UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Katedra matematiky. Bakalářská práce. Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Romana Olejníčková DŮKAZY MATEMATICKOU INDUKCÍ Olomouc 2015 Vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.

2 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci s názvem Důkazy matematickou indukcí vypracovala samostatně a výhradně s využitím citované literatury a zdrojů. Souhlasím se zapůjčováním práce a s jejím zveřejněním. V Prostějově dne Romana Olejníčková

3 Poděkování Mé poděkování patří doc. RNDr. Jitce Laitochové, CSc. za její odborné vedení, cenné rady, vstřícnost a laskavost při vzniku této bakalářské práce.

4 Obsah Abstrakt... 5 Úvod... 6 Kapitola Matematické důkazy Historie matematických důkazů Druhy matematických důkazů Přímý důkaz Nepřímý důkaz Důkaz sporem Důkazy existence, neexistence a jednoznačnosti Důkaz matematickou indukcí Kapitola Matematická indukce Úplná a neúplná indukce Matematická indukce Úlohy s využitím matematické indukce Úlohy k procvičování matematické indukce Kapitola Posloupnosti a řady Posloupnosti a řady Využití matematické indukce při řešení úloh o posloupnostech a řadách Neřešené úlohy o posloupnostech a řadách s využitím matematické indukce Závěr Seznam symbolů Použitá literatura

5 Abstrakt V bakalářské práci se zabývám tématem Důkazy matematickou indukcí. Důvodem jejího napsání bylo vytvoření sbírky příkladů s využitím matematické indukce. Měla by sloužit nejen k vysvětlení tématu matematické indukce, ale také k jeho procvičení. Práce je členěna do tří hlavních kapitol. V první kapitole se zabýváme matematickými důkazy, jejich historií a dělením. Druhá kapitola se skládá z teorie o matematické indukci a z řešených i neřešených úloh s využitím matematické indukce. V poslední kapitole se věnujeme posloupnostem a řadám, kde je často matematické indukce při jejich řešení využíváno. Klíčová slova: matematický důkaz, induktivní postup, úplná indukce, neúplná indukce, matematická indukce, přirozená čísla, posloupnosti, nekonečné číselné řady Abstract In the bachelor work I deal with the topic Proofs by mathematical induction. The reason for writing it was to create a collection of problems by using mathematical induction. It not only should serve to explain the topic of mathematical induction, but also its practicing. The work is divided into three main chapters. In the first chapter we look at mathematical proofs, their history and division. The second chapter comprises theory about mathematical induction and both solved and unsolved problems by using mathematical induction. The last chapter focuses on sequences and series where mathematical induction is often used for solution. Key words: mathematic proof, inductive steps, complete induction, incomplete induction, mathematical induction, natural numbers, sequences, infinite numerical series. 5

6 Úvod Cílem bakalářské práce bylo vytvoření sbírky úloh s využitím matematické indukce a vytvoření uceleného pohledu na dokazování matematickou indukcí. Nachází se zde i teorie o matematických důkazech, matematické indukci a posloupnostech a řadách, kde je matematická indukce často využívána. Měla by být pomůckou pro studenty při řešení úloh s použitím matematické indukce, ale i pro pedagogy jako inspirace při zadávání úloh. Práce je doplněna o základní pojmy v anglickém jazyce. Je rozdělena do tří kapitol. V Kapitole 1 se zabýváme matematickými důkazy, které mají v matematice velký význam, jelikož bez jejich pomoci nejsme schopni potvrdit platnost matematické věty. Dále se zde věnujeme historii matematických důkazů a jejich druhy jako je přímý důkaz, nepřímý důkaz, důkaz sporem, důkaz existence, neexistence a jednoznačnosti a důkaz matematickou indukcí. Kapitola 2 pojednává především o matematické indukci, ale také o induktivních postupech, kam spolu s úplnou a neúplnou indukcí patří. Zabýváme se zde také definováním přirozených čísel pomocí Peanových axiomů, jelikož jsou jedním ze základních pojmů matematické indukce. Na konci kapitoly najdeme řešené i neřešené úlohy s využitím matematické indukce. Kapitola 3 se věnuje posloupnostem a řadám. Na začátku kapitoly jsou posloupnosti a řady definovány. Dále se v kapitole nachází řešené i neřešené úlohy o posloupnostech a řadách, kde je dokazování matematickou indukcí využito. 6

7 Kapitola 1 Matematické důkazy V úvodní kapitole se budeme zabývat matematickými důkazy, vysvětlením pojmů, které jsou potřeba k tomu, abychom si matematické důkazy mohli definovat. Dále se budeme věnovat historii matematických důkazů a jejich rozdělení. Matematické důkazy (mathematical proofs) mají velký význam, jelikož bez jejich pomoci nejsme schopni potvrdit či vyvrátit jakoukoliv myšlenku či hypotézu. Obecně si matematický důkaz můžeme definovat jako úvahu, která zdůvodňuje platnost matematické věty. Důkaz matematické věty (proof of mathematical theorem) je logický proces, kterým ověřujeme platnost matematické věty pomocí axiomů, definic a dříve dokázaných vět. Axiómy (axioms) jsou matematické výroky, které jsou považovány za pravdivé a nedokazují se. Za výrok (verdict) se považuje každé tvrzení, u kterého můžeme určit jeho pravdivostní hodnotu. Definice (definition) využívá základní pojmy (nebo pojmy dříve zavedené) k určení názvu a charakteristických vlastností nového pojmu. Matematická věta (mathematical theorem) je pravdivý matematický výrok, který je odvozený na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět. 11 Matematická věta se může vyskytovat v několika různých tvarech. První možností je tzv. obecná věta, která je ve tvaru. Další je tzv. existenční věta ve tvaru nebo uvažujeme větu o jednoznačné existenci. Velmi často je obecná věta ve tvaru implikace, kde A se nazývá předpoklad a B se nazývá tvrzení věty. Dále se A nazývá postačující podmínka pro B a B nutná podmínka pro A. Je-li věta ve tvaru ekvivalence, tak pro ni platí. Z toho důvodu ji můžeme dokazovat obdobně jako věty ve tvaru implikace Historie matematických důkazů Historie matematických důkazů (history of mathematical proofs) sahá až do starého Egypta, ale matematické důkazy v dnešním slova smyslu nejsou dochovány. Dochovalo se pouze mnoho záznamů s řešením různých problémů a úloh. 1 JANUROVÁ, Eva a JANURA, Miroslav. Matematika: průvodce učivem základní a střední školy. 1. vyd. Olomouc: Rubico, 1999, s ŘEHÁK, Pavel. Základy matematiky Dostupné z: s.11 7

8 Deduktivní matematický důkaz má svůj původ ve starověkém Řecku, které vzniklo kolem roku 800 př. n. l. Z této doby pochází nejstarší dochované důkazy. Matematický důkaz podobný důkazu používaného v dnešní době má své počátky v řecké geometrii, která se rozvíjela pod vlivem Platónovy filosofie. Matematici, kteří byli Platónovou filozofií ovlivněni, museli vždy odkrývat svět geometrie a dívat se na pravdu, co v něm byla obsažena. Pokud nějaký matematik viděl, neboli evidoval platnost například Pythagorovy věty, viděl ji pouze v době, kdy se dokonale soustředil. Z toho důvodu nebyla Platónská filosofie dlouho udržitelná, jelikož šla využít pouze u jednoduchých typů důkazů a při rozvíjení geometrie nebylo možné se tak dlouho soustředit, aby matematik uviděl pravdu. Matematici začali odstupovat od platónské filozofie a přešli ke kroku, který udal směr matematice až do dnešní doby. Daným krokem bylo používání rozumu. Geometrické pravdy přestaly být evidovány, jelikož je stačilo pouze rozumově zdůvodnit, že by evidovány být mohly. Tímto způsobem začal vznikat matematický důkaz. Další významnou dobou pro matematický důkaz byla doba Aristotela, neboť v této době vznikl přímý a nepřímý důkaz. V době římské se o matematické důkazy vůbec nezajímali, zajímali se pouze o matematiku, která se hodila ve vojenství a stavitelství. V raném středověku si matematika prošla obdobím temna. Pouze Byzantská říše se zajímala o matematické dokazování ze Starověkého Řecka. V Byzantské říši se inspirovala říše Arabská, která byla ovlivněna i indickou matematikou. Arabská matematika se projevila především v díle s názvem Al-Choreziho, v kterém byly položeny základy algebry a vytvořen nový typ matematického důkazu důkaz výpočtem. V století byl pro matematické dokazování důležitý pojem obor, u něhož lze o každém prvku rozhodnout, zda do něj patří nebo nepatří. Oborem jsou například přirozená čísla. Aristotelův vliv měl v této době stále velký význam. Existenční tvrzení se v této době dokazovala pouze konstrukčním důkazem. Dále byl důležitý typ důkazu, který byl založen na geometrickém názoru. Tento typ důkazu byl využit například u Bolzanovy věty. Velkého významu pro matematické dokazování se dostalo českému matematikovi, filozofovi a knězi Eduardu Bolzanovi, který žil v letech Mezi jeho významná díla patří Betrachtungen uber einigo Gegenstände der Elementargeometrie, Rein analytischer Beweid a Paradoxier des Unedlichen, které ovlivnilo zakladatele teorie množin Georga Cantora. Jeho matematické důkazy jsou založeny na nahrazení oborů trvale existujícím seskupením objektů, z kterých se později stal pojem množiny. Seskupení objektů bylo velmi důležité pro vznik nového typu dokazování, který se nazývá nekonstruktivní neboli ryze existenční. Příkladem tohoto typu důkazu je Cantonův důkaz existence transcendentních čísel. 8

9 Canton dokázal, že všech algebraických čísel je spočetně mnoho na rozdíl od čísel reálných, kterých je nespočetně mnoho. Bolzan zkoumal i takové matematické objekty, jejichž existence byla sice dokazatelná, ale nešlo ji zkonstruovat. Z toho důvodu se v druhé polovině 19. století axiomatizoval pojem matematický důkaz. Došlo k odstranění intuice a začaly se přesně formulovat pojmy. Přirozený jazyk se nahrazoval jazykem symbolickým. David Hilbert, Gottlob Freg a další matematici postupně vytvořili ve svých pracích bohatý symbolický jazyk, s nímž šly vyjádřit všechna matematická tvrzení. Vznikl formální důkaz a díky němu šly dokazovat formule s pomocí logických axiomů, než použití intuice či osobního názoru. V této době je důkaz definovatelným pojmem a později v době počítačů byla jeho správnost ověřena algoritmicky pracujícím počítačem. V dnešní době existují počítačové programy, které jsou schopny konstruovat důkazy matematických vět, ale stále nejsou schopny konkurovat lidskému dokazování Druhy matematických důkazů Přímý důkaz Přímý důkaz (direct proof) řadíme k základním typům důkazů. Využívá se při dokazování matematických vět, které jsou ve tvaru implikace, kde A je předpoklad a B je výrok, který chceme dokázat. Matematickou větu ve tvaru implikace dokážeme pomocí řetězce implikací. Je-li A axióm nebo platná věta (dříve dokázaná), pak z platností všech implikací, plyne platnost implikace, tedy i výroku B. Často máme zadaný jen výrok B, který chceme dokázat a výrok A si musíme vhodně zvolit. 4 Úloha Přímým důkazem dokažte větu. 3 Matematický důkaz. Wikipedie [online] [cit ]. Dostupné z: 4 JANUROVÁ, Eva a JANURA, Miroslav. Matematika: průvodce učivem základní a střední školy. 1. vyd. Olomouc: Rubico, 1999, s. 18 9

10 Řešení: Abychom mohli zadanou větu dokázat, musíme si upravit pravou stranu, proto si nejprve vytkneme a a dále upravíme podle vzorce. Zjistili jsme, že zadaná věta platí a jedná se o tři po sobě jdoucí čísla (a - 1), a, (a+1). Z toho důvodu je jedno dělitelné dvěma a druhé třemi, a proto platí, že jejich součin je dělitelný šesti Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz (proof by contraposition) se obdobně jako důkaz přímý používá k dokázání matematických vět ve tvaru implikace, ale původní větu nahradíme větou obměněnou, tj. místo dokazování budeme dokazovat větu ve tvaru Dokazování věty obměněné nám umožní tautologie ve tvaru. 5 Nepřímý důkaz je úzce propojen s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz můžeme převést na důkaz sporem. Úloha Nepřímým důkazem dokažte větu: Řešení: Má se jednat o nepřímý důkaz, a proto budeme dokazovat větu obměněnou, která má tvar. Důkaz věty obměněné: Dokázali jsme větu obměněnou, a proto platí i věta původní 5 Co je to důkaz. Matematika.cz [online] [cit ]. Dostupné z: 10

11 1.2.3 Důkaz sporem Důkaz sporem (proof by contradiction) patří k oblíbeným metodám dokazování. Je založen na zákonu o vyloučení třetího. Zákon o vyloučení třetího říká, že pro každé tvrzení P platí, že je pravdivé. Z toho důvodu tento zákon můžeme použít pouze tam, kde toto tvrzení platí. V důkazu sporem dokážeme, že předpoklad vede k nesmyslnému výsledku neboli ke sporu, což znamená, že je předpoklad nepravdivý, a proto je pravdivá jeho negace. Důkaz sporem provádíme ve třech krocích. Nejdříve provedeme negaci Aʾ původního výroku A. Poté vytvoříme řetězec implikací, kde výrok B n neplatí, což je logický spor. Zjistíme, že negovaný výrok Aʾ neplatí, a proto platí původní výrok A. 6 Úloha Dokažte sporem větu, že je iracionální číslo. Řešení: Budeme dokazovat negaci věty původní: je racionální číslo, proto můžeme psát Je-li racionální číslo, pak ě á čí Zjistili jsme, že číslo p je dělitelné 3 i číslo q je dělitelné 3, a proto jsou to čísla soudělná. Nastává tedy spor s předpokladem, neboť předpoklad, že je racionální číslo neplatí. Proto platí původní věta, že je iracionální číslo Důkazy existence, neexistence a jednoznačnosti Důkazy existence, neexistence a jednoznačnosti se používají při dokazování existenčních vět a můžeme je sestrojit přímo nebo nepřímo. Přímý důkaz může být ryze existenční či konstrukční. U ryze existenčního existenci objektu přímo dokážeme bez jeho určení pomocí nějakého principu např. Dirichletova, jehož nejznámější znění je takové, že pokud umístíme m předmětů do n přihrádek, kde m a n jsou přirozená čísla, pak musí existovat alespoň jedna přihrádka, ve které budou dva předměty. 6 Co je to důkaz. Matematika.cz [online] [cit ]. Dostupné z: 11

12 U konstrukčního dokazování musíme objekt sestrojit. Pro důkaz neexistence je typické dokazování sporem. Důkaz jednoznačnosti je založen na tom, že existuje alespoň jeden objekt a současně existuje nejvýše jeden objekt. U důkazu jednoznačnosti využíváme opět důkaz sporem, kde předpokládáme existenci dvou různých objektů, pro který výrok platí Důkaz matematickou indukcí Důkazu matematickou indukcí se budeme věnovat zvlášť ve 2. kapitole s názvem Matematická indukce. Některé matematické věty lze dokazovat více způsoby. Jedná se například o Pythagorovu větu, která platí v pravoúhlém trojúhelníku a je ve tvaru, kde a, b jsou v pravoúhlém trojúhelníku odvěsny a c přepona. Pythagorova věta nám říká, že v pravoúhlém trojúhelníku se čtverec nad nejdelší stranou neboli přeponou rovná součtu čtverců nad odvěsnami. U Pythagorovy je známo několik stovek důkazů a my se podíváme na ty nejzajímavější. První důkaz je založen na tom, že obsah velkého čtverce se rovná součtu obsahu malého čtverce a čtyřech trojúhelníků (viz. Obrázek 1.1) Obrázek 1.1: Důkaz Pythagorovy věty pomocí dvou čtverců (zdroj: POLSTER, Burkard. Q.E.D.: krása matematického důkazu. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Dokořán, 2014) 7 ŘEHÁK, Pavel. Základy matematiky Dostupné z: s.12 12

13 Podobný typ důkazu je znázorněn na diagramu na Obrázku 1.2. Obrázek 1.2: Důkaz Pythagorovy věty pomocí dvou čtverců (zdroj: POLSTER, Burkard. Q.E.D.: krása matematického důkazu. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Dokořán, 2014) Dále věta, vytvořena Klaudiem Ptolemaiem, která říká, že pro čtyřúhelník vepsaný do kružnice platí. Tato věta je Pythagorovou, jestliže se jedná o čtyřúhelník obdélník. Obrázek 1.3: Ptolemaiův čtyřúhelník vepsaný v kružnici (zdroj: POLSTER, Burkard. Q.E.D.: krása matematického důkazu. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Dokořán, 2014) 13

14 Kapitola 2 Matematická indukce V následující kapitole si uvedeme rozdíl mezi úplnou a neúplnou indukcí, dále si vysvětlíme dokazování pomocí matematické indukce, vyřešíme úlohy s využitím matematické indukce a na závěr je uvedeno pár úloh k procvičování. Matematická indukce spolu s úplnou a neúplnou indukcí patří do induktivních postupů (inductive approachs). Logika nám vysvětluje, že indukce představuje postup od jednotlivého k obecnému. Z toho důvodu je cílem indukce dosáhnout obecného tvrzení o všech objektech určitého druhu (hledáme jejich společnou vlastnost nebo vztah, který spojuje skupinu objektů). Počátky filozofických úvah o induktivním myšlení spadají do dob Sokrata ( před n. l.). Dalším filozofem, který se tímto tématem zabýval, byl Aristoteles ( před n. l.). Po delší dobu se induktivním myšlením nikdo nezabýval až Francis Bacon ( ) a dále John Stuart Mill ( ). Od poloviny 19. století patří k induktivním metodám pojmy i z pravděpodobnosti a statistiky. Ve 20. století jsou induktivní metody považovány za zvláštní část logiky Úplná a neúplná indukce U úplné indukce (complete induction) se zabýváme prvky konečné třídy T. Úplná indukce probíhá ve třech krocích. Nejprve zkoumáme objekty x konečné třídy T s cílem objevení společné vlastnosti V těchto prvků, dále ověříme, zda objekty konečné třídy T mají objevenou vlastnost V a nakonec vyslovíme obecný výrok jako závěr buď nebo. Pořadí kroků je velmi důležité, jinak by se nejednalo o indukci. Stejného postupu je využito při psychologických testech, kde například známe číselnou řadu a máme doplnit další čísla dle pravidla, které se vyskytuje u předchozích čísel. Takové typy úloh se aplikují již u žáků 5. třídy, ale čísel je zadaný menší počet. Žáci si tímto způsobem rozvíjí induktivní myšlení. V matematice však dominuje neúplná indukce, která se zabývá prvky nekonečných tříd. Neúplná indukce (incomplete induction) vede k obecným hypotézám. Hypotéza (hypothesis) je výrok, u kterého neznáme pravdivostní hodnotu. Proto v matematice musíme 8 ODVÁRKO, Oldřich. Metody řešení matematických úloh. Vyd. 2., přeprac. Praha,

15 používat deduktivní metody, které nám umožní obecnou hypotézu dokázat nebo vyvrátit. Z toho důvodu neúplná indukce spočívá v tom, že obecný výrok o všech prvcích třídy T vyslovujeme na základě výsledků zkoumání jen části třídy T. Obdobně, jako úplná indukce, probíhá ve třech krocích. Nejprve prozkoumáme několik objektů třídy T a objevíme společnou vlastnost pro tyto objekty V. Dále vyslovíme obecnou hypotézu o všech objektech třídy T:. Nakonec ověříme námi vyslovenou obecnou hypotézu. Výsledek však není jistý, jelikož při ověření obecné hypotézy můžou nastat tři případy: hypotézu dokážeme, hypotézu vyvrátíme, anebo nejsme schopni hypotézu ani dokázat, ani vyvrátit. Hypotézy, které nejsme schopni ani dokázat, ani vyvrátit řadíme do metateorie. Například tzv. Fermatova věta je nerozhodnutou hypotézou už přes 300 let Matematická indukce V matematice se často nacházejí výroky, které jsou závislé na přirozených číslech, proto má v matematice důležitou roli matematická indukce (mathematical induction) a je velmi často při dokazování matematických vět a řešení úloh využívána. Uvažujeme-li množinu M, která má tyto dvě vlastnosti: 1). 2) Pro každé přirozené číslo p platí: Jestliže, potom také. Množina M obsahuje všechny přirozená čísla. Na tomto principu je dokazování matematických vět pomocí matematické indukce založeno. Máme-li větu ve tvaru Pro každé přirozené číslo platí (nebo dá-li se tak zformulovat), tak stačí dokázat dvě pomocné věty: 1. věta: Věta platí pro číslo věta: Pro každé přirozené číslo p platí: Pokud věta platí pro číslo p, pak platí i pro číslo. Vidíme, že je to obdoba našeho principu. Místo množiny M vezmeme množinu přirozených čísel, pro něž daná věta platí. 2. pomocná věta se skládá ze dvou částí: z indukčního předpokladu (induction assumption) a indukčního kroku (induction step). 10 Schéma důkazu matematickou indukcí může mít mnoho různých podob. Například budeme-li nějaké tvrzení dokazovat pro, tak budeme první krok matematické indukce 9 ODVÁRKO, Oldřich. Metody řešení matematických úloh. Vyd. 2., přeprac. Praha, VRBA, Antonín, ed. Kombinatorika, pravdepodobnosť, matematická indukcia: Pre 2. roč. gymnázia so zameraním na matem. Vyd. 4. Bratislava, s. 5 15

16 ověřovat pro. Obdobně můžeme dokázat i obecnější varianty, které umožňují dokazovat věty ve tvaru: Pro každé celé číslo větší nebo rovno k platí. U obecnějších variant musíme opět dokázat dvě pomocné věty: 1. věta platí pro celé číslo k. 2. Pro každé celé číslo c k platí: Pokud věta platí pro číslo c, pak musí platit i pro číslo c + 1. Matematickou indukcí můžeme dokázat, že výroky jsou pravdivé, pro všechna přirozená čísla. Z toho důvodu jsou přirozená čísla jedním ze základních pojmů matematické indukce. Můžeme je vytvořit z jedničky opakovaným sčítáním. 11 Přirozená čísla (integers) můžeme formulovat různě, ale nejznámější definice je pomocí tzv. soustavy Peanových axiomů (Peano axioms): P1: 1 je přirozené číslo. P2: Ke každému přirozenému číslu a existuje jediný jeho následovník a a ten je také přirozené číslo. P3: 1 není následovník žádného přirozeného čísla. P4: Různá přirozená čísla mají různé následovníky. P5: Nechť má množina M tyto dvě vlastnosti: a) Obsahuje číslo 1. b) S každým přirozeným číslem a obsahuje i jeho následovníka a. Potom množina M obsahuje všechna přirozená čísla. Můžeme si všimnout, že u axiomu P5 je využita matematická indukce. Důkaz matematickou indukcí je velmi zajímavý, neboť jeho obdobu můžeme pozorovat u matematického domina. Když si do řady postavíme očíslované kostky domina ve správné vzdálenosti od sebe tak, aby platilo, že jestliže se převrátí kostka n, pak se převrátí i kostka následující tak při převrácení máme zaručené, že se jednou převrátí i kterákoliv jiná kostka. Na stejném principu je důkaz matematickou indukcí založen. Jediný rozdíl je v tom, že místo dominových kostek máme nekonečný počet tvrzení očíslovaných pomocí přirozených čísel. Zaručíme-li pravdivost prvního tvrzení a zároveň bude platit, že z pravdivosti n-tého tvrzení vyplývá pravdivost ( )-tého tvrzení, tak víme, že jsou pravdivá všechna tvrzení. 11 ODVÁRKO, Oldřich. Metody řešení matematických úloh. Vyd. 2., přeprac. Praha,

17 S důkazem matematickou indukcí se žáci nesetkají na základní škole. Setkají se s ní až na škole střední a dále na škole vysoké. 2.3 Úlohy s využitím matematické indukce Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že pro všechna přirozená čísla platí Řešení Nejdříve danou rovnost dokážeme pro n = 1: Danou rovnost pro n = 1 jsme dokázali. Dále budeme předpokládat, že daná rovnost platí pro n = k: Protože jsme předpokládali, že daná rovnost platí pro n = k, tak dokážeme, že platí i pro : 17

18 Dokázali jsme, jestliže zadaná věta platí pro n = k, tak platí i pro n = k + 1. Použitím matematické indukce jsme dokázali, že zadaná rovnost platí. Úloha Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí vztah: Řešení Nejdříve použijeme 1. krok matematické indukce a zadaný vztah dokážeme pro n = 1: Pro jsme daný vztah dokázali. Dále použijeme 2. krok matematické indukce a předpokládáme, že daná věta platí pro n = k: Protože jsme předpokládali, že zadaný vztah platí pro n = k, tak ho musíme dokázat pro n = k+1. Dokázali jsme i 2. krok matematické indukce, a proto zadaný vztah pro přirozené číslo n platí. Úloha Užitím matematické indukce dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí Řešení Nejprve danou rovnost dokážeme pro : 18

19 Zjistili jsme, že pro n = 1 daná rovnost platí. Budeme předpokládat, že rovnost platí pro : Danou rovnost dokážeme pro : Zadanou větu jsme dokázali. Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí Řešení Nejdříve zadanou rovnost dokážeme pro n = 1: Na obou stranách nám vyšlo číslo 1 a tím je daná rovnost pro n = 1 dokázána. Dále budeme předpokládat, že zadaná rovnost platí pro n = k. Potom dokážeme pro n = k + 1: 19

20 Dokázali jsme, že daná rovnost platí i pro matematické indukce dokázali a úloha je vyřešena.. Tím jsme zadanou rovnost pomocí Úloha Využitím matematické indukce dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí: Řešení Danou větu dokážeme pro n = 1: Zadanou větu jsme pro n = 1 dokázali. Dále budeme předpokládat, že : A danou větu dokážeme pro : Dokázali jsme indukční předpoklad a zjistili, že zadaná věta platí. Úloha Dokažte, že číslo není dělitelné číslem 73 pro každé přirozené číslo. 20

21 Řešení Nejprve dokážeme pro první pomocnou větu, kde k = = 89 Zjistili jsme, že pro k = 1 věta platí, jelikož číslo 89 není dělitelné číslem 73. Dále dokážeme druhou pomocnou větu. Předpokládáme, že tvrzení platí, dokážeme. 2 3p p + 4 = p p = 8 2 3p p = 8 (2 3p + 3 4p ) p Vidíme, že první ze sčítanců není dělitelný číslem 73, druhý naopak ano. Dokázali jsme, že jejich součet není dělitelná číslem 73. Pomocnou větu jsme nedokázali a tím zjistili, že číslo 2 3k + 3 4k není dělitelné číslem 73. Úloha Dokažte pomocí matematické indukce, že platí Bernoulliho nerovnost: Řešení Použijeme 1. krok matematické indukce a danou větu dokážeme pro : 1. krok matematické indukce jsme dokázali a dále dokážeme 2. krok. Předpokládáme, že zadaná věta platí pro : a dokážeme pro : Dokázali jsme i 2. krok matematické indukce. Zadaná věta je dokázána. 21

22 Úloha Dokažte binomickou větu pomocí matematické indukce: Řešení Binomickou větu dokážeme pro : Danou větu jsme pro dokázali. Dále předpokládáme, že : Binomickou větu dokážeme pro : Použijeme-li vzorce:, tak dostaneme:, Binomickou větu se nám podařilo pomocí matematické indukce dokázat. Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že součin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný dvěma. 22

23 Řešení Dvě po sobě jdoucí přirozená čísla jsou n a n + 1. Máme dokázat větu. Nejdříve větu dokážeme pro n = 1: První krok matematické indukce jsme dokázali, jelikož 2 je dělitelné dvěma. Dále budeme předpokládat, že n = k: Dokážeme, že věta platí i pro n = k + 1: Vidíme, že se jedná o dvě po sobě jdoucí čísla, tak platí, že jedno z nich musí být sudé, a proto bude součin dělitelný dvěma. Zadanou větu jsme dokázali. Úloha Dokažte matematickou indukcí: Řešení Zadanou větu dokážeme pro n = 1: Danou větu jsme dokázali pro n = 1. Dále budeme předpokládat, že daná věta platí pro n = k: A dokážeme pro : Dle indukčního předpokladu je zřejmé, že je dělitelné šesti, 12 je dělitelné šesti a výraz je dělitelný třemi a jelikož se jedná o dvě po sobě jdoucí čísla, tak i dvěma. Zadanou větu jsme dokázali. 23

24 Úloha V rovině je dán konečný počet přímek a ty rovinu dělí na části. Dokažte, že tyto části je možno vybarvit dvěma barvami tak, aby každá část byla vybarvena jinou barvou a aby dvě sousední části nebyly vybarveny stejnou barvou. Řešení Jestliže nám jedna přímka rozděluje rovinu na dvě poloroviny, tak obě poloroviny lze vybarvit odlišnými barvami. Dokázali jsme, že 1. krok matematické indukce, kde n = 1. Dále budeme předpokládat, že věta platí pro jakýchkoliv k přímek. Budeme-li mít k + 1 přímek, tak si nejdřív jednu přímku odmyslíme. Dle indukčního předpokladu známe obarvení O pro zbylých k přímek. I nadále budeme uvažovat jednu přímku odmyšlenou a v jedné polorovině, na kterou dělí rovinu, přetočíme barvy o obarvení O (viz. Obrázek 2.1). Tím jsme získali obarvení pro k + 1 přímek, které splňuje zadání. Podařilo se nám dokázat i 2. krok matematické indukce a pomocí matematické indukce jsme dokázali větu zadanou. Obrázek 2.1 Rozdělení roviny přímkami (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Kombinatorika, pravdepodobnosť, matematická indukcia: Pre 2. roč. gymnázia so zameraním na matem. Vyd. 4. Bratislava, 1989.) Úloha Dokažte pomocí matematické indukce, že každou šachovnici tvaru, na níž chybí jedno políčko neboli poškozenou šachovnici, lze pokrýt kostkami tvaru L, které jsou složeny ze tří políček. 24

25 Řešení Nejprve větu dokážeme pro n = 1. Máme-li poškozenou šachovnici typu, tak je sama ve tvaru L (Obrázek 2.2) a lze ji pokrýt jednou kostkou. Danou větu jsme dokázali pro n = 1. Obrázek 2.2: Poškozená šachovnice typu 2 x 2 (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Princip matematické indukce. 1. vyd. Praha, 1977.) Nyní budeme předpokládat, že daná věta platí pro číslo n a dokážeme pro n + 1. Vezmeme-li poškozenou šachovnici typu a šachovnici rozdělíme na čtvrtiny. Získáme čtyři šachovnice typu z nichž právě jedna šachovnice je poškozená. Obrázek 2.3: Poškozená šachovnice typu 4 x 4 (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Princip matematické indukce. 1. vyd. Praha, 1977.) Ze zbývajících šachovnic odstraníme na každé jedno políčko, které je přilehlé ke středu původní šachovnice (Obrázek 2.3). Vzniknou nám čtyři poškozené šachovnice typu. Takový typ šachovnice umíme dle indukčního předpokladu pokrýt kostkami ve tvaru L. Zbyli nám tři políčka, které jsou však tvaru L a můžeme je také pokrýt kostkou ve tvaru L. Podařilo se nám pokrýt celou poškozenou šachovnici tvaru Zadanou větu jsme dokázali. Obrázek 2.4: Poškozená šachovnice 8 x 8 (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Princip matematické indukce. 1. vyd. Praha, 1977.) 25

26 Úloha Dokažte matematickou indukcí de Moivreovu větu:, kde i je imaginární jednotka a platí. Řešení Nejprve de Moivreovu větu dokážeme pro n = 1: Budeme předpokládat, že věta platí pro n = k: A dokážeme pro n = k + 1: Podařilo se nám dokázat zadanou větu pro. De Moivreovu větu jsme dokázali. Úloha Pomocí matematické indukce dokažte, že pro všechna přirozená čísla n platí: Řešení Při řešení úlohy nejprve zadanou větu dokážeme pro n = 3: Pro n = 3 jsme zadanou větu dokázali. Dále předpokládáme, že n = k: A dokážeme pro n = k + 1: 26

27 Za předpokladu, že se znaménko nerovnosti nemění a. Úloha Na čtverečkovaném bílém papíře máme n čtverečků začerněno. Čtverečky přebarvujeme najednou dle následujícího pravidla: Každý čtvereček bude mít takovou barvu, jakou měla většina z těchto tří čtverečků: uvažovaný čtvereček, čtvereček vedle něj vpravo a čtvereček bezprostředně nad ním. Dokažte matematickou indukcí, že nejvýše po n přebarveních budou všechny čtverečky bílé. Řešení Pro zadaná věta zřejmě platí. Buď a předpokládáme, že pro všechna přirozená čísla, která jsou menší než zadaná věta platí. Dokážeme, že zadaná věta platí i pro. Nechť máme čtverečků černých. Budeme uvažovat první svislou řadu čtverečků zleva. V řadě se ještě nachází černé čtverečky. Ty nebudou mít žádný vliv na přebarvení čtverečků v ostatních svislých řadách, v kterých je nejvýše p černých čtverečků a dle indukčního předpokladu v nich po p přebarveních už žádný černý čtvereček nebude. Stejně dokážeme, že po p přebarveních nebude černý čtvereček ani ve vodorovných řadách kromě té, která byla nejníže a původně obsahovala černé čtverečky. Po p přebarveních může být černý pouze jediný čtvereček, v kterém se kříží uvažovaná levá svislá a dolní vodorovná řada. Po -tém kroku bude přebarven na bílo i tento čtvereček. Tím jsme pomocí matematické indukce zadanou větu dokázali. 27

28 Obrázek 2.5: Ukázka přebarvení čtverečků (zdroj: VRBA, Antonín, ed. Kombinatorika, pravdepodobnosť, matematická indukcia: Pre 2. roč. gymnázia so zameraním na matem. Vyd. 4. Bratislava, 1989.) Úloha Na poště prodávají známky z edice známek z roku 2014 s názvem Beskydy - kraj velkých šelem v hodnotě 13 Kč a 17 Kč. Dokažte pomocí matematické indukce, že známkami z této edice lze ofrankovat jakoukoliv zásilku, jejíž poštovné činí alespoň 204 Kč. Řešení U tohoto typu úlohy využijeme obecnější variantu matematické indukce. Při řešení úlohy musíme dokázat větu: Ke každému přirozenému číslu a 204 existují celá nezáporná čísla u, v takové, že platí Aby se nám podařilo větu dokázat, musíme dokázat obě pomocné věty pro celé číslo k =

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy 1.4.6 tavba matematiky, důkazy Předpoklady: 1401, 1404 Pedagogická poznámka: Tato hodina se velmi liší od většiny ostatních neboť jde v podstatě o přednášku. Také ji neprobíráme v prvním ročníku, ale přednáším

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

1.4.6 Negace složených výroků I

1.4.6 Negace složených výroků I 1.4.6 Negace složených výroků I Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Dlouho jsem se v počátcích své praxe snažil probrat negace za jednu hodinu. Tvorba negací je skvělým procvičováním schopnosti dodržovat

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 30 bodů Pro přijetí uchazečů je rozhodné umístění v sestupném pořadí uchazečů podle dosaženého bodového hodnocení. 1Základní informace k zadání zkoušky

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více