Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8].

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]."

Transkript

1 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině A.Pakdvojici A(α i i I)nazveme algebrou. Příklad. AlgebrytvořínapříkladZ(+),Z(+, ),Z(+,,0,1).Je-liTtěleso,pak jealgebrout(+, )čit(+,,,0,1),provektorovýprostor V nadt,jealgebrou V(+, t t T). Definice.Buď α n-árníoperacena A.Řekneme,žepodmnožina B Ajeuzavřená naoperaci α,pokud α(a 1,...,a n ) Bprovšechna a 1,...,a n B.Řekneme,že B Ajepodalgebraalgebry A(α i i I),pokudje Buzavřenánavšechnyoperace α i, i I. Označíme-li β i = α i B nomezení n-árníoperace α i na B n,potompropodalgebru Bležívšechnyhodnotyzobrazení β i opětvb.zobrazení β i tedymůžemechápat jakooperacenamnožině Batakdostávámestrukturualgebry B(β i i I)na každé podalgebře B. Příklad.(1)Je-li A(α i i I)algebra,pak Azřejmětvoříjejípodalgebru.Pokud navícžádnázoperací α i nenínulární,potom jepodalgebroualgebry A(α i i I). (2) Uvažujeme-li algebru Z(+, ), pak pro každé celé n tvoří množina všech násobků nz={nz z Z}podalgebru. (3) Každý podprostor vektorového prostoru V nad tělesem T, je podalgebrou algebry V(+, t,t T). Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. Definice. Nechť symbol α označuje n-ární operaci na množině A. Řekneme, že zobrazení f: A Bjeslučitelnésα,pokud f(α(a 1,...,a n ))=α(f(a 1 ),...,f(a n )). Řekneme,žealgebry A(α i i I)aB(α i i I)jsoustejnéhotypu,pokud α i označujenamnožině Ainamnožině B dvěoperacestejnéarity.zobrazení f : A Bmezidvěmaalgebramistejnéhotypubudemeříkathomomorfismus, pokudjeslučitelnésevšemioperacemi α i, i I.Bijektivníhomomorfismusbudeme nazývat izomorfismus. Příklad. (1)Zobrazení π:z Z n definovanépředpisem π(z)=(z)mod nje homomorfismusalgebryz(+, )doz n (+, ). (2)Nechť Ua V jsoudvavektorovéprostorynadtělesem T.Potomkaždýhomomorfismus vektorových prostorů je homomorfismem algeber U(+, t t T) a V(+, t t T). (3)Označme M n (T)množinuvšechčtvercovýchmaticnadtělesem Ta budiž symbolem násobení matic. Potom zobrazení, které každé matici přiřadí její determinant,jehomomorfismemalgebry M n (T)( )do T( ). Poznámka1.2. Buď A(α i i I), B(α i i I)aC(α i i I)algebrystejného typu.jsou-lizobrazení f : A B a g : B C homomorfismy,pakigf je homomorfismus.je-linavíc fbijekce,je f 1 takéhomomorfismus. 1

2 2 Důkaz. Viz[D, 2.2]. V případě, že nemůže dojít k omylu nebo jednotlivé operace na algebře nepotřebujeme uvažovat, budeme v následujícím označiovat algebru jen její nosnou množinou. Poznámka1.3. Buď AaBdvěalgebrystejnéhotypuabuď f: A Bhomomorfismus.Je-li C podalgebraalgebry AaDpodalgebraalgebry B,pak f(c)je podalgebrou Ba f 1 (D)jepodalgebrou A. Důkaz. Viz[D, 2.3]. Připomeňme, že relací na množině A rozumíme libovolnou podmnožinu A A. Nechť ρ je relace na A, označme: - ρ 1 = {(b,a) (a,b) ρ}(opačnárelace), - ρ + = {(a,b) a=a 0,a 1,...,a n 1,a n = b A;(a i,a i+1 ) ρ}(tranzitivní obal), - id={(a,a) a A}(identita). Řekneme,žerelace ρjesymetrická,pokud ρ 1 ρ,tranzitívní,pokud ρ + ρ, a reflexivní, pokud id ρ. Ekvivalencí budeme nazývat každou symetrickou, tranzitívní a reflexivní relaci. Definice. Nechť ρ je ekvivalence na množině A. Definujme faktor množiny(často seříkátakékvocient) Apodlerelace ρjakomnožinu A/ρ={[a] ρ a A},kde [a] ρ = {b A (a,b) ρ}. Poznámka1.4.(1)Je-li ρekvivalencena A,pak A/ρ={[a] ρ a A}tvořírozklad množiny A. (2)Je-li {B i i I}rozkladmnožiny A,pakrelace ρurčenápodmínkou:(a,b) ρ i I: a,b B i jeekvivalencíaa/ρ={b i i I}. Důkaz.(1) Viz[D, 1.7],(2) zřejmé. Definice. Je-li f : A Bzobrazení,rozumímejehojádrem ker f relacidanou předpisem:(a,b) ker f f(a)=f(b).mějmena Aekvivalenci ρ.přirozenou projekcínazvemezobrazení π ρ : A A/ρdanépředpisem π ρ (a)=[a] ρ. Poznámka1.5.Nechť f: A Bjezobrazeníaρekvivalencenamnožině A.Pak platí: (1) ker f je ekvivalence, (2) ker f= id,právěkdyžje fprostézobrazení, (3) ker π ρ = ρ, (4)Zobrazení g:a/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = f existujeprávětehdy, když ρ ker f. Důkaz.(1)(a,a) ker f,neboť f(a)=f(a);pokud(a,b) ker f,pak f(a)=f(b), tedy(b,a) ker f;je-li f(a)=f(b)=f(c),potomzřejmě(a,c) ker f. (2),(3) Plyne přímo z definice. (4) Viz[D, 1.10]. Definice.Nechť ρjerelaceaαje n-árníoperacenamnožině A.Řekneme,že ρje slučitelnásα,pokudprokaždýsystémprvků a 1,...,a n,b 1...,b n A,prokteré a i ρb i, i=1,...,n,platí,že α(a 1,...,a n )ρα(b 1,...,b n ).

3 3 Je-li A(α i i I)algebraaρekvivalencenamnožině A,pak ρnazvemekongruencí,pokudje ρslučitelnásevšemioperacemi α i, i I. Příklad.(1) id a A A jsou kongruence na libovolné algebře A. (2)Vezměmepřirozenéčíslo n 2aoznačme n relacinamnožiněcelýchčísel Zdanoupředpisem: a n b n/(a b).potomje n kongruencenaalgebře Z(+,, ). (3) Každá ekvivalence je slučitekná s libovolnou nulární operací. Poznámka 1.6. Nechť AaB jsoudvěalgebrystejnéhotypuaf : A B je homomorfismus. Pak ker f je kongruence na algebře A. Důkaz. Viz[D, 2.5]. Definice. Nechť ρjeekvivalenceaαje n-árníoperacenamnožině A.Pokud je ρslučitelnásαdefinujemeoperaci αna A/ρnásledovně: α([a 1 ] ρ,...,[a n ] ρ )= [α(a 1,...,a n )] ρ.je-li ρkongruencenaalgebře A,pakstejnýmzpůsobemdefinujeme na A/ρ strukturu algebry. Věta 1.7. Je-li ρ kongruence na algebře A, pak je definice algebry A/ρ korektní, jdeoalgebrustejnéhotypujako Aapřirozenáprojekce π ρ : A A/ρjehomomorfismus. Důkaz. Viz[D, 2.6]. Definice. Algebru G( ) s jednou binární operací nazýváme grupoid. Neutrálním prvkemgrupoidu G( )(nebooperace )rozumímetakovýprvek e G,že g e= e g= gprovšechna g G.Algebru G(,e)nazvememonoidem,pokudjeoperace asociativní a e je neutrální prvek operace. Podgrupoidem(podmonoidem) nazveme každou podalgebru grupoidu(monoidu). Poznámka 1.8. Každý grupoid obsahuje nejvýše jeden neutrální prvek. Důkaz.Jsou-li e,fdvaneutrálníprvky,pak e=e f= f. Příklad. Je-li X aspoň dvouprvková množina a definujeme-li na X binární operaci předpisem x y= x,jeoperace asociativní,ale Xneobsahuježádnýneutrální prvek. Přitom dokonce každý prvek X splňuje první z rovností, kterou je neutrální prvek definován. Příklad. (1)Nechť X jeneprázdnámnožinapísmenam(x)jemnožinavšech slov, tj. všech konečných posloupností písmen. Zaveďme na této množině operaci skládání : x 1...x n y 1...y m = x 1...x n y 1...y m adáleoznačme λprázdnéslovo. Potom M(X)(, λ) tvoří(tzv. slovní) monoid. (2) Buď X nějaká neprázdná množina a označme T(X) množinu všech zobrazení množiny Xdosebe.Potom T(X)(,Id)tvoří(soperacískládání )(tzv.transformační) monoid. (3)Čtvercovématice M n (T)nadtělesem T stupně nspolusnásobenímajednotkovoumaticí M n (T)(,Id)tvořímonoid. Poznámka1.9. Buď S(,1)monoidaa,b,c S.Pokudplatí,že a b=c a=1, potom b=c. Důkaz. c=c 1=c (a b)=(c a) b=1 b.

4 4 Příklad. Uvažujme transformační monoid T(N) na množině všech přirozených číselanechť α(k)=2kaβ(k)=[ k 2 ].Pak βα=idaαβ Id. Definice.Nechť S(,1)jemonoid.Řekneme,žeprvek s Sjeinvertibilní,pokud existujetakovýprvek s 1 S,že s 1 s=s s 1 =1.Prvek s 1 nazvemeinverzním prvkemkprvku s. Poznámka Množina všech invertibilních prvků monidu S(, 1) tvoří jeho podmonoid.navíc,je-li sinvertibilníprvek,pakis 1 jeinvertibilní. Důkaz. Viz[D, 2.16]. Definice. Algebra G(, 1,1)jegrupa,pokud G(,1)jemonoida 1 jeunární operace, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní, je-li operace komutativní, mluvíme o komutativní(abelově) grupě. Podgrupou budeme rozumět každoupodalgebrualgebry G(, 1,1).Normálnípodgrupajekaždápodgrupa H grupy Gsplňujícínavícpodmínku ghg 1 Hprokaždé g Gah H. Poznámka Nechť S(,1)jemonoidaS označujejehopodmonoidvšech invertibilníchprvků.označme S restrikci S S operace namnožinu S S adefinujemeunárníoperaci 1 tak,že a 1 jeinverzníprvekprolibovolné a S. Pak S ( S, 1,1)jegrupa. Příklad.(1) Grupa invertibilních prvků(podle Poznámky 1.11) slovního monoidu M(X)(, λ) obsahuje pouze neutrální prvek e. (2) Grupu invertibilních prvků transformačního monoidu T(X)(, Id) tvoří právě všechny bijekce S(X) na množině X (mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací). (3)Grupuinvertibilníchprvkůmonoidučtvercovýchmatic M n (T)(,Id)stupně n tvoří právě všechny regulární matice stupně n. Poznámka Všechny podgrupy komutativní grupy jsou normální. Věta1.13. Nechť G(, 1,1)jegrupaaρrelacena G.Pak ρjekongruencena G(, 1,1)právětehdy,když[1] ρ jenormálnípodgrupa Ga(g,h) ρ g 1 h [1] ρ. Důkaz. Viz[D, 6.10]. 2. Uzávěrové systémy na algebře Definice. Nechť AjemnožinaaC P(A)jenějakýsystémpodmnožinmnožiny A.Řekneme,že Cjeuzávěrovýmsystémemnad A,pokud (1) A C, (2) prokaždýpodsystém {B i i I} C,je {B i i I} C. Pro uzávěrový systém C na množině A a každou podmnožinu B C definujme uzávěr Bv Cjakomnožinu cl C B= {C C B C}. Zobrazení α: P(A) P(A) nazýváme uzávěrovým operátorem, pokud (1) B α(b),provšechna B P(A), (2) α(α(b))=α(b),provšechna B P(A), (3) α(b) α(c),provšechna B C A.

5 5 Příklad. Mějme nějaký vektorový prostor V a označme C množinu všech podprostorů V. Pak C je uzávěrový systém(platnost obou axiomů uzávěrového systému byla dokázána na přednášce lineární algebry). Prostor generovaný množinou X V jeuzávěrem Xv Cazobrazení,kterékaždépodmnožině X V přiřadípodprostor generovaný množinou X, je uzávěrovým operátorem. Poznámka 2.1. Nechť A(α i i I)jealgebra.Pakvšechnypodalgebryalgebry A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A. Důkaz.Plynepřímoz1.1azfaktu,že Ajeuzavřenánalibovolnouoperacina A. Věta2.2. (1)Je-li Cuzávěrovýsystémnad A,pak cl C tvoříuzávěrovýoperátor. (2)Je-li αuzávěrovýoperátorna A,pakmnožina C= {C A α(c)=c}tvoří uzávěrovýsystémnad Aaα=cl C. Důkaz. Viz[D, 1.1]. Poznámka 2.3. Všechny uzávěrové systémy nad množinou A tvoří uzávěrový systém nad P(A). Důkaz. Viz[D, 1.2]. Poznámka2.4.Nechť AaBjsoutakovédvauzávěrovésystémynad A,že A B, anechť C D A.Potom cl B (C) cl A (D). Důkaz. Viz[D, 1.3]. Poznámka 2.5. Všechny symetrické(tranzitívní, reflexivní) relace i ekvivalence namnožině Atvoříuzávěrovýsystémna A A. Důkaz. Důkaz, že symetrické(tranzitívní, reflexivní) relace tvoří uzávěrový systém viz[d, 1.4]. Ekvivalence jsou průnikem všech symetrických, tranzitívních a reflexivních relací, proto tvoří uzávěrový systém podle 2.3 Poznámka2.6. Všechnykongruencenaalgebře A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A A. Důkaz. Viz[D, 2.4]. Poznámka 2.7. Nechť ρjerelacenamnožině A.Pokudje ρreflexivní(resp. symetrická)relace,pakiρ + i ρ ρ 1 jereflexivní(resp.symetrická). Důkaz. Viz[D, 1.5]. Věta2.8.Buď ρrelacenamnožině A.Potom((ρ id) (ρ Id) 1 ) + =(ρ ρ 1 id) + jenejmenšíekvivalencena Aobsahujícírelaci ρ. Důkaz. Viz[D, 1.6]. Definice. Buď A algebra a X A. Označme A uzávěrový systém všech podalgeber A.Potombudemeříkat,že Xgeneruje(podalgebru) cl A (X). Poznámka 2.9. Buď f,g : A B dvahomomorfismyalgeberstejnéhotypua nechť X Agenerujealgebru A.Jestliže f(x)=g(x)provšechna x X,potom f= g. Důkaz. Viz[D, 3.3].

6 6 Příklad.UvažujmegrupucelýchčíselZ(+,,0)aG(+,,0)nějakádalšíalgebra sjednoubinárníoperací+,unárníoperací anulárníoperací0.nechť f,g:z G je homomorfismus. Uvědomme si, že nejmenší podgrupa obsahující prvek 1 je už rovnacelémuz.podlepředchozípoznámkyjsoutedy fa gshodné,pokud f(1)= g(1). 3. Izomorfismy algeber Připomeňme, že izomorfismus je bijektivní homomorfismus dvou algeber. Pokud mezidvěmaalgebrami AaBexistujeizomorfismus,říkáme,že AaBjsouizomorfní (píšeme A = B).Dálepoznamenejme,ženalibovolnémnožiněalgeberstejného typu Mjerelace =ekvivalencí(viz1.2). Definice. Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Definujmerelaci σ/ρna A/ρ následovně:([a] ρ,[b] ρ ) σ/ρ (a,b) σ. Poznámka3.1. (1)Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Pak σ/ρjedobře definovaná ekvivalence na A/ρ. (2)Nechť ρjeekvivalencenamnožině Aaηjeekvivalencena A/ρ.Potom existujeprávějednaekvivalence σna A,proníž η= σ/ρ. Důkaz.(1)viz[D,1.8]a(2)viz[D,1.9]. Poznámka3.2. Buď ρkongruencenaalgebře Aaσekvivalencena Aobsahující ρ.pakje σkongruencenaalgebře Aprávětehdy,kdyžje σ/ρkongruencenaalgebře A/ρ. Důkaz. Viz[D, 3.4]. Poznámka3.3. (Větaohomomorfismu)Buď f : A Bhomomorfismusdvou algeberstejnéhotypuanechť ρjekongruencenaalgebře A.Pakexistujehomomorfismus g: A/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = fprávětehdy,když ρ ker f. Navíc,pokud gexistuje,je gizomorfismus,právěkdyž fjenaaker f= ρ. Důkaz. Viz[D, 3.7]. Věta3.4(1.větaoizomorfismu).Nechť f: A Bjehomomorfismusdvoualgeber stejnéhotypu.pak f(a)jepodalgebra B(tedyalgebrastejnéhotypu)aA/ker fje izomorfní f(a). Důkaz. Viz[D, 3.9]. Příklad.Mějmehomomorfismus f n :Z Z n grupycelýchčíselz(+,,0)agrupy Z n (+,,0)spočítánímmodulo ndanýpředpisem f n (k)=(k)mod n.pakpodle 1.větyoizomorfismujeZ/ker f n =Zn,navícjezjevně(a b) ker f n,právě když n/(a b). Věta3.5(2.větaoizomorfismu).Nechť ρ σjsoudvěkongruencenaalgebře A. Pak algebra A/σ je izomorfní algebře(a/ρ)/(σ/ρ). Důkaz. Viz[D, 3.10].

7 7 4. Svazy Definice. Relaci na množině M budeme říkat uspořádání, pokud je to reflexivní atranzitivnírelace,pronížplatípodmínka a b, b a a=bprokaždé a,b M(tj.jdeoslaběantisymetrickourelaci). Příklad. Následující relace jsou uspořádáním: - namnožiněvšechpodmnožin P(X)množiny X, - / na množině všech přirozených čísel N, - na množině všech celých(reálných, racionálních) čísel Z(R, Q), - Id na libovolné neprázdné množině M. Definice. Nechť jeuspořádánínamnožině Ma A M.Řekneme,že m A jenejmenší(resp.největší)prvekmnožiny A,pokud m a(resp. a m)pro všechna a A. Supremem(resp. infimem) množiny A budeme rozumět nejmenší prvekmnožiny {n M a A: a n}(resp.největšíprvekmnožiny {n M a A: n a}),supremumznačíme sup ainfimum inf.dvojici(m, ) budemeříkatsvaz,pokudprokaždédvaprvky a,b Aexistujesupremuma infimum množiny {a, b}. Svaz(M, ) je úplným svazem, existuje-li supremum a infimum každé podmnožiny M. Příklad. Snadno nahlédneme, že svazem jsou následující dvojice -(P(X), ),kde sup (A,B)=A Ba inf (A,B)=A B, -(N,/),kde sup / (n,m)=nsn(n,m)ainf / (a,b)=nsd(n,m), -(Z, ),(R, ),(Q, ),kde sup (a,b)=max(a,b)ainf (a,b)=min(a,b). Příklad. (P(X), )jedokonceúplnýsvaz,kde sup (B)= Bainf (B)= B pro každou podmnožinu B P(X). Definice.Nechť(M, )jesvaz.prokaždédvaprvky m,n Moznačme m n= sup ({m,n})am n=inf ({m,n}).potombinárníoperaci nazvemespojení a průsek. Poznámka4.1. Buď(M, )svaz.pakprovšechna a,b,c Mplatí: (S1) a b=b a, a b=b a, (S2) a a=a=a a, (S3) a (b c)=(a b) c, a (b c)=(a b) c, (S4) a (b a)=a=a (b a). Důkaz. Viz[D, s.29]. Poznámka 4.2. Nechť M(, ) je algebra s dvěma binárními operacemi, které splňujípodmínky(s1) (S4).Definujmena M relaci předpisem: a b b= a b.pak(m, )jesvaz,kde sup ({m,n})=m nainf ({m,n})=m n. Důkaz. Viz[D, s.29]. Předchozí dvě poznámky ukazují vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi svazy a algebrami M(, ) splňujícími podmínky(s1) (S4). Proto budeme svazem nazývatialgebru M(, )anamnožině Mbudemezároveňpoužívatoperace a i odpovídající relaci. Příklad. U uvedených příkladů svazů máme tedy dva způsoby jak na svaz nahlížet: -(P(X), ) odpovídá algebře P(X)(, ),

8 8 -(N,/)odpovídáalgebřeN(NSD,nsn), -(Z, )(respektive(r, ),(Q, )) odpovídá algebře Z(min, max)(respektive R(min, max), Q(min, max)). Věta4.3.Nechť Cjeuzávěrovýsystém.Pak(C, )tvoříúplnýsvaz,kde sup (B)= cl C ( B)ainf (B)= B. Důkaz. Viz[D, 4.2]. Příklad. Podle předchozí věty je systém všech podalgeber i systém všech kongruencí na algebře spolu s inkluzí svazem. Poznámka 4.4. Nechť M(, )jesvaz.pakim(, )tvořísvaz(mluvíme o opačném svazu s opačným uspořádáním ). Důkaz. Zřejmé. Definice.Nechť(M, )jesvazaa,b,c M.Řekneme,žeprvek bpokrýváprvek a (píšeme a < b),pokud a b, a baa c b c=anebo c=b.nechť e M jenejmenší(resp. f M největší)prveksvazu(m, ).Prvek a M nazveme atomem(resp. koatomem), pokud a pokrývá e(resp. f pokrývá a). Hasseovým diagramem svazu(m, ) rozumíme graf, jehož vrcholy tvoří prvky množinymaajesbspojentakovouhranou,že bsenacházívýšenež a,pokud b pokrývá a. Poznámka4.5. Nechť M(, )jesvaz, a,b,c Ma a c.potom a (b c) (a b) c. Důkaz. Viz[D, 14.1]. Definice.Osvazu M(, )řekneme,žejemodulární,pokudprokaždé a,b,c M takové,že a cplatí,že a (b c)=(a b) c. Příklad.(1) Svaz všech podprostorů vektorového prostoru je modulární. (2)Svaz(A, ),kde A={0,1,a,b,c},danýrelacemi:0< a< c< 1, 0 < b < 1(tzv.pentagon)nenímodulární. Definice. Nechť f: A Bjezobrazenía(A, )a(b, )jsousvazy.řekneme, že ϕjemonotónnízobrazení,platí-liimplikace a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Poznámka 4.6. Homomorfismus svazů je monotónní zobrazení. Důkaz. Viz[D, 4.3]. Příklad.Uvažujmesvazy(S 1, )a(s 2, ),kde S 1 = {0,1,a,b}, S 2 = {0,1,A,B} adanýrelacemi:0< a< 1,0< b< 1a0< A< B< 1.Potomzobrazení f(0)=0, f(1)=1, f(a)=a, f(b)=bjemonotónní,alenenítohomomorfismus svazů(f(a b)=f(0)=0 A=f(a) f(b)). Věta4.7. Bijekcesvazů f jeizomorfismus,právěkdyž f i f 1 jsoumonotónní zobrazení. Důkaz. Viz[D, 4.4]. Poznámka 4.8. Buď C uzávěrový systém obsažený v systému všech ekvivalencí na množině A.Nechť N P(A)ae Atak,žeplatí: (a) [e] ρ N prokaždé ρ C,

9 9 (b)prokaždé N N existujetakové ρ C,že N=[e] ρ, (c) prokaždé ρ,η Cplatí,že[e] ρ [e] η ρ η. Pak N je uzávěrový systém na A (a tedy svaz) a zobrazení ϕ : C N dané předpisem ϕ(ρ)=[e] ρ jeizomorfismussvazů. Důkaz. Viz[D, 4.7]. Věta 4.9. Všechny normální podgrupy libovolné grupy G tvoří svaz izomorfní svazu všech kongruencí na grupě G. Důkaz. Podle[D, 1.13] systém všech kongruencí C a systém všech normálních podgrup N grupy G(, 1,1)spoluse=1splňujepředpokladyPoznámky4.8.Závěr tedy plyne ze 4.8. Příklad(Galoisova korespondence). Nechť A a B jsou množiny. Dvojici zobrazení α:p(a) P(B)aβ: P(B) P(A)seříkáGaloisovakorespondence,jsou-lipro každé A 1,A 2 P(A)aB 1,B 2 P(B)splněnynásledujícípodmínky: (i) A 1 A 2 α(a 2 ) α(a 1 )ab 1 B 2 β(b 1 ) β(b 2 ), (ii) A 1 βα(a 1 )ab 1 αβ(b 1 ). Galoisova korespondence má následující vlastnosti(důkaz viz[d, 4.9]): Tvrzení. Buď α:p(a) P(B)aβ: P(B) P(A)Galoisovakorespondence. Potom jsou zobrazení βα a αβ uzávěrové operátory. Označme A a B uzávěrové systémypříslušnéuzávěrovýmoperátorům βαaαβ.pak α(a) Baβ(B) A. Označíme-li α : A Baβ : B Apříslušnérestrikcezobrazení αaβ,pak α a β jsoubijekceaα =(β ) 1.Navícprokaždé A 1,A 2 AaB 1,B 2 Bplatí,že A 1 A 2 α(a 2 ) α(a 1 )ab 1 B 2 β(b 2 ) β(b 1 ). Nechť O je množina objektů a V množina vlastností, které mohou mít objekty. Definujme ρ O V tak,že(o,v) ρ,právěkdyžobjekt omávlastnost v.dále definujme α ρ (O 1 )={v V (o,v) ρ o O 1 }(tj.vezmemevšechnyvlastnosti, kterémajívšechnyobjektyzo 1 )aβ ρ (V 1 )={v A (o,v) ρ v V 1 }(tj. vezmemevšechnyobjektysplňujícívšechnyvlastnostizv 1 ).Potom α ρ : P(O) P(V)aβ ρ : P(V) P(O)tvoříGaloisovukorespondenci. 5. Grupy Poznámka5.1.Nechť G(, 1,1)aH(, 1,1)jsougrupyaf: G Hjezobrazení slučitelné s operací. Pak je f homomorfismus grup. Důkaz. Viz[D, 6.1]. Definice.Nechť Ha Kjsoudvěpodmnožinygrupy G(, 1,1)ag G.Definujme množiny HK= {h k h H, k K}, gh= {g}ha Hg= H{g}.Je-li Hpodgrupa G,definujmena Grelaci rmod H(resp. lmod H)podmínkou:(a,b) rmod H(resp. (a,b) lmod H) a b 1 H(resp. a 1 b H). Poznámka5.2. Nechť G(, 1,1)jegrupaaH jejípodgrupa.potomprokaždé a,b Gplatí: (1) rmod Hi lmod Hjsouekvivalencena G, (2) (a,b) rmod H (a 1,b 1 ) lmod H,

10 10 (3) card(g/rmod H) = card(g/lmod H), (4) [a] rmod H = Haa[a] lmod H = ah, (5) card([a] rmod H )=card([a] lmod H )=card(h). Důkaz.(1)a(2)viz[D,6.6].Podle(2)jezobrazení[a] rmod H [a 1 ] lmod H korektnědefinovanoubijekcí,tedyplatí(3).body(4)a(5)viz[d,6.7]. Definice. Buď H podgrupagrupy G.Potomčíslu[G:H]=card(G/rmod H) budemeříkatindexpodgrupy Hvgrupě Gačíslu G =card(g)budemeříkatřád grupy G. Věta5.3(Lagrange). Je-li Hpodgrupagrupy G(, 1,1),pak G =[G:H] H. Důkaz. Viz[D, 6.8]. Důsledek 5.4. Je-li G konečná grupa, potom řád každé její podgrupy dělí řád grupy G. Definice. Nechť G(, 1,1)jegrupaaa G.Definujmeindukcí: a 0 =1, a n = a n 1 aprokaždé n >0, a n =(a 1 ) n aprokaždé n <0. Poznámka 5.5. Nechť G(, 1,1)jegrupa a G.Zobrazení ϕ:z Gdané předpisem ϕ(n)=a n jehomomorfismusgrupyz(+,,0)dogrupy G(, 1,1)a ϕ(z)= a ={a n n Z}. Důkaz. Viz[D, 6.3]. Důsledek5.6. Nechť G(, 1,1)jegrupa a G.Potomprokaždé n,m Zplatí, že a n =(a n ) 1 a(a n ) m = a nm. Důkaz.Podle5.1a[D,6.4]. Definice. Buď G(, 1,1)grupa.Označme a nejmenšípodgrupugrupy Gobsahující prvek a G. Řekneme, že G je cyklická grupa, pokud existuje takový prvek g G,že g =G. Příklad.(1)Z(+,,0)jecyklickágrupa,kdeZ= 1 = 1. (2)Z n (+,,0)jeprokaždépřirozené ncyklickágrupasoperacemidefinovanými modulo n,kdez n = a,pokud NSD(a,n)=1. Prokaždépřirozené k(resp. k Z n )označujme kz= k ={kz z Z}(resp. kz n = k ={k z z Z n }) Poznámka5.7. (1)Je-li A Z,pak AjepodgrupaZ,právěkdyžexistuje k 0 tak,že A=kZ. (2)Je-li A Z n,pak AjepodgrupaZ n,právěkdyžexistuje k Z n tak,že kje buď0nebo kdělí naa=kz n. Důkaz. Viz[D, 8.1]. Věta5.8. Buď G(, 1,1)cyklickágrupa. (1)Je-li Gnekonečná,pak G(, 1,1) =Z(+,,0). (2)Je-li n= G konečné,pak G(, 1,1) =Z n (+,,0). Důkaz. Viz[D, 8.2].

11 11 Důsledek 5.9. Podgrupa i faktorová grupa každé cyklické grupy je opět cyklická. Důkaz. Viz[D, 8.3]. Důsledek5.10. Buď G(, 1,1)konečnágrupa.Potom g G =1prokaždýprvek g G. Důkaz. g jecyklickágrupařádu n,tedyjepodle5.8izomorfníz n (+,,0),proto g n =1.Podle5.4 n/ G,tedy g G =(g n ) G n =1 G n =1 Věta5.11. Nechť G(, 1,1)jekonečnácyklickágrupa.Pakprokaždépřirozené k,kterédělířádgrupy G,existujeprávějednapodgrupagrupy Gřádu k. Důkaz. Viz[D, 8.4]. Poznámka5.12. Nechť n Naa Z n {0}. (1)Nechť k=nsd(a,n),pak az n = kz n, (2) az n =Z n (tj. ajegenerujez n ),právěkdyž NSD(a,n)=1. Důkaz. Viz[D, 8.7]. Definice. Funkci ϕ:n Ndanoupředpisem ϕ(n)= {0 < k < n NSD(k,n)= 1} nazveme Eulerovou funkcí. Poznámka5.13. Je-li n N,pakčíslo ϕ(n)udávápočetprvků,kterégenerují grupuz n (+,,0)apočetinvertibilníchprvkůZ n (,1). Důkaz. Důsledek 5.12(2). Věta 5.14 (MaláFermatovavěta). Pronesoudělnákladnáceláčísla a < nje (a ϕ(n) )mod n=1. Důkaz. Viz[D, 8.13]. Definice. Nech A j (α i i I), j k jsoualgebrystejnéhotypu.definujmena k j=1 A jstrukturualgebryalgebrystejnéhotypupředpisem α i ((a 11,...,a k1 ), (a 12,...,a k2 ),...,(a 1n,...,a kn ))= =(α i (a 11,...,a 1n ),α i (a 21,...,a 2n ),...,α i (a k1,...,a kn )) prokaždou n-árníoperaci α i. Poznámka5.15(Čínskávětaozbytcích). Nechť n 1,n 2,...,n k jsoupodvounesoudělnákladnáceláčíslaan=n 1 n 2 n k,potomzobrazení f:z n k i=1 Z n i danépředpisem f(x)=(x mod n 1, x mod n 2,...,x mod n k )jeizomorfismusalgeberz n (+,,0,,1)a k i=1 Z n i (+,,0,,1). Důkaz. Přímo z definice snadno vidíme, že je f zobrazení slučitelné se všemi operacemi.zbývánahlédnout,žejdeobijekci.protožejsouz n a k i=1 Z n i stejněvelké konečnémnožiny,stačínahlédnout,žeje fprosté.nechťpro a b Z n platí,že f(a)=f(b).potom f(b a)=0,tedy n i /b aprovšechna i=1,...,k.protože jsou n i podvounesoudělnáa0 b a n 1,mámein/b a,tudíž b=a. Poznámka (1)Pokud namjsoudvěnesoudělnákladnáceláčísla,pak ϕ(n m)=ϕ(n) ϕ(m). (2)Pokudje pprvočísloarkladnéceléčíslo,pak ϕ(p r )=(p 1) p r 1.

12 12 Důkaz.(1)[D,8.9]a(2)viz[D,8.10]. Věta5.17. Buď p 1 < p 2 < < p k prvočíslaar 1,r 2,...,r k kladnáceláčísla. Potom ϕ(p r1 1 pr2 2...pr k k )=p r1 1 1 p r p r k 1 k (p 1 1)(p 2 1)...(p k 1). Důkaz. Indukční důsledek Následující věta bude dokázána až v příštím semestru: Věta5.18. Nechť T(+, )jetělesoanechť Gjekonečnápodgrupamultiplikativní grupy T \ {0}(, 1,1).Potom Gjecyklickágrupa. 6.Okruhyaideály Definice. Okruhem budeme nazývat každou takovou algebru R(+,,, 0, 1), že R(+,,0)jekomutativnígrupa, R(,1)jemonoidaprokaždé a,b,c Rplatí,že a (b+c)=a b+a ca(a+b) c=a c+b c. R(+,,,0,1)jekomutativní okruhem, pokud je operace komutativní. Příklad.(1)Z(+,,,0,1)jekomutativníokruh. (2)Z n (+,,,0,1)jeprokaždépřirozené nkomutativníokruhsoperacemidefinovanými modulo n. (3)Je-li T tělesoam n (T)značímnožinuvšechčtvercovýchmaticnad T řádu n,pak M n (T)(+,,,0 n,i n )jeokruh. (4) Nechť V je vektorový prostor. Označme End(V) množinu všech homomorfismů prostoru V do sebe(tzv. endomorfismů). Na této množině můžeme definovat sčítáníaopačnýprvekpředpisem[f+ g](v)=f(v)+g(v)a[ f](v)= f(v) prokaždév V.Označíme-linulovýhomomorfismussymbolem0 V a označuje skládání,pak End(V)(+,,,0 V,Id)jeokruh. Poznámka6.1. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Pakprokaždé a,b Rplatí: (1) 0 a=a 0=0, (2) ( a) b=a ( b)= (a b), (3) ( 1) a=a ( 1)= a, (4) ( a) ( b)=a b, (5) 1 0,právěkdyž card(r) >1(tj.Rjenetriviálníokruh). Důkaz.Viz[D,7.2]a[D,7.3]. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Řekneme,žemnožina I Rjepravý (resp.levý)ideálokruhu R,pokud I jepodgrupagrupy R(+,,0)aprokaždé i Ia r Rplatí,že i r I(resp. r i I).Množinu Inazvemeideálem,pokud je pravým a zároveň levým ideálem. Příklad.(1) {0} a R jsou(tzv. triviálními) ideály každého okruhu R. (2)Množiny ar={a r r R}(resp. Ra={r a r R})jsou(tzv.hlavní) pravé(resp.levé)ideályokruhu Rprokaždé a R. (3)IdeályokruhucelýchčíselZ(+,,,0,1)jsouprávětvaru kz. (4)IdeályokruhuZ n (+,,,0,1)jsouprávětvaru kz n,kde k < nje0nebo dělitel čísla n. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.O(levém,pravém)ideálu Iřekneme,že jevlastní,pokud I {0}aI R.

13 13 Věta 6.2. Nechť R(+,,,0,1) je okruh. Všechny ideály okruhu R tvoří uzávěrovýsystémazobrazení ρ [0] ρ jeizomorfismussvazuvšechkongruencína R(+,,,0,1)asvazuvšechideálůokruhu R.Navíc ρjekongruencenaokruhu R, právěkdyž[0] ρ jeideála(a,b) ρ a b [0] ρ. Důkaz. Viz[D, 7.4]. Faktor okruhu R podle kongruence jednoznačně odpovídající ideálu I budeme značit(obdobně jako v případu faktorizace grup podle normálních podgrup) R/I. Definice. Řekneme,žeprvekokruhu R(+,,,0,1)jeinvertibilní,jedná-liseo invertibilní prvek monoidu R(, 1). Řekneme, že okruh R je tělesem, pokud jsou všechny prvky množiny R \ {0} invertibilní. Konečně ideál okruhu R(+,,, 0, 1) je maximální, pokud je to koatom svazu všech ideálů okruhu R. Věta6.3. Vnetriviálnímokruhu R(+,,,0,1)jeekvivalentní: (1) Rjetěleso, (2) R neobsahuje žádné vlastní pravé ideály, (3) R neobsahuje žádné vlastní levé ideály. Důkaz.Viz[D,7.11]a[D,7.13]. Věta6.4. Nechť R(+,,,0,1)jekomutativníokruh.Potom R/Ijetělesoprávě tehdy, když I je maximální ideál. Důkaz. Viz[D, 7.14]. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Definujmeprokaždé n Z: 0 a=0, n a=((n 1) a)+aprokaždé n >0, n a= n ( a)prokaždé n <0. Poznámka6.5. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Definujmezobrazení ϕ:z R předpisem ϕ(n) = n 1.Pak ϕjehomomorfismusokruhůaϕ(z)jenejmenší podokruh Robsahujícíprvek1.Navíc(Kerϕ=) {n Z ϕ(n)=0}=pzpro jednoznačněurčenécelé p 0. Důkaz. Viz[D, 7.18]. Definice. Jednoznačně určné číslo p z Poznámky 6.5 se nazývá charakteristika okruhu R. Poznámka6.6(Binomickávěta).Buď R(+,,,0,1)komutativníokruh, a,b R a n N.Potom(a+b) n = n i=0 ( n i) (ai b n i ) Důkaz. Viz[D, 7.20]. Důsledek 6.7. Nechť R je komutativní okruh prvočíselné charakteristiky p. Pak zobrazení a a p jeokruhovýhomomorfismus(jdeotzv.frobeniůvendomorfismus). Důkaz. Viz[D, 7.21]. Definice. Komutativní okruh R(+,,, 0, 1) nazveme oborem integrity, platí-li, že a b=0implikuje a=0nebo b=0

14 14 Příklad.(1) Každé komutativní těleso je oborem integrity. (2)Z(+,,,0,1)jeoboremintegrity. (3)OkruhreálnýchpolynomůR[x](+,,,0,1)jeoborintegrity. Uvažujmeoborintegrity R(+,,,0,1),adefinujmealgebru F(+,,,0,1),kde F = R (R {0})soperacemi:(a,b) (c,d) = (a c,b d),(a,b)+(c,d) = (a d+b c,b d), (a,b)=( a,b),0=(0,1)a1=(1,1).naalgebře F(+,,,0,1) konečnědefinujmerelaci předpisem(a,b) (c,d) a d=b c. Poznámka6.8. Proalgebru F(+,,,0,1)platí: (1) F(+,0)aF(,1)jsoukomutativnímonoidy, (2) jekongruencena F(+,,,0,1), (3) (0,a) 0a(a,a) 1prokaždé a R \ {0}, (4) F/ je komutativní těleso. (5)Zobrazení σ: R F/ danépředpisem σ(r)=[(r,1)] jeprostýokruhový homomorfismus. Důkaz.(1)viz[D,9.2],(2)viz[D,9.3],(3)viz[D,9.4],(4)viz[D,9.5]a(5)viz[D, 9.7]. Definice. Komutativní těleso F/ budeme nazývat podílovým tělesem okruhu R ajehoprvkybudemeznačit a b =[(a,b)]. Příklad. Těleso racionálních čísel Q(+,,, 0, 1) je podílovým tělesem okruhu celýchčíselz(+,,,0,1). [D]- odkazuje na skripta docenta Drápala na adrese drapal/skripta/

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4.

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4. Obsah 1. Základní algebraické pojmy........................ 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce.............. 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury....................... 7 4. Kvocientní

Více

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry

ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera. 1. Operace a Ω-algebry ZÁKLADY UNIVERZÁLNÍ ALGEBRY Radan Kučera 1. Operace a Ω-algebry Úvod. V průběhu přednášky z algebry jsme studovali řadu algebraických struktur: grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory

Více

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Algebra II pro distanční studium

Algebra II pro distanční studium Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Akce grupy MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Akce grupy Brno 2009 Lenka Macálková Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala zcela samostatně

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

Matematika pro informatiku 1

Matematika pro informatiku 1 Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy

Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analysis of internet search engines using formal concept analysis method Bc. Petr Fišnar Diplomová práce 2012 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

40 [ ] Tvrzení. JedánaBooleovaalgebra(B,,,,0,1, ).Pakplatí. 2. a=a prokaždé a B. 3. a b=a b, a b=a b prokaždé a,b B,

40 [ ] Tvrzení. JedánaBooleovaalgebra(B,,,,0,1, ).Pakplatí. 2. a=a prokaždé a B. 3. a b=a b, a b=a b prokaždé a,b B, 40 [100107-1425] 3.2.3 Tvrzení. JedánaBooleovaalgebra(B,,,,0,1, ).Pakplatí 1.0=1,1=0 2. a=a prokaždé a B 3. a b=a b, a b=a b prokaždé a,b B, 4. a b právětehdy,když b a. 3.2.4 Věta. Každá konečná Booleova

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17

Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

ČÍSELNÉ OBORY. Jaroslav Beránek

ČÍSELNÉ OBORY. Jaroslav Beránek ČÍSELNÉ OBORY Jaroslav Beránek 0. Úvod Tento text je určen pro studenty pedagogického asistentství matematiky pro základní školy. Jedná se o přehledný studijní materiál doplňující základní studijní literaturu

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A

Více

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0. Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1. Základy matematiky

1. Základy matematiky 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika Logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vede k určitým závěrům. Logika patří k základům matematiky.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w. g r a d a. c z 2. vydání 2., upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail: obchod@grada.cz, www.grada.cz

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jiří Sláma Grupy malých řádů Katedra didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. Studijní program:

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

10. Afinní a euklidovský prostor

10. Afinní a euklidovský prostor 10. Afinní a euklidovský prostor Definice 10.1. Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Hlubší věty o počítání modulo

Hlubší věty o počítání modulo Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1

Datum sestavení dokumentu: 9. srpna Lineární algebra 1 Datum sestavení dokumentu: 9 srpna 22 Lineární algebra L ubomíra Balková e-mail: lubomirabalkova@fjficvutcz Slovo na úvod: Abstraktnost, logická výstavba a univerzálnost lineární algebry jsou výhodami

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016

Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 zadáno 1.-4. 3. 2016, odevzdat do 8.-11. 3. 2016 1. Zjistěte, které z následujících funkcí definovaných pro n N jsou v relaci Θ(), a vzniklé třídy co nejlépe

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty 8 MATICE A DETERMINANTY 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 81 Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a

Více