OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák"

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003

2 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky 4 1. Výroková logika Pojem množiny a množinová symbolika Výrokové formy Množinové vztahy Množinové operace Složené výrokové formy Obecný a existenční výrok II. Kartézský součin a binární relace Kartézský součin dvou množin Binární relace v množině Vlastnosti binárních relací v množině Relace ekvivalence a rozklad množiny Relace uspořádání, uspořádání množiny Relace zobrazení, zobrazení množin III. Binární operace a matematické struktury Binární operace v množině a jejich vlastnosti Algebraické struktury s jednou binární operací Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi Homomorfismus a izomorfismus algebraických struktur IV. Číselné soustavy Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě a převody V. Základy teorie dělitelnosti Dělitelnost celých čísel, znaky dělitelnosti Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel Prvočísla Neurčité rovnice VI. Zavedení polookruhu všech přirozených čísel Kardinální čísla Ordinální čísla Peanova množina Slovní úlohy

3 5. Analytická a syntetická metoda řešení složené slovní úlohy Konstrukce oboru integrity celých čísel Konstrukce tělesa racionálních čísel Rovnost, rovnice, nerovnost, nerovnice Přehled některých použitých symbolů 45 Literatura 47 3

4 I. Úvod do teorie množin a matematické logiky 1. Výroková logika Každé srozumitelné sdělení u něhož dovedeme jednoznačně rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé, přičemž ztěchto možností nastane právě jedna, nazýváme výrokem.prosnadnějšíprácisvýroky apřehlednostvyužíváme abecedu výrokové logiky. Abecedu výrokové logiky tvoří: Znaky pro výrokové proměnné: p, q, r,... (resp. p 1, p 2,..., p n). Znaky pro konstanty P, N, kde P značí výrok pravdivý a N výrok nepravdivý. Znaky pro výrokotvorné spojky:,,,,,, tj. funktory. Pomocné znaky: ( ), [ ], { }, tj. závorky. Tvrzení výrok pje pravdivý označujeme symbolem 1, výrok qje nepravdivý symbolem 0. (Ph(p) =1; P h(q) = 0). Negací výroku prozumíme výrok p (čti není pravda, že p), který je nepravdivý,je-li výrok ppravdivý aje pravdivý, je-li p výrok nepravdivý. Konjunkcí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pazároveň q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p, q spojíme výrokotvornou spojkou a. Konjunkce p q je výrok pravdivý, jsou-li oba výroky pravdivé. Disjunkcí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pnebo q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p,q spojíme výrokotvornou spojkou nebo. Disjunkce p q je výrok pravdivý, je-li aspoň jeden z výroků pravdivý. Ostrou disjunkcí výroků p,q rozumíme výrok p q (čti buď p nebo q), který utvoříme tak, že před prvním z výroků umístíme buď a před druhý z nich pak nebo. Ostrá disjunkce p q je výrok pravdivý, je-li právě jeden z výroků pravdivý. Implikací výroků p,qrozumíme výrok p q(čti jestliže ppak q), který utvoříme tak, že před první výrok umístíme jestliže a před druhý potom. Implikace p q je výrok nepravdivý, je-li první výrok p pravdivý a druhý výrok q nepravdivý. V ostatních případech je impliace pravdivá. Ekvivalencí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pprávě když q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p, q spojíme výrokotvornou spojkou právě když. Ekvivalence p q je výrok pravdivý, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu. Při slovním vyjádření konjukce, implikace a ekvivalence výroků se používají i další výrokotvorné spojky nebo slovní obraty. U konjukce výroků p q jsou to i, a zároveň, a současně, a také. Implikaci výroků p q můžeme zformulovat také jestliže p, pak q, p implikuje q, z p plyne q, p je postačující podmínkou pro q, q je nutnou podmínkou pro p, q platí tehdy, platí-li p, p platí jen tehdy, platí-li q. A konečně ekvivalenci výroků p q můžeme vyjádřit výrok p je ekvivalentní s výrokem q, z p plyne q a zároveň z q plyne p, p je nutnou a postačující podmínkou pro q, p platí tehdy a jen tehdy, platí-li q, p platí právě tehdy, když platí q. 4

5 Přehledná tabulka výroků výrokové zápis název výroku výrokotvorná funktor proměnné výroku spojka p p negace výroku není pravda, že p, q p q konjunkce výroků... a... p, q p q disjunkce výroků... nebo... p, q p q ostrá disjunkce buď... nebo... výroků p, q p q implikace výroků jestliže..., potom... p, q p q ekvivalence výroků... právě když... Přehledná tabulka pravdivostních hodnot výroků výroky negace konjunkce disjunkce ostrá implikace ekvivalence disjunkce p, q p p q p q p q p q p q Kdalším základním pojmům patří výroková formule. Výrokovou formulí rozumíme: a) každou výrokovou proměnnou p, q, r,..., b) výrokové konstanty P, N, c) jsou-li libovolné výrazy Φ, Ψ výrokovými formulemi, potom i ( Φ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) jsou výrokové formule, d) žádné jiné výrazy výrokové formule nejsou. Příklady výrokových formulí jsou výrazy p q, ( p q) r, (r q) (q p), utvořené pomocí výrokové abecedy, pro něž je charakteristické, že funktory spojují dvě výrokové proměnné (konstanty), nebo dvě závorky se dvěma výrokovými proměnnými, nebo závorku se dvěma výrokovými proměnnými a proměnnou atd. Výrazy např. (p ), (p ) q utvořené také znaky výrokové abecedy výrokovými formulemi nejsou, neboť není splněna charakteristická vlastnost výše uvedená. Výrokovou formuli o n výrokových proměnných obecně zapisujeme Ψ(p 1, p 2,..., p n). tautologie Výrokové formule: splnitelná formule kontradikce Tautologií nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n), která má tu vlastnost, že z ní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Značíme Ψ(p 1, p 2,..., p n). Příklady některých tautologií: (p q) (q p) komutativnost disjunkce [(p q) r] [p (q r)] asociativnost konjunkce [(p q) r] [(p r) (q r)] distributivnost disjunkce } vzhledem ke konjunkci zprava (p q) p q (p q) p q de Morganovy zákony Splnitelnou formulí nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n),která má tu vlastnost, že zní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot a výrok nepravdivý pro jinou libovolnou kombi- 5

6 naci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Kontradikcí nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n), která má tu vlastnost, že zní vznikne výrok nepravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Říkáme, že výroková formule Φ je logicky ekvivalentní s výrokovou formulí Ψ, právě když výroková formule Φ Ψ je tautologie, což symbolicky zapisujeme ve tvaru Φ Ψ. 2. Pojem množiny a množinová symbolika Obsah pojmu množina vymezíme intuitivně takto: Množinou budeme rozumět jakýkoliv soubor vzájemně rozlišitelných objektů, které budeme nazývat jejími prvky. Přitom budeme předpokládat, že každá množina je svými prvky jednoznačně určena. Množiny budeme většinou značit velkými latinskými písmeny A, B, C,..., Z, jejich prvky pak malými latinskými písmeny a, b, c,... Bude-li to zapotřebí, budeme při označování množin a jejich prvků používat také indexů. Např. M 1, M 2, M n nebo a 1, a 2, a n. Výrok a je prvek množiny A zapisujeme symbolicky ve tvaru a A, jeho negaci pak ve tvaru a A. Množinu graficky znázorňujeme jako část roviny omezené uzavřenou křivkou, jejíž vnitřní body znázorňují prvky množiny a vnější body prvky, které množině nepatří. Např. V některých úvahách budeme nadále předpokládat, že množiny, o nichž bude řeč, byly vytvořeny z prvků nějaké předem zvolené množiny Z. Tuto množinu nazýváme množinou základní, resp. univerzální. V matematice vystupují v roli základních množin velmi často např. číselné obory, pro něž zavedeme toto označení: N N 0 C Q R množina všech přirozených čísel bez nuly, množina všech přirozených čísel s nulou, množina všech celých čísel, množina všech racionálních čísel, množina všech reálných čísel. Pro podmnožiny množin C, Q, R se užívá někdy těchto označení, např.: Q + množina všech kladných racionálních čísel, Q + 0 množina všech nezáporných racionálních čísel, Q množina všech záporných racionálních čísel, Q 0 množina všech nekladných racionálních čísel. PřiurčováníkonkrétníchmnožinvrámcizvolenézákladnímnožinyZpoužívámeněkteréznásledujícíchmetod: a) Určení množiny výčtem prvků (taxativně). Tato metoda je vhodná pro určování konečných množin, zpravidla s malým počtem prvků. Jsou-li např. x, y, z všechny prvky množiny A a b 1, b 2,..., b n všechny prvky množiny B, pak píšeme A = {x, y, z}, B = {b 1, b 2,..., b n}. Přitom přepokládáme, že každý prvek množin A, B je uveden ve složených závorkách jen jednou a pořadí, v němž jsou prvky zapsány, je zcela libovolné. 6

7 b) Určení množiny charakteristickou vlastností všech jejích prvků. Princip spočívá vtom, že určíme vhodnou výrokovou formu V(x), tj. výraz, který obsahuje proměnnou, s oborem proměnnosti Z tak, aby jejím oborem pravdivosti byla právě daná množina. Výroková forma V(x) reprezentuje tu vlastnost, kterou mají právě jen prvky základní množiny Zpatřící do definované množiny a žádné jiné. Je-li daná množina A určena výrokovou formou V (x), pak píšeme A = {x Z; V (x)}. Množinové úvahy se často týkají malého počtu množin. Situace zahrnující dvě, tři, čtyři množiny lze přehledně znázornit systémem přihrádek, kterými jsou Vennovy diagamy pro 2, 3, 4 množiny. Vennovy diagramy jsou standardizovaná grafická přihrádková schémata, která vznikají překřížením uzavřených čar. Při znázornění dvou uzavřených čar musíme vytvořit čtyři části (přihrádky, komponenty), tří čar osm a čtyř uzavřených čar pak šestnáct komponent. Tam, kde je znázornění množin pomocí Vennových diagramů nevhodné, používáme jejich znázornění na číselné ose. Vennovy diagramy pro 2 množiny Vennovy diagramy pro 3 množiny Vennovy diagramy pro 4 množiny 3. Výrokové formy Výrokovou formou rozumíme každé sdělení, které obsahuje alespoň jeden neurčený údajzvaný proměnná. Např. a 10; 7 < ; x + y = 15; p + r + s > 0; 2x + 3 = 1. Z uvedeného vyplývá, že u uvedených výrazů nelze určit jejich pravdivost, resp. nepravdivost. Podle počtu těchto proměnných hovoříme potom o výrokové formě o jedné proměnné, o dvou proměnných, respektive o výrokové formě o n proměnných a označujeme po řadě A(x), B(x, y), V (x 1, x 2, x 3,..., x n). Další úvahy zaměříme na výrokové formy o jedné proměnné x. Každé výrokové formě V (x), chceme-li ji studovat, přiřazujeme tři množiny: množinu O, zvanou obor proměnné xvýrokové formy V(x), množinu D, zvanou definiční obor výrokové formy V(x), množinu P,zvanou obor pravdivosti výrokové formy V(x). 7

8 Obor proměnné xvýrokové formy V(x) je množina Ovšech prvků, které přichází vúvahu jako hodnoty proměnné x figurující ve V (x). Definiční obor výrokové formy V(x) je množina Dvšech prvků zmnožiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) je množina P všech prvků zmnožiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok pravdivý. Obor proměnné x výrokové formy V (x) volíme, zbývající obory určujeme. Z vymezení daných oborů plyne, že D O, P O, P D. 4. Množinové vztahy Nejprve si uveďme, že k množinovým vztahům zařadíme pojmy rovnost a různost množin, množinovou inkluzi a doplněk množiny. Dále pak zavedeme definici potenčního systému. Jestliže dvě množiny obsahují tytéž prvky, pak říkáme, že jsou si rovny a píšeme A = B. Jestliže naopak neplatí, že A = B, pak píšeme A B, přičemž říkáme, že množiny A, B jsou různé. Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná. Množina, která není prázdná, se nazývá neprázdná. Prázdnou množinu zapisujeme symbolicky: nebo { }; zápis { } neoznačuje prázdnou množinu, ale množinu jednoprvkovou, jejímž prvkem je množina prázdná. Množina Aje podmnožinou nebo také částí množiny B, což zapisujeme A B, právě tehdy,když pro všechny prvky x ze základní množiny Z platí, jestliže x náleží množině A, pak také náleží množině B. Symbolicky: A B x Z : x A x B. Příklad grafického znázornění: Právě popsaný vztah nazýváme množinovou inkluzí. Jestliže množina Aje podmnožinou množiny Basoučasně jsou tyto množiny různé, pak říkáme, že množina A je vlastní částí nebo vlastní podmnožinou množiny B. Je-li A množina, která je podmnožinou základní množiny Z, pak všechny prvky, které do množiny A nepatří, tvoří množinu A, kterou nazýváme doplněk množiny A vzhledem k základní množině Z. Symbolicky: A = {x Z; x A}. 8

9 Graficky: Potenčním systémem množiny A nazveme množinu P(A) definovanou vztahem P(A) = {X Z; X A}. Potenční množina libovolné množiny A je tedy systém množin, jehož prvky jsou právě všechny podmnožiny množiny A a žádné jiné. 5. Množinové operace V tomto článku pojednáme o sjednocení, průniku, rozdílu a symetrickém rozdílu množin. Sjednocením libovolných dvou množin A a B nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. Množina A B obsahuje všechny ty prvky základní množiny, které patří alespoň do jedné z obou množin A a B a žádné jiné. Diagram znázorňující sjednocení A B: Průnikem libovolných dvou množin A a B nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. Do množiny A B patří právě všechny ty prvky základní množiny, které jsou současně obsaženy v obou množinách A, B a žádné jiné. Diagram znázorňující průnik A B: Množiny A a B se nazývají navzájem disjunktní právě tehdy, je-li A B =. Rozdílem množin A a B v tomto pořadí nazýváme množinu A \ B definovanou vztahem A \ B = {x Z; x A x B}. Z definice vyplývá, že množina A \ B obsahuje právě všechny prvky základní množiny, které náleží množině A a nenáleží množině B a žádné jiné. Diagram znázorňující rozdíl A \ B: Symetrickým rozdílem libovolných dvou množin A a B v tomto pořadí nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. 9

10 Množina A B obsahuje všechny prvky základní množiny, které náleží právě do jedné z množin A, B a žádné jiné. Diagram znázorňující rozdíl A B: 6. Složené výrokové formy Vtomto článku se budeme zabývat výrokovými formami ojedné proměnné. Víme, že výroková forma A(x) je jisté sdělení s jedním neurčeným údajem, který značíme x a nazýváme ho proměnnou. Ke každé výrokové formě A(x), B(x),... jsme zavedli obor proměnné O, definiční obor D a obor pravdivosti P nebo A, B,... Množina A={x D;A(x)} je vyjádřena charakteristickou vlastností prvků atuto vlastnost určuje výroková forma A(x). Množina D je definiční obor výrokové formy A(x). Množina A = {x D;A(x)} je tedy obor pravdivosti výrokové formy A(x).Obdobné platí pro množinu B={x D;B(x)}. Spojíme-li výrokové formy o téže proměnné x s týmž definičním oborem D výrokotvornými spojkami, které známe z výrokové logiky, obdržíme konjunkci, disjunkci, ostrou disjunkci, implikaci a ekvivalenci výrokových forem, resp. negaci výrokové formy. Konjunkcí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) (čti A(x) azároveň B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x). Příklad 1: Nechť A(x) : x 6, B(x) : x 5. Jejich oborem proměnné O = N, definičním oborem D = N. Množina A = {x D; x 6} = {1, 2, 3, 6} je obor pravdivosti výrokové formy x 6, množina B = {x D; x 5} = {1, 2, 3, 4, 5} je obor pravdivosti výrokové formy x 5. Konjukcí výrokových forem A(x) B(x) je x 6 x 5. Obor pravdivosti konjukce výrokových forem je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3} = A B. Disjunkcí výrokových forema(x),b(x)ojednéproměnnéxstýmždefiničním oboremnazývámevýrokovou formu A(x) B(x) (čti A(x) nebo B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení aspoň do jedné z výrokových forem A(x), B(x). Příklad 2: Disjunkcí výrokových forem A(x) : x 6, B(x) : x 5 s definičním oborem D = N je x 6 x 5. Obory pravdivosti jednotlivých výrokových forem (viz př. 1). Obor pravdivosti disjunkce výrokových forem je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A B. Ostrou disjunkcí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení do právě jedné z výrokových forem A(x), B(x). Příklad 3: Ostrou disjunkcí výrokových forem (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {4, 5, 6} = A B. Implikací výrokových forema(x),b(x)ojednéproměnnéxstýmždefiničním oboremnazývámevýrokovou formu A(x) B(x) (čti jestliže A(x), potom B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne 10

11 nepravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává po dosazení do výrokové formy A(x) výrok pravdivý a po dosazení do výrokové formy B(x) výrok nepravdivý. Příklad 4: Implikací výrokových forem A(x), B(x) (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...} = A B = (A \ B). Ekvivalencí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x) výroky téže pravdivostní hodnoty. Příklad 5: Ekvivalencí výrokových forem A(x), B(x) (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...} = (A B) (A B) = (A B). Negací výrokové formy A(x) ojedné proměnné xnazýváme výrokovou formu A(x) (čti není pravda, že A(x)), zníž vznikne výrok pravdivý,právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek zdefiničního oboru, jenž dává po dosazení do výrokové formy A(x) výrok nepravdivý. Příklad 6: Negací výrokové formy A(x) (viz př. 1) je A(x) : x 6, oborem pravdivosti A(x) je {x D; x 6} = {4, 5, 7, 8,...} = A. Stručný přehled o jednotlivých výrokových formách, jejich zápisu a o jejich oborech pravdivosti vyjádřených charakteristickou vlastností i množinovou operací dává následující tabulka: výroková forma zápis obor pravdivosti obor pravdivosti char. vlastností množ. operací konjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B disjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B ostrá disjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B = = (A \ B) (B \ A) implikace A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} (A \ B) = = A B ekvivalence A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} (A B) = (A B) (A B) negace A(x) {x D : A(x)} A 7. Obecný a existenční výrok Zvýrokových forem V(x) můžeme vytvořit individuální výroky tak, že za proměnnou xdosadíme libovolné prvky základní množiny Z (oboru proměnné) nebo také tak, že proměnnou x výrokové formy V (x) kvantifikujeme. Kvantifikace se provádí tím způsobem, že před výrokovou formu V (x) předřadíme jedno z následujících tvrzení: Existuje aspoň jeden prvek x M,pro nějž platí.... Toto tvrzení se nazývá existenční kvantifikátor a symbolicky jej zapisujeme x M :. Další možné slovní vyjádření existenčního kvantifikátoru je Pro aspoň jeden prvek x M platí.... Tvrzení: Pro každý prvek x M platí... nebo Pro všechny prvky x M platí... se nazývá obecný kvantifikátor, symbolický zápis: x M:. Kvantifikujeme-li výrokovou formu V(x) existenčním kvantifikátorem, dostaneme výrok Existuje aspoň jeden prvek x M, pro nějž platí V(x) nebo také Pro aspoň jeden prvek x M platí V (x), který nazýváme existenční výrok azapisujeme x M:V(x). Příklad 1: x N 0: x < 3. Pravdivostní hodnota existenčního výroku P h( x N 0: x < 3) = 1. Předřadíme-li před výrokovou formu V(x) obecný kvantifikátor, dostaneme výrok Pro každý prvek x M 11

12 platí V (x), který nazveme obecný výrok a zapisujeme x M: V (x). Příklad 2: x R: x 2 > 0. Pravdivostní hodnota obecného výroku P h( x R: x 2 > 0) = 0. Specifickýmpříklademexistenčního výrokujetvrzení Proprávějedenprvekx MplatíV(x) nebo Existuje právě jeden prvek x M, pro který platí V (x). Zápis:!x M: V (x). Příklad 3:!x N 0: x 2 2x = 0. Pravdivostní hodnota existenčního výroku P h(!x N 0: x 2 2x = 0) = 0. Negování obecného a existenčního výroku provádíme podle následujícího pravidla: obecný (existenční) kvantifikátor nahradíme existenčním (obecným) kvantifikátorem a negujeme výrokovou formu. Konkrétně: [ x M: V (x)] x M: V (x) [ x M: V (x)] x M: V (x) Příklad 4: ( x R: x 2 > 0) x R: x 2 0, P h[ ( x R: x 2 > 0)] = 1, ( x N 0: x < 3) x N 0: x 3, P h[ ( x N 0: x < 3)]=0. V souladu s výše uvedeným můžeme nyní uvést symbolický zápis definice množinové inkluze a rovnosti množin: A B x Z: x A x B, A = B x Z: x A x B, nebo také A = B x Z: (x A x B) (x B x A). 12

13 II. Kartézský součin a binární relace 1. Kartézský součin dvou množin Uspořádanou dvojicí prvků nazýváme množinu (a, b) definovanou vztahem (a, b) = {{a}, {a, b}}. Prvek a se nazývá první složka a prvek b se nazývá druhá složka uspořádané dvojice. Množina {a, b} udává složky uspořádané dvojice (a, b), množina {a} pak určuje, kterou z těchto složek je nutno chápat jako první. Pro libovolné dvě uspořádané dvojice prvků (a, b), (c, d) platí: 1. a b (a, b) (b, a), 2. (a, b) = (c, d) a = c b = d. Kartézským součinem libovolných dvou množin A, B v tomto pořadí nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {(x, y); x A y B}. Platí-li A = B, potom A A = A 2 = {(x, y) : x A y A} nazýváme konkrétně druhá mocnina množiny A nebo kartézský čtverec množiny A. Příklad 1: A = {a, 3, p}, B = {0, p}, A B = {(a, 0), (a, p), (3, 0),...}, A A = {(a, a), (a, 3), (a, p),...}. Kartézský součin libovolných dvou množin A, B znázorňujeme grafem a) kartézským, b) uzlovým, c) šachovnicovým. Uveďme si stručný postup při sestrojování jednotlivých grafů a jejich charakteristické znaky v případě, že množiny A, B jsou určeny výčtem prvků. Kartézský graf kartézského součinu A B: Zvolíme si dvě kolmé přímky, např. vodorovnou a svislou. Na vodorovné přímce znázorníme jednotlivé prvky množiny A jako body, na svislé přímce znázorníme jednotlivé jednotlivé prvky množiny B opět jako body. Potom každým vyznačeným bodem vedeme kolmici k přímce, na níž leží a vyznačíme průsečíky všech takto sestrojených kolmic. Tyto průsečíky jsou obrazy prvků kartézského součinu A B, tedy znázornění uspořádaných dvojic (x, y) A B. Šachovnicový graf kartézského součinu A B: Zvolíme si dvě kolmé přímky, např. vodorovnou a svislou, a jednotkovou úsečku. Daným prvkům množiny A přiřadíme jednotkové úsečky na vodorovné přímce a jednotlivým prvkům množiny B přiřadíme jednotkové úsečky na svislé přímce. Každým vyznačeným bodem vedeme kolmici na přímku, na níž leží. Dostaneme čtvercovou síť. Každý čtvereček v rovině je obraz prvku kartézského součinu A B, tedy je obrazem uspořádané dvojice (x, y) A B. Uzlový graf kartézského součinu A B: Výčtem prvků určíme množinu A B a každý její prvek znázorníme v rovině jako kroužek, kterému říkáme uzel. Jednotlivé uspořádané dvojice (x, y) A B znázorníme tak, že vyznačíme kolem uzlu smyčku, eventuelně úsečku se šipkou směřující od uzlu x k uzlu y, jestliže x y. Případně vyznačíme smyčku grafu za předpokladu, že x = y. Úsečky se šipkami nazýváme orientované hrany. 13

14 Následující tabulka shrnuje obrazy prvků množin A, B a A B v jednotlivých grafech. název grafu obraz prvku obraz prvku množin A, B množiny A B kartézský bod bod na příslušné přímce v rovině šachovnicový jednotková úsečka čtvereček na příslušné přímce v rovině uzlový kroužek, oblouk se šipkou, uzel orientovaná hrana Příklad 2: Grafické znázornění kartézského součinu A B, viz příklad 1. Kartézský graf: Šachovnicový graf: Uzlový graf: A B = {a, 3, p, 0} a) b) Pro libovolné množiny A, B(A Z, B Z) platí: A B = A = B =. Pro libovolné množiny A, B, C, D, které jsou podmnožinami základní množiny Z, platí: (A B) C = (A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B), (A B) C = (A C) (B C), 14

15 C (A B) = (C A) (C B), c) (A B) C = (A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B), d) (A B) (C D) (A C) (B D). Množinové rovnosti uvedené v případě ad a) se nazývají distributivnost kartézského součinu vzhledem ke sjednocení zprava, resp. distributivnost kartézského součinu vzhledem ke sjednocení zleva. Obdobně pojmenujeme množinové rovnosti v případech ad b) i ad c). 2. Binární relace Binární relací V z množiny A do množiny B rozumíme jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu A B. Symbolicky: V A B. Množinu všech prvních složek a uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace V (V A B), nazýváme první obor relace. Symbolicky zapíšeme: O 1(V ) = {a A; b B : (a, b) V }. Množinu všech druhých složek b uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace V (V A B), nazýváme druhý obor relace. Symbolicky zapíšeme: O 2(V ) = {b B; a A : (a, b) V }. Binární relací S v libovolné neprázdné množině M rozumíme jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu M M. Symbolicky: S M M. Množinu všech prvních složek a uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace S, nazýváme první obor relace S v M a značíme O 1(S). Symbolicky: O 1(S) = {a M; b M : (a, b) S}. Množinu všech druhých složek b uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace S, nazýváme druhý obor relace S v M a značíme O 2(S). Symbolicky: O 2(S) = {b M; a M : (a, b) S}. V následující části textu budeme pojednávat o binárních relacích v množině, tj. kdy je relace S podmnožinou kartézského součinu M M (tj. kartézského čtverce ). Typy relací v množině: Prázdnou množinu jakožto binární relaci v libovolné množině M nazýváme prázdnou relací v této množině. Množinu M M jakožto binární relaci v množině M nazýváme úplnou relací v této množině. Poznámka: Prázdná relace je z hlediska množinové inkluze minimální binární relací, kterou lze v dané množině M definovat. Přitom úplná relace je maximální binární relací, kterou můžeme v dané množině určit. Jednotkovou relací v množině M nazveme relaci S M definovanou vztahem: S M = {(a, b) M M; a = b}. 15

16 Doplňkovou (komplementární) relací k libovolné relaci S, která je definovaná v množině M, nazveme relaci S určenou vztahem: S = (M M) \ S. Inverzní relací k libovolné binární relaci S, která je definovaná v množině M, nazveme relaci S 1 určenou vztahem: S 1 = {(a, b) M M; (b, a) S}. Relace v množině i relace z množiny do množiny zpravidla znázorňujeme opět grafy: a) kartézským, b) uzlovým, a) šachovnicovým. 3. Vlastnosti binárních relací v množině Vlastnosti binárních relací v množině: Relace R v množině M se nazývá reflexivní, právě když pro každý prvek x z množiny M platí: (x, x) R. Relace R v množině M se nazývá antireflexivní, právě když pro každý prvek x z množiny M platí: (x, x) R. Relace R v množině M se nazývá symetrická, právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: (x, y) R (y, x) R. Relace R v množině M se nazývá antisymetrická, právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: [x y (x, y) R] (y, x) R. Relace R v množině M se nazývá tranzitivní, právě když pro každé tři prvky x, y, z z množiny M platí: [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R. Relace R v množině M se nazývá konektivní (souvislá), právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: x y [(x, y) R (y, x) R]. 4. Relace ekvivalence a rozklad množiny Relaci Rvmnožině Mnazýváme relací ekvivalence, právě když je reflexivní, symetrická atranzitivní. Relace R v množině M, pro kterou platí, že O 1(R) = M, se nazývá relací na množině M, vyplývá to z její reflexivnosti. Rozkladem libovolné neprázdné množiny Mrozumíme systém podmnožin M 1,M 2,..., M n,..., který splňuje následujícíc vlastnosti: M i, i = 1, 2,..., n,..., M 1 M 2 M 3 M n = M, M i M j = 0, pro každé i j. M 1, M 2,..., M n,... nazýváme třídami rozkladu množiny M. Z uvedeného je zřejmé, že systém podmnožin množiny M může být i nekonečný. Poznámky: Kterákoliv relace ekvivalence definovaná na množině M, vytváří její rozklad. Každý rozklad množiny M indukuje relaci R, která je relací ekvivalence. Jednotlivé třídy rozkladu M vytvořené relací ekvivalence na množině M pojmenujeme třídami ekvivalentních prvků. Shrneme-li: Každá relace ekvivalence Rdefinovaná na množině Mvytváří rozklad této množiny aobráceně ke každému rozkladu množiny M přísluší relace ekvivalence R. 16

17 Příklad: Vytvořte všechny možné rozklady množiny A = {x C; x 2, 5)}. Množinu A, která je dána charakteristickou vlastností, můžeme v tomto případě určit i výčtem prvků: A = {2, 3, 4}. K řešení úlohy lze využít potenčního systému množiny A. P(A) = {, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}, pak A 1 = {{2}, {3}, {4}}, A 2 = {{2, 3}, {4}}, A 3 = {{2, 4}, {3}}, A 4 = {{3, 4}, {2}}, A 5 = {{2, 3, 4}}. Množiny A 1 A 5 splňují všechny podmínky definice. Rozklad A 1 nazýváme nejjemnějším a rozklad A 5 nejhrubším rozkladem množiny A. Rozklad množiny A na třídy budeme označovat A R. 5. Relace uspořádání, uspořádání množiny Jednotlivé typy uspořádání rozlišujeme na základě souhrnu jistých vlastností binárních relací v množině, viz. kapitola 3. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací uspořádání právě tehdy, když je antisymetrická a tranzitivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací ostrého uspořádání právě tehdy, když je antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní; neostrého uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací lineárního uspořádání právě tehdy, když je antisymetrická, tranzitivní a konektivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací ostrého lineárního uspořádání právě tehdy, když je antireflexivní, antisymetrická, tranzitivní a konektivní; neostrého lineárního uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a konektivní. Poznámka: Jestliže relace R definovaná v množině A je antireflexivní, antisymetrická a konektivní, pak ji nazýváme relací trichotomickou. Přičemž antisymetrii a konektivnost můžeme vyjádřit symbolicky: x, y A : x y [(x, y) R (y, x) R]. Pro přehlednost a srozumitelnost nyní zavedených pojmů uveďme následující tabulku: Typy relací uspořádání: R AR S AS T K uspořádání / / - ostré uspořádání - / - / / - neostré uspořádání / - - / / - lineární uspořádání / / / ostré lineární uspořádání - / - / / / neostré lineární uspořádání / - - / / / Poznámka: R reflexivnost, AR antireflexivnost, S symetrie, AS antisymetrie, T tranzitivnost, K konektivnost, / splněná vlastnost. 17

18 Příklady jednotlivých typů relací, které budou dány výčtem prvků a znázorněny na uzlových grafech. Připomeňme R M M, přičemž M = {3, 4, 5, 6}. a) relace uspořádání: R a = {(3, 4), (5, 3), (5, 4), (6, 6), (3, 3)}, b) relace ostrého uspořádání: R b = {(6, 3), (6, 5), (5, 4), (6, 4)}, c) relace neostrého uspořádání: R c = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 5)}, d) relace lineárního uspořádání: R d = {(6, 3), (6, 4), (6, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}, e) relace ostrého lineárního uspořádání: R e = {(4, 3), (4, 5), (4, 6), (3, 5), (3, 6), (6, 5)}, f) relace neostrého lineárního uspořádání: R f = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 6), (4, 3), (4, 6), (6, 3)}. 18

19 Množina A, v níž je definována relace uspořádání se nazývá uspořádaná množina. Množina A, v níž je definována relace lineárního uspořádání R se nazývá lineárně uspořádaná množina. Zapisujeme ji (A, R). Množina A, v níž je definována relace ostrého lineárního uspořádání se nazývá ostře lineárně uspořádaná množina. Ostře linárně uspořádanou množinu zapíšeme A. Je-li R relace uspořádání v množině A, pak okolnost, že prvek a předchází před prvkem b, zapíšeme vztahem: a R b. (Prvek a předchází před prvkem b v uspořádání R). Příklad: Je dána množina M = {k, l, m, n} a relace U, jejíž vyjádření znázorňuje uzlový graf: Pak platí m U l U n U k. U je relace ostrého lineárního uspořádání a M = {m, l, n, k} je ostře lineárně uspořádaná množina. První a poslední prvek lineárně uspořádané množiny zavedeme těmito definicemi: Nechť (A, R) je lineárně uspořádaná množina, pak prvek a A se nazývá první prvek této množiny právě tehdy, když x A : x a a R x. Nechť (A, R) je lineárně uspořádaná množina, pak prvek b A se nazývá poslední prvek této množiny právě tehdy, když x A : x b x R b. V závěru tohoto přehledu základních poznatků se ještě seznámíme s pojmy dobrého uspořádání a dobře uspořádané množiny. Jestliže má každá neprázdná podmnožina lineárně uspořádané množiny (A, R) první prvek, pak množinu (A, R) nazýváme dobře uspořádanou množinou a relaci R dobrým uspořádáním v množině A. 6. Relace zobrazení, zobrazení množin Zde se budeme orientovat na binární relace, které budou podmnožinami kartézského součinu A B. U vlastností relací (kap. II. 3.), ekvivalence a uspořádání (kap. II. 4.; 5.) jsme se setkávali s uzlovými grafy, které mohly mít více hran než uzlů. Nyní se však zaměříme na relace, kdy z každého uzlu vychází nejvýše jedna orientovaná hrana. Na kartézském grafu se tato vlastnost relací projeví tím, že v každém sloupci grafu A B leží nejvýše jeden bod grafu dané relace. 19

20 Relace Z z množiny A do množiny B (Z A B) se nazývá zobrazení z množiny A do množiny B právě tehdy, když je splněna podmínka a A b 1, b 2 B : [(a, b 1) Z (a, b 2) Z] b 1 = b 2. Tzn., že ke každému prvku a A existuje nejvýše jeden prvek b B takový, že platí (a, b) Z. Prvek a A nazýváme vzorem a prvek b B jeho obrazem, je-li relace Z zobrazení. První obor relace O 1(Z), která je zobrazením z množiny A do množiny B nazýváme definičním oborem; druhý obor O 2(Z) této relace pak oborem hodnot. Schematické znázornění relace zobrazení Z z množiny A do množiny B. Schematické znázornění dalších případů: Zobrazení Z z množiny A na množinu B. Zobrazení Z množiny A do množiny B. Zobrazení Z množiny A na množinu B. Zobrazení Z z množiny A do množiny B se nazývá prosté, právě když Z 1 je zobrazení z množiny B do množiny A. Toto zobrazení Z 1 nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení Z. V praxi se zpravidla využívá podmínky: Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté, jestliže pro každé y B platí, že je obrazem nejvýše jednoho prvku x A. Případně, mají-li v zobrazení Z každé dva různé prvky definičního oboru různé obrazy. Prosté zobrazení Z množiny A na množinu B nazýváme také vzájemně jednoznačným zobrazením. Na kartézském grafu je prosté zobrazení charakteristické tím, že v každém sloupci (tj. kolmici k vodorovné přímce, na níž je vyznačena množina A) a rovněž i každém řádku (tj. kolmici ke svislé přímce, na níž je vyznačena množina B) je nejvýše jeden bod grafu. Prosté zobrazení na uzlovém grafu charakterizuje vlastnost z každého 20

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

M - Příprava na 2. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 2. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření výukového materiálu povoleno pouze s uvedením odkazu na http://www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin 1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Západočeská univerzita v Plzni

Západočeská univerzita v Plzni Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY ALGEBRAICKÉ STRUKTURY S JEDNOU BINÁRNÍ OPERACÍ A JEJICH ZOBRAZENÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marie Černá Přírodovědná studia, Matematická studia

Více

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

1 Výrok a jeho negace

1 Výrok a jeho negace 1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

Co je to univerzální algebra?

Co je to univerzální algebra? Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7 1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není

Více

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, 1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost

Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, Kladná a záporná čísla, Dělitelnost, Osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)] Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy. 1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

4 Počítání modulo polynom

4 Počítání modulo polynom 8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více