Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seriál TeoriečíselI. Jak seriál číst? Dohoda. Úvod"

Transkript

1 Seriál TeoriečíselI Počínaje 17. ročníkem robíhá každý rok v PraSátku seriál na okračování. Jde o výklad nějakého odvětví matematiky, se kterým se na střední škole s velkou ravděodobností setkáš jenvomezenémířečivůbecne,alekteréjeřestomožnévyložittak,abybylostředoškolákům řístuné. Cílem seriálu je tedy rozšířit Tvé matematické obzory o nějaký zajímavý kout matematiky. Letošní seriál na téma Teorie čísel ro Tebe íší Pea Svoboda a Štěán Šimsa. Vrvních,druhýchatřetíchkomentáříchvyjdevždyjedendílakněmutrojiceúloh,kjejichž vyřešení by Ti měly stačit znalosti nabyté řečtením a lným ochoením doosud vydaných dílů. Na rozdíl od ostatních sérií se Ti z této do výsledného bodového hodnocení zaočítají všechny(tři) říklady. Jak seriál číst? Letošnítémajenatolikzajímavé,obsáhléaužitečné,žejsmeserozhodliudělatseriálvydatnější 1 než obvykle. Proto Tě v rvním díle seznámíme s důležitými základy, bez kterých bychom se v dalších dílech neobešli. Budeš-li mít ocit, že některou část seriálu máš v malíčku, můžeš ji s klidem řeskočit. Jestliže naoak nějakou část naorvé neochoíš, nezoufej a zkus to ještě jednou. Pokud to neomůže, neboj se zetat se na chatu nebo rostřednictvím u některého zautorů. Dohoda Abychomsenezbláznili,budemeceláčísla(tj., 1,5,0aod.)označovatouzejako čísla, rotože s nimi budeme racovat rakticky ořád. Pokud v seriálu oužijeme neznámé a, b, c, d, myslíme tím vždy čísla(tedy celá!). Neznámé m, n máme vyhrazené ro čísla řirozená. Úvod Můžešsiblahořátkvýběrutohonejlešího 3 tématu,kterýmjeteoriečísel.jdeooborzabývající se ředevším vlastnostmi řirozených a celých čísel. Přestože mohou řirozená čísla ůsobit jednoduše, oak je ravdou. Skrývají mnoho tajemství a nevyřešených roblémů. Kde jinde se dají najít otevřené roblémy s tak řístuným zadáním? Příkladem mohou být takzvaná dokonalá čísla. Dokonalé je takové číslo, které je rovno součtu svýchdělitelůsvýjimkousebesama.naříkladčíslošestjedokonalé,rotože1++3=6. Dalšímidokonalýmičíslyjsou8,496,818, Dohromadyjichzatímznámejen48, řičemž největší z nich má řes 17 miliónů cifer. Cvičení. Dokaž, že součet řevrácených hodnot dělitelů dokonalého čísla n je.(naříklad =.) Návod. Poděl definici číslem n. 1 Občassevoznámceodčarouvyskytnevti.Tenbudeoznačentakto. 1 ynajdešnaříkladnastráncehtt://mks.mff.cuni.cz/organizatori.h. 3 Myvlastněanijinátématane(u)zná(vá)me. 1 1

2 Velkou záhadou zůstává, jestli existuje i nějaké liché dokonalé číslo. Víme, že okud by existovalo, takbymuseloslňovatmnohoodmínek. Naříkladbybylovětší než10 300,o děleníčíslem468bydávalozbytek117,mělobyřesstotisícdělitelůaodobně. Než si sami budeme moci dokázat něco ěkného o dokonalých číslech, musíme si vysvětlit základy,nakterýchjeceláteorieostavena.alenebojse,užvtomtodílesedozvíšsoustu zajímavých věcí, které Ti ve škole nejsíše nerozradí. Tak s chutí do toho! Dělitelnost Definice. Číslo bjedělitelnéčíslem a 0,rávěkdyžexistuječíslo ctakové,že ac=b.tento faktzaisujeme a b.číslo anazývámedělitelemčísla babnásobkemčísla a. 4 Dělitelnost je základní ojem teorie čísel. Budeme se s ní setkávat na každém kroku, roto se s ní seznam v následujících cvičeních. Cvičení. Dokažsinásledujícítvrzení. 5 Nechťlatí a,b 0. (i) Platí1 aaa 0. (ii) Pokud a c,takia cdaokud ab c,tak a c. (iii) Pokud a bab c,tak a c.(protosimůžemedovolitzkrácenýzáis a b c.) (iv) Pokud a cab d,tak ab cd. (v) Pokud a c,tak c=0nebo a c. (vi) Pokud a bab a,tak a = b. (vii) Pokud a caa d,tak a c+d. Všimnisi,ževoslednímříadělatíia c d,badokonce a kc+ldrolibovolná čísla k, l. Úloha. Určivšechnařirozenáčísla m, ntaková,že ndělím 1amdělín 1. (MO 59 A II 3) Návod. Uvědomsi,žeokudvčásti(v)je c 0a a c,takdokoncelatí a c. Cvičení. Rozmysli si, že obecně nelatí: (i) Pokud a cab d,tak a+b c+d. (ii) Pokud a cab c,tak ab c. (iii) Pokud a cd,tak a cnebo a d. Následuje jednoduché tvrzení, se kterým ses jistě již setkal a které často využíváme. Tvrzení.(dělení se zbytkem) Pro libovolná čísla a, b existuje jediná dvojice čísel q, r taková, že a=bq+ ra0 r < b.číslo qnazývámeceločíselnýodílčísel aab; rnazývámezbytek oděleníčísla ačíslem b. NSD největší solečný dělitel Nyní se seznámíme s největším solečným dělitelem, vyzkoušíme si, jak se s ním racuje, a ukážemesisnadnýarychlýzůsob,jakjejvyočítat.nejrvesiujasněme,coseodtímto ojmem skrývá. 4 Velmičastotakéříkáme,že adělí b,aleozor!toznamená,že adělí b,ane,že bdělí a. 1 5 x jeabsolutníhodnotačísla xdefinovanájako x =xro x 0a x = xro x <0.

3 Definice. Největšísolečnýdělitel (NSD)čísel a 1,a,...,a n (kteránejsouvšechnanulová) jenejvětšířirozenéčíslo,kterédělívšechnačísla a 1,a,...,a n.budemejejznačitkulatými závorkami,tedy(a 1,a,...,a n).podobněnejmenšísolečnýnásobek(nsn) 6 jenejmenšířirozenéčíslo,kteréjenásobkemvšechčísel a 1,a,...,a n.budemejejznačithranatýmizávorkami [a 1,a,...,a n]. Cvičení. Pro mírné seznámení si vyočítej hodnoty těchto NSD. (i) ( 15, 4) (ii) (n(n+1),) Řešení. Jediníděliteléčísla 15jsoučísla1,3,5,15(ačíslajimoačná).Číslo4mákladné dělitele1,,3,4,6,8,1,4.solečníděliteléjsoujen 3, 1,1,3,znichžnejvětšíječíslo3. Včásti(ii)jeurčitějednozčísel n, n+1sudé,tedyčíslo n(n+1)jedělitelnédvěma.tojeale největšídělitelčísla,takžeinejvětšísolečnýdělitelčísel n(n+1)a. PodívejmesenynínaNSDzjinéhohlediska.Ktomubudeotřebazačítněčímzdánlivě nesouvisejícím. Mějme daná čísla a, b, z nichž alesoň jedno je nenulové. Vezměme si množinu Mvšechčíseltvaru ka+lb,kde k, ljsoulibovolnáčísla(vmnožinějsoutedynaříkladčísla a, 5a 3b, 7baod.).Všimněmesi,žemnožina Mmázajímavouvlastnost kdykolivdoníatří čísla i, j,takdonítakéatříjejichsoučetirozdílatakélibovolnýnásobekjednohoznich. Nějakéčíslozmnožiny M musíbýtkladné(nař.ro k=aal=b).zevšechkladných číselzmvybermetonejmenšíaoznačmeho r.dokážeme,ževšechnaostatníčíslavmnožině M(i ta záorná) jsou jeho násobkem. Pro sor ředokládejme, že nějaké číslo s není dělitelné číslem r.nyníjejodělímesezbytkemčíslem r.jinýmislovynajdemetakováčísla u, v,ro která s=ru+vařitom0<v<r(vnemůžebýtnula,rotože r s).alečíslo ratřído našímnožiny.takžetamatříičíslo ruadokonceičíslo s ru=v.tímjsmealenašlimenší kladnéčíslozmnožiny M,cožjesorsředokladem,žetonejmenšíbylo r. JaktotedyalevšechnosouvisísNSD?Jakjižmožnátušíš,NSDčísel a, bnenínicjinéhonež r.vímetotiž,že ratřído M,stejnějakočísla a, b.takže r aazároveň r b.ještěotřebujeme dokázat, že r je největší číslo s touto vlastností. Pro sor ředokládejme, že existuje takové většíčíslo r.pak r ka+lbrovšechna k, l,tedydělíir,rotože r=xa+ybronějaká x, y (atřído M).Tojesorstím,žeje r větší. AdokázalijsmesihustouvěcoNSD!Alecovíc triviálněnámztohotodůkazulynevelice užitečná věta, jak v okamžení uvidíš. Věta.(Bézoutova 7 ) Prolibovolnáčísla a, b,znichžalesoňjednojenenulové,existujíčísla k, ltaková,že ka+lb=(a,b). Důkaz. Jakvímezředchozíchodstavců,tak(a,b)nenínicjinéhonež r,kterésedázasat jako xa+yb. Kdyžnastaneříad(a,b)=1,říkáme,žečísla aabjsounesoudělná.voačnémříadě se jedná o čísla soudělná. Příkladem oužití Bézoutovy věty je důkaz následujícího tvrzení. Tvrzení. Nechť a 0, bjsounesoudělnáčíslaalatí a bc.potomtaké a c. Důkaz. Z Bézoutovy věty lyne, že existují čísla k, l tak, že ak+bl = (a,b) = 1. Celou rovnicivynásobímečíslem cadostaneme ack+bcl=c.ale a ack,dále a bc bcl,takže a ack+bcl=c,cožjsmechtělidokázat. 6 Vangličtiněseoužívajízkratkygcd greatestcommondivisoralcm leastcommon multile. 7 ÉtienneBézout( )bylfrancouzskýmatematik. 3

4 Cvičení. V následujících cvičeních latí(a, b) = 1. Dokaž: (i) Pokud a c,b c,ak ab c. (ii) [a,b]=ab. Úloha. Nechť a, bjsoudvěkladnánesoudělnáčísla, manřirozenáčíslaasoučet je celočíselný. Dokaž, že latí nerovnost ma 1 b + nb 1 a m b + n a >1. (zobecnění MO 61 A I 4) Řešení. Sečteme-lizlomky,vidíme,žemusílatit ab a(ma 1)+b(nb 1). Seciálnětedy b a(ma 1)+b(nb 1),ajelikož b b(nb 1),takib a(ma 1).Ale a,b jsounesoudělnáčísla,takže b ma 1.Analogicky a nb 1.Vynásobenímdostáváme: ab (ma 1)(nb 1)=mnab (ma+nb 1), ab ma+nb 1. Ztoholynebuď ma+nb 1=0(cožvšaknelatí,rotože m,a,n,b 1),nebo ab ma+nb 1.Toužjenjednodušeuravíme Přesně to jsme chtěli dokázat. ab < ma+nb, m b + n a >1. Abychom mohli využívat silných vlastností nesoudělnosti, můžeme často udělat jednoduchý, aleúčinnýtrik.označímesi(a,b)naříklad dařekneme a=du, b=dv.potomjsoučísla u, v nesoudělná, čehož rávě využijeme. Vyzkoušej si to na následujících cvičeních. Cvičení. (i) Nechť a c,b c.dokaž[a,b] c. (ii) (a,b)[a,b]=ab. NynísimůžešdokázatdalšíužitečnouvlastnostNSD. 8 Cvičení. Dokaž: (i) Pokud(a,b)=dad a, d b,tak d d. (ii) Pokud[a,b]=qaa q, b q,tak q q. Návod. Postuujsorem.Kdyby d d,uvažtečíslo[d,d].podobněv(ii). Cvičení. Dokaž: (i) Pokud(a,c)=1a(b,c)=1tak(ab,c)=1. (ii) (a,b)=1,rávěkdyž(a,b)=1. (iii) Pokud(b,c)=1,tak(a,bc)=(a,b)(a,c). (iv) (a,bc) (a,b)(a,c). 8 TaseněkdyoužívářímojakodefiniceNSD. 4

5 Eukleidův 9 algoritmus Jak jsme slíbili, ukážeme si raktický zůsob, jak NSD vyočítat. K tomu se využívá tzv. Eukleidůvalgoritmus.Nejrvesialedokažmejednoduchéomocnétvrzení,že(a,b)=(a b,b). Označme d=(a,b)ad =(a b,b).pak d a, d b,roto d a b,takžeid (a b,b)=d. Nadruhoustranu d a b, d b,roto d (a b)+b=a,takžeid (a,b)=d.vidíme, že d d d,tedy d=d.tímjedůkazomocnéhotvrzeníhotovamůžemesiukázatsamotný Eukleidův algoritmus. Když dostaneme zadaná dvě čísla a, b, odečteme menší od většího a dostaneme novou dvojici (která má stejný největší solečný dělitel jako ta ůvodní). Když takto budeme vždy odečítat menší číslo od většího, ostuně se budou čísla zmenšovat, až jedno bude nula a druhé nějaké c.pakalezřejmě(0,c)=c,takže cjetakénsdčísel a, b. Tento výočet se dá ještě urychlit, když čísla nebudeme odčítat, ale když je budeme dělit se zbytkem. Naříklad(7, 1). Podělíme-li číslo 7 číslem 1, dostaneme 3 a zbytek 9. Tedy (7,1)=(7 3 1,1)=(9,1).Taktomůžemeokračovat: (7,1)=(9,1)=(9,1 9)=(9,3)=(9 3 3,3)=(0,3)=3. Cvičení. Rozmysli si, roč funguje i tento urychlený zůsob. Tohoto algoritmu můžeme vhodně využít i v říadě, že neznáme konkrétní čísla. Naříklad (a,(a+1)(a+3))=(a,a +4a+3)=(a,a +4a+3 (a+4)a)=(a,3). Díkytomuvíme,žehledanýnejvětšísolečnýděliteljebuď3,nebo1(odletoho,jestli3 a, nebone).nynísivyzkoušejnásledujícícvičení,abysessnsdléeseznámilaumělhorychle očítat. Cvičení. Urči,čemusemohourovnattytoNSD.Předokládej(a,b)=1. (i) (a+b,a b) (ii) (a+b,ab) (iii) (a +ab,a+b) (iv) (a +a,a +3a+) Cvičení.(těžké) Nechť m=ax+by, n=cx+dyalatí ad bc=±1.ukaž,že(m,n)=(x,y). Celá část čísla Vtomtooddíletroškuodbočímeodcelýchčíselaseznámímesdolníahorníceloučástí.Coto tedy je? Definice. Dolní celá část reálného čísla x je největší celé číslo, které není větší než x. Značíme ji x.horníceláčást reálnéhočísla xjenejmenšíceléčíslo,kterénenímenšínež x.tase značí x. Jinak řečeno, dolní celá část zahazuje to, co je za desetinnou čárkou(ovšem ozor na záorná čísla).takženaříklad 7 3 =; 4=4; 5,35= 6; 5,8 =6.Ještěsehodíznátojem desetinná část čísla,který vyjadřujehodnotu x xaznačí se {x}.naříklad { } 7 3 = 1 3, 9 Eukleides(neboEukleidés)bylřeckýmatematik,kterýůsobilvEgytěvAlexandrii.Žil řibližněvletech35ř.n.l. 60ř.n.l.NasalvýznamnédíloZáklady(rvníoravdovou učebnici s axiomy a důkazy, rý druhou nejvydávanější knihu o Bibli). 5

6 { 5,35}=0,648.Všimnisi,žeokudje xceléčíslo,tak x= x =xa{x}=0,jinak x = x+1a0 < {x} <1. To, jak se s celou částí racuje, si ukážeme na následujícím říkladě. Příklad. Pro reálné číslo r latí r r r+ 91 = Zjisti 100r. (AIME 1991) Řešení. Nalevéstraněje =73členů.Všechnyznichmajíhodnotubuď r,nebo r+1.jelikož7 73 <546 <8 73,tak r=7.navíc546= ,takžervních38členů máhodnotu7azbyléčlenymajíhodnotu8.seciálně r+ 56 =7, 100 r+ 57 = Proto r <8, r+ 8aztoholyne r <744,takže 100r= Jako cvičení si zkus dokázat tyto vlastnosti celých částí: Cvičení. Nechťjsou x, yreálnáčíslaanechťje acelé. (i) x+a= x+aa x+a = x +a. (ii) Dolníceláčástjeneklesající,tedyro x ylatí x y. (iii) x+ 1 zaokrouhluje xknejbližšímucelémučíslu. (iv) x+ y x+y x+ y+1. (v) Početkladnýchnásobkůčísla nneřekračujícíchkladné xjeroven x n. (vi) Dokažsitvrzeníodělenísezbytkem. x (vii) = x n n. Návod. V(iv)rozeiš x= x+{x}.tatofintajevelicečastooužívaná.v(vi)uvažčíslo a b. Příklad. Dokaž,že n+1 + n+ 4 + n =n. (IMO 1968) Řešení. Nejrve si uvědomíme, že ro n = 1 tvrzení latí (rvní člen je 1 a ostatní jsou nulové). Pro sor ředokládejme, že tvrzení ro nějaké n nelatí, a vezměme nejmenší takové n. 10 Vyřešmeříad,kdy njesudé,tedy n=m.jelikož mjemenšínež n,takronějtvrzení zezadánílatí. m+1 m+ m Rozšíříme všechny zlomky na levé straně dvěma a dostaneme m+ 4 + m =m. + =m. Zbývánámřičíst m+1 = m,čímždostanemeodosazení n=možadovanýsor. Proliché njedůkazjenlehcetěžší,zkussijejdokončitsám. 10 To,žetakové nmůžemevybrat,jedůležitávlastnostřirozenýchčísel.využívámejiiři důkazu matematickou indukcí. 6

7 Prvočísla Nyní se dostáváme k asi nejdůležitějšímu ojmu teorie čísel. Prvočíslo. Pravděodobně víš ze školy, že rvočísla jsou taková čísla, která mají rávě dva kladné dělitele jedničku a sama sebe (takzvaní triviální dělitelé). Ostatní řirozená čísla nazýváme složená (ouze jedničku neovažujemeanizarvočíslo,anizačíslosložené 11 ).Začnemeklíčovýmtvrzenímorvočíslech, kterésetakéčastooužívájakodefinice. 1 Tvrzení.(klíčové) Přirozené číslo je rvočíslo rávě tehdy, když ro každá a, b latí, že okud a b,tak anebo b. Důkaz. Nejrve ředokládejme, že není rvočíslo. Pak odle naší definice existuje dělitel 1 < a <,tudíž jeceléčíslo.platí a a a,aleřitom aa a,rotože > aa > a. Druhou(obtížnější) imlikaci dokážeme sorem. Mějme tedy rvočíslo a nechť latí ab, ale řitom a, b. Z ab lyne (,ab) =. Ze cvičení (iv) na straně (?) víme, že (,ab) (,a)(,b).ale(,a)můžebýtjen1nebo (rotože nemájinédělitele). Jelikož ale a,takmusíbýt(,a)=1.analogickydostaneme(,b)=1.pakale 1 1,cožje ožadovaný sor. Cvičení. Nechť k, l, m jsou řirozená čísla. (i) Dokaž,žeokud k+l+m klm,takje k+l+msložené. (ii) Mějmervočíslo =k+3.dokaž k 3 +7k +3k. Návod. Rozlož na součin a využijte definici rvočísla. Nyní jsme řiravení vrhnout se na důkaz zásadního tvrzení, které nám říká, že veškerá informace o řirozeném čísle se ukrývá v rvočíslech, která jej dělí. Tvrzení. (Základní věta aritmetiky) Každé řirozené číslo n > 1 lze jednoznačně (až na ořadí)zasatjakosoučin n= α 1 1 α...α k k,kde 1,,..., k jsouodvourůznárvočísla a α 1,α,...,α k jsouřirozenáčísla. Důkaz. Pro sor si vezměme nejmenší řirozené n, které nemá rvočíselný rozklad. Nemůže tobýtrvočíslo,rotožetobyzřejměrozkladmělo.jelikožje nsložené,tak n=abronějaká a, b < n.čísla a, bmajírozkladnarvočinitele(njervníčíslo,kteréhonemá),takžemá rvočíselný rozklad i jejich součin, tj. n. Ještě ale nevíme, jestli je tento rozklad jednoznačný. Nyní si ro sor vezměme nejmenší n, jehož rvočíselný rozklad není jednoznačný, tedy n= 1... k = s 1 s...s l,kde 1 k (s 1 s s l )jsounenutněrůzná rvočísla.kdyby 1 s 1,takmůžemeBÚNO 13 ředokládat 1 < s 1.Jelikožje 1 rvočíslo, takmusídělitalesoňjednozčísel s 1,...,s l,tojsoualevšechnorvočíslavětšínež 1,cožje sor.proto 1 = s 1,atedyčíslo n 1 < nnemájednoznačnýrozklad,rotožemůžemesát n 1 = 3... k = s s 3...s l. Dosělijsmekesorustím,že njenejmenšíčíslo,kterémánejednoznačnýrozklad. Nabízí se otázka, kolik je vůbec rvočísel. Ukážeme si snadný, leč trikový důkaz, že jich je nekonečně mnoho. Tvrzení. Existuje nekonečně mnoho rvočísel. 11 Zléjazykyovšemtvrdí,žejedničkajejedinésloženérvočíslo. 1 1 Ktomumatematicimajíhlubšídůvody,kteréjsouovšemnadrámectohotoseriálu. 13 BÚNOjeoblíbenámatematickázkratkaznamenající bezújmynaobecnosti. 7

8 Důkaz. Předokládejme, že rvočíseljejenkonečně mnoho, aoznačme sije 1,,..., k. Uvažme číslo n = 1... k +1. Díky existenci rozkladu na rvočísla musí být toto číslo dělitelnénějakýmrvočíslem i,kde i {1,,...,k}.Pakale i nasoučasně i n 1,takže i i n (n 1)=1,cožjesor. Cvičení.(těžké) Ukaž, že existuje nekonečně mnoho rvočísel ve tvaru 4k + 3. Kongruence Nyní se naučíme jeden velice užitečný záis. Budeme ho oužívat, když nebudeme otřebovat racovat s čísly jako takovými, ale ouze s jejich zbytky o dělení nějakým číslem. Definice. Skutečnost m (b a)zaisujeme a b(mod m)ačteme ajekongruentnísb modulo m. Uvedenému výrazu se ak říká kongruence. Rozmysli si, že dvě čísla jsou kongruentní, rávě kdyždávajístejnýzbytekoděleníčíslem m.protonaříklad5 17(mod6)nebo 13 (mod 5). Kongruence jsou velice řirozené díky své odobnosti s obyčejnými rovnicemi. Počítá se s nimi skoro stejně, což ukazuje následující tvrzení. Tvrzení. Pokud a b(mod m)akjelibovolnéčíslo,taklatí: (i) a+k b+k (mod m). (ii) a k b k (mod m). Jinými slovy, k oběma stranám kongruence můžeme řičíst celé číslo a můžeme je také celým číslem vynásobit. Tvrzení. Pokud a b(mod m)ac d(mod m),taklatí: (iii) a+c b+d(mod m). (iv) ac bd(mod m). Důkaz. (iv)víme,že m b aam d c.proto b=a+kmad=c+lm.takže bd= ac+m(kc+la+klm).jinýmislovy bd ac=m(kc+la+klm),cožznamená m bd ac. Cvičení. Jako cvičení si dokaž(i),(ii),(iii). Vidíme, že kongruence můžeme navzájem sčítat(odčítat) a násobit. Nabízí se tedy otázka, jestlivnichlze odobnějakovrovnicích idělitcelýmčíslem.odověďje,žejenčástečně. Tvrzení. Pokud a c b c(mod m)a(m, c)=1,tak a b(mod m). Důkaz. Víme,že m c(b a).jelikož(m, c)=1,latíim (b a). V důkazu ěkně vidíme, roč je nesoudělnost otřeba. Oravdu, okud naříklad 8 (mod6),takztohonelyne4 1(mod6). Viděli jsme, že jsme s kongruencemi roti obyčejným rovnicím v něčem trochu omezeni(byť jen zdánlivě, rotože dělit soudělným číslem je odobné jako dělit nulou). Ale ještě nám zbývá zmínit vlastnosti, které zase mohou závidět rovnice. Tvrzení. Předokládáme a b(mod m), m jeřirozenéčíslo.paklatí: (i) a+k m b(mod m). (ii) m m,ak a b(mod m ). (iii) (vylešenédělení)pokud ca cb(mod m),tak a b(mod 8 m (m,c) ).

9 Cvičení. Zmíněná tvrzení si dokaž. Návod. V(iii)olož(m,c)=dam=du, c=dv. Úloha. Dokaž,ženeexistujeřirozenéčíslo ntakové,že89 n +n. (MKS30 6) Řešení. Pro sor ředokládejme, že jsme našli n, ro které je odmínka slněna. Pak ale musí latit, že n +n 0(mod89 ), 4(n +n ) 0(mod89 ), Nynímůžemeřejítkmodulu89 89 azjistíme (n+1) 89(mod89 ). (n+1) 89(mod89), (n+1) 0(mod89). Proto89 (n+1),ajelikožje89rvočíslo,taki89 n+1.pakale89 (n+1),takže cožjesor. 0 (n+1) 89 (mod89 ), Uvedené vlastnosti kongruencí můžeme dobře shrnout. Pokud máme nějaký výraz, kde se jen násobí a sčítá, můžeme do něj dosadit dvě kongruentní čísla a výsledky budou také kongruentní. To je formálněji vyjádřeno v následujícím cvičení. Cvičení. Mějme a b(mod m). (i) Pak a n b n (mod m). (ii) Nechť P jeolynom 14 sceločíselnýmikoeficienty. Paklatí P(a) P(b)(mod m). Jinými slovy oslounost zbytků, které dávají hodnoty olynomu v celých číslech, je eriodická. Návod. Polynom si rozeiš odle definice a ro každou mocninu oužij(i). Kvadratické zbytky Zajímavou artií teorie kongruencí jsou kvadratické zbytky. Definice. Číslo a nesoudělné s m je kvadratický zbytek modulo m, okud existuje číslo x takové,že x a(mod m).pokudtakové xneexistuje,říkáme,žečíslojenezbytekmodulo m. Přestože jsme si kvadratické zbytky zavedli ro libovolné řirozené modulo m, nejzajímavější a nejužitečnější říad nastává, když je m rvočíslo. Tomuto říadu se roto budeme věnovat více. Prorvočíselnémodulo můžemekvadratickézbytkydobřeoisovattzv.legendreovým 15 symbolem. Ten značíme ( a ). Definujeme ho následujícím zůsobem: ( ) a 0, okud a, = 1, okud ajezbytekmodulo, 1, okud a je nezbytek modulo. 14 Polynomneboli mnohočlen jefunkce tvaru P(x) = a nx n + a n 1 x n 1 + +a 0,kde a n 0.Čísla a n,a n 1,...,a 0 nazývámekoeficientyolynomu.jetořesnětenvýraz,kdese ouze sčítá a násobí. 15 Adrien-MarieLegendre[ležándr]bylfrancouzskýmatematikžijícívletech

10 Která čísla jsou tedy kvadratickými zbytky? Všechna, nebo jen některá? Zkusíme-li to na malýchříadech,snadnozjistíme,ževšechnatonebudou.užromodulo m=3dávajíčísla 0,1, zbytky0,1,1(znichjekvadratickýzbytekouzečíslo1,rotože0nenínesoudělná s m). Můžeme tedy dostat zbytek? Odověď je, odle očekávání, ne. Kdybychom za x dosadili něco jiného, neomohlo by nám to, rotože (x+3a) = x +6a+9a = x +3(a+3a ) x (mod3). Všechnadalší x užtedybudoudávatstejnýzbytekjakojednozčísel0,1,,tj.ouze0 nebo 1(všimni si, že jsme jen dosadili dvě kongruentní čísla, museli jsme tedy dostat stejný zbytek). To už nám dává návod, jak zjistit, která čísla jsou kvadratické zbytky modulo nějaké m. Stačísiostuněsočítatzbytkyoděleníčísel0,1,...,(m 1).Taktonaříkladzjistíme, žemodulo4jekvadratickýzbytekouze1amodulo7ak1,,4. Příklad. Dokaž,želichéčíslo,kterésedánasatjakosoučetdvoučtverců 16,jenutnětvaru 4k+1ročíslo k. Důkaz. Nechť c=a +b.natutorovnicisemůžemeodívatmodulo4.víme,že x modulo4 můžedávatouzezbytky0a1,takžesoučet a +b můženabývatouzezbytků0,1,.jelikož sealemájednatolichéčíslo,takmusíjítozbytek1,tedy c=4k+1. Cvičení. Urči hodnoty těchto Legendreových symbolů za ředokladu, že je rvočíslo: Cvičení. Předokládej, že ( ) 1, ( 4 ), ( ) 3, 5 ( ). ( ) 1 = 1rorvočíslo.Dokaž ( ) 4 = 1. Návod. Vezmisi x 4azaměřsenačíslo x x+,říadně. Mohlobynászajímat,kolikvlastnějekvadratickýchzbytků(mezičísly1,..., 1).Pokud sitovyzkoušímenamalýchříadech, 17 lehkotineme,žeodověď je 1 ro rvočíselné modulo. Nejdříve si uvědomíme, že více jich nebude. Druhá mocnina má totiž užitečnou vlastnost x =( x).tohomůžemevyužítizde,neboť x =( x) ( x) (mod ). Toznamená,žečísla1, 1,dále,,atd.dávajíoumocněnínadruhoustejnýzbytek. Kvadratickýchzbytkůbudetedynejvýše 1. Zbývádokázat,žejichbudealesoňtolik.Tojeekvivalentnístím,žečísla1,..., ( 1) dávajíodvourůznézbytky.stačínámtedydokázat, žeroceláčísla a b,kteráslňují 0 < a,b 1,nelatí a b (mod ).Prosorředokládejme,žebytolatilo.Pak a b (mod ), a b 0(mod ), (a b)(a+b) 0(mod ). Mátedylatit (a b)(a+b).ale jervočíslo,takže (a b)nebo (a+b).víme, že a b,takže a b 0.Navíc 1 < a b < 1,takžeurčitě (a b).(tolyneztoho, 16 Čtvercemmyslímedruhoumocninuceléhočísla. 17 Doolymiádydooručujemesizaamatovatkvadratickézbytkyromaláčísla. 10

11 žemezi 1 a 1 jejenčíslo0dělitelné.)ale0<a+b ( 1),takžei (a+b).toje ožadovaný sor. MaláFermatova 18 věta Vtomtoodstavcisevíceodívámenato,jaksezbytkynásobíamocní.Vezměmelibovolnéčíslo anesoudělnésm,umocňujmehoaočítejmezbytkymod m.protožezbytkůjejenkonečně mnoho,najdemedvěčísla k > ltak,že a k a l (mod m).toznamená,že a (k l) 1(mod m), neboťkongruencimůžemevydělitčíslem a l nesoudělnýmsm.našlijsmetedyřirozenéčíslo r=k ltakové,že a r 1(mod m).nejmenšířirozenéčíslostoutovlastnostínazýváme řádrvku amodulo maznačímejejord m(a).(neboouze r,okudtojezkontextujasné.) Pokudčíslo ajesoudělnésm,řádneexistuje:okudumocňujemetřeba(mod4),dostáváme,0,0,0,... anikdežádnájednička. Cvičení. Proč čísla soudělná s modulem nemají řád? Návod. Pokud a r 1(mod m),aktaké a r 1(mod(a,m)). Cvičení. Jakýjeřádmod5? Tvrzení.( zbytkylzedělit ) Prokaždéčíslo anesoudělnésmexistujerávějednainverze modulo m,tj.rvek a takový,že aa 1(mod m).obvykleinverziznačíme 1 a nebo a 1. Důkaz. Nejrvesidokážeme,žetakovéčísloexistujealesoňjedno.Stačísizvolit a = a r 1. Pak a a a a r 1 a r 1(mod n),tedytoto a vyhovujezadanéodmínce. Nyní si dokážeme, že je takové číslo(modulo m) jen jedno. Kdyby existovaly dvě různé inverze a a a modulo n,tak a a 1 a a (mod m),ajelikožčísla aamjsounesoudělná, tak můžeme kongruenci a a a a (mod m) odělit číslem a. Tímdostaneme a a (mod m),cožjesorstím,že a bylorůznéod a. Cvičení. Dokažte ředchozí tvrzení omocí Bézoutovy věty. Toronásznamená,ževkongruencíchmůžemeoužívatizlomky.Zlomkem a b jednoduše myslíme a b 1.Vkongruencíchsetedyklidněmůževyskytnoutněcojako (mod7). Toroto,žeinverzekčíslu3modulo7je5(latí3 5 1(mod7))ainverzekčíslu4ječíslo.Takže (mod7).Naoaknemávkongruencíchmodulo6smyslvýraz 1, rotožečíslaa6jsousoudělná,atedyčíslonemáinverzimodulo6. Cvičení. Dokaž, že čísla, která jsou soudělná s m, inverzi modulo m nemají. Cvičení. Dokaž, že zlomky můžeme v kongruencích uravovat odobně jako v obyčejných rovnicích.tedy,žero b, dnesoudělnásmlatí: (i) a b c d ac (mod m). bd (ii) a b + c d ad+bc (mod m). bd Nynísiukážeme,kčemuseinverzenaříkladhodí,nadůkazuWilsonovy 19 věty. Věta.(Wilsonova) Nechť jervočíslo.pak( 1)! 1(mod ). 0 Důkaz. Podívejmesenačíslo amezi1a 1.Tojenesoudělnés,takžemáinverzi a 1. Pokud a a 1 (mod ),taklatí a 1(mod ),neboli(a+1)(a 1) 0(mod ).Takže 18 PierredeFermat( )bylfrancouzskýmatematikamatér,ovolánímrávník. 19 WilsonovavětabylarýorvéuvedenaIbnal-Haythamem(cca1000n.l.)aotomWaringem, jehož žákem byl Wilson. Ani jeden ze jmenovaných ji nedokázal, to udělal až Lagrange. 0 Znakem n![nfaktoriál]myslímečíslo n (n 1) 1. 11

12 a+1nebo a 1.Toaleznamená,že aje 1nebo1.Vostatníchříadechtudíž latí a a 1 (mod ).Aleokud amáinverzi a 1,takzřejmě a 1 máinverzi a.pokudtedy vynásobímevšechnyzbytkyoddo,taksekaždýzbytekoárujesesvojíinverzíajejich součin bude 1. Proto ( 1)!=( 1) 1 ( 3 ( )) ( 1) (mod ). Cvičení. Dokaž si ještě oačnou imlikaci. Tedy okud ( 1)! 1(mod ), tak je rvočíslo. Následující tvrzení oisuje důležitou vlastnost řádu. Tvrzení. Nechť a, njsounesoudělnáčísla.pak a n 1(mod )rávětehdy,když r n. Návod. Ujednéimlikacestačíkongruenciumocnit.Udruhéodělte nčíslem rsezbytkema ukažte, že r není řád, čímž dostanete sor. Věta.(MaláFermatova) Nechť jervočísloaaječíslosnímnesoudělné.potom a 1 1 (mod ). Důkaz. Postuovat můžeme mnoha zůsoby, naříklad indukcí. My však ředvedeme trochu jiný, oučný důkaz. Vezměme rjakořádčísla amodulo.prokaždé bod1do 1uvažujmemnožinu A b obsahujícízbytkyčísel b,ba,ba,...,ba r 1 odělení.dokažmesi,žetakovátomnožinamá r rvků.oravdu,kdyby ba k ba l (mod ),kde k > l,dostalibychom a k l 1(mod ).Ale k ljemenšínež r,cožjesorstím,že rjeřád,tedynejmenšířirozenéčíslo,rokterélatí a r 1(mod ). Pokuddvěztěchtomnožin A b a A c majísolečnýrvek ba k ca l (mod ),otomro libovolné ilatí ba i ca (l k)i ca x (mod ),kde xjezbytekčísla(l k)iodělení r.ale ca x ležíva c,tedy ba i ležíva crokaždé iod0do 1.Jinakřečeno,každýrvek A b je takérvkem A c.obdobnědostanemeito,žervky A c jsouvmnožině A b.toznamená,že A b = A c.každédvěmnožinyjsoutedybuďdisjunktní(nemajížádnýsolečnýrvek),nebose sobě rovnají. Pokud označíme očet různých množin A b (ro b od 1 do 1) jako s, dostáváme, že rs= 1,neboťsjednocenímvšechmnožin A b dostanemeceloumnožinuzbytků(ažna0), tedy 1čísel.Ztoholyne,že r 1,takže a 1 1(mod )odleředchozíhotvrzení. DíkyMFV 1 semůžemedozvědětvíceokvadratickýchzbytcích. Příklad. Nechť je liché rvočíslo. Ukaž, že okud je 1 kvadratický zbytek modulo, otom je tvaru4k+1ronějakéčíslo k. Řešení. Prosorředokládejme,že =4k+3.Protože x 1(mod )ronějaké x, máme x 1 x 4k+ (x ) k+1 1(mod ),cožjesorsmfv. Nyní si ukážeme užitečný zůsob, jak zjistit, jestli je číslo zbytek, nebo nezbytek. Tvrzení.(Eulerovo kritérium) Nechť jelichérvočísloaaječíslonesoudělnés,otom ( a ) a 1 (mod ). Důkaz. Předokládejme, že a není kvadratický zbytek modulo. Chceme dokázat, že otom a 1 dávázbytek 1odělení.Prosorředokládejme,žetonelatí.Mějmečíslo bmezi 1a 1.Pakmákongruence bx a(mod )rávějednořešenívxmodulo,ato b = ab 1. Kdyby b = b,takbylatilo b a(mod ),tedy abybylkvadratickýzbytekmodulo,což 1 TaktobudemeoznačovatMalouFermatovuvětu. LeonhardEuler( )bylšvýcarskýmatematikůsobící(hlavně)vPetrohradu. 1

13 jesor.musítudížlatit b b.paksečísla1až 1ovynásobeníoárujídodvojicse zbytkem a,atedybudelatit ( 1)! a a a a 1 (mod ). ZWilsonovyvětylyne,že( 1)!dávázbytek 1odělení,takže a 1 1(mod ). Sám si jako cvičení dokaž oačnou imlikaci. Pomocí Eulerova kritéria si můžeš dokázat, že v ředešlém říkladu latí i oačná imlikace: Cvičení. Ukaž,žeokudjervočíslo tvaru4k+1,tak 1jekvadratickýzbytekmodulo. Cvičení.(těžké) Dokaž, že rvočísel tvaru 4k + 1 je nekonečně mnoho. Návod. Uvažčíslo(n!) +1aukaž,žemárvočíselnéhodělitele tak,že 1jekvadratický zbytek modulo. Nyní se seznámíme s důležitou funkcí, se kterou se budeme setkávat během celého seriálu. Definice. Eulerova funkce ϕ(n) je očet řirozených čísel nesoudělných s n a menších či rovných n. Podívejme se, jak se funkce chová na rvočíslech. Mějme rvočíslo. Potom každé řirozené číslomenšínež jesnesoudělné.proto ϕ()= 1. Promocninyrvočíseljesituaceodobnějednoduchá.Pokudmámečíslo k,kde jervočíslo,taknesoudělnáčíslajsourávěta,kteránejsoudělitelná.alečíseldělitelných od1do k je k = k 1.Protojenesoudělnýchčísel k k 1. Abychom mohli funkci sočítat ro libovolné n, musíme ještě dokázat zásadní vlastnost Eulerovy funkce, kterou nazýváme multilikativita. Tvrzení. Eulerova funkce je multilikativní, tedy ro nesoudělná čísla a, b latí ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Důkaz. Naišmesivšechnačísla0,1,...,ab 1dotabulky jednodušeořádcíchzlevadorava a 1 a a+1 a+... a a(b 1) a(b 1)+1 a(b 1)+... ab 1 Koukněmesenačíslovřádku iaslouci j,řičemžřádkyaslouceznačímeodnuly.pakje natomtomístěnasanéčíslo ia+j.zajímánás,zdajesoudělnésab.jelikožjsoualečísla aab nesoudělná,takstačízjistit,jestlije ia+jnesoudělnéjaksa,taksb.abybyločíslonesoudělné s a,takmusíbýt(ia+j,a)=1,tedy(j,a)=1.toaleznamená,žečíslanesoudělnásabmohou být jen ve sloucích označených čísly, která jsou nesoudělná s a. Těchto slouců je ϕ(a). Podívejmesenačíslavjednomztěchtoslouců.Jsoutočísla j,a+j,a+j,...,(b 1)a+j. Tato čísla dávají navzájem různé zbytky modulo b.(rozmysli si, že to latí ředokládej, že by dvě čísla byla navzájem kongruentní modulo b, a dojdi ke soru.) Číslatedydávajívnějakémořadízbytky0,1,...,b 1modulo b.právě ϕ(b)znichjenesoudělnýchsb,atedyisab.vkaždémzuvažovaných ϕ(a)sloucůmáme ϕ(b)číselnesoudělných s ab, dohromady je tedy čísel nesoudělných s ab řesně ϕ(a)ϕ(b), což jsme chtěli dokázat. Díkymultilikativitědostávámero n= α 1 1 α α k k vztah ϕ(n)=ϕ ( α 1 1 ) ϕ ( α )...ϕ ( α k k ) = ( α 1 1 α )( α α 1 ) ( α k k α k 1 k ). 13

14 Cvičení. Urav vzoreček do tvaru ( ϕ(n)=n 1 1 )( 1 1 ) ( ). 1 k Seriál zakončíme kouzelnou formulí. Tvrzení. Platí ϕ(d)=n. d n PokudTězarážísymbol,rádiTihovysvětlíme.Říkásemusumaaznačísoučetněkolika členů.naříklad n k=1 a kznamená a 1 +a + +a n(tj.sečti a k ro kod1do n).kdyžod sumouíšeme d n,taktímmyslímesoučetřesvšechnykladnédělitele dčísla n.naříklad d 6 ϕ(d)=ϕ(1)+ϕ()+ϕ(3)+ϕ(6)=1+1++=6. Naše formule tedy říká, že okud sečteme ϕ(d) řes všechny dělitele d čísla n, tak dostaneme řesně n.aleještěsitomusímedokázat!držtesiklobouky. Důkaz. Budemeotřebovatrozkladčísla nnarvočísla n= α 1 1 α...α k k.nejrvesimusíme uvědomit, že součet všech dělitelů se dá zasat takto: d n d= ( α 1 1 )( α ) (... 1+k + ) k + +α k k. Pokud totiž roznásobíme všechny závorky na ravé straně, dostaneme každého dělitele čísla n rávě jednou. Ale s využitím toho, že funkce ϕ je multilikativní, můžeme sát i toto: d n ϕ(d)= ( ϕ(1)+ϕ( 1 )+ +ϕ( α 1 1 ))... ( ϕ(1)+ϕ( k )+ +ϕ( α k k )). Myalevíme,že ϕ( k )= k k 1,takže ϕ(1)+ϕ( i )+ +ϕ( α i i )=1+( i 1)+( i i)+ +( α i i α i 1 i )= α i i. To nám dohromady dává d n ϕ(d)= α 1 1 α...α k k = n. 14

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

1. série. Různá čísla < 1 44.

1. série. Různá čísla < 1 44. série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q 6+ 9 9 6 ¾º ÐÓ `5+ 6 998 není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení

Více

Důkazové metody v teorii čísel

Důkazové metody v teorii čísel Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené

Více

3.1.1 Přímka a její části

3.1.1 Přímka a její části 3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 65. ročník Matematické olymiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Najděte všechny možné hodnoty součinu rvočísel, q, r, ro která latí (q + r) = 637. Řešení. evou stranu dané rovnice rozložíme na

Více

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Termodynamika ideálního plynu

Termodynamika ideálního plynu Přednáška 5 Termodynamika ideálního lynu 5.1 Základní vztahy ro ideální lyn 5.1.1 nitřní energie ideálního lynu Alikujme nyní oznatky získané v ředchozím textu na nejjednodužší termodynamickou soustavu

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

B A B A B A B A A B A B B

B A B A B A B A A B A B B AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A

Více

Algebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení

Algebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení Kaitola 1 Algebraický úvod 1.1 Pologrua, monoid, neutrální rvek Binární oerací na množině M se rozumí každé zobrazení M M M. Binární oerace se často zaisují jako násobení či sčítání, a to i když oerace

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

MPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.

MPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

6.1.2 Operace s komplexními čísly

6.1.2 Operace s komplexními čísly 6.. Operace s komplexními čísly Předpoklady: 60 Komplexním číslem nazýváme výraz ve tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro něž platí i =. V komplexním čísle a + bi se nazývá: číslo

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A . ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

1.5.2 Mechanická práce II

1.5.2 Mechanická práce II .5. Mechanická ráce II Předoklady: 50 Př. : Jakou minimální ráci vykonáš ři řemístění bedny o hmotnosti 50 k o odlaze o vzdálenost 5 m. Příklad sočítej dvakrát, jednou zanedbej třecí sílu mezi bednou a

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Abstrakt. Na této přednášce se

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Vzorové řešení 6. série

Vzorové řešení 6. série Vzorové řešení 6. série Úloha 6.1. Konečně v Hloupětíně roztál všechen sníh a Kouma s Ňoumou se vydali na první jarní výlet na hrad Ftipín. U vstupu do hradu našli tento nápis: Ten, kdo středověký problém

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :

V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma : Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku

Více

Model tenisového utkání

Model tenisového utkání Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální rojekt do ředmětu Náhodné rocesy 2005 V této ráci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstuními hodnotami budou úsěšnosti odání jednotlivých hráčů,

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost

Způsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY

CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více