Prvočísla. Příklad 1. Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých činitelů, z nichž ani jeden se nerovná

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Prvočísla. Příklad 1. Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých činitelů, z nichž ani jeden se nerovná 1 2. 3. 4."

Transkript

1 Prvočísla Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné jen samo sebou a ještě jedničkou, čili 1 není prvočíslo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, Příklad 1. Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých činitelů, z nichž ani jeden se nerovná = 120 Příklad 2 Najdi nejmenší číslo, které je možno rozložit na součin čtyř různých prvočísel = 210 Příklad 3. Jsou dána čísla 5, 6, 22, 35, 41. Najděte mezi nimi prvočísla. 5 = = 6. 1, 6 = = 22. 1, 22 = = 1. 35, 35 = = Čísla 5 a 41 jsou prvočísla, čísla 6, 22 a 35 jsou čísla složená. Příklad 4. Vypočítej součet a součin všech prvočísel větších než 20 a menších než = = Součet je 120 a součin

2 Rozklad na prvočinitele Rozlož na prvočinitele číslo Příklad = = = ( ) Příklad = Příklad = = = = = ( = ) Příklad je prvočíslo Příklad = = = = = = ( = 2 7 ) Příklad = Příklad = = = ( = ) Příklad = = = ( = ) Tabulky str.57 2

3 Dělitelnost přirozených čísel 1. Číslo je dělitelné dvěma, má-li na místě jednotek sudou číslici nebo číslici nula. 2. Číslo je dělitelné třemi, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi. 3. Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. 4. Číslo je dělitelné pěti, je-li na místě jednotek číslice 0 nebo Každé sudé číslo, jehož ciferný součet je dělitelný třemi, je dělitelné šesti. 6. Číslo je dělitelné sedmi, je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že první, druhou, třetí...n-tou číslicí odzadu vynásobíme postupně čísly 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi. 8. Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti. 9. Číslo je dělitelné deseti, má-li na místě jednotek číslici nula. 10. Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu cifer na sudých místech a lichých místech dělitelný jedenácti nebo roven nule. 11. Čísla, která jsou dělitelná pouze samozřejmými děliteli, nazýváme prvočísla. Prvočísla jsou tedy čísla, která mají právě dva dělitele číslo jedna a sebe sama. 12. Čísla, která mají více než 2 dělitele, nazýváme čísla složená. 13. Číslo 1 má pouze jednoho dělitele, není tedy ani číslo složené ani prvočíslo. 14. Číslům, která mají alespoň jednoho společného dělitele s výjimkou čísla 1, říkáme soudělná. 15. Číslům, která nemají společného dělitele, s výjimkou čísla 1, říkáme nesoudělná. 16. Největšímu číslu, kterým jsou všechna zadaná čísla dělitelná, říkáme největší společný dělitel. 17. Chceme-li získat nejmenší společný násobek několika čísel, pak musíme najít nejmenší číslo, které je danými čísly dělitelné. 3

4 Největší společný dělitel Příklad 1. Najdi největšího společného dělitele čísel : 78; 130; = = = D ( 78; 130; 182 ) = = 26 Příklad 2. Najdi největšího společného dělitele čísel : 180; = = D (180; 240) = = 60 Příklad 3.Najdi největšího společného dělitele čísel: 460; = = D ( 460; 232 ) = 2. 2 = 4 Příklad 4. Najdi největšího společného dělitele čísel: 220; = = D (220; 165 ) = = 55 Příklad 5. Najdi největšího společného dělitele čísel: 186; 124; = = = D (186; 124; 248) = = 62 Příklad 6. Najdi největšího společného dělitele čísel: 315; = = D ( 315; 75 ) = 3. 5 = 15 Příklad 7.Najdi největšího společného dělitele čísel: 48; 140; = = = D (48; 140; 164 ) = 2. 2 = 4 4

5 Příklad 8. Najdi největšího společného dělitele čísel: 174; = = D ( 174; 28 ) = 2 Příklad 9. Najdi největšího společného dělitele čísel: 14; 24; = = = D (14; 24; 34 ) = 2 Příklad 10. Najdi největšího společného dělitele čísel: 48; 66; = = = D (48; 66; 78 ) = 2. 3 = 6 Příklad 11. Najdi největšího společného dělitele čísel: 65; = = D (65; 75 ) = 5 Příklad 12. Najdi největšího společného dělitele čísel: 26; 21; = = = D (26; 21; 11 ) nemají společného dělitele Příklad 13. V květinářství dostali 144 bílých a 192 červených karafiátů. Kolik kytic mohou svázat, má-li mít každá kytice stejný počet červených a stejný počet bílých karafiátů? Hledáme největšího společného dělitele 144 = = D (144; 192) = = 48 Kolik bude v každé kytici bílých a kolik červených karafiátů? 144 : 48 = = 4 Mohou svázat 48 kytic. V každé budou tři bílé a 4 červené karafiáty. 5

6 Příklad 14. V den svých narozenin donesla Eva do školy tři druhy bonbónů. Čokoládových bylo 200, karamel 360 a ovocných 240. Bonbóny rozdělila tak, aby v každé hromádce byl od každého druhu nejvyšší možný počet. Všechny hromádky byly stejné. Kolik spolužáků podělila? Kolik bonbónů od každého druhu bylo v jedné hromádce? Hledáme největšího společného dělitele 200 = = = D ( 200; 360; 240 ) = = 40 Eva podělila 40 spolužáků. Kolik bonbónů od každého druhu bylo v jedné hromádce? 200 : 40 = : 40 = : 40 = 6 V každé hromádce bylo 5 čokoládových, 9 karamelových a 6 ovocných bonbónů. Příklad 15. Klempíř měl rozstříhat pás plechu o rozměrech 380 cm a 60 cm na co největší čtverec tak, aby nevznikl žádný odpad. Vypočítej délku strany jednoho čtverce. Kolik čtverců nastříhal? 380 = = = D ( 380; 60 ) = = 20 Délka strany jednoho čtverce bude 20 cm. Kolik čtverců nastříhal? 380 : 20 = : 20 = = 57 Klempíř nastříhal 57 čtverců. Příklad 16. Žáci 7.A dostali celkem 416 učebnic a 896 sešitů a stejný počet knih. Kolik je ve třídě žáků, víme-li že je jich méně než 40? 416 = = D ( 416; 396 ) = = < 40 Ve třídě je 32 žáků. 6

7 Příklad 17.Zahrada je dlouhá 56 m a široká 36 metrů. Jaká vzdálenost musí být mezi tyčkami plotu, má-li být v celých metrech a co největší? Kolik tyček budeme potřebovat? D ( 56, 36) = 4 Největší vzdálenost mezi tyčkami je 4 m. Kolik tyček budeme potřebovat? o = 2. (a + b) o = 2. ( ) o = 184 (m) x = 184 : 4 = 46 Potřebujeme 46 tyček. Příklad 18.Marek vyjel na třídenní výlet na kole. Každý den jel celý počet hodin stejnou průměrnou rychlostí. První den ujel 84 km, druhý den 48 km a třetí den 24 km. Vypočítej jeho průměrnou rychlost, víš-li, že byla menší než 20 km/h a větší než 10 km/h. 84 = = = D (84; 48; 24) = = 12 km/h. Marek jel průměrnou rychlostí 12 km/h. 7

8 Nejmenší společný násobek Příklad 1. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 6; 12; 14; 35 6 = = = = 5. 7 n ( 6; 12; 14; 35 ) = = 420 Příklad 2. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 25; 15; 9 25 = = = 3. 3 n ( 25; 15; 35) = = 225 Příklad 3. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 14; 21; = = = 5. 3 n ( 14; 21; 35) = = 210 Příklad 4. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 8, 4, 18 8 = = = n ( 8; 4; 18 ) = 72 Příklad 5. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 10, 12; = = = n ( 10; 12; 16 ) = = 240 Příklad 6. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 4; 5; 10 4 = = 5 10 = 2. 5 n ( 4; 5; 10 ) = = 20 8

9 Příklad 7. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 4; 8; 11 4 = = = 11 n ( 4; 8; 11) = = 88 Příklad 8. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 6; 30; 18 6 = = = n ( 6; 30; 18 ) = = 90 Příklad 9. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 3; 8; 14 3 = 3 8 = = 2. 7 n (3; 8; 14 ) = = 168 Příklad 10. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 50, 4, = = = 2. 5 n (50; 4; 10 ) = = 100 Příklad 11. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 7; 5; 9 7 = 7 5 = 5 9 = 3. 3 n ( 7; 5; 9 ) = = 315 Příklad 12. Najdi nejmenší společný násobek čísel: 6; 9; 15 6 = = = 3. 5 n (6; 9; 15 ) = = 90 9

10 Příklad 13. V hodin vyjely z konečné stanice čtyři autobusy. První linka má interval 15 minut, druhá 20 minut, třetí 25 minut a čtvrtá 45 minut. V kolik hodin vyjedou všechny linky opět společně? Hledáme nejmenší společný násobek 15 = = = = 5. 5 n ( 15; 20; 45; 25 ) = = minut = 15 h 5h + 15h = 20 h Linky vyjedou společně ve 20 hodin. Příklad 14. Při veřejném vystoupení se cvičenci zařazují do pětistupů, šestistupů a trojstupů. Jaký musí být nejmenší počet cvičenců? 3 = 3 5 = 5 6 = 2. 3 n ( 3; 5; 6 ) = = 30 Nejmenší počet cvičenců je 30. Příklad 15. Děti skládaly obdélníkové karty o rozměrech 210 mm a 140 mm tak, aby pokryly čtverec. Jaký nejmenší čtverec lze takto vytvořit? Z kolika kartiček se bude skládat? 210 = = n ( 210; 140 ) = = 420 Nejmenší čtverec má stranu 420 mm dlouhou. Z kolika kartiček se bude skládat? 420 : 210 = : 140 = = 6 Bude se skládat ze 6 kartiček. Příklad 16. Švadlena odhadla počet metrů v balíku látky asi na 25. Pak zjistila, že může beze zbytku nastříhat látku buď na kostýmy po 3,6 m nebo na šaty po 2,1 metru nebo na haleny po 1,8 metru. Kolik látky bylo v balíku? 3,6 m = 360 cm 2,1 m = 210 cm 1,8 m = 180 cm 360 = = = n (360; 210; 180) = = 2520 cm = 25,2 m V balíku bylo 25,2 m látky. 10

11 Příklad 17. Ve 4,50 hodin vyjíždějí čtyři tramvaje na různé linky. První tramvaj se vrací na konečnou za jednu hodinu, druhá za hodinu a půl, třetí za dvě hodiny a čtvrtá za 45 minut. V kolik hodin nejdříve vyjedou opět současně? 60 = = = = n (60, 90, 120, 45) = = 360 min 4 h 50 min min = 10h 50 min Tramvaje vyjedou současně nejdříve v 10 h 50 min. Příklad 18. Kovbojové hlídali stádo krav. Jel kolem cizinec a ptal se na počet kusů stáda. Předák odpověděl: Je jich méně než 800. Kdybych je seřadil do skupin po 3, 4, 5, 6 nebo 8, vždy budou dvě krávy přebývat. Do skupin po 7 je však mohu seřadit beze zbytku. Kolik má stádo krav? n ( 3, 4,5,6,8 ) = 120 Možnosti: , , , , , Pouze 602 je dělitelné 7, proto má stádo 602 krav. Příklad 19. Nejmenší společný násobek dvou čísel je 180, největší společný dělitel je 6. Jedno není dělitelem druhého. Urči tato čísla. 180 = = = = = = 30 Dvojice: 12 a 90, 18 a 60, 30 a 36. Příklad 20. Urči nejmenší celé číslo, které při dělení třemi dá zbytek 2, při dělení čtyřmi zbytek 3, a při dělení 5 zbytek 4. n ( 3; 4; 5 ) = : 4 = : 3 = : 5 = : 4 = 14 zb : 3 = 19 zb : 5 = 11 zb. 4 Hledané číslo je

12 Příklad 21. Milada a Marta četly stejnou knihu. Milada denně přečetla 15 stran, Marta 12 stran. Milada přečetla kmihu o 3 dny dříve. Kolik měla kniha stran? 15 = = n ( 15, 12) = = : 15 = 4 60 : 12 = : 15 = = : 15 = : 12 = = 3 dny Kniha měla 180 stran. Příklad 22. Zahradník má sázet na záhon střídavě řádek sazenic salátu a řádek sazenic zelí. Sazenice salátu se vysazují ve vzdálenosti 25 cm, sazenice zelí ve vzdálenosti 35 cm. Jaká musí být délka nejkratších řádků, aby byly vhodné pro výsadbu salátu i zelí? 25 = = 5. 7 n (25; 35) = = 175 cm Délka nejkratších řádků je 175 cm. 12

13 Celá čísla Celá čísla jsou čísla, která nemají desetinnou část, obsahují v sobě přirozená čísla, k nim inverzní (záporná) čísla a nulu. Celá čísla je množina, která obsahuje čísla, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, Množinu obvykle značíme písmenem Z, se zdvojenou prostřední čárou:, z německého Zahlen (čísla). Celá čísla je nekonečná a spočetná množina. Celá čísla mají například tyto vlastnosti: 1.Jsou uzavřená na operacích sčítání a násobení, stejně jako přirozená čísla. To znamená, že pokud sečteme dvě celá čísla, získáme opět celé číslo. 2.Na rozdíl od přirozených čísel jsou celá čísla uzavřená také na operací odečítání. Přirozená čísla nebyla, protože rozdílem dvou přirozených čísel jsme mohli získat číslo záporné. Což nám v případě celých čísel nevadí, protože ta záporná čísla obsahují. 3.Stejně jako přirozená čísla nejsou uzavřená na operaci dělení. Stále platí, že můžeme po dělení získat nějaké necelé číslo. 4.Ke každému celému číslu c existuje inverzní číslo c. Pokud máme číslo 10, je inverzní číslo 10. Pro 55 je to 55. A stejně tak se zápornými čísly: pro 13 je inverzní prvek 13. Pokud máme celé číslo c a k němu inverzní číslo c, pak jejich součtem získáme nulu: c+( c)=0. Proto inverzním prvkem k nule je zase nula. Následující tabulka ukazuje zakladní vlastnosti násobení a sčítaní pro jakákoliv celá čísla a, b, c. sčítání násobení uzavřenost: a + b je celé číslo a b je celé číslo asociativita: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c komutativita: a + b = b + a a b = b a existence neutrálního prvku: existence inverzního prvku: a + 0 = a a + ( a) = 0 a 1 = a distributivita: a (b + c) = (a b) + (a c) Bez dělitelů nuly: jestliže ab = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0 V matematice se jako opačné číslo k číslu x označuje takové číslo, které po přičtení k x dává jako výsledek 0. Opačné číslo k číslu x se označuje jako x; jedná se tedy o číslo, které se od původního čísla liší právě ve znaménku. Platí tedy, že x + ( x) = 0. 13

14 Racionální čísla Racionální čísla jsou všechna čísla, která lze zapsat jako podíl dvou celých čísel, tj. ve tvaru zlomku. Usměrňování zlomků Násobení zlomků Dělení zlomků Sčítání zlomků Odečítání zlomků Křížové pravidlo 14

15 Desetinná čísla Porovnávání desetinných čísel: 1,09 < < 2,2151 3,2 = 3,20 Sčítání a odečítání desetinných čísel Při sčítání a odčítání desetinných čísel je velmi dobré zapsat si je pod sebe a to tak aby jejich desetinné čárky byly pod sebou. Při sčítání nebo odčítání pracujeme z oběma čísli na stejném řádu tedy sčítáme a odčítáme, desetiny z desetinami a setiny ze setinami. 1, ,354 = 3,877 4, ,009 = 6 5,321-3,451 = 1,87 6,212-5,213 = 0,999 Převeď desetinné číslo na zlomek: 15

16 Zaokrouhlování čísel Zaokrouhlování je způsob zjednodušování nehezkých čísel na hezké. Například číslo 98 můžete zaokrouhlit na číslo 100 :-). Pokud chceme zaokrouhlit na desítky, koukneme se na číslici, které je umístěno v jednotkách. Toto číslo poté zaokrouhlíme nahoru nebo dolů podle výše popsaných pravidel. Pokud zaokrouhlujeme dolů, dosadíme na místo jednotek nulu a víc neděláme. Pokud nahoru, dosadíme nulu a k desítkám přidáme jedničku. Takže když jsme zaokrouhlovali číslo 876 na desítky, koukli jsme se na šestku. Ta se zaokrouhluje nahoru. Přičteme desítku a na konec dáme nulu. Vychází nám 880. Při zaokrouhlování na stovky se musíme dívat na desítky. Jednotky nás nezajímají. Na místě desítek je sedmička. Ta se také zaokrouhluje nahoru. Takže na místo desítek a jednotek dáme nuly a ke stovkám přičteme jedničku. Vychází nám 900. Cvičně si ještě toto číslo můžeme zaokrouhlit na tisíce. Jako první se podíváme o číslici zpět, tedy na stovky. Tam se nachází osmička (můžete si to číslo představit jako 0876 nula tisíců). Osmička se zase zaokrouhluje nahoru, takže výsledek po zaokrouhlení bude Zaokrouhlovat můžeme i desetinná čísla a opět v závislosti na tom, na jaký řád zaokrouhlujeme. Třeba číslo 96,6 můžeme na celé jednotky zaokrouhlit na 97. Stejně to funguje i při nižších číslech. Takže mějme číslo 0,327. Když budeme chtít toto číslo zaokrouhlit na setiny, koukneme na třetí číslo za desetinnou čárkou, zjistíme, že je tam sedmička, ta se zaokrouhluje nahoru, takže zaokrouhlíme na 0,330. U desetinných čísel platí, že nemusíme na konci psát nuly. Číslo 3,200 je stejné jako 3,2. Takže předchozí výsledek po zaokrouhlení můžeme přepsat na 0,33. Pokud bychom chtěli původní číslo zaokrouhlit na desetiny, bude výsledek 0,3. 16

17 Procenta Procenta obvykle označují nějakou relativní část z celku, přičemž celek jako takový se vyjádří jako 100 %. Pokud máte v košíku deset jablek, tak 100 % jablek z tohoto košíku odpovídá deseti jablkům. Procenta se dají vždy přepsat do zlomku. Jedno procento se rovná jedné setině celku. Deset procent se rovná deseti setinám celku, neboli zkráceně jedné desetině. Padesát procent je padesát setin, zkráceně jedna polovina. 50 % jablek z předchozího košíku je tedy polovina jablek, což je pět jablek. Promile je tisícina z celku. Jinak se s promilí počítá úplně stejně jako s procenty. Název Označení Procento % Základ Procentová část Počet procent z č p Procento, základ Slovem procento ( % ) označujeme 1/100 z libovolného celku. Tomuto celku říkáme základ a značíme jej z. Příklad 1. Mějme v peněžence přebytečných 300 Kč a pokusme se určit 1% z této částky. Je-li 1% jednou setinou základu, stačí 300 Kč ( základ ) vydělit % Kč : 100 = 3 Kč 1% z 300 Kč jsou 3 Kč. Příklad 2. Určete 1% z 0,36 hl z = 0,36 hl 100%... 0,36 1%... 0,36 : 100 = 0,0036 hl 17

18 Procentová část Příklad 1. Dejme tomu, že v ČR je přibližně oprávněných voličů. Jak bychom určili, kolik jich skutečně volilo? Řešení: Je zřejmé, že voličů můžeme prohlásit za základ. Voleb se zúčastnila pouze část voličů ( říkáme jí procentová část a značíme č ), které odpovídá 72% obyvatel ( počet procent p ). Můžeme tedy zapsat: z = ( obyv. )... základ p = 72%... počet procent č =? ( obyv. )... procentová část Všimněme si, že z a č vyjadřujeme ve stejných jednotkách. Jak budeme postupovat? Vycházejme z toho, co už umíme: je - li z = obyvatel, pak 1% : 100 = obyvatel, 72% určím, násobím-li 1% % = obyvatel. Voleb se zúčastnilo oprávněných voličů. č = ( z : 100 ). p Příklad 2. V roce 1991 se na gymnázium hlásilo 680 žáků. Počet zájemců klesl v roce 1992 o 15%. Kolik žáků se v roce 1992 hlásilo ke studiu? Řešení: z = 680 žáků p = = 85% č =? 100% žáků 1% : 100 = 6,8 85%... 6,8. 85 = 578 žáků V roce 1992 se ke studiu přihlásilo 578 žáků. 18

19 Počet procent Příklad 1. Do třídy chodí 35 žáků. V době chřipek 7 žáků onemocnělo. Kolik to bylo procent z celkového množství žáků ve třídě? Řešení: 35 žáků bude základ, 7 žáků procentová část, budeme počítat počet procent z = 35 žáků č = 7 žáků p =? Opět si nejprve určíme 1 %. 1% : 100 = 0,35 Vydělíme-li počet nemocných žáků 1%, vypočítáme počet procent. 7 : 0,35 = 20% Ve třídě bylo nemocných 20% žáků. p = č : ( z : 100 ) Příklad 2. Ve škole je žáků, z toho 580 dívek. a) Kolik procent všech žáků školy tvoří dívky? b) Kolik procent tvoří chlapci? Řešení: a) z = žáků č = 580 dívek p =? 100% žáků 1% : 100 = 10 p : 10 = 58% Dívky tvoří 58% ze všech žáků školy. b) Jestliže základ je tvořen 100% a dívek je 58%, pak chlapci tvoří 100% - 58% = 42 % ze všech žáků školy. 19

20 Výpočet základu Příklad 1. Jedno procento z hrubého měsíčního příjmu učitele je 154 Kč. Jak vysoký měsíční plat má učitel? Řešení: Je-li 1% 154 Kč, stačí k určení základu vynásobit tuto hodnotu stem. 1% Kč 100% = Kč Hrubý měsíční plat učitele je Kč. Příklad 2. Určeme hrubý měsíční výdělek šikovného řemeslníka, víme-li, že 40% jeho mzdy tvoří Kč. Řešení: Je-li 40% Kč, musí být tato částka procentovou částí. Budeme opět určovat základ. č = Kč p = 40% z =? Nejprve si určíme 1%. 40% Kč 1% : 40 = 210 Kč z = 100% = Kč. Hrubý měsíční plat řemeslníka činí Kč. Úrokový počet z = ( č : p ). 100 Slovo úrok zní libě každému spořiteli. Je to částka, o kterou se každoročně zvýší jím uspořená suma na vkladní knížce. Méně příjemně zní podnikateli, který si od banky vypůjčil peníze a musí je splácet. Základu zde říkáme jistina a značíme ho... K 0 procentové části říkáme úrok... U počtu procent říkáme úroková míra... p ( zapisujeme desetinným číslem). Pro složené úrokování pak platí vzorec: K n = K 0. ( 1 + p ) n kde n je počet let. Příklad. Uložil jsem si 8000,- Kč. Kolik budu mít na vkladní knížce za 15 let, je-li úroková míra 10%? Řešení: K 0 = Kč p = 0,1 ( 10% = 0,1 základu ) n = 15 K 15 =? K 15 = ( 1+ 0,1) 15 K Kč Za 15 let budu mít na vkladní knížce Kč. 20

21 Úlohy o směsích Zvláštním typem úloh, v nichž můžeme v některých případech využít procenta, jsou úlohy o směsích. Úlohami o směsích se budeme zabývat v kapitole Rovnice, z tohoto důvodu zde neuvádíme i procvičovací příklady. Každý chemik či zahrádkář připravuje roztoky různé koncentrace a znalost úloh o směsích využívá. hmotnost roztoku prohlásíme za základ ( z ) koncentraci roztoku za počet procent ( p ) hmotnost složky v roztoku za procentovou část ( č ) Příklad 1. Připravte 8% roztok NaCl ve vodě. Hmotnost roztoku má být 1,5 kg. Kolik gramů NaCl potřebuješ? Řešení: z = 1,5 kg = 1 500g p = 8% č =? 100% g 1% : 100 = 15 g č = 120 g Potřebuji 120 g soli. Příklad 2. Do 2 kg vody zamíchej 40 g modré skalice. Jakou koncentraci bude mít získaný roztok? Řešení: z = g č = 40 g p =? 100% g 1% : 100 = 20,4 g p : 20,4 = 1,96% Získaný roztok bude mít koncentraci 1,96% 1 promile ( 1 ) je jedna desetina procenta nebo také jedna tisícina základu. 1 = z :

22 Slovní úlohy Příklad 1. Řezník zdražil 1 kg vepřového plecka z 60 Kč nejprve o 40%, a potom o 10%. Maso mu ale nikdo nekupoval, a tak jej musel slevit o 10%. Kolik nakonec maso stálo? Řešení: Úlohu musíme řešit ve třech krocích. 1. z 1 = 60 Kč p 1 = 140 % č 1 =? 100% Kč 1% : 100 = 0,6 č , = 84 Kč Cena po prvním zdražení byla 84 Kč. 2. č 1 = z 2 = 84 Kč p 2 = 110% č 2 =? 100% Kč 1% : 100 = 0,84 č , = 92,40 Kč Cena po druhém zdražení byla 92,40 Kč. 3. č 2 = z 3 = 92,40 Kč p 3 = 90% č 3 =? 100%... 92,40 Kč 1%... 0,924 90%... 0, = 83,16 83,20 Kč Řezník nakonec prodával maso za 83,20 Kč. Příklad 2. Zahradnictví potřebuje vypěstovat sazenic salátu. Kolik semen musejí připravit, je-li klíčivost 85% a množství uhynulých rostlin z vyklíčených je 10%? Řešení: č 1 = sazenic p 1 = 90 % z 1 =? č sazenic 1% : 90 = 200 z = sazenic z 1 =č 2 = sazenic p 2 = 85% z 2 =? č sazenic 1% : 85 = 235,29 z , = sazenic V zahradnictví musí připravit kusů sazenic salátu. 22

23 Trojčlenka Trojčlenka se používá při jednoduchých výpočtech přímé a nepřímé úměrnosti. Většinou známe tři na sobě závislé údaje a máme vypočítat čtvrtý. V trojčlence musíme přímou a nepřímou úměru pečlivě rozlišit, má totiž rozdílné výpočty. Přímá úměrnost znamená, že čím více je věcí A, tím více je věcí B. Například čím více koupíme propisek, tím více nás to bude stát. Čím více lidí na zájezdu, tím větší zisky pro cestovku. Čím déle urážíte boxera, tím je větší šance, že vám rozbije hubu. Málokdy se stává, aby se vzrůstajícím počtem koupených propisek klesala cena. Nepřímá úměra funguje přesně opačně. Čím více je věcí A, tím méně je věcí B. Typicky čím více lidí pracuje na stavbě altánku, tím dříve je altánek dokončen. Čím více stránek knihy přečtete, tím méně stránek vám zbývá do konce. Příklady slepic snese za tři týdny asi 360 vajec. Kolik vajec snese 15 slepic za 5 týdnů? 2. Rolník si spočítal, že zásoba krmiva by pro jeho 20 krav stačila na 60 dnů. Rozhodl se, že prodá dvě krávy a třetinu krmiva. Na jak dlouho vystačí krmivo pro zbytek rolníkova stáda? 3. Při přepravě 4000 vajec do prodejny se poškodí průměrně 60 vajec. S jakou ztrátou musí počítat vedoucí prodejny, který si objednal 7000 vajec? 4. Ve městě vybudovali třípodlažní podzemní garáž a umožnili tak parkování 222 vozům. V sousedním městě se rozhodli vybudovat pětipodlažní garáž o stejném půdorysu jako u sousedů. Kolik aut tam bude moci parkovat? 5. První kolo ozubeného soukolí má 60 zubů. Druhé kolo zapadající do prvního kola má 42 zubů. Třetí kolo zapadající do druhého má kola má 15 zubů. První kolo se otočí sedmkrát. Kolikrát se současně otočí třetí kolo? 6. Za tři hodiny opracoval truhlář na brusce 72 skříňových dveří a tím splnil denní normu na 36 %. c) Kolik dveří při stejném výkonu opracoval za 8 hodin? d) Na kolik procent splnil denní normu? 7. Firma dostala od obecního úřadu zakázku na vydláždění chodníku. Slíbila, že práci provede za 12 pracovních dnů. Mistr počítal s pěti dělníky, jeden z nich však onemocněl. O kolik dnů se práce na zakázce prodlouží? 8. V devíti kilogramech zvonoviny je 7 kg mědi, zbytek je cín. Kolik kg mědi a kolik cínu se spotřebovalo na ulití 5 zvonů? Každý ze dvou větších zvonů měl hmotnost 535 kg, každý ze zbývajících třech menších měl hmotnost 286 kg. 9. V trojúhelníku ABC má strana a délku 40 mm. Výška va k této straně měří 35 mm. Vypočtěte: a) Výšku vc ke straně c, je li c=70mm. b) Délku strany b, je li vb=25mm. 10. Honzíkovy rodiče přijeli na víkend pomoci dědečkovi jednotit řepu. Pracovali spolu s babičkou a dědečkem a každý z nich v sobotu vyjednotil 18 řádků. Stejný úsek pole jim zůstal na neděli. To navíc přijeli pomoci teta se strýcem. Kolik řádků řepy připadlo na každého dospělého v neděli? 23

24 Reálná čísla Reálná čísla jsou všechna čísla, která můžeme napsat pomocí konečného nebo nekonečného desetinného rozvoje. Můžeme říci, že reálná čísla získáme sjednocením racionálních a iracionálních čísel. Reálná čísla značíme pomocí písmene R, obvykle se zdvojenou svislou čárou:. Pokud si představíte nekonečnou číselnou osu, pak reálná čísla představují všechny možné vzdálenosti mezi dvěma body, které můžeme na osách nalézt. Reálnou čísla obsahují všechna přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla a iracionální čísla (Iracionální čísla jsou čísla s nekonečným desetinným rozvojem. Patří mezi ně některé známé konstanty jako Ludolfovo číslo nebo Eulerovo číslo e.) Většina funkcí, se kterými se běžně v matematice pracuje, má obvykle za svůj definiční obor právě množinu reálných čísel (například sinus a cosinus, lineární funkce) nebo nějakou její souvislou podmnožinu (například logaritmus). Příklady reálných čísel: 1, 3, 0,126, 42,47, e, 0,. Vlastnosti Reálná čísla jsou nekonečná nespočetná množina. Reálná čísla jsou uzavřená na operacích sčítání, odečítání, násobení a dělení. Pokud si vezmeme dvě reálná čísla a vynásobíme je, získáme opět reálné číslo. Reálné číslo je buď algebraické, tj. je kořenem nějakého mnohočlenu, nebo transcendentní, tj. není kořenem žádného mnohočlenu. Ke každému reálnému číslu existuje jeho absolutní hodnota, což představuje vzdálenost od počátku číselné osy. Každé nezáporné reálné číslo má druhou odmocninu, které je také reálné číslo. Naopak, žádné záporné reálné číslo nemá jako druhou odmocninu reálné číslo. 24

25 Absolutní hodnota Absolutní hodnota z čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Pokud máme vypočítat absolutní hodnotu z čísla kladného, bude to vždy to samé číslo. Budeme-li ovšem chtít zjistit absolutní hodnotu ze záporného čísla, bude to číslo opačné (tedy z x, kde x<0 bude absolutní hodnota x. Absolutní hodnota se značí dvěma svislými čárami: x. Ač se zdá, že počítání s absolutními hodnotami bude hračka, spíše opak je pravdou, většinou dokáží pěkně znepříjemnit jinak lehkou funkci. Viz například lineární rovnice s absolutní hodnotou. Uveďme ještě několik příkladů: Absolutní hodnota má tyto vlastnosti, pro hodnoty a, b, c z množiny reálných čísel: Zvlášť se počítá absolutní hodnota u komplexních čísel. 25

26 Interval Interval je množina bodů, která se ohraničena dvěma krajními body. Dále rozlišujeme otevřené a uzavřené intervaly. Uzavřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla mezi jedničkou a dvojkou včetně jedničky a dvojky. (1,2> Otevřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla mezi jedničkou a dvojkou, ale samotná čísla jedna a dva tam nepatří. (1,2) Interval je zleva uzavřený a zprava otevřený. Do intervalu spadají všechna čísla mezi nulou a jedničkou, včetně nuly samotné, ale jednička do intervalu nepatří. <0,1) Interval je zleva otevřený a zprava uzavřený. Do intervalu spadají všechny čísla mezi čísly p a q, včetně čísla q, ale vyjma čísla p. (p,q> Zleva uzavřený interval a zprava otevřený. Pokud máte v intervalu nekonečno, používajte z dané strany otevřený interval, nekonečno nemá nějaký krajní konečný bod, uzavřený interval tam nemá smysl. <0, ) Zde následuje změna, nepracujeme s množinou reálných čísel, ale s množinou přirozených čísel. Máme z obou stran uzavřený interval a v daném intervalu je tak celkem pět čísel: 1, 2, 3, 4 a 5. <1,5> N Stejný případ jako před chvílí, pouze je interval zleva otevřený a tak jednička nepatří do intervalu a výčet všech prvků intervalu je: 2, 3, 4 a 5. <1,5> N 26

27 Následující obrázek zachycuje zobrazení třech intervalů vždy od od dvou do šesti, ale liší se v uzavřenosti stran. Takže popořadě budou zobrazeny tyto intervaly: <2, 6 > (2,6> (2,6) Průnik, sjednocení 27

28 Mocniny a odmocniny MOCNINY Umocňování je matematická funkce, která jednoduše řečeno slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho, abyste napsali a a, napíšete jednoduše a 2. Jednoduché umocnění přirozeného čísla na přirozené číslo bychom mohli nadefinovat takto: kde výraz a se nazývá základ mocniny a výraz, na které je základ umocněn (horní index), se nazývá exponent. Pokud je a záporné číslo, tak nezapomeňte na to, jak se chová násobení záporných čísel. Pokud vynásobíte dvě záporná čísla, vznikne vám číslo kladné. Pokud toto číslo znovu vynásobíte záporným číslem, bude výsledek znovu záporný. Obecně řečeno, pokud je q sudé, pak bude výsledek kladný, pokud je lichý, pak bude záporný. Záporný exponent 28

29 ODMOCNINY Odmocnina je částečná inverzní funkce k mocnině. Nejčatěji pracujeme s druhou odmocninou, která hledá takové číslo, které když vynásobíme se sebou samým, tak získáme původní číslo, které jsme odmocnili. Pro odmocninu se používá znak, přičemž abychom nemuseli psát argument odmocniny do závorek nějak takto: (25), tak se nad celým argumentem (výrazem, který chceme domocnit) udělá vodorovná čára, takto: 25 = 5 Vícenásobná odmocnina Podobně jako můžeme umocnit výraz na druhou, na třetí, na čtvrtou, můžeme mít i třetí a čtvrtou a nakonec n-tou odmocninu z reálného čísla. Zapisuje se to obvykle nad zobáček, takto: Odmocnina ze záporného čísla Exponent ve zlomku Vzorce pro práci s mocninami a odmocninami a m a n = a (m+n) (a b) n = a n b n a m / a n = a (m n) (a n ) 2 = a 2n Slovy řečeno a na entou a to celé na druhou se rovná a na dva krát en 29

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30.

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30. ARNP 1 2015 Př. 9 Společný dělitel a společný násobek Společný dělitel Příklad 1: Najděte množinu všech dělitelů čísla 18 a množinu všech dělitelů čísla 30. Řešení: Množina všech dělitelů čísla 18 je množina

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek 1.1. Základní pojmy V tomto uebním bloku budeme pracovat pouze s pirozenými ísly ( bez nuly ) a budeme studovat vztahy dlitelnosti mezi nimi. Seznámíme se s tmito základními pojmy: Název Dlitel, násobek

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Sbírka úloh z matematiky. 6. - 9. ročník

Sbírka úloh z matematiky. 6. - 9. ročník Sbírka úloh z matematiky 6. - 9. ročník Pro základní školy srpen 2011 Vypracovali: Mgr. Jaromír Čihák Ing. Jan Čihák Obsah 1 Úvod 2 2 6. ročník 3 2.1 Přirozená čísla.................................. 3

Více

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Příklady k opakování učiva ZŠ

Příklady k opakování učiva ZŠ Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Určete všechna čísla z množiny {0,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, která jsou děliteli čísel: a) 24 b) 210 c) 240 d) 216 e)7560

Určete všechna čísla z množiny {0,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, která jsou děliteli čísel: a) 24 b) 210 c) 240 d) 216 e)7560 Dělitelnost čísel Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbtku dělitelné právě dvěma různými čísl, a to číslem jedna a sebou samým (ted není prvočíslo). Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou

Více

Počítání s neúplnými čísly 1

Počítání s neúplnými čísly 1 Aproximace čísla A: Počítání s neúplnými čísly 1 A = a ± nebo A a, a + Aproximace čísla B: B = b ± β nebo B b β, b + β nebo a A a+ nebo b β B b + β Součet neúplných čísel odvození: a + b β A + B a+ + (b

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah Úvodem... 3 1 Dělitelnost přirozených čísel... 4 2 Obvody

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Variace. Poměr, trojčlenka

Variace. Poměr, trojčlenka Variace 1 Poměr, trojčlenka Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Poměr Poměr je matematický zápis

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Kaţdé číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, je číslo racionální.

Kaţdé číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, je číslo racionální. . Racionální čísla. ročník -. Racionální čísla.. Vymezení pojmu Kaţdé číslo které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel je číslo racionální. Při podílu dvou celých čísel a a b mohou nastat tyto situace

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

1.2.3 Racionální čísla I

1.2.3 Racionální čísla I .2. Racionální čísla I Předpoklady: 002 Racionální jsou všechna čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku p q, kde p Z, q N. Například 2 ; ; 2 ; 6 ; umožňují počítat s částmi celků (třeba polovina dortu),

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Matematika číslo a početní operace PDF MZ 4 / VY_MA2_42_01-36

Matematika číslo a početní operace PDF MZ 4 / VY_MA2_42_01-36 VY_42_INOVACE_MA2_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace a zkvalitnění

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

ČÍSLA, ZÁKLADNÍ VÝPOČTY, SLOVNÍ ÚLOHY, PROCENTA

ČÍSLA, ZÁKLADNÍ VÝPOČTY, SLOVNÍ ÚLOHY, PROCENTA ČÍSLA, ZÁKLADNÍ VÝPOČTY, SLOVNÍ ÚLOHY, PROCENTA ČÍSLA. Vyznačte na číselné ose obrazy čísel / a 5/6.. a) Na číselné ose vyznačte interval - n; n - pro n = 5. b) Najděte nejmenší přirozené číslo n, pro

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Trojúhelník má jeden úhel tupý,

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Procenta, poměr, trojčlenka Klíčová slova: Procenta, poměr, zvětšení, zmenšení, trojčlenka, měřítko Autor: Mlynářová 1 Trojčlenka označuje postup při řešení úloh přímé

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Klíčová slova: matematizace reálných úloh, přímá a nepřímá úměrnost, společná práce, zlomky, procenta, části celku Autor: Mgr.M.

Klíčová slova: matematizace reálných úloh, přímá a nepřímá úměrnost, společná práce, zlomky, procenta, části celku Autor: Mgr.M. Přípravný kurz - Matematika Téma: Slovní úlohy Klíčová slova: matematizace reálných úloh, přímá a nepřímá úměrnost, společná práce, zlomky, procenta, části celku Autor: Mgr.M.Hetmerová 12 19 9:02 Jak pracovat

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie.

Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie. Slovní úlohy - řešené úlohy Úměra, poměr Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie. Každý rozměr zvětšíme tak, že jeho

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. čísla soudělná a nesoudělná METODICKÝ LIST DA9 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1 2a) Desetinná čísla celá část desetinná část příklady k procvičení 1. Zapište číslo a) 5 celých 4 desetin, 8 setin b) 8 set 4 desítky 7 jednotek 1 desetina 8 tisícin c) 2 miliony 8 tisíc 9 tisícin. 2.

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program

Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program Číslo materiálu Předmět ročník Téma hodiny Ověřený materiál Program Stran Stran celkem DUM 1 VY_32_INOVACE_03_01 Matematika 1. M - pololetní opakování písemná práce Word 5 4 2 VY_32_INOVACE_03_02 Matematika

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15 Manuál č. 15 NÁZEV HODINY/TÉMA: OPERACE S REÁLNÝMI ČÍSLY Časová jednotka (vyuč.hod.): 1h (45min.) Vyučovací předmět: Matematika Ročník: první Obor vzdělání: 3letý Použité metody: Hra s čísly, Práce s textem,

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Přirozená čísla. (Zápis přirozených čísel) (Základní početní operace v N a jejich vlastnosti) (Dělitel a násobek přirozeného čísla)

Přirozená čísla. (Zápis přirozených čísel) (Základní početní operace v N a jejich vlastnosti) (Dělitel a násobek přirozeného čísla) Přirozená čísla Jedna, dva, moc Zápis přirozených čísel) 0 a) např. 8 b) např. 0 c) např. CXXVIII např.,, 0 a, d, h 0 0, 0,, 00,,, 00,,, 000 0 A, B, C, D 0 a) ANO b) NE c) NE ANO 0 a) 0 + 0 + 0 + 0 + b)

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika. Ročník: 7. - 1 - Průřezová témata. Poznám ky. Výstup

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika. Ročník: 7. - 1 - Průřezová témata. Poznám ky. Výstup - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Výstup - modeluje a zapisuje zlomkem část celku - převádí zlom na des. čísla a naopak - porovnává zlom - zlomek

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková VY_42_INOVACE_MA1_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace a zkvalitnění

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné

Více