Prvočísla. Příklad 1. Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých činitelů, z nichž ani jeden se nerovná

Transkript

1 Prvočísla Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné jen samo sebou a ještě jedničkou, čili 1 není prvočíslo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, Příklad 1. Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých činitelů, z nichž ani jeden se nerovná = 120 Příklad 2 Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých prvočísel = 210 Příklad 3. Jsou dána čísla 5, 6, 22, 35, 41. Najděte mezi nimi prvočísla. 5 = = 6. 1, 6 = = 22. 1, 22 = = 1. 35, 35 = = Čísla 5 a 41 jsou prvočísla, čísla 6, 22 a 35 jsou čísla složená. Příklad 4. Vypočítej součet a součin všech prvočísel větších než 20 a menších než = = Součet je 120 a součin

2 Rozklad na prvočinitele Rozlož na prvočinitele číslo Příklad = = = ( ) Příklad = Příklad = = = = = ( = ) Příklad je prvočíslo Příklad = = = = = = ( = 2 7 ) Příklad = Příklad = = = ( = ) Příklad = = = ( = ) Tabulky str.57 2

3 Dělitelnost přirozených čísel 1. Číslo je dělitelné dvěma, má-li na místě jednotek sudou číslici nebo číslici nula. 2. Číslo je dělitelné třemi, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi. 3. Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. 4. Číslo je dělitelné pěti, je-li na místě jednotek číslice 0 nebo Každé sudé číslo, jehož ciferný součet je dělitelný třemi, je dělitelné šesti. 6. Číslo je dělitelné sedmi, je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že první, druhou, třetí...n-tou číslicí odzadu vynásobíme postupně čísly 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi. 8. Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti. 9. Číslo je dělitelné deseti, má-li na místě jednotek číslici nula. 10. Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu cifer na sudých místech a lichých místech dělitelný jedenácti nebo roven nule. 11. Čísla, která jsou dělitelná pouze samozřejmými děliteli, nazýváme prvočísla. Prvočísla jsou tedy čísla, která mají právě dva dělitele číslo jedna a sebe sama. 12. Čísla, která mají více než 2 dělitele, nazýváme čísla složená. 13. Číslo 1 má pouze jednoho dělitele, není tedy ani číslo složené ani prvočíslo. 14. Číslům, která mají alespoň jednoho společného dělitele s výjimkou čísla 1, říkáme soudělná. 15. Číslům, která nemají společného dělitele, s výjimkou čísla 1, říkáme nesoudělná. 16. Největšímu číslu, kterým jsou všechna zadaná čísla dělitelná, říkáme největší společný dělitel. 17. Chceme-li získat nejmenší společný násobek několika čísel, pak musíme najít nejmenší číslo, které je danými čísly dělitelné. 3

4 Největší společný dělitel Příklad 1. Najdi největšího společného dělitele čísel : 78; 130; = = = D ( 78; 130; 182 ) = = 26 Příklad 2. Najdi největšího společného dělitele čísel : 180; = = D (180; 240) = = 60 Příklad 3.Najdi největšího společného dělitele čísel: 460; = = D ( 460; 232 ) = 2. 2 = 4 Příklad 4. Najdi největšího společného dělitele čísel: 220; = = D (220; 165 ) = = 55 Příklad 5. Najdi největšího společného dělitele čísel: 186; 124; = = = D (186; 124; 248) = = 62 Příklad 6. Najdi největšího společného dělitele čísel: 315; = = D ( 315; 75 ) = 3. 5 = 15 Příklad 7.Najdi největšího společného dělitele čísel: 48; 140; = = = D (48; 140; 164 ) = 2. 2 = 4 4

5 Příklad 8. Najdi největšího společného dělitele čísel: 174; = = D ( 174; 28 ) = 2 Příklad 9. Najdi největšího společného dělitele čísel: 14; 24; = = = D (14; 24; 34 ) = 2 Příklad 10. Najdi největšího společného dělitele čísel: 48; 66; = = = D (48; 66; 78 ) = 2. 3 = 6 Příklad 11. Najdi největšího společného dělitele čísel: 65; = = D (65; 75 ) = 5 Příklad 12. Najdi největšího společného dělitele čísel: 26; 21; = = = D (26; 21; 11 ) nemají společného dělitele Příklad 13. V květinářství dostali 144 bílých a 192 červených karafiátů. Kolik kytic mohou svázat, má-li mít každá kytice stejný počet červených a stejný počet bílých karafiátů? Hledáme největšího společného dělitele 144 = = D (144; 192) = = 48 Kolik bude v každé kytici bílých a kolik červených karafiátů? 144 : 48 = = 4 Mohou svázat 48 kytic. V každé budou tři bílé a 4 červené karafiáty. 5

6 Příklad 14. V den svých narozenin donesla Eva do školy tři druhy bonbónů. Čokoládových bylo 200, karamel 360 a ovocných 240. Bonbóny rozdělila tak, aby v každé hromádce byl od každého druhu nejvyšší možný počet. Všechny hromádky byly stejné. Kolik spolužáků podělila? Kolik bonbónů od každého druhu bylo v jedné hromádce? Hledáme největšího společného dělitele 200 = = = D ( 200; 360; 240 ) = = 40 Eva podělila 40 spolužáků. Kolik bonbónů od každého druhu bylo v jedné hromádce? 200 : 40 = : 40 = : 40 = 6 V každé hromádce bylo 5 čokoládových, 9 karamelových a 6 ovocných bonbónů. Příklad 15. Klempíř měl rozstříhat pás plechu o rozměrech 380 cm a 60 cm na co největší čtverec tak, aby nevznikl žádný odpad. Vypočítej délku strany jednoho čtverce. Kolik čtverců nastříhal? 380 = = = D ( 380; 60 ) = = 20 Délka strany jednoho čtverce bude 20 cm. Kolik čtverců nastříhal? 380 : 20 = : 20 = = 57 Klempíř nastříhal 57 čtverců. Příklad 16. Žáci 7.A dostali celkem 416 učebnic a 896 sešitů a stejný počet knih. Kolik je ve třídě žáků, víme-li že je jich méně než 40? 416 = = D ( 416; 396 ) = = < 40 Ve třídě je 32 žáků. 6

7 Příklad 17.Zahrada je dlouhá 56 m a široká 36 metrů. Jaká vzdálenost musí být mezi tyčkami plotu, má-li být v celých metrech a co největší? Kolik tyček budeme potřebovat? D ( 56, 36) = 4 Největší vzdálenost mezi tyčkami je 4 m. Kolik tyček budeme potřebovat? o = 2. (a + b) o = 2. ( ) o = 184 (m) x = 184 : 4 = 46 Potřebujeme 46 tyček. Příklad 18.Marek vyjel na třídenní výlet na kole. Každý den jel celý počet hodin stejnou průměrnou rychlostí. První den ujel 84 km, druhý den 48 km a třetí den 24 km. Vypočítej jeho průměrnou rychlost, víš-li, že byla menší než 20 km/h a větší než 10 km/h. 84 = = = D (84; 48; 24) = = 12 km/h. Marek jel průměrnou rychlostí 12 km/h. 7

8 Nejmenší společný násobek Příklad 1. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 6; 12; 14; 35 6 = = = = 5. 7 n ( 6; 12; 14; 35 ) = = 420 Příklad 2. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 25; 15; 9 25 = = = 3. 3 n ( 25; 15; 35) = = 225 Příklad 3. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 14; 21; = = = 5. 3 n ( 14; 21; 35) = = 210 Příklad 4. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 8, 4, 18 8 = = = n ( 8; 4; 18 ) = 72 Příklad 5. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 10, 12; = = = n ( 10; 12; 16 ) = = 240 Příklad 6. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 4; 5; 10 4 = = 5 10 = 2. 5 n ( 4; 5; 10 ) = = 20 8

9 Příklad 7. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 4; 8; 11 4 = = = 11 n ( 4; 8; 11) = = 88 Příklad 8. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 6; 30; 18 6 = = = n ( 6; 30; 18 ) = = 90 Příklad 9. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 3; 8; 14 3 = 3 8 = = 2. 7 n (3; 8; 14 ) = = 168 Příklad 10. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 50, 4, = = = 2. 5 n (50; 4; 10 ) = = 100 Příklad 11. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 7; 5; 9 7 = 7 5 = 5 9 = 3. 3 n ( 7; 5; 9 ) = = 315 Příklad 12. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 6; 9; 15 6 = = = 3. 5 n (6; 9; 15 ) = = 90 9

10 Příklad 13. V hodin vyjely z konečné stanice čtyři autobusy. První linka má interval 15 minut, druhá 20 minut, třetí 25 minut a čtvrtá 45 minut. V kolik hodin vyjedou všechny linky opět společně? Hledáme nejmenší společný násobek 15 = = = = 5. 5 n ( 15; 20; 45; 25 ) = = minut = 15 h 5h + 15h = 20 h Linky vyjedou společně ve 20 hodin. Příklad 14. Při veřejném vystoupení se cvičenci zařazují do pětistupů, šestistupů a trojstupů. Jaký musí být nejmenší počet cvičenců? 3 = 3 5 = 5 6 = 2. 3 n ( 3; 5; 6 ) = = 30 Nejmenší počet cvičenců je 30. Příklad 15. Děti skládaly obdélníkové karty o rozměrech 210 mm a 140 mm tak, aby pokryly čtverec. Jaký nejmenší čtverec lze takto vytvořit? Z kolika kartiček se bude skládat? 210 = = n ( 210; 140 ) = = 420 Nejmenší čtverec má stranu 420 mm dlouhou. Z kolika kartiček se bude skládat? 420 : 210 = : 140 = = 6 Bude se skládat ze 6 kartiček. Příklad 16. Švadlena odhadla počet metrů v balíku látky asi na 25. Pak zjistila, že může beze zbytku nastříhat látku buď na kostýmy po 3,6 m nebo na šaty po 2,1 metru nebo na haleny po 1,8 metru. Kolik látky bylo v balíku? 3,6 m = 360 cm 2,1 m = 210 cm 1,8 m = 180 cm 360 = = = n (360; 210; 180) = = 2520 cm = 25,2 m V balíku bylo 25,2 m látky. 10

11 Příklad 17. Ve 4,50 hodin vyjíždějí čtyři tramvaje na různé linky. První tramvaj se vrací na konečnou za jednu hodinu, druhá za hodinu a půl, třetí za dvě hodiny a čtvrtá za 45 minut. V kolik hodin nejdříve vyjedou opět současně? 60 = = = = n (60, 90, 120, 45) = = 360 min 4 h 50 min min = 10h 50 min Tramvaje vyjedou současně nejdříve v 10 h 50 min. Příklad 18. Kovbojové hlídali stádo krav. Jel kolem cizinec a ptal se na počet kusů stáda. Předák odpověděl: Je jich méně než 800. Kdybych je seřadil do skupin po 3, 4, 5, 6 nebo 8, vždy budou dvě krávy přebývat. Do skupin po 7 je však mohu seřadit beze zbytku. Kolik má stádo krav? n ( 3, 4,5,6,8 ) = 120 Možnosti: , , , , , Pouze 602 je dělitelné 7, proto má stádo 602 krav. Příklad 19. Nejmenší společný násobek dvou čísel je 180, největší společný dělitel je 6. Jedno není dělitelem druhého. Urči tato čísla. 180 = = = = = = 30 Dvojice: 12 a 90, 18 a 60, 30 a 36. Příklad 20. Urči nejmenší celé číslo, které při dělení třemi dá zbytek 2, při dělení čtyřmi zbytek 3, a při dělení 5 zbytek 4. n ( 3; 4; 5 ) = : 4 = : 3 = : 5 = : 4 = 14 zb : 3 = 19 zb : 5 = 11 zb. 4 Hledané číslo je

12 Příklad 21. Milada a Marta četly stejnou knihu. Milada denně přečetla 15 stran, Marta 12 stran. Milada přečetla kmihu o 3 dny dříve. Kolik měla kniha stran? 15 = = n ( 15, 12) = = : 15 = 4 60 : 12 = : 15 = = : 15 = : 12 = = 3 dny Kniha měla 180 stran. Příklad 22. Zahradník má sázet na záhon střídavě řádek sazenic salátu a řádek sazenic zelí. Sazenice salátu se vysazují ve vzdálenosti 25 cm, sazenice zelí ve vzdálenosti 35 cm. Jaká musí být délka nejkratších řádků, aby byly vhodné pro výsadbu salátu i zelí? 25 = = 5. 7 n (25; 35) = = 175 cm Délka nejkratších řádků je 175 cm. 12

13 Celá čísla Celá čísla jsou čísla, která nemají desetinnou část, obsahují v sobě přirozená čísla, k nim inverzní (záporná) čísla a nulu. Celá čísla je množina, která obsahuje čísla, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, Množinu obvykle značíme písmenem Z, se zdvojenou prostřední čárou:, z německého Zahlen (čísla). Celá čísla je nekonečná a spočetná množina. Celá čísla mají například tyto vlastnosti: 1.Jsou uzavřená na operacích sčítání a násobení, stejně jako přirozená čísla. To znamená, že pokud sečteme dvě celá čísla, získáme opět celé číslo. 2.Na rozdíl od přirozených čísel jsou celá čísla uzavřená také na operací odečítání. Přirozená čísla nebyla, protože rozdílem dvou přirozených čísel jsme mohli získat číslo záporné. Což nám v případě celých čísel nevadí, protože ta záporná čísla obsahují. 3.Stejně jako přirozená čísla nejsou uzavřená na operaci dělení. Stále platí, že můžeme po dělení získat nějaké necelé číslo. 4.Ke každému celému číslu c existuje inverzní číslo c. Pokud máme číslo 10, je inverzní číslo 10. Pro 55 je to 55. A stejně tak se zápornými čísly: pro 13 je inverzní prvek 13. Pokud máme celé číslo c a k němu inverzní číslo c, pak jejich součtem získáme nulu: c+( c)=0. Proto inverzním prvkem k nule je zase nula. Následující tabulka ukazuje zakladní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c. sčítání násobení uzavřenost: a + b je celé číslo a b je celé číslo asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c komutativita: a + b = b + a a b = b a existence neutrálního prvku: existence inverzního prvku: a + 0 = a a + ( a) = 0 a 1 = a distributivita: a (b + c) = (a b) + (a c) Bez dělitelů nuly: jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0 V matematice se jako opačné číslo k číslu x označuje takové číslo, které po přičtení k x dává jako výsledek 0. Opačné číslo k číslu x se označuje jako x; jedná se tedy o číslo, které se od původního čísla liší právě ve znaménku. Platí tedy, že x + ( x) = 0. 13

14 Racionální čísla Racionální čísla jsou všechna čísla, která lze zapsat jako podíl dvou celých čísel, tj. ve tvaru zlomku. Usměrňování zlomků Násobení zlomků Dělení zlomků Sčítání zlomků Odečítání zlomků Křížové pravidlo 14

15 Desetinná čísla Porovnávání desetinných čísel: 1,09 < < 2,2151 3,2 = 3,20 Sčítání a odečítání desetinných čísel Při sčítání a odčítání desetinných čísel je velmi dobré zapsat si je pod sebe a to tak aby jejich desetinné čárky byly pod sebou. Při sčítání nebo odčítání pracujeme z oběma čísli na stejném řádu tedy sčítáme a odčítáme, desetiny z desetinami a setiny ze setinami. 1, ,354 = 3,877 4, ,009 = 6 5,321-3,451 = 1,87 6,212-5,213 = 0,999 Převeď desetinné číslo na zlomek: 15

16 Zaokrouhlování čísel Zaokrouhlování je způsob zjednodušování nehezkých čísel na hezké. Například číslo 98 můžete zaokrouhlit na číslo 100 :-). Pokud chceme zaokrouhlit na desítky, koukneme se na číslici, které je umístěno v jednotkách. Toto číslo poté zaokrouhlíme nahoru nebo dolů podle výše popsaných pravidel. Pokud zaokrouhlujeme dolů, dosadíme na místo jednotek nulu a víc neděláme. Pokud nahoru, dosadíme nulu a k desítkám přidáme jedničku. Takže když jsme zaokrouhlovali číslo 876 na desítky, koukli jsme se na šestku. Ta se zaokrouhluje nahoru. Přičteme desítku a na konec dáme nulu. Vychází nám 880. Při zaokrouhlování na stovky se musíme dívat na desítky. Jednotky nás nezajímají. Na místě desítek je sedmička. Ta se také zaokrouhluje nahoru. Takže na místo desítek a jednotek dáme nuly a ke stovkám přičteme jedničku. Vychází nám 900. Cvičně si ještě toto číslo můžeme zaokrouhlit na tisíce. Jako první se podíváme o číslici zpět, tedy na stovky. Tam se nachází osmička (můžete si to číslo představit jako 0876 nula tisíců). Osmička se zase zaokrouhluje nahoru, takže výsledek po zaokrouhlení bude Zaokrouhlovat můžeme i desetinná čísla a opět v závislosti na tom, na jaký řád zaokrouhlujeme. Třeba číslo 96,6 můžeme na celé jednotky zaokrouhlit na 97. Stejně to funguje i při nižších číslech. Takže mějme číslo 0,327. Když budeme chtít toto číslo zaokrouhlit na setiny, koukneme na třetí číslo za desetinnou čárkou, zjistíme, že je tam sedmička, ta se zaokrouhluje nahoru, takže zaokrouhlíme na 0,330. U desetinných čísel platí, že nemusíme na konci psát nuly. Číslo 3,200 je stejné jako 3,2. Takže předchozí výsledek po zaokrouhlení můžeme přepsat na 0,33. Pokud bychom chtěli původní číslo zaokrouhlit na desetiny, bude výsledek 0,3. 16

17 Procenta Procenta obvykle označují nějakou relativní část z celku, přičemž celek jako takový se vyjádří jako 100 %. Pokud máte v košíku deset jablek, tak 100 % jablek z tohoto košíku odpovídá deseti jablkům. Procenta se dají vždy přepsat do zlomku. Jedno procento se rovná jedné setině celku. Deset procent se rovná deseti setinám celku, neboli zkráceně jedné desetině. Padesát procent je padesát setin, zkráceně jedna polovina. 50 % jablek z předchozího košíku je tedy polovina jablek, což je pět jablek. Promile je tisícina z celku. Jinak se s promilí počítá úplně stejně jako s procenty. Název Označení Procento % Základ Procentová část Počet procent z č p Procento, základ Slovem procento ( % ) označujeme 1/100 z libovolného celku. Tomuto celku říkáme základ a značíme jej z. Příklad 1. Mějme v peněžence přebytečných 300 Kč a pokusme se určit 1% z této částky. Je-li 1% jednou setinou základu, stačí 300 Kč ( základ ) vydělit % Kč : 100 = 3 Kč 1% z 300 Kč jsou 3 Kč. Příklad 2. Určete 1% z 0,36 hl z = 0,36 hl 100%... 0,36 1%... 0,36 : 100 = 0,0036 hl 17

18 Procentová část Příklad 1. Dejme tomu, že v ČR je přibližně oprávněných voličů. Jak bychom určili, kolik jich skutečně volilo? Řešení: Je zřejmé, že voličů můžeme prohlásit za základ. Voleb se zúčastnila pouze část voličů ( říkáme jí procentová část a značíme č ), které odpovídá 72% obyvatel ( počet procent p ). Můžeme tedy zapsat: z = ( obyv. )... základ p = 72%... počet procent č =? ( obyv. )... procentová část Všimněme si, že z a č vyjadřujeme ve stejných jednotkách. Jak budeme postupovat? Vycházejme z toho, co už umíme: je - li z = obyvatel, pak 1% : 100 = obyvatel, 72% určím, násobím-li 1% % = obyvatel. Voleb se zúčastnilo oprávněných voličů. č = ( z : 100 ). p Příklad 2. V roce 1991 se na gymnázium hlásilo 680 žáků. Počet zájemců klesl v roce 1992 o 15%. Kolik žáků se v roce 1992 hlásilo ke studiu? Řešení: z = 680 žáků p = = 85% č =? 100% žáků 1% : 100 = 6,8 85%... 6,8. 85 = 578 žáků V roce 1992 se ke studiu přihlásilo 578 žáků. 18

19 Počet procent Příklad 1. Do třídy chodí 35 žáků. V době chřipek 7 žáků onemocnělo. Kolik to bylo procent z celkového množství žáků ve třídě? Řešení: 35 žáků bude základ, 7 žáků procentová část, budeme počítat počet procent z = 35 žáků č = 7 žáků p =? Opět si nejprve určíme 1 %. 1% : 100 = 0,35 Vydělíme-li počet nemocných žáků 1%, vypočítáme počet procent. 7 : 0,35 = 20% Ve třídě bylo nemocných 20% žáků. p = č : ( z : 100 ) Příklad 2. Ve škole je žáků, z toho 580 dívek. a) Kolik procent všech žáků školy tvoří dívky? b) Kolik procent tvoří chlapci? Řešení: a) z = žáků č = 580 dívek p =? 100% žáků 1% : 100 = 10 p : 10 = 58% Dívky tvoří 58% ze všech žáků školy. b) Jestliže základ je tvořen 100% a dívek je 58%, pak chlapci tvoří 100% - 58% = 42 % ze všech žáků školy. 19

20 Výpočet základu Příklad 1. Jedno procento z hrubého měsíčního příjmu učitele je 154 Kč. Jak vysoký měsíční plat má učitel? Řešení: Je-li 1% 154 Kč, stačí k určení základu vynásobit tuto hodnotu stem. 1% Kč 100% = Kč Hrubý měsíční plat učitele je Kč. Příklad 2. Určeme hrubý měsíční výdělek šikovného řemeslníka, víme-li, že 40% jeho mzdy tvoří Kč. Řešení: Je-li 40% Kč, musí být tato částka procentovou částí. Budeme opět určovat základ. č = Kč p = 40% z =? Nejprve si určíme 1%. 40% Kč 1% : 40 = 210 Kč z = 100% = Kč. Hrubý měsíční plat řemeslníka činí Kč. Úrokový počet z = ( č : p ). 100 Slovo úrok zní libě každému spořiteli. Je to částka, o kterou se každoročně zvýší jím uspořená suma na vkladní knížce. Méně příjemně zní podnikateli, který si od banky vypůjčil peníze a musí je splácet. Základu zde říkáme jistina a značíme ho... K 0 procentové části říkáme úrok... U počtu procent říkáme úroková míra... p ( zapisujeme desetinným číslem). Pro složené úrokování pak platí vzorec: K n = K 0. ( 1 + p ) n kde n je počet let. Příklad. Uložil jsem si 8000,- Kč. Kolik budu mít na vkladní knížce za 15 let, je-li úroková míra 10%? Řešení: K 0 = Kč p = 0,1 ( 10% = 0,1 základu ) n = 15 K 15 =? K 15 = ( 1+ 0,1) 15 K Kč Za 15 let budu mít na vkladní knížce Kč. 20

21 Úlohy o směsích Zvláštním typem úloh, v nichž můžeme v některých případech využít procenta, jsou úlohy o směsích. Úlohami o směsích se budeme zabývat v kapitole Rovnice, z tohoto důvodu zde neuvádíme i procvičovací příklady. Každý chemik či zahrádkář připravuje roztoky různé koncentrace a znalost úloh o směsích využívá. hmotnost roztoku prohlásíme za základ ( z ) koncentraci roztoku za počet procent ( p ) hmotnost složky v roztoku za procentovou část ( č ) Příklad 1. Připravte 8% roztok NaCl ve vodě. Hmotnost roztoku má být 1,5 kg. Kolik gramů NaCl potřebuješ? Řešení: z = 1,5 kg = 1 500g p = 8% č =? 100% g 1% : 100 = 15 g č = 120 g Potřebuji 120 g soli. Příklad 2. Do 2 kg vody zamíchej 40 g modré skalice. Jakou koncentraci bude mít získaný roztok? Řešení: z = g č = 40 g p =? 100% g 1% : 100 = 20,4 g p : 20,4 = 1,96% Získaný roztok bude mít koncentraci 1,96% 1 promile ( 1 ) je jedna desetina procenta nebo také jedna tisícina základu. 1 = z :

22 Slovní úlohy Příklad 1. Řezník zdražil 1 kg vepřového plecka z 60 Kč nejprve o 40%, a potom o 10%. Maso mu ale nikdo nekupoval, a tak jej musel slevit o 10%. Kolik nakonec maso stálo? Řešení: Úlohu musíme řešit ve třech krocích. 1. z 1 = 60 Kč p 1 = 140 % č 1 =? 100% Kč 1% : 100 = 0,6 č , = 84 Kč Cena po prvním zdražení byla 84 Kč. 2. č 1 = z 2 = 84 Kč p 2 = 110% č 2 =? 100% Kč 1% : 100 = 0,84 č , = 92,40 Kč Cena po druhém zdražení byla 92,40 Kč. 3. č 2 = z 3 = 92,40 Kč p 3 = 90% č 3 =? 100%... 92,40 Kč 1%... 0,924 90%... 0, = 83,16 83,20 Kč Řezník nakonec prodával maso za 83,20 Kč. Příklad 2. Zahradnictví potřebuje vypěstovat sazenic salátu. Kolik semen musejí připravit, je-li klíčivost 85% a množství uhynulých rostlin z vyklíčených je 10%? Řešení: č 1 = sazenic p 1 = 90 % z 1 =? č sazenic 1% : 90 = 200 z = sazenic z 1 =č 2 = sazenic p 2 = 85% z 2 =? č sazenic 1% : 85 = 235,29 z , = sazenic V zahradnictví musí připravit kusů sazenic salátu. 22

23 Trojčlenka Trojčlenka se používá při jednoduchých výpočtech přímé a nepřímé úměrnosti. Většinou známe tři na sobě závislé údaje a máme vypočítat čtvrtý. V trojčlence musíme přímou a nepřímou úměru pečlivě rozlišit, má totiž rozdílné výpočty. Přímá úměrnost znamená, že čím více je věcí A, tím více je věcí B. Například čím více koupíme propisek, tím více nás to bude stát. Čím více lidí na zájezdu, tím větší zisky pro cestovku. Čím déle urážíte boxera, tím je větší šance, že vám rozbije hubu. Málokdy se stává, aby se vzrůstajícím počtem koupených propisek klesala cena. Nepřímá úměra funguje přesně opačně. Čím více je věcí A, tím méně je věcí B. Typicky čím více lidí pracuje na stavbě altánku, tím dříve je altánek dokončen. Čím více stránek knihy přečtete, tím méně stránek vám zbývá do konce. Příklady slepic snese za tři týdny asi 360 vajec. Kolik vajec snese 15 slepic za 5 týdnů? 2. Rolník si spočítal, že zásoba krmiva by pro jeho 20 krav stačila na 60 dnů. Rozhodl se, že prodá dvě krávy a třetinu krmiva. Na jak dlouho vystačí krmivo pro zbytek rolníkova stáda? 3. Při přepravě 4000 vajec do prodejny se poškodí průměrně 60 vajec. S jakou ztrátou musí počítat vedoucí prodejny, který si objednal 7000 vajec? 4. Ve městě vybudovali třípodlažní podzemní garáž a umožnili tak parkování 222 vozům. V sousedním městě se rozhodli vybudovat pětipodlažní garáž o stejném půdorysu jako u sousedů. Kolik aut tam bude moci parkovat? 5. První kolo ozubeného soukolí má 60 zubů. Druhé kolo zapadající do prvního kola má 42 zubů. Třetí kolo zapadající do druhého má kola má 15 zubů. První kolo se otočí sedmkrát. Kolikrát se současně otočí třetí kolo? 6. Za tři hodiny opracoval truhlář na brusce 72 skříňových dveří a tím splnil denní normu na 36 %. c) Kolik dveří při stejném výkonu opracoval za 8 hodin? d) Na kolik procent splnil denní normu? 7. Firma dostala od obecního úřadu zakázku na vydláždění chodníku. Slíbila, že práci provede za 12 pracovních dnů. Mistr počítal s pěti dělníky, jeden z nich však onemocněl. O kolik dnů se práce na zakázce prodlouží? 8. V devíti kilogramech zvonoviny je 7 kg mědi, zbytek je cín. Kolik kg mědi a kolik cínu se spotřebovalo na ulití 5 zvonů? Každý ze dvou větších zvonů měl hmotnost 535 kg, každý ze zbývajících třech menších měl hmotnost 286 kg. 9. V trojúhelníku ABC má strana a délku 40 mm. Výška va k této straně měří 35 mm. Vypočtěte: a) Výšku vc ke straně c, je li c=70mm. b) Délku strany b, je li vb=25mm. 10. Honzíkovy rodiče přijeli na víkend pomoci dědečkovi jednotit řepu. Pracovali spolu s babičkou a dědečkem a každý z nich v sobotu vyjednotil 18 řádků. Stejný úsek pole jim zůstal na neděli. To navíc přijeli pomoci teta se strýcem. Kolik řádků řepy připadlo na každého dospělého v neděli? 23

24 Reálná čísla Reálná čísla jsou všechna čísla, která můžeme napsat pomocí konečného nebo nekonečného desetinného rozvoje. Můžeme říci, že reálná čísla získáme sjednocením racionálních a iracionálních čísel. Reálná čísla značíme pomocí písmene R, obvykle se zdvojenou svislou čárou:. Pokud si představíte nekonečnou číselnou osu, pak reálná čísla představují všechny možné vzdálenosti mezi dvěma body, které můžeme na osách nalézt. Reálnou čísla obsahují všechna přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla a iracionální čísla (Iracionální čísla jsou čísla s nekonečným desetinným rozvojem. Patří mezi ně některé známé konstanty jako Ludolfovo číslo nebo Eulerovo číslo e.) Většina funkcí, se kterými se běžně v matematice pracuje, má obvykle za svůj definiční obor právě množinu reálných čísel (například sinus a cosinus, lineární funkce) nebo nějakou její souvislou podmnožinu (například logaritmus). Příklady reálných čísel: 1, 3, 0,126, 42,47, e, 0,. Vlastnosti Reálná čísla jsou nekonečná nespočetná množina. Reálná čísla jsou uzavřená na operacích sčítání, odečítání, násobení a dělení. Pokud si vezmeme dvě reálná čísla a vynásobíme je, získáme opět reálné číslo. Reálné číslo je buď algebraické, tj. je kořenem nějakého mnohočlenu, nebo transcendentní, tj. není kořenem žádného mnohočlenu. Ke každému reálnému číslu existuje jeho absolutní hodnota, což představuje vzdálenost od počátku číselné osy. Každé nezáporné reálné číslo má druhou odmocninu, které je také reálné číslo. Naopak, žádné záporné reálné číslo nemá jako druhou odmocninu reálné číslo. 24

25 Absolutní hodnota Absolutní hodnota z čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Pokud máme vypočítat absolutní hodnotu z čísla kladného, bude to vždy to samé číslo. Budeme-li ovšem chtít zjistit absolutní hodnotu ze záporného čísla, bude to číslo opačné (tedy z x, kde x<0 bude absolutní hodnota x. Absolutní hodnota se značí dvěma svislými čárami: x. Ač se zdá, že počítání s absolutními hodnotami bude hračka, spíše opak je pravdou, většinou dokáží pěkně znepříjemnit jinak lehkou funkci. Viz například lineární rovnice s absolutní hodnotou. Uveďme ještě několik příkladů: Absolutní hodnota má tyto vlastnosti, pro hodnoty a, b, c z množiny reálných čísel: Zvlášť se počítá absolutní hodnota u komplexních čísel. 25

26 Interval Interval je množina bodů, která se ohraničena dvěma krajními body. Dále rozlišujeme otevřené a uzavřené intervaly. Uzavřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla mezi jedničkou a dvojkou včetně jedničky a dvojky. (1,2> Otevřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla mezi jedničkou a dvojkou, ale samotná čísla jedna a dva tam nepatří. (1,2) Interval je zleva uzavřený a zprava otevřený. Do intervalu spadají všechna čísla mezi nulou a jedničkou, včetně nuly samotné, ale jednička do intervalu nepatří. <0,1) Interval je zleva otevřený a zprava uzavřený. Do intervalu spadají všechny čísla mezi čísly p a q, včetně čísla q, ale vyjma čísla p. (p,q> Zleva uzavřený interval a zprava otevřený. Pokud máte v intervalu nekonečno, používajte z dané strany otevřený interval, nekonečno nemá nějaký krajní konečný bod, uzavřený interval tam nemá smysl. <0, ) Zde následuje změna, nepracujeme s množinou reálných čísel, ale s množinou přirozených čísel. Máme z obou stran uzavřený interval a v daném intervalu je tak celkem pět čísel: 1, 2, 3, 4 a 5. <1,5> N Stejný případ jako před chvílí, pouze je interval zleva otevřený a tak jednička nepatří do intervalu a výčet všech prvků intervalu je: 2, 3, 4 a 5. <1,5> N 26

27 Následující obrázek zachycuje zobrazení třech intervalů vždy od od dvou do šesti, ale liší se v uzavřenosti stran. Takže popořadě budou zobrazeny tyto intervaly: <2, 6 > (2,6> (2,6) Průnik, sjednocení 27

28 Mocniny a odmocniny MOCNINY Umocňování je matematická funkce, která jednoduše řečeno slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho, abyste napsali a a, napíšete jednoduše a 2. Jednoduché umocnění přirozeného čísla na přirozené číslo bychom mohli nadefinovat takto: kde výraz a se nazývá základ mocniny a výraz, na které je základ umocněn (horní index), se nazývá exponent. Pokud je a záporné číslo, tak nezapomeňte na to, jak se chová násobení záporných čísel. Pokud vynásobíte dvě záporná čísla, vznikne vám číslo kladné. Pokud toto číslo znovu vynásobíte záporným číslem, bude výsledek znovu záporný. Obecně řečeno, pokud je q sudé, pak bude výsledek kladný, pokud je lichý, pak bude záporný. Záporný exponent 28

29 ODMOCNINY Odmocnina je částečná inverzní funkce k mocnině. Nejčatěji pracujeme s druhou odmocninou, která hledá takové číslo, které když vynásobíme se sebou samým, tak získáme původní číslo, které jsme odmocnili. Pro odmocninu se používá znak, přičemž abychom nemuseli psát argument odmocniny do závorek nějak takto: (25), tak se nad celým argumentem (výrazem, který chceme domocnit) udělá vodorovná čára, takto: 25 = 5 Vícenásobná odmocnina Podobně jako můžeme umocnit výraz na druhou, na třetí, na čtvrtou, můžeme mít i třetí a čtvrtou a nakonec n-tou odmocninu z reálného čísla. Zapisuje se to obvykle nad zobáček, takto: Odmocnina ze záporného čísla Exponent ve zlomku Vzorce pro práci s mocninami a odmocninami a m a n = a (m+n) (a b) n = a n b n a m / a n = a (m n) (a n ) 2 = a 2n Slovy řečeno a na entou a to celé na druhou se rovná a na dva krát en 29