Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod"

Transkript

1 Seriál TeoriečíselI Počínaje 17. ročníkem robíhá každý rok v PraSátku seriál na okračování. Jde o výklad nějakého odvětví matematiky, se kterým se na střední škole s velkou ravděodobností setkáš jenvomezenémířečivůbecne,alekteréjeřestomožnévyložittak,abybylostředoškolákům řístuné. Cílem seriálu je tedy rozšířit Tvé matematické obzory o nějaký zajímavý kout matematiky. Letošní seriál na téma Teorie čísel ro Tebe íší Pea Svoboda a Štěán Šimsa. Vrvních,druhýchatřetíchkomentáříchvyjdevždyjedendílakněmutrojiceúloh,kjejichž vyřešení by Ti měly stačit znalosti nabyté řečtením a lným ochoením doosud vydaných dílů. Na rozdíl od ostatních sérií se Ti z této do výsledného bodového hodnocení zaočítají všechny(tři) říklady. Jak seriál číst? Letošnítémajenatolikzajímavé,obsáhléaužitečné,žejsmeserozhodliudělatseriálvydatnější 1 než obvykle. Proto Tě v rvním díle seznámíme s důležitými základy, bez kterých bychom se v dalších dílech neobešli. Budeš-li mít ocit, že některou část seriálu máš v malíčku, můžeš ji s klidem řeskočit. Jestliže naoak nějakou část naorvé neochoíš, nezoufej a zkus to ještě jednou. Pokud to neomůže, neboj se zetat se na chatu nebo rostřednictvím u některého zautorů. Dohoda Abychomsenezbláznili,budemeceláčísla(tj., 1,5,0aod.)označovatouzejako čísla, rotože s nimi budeme racovat rakticky ořád. Pokud v seriálu oužijeme neznámé a, b, c, d, myslíme tím vždy čísla(tedy celá!). Neznámé m, n máme vyhrazené ro čísla řirozená. Úvod Můžešsiblahořátkvýběrutohonejlešího 3 tématu,kterýmjeteoriečísel.jdeooborzabývající se ředevším vlastnostmi řirozených a celých čísel. Přestože mohou řirozená čísla ůsobit jednoduše, oak je ravdou. Skrývají mnoho tajemství a nevyřešených roblémů. Kde jinde se dají najít otevřené roblémy s tak řístuným zadáním? Příkladem mohou být takzvaná dokonalá čísla. Dokonalé je takové číslo, které je rovno součtu svýchdělitelůsvýjimkousebesama.naříkladčíslošestjedokonalé,rotože1++3=6. Dalšímidokonalýmičíslyjsou8,496,818, Dohromadyjichzatímznámejen48, řičemž největší z nich má řes 17 miliónů cifer. Cvičení. Dokaž, že součet řevrácených hodnot dělitelů dokonalého čísla n je.(naříklad =.) Návod. Poděl definici číslem n. 1 Občassevoznámceodčarouvyskytnevti.Tenbudeoznačentakto. 1 ynajdešnaříkladnastráncehtt://mks.mff.cuni.cz/organizatori.h. 3 Myvlastněanijinátématane(u)zná(vá)me. 1 1

2 Velkou záhadou zůstává, jestli existuje i nějaké liché dokonalé číslo. Víme, že okud by existovalo, takbymuseloslňovatmnohoodmínek. Naříkladbybylovětší než10 300,o děleníčíslem468bydávalozbytek117,mělobyřesstotisícdělitelůaodobně. Než si sami budeme moci dokázat něco ěkného o dokonalých číslech, musíme si vysvětlit základy,nakterýchjeceláteorieostavena.alenebojse,užvtomtodílesedozvíšsoustu zajímavých věcí, které Ti ve škole nejsíše nerozradí. Tak s chutí do toho! Dělitelnost Definice. Číslo bjedělitelnéčíslem a 0,rávěkdyžexistuječíslo ctakové,že ac=b.tento faktzaisujeme a b.číslo anazývámedělitelemčísla babnásobkemčísla a. 4 Dělitelnost je základní ojem teorie čísel. Budeme se s ní setkávat na každém kroku, roto se s ní seznam v následujících cvičeních. Cvičení. Dokažsinásledujícítvrzení. 5 Nechťlatí a,b 0. (i) Platí1 aaa 0. (ii) Pokud a c,takia cdaokud ab c,tak a c. (iii) Pokud a bab c,tak a c.(protosimůžemedovolitzkrácenýzáis a b c.) (iv) Pokud a cab d,tak ab cd. (v) Pokud a c,tak c=0nebo a c. (vi) Pokud a bab a,tak a = b. (vii) Pokud a caa d,tak a c+d. Všimnisi,ževoslednímříadělatíia c d,badokonce a kc+ldrolibovolná čísla k, l. Úloha. Určivšechnařirozenáčísla m, ntaková,že ndělím 1amdělín 1. (MO 59 A II 3) Návod. Uvědomsi,žeokudvčásti(v)je c 0a a c,takdokoncelatí a c. Cvičení. Rozmysli si, že obecně nelatí: (i) Pokud a cab d,tak a+b c+d. (ii) Pokud a cab c,tak ab c. (iii) Pokud a cd,tak a cnebo a d. Následuje jednoduché tvrzení, se kterým ses jistě již setkal a které často využíváme. Tvrzení.(dělení se zbytkem) Pro libovolná čísla a, b existuje jediná dvojice čísel q, r taková, že a=bq+ ra0 r < b.číslo qnazývámeceločíselnýodílčísel aab; rnazývámezbytek oděleníčísla ačíslem b. NSD největší solečný dělitel Nyní se seznámíme s největším solečným dělitelem, vyzkoušíme si, jak se s ním racuje, a ukážemesisnadnýarychlýzůsob,jakjejvyočítat.nejrvesiujasněme,coseodtímto ojmem skrývá. 4 Velmičastotakéříkáme,že adělí b,aleozor!toznamená,že adělí b,ane,že bdělí a. 1 5 x jeabsolutníhodnotačísla xdefinovanájako x =xro x 0a x = xro x <0.

3 Definice. Největšísolečnýdělitel (NSD)čísel a 1,a,...,a n (kteránejsouvšechnanulová) jenejvětšířirozenéčíslo,kterédělívšechnačísla a 1,a,...,a n.budemejejznačitkulatými závorkami,tedy(a 1,a,...,a n).podobněnejmenšísolečnýnásobek(nsn) 6 jenejmenšířirozenéčíslo,kteréjenásobkemvšechčísel a 1,a,...,a n.budemejejznačithranatýmizávorkami [a 1,a,...,a n]. Cvičení. Pro mírné seznámení si vyočítej hodnoty těchto NSD. (i) ( 15, 4) (ii) (n(n+1),) Řešení. Jediníděliteléčísla 15jsoučísla1,3,5,15(ačíslajimoačná).Číslo4mákladné dělitele1,,3,4,6,8,1,4.solečníděliteléjsoujen 3, 1,1,3,znichžnejvětšíječíslo3. Včásti(ii)jeurčitějednozčísel n, n+1sudé,tedyčíslo n(n+1)jedělitelnédvěma.tojeale největšídělitelčísla,takžeinejvětšísolečnýdělitelčísel n(n+1)a. PodívejmesenynínaNSDzjinéhohlediska.Ktomubudeotřebazačítněčímzdánlivě nesouvisejícím. Mějme daná čísla a, b, z nichž alesoň jedno je nenulové. Vezměme si množinu Mvšechčíseltvaru ka+lb,kde k, ljsoulibovolnáčísla(vmnožinějsoutedynaříkladčísla a, 5a 3b, 7baod.).Všimněmesi,žemnožina Mmázajímavouvlastnost kdykolivdoníatří čísla i, j,takdonítakéatříjejichsoučetirozdílatakélibovolnýnásobekjednohoznich. Nějakéčíslozmnožiny M musíbýtkladné(nař.ro k=aal=b).zevšechkladných číselzmvybermetonejmenšíaoznačmeho r.dokážeme,ževšechnaostatníčíslavmnožině M(i ta záorná) jsou jeho násobkem. Pro sor ředokládejme, že nějaké číslo s není dělitelné číslem r.nyníjejodělímesezbytkemčíslem r.jinýmislovynajdemetakováčísla u, v,ro která s=ru+vařitom0<v<r(vnemůžebýtnula,rotože r s).alečíslo ratřído našímnožiny.takžetamatříičíslo ruadokonceičíslo s ru=v.tímjsmealenašlimenší kladnéčíslozmnožiny M,cožjesorsředokladem,žetonejmenšíbylo r. JaktotedyalevšechnosouvisísNSD?Jakjižmožnátušíš,NSDčísel a, bnenínicjinéhonež r.vímetotiž,že ratřído M,stejnějakočísla a, b.takže r aazároveň r b.ještěotřebujeme dokázat, že r je největší číslo s touto vlastností. Pro sor ředokládejme, že existuje takové většíčíslo r.pak r ka+lbrovšechna k, l,tedydělíir,rotože r=xa+ybronějaká x, y (atřído M).Tojesorstím,žeje r větší. AdokázalijsmesihustouvěcoNSD!Alecovíc triviálněnámztohotodůkazulynevelice užitečná věta, jak v okamžení uvidíš. Věta.(Bézoutova 7 ) Prolibovolnáčísla a, b,znichžalesoňjednojenenulové,existujíčísla k, ltaková,že ka+lb=(a,b). Důkaz. Jakvímezředchozíchodstavců,tak(a,b)nenínicjinéhonež r,kterésedázasat jako xa+yb. Kdyžnastaneříad(a,b)=1,říkáme,žečísla aabjsounesoudělná.voačnémříadě se jedná o čísla soudělná. Příkladem oužití Bézoutovy věty je důkaz následujícího tvrzení. Tvrzení. Nechť a 0, bjsounesoudělnáčíslaalatí a bc.potomtaké a c. Důkaz. Z Bézoutovy věty lyne, že existují čísla k, l tak, že ak+bl = (a,b) = 1. Celou rovnicivynásobímečíslem cadostaneme ack+bcl=c.ale a ack,dále a bc bcl,takže a ack+bcl=c,cožjsmechtělidokázat. 6 Vangličtiněseoužívajízkratkygcd greatestcommondivisoralcm leastcommon multile. 7 ÉtienneBézout( )bylfrancouzskýmatematik. 3

4 Cvičení. V následujících cvičeních latí(a, b) = 1. Dokaž: (i) Pokud a c,b c,ak ab c. (ii) [a,b]=ab. Úloha. Nechť a, bjsoudvěkladnánesoudělnáčísla, manřirozenáčíslaasoučet je celočíselný. Dokaž, že latí nerovnost ma 1 b + nb 1 a m b + n a >1. (zobecnění MO 61 A I 4) Řešení. Sečteme-lizlomky,vidíme,žemusílatit ab a(ma 1)+b(nb 1). Seciálnětedy b a(ma 1)+b(nb 1),ajelikož b b(nb 1),takib a(ma 1).Ale a,b jsounesoudělnáčísla,takže b ma 1.Analogicky a nb 1.Vynásobenímdostáváme: ab (ma 1)(nb 1)=mnab (ma+nb 1), ab ma+nb 1. Ztoholynebuď ma+nb 1=0(cožvšaknelatí,rotože m,a,n,b 1),nebo ab ma+nb 1.Toužjenjednodušeuravíme Přesně to jsme chtěli dokázat. ab < ma+nb, m b + n a >1. Abychom mohli využívat silných vlastností nesoudělnosti, můžeme často udělat jednoduchý, aleúčinnýtrik.označímesi(a,b)naříklad dařekneme a=du, b=dv.potomjsoučísla u, v nesoudělná, čehož rávě využijeme. Vyzkoušej si to na následujících cvičeních. Cvičení. (i) Nechť a c,b c.dokaž[a,b] c. (ii) (a,b)[a,b]=ab. NynísimůžešdokázatdalšíužitečnouvlastnostNSD. 8 Cvičení. Dokaž: (i) Pokud(a,b)=dad a, d b,tak d d. (ii) Pokud[a,b]=qaa q, b q,tak q q. Návod. Postuujsorem.Kdyby d d,uvažtečíslo[d,d].podobněv(ii). Cvičení. Dokaž: (i) Pokud(a,c)=1a(b,c)=1tak(ab,c)=1. (ii) (a,b)=1,rávěkdyž(a,b)=1. (iii) Pokud(b,c)=1,tak(a,bc)=(a,b)(a,c). (iv) (a,bc) (a,b)(a,c). 8 TaseněkdyoužívářímojakodefiniceNSD. 4

5 Eukleidův 9 algoritmus Jak jsme slíbili, ukážeme si raktický zůsob, jak NSD vyočítat. K tomu se využívá tzv. Eukleidůvalgoritmus.Nejrvesialedokažmejednoduchéomocnétvrzení,že(a,b)=(a b,b). Označme d=(a,b)ad =(a b,b).pak d a, d b,roto d a b,takžeid (a b,b)=d. Nadruhoustranu d a b, d b,roto d (a b)+b=a,takžeid (a,b)=d.vidíme, že d d d,tedy d=d.tímjedůkazomocnéhotvrzeníhotovamůžemesiukázatsamotný Eukleidův algoritmus. Když dostaneme zadaná dvě čísla a, b, odečteme menší od většího a dostaneme novou dvojici (která má stejný největší solečný dělitel jako ta ůvodní). Když takto budeme vždy odečítat menší číslo od většího, ostuně se budou čísla zmenšovat, až jedno bude nula a druhé nějaké c.pakalezřejmě(0,c)=c,takže cjetakénsdčísel a, b. Tento výočet se dá ještě urychlit, když čísla nebudeme odčítat, ale když je budeme dělit se zbytkem. Naříklad(7, 1). Podělíme-li číslo 7 číslem 1, dostaneme 3 a zbytek 9. Tedy (7,1)=(7 3 1,1)=(9,1).Taktomůžemeokračovat: (7,1)=(9,1)=(9,1 9)=(9,3)=(9 3 3,3)=(0,3)=3. Cvičení. Rozmysli si, roč funguje i tento urychlený zůsob. Tohoto algoritmu můžeme vhodně využít i v říadě, že neznáme konkrétní čísla. Naříklad (a,(a+1)(a+3))=(a,a +4a+3)=(a,a +4a+3 (a+4)a)=(a,3). Díkytomuvíme,žehledanýnejvětšísolečnýděliteljebuď3,nebo1(odletoho,jestli3 a, nebone).nynísivyzkoušejnásledujícícvičení,abysessnsdléeseznámilaumělhorychle očítat. Cvičení. Urči,čemusemohourovnattytoNSD.Předokládej(a,b)=1. (i) (a+b,a b) (ii) (a+b,ab) (iii) (a +ab,a+b) (iv) (a +a,a +3a+) Cvičení.(těžké) Nechť m=ax+by, n=cx+dyalatí ad bc=±1.ukaž,že(m,n)=(x,y). Celá část čísla Vtomtooddíletroškuodbočímeodcelýchčíselaseznámímesdolníahorníceloučástí.Coto tedy je? Definice. Dolní celá část reálného čísla x je největší celé číslo, které není větší než x. Značíme ji x.horníceláčást reálnéhočísla xjenejmenšíceléčíslo,kterénenímenšínež x.tase značí x. Jinak řečeno, dolní celá část zahazuje to, co je za desetinnou čárkou(ovšem ozor na záorná čísla).takženaříklad 7 3 =; 4=4; 5,35= 6; 5,8 =6.Ještěsehodíznátojem desetinná část čísla,který vyjadřujehodnotu x xaznačí se {x}.naříklad { } 7 3 = 1 3, 9 Eukleides(neboEukleidés)bylřeckýmatematik,kterýůsobilvEgytěvAlexandrii.Žil řibližněvletech35ř.n.l. 60ř.n.l.NasalvýznamnédíloZáklady(rvníoravdovou učebnici s axiomy a důkazy, rý druhou nejvydávanější knihu o Bibli). 5

6 { 5,35}=0,648.Všimnisi,žeokudje xceléčíslo,tak x= x =xa{x}=0,jinak x = x+1a0 < {x} <1. To, jak se s celou částí racuje, si ukážeme na následujícím říkladě. Příklad. Pro reálné číslo r latí r r r+ 91 = Zjisti 100r. (AIME 1991) Řešení. Nalevéstraněje =73členů.Všechnyznichmajíhodnotubuď r,nebo r+1.jelikož7 73 <546 <8 73,tak r=7.navíc546= ,takžervních38členů máhodnotu7azbyléčlenymajíhodnotu8.seciálně r+ 56 =7, 100 r+ 57 = Proto r <8, r+ 8aztoholyne r <744,takže 100r= Jako cvičení si zkus dokázat tyto vlastnosti celých částí: Cvičení. Nechťjsou x, yreálnáčíslaanechťje acelé. (i) x+a= x+aa x+a = x +a. (ii) Dolníceláčástjeneklesající,tedyro x ylatí x y. (iii) x+ 1 zaokrouhluje xknejbližšímucelémučíslu. (iv) x+ y x+y x+ y+1. (v) Početkladnýchnásobkůčísla nneřekračujícíchkladné xjeroven x n. (vi) Dokažsitvrzeníodělenísezbytkem. x (vii) = x n n. Návod. V(iv)rozeiš x= x+{x}.tatofintajevelicečastooužívaná.v(vi)uvažčíslo a b. Příklad. Dokaž,že n+1 + n+ 4 + n =n. (IMO 1968) Řešení. Nejrve si uvědomíme, že ro n = 1 tvrzení latí (rvní člen je 1 a ostatní jsou nulové). Pro sor ředokládejme, že tvrzení ro nějaké n nelatí, a vezměme nejmenší takové n. 10 Vyřešmeříad,kdy njesudé,tedy n=m.jelikož mjemenšínež n,takronějtvrzení zezadánílatí. m+1 m+ m Rozšíříme všechny zlomky na levé straně dvěma a dostaneme m+ 4 + m =m. + =m. Zbývánámřičíst m+1 = m,čímždostanemeodosazení n=možadovanýsor. Proliché njedůkazjenlehcetěžší,zkussijejdokončitsám. 10 To,žetakové nmůžemevybrat,jedůležitávlastnostřirozenýchčísel.využívámejiiři důkazu matematickou indukcí. 6

7 Prvočísla Nyní se dostáváme k asi nejdůležitějšímu ojmu teorie čísel. Prvočíslo. Pravděodobně víš ze školy, že rvočísla jsou taková čísla, která mají rávě dva kladné dělitele jedničku a sama sebe (takzvaní triviální dělitelé). Ostatní řirozená čísla nazýváme složená (ouze jedničku neovažujemeanizarvočíslo,anizačíslosložené 11 ).Začnemeklíčovýmtvrzenímorvočíslech, kterésetakéčastooužívájakodefinice. 1 Tvrzení.(klíčové) Přirozené číslo je rvočíslo rávě tehdy, když ro každá a, b latí, že okud a b,tak anebo b. Důkaz. Nejrve ředokládejme, že není rvočíslo. Pak odle naší definice existuje dělitel 1 < a <,tudíž jeceléčíslo.platí a a a,aleřitom aa a,rotože > aa > a. Druhou(obtížnější) imlikaci dokážeme sorem. Mějme tedy rvočíslo a nechť latí ab, ale řitom a, b. Z ab lyne (,ab) =. Ze cvičení (iv) na straně (?) víme, že (,ab) (,a)(,b).ale(,a)můžebýtjen1nebo (rotože nemájinédělitele). Jelikož ale a,takmusíbýt(,a)=1.analogickydostaneme(,b)=1.pakale 1 1,cožje ožadovaný sor. Cvičení. Nechť k, l, m jsou řirozená čísla. (i) Dokaž,žeokud k+l+m klm,takje k+l+msložené. (ii) Mějmervočíslo =k+3.dokaž k 3 +7k +3k. Návod. Rozlož na součin a využijte definici rvočísla. Nyní jsme řiravení vrhnout se na důkaz zásadního tvrzení, které nám říká, že veškerá informace o řirozeném čísle se ukrývá v rvočíslech, která jej dělí. Tvrzení. (Základní věta aritmetiky) Každé řirozené číslo n > 1 lze jednoznačně (až na ořadí)zasatjakosoučin n= α 1 1 α...α k k,kde 1,,..., k jsouodvourůznárvočísla a α 1,α,...,α k jsouřirozenáčísla. Důkaz. Pro sor si vezměme nejmenší řirozené n, které nemá rvočíselný rozklad. Nemůže tobýtrvočíslo,rotožetobyzřejměrozkladmělo.jelikožje nsložené,tak n=abronějaká a, b < n.čísla a, bmajírozkladnarvočinitele(njervníčíslo,kteréhonemá),takžemá rvočíselný rozklad i jejich součin, tj. n. Ještě ale nevíme, jestli je tento rozklad jednoznačný. Nyní si ro sor vezměme nejmenší n, jehož rvočíselný rozklad není jednoznačný, tedy n= 1... k = s 1 s...s l,kde 1 k (s 1 s s l )jsounenutněrůzná rvočísla.kdyby 1 s 1,takmůžemeBÚNO 13 ředokládat 1 < s 1.Jelikožje 1 rvočíslo, takmusídělitalesoňjednozčísel s 1,...,s l,tojsoualevšechnorvočíslavětšínež 1,cožje sor.proto 1 = s 1,atedyčíslo n 1 < nnemájednoznačnýrozklad,rotožemůžemesát n 1 = 3... k = s s 3...s l. Dosělijsmekesorustím,že njenejmenšíčíslo,kterémánejednoznačnýrozklad. Nabízí se otázka, kolik je vůbec rvočísel. Ukážeme si snadný, leč trikový důkaz, že jich je nekonečně mnoho. Tvrzení. Existuje nekonečně mnoho rvočísel. 11 Zléjazykyovšemtvrdí,žejedničkajejedinésloženérvočíslo. 1 1 Ktomumatematicimajíhlubšídůvody,kteréjsouovšemnadrámectohotoseriálu. 13 BÚNOjeoblíbenámatematickázkratkaznamenající bezújmynaobecnosti. 7

8 Důkaz. Předokládejme, že rvočíseljejenkonečně mnoho, aoznačme sije 1,,..., k. Uvažme číslo n = 1... k +1. Díky existenci rozkladu na rvočísla musí být toto číslo dělitelnénějakýmrvočíslem i,kde i {1,,...,k}.Pakale i nasoučasně i n 1,takže i i n (n 1)=1,cožjesor. Cvičení.(těžké) Ukaž, že existuje nekonečně mnoho rvočísel ve tvaru 4k + 3. Kongruence Nyní se naučíme jeden velice užitečný záis. Budeme ho oužívat, když nebudeme otřebovat racovat s čísly jako takovými, ale ouze s jejich zbytky o dělení nějakým číslem. Definice. Skutečnost m (b a)zaisujeme a b(mod m)ačteme ajekongruentnísb modulo m. Uvedenému výrazu se ak říká kongruence. Rozmysli si, že dvě čísla jsou kongruentní, rávě kdyždávajístejnýzbytekoděleníčíslem m.protonaříklad5 17(mod6)nebo 13 (mod 5). Kongruence jsou velice řirozené díky své odobnosti s obyčejnými rovnicemi. Počítá se s nimi skoro stejně, což ukazuje následující tvrzení. Tvrzení. Pokud a b(mod m)akjelibovolnéčíslo,taklatí: (i) a+k b+k (mod m). (ii) a k b k (mod m). Jinými slovy, k oběma stranám kongruence můžeme řičíst celé číslo a můžeme je také celým číslem vynásobit. Tvrzení. Pokud a b(mod m)ac d(mod m),taklatí: (iii) a+c b+d(mod m). (iv) ac bd(mod m). Důkaz. (iv)víme,že m b aam d c.proto b=a+kmad=c+lm.takže bd= ac+m(kc+la+klm).jinýmislovy bd ac=m(kc+la+klm),cožznamená m bd ac. Cvičení. Jako cvičení si dokaž(i),(ii),(iii). Vidíme, že kongruence můžeme navzájem sčítat(odčítat) a násobit. Nabízí se tedy otázka, jestlivnichlze odobnějakovrovnicích idělitcelýmčíslem.odověďje,žejenčástečně. Tvrzení. Pokud a c b c(mod m)a(m, c)=1,tak a b(mod m). Důkaz. Víme,že m c(b a).jelikož(m, c)=1,latíim (b a). V důkazu ěkně vidíme, roč je nesoudělnost otřeba. Oravdu, okud naříklad 8 (mod6),takztohonelyne4 1(mod6). Viděli jsme, že jsme s kongruencemi roti obyčejným rovnicím v něčem trochu omezeni(byť jen zdánlivě, rotože dělit soudělným číslem je odobné jako dělit nulou). Ale ještě nám zbývá zmínit vlastnosti, které zase mohou závidět rovnice. Tvrzení. Předokládáme a b(mod m), m jeřirozenéčíslo.paklatí: (i) a+k m b(mod m). (ii) m m,ak a b(mod m ). (iii) (vylešenédělení)pokud ca cb(mod m),tak a b(mod 8 m (m,c) ).

9 Cvičení. Zmíněná tvrzení si dokaž. Návod. V(iii)olož(m,c)=dam=du, c=dv. Úloha. Dokaž,ženeexistujeřirozenéčíslo ntakové,že89 n +n. (MKS30 6) Řešení. Pro sor ředokládejme, že jsme našli n, ro které je odmínka slněna. Pak ale musí latit, že n +n 0(mod89 ), 4(n +n ) 0(mod89 ), Nynímůžemeřejítkmodulu89 89 azjistíme (n+1) 89(mod89 ). (n+1) 89(mod89), (n+1) 0(mod89). Proto89 (n+1),ajelikožje89rvočíslo,taki89 n+1.pakale89 (n+1),takže cožjesor. 0 (n+1) 89 (mod89 ), Uvedené vlastnosti kongruencí můžeme dobře shrnout. Pokud máme nějaký výraz, kde se jen násobí a sčítá, můžeme do něj dosadit dvě kongruentní čísla a výsledky budou také kongruentní. To je formálněji vyjádřeno v následujícím cvičení. Cvičení. Mějme a b(mod m). (i) Pak a n b n (mod m). (ii) Nechť P jeolynom 14 sceločíselnýmikoeficienty. Paklatí P(a) P(b)(mod m). Jinými slovy oslounost zbytků, které dávají hodnoty olynomu v celých číslech, je eriodická. Návod. Polynom si rozeiš odle definice a ro každou mocninu oužij(i). Kvadratické zbytky Zajímavou artií teorie kongruencí jsou kvadratické zbytky. Definice. Číslo a nesoudělné s m je kvadratický zbytek modulo m, okud existuje číslo x takové,že x a(mod m).pokudtakové xneexistuje,říkáme,žečíslojenezbytekmodulo m. Přestože jsme si kvadratické zbytky zavedli ro libovolné řirozené modulo m, nejzajímavější a nejužitečnější říad nastává, když je m rvočíslo. Tomuto říadu se roto budeme věnovat více. Prorvočíselnémodulo můžemekvadratickézbytkydobřeoisovattzv.legendreovým 15 symbolem. Ten značíme ( a ). Definujeme ho následujícím zůsobem: ( ) a 0, okud a, = 1, okud ajezbytekmodulo, 1, okud a je nezbytek modulo. 14 Polynomneboli mnohočlen jefunkce tvaru P(x) = a nx n + a n 1 x n 1 + +a 0,kde a n 0.Čísla a n,a n 1,...,a 0 nazývámekoeficientyolynomu.jetořesnětenvýraz,kdese ouze sčítá a násobí. 15 Adrien-MarieLegendre[ležándr]bylfrancouzskýmatematikžijícívletech

10 Která čísla jsou tedy kvadratickými zbytky? Všechna, nebo jen některá? Zkusíme-li to na malýchříadech,snadnozjistíme,ževšechnatonebudou.užromodulo m=3dávajíčísla 0,1, zbytky0,1,1(znichjekvadratickýzbytekouzečíslo1,rotože0nenínesoudělná s m). Můžeme tedy dostat zbytek? Odověď je, odle očekávání, ne. Kdybychom za x dosadili něco jiného, neomohlo by nám to, rotože (x+3a) = x +6a+9a = x +3(a+3a ) x (mod3). Všechnadalší x užtedybudoudávatstejnýzbytekjakojednozčísel0,1,,tj.ouze0 nebo 1(všimni si, že jsme jen dosadili dvě kongruentní čísla, museli jsme tedy dostat stejný zbytek). To už nám dává návod, jak zjistit, která čísla jsou kvadratické zbytky modulo nějaké m. Stačísiostuněsočítatzbytkyoděleníčísel0,1,...,(m 1).Taktonaříkladzjistíme, žemodulo4jekvadratickýzbytekouze1amodulo7ak1,,4. Příklad. Dokaž,želichéčíslo,kterésedánasatjakosoučetdvoučtverců 16,jenutnětvaru 4k+1ročíslo k. Důkaz. Nechť c=a +b.natutorovnicisemůžemeodívatmodulo4.víme,že x modulo4 můžedávatouzezbytky0a1,takžesoučet a +b můženabývatouzezbytků0,1,.jelikož sealemájednatolichéčíslo,takmusíjítozbytek1,tedy c=4k+1. Cvičení. Urči hodnoty těchto Legendreových symbolů za ředokladu, že je rvočíslo: Cvičení. Předokládej, že ( ) 1, ( 4 ), ( ) 3, 5 ( ). ( ) 1 = 1rorvočíslo.Dokaž ( ) 4 = 1. Návod. Vezmisi x 4azaměřsenačíslo x x+,říadně. Mohlobynászajímat,kolikvlastnějekvadratickýchzbytků(mezičísly1,..., 1).Pokud sitovyzkoušímenamalýchříadech, 17 lehkotineme,žeodověď je 1 ro rvočíselné modulo. Nejdříve si uvědomíme, že více jich nebude. Druhá mocnina má totiž užitečnou vlastnost x =( x).tohomůžemevyužítizde,neboť x =( x) ( x) (mod ). Toznamená,žečísla1, 1,dále,,atd.dávajíoumocněnínadruhoustejnýzbytek. Kvadratickýchzbytkůbudetedynejvýše 1. Zbývádokázat,žejichbudealesoňtolik.Tojeekvivalentnístím,žečísla1,..., ( 1) dávajíodvourůznézbytky.stačínámtedydokázat, žeroceláčísla a b,kteráslňují 0 < a,b 1,nelatí a b (mod ).Prosorředokládejme,žebytolatilo.Pak a b (mod ), a b 0(mod ), (a b)(a+b) 0(mod ). Mátedylatit (a b)(a+b).ale jervočíslo,takže (a b)nebo (a+b).víme, že a b,takže a b 0.Navíc 1 < a b < 1,takžeurčitě (a b).(tolyneztoho, 16 Čtvercemmyslímedruhoumocninuceléhočísla. 17 Doolymiádydooručujemesizaamatovatkvadratickézbytkyromaláčísla. 10

11 žemezi 1 a 1 jejenčíslo0dělitelné.)ale0<a+b ( 1),takžei (a+b).toje ožadovaný sor. MaláFermatova 18 věta Vtomtoodstavcisevíceodívámenato,jaksezbytkynásobíamocní.Vezměmelibovolnéčíslo anesoudělnésm,umocňujmehoaočítejmezbytkymod m.protožezbytkůjejenkonečně mnoho,najdemedvěčísla k > ltak,že a k a l (mod m).toznamená,že a (k l) 1(mod m), neboťkongruencimůžemevydělitčíslem a l nesoudělnýmsm.našlijsmetedyřirozenéčíslo r=k ltakové,že a r 1(mod m).nejmenšířirozenéčíslostoutovlastnostínazýváme řádrvku amodulo maznačímejejord m(a).(neboouze r,okudtojezkontextujasné.) Pokudčíslo ajesoudělnésm,řádneexistuje:okudumocňujemetřeba(mod4),dostáváme,0,0,0,... anikdežádnájednička. Cvičení. Proč čísla soudělná s modulem nemají řád? Návod. Pokud a r 1(mod m),aktaké a r 1(mod(a,m)). Cvičení. Jakýjeřádmod5? Tvrzení.( zbytkylzedělit ) Prokaždéčíslo anesoudělnésmexistujerávějednainverze modulo m,tj.rvek a takový,že aa 1(mod m).obvykleinverziznačíme 1 a nebo a 1. Důkaz. Nejrvesidokážeme,žetakovéčísloexistujealesoňjedno.Stačísizvolit a = a r 1. Pak a a a a r 1 a r 1(mod n),tedytoto a vyhovujezadanéodmínce. Nyní si dokážeme, že je takové číslo(modulo m) jen jedno. Kdyby existovaly dvě různé inverze a a a modulo n,tak a a 1 a a (mod m),ajelikožčísla aamjsounesoudělná, tak můžeme kongruenci a a a a (mod m) odělit číslem a. Tímdostaneme a a (mod m),cožjesorstím,že a bylorůznéod a. Cvičení. Dokažte ředchozí tvrzení omocí Bézoutovy věty. Toronásznamená,ževkongruencíchmůžemeoužívatizlomky.Zlomkem a b jednoduše myslíme a b 1.Vkongruencíchsetedyklidněmůževyskytnoutněcojako (mod7). Toroto,žeinverzekčíslu3modulo7je5(latí3 5 1(mod7))ainverzekčíslu4ječíslo.Takže (mod7).Naoaknemávkongruencíchmodulo6smyslvýraz 1, rotožečíslaa6jsousoudělná,atedyčíslonemáinverzimodulo6. Cvičení. Dokaž, že čísla, která jsou soudělná s m, inverzi modulo m nemají. Cvičení. Dokaž, že zlomky můžeme v kongruencích uravovat odobně jako v obyčejných rovnicích.tedy,žero b, dnesoudělnásmlatí: (i) a b c d ac (mod m). bd (ii) a b + c d ad+bc (mod m). bd Nynísiukážeme,kčemuseinverzenaříkladhodí,nadůkazuWilsonovy 19 věty. Věta.(Wilsonova) Nechť jervočíslo.pak( 1)! 1(mod ). 0 Důkaz. Podívejmesenačíslo amezi1a 1.Tojenesoudělnés,takžemáinverzi a 1. Pokud a a 1 (mod ),taklatí a 1(mod ),neboli(a+1)(a 1) 0(mod ).Takže 18 PierredeFermat( )bylfrancouzskýmatematikamatér,ovolánímrávník. 19 WilsonovavětabylarýorvéuvedenaIbnal-Haythamem(cca1000n.l.)aotomWaringem, jehož žákem byl Wilson. Ani jeden ze jmenovaných ji nedokázal, to udělal až Lagrange. 0 Znakem n![nfaktoriál]myslímečíslo n (n 1) 1. 11

12 a+1nebo a 1.Toaleznamená,že aje 1nebo1.Vostatníchříadechtudíž latí a a 1 (mod ).Aleokud amáinverzi a 1,takzřejmě a 1 máinverzi a.pokudtedy vynásobímevšechnyzbytkyoddo,taksekaždýzbytekoárujesesvojíinverzíajejich součin bude 1. Proto ( 1)!=( 1) 1 ( 3 ( )) ( 1) (mod ). Cvičení. Dokaž si ještě oačnou imlikaci. Tedy okud ( 1)! 1(mod ), tak je rvočíslo. Následující tvrzení oisuje důležitou vlastnost řádu. Tvrzení. Nechť a, njsounesoudělnáčísla.pak a n 1(mod )rávětehdy,když r n. Návod. Ujednéimlikacestačíkongruenciumocnit.Udruhéodělte nčíslem rsezbytkema ukažte, že r není řád, čímž dostanete sor. Věta.(MaláFermatova) Nechť jervočísloaaječíslosnímnesoudělné.potom a 1 1 (mod ). Důkaz. Postuovat můžeme mnoha zůsoby, naříklad indukcí. My však ředvedeme trochu jiný, oučný důkaz. Vezměme rjakořádčísla amodulo.prokaždé bod1do 1uvažujmemnožinu A b obsahujícízbytkyčísel b,ba,ba,...,ba r 1 odělení.dokažmesi,žetakovátomnožinamá r rvků.oravdu,kdyby ba k ba l (mod ),kde k > l,dostalibychom a k l 1(mod ).Ale k ljemenšínež r,cožjesorstím,že rjeřád,tedynejmenšířirozenéčíslo,rokterélatí a r 1(mod ). Pokuddvěztěchtomnožin A b a A c majísolečnýrvek ba k ca l (mod ),otomro libovolné ilatí ba i ca (l k)i ca x (mod ),kde xjezbytekčísla(l k)iodělení r.ale ca x ležíva c,tedy ba i ležíva crokaždé iod0do 1.Jinakřečeno,každýrvek A b je takérvkem A c.obdobnědostanemeito,žervky A c jsouvmnožině A b.toznamená,že A b = A c.každédvěmnožinyjsoutedybuďdisjunktní(nemajížádnýsolečnýrvek),nebose sobě rovnají. Pokud označíme očet různých množin A b (ro b od 1 do 1) jako s, dostáváme, že rs= 1,neboťsjednocenímvšechmnožin A b dostanemeceloumnožinuzbytků(ažna0), tedy 1čísel.Ztoholyne,že r 1,takže a 1 1(mod )odleředchozíhotvrzení. DíkyMFV 1 semůžemedozvědětvíceokvadratickýchzbytcích. Příklad. Nechť je liché rvočíslo. Ukaž, že okud je 1 kvadratický zbytek modulo, otom je tvaru4k+1ronějakéčíslo k. Řešení. Prosorředokládejme,že =4k+3.Protože x 1(mod )ronějaké x, máme x 1 x 4k+ (x ) k+1 1(mod ),cožjesorsmfv. Nyní si ukážeme užitečný zůsob, jak zjistit, jestli je číslo zbytek, nebo nezbytek. Tvrzení.(Eulerovo kritérium) Nechť jelichérvočísloaaječíslonesoudělnés,otom ( a ) a 1 (mod ). Důkaz. Předokládejme, že a není kvadratický zbytek modulo. Chceme dokázat, že otom a 1 dávázbytek 1odělení.Prosorředokládejme,žetonelatí.Mějmečíslo bmezi 1a 1.Pakmákongruence bx a(mod )rávějednořešenívxmodulo,ato b = ab 1. Kdyby b = b,takbylatilo b a(mod ),tedy abybylkvadratickýzbytekmodulo,což 1 TaktobudemeoznačovatMalouFermatovuvětu. LeonhardEuler( )bylšvýcarskýmatematikůsobící(hlavně)vPetrohradu. 1

13 jesor.musítudížlatit b b.paksečísla1až 1ovynásobeníoárujídodvojicse zbytkem a,atedybudelatit ( 1)! a a a a 1 (mod ). ZWilsonovyvětylyne,že( 1)!dávázbytek 1odělení,takže a 1 1(mod ). Sám si jako cvičení dokaž oačnou imlikaci. Pomocí Eulerova kritéria si můžeš dokázat, že v ředešlém říkladu latí i oačná imlikace: Cvičení. Ukaž,žeokudjervočíslo tvaru4k+1,tak 1jekvadratickýzbytekmodulo. Cvičení.(těžké) Dokaž, že rvočísel tvaru 4k + 1 je nekonečně mnoho. Návod. Uvažčíslo(n!) +1aukaž,žemárvočíselnéhodělitele tak,že 1jekvadratický zbytek modulo. Nyní se seznámíme s důležitou funkcí, se kterou se budeme setkávat během celého seriálu. Definice. Eulerova funkce ϕ(n) je očet řirozených čísel nesoudělných s n a menších či rovných n. Podívejme se, jak se funkce chová na rvočíslech. Mějme rvočíslo. Potom každé řirozené číslomenšínež jesnesoudělné.proto ϕ()= 1. Promocninyrvočíseljesituaceodobnějednoduchá.Pokudmámečíslo k,kde jervočíslo,taknesoudělnáčíslajsourávěta,kteránejsoudělitelná.alečíseldělitelných od1do k je k = k 1.Protojenesoudělnýchčísel k k 1. Abychom mohli funkci sočítat ro libovolné n, musíme ještě dokázat zásadní vlastnost Eulerovy funkce, kterou nazýváme multilikativita. Tvrzení. Eulerova funkce je multilikativní, tedy ro nesoudělná čísla a, b latí ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Důkaz. Naišmesivšechnačísla0,1,...,ab 1dotabulky jednodušeořádcíchzlevadorava a 1 a a+1 a+... a a(b 1) a(b 1)+1 a(b 1)+... ab 1 Koukněmesenačíslovřádku iaslouci j,řičemžřádkyaslouceznačímeodnuly.pakje natomtomístěnasanéčíslo ia+j.zajímánás,zdajesoudělnésab.jelikožjsoualečísla aab nesoudělná,takstačízjistit,jestlije ia+jnesoudělnéjaksa,taksb.abybyločíslonesoudělné s a,takmusíbýt(ia+j,a)=1,tedy(j,a)=1.toaleznamená,žečíslanesoudělnásabmohou být jen ve sloucích označených čísly, která jsou nesoudělná s a. Těchto slouců je ϕ(a). Podívejmesenačíslavjednomztěchtoslouců.Jsoutočísla j,a+j,a+j,...,(b 1)a+j. Tato čísla dávají navzájem různé zbytky modulo b.(rozmysli si, že to latí ředokládej, že by dvě čísla byla navzájem kongruentní modulo b, a dojdi ke soru.) Číslatedydávajívnějakémořadízbytky0,1,...,b 1modulo b.právě ϕ(b)znichjenesoudělnýchsb,atedyisab.vkaždémzuvažovaných ϕ(a)sloucůmáme ϕ(b)číselnesoudělných s ab, dohromady je tedy čísel nesoudělných s ab řesně ϕ(a)ϕ(b), což jsme chtěli dokázat. Díkymultilikativitědostávámero n= α 1 1 α α k k vztah ϕ(n)=ϕ ( α 1 1 ) ϕ ( α )...ϕ ( α k k ) = ( α 1 1 α )( α α 1 ) ( α k k α k 1 k ). 13

14 Cvičení. Urav vzoreček do tvaru ( ϕ(n)=n 1 1 )( 1 1 ) ( ). 1 k Seriál zakončíme kouzelnou formulí. Tvrzení. Platí ϕ(d)=n. d n PokudTězarážísymbol,rádiTihovysvětlíme.Říkásemusumaaznačísoučetněkolika členů.naříklad n k=1 a kznamená a 1 +a + +a n(tj.sečti a k ro kod1do n).kdyžod sumouíšeme d n,taktímmyslímesoučetřesvšechnykladnédělitele dčísla n.naříklad d 6 ϕ(d)=ϕ(1)+ϕ()+ϕ(3)+ϕ(6)=1+1++=6. Naše formule tedy říká, že okud sečteme ϕ(d) řes všechny dělitele d čísla n, tak dostaneme řesně n.aleještěsitomusímedokázat!držtesiklobouky. Důkaz. Budemeotřebovatrozkladčísla nnarvočísla n= α 1 1 α...α k k.nejrvesimusíme uvědomit, že součet všech dělitelů se dá zasat takto: d n d= ( α 1 1 )( α ) (... 1+k + ) k + +α k k. Pokud totiž roznásobíme všechny závorky na ravé straně, dostaneme každého dělitele čísla n rávě jednou. Ale s využitím toho, že funkce ϕ je multilikativní, můžeme sát i toto: d n ϕ(d)= ( ϕ(1)+ϕ( 1 )+ +ϕ( α 1 1 ))... ( ϕ(1)+ϕ( k )+ +ϕ( α k k )). Myalevíme,že ϕ( k )= k k 1,takže ϕ(1)+ϕ( i )+ +ϕ( α i i )=1+( i 1)+( i i)+ +( α i i α i 1 i )= α i i. To nám dohromady dává d n ϕ(d)= α 1 1 α...α k k = n. 14

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Důkazové metody v teorii čísel

Důkazové metody v teorii čísel Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 65. ročník Matematické olymiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Najděte všechny možné hodnoty součinu rvočísel, q, r, ro která latí (q + r) = 637. Řešení. evou stranu dané rovnice rozložíme na

Více

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Algebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení

Algebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení Kaitola 1 Algebraický úvod 1.1 Pologrua, monoid, neutrální rvek Binární oerací na množině M se rozumí každé zobrazení M M M. Binární oerace se často zaisují jako násobení či sčítání, a to i když oerace

Více

B A B A B A B A A B A B B

B A B A B A B A A B A B B AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

1.5.2 Mechanická práce II

1.5.2 Mechanická práce II .5. Mechanická ráce II Předoklady: 50 Př. : Jakou minimální ráci vykonáš ři řemístění bedny o hmotnosti 50 k o odlaze o vzdálenost 5 m. Příklad sočítej dvakrát, jednou zanedbej třecí sílu mezi bednou a

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Abstrakt. Na této přednášce se

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma : Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2 Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné

Slezská univerzita v Opavě Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné Slezská univerzita v Oavě Obchodně odnikatelská fakulta v Karviné Přijímací zkouška do. ročníku OPF z matematiky (00) A Příklad. Určete definiční oboovnice a rovnici řešte. n + n =. + D : n N n = b b +

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Příklady z přednášek Statistické srovnávání

Příklady z přednášek Statistické srovnávání říklad z řednášek Statstcké srovnávání Jednoduché ndvduální ndex říklad V následující tabulce jsou uveden údaje o očtu závažných závad v areálu určté frm zjštěných a oravených v letech 9-998. Závažná závada

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Dynamické programování

Dynamické programování ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

7.5.13 Rovnice paraboly

7.5.13 Rovnice paraboly 7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více