Leonhard EULER. F. KOUTNÝ, Zlín ( )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Leonhard EULER. F. KOUTNÝ, Zlín (15. 04. 1707 18. 09. 1783)"

Transkript

1 Leohad EULER F. KOUTNÝ, Zlí ( ) (asi 756) Kompilace sestaveá z liteáích pameů a webových stáe o životě a díle jedoho z ejvýzamějších matematiů všech dob. Histoicé téma Euleova života je doplěo výladem, ilustacemi a ometáři jeho ejdůležitějším pacím v současém duchu.

2 OBSAH. MILNÍKY V MATEMATICE PŘED EULEREM.. Algeba.. Logaitmy 4.. Teoie čísel 7.4. Geometie.5. Aalýza.6. Difeeciálí ovice, mechaia a další ozvoj matematiy 5 St.. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA 9. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE 5.. TEORIE ČÍSEL 5.. GEOMETRIE A TOPOLOGIE 7.. ANALÝZA... ČÍSLO e, EXPONENCIÁLA, LOGARITMUS... ŘADY A NEKONEČNÉ SOUČINY, ČÍSLO γ 8... VÝPOČET INTEGRÁLŮ FUNKCE BETA A GAMMA EULEROVA MACLAURINOVA FORMULE 5.4. DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE 5.5. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 5.6. VARIAČNÍ POČET EULEROVY STOPY VE FYZICE ŘEMENOVÝ POHON OHYB NOSNÍKU VZPĚR NOSNÍKU. EULEROVO KRITICKÉ ZATÍŽENÍ MAUPERTUISŮV EULERŮV PRINCIP MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA EULEROVA HYDRODYNAMICKÁ ROVNICE TSUNAMI DOSLOV ODKAZY 79 F. KOUTNÝ: Leohad EULER

3 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM. MILNÍKY V MATEMATICE PŘED EULEREM Nejstaší dolady o ěčem víc ež o pouhém sčítáí předmětů pocházejí z Babyloie ( př. K.). Tam vzila číselá soustava se záladem 6 []. Zoumala se celočíselá řešeí ovice a b = c, tj. hledaly se Pythagoejsé tojúhelíy. Bylo zámo řešeí vadaticé ovice b c =, byla tabelováa řešeí ubicé ovice b = c, řešily se poblémy podobosti, počítaly se plochy a objem a používalo se odhadu π / 8. Babyloňaé dooce používali speciálího typu Fouieovy aalýzy výpočtu efemeid [,]. Něteé z těchto pozatů měli i staří Egypťaé a lze si těžo představit, že by bez ich postavili apř. Velou pyamidu u Gízy (olem 65 př. K.) [4]. Zatím vša šlo pouze o jedotlivé poblémy a jejich řešeí. Sutečý systém pozatů a matematiu jao vědecou discipliu vytvořili tepve Řeové. Rozvět řecé ultuy a matematiy začal asi 45 let př. K. [5]. Z této a pozdější doby pocházejí věty a záoy spojeé se jméy Eulides, Pythagoas, Achimédes, teé zá aždý šolá a teé ás dodes plí obdivem. Později se Řeco stalo římsou povicií a astal úpade evopsé matematiy. Za zachováí řecé matematiy a další ozvoj matematiy vděčíme mimoevopsým áodům, zejméa Aabům. S římsými číslicemi se dá těžo ásobit a dělit, taže byly použitelé je po sčítáí a odčítáí. Italští obchodíci z Jaova, Beáte atd. byli v otatu s Oietem a jejich postředictvím se matematia vátila zpět do Evopy. Po zhuba leté přestávce se objevuje Leoado z Pisy, zvaý Fiboacci, teý. apsal Libe Abaci. Fiboacciho jméo ese posloupost {a } = {,,,, 5, } zadaá po =, 4, předpisem a = a a a Ob. Fiboacciova posloupost {,,,, 5, }. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

4 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Fiboacciova posloupost velmi ychle oste a dá se přiozeě zobecit a aditiví poslouposti [6]. Důležité je, že v Libe Abaci se používaly aabsé číslice, zlomy a deadicá soustava [7]. To usadilo další ozvoj počítáí i matematiy. V té době začal ůst výzam vzděláí a v Evopě se začala vytvářet síť uivesit (Bologa 88, Paříž 9, Ofod 96,, Cambidge 9,, Paha 48, ) [8]... Algeba O tři století později (6. století) je už zámo algebaicé řešeí ubicé ovice. Scipio del Feo eduoval děleím a a substitucí u = a /(a ) ubicou ovici a u a u a u a = do typů p = q, p = q, p = q, p, q > a říal, že ašel jejich řešeí. Zemřel vša 56, aiž své výsledy publioval. Postup řešeí zovu objevil 55 Tataglia z Beáte a ověž jej uchovával v tajosti. Pozadil jej po dlouhém aléháí léaři Hieoymovi Cadaovi z Miláa, teý mu slíbil mlčeí. Cadao vša 545 vydal ihu o algebře As maga. Jamile Tataglia zjistil, že je v í publiová výlad jeho metody, ozhořel se jede z velmi zámých pioitích spoů (jiý Newto/Leibiz záme z pozdějšího období olem ou 7). Nicméě v liteatuře o řešeí algebaicých ovic se po ořey eduovaé ubicé ovice p q = dodes uvádí vzoec = p / q / q/ p / q / q/, de p / = p/, q / = q/, pod Cadaovým jméem [9,]. Pozameáváme, že počítáí s tímto vzocem je složité. I v případě úspěšosti vyžaduje začou pozoost a eí po obyčejou alulaču. Vhodější je EXCEL. Např. u ovice = je p / = 4, q / =, / q / p = , s = p / q / q/ = , s = p / q / q/ = a oře = s s = Po výpočet eálých ořeů ubicé ovice a zadaý počet desetiých míst je poto vhodější použít ěteou umeicou metodu řešeí obecé ovice f() = se spojitou levou staou []. Vezmeme-li ubicou ovici apř. v eduovaém tvau, je její levá staa l() = p q difeecovatelou fucí. Po > p / má ladou deivaci, dl()/d = p > a l() je tedy ostoucí. Dále lim l() =, lim l() =. Podle Bolzao Weiestassovy věty eistuje taové, že l() =, tedy ubicá ovice s eálými oeficiety má vždy aspoň jede eálý oře. Obecěji: aždá algebaicá ovice lichého stupě s eálými oeficiety má eálý oře. Algebaicé řešeí ovic bylo poděté tím, že přivádělo matematiy ovým číselým oboům. Např. ovice = vede zápoému číslu =, = vede iacioálímu číslu, = vede imagiáímu číslu = i atd. Tyto F. KOUTNÝ: Leohad EULER

5 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM pojmy se úsilím moha matematiů postupě do matematiy začleily a des jich používáme samozřejmě. K důsledému používáí ompleích čísel přispěl Raffael Bombelli ihou Algeba (57), teou později studovali G. W. Leibiz i L. Eule. Uvažujme zovu ubicou ovici =. Lze ji psát ve tvau = = ( )( a b), de = je její pví oře učeý třeba umeicy. Rozásobeím pavé stay a sováím oeficietů stejých moci ajdeme a =, b = /. Další dva ořey ubicé ovice = jsou tedy ořey vadaticé ovice / =,, = 8 = ± i. ± / Kátce po řešeí ubicé ovice se podařilo taé řešit ovici 4. stupě převedeím a souči dvou vadaticých tojčleů. Rovice vyšších stupňů se algebaicy obecě řešit edají. Tvalo víc ež století, ež emožost algebaicého řešeí ovice 5. stupě doázal N. H. Abel (8 89). Úplé řešeí poblému algebaicé řešitelosti ovic stupě 5 podal E. Galois (8 8). Úvahy o řešitelosti jej vedly vytvořeí záladů teoie gup [5,]. F y Ob.. Fuce F(, y) = (iy) 4 a itevalu [-, ] [-,]. Úlohu ostutivího řešeí algebaicé ovice P(z) =, de P je polyom s ompleími oeficiety, lze převést a poblém ajít miimum vhodé spojité F. KOUTNÝ: Leohad EULER

6 4. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM fuce dvou poměých (eálé a imagiáí složy ompleí poměé z = iy), třeba absolutí hodoty polyomu P, F(, y) = P(z) = ( Re(iy) Im(iy) ) / mi. Přílad je a ob.. po jedoduchý polyom P(z) = z 4. Potože ořey polyomu s eálými oeficiety jsou ompleě sdužeé, stačí pacovat v polooviě y ebo y. K hledáí miima se zvoleou přesostí lze použít geeticého algoitmu [], o teém pojedávala už předáša []... Logaitmy Složitější aitmeticé výpočty, zejméa ásobeí a děleí, pomohla usadit souvislost geometicé poslouposti moci a > s aitmeticou posloupostí epoetů, a, a, a,,,, Řešeí ovic a =, a = h,, a = a h, a vytvářejí a eálé ose logaitmicou stupici s poměým oem (ob..). Ob.. Kostuce logaitmicé stupice a hoizotálí ose. Souči ladých čísel b, c > se dá počítat ta, že se ějaým způsobem (itepolací) ajdou epoety β, γ taové, že b = a β, c = a γ. Tyto epoety se sečtou, β γ = δ, a vypočte se mocia a δ. Zřejmě a δ = a βγ = a β a γ = bc (ob..4). Ob..4 Sčítáí logaitmů zameá ásobeí jejich agumetů. Myšleu převést ásobeí a sčítáí uveřejil jao pví sotsý bao Joh Nepe (Napie) 64. Nezávisle se stejou myšleou přišel 6 let před ím Švýca Joost Bügi (588), ale publioval ji tepve a příaz Johaa Keplea 4 oy po Nepeovi []. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

7 5. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ze slov logos = popoce a aithmos = číslo Nepe sestavil ázev logaitmus. Vlastí metodou Nepe vypočítal tabulu logaitmů, teá odpovídala záladu e, ale pojem záladu ještě ezal. S ideou logaitmů sezámil svého přítele Heyho Biggse a oba se dohodli a záladě a =. Biggs 67 publioval tabulu 8místých deadicých logaitmů celých čísel od do. Po Nepeově smti (67) Biggs vypacoval obšíé tabuly deadicých logaitmů, teé 64 publioval v ize Aithmetica logaithmica. Přiozeé logaitmy l se objevily v souvislosti s epoeciálí fucí e, de e = Pví tabulu l vypacoval Joh Speidell 69. Fuce e má tu svělou vlastost, že je ivaiatem deivováí, e = (e ) = (e ) = (e ) (užíváme Lagageova ozačeí místo d/d, místo d /d,...), a itegace. Epoeciálí fuce a logaitmus jsou vzájemě ivezí fuce a a výpočet log a u lze ahlížet jao a úlohu ajít řešeí ovice f() = a u =. To vzhledem mootoii a spojitosti mocié fuce eí při použití počítače obtížé. Aby se při učím počítáí daly opeace s logaitmy povádět efetivě, musely být po zvoleý zálad a při dosti bohaté poslouposti {u i } vypacováy tabuly epoetů. Dříve zmíěá Fiboacciova posloupost uazuje, že už vhodý zápis sám o sobě může ispiovat. Může apř. stačit tomu, aby se začalo uvažovat o eoečých pocesech. Příladem může být vytvářeí eoečých posloupostí, součtu a součiu jejich čleů (řad a eoečých součiů), ebo tvoba výazů () c c c..., () atd. c c c... S těmito objety se zacházelo občas eoetě. Světlo přiesla tepve defiice limity vysloveá v 9. století B. Bolzaem (78-848) a A. L. Cauchym ( ) [4]. Taže des můžeme uvažovat apř. tato: () Je-li c > a eistuje-li oečé C = c c c..., je taé C = c C. Pa C = C c a tato vadaticá ovice má ořey C, = ± () Je-li c a eistuje-li oečé C = c 4, je C = c c c.... Kladý oře je C = c. 4 c C, taže C cc =. Příslušý c oře je C = sig(c) c. Např. po c = 8 dostaeme C = 4 7 = Ja vlastě počítali Nepe, Biggs, Speidell logaitmy, jsem evypátal. Des je to ale po matematiu pouhá histoie. Je téměř jisté, že používali ějaé řady. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

8 6. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V záladech difeeciálího počtu se odvozuje Tayloův ozvoj l ( ) = Řada vpavo je ovegetí po <, ale oveguje ychle je po v těsém oolí. Např. po výpočet l a 6 míst, tedy po =, bychom potřebovali čleů. Podstaté zychleí ovegece po větší > přiáší substituce (ob..5). u (u) = ebo ivezě u() = u u Ob..5 Gaf fuce u() = (a u() = ). Pa u l = l u = l ( u) l ( u) = ( u ( u u u = (u u u u 5 u 5 4 u 4 4 u 4 7 u 7 5 u 5 5 u 5 6 u 6 6 u 6 ) ) ) = Σ(u). Řada Σ(u) oveguje ychle po u blízá, tj. blízá (u() < po > ). Chceme-li po zálad a > a ějaé > a počítat log a, dělíme postupě číslem a toliát, až dostaeme podíl mezi a. Např. po a = e (=.788 ) = e =.558 e = = e 5, l = l l e 5 = l Položme = , u = = Čley a = u ásledují v tabulce. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

9 7. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM a Potože a mají stejé zaméo, odhadujeme chybu R při přeušeí součtu za čleem a tato: Součet R u = 4 u u < ( u u 4 ) = u. 4 u V ašem případě R < 4.7 a l (l ). Logaitmus se záladem a > se vypočte pomocí přiozeého logaitmu podle vztahu l log a =. l a Např. log = l l , log π = l l π.9597 Potože jsme zvylí pacovat s čísly v desítové soustavě, tj. epezetovat čísla jao součet ásobů moci, je ejpohodlější pacovat s deadicými logaitmy. S tímto účelem se jao techicá pomůca dříve používalo logaitmicé pavíto se stupicemi deadicých logaitmů. Po ástupu eletoicých alulače před lety se velmi ychle stala aachoismem. Víc o logaitmech je uvedeo apř. v [5]... Teoie čísel V teoii čísel se většiou pacuje s přiozeými čísly, tj. pvy možiy N = {,,, }. Opaovaým sčítáím se tvoří ásoby. Např. sudá čísla jsou dvojásoby přiozeých čísel. Opeacemi sčítáí a ásobeí z obou přiozeých čísel evybočíme. Odčítáí vede a zápoým číslům {,,, }. Sjedoceím těchto moži dostáváme obo celých čísel Z = {,,,,,,, }. Bohatší výsledy přiáší opeace děleí. Jsou-li m, N, > m a je-li p = /m celé, říáme, že je ásobem m, je dělitelé m, m je dělitelem atd. Libovolá m, můžeme dělit, /m = c, de c je celá část, c {,,, } a {,, m } je zbyte. Ta se možia celých čísel po daé m, modul, ozpadá do m zbytových tříd. To, že číslo patří do zbytové třídy, tj. = c m se od Gaussových dob zapisuje mod(m) a čte: je oguetí modulo m. Dělitelost celých čísel tvoří ozsáhlou apitolu tadičí algeby. Při maipulaci s čísly se objevují ůzé záoitosti a sado vziají ůzé hypotézy. Zvolme N a pišme je v deadicém tvau, tj. jao = =. Potože všechy ladé mociy jsou sudé, ozhoduje o tom, zda N je sudé či liché je posledí číslice. Zda je dělitelé se vyšetří taé sado. Každá ladá mocia dává po děleí zbyte, taže = (m ) ( ) = M ( ) a je dělitelé pávě dyž součet jeho cife je dělitelý, tj. ( ) mod(). F. KOUTNÝ: Leohad EULER

10 8. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ve vedlejší tabulce jsou ve duhém sloupci a přiozeé ásoby 7. Ve. sloupci jsou posledí číslice. Pocházíli se číslice ve. sloupci s oem, dostae se posloupost {,,,, 9} ve 4. sloupci. Ve. sloupci se v aždých po sobě jdoucích řádcích vystřídají všechy číslice deadicé soustavy. Vezmeme-li 7 podobou tabulu ásobů,,, museli bychom místo čleů vzít 7, abychom s oem 7 pošli posloupost {,,,, 9}. U 9 je to o 9 u o Čley poslouposti ásobů 5 očí je a ebo 5, u všech sudých čísel a,, 4, 6, 8 atd. Ta se při psaí čísel jasi automaticy může vyořit řada otáze, ale ty 4 většiou vedou jedoduchým záoitostem Z atiy záme Eulidův algoitmus (Euleidés z Mega, asi 45 8 př. K.) po alezeí ejvětšího společého dělitele dvou celých čísel, esp. polyomů Je po osvěžeí: dělitelé se cylicy dělí zbyty, doud eí zbyte. Posledí dělitel je ejvětší společý. Po ilustaci uvádíme přílady.. Po čísla 44 a : 99 = (4) 99 : 4 = 4 (64) 4 : 64 = (68) 64 : 68 = (96) 68 : 96 = (7) 96 : 7 = (4) 7 : 4 = (). Po polyomy 4 : = 4 : = 4 : = : 4 4 = /4 : 4 4 = /4 F. KOUTNÝ: Leohad EULER

11 9. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Pvočísla Je-li N dělitelé pouze a samým sebou, azývá se pvočíslo. Už Eulides doázal, že pvočísel je eoečě moho. Jeho důaz je svělým příladem důazu spoem. Kdyby totiž pvočísel p bylo oečě moho, vytvořila by možiu P ={p,, p m } o m pvcích. Avša číslo q = p p m N eí dělitelé žádým z ich, poto by samo bylo pvočíslem. Tedy q P, a současě q P (q p, =,, p m ). Složitější je malá Fematova věta: Je-li p pvočíslo a m přiozeé číslo, je m p m dělitelé p, tedy m p m (mod p). Důaz lze ajít v aždé učebici algeby, tedy apř. v [9,] a a webu. Např = = 4 5, 5 = 4 = 48 5 ebo 7 = 84 = 7. Piee de Femat (6 665) Piee de Femat (6 665) je zám hlavě jao auto tohoto tvzeí: Velá Fematova věta. Rovice y = z je v obou přiozeých čísel řešitelá je po =,. Femat si a oaj latisého přeladu Diofatova spisu pozameal, že ašel podivuhodý důaz tohoto tvzeí. Tvalo vša téměř století, ež tuto větu 994 doázal Adew Wiles. Jeho důaz je ta dlouhý, že zabíá ihu. Des se má obecě zato, že Femat se postě mýlil. Jistě se ale mýlil, dyž se domíval, že všecha čísla jsou pvočísla. Ale o tom už byla zmía v předášce o Gaussovi [6] a Fematovým číslům se ještě vátíme později (odst..). Femat si dopisoval s B. Pascalem (6 66). Oba tyto Facouze lze považovat za zaladatele ové matematicé discipliy teoie pavděpodobosti [7]. Oba lze taé považovat za půopíy metod difeeciálího počtu po příůsty ezávisle a závisle poměé používali metodu chaateisticého tojúhelía. Femat odvodil metodu hledáí etémů eálé fuce jedé poměé []. Pascal Blaise Pascal (6 66) je zám záoem z mechaiy teuti (tla v teutiě ezávisí a směu), postavil mechaicou alulaču atd. Uvažoval taé o itegálím počtu a a jeho dílo avázal později Leibiz. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

12 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM.4. Geometie V 6. a 7. století vyšly v Evopě latisé přelady řecých aticých autoů. Eulides 48, Achimédes 558, Diofatos 6 a další [5]. Eulidovo dílo tvořilo svou achitetuou vzo i po ostatí matematicé discipliy. Studium řecé matematiy bylo samozřejmě ispiací. Např. Pascal v 6 letech objevil větu o uželosečách zázoěou a ob..6. Ob..6 Pascalova věta po elipsu: půsečíy příme a 45, 6 a 4, a 56 leží a jedé přímce. Je to jeda z vět pojetiví geometie. Jiá, Desaguesova věta, teá Pascalovi sloužila jao vzo po pezetaci jeho věty [5], je a ob..7. Pascal vyalezl apř. baomet, hydaulicý lis, iječí stříaču. Géad Desagues (59 66) je považová za zaladatele pojetiví geometie [9]. Jeho aticým předchůdcem byl Pappus z Aleadie, teý žil olem ou (pozooval zatměí Sluce 8. říja ). V pojetiví geometii se uvádí apř. Pappova věta []. Ob..7 Desaguesova věta: půsečíy podloužeých sta a 45, a 46, a 56 leží a jedé přímce. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

13 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V 7. století žil taé filosof a matemati Reé Descates (596 65) [], mezi jehož zásluhy patří alezeí souvislosti mezi algebou a geometií. To později vedlo vytvořeí aalyticé geometie. Uázal, že moho geometicých poblémů se dá tasfomovat a algebaicé úlohy. Tím položil jede ze záladích ameů po vzi matematicé aalýzy, tj. počítáí s ifiitesimálími veličiami, teé Newto a Leibiz ozviuli později do tzv. alulu. Jeho Geometie (67) vša eobsahuje ai atézsé souřadice ai ovice příme, uželoseče ebo vadaticých ploch [5]. Descates je zámý především díy čeí Cogito ego sum (= Uvažuji, tedy eistuji) a ozpacováím filosofie v Meditacích o pvotí filosofii, mechaicým pojetím světa a atomismem, objevem záoa zachováí mometů v mechaice, disusí o metodách uvažováí. Z algeby záme Descatesovo pavidlo: počet ladých ořeů eálého polyomu je ove počtu zaméových změ v poslouposti jeho oeficietů seřazeé podle stupě Reé Descates (596 65) moci poměé mius sudé číslo []. Descates se sad jao mladý šlechtic účastil bitvy a Bíle hoře 8. listopadu 6 v císařsém vojsu. Později jej, už jao slavého filosofa, pozvala álova Kistia do Švédsa. Tamější studeé podebí mu vša esvědčilo a po átém pobytu zemřel ve Stocholmu a zápal plic []. Po jeho smti álova Kistia abdiovala a přestoupila a atolicou víu..5. Aalýza Ideje maipulace s eoečě malými, ifiitesimálími veličiami se zodily už ve staém Řecu. Zvyšováím počtu sta pavidelého mohoúhelía zísal Achimédes (?87 př. K.) odhady čísla π: / 7 < π < / 7. Výpočet a tabula obsahů pavidelých úhelíů vepsaých do jedotového uhu jsou uvedey apř. v [4], st Achimédes je aždému šoláovi zám především jao fyzi. O mechaicé metodě Achimédovy metody učováí ploch pojedává páce [] ebo o í předášel V. Zía [4]. Zde epoužijeme postupého vyplňováí geometicého objetu stále mešími jedoduchými objety zámé míy (ehaustiví metoda), je uážeme obecý picip výpočtu ploch a objemů geometicých útvaů limitím přechodem. Plocha uhové podstavy válce je π, válec o výšce H můžeme ozložit a ízých válečů výšy h = H/ s objemem V = π h. Objem celého válce je V = = V = V = π h = π H. U otačího tělesa s poloměem závislým a výšce z ad podstavou, jao je sud ebo oule a ob..8 zísáme tímto způsobem odhad: F. KOUTNÝ: Leohad EULER

14 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM V() = = V = π h = (h). U oule o poloměu a je podle Pythagoovy věty (z) = a z, tedy po z = h je dolí odhad objemu oule (symetie osy z vzhledem počátu ) V() = π h = (a h ) = π a (a a = ) = π a ( = ). Ob..8 Dvě otačí tělesa. Potože = = 6 ()() (pozáma dále), je V() = π a ( ()()) = π a ( ( )( )). 6 6 Když yí pooste do eoeča a tloušťa vstviče h bude ovegovat, bude V = πa lim ( 6 ( )( )) = π a ( 6 lim ( )( )) = 4 π a. Ob..9 Koule vepsaá do válce. Bočí pohled. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

15 . MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Koule vepsaá do válce s poloměem podstavy a výšou H = a (ob..9) má stejý polomě a. Její objem V oule = 4 πa, objem válce je V válec = πa a. Pa ovšem podíl objemů V πa oule = = V. válec πa Teto výslede uvedl Achimédes ve svém spisu O ouli a válci [5] Sado lze uázat, že ovostaý válec vepsaý do oule o poloměu a má objem 4 V válec, = π a = V válec a střídavé vpisováí oule a válce může poačovat: V válec, = / V válec, V oule, = / V oule., =,, Pozáma. Součty S m () = m, m =,,, 4. = Součet S () = = je zámý součet aitmeticé poslouposti, ale můžeme jej učit = taé pomocí součtu čtveců. ( ) = ( ) =. = = = = = Potože S () = = ( ) = ( ) = = ( ), je = = = = S () = ( ). Aalogicy S () odvodíme pomocí třetích moci. ( ) = ( ) = ; taže = = = = = = S () = ( ) S () = ( )/. Po vyásobeí posledí ovice číslem : 6S () = 6 6 = ( ) = [( ) ], tj. S () = ( ) ( ). 6 Je zřejmé, že tato lze poačovat. Např. S () = ( ) = S (), S 4() = [ (6 5 ) ] atd. 4 Výpočet objemů je součástí itegálího počtu, lidově řečeo scelovacího ebo sumačího počtu. S ím je úzce spoje difeeciálí počet, jehož ázev je odvoze ze slova difeece, ozdíl. A histoie ás vede již zmíěému chaateisticému tojúhelíu u fuce jedé eálé poměé. Přílad je a ob... Ob.. azačuje, že tam, de ozdíly y při ostoucím měí spojitě zaméo z ladého do zápoého, má fuce maimum. Na tuto vlastost pouázal již Femat. Bylo mu taé zřejmé, že příůsty ezávisle poměé musí ovegovat ule, aby se poloha etému fuce dala učit přesě. Podobě uvažovali Pascal, Descates, Huyges a další. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

16 4. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Ob.. Veliost změ hladé fuce. V oolí etému se chaateisticý tojúhelí eduuje. Uceleější výlad limitího přechodu, y vedl pojmu deivace fuce y(). Isaac Baow, Newtoův učitel, stávil 4 oy cestami po Evopě a sezámil se s pacemi evopsých a zejméa facouzsých matematiů. Převzal difeeciálí (chaateisticý) tojúhelí a odvodil vzoec po výpočet dély oblouu ovié řivy. Newto azýval deivaci fuce y fluí, začil ji tečou, y&. Chápal ji spíš ve smyslu mechaiy, apř. je-li y dáha, ezávisle poměá t čas, je y& ychlost []. Toto začeí po deivaci podle času se ve fyzice používá dodes. Po matematiu je vša mohem přiozeější a vhodější začeí Leibizovo, de se limita podílu y/ ozačuje jao deivace fuce y() podle. U jedé poměé lim y () = lim y( ) y( ) = d y (), d u fucí více poměých je apř. paciálí deivace podle duhé poměé lim y(,, ) y(,, ) y = (,, ) apod. [4]. Přitom vyjadřuje, že jde o paciálí (dílčí) změu je u jedoho agumetu fuce. Toto ozačeí ifiitesimálí paciálí změy zavedl Legede olem Zobecěí deivace fuce jedé poměé a fuce více poměých je tedy sadé. Leibiz vycházel ze šiší filosoficé báze a sažil se zachytit logiu spávého uvažováí obecě. Paciálí deivace v Newtoově symbolice ezám. Mezi Newtoem a Leibizem vzil pioití spo [5,]. Des se má zato, že opeaci deivováí a ivezí opeaci itegace dospěli ezávisle [5]. Je-li F() difeecovatelá fuce a f deivace F, platí záladí fomule itegálího počtu b f() d = F(b) F(a). a Nazývá se Newtoova Leibizova fomule (ale zal ji už Newtoův učitel Baow [6]). Tato fomule se dá zobecňovat v ůzých směech [4]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

17 5. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM.6. Difeeciálí ovice, mechaia a další ozvoj matematiy Poměé, fuce a deivace mohou být svázáy do elace, difeeciálí ovice. Např. zychleí volého pádu tělesa v atmosféře závisí a výšce a odpou vzduchu, d y teý je fucí ychlosti tělesa, R( d t ). Pád z malé výšy y > a při bezvětří lze apoimovat jedodušším pohybem s ostatím gavitačím zychleím g a d y lieáím odpoem vzduchu R( d t dy )/ = cost (vadaticá závislost R( by samozřejmě byla ealističtější [7], ja dosvědčí aždý cylista) d s počátečími podmíami y() = y, d y dy ) = d y (c c ) d t d y g a y = (*) d y () = Relace (*) je lieáí difeeciálí ovice a její řešeí se ajde sado. Přepíšeme ji do tvau d ( d y ay) = g. Z ěj dostaeme d y ay = gt c, de c = cost. Po t = z počátečích podmíe plye d y() a y() = g c, tj. c = ay. Řešeí ové difeeciálí ovice d y ay = gt ay hledejme ve tvau y(t) = C(t) e at. Po dosazeí dostaeme d y(t) a y(t) = t C(t) C() = Taže y(t) = {C() y (e at ) odud po t = plye: dc e at ac e at ac e at = gt ay, tj. t ( gt ay ) e at = y e at g g [ t e at a y() = y = C() Rovice (*) má po a řešeí Po ozviutí epoeciály v řadu dc t e at = y (e at ) ( e at )]} e at = C() e at a g g y(t) = y t at a ( e ) a = ( gt ay ) e at a. g [ t e at a g t (y a ( e at )]. a g a )( e at ), gt 4 5 y(t) = y ag t at a t...! 4! 5! je ihed zřejmé, že po a = (ulový odpo) dostáváme elemetáí volý pád ve vauu. Ob.. ilustuje pád tělesa v gavitačím poli a povchu Země (g = 9.8m/s ) z výšy m při ůzém a, tedy s ůzým odpoem postředí. Fuce y po ejhustší postředí s a = s je paticy lieáí už po t >s (áme ve vodě), u fuce y po a =.s by se lieaity dosáhlo až po mohem delším čase (>s, áme ve vzduchu). F. KOUTNÝ: Leohad EULER

18 6. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM 8 a=/s a=./s a=/s Výša y, m Čas t, s Ob.. Pád v ostatím gavitačím poli s ůzým lieáím odpoem postředí. Teto přílad azačuje, ja přiozeě a sado pojmy deivace a itegálu vedou difeeciálím ovicím a apliacím v eálém světě. Před stoletími to byly především fyziálí apliace v mechaice, optice, astoomii. V 7. století se už omě ih začaly vydávat i peiodicé časopisy. Tím se podstatě zvýšila ychlost šířeí ových pozatů i počet lidí zapojeých do vývoje matematiy tehdy ještě eodmyslitelě popojeé s fyziou a astoomií. Jea d Alembet (77 78) Např. ve Facii výzamě přispěl obecé vzdělaosti Jea le Rod d Alembet (77 78) [8], spoluedito (s Deisem Dideotem) vůbec pvího soubou tehdejších pozatů, zámé facouzsé Ecyclopédie. Jeho mata ho jao emaželsé ovoozeě položila a schodiště ostela Sait Jea le Rod, a podle zvyu byl tedy pojmeová podle patoa ostela. Bzy jej adoptovala žea jedoho sleáře. Jeho vlastí otec, šlechtic a důstojí, tajě platil pěstouům a jeho živobytí a vzděláí. D Alembet fomuloval jao pví záladí větu algeby doázaou později C. F. Gaussem [6]: aždý polyom s ompleími oeficiety má v ompleí oviě aspoň jede oře. V teoii číselých řad se uvádí d Alembetovo podílové iteium absolutí ovegece řady [4]: a jestliže < q <, řada = a a absolutě oveguje. D Alembet podstatě přispěl e zpřesěí pojmu limity. Z mechaiy záme d Alembetův picip [7,9,], z mechaiy otiua[,], matematicé fyziy [,4] i matematiy [4] d Alembetovo řešeí vlové ovice, popř. v jedé dimezi ovice mitů stuy, u u = v, t de je délová souřadice stuy, t je čas a u(, t) je výchyla bodu stuy olmo a osu stuy v lidu. Sado se ověří, že po libovolé dostatečě hladé fuce f, g je u(, t) = f( vt) g( vt) obecé řešeí ovice stuy. Názoý výlad s aimacemi lze ajít a iteetu [4,5]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

19 7. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM Zatímco v Aglii evhodá symbolia Newtoova a jeho ult ozvoj matematiy bzdily, symbolia Leibizova a adáodí pojetí vědy a otietě vedly ychlému ozvoji ových metod. Kolem. 7 a později se a ěm začě podílel od Beoulliů ve více geeacích ze švýcasé Basileje (Basel). To je histoicy velmi uiátí feomé [5,7]. Z odu Beoulliů uvádíme je dvě geeace: Jaob Beoulli (654 75) Beoulliho čísla, dif. ovice, biomicé ozděleí, Joha Beoulli ( ) mladší bat Jaoba mity stuy,.. Nicolaus I Beoulli ( ), Nicolaus II Beoulli (695 76), Daiel Beoulli (7 78) Beoulliho ovice, picip a petohadsý paado, Joha II Beoulli (7 79), Joha III Beoulli (744 87). Jejich přede, Leo Beoulli, pocházel z Atvep a z ábožesých důvodů v 6. století emigoval do Basileje před špaělsou advládou. Něteé pojmy spojeé se jméem Beoulli:. Beoulliho difeeciálí ovice (Jaob Beoulli, 695): y P() y = Q() y (děleím y a substitucí u = y se lieaizuje). Beoulliho (alteativí) distibuce pavděpodobosti (Jaob Beoulli) [7] f(, p) = p po =. ( p) po = Sloupy vody zveduté polaem za poudovými motoy letadla letícího ízo ad hladiou [8]. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

20 8. MILNÍKY MATEMATIKY PŘED EULEREM. Beoulliho picip (Daiel Beoulli, Hydodyamica, 78) u estlačitelých (ale i stlačitelých) teuti: ychlost teutiy se zvyšuje, lesá-li poteciálí eegie (tla). To ásě demostuje vztla u řídel ptáů a letadel ebo předchozí efetí obáze převzatý z [8]. Jaob Beoulli (654 75). Joha Beoulli ( ), Euleův učitel. F. KOUTNÝ: Leohad EULER

21 9. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA. LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA [9] Leohad Eule se aodil 5. duba 77 v Basileji (Basel) ve Švýcasu. Jeho otec, Paul Eule, vystudoval teologii a basilejsé uivesitě a avštěvoval taé matematicé předášy Jaoba Beoulliho. Paul Eule a Joha Beoulli jao studeti dooce žili v domě Jaoba Beoulliho. Později se Paul Eule stal potestatsým pastoem a ožeil se s Magaetou Buceovou, ověž dceou pastoa. Jejich sy, Leohad, se aodil v Basileji, ale dyž měl asi o, odia se přestěhovala do Rieheu edaleo. Paul Eule měl jaési matematicé vzděláí a mohl tedy sám vzdělávat svého sya i v elemetáí matematice. Leohad začal chodit do šoly v Basileji a během šolí docházy bydlel u své babičy z matčiy stay. Šola, do teé Leohad chodil, byla evalá a v í se Eule o matematice moho edověděl. Avša otcův výlad vzbudil jeho zájem o matematiu, taže sám začal číst matematicé tety a hledat cesty dalšímu vzděláí. Paul Eule si přál, aby se jeho sy stal taé pastoem. Poto 4letý Leohad Eule začal studovat a uivesitě v Basileji. Měl ejpve zísat všeobecé vzděláí a pa astoupit a teologicou faultu. Otcův přítel, Joha Beoulli, při souomých lecích bzy zjistil, že Eule má obovsé matematicé adáí. Eule to sám popsal tato [9]: Bzy jsem ašel příležitost být představe slavému pofesou Johau Beoulliovi Pavda, měl málo času a ta hed odmítl dávat mi souomé hodiy. Ale dal mi mohem ceější adu, abych začal sám studovat obtížější matematicé ihy a to ta pilě, ja to je půjde. A dybych aazil a ějaou obtíž ebo přeážu, že za ím mohu aždé edělí odpolede přijít, a o mi vysvětlí všecho, co jsem epochopil F. KOUTNÝ: Leohad EULER

22 . LEONHARD EULER ŽIVOTNÍ DRÁHA V oce 7 Eule doočil magistesé studium ve filosofii pací, v íž sovává a staví poti sobě filosoficé ideje Newtoovy a Descatesovy. Na podzim 7 podle přáí svého otce začal studium a teologicé faultě. Ale přesto, že po celý život byl oddaým řesťaem, epociťoval po teologicá studia, studium řečtiy a hebejštiy taové adšeí, jaé v ěm vzbuzovala matematia. Po přímluvách Johaa Beoulliho otec aoec souhlasil, aby se Leohad zaměřil a matematiu. Jistě v tom sehálo svou oli přátelství otce s Johaem Beoullim. Eule uočil své studium a uivesitě v Basileji v oce 76. Během svého studia a a dopoučeí Johaa Beoulliho postudoval moho matematicých pací. V oce 76 už byla otištěa jeho pví átá páce o izochoách v lidém postředí (spojic míst současého výsytu ějaého jevu ebo hodoty). V dalším oce, 77, tedy ve, publioval páci o ecipoých tajetoiích a do soutěže o Velou ceu pařížsé aademie zaslal páci o ejlepším umístěí stožáů a plachetici. Velou ceu 77 zísal Bougue, epet a výpočty lodí. Eule zísal duhé místo, což byl po ta mladého adepta ásý výslede. Teď ale Eule musel sháět ějaé aademicé zaměstáí. A dyž v čeveci 76 zemřel v Petohadě Nicolaus (II) Beoulli a jeho místo se uvolilo, bylo Euleovi abíduto, aby tam vyučoval apliace matematiy a mechaiy ve fyziologii. Eule to místo přijal v listopadu, ale s výhadou, že do Rusa pojede až a jaře příštího ou. Po toto oddáleí měl své důvody. Jeda potřeboval čas, aby astudoval poblematiu spojeou s ovým místem, jeda měl aději, že a uivesitě v Basileji zísá místo po edávo zemřelém pofesou fyziy. Eule tehdy apsal čláe o austice, teý se stal lasicým, a předložil jej a podpou své žádosti. O obsazeí místa vša ozhodl los a v Euleův epospěch mluvil taé ízý vě tepve 9 let. Ale Calige píše [4]: Toto ozhodutí přieslo aoec Euleovi pospěch, potože jej doutilo, aby odešel z malé země a dostal se a postaveí mohem adevátější po jeho svělou výzumou a techologicou páci. Jamile se Eule dověděl, že atedu fyziy ezísá, odjel z Basileje. Nejpve jel lodí po Rýu, pa pojel Němeco v poštovím voze do Lübecu a oud přijel lodí do Petohadu 7. věta 77. Do Petohadsé aademie astoupil dva oy po jejím založeí Kateřiou I., žeou Peta Veliého (67 75). Na žádost Daiela Beoulliho a Jaoba Hemaa byl přiděle do matematico fyziálí sece aademie místo původě abídutého obou fyziologie. V Petohadě měl Eule moho olegů, teří po ěj vytvářeli výjimečě přízivé badatelsé postředí. Nide jide by ebyl oblope taovou supiou emietích vědců, jao byl v oblasti aalýzy a geometie jeho příbuzý Jaob Hema ebo Daiel Beoulli, s ímž Eulea omě přátelství pojil společý zájem a apliacích matematiy, dále mohostaý učeec Chistia Goldbach, s ímž Eule disutoval o moha poblémech aalýzy, teoie čísel a dalších. Eule byl fomálě saitáí poučí v usém ámořictvu Nejpve F. KOUTNÝ: Leohad EULER

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Téma 3: Popisná statistika

Téma 3: Popisná statistika Popá tatta Téma : Popá tatta Předáša 7 Záladí tattcé pojmy Pojem a úoly tatty Statta je věda, teá e zabývá zíáváím, zpacováím a aalýzou dat po potřeby ozhodováí. Zoumá tav a vývoj homadých jevů a vztahů

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

PETR KULHÁNEK. Praha 2001 FEL ČVUT

PETR KULHÁNEK. Praha 2001 FEL ČVUT ASTOFYZIKA -- S PET KULHÁNEK Paha 00 FEL ČVUT OBSAH I ZÁKLADNÍ VZTAHY 3 Pasek 3 Poxima Cetaui 4 3 Magituda 4 4 Pogsoova ovice 5 5 Absolutí magituda Sluce 5 6 Hodiový úhel Aldebaau 6 7 Jety kvasau - fiktiví

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Dvourozměrná tabulka rozdělení četností

Dvourozměrná tabulka rozdělení četností ANALÝZA ZÁVILOTÍ - zouáí závlot dvou evet více poěých, ěřeí íl této závlot, atd - cíle je hlubší vutí do podtat ledovaých jevů a poceů, přblížeí tzv příčý ouvlote Dvouozěá tabula ozděleí četotí - je eleetáí

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech)

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech) Pozámk k tématu Koelace a jedoduchá leáí egee (Téma eí ve kptech) Mějme data, ),...,(, ), kteá jou áhodým výběem z ějaké populace. Data ted pokládáme za ezávlé ealzace dvojce áhodých velč ( X, Y ). Půmě

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Karlova Přírodovědecká fakulta Katedra analytické chemie Uivezit ov Příodovědecká fkut ted ytické chemie Sttitické vyhodoceí výedků Picip: Výedky opkových zkoušek, kteé jou ztížey áhodými chybmi, mjí učité ozděeí (ditibuci). Rozděeím e zde ozumí záviot pvděpodoboti

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

- 1 - Ekonomicko-matematické metody II Rozhodování a rozhodovací modely

- 1 - Ekonomicko-matematické metody II Rozhodování a rozhodovací modely Ekoomicko-matematické metody II Rozhodováí a ozhodovací modely Vybaé aplikace - Řízeí a všech jeho úovích - Zemědělství - Hazadí hy - Běžá každodeí ozhodutí Poblém k zamyšleí - Lze systematicky bohatout

Více

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s.

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s. Základí údaje Vzik společosti 29.9.1997 Obchodí ázev HYDRA a.s. Sídlo: Na Zámecké 1518, 140 00 Praha 4 IČO/DIČ 25610562 / CZ25610562 Předmět podikáí Výroba kodezátorů Provozovy: Průmyslová 1110, Jičí Hradecká

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Vysokorychlostní železnice úspěchy a výzvy

Vysokorychlostní železnice úspěchy a výzvy Vysoorychlostní železnice úspěchy a výzvy Dr. Gunter Ellwanger, ředitel pro vysoorychlostní železnice, Mezinárodní železniční unie Vysoorychlostní vlay přiláaly na železnici nové cestující především na

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby

Hlavní body. Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon. Konzervativní pole. Gravitační pole v blízkosti Země Planetární pohyby Úvod do gavitace Hlavní body Kepleovy zákony Newtonův gavitační zákon Gavitační pole v blízkosti Země Planetání pohyby Konzevativní pole Potenciál a potenciální enegie Vztah intenzity a potenciálu Úvod

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

á é š Ž ř ž éčá é ý ů Ťž é á č ář é ž ý ř ú ý ď ť á Ú á ú Í ř á ř ř ž éčá Ť é ý ů é žší čí á Ťá ý č ý ů č é ď é ř ý é ď š š č ř ý Ý ů é á áš ň ú á é á ý é Ž é š á á á áň á Ž Ú ů é ž é á á ž č ř ý š ř á

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil

3.3.3 Rovinná soustava sil a momentů sil 3.3.3 Rová soustava s a oetů s Předpoady Všechy síy soustavy eží v edé rově. Všechy oety sou oé a tuto rovu. *) Souřadý systé voíe ta, že rova - e totožá s rovou s. y O *) Po.: Sový oet ůžee ahradt dvocí

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více