OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák"

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003

2 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky 4 1. Výroková logika Pojem množiny a množinová symbolika Výrokové formy Množinové vztahy Množinové operace Složené výrokové formy Obecný a existenční výrok II. Kartézský součin a binární relace Kartézský součin dvou množin Binární relace v množině Vlastnosti binárních relací v množině Relace ekvivalence a rozklad množiny Relace uspořádání, uspořádání množiny Relace zobrazení, zobrazení množin III. Binární operace a matematické struktury Binární operace v množině a jejich vlastnosti Algebraické struktury s jednou binární operací Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi Homomorfismus a izomorfismus algebraických struktur IV. Číselné soustavy Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě a převody V. Základy teorie dělitelnosti Dělitelnost celých čísel, znaky dělitelnosti Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel Prvočísla Neurčité rovnice VI. Zavedení polookruhu všech přirozených čísel Kardinální čísla Ordinální čísla Peanova množina Slovní úlohy

3 5. Analytická a syntetická metoda řešení složené slovní úlohy Konstrukce oboru integrity celých čísel Konstrukce tělesa racionálních čísel Rovnost, rovnice, nerovnost, nerovnice Přehled některých použitých symbolů 45 Literatura 47 3

4 I. Úvod do teorie množin a matematické logiky 1. Výroková logika Každé srozumitelné sdělení u něhož dovedeme jednoznačně rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé, přičemž ztěchto možností nastane právě jedna, nazýváme výrokem.prosnadnějšíprácisvýroky apřehlednostvyužíváme abecedu výrokové logiky. Abecedu výrokové logiky tvoří: Znaky pro výrokové proměnné: p, q, r,... (resp. p 1, p 2,..., p n). Znaky pro konstanty P, N, kde P značí výrok pravdivý a N výrok nepravdivý. Znaky pro výrokotvorné spojky:,,,,,, tj. funktory. Pomocné znaky: ( ), [ ], { }, tj. závorky. Tvrzení výrok pje pravdivý označujeme symbolem 1, výrok qje nepravdivý symbolem 0. (Ph(p) =1; P h(q) = 0). Negací výroku prozumíme výrok p (čti není pravda, že p), který je nepravdivý,je-li výrok ppravdivý aje pravdivý, je-li p výrok nepravdivý. Konjunkcí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pazároveň q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p, q spojíme výrokotvornou spojkou a. Konjunkce p q je výrok pravdivý, jsou-li oba výroky pravdivé. Disjunkcí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pnebo q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p,q spojíme výrokotvornou spojkou nebo. Disjunkce p q je výrok pravdivý, je-li aspoň jeden z výroků pravdivý. Ostrou disjunkcí výroků p,q rozumíme výrok p q (čti buď p nebo q), který utvoříme tak, že před prvním z výroků umístíme buď a před druhý z nich pak nebo. Ostrá disjunkce p q je výrok pravdivý, je-li právě jeden z výroků pravdivý. Implikací výroků p,qrozumíme výrok p q(čti jestliže ppak q), který utvoříme tak, že před první výrok umístíme jestliže a před druhý potom. Implikace p q je výrok nepravdivý, je-li první výrok p pravdivý a druhý výrok q nepravdivý. V ostatních případech je impliace pravdivá. Ekvivalencí výroků p,qrozumíme výrok p q(čti pprávě když q), který utvoříme tak, že libovolné výroky p, q spojíme výrokotvornou spojkou právě když. Ekvivalence p q je výrok pravdivý, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu. Při slovním vyjádření konjukce, implikace a ekvivalence výroků se používají i další výrokotvorné spojky nebo slovní obraty. U konjukce výroků p q jsou to i, a zároveň, a současně, a také. Implikaci výroků p q můžeme zformulovat také jestliže p, pak q, p implikuje q, z p plyne q, p je postačující podmínkou pro q, q je nutnou podmínkou pro p, q platí tehdy, platí-li p, p platí jen tehdy, platí-li q. A konečně ekvivalenci výroků p q můžeme vyjádřit výrok p je ekvivalentní s výrokem q, z p plyne q a zároveň z q plyne p, p je nutnou a postačující podmínkou pro q, p platí tehdy a jen tehdy, platí-li q, p platí právě tehdy, když platí q. 4

5 Přehledná tabulka výroků výrokové zápis název výroku výrokotvorná funktor proměnné výroku spojka p p negace výroku není pravda, že p, q p q konjunkce výroků... a... p, q p q disjunkce výroků... nebo... p, q p q ostrá disjunkce buď... nebo... výroků p, q p q implikace výroků jestliže..., potom... p, q p q ekvivalence výroků... právě když... Přehledná tabulka pravdivostních hodnot výroků výroky negace konjunkce disjunkce ostrá implikace ekvivalence disjunkce p, q p p q p q p q p q p q Kdalším základním pojmům patří výroková formule. Výrokovou formulí rozumíme: a) každou výrokovou proměnnou p, q, r,..., b) výrokové konstanty P, N, c) jsou-li libovolné výrazy Φ, Ψ výrokovými formulemi, potom i ( Φ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) jsou výrokové formule, d) žádné jiné výrazy výrokové formule nejsou. Příklady výrokových formulí jsou výrazy p q, ( p q) r, (r q) (q p), utvořené pomocí výrokové abecedy, pro něž je charakteristické, že funktory spojují dvě výrokové proměnné (konstanty), nebo dvě závorky se dvěma výrokovými proměnnými, nebo závorku se dvěma výrokovými proměnnými a proměnnou atd. Výrazy např. (p ), (p ) q utvořené také znaky výrokové abecedy výrokovými formulemi nejsou, neboť není splněna charakteristická vlastnost výše uvedená. Výrokovou formuli o n výrokových proměnných obecně zapisujeme Ψ(p 1, p 2,..., p n). tautologie Výrokové formule: splnitelná formule kontradikce Tautologií nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n), která má tu vlastnost, že z ní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Značíme Ψ(p 1, p 2,..., p n). Příklady některých tautologií: (p q) (q p) komutativnost disjunkce [(p q) r] [p (q r)] asociativnost konjunkce [(p q) r] [(p r) (q r)] distributivnost disjunkce } vzhledem ke konjunkci zprava (p q) p q (p q) p q de Morganovy zákony Splnitelnou formulí nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n),která má tu vlastnost, že zní vznikne výrok pravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot a výrok nepravdivý pro jinou libovolnou kombi- 5

6 naci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Kontradikcí nazýváme výrokovou formuli Ψ(p 1,p 2,...,p n), která má tu vlastnost, že zní vznikne výrok nepravdivý pro libovolnou kombinaci pravdivostních hodnot v ní figurujících výrokových proměnných. Říkáme, že výroková formule Φ je logicky ekvivalentní s výrokovou formulí Ψ, právě když výroková formule Φ Ψ je tautologie, což symbolicky zapisujeme ve tvaru Φ Ψ. 2. Pojem množiny a množinová symbolika Obsah pojmu množina vymezíme intuitivně takto: Množinou budeme rozumět jakýkoliv soubor vzájemně rozlišitelných objektů, které budeme nazývat jejími prvky. Přitom budeme předpokládat, že každá množina je svými prvky jednoznačně určena. Množiny budeme většinou značit velkými latinskými písmeny A, B, C,..., Z, jejich prvky pak malými latinskými písmeny a, b, c,... Bude-li to zapotřebí, budeme při označování množin a jejich prvků používat také indexů. Např. M 1, M 2, M n nebo a 1, a 2, a n. Výrok a je prvek množiny A zapisujeme symbolicky ve tvaru a A, jeho negaci pak ve tvaru a A. Množinu graficky znázorňujeme jako část roviny omezené uzavřenou křivkou, jejíž vnitřní body znázorňují prvky množiny a vnější body prvky, které množině nepatří. Např. V některých úvahách budeme nadále předpokládat, že množiny, o nichž bude řeč, byly vytvořeny z prvků nějaké předem zvolené množiny Z. Tuto množinu nazýváme množinou základní, resp. univerzální. V matematice vystupují v roli základních množin velmi často např. číselné obory, pro něž zavedeme toto označení: N N 0 C Q R množina všech přirozených čísel bez nuly, množina všech přirozených čísel s nulou, množina všech celých čísel, množina všech racionálních čísel, množina všech reálných čísel. Pro podmnožiny množin C, Q, R se užívá někdy těchto označení, např.: Q + množina všech kladných racionálních čísel, Q + 0 množina všech nezáporných racionálních čísel, Q množina všech záporných racionálních čísel, Q 0 množina všech nekladných racionálních čísel. PřiurčováníkonkrétníchmnožinvrámcizvolenézákladnímnožinyZpoužívámeněkteréznásledujícíchmetod: a) Určení množiny výčtem prvků (taxativně). Tato metoda je vhodná pro určování konečných množin, zpravidla s malým počtem prvků. Jsou-li např. x, y, z všechny prvky množiny A a b 1, b 2,..., b n všechny prvky množiny B, pak píšeme A = {x, y, z}, B = {b 1, b 2,..., b n}. Přitom přepokládáme, že každý prvek množin A, B je uveden ve složených závorkách jen jednou a pořadí, v němž jsou prvky zapsány, je zcela libovolné. 6

7 b) Určení množiny charakteristickou vlastností všech jejích prvků. Princip spočívá vtom, že určíme vhodnou výrokovou formu V(x), tj. výraz, který obsahuje proměnnou, s oborem proměnnosti Z tak, aby jejím oborem pravdivosti byla právě daná množina. Výroková forma V(x) reprezentuje tu vlastnost, kterou mají právě jen prvky základní množiny Zpatřící do definované množiny a žádné jiné. Je-li daná množina A určena výrokovou formou V (x), pak píšeme A = {x Z; V (x)}. Množinové úvahy se často týkají malého počtu množin. Situace zahrnující dvě, tři, čtyři množiny lze přehledně znázornit systémem přihrádek, kterými jsou Vennovy diagamy pro 2, 3, 4 množiny. Vennovy diagramy jsou standardizovaná grafická přihrádková schémata, která vznikají překřížením uzavřených čar. Při znázornění dvou uzavřených čar musíme vytvořit čtyři části (přihrádky, komponenty), tří čar osm a čtyř uzavřených čar pak šestnáct komponent. Tam, kde je znázornění množin pomocí Vennových diagramů nevhodné, používáme jejich znázornění na číselné ose. Vennovy diagramy pro 2 množiny Vennovy diagramy pro 3 množiny Vennovy diagramy pro 4 množiny 3. Výrokové formy Výrokovou formou rozumíme každé sdělení, které obsahuje alespoň jeden neurčený údajzvaný proměnná. Např. a 10; 7 < ; x + y = 15; p + r + s > 0; 2x + 3 = 1. Z uvedeného vyplývá, že u uvedených výrazů nelze určit jejich pravdivost, resp. nepravdivost. Podle počtu těchto proměnných hovoříme potom o výrokové formě o jedné proměnné, o dvou proměnných, respektive o výrokové formě o n proměnných a označujeme po řadě A(x), B(x, y), V (x 1, x 2, x 3,..., x n). Další úvahy zaměříme na výrokové formy o jedné proměnné x. Každé výrokové formě V (x), chceme-li ji studovat, přiřazujeme tři množiny: množinu O, zvanou obor proměnné xvýrokové formy V(x), množinu D, zvanou definiční obor výrokové formy V(x), množinu P,zvanou obor pravdivosti výrokové formy V(x). 7

8 Obor proměnné xvýrokové formy V(x) je množina Ovšech prvků, které přichází vúvahu jako hodnoty proměnné x figurující ve V (x). Definiční obor výrokové formy V(x) je množina Dvšech prvků zmnožiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V(x) je množina P všech prvků zmnožiny O, které po dosazení do výrokové formy V (x) za proměnnou x změní V (x) na výrok pravdivý. Obor proměnné x výrokové formy V (x) volíme, zbývající obory určujeme. Z vymezení daných oborů plyne, že D O, P O, P D. 4. Množinové vztahy Nejprve si uveďme, že k množinovým vztahům zařadíme pojmy rovnost a různost množin, množinovou inkluzi a doplněk množiny. Dále pak zavedeme definici potenčního systému. Jestliže dvě množiny obsahují tytéž prvky, pak říkáme, že jsou si rovny a píšeme A = B. Jestliže naopak neplatí, že A = B, pak píšeme A B, přičemž říkáme, že množiny A, B jsou různé. Množina, která neobsahuje žádné prvky, se nazývá prázdná. Množina, která není prázdná, se nazývá neprázdná. Prázdnou množinu zapisujeme symbolicky: nebo { }; zápis { } neoznačuje prázdnou množinu, ale množinu jednoprvkovou, jejímž prvkem je množina prázdná. Množina Aje podmnožinou nebo také částí množiny B, což zapisujeme A B, právě tehdy,když pro všechny prvky x ze základní množiny Z platí, jestliže x náleží množině A, pak také náleží množině B. Symbolicky: A B x Z : x A x B. Příklad grafického znázornění: Právě popsaný vztah nazýváme množinovou inkluzí. Jestliže množina Aje podmnožinou množiny Basoučasně jsou tyto množiny různé, pak říkáme, že množina A je vlastní částí nebo vlastní podmnožinou množiny B. Je-li A množina, která je podmnožinou základní množiny Z, pak všechny prvky, které do množiny A nepatří, tvoří množinu A, kterou nazýváme doplněk množiny A vzhledem k základní množině Z. Symbolicky: A = {x Z; x A}. 8

9 Graficky: Potenčním systémem množiny A nazveme množinu P(A) definovanou vztahem P(A) = {X Z; X A}. Potenční množina libovolné množiny A je tedy systém množin, jehož prvky jsou právě všechny podmnožiny množiny A a žádné jiné. 5. Množinové operace V tomto článku pojednáme o sjednocení, průniku, rozdílu a symetrickém rozdílu množin. Sjednocením libovolných dvou množin A a B nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. Množina A B obsahuje všechny ty prvky základní množiny, které patří alespoň do jedné z obou množin A a B a žádné jiné. Diagram znázorňující sjednocení A B: Průnikem libovolných dvou množin A a B nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. Do množiny A B patří právě všechny ty prvky základní množiny, které jsou současně obsaženy v obou množinách A, B a žádné jiné. Diagram znázorňující průnik A B: Množiny A a B se nazývají navzájem disjunktní právě tehdy, je-li A B =. Rozdílem množin A a B v tomto pořadí nazýváme množinu A \ B definovanou vztahem A \ B = {x Z; x A x B}. Z definice vyplývá, že množina A \ B obsahuje právě všechny prvky základní množiny, které náleží množině A a nenáleží množině B a žádné jiné. Diagram znázorňující rozdíl A \ B: Symetrickým rozdílem libovolných dvou množin A a B v tomto pořadí nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {x Z; x A x B}. 9

10 Množina A B obsahuje všechny prvky základní množiny, které náleží právě do jedné z množin A, B a žádné jiné. Diagram znázorňující rozdíl A B: 6. Složené výrokové formy Vtomto článku se budeme zabývat výrokovými formami ojedné proměnné. Víme, že výroková forma A(x) je jisté sdělení s jedním neurčeným údajem, který značíme x a nazýváme ho proměnnou. Ke každé výrokové formě A(x), B(x),... jsme zavedli obor proměnné O, definiční obor D a obor pravdivosti P nebo A, B,... Množina A={x D;A(x)} je vyjádřena charakteristickou vlastností prvků atuto vlastnost určuje výroková forma A(x). Množina D je definiční obor výrokové formy A(x). Množina A = {x D;A(x)} je tedy obor pravdivosti výrokové formy A(x).Obdobné platí pro množinu B={x D;B(x)}. Spojíme-li výrokové formy o téže proměnné x s týmž definičním oborem D výrokotvornými spojkami, které známe z výrokové logiky, obdržíme konjunkci, disjunkci, ostrou disjunkci, implikaci a ekvivalenci výrokových forem, resp. negaci výrokové formy. Konjunkcí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) (čti A(x) azároveň B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x). Příklad 1: Nechť A(x) : x 6, B(x) : x 5. Jejich oborem proměnné O = N, definičním oborem D = N. Množina A = {x D; x 6} = {1, 2, 3, 6} je obor pravdivosti výrokové formy x 6, množina B = {x D; x 5} = {1, 2, 3, 4, 5} je obor pravdivosti výrokové formy x 5. Konjukcí výrokových forem A(x) B(x) je x 6 x 5. Obor pravdivosti konjukce výrokových forem je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3} = A B. Disjunkcí výrokových forema(x),b(x)ojednéproměnnéxstýmždefiničním oboremnazývámevýrokovou formu A(x) B(x) (čti A(x) nebo B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení aspoň do jedné z výrokových forem A(x), B(x). Příklad 2: Disjunkcí výrokových forem A(x) : x 6, B(x) : x 5 s definičním oborem D = N je x 6 x 5. Obory pravdivosti jednotlivých výrokových forem (viz př. 1). Obor pravdivosti disjunkce výrokových forem je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A B. Ostrou disjunkcí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává pravdivé výroky po dosazení do právě jedné z výrokových forem A(x), B(x). Příklad 3: Ostrou disjunkcí výrokových forem (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {4, 5, 6} = A B. Implikací výrokových forema(x),b(x)ojednéproměnnéxstýmždefiničním oboremnazývámevýrokovou formu A(x) B(x) (čti jestliže A(x), potom B(x)) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne 10

11 nepravdivý výrok, právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává po dosazení do výrokové formy A(x) výrok pravdivý a po dosazení do výrokové formy B(x) výrok nepravdivý. Příklad 4: Implikací výrokových forem A(x), B(x) (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...} = A B = (A \ B). Ekvivalencí výrokových forem A(x),B(x) ojedné proměnné xstýmž definičním oborem nazýváme výrokovou formu A(x) B(x) otéže proměnné xstýmž definičním oborem, zníž vznikne pravdivý výrok, právě když za proměnnou x dosadíme takový prvek společného definičního oboru, jenž dává po dosazení do obou výrokových forem A(x), B(x) výroky téže pravdivostní hodnoty. Příklad 5: Ekvivalencí výrokových forem A(x), B(x) (viz př. 1) je A(x) B(x) : x 6 x 5, oborem pravdivosti A(x) B(x) je {x D; x 6 x 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...} = (A B) (A B) = (A B). Negací výrokové formy A(x) ojedné proměnné xnazýváme výrokovou formu A(x) (čti není pravda, že A(x)), zníž vznikne výrok pravdivý,právě když za proměnnou xdosadíme takový prvek zdefiničního oboru, jenž dává po dosazení do výrokové formy A(x) výrok nepravdivý. Příklad 6: Negací výrokové formy A(x) (viz př. 1) je A(x) : x 6, oborem pravdivosti A(x) je {x D; x 6} = {4, 5, 7, 8,...} = A. Stručný přehled o jednotlivých výrokových formách, jejich zápisu a o jejich oborech pravdivosti vyjádřených charakteristickou vlastností i množinovou operací dává následující tabulka: výroková forma zápis obor pravdivosti obor pravdivosti char. vlastností množ. operací konjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B disjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B ostrá disjunkce A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} A B = = (A \ B) (B \ A) implikace A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} (A \ B) = = A B ekvivalence A(x) B(x) {x D : A(x) B(x)} (A B) = (A B) (A B) negace A(x) {x D : A(x)} A 7. Obecný a existenční výrok Zvýrokových forem V(x) můžeme vytvořit individuální výroky tak, že za proměnnou xdosadíme libovolné prvky základní množiny Z (oboru proměnné) nebo také tak, že proměnnou x výrokové formy V (x) kvantifikujeme. Kvantifikace se provádí tím způsobem, že před výrokovou formu V (x) předřadíme jedno z následujících tvrzení: Existuje aspoň jeden prvek x M,pro nějž platí.... Toto tvrzení se nazývá existenční kvantifikátor a symbolicky jej zapisujeme x M :. Další možné slovní vyjádření existenčního kvantifikátoru je Pro aspoň jeden prvek x M platí.... Tvrzení: Pro každý prvek x M platí... nebo Pro všechny prvky x M platí... se nazývá obecný kvantifikátor, symbolický zápis: x M:. Kvantifikujeme-li výrokovou formu V(x) existenčním kvantifikátorem, dostaneme výrok Existuje aspoň jeden prvek x M, pro nějž platí V(x) nebo také Pro aspoň jeden prvek x M platí V (x), který nazýváme existenční výrok azapisujeme x M:V(x). Příklad 1: x N 0: x < 3. Pravdivostní hodnota existenčního výroku P h( x N 0: x < 3) = 1. Předřadíme-li před výrokovou formu V(x) obecný kvantifikátor, dostaneme výrok Pro každý prvek x M 11

12 platí V (x), který nazveme obecný výrok a zapisujeme x M: V (x). Příklad 2: x R: x 2 > 0. Pravdivostní hodnota obecného výroku P h( x R: x 2 > 0) = 0. Specifickýmpříklademexistenčního výrokujetvrzení Proprávějedenprvekx MplatíV(x) nebo Existuje právě jeden prvek x M, pro který platí V (x). Zápis:!x M: V (x). Příklad 3:!x N 0: x 2 2x = 0. Pravdivostní hodnota existenčního výroku P h(!x N 0: x 2 2x = 0) = 0. Negování obecného a existenčního výroku provádíme podle následujícího pravidla: obecný (existenční) kvantifikátor nahradíme existenčním (obecným) kvantifikátorem a negujeme výrokovou formu. Konkrétně: [ x M: V (x)] x M: V (x) [ x M: V (x)] x M: V (x) Příklad 4: ( x R: x 2 > 0) x R: x 2 0, P h[ ( x R: x 2 > 0)] = 1, ( x N 0: x < 3) x N 0: x 3, P h[ ( x N 0: x < 3)]=0. V souladu s výše uvedeným můžeme nyní uvést symbolický zápis definice množinové inkluze a rovnosti množin: A B x Z: x A x B, A = B x Z: x A x B, nebo také A = B x Z: (x A x B) (x B x A). 12

13 II. Kartézský součin a binární relace 1. Kartézský součin dvou množin Uspořádanou dvojicí prvků nazýváme množinu (a, b) definovanou vztahem (a, b) = {{a}, {a, b}}. Prvek a se nazývá první složka a prvek b se nazývá druhá složka uspořádané dvojice. Množina {a, b} udává složky uspořádané dvojice (a, b), množina {a} pak určuje, kterou z těchto složek je nutno chápat jako první. Pro libovolné dvě uspořádané dvojice prvků (a, b), (c, d) platí: 1. a b (a, b) (b, a), 2. (a, b) = (c, d) a = c b = d. Kartézským součinem libovolných dvou množin A, B v tomto pořadí nazýváme množinu A B definovanou vztahem A B = {(x, y); x A y B}. Platí-li A = B, potom A A = A 2 = {(x, y) : x A y A} nazýváme konkrétně druhá mocnina množiny A nebo kartézský čtverec množiny A. Příklad 1: A = {a, 3, p}, B = {0, p}, A B = {(a, 0), (a, p), (3, 0),...}, A A = {(a, a), (a, 3), (a, p),...}. Kartézský součin libovolných dvou množin A, B znázorňujeme grafem a) kartézským, b) uzlovým, c) šachovnicovým. Uveďme si stručný postup při sestrojování jednotlivých grafů a jejich charakteristické znaky v případě, že množiny A, B jsou určeny výčtem prvků. Kartézský graf kartézského součinu A B: Zvolíme si dvě kolmé přímky, např. vodorovnou a svislou. Na vodorovné přímce znázorníme jednotlivé prvky množiny A jako body, na svislé přímce znázorníme jednotlivé jednotlivé prvky množiny B opět jako body. Potom každým vyznačeným bodem vedeme kolmici k přímce, na níž leží a vyznačíme průsečíky všech takto sestrojených kolmic. Tyto průsečíky jsou obrazy prvků kartézského součinu A B, tedy znázornění uspořádaných dvojic (x, y) A B. Šachovnicový graf kartézského součinu A B: Zvolíme si dvě kolmé přímky, např. vodorovnou a svislou, a jednotkovou úsečku. Daným prvkům množiny A přiřadíme jednotkové úsečky na vodorovné přímce a jednotlivým prvkům množiny B přiřadíme jednotkové úsečky na svislé přímce. Každým vyznačeným bodem vedeme kolmici na přímku, na níž leží. Dostaneme čtvercovou síť. Každý čtvereček v rovině je obraz prvku kartézského součinu A B, tedy je obrazem uspořádané dvojice (x, y) A B. Uzlový graf kartézského součinu A B: Výčtem prvků určíme množinu A B a každý její prvek znázorníme v rovině jako kroužek, kterému říkáme uzel. Jednotlivé uspořádané dvojice (x, y) A B znázorníme tak, že vyznačíme kolem uzlu smyčku, eventuelně úsečku se šipkou směřující od uzlu x k uzlu y, jestliže x y. Případně vyznačíme smyčku grafu za předpokladu, že x = y. Úsečky se šipkami nazýváme orientované hrany. 13

14 Následující tabulka shrnuje obrazy prvků množin A, B a A B v jednotlivých grafech. název grafu obraz prvku obraz prvku množin A, B množiny A B kartézský bod bod na příslušné přímce v rovině šachovnicový jednotková úsečka čtvereček na příslušné přímce v rovině uzlový kroužek, oblouk se šipkou, uzel orientovaná hrana Příklad 2: Grafické znázornění kartézského součinu A B, viz příklad 1. Kartézský graf: Šachovnicový graf: Uzlový graf: A B = {a, 3, p, 0} a) b) Pro libovolné množiny A, B(A Z, B Z) platí: A B = A = B =. Pro libovolné množiny A, B, C, D, které jsou podmnožinami základní množiny Z, platí: (A B) C = (A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B), (A B) C = (A C) (B C), 14

15 C (A B) = (C A) (C B), c) (A B) C = (A C) (B C), C (A B) = (C A) (C B), d) (A B) (C D) (A C) (B D). Množinové rovnosti uvedené v případě ad a) se nazývají distributivnost kartézského součinu vzhledem ke sjednocení zprava, resp. distributivnost kartézského součinu vzhledem ke sjednocení zleva. Obdobně pojmenujeme množinové rovnosti v případech ad b) i ad c). 2. Binární relace Binární relací V z množiny A do množiny B rozumíme jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu A B. Symbolicky: V A B. Množinu všech prvních složek a uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace V (V A B), nazýváme první obor relace. Symbolicky zapíšeme: O 1(V ) = {a A; b B : (a, b) V }. Množinu všech druhých složek b uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace V (V A B), nazýváme druhý obor relace. Symbolicky zapíšeme: O 2(V ) = {b B; a A : (a, b) V }. Binární relací S v libovolné neprázdné množině M rozumíme jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu M M. Symbolicky: S M M. Množinu všech prvních složek a uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace S, nazýváme první obor relace S v M a značíme O 1(S). Symbolicky: O 1(S) = {a M; b M : (a, b) S}. Množinu všech druhých složek b uspořádaných dvojic (a, b), které patří do relace S, nazýváme druhý obor relace S v M a značíme O 2(S). Symbolicky: O 2(S) = {b M; a M : (a, b) S}. V následující části textu budeme pojednávat o binárních relacích v množině, tj. kdy je relace S podmnožinou kartézského součinu M M (tj. kartézského čtverce ). Typy relací v množině: Prázdnou množinu jakožto binární relaci v libovolné množině M nazýváme prázdnou relací v této množině. Množinu M M jakožto binární relaci v množině M nazýváme úplnou relací v této množině. Poznámka: Prázdná relace je z hlediska množinové inkluze minimální binární relací, kterou lze v dané množině M definovat. Přitom úplná relace je maximální binární relací, kterou můžeme v dané množině určit. Jednotkovou relací v množině M nazveme relaci S M definovanou vztahem: S M = {(a, b) M M; a = b}. 15

16 Doplňkovou (komplementární) relací k libovolné relaci S, která je definovaná v množině M, nazveme relaci S určenou vztahem: S = (M M) \ S. Inverzní relací k libovolné binární relaci S, která je definovaná v množině M, nazveme relaci S 1 určenou vztahem: S 1 = {(a, b) M M; (b, a) S}. Relace v množině i relace z množiny do množiny zpravidla znázorňujeme opět grafy: a) kartézským, b) uzlovým, a) šachovnicovým. 3. Vlastnosti binárních relací v množině Vlastnosti binárních relací v množině: Relace R v množině M se nazývá reflexivní, právě když pro každý prvek x z množiny M platí: (x, x) R. Relace R v množině M se nazývá antireflexivní, právě když pro každý prvek x z množiny M platí: (x, x) R. Relace R v množině M se nazývá symetrická, právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: (x, y) R (y, x) R. Relace R v množině M se nazývá antisymetrická, právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: [x y (x, y) R] (y, x) R. Relace R v množině M se nazývá tranzitivní, právě když pro každé tři prvky x, y, z z množiny M platí: [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R. Relace R v množině M se nazývá konektivní (souvislá), právě když pro každé dva prvky x, y z množiny M platí: x y [(x, y) R (y, x) R]. 4. Relace ekvivalence a rozklad množiny Relaci Rvmnožině Mnazýváme relací ekvivalence, právě když je reflexivní, symetrická atranzitivní. Relace R v množině M, pro kterou platí, že O 1(R) = M, se nazývá relací na množině M, vyplývá to z její reflexivnosti. Rozkladem libovolné neprázdné množiny Mrozumíme systém podmnožin M 1,M 2,..., M n,..., který splňuje následujícíc vlastnosti: M i, i = 1, 2,..., n,..., M 1 M 2 M 3 M n = M, M i M j = 0, pro každé i j. M 1, M 2,..., M n,... nazýváme třídami rozkladu množiny M. Z uvedeného je zřejmé, že systém podmnožin množiny M může být i nekonečný. Poznámky: Kterákoliv relace ekvivalence definovaná na množině M, vytváří její rozklad. Každý rozklad množiny M indukuje relaci R, která je relací ekvivalence. Jednotlivé třídy rozkladu M vytvořené relací ekvivalence na množině M pojmenujeme třídami ekvivalentních prvků. Shrneme-li: Každá relace ekvivalence Rdefinovaná na množině Mvytváří rozklad této množiny aobráceně ke každému rozkladu množiny M přísluší relace ekvivalence R. 16

17 Příklad: Vytvořte všechny možné rozklady množiny A = {x C; x 2, 5)}. Množinu A, která je dána charakteristickou vlastností, můžeme v tomto případě určit i výčtem prvků: A = {2, 3, 4}. K řešení úlohy lze využít potenčního systému množiny A. P(A) = {, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {2, 3, 4}}, pak A 1 = {{2}, {3}, {4}}, A 2 = {{2, 3}, {4}}, A 3 = {{2, 4}, {3}}, A 4 = {{3, 4}, {2}}, A 5 = {{2, 3, 4}}. Množiny A 1 A 5 splňují všechny podmínky definice. Rozklad A 1 nazýváme nejjemnějším a rozklad A 5 nejhrubším rozkladem množiny A. Rozklad množiny A na třídy budeme označovat A R. 5. Relace uspořádání, uspořádání množiny Jednotlivé typy uspořádání rozlišujeme na základě souhrnu jistých vlastností binárních relací v množině, viz. kapitola 3. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací uspořádání právě tehdy, když je antisymetrická a tranzitivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací ostrého uspořádání právě tehdy, když je antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní; neostrého uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací lineárního uspořádání právě tehdy, když je antisymetrická, tranzitivní a konektivní. Relace R definovaná v množině A se nazývá relací ostrého lineárního uspořádání právě tehdy, když je antireflexivní, antisymetrická, tranzitivní a konektivní; neostrého lineárního uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a konektivní. Poznámka: Jestliže relace R definovaná v množině A je antireflexivní, antisymetrická a konektivní, pak ji nazýváme relací trichotomickou. Přičemž antisymetrii a konektivnost můžeme vyjádřit symbolicky: x, y A : x y [(x, y) R (y, x) R]. Pro přehlednost a srozumitelnost nyní zavedených pojmů uveďme následující tabulku: Typy relací uspořádání: R AR S AS T K uspořádání / / - ostré uspořádání - / - / / - neostré uspořádání / - - / / - lineární uspořádání / / / ostré lineární uspořádání - / - / / / neostré lineární uspořádání / - - / / / Poznámka: R reflexivnost, AR antireflexivnost, S symetrie, AS antisymetrie, T tranzitivnost, K konektivnost, / splněná vlastnost. 17

18 Příklady jednotlivých typů relací, které budou dány výčtem prvků a znázorněny na uzlových grafech. Připomeňme R M M, přičemž M = {3, 4, 5, 6}. a) relace uspořádání: R a = {(3, 4), (5, 3), (5, 4), (6, 6), (3, 3)}, b) relace ostrého uspořádání: R b = {(6, 3), (6, 5), (5, 4), (6, 4)}, c) relace neostrého uspořádání: R c = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (3, 5)}, d) relace lineárního uspořádání: R d = {(6, 3), (6, 4), (6, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}, e) relace ostrého lineárního uspořádání: R e = {(4, 3), (4, 5), (4, 6), (3, 5), (3, 6), (6, 5)}, f) relace neostrého lineárního uspořádání: R f = {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 6), (4, 3), (4, 6), (6, 3)}. 18

19 Množina A, v níž je definována relace uspořádání se nazývá uspořádaná množina. Množina A, v níž je definována relace lineárního uspořádání R se nazývá lineárně uspořádaná množina. Zapisujeme ji (A, R). Množina A, v níž je definována relace ostrého lineárního uspořádání se nazývá ostře lineárně uspořádaná množina. Ostře linárně uspořádanou množinu zapíšeme A. Je-li R relace uspořádání v množině A, pak okolnost, že prvek a předchází před prvkem b, zapíšeme vztahem: a R b. (Prvek a předchází před prvkem b v uspořádání R). Příklad: Je dána množina M = {k, l, m, n} a relace U, jejíž vyjádření znázorňuje uzlový graf: Pak platí m U l U n U k. U je relace ostrého lineárního uspořádání a M = {m, l, n, k} je ostře lineárně uspořádaná množina. První a poslední prvek lineárně uspořádané množiny zavedeme těmito definicemi: Nechť (A, R) je lineárně uspořádaná množina, pak prvek a A se nazývá první prvek této množiny právě tehdy, když x A : x a a R x. Nechť (A, R) je lineárně uspořádaná množina, pak prvek b A se nazývá poslední prvek této množiny právě tehdy, když x A : x b x R b. V závěru tohoto přehledu základních poznatků se ještě seznámíme s pojmy dobrého uspořádání a dobře uspořádané množiny. Jestliže má každá neprázdná podmnožina lineárně uspořádané množiny (A, R) první prvek, pak množinu (A, R) nazýváme dobře uspořádanou množinou a relaci R dobrým uspořádáním v množině A. 6. Relace zobrazení, zobrazení množin Zde se budeme orientovat na binární relace, které budou podmnožinami kartézského součinu A B. U vlastností relací (kap. II. 3.), ekvivalence a uspořádání (kap. II. 4.; 5.) jsme se setkávali s uzlovými grafy, které mohly mít více hran než uzlů. Nyní se však zaměříme na relace, kdy z každého uzlu vychází nejvýše jedna orientovaná hrana. Na kartézském grafu se tato vlastnost relací projeví tím, že v každém sloupci grafu A B leží nejvýše jeden bod grafu dané relace. 19

20 Relace Z z množiny A do množiny B (Z A B) se nazývá zobrazení z množiny A do množiny B právě tehdy, když je splněna podmínka a A b 1, b 2 B : [(a, b 1) Z (a, b 2) Z] b 1 = b 2. Tzn., že ke každému prvku a A existuje nejvýše jeden prvek b B takový, že platí (a, b) Z. Prvek a A nazýváme vzorem a prvek b B jeho obrazem, je-li relace Z zobrazení. První obor relace O 1(Z), která je zobrazením z množiny A do množiny B nazýváme definičním oborem; druhý obor O 2(Z) této relace pak oborem hodnot. Schematické znázornění relace zobrazení Z z množiny A do množiny B. Schematické znázornění dalších případů: Zobrazení Z z množiny A na množinu B. Zobrazení Z množiny A do množiny B. Zobrazení Z množiny A na množinu B. Zobrazení Z z množiny A do množiny B se nazývá prosté, právě když Z 1 je zobrazení z množiny B do množiny A. Toto zobrazení Z 1 nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení Z. V praxi se zpravidla využívá podmínky: Zobrazení Z z množiny A do množiny B je prosté, jestliže pro každé y B platí, že je obrazem nejvýše jednoho prvku x A. Případně, mají-li v zobrazení Z každé dva různé prvky definičního oboru různé obrazy. Prosté zobrazení Z množiny A na množinu B nazýváme také vzájemně jednoznačným zobrazením. Na kartézském grafu je prosté zobrazení charakteristické tím, že v každém sloupci (tj. kolmici k vodorovné přímce, na níž je vyznačena množina A) a rovněž i každém řádku (tj. kolmici ke svislé přímce, na níž je vyznačena množina B) je nejvýše jeden bod grafu. Prosté zobrazení na uzlovém grafu charakterizuje vlastnost z každého 20

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 6. ročník J.Coufalová : Matematika pro 6.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko,J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 6.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více