ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09. stanovsk@karlin.mff.cuni.cz"

Transkript

1 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 DAVID STANOVSKÝ Toto jsou provizorní skripta k úvodnímu kurzu obecné algebry, a to jak pro studenty učitelství a finanční matematiky(skripta obsah přednášky přesahují), tak pro studenty informační bezpečnosti. Mohou sloužit jako pomůcka k zápiskům z přednášky, těžko však lze čekat, že student látku pochopí pouze četbou tohoto textu. Sekce označené* nejsou nezbytně nutné k pochopení základů algebry, ale vhodně dokreslují probíranou problematiku, zpravidla ve dvou směrech: buď ukazují aplikace dokázaných výsledků(např. Lineární diferenční rovnice, Burnsideova věta, Konstrukce pravítkem a kružítkem), nebo prohlubují probíranou teorii(např. Klasifikace konečných abelovských grup a konečných těles). Vzniku tohoto textu výrazně napomohli studenti Anna Bernáthová, Andrew Kozlík a Ivan Štubňa, kteří pomohli přepisovat zápisky z přednášek do elektronické formy, za což jim jsme všichni vděčni. Poděkování patří i studentům, kteří mě upozornili na řadu drobných chyb. Date: 11. února

2 2 DAVID STANOVSKÝ Obrázek 1. Al-Chorezmí: Hisáb al-džabr wa-l-muqábala

3 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 3 Úvod 1. Ekvivalence a uspořádané množiny Cíl. Připomeneme pojmy ekvivalence a uspořádání, které by měly být známy z úvodních matematických kurzů. Relací ρ na množině X rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu X X;tedyprvkyrelace ρjsouněkterédvojiceprvkůmnožiny X.Místo(a,b) ρ píšemečasto aρb,zejménapokudrelacioznačímesymbolemtypu, apod.na relace je užitečné nahlížet jako na orientované grafy. Definice. Relaci na množině X nazýváme ekvivalence, pokud je (1)reflexivní,tj. x xprovšechna x X, (2)tranzitivní,tj. x ya y zimplikuje x z, (3) asymetrická,tj. x yimplikuje y x. Blokem(nebo třídou) ekvivalence příslušnou prvku x X rozumíme množinu [x] = {y X: x y}. Prodaná x,yjsoupříslušnéblokybuďstejné(pokud x y),nebodisjunktní;tvoří tedy rozklad množiny X. Množinu všech bloků ekvivalence značíme X/, tj. X/ ={[x] : x X}. Naopak,každémudisjunktnímurozkladu X= B B Bpříslušíekvivalencedefinovanápředpisem x y x,yležívestejnémbloku. Příklad. Na množině přirozených čísel N zavedeme relaci definovanou předpisem a b a+bjesudéčíslo.jetoekvivalencesdvěmabloky:jedenblok je tvořen sudými čísly, druhý lichými. Na množině všech přímek v rovině zavedeme relaci definovanou předpisem p 1 p 2 přímky p 1 a p 2 jsourovnoběžné.blok[p] obsahujeprávě všechny přímky rovnoběžné s p. Na množině všech trojúhelníků v rovině zavedeme relaci definovanou předpisem T 1 T 2 trojúhelníky T 1 a T 2 jsoushodné.blok[t] obsahuje právě všechny trojúhelníky shodné s T. Na množině vrcholů daného grafu zavedeme relaci definovanou předpisem x y existujecestazxdo y.blokytétoekvivalencejsoukomponenty souvislosti daného grafu. Definice. Relaci na množině X nazýváme částečné uspořádání, pokud je (1)reflexivní,tj. x xprovšechna x X, (2)tranzitivní,tj. x ya y zimplikuje x z, (3) aantisymetrická,tj. x ya y ximplikuje x=y.

4 4 DAVID STANOVSKÝ Alternativně říkáme, že(x, ) je uspořádaná množina. Uspořádání se nazývá lineární,pokudnavícprokaždé x,ynastane x ynebo y x.intervalemrozumíme množinu [a,b]={x X: a x b}. Pokud x yax y,píšeme x < y. Příklad. Namnožiněpřirozenýchčíseluvažujmeobvykléuspořádání1 <2<3<...; uspořádaná množina(n, ) je lineární. Na množině přirozených čísel uvažujme uspořádání dělitelnosti, tj. a je menšínež bpokud a b ;uspořádanámnožina(n, )nenílineární:např. čísla 2, 3 jsou neporovnatelné. Na množině P(X) všech podmnožin dané množiny X uvažujme uspořádání inkluzí,tj. Ajemenšínež Bpokud A B ;je-li X >1,pakuspořádaná množina(p(x), ) není lineární: např. dvě různé jednoprvkové množiny jsou neporovnatelné. Konečné uspořádané množiny se často zadávají pomocí tzv. Hasseova diagramu. Jde o graf relace, přičemž nekreslíme smyčky(reflexivita), vynecháváme všechny hrany, jejichž existence je zaručena tranzitivitou, a místo šipek kreslíme neorientovanéhranytak,abyvětšíprvkybylyvýše.např. A= B= Definice. Řekneme,žeprvek a Xjev(X, ) Příklad. největší,pokudprokaždé b Xplatí b a; nejmenší,pokudprokaždé b Xplatí b a; maximální,pokudneexistuježádné b Xtakové,že b > a; minimální,pokudneexistuježádné b Xtakové,že b < a. Uspořádaná množina A má jeden největší prvek, jeden maximální(ten samý), žádný nejmenší a dva minimální prvky. Uspořádaná množina B má jeden největší(a zároveň maximální) a jeden nejmenší(a zároveň minimální) prvek. Je to lineární uspořádání. Uspořádaná množina(n, ) má nejmenší prvek 1, ale žádný maximální prvek. Uspořádaná množina(n, ) přirozených čísel s relací dělitelnosti má nejmenšíprvek1,aležádnýmaximálníprvek.uspořádanámnožina(n {1}, ) má za minimální prvky právě všechna prvočísla. Definice. Nechť Y X.Řekneme,žeprvek a Xjev(X, ) hornímezmnožiny Y,pokud a yprokaždýprvek y Y; supremum množiny Y,pokudtojenejmenšíhornímez Y;značíse a= sup Y. dolnímezmnožiny Y,pokud a yprokaždýprvek y Y; infimummnožiny Y,pokudtojenejvětšídolnímez Y;značíse a=inf Y.

5 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 5 Jinými slovy, supremum množiny Y je nejmenší prvek množiny X, který je větší nežvšechnyprvky Y.Podobně,infimummnožiny Y jenejvětšíprvekmnožiny X, kterýjemenšínežvšechnyprvky Y. Příklad. V uspořádané množině A podmnožina sestávající z obou minimálních prvků nemá supremum ani infimum. Infimum proto, že nemá ani žádnou dolní mez.hornímezesicetatopodmnožinamátři,avšakžádnáznichnení nejmenší. V uspořádané množině B má každá neprázdná podmnožina supremum i infimum. Obecně, v každé lineárně uspořádané množině má každá neprázdná konečnápodmnožinasupremumiinfimum,přičemžsupy=max Y,inf Y= min Y.Pozor,pronekonečnétoobecněnefunguje:např.v(N, )neexistuje sup N. Vuspořádanémnožině(P(X), )mákaždápodmnožinainfimumisupremum,přičemžinf Y jerovnoprůnikuvšechmnožinzy asupy jerovno sjednocenívšechmnožinzy. Vuspořádanémnožině(N, )mákaždákonečnápodmnožinainfimumi supremum.přitominf YjerovnoNSDvšechčíselzYasupYjerovnoNSN všech čísel z Y. Na druhou stranu, např. sup{p: p prvočíslo} neexistuje. Uvědomtesi,žesup jerovnonejmenšímuprvku,pokudtakovýv(x, )existuje; podobně, inf je rovno největšímu prvku, pokud takový existuje. Definice. Svazem nazýváme každou uspořádanou množinu, ve které existují suprema a infima všech dvouprvkových podmnožin(pak také zřejmě existují suprema a infima všech neprázdných konečných podmnožin). Úplným svazem nazýváme každou uspořádanou množinu, ve které existují suprema a infima všech podmnožin. Ve svazu obvykle značíme zkráceně a b=sup{a,b} symboly, čtemejakospojeníaprůsek. a a b=inf{a,b}, Tedyvúplnémsvazuexistujenejmenšíinejvětšíprvek(sup ainf ). Příklad. Uspořádaná množina A není svaz. Lineárněuspořádánámnožinajevždysvaz: a b=max(a,b), a b= min(a,b).tedy(n, )jesvaz,aleneníúplný:např.sup Nneexistuje. (N { }, )jeúplnýsvaz. (P(X), )jeúplnýsvaz: A B= A B, A B= A B. (N, )je(neúplný)svaz: a b=nsn(a,b), a b=nsd(a,b). Definici úplného svazu lze zjednodušit: stačí předpokládat existenci buď suprem, nebo infim. Tvrzení 1.1. Uspořádaná množina, ve které existují infima všech podmnožin, je úplný svaz. Důkaz. Označme danou uspořádanou množinu(x, ). Stačí si uvědomit, že supy=inf{a X: a yprokaždé y Y }, tedy že suprema lze definovat pomocí infim.

6 6 DAVID STANOVSKÝ (Analogicky lze předpokládat pouze existenci suprem.) Na závěr úvodní kapitoly zformulujeme jedno pozorování o konečných množinách, které nijak nesouvisí s uspořádánými množinami, avšak bude se nám v budoucnu párkrát hodit. Lemma1.2.Buď f: X Yzobrazenímezistejněvelkýmikonečnýmimnožinami. Je-li f prosté, pak je bijektivní. Důkaz.Nechť n= X = Y.Každémuznprvkůmnožiny Xpřiřadí f nějakou hodnotu, přičemž tyto hodnoty jsou navzájem různé; obor hodnot zobrazení f tedy musímít nprvků.takžetomusíbýtcelé Y.

7 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 7 Dělitelnost v oborech integrity 2. Elementární teorie čísel Cíl. Nejprve stručně nastíníme, jak se formálně definují přirozenáčísla,ahnedpotésepustímedozákladníchpoznatkůodělitelnosti: existence a jednoznačnost rozkladu na prvočísla(základní věta aritmetiky); Eukleidův algoritmus a Bézoutova rovnost; Čínská věta o zbytcích; Eulerova funkce a Eulerova věta. Naučíme se pracovat s šikovným značením pomocí kongruencí (mod n) Přirozená čísla. Přirozenýmičíslyintuitivněrozumímemnožinu N={1,2,3,4,...}.Formálně vzato však tento zápis nedává valný smysl: nekonečnou množinu přece nemůžeme definovat výčtem prvků! V tomto odstavci nastíníme, jak lze přirozená čísla zavést formálně. Protože však u čtenáře nepředpokládáme žádnou znalost matematické logiky, nebudeme se pouštět do detailů a některé pojmy z logiky budeme používat bez dalšího vysvětlení na intuitivní úrovni. Z jistých důvodů se v logice zavádějí přirozená čísla i s nulou, čehož se v tomto odstavci přidržíme. Jeden ze způsobů, jak přirozená čísla zavést, je zformulovat sadu axiomů, z nichž se budou všechna tvrzení o přirozených číslech dokazovat. Standardním přístupem je tzv. Peanova axiomatika. Přirozená čísla s nulou zavedeme jako teorii, v níž máme konstantu 0, unární funkční symbol s a následující axiomy: (1) prokaždé aexistujeprávějedno btakové,že s(a)=b; (2) prokaždé aje s(a) 0; (3) prokaždé a bplatí s(a) s(b); (4) je-li V vlastnost taková že (a) 0mávlastnost V; (b)prokaždé aplatínásledující:jestližemá avlastnost V,pak s(a)má takévlastnost V; pakmákaždé avlastnost V. Interpretacesymbolu sjetaková,že číslu přiřadí čísloojednavětší.první třiaxiomyříkají,že sjeprostáfunkce,vjejímžoboruhodnotnení0.poslednímu axiomu se říká matematická indukce. Na základě těchto axiomů můžeme induktivně definovat standardní operace: sčítánípředpisy a+0=aaa+s(b)=s(a+b)(tj.umíme-lispočítat a+b,definujeme najehozákladě a+s(b)),násobenípředpisy a 0=0aa s(b)=a b+a,atd. Uspořádánídefinujemepředpisem a b c a+c=bapodobnělzepostupovat pro další známé pojmy a vlastnosti. Z Peanových axiomů lze logicky odvodit všechna tvrzení o přirozených číslech, na která si vzpomenete i když zpravidla nejde vůbec o jednoduchou práci(zkuste např. dokázat, že sčítání je komutativní!). Přesto má tato metoda své limity: slavná

8 8 DAVID STANOVSKÝ Gödelova věta o neúplnosti říká, že existují tvrzení, jež z těchto axiomů nelze dokázatanivyvrátit.aještěhůře:dokonceneexistuježádná hezká sadaaxiomů, která by tuto nepříjemnou vlastnost neměla. Naštěstí se ukazuje, že taková tvrzení jsou dosti obskurní, Gödelovou větou se tedy nemusíme příliš trápit. Druhým přístupem, který uvedeme, je vybudování modelu přirozených čísel(s nulou) v rámci nějaké dobře známé teorie, např. teorie množin. Standardním modelem v teorii množin jsou tzv. von Neumannova čísla, definovaná jako nejmenší množina ω splňující (1) ω; (2) jestliže A ω,pak A {A} ω. Tedy ω obsahuje postupně množiny, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}},... Tímtozpůsobemmůžemedefinovatčíslovky0=,1={ },2={, { }}atd. Všimnětesi,ževtomtoznačeníje1={0},2={0,1},3={0,1,2},atd.Pokud iterpretujemesymbol sjako s(a)=a {A},provonNeumannovačíslabudou platit Peanovy axiomy. Na závěr stručně uvedeme, jak se formálně zavádějí ostatní číselné obory. Celá čísla lze definovat jako sjednocení čísel kladných, záporných a nuly, přičemž záporným číslem rozumíme formální zápis a, kde a je přirozené číslo; operace se definují zřejmým způsobem. Celá čísla s operacemi sčítání, odčítání a násobení tvoří strukturu, které se říká obor integrity. Racionální čísla se pak definují jako podílové těleso tohoto oboru(viz Tvrzení 8.1). Způsobů, jak formálně zavést čísla reálná je celá řada, jeden příklad za všechny: jde o tzv. zúplnění uspořádaného tělesa racionálních čísel doplníme suprema a infima všech omezených podmožin a pomocí limit na ně přeneseme operace(detaily konstrukce patří spíše do topologie). Na komplexní čísla pak lze nahlížet jako na algebraický uzávěr čísel reálných(viz Věta 26.4) Základní věta aritmetiky. V tomto odstavci zopakujeme znalosti, které byste měli mít ze střední školy, přičemž doplníme některé důkazy. Tato fakta byla známa již starořeckým matematikům a v moderní podobě byly formulovány Carlem Friedrichem Gaussem v jeho slavné knize Disquisitiones Arithmeticae z roku 1801, která položila základ moderní teorie čísel. Čísly budeme nadále rozumět přirozená čísla. Jak známo, pro každou dvojici čísel a,bexistujeprávějednadvojicečísel q,r,kde r {0,...,b 1},splňujícívztah a=q b+r. Číslo qsenazýváceločíselnýpodíl čísel a,b,značíse adiv b,ačíslo rsenazývá zbytekpodělení,značíse amod b. Řekneme,žečíslo bdělí číslo a,píšeme b a,pokudexistuječíslo qsplňující a=b q(tj.pokudjezbytek r=0).prokaždé aplatí1 aaa a;titodělitelé se nazývají nevlastní. Číslo p 1, které má pouze nevlastní dělitele, se nazývá prvočíslo; ostatní čísla se nazývají složená. Zcela základním poznatkem teorie čísel je fakt, že každé číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Věta 2.1 (Základní věta aritmetiky). Pro každé přirozené číslo a 1 existují různáprvočísla p 1,p 2,...,p n apřirozenáčísla k 1,k 2,...,k n splňující a=p k1 1 pk pkn n

9 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 9 (tomuto vyjádření se říká prvočíselný rozklad). Tento zápis je jednoznačný až na pořadí činitelů. Přiznejmesivšaknatomtomístě:kdoznásumítakovou samozřejmost,jakou je existence a jednoznačnost prvočíselného rozkladu, dokázat? Tedy existenci rozkladu lze dokázat poměrně snadno indukcí: je-li a prvočíslo, rozklad zřejmě existuje; budeme tedy předpokládat, že a je složené a že rozklad existujeprovšechnamenšíčísla.napíšeme a=b cpronějaká1 < b,c < a.podle indukčního předpokladu existuje prvočíselný rozklad jak pro b, tak pro c. Jejich složením získáme rozklad čísla a. S jednoznačností je to však složitější. Největšíspolečnýdělitel čísel aabjenejvětšíčíslo csplňujícízároveň c aa c b.totočísloznačímensd(a,b);všimnětesi,žejdeoinfimummnožiny {a,b} vesvazu(n, ).Podobně,nejmenšíspolečnýnásobekčísel aabjenejmenšíčíslo c splňujícízároveň a cab c.totočísloznačímensn(a,b)ajdeosupremumv tomto svazu. Zřejmě a b NSN(a,b)= NSD(a,b). Na výpočet NSD používáme známý Eukleidův algoritmus, kterému se budeme blíže věnovat v sekci o Eukleidovských oborech(viz Sekce 6). Ten funguje následujícím způsobem: začneme s danými dvěma čísly a budujeme posloupnost tak, že vždy vezmeme zbytek po dělení předposledního čísla posledním. Odpovědí je poslední nenulová hodnota. Např. pro NSD(168, 396) dostáváme posloupnost 396, 168, 60,48,12,0,atedyNSD(168,396)=12.Správnostalgoritmuplyneznásledujícího pozorování: Lemma 2.2. Pro libovolná přirozená čísla a, b platí Důkaz. Zopakujme, že NSD(a,b)=NSD(amod b,b). a=b (adiv b)+(amod b). Tedydanéčíslo cdělíoběčísla a,bprávětehdy,když cdělíoběčísla amod b,b. Protože tyto dvě dvojice mají stejné společné dělitele, mají stejného i toho největšího. Pomocí Eukleidova algoritmu lze dokázat také následující větu: Věta 2.3(Bézoutova rovnost). Pro každou dvojici přirozených čísel a, b existují celá čísla u, v splňující NSD(a,b)=u a+v b. Formální důkaz této věty provedeme v obecnějším prostředí pro Eukleidovské obory, viz Věta 6.1. Princip je však snadný: zbytek po dělení lze vyjádřit jako lineárníkombinaceoboudělenýchčísel,neboť amod b=1 a (adiv b) b,atedy ve vznikající posloupnosti budou samé lineární kombinace původních čísel. Vše je dobře vidět z následujícího příkladu: Příklad.ProNSD(168,396)dostávámeposloupnost396= ,168= ,60 = ,48 = = , 12=60 48= TedyNSD(168,396)=

10 10 DAVID STANOVSKÝ Druhou možností jak počítat NSD je pomocí(jednoznačných) prvočíselných rozkladů:protože168= a396= ,mámeNSD(168,396)=2 2 3=12. Problém je, že kdybychom neměli jednoznačnost rozkladů, kdyby se např. číslo 396 rozkládalo na součin úplně jiných prvočísel než 2, 3, 11, dostali bychom z jiného rozkladu jiný NSD, což je absurdní. Tím se dostáváme zpět k původní úloze, totiž k důkazu Základní věty aritmetiky. Jeho důsledkem je, že uvedená metoda výpočtu NSD funguje.(skutečným protipříkladem na tuto metodu je např. následující situacevoboru Z[ 5]:4=2 2=( 5 1)( 5+1).Zprvníhorozkladubychom vydedukovalinsd(2,4)=2,zdruhéhonsd(2,4)=1.detailyvizsekce7.) Pomocí Bézoutovy rovnosti dokážeme jedno pomocné tvrzeníčko.(opět, kdybychom měli v ruce jednoznačnost prvočíselných rozkladů, bylo by tvrzení očividné.) Lemma2.4. Buď pprvočísloaa,b N.Platí-li p a b,pak p anebo p b. Důkaz.Předpokládejme,že p a.paknsd(a,p)=1,protožeje pprvočíslo,atedy podlevěty2.3existujíčísla u,vsplňující au+pv=1.vynásobenímoboustran rovnostičíslem bdostaneme abu+pvb=b.jelikož pdělíobasčítancenalevéstraně, dělíib. Indukcí snadno odvodíme následující důsledek: Lemma2.5. Buď pprvočísloaa 1,...,a n N.Platí-li p a 1... a n,pak p a i pro alespoň jedno i. Nyní můžeme přistoupit k důkazu jednoznačnosti prvočíselných rozkladů. Buď a nejmenší číslo s nejednoznačným provčíselným rozkladem a uvažujme dva různé rozklady a=p k pkm m = q l qln n. Protože p 1 a=q l qln n,musíexistovat itakové,že p 1 q i.ovšem q i jeprvočíslo, tedy p 1 = q i.pakaleuvažujmečíslo b= a p 1 :tomátakédvarůznérozklady b=p k1 1 1 p k pkm m = q l qli 1 i... qn kn, alepřitom b < a,cožjesporsminimalitou a.věta2.1jedokázána. Důsledek 2.6. Existuje nekonečně mnoho prvočísel. Důkaz.Prosporpředpokládejme,žejichjejenkonečněmnohoaže p 1,...,p n je jejichseznam.uvažujmečíslo p 1 p 2... p n +1:tonenídělitelnéanijednímz prvočísel, přitom musí mít nějaký prvočíselný rozklad. Spor Kongruence. Zápis pomocí kongruencí, zavedený Gaussem ve zmiňované knize Disquisitiones Arithmeticae(1801), značně usnadňuje počítání modulo dané číslo. Definice. Pokud aabdávajístejnýzbytekpodělení m,tj.pokud m a b, budeme psát a b (mod m) (čteme ajekongruentnísbmodulo m). Uvědomtesi,žerelace býtikongruentnímodulo m jeekvivalence:jereflexivní, tj. a a(mod m),protože m a a;jesymetrická,protože m a b m b a;

11 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 11 a je tranzitivní, protože a b (mod m) m a b b c (mod m) m b c } m (a b)+(b c)=a c. Tedy znaménko kongruence je možné používat podobně jako rovnítko. Ukážeme si to na krátkém výpočtu(řešení je očividné, ale pro ilustraci jej podrobně rozepíšeme). Úloha. Spočtěte mod6. Řešení. Protože12 0,7 1a11 1(mod6),můžemepsát = = ( 1) 333 = 1 (mod6). Výsledek je tedy 5. Při výpočtu jsme použili několik jednoduchých vlastností kongruencí, které nyní zformulujeme a dokážeme. Tvrzení2.7. Nechť a b(mod m)ac d(mod m).pakplatí a+c b+d (mod m), a c b d (mod m), a c b d (mod m) aprokaždépřirozené kplatí a k b k (mod m). Důkaz.Podlepředpokladu m a bam c d.tedy m (a b)+(c d)= (a+c) (b+d)apodobněprooperaci.dále m (a b) cam (c d) b, atedy m (a b) c+(c d) b=ac bd.poslednítvrzenísesnadnodokážez předchozíhovzorceindukcí: a 2 = a a b b=b 2 (mod m), a 3 = a 2 a b 2 b=b 3 (mod m) atd. V kongruenci smíme krátit číslem, které je nesoudělné s modulem m. Naopak, jsou-li všechna tři čísla v kongruenci soudělná, celý výraz můžeme zjednodušit tím, že společný faktor vykrátíme na obou stranách i v modulu. Formálně tyto vlastnosti vyjadřuje následující tvrzení. Tvrzení2.8. Prokaždá a,b,c,mplatí (1) a b(mod m) ca cb(mod cm); (2)jsou-li c,mnesoudělná,pak a b(mod m) ca cb(mod m). Důkaz.(1)Tvrzeníříká,že m a b cm ca cb=c(a b),cožjezřejmé. (2)Protože m ca cb=c(a b)ačísla c,mjsounesoudělná,musíplatit m a b.opačnáimplikaceplyneztvrzení2.7. Úloha. Najdětevšechna xsplňujícía)6x 9(mod21),b)10x 5(mod21). Řešení. a) Užitím Tvrzení 2.8(1) dostaneme ekvivalentní podmínku 2x 3(mod 7), kterámáočividněřešení x=5+7k, k Z. b) Užitím Tvrzení 2.8(2) dostaneme ekvivalentní podmínku 2x 1(mod 21), kterámáočividněřešení x=11+21k, k Z.

12 12 DAVID STANOVSKÝ 2.4. Eulerova věta. Pro motivaci připomeňme úlohu uvedenou za definicí kongruence: řešení bylo snadnépředevšímproto,že12 0a77 1,přičemžtatočíslasesnadnomocní. Zamyslete se nad následující úlohou. Úloha. Zjistěteposlednícifručísla Řešení. Jinýmislovy,spočtěte mod10.můžemepsát (mod10). Nemáme-li však k dispozici lepší teorii, nezbývá, než zkoušet mocnit sedmičku. Záhy sivšimneme,žeseposlednícifryopakujísperiodou4,aprotože333mod4=1, dostáváme =7(mod10). To, že zbytky modulo dané číslo vykazují periodu jako v předchozí úloze, není náhoda, nýbrž pravidlo, které se nazývá Eulerova věta. Délku periody udává tzv. Eulerova funkce. Definice.Eulerovafunkce ϕ(n)značípro n >1početčíselvintervalu1,...,n 1 nesoudělných s číslem n. Např. ϕ(10) = 4,neboťsdesítkounesoudělnájsouprávěčísla1,3,7,9.Pro libovolné prvočíslo p platí ϕ(p) = p 1, protože nesoudělná jsou s ním právě všechna menší čísla. Výpočet Eulerovy funkce pouze z definice by byl pro větší než malá čísla poněkud pracný. Naštěstí existuje vzorec, pomocí něhož je snadné spočítat hodnotu ϕ(n), pokud známe prvočíselný rozklad čísla n. Tvrzení2.9. Je-li n=p k pkm m prvočíselný rozklad čísla n > 1, pak ϕ(n)=p k1 1 1 (p 1 1)... pm km 1 (p m 1). Příklad. ϕ(4056)=ϕ( )= =1248. Důkaz správnosti vzorce není úplně jednoduchý, necháme si jej na později. Teď se podíváme na samotnou Eulerovu větu. Věta 2.10(Eulerova věta). Jsou-li čísla a, m nesoudělná, pak a ϕ(m) 1 (mod m). K důkazu se nám bude hodit jedno pomocné lemma. Označme m = {k {1,...,m 1}:NSD(k,m)=1}. Eulerovufunkcipakmůžemezapsatjako ϕ(m)= m. Lemma2.11. Buď a,mnesoudělnáčíslaadefinujme Pakjezobrazení f a bijekce. f a : m m x axmod m. Důkaz.Předněvznikáotázka:jevůbec axmod mvždyprvek m?ovšemžeano: jsou-lioběčísla a, xnesoudělnásm,pakjesmnesoudělnéičíslo axatudížpodle Lemmatu2.2také axmod m. Dokážeme,žezobrazení f a jebijekce.protožejdeozobrazenínakonečnémnožině,stačídíkylemmatu1.2ověřitprostost.uvažujmetedy x,y m taková,že f a (x)=f a (y),tj. ax ay(mod m).podletvrzení2.8je x y(mod m),tedy xi ydávajístejnýzbytekpodělení m.ovšemoběčíslajsoumenšínež m,takžemusí být stejná.

13 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 13 DůkazEulerovyvěty.Uvažujmenásledujícívýpočet,kde f a jezobrazenídefinované v předchozím lemmatu: b = f a (b) = abmod m ab = a ϕ(m) (mod m). b m b m b m b m b m b První rovnost platí díky tomu, že v obou případech násobíme přes všechny prvky množiny m,pouzevrůznémpořadí.označíme-li c= b m b, právě jsme dokázali, že c = a ϕ(m) c (mod m). Číslo cjenesoudělnésm(protožejesoučinemčíselnesoudělnýchsm),takžejím můžemepodletvrzení2.8krátitadostáváme1 a ϕ(m) (mod m). Leonhard Euler publikoval tuto větu v roce Speciální případ pro m prvočíslo bývá připisován Pierre de Fermatovi(objevuje se v jednom z jeho dopisů z roku 1640), a někdy se nazývá Malá Fermatova věta. Důsledek2.12(MaláFermatovavěta). Je-li pprvočísloap a,pak a p 1 1 (mod p). Úloha. Zjistěteposlednícifručísla Řešení. PoužijemeEulerovuvětu:protože ϕ(10)=4ansd(77,10)=1,platí = (7 4 ) = 7 (mod10). (Z didaktických důvodů jsme vše detailně rozepsali, v praxi samozřejmě provedete většinuúvahzpamětiabudetepsátrovnou =7.) Úloha. Spočtěte8 76 mod21. Řešení. OpětpoužijemeEulerovuvětu:protože ϕ(21)=12ansd(8,21)=1,stačí zjistitzbytekpodělení7 6 číslem12.tedyřešímeúlohu7 6 mod12aještějednou použijemeeulerovuvětu:protože ϕ(12)=4ansd(7,12)=1,stačízjistitzbytek poděleníexponentu6číslem4,cožje2.tedy =49 1(mod12)a =8(mod21). Úloha. Řešte x 6 + x+xy 1(mod7) Řešení. Pokud7 x,pak7dělílevoustranu,atedy x 6 +x+xynedávázbytek1po dělení 7. Takže budeme předpokládat, že 7 nedělí x a použijeme malou Fermatovu větu,kteráříká,že x 6 1(mod7).Zadanárovnicejetakekvivalentnírovnici 1+x+xy 1(mod7),tj.7 x(y+1).protožepředpokládáme,že7 x,musí7 dělit y+1,tj. y 1(mod7).Řešenímjetedymnožina { (x,y):7 x, y 1 (mod7) }. Poznámka. Podle Lemmatu 2.11 pro každé a nesoudělné s m existuje právě jedno b {1,...,m 1}takové,že ab 1(mod m).toto blzepodleeulerovyvětyspočítatjako b=a ϕ(m) 1.Jiný,efektivnější,postupdáváEukleidůvalgoritmus:pokud zjistíme Bézoutovy koeficienty 1 = NSD(a, m) = ua+vm, odpovědí je očividně číslo

14 14 DAVID STANOVSKÝ u mod m. Toto pozorování nachází aplikaci např. při výpočtu inverzních prvků v tělese Z p,vizkapitolaotělesech Čínská věta o zbytcích. Čínská věta o zbytcích hovoří o řešeních soustav lineárních kongruencí. Byla známa již starověkým Číňanům(je uvedena v knize matematika Sun-c ze 4. století) aoněcomálopozdějiivestaréindii. Věta2.13(Čínskávětaozbytcích). Nechť m 1,...,m n jsoupodvounesoudělná přirozenáčísla,označme M= m 1... m n.pakprolibovolnáceláčísla u 1,...,u n existujeprávějedno x {0,...,M 1},kteréřešísoustavukongruencí x u 1 (mod m 1 ),..., x u n (mod m n ). Důkaz. Nejprve dokážeme jednoznačnost řešení. Předpokládejme, že soustava má dvěřešení x,y {0,...,M 1},tj.prokaždé iplatí Pakprokaždé i x y u i (mod m i ). m i x y aprotožejsoučísla m i navzájemnesoudělná,dostáváme M= m 1... m n x y. Ovšem x y < M(protože x,yvolímezintervalu0,...,m 1),takže x y=0, tj. x=y. Nyní dokážeme, že nějaké řešení vůbec existuje. Uvažujme zobrazení f: {0,...,M 1} {0,...,m 1 1} {0,...,m k 1} x (xmod m 1,...,xmod m k ). V předchozím odstavci jsme vlastně ukázali, že zobrazení f je prosté. Přitom definiční obor i obor hodnot této funkce mají stejnou velikost M(velikost kartézského součinu je součin velikostí činitelů), takže zobrazení f musí být podle Lemmatu 1.2ina.Tedykekaždé k-tici(u 1,...,u k )existujeprávějedno x,kterésenaněj zobrazuje; a to je hledané řešení soustavy. Důkaz věty bohužel vůbec nedává návod, jak řešení takové soustavy spočítat. Existují sice efektivní algoritmy, které řešení najdou, jsou ale poměrně složité a zde se jimi zabývat nebudeme. Zájemce odkazujeme na skripta z Počítačové algebry. Úloha. Najděte všechna řešení soustavy kongruencí x 1 (mod2), x 1 (mod3), x 2 (mod5). Řešení. Čínskávětaozbytcíchříká,žeexistujeprávějednořešení0 x<30.třetí kongruenci splňují čísla 2,7,12,17,22 a 27. Z první kongruence plyne, že hledané číslo jeliché,zbývajítedy7,17a27,znichžjedině17řešídruhoukongruenci.všechna řešenísoustavyjsoutedytvaru x=17+30k, k Z. Traduje se, že motivací Čínské věty o zbytcích věty byl způsob, jakým čínští generálové počítali své vojáky. Generál věděl, že před bitvou měl 1000 vojáků, a chtěl je spočítat po bitvě. Nechal je tedy řadit do trojstupů, čtyřstupů, atd., a zjišťoval, kolik mu jich zbyde mimo řady. Jinými slovy, zjistil, kolik je počet vojáků modulo3,modulo4,atd.zčínskévětyozbytcíchplyne,žepokudzvolildostatek

15 ZÁKLADY ALGEBRY 2008/09 15 nesoudělných čísel(součin > 1000), může jednoznačně určit celkový počet svých vojáků. Na závěr pomocí Čínské věty o zbytcích dokážeme vzorec na výpočet Eulerovy funkce, tj. vztah ϕ(p k pkm m)=p k1 1 1 (p 1 1)... pm km 1 Důkaz Tvrzení 2.9. Dokážeme následující dvě vlastnosti: (p m 1). (1) prokaždéprvočíslo pplatí ϕ(p k )=p k 1 (p 1); (2) prokaždádvěnesoudělnáčísla a,bplatí ϕ(ab)=ϕ(a) ϕ(b). Uvedený vzorec snadno plyne z těchto dvou tvrzení: číslo n rozložíme na součin m podvounesoudělnýchmocnin p ki i a dostaneme ϕ(n) (2) = ϕ(p k1 1 )... ϕ(pkm m) (1) = p k1 1 1 (p 1 1)... pm km 1 (p m 1). (1) V tomto speciálním případě je snadné spočítat soudělná čísla: jsou to právě čísla p,2p,3p,...,p k 1 p.vidíme,žejichje p k 1.Všechnazbyláčíslajsounesoudělná,takže ϕ(p k )=p k p k 1 = p k 1 (p 1). (2) Uvažujme zobrazení f: {0,...,ab 1} {0,...,a 1} {0,...,b 1} x (xmod a,xmod b). PodleČínskévětyozbytcíchje f bijekce.dáleuvažujmepouzerestrikci f na množinu(ab).tojeprostézobrazení,jehoždefiničníoborjemnožina(ab) velikosti ϕ(ab).stačítedydokázat,žejehooboremhodnotjemnožina a b pak,díky prostosti,bude ϕ(ab)= (ab) = a b = a b =ϕ(a) ϕ(b),cožchceme dokázat. Potřebujeme tedy ověřit, že (a) f zobrazuje množinu (ab) domnožiny a b, tj. žensd(x,ab) = 1 implikujensd(xmod a,a)=nsd(xmod b,b)=1; (b) f zobrazujemnožinu(ab) natutomnožinu,tj.žepokudnsd(u,a) = NSD(v,b)=1,paktojediné x,kterésezobrazujenadvojici(u,v),splňuje NSD(x,ab)=1. Prodůkaz(a)sistačíuvědomit,žeNSD(xmod a,a)=nsd(x,a),akdybytato číslabylasoudělná,tímspíšebybylasoudělnáčísla x,ab.podobněpro b. Prodůkaz(b)uvažujme(tojediné) xzobrazujícísena(u,v),tj. u=xmod a a v = xmod b.dosazenímza u,v plynensd(x,a) = NSD(xmod a,a) = 1a NSD(x,b)=NSD(xmod b,b)=1.kdybybylačísla x,absoudělná,pakbyexistovaloprvočíslo p,kterédělízároveň xiab,tedypodlelemmatu2.4by pdělilo a nebo b,atudížby x,anebo x,bbylysoudělné,spor. 3. Obory integrity Cíl. Zavedeme pojem oboru integrity, který abstraktně vymezuje prostředí, ve kterém lze studovat dělitelnost. Jako hlavní příklady představíme obor celých čísel a jeho rozšíření, a dále obory polynomů a formálních mocninných řad.

16 16 DAVID STANOVSKÝ 3.1. Definice oboru integrity. Celá čísla sdílí z hlediska dělitelnosti řadu vlastností s dalšími obory. Jak známo, dělitelnost lze studovat pro polynomy, ale také třeba pro různá rozšíření celých čísel (např. Gaussovská celá čísla, komplexní čísla s celočíselnými koeficienty) a další struktury. V různých oborech pak platí různě silná tvrzení: např. analogie Základní věty aritmetiky platí pro celočíselné i racionální polynomy i pro Gaussovská celá čísla.polynomynadtělesemigaussovskáčíslalzedělitsezbytkemaplatíproně Bézoutova rovnost, to ale není pravda např. pro celočíselné polynomy nebo pro polynomy více proměnných. A pro některá rozšíření Z neplatí ani Základní věta aritmetiky. V následujícíh čtyřech sekcích se budeme snažit udělat v uvedených vlastnostech a příkladech pořádek. Abychom mohli studovat všechny zmíněné obory naráz, zavádí se obecná struktura nazývaná obor integrity, jejíž axiomy vystihují základní aritmetické vlastnosti. Jde o stejný princip, který vedl v lineární algebře k abstraktnímu pojmu tělesa a vektorového prostoru. Definice. Komutativním okruhem s jednotkou R rozumíme množinu R, na které jsoudefinoványoperace+,, akonstanty0 1splňujícíprokaždé a,b,c R následující podmínky: a+(b+c)=(a+b)+c, a+b=b+a, a+0=a, a+( a)=0, a (b c)=(a b) c, a b=b a, a 1=a, Platí-li navíc podmínka nazýváme R obor integrity. Platí-li navíc podmínka a (b+c)=(a b)+(a c). pokud a,b 0,pak a b 0, prokaždé a 0existuje bsplňující a b=1, nazývámertěleso.značíme b=a 1. V zápise zpravidla vynecháváme závorky, násobení má vyšší prioritu než sčítání. Místo a+( b)píšeme a b. V matematice obecně je zvykem uvádět množinu axiomů tak krátkou, jak je to jen možné; spousta užitečných vlastností se tak do ní nevejde. Následující tvrzení ukazuje několik aritmetických pravidel, které z definice snadno plynou a v dalším textu je budeme zcela automaticky používat. Tvrzení3.1. BuďRoborintegrity, a,b,c R.Pak (1)pokud a+c=b+c,pak a=b; (2) a 0=0; (3) ( a)=a, (a+b)= a b; (4) (a b)=( a) b=a ( b), ( a) ( b)=ab. (5)pokud a c=b cac 0,pak a=b; Důkaz.(1) Je-li a+c = b+c, pak také(a+c)+( c) =(b+c)+( c). Použitím axiomů dostaneme(a+c)+( c)=a+(c+( c))=a+0=aapodobně(b+c)+( c)=b, tedy a=b.

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

PŘÍKLADY Z ALGEBRY. stanovsk@karlin.mff.cuni.cz

PŘÍKLADY Z ALGEBRY. stanovsk@karlin.mff.cuni.cz PŘÍKLADY Z ALGEBRY DAVID STANOVSKÝ stanovsk@karlin.mff.cuni.cz Motto: Není jiné rozumné výchovy než příkladem; když to nejde jinak, tak aspoň odstrašujícím. Albert Einstein Toto je pracovní verze sbírky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů. Diplomová práce

TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů. Diplomová práce Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta TEORIE ČÍSEL sbírka příkladů Diplomová práce Brno 2006 Jiří Růžička Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a použil přitom pouze uvedené

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8].

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže. kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q s jsou prvočísla a

Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže. kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q s jsou prvočísla a Přirozená čísla: 1, 2, 3,... = {1, 2, 3,... } Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže p α 1 1 pα 2 2 pα r r = q β 1 1 qβ 2 2 qβ s s, kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem Festival Fantazie, 2013. Štěpán Sem

Úvod RSA Aplikace, související témata RSA. Ing. Štěpán Sem <stepan.sem@gmail.com> Festival Fantazie, 2013. Štěpán Sem Ing. Festival Fantazie, 2013 Osnova 1 Základní pojmy Obtížnost Kryptografie 2 Základní princip Matematické souvislosti Historie 3 Vymezení pojmů Základní pojmy Obtížnost Kryptografie

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více