(dělení se zbytkem) Pro libovolná čísla a, b existuje jediná dvojice čísel q, r taková, že a=bq+ ra0 r < b.číslo qnazývámeceločíselnýodílčísel aab; rnazývámezbytek oděleníčísla ačíslem b. NSD největší solečný dělitel Nyní se seznámíme s největším solečným dělitelem, vyzkoušíme si, jak se s ním racuje, a ukážemesisnadnýarychlýzůsob,jakjejvyočítat.nejrvesiujasněme,coseodtímto ojmem skrývá. 4 Velmičastotakéříkáme,že adělí b,aleozor!toznamená,že adělí b,ane,že bdělí a. 1 5 x jeabsolutníhodnotačísla xdefinovanájako x =xro x 0a x = xro x <0.
3 Definice. Největšísolečnýdělitel (NSD)čísel a 1,a,...,a n (kteránejsouvšechnanulová) jenejvětšířirozenéčíslo,kterédělívšechnačísla a 1,a,...,a n.budemejejznačitkulatými závorkami,tedy(a 1,a,...,a n).podobněnejmenšísolečnýnásobek(nsn) 6 jenejmenšířirozenéčíslo,kteréjenásobkemvšechčísel a 1,a,...,a n.budemejejznačithranatýmizávorkami [a 1,a,...,a n]. Cvičení. Pro mírné seznámení si vyočítej hodnoty těchto NSD. (i) ( 15, 4) (ii) (n(n+1),) Řešení. Jediníděliteléčísla 15jsoučísla1,3,5,15(ačíslajimoačná).Číslo4mákladné dělitele1,,3,4,6,8,1,4.solečníděliteléjsoujen 3, 1,1,3,znichžnejvětšíječíslo3. Včásti(ii)jeurčitějednozčísel n, n+1sudé,tedyčíslo n(n+1)jedělitelnédvěma.tojeale největšídělitelčísla,takžeinejvětšísolečnýdělitelčísel n(n+1)a. PodívejmesenynínaNSDzjinéhohlediska.Ktomubudeotřebazačítněčímzdánlivě nesouvisejícím. Mějme daná čísla a, b, z nichž alesoň jedno je nenulové. Vezměme si množinu Mvšechčíseltvaru ka+lb,kde k, ljsoulibovolnáčísla(vmnožinějsoutedynaříkladčísla a, 5a 3b, 7baod.).Všimněmesi,žemnožina Mmázajímavouvlastnost kdykolivdoníatří čísla i, j,takdonítakéatříjejichsoučetirozdílatakélibovolnýnásobekjednohoznich. Nějakéčíslozmnožiny M musíbýtkladné(nař.ro k=aal=b).zevšechkladných číselzmvybermetonejmenšíaoznačmeho r.dokážeme,ževšechnaostatníčíslavmnožině M(i ta záorná) jsou jeho násobkem. Pro sor ředokládejme, že nějaké číslo s není dělitelné číslem r.nyníjejodělímesezbytkemčíslem r.jinýmislovynajdemetakováčísla u, v,ro která s=ru+vařitom0<v<r(vnemůžebýtnula,rotože r s).alečíslo ratřído našímnožiny.takžetamatříičíslo ruadokonceičíslo s ru=v.tímjsmealenašlimenší kladnéčíslozmnožiny M,cožjesorsředokladem,žetonejmenšíbylo r. JaktotedyalevšechnosouvisísNSD?Jakjižmožnátušíš,NSDčísel a, bnenínicjinéhonež r.vímetotiž,že ratřído M,stejnějakočísla a, b.takže r aazároveň r b.ještěotřebujeme dokázat, že r je největší číslo s touto vlastností. Pro sor ředokládejme, že existuje takové většíčíslo r.pak r ka+lbrovšechna k, l,tedydělíir,rotože r=xa+ybronějaká x, y (atřído M).Tojesorstím,žeje r větší. AdokázalijsmesihustouvěcoNSD!Alecovíc triviálněnámztohotodůkazulynevelice užitečná věta, jak v okamžení uvidíš. Věta.(Bézoutova 7 ) Prolibovolnáčísla a, b,znichžalesoňjednojenenulové,existujíčísla k, ltaková,že ka+lb=(a,b). Důkaz. Jakvímezředchozíchodstavců,tak(a,b)nenínicjinéhonež r,kterésedázasat jako xa+yb. Kdyžnastaneříad(a,b)=1,říkáme,žečísla aabjsounesoudělná.voačnémříadě se jedná o čísla soudělná. Příkladem oužití Bézoutovy věty je důkaz následujícího tvrzení. Tvrzení. Nechť a 0, bjsounesoudělnáčíslaalatí a bc.potomtaké a c. Důkaz. Z Bézoutovy věty lyne, že existují čísla k, l tak, že ak+bl = (a,b) = 1. Celou rovnicivynásobímečíslem cadostaneme ack+bcl=c.ale a ack,dále a bc bcl,takže a ack+bcl=c,cožjsmechtělidokázat. 6 Vangličtiněseoužívajízkratkygcd greatestcommondivisoralcm leastcommon multile. 7 ÉtienneBézout( )bylfrancouzskýmatematik. 3
4 Cvičení. V následujících cvičeních latí(a, b) = 1. Dokaž: (i) Pokud a c,b c,ak ab c. (ii) [a,b]=ab. Úloha. Nechť a, bjsoudvěkladnánesoudělnáčísla, manřirozenáčíslaasoučet je celočíselný. Dokaž, že latí nerovnost ma 1 b + nb 1 a m b + n a >1. (zobecnění MO 61 A I 4) Řešení. Sečteme-lizlomky,vidíme,žemusílatit ab a(ma 1)+b(nb 1). Seciálnětedy b a(ma 1)+b(nb 1),ajelikož b b(nb 1),takib a(ma 1).Ale a,b jsounesoudělnáčísla,takže b ma 1.Analogicky a nb 1.Vynásobenímdostáváme: ab (ma 1)(nb 1)=mnab (ma+nb 1), ab ma+nb 1. Ztoholynebuď ma+nb 1=0(cožvšaknelatí,rotože m,a,n,b 1),nebo ab ma+nb 1.Toužjenjednodušeuravíme Přesně to jsme chtěli dokázat. ab < ma+nb, m b + n a >1. Abychom mohli využívat silných vlastností nesoudělnosti, můžeme často udělat jednoduchý, aleúčinnýtrik.označímesi(a,b)naříklad dařekneme a=du, b=dv.potomjsoučísla u, v nesoudělná, čehož rávě využijeme. Vyzkoušej si to na následujících cvičeních. Cvičení. (i) Nechť a c,b c.dokaž[a,b] c. (ii) (a,b)[a,b]=ab. NynísimůžešdokázatdalšíužitečnouvlastnostNSD. 8 Cvičení. Dokaž: (i) Pokud(a,b)=dad a, d b,tak d d. (ii) Pokud[a,b]=qaa q, b q,tak q q. Návod. Postuujsorem.Kdyby d d,uvažtečíslo[d,d].podobněv(ii). Cvičení. Dokaž: (i) Pokud(a,c)=1a(b,c)=1tak(ab,c)=1. (ii) (a,b)=1,rávěkdyž(a,b)=1. (iii) Pokud(b,c)=1,tak(a,bc)=(a,b)(a,c). (iv) (a,bc) (a,b)(a,c). 8 TaseněkdyoužívářímojakodefiniceNSD. 4
5 Eukleidův 9 algoritmus Jak jsme slíbili, ukážeme si raktický zůsob, jak NSD vyočítat. K tomu se využívá tzv. Eukleidůvalgoritmus.Nejrvesialedokažmejednoduchéomocnétvrzení,že(a,b)=(a b,b). Označme d=(a,b)ad =(a b,b).pak d a, d b,roto d a b,takžeid (a b,b)=d. Nadruhoustranu d a b, d b,roto d (a b)+b=a,takžeid (a,b)=d.vidíme, že d d d,tedy d=d.tímjedůkazomocnéhotvrzeníhotovamůžemesiukázatsamotný Eukleidův algoritmus. Když dostaneme zadaná dvě čísla a, b, odečteme menší od většího a dostaneme novou dvojici (která má stejný největší solečný dělitel jako ta ůvodní). Když takto budeme vždy odečítat menší číslo od většího, ostuně se budou čísla zmenšovat, až jedno bude nula a druhé nějaké c.pakalezřejmě(0,c)=c,takže cjetakénsdčísel a, b. Tento výočet se dá ještě urychlit, když čísla nebudeme odčítat, ale když je budeme dělit se zbytkem. Naříklad(7, 1). Podělíme-li číslo 7 číslem 1, dostaneme 3 a zbytek 9. Tedy (7,1)=(7 3 1,1)=(9,1).Taktomůžemeokračovat: (7,1)=(9,1)=(9,1 9)=(9,3)=(9 3 3,3)=(0,3)=3. Cvičení. Rozmysli si, roč funguje i tento urychlený zůsob. Tohoto algoritmu můžeme vhodně využít i v říadě, že neznáme konkrétní čísla. Naříklad (a,(a+1)(a+3))=(a,a +4a+3)=(a,a +4a+3 (a+4)a)=(a,3). Díkytomuvíme,žehledanýnejvětšísolečnýděliteljebuď3,nebo1(odletoho,jestli3 a, nebone).nynísivyzkoušejnásledujícícvičení,abysessnsdléeseznámilaumělhorychle očítat. Cvičení. Urči,čemusemohourovnattytoNSD.Předokládej(a,b)=1. (i) (a+b,a b) (ii) (a+b,ab) (iii) (a +ab,a+b) (iv) (a +a,a +3a+) Cvičení.(těžké) Nechť m=ax+by, n=cx+dyalatí ad bc=±1.ukaž,že(m,n)=(x,y). Celá část čísla Vtomtooddíletroškuodbočímeodcelýchčíselaseznámímesdolníahorníceloučástí.Coto tedy je? Definice. Dolní celá část reálného čísla x je největší celé číslo, které není větší než x. Značíme ji x.horníceláčást reálnéhočísla xjenejmenšíceléčíslo,kterénenímenšínež x.tase značí x. Jinak řečeno, dolní celá část zahazuje to, co je za desetinnou čárkou(ovšem ozor na záorná čísla).takženaříklad 7 3 =; 4=4; 5,35= 6; 5,8 =6.Ještěsehodíznátojem desetinná část čísla,který vyjadřujehodnotu x xaznačí se {x}.naříklad { } 7 3 = 1 3, 9 Eukleides(neboEukleidés)bylřeckýmatematik,kterýůsobilvEgytěvAlexandrii.Žil řibližněvletech35ř.n.l. 60ř.n.l.NasalvýznamnédíloZáklady(rvníoravdovou učebnici s axiomy a důkazy, rý druhou nejvydávanější knihu o Bibli). 5
6 { 5,35}=0,648.Všimnisi,žeokudje xceléčíslo,tak x= x =xa{x}=0,jinak x = x+1a0 < {x} <1. To, jak se s celou částí racuje, si ukážeme na následujícím říkladě. Příklad. Pro reálné číslo r latí r r r+ 91 = Zjisti 100r. (AIME 1991) Řešení. Nalevéstraněje =73členů.Všechnyznichmajíhodnotubuď r,nebo r+1.jelikož7 73 <546 <8 73,tak r=7.navíc546= ,takžervních38členů máhodnotu7azbyléčlenymajíhodnotu8.seciálně r+ 56 =7, 100 r+ 57 = Proto r <8, r+ 8aztoholyne r <744,takže 100r= Jako cvičení si zkus dokázat tyto vlastnosti celých částí: Cvičení. Nechťjsou x, yreálnáčíslaanechťje acelé. (i) x+a= x+aa x+a = x +a. (ii) Dolníceláčástjeneklesající,tedyro x ylatí x y. (iii) x+ 1 zaokrouhluje xknejbližšímucelémučíslu. (iv) x+ y x+y x+ y+1. (v) Početkladnýchnásobkůčísla nneřekračujícíchkladné xjeroven x n. (vi) Dokažsitvrzeníodělenísezbytkem. x (vii) = x n n. Návod. V(iv)rozeiš x= x+{x}.tatofintajevelicečastooužívaná.v(vi)uvažčíslo a b. Příklad. Dokaž,že n+1 + n+ 4 + n =n. (IMO 1968) Řešení. Nejrve si uvědomíme, že ro n = 1 tvrzení latí (rvní člen je 1 a ostatní jsou nulové). Pro sor ředokládejme, že tvrzení ro nějaké n nelatí, a vezměme nejmenší takové n. 10 Vyřešmeříad,kdy njesudé,tedy n=m.jelikož mjemenšínež n,takronějtvrzení zezadánílatí. m+1 m+ m Rozšíříme všechny zlomky na levé straně dvěma a dostaneme m+ 4 + m =m. + =m. Zbývánámřičíst m+1 = m,čímždostanemeodosazení n=možadovanýsor. Proliché njedůkazjenlehcetěžší,zkussijejdokončitsám. 10 To,žetakové nmůžemevybrat,jedůležitávlastnostřirozenýchčísel.využívámejiiři důkazu matematickou indukcí. 6
7 Prvočísla Nyní se dostáváme k asi nejdůležitějšímu ojmu teorie čísel. Prvočíslo. Pravděodobně víš ze školy, že rvočísla jsou taková čísla, která mají rávě dva kladné dělitele jedničku a sama sebe (takzvaní triviální dělitelé). Ostatní řirozená čísla nazýváme složená (ouze jedničku neovažujemeanizarvočíslo,anizačíslosložené 11 ).Začnemeklíčovýmtvrzenímorvočíslech, kterésetakéčastooužívájakodefinice. 1 Tvrzení.(klíčové) Přirozené číslo je rvočíslo rávě tehdy, když ro každá a, b latí, že okud a b,tak anebo b. Důkaz. Nejrve ředokládejme, že není rvočíslo. Pak odle naší definice existuje dělitel 1 < a <,tudíž jeceléčíslo.platí a a a,aleřitom aa a,rotože > aa > a. Druhou(obtížnější) imlikaci dokážeme sorem. Mějme tedy rvočíslo a nechť latí ab, ale řitom a, b. Z ab lyne (,ab) =. Ze cvičení (iv) na straně (?) víme, že (,ab) (,a)(,b).ale(,a)můžebýtjen1nebo (rotože nemájinédělitele). Jelikož ale a,takmusíbýt(,a)=1.analogickydostaneme(,b)=1.pakale 1 1,cožje ožadovaný sor. Cvičení. Nechť k, l, m jsou řirozená čísla. (i) Dokaž,žeokud k+l+m klm,takje k+l+msložené. (ii) Mějmervočíslo =k+3.dokaž k 3 +7k +3k. Návod. Rozlož na součin a využijte definici rvočísla. Nyní jsme řiravení vrhnout se na důkaz zásadního tvrzení, které nám říká, že veškerá informace o řirozeném čísle se ukrývá v rvočíslech, která jej dělí. Tvrzení. (Základní věta aritmetiky) Každé řirozené číslo n > 1 lze jednoznačně (až na ořadí)zasatjakosoučin n= α 1 1 α...α k k,kde 1,,..., k jsouodvourůznárvočísla a α 1,α,...,α k jsouřirozenáčísla. Důkaz. Pro sor si vezměme nejmenší řirozené n, které nemá rvočíselný rozklad. Nemůže tobýtrvočíslo,rotožetobyzřejměrozkladmělo.jelikožje nsložené,tak n=abronějaká a, b < n.čísla a, bmajírozkladnarvočinitele(njervníčíslo,kteréhonemá),takžemá rvočíselný rozklad i jejich součin, tj. n. Ještě ale nevíme, jestli je tento rozklad jednoznačný. Nyní si ro sor vezměme nejmenší n, jehož rvočíselný rozklad není jednoznačný, tedy n= 1... k = s 1 s...s l,kde 1 k (s 1 s s l )jsounenutněrůzná rvočísla.kdyby 1 s 1,takmůžemeBÚNO 13 ředokládat 1 < s 1.Jelikožje 1 rvočíslo, takmusídělitalesoňjednozčísel s 1,...,s l,tojsoualevšechnorvočíslavětšínež 1,cožje sor.proto 1 = s 1,atedyčíslo n 1 < nnemájednoznačnýrozklad,rotožemůžemesát n 1 = 3... k = s s 3...s l. Dosělijsmekesorustím,že njenejmenšíčíslo,kterémánejednoznačnýrozklad. Nabízí se otázka, kolik je vůbec rvočísel. Ukážeme si snadný, leč trikový důkaz, že jich je nekonečně mnoho. Tvrzení. Existuje nekonečně mnoho rvočísel. 11 Zléjazykyovšemtvrdí,žejedničkajejedinésloženérvočíslo. 1 1 Ktomumatematicimajíhlubšídůvody,kteréjsouovšemnadrámectohotoseriálu. 13 BÚNOjeoblíbenámatematickázkratkaznamenající bezújmynaobecnosti. 7
8 Důkaz. Předokládejme, že rvočíseljejenkonečně mnoho, aoznačme sije 1,,..., k. Uvažme číslo n = 1... k +1. Díky existenci rozkladu na rvočísla musí být toto číslo dělitelnénějakýmrvočíslem i,kde i {1,,...,k}.Pakale i nasoučasně i n 1,takže i i n (n 1)=1,cožjesor. Cvičení.(těžké) Ukaž, že existuje nekonečně mnoho rvočísel ve tvaru 4k + 3. Kongruence Nyní se naučíme jeden velice užitečný záis. Budeme ho oužívat, když nebudeme otřebovat racovat s čísly jako takovými, ale ouze s jejich zbytky o dělení nějakým číslem. Definice. Skutečnost m (b a)zaisujeme a b(mod m)ačteme ajekongruentnísb modulo m. Uvedenému výrazu se ak říká kongruence. Rozmysli si, že dvě čísla jsou kongruentní, rávě kdyždávajístejnýzbytekoděleníčíslem m.protonaříklad5 17(mod6)nebo 13 (mod 5). Kongruence jsou velice řirozené díky své odobnosti s obyčejnými rovnicemi. Počítá se s nimi skoro stejně, což ukazuje následující tvrzení. Tvrzení. Pokud a b(mod m)akjelibovolnéčíslo,taklatí: (i) a+k b+k (mod m). (ii) a k b k (mod m). Jinými slovy, k oběma stranám kongruence můžeme řičíst celé číslo a můžeme je také celým číslem vynásobit. Tvrzení. Pokud a b(mod m)ac d(mod m),taklatí: (iii) a+c b+d(mod m). (iv) ac bd(mod m). Důkaz. (iv)víme,že m b aam d c.proto b=a+kmad=c+lm.takže bd= ac+m(kc+la+klm).jinýmislovy bd ac=m(kc+la+klm),cožznamená m bd ac. Cvičení. Jako cvičení si dokaž(i),(ii),(iii). Vidíme, že kongruence můžeme navzájem sčítat(odčítat) a násobit. Nabízí se tedy otázka, jestlivnichlze odobnějakovrovnicích idělitcelýmčíslem.odověďje,žejenčástečně. Tvrzení. Pokud a c b c(mod m)a(m, c)=1,tak a b(mod m). Důkaz. Víme,že m c(b a).jelikož(m, c)=1,latíim (b a). V důkazu ěkně vidíme, roč je nesoudělnost otřeba. Oravdu, okud naříklad 8 (mod6),takztohonelyne4 1(mod6). Viděli jsme, že jsme s kongruencemi roti obyčejným rovnicím v něčem trochu omezeni(byť jen zdánlivě, rotože dělit soudělným číslem je odobné jako dělit nulou). Ale ještě nám zbývá zmínit vlastnosti, které zase mohou závidět rovnice. Tvrzení. Předokládáme a b(mod m), m jeřirozenéčíslo.paklatí: (i) a+k m b(mod m). (ii) m m,ak a b(mod m ). (iii) (vylešenédělení)pokud ca cb(mod m),tak a b(mod 8 m (m,c) ).
9 Cvičení. Zmíněná tvrzení si dokaž. Návod. V(iii)olož(m,c)=dam=du, c=dv. Úloha. Dokaž,ženeexistujeřirozenéčíslo ntakové,že89 n +n. (MKS30 6) Řešení. Pro sor ředokládejme, že jsme našli n, ro které je odmínka slněna. Pak ale musí latit, že n +n 0(mod89 ), 4(n +n ) 0(mod89 ), Nynímůžemeřejítkmodulu89 89 azjistíme (n+1) 89(mod89 ). (n+1) 89(mod89), (n+1) 0(mod89). Proto89 (n+1),ajelikožje89rvočíslo,taki89 n+1.pakale89 (n+1),takže cožjesor. 0 (n+1) 89 (mod89 ), Uvedené vlastnosti kongruencí můžeme dobře shrnout. Pokud máme nějaký výraz, kde se jen násobí a sčítá, můžeme do něj dosadit dvě kongruentní čísla a výsledky budou také kongruentní. To je formálněji vyjádřeno v následujícím cvičení. Cvičení. Mějme a b(mod m). (i) Pak a n b n (mod m). (ii) Nechť P jeolynom 14 sceločíselnýmikoeficienty. Paklatí P(a) P(b)(mod m). Jinými slovy oslounost zbytků, které dávají hodnoty olynomu v celých číslech, je eriodická. Návod. Polynom si rozeiš odle definice a ro každou mocninu oužij(i). Kvadratické zbytky Zajímavou artií teorie kongruencí jsou kvadratické zbytky. Definice. Číslo a nesoudělné s m je kvadratický zbytek modulo m, okud existuje číslo x takové,že x a(mod m).pokudtakové xneexistuje,říkáme,žečíslojenezbytekmodulo m. Přestože jsme si kvadratické zbytky zavedli ro libovolné řirozené modulo m, nejzajímavější a nejužitečnější říad nastává, když je m rvočíslo. Tomuto říadu se roto budeme věnovat více. Prorvočíselnémodulo můžemekvadratickézbytkydobřeoisovattzv.legendreovým 15 symbolem. Ten značíme ( a ). Definujeme ho následujícím zůsobem: ( ) a 0, okud a, = 1, okud ajezbytekmodulo, 1, okud a je nezbytek modulo. 14 Polynomneboli mnohočlen jefunkce tvaru P(x) = a nx n + a n 1 x n 1 + +a 0,kde a n 0.Čísla a n,a n 1,...,a 0 nazývámekoeficientyolynomu.jetořesnětenvýraz,kdese ouze sčítá a násobí. 15 Adrien-MarieLegendre[ležándr]bylfrancouzskýmatematikžijícívletech
10 Která čísla jsou tedy kvadratickými zbytky? Všechna, nebo jen některá? Zkusíme-li to na malýchříadech,snadnozjistíme,ževšechnatonebudou.užromodulo m=3dávajíčísla 0,1, zbytky0,1,1(znichjekvadratickýzbytekouzečíslo1,rotože0nenínesoudělná s m). Můžeme tedy dostat zbytek? Odověď je, odle očekávání, ne. Kdybychom za x dosadili něco jiného, neomohlo by nám to, rotože (x+3a) = x +6a+9a = x +3(a+3a ) x (mod3). Všechnadalší x užtedybudoudávatstejnýzbytekjakojednozčísel0,1,,tj.ouze0 nebo 1(všimni si, že jsme jen dosadili dvě kongruentní čísla, museli jsme tedy dostat stejný zbytek). To už nám dává návod, jak zjistit, která čísla jsou kvadratické zbytky modulo nějaké m. Stačísiostuněsočítatzbytkyoděleníčísel0,1,...,(m 1).Taktonaříkladzjistíme, žemodulo4jekvadratickýzbytekouze1amodulo7ak1,,4. Příklad. Dokaž,želichéčíslo,kterésedánasatjakosoučetdvoučtverců 16,jenutnětvaru 4k+1ročíslo k. Důkaz. Nechť c=a +b.natutorovnicisemůžemeodívatmodulo4.víme,že x modulo4 můžedávatouzezbytky0a1,takžesoučet a +b můženabývatouzezbytků0,1,.jelikož sealemájednatolichéčíslo,takmusíjítozbytek1,tedy c=4k+1. Cvičení. Urči hodnoty těchto Legendreových symbolů za ředokladu, že je rvočíslo: Cvičení. Předokládej, že ( ) 1, ( 4 ), ( ) 3, 5 ( ). ( ) 1 = 1rorvočíslo.Dokaž ( ) 4 = 1. Návod. Vezmisi x 4azaměřsenačíslo x x+,říadně. Mohlobynászajímat,kolikvlastnějekvadratickýchzbytků(mezičísly1,..., 1).Pokud sitovyzkoušímenamalýchříadech, 17 lehkotineme,žeodověď je 1 ro rvočíselné modulo. Nejdříve si uvědomíme, že více jich nebude. Druhá mocnina má totiž užitečnou vlastnost x =( x).tohomůžemevyužítizde,neboť x =( x) ( x) (mod ). Toznamená,žečísla1, 1,dále,,atd.dávajíoumocněnínadruhoustejnýzbytek. Kvadratickýchzbytkůbudetedynejvýše 1. Zbývádokázat,žejichbudealesoňtolik.Tojeekvivalentnístím,žečísla1,..., ( 1) dávajíodvourůznézbytky.stačínámtedydokázat, žeroceláčísla a b,kteráslňují 0 < a,b 1,nelatí a b (mod ).Prosorředokládejme,žebytolatilo.Pak a b (mod ), a b 0(mod ), (a b)(a+b) 0(mod ). Mátedylatit (a b)(a+b).ale jervočíslo,takže (a b)nebo (a+b).víme, že a b,takže a b 0.Navíc 1 < a b < 1,takžeurčitě (a b).(tolyneztoho, 16 Čtvercemmyslímedruhoumocninuceléhočísla. 17 Doolymiádydooručujemesizaamatovatkvadratickézbytkyromaláčísla. 10
11 žemezi 1 a 1 jejenčíslo0dělitelné.)ale0<a+b ( 1),takžei (a+b).toje ožadovaný sor. MaláFermatova 18 věta Vtomtoodstavcisevíceodívámenato,jaksezbytkynásobíamocní.Vezměmelibovolnéčíslo anesoudělnésm,umocňujmehoaočítejmezbytkymod m.protožezbytkůjejenkonečně mnoho,najdemedvěčísla k > ltak,že a k a l (mod m).toznamená,že a (k l) 1(mod m), neboťkongruencimůžemevydělitčíslem a l nesoudělnýmsm.našlijsmetedyřirozenéčíslo r=k ltakové,že a r 1(mod m).nejmenšířirozenéčíslostoutovlastnostínazýváme řádrvku amodulo maznačímejejord m(a).(neboouze r,okudtojezkontextujasné.) Pokudčíslo ajesoudělnésm,řádneexistuje:okudumocňujemetřeba(mod4),dostáváme,0,0,0,... anikdežádnájednička. Cvičení. Proč čísla soudělná s modulem nemají řád? Návod. Pokud a r 1(mod m),aktaké a r 1(mod(a,m)). Cvičení. Jakýjeřádmod5? Tvrzení.( zbytkylzedělit ) Prokaždéčíslo anesoudělnésmexistujerávějednainverze modulo m,tj.rvek a takový,že aa 1(mod m).obvykleinverziznačíme 1 a nebo a 1. Důkaz. Nejrvesidokážeme,žetakovéčísloexistujealesoňjedno.Stačísizvolit a = a r 1. Pak a a a a r 1 a r 1(mod n),tedytoto a vyhovujezadanéodmínce. Nyní si dokážeme, že je takové číslo(modulo m) jen jedno. Kdyby existovaly dvě různé inverze a a a modulo n,tak a a 1 a a (mod m),ajelikožčísla aamjsounesoudělná, tak můžeme kongruenci a a a a (mod m) odělit číslem a. Tímdostaneme a a (mod m),cožjesorstím,že a bylorůznéod a. Cvičení. Dokažte ředchozí tvrzení omocí Bézoutovy věty. Toronásznamená,ževkongruencíchmůžemeoužívatizlomky.Zlomkem a b jednoduše myslíme a b 1.Vkongruencíchsetedyklidněmůževyskytnoutněcojako (mod7). Toroto,žeinverzekčíslu3modulo7je5(latí3 5 1(mod7))ainverzekčíslu4ječíslo.Takže (mod7).Naoaknemávkongruencíchmodulo6smyslvýraz 1, rotožečíslaa6jsousoudělná,atedyčíslonemáinverzimodulo6. Cvičení. Dokaž, že čísla, která jsou soudělná s m, inverzi modulo m nemají. Cvičení. Dokaž, že zlomky můžeme v kongruencích uravovat odobně jako v obyčejných rovnicích.tedy,žero b, dnesoudělnásmlatí: (i) a b c d ac (mod m). bd (ii) a b + c d ad+bc (mod m). bd Nynísiukážeme,kčemuseinverzenaříkladhodí,nadůkazuWilsonovy 19 věty. Věta.(Wilsonova) Nechť jervočíslo.pak( 1)! 1(mod ). 0 Důkaz. Podívejmesenačíslo amezi1a 1.Tojenesoudělnés,takžemáinverzi a 1. Pokud a a 1 (mod ),taklatí a 1(mod ),neboli(a+1)(a 1) 0(mod ).Takže 18 PierredeFermat( )bylfrancouzskýmatematikamatér,ovolánímrávník. 19 WilsonovavětabylarýorvéuvedenaIbnal-Haythamem(cca1000n.l.)aotomWaringem, jehož žákem byl Wilson. Ani jeden ze jmenovaných ji nedokázal, to udělal až Lagrange. 0 Znakem n![nfaktoriál]myslímečíslo n (n 1) 1. 11
12 a+1nebo a 1.Toaleznamená,že aje 1nebo1.Vostatníchříadechtudíž latí a a 1 (mod ).Aleokud amáinverzi a 1,takzřejmě a 1 máinverzi a.pokudtedy vynásobímevšechnyzbytkyoddo,taksekaždýzbytekoárujesesvojíinverzíajejich součin bude 1. Proto ( 1)!=( 1) 1 ( 3 ( )) ( 1) (mod ). Cvičení. Dokaž si ještě oačnou imlikaci. Tedy okud ( 1)! 1(mod ), tak je rvočíslo. Následující tvrzení oisuje důležitou vlastnost řádu. Tvrzení. Nechť a, njsounesoudělnáčísla.pak a n 1(mod )rávětehdy,když r n. Návod. Ujednéimlikacestačíkongruenciumocnit.Udruhéodělte nčíslem rsezbytkema ukažte, že r není řád, čímž dostanete sor. Věta.(MaláFermatova) Nechť jervočísloaaječíslosnímnesoudělné.potom a 1 1 (mod ). Důkaz. Postuovat můžeme mnoha zůsoby, naříklad indukcí. My však ředvedeme trochu jiný, oučný důkaz. Vezměme rjakořádčísla amodulo.prokaždé bod1do 1uvažujmemnožinu A b obsahujícízbytkyčísel b,ba,ba,...,ba r 1 odělení.dokažmesi,žetakovátomnožinamá r rvků.oravdu,kdyby ba k ba l (mod ),kde k > l,dostalibychom a k l 1(mod ).Ale k ljemenšínež r,cožjesorstím,že rjeřád,tedynejmenšířirozenéčíslo,rokterélatí a r 1(mod ). Pokuddvěztěchtomnožin A b a A c majísolečnýrvek ba k ca l (mod ),otomro libovolné ilatí ba i ca (l k)i ca x (mod ),kde xjezbytekčísla(l k)iodělení r.ale ca x ležíva c,tedy ba i ležíva crokaždé iod0do 1.Jinakřečeno,každýrvek A b je takérvkem A c.obdobnědostanemeito,žervky A c jsouvmnožině A b.toznamená,že A b = A c.každédvěmnožinyjsoutedybuďdisjunktní(nemajížádnýsolečnýrvek),nebose sobě rovnají. Pokud označíme očet různých množin A b (ro b od 1 do 1) jako s, dostáváme, že rs= 1,neboťsjednocenímvšechmnožin A b dostanemeceloumnožinuzbytků(ažna0), tedy 1čísel.Ztoholyne,že r 1,takže a 1 1(mod )odleředchozíhotvrzení. DíkyMFV 1 semůžemedozvědětvíceokvadratickýchzbytcích. Příklad. Nechť je liché rvočíslo. Ukaž, že okud je 1 kvadratický zbytek modulo, otom je tvaru4k+1ronějakéčíslo k. Řešení. Prosorředokládejme,že =4k+3.Protože x 1(mod )ronějaké x, máme x 1 x 4k+ (x ) k+1 1(mod ),cožjesorsmfv. Nyní si ukážeme užitečný zůsob, jak zjistit, jestli je číslo zbytek, nebo nezbytek. Tvrzení.(Eulerovo kritérium) Nechť jelichérvočísloaaječíslonesoudělnés,otom ( a ) a 1 (mod ). Důkaz. Předokládejme, že a není kvadratický zbytek modulo. Chceme dokázat, že otom a 1 dávázbytek 1odělení.Prosorředokládejme,žetonelatí.Mějmečíslo bmezi 1a 1.Pakmákongruence bx a(mod )rávějednořešenívxmodulo,ato b = ab 1. Kdyby b = b,takbylatilo b a(mod ),tedy abybylkvadratickýzbytekmodulo,což 1 TaktobudemeoznačovatMalouFermatovuvětu. LeonhardEuler( )bylšvýcarskýmatematikůsobící(hlavně)vPetrohradu. 1
13 jesor.musítudížlatit b b.paksečísla1až 1ovynásobeníoárujídodvojicse zbytkem a,atedybudelatit ( 1)! a a a a 1 (mod ). ZWilsonovyvětylyne,že( 1)!dávázbytek 1odělení,takže a 1 1(mod ). Sám si jako cvičení dokaž oačnou imlikaci. Pomocí Eulerova kritéria si můžeš dokázat, že v ředešlém říkladu latí i oačná imlikace: Cvičení. Ukaž,žeokudjervočíslo tvaru4k+1,tak 1jekvadratickýzbytekmodulo. Cvičení.(těžké) Dokaž, že rvočísel tvaru 4k + 1 je nekonečně mnoho. Návod. Uvažčíslo(n!) +1aukaž,žemárvočíselnéhodělitele tak,že 1jekvadratický zbytek modulo. Nyní se seznámíme s důležitou funkcí, se kterou se budeme setkávat během celého seriálu. Definice. Eulerova funkce ϕ(n) je očet řirozených čísel nesoudělných s n a menších či rovných n. Podívejme se, jak se funkce chová na rvočíslech. Mějme rvočíslo. Potom každé řirozené číslomenšínež jesnesoudělné.proto ϕ()= 1. Promocninyrvočíseljesituaceodobnějednoduchá.Pokudmámečíslo k,kde jervočíslo,taknesoudělnáčíslajsourávěta,kteránejsoudělitelná.alečíseldělitelných od1do k je k = k 1.Protojenesoudělnýchčísel k k 1. Abychom mohli funkci sočítat ro libovolné n, musíme ještě dokázat zásadní vlastnost Eulerovy funkce, kterou nazýváme multilikativita. Tvrzení. Eulerova funkce je multilikativní, tedy ro nesoudělná čísla a, b latí ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Důkaz. Naišmesivšechnačísla0,1,...,ab 1dotabulky jednodušeořádcíchzlevadorava a 1 a a+1 a+... a a(b 1) a(b 1)+1 a(b 1)+... ab 1 Koukněmesenačíslovřádku iaslouci j,řičemžřádkyaslouceznačímeodnuly.pakje natomtomístěnasanéčíslo ia+j.zajímánás,zdajesoudělnésab.jelikožjsoualečísla aab nesoudělná,takstačízjistit,jestlije ia+jnesoudělnéjaksa,taksb.abybyločíslonesoudělné s a,takmusíbýt(ia+j,a)=1,tedy(j,a)=1.toaleznamená,žečíslanesoudělnásabmohou být jen ve sloucích označených čísly, která jsou nesoudělná s a. Těchto slouců je ϕ(a). Podívejmesenačíslavjednomztěchtoslouců.Jsoutočísla j,a+j,a+j,...,(b 1)a+j. Tato čísla dávají navzájem různé zbytky modulo b.(rozmysli si, že to latí ředokládej, že by dvě čísla byla navzájem kongruentní modulo b, a dojdi ke soru.) Číslatedydávajívnějakémořadízbytky0,1,...,b 1modulo b.právě ϕ(b)znichjenesoudělnýchsb,atedyisab.vkaždémzuvažovaných ϕ(a)sloucůmáme ϕ(b)číselnesoudělných s ab, dohromady je tedy čísel nesoudělných s ab řesně ϕ(a)ϕ(b), což jsme chtěli dokázat. Díkymultilikativitědostávámero n= α 1 1 α α k k vztah ϕ(n)=ϕ ( α 1 1 ) ϕ ( α )...ϕ ( α k k ) = ( α 1 1 α )( α α 1 ) ( α k k α k 1 k ). 13
14 Cvičení. Urav vzoreček do tvaru ( ϕ(n)=n 1 1 )( 1 1 ) ( ). 1 k Seriál zakončíme kouzelnou formulí. Tvrzení. Platí ϕ(d)=n. d n PokudTězarážísymbol,rádiTihovysvětlíme.Říkásemusumaaznačísoučetněkolika členů.naříklad n k=1 a kznamená a 1 +a + +a n(tj.sečti a k ro kod1do n).kdyžod sumouíšeme d n,taktímmyslímesoučetřesvšechnykladnédělitele dčísla n.naříklad d 6 ϕ(d)=ϕ(1)+ϕ()+ϕ(3)+ϕ(6)=1+1++=6. Naše formule tedy říká, že okud sečteme ϕ(d) řes všechny dělitele d čísla n, tak dostaneme řesně n.aleještěsitomusímedokázat!držtesiklobouky. Důkaz. Budemeotřebovatrozkladčísla nnarvočísla n= α 1 1 α...α k k.nejrvesimusíme uvědomit, že součet všech dělitelů se dá zasat takto: d n d= ( α 1 1 )( α ) (... 1+k + ) k + +α k k. Pokud totiž roznásobíme všechny závorky na ravé straně, dostaneme každého dělitele čísla n rávě jednou. Ale s využitím toho, že funkce ϕ je multilikativní, můžeme sát i toto: d n ϕ(d)= ( ϕ(1)+ϕ( 1 )+ +ϕ( α 1 1 ))... ( ϕ(1)+ϕ( k )+ +ϕ( α k k )). Myalevíme,že ϕ( k )= k k 1,takže ϕ(1)+ϕ( i )+ +ϕ( α i i )=1+( i 1)+( i i)+ +( α i i α i 1 i )= α i i. To nám dohromady dává d n ϕ(d)= α 1 1 α...α k k = n. 14
Kongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
Více1. série. Různá čísla < 1 44.
série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q 6+ 9 9 6 ¾º ÐÓ `5+ 6 998 není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
VíceDůkazové metody v teorii čísel
Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Více1. podzimní série. KdyžseLenkatuhleozkouškovémnudila,přišlanato,žepokudproreálnáčísla a, b, cplatí nerovnosti
1. podzimní série Téma: Triky Datumodeslání: ½½º Ò ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Miško vymyslel trik! Nejdříve požádá Tomáška, ať si vybere osmičku nebo devítku. Potom mu řekne, aby zvolené číslo vynásobil jakýmkoliv
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
VíceJak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceCharaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA K A T E D R A A L G E B R Y A G E O M E T R I E DIPLOMOVÁ PRÁCE Charaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický zákon vzájemnosti Vedoucí dilomové
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VíceZbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22
Zbytky a nezbytky aneb stručný úvod do kongruencí Zbyněk Konečný Vazební věznice Orličky 2009 23. 27.2.2009 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky 23. 27.2.2009 1 / 22 O čem to dnes bude? 1 Úvod 2 Lineární
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceKritéria dělitelnosti Divisibility Criterions
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions 2014 Veronika Balcárková Ráda bych na tomto místě poděkovala
VíceGONIOMETRICKÉ ROVNICE -
1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceJihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı
Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................
Více3.1.1 Přímka a její části
3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby
VíceMATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně
MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.
VíceLaplaceova transformace.
Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceS funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.
@08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému
VíceRacionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se
teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
VíceAritmetické funkce. Pepa Svoboda
Aritmetické funkce Pepa Svoboda Abstrakt. V přednášce se seznámíme s aritmetickými funkcemi jako je Eulerova funkce nebo součet dělitelů. Ukážeme si jejich vlastnosti a spočítáme nějaké příklady. Ve druhé
VíceTrocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA
O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA Prezentace pro přednášku v rámci ŠKOMAM 2014. Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 protože Dělitelnost na množině celých
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
65. ročník Matematické olymiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Najděte všechny možné hodnoty součinu rvočísel, q, r, ro která latí (q + r) = 637. Řešení. evou stranu dané rovnice rozložíme na
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 7. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceTermodynamika ideálního plynu
Přednáška 5 Termodynamika ideálního lynu 5.1 Základní vztahy ro ideální lyn 5.1.1 nitřní energie ideálního lynu Alikujme nyní oznatky získané v ředchozím textu na nejjednodužší termodynamickou soustavu
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Více3. série. Nerovnosti. Téma: Termínodeslání:
Téma: Termínodeslání: 3. série Nerovnosti º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Óݵ Nechť a, b jsou délky odvěsen pravoúhlého trojúhelníka, c buď délka jeho přepony. Dokažte, že prokaždépřirozenéčíslo nvětšíneždvaplatí c
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceZápadočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. Určete počet cest délky 14, které vedou po hranách sítě na obrázku z bodu do bodu. élka každé hrany je jedna.. Je dán rovnoběžník,
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
VíceAlgebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení
Kaitola 1 Algebraický úvod 1.1 Pologrua, monoid, neutrální rvek Binární oerací na množině M se rozumí každé zobrazení M M M. Binární oerace se často zaisují jako násobení či sčítání, a to i když oerace
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceB A B A B A B A A B A B B
AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A
VíceKongruence. 2. kapitola. Kongruence a jejich základní vlastnosti
Kongruence 2. kapitola. Kongruence a jejich základní vlastnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 10 20. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403654 Terms
VíceAlgebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant
Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
Víceonline prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceAlgebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
Více6.1.2 Operace s komplexními čísly
6.. Operace s komplexními čísly Předpoklady: 60 Komplexním číslem nazýváme výraz ve tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro něž platí i =. V komplexním čísle a + bi se nazývá: číslo
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Argumentace a ověřování Gradovaný řetězec úloh Autor: Stanislav Trávníček Úloha 1 (úroveň 1)
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceDělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme
VíceZáklady aritmetiky a algebry I
Základy aritmetiky a algebry I Základní literatura k předmětu: [BeDla] Bečvář J., Dlab V.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016. Další literatura k předmětu: [Be] Bečvář J.: Lineární
VíceMPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly
METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:
VícePřednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více