Úvod do teorie dělitelnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do teorie dělitelnosti"

Transkript

1 Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení). Abyste se v této činnosti zdokonalili, především při počítání se zlomky, musíte se naučit některá obecná pravidla o celých násobcích čísel. Také se seznámíte se základy matematické disciplíny zvané teorie čísel (teorie čísel spolu s planimetrií stály u zrodu samotné matematiky). Je nutné si uvědomit, že po celou dobu vyučování dělitelnosti přirozených čísel budeme pracovat, jak už název napovídá, pouze s přirozenými čísly (1, 2, 3, ). Zavedení přirozených čísel Na počátku výuky dělitelnosti, se seznámíme s okruhem čísel, se kterým budeme pracovat. V celé kapitole se budeme zabývat pouze čísly přirozenými a jejich vlastnostmi. Přirozených čísel je nekonečně mnoho a žádné největší přirozené číslo neexistuje. Nejmenší přirozené číslo označujeme symbolem 0. Jeho následovníka symbolem 1, a tak dále přesně jak jste zvyklí. Pojem následovník a také pojem předchůdce jsou dva přesně definované matematické pojmy. Jejich význam je jistě z následujícího obrázku zřejmý. Číslo 0 nemá předchůdce Každé přirozené číslo má svého následovníka Předchůdce čísla 4 je číslo 3 Nejmenší přirozené číslo je takové, že nemá svého předchůdce. Je "první". Svého následovníka má naopak každé přirozené číslo. Proto nemůže existovat největší přirozené číslo. I kdybychom nějaké označili za největší, stačí vzít jeho následovníka. Určitě existuje a určitě je větší. Mezi čísla přirozená patří: 1, 2, 3, 4,.., 99, 100, 101,, 489,..

2 Násobek a dělitel Při vytváření pojmu násobek se budeme opírat o vaše předešlé znalosti, především o dobrou znalost malé násobilky. Měli bychom vědět, že čísla 2, 4, 6, 8, 10, jsou násobky čísla 2. Pro přiblížení a popřípadě i pro kontrolu bychom mohli tuto situaci znázornit: např. 1) Pomocí číselné osy 2) Pomocí tabulky (Příklad: Jeden kopeček jahodové zmrzliny stojí 6 korun. Dva kopečky zmrzliny stojí 12 korun. Tři kopečky stojí 18 korun. Doplňte tabulku, podle počtu kopečků zmrzliny.) počet kopečků cena v Kč Pokud si na číselné ose postupně vyznačíte násobky čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, pak lze snadno přijít na to, že číslo 10 je násobkem čísel 1, 2, 5. Postupně se s tak dostáváte k pojmu dělitel. Jestliže číslo 16 je násobkem čísel 1, 2, 4, 8, pak je jistě i těmito čísly dělitelné. Chcete-li například zjistit, zda číslo 81 nebo 107 je násobkem čísla 3, musíte je tímto číslem vydělit. 81 : 3 = 27 (0) Dělení vyšlo beze zbytku, číslo 87 je násobkem čísla : 3 = 35 (2) Dělení nevyšlo beze zbytku, číslo 107 není násobkem čísla 3. Důležité je i základní značení: 12 : 4 = 3 dělenec dělitel podíl

3 Nyní budete říkat, že číslo b je dělitelem čísla a, pokud podíl a : b je celé číslo. Tak o každém z čísel 1, 2, 5 a 10 řeknete, že je dělitelem čísla 10, ale např. číslo 4 není dělitelem čísla 10. Velmi často je zapotřebí, abyste určili všechny dělitele daného čísla. U čísla 10 jsme určili, že to jsou čísla 1, 2, 5 a 10. Symbolicky to budete zapisovat D 10 = {1, 2, 5, 10}. Tento zápis obvykle čteme: Množina dělitelů čísla 10 má prvky 1, 2, 5, 10. Př. Jestliže je možné rozdělit číslo 24 beze zbytku číslem 6, říkáme že: - číslo 6 je dělitelem čísla 24 - číslo 24 je dělitelné číslem 6 24 je dělitelné je dělitelem 6

4 Čísla sudá a lichá V této kapitole se jen krátce zmíníme o číslech sudých a číslech lichých. Čísla sudá a lichá rozlišovali již naši předchůdci Pythagorejci. ( Pythagorás (asi 570 př.n.l př.n.l.) - filozof, matematik a astronom. Pythágorejci byli následovníci matematického myšlení samotného Pythagora ze Sámu. ) Čísla, která se dala uspořádat do dvou řad nazývali čísla sudá. Naopak čísla, která se do dvou řad uspořádat nedala, byly lichá. Pro sudá a lichá čísla platí určité vlastnosti: sudé číslo + sudé číslo = sudé číslo ( = 20 ) sudé číslo + liché číslo = liché číslo ( = 19 ) liché číslo + liché číslo = sudé číslo ( = 18 )

5 Znaky dělitelnosti Někdy se vyskytne situace, ve které je potřeba rychle zjistit, zda je dané číslo dělitelné jiným číslem, čili zda dělení vyjde beze zbytku. Abyste nemuseli pokaždé dělit, můžeme využít určitých znaků dělitelnosti. Těmito znaky se nyní budeme zabývat. Jestliže máte rozhodnout zda číslo a je dělitelné číslem b, není nutné vždy provádět dělení a : b a zjišťovat, zda zbytek při tomto dělení je, či není roven nule. Nejlépe zřejmě poznáme číslo, které je dělitelné číslem 10. Pokud máte rozhodnout, které ze dvou čísel 3586, 5820 je dělitelné deseti, není jistě obtížné na první pohled určit, že číslo 3586 deseti dělitelné není, zatímco číslo 5820 deseti dělitelné je = = Je vidět, že v obou rozkladech jsou první tři sčítance dělitelné deseti, a o tom, zda číslo je, či není, rozhoduje pouze poslední sčítanec. Ten je vyjádřen na místě jednotek daného čísla. Znak dělitelnosti číslem deset Jestliže má dané číslo na místě jednotek číslici 0, pak je dělitelné deseti. Jestliže nemá dané číslo na místě jednotek číslici 0, pak není dělitelné deseti. Podobným způsobem, můžete odvodit znak dělitelnosti čísla 5 a čísla 2. Pokud máte rozhodnout, které ze dvou čísel 2656, 2655 je dělitelné pěti, můžete postupovat obdobně jako v předchozím příkladě = =

6 V obou rozkladech jsou první tři sčítance dělitelné pěti (neboť čísla 1000, 100 i 10 jsou dělitelná pěti). Proto o tom, zda dané číslo je, či není dělitelné pěti, opět rozhoduje poslední sčítanec, vyjádřený poslední číslicí čísla. Znak dělitelnosti číslem pět Jestliže má dané číslo na místě jednotek číslici 0 nebo 5, pak je dělitelné pěti. Jestliže nemá dané číslo na místě jednotek ani číslici 0, ani číslici 5, pak není dělitelné pěti. U čísel 3746, 3747, 3478 a 3749 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem dvě = = = = V rozkladech čísel 3746 až 3749 jste zjistili, že dělitelné dvěma jsou ta, které končí na místě jednotky číslem 0, 2, 4, 6, 8. Znak dělitelnosti číslem dva Jestliže má dané číslo na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6 nebo 8, pak je dělitelné dvěma. Jestliže má dané číslo na místě jednotek některou z číslic 1, 3, 5, 7 nebo 9, pak není dělitelné dvěma. U čísel 1027 a 1048 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem čtyři. Mohli byste znovu postupně rozkládat číslo 1027 a 1048 násobky čísel 4 a zjistit, které z následujících čísel vyjde beze zbytku. Toto číslo by pak bylo násobkem čísla čtyři = ? 1048 =

7 Z předcházejícího rozkladu si však můžete všimnout, že u čísel 1000 a 100 vždy existuje přirozené číslo, které vynásobíte-li číslem 4 dá znovu číslo 1000 a 100. ( čísla 250 a 25 ) Při rozhodování dělitelnosti číslem čtyři se tedy budete rozhodovat podle posledního dvojčíslí daného čísla. Pokud je tedy poslední dvojčíslí dělitelné číslem čtyři, pak jste dospěli k řešení, že celé toto číslo je dělitelné čtyřmi ~ 27 : 4 = 6,75 není dělitelné 1048 ~ 48 : 4 = 12 je dělitelné Znak dělitelnosti číslem čtyři Jestliže je poslední dvojčíslí daného čísla dělitelné čtyřmi, pak je i dané číslo dělitelné čtyřmi. Jestliže není poslední dvojčíslí daného čísla dělitelné čtyřmi, pak není ani dané číslo dělitelné čtyřmi. U čísel 1567 a 1824 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem osm. Postup bude podobný, jako v předcházejícím případě. Znovu byste mohli obě čísla rozložit na násobky čísel 8 a zjistit, které z následujících čísel vyjde beze zbytku = ? + 8? 1824 = Z rozkladu je však patrné, že u čísla 1000 vždy existuje přirozené číslo, které vynásobíte-li číslem osm dostanete znovu číslo ( číslo 125 ) U čísel 100 a 10 již takové přirozené číslo neexistuje. Při rozhodování dělitelnosti číslem osm se tedy budete rozhodovat podle posledního trojčíslí daného čísla. Je-li poslední trojčíslí daného čísla dělitelné číslem osm, pak je i celé číslo dělitelné číslem osm.

8 1567 ~ 567 : 8 = 70,87 není dělitelné 1824 ~ 824 : 8 = 103 je dělitelné Znak dělitelnosti číslem osm Jestliže je poslední trojčíslí daného čísla dělitelné osmi, pak je i dané číslo dělitelné osmi. Jestliže není poslední trojčíslí daného čísla dělitelné osmi, pak není ani dané číslo dělitelné osmi. Pomocí dělení rozhodneme, zda čísla a jsou dělitelná devíti : 9 = : 9 = 2864,5 Číslo tedy je dělitelné devíti, zatímco číslo devíti dělitelné není. Nyní odvodíme znak dělitelnosti devíti, abyste nemuseli vždy dělení provádět. Číslo nejprve rozepíšeme takto: = Čísla 1 000, nejsou dělitelná devíti, ale čísla 999, 99 a 9 devíti dělitelná jsou, proto čísla 1 000, 100 i 10 dávají při dělení devíti zbytek 1. Proto: číslo dává při dělení devíti zbytek 3 1 = 3 číslo dává při dělení devíti zbytek 7 1 = 7 číslo 5 10 dává při dělení devíti zbytek 5 1 = 5 číslo 3 dává při dělení zbytek 3 = 3 Jiný způsob: 3753 = = = 3 ( ) + 7 (99 + 1) + 5 (9 + 1) + 3 = = Součet všech průběžných zbytků je = 18 a to je číslo dělitelné devíti. Proto je devíti dělitelné i dané číslo Podobně byste postupovali i u čísla a zjistili byste, že toto číslo devíti dělitelné není.

9 Znak dělitelnosti číslem devět Jestliže je ciferný součet daného čísla dělitelný devíti, pak je i dané číslo dělitelné devíti. Jestliže není ciferný součet daného čísla dělitelný devíti, pak není ani dané číslo dělitelné devíti. U znaku dělitelnosti třemi můžete opět použít metodu rozkladu daného čísla na jeho násobky, nebo použít mnohem jednoduší způsob: sečíst všechny cifry daného čísla a zkoumat, jestli je součet dělitelný číslem tři. ( Číslo devět má dělitele 1, 3, 9. Protože číslo 3 je jedním z dělitelů čísla 9, můžeme postupovat při řešení stejně jako u znaku dělitelnosti číslem devět.) 215 = = 8 není dělitelné třemi 216 = = 9 je dělitelné třemi Znak dělitelnosti číslem tři Jestliže je ciferný součet daného čísla dělitelný třemi, pak je i dané číslo dělitelné třemi. Jestliže není ciferný součet daného čísla dělitelný třemi, pak není ani dané číslo dělitelné třemi. Pokud chcete zjistit, zda je dané číslo dělitelné číslem šest, musíte prokázat, že je též dělitelné číslem dvě a tři. Číslo šest má dělitele 1, 2, 3, 6, - jedničkou je jistě dělitelné každé číslo, musíme tedy ověřit zda je dané číslo dělitelné i ostatními číslicemi. Jistě postačí ověřit, zda je dané číslo dělitelné dvěmi a třemi současně. Pokud totiž takové číslo nalezneme, bude jistě dělitelné i šesti : 2 = : 3 = : 6 = 43 je dělitelné : 2 = 185,5 371 : 3 = 123,6 371 : 6 = 61,8 není dělitelné Znak dělitelnosti číslem šest Je-li dané číslo dělitelné současně dvěma a třemi, pak je dělitelné šesti. Není-li dané číslo dělitelné dvěma nebo třemi, pak není ani dělitelné šesti.

10 Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je takové číslo, které má právě dva dělitele jedničku a sebe sama. 7 = 1 7 Složené číslo je takové číslo, které má alespoň tři dělitele. 8 = 1 8, 2 4 Vezměte si přirozená čísla pěkně popořadě. Číslo jedna je dělitelné pouze jedničkou, a proto ji neřadíme ani mezi prvočísla ani mezi čísla složená. Číslo dvě je dělitelné číslem dvě a jedna, je to tedy prvočíslo. Mimochodem jediné sudé prvočíslo. Číslo tři je dělitelné číslem jedna a tři, je to tedy prvočíslo. Číslo čtyři je dělitelné číslem jedna, dvě a čtyři - je to číslo složené. A takhle bychom mohli pokračovat pořád dál. Je třeba si uvědomit, že každé přirozené číslo větší než jedna je dělitelné alespoň jedním prvočíslem - v nejhorším je číslo samo prvočíslem. Víte, kolik je prvočísel do 100? Přesně 25. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Př. Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení 3 zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Beze zbytku je dělitelné pouze 1 a 13. Proto je 13 prvočíslo.číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 proto není prvočíslem. Nyní bychom Vám mohl položit otázku: Víte kolik je prvočísel? Na tuto otázku byste odpověděli, že prvočísel je nekonečně mnoho. Toto tvrzení je dokonce dokázáno řeckým matematikem Eukleidem, který již ve 3. století př. n. l. provedl onen důkaz. Šel na to oklikou (důkaz sporem). Euklides nejprve předpokládal, že prvočísel je konečně mnoho, počet označme n, prvočísla pak p(1), p(2), p(n). A teď si všimněme čísla P = (p(1) * p(2) * p(3) * * p(n)) + 1. (2 3) + 1 = 7 (2 3 5) + 1 = 31 ( ) + 1 = 211 Je vidět, že takto utvořené číslo není dělitelné žádným prvočíslem, které je v součinu. Dělení vždy vychází se zbytkem jedna. Protože každé číslo s výjimkou jedničky je dělitelné alespoň jedním prvočíslem, musí být takto utvořené číslo prvočíslem. My však již žádné další prvočíslo nemáme, do součinu při tvoření čísla P jsme použili úplně všechna. To znamená, že prvočísel není konečně mnoho, ale je jich nekonečně mnoho. ( Mezi čísly n a 2n, kde n 2, existuje vždy alespoň jedno prvočíslo. Toto dokázal v roce 1850 Rus Čebyšev)

11 K čemu nám prvočísla vlastně jsou a proč jsou tak důležitá? Protože každé přirozené číslo je buď prvočíslem, nebo je můžete napsat jako součin konečného počtu prvočísel. Zkuste to: 2, 3, jsou prvočísla, 4 = 2 2, 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, nebo něco většího 42 = Když nějaké přirozené číslo takto zapíšete, mluvíte pak o rozkladu přirozeného čísla na součin prvočísel. Někdy se hovoří o rozkladu čísla na prvočinitele nebo o kanonickém rozkladu. Velký praktický význam mají prvočísla také v kryptografii. (Kryptografie neboli šifrování je nauka o metodách utajování smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí.) Eratosthenovo síto První systematickou metodu k nalezení prvočísel použil řecký matematik a astronom Eratosthenes, který žil přibližně v letech 275 až 195 př. n. l. Na voskovou tabulku si napsal čísla větší než 1 a menší než 100, první z čísel tak bylo číslo 2. Toto číslo v tabulce ponechal, vypálil však horkou jehlou v tabulce všechny následující násobky dvou. Dalším prvočíslem v tabulce bylo číslo 3. Toto prvočíslo opět ponechal, vypálil však všechny dosud nevypálené násobky tří. Dalším prvočíslem je číslo 5, znovu toto prvočíslo ponechal a opět vypálil všechny dosud nevypálené násobky pěti. Tímto postupem postupoval tak dlouho, až mu v tabulce zbyla samá prvočísla Protože tabulka byla dosti děravá a připomínala síto, nazývá se tato metoda nalézání prvočísel Eratosthenovo síto. Prvočíselná dvojčata Jsou to dvojice prvočísel, jejichž rozdíl je roven dvěma. Takovými dvojčaty jsou například prvočísla 3 a 5, nebo 101 a 103, nebo 179 a 181. Matematici si myslí, že prvočíselných dvojčat je nekonečně mnoho, ale zatím si jim to nepodařilo dokázat.

12 Společný dělitel, největší společný dělitel Společný dělitel Společný dělitel dvou nebo několika čísel je takové číslo, které dělí každé z těchto čísel beze zbytku. Pokud byste chtěli určit společné dělitele čísel 15 a 18, budete postupovat tak, že každé číslo rozepíšete na jeho dělitele: Číslo 15 má dělitele 1, 3, 5, 15 Číslo 18 má dělitele 1, 2, 3, 6, 9, 18 Jedině čísla 1 a 3 dělí zároveň číslo 15 i číslo 18. Takové dělitele nazýváme společné dělitele. Při řešení úloh není vždy nutné ani účelné vyhledávat všechny společné dělitele. Mnohdy stačí určit toho, který je z nich největší. Každý jiný společný dělitel je totiž jeho dělitelem. U některých skupin čísel umíte určit největšího společného dělitele zpaměti: Jestliže např. jedno z čísel zadané skupiny je dělitelem všech ostatních čísel, pak je toto číslo největším společným dělitelem celé skupiny. Tedy největším společným dělitelem dvojice 8 a 24 je číslo 8, trojice 12, 24 a 48 číslo 12. Při hledání největšího společného dělitele můžete vypsat všechny společné dělitele dané skupiny čísel a vybrat z nich největší číslo, využít můžete např. tabulku. Skupina čísel Společné dělitele Největší společný dělitel 8, 12 12, 30 28, 31 9, 12, 15 6, 10, 15 12, 15, 18 1, 2, 4 1, 2, 3, 6 1 1, 3 1 1,

13 Největší společný dělitel Největší společný dělitel skupiny čísel je takový společný dělitel těchto čísel, který je ze všech společných dělitelů největší. Každý jiný společný dělitel je jeho dělitelem. Největšího společného dělitele budeme označovat písmenem D. Budeme tedy zapisovat: D( 24, 54 ) = 6 (viz. obr.) Největší společný dělitel skupiny čísel je součin všech společných prvočinitelů vybraných z rozkladu jednotlivých čísel. Abyste zjistili, kolikrát se které prvočíslo bude v tomto rozkladu vyskytovat, určíte, kolikrát se vyskytuje v jednotlivých rozkladech. Z těchto počtů vyberete nejmenší a tolikrát toto prvočíslo zahrneme do výsledného součinu. Pokud se stane, že daná skupina čísel žádného společného prvočinitele nemá, je největším společným dělitelem takových čísel číslo 1.

14 Čísla soudělná a nesoudělná V předchozí kapitole jste si mohli všimnout, že existují skupiny čísel, jejichž největší společný dělitel je roven číslu 1. Mezi takovéto dvojice či trojice čísel patří např. (3, 5), (7, 9), (8, 15), (5, 9, 13), (2, 5, 21). Čísla nesoudělná Je-li největší společný dělitel skupiny čísel roven 1, říkáme, že tato čísla jsou nesoudělná. Nesoudělná čísla jsou např. čísla 15 a 16 čísla 23 a 27 čísla 6, 10 a 15 Čísla soudělná Je-li největší společný dělitel skupiny čísel větší než 1, říkáme, že tato čísla jsou soudělná. Například čísla 6 a 8 jsou soudělná, neboť jejich největším společným dělitelem je číslo 2. Máte-li ověřit, že daná čísla jsou soudělná, musíme hledat jejich největšího společného dělitele. Stačí, když najdete jednoho společného dělitele, který je větší než 1. Soudělná čísla jsou např. čísla 8 a 14 (společný dělitel 2) čísla 45 a 75 (společný dělitel 5) čísla 33, 66, a 77 (společný dělitel 11)

15 Společný násobek, nejmenší společný násobek Násobky čísla 2: Násobky čísla 3: Čísla 6, 12 a 18 se nazývají společné násobky čísel 2 a 3. Společný násobek Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto čísel. Jistě není obtížné určit zpaměti několik dalších společných násobků čísel 4 a 6. Jsou to čísla 48, 60, 72, 84, (je jich nekonečno mnoho). Tak jako není nutné obvykle vyhledávat všechny společné dělitele dané skupiny čísel, nebývá vždy nutné určovat více společných násobků. Velmi důležité je umět určit takový násobek, který je ze všech společných násobků nejmenší říkáme mu nejmenší společný násobek. každý jiný společný násobek daných čísel je totiž jeho násobkem. U některých skupin čísel lze nejmenší společný násobek určit zpaměti. Jestliže je například jedno z čísel dané skupiny násobkem všech ostatních, pak je toto číslo nejmenším společným násobkem této skupiny. Tedy nejmenším společným násobkem dvojice 8, 24 je číslo 24, trojice 12, 24, 48 číslo 48. U některých dvojic čísel je nejmenším společným násobkem součin těchto čísel: u čísel 3 a 27 číslo 21, u čísel 8 a 9 číslo 72. U jiných dvojic čísel je nejmenší společný násobek menší než jejich součin: u čísel 3 a 6 je to číslo 6, u čísla 6 a 10 je to číslo 30. U nesoudělných čísel je nejmenším společným násobkem jejich součin. U soudělných čísel je nejmenší společný násobek menší než jejich součin.

16 U větších čísel např. 48 a 150 můžete postupovat jinak. Čísla rozložíte na součin prvočísel. Napíšete rozklady tak, aby stejná prvočísla byla pod sebou. Jeden z rozkladů doplníte prvočísly, která jsou navíc ve druhém rozkladu. Součin těchto prvočísel je hledaný nejmenší společný násobek. 48 = = n (48, 150) = n (48, 150) = = 1200 Nejmenší společný násobek Nejmenší společný násobek těchto čísel je ten společný násobek těchto čísel, který je ze všech společných násobků nejmenší. Každý jiný společný násobek je jeho násobkem. Nejmenší společný násobek budete značit písmenem n. Stručně budete zapisovat: n ( 24, 162 ) = 648 (viz. obr. ), n (3, 7) = 21, n (2, 3, 4) = 12 Nejmenší společný násobek skupiny čísel je součin prvočinitelů vybraných z rozkladů jednotlivých čísel.

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

DĚLITEL A NÁSOBEK DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL VY_32_INOVACE_TR_01-20_MA-6. autor Hana Trundová. vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Základní škola, Šlapanice, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Masarykovo nám. 1594/16, 664 51 Šlapanice www.zsslapanice.cz MODERNÍ A KONKURENCESCHOPNÁ ŠKOLA reg. č.: CZ.1.07/1.4.00/21.2389 DĚLITEL

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Prvočísla, dělitelnost

Prvočísla, dělitelnost Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2013 verze: 2014-11-03 11:28 Obsah přednášky

Více

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30.

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30. ARNP 1 2015 Př. 9 Společný dělitel a společný násobek Společný dělitel Příklad 1: Najděte množinu všech dělitelů čísla 18 a množinu všech dělitelů čísla 30. Řešení: Množina všech dělitelů čísla 18 je množina

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Základní jednotky používané ve výpočetní technice Základní jednotky používané ve výpočetní technice Nejmenší jednotkou informace je bit [b], který může nabývat pouze dvou hodnot 1/0 (ano/ne, true/false). Tato jednotka není dostatečná pro praktické použití,

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15 Manuál č. 15 NÁZEV HODINY/TÉMA: OPERACE S REÁLNÝMI ČÍSLY Časová jednotka (vyuč.hod.): 1h (45min.) Vyučovací předmět: Matematika Ročník: první Obor vzdělání: 3letý Použité metody: Hra s čísly, Práce s textem,

Více

Důkazové metody v teorii čísel

Důkazové metody v teorii čísel Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL VY_32_INOVACE_M_186 OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL Autor: Mgr. Irena Štěpánová Použití: 3. třída Datum vypracování: 29. 9. 2012 Datum

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

1 Teorie čísel. Základní informace

1 Teorie čísel. Základní informace 1 Teorie čísel Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními termíny z teorie čísel, seznámí se s pojmy faktorizace, dělitelnost, nejmenší společný násobek. Dále se seznámí

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10 .. Číselné soustavy I Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato a následující hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti

Více

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1.2.3 Racionální čísla I

1.2.3 Racionální čísla I .2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı

Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Milí rodiče a prarodiče,

Milí rodiče a prarodiče, Milí rodiče a prarodiče, chcete pomoci svým dětem, aby se jim dobře počítalo se zlomky? Procvičujte s nimi. Tento text je pokračováním publikace Mami, tati, já těm zlomkům nerozumím. stupeň ZŠ, ve které

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: MATEMATIKA Ročník: 4. Časová dotace: 4 hodiny týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Provádí písemné početní operace Zaokrouhluje přirozená čísla, provádí odhady a kontroluje

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA

2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA 2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA Zkusme nejprve vymyslet vlastní nepoziční soustavu třeba vajíčkovou : v kuchařských receptech se obvykle počítají vajíčka na kusy, při

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Projekt: Registrační číslo projektu: Každý máme

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

2. Dělitelnost přirozených čísel

2. Dělitelnost přirozených čísel 2. Dělitelnost přirozených čísel 6. ročník - 2. Dělitelnost přirozených čísel Číslo 4 756 můžeme rozložit 4 756 = 4. 1 000 + 7. 100 + 5. 10 + 6 Obdobně : čtyřciferné číslo můžeme zapsat ve tvaru a bcd

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Číselné množiny Vypracovala: Mgr. Iva Hálková

Číselné množiny Vypracovala: Mgr. Iva Hálková Číselné množiny Vypracovala: Mgr. Iva Hálková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Řešení druhé série (19.3.2009)

Řešení druhé série (19.3.2009) Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení druhé série (19.3.2009) Úlohy z varianty 16, ročník 2007 25. Hlavní myšlenka: efektivní převádění ze zlomku

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků METODICKÝ LIST DA Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky smíšené číslo, složené zlomky a převod na desetinná čísla Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

VY_42_INOVACE_MA3_01-36

VY_42_INOVACE_MA3_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity VY_42_INOVACE_MA3_01-36 Inovace a zkvalitnění

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: VY_32_INOVACE_HRAVĚ12 Soutěž přirozená a desetinná čísla, zlomky, dělitel

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 4. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace využívá při pamětném a písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky 4. ročník OPAKOVÁNÍ UČIVA 3. ROČNÍKU Rozvíjí dovednosti s danými

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Matematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina

Matematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina - Prima Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence občanská Kompetence sociální a personální Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo

Více

{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301

{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301 1.3.2 Množina všech dělitelů Předpoklady: 010301 Pedagogická poznámka: Na začátku si rozebereme řadu z poslední Odpočítávané. Na způsob jejího generování většinou nikdo nepřijde a proto ji dostanou žáci

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více