JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4"

Transkript

1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární. S : x + x = S : x + x = S 3 : x - x = 6x + 3x = 6x + 3x = 4 6x + 3x = 6 (A) S,S (B) S,S 3 (C) S,S 3 (D) všechny (E) žádná Regulární soustava se pozná tak, že hodnost její matice i hodnost její rozšířené matice je rovna počtu rovnic, kterých je ale stejně jako neznámých. Vzoreček vypadá takto: h(a) ) = h(a*) = počet rovnic = počet neznámých Toto když platí, je soustava regulární, a jinak ne. Připomínám, že hodnost se počítá tak, že se na danou matici použije Gaussova eliminace, tj. převedení úpravami na spodní trojúhelníkový tvar; a pak se spočítají nenulové řádky. Jak se dostaneme od soustavy k matici předvedu na zadaném příkladě. Jen si napřed řekneme tři důležitá pravidla přípravné fáze toho přechodu od soustavy k matici: ) Všechny členy v soustavě seřadíme podle písmenek abecedně nebo podle indexů. Např.: 3z - x + y = -x + y + 3z = ) Ve členech tvořených pouze písmenkem před to samotné písmenko dopíšeme jedničku - např.: -x + y + 3z = -x + y + 3z = 3) Když v nějaké rovnici chybí člen s nějakým písmenkem, doplníme místo něj nulový člen - bude tvořen nulou a tím písmenkem. Např.: -x + y + 3z = -x + y + 3z = 3x - z = 3x + y - z = Poznámka: Zadané soustavy jsou už téměř připravené, jenom na dvou místech chybí jednička.

2 S : x + x = x + x = 6x + 3x = 6x + 3x = Matici A soustavy dostaneme tak, že vynecháme písmenka, plusy a pravé strany včetně rovnítek = A Úpravy: 6 3 h(a) = Snad Vás nezmátl způsob zápisu úpravy matice, neznamená to, že odečítáme tři ix, nýbrž že odečítáme trojnásobek prvního řádku od řádku druhého. Rozšířenou matici A* soustavy (nejen) S uděláme tak, že v předpřipravené soustavě vynecháme pouze písmenka a plusy. (Sloupec pravých stran oddělujeme čárkovanou čárou.) = A* Úpravy: 6 3 h(a*) = h(a)... Soustava S není regulární. Soustava S nám dává pěknou možnost pochopit, co vlastně znamená regulární soustava, a co se děje, když soustava není regulární. A sice když ji zkusíme vyřešit postaru jako na základní škole: x + x = 6x + 3x = Druhou rovnici dělíme třemi, protože jsou vlevo soudělná čísla x + x = x + x = 3 Z toho plyne =, což není pravda, takže jsme dostali spor. To znamená, že soustava nemá žádné řešení. U podobné soustavy x x = 6x 3x =3 by vyšlo h(a) = h(a*) =, protože se vlastně jedná o dvě varianty jedné rovnice o dvou neznámých. Ani tato soustava není regulární a má nekonečně mnoho řešení. Ale zpět k příkladu: S : x + x = 6x + 3x = 4 A = h(a) =,

3 A* = h(a*) =, rovnic..., neznámých.... Takže tato soustava je regulární. S 3 : x - x = x - x = 6x + 3x = 4 6x + 3x = 4 A = A* = h(a) =, h(a*) =, rovnic..., neznámých.... S 3 je také regulární. Správně je (C): "S, S 3 ". A jak by vypadalo řešení takové regulární soustavy? S : x + x = 6x + 3x = 4-6x + -6x = -6 6x + 3x = 4 první rovnici vynásobíme mínus trojkou sečteme x - 3x = - -3x = - / :(-3) x = 3 Dosadíme do první rovnice: x = / : x + 3 = / - Řešení soustavy S : [ 4 3, 3 ]. x = = 4 3. Určete, kolik řešení má soustava čtyř rovnic o čtyřech neznámých x, x, x 3, x 4 vpravo x + x - 3x 3 + x 4 = x + x + x 3 - x 4 = 6 3x + x - 3x 3 + x 4 = 5 x - x - x 3 + 3x 4 = 4 (A) žádné (B) právě (C) právě (D) právě 4 (E) nekonečně mnoho Soustava má právě jedno řešení, když je regulární, tj. hodnost matice soustavy, hodnost rozšířené matice soustavy, počet rovnic v soustavě a počet neznámých je jedno a totéž číslo.

4 Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(a) = h(a*) < počet neznámých. Soustava nemá žádné řešení, pokud h(a) < h(a*). A nic jiného nenastane. Takže postup řešení je jako v prvním příkladu: x + x - 3x 3 + x 4 = x + x + x 3 - x 4 = 6 3x + x - 3x 3 + x 4 = 5 x - x - x 3 + 3x 4 = 4 x + x - 3x 3 + x 4 = x + x + x 3 - x 4 = 6 3x + x - 3x 3 + x 4 = 5 x - x - x 3 + 3x 4 = h(a) = 4, h(a*) = 4, rovnic... 4, neznámých... 4, tzn. soustava je regulární. Má tedy právě jedno řešení, kterým je ovšem jedna čtveřice čísel. Správně je tedy (B). Poznámka: Protože rozšířená matice A* soustavy už obsahuje matici A dané soustavy, provádíme úpravy na rozšířené matici a při konečném počítání nenulových řádků A si pak odmyslíme sloupec pravých stran.

5 3. Je dána soustava lineárních rovnic o neznámých x, x x - 3x = 3 x + px = 6 Určete, jaká musí být hodnota parametru p, aby soustava byla regulární. (A) p 6 (B) p -6 (C) p = 6 (D) p = -6 (E) žádná z uvedených odpovědí není správná. Vlastně stejně jako v předchozích příkladech sestrojíme rozšířenou matici soustavy. Provádíme na ní úpravy, přitom s písmenkem p pracujeme stejně jako s číslem. Nakonec se podíváme, pro jaká p má výsledná matice ten správný počet nenulových řádků, čímž dostaneme jednu (ne)rovnici pro p. Její řešení je výsledek příkladu. x - 3x = 3 x - 3x = 3 x + px = 6 x + px = 6 3 p p6 3 p6= ha*=, h A=, rovnice, neznámé Soustava není regulární. p6 ha*=ha=počet rovnic = počet neznámých= Soustava je regulární. p + 6 / -6 p -6 Takže možnost (D) je správně. 4. Máme řešit maticovou rovnici X. [ ] = [ ] pomocí matice inverzní. Tato matice inverzní je rovna [ (A) ] [ (B) ] [ (C) ] [ (D) (E) není žádná z uvedených matic. ] Řešení maticových rovnic je vysvětleno na zvláštní stánce. Jenom způsob zápisu ve skriptech neodpovídá. Já používám tento: X = Podle návodu je první krok řešení označit matice písmenky:

6 X A = B, A =, B = Dále by následovaly úpravy: X A = B / A - (zprava) X A A - = B A - / vlevo roznásobit X E = B A - /... atd. Úkolem ale není vyřešit rovnici. Pouze se dopídit k matici A -. Ukážeme si výrobu inverzní matice metodou úprav. Dělá se to tak, že si napíšeme dvojmatici ( A E ). Vlevo je zadaná matice, ke které hledáme matici inverzní, vpravo pak dáme jednotkovou matici odpovídající velikosti. Pak děláme úpravy na celé takto vzniklé dlouhé dvojřádky, až >>>>> se dostaneme k jednotkové matici vlevo. To, co je v pravé půlce, je potom hledaná inverzní matice ( E A - ). Protože jde většinou o docela dlouhý proces, kde může na každém kroku dojít k hloupé chybě třeba přehlédnutím, doporučuji pak ještě udělat zkoušku vynásobením matic A A -. Nuže realizujeme celý postup, aby bylo jasno: ( A E ) = = ( E A- ) Ten zápis berte s rezervou, je spíše schematický než korektní. Nicméně výsledek je: A - =, což je možnost (B).

7 5. Pomocí Cramerova pravidla vypočítejte neznámou x 3 soustavy lineárních rovnic. 5x + x + 9x 3 = x - x + x 3 = 4x - x + 6x 3 = (A) x 3 = - (B) x 3 = (C) x 3 = (D) x 3 = (E) není žádná z uvedených. Cramerovo pravidlo spočívá v tom, že upravíme soustavu podle návodu v příkladu, pořídíme si její matici A, a pak ještě další matice - těch bude tolik, kolik je neznámých a dostaneme je takto: Matice A j vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem pravých stran. Neznámé pak spočítáme podle vzorečku: x j = det A j neboli x det A j = A j A, j nabývá hodnot,,... n = počet neznámých. kde samozřejmě písmenko Poznámka: Mně osobně není Cramerovo pravidlo moc sympatické, protože na soustavy o dvou a třech neznámých mi připadá příliš složité, tj. že dle mého vyžaduje více úprav; a u větších soustav zase narážíme na problém výpočtu velkého determinantu, což se může ukázat jako problém náročnější než samotné řešení soustavy třeba i bez matic. Pokud ale hledáte způsob, jak naprogramovat počítač, aby počítal soustavy rovnic, pak jste s Cramerovým pravidlem na správné cestě. Přerušení poznámky. Zde máme soustavu 3 rovnic čili zadání asi nejšikovnější na Cramerovo pravidlo. Vezmeme to popořádku: přípravná fáze - úprava soustavy: 5x + x + 9x 3 = x - x + x 3 = 5x + x + 9x 3 = x - x + x 3 = 4x - x + 6x 3 = 4x - x + 6x 3 = = A* opatříme si matici soustavy:

8 5 9 6 A = 4, a rovnou spočítáme její determinant: A = = = 5.(-) (-) - 9.(-).4-5..(-) -..6 = = = = -8 Opatřili bychom si další 3 matice a jejich determinanty, ale v tomto příkladu se po nás chce spočítat pouze x 3, takže se s A a A nebudeme zdržovat, když nám A 3 stačí: 5 A 3 =, determinant: 4 A 3 = = = 5.(-) (-) -.(-).4-5..(-) -.. = = = = = = - 4 Zbývá dosadit do vzorečku: x 3 = A 3 A = 4 8 = Takže možnost (D). Pokračování poznámky: Nyní račte posoudit, zda je to šikovnější způsob než úpravami matice: 5 9 Rozšířenou matici soustavy A* už máme

9 x - x + x 3 = x + 3x 3 = 4x 3 = Upravíme pouze třetí rovnici, protože x a x nepotřebujeme: 4x 3 = / :4 x 3 = Dobrá, dobrá. Vyšlo to tak nějak nerozhodně. Ale kdybychom měli spočítat všechny neznámé, asi by byla metoda úprav opravdu rychlejší. Konec poznámky. 6. Určete, kolik z daných čtyř soustav rovnic o neznámých x, x nesplňuje Frobeniovu podmínku. x - x = x - x = x + x = -x + x = -4x + 4x = -4 6x + 3x = 3 x + x = 3x + 3x = (A) (B) (C) (D) 3 (E) 4 Ta Frobeniova podmínka je: h(a) = h(a*) Postup bude tedy stejný jako v příkladu a, jenom zde nemusíme výsledek porovnávat s počtem neznámých, resp. rovnic. První soustava: x - x = x - x = -x + x = -x + x = h(a) =, h(a*) =... Podmínku nesplňuje. Pro ty, kdo z nějakého důvodu potřebují vysvětlivku, jakým kouzlem se došlo k číslům h(a) a h(a*): 3

10 h(a)... Počet nenulových řádků schematu levých stran po úpravách. To je toto: h(a*)... Spočítáme řádky v matici po úpravách, ve kterých je alespoň jedna nenula včetně sloupce levých stran. To je toto: Tak pokročíme k druhé soustavě: x - x = -4x + 4x = h(a) =, h(a*) =... Splňuje. Třetí soustava: x + x = x + x = 6x + 3x = 3 6x + 3x = h(a) =, h(a*) =... Nesplňuje. Poslední soustava: x + x = x + x = 3x + 3x = 3x + 3x = 3 3 h(a) =, h(a*) =... Splňuje. Takže vyšlo dvakrát, že nesplňuje a dvakrát, že splňuje. To je možnost (C). Dokument je součástí projektu Matematiho matematické stránky.

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

9.7 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO SPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU. INTERVALOVÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTI

9.7 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO SPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU. INTERVALOVÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Statistické třídění, intervalové rozdělení četnosti Aleš Drobník strana 1 9.7 TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO SPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU. INTERVALOVÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Problematiku třídění podle jednoho spojitého

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I .. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz

Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz Fyzika úloha č. 14 Zatěžovací charakteristika zdroje Cíle Autor: Jan Sigl Změřit zatěžovací charakteristiku různých zdrojů stejnosměrného napětí. Porovnat je, určit elektromotorické

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Druhy poměrných čísel Aleš Drobník strana 1 5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Poměrná čísla neboli poměrní ukazatelé : Získáme srovnáním (podílem) 2 veličin stejnorodých. Srovnávaná veličina (čitatel)

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

PŘÍKLAD NA TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU

PŘÍKLAD NA TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU PŘÍKLAD NA TŘÍDĚNÍ PODLE JEDNOHO NESPOJITÉHO ČÍSELNÉHO ZNAKU Pracovník, který spravuje podnikovou databázi, exportoval do tabulkového procesoru všechny pracovníky podniku Alfa Blatná s některými sledovanými

Více

PŘEDMĚT: PEK TÉMA: TVORBA TABULEK U SZ. Zpracováno: prezentace powerpoint Ing. Hana Augustinová 2012

PŘEDMĚT: PEK TÉMA: TVORBA TABULEK U SZ. Zpracováno: prezentace powerpoint Ing. Hana Augustinová 2012 PŘEDMĚT: PEK TÉMA: TVORBA TABULEK U SZ Zpracováno: prezentace powerpoint Ing. Hana Augustinová 2012 JAKÁ MUSÍ BÝT TABULKA věcně správná s srozumitelná jednoznačná úsporná přehledná musí mít pěkný vzhled

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

7. Slovní úlohy na lineární rovnice

7. Slovní úlohy na lineární rovnice @070 7. Slovní úlohy na lineární rovnice Slovní úlohy jsou často postrachem studentů. Jenţe Všechno to, co se učí mimo slovní úlohy, jsou postupy, jak se dopracovat k řešení nějaké sestavené (ne)rovnice.

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

16 - Pozorovatel a výstupní ZV

16 - Pozorovatel a výstupní ZV 16 - Pozorovatel a výstupní ZV Automatické řízení 2015 14-4-15 Hlavní problém stavové ZV Stavová zpětná vazba se zdá být nejúčinnějším nástrojem řízení, důvodem je síla pojmu stav, který v sobě obsahuje

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Zaměříme se na úpravy, které určují finální grafickou úpravu tabulky (tzv. formátování.). Měnit můžeme celou řadu vlastností a ty nejdůležitější jsou popsány v dalším

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

2HCS Fakturace 3 - výzvy k platbě (upomínky) -

2HCS Fakturace 3 - výzvy k platbě (upomínky) - 2HCS Fakturace 3 - výzvy k platbě (upomínky) - Autor: Tomáš Halász - 776 052 219 pro verzi: 3.5.597 a novější 2H C.S. s.r.o. dne: 19.05.2008 Dukelská 691/5, 742 21 Kopřivnice Email: info@faktury.cz Web:

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

PREZENTACE DAT: JEDNODUCHÉ GRAFY

PREZENTACE DAT: JEDNODUCHÉ GRAFY PREZENTACE DAT: JEDNODUCHÉ GRAFY V tabulce 8.1 uvádíme přehled některých ukazatelů fiktivní firmy Alfa Blatná. Tabulka 8.1 je prostá, je v ní navíc časové srovnání hodnot v roce 2011 a v roce 2012. a)

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku.

koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku. 2.2.2 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III Předpoklady: 22 Pedagogická poznámka: Příklady na míchání směsí jsou do dvou hodin rozděleny schválně. Snažím se tak zvýšit šanci, že si hlavní myšlenku

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace MS OFFICE Může se zdát, že užití kancelářského balíku MS Office při výuce fyziky nepřesahuje běžné aplikace a standardní funkce, jak jsou popsány v mnoha příručkách ke všem jednotlivým částem tohoto balíku.

Více

Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC

Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC Školení obsluhy PC stručný manuál obsluhy pro používání PC tabulkový procesor MS EXCEL Zpracoval: mgr. Ježek Vl. Str. 1 MS EXCEL - základy tabulkového procesoru Tyto programy jsou specielně navrženy na

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Nástroje pro analýzu dat

Nástroje pro analýzu dat 7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje

Více

KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY

KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY KAPITOLA 3 KOUPENÉ A PRODANÉ OPCE VERTIKÁLNÍ SPREADY Vertikální spread je kombinace koupené a prodané put nebo call opce se stejným expiračním měsícem. Výraz spread se používá proto, že riziko je rozložené

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Tabulkový editor MS Excel II

Tabulkový editor MS Excel II Tabulkový editor MS Excel II Informatika Graf Graf se vkládá se pomocí nabídky Vložení a poté volbou příslušného typu grafu. Označíme celou základní tabulku, a to i s názvy sloupců a řádků, ale bez součtů

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

Autor: Tomáš Galbička www.nasprtej.cz Téma: Roztoky Ročník: 2.

Autor: Tomáš Galbička www.nasprtej.cz Téma: Roztoky Ročník: 2. Roztoky směsi dvou a více látek jsou homogenní (= nepoznáte jednotlivé částečky roztoku - částice jsou menší než 10-9 m) nejčastěji se rozpouští pevná látka v kapalné látce jedna složka = rozpouštědlo

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 7.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání: Ekonomické lyceum Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od

Více