OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák"

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003

2 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky 4 1. Výroková logika Pojem množiny a množinová symbolika Výrokové formy Množinové vztahy Množinové operace Složené výrokové formy Obecný a existenční výrok II. Kartézský součin a binární relace Kartézský součin dvou množin Binární relace v množině Vlastnosti binárních relací v množině Relace ekvivalence a rozklad množiny Relace uspořádání, uspořádání množiny Relace zobrazení, zobrazení množin III. Binární operace a matematické struktury Binární operace v množině a jejich vlastnosti Algebraické struktury s jednou binární operací Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi Homomorfismus a izomorfismus algebraických struktur IV. Číselné soustavy Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě a převody V. Základy teorie dělitelnosti Dělitelnost celých čísel, znaky dělitelnosti Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel Prvočísla Neurčité rovnice VI. Zavedení polookruhu všech přirozených čísel Kardinální čísla Ordinální čísla Peanova množina Slovní úlohy

3 5. Analytická a syntetická metoda řešení složené slovní úlohy Konstrukce oboru integrity celých čísel Konstrukce tělesa racionálních čísel Rovnost, rovnice, nerovnost, nerovnice Přehled některých použitých symbolů 45 Literatura 47 3

4 I. Úvod do teorie množin a matematické logiky 1. Výroková logika Každé srozumitelné sdělení u něhož dovedeme jednoznačně rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé, přičemž ztěchto možností nastane právě jedna, nazýváme výrokem.prosnadnějšíprácisvýroky apřehlednostvyužíváme abecedu výrokové logiky. Abecedu výrokové logiky tvoří: Znaky pro výrokové proměnné: p, q, r,... (resp. p 1, p 2,..., p n). Znaky pro konstanty P, N, kde P značí výrok pravdivý a N výrok nepravdivý. Znaky pro výrokotvorné spojky:,,,,,, tj. funktory. Pomocné znaky: ( ), [ ], { }, tj. závorky. Tvrzení výrok pje pravdivý označujeme symbolem 1, výrok qje nepravdivý symbolem 0. (Ph(p) =1; P h(q) = 0). Negací výroku prozumíme výrok p (čti není pravda, že p), který je nepravdivý,je-li výrok ppravdivý aje pravdivý, je-li p výrok nepravdivý. Konjunkcí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pazároveň q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p, q spojíme výrokotvornou spojkou a. Konjunkce p q je výrok pravdivý, jsou-li oba výroky pravdivé. Disjunkcí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pnebo q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p,q spojíme výrokotvornou spojkou nebo. Disjunkce p q je výrok pravdivý, je-li aspoň jeden z výroků pravdivý. Ostrou disjunkcí výroků p,q rozumíme výrok p q (čti buď p nebo q), který utvoříme tak, že před prvním z výroků umístíme buď a před druhý z nich pak nebo. Ostrá disjunkce p q je výrok pravdivý, je-li právě jeden z výroků pravdivý. Implikací výroků p,qrozumíme výrok p q(čti jestliže ppak q), který utvoříme tak, že před první výrok umístíme jestliže a před druhý potom. Implikace p q je výrok nepravdivý, je-li první výrok p pravdivý a druhý výrok q nepravdivý. V ostatních případech je impliace pravdivá. Ekvivalencí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pprávě když q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p, q spojíme výrokotvornou spojkou právě když. Ekvivalence p q je výrok pravdivý, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu. Při slovním vyjádření konjukce, implikace a ekvivalence výroků se používají i další výrokotvorné spojky nebo slovní obraty. U konjukce výroků p q jsou to i, a zároveň, a současně, a také. Implikaci výroků p q můžeme zformulovat také jestliže p, pak q, p implikuje q, z p plyne q, p je postačující podmínkou pro q, q je nutnou podmínkou pro p, q platí tehdy, platí-li p, p platí jen tehdy, platí-li q. A konečně ekvivalenci výroků p q můžeme vyjádřit výrok p je ekvivalentní s výrokem q, z p plyne q a zároveň z q plyne p, p je nutnou a postačující podmínkou pro q, p platí tehdy a jen tehdy, platí-li q, p platí právě tehdy, když platí q. 4

5 Přehledná tabulka výroků výrokové zápis název výroku výrokotvorná funktor proměnné výroku spojka p p negace výroku není pravda, že p, q p q konjunkce výroků... a... p, q p q disjunkce výroků... nebo... p, q p q ostrá disjunkce buď... nebo... výroků p, q p q implikace výroků jestliže..., potom... p, q p q ekvivalence výroků... právě když... Přehledná tabulka pravdivostních hodnot výroků výroky negace konjunkce disjunkce ostrá implikace ekvivalence disjunkce p, q p p q p q p q p q p q Kdalším základním pojmům patří výroková formule. Výrokovou formulí rozumíme: a) každou výrokovou proměnnou p, q, r,..., b) výrokové konstanty P, N, c) jsou-li libovolné výrazy Φ, Ψ výrokovými formulemi, potom i ( Φ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) jsou výrokové formule, d) žádné jiné výrazy výrokové formule nejsou. Příklady výrokových formulí jsou výrazy p q, ( p q) r, (r q) (q p), utvořené pomocí výrokové abecedy, pro něž je charakteristické, že funktory spojují dvě výrokové proměnné (konstanty), nebo dvě závorky se dvěma výrokovými proměnnými, nebo závorku se dvěma výrokovými proměnnými a proměnnou atd. Výrazy např. (p ), (p ) q utvořené také znaky výrokové abecedy výrokovými formulemi nejsou, neboť není splněna charakteristická vlastnost výše uvedená. Výrokovou formuli o n výrokových proměnných obecně zapisujeme Ψ(p 1, p 2,..., p n). tautologie Výrokové formule: splnitelná formule kontradikce Tautologií nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n), která má tu vlastnost, že z ní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Značíme Ψ(p 1, p 2,..., p n). Příklady některých tautologií: (p q) (q p) komutativnost disjunkce [(p q) r] [p (q r)] asociativnost konjunkce [(p q) r] [(p r) (q r)] distributivnost disjunkce } vzhledem ke konjunkci zprava (p q) p q (p q) p q de Morganovy zákony Splnitelnou formulí nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n),která má tu vlastnost, že zní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot a výrok nepravdivý pro jinou libovolnou kombi- 5

6 naci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Kontradikcí nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n), která má tu vlastnost, že zní vznikne výrok nepravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Říkáme, že výroková formule Φ je logicky ekvivalentní s výrokovou formulí Ψ, právě když výroková formule Φ Ψ je tautologie, což symbolicky zapisujeme ve tvaru Φ Ψ. 2. Pojem množiny a množinová symbolika Obsah pojmu množina vymezíme intuitivně takto: Množinou budeme rozumět jakýkoliv soubor vzájemně rozlišitelných objektů, které budeme nazývat jejími prvky. Přitom budeme předpokládat, že každá množina je svými prvky jednoznačně určena. Množiny budeme většinou značit velkými latinskými písmeny A, B, C,..., Z, jejich prvky pak malými latinskými písmeny a, b, c,... Bude-li to zapotřebí, budeme při označování množin a jejich prvků používat také indexů. Např. M 1, M 2, M n nebo a 1, a 2, a n. Výrok a je prvek množiny A zapisujeme symbolicky ve tvaru a A, jeho negaci pak ve tvaru a A. Množinu graficky znázorňujeme jako část roviny omezené uzavřenou křivkou, jejíž vnitřní body znázorňují prvky množiny a vnější body prvky, které množině nepatří. Např. V některých úvahách budeme nadále předpokládat, že množiny, o nichž bude řeč, byly vytvořeny z prvků nějaké předem zvolené množiny Z. Tuto množinu nazýváme množinou základní, resp. univerzální. V matematice vystupují v roli základních množin velmi často např. číselné obory, pro něž zavedeme toto označení: N N 0 C Q R množina všech přirozených čísel bez nuly, množina všech přirozených čísel s nulou, množina všech celých čísel, množina všech racionálních čísel, množina všech reálných čísel. Pro podmnožiny množin C, Q, R se užívá někdy těchto označení, např.: Q + množina všech kladných racionálních čísel, Q + 0 množina všech nezáporných racionálních čísel, Q množina všech záporných racionálních čísel, Q 0 množina všech nekladných racionálních čísel. PřiurčováníkonkrétníchmnožinvrámcizvolenézákladnímnožinyZpoužívámeněkteréznásledujícíchmetod: a) Určení množiny výčtem prvků (taxativně). Tato metoda je vhodná pro určování konečných množin, zpravidla s malým počtem prvků. Jsou-li např. x, y, z všechny prvky množiny A a b 1, b 2,..., b n všechny prvky množiny B, pak píšeme A = {x, y, z}, B = {b 1, b 2,..., b n}. Přitom přepokládáme, že každý prvek množin A, B je uveden ve složených závorkách jen jednou a pořadí, v němž jsou prvky zapsány, je zcela libovolné. 6

7 b) Určení množiny charakteristickou vlastností všech jejích prvků. Princip spočívá vtom, že určíme vhodnou výrokovou formu V(x), tj. výraz, který obsahuje proměnnou, s oborem proměnnosti Z tak, aby jejím oborem pravdivosti byla právě daná množina. Výroková forma V(x) reprezentuje tu vlastnost, kterou mají právě jen prvky základní množiny Zpatřící do definované množiny a žádné jiné. Je-li daná množina A určena výrokovou formou V (x), pak píšeme A = {x Z; V (x)}. Množinové úvahy se často týkají malého počtu množin. Situace zahrnující dvě, tři, čtyři množiny lze přehledně znázornit systémem přihrádek, kterými jsou Vennovy diagamy pro 2, 3, 4 množiny. Vennovy diagramy jsou standardizovaná grafická přihrádková schémata, která vznikají překřížením uzavřených čar. Při znázornění dvou uzavřených čar musíme vytvořit čtyři části (přihrádky, komponenty), tří čar osm a čtyř uzavřených čar pak šestnáct komponent. Tam, kde je znázornění množin pomocí Vennových diagramů nevhodné, používáme jejich znázornění na číselné ose. Vennovy diagramy pro 2 množiny Vennovy diagramy pro 3 množiny Vennovy diagramy pro 4 množiny 3. Výrokové formy Výrokovou formou rozumíme každé sdělení, které obsahuje alespoň jeden neurčený údajzvaný proměnná. Např. a 10; 7 < ; x + y = 15; p + r + s > 0; 2x + 3 = 1. Z uvedeného vyplývá, že u uvedených výrazů nelze určit jejich pravdivost, resp. nepravdivost. Podle počtu těchto proměnných hovoříme potom o výrokové formě o jedné proměnné, o dvou proměnných, respektive o výrokové formě o n proměnných a označujeme po řadě A(x), B(x, y), V (x 1, x 2, x 3,..., x n). Další úvahy zaměříme na výrokové formy o jedné proměnné x. Každé výrokové formě V (x), chceme-li ji studovat, přiřazujeme tři množiny: množinu O, zvanou obor proměnné xvýrokové formy V(x), množinu D, zvanou definiční obor výrokové formy V(x), množinu P,zvanou obor pravdivosti výrokové formy V(x). 7

8 Obor proměnné xvýrokové formy V(x) je množina Ovšech prvků, které přichází vúvahu jako hodnoty proměnné x figurující ve V (x). Definiční obor výrokové formy V(x) je množina Dvšech prvků zmnožiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) je množina P všech prvků zmnožiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok pravdivý. Obor proměnné x výrokové formy V (x) volíme, zbývající obory určujeme. Z vymezení daných oborů plyne, že D O, P O, P D. 4. Množinové vztahy Nejprve si uveďme, že k množinovým vztahům zařadíme pojmy rovnost a různost množin, množinovou inkluzi a doplněk množiny. Dále pak zavedeme definici potenčního systému. Jestliže dvě množiny obsahují tytéž prvky, pak říkáme, že jsou si rovny a píšeme A = B. Jestliže naopak neplatí, že A = B, pak píšeme A B, přičemž říkáme, že množiny A, B jsou různé. Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná. Množina, která není prázdná, se nazývá neprázdná. Prázdnou množinu zapisujeme symbolicky: nebo { }; zápis { } neoznačuje prázdnou množinu, ale množinu jednoprvkovou, jejímž prvkem je množina prázdná. Množina Aje podmnožinou nebo také částí množiny B, což zapisujeme A B, právě tehdy,když pro všechny prvky x ze základní množiny Z platí, jestliže x náleží množině A, pak také náleží množině B. Symbolicky: A B x Z : x A x B. Příklad grafického znázornění: Právě popsaný vztah nazýváme množinovou inkluzí. Jestliže množina Aje podmnožinou množiny Basoučasně jsou tyto množiny různé, pak říkáme, že množina A je vlastní částí nebo vlastní podmnožinou množiny B. Je-li A množina, která je podmnožinou základní množiny Z, pak všechny prvky, které do množiny A nepatří, tvoří množinu A, kterou nazýváme doplněk množiny A vzhledem k základní množině Z. Symbolicky: A = {x Z; x A}. 8

9 Graficky: Potenčním systémem množiny A nazveme množinu P(A) definovanou vztahem P(A) = {X Z; X A}. Potenční množina libovolné množiny A je tedy systém množin, jehož prvky jsou právě všechny podmnožiny množiny A a žádné jiné. 5. Množinové operace V tomto článku pojednáme o sjednocení, průniku, rozdílu a symetrickém rozdílu množin. Sjednocením libovolných dvou množin A a B nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. Množina A B obsahuje všechny ty prvky základní množiny, které patří alespoň do jedné z obou množin A a B a žádné jiné. Diagram znázorňující sjednocení A B: Průnikem libovolných dvou množin A a B nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. Do množiny A B patří právě všechny ty prvky základní množiny, které jsou současně obsaženy v obou množinách A, B a žádné jiné. Diagram znázorňující průnik A B: Množiny A a B se nazývají navzájem disjunktní právě tehdy, je-li A B =. Rozdílem množin A a B v tomto pořadí nazýváme množinu A \ B definovanou vztahem A \ B = {x Z; x A x B}. Z definice vyplývá, že množina A \ B obsahuje právě všechny prvky základní množiny, které náleží množině A a nenáleží množině B a žádné jiné. Diagram znázorňující rozdíl A \ B: Symetrickým rozdílem libovolných dvou množin A a B v tomto pořadí nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. 9

10 Množina A B obsahuje všechny prvky základní množiny, které náleží právě do jedné z množin A, B a žádné jiné. Diagram znázorňující rozdíl A B: 6. Složené výrokové formy Vtomto článku se budeme zabývat výrokovými formami ojedné proměnné. Víme, že výroková forma A(x) je jisté sdělení s jedním neurčeným údajem, který značíme x a nazýváme ho proměnnou. Ke každé výrokové formě A(x), B(x),... jsme zavedli obor proměnné O, definiční obor D a obor pravdivosti P nebo A, B,... Množina A={x D;A(x)} je vyjádřena charakteristickou vlastností prvků atuto vlastnost určuje výroková forma A(x). Množina D je definiční obor výrokové formy A(x). Množina A = {x D;A(x)} je tedy obor pravdivosti výrokové formy A(x).Obdobné platí pro množinu B={x D;B(x)}. Spojíme-li výrokové formy o téže proměnné x s týmž definičním oborem D výrokotvornými spojkami, které známe z výrokové logiky, obdržíme konjunkci, disjunkci, ostrou disjunkci, implikaci a ekvivalenci výrokových forem, resp. negaci výrokové formy. Konjunkcí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) (čti A(x) azároveň B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x). Příklad 1: Nechť A(x) : x 6, B(x) : x 5. Jejich oborem proměnné O = N, definičním oborem D = N. Množina A = {x D; x 6} = {1, 2, 3, 6} je obor pravdivosti výrokové formy x 6, množina B = {x D; x 5} = {1, 2, 3, 4, 5} je obor pravdivosti výrokové formy x 5. Konjukcí výrokových forem A(x) B(x) je x 6 x 5. Obor pravdivosti konjukce výrokových forem je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3} = A B. Disjunkcí výrokových forema(x),b(x)ojednéproměnnéxstýmždefiničním oboremnazývámevýrokovou formu A(x) B(x) (čti A(x) nebo B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení aspoň do jedné z výrokových forem A(x), B(x). Příklad 2: Disjunkcí výrokových forem A(x) : x 6, B(x) : x 5 s definičním oborem D = N je x 6 x 5. Obory pravdivosti jednotlivých výrokových forem (viz př. 1). Obor pravdivosti disjunkce výrokových forem je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A B. Ostrou disjunkcí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení do právě jedné z výrokových forem A(x), B(x). Příklad 3: Ostrou disjunkcí výrokových forem (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {4, 5, 6} = A B. Implikací výrokových forema(x),b(x)ojednéproměnnéxstýmždefiničním oboremnazývámevýrokovou formu A(x) B(x) (čti jestliže A(x), potom B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne 10

11 nepravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává po dosazení do výrokové formy A(x) výrok pravdivý a po dosazení do výrokové formy B(x) výrok nepravdivý. Příklad 4: Implikací výrokových forem A(x), B(x) (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...} = A B = (A \ B). Ekvivalencí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x) výroky téže pravdivostní hodnoty. Příklad 5: Ekvivalencí výrokových forem A(x), B(x) (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...} = (A B) (A B) = (A B). Negací výrokové formy A(x) ojedné proměnné xnazýváme výrokovou formu A(x) (čti není pravda, že A(x)), zníž vznikne výrok pravdivý,právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek zdefiničního oboru, jenž dává po dosazení do výrokové formy A(x) výrok nepravdivý. Příklad 6: Negací výrokové formy A(x) (viz př. 1) je A(x) : x 6, oborem pravdivosti A(x) je {x D; x 6} = {4, 5, 7, 8,...} = A. Stručný přehled o jednotlivých výrokových formách, jejich zápisu a o jejich oborech pravdivosti vyjádřených charakteristickou vlastností i množinovou operací dává následující tabulka: výroková forma zápis obor pravdivosti obor pravdivosti char. vlastností množ. operací konjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B disjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B ostrá disjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B = = (A \ B) (B \ A) implikace A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} (A \ B) = = A B ekvivalence A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} (A B) = (A B) (A B) negace A(x) {x D : A(x)} A 7. Obecný a existenční výrok Zvýrokových forem V(x) můžeme vytvořit individuální výroky tak, že za proměnnou xdosadíme libovolné prvky základní množiny Z (oboru proměnné) nebo také tak, že proměnnou x výrokové formy V (x) kvantifikujeme. Kvantifikace se provádí tím způsobem, že před výrokovou formu V (x) předřadíme jedno z následujících tvrzení: Existuje aspoň jeden prvek x M,pro nějž platí.... Toto tvrzení se nazývá existenční kvantifikátor a symbolicky jej zapisujeme x M :. Další možné slovní vyjádření existenčního kvantifikátoru je Pro aspoň jeden prvek x M platí.... Tvrzení: Pro každý prvek x M platí... nebo Pro všechny prvky x M platí... se nazývá obecný kvantifikátor, symbolický zápis: x M:. Kvantifikujeme-li výrokovou formu V(x) existenčním kvantifikátorem, dostaneme výrok Existuje aspoň jeden prvek x M, pro nějž platí V(x) nebo také Pro aspoň jeden prvek x M platí V (x), který nazýváme existenční výrok azapisujeme x M:V(x). Příklad 1: x N 0: x < 3. Pravdivostní hodnota existenčního výroku P h( x N 0: x < 3) = 1. Předřadíme-li před výrokovou formu V(x) obecný kvantifikátor, dostaneme výrok Pro každý prvek x M 11

12 platí V (x), který nazveme obecný výrok a zapisujeme x M: V (x). Příklad 2: x R: x 2 > 0. Pravdivostní hodnota obecného výroku P h( x R: x 2 > 0) = 0. Specifickýmpříklademexistenčního výrokujetvrzení Proprávějedenprvekx MplatíV(x) nebo Existuje právě jeden prvek x M, pro který platí V (x). Zápis:!x M: V (x). Příklad 3:!x N 0: x 2 2x = 0. Pravdivostní hodnota existenčního výroku P h(!x N 0: x 2 2x = 0) = 0. Negování obecného a existenčního výroku provádíme podle následujícího pravidla: obecný (existenční) kvantifikátor nahradíme existenčním (obecným) kvantifikátorem a negujeme výrokovou formu. Konkrétně: [ x M: V (x)] x M: V (x) [ x M: V (x)] x M: V (x) Příklad 4: ( x R: x 2 > 0) x R: x 2 0, P h[ ( x R: x 2 > 0)] = 1, ( x N 0: x < 3) x N 0: x 3, P h[ ( x N 0: x < 3)]=0. V souladu s výše uvedeným můžeme nyní uvést symbolický zápis definice množinové inkluze a rovnosti množin: A B x Z: x A x B, A = B x Z: x A x B, nebo také A = B x Z: (x A x B) (x B x A). 12

13 II. Kartézský součin a binární relace 1. Kartézský součin dvou množin Uspořádanou dvojicí prvků nazýváme množinu (a, b) definovanou vztahem (a, b) = {{a}, {a, b}}. Prvek a se nazývá první složka a prvek b se nazývá druhá složka uspořádané dvojice. Množina {a, b} udává složky uspořádané dvojice (a, b), množina {a} pak určuje, kterou z těchto složek je nutno chápat jako první. Pro libovolné dvě uspořádané dvojice prvků (a, b), (c, d) platí: 1. a b (a, b) (b, a), 2. (a, b) = (c, d) a = c b = d. Kartézským součinem libovolných dvou množin A, B v tomto pořadí nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {(x, y); x A y B}. Platí-li A = B, potom A A = A 2 = {(x, y) : x A y A} nazýváme konkrétně druhá mocnina množiny A nebo kartézský čtverec množiny A. Příklad 1: A = {a, 3, p}, B = {0, p}, A B = {(a, 0), (a, p), (3, 0),...}, A A = {(a, a), (a, 3), (a, p),...}. Kartézský součin libovolných dvou množin A, B znázorňujeme grafem a) kartézským, b) uzlovým, c) šachovnicovým. Uveďme si stručný postup při sestrojování jednotlivých grafů a jejich charakteristické znaky v případě, že množiny A, B jsou určeny výčtem prvků. Kartézský graf kartézského součinu A B: Zvolíme si dvě kolmé přímky, např. vodorovnou a svislou. Na vodorovné přímce znázorníme jednotlivé prvky množiny A jako body, na svislé přímce znázorníme jednotlivé jednotlivé prvky množiny B opět jako body. Potom každým vyznačeným bodem vedeme kolmici k přímce, na níž leží a vyznačíme průsečíky všech takto sestrojených kolmic. Tyto průsečíky jsou obrazy prvků kartézského součinu A B, tedy znázornění uspořádaných dvojic (x, y) A B. Šachovnicový graf kartézského součinu A B: Zvolíme si dvě kolmé přímky, např. vodorovnou a svislou, a jednotkovou úsečku. Daným prvkům množiny A přiřadíme jednotkové úsečky na vodorovné přímce a jednotlivým prvkům množiny B přiřadíme jednotkové úsečky na svislé přímce. Každým vyznačeným bodem vedeme kolmici na přímku, na níž leží. Dostaneme čtvercovou síť. Každý čtvereček v rovině je obraz prvku kartézského součinu A B, tedy je obrazem uspořádané dvojice (x, y) A B. Uzlový graf kartézského součinu A B: Výčtem prvků určíme množinu A B a každý její prvek znázorníme v rovině jako kroužek, kterému říkáme uzel. Jednotlivé uspořádané dvojice (x, y) A B znázorníme tak, že vyznačíme kolem uzlu smyčku, eventuelně úsečku se šipkou směřující od uzlu x k uzlu y, jestliže x y. Případně vyznačíme smyčku grafu za předpokladu, že x = y. Úsečky se šipkami nazýváme orientované hrany. 13

14 Následující tabulka shrnuje obrazy prvků množin A, B a A B v jednotlivých grafech. název grafu obraz prvku obraz prvku množin A, B množiny A B kartézský bod bod na příslušné přímce v rovině šachovnicový jednotková úsečka čtvereček na příslušné přímce v rovině uzlový kroužek, oblouk se šipkou, uzel orientovaná hrana Příklad 2: Grafické znázornění kartézského součinu A B, viz příklad 1. Kartézský graf: Šachovnicový graf: Uzlový graf: A B = {a, 3, p, 0} a) b) Pro libovolné množiny A, B(A Z, B Z) platí: A B = A = B =. Pro libovolné množiny A, B, C, D, které jsou podmnožinami základní množiny Z, platí: (A B) C = (A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B), (A B) C = (A C) (B C), 14

15 C (A B) = (C A) (C B), c) (A B) C = (A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B), d) (A B) (C D) (A C) (B D). Množinové rovnosti uvedené v případě ad a) se nazývají distributivnost kartézského součinu vzhledem ke sjednocení zprava, resp. distributivnost kartézského součinu vzhledem ke sjednocení zleva. Obdobně pojmenujeme množinové rovnosti v případech ad b) i ad c). 2. Binární relace Binární relací V z množiny A do množiny B rozumíme jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu A B. Symbolicky: V A B. Množinu všech prvních složek a uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace V (V A B), nazýváme první obor relace. Symbolicky zapíšeme: O 1(V ) = {a A; b B : (a, b) V }. Množinu všech druhých složek b uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace V (V A B), nazýváme druhý obor relace. Symbolicky zapíšeme: O 2(V ) = {b B; a A : (a, b) V }. Binární relací S v libovolné neprázdné množině M rozumíme jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu M M. Symbolicky: S M M. Množinu všech prvních složek a uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace S, nazýváme první obor relace S v M a značíme O 1(S). Symbolicky: O 1(S) = {a M; b M : (a, b) S}. Množinu všech druhých složek b uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace S, nazýváme druhý obor relace S v M a značíme O 2(S). Symbolicky: O 2(S) = {b M; a M : (a, b) S}. V následující části textu budeme pojednávat o binárních relacích v množině, tj. kdy je relace S podmnožinou kartézského součinu M M (tj. kartézského čtverce ). Typy relací v množině: Prázdnou množinu jakožto binární relaci v libovolné množině M nazýváme prázdnou relací v této množině. Množinu M M jakožto binární relaci v množině M nazýváme úplnou relací v této množině. Poznámka: Prázdná relace je z hlediska množinové inkluze minimální binární relací, kterou lze v dané množině M definovat. Přitom úplná relace je maximální binární relací, kterou můžeme v dané množině určit. Jednotkovou relací v množině M nazveme relaci S M definovanou vztahem: S M = {(a, b) M M; a = b}. 15

16 Doplňkovou (komplementární) relací k libovolné relaci S, která je definovaná v množině M, nazveme relaci S určenou vztahem: S = (M M) \ S. Inverzní relací k libovolné binární relaci S, která je definovaná v množině M, nazveme relaci S 1 určenou vztahem: S 1 = {(a, b) M M; (b, a) S}. Relace v množině i relace z množiny do množiny zpravidla znázorňujeme opět grafy: a) kartézským, b) uzlovým, a) šachovnicovým. 3. Vlastnosti binárních relací v množině Vlastnosti binárních relací v množině: Relace R v množině M se nazývá reflexivní, právě když pro každý prvek x z množiny M platí: (x, x) R. Relace R v množině M se nazývá antireflexivní, právě když pro každý prvek x z množiny M platí: (x, x) R. Relace R v množině M se nazývá symetrická, právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: (x, y) R (y, x) R. Relace R v množině M se nazývá antisymetrická, právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: [x y (x, y) R] (y, x) R. Relace R v množině M se nazývá tranzitivní, právě když pro každé tři prvky x, y, z z množiny M platí: [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R. Relace R v množině M se nazývá konektivní (souvislá), právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: x y [(x, y) R (y, x) R]. 4. Relace ekvivalence a rozklad množiny Relaci Rvmnožině Mnazýváme relací ekvivalence, právě když je reflexivní, symetrická atranzitivní. Relace R v množině M, pro kterou platí, že O 1(R) = M, se nazývá relací na množině M, vyplývá to z její reflexivnosti. Rozkladem libovolné neprázdné množiny Mrozumíme systém podmnožin M 1,M 2,..., M n,..., který splňuje následujícíc vlastnosti: M i, i = 1, 2,..., n,..., M 1 M 2 M 3 M n = M, M i M j = 0, pro každé i j. M 1, M 2,..., M n,... nazýváme třídami rozkladu množiny M. Z uvedeného je zřejmé, že systém podmnožin množiny M může být i nekonečný. Poznámky: Kterákoliv relace ekvivalence definovaná na množině M, vytváří její rozklad. Každý rozklad množiny M indukuje relaci R, která je relací ekvivalence. Jednotlivé třídy rozkladu M vytvořené relací ekvivalence na množině M pojmenujeme třídami ekvivalentních prvků. Shrneme-li: Každá relace ekvivalence Rdefinovaná na množině Mvytváří rozklad této množiny aobráceně ke každému rozkladu množiny M přísluší relace ekvivalence R. 16

17 Příklad: Vytvořte všechny možné rozklady množiny A = {x C; x 2, 5)}. Množinu A, která je dána charakteristickou vlastností, můžeme v tomto případě určit i výčtem prvků: A = {2, 3, 4}. K řešení úlohy lze využít potenčního systému množiny A. P(A) = {, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}, pak A 1 = {{2}, {3}, {4}}, A 2 = {{2, 3}, {4}}, A 3 = {{2, 4}, {3}}, A 4 = {{3, 4}, {2}}, A 5 = {{2, 3, 4}}. Množiny A 1 A 5 splňují všechny podmínky definice. Rozklad A 1 nazýváme nejjemnějším a rozklad A 5 nejhrubším rozkladem množiny A. Rozklad množiny A na třídy budeme označovat A R. 5. Relace uspořádání, uspořádání množiny Jednotlivé typy uspořádání rozlišujeme na základě souhrnu jistých vlastností binárních relací v množině, viz. kapitola 3. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací uspořádání právě tehdy, když je antisymetrická a tranzitivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací ostrého uspořádání právě tehdy, když je antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní; neostrého uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací lineárního uspořádání právě tehdy, když je antisymetrická, tranzitivní a konektivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací ostrého lineárního uspořádání právě tehdy, když je antireflexivní, antisymetrická, tranzitivní a konektivní; neostrého lineárního uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a konektivní. Poznámka: Jestliže relace R definovaná v množině A je antireflexivní, antisymetrická a konektivní, pak ji nazýváme relací trichotomickou. Přičemž antisymetrii a konektivnost můžeme vyjádřit symbolicky: x, y A : x y [(x, y) R (y, x) R]. Pro přehlednost a srozumitelnost nyní zavedených pojmů uveďme následující tabulku: Typy relací uspořádání: R AR S AS T K uspořádání / / - ostré uspořádání - / - / / - neostré uspořádání / - - / / - lineární uspořádání / / / ostré lineární uspořádání - / - / / / neostré lineární uspořádání / - - / / / Poznámka: R reflexivnost, AR antireflexivnost, S symetrie, AS antisymetrie, T tranzitivnost, K konektivnost, / splněná vlastnost. 17

18 Příklady jednotlivých typů relací, které budou dány výčtem prvků a znázorněny na uzlových grafech. Připomeňme R M M, přičemž M = {3, 4, 5, 6}. a) relace uspořádání: R a = {(3, 4), (5, 3), (5, 4), (6, 6), (3, 3)}, b) relace ostrého uspořádání: R b = {(6, 3), (6, 5), (5, 4), (6, 4)}, c) relace neostrého uspořádání: R c = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 5)}, d) relace lineárního uspořádání: R d = {(6, 3), (6, 4), (6, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}, e) relace ostrého lineárního uspořádání: R e = {(4, 3), (4, 5), (4, 6), (3, 5), (3, 6), (6, 5)}, f) relace neostrého lineárního uspořádání: R f = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 6), (4, 3), (4, 6), (6, 3)}. 18

19 Množina A, v níž je definována relace uspořádání se nazývá uspořádaná množina. Množina A, v níž je definována relace lineárního uspořádání R se nazývá lineárně uspořádaná množina. Zapisujeme ji (A, R). Množina A, v níž je definována relace ostrého lineárního uspořádání se nazývá ostře lineárně uspořádaná množina. Ostře linárně uspořádanou množinu zapíšeme A. Je-li R relace uspořádání v množině A, pak okolnost, že prvek a předchází před prvkem b, zapíšeme vztahem: a R b. (Prvek a předchází před prvkem b v uspořádání R). Příklad: Je dána množina M = {k, l, m, n} a relace U, jejíž vyjádření znázorňuje uzlový graf: Pak platí m U l U n U k. U je relace ostrého lineárního uspořádání a M = {m, l, n, k} je ostře lineárně uspořádaná množina. První a poslední prvek lineárně uspořádané množiny zavedeme těmito definicemi: Nechť (A, R) je lineárně uspořádaná množina, pak prvek a A se nazývá první prvek této množiny právě tehdy, když x A : x a a R x. Nechť (A, R) je lineárně uspořádaná množina, pak prvek b A se nazývá poslední prvek této množiny právě tehdy, když x A : x b x R b. V závěru tohoto přehledu základních poznatků se ještě seznámíme s pojmy dobrého uspořádání a dobře uspořádané množiny. Jestliže má každá neprázdná podmnožina lineárně uspořádané množiny (A, R) první prvek, pak množinu (A, R) nazýváme dobře uspořádanou množinou a relaci R dobrým uspořádáním v množině A. 6. Relace zobrazení, zobrazení množin Zde se budeme orientovat na binární relace, které budou podmnožinami kartézského součinu A B. U vlastností relací (kap. II. 3.), ekvivalence a uspořádání (kap. II. 4.; 5.) jsme se setkávali s uzlovými grafy, které mohly mít více hran než uzlů. Nyní se však zaměříme na relace, kdy z každého uzlu vychází nejvýše jedna orientovaná hrana. Na kartézském grafu se tato vlastnost relací projeví tím, že v každém sloupci grafu A B leží nejvýše jeden bod grafu dané relace. 19

20 Relace Z z množiny A do množiny B (Z A B) se nazývá zobrazení z množiny A do množiny B právě tehdy, když je splněna podmínka a A b 1, b 2 B : [(a, b 1) Z (a, b 2) Z] b 1 = b 2. Tzn., že ke každému prvku a A existuje nejvýše jeden prvek b B takový, že platí (a, b) Z. Prvek a A nazýváme vzorem a prvek b B jeho obrazem, je-li relace Z zobrazení. První obor relace O 1(Z), která je zobrazením z množiny A do množiny B nazýváme definičním oborem; druhý obor O 2(Z) této relace pak oborem hodnot. Schematické znázornění relace zobrazení Z z množiny A do množiny B. Schematické znázornění dalších případů: Zobrazení Z z množiny A na množinu B. Zobrazení Z množiny A do množiny B. Zobrazení Z množiny A na množinu B. Zobrazení Z z množiny A do množiny B se nazývá prosté, právě když Z 1 je zobrazení z množiny B do množiny A. Toto zobrazení Z 1 nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení Z. V praxi se zpravidla využívá podmínky: Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté, jestliže pro každé y B platí, že je obrazem nejvýše jednoho prvku x A. Případně, mají-li v zobrazení Z každé dva různé prvky definičního oboru různé obrazy. Prosté zobrazení Z množiny A na množinu B nazýváme také vzájemně jednoznačným zobrazením. Na kartézském grafu je prosté zobrazení charakteristické tím, že v každém sloupci (tj. kolmici k vodorovné přímce, na níž je vyznačena množina A) a rovněž i každém řádku (tj. kolmici ke svislé přímce, na níž je vyznačena množina B) je nejvýše jeden bod grafu. Prosté zobrazení na uzlovém grafu charakterizuje vlastnost z každého 20

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, 1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)] Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz Matematika I Úvod Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D iveta.cholevova@vsb.cz A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. jaroslav.drobek@vsb.cz, A 837, 597 324 101 Mgr. Arnošt Žídek arnost.zidek@vsb.cz, A

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE KONEČNÉ GRUPY MALÝCH ŘÁDŮ Ivana Čechová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc. Plzeň 2012 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

ČÍSELNÉ OBORY. Jaroslav Beránek

ČÍSELNÉ OBORY. Jaroslav Beránek ČÍSELNÉ OBORY Jaroslav Beránek 0. Úvod Tento text je určen pro studenty pedagogického asistentství matematiky pro základní školy. Jedná se o přehledný studijní materiál doplňující základní studijní literaturu

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

1. Základy matematiky

1. Základy matematiky 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika Logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vede k určitým závěrům. Logika patří k základům matematiky.

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například: ARNP 1 2015 Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5,

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více