Leonhard EULER. F. KOUTNÝ, Zlín ( )

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Leonhard EULER. F. KOUTNÝ, Zlín (15. 04. 1707 18. 09. 1783)"

Transkript

1 Leohad EULER F. KOUTNÝ, Zlí ( ) (asi 756) Kompilace sestaveá z liteáích pameů a webových stáe o životě a díle jedoho z ejvýzamějších matematiů všech dob. Histoicé téma Euleova života je doplěo výladem, ilustacemi a ometáři jeho ejdůležitějším pacím v současém duchu.

2 OBSAH. MILNÍKY V MATEMATICE PŘED EULEREM.. Algeba.. Logaitmy 4.. Teoie čísel 7.4. Geometie.5. Aalýza.6. Difeeciálí ovice, mechaia a další ozvoj matematiy 5 St.. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA 9. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE 5.. TEORIE ČÍSEL 5.. GEOMETRIE A TOPOLOGIE 7.. ANALÝZA... ČÍSLO e, EXPONENCIÁLA, LOGARITMUS... ŘADY A NEKONEČNÉ SOUČINY, ČÍSLO γ 8... VÝPOČET INTEGRÁLŮ FUNKCE BETA A GAMMA EULEROVA MACLAURINOVA FORMULE 5.4. DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE 5.5. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 5.6. VARIAČNÍ POČET EULEROVY STOPY VE FYZICE ŘEMENOVÝ POHON OHYB NOSNÍKU VZPĚR NOSNÍKU. EULEROVO KRITICKÉ ZATÍŽENÍ MAUPERTUISŮV EULERŮV PRINCIP MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA EULEROVA HYDRODYNAMICKÁ ROVNICE TSUNAMI DOSLOV ODKAZY 79 F. KOUTNÝ: Leohad EULER

3 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM. MILNÍKY V MATEMATICE PŘED EULEREM Nejstaší dolady o ěčem víc ež o pouhém sčítáí předmětů pocházejí z Babyloie ( př. K.). Tam vzila číselá soustava se záladem 6 []. Zoumala se celočíselá řešeí ovice a b = c, tj. hledaly se Pythagoejsé tojúhelíy. Bylo zámo řešeí vadaticé ovice b c =, byla tabelováa řešeí ubicé ovice b = c, řešily se poblémy podobosti, počítaly se plochy a objem a používalo se odhadu π / 8. Babyloňaé dooce používali speciálího typu Fouieovy aalýzy výpočtu efemeid [,]. Něteé z těchto pozatů měli i staří Egypťaé a lze si těžo představit, že by bez ich postavili apř. Velou pyamidu u Gízy (olem 65 př. K.) [4]. Zatím vša šlo pouze o jedotlivé poblémy a jejich řešeí. Sutečý systém pozatů a matematiu jao vědecou discipliu vytvořili tepve Řeové. Rozvět řecé ultuy a matematiy začal asi 45 let př. K. [5]. Z této a pozdější doby pocházejí věty a záoy spojeé se jméy Eulides, Pythagoas, Achimédes, teé zá aždý šolá a teé ás dodes plí obdivem. Později se Řeco stalo římsou povicií a astal úpade evopsé matematiy. Za zachováí řecé matematiy a další ozvoj matematiy vděčíme mimoevopsým áodům, zejméa Aabům. S římsými číslicemi se dá těžo ásobit a dělit, taže byly použitelé je po sčítáí a odčítáí. Italští obchodíci z Jaova, Beáte atd. byli v otatu s Oietem a jejich postředictvím se matematia vátila zpět do Evopy. Po zhuba leté přestávce se objevuje Leoado z Pisy, zvaý Fiboacci, teý. apsal Libe Abaci. Fiboacciho jméo ese posloupost {a } = {,,,, 5, } zadaá po =, 4, předpisem a = a a a Ob. Fiboacciova posloupost {,,,, 5, }. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

4 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Fiboacciova posloupost velmi ychle oste a dá se přiozeě zobecit a aditiví poslouposti [6]. Důležité je, že v Libe Abaci se používaly aabsé číslice, zlomy a deadicá soustava [7]. To usadilo další ozvoj počítáí i matematiy. V té době začal ůst výzam vzděláí a v Evopě se začala vytvářet síť uivesit (Bologa 88, Paříž 9, Ofod 96,, Cambidge 9,, Paha 48, ) [8]... Algeba O tři století později (6. století) je už zámo algebaicé řešeí ubicé ovice. Scipio del Feo eduoval děleím a a substitucí u = a /(a ) ubicou ovici a u a u a u a = do typů p = q, p = q, p = q, p, q > a říal, že ašel jejich řešeí. Zemřel vša 56, aiž své výsledy publioval. Postup řešeí zovu objevil 55 Tataglia z Beáte a ověž jej uchovával v tajosti. Pozadil jej po dlouhém aléháí léaři Hieoymovi Cadaovi z Miláa, teý mu slíbil mlčeí. Cadao vša 545 vydal ihu o algebře As maga. Jamile Tataglia zjistil, že je v í publiová výlad jeho metody, ozhořel se jede z velmi zámých pioitích spoů (jiý Newto/Leibiz záme z pozdějšího období olem ou 7). Nicméě v liteatuře o řešeí algebaicých ovic se po ořey eduovaé ubicé ovice p q = dodes uvádí vzoec = p / q / q/ p / q / q/, de p / = p/, q / = q/, pod Cadaovým jméem [9,]. Pozameáváme, že počítáí s tímto vzocem je složité. I v případě úspěšosti vyžaduje začou pozoost a eí po obyčejou alulaču. Vhodější je EXCEL. Např. u ovice = je p / = 4, q / =, / q / p = , s = p / q / q/ = , s = p / q / q/ = a oře = s s = Po výpočet eálých ořeů ubicé ovice a zadaý počet desetiých míst je poto vhodější použít ěteou umeicou metodu řešeí obecé ovice f() = se spojitou levou staou []. Vezmeme-li ubicou ovici apř. v eduovaém tvau, je její levá staa l() = p q difeecovatelou fucí. Po > p / má ladou deivaci, dl()/d = p > a l() je tedy ostoucí. Dále lim l() =, lim l() =. Podle Bolzao Weiestassovy věty eistuje taové, že l() =, tedy ubicá ovice s eálými oeficiety má vždy aspoň jede eálý oře. Obecěji: aždá algebaicá ovice lichého stupě s eálými oeficiety má eálý oře. Algebaicé řešeí ovic bylo poděté tím, že přivádělo matematiy ovým číselým oboům. Např. ovice = vede zápoému číslu =, = vede iacioálímu číslu, = vede imagiáímu číslu = i atd. Tyto F. KOUTNÝ: Leohad EULER

5 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM pojmy se úsilím moha matematiů postupě do matematiy začleily a des jich používáme samozřejmě. K důsledému používáí ompleích čísel přispěl Raffael Bombelli ihou Algeba (57), teou později studovali G. W. Leibiz i L. Eule. Uvažujme zovu ubicou ovici =. Lze ji psát ve tvau = = ( )( a b), de = je její pví oře učeý třeba umeicy. Rozásobeím pavé stay a sováím oeficietů stejých moci ajdeme a =, b = /. Další dva ořey ubicé ovice = jsou tedy ořey vadaticé ovice / =,, = 8 = ± i. ± / Kátce po řešeí ubicé ovice se podařilo taé řešit ovici 4. stupě převedeím a souči dvou vadaticých tojčleů. Rovice vyšších stupňů se algebaicy obecě řešit edají. Tvalo víc ež století, ež emožost algebaicého řešeí ovice 5. stupě doázal N. H. Abel (8 89). Úplé řešeí poblému algebaicé řešitelosti ovic stupě 5 podal E. Galois (8 8). Úvahy o řešitelosti jej vedly vytvořeí záladů teoie gup [5,]. F y Ob.. Fuce F(, y) = (iy) 4 a itevalu [-, ] [-,]. Úlohu ostutivího řešeí algebaicé ovice P(z) =, de P je polyom s ompleími oeficiety, lze převést a poblém ajít miimum vhodé spojité F. KOUTNÝ: Leohad EULER

6 4. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM fuce dvou poměých (eálé a imagiáí složy ompleí poměé z = iy), třeba absolutí hodoty polyomu P, F(, y) = P(z) = ( Re(iy) Im(iy) ) / mi. Přílad je a ob.. po jedoduchý polyom P(z) = z 4. Potože ořey polyomu s eálými oeficiety jsou ompleě sdužeé, stačí pacovat v polooviě y ebo y. K hledáí miima se zvoleou přesostí lze použít geeticého algoitmu [], o teém pojedávala už předáša []... Logaitmy Složitější aitmeticé výpočty, zejméa ásobeí a děleí, pomohla usadit souvislost geometicé poslouposti moci a > s aitmeticou posloupostí epoetů, a, a, a,,,, Řešeí ovic a =, a = h,, a = a h, a vytvářejí a eálé ose logaitmicou stupici s poměým oem (ob..). Ob.. Kostuce logaitmicé stupice a hoizotálí ose. Souči ladých čísel b, c > se dá počítat ta, že se ějaým způsobem (itepolací) ajdou epoety β, γ taové, že b = a β, c = a γ. Tyto epoety se sečtou, β γ = δ, a vypočte se mocia a δ. Zřejmě a δ = a βγ = a β a γ = bc (ob..4). Ob..4 Sčítáí logaitmů zameá ásobeí jejich agumetů. Myšleu převést ásobeí a sčítáí uveřejil jao pví sotsý bao Joh Nepe (Napie) 64. Nezávisle se stejou myšleou přišel 6 let před ím Švýca Joost Bügi (588), ale publioval ji tepve a příaz Johaa Keplea 4 oy po Nepeovi []. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

7 5. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ze slov logos = popoce a aithmos = číslo Nepe sestavil ázev logaitmus. Vlastí metodou Nepe vypočítal tabulu logaitmů, teá odpovídala záladu e, ale pojem záladu ještě ezal. S ideou logaitmů sezámil svého přítele Heyho Biggse a oba se dohodli a záladě a =. Biggs 67 publioval tabulu 8místých deadicých logaitmů celých čísel od do. Po Nepeově smti (67) Biggs vypacoval obšíé tabuly deadicých logaitmů, teé 64 publioval v ize Aithmetica logaithmica. Přiozeé logaitmy l se objevily v souvislosti s epoeciálí fucí e, de e = Pví tabulu l vypacoval Joh Speidell 69. Fuce e má tu svělou vlastost, že je ivaiatem deivováí, e = (e ) = (e ) = (e ) (užíváme Lagageova ozačeí místo d/d, místo d /d,...), a itegace. Epoeciálí fuce a logaitmus jsou vzájemě ivezí fuce a a výpočet log a u lze ahlížet jao a úlohu ajít řešeí ovice f() = a u =. To vzhledem mootoii a spojitosti mocié fuce eí při použití počítače obtížé. Aby se při učím počítáí daly opeace s logaitmy povádět efetivě, musely být po zvoleý zálad a při dosti bohaté poslouposti {u i } vypacováy tabuly epoetů. Dříve zmíěá Fiboacciova posloupost uazuje, že už vhodý zápis sám o sobě může ispiovat. Může apř. stačit tomu, aby se začalo uvažovat o eoečých pocesech. Příladem může být vytvářeí eoečých posloupostí, součtu a součiu jejich čleů (řad a eoečých součiů), ebo tvoba výazů () c c c..., () atd. c c c... S těmito objety se zacházelo občas eoetě. Světlo přiesla tepve defiice limity vysloveá v 9. století B. Bolzaem (78-848) a A. L. Cauchym ( ) [4]. Taže des můžeme uvažovat apř. tato: () Je-li c > a eistuje-li oečé C = c c c..., je taé C = c C. Pa C = C c a tato vadaticá ovice má ořey C, = ± () Je-li c a eistuje-li oečé C = c 4, je C = c c c.... Kladý oře je C = c. 4 c C, taže C cc =. Příslušý c oře je C = sig(c) c. Např. po c = 8 dostaeme C = 4 7 = Ja vlastě počítali Nepe, Biggs, Speidell logaitmy, jsem evypátal. Des je to ale po matematiu pouhá histoie. Je téměř jisté, že používali ějaé řady. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

8 6. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V záladech difeeciálího počtu se odvozuje Tayloův ozvoj l ( ) = Řada vpavo je ovegetí po <, ale oveguje ychle je po v těsém oolí. Např. po výpočet l a 6 míst, tedy po =, bychom potřebovali čleů. Podstaté zychleí ovegece po větší > přiáší substituce (ob..5). u (u) = ebo ivezě u() = u u Ob..5 Gaf fuce u() = (a u() = ). Pa u l = l u = l ( u) l ( u) = ( u ( u u u = (u u u u 5 u 5 4 u 4 4 u 4 7 u 7 5 u 5 5 u 5 6 u 6 6 u 6 ) ) ) = Σ(u). Řada Σ(u) oveguje ychle po u blízá, tj. blízá (u() < po > ). Chceme-li po zálad a > a ějaé > a počítat log a, dělíme postupě číslem a toliát, až dostaeme podíl mezi a. Např. po a = e (=.788 ) = e =.558 e = = e 5, l = l l e 5 = l Položme = , u = = Čley a = u ásledují v tabulce. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

9 7. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM a Potože a mají stejé zaméo, odhadujeme chybu R při přeušeí součtu za čleem a tato: Součet R u = 4 u u < ( u u 4 ) = u. 4 u V ašem případě R < 4.7 a l (l ). Logaitmus se záladem a > se vypočte pomocí přiozeého logaitmu podle vztahu l log a =. l a Např. log = l l , log π = l l π.9597 Potože jsme zvylí pacovat s čísly v desítové soustavě, tj. epezetovat čísla jao součet ásobů moci, je ejpohodlější pacovat s deadicými logaitmy. S tímto účelem se jao techicá pomůca dříve používalo logaitmicé pavíto se stupicemi deadicých logaitmů. Po ástupu eletoicých alulače před lety se velmi ychle stala aachoismem. Víc o logaitmech je uvedeo apř. v [5]... Teoie čísel V teoii čísel se většiou pacuje s přiozeými čísly, tj. pvy možiy N = {,,, }. Opaovaým sčítáím se tvoří ásoby. Např. sudá čísla jsou dvojásoby přiozeých čísel. Opeacemi sčítáí a ásobeí z obou přiozeých čísel evybočíme. Odčítáí vede a zápoým číslům {,,, }. Sjedoceím těchto moži dostáváme obo celých čísel Z = {,,,,,,, }. Bohatší výsledy přiáší opeace děleí. Jsou-li m, N, > m a je-li p = /m celé, říáme, že je ásobem m, je dělitelé m, m je dělitelem atd. Libovolá m, můžeme dělit, /m = c, de c je celá část, c {,,, } a {,, m } je zbyte. Ta se možia celých čísel po daé m, modul, ozpadá do m zbytových tříd. To, že číslo patří do zbytové třídy, tj. = c m se od Gaussových dob zapisuje mod(m) a čte: je oguetí modulo m. Dělitelost celých čísel tvoří ozsáhlou apitolu tadičí algeby. Při maipulaci s čísly se objevují ůzé záoitosti a sado vziají ůzé hypotézy. Zvolme N a pišme je v deadicém tvau, tj. jao = =. Potože všechy ladé mociy jsou sudé, ozhoduje o tom, zda N je sudé či liché je posledí číslice. Zda je dělitelé se vyšetří taé sado. Každá ladá mocia dává po děleí zbyte, taže = (m ) ( ) = M ( ) a je dělitelé pávě dyž součet jeho cife je dělitelý, tj. ( ) mod(). F. KOUTNÝ: Leohad EULER

10 8. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ve vedlejší tabulce jsou ve duhém sloupci a přiozeé ásoby 7. Ve. sloupci jsou posledí číslice. Pocházíli se číslice ve. sloupci s oem, dostae se posloupost {,,,, 9} ve 4. sloupci. Ve. sloupci se v aždých po sobě jdoucích řádcích vystřídají všechy číslice deadicé soustavy. Vezmeme-li 7 podobou tabulu ásobů,,, museli bychom místo čleů vzít 7, abychom s oem 7 pošli posloupost {,,,, 9}. U 9 je to o 9 u o Čley poslouposti ásobů 5 očí je a ebo 5, u všech sudých čísel a,, 4, 6, 8 atd. Ta se při psaí čísel jasi automaticy může vyořit řada otáze, ale ty 4 většiou vedou jedoduchým záoitostem Z atiy záme Eulidův algoitmus (Euleidés z Mega, asi 45 8 př. K.) po alezeí ejvětšího společého dělitele dvou celých čísel, esp. polyomů Je po osvěžeí: dělitelé se cylicy dělí zbyty, doud eí zbyte. Posledí dělitel je ejvětší společý. Po ilustaci uvádíme přílady.. Po čísla 44 a : 99 = (4) 99 : 4 = 4 (64) 4 : 64 = (68) 64 : 68 = (96) 68 : 96 = (7) 96 : 7 = (4) 7 : 4 = (). Po polyomy 4 : = 4 : = 4 : = : 4 4 = /4 : 4 4 = /4 F. KOUTNÝ: Leohad EULER

11 9. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Pvočísla Je-li N dělitelé pouze a samým sebou, azývá se pvočíslo. Už Eulides doázal, že pvočísel je eoečě moho. Jeho důaz je svělým příladem důazu spoem. Kdyby totiž pvočísel p bylo oečě moho, vytvořila by možiu P ={p,, p m } o m pvcích. Avša číslo q = p p m N eí dělitelé žádým z ich, poto by samo bylo pvočíslem. Tedy q P, a současě q P (q p, =,, p m ). Složitější je malá Fematova věta: Je-li p pvočíslo a m přiozeé číslo, je m p m dělitelé p, tedy m p m (mod p). Důaz lze ajít v aždé učebici algeby, tedy apř. v [9,] a a webu. Např = = 4 5, 5 = 4 = 48 5 ebo 7 = 84 = 7. Piee de Femat (6 665) Piee de Femat (6 665) je zám hlavě jao auto tohoto tvzeí: Velá Fematova věta. Rovice y = z je v obou přiozeých čísel řešitelá je po =,. Femat si a oaj latisého přeladu Diofatova spisu pozameal, že ašel podivuhodý důaz tohoto tvzeí. Tvalo vša téměř století, ež tuto větu 994 doázal Adew Wiles. Jeho důaz je ta dlouhý, že zabíá ihu. Des se má obecě zato, že Femat se postě mýlil. Jistě se ale mýlil, dyž se domíval, že všecha čísla jsou pvočísla. Ale o tom už byla zmía v předášce o Gaussovi [6] a Fematovým číslům se ještě vátíme později (odst..). Femat si dopisoval s B. Pascalem (6 66). Oba tyto Facouze lze považovat za zaladatele ové matematicé discipliy teoie pavděpodobosti [7]. Oba lze taé považovat za půopíy metod difeeciálího počtu po příůsty ezávisle a závisle poměé používali metodu chaateisticého tojúhelía. Femat odvodil metodu hledáí etémů eálé fuce jedé poměé []. Pascal Blaise Pascal (6 66) je zám záoem z mechaiy teuti (tla v teutiě ezávisí a směu), postavil mechaicou alulaču atd. Uvažoval taé o itegálím počtu a a jeho dílo avázal později Leibiz. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

12 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM.4. Geometie V 6. a 7. století vyšly v Evopě latisé přelady řecých aticých autoů. Eulides 48, Achimédes 558, Diofatos 6 a další [5]. Eulidovo dílo tvořilo svou achitetuou vzo i po ostatí matematicé discipliy. Studium řecé matematiy bylo samozřejmě ispiací. Např. Pascal v 6 letech objevil větu o uželosečách zázoěou a ob..6. Ob..6 Pascalova věta po elipsu: půsečíy příme a 45, 6 a 4, a 56 leží a jedé přímce. Je to jeda z vět pojetiví geometie. Jiá, Desaguesova věta, teá Pascalovi sloužila jao vzo po pezetaci jeho věty [5], je a ob..7. Pascal vyalezl apř. baomet, hydaulicý lis, iječí stříaču. Géad Desagues (59 66) je považová za zaladatele pojetiví geometie [9]. Jeho aticým předchůdcem byl Pappus z Aleadie, teý žil olem ou (pozooval zatměí Sluce 8. říja ). V pojetiví geometii se uvádí apř. Pappova věta []. Ob..7 Desaguesova věta: půsečíy podloužeých sta a 45, a 46, a 56 leží a jedé přímce. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

13 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V 7. století žil taé filosof a matemati Reé Descates (596 65) [], mezi jehož zásluhy patří alezeí souvislosti mezi algebou a geometií. To později vedlo vytvořeí aalyticé geometie. Uázal, že moho geometicých poblémů se dá tasfomovat a algebaicé úlohy. Tím položil jede ze záladích ameů po vzi matematicé aalýzy, tj. počítáí s ifiitesimálími veličiami, teé Newto a Leibiz ozviuli později do tzv. alulu. Jeho Geometie (67) vša eobsahuje ai atézsé souřadice ai ovice příme, uželoseče ebo vadaticých ploch [5]. Descates je zámý především díy čeí Cogito ego sum (= Uvažuji, tedy eistuji) a ozpacováím filosofie v Meditacích o pvotí filosofii, mechaicým pojetím světa a atomismem, objevem záoa zachováí mometů v mechaice, disusí o metodách uvažováí. Z algeby záme Descatesovo pavidlo: počet ladých ořeů eálého polyomu je ove počtu zaméových změ v poslouposti jeho oeficietů seřazeé podle stupě Reé Descates (596 65) moci poměé mius sudé číslo []. Descates se sad jao mladý šlechtic účastil bitvy a Bíle hoře 8. listopadu 6 v císařsém vojsu. Později jej, už jao slavého filosofa, pozvala álova Kistia do Švédsa. Tamější studeé podebí mu vša esvědčilo a po átém pobytu zemřel ve Stocholmu a zápal plic []. Po jeho smti álova Kistia abdiovala a přestoupila a atolicou víu..5. Aalýza Ideje maipulace s eoečě malými, ifiitesimálími veličiami se zodily už ve staém Řecu. Zvyšováím počtu sta pavidelého mohoúhelía zísal Achimédes (?87 př. K.) odhady čísla π: / 7 < π < / 7. Výpočet a tabula obsahů pavidelých úhelíů vepsaých do jedotového uhu jsou uvedey apř. v [4], st Achimédes je aždému šoláovi zám především jao fyzi. O mechaicé metodě Achimédovy metody učováí ploch pojedává páce [] ebo o í předášel V. Zía [4]. Zde epoužijeme postupého vyplňováí geometicého objetu stále mešími jedoduchými objety zámé míy (ehaustiví metoda), je uážeme obecý picip výpočtu ploch a objemů geometicých útvaů limitím přechodem. Plocha uhové podstavy válce je π, válec o výšce H můžeme ozložit a ízých válečů výšy h = H/ s objemem V = π h. Objem celého válce je V = = V = V = π h = π H. U otačího tělesa s poloměem závislým a výšce z ad podstavou, jao je sud ebo oule a ob..8 zísáme tímto způsobem odhad: F. KOUTNÝ: Leohad EULER

14 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V() = = V = π h = (h). U oule o poloměu a je podle Pythagoovy věty (z) = a z, tedy po z = h je dolí odhad objemu oule (symetie osy z vzhledem počátu ) V() = π h = (a h ) = π a (a a = ) = π a ( = ). Ob..8 Dvě otačí tělesa. Potože = = 6 ()() (pozáma dále), je V() = π a ( ()()) = π a ( ( )( )). 6 6 Když yí pooste do eoeča a tloušťa vstviče h bude ovegovat, bude V = πa lim ( 6 ( )( )) = π a ( 6 lim ( )( )) = 4 π a. Ob..9 Koule vepsaá do válce. Bočí pohled. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

15 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Koule vepsaá do válce s poloměem podstavy a výšou H = a (ob..9) má stejý polomě a. Její objem V oule = 4 πa, objem válce je V válec = πa a. Pa ovšem podíl objemů V πa oule = = V. válec πa Teto výslede uvedl Achimédes ve svém spisu O ouli a válci [5] Sado lze uázat, že ovostaý válec vepsaý do oule o poloměu a má objem 4 V válec, = π a = V válec a střídavé vpisováí oule a válce může poačovat: V válec, = / V válec, V oule, = / V oule., =,, Pozáma. Součty S m () = m, m =,,, 4. = Součet S () = = je zámý součet aitmeticé poslouposti, ale můžeme jej učit = taé pomocí součtu čtveců. ( ) = ( ) =. = = = = = Potože S () = = ( ) = ( ) = = ( ), je = = = = S () = ( ). Aalogicy S () odvodíme pomocí třetích moci. ( ) = ( ) = ; taže = = = = = = S () = ( ) S () = ( )/. Po vyásobeí posledí ovice číslem : 6S () = 6 6 = ( ) = [( ) ], tj. S () = ( ) ( ). 6 Je zřejmé, že tato lze poačovat. Např. S () = ( ) = S (), S 4() = [ (6 5 ) ] atd. 4 Výpočet objemů je součástí itegálího počtu, lidově řečeo scelovacího ebo sumačího počtu. S ím je úzce spoje difeeciálí počet, jehož ázev je odvoze ze slova difeece, ozdíl. A histoie ás vede již zmíěému chaateisticému tojúhelíu u fuce jedé eálé poměé. Přílad je a ob... Ob.. azačuje, že tam, de ozdíly y při ostoucím měí spojitě zaméo z ladého do zápoého, má fuce maimum. Na tuto vlastost pouázal již Femat. Bylo mu taé zřejmé, že příůsty ezávisle poměé musí ovegovat ule, aby se poloha etému fuce dala učit přesě. Podobě uvažovali Pascal, Descates, Huyges a další. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

16 4. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ob.. Veliost změ hladé fuce. V oolí etému se chaateisticý tojúhelí eduuje. Uceleější výlad limitího přechodu, y vedl pojmu deivace fuce y(). Isaac Baow, Newtoův učitel, stávil 4 oy cestami po Evopě a sezámil se s pacemi evopsých a zejméa facouzsých matematiů. Převzal difeeciálí (chaateisticý) tojúhelí a odvodil vzoec po výpočet dély oblouu ovié řivy. Newto azýval deivaci fuce y fluí, začil ji tečou, y&. Chápal ji spíš ve smyslu mechaiy, apř. je-li y dáha, ezávisle poměá t čas, je y& ychlost []. Toto začeí po deivaci podle času se ve fyzice používá dodes. Po matematiu je vša mohem přiozeější a vhodější začeí Leibizovo, de se limita podílu y/ ozačuje jao deivace fuce y() podle. U jedé poměé lim y () = lim y( ) y( ) = d y (), d u fucí více poměých je apř. paciálí deivace podle duhé poměé lim y(,, ) y(,, ) y = (,, ) apod. [4]. Přitom vyjadřuje, že jde o paciálí (dílčí) změu je u jedoho agumetu fuce. Toto ozačeí ifiitesimálí paciálí změy zavedl Legede olem Zobecěí deivace fuce jedé poměé a fuce více poměých je tedy sadé. Leibiz vycházel ze šiší filosoficé báze a sažil se zachytit logiu spávého uvažováí obecě. Paciálí deivace v Newtoově symbolice ezám. Mezi Newtoem a Leibizem vzil pioití spo [5,]. Des se má zato, že opeaci deivováí a ivezí opeaci itegace dospěli ezávisle [5]. Je-li F() difeecovatelá fuce a f deivace F, platí záladí fomule itegálího počtu b f() d = F(b) F(a). a Nazývá se Newtoova Leibizova fomule (ale zal ji už Newtoův učitel Baow [6]). Tato fomule se dá zobecňovat v ůzých směech [4]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

17 5. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM.6. Difeeciálí ovice, mechaia a další ozvoj matematiy Poměé, fuce a deivace mohou být svázáy do elace, difeeciálí ovice. Např. zychleí volého pádu tělesa v atmosféře závisí a výšce a odpou vzduchu, d y teý je fucí ychlosti tělesa, R( d t ). Pád z malé výšy y > a při bezvětří lze apoimovat jedodušším pohybem s ostatím gavitačím zychleím g a d y lieáím odpoem vzduchu R( d t dy )/ = cost (vadaticá závislost R( by samozřejmě byla ealističtější [7], ja dosvědčí aždý cylista) d s počátečími podmíami y() = y, d y dy ) = d y (c c ) d t d y g a y = (*) d y () = Relace (*) je lieáí difeeciálí ovice a její řešeí se ajde sado. Přepíšeme ji do tvau d ( d y ay) = g. Z ěj dostaeme d y ay = gt c, de c = cost. Po t = z počátečích podmíe plye d y() a y() = g c, tj. c = ay. Řešeí ové difeeciálí ovice d y ay = gt ay hledejme ve tvau y(t) = C(t) e at. Po dosazeí dostaeme d y(t) a y(t) = t C(t) C() = Taže y(t) = {C() y (e at ) odud po t = plye: dc e at ac e at ac e at = gt ay, tj. t ( gt ay ) e at = y e at g g [ t e at a y() = y = C() Rovice (*) má po a řešeí Po ozviutí epoeciály v řadu dc t e at = y (e at ) ( e at )]} e at = C() e at a g g y(t) = y t at a ( e ) a = ( gt ay ) e at a. g [ t e at a g t (y a ( e at )]. a g a )( e at ), gt 4 5 y(t) = y ag t at a t...! 4! 5! je ihed zřejmé, že po a = (ulový odpo) dostáváme elemetáí volý pád ve vauu. Ob.. ilustuje pád tělesa v gavitačím poli a povchu Země (g = 9.8m/s ) z výšy m při ůzém a, tedy s ůzým odpoem postředí. Fuce y po ejhustší postředí s a = s je paticy lieáí už po t >s (áme ve vodě), u fuce y po a =.s by se lieaity dosáhlo až po mohem delším čase (>s, áme ve vzduchu). F. KOUTNÝ: Leohad EULER

18 6. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM 8 a=/s a=./s a=/s Výša y, m Čas t, s Ob.. Pád v ostatím gavitačím poli s ůzým lieáím odpoem postředí. Teto přílad azačuje, ja přiozeě a sado pojmy deivace a itegálu vedou difeeciálím ovicím a apliacím v eálém světě. Před stoletími to byly především fyziálí apliace v mechaice, optice, astoomii. V 7. století se už omě ih začaly vydávat i peiodicé časopisy. Tím se podstatě zvýšila ychlost šířeí ových pozatů i počet lidí zapojeých do vývoje matematiy tehdy ještě eodmyslitelě popojeé s fyziou a astoomií. Jea d Alembet (77 78) Např. ve Facii výzamě přispěl obecé vzdělaosti Jea le Rod d Alembet (77 78) [8], spoluedito (s Deisem Dideotem) vůbec pvího soubou tehdejších pozatů, zámé facouzsé Ecyclopédie. Jeho mata ho jao emaželsé ovoozeě položila a schodiště ostela Sait Jea le Rod, a podle zvyu byl tedy pojmeová podle patoa ostela. Bzy jej adoptovala žea jedoho sleáře. Jeho vlastí otec, šlechtic a důstojí, tajě platil pěstouům a jeho živobytí a vzděláí. D Alembet fomuloval jao pví záladí větu algeby doázaou později C. F. Gaussem [6]: aždý polyom s ompleími oeficiety má v ompleí oviě aspoň jede oře. V teoii číselých řad se uvádí d Alembetovo podílové iteium absolutí ovegece řady [4]: a jestliže < q <, řada = a a absolutě oveguje. D Alembet podstatě přispěl e zpřesěí pojmu limity. Z mechaiy záme d Alembetův picip [7,9,], z mechaiy otiua[,], matematicé fyziy [,4] i matematiy [4] d Alembetovo řešeí vlové ovice, popř. v jedé dimezi ovice mitů stuy, u u = v, t de je délová souřadice stuy, t je čas a u(, t) je výchyla bodu stuy olmo a osu stuy v lidu. Sado se ověří, že po libovolé dostatečě hladé fuce f, g je u(, t) = f( vt) g( vt) obecé řešeí ovice stuy. Názoý výlad s aimacemi lze ajít a iteetu [4,5]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

19 7. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Zatímco v Aglii evhodá symbolia Newtoova a jeho ult ozvoj matematiy bzdily, symbolia Leibizova a adáodí pojetí vědy a otietě vedly ychlému ozvoji ových metod. Kolem. 7 a později se a ěm začě podílel od Beoulliů ve více geeacích ze švýcasé Basileje (Basel). To je histoicy velmi uiátí feomé [5,7]. Z odu Beoulliů uvádíme je dvě geeace: Jaob Beoulli (654 75) Beoulliho čísla, dif. ovice, biomicé ozděleí, Joha Beoulli ( ) mladší bat Jaoba mity stuy,.. Nicolaus I Beoulli ( ), Nicolaus II Beoulli (695 76), Daiel Beoulli (7 78) Beoulliho ovice, picip a petohadsý paado, Joha II Beoulli (7 79), Joha III Beoulli (744 87). Jejich přede, Leo Beoulli, pocházel z Atvep a z ábožesých důvodů v 6. století emigoval do Basileje před špaělsou advládou. Něteé pojmy spojeé se jméem Beoulli:. Beoulliho difeeciálí ovice (Jaob Beoulli, 695): y P() y = Q() y (děleím y a substitucí u = y se lieaizuje). Beoulliho (alteativí) distibuce pavděpodobosti (Jaob Beoulli) [7] f(, p) = p po =. ( p) po = Sloupy vody zveduté polaem za poudovými motoy letadla letícího ízo ad hladiou [8]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

20 8. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM. Beoulliho picip (Daiel Beoulli, Hydodyamica, 78) u estlačitelých (ale i stlačitelých) teuti: ychlost teutiy se zvyšuje, lesá-li poteciálí eegie (tla). To ásě demostuje vztla u řídel ptáů a letadel ebo předchozí efetí obáze převzatý z [8]. Jaob Beoulli (654 75). Joha Beoulli ( ), Euleův učitel. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

21 9. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA [9] Leohad Eule se aodil 5. duba 77 v Basileji (Basel) ve Švýcasu. Jeho otec, Paul Eule, vystudoval teologii a basilejsé uivesitě a avštěvoval taé matematicé předášy Jaoba Beoulliho. Paul Eule a Joha Beoulli jao studeti dooce žili v domě Jaoba Beoulliho. Později se Paul Eule stal potestatsým pastoem a ožeil se s Magaetou Buceovou, ověž dceou pastoa. Jejich sy, Leohad, se aodil v Basileji, ale dyž měl asi o, odia se přestěhovala do Rieheu edaleo. Paul Eule měl jaési matematicé vzděláí a mohl tedy sám vzdělávat svého sya i v elemetáí matematice. Leohad začal chodit do šoly v Basileji a během šolí docházy bydlel u své babičy z matčiy stay. Šola, do teé Leohad chodil, byla evalá a v í se Eule o matematice moho edověděl. Avša otcův výlad vzbudil jeho zájem o matematiu, taže sám začal číst matematicé tety a hledat cesty dalšímu vzděláí. Paul Eule si přál, aby se jeho sy stal taé pastoem. Poto 4letý Leohad Eule začal studovat a uivesitě v Basileji. Měl ejpve zísat všeobecé vzděláí a pa astoupit a teologicou faultu. Otcův přítel, Joha Beoulli, při souomých lecích bzy zjistil, že Eule má obovsé matematicé adáí. Eule to sám popsal tato [9]: Bzy jsem ašel příležitost být představe slavému pofesou Johau Beoulliovi Pavda, měl málo času a ta hed odmítl dávat mi souomé hodiy. Ale dal mi mohem ceější adu, abych začal sám studovat obtížější matematicé ihy a to ta pilě, ja to je půjde. A dybych aazil a ějaou obtíž ebo přeážu, že za ím mohu aždé edělí odpolede přijít, a o mi vysvětlí všecho, co jsem epochopil F. KOUTNÝ: Leohad EULER

22 . LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA V oce 7 Eule doočil magistesé studium ve filosofii pací, v íž sovává a staví poti sobě filosoficé ideje Newtoovy a Descatesovy. Na podzim 7 podle přáí svého otce začal studium a teologicé faultě. Ale přesto, že po celý život byl oddaým řesťaem, epociťoval po teologicá studia, studium řečtiy a hebejštiy taové adšeí, jaé v ěm vzbuzovala matematia. Po přímluvách Johaa Beoulliho otec aoec souhlasil, aby se Leohad zaměřil a matematiu. Jistě v tom sehálo svou oli přátelství otce s Johaem Beoullim. Eule uočil své studium a uivesitě v Basileji v oce 76. Během svého studia a a dopoučeí Johaa Beoulliho postudoval moho matematicých pací. V oce 76 už byla otištěa jeho pví átá páce o izochoách v lidém postředí (spojic míst současého výsytu ějaého jevu ebo hodoty). V dalším oce, 77, tedy ve, publioval páci o ecipoých tajetoiích a do soutěže o Velou ceu pařížsé aademie zaslal páci o ejlepším umístěí stožáů a plachetici. Velou ceu 77 zísal Bougue, epet a výpočty lodí. Eule zísal duhé místo, což byl po ta mladého adepta ásý výslede. Teď ale Eule musel sháět ějaé aademicé zaměstáí. A dyž v čeveci 76 zemřel v Petohadě Nicolaus (II) Beoulli a jeho místo se uvolilo, bylo Euleovi abíduto, aby tam vyučoval apliace matematiy a mechaiy ve fyziologii. Eule to místo přijal v listopadu, ale s výhadou, že do Rusa pojede až a jaře příštího ou. Po toto oddáleí měl své důvody. Jeda potřeboval čas, aby astudoval poblematiu spojeou s ovým místem, jeda měl aději, že a uivesitě v Basileji zísá místo po edávo zemřelém pofesou fyziy. Eule tehdy apsal čláe o austice, teý se stal lasicým, a předložil jej a podpou své žádosti. O obsazeí místa vša ozhodl los a v Euleův epospěch mluvil taé ízý vě tepve 9 let. Ale Calige píše [4]: Toto ozhodutí přieslo aoec Euleovi pospěch, potože jej doutilo, aby odešel z malé země a dostal se a postaveí mohem adevátější po jeho svělou výzumou a techologicou páci. Jamile se Eule dověděl, že atedu fyziy ezísá, odjel z Basileje. Nejpve jel lodí po Rýu, pa pojel Němeco v poštovím voze do Lübecu a oud přijel lodí do Petohadu 7. věta 77. Do Petohadsé aademie astoupil dva oy po jejím založeí Kateřiou I., žeou Peta Veliého (67 75). Na žádost Daiela Beoulliho a Jaoba Hemaa byl přiděle do matematico fyziálí sece aademie místo původě abídutého obou fyziologie. V Petohadě měl Eule moho olegů, teří po ěj vytvářeli výjimečě přízivé badatelsé postředí. Nide jide by ebyl oblope taovou supiou emietích vědců, jao byl v oblasti aalýzy a geometie jeho příbuzý Jaob Hema ebo Daiel Beoulli, s ímž Eulea omě přátelství pojil společý zájem a apliacích matematiy, dále mohostaý učeec Chistia Goldbach, s ímž Eule disutoval o moha poblémech aalýzy, teoie čísel a dalších. Eule byl fomálě saitáí poučí v usém ámořictvu Nejpve F. KOUTNÝ: Leohad EULER

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitálí učebí mateiál Číslo pojetu CZ07/500/34080 Název pojetu Zvalitěí výuy postředictvím ICT Číslo a ázev šabloy líčové ativity III/ Iovace a zvalitěí výuy postředictvím ICT Příjemce podpoy Gymázium

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Přehled vztahů k problematice jednoduchého úročení a úrokové sazby

Přehled vztahů k problematice jednoduchého úročení a úrokové sazby Přehled vztahů k poblematice jedoduchého úočeí a úokové sazby Pozámka: Veškeé úokové sazby /předlhůtí i polhůtí/, diskotí sazby, míy iflace a sazby daě z příjmů je do uvedeých vzoců uto dosazovat v jejich

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup zzuje zdáí

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

12. Regrese Teoretické základy

12. Regrese Teoretické základy Regese Jedím z hlavích úolů matematicé statistiy je hledáí a studium závislostí mezi dvěma či více oměými Závisle oměá se zavidla ozačuje Y a ezávisle oměé X,, X i,i Závislosti mezi Y a suiou oměých X

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko.

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko. Úol: Měřeí a trojfázovém trasformátoru aprázdo a aráto. 1. Změřte a areslete charateristiy aprázdo trojfázového trasformátoru 2,, P, cos = f ( 1) v rozmezí 4-1 V. Zdůvoděte průběh charateristi 2 = f (

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0)

a q provedeme toto nahrazení a dostane soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: jsou nenulová čísla (jinak by na pravé straně rovnice byla 0) ..9 Úlohy geometickou poloupotí Předpokldy: 0, 0 Pedgogická pozámk: Při řešeí příkldů potupujeme tk, by Ti ejpomlejší počítli lepoň příkldy,,,. Souh vzoců pvidel po geometickou poloupot: + - pozávcí zmeí

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Faulta pedagogcá Techcá uverzta v Lberc DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Doc. RNDr. Mroslav Koucý CSc. Lberec 4 Úvod Dsrétí ateata resp. její zálady patří jž tradčě ez stadardí téata předášeá a Techcé uverztě v

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

11a. Základní principy

11a. Základní principy Disrétí matematia 11aZáladípricipy phabala 01 11 Kombiatoria (Počítáí Kombiatoria je aua o uspořádáí věcí, její důležitou součástí je schopost věci spočítat Deší podobu lze vystopovat do 17 století a vzhledem

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Téma 3: Popisná statistika

Téma 3: Popisná statistika Popá tatta Téma : Popá tatta Předáša 7 Záladí tattcé pojmy Pojem a úoly tatty Statta je věda, teá e zabývá zíáváím, zpacováím a aalýzou dat po potřeby ozhodováí. Zoumá tav a vývoj homadých jevů a vztahů

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více