UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ Olomouc 2015 Vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.

2 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci s názvem Důkazy matematickou indukcí vypracovala samostatně a výhradně s využitím citované literatury a zdrojů. Souhlasím se zapůjčováním práce a s jejím zveřejněním. V Prostějově dne Romana Olejníčková

3 Poděkování Mé poděkování patří doc. RNDr. Jitce Laitochové, CSc. za její odborné vedení, cenné rady, vstřícnost a laskavost při vzniku této bakalářské práce.

4 Obsah Abstrakt... 5 Úvod... 6 Kapitola Matematické důkazy Historie matematických důkazů Druhy matematických důkazů Přímý důkaz Nepřímý důkaz Důkaz sporem Důkazy existence, neexistence a jednoznačnosti Důkaz matematickou indukcí Kapitola Matematická indukce Úplná a neúplná indukce Matematická indukce Úlohy s využitím matematické indukce Úlohy k procvičování matematické indukce Kapitola Posloupnosti a řady Posloupnosti a řady Využití matematické indukce při řešení úloh o posloupnostech a řadách Neřešené úlohy o posloupnostech a řadách s využitím matematické indukce Závěr Seznam symbolů Použitá literatura

5 Abstrakt V bakalářské práci se zabývám tématem Důkazy matematickou indukcí. Důvodem jejího napsání bylo vytvoření sbírky příkladů s využitím matematické indukce. Měla by sloužit nejen k vysvětlení tématu matematické indukce, ale také k jeho procvičení. Práce je členěna do tří hlavních kapitol. V první kapitole se zabýváme matematickými důkazy, jejich historií a dělením. Druhá kapitola se skládá z teorie o matematické indukci a z řešených i neřešených úloh s využitím matematické indukce. V poslední kapitole se věnujeme posloupnostem a řadám, kde je často matematické indukce při jejich řešení využíváno. Klíčová slova: matematický důkaz, induktivní postup, úplná indukce, neúplná indukce, matematická indukce, přirozená čísla, posloupnosti, nekonečné číselné řady Abstract In the bachelor work I deal with the topic Proofs by mathematical induction. The reason for writing it was to create a collection of problems by using mathematical induction. It not only should serve to explain the topic of mathematical induction, but also its practicing. The work is divided into three main chapters. In the first chapter we look at mathematical proofs, their history and division. The second chapter comprises theory about mathematical induction and both solved and unsolved problems by using mathematical induction. The last chapter focuses on sequences and series where mathematical induction is often used for solution. Key words: mathematic proof, inductive steps, complete induction, incomplete induction, mathematical induction, natural numbers, sequences, infinite numerical series. 5

6 Úvod Cílem bakalářské práce bylo vytvoření sbírky úloh s využitím matematické indukce a vytvoření uceleného pohledu na dokazování matematickou indukcí. Nachází se zde i teorie o matematických důkazech, matematické indukci a posloupnostech a řadách, kde je matematická indukce často využívána. Měla by být pomůckou pro studenty při řešení úloh s použitím matematické indukce, ale i pro pedagogy jako inspirace při zadávání úloh. Práce je doplněna o základní pojmy v anglickém jazyce. Je rozdělena do tří kapitol. V Kapitole 1 se zabýváme matematickými důkazy, které mají v matematice velký význam, jelikož bez jejich pomoci nejsme schopni potvrdit platnost matematické věty. Dále se zde věnujeme historii matematických důkazů a jejich druhy jako je přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem, důkaz existence, neexistence a jednoznačnosti a důkaz matematickou indukcí. Kapitola 2 pojednává především o matematické indukci, ale také o induktivních postupech, kam spolu s úplnou a neúplnou indukcí patří. Zabýváme se zde také definováním přirozených čísel pomocí Peanových axiomů, jelikož jsou jedním ze základních pojmů matematické indukce. Na konci kapitoly najdeme řešené i neřešené úlohy s využitím matematické indukce. Kapitola 3 se věnuje posloupnostem a řadám. Na začátku kapitoly jsou posloupnosti a řady definovány. Dále se v kapitole nachází řešené i neřešené úlohy o posloupnostech a řadách, kde je dokazování matematickou indukcí využito. 6

7 Kapitola 1 Matematické důkazy V úvodní kapitole se budeme zabývat matematickými důkazy, vysvětlením pojmů, které jsou potřeba k tomu, abychom si matematické důkazy mohli definovat. Dále se budeme věnovat historii matematických důkazů a jejich rozdělení. Matematické důkazy (mathematical proofs) mají velký význam, jelikož bez jejich pomoci nejsme schopni potvrdit či vyvrátit jakoukoliv myšlenku či hypotézu. Obecně si matematický důkaz můžeme definovat jako úvahu, která zdůvodňuje platnost matematické věty. Důkaz matematické věty (proof of mathematical theorem) je logický proces, kterým ověřujeme platnost matematické věty pomocí axiomů, definic a dříve dokázaných vět. Axiómy (axioms) jsou matematické výroky, které jsou považovány za pravdivé a nedokazují se. Za výrok (verdict) se považuje každé tvrzení, u kterého můžeme určit jeho pravdivostní hodnotu. Definice (definition) využívá základní pojmy (nebo pojmy dříve zavedené) k určení názvu a charakteristických vlastností nového pojmu. Matematická věta (mathematical theorem) je pravdivý matematický výrok, který je odvozený na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět. 11 Matematická věta se může vyskytovat v několika různých tvarech. První možností je tzv. obecná věta, která je ve tvaru. Další je tzv. existenční věta ve tvaru nebo uvažujeme větu o jednoznačné existenci. Velmi často je obecná věta ve tvaru implikace, kde A se nazývá předpoklad a B se nazývá tvrzení věty. Dále se A nazývá postačující podmínka pro B a B nutná podmínka pro A. Je-li věta ve tvaru ekvivalence, tak pro ni platí. Z toho důvodu ji můžeme dokazovat obdobně jako věty ve tvaru implikace Historie matematických důkazů Historie matematických důkazů (history of mathematical proofs) sahá až do starého Egypta, ale matematické důkazy v dnešním slova smyslu nejsou dochovány. Dochovalo se pouze mnoho záznamů s řešením různých problémů a úloh. 1 JANUROVÁ, Eva a JANURA, Miroslav. Matematika: průvodce učivem základní a střední školy. 1. vyd. Olomouc: Rubico, 1999, s ŘEHÁK, Pavel. Základy matematiky Dostupné z: s.11 7

8 Deduktivní matematický důkaz má svůj původ ve starověkém Řecku, které vzniklo kolem roku 800 př. n. l. Z této doby pochází nejstarší dochované důkazy. Matematický důkaz podobný důkazu používaného v dnešní době má své počátky v řecké geometrii, která se rozvíjela pod vlivem Platónovy filosofie. Matematici, kteří byli Platónovou filozofií ovlivněni, museli vždy odkrývat svět geometrie a dívat se na pravdu, co v něm byla obsažena. Pokud nějaký matematik viděl, neboli evidoval platnost například Pythagorovy věty, viděl ji pouze v době, kdy se dokonale soustředil. Z toho důvodu nebyla Platónská filosofie dlouho udržitelná, jelikož šla využít pouze u jednoduchých typů důkazů a při rozvíjení geometrie nebylo možné se tak dlouho soustředit, aby matematik uviděl pravdu. Matematici začali odstupovat od platónské filozofie a přešli ke kroku, který udal směr matematice až do dnešní doby. Daným krokem bylo používání rozumu. Geometrické pravdy přestaly být evidovány, jelikož je stačilo pouze rozumově zdůvodnit, že by evidovány být mohly. Tímto způsobem začal vznikat matematický důkaz. Další významnou dobou pro matematický důkaz byla doba Aristotela, neboť v této době vznikl přímý a nepřímý důkaz. V době římské se o matematické důkazy vůbec nezajímali, zajímali se pouze o matematiku, která se hodila ve vojenství a stavitelství. V raném středověku si matematika prošla obdobím temna. Pouze Byzantská říše se zajímala o matematické dokazování ze Starověkého Řecka. V Byzantské říši se inspirovala říše Arabská, která byla ovlivněna i indickou matematikou. Arabská matematika se projevila především v díle s názvem Al-Choreziho, v kterém byly položeny základy algebry a vytvořen nový typ matematického důkazu důkaz výpočtem. V století byl pro matematické dokazování důležitý pojem obor, u něhož lze o každém prvku rozhodnout, zda do něj patří nebo nepatří. Oborem jsou například přirozená čísla. Aristotelův vliv měl v této době stále velký význam. Existenční tvrzení se v této době dokazovala pouze konstrukčním důkazem. Dále byl důležitý typ důkazu, který byl založen na geometrickém názoru. Tento typ důkazu byl využit například u Bolzanovy věty. Velkého významu pro matematické dokazování se dostalo českému matematikovi, filozofovi a knězi Eduardu Bolzanovi, který žil v letech Mezi jeho významná díla patří Betrachtungen uber einigo Gegenstände der Elementargeometrie, Rein analytischer Beweid a Paradoxier des Unedlichen, které ovlivnilo zakladatele teorie množin Georga Cantora. Jeho matematické důkazy jsou založeny na nahrazení oborů trvale existujícím seskupením objektů, z kterých se později stal pojem množiny. Seskupení objektů bylo velmi důležité pro vznik nového typu dokazování, který se nazývá nekonstruktivní neboli ryze existenční. Příkladem tohoto typu důkazu je Cantonův důkaz existence transcendentních čísel. 8

9 Canton dokázal, že všech algebraických čísel je spočetně mnoho na rozdíl od čísel reálných, kterých je nespočetně mnoho. Bolzan zkoumal i takové matematické objekty, jejichž existence byla sice dokazatelná, ale nešlo ji zkonstruovat. Z toho důvodu se v druhé polovině 19. století axiomatizoval pojem matematický důkaz. Došlo k odstranění intuice a začaly se přesně formulovat pojmy. Přirozený jazyk se nahrazoval jazykem symbolickým. David Hilbert, Gottlob Freg a další matematici postupně vytvořili ve svých pracích bohatý symbolický jazyk, s nímž šly vyjádřit všechna matematická tvrzení. Vznikl formální důkaz a díky němu šly dokazovat formule s pomocí logických axiomů, než použití intuice či osobního názoru. V této době je důkaz definovatelným pojmem a později v době počítačů byla jeho správnost ověřena algoritmicky pracujícím počítačem. V dnešní době existují počítačové programy, které jsou schopny konstruovat důkazy matematických vět, ale stále nejsou schopny konkurovat lidskému dokazování Druhy matematických důkazů Přímý důkaz Přímý důkaz (direct proof) řadíme k základním typům důkazů. Využívá se při dokazování matematických vět, které jsou ve tvaru implikace, kde A je předpoklad a B je výrok, který chceme dokázat. Matematickou větu ve tvaru implikace dokážeme pomocí řetězce implikací. Je-li A axióm nebo platná věta (dříve dokázaná), pak z platností všech implikací, plyne platnost implikace, tedy i výroku B. Často máme zadaný jen výrok B, který chceme dokázat a výrok A si musíme vhodně zvolit. 4 Úloha Přímým důkazem dokažte větu. 3 Matematický důkaz. Wikipedie [online] [cit ]. Dostupné z: 4 JANUROVÁ, Eva a JANURA, Miroslav. Matematika: průvodce učivem základní a střední školy. 1. vyd. Olomouc: Rubico, 1999, s. 18 9

10 Řešení: Abychom mohli zadanou větu dokázat, musíme si upravit pravou stranu, proto si nejprve vytkneme a a dále upravíme podle vzorce. Zjistili jsme, že zadaná věta platí a jedná se o tři po sobě jdoucí čísla (a - 1), a, (a+1). Z toho důvodu je jedno dělitelné dvěma a druhé třemi, a proto platí, že jejich součin je dělitelný šesti Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz (proof by contraposition) se obdobně jako důkaz přímý používá k dokázání matematických vět ve tvaru implikace, ale původní větu nahradíme větou obměněnou, tj. místo dokazování budeme dokazovat větu ve tvaru Dokazování věty obměněné nám umožní tautologie ve tvaru. 5 Nepřímý důkaz je úzce propojen s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz můžeme převést na důkaz sporem. Úloha Nepřímým důkazem dokažte větu: Řešení: Má se jednat o nepřímý důkaz, a proto budeme dokazovat větu obměněnou, která má tvar. Důkaz věty obměněné: Dokázali jsme větu obměněnou, a proto platí i věta původní 5 Co je to důkaz. Matematika.cz [online] [cit ]. Dostupné z: 10

11 1.2.3 Důkaz sporem Důkaz sporem (proof by contradiction) patří k oblíbeným metodám dokazování. Je založen na zákonu o vyloučení třetího. Zákon o vyloučení třetího říká, že pro každé tvrzení P platí, že je pravdivé. Z toho důvodu tento zákon můžeme použít pouze tam, kde toto tvrzení platí. V důkazu sporem dokážeme, že předpoklad vede k nesmyslnému výsledku neboli ke sporu, což znamená, že je předpoklad nepravdivý, a proto je pravdivá jeho negace. Důkaz sporem provádíme ve třech krocích. Nejdříve provedeme negaci Aʾ původního výroku A. Poté vytvoříme řetězec implikací, kde výrok B n neplatí, což je logický spor. Zjistíme, že negovaný výrok Aʾ neplatí, a proto platí původní výrok A. 6 Úloha Dokažte sporem větu, že je iracionální číslo. Řešení: Budeme dokazovat negaci věty původní: je racionální číslo, proto můžeme psát Je-li racionální číslo, pak ě á čí Zjistili jsme, že číslo p je dělitelné 3 i číslo q je dělitelné 3, a proto jsou to čísla soudělná. Nastává tedy spor s předpokladem, neboť předpoklad, že je racionální číslo neplatí. Proto platí původní věta, že je iracionální číslo Důkazy existence, neexistence a jednoznačnosti Důkazy existence, neexistence a jednoznačnosti se používají při dokazování existenčních vět a můžeme je sestrojit přímo nebo nepřímo. Přímý důkaz může být ryze existenční či konstrukční. U ryze existenčního existenci objektu přímo dokážeme bez jeho určení pomocí nějakého principu např. Dirichletova, jehož nejznámější znění je takové, že pokud umístíme m předmětů do n přihrádek, kde m a n jsou přirozená čísla, pak musí existovat alespoň jedna přihrádka, ve které budou dva předměty. 6 Co je to důkaz. Matematika.cz [online] [cit ]. Dostupné z: 11

12 U konstrukčního dokazování musíme objekt sestrojit. Pro důkaz neexistence je typické dokazování sporem. Důkaz jednoznačnosti je založen na tom, že existuje alespoň jeden objekt a současně existuje nejvýše jeden objekt. U důkazu jednoznačnosti využíváme opět důkaz sporem, kde předpokládáme existenci dvou různých objektů, pro který výrok platí Důkaz matematickou indukcí Důkazu matematickou indukcí se budeme věnovat zvlášť ve 2. kapitole s názvem Matematická indukce. Některé matematické věty lze dokazovat více způsoby. Jedná se například o Pythagorovu větu, která platí v pravoúhlém trojúhelníku a je ve tvaru, kde a, b jsou v pravoúhlém trojúhelníku odvěsny a c přepona. Pythagorova věta nám říká, že v pravoúhlém trojúhelníku se čtverec nad nejdelší stranou neboli přeponou rovná součtu čtverců nad odvěsnami. U Pythagorovy je známo několik stovek důkazů a my se podíváme na ty nejzajímavější. První důkaz je založen na tom, že obsah velkého čtverce se rovná součtu obsahu malého čtverce a čtyřech trojúhelníků (viz. Obrázek 1.1) Obrázek 1.1: Důkaz Pythagorovy věty pomocí dvou čtverců (zdroj: POLSTER, Burkard. Q.E.D.: krása matematického důkazu. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Dokořán, 2014) 7 ŘEHÁK, Pavel. Základy matematiky Dostupné z: s.12 12

13 Podobný typ důkazu je znázorněn na diagramu na Obrázku 1.2. Obrázek 1.2: Důkaz Pythagorovy věty pomocí dvou čtverců (zdroj: POLSTER, Burkard. Q.E.D.: krása matematického důkazu. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Dokořán, 2014) Dále věta, vytvořena Klaudiem Ptolemaiem, která říká, že pro čtyřúhelník vepsaný do kružnice platí. Tato věta je Pythagorovou, jestliže se jedná o čtyřúhelník obdélník. Obrázek 1.3: Ptolemaiův čtyřúhelník vepsaný v kružnici (zdroj: POLSTER, Burkard. Q.E.D.: krása matematického důkazu. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Dokořán, 2014) 13

14 Kapitola 2 Matematická indukce V následující kapitole si uvedeme rozdíl mezi úplnou a neúplnou indukcí, dále si vysvětlíme dokazování pomocí matematické indukce, vyřešíme úlohy s využitím matematické indukce a na závěr je uvedeno pár úloh k procvičování. Matematická indukce spolu s úplnou a neúplnou indukcí patří do induktivních postupů (inductive approachs). Logika nám vysvětluje, že indukce představuje postup od jednotlivého k obecnému. Z toho důvodu je cílem indukce dosáhnout obecného tvrzení o všech objektech určitého druhu (hledáme jejich společnou vlastnost nebo vztah, který spojuje skupinu objektů). Počátky filozofických úvah o induktivním myšlení spadají do dob Sokrata ( před n. l.). Dalším filozofem, který se tímto tématem zabýval, byl Aristoteles ( před n. l.). Po delší dobu se induktivním myšlením nikdo nezabýval až Francis Bacon ( ) a dále John Stuart Mill ( ). Od poloviny 19. století patří k induktivním metodám pojmy i z pravděpodobnosti a statistiky. Ve 20. století jsou induktivní metody považovány za zvláštní část logiky Úplná a neúplná indukce U úplné indukce (complete induction) se zabýváme prvky konečné třídy T. Úplná indukce probíhá ve třech krocích. Nejprve zkoumáme objekty x konečné třídy T s cílem objevení společné vlastnosti V těchto prvků, dále ověříme, zda objekty konečné třídy T mají objevenou vlastnost V a nakonec vyslovíme obecný výrok jako závěr buď nebo. Pořadí kroků je velmi důležité, jinak by se nejednalo o indukci. Stejného postupu je využito při psychologických testech, kde například známe číselnou řadu a máme doplnit další čísla dle pravidla, které se vyskytuje u předchozích čísel. Takové typy úloh se aplikují již u žáků 5. třídy, ale čísel je zadaný menší počet. Žáci si tímto způsobem rozvíjí induktivní myšlení. V matematice však dominuje neúplná indukce, která se zabývá prvky nekonečných tříd. Neúplná indukce (incomplete induction) vede k obecným hypotézám. Hypotéza (hypothesis) je výrok, u kterého neznáme pravdivostní hodnotu. Proto v matematice musíme 8 ODVÁRKO, Oldřich. Metody řešení matematických úloh. Vyd. 2., přeprac. Praha,

15 používat deduktivní metody, které nám umožní obecnou hypotézu dokázat nebo vyvrátit. Z toho důvodu neúplná indukce spočívá v tom, že obecný výrok o všech prvcích třídy T vyslovujeme na základě výsledků zkoumání jen části třídy T. Obdobně, jako úplná indukce, probíhá ve třech krocích. Nejprve prozkoumáme několik objektů třídy T a objevíme společnou vlastnost pro tyto objekty V. Dále vyslovíme obecnou hypotézu o všech objektech třídy T:. Nakonec ověříme námi vyslovenou obecnou hypotézu. Výsledek však není jistý, jelikož při ověření obecné hypotézy můžou nastat tři případy: hypotézu dokážeme, hypotézu vyvrátíme, anebo nejsme schopni hypotézu ani dokázat, ani vyvrátit. Hypotézy, které nejsme schopni ani dokázat, ani vyvrátit řadíme do metateorie. Například tzv. Fermatova věta je nerozhodnutou hypotézou už přes 300 let Matematická indukce V matematice se často nacházejí výroky, které jsou závislé na přirozených číslech, proto má v matematice důležitou roli matematická indukce (mathematical induction) a je velmi často při dokazování matematických vět a řešení úloh využívána. Uvažujeme-li množinu M, která má tyto dvě vlastnosti: 1). 2) Pro každé přirozené číslo p platí: Jestliže, potom také. Množina M obsahuje všechny přirozená čísla. Na tomto principu je dokazování matematických vět pomocí matematické indukce založeno. Máme-li větu ve tvaru Pro každé přirozené číslo platí (nebo dá-li se tak zformulovat), tak stačí dokázat dvě pomocné věty: 1. věta: Věta platí pro číslo věta: Pro každé přirozené číslo p platí: Pokud věta platí pro číslo p, pak platí i pro číslo. Vidíme, že je to obdoba našeho principu. Místo množiny M vezmeme množinu přirozených čísel, pro něž daná věta platí. 2. pomocná věta se skládá ze dvou částí: z indukčního předpokladu (induction assumption) a indukčního kroku (induction step). 10 Schéma důkazu matematickou indukcí může mít mnoho různých podob. Například budeme-li nějaké tvrzení dokazovat pro, tak budeme první krok matematické indukce 9 ODVÁRKO, Oldřich. Metody řešení matematických úloh. Vyd. 2., přeprac. Praha, VRBA, Antonín, ed. Kombinatorika, pravdepodobnosť, matematická indukcia: Pre 2. roč. gymnázia so zameraním na matem. Vyd. 4. Bratislava, s. 5 15

16 ověřovat pro. Obdobně můžeme dokázat i obecnější varianty, které umožňují dokazovat věty ve tvaru: Pro každé celé číslo větší nebo rovno k platí. U obecnějších variant musíme opět dokázat dvě pomocné věty: 1. věta platí pro celé číslo k. 2. Pro každé celé číslo c k platí: Pokud věta platí pro číslo c, pak musí platit i pro číslo c + 1. Matematickou indukcí můžeme dokázat, že výroky jsou pravdivé, pro všechna přirozená čísla. Z toho důvodu jsou přirozená čísla jedním ze základních pojmů matematické indukce. Můžeme je vytvořit z jedničky opakovaným sčítáním. 11 Přirozená čísla (integers) můžeme formulovat různě, ale nejznámější definice je pomocí tzv. soustavy Peanových axiomů (Peano axioms): P1: 1 je přirozené číslo. P2: Ke každému přirozenému číslu a existuje jediný jeho následovník a a ten je také přirozené číslo. P3: 1 není následovník žádného přirozeného čísla. P4: Různá přirozená čísla mají různé následovníky. P5: Nechť má množina M tyto dvě vlastnosti: a) Obsahuje číslo 1. b) S každým přirozeným číslem a obsahuje i jeho následovníka a. Potom množina M obsahuje všechna přirozená čísla. Můžeme si všimnout, že u axiomu P5 je využita matematická indukce. Důkaz matematickou indukcí je velmi zajímavý, neboť jeho obdobu můžeme pozorovat u matematického domina. Když si do řady postavíme očíslované kostky domina ve správné vzdálenosti od sebe tak, aby platilo, že jestliže se převrátí kostka n, pak se převrátí i kostka následující tak při převrácení máme zaručené, že se jednou převrátí i kterákoliv jiná kostka. Na stejném principu je důkaz matematickou indukcí založen. Jediný rozdíl je v tom, že místo dominových kostek máme nekonečný počet tvrzení očíslovaných pomocí přirozených čísel. Zaručíme-li pravdivost prvního tvrzení a zároveň bude platit, že z pravdivosti n-tého tvrzení vyplývá pravdivost ( )-tého tvrzení, tak víme, že jsou pravdivá všechna tvrzení. 11 ODVÁRKO, Oldřich. Metody řešení matematických úloh. Vyd. 2., přeprac. Praha,

17 S důkazem matematickou indukcí se žáci nesetkají na základní škole. Setkají se s ní až na škole střední a dále na škole vysoké. 2.3 Úlohy s využitím matematické indukce Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že pro všechna přirozená čísla platí Řešení Nejdříve danou rovnost dokážeme pro n = 1: Danou rovnost pro n = 1 jsme dokázali. Dále budeme předpokládat, že daná rovnost platí pro n = k: Protože jsme předpokládali, že daná rovnost platí pro n = k, tak dokážeme, že platí i pro : 17

18 Dokázali jsme, jestliže zadaná věta platí pro n = k, tak platí i pro n = k + 1. Použitím matematické indukce jsme dokázali, že zadaná rovnost platí. Úloha Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí vztah: Řešení Nejdříve použijeme 1. krok matematické indukce a zadaný vztah dokážeme pro n = 1: Pro jsme daný vztah dokázali. Dále použijeme 2. krok matematické indukce a předpokládáme, že daná věta platí pro n = k: Protože jsme předpokládali, že zadaný vztah platí pro n = k, tak ho musíme dokázat pro n = k+1. Dokázali jsme i 2. krok matematické indukce, a proto zadaný vztah pro přirozené číslo n platí. Úloha Užitím matematické indukce dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí Řešení Nejprve danou rovnost dokážeme pro : 18

19 Zjistili jsme, že pro n = 1 daná rovnost platí. Budeme předpokládat, že rovnost platí pro : Danou rovnost dokážeme pro : Zadanou větu jsme dokázali. Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí Řešení Nejdříve zadanou rovnost dokážeme pro n = 1: Na obou stranách nám vyšlo číslo 1 a tím je daná rovnost pro n = 1 dokázána. Dále budeme předpokládat, že zadaná rovnost platí pro n = k. Potom dokážeme pro n = k + 1: 19

20 Dokázali jsme, že daná rovnost platí i pro matematické indukce dokázali a úloha je vyřešena.. Tím jsme zadanou rovnost pomocí Úloha Využitím matematické indukce dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí: Řešení Danou větu dokážeme pro n = 1: Zadanou větu jsme pro n = 1 dokázali. Dále budeme předpokládat, že : A danou větu dokážeme pro : Dokázali jsme indukční předpoklad a zjistili, že zadaná věta platí. Úloha Dokažte, že číslo není dělitelné číslem 73 pro každé přirozené číslo. 20

21 Řešení Nejprve dokážeme pro první pomocnou větu, kde k = = 89 Zjistili jsme, že pro k = 1 věta platí, jelikož číslo 89 není dělitelné číslem 73. Dále dokážeme druhou pomocnou větu. Předpokládáme, že tvrzení platí, dokážeme. 2 3p p + 4 = p p = 8 2 3p p = 8 (2 3p + 3 4p ) p Vidíme, že první ze sčítanců není dělitelný číslem 73, druhý naopak ano. Dokázali jsme, že jejich součet není dělitelná číslem 73. Pomocnou větu jsme nedokázali a tím zjistili, že číslo 2 3k + 3 4k není dělitelné číslem 73. Úloha Dokažte pomocí matematické indukce, že platí Bernoulliho nerovnost: Řešení Použijeme 1. krok matematické indukce a danou větu dokážeme pro : 1. krok matematické indukce jsme dokázali a dále dokážeme 2. krok. Předpokládáme, že zadaná věta platí pro : a dokážeme pro : Dokázali jsme i 2. krok matematické indukce. Zadaná věta je dokázána. 21

22 Úloha Dokažte binomickou větu pomocí matematické indukce: Řešení Binomickou větu dokážeme pro : Danou větu jsme pro dokázali. Dále předpokládáme, že : Binomickou větu dokážeme pro : Použijeme-li vzorce:, tak dostaneme:, Binomickou větu se nám podařilo pomocí matematické indukce dokázat. Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že součin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný dvěma. 22

23 Řešení Dvě po sobě jdoucí přirozená čísla jsou n a n + 1. Máme dokázat větu. Nejdříve větu dokážeme pro n = 1: První krok matematické indukce jsme dokázali, jelikož 2 je dělitelné dvěma. Dále budeme předpokládat, že n = k: Dokážeme, že věta platí i pro n = k + 1: Vidíme, že se jedná o dvě po sobě jdoucí čísla, tak platí, že jedno z nich musí být sudé, a proto bude součin dělitelný dvěma. Zadanou větu jsme dokázali. Úloha Dokažte matematickou indukcí: Řešení Zadanou větu dokážeme pro n = 1: Danou větu jsme dokázali pro n = 1. Dále budeme předpokládat, že daná věta platí pro n = k: A dokážeme pro : Dle indukčního předpokladu je zřejmé, že je dělitelné šesti, 12 je dělitelné šesti a výraz je dělitelný třemi a jelikož se jedná o dvě po sobě jdoucí čísla, tak i dvěma. Zadanou větu jsme dokázali. 23

24 Úloha V rovině je dán konečný počet přímek a ty rovinu dělí na části. Dokažte, že tyto části je možno vybarvit dvěma barvami tak, aby každá část byla vybarvena jinou barvou a aby dvě sousední části nebyly vybarveny stejnou barvou. Řešení Jestliže nám jedna přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny, tak obě poloroviny lze vybarvit odlišnými barvami. Dokázali jsme, že 1. krok matematické indukce, kde n = 1. Dále budeme předpokládat, že věta platí pro jakýchkoliv k přímek. Budeme-li mít k + 1 přímek, tak si nejdřív jednu přímku odmyslíme. Dle indukčního předpokladu známe obarvení O pro zbylých k přímek. I nadále budeme uvažovat jednu přímku odmyšlenou a v jedné polorovině, na kterou dělí rovinu, přetočíme barvy o obarvení O (viz. Obrázek 2.1). Tím jsme získali obarvení pro k + 1 přímek, které splňuje zadání. Podařilo se nám dokázat i 2. krok matematické indukce a pomocí matematické indukce jsme dokázali větu zadanou. Obrázek 2.1 Rozdělení roviny přímkami (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Kombinatorika, pravdepodobnosť, matematická indukcia: Pre 2. roč. gymnázia so zameraním na matem. Vyd. 4. Bratislava, 1989.) Úloha Dokažte pomocí matematické indukce, že každou šachovnici tvaru, na níž chybí jedno políčko neboli poškozenou šachovnici, lze pokrýt kostkami tvaru L, které jsou složeny ze tří políček. 24

25 Řešení Nejprve větu dokážeme pro n = 1. Máme-li poškozenou šachovnici typu, tak je sama ve tvaru L (Obrázek 2.2) a lze ji pokrýt jednou kostkou. Danou větu jsme dokázali pro n = 1. Obrázek 2.2: Poškozená šachovnice typu 2 x 2 (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Princip matematické indukce. 1. vyd. Praha, 1977.) Nyní budeme předpokládat, že daná věta platí pro číslo n a dokážeme pro n + 1. Vezmeme-li poškozenou šachovnici typu a šachovnici rozdělíme na čtvrtiny. Získáme čtyři šachovnice typu z nichž právě jedna šachovnice je poškozená. Obrázek 2.3: Poškozená šachovnice typu 4 x 4 (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Princip matematické indukce. 1. vyd. Praha, 1977.) Ze zbývajících šachovnic odstraníme na každé jedno políčko, které je přilehlé ke středu původní šachovnice (Obrázek 2.3). Vzniknou nám čtyři poškozené šachovnice typu. Takový typ šachovnice umíme dle indukčního předpokladu pokrýt kostkami ve tvaru L. Zbyli nám tři políčka, které jsou však tvaru L a můžeme je také pokrýt kostkou ve tvaru L. Podařilo se nám pokrýt celou poškozenou šachovnici tvaru Zadanou větu jsme dokázali. Obrázek 2.4: Poškozená šachovnice 8 x 8 (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Princip matematické indukce. 1. vyd. Praha, 1977.) 25

26 Úloha Dokažte matematickou indukcí de Moivreovu větu:, kde i je imaginární jednotka a platí. Řešení Nejprve de Moivreovu větu dokážeme pro n = 1: Budeme předpokládat, že věta platí pro n = k: A dokážeme pro n = k + 1: Podařilo se nám dokázat zadanou větu pro. De Moivreovu větu jsme dokázali. Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí: Řešení Při řešení úlohy nejprve zadanou větu dokážeme pro n = 3: Pro n = 3 jsme zadanou větu dokázali. Dále předpokládáme, že n = k: A dokážeme pro n = k + 1: 26

27 Za předpokladu, že se znaménko nerovnosti nemění a. Úloha Na čtverečkovaném bílém papíře máme n čtverečků začerněno. Čtverečky přebarvujeme najednou dle následujícího pravidla: Každý čtvereček bude mít takovou barvu, jakou měla většina z těchto tří čtverečků: uvažovaný čtvereček, čtvereček vedle něj vpravo a čtvereček bezprostředně nad ním. Dokažte matematickou indukcí, že nejvýše po n přebarveních budou všechny čtverečky bílé. Řešení Pro zadaná věta zřejmě platí. Buď a předpokládáme, že pro všechna přirozená čísla, která jsou menší než zadaná věta platí. Dokážeme, že zadaná věta platí i pro. Nechť máme čtverečků černých. Budeme uvažovat první svislou řadu čtverečků zleva. V řadě se ještě nachází černé čtverečky. Ty nebudou mít žádný vliv na přebarvení čtverečků v ostatních svislých řadách, v kterých je nejvýše p černých čtverečků a dle indukčního předpokladu v nich po p přebarveních už žádný černý čtvereček nebude. Stejně dokážeme, že po p přebarveních nebude černý čtvereček ani ve vodorovných řadách kromě té, která byla nejníže a původně obsahovala černé čtverečky. Po p přebarveních může být černý pouze jediný čtvereček, v kterém se kříží uvažovaná levá svislá a dolní vodorovná řada. Po -tém kroku bude přebarven na bílo i tento čtvereček. Tím jsme pomocí matematické indukce zadanou větu dokázali. 27

28 Obrázek 2.5: Ukázka přebarvení čtverečků (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Kombinatorika, pravdepodobnosť, matematická indukcia: Pre 2. roč. gymnázia so zameraním na matem. Vyd. 4. Bratislava, 1989.) Úloha Na poště prodávají známky z edice známek z roku 2014 s názvem Beskydy - kraj velkých šelem v hodnotě 13 Kč a 17 Kč. Dokažte pomocí matematické indukce, že známkami z této edice lze ofrankovat jakoukoliv zásilku, jejíž poštovné činí alespoň 204 Kč. Řešení U tohoto typu úlohy využijeme obecnější variantu matematické indukce. Při řešení úlohy musíme dokázat větu: Ke každému přirozenému číslu a 204 existují celá nezáporná čísla u, v takové, že platí Aby se nám podařilo větu dokázat, musíme dokázat obě pomocné věty pro celé číslo k =

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Pokrytí šachovnice I

Pokrytí šachovnice I Pokrytí šachovnice I VŠB-TU Ostrava, fakulta FEI Obor: Informatika výpočetní technika Předmět: Diskrétní matematika (DIM) Zpracoval: Přemysl Klas (KLA112) Datum odevzdání: 25.11.2005 1) Abstrakt: Máme

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika

Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika Společné ustanovení pro všechny třídy čtyřletého studia a 5. až 8. ročníku osmiletého studia: Žákům bude vyučujícími umožněno doplnit chybějící klasifikaci

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009)

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) 13. Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) Řešení společně připravili lektoři Aleph.cz a Kurzy-Fido.cz Úlohy z varianty

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více