Úvod do teorie dělitelnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do teorie dělitelnosti"

Transkript

1 Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení). Abyste se v této činnosti zdokonalili, především při počítání se zlomky, musíte se naučit některá obecná pravidla o celých násobcích čísel. Také se seznámíte se základy matematické disciplíny zvané teorie čísel (teorie čísel spolu s planimetrií stály u zrodu samotné matematiky). Je nutné si uvědomit, že po celou dobu vyučování dělitelnosti přirozených čísel budeme pracovat, jak už název napovídá, pouze s přirozenými čísly (1, 2, 3, ). Zavedení přirozených čísel Na počátku výuky dělitelnosti, se seznámíme s okruhem čísel, se kterým budeme pracovat. V celé kapitole se budeme zabývat pouze čísly přirozenými a jejich vlastnostmi. Přirozených čísel je nekonečně mnoho a žádné největší přirozené číslo neexistuje. Nejmenší přirozené číslo označujeme symbolem 0. Jeho následovníka symbolem 1, a tak dále přesně jak jste zvyklí. Pojem následovník a také pojem předchůdce jsou dva přesně definované matematické pojmy. Jejich význam je jistě z následujícího obrázku zřejmý. Číslo 0 nemá předchůdce Každé přirozené číslo má svého následovníka Předchůdce čísla 4 je číslo 3 Nejmenší přirozené číslo je takové, že nemá svého předchůdce. Je "první". Svého následovníka má naopak každé přirozené číslo. Proto nemůže existovat největší přirozené číslo. I kdybychom nějaké označili za největší, stačí vzít jeho následovníka. Určitě existuje a určitě je větší. Mezi čísla přirozená patří: 1, 2, 3, 4,.., 99, 100, 101,, 489,..

2 Násobek a dělitel Při vytváření pojmu násobek se budeme opírat o vaše předešlé znalosti, především o dobrou znalost malé násobilky. Měli bychom vědět, že čísla 2, 4, 6, 8, 10, jsou násobky čísla 2. Pro přiblížení a popřípadě i pro kontrolu bychom mohli tuto situaci znázornit: např. 1) Pomocí číselné osy 2) Pomocí tabulky (Příklad: Jeden kopeček jahodové zmrzliny stojí 6 korun. Dva kopečky zmrzliny stojí 12 korun. Tři kopečky stojí 18 korun. Doplňte tabulku, podle počtu kopečků zmrzliny.) počet kopečků cena v Kč Pokud si na číselné ose postupně vyznačíte násobky čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, pak lze snadno přijít na to, že číslo 10 je násobkem čísel 1, 2, 5. Postupně se s tak dostáváte k pojmu dělitel. Jestliže číslo 16 je násobkem čísel 1, 2, 4, 8, pak je jistě i těmito čísly dělitelné. Chcete-li například zjistit, zda číslo 81 nebo 107 je násobkem čísla 3, musíte je tímto číslem vydělit. 81 : 3 = 27 (0) Dělení vyšlo beze zbytku, číslo 87 je násobkem čísla : 3 = 35 (2) Dělení nevyšlo beze zbytku, číslo 107 není násobkem čísla 3. Důležité je i základní značení: 12 : 4 = 3 dělenec dělitel podíl

3 Nyní budete říkat, že číslo b je dělitelem čísla a, pokud podíl a : b je celé číslo. Tak o každém z čísel 1, 2, 5 a 10 řeknete, že je dělitelem čísla 10, ale např. číslo 4 není dělitelem čísla 10. Velmi často je zapotřebí, abyste určili všechny dělitele daného čísla. U čísla 10 jsme určili, že to jsou čísla 1, 2, 5 a 10. Symbolicky to budete zapisovat D 10 = {1, 2, 5, 10}. Tento zápis obvykle čteme: Množina dělitelů čísla 10 má prvky 1, 2, 5, 10. Př. Jestliže je možné rozdělit číslo 24 beze zbytku číslem 6, říkáme že: - číslo 6 je dělitelem čísla 24 - číslo 24 je dělitelné číslem 6 24 je dělitelné je dělitelem 6

4 Čísla sudá a lichá V této kapitole se jen krátce zmíníme o číslech sudých a číslech lichých. Čísla sudá a lichá rozlišovali již naši předchůdci Pythagorejci. ( Pythagorás (asi 570 př.n.l př.n.l.) - filozof, matematik a astronom. Pythágorejci byli následovníci matematického myšlení samotného Pythagora ze Sámu. ) Čísla, která se dala uspořádat do dvou řad nazývali čísla sudá. Naopak čísla, která se do dvou řad uspořádat nedala, byly lichá. Pro sudá a lichá čísla platí určité vlastnosti: sudé číslo + sudé číslo = sudé číslo ( = 20 ) sudé číslo + liché číslo = liché číslo ( = 19 ) liché číslo + liché číslo = sudé číslo ( = 18 )

5 Znaky dělitelnosti Někdy se vyskytne situace, ve které je potřeba rychle zjistit, zda je dané číslo dělitelné jiným číslem, čili zda dělení vyjde beze zbytku. Abyste nemuseli pokaždé dělit, můžeme využít určitých znaků dělitelnosti. Těmito znaky se nyní budeme zabývat. Jestliže máte rozhodnout zda číslo a je dělitelné číslem b, není nutné vždy provádět dělení a : b a zjišťovat, zda zbytek při tomto dělení je, či není roven nule. Nejlépe zřejmě poznáme číslo, které je dělitelné číslem 10. Pokud máte rozhodnout, které ze dvou čísel 3586, 5820 je dělitelné deseti, není jistě obtížné na první pohled určit, že číslo 3586 deseti dělitelné není, zatímco číslo 5820 deseti dělitelné je = = Je vidět, že v obou rozkladech jsou první tři sčítance dělitelné deseti, a o tom, zda číslo je, či není, rozhoduje pouze poslední sčítanec. Ten je vyjádřen na místě jednotek daného čísla. Znak dělitelnosti číslem deset Jestliže má dané číslo na místě jednotek číslici 0, pak je dělitelné deseti. Jestliže nemá dané číslo na místě jednotek číslici 0, pak není dělitelné deseti. Podobným způsobem, můžete odvodit znak dělitelnosti čísla 5 a čísla 2. Pokud máte rozhodnout, které ze dvou čísel 2656, 2655 je dělitelné pěti, můžete postupovat obdobně jako v předchozím příkladě = =

6 V obou rozkladech jsou první tři sčítance dělitelné pěti (neboť čísla 1000, 100 i 10 jsou dělitelná pěti). Proto o tom, zda dané číslo je, či není dělitelné pěti, opět rozhoduje poslední sčítanec, vyjádřený poslední číslicí čísla. Znak dělitelnosti číslem pět Jestliže má dané číslo na místě jednotek číslici 0 nebo 5, pak je dělitelné pěti. Jestliže nemá dané číslo na místě jednotek ani číslici 0, ani číslici 5, pak není dělitelné pěti. U čísel 3746, 3747, 3478 a 3749 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem dvě = = = = V rozkladech čísel 3746 až 3749 jste zjistili, že dělitelné dvěma jsou ta, které končí na místě jednotky číslem 0, 2, 4, 6, 8. Znak dělitelnosti číslem dva Jestliže má dané číslo na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6 nebo 8, pak je dělitelné dvěma. Jestliže má dané číslo na místě jednotek některou z číslic 1, 3, 5, 7 nebo 9, pak není dělitelné dvěma. U čísel 1027 a 1048 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem čtyři. Mohli byste znovu postupně rozkládat číslo 1027 a 1048 násobky čísel 4 a zjistit, které z následujících čísel vyjde beze zbytku. Toto číslo by pak bylo násobkem čísla čtyři = ? 1048 =

7 Z předcházejícího rozkladu si však můžete všimnout, že u čísel 1000 a 100 vždy existuje přirozené číslo, které vynásobíte-li číslem 4 dá znovu číslo 1000 a 100. ( čísla 250 a 25 ) Při rozhodování dělitelnosti číslem čtyři se tedy budete rozhodovat podle posledního dvojčíslí daného čísla. Pokud je tedy poslední dvojčíslí dělitelné číslem čtyři, pak jste dospěli k řešení, že celé toto číslo je dělitelné čtyřmi ~ 27 : 4 = 6,75 není dělitelné 1048 ~ 48 : 4 = 12 je dělitelné Znak dělitelnosti číslem čtyři Jestliže je poslední dvojčíslí daného čísla dělitelné čtyřmi, pak je i dané číslo dělitelné čtyřmi. Jestliže není poslední dvojčíslí daného čísla dělitelné čtyřmi, pak není ani dané číslo dělitelné čtyřmi. U čísel 1567 a 1824 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem osm. Postup bude podobný, jako v předcházejícím případě. Znovu byste mohli obě čísla rozložit na násobky čísel 8 a zjistit, které z následujících čísel vyjde beze zbytku = ? + 8? 1824 = Z rozkladu je však patrné, že u čísla 1000 vždy existuje přirozené číslo, které vynásobíte-li číslem osm dostanete znovu číslo ( číslo 125 ) U čísel 100 a 10 již takové přirozené číslo neexistuje. Při rozhodování dělitelnosti číslem osm se tedy budete rozhodovat podle posledního trojčíslí daného čísla. Je-li poslední trojčíslí daného čísla dělitelné číslem osm, pak je i celé číslo dělitelné číslem osm.

8 1567 ~ 567 : 8 = 70,87 není dělitelné 1824 ~ 824 : 8 = 103 je dělitelné Znak dělitelnosti číslem osm Jestliže je poslední trojčíslí daného čísla dělitelné osmi, pak je i dané číslo dělitelné osmi. Jestliže není poslední trojčíslí daného čísla dělitelné osmi, pak není ani dané číslo dělitelné osmi. Pomocí dělení rozhodneme, zda čísla a jsou dělitelná devíti : 9 = : 9 = 2864,5 Číslo tedy je dělitelné devíti, zatímco číslo devíti dělitelné není. Nyní odvodíme znak dělitelnosti devíti, abyste nemuseli vždy dělení provádět. Číslo nejprve rozepíšeme takto: = Čísla 1 000, nejsou dělitelná devíti, ale čísla 999, 99 a 9 devíti dělitelná jsou, proto čísla 1 000, 100 i 10 dávají při dělení devíti zbytek 1. Proto: číslo dává při dělení devíti zbytek 3 1 = 3 číslo dává při dělení devíti zbytek 7 1 = 7 číslo 5 10 dává při dělení devíti zbytek 5 1 = 5 číslo 3 dává při dělení zbytek 3 = 3 Jiný způsob: 3753 = = = 3 ( ) + 7 (99 + 1) + 5 (9 + 1) + 3 = = Součet všech průběžných zbytků je = 18 a to je číslo dělitelné devíti. Proto je devíti dělitelné i dané číslo Podobně byste postupovali i u čísla a zjistili byste, že toto číslo devíti dělitelné není.

9 Znak dělitelnosti číslem devět Jestliže je ciferný součet daného čísla dělitelný devíti, pak je i dané číslo dělitelné devíti. Jestliže není ciferný součet daného čísla dělitelný devíti, pak není ani dané číslo dělitelné devíti. U znaku dělitelnosti třemi můžete opět použít metodu rozkladu daného čísla na jeho násobky, nebo použít mnohem jednoduší způsob: sečíst všechny cifry daného čísla a zkoumat, jestli je součet dělitelný číslem tři. ( Číslo devět má dělitele 1, 3, 9. Protože číslo 3 je jedním z dělitelů čísla 9, můžeme postupovat při řešení stejně jako u znaku dělitelnosti číslem devět.) 215 = = 8 není dělitelné třemi 216 = = 9 je dělitelné třemi Znak dělitelnosti číslem tři Jestliže je ciferný součet daného čísla dělitelný třemi, pak je i dané číslo dělitelné třemi. Jestliže není ciferný součet daného čísla dělitelný třemi, pak není ani dané číslo dělitelné třemi. Pokud chcete zjistit, zda je dané číslo dělitelné číslem šest, musíte prokázat, že je též dělitelné číslem dvě a tři. Číslo šest má dělitele 1, 2, 3, 6, - jedničkou je jistě dělitelné každé číslo, musíme tedy ověřit zda je dané číslo dělitelné i ostatními číslicemi. Jistě postačí ověřit, zda je dané číslo dělitelné dvěmi a třemi současně. Pokud totiž takové číslo nalezneme, bude jistě dělitelné i šesti : 2 = : 3 = : 6 = 43 je dělitelné : 2 = 185,5 371 : 3 = 123,6 371 : 6 = 61,8 není dělitelné Znak dělitelnosti číslem šest Je-li dané číslo dělitelné současně dvěma a třemi, pak je dělitelné šesti. Není-li dané číslo dělitelné dvěma nebo třemi, pak není ani dělitelné šesti.

10 Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je takové číslo, které má právě dva dělitele jedničku a sebe sama. 7 = 1 7 Složené číslo je takové číslo, které má alespoň tři dělitele. 8 = 1 8, 2 4 Vezměte si přirozená čísla pěkně popořadě. Číslo jedna je dělitelné pouze jedničkou, a proto ji neřadíme ani mezi prvočísla ani mezi čísla složená. Číslo dvě je dělitelné číslem dvě a jedna, je to tedy prvočíslo. Mimochodem jediné sudé prvočíslo. Číslo tři je dělitelné číslem jedna a tři, je to tedy prvočíslo. Číslo čtyři je dělitelné číslem jedna, dvě a čtyři - je to číslo složené. A takhle bychom mohli pokračovat pořád dál. Je třeba si uvědomit, že každé přirozené číslo větší než jedna je dělitelné alespoň jedním prvočíslem - v nejhorším je číslo samo prvočíslem. Víte, kolik je prvočísel do 100? Přesně 25. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Př. Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení 3 zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Beze zbytku je dělitelné pouze 1 a 13. Proto je 13 prvočíslo.číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 proto není prvočíslem. Nyní bychom Vám mohl položit otázku: Víte kolik je prvočísel? Na tuto otázku byste odpověděli, že prvočísel je nekonečně mnoho. Toto tvrzení je dokonce dokázáno řeckým matematikem Eukleidem, který již ve 3. století př. n. l. provedl onen důkaz. Šel na to oklikou (důkaz sporem). Euklides nejprve předpokládal, že prvočísel je konečně mnoho, počet označme n, prvočísla pak p(1), p(2), p(n). A teď si všimněme čísla P = (p(1) * p(2) * p(3) * * p(n)) + 1. (2 3) + 1 = 7 (2 3 5) + 1 = 31 ( ) + 1 = 211 Je vidět, že takto utvořené číslo není dělitelné žádným prvočíslem, které je v součinu. Dělení vždy vychází se zbytkem jedna. Protože každé číslo s výjimkou jedničky je dělitelné alespoň jedním prvočíslem, musí být takto utvořené číslo prvočíslem. My však již žádné další prvočíslo nemáme, do součinu při tvoření čísla P jsme použili úplně všechna. To znamená, že prvočísel není konečně mnoho, ale je jich nekonečně mnoho. ( Mezi čísly n a 2n, kde n 2, existuje vždy alespoň jedno prvočíslo. Toto dokázal v roce 1850 Rus Čebyšev)

11 K čemu nám prvočísla vlastně jsou a proč jsou tak důležitá? Protože každé přirozené číslo je buď prvočíslem, nebo je můžete napsat jako součin konečného počtu prvočísel. Zkuste to: 2, 3, jsou prvočísla, 4 = 2 2, 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, nebo něco většího 42 = Když nějaké přirozené číslo takto zapíšete, mluvíte pak o rozkladu přirozeného čísla na součin prvočísel. Někdy se hovoří o rozkladu čísla na prvočinitele nebo o kanonickém rozkladu. Velký praktický význam mají prvočísla také v kryptografii. (Kryptografie neboli šifrování je nauka o metodách utajování smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí.) Eratosthenovo síto První systematickou metodu k nalezení prvočísel použil řecký matematik a astronom Eratosthenes, který žil přibližně v letech 275 až 195 př. n. l. Na voskovou tabulku si napsal čísla větší než 1 a menší než 100, první z čísel tak bylo číslo 2. Toto číslo v tabulce ponechal, vypálil však horkou jehlou v tabulce všechny následující násobky dvou. Dalším prvočíslem v tabulce bylo číslo 3. Toto prvočíslo opět ponechal, vypálil však všechny dosud nevypálené násobky tří. Dalším prvočíslem je číslo 5, znovu toto prvočíslo ponechal a opět vypálil všechny dosud nevypálené násobky pěti. Tímto postupem postupoval tak dlouho, až mu v tabulce zbyla samá prvočísla Protože tabulka byla dosti děravá a připomínala síto, nazývá se tato metoda nalézání prvočísel Eratosthenovo síto. Prvočíselná dvojčata Jsou to dvojice prvočísel, jejichž rozdíl je roven dvěma. Takovými dvojčaty jsou například prvočísla 3 a 5, nebo 101 a 103, nebo 179 a 181. Matematici si myslí, že prvočíselných dvojčat je nekonečně mnoho, ale zatím si jim to nepodařilo dokázat.

12 Společný dělitel, největší společný dělitel Společný dělitel Společný dělitel dvou nebo několika čísel je takové číslo, které dělí každé z těchto čísel beze zbytku. Pokud byste chtěli určit společné dělitele čísel 15 a 18, budete postupovat tak, že každé číslo rozepíšete na jeho dělitele: Číslo 15 má dělitele 1, 3, 5, 15 Číslo 18 má dělitele 1, 2, 3, 6, 9, 18 Jedině čísla 1 a 3 dělí zároveň číslo 15 i číslo 18. Takové dělitele nazýváme společné dělitele. Při řešení úloh není vždy nutné ani účelné vyhledávat všechny společné dělitele. Mnohdy stačí určit toho, který je z nich největší. Každý jiný společný dělitel je totiž jeho dělitelem. U některých skupin čísel umíte určit největšího společného dělitele zpaměti: Jestliže např. jedno z čísel zadané skupiny je dělitelem všech ostatních čísel, pak je toto číslo největším společným dělitelem celé skupiny. Tedy největším společným dělitelem dvojice 8 a 24 je číslo 8, trojice 12, 24 a 48 číslo 12. Při hledání největšího společného dělitele můžete vypsat všechny společné dělitele dané skupiny čísel a vybrat z nich největší číslo, využít můžete např. tabulku. Skupina čísel Společné dělitele Největší společný dělitel 8, 12 12, 30 28, 31 9, 12, 15 6, 10, 15 12, 15, 18 1, 2, 4 1, 2, 3, 6 1 1, 3 1 1,

13 Největší společný dělitel Největší společný dělitel skupiny čísel je takový společný dělitel těchto čísel, který je ze všech společných dělitelů největší. Každý jiný společný dělitel je jeho dělitelem. Největšího společného dělitele budeme označovat písmenem D. Budeme tedy zapisovat: D( 24, 54 ) = 6 (viz. obr.) Největší společný dělitel skupiny čísel je součin všech společných prvočinitelů vybraných z rozkladu jednotlivých čísel. Abyste zjistili, kolikrát se které prvočíslo bude v tomto rozkladu vyskytovat, určíte, kolikrát se vyskytuje v jednotlivých rozkladech. Z těchto počtů vyberete nejmenší a tolikrát toto prvočíslo zahrneme do výsledného součinu. Pokud se stane, že daná skupina čísel žádného společného prvočinitele nemá, je největším společným dělitelem takových čísel číslo 1.

14 Čísla soudělná a nesoudělná V předchozí kapitole jste si mohli všimnout, že existují skupiny čísel, jejichž největší společný dělitel je roven číslu 1. Mezi takovéto dvojice či trojice čísel patří např. (3, 5), (7, 9), (8, 15), (5, 9, 13), (2, 5, 21). Čísla nesoudělná Je-li největší společný dělitel skupiny čísel roven 1, říkáme, že tato čísla jsou nesoudělná. Nesoudělná čísla jsou např. čísla 15 a 16 čísla 23 a 27 čísla 6, 10 a 15 Čísla soudělná Je-li největší společný dělitel skupiny čísel větší než 1, říkáme, že tato čísla jsou soudělná. Například čísla 6 a 8 jsou soudělná, neboť jejich největším společným dělitelem je číslo 2. Máte-li ověřit, že daná čísla jsou soudělná, musíme hledat jejich největšího společného dělitele. Stačí, když najdete jednoho společného dělitele, který je větší než 1. Soudělná čísla jsou např. čísla 8 a 14 (společný dělitel 2) čísla 45 a 75 (společný dělitel 5) čísla 33, 66, a 77 (společný dělitel 11)

15 Společný násobek, nejmenší společný násobek Násobky čísla 2: Násobky čísla 3: Čísla 6, 12 a 18 se nazývají společné násobky čísel 2 a 3. Společný násobek Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto čísel. Jistě není obtížné určit zpaměti několik dalších společných násobků čísel 4 a 6. Jsou to čísla 48, 60, 72, 84, (je jich nekonečno mnoho). Tak jako není nutné obvykle vyhledávat všechny společné dělitele dané skupiny čísel, nebývá vždy nutné určovat více společných násobků. Velmi důležité je umět určit takový násobek, který je ze všech společných násobků nejmenší říkáme mu nejmenší společný násobek. každý jiný společný násobek daných čísel je totiž jeho násobkem. U některých skupin čísel lze nejmenší společný násobek určit zpaměti. Jestliže je například jedno z čísel dané skupiny násobkem všech ostatních, pak je toto číslo nejmenším společným násobkem této skupiny. Tedy nejmenším společným násobkem dvojice 8, 24 je číslo 24, trojice 12, 24, 48 číslo 48. U některých dvojic čísel je nejmenším společným násobkem součin těchto čísel: u čísel 3 a 27 číslo 21, u čísel 8 a 9 číslo 72. U jiných dvojic čísel je nejmenší společný násobek menší než jejich součin: u čísel 3 a 6 je to číslo 6, u čísla 6 a 10 je to číslo 30. U nesoudělných čísel je nejmenším společným násobkem jejich součin. U soudělných čísel je nejmenší společný násobek menší než jejich součin.

16 U větších čísel např. 48 a 150 můžete postupovat jinak. Čísla rozložíte na součin prvočísel. Napíšete rozklady tak, aby stejná prvočísla byla pod sebou. Jeden z rozkladů doplníte prvočísly, která jsou navíc ve druhém rozkladu. Součin těchto prvočísel je hledaný nejmenší společný násobek. 48 = = n (48, 150) = n (48, 150) = = 1200 Nejmenší společný násobek Nejmenší společný násobek těchto čísel je ten společný násobek těchto čísel, který je ze všech společných násobků nejmenší. Každý jiný společný násobek je jeho násobkem. Nejmenší společný násobek budete značit písmenem n. Stručně budete zapisovat: n ( 24, 162 ) = 648 (viz. obr. ), n (3, 7) = 21, n (2, 3, 4) = 12 Nejmenší společný násobek skupiny čísel je součin prvočinitelů vybraných z rozkladů jednotlivých čísel.

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

Kritéria dělitelnosti

Kritéria dělitelnosti Kritéria dělitelnosti Jaroslav Zhouf, Pedf UK Praha Kritéria dělitelnosti slouží k rozhodování o tom, zda je určité přirozené číslo n dělitelné určitým přirozeným číslem k. Každé takové kritérium se snaží

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků dělitelnosti

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků dělitelnosti METODICKÝ LIST DA8 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitelnost čtyřmi, šesti, osmi a devíti Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky:

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel. Dušan Astaloš METODICKÝ LIST DA10 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Rozklad na součin prvočísel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti:

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám. 1594/16, 664 51 Šlapanice www.zsslapanice.cz MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/21.2389 DĚLITEL

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Dělitelnost přirozených čísel. Násobek a dělitel

Dělitelnost přirozených čísel. Násobek a dělitel Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel VY_42_INOVACE_ČER_10 1. Autor: Mgr. Soňa Černá 2. Datum vytvoření: 2.1.2012 3. Ročník: 6. 4. Vzdělávací oblast: Matematika 5. Vzdělávací obor: Matematika

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Prvočísla, dělitelnost

Prvočísla, dělitelnost Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2013 verze: 2014-11-03 11:28 Obsah přednášky

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené

Více

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30.

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30. ARNP 1 2015 Př. 9 Společný dělitel a společný násobek Společný dělitel Příklad 1: Najděte množinu všech dělitelů čísla 18 a množinu všech dělitelů čísla 30. Řešení: Množina všech dělitelů čísla 18 je množina

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují

Více

1 Teorie čísel. Základní informace

1 Teorie čísel. Základní informace 1 Teorie čísel Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními termíny z teorie čísel, seznámí se s pojmy faktorizace, dělitelnost, nejmenší společný násobek. Dále se seznámí

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například: ARNP 1 2015 Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5,

Více

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15 Manuál č. 15 NÁZEV HODINY/TÉMA: OPERACE S REÁLNÝMI ČÍSLY Časová jednotka (vyuč.hod.): 1h (45min.) Vyučovací předmět: Matematika Ročník: první Obor vzdělání: 3letý Použité metody: Hra s čísly, Práce s textem,

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického

Více

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Důkazové metody v teorii čísel

Důkazové metody v teorii čísel Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách

Více

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. MATA Př 3 Číselné soustavy Poziční číselná soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel dokonce pokud se dnes mluví o číselných soustavách, jsou tím obvykle myšleny soustavy poziční.

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Každé dítě bude mít 4 kuličky. Zkouška: (např. sečtením kuliček každého z dětí) = 20.

Každé dítě bude mít 4 kuličky. Zkouška: (např. sečtením kuliček každého z dětí) = 20. 10. DĚLENÍ PŘIROZENÝCH ČÍSEL 10. 1. Pamětné dělení Dělení přirozených čísel je definováno jako inverzní operace k operaci násobení. Jestliže pro přirozená čísla a, b, c platí a. b = c pak pro a 0, b 0

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Metodický list. Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků základní

Metodický list. Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků základní Projekt: Tvořivá škola, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3505 Příjemce: Základní škola Ruda nad Moravou, okres Šumperk, Sportovní 300, 789 63 Ruda nad Moravou Zařazení materiálu: Metodický

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Milí rodiče a prarodiče,

Milí rodiče a prarodiče, Milí rodiče a prarodiče, chcete pomoci svým dětem, aby se jim dobře počítalo se zlomky? Procvičujte s nimi. Tento text je pokračováním publikace Mami, tati, já těm zlomkům nerozumím. stupeň ZŠ, ve které

Více

Téma 1: Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel)

Téma 1: Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel) Téma : Numerické výpočty (číselné množiny, druhy čísel, absolutní hodnota, zaokrouhlování, dělitelnost čísel, společný násobek a dělitel čísel) Příklady Číselná osa ) Která z následujících čísel neleží

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Základní jednotky používané ve výpočetní technice Základní jednotky používané ve výpočetní technice Nejmenší jednotkou informace je bit [b], který může nabývat pouze dvou hodnot 1/0 (ano/ne, true/false). Tato jednotka není dostatečná pro praktické použití,

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL VY_32_INOVACE_M_186 OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL Autor: Mgr. Irena Štěpánová Použití: 3. třída Datum vypracování: 29. 9. 2012 Datum

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE

PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE JMÉNO: Dnes se římské číslice nepoužívají pro výpočty, ale můžeme je najít například na ciferníku hodin, jako označení kapitol v knihách, letopočtů výstavby nebo rekonstrukce

Více

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi: Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:

Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti: Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit MATEMATIKA Výrazy a rovnice pracovní sešit Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzentky: Mgr. Barbora Stušová; doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D. OBSAH

Více

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6.

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo ZÁŘÍ užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (zlomkem) PROSINEC využívá

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o p r o j e k t u

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10 .. Číselné soustavy I Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato a následující hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti

Více

1.2.3 Racionální čísla I

1.2.3 Racionální čísla I .2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více