Matematická Statistika. Ivan Nagy, Pavla Pecherková, Jitka Homolová

Transkript

1 Texty ke cvičením Matematická Statistika Ivan Nagy, Pavla Pecherková, Jitka Homolová

2 Obsah Popisná statistika 4. Seznámení s programem MATLAB Popisné charakteristiky v MATLABu Příklady Náhodný výběr 4 3 Příklady 5 4 Bodové odhady a jejich vlastnosti 5 4. Exponenciální třída rozdělení Některá rozdělení ve tvaru exponenciální třídy Metoda maximální věrohodnosti Metoda momentů Příklad (exponenciální rozdělení) Příklad (alternativní rozdělení) Vlastnosti bodových odhadů Příklad (nestrannost a konzistence pro Alt(π)) Příklad (vydatnost) Příklady 8 6 Intervaly spolehlivosti 9 6. Funkce MATLAB Příklady Testy parametrických hypotéz 9 7. Funkce MATLAB Příklady Příklady 9 9 Chi testy hypotéz 0 9. Funkce MATLAB Příklady Další neparametrické testy 0 0. Funkce MATLAB Příklady

3 Regresní analýza 0. Funkce MATLAB Příklady Korelační analýza. Funkce MATLAB Příklady Analýza rozptylu (ANOVA) 3. Funkce MATLAB Příklady Analýza hlavních komponent 4. Příklady Funkce MATLAB Příklady řešené pomocí MATLAB 5. Popisná statistika Intervaly spolehlivosti Testy hypotéz Chi testy hypotéz Další neparametrické testy hypotéz Regresní analýza Korelační analýza ANOVA Analýza hlavních komponent

4 Cvičení Popisná statistika. Seznámení s programem MATLAB. Popisné charakteristiky v MATLABu bas stat bas stat bas stat sort mean std var cov cor mode median iqr moment meansq sumsq sorted unsorted table popisná statistika pro netříděná data popisná statistika - - dva soubory popisná statistika pro tříděná data průměr směrodatná odchylka výběrový rozptyl výběrová kovariance korelační koeficient modus median mezikvartilové rozpětí výběrové momenty průměr čtverců součet čtverců tříděná data netříděná data kontingenční tabulka.3 Příklady Udělat průměr a porovnat s mean. A další. Sestavit něco jako bas stat, ale podle svého. Generovat kostku a ověřit /6 pro jedno číslo. A další (sudé,...). Kostka: fix(6rand+). Více hodů: k=fix(6rand(,000)+), udělat min, max, hist. Součet na dvou kostkách: k=fix(6rand(,000)+)+fix(6rand(,000)+). MATLAB: p0, p0 Náhodný výběr Popsat výběr na příkladech. Zdůraznit náhodnost charakteristik výběru. Výběrový průměr a jeho charakteristiky. Rozdělení výběrových charakteristik. Normování a odnormování výběrového průměru. Udělat funkci. 4

5 3 Příklady cv0 a cv0. Cvičení 4 Bodové odhady a jejich vlastnosti Vlastnosti bodových odhadů na grafu hp statistiky. Metoda momentů. Metoda maximální věrohodnosti. Příklady: pro exponenciální rozdělení, pro alternativní rozdělení, MATLAB: průměr z průměrů se blíží mí. 4. Exponenciální třída rozdělení Hp f(x, θ) je exponenciální třídy jestliže f(x, θ) = exp{q(θ)u(x) + R(θ) + V (x)} množina {x f(x, θ) 0} nezávisí na θ. 4. Některá rozdělení ve tvaru exponenciální třídy Alternativní Poissonovo { ( ) } π f(x, π) = π x ( π) x = exp ln x + ln( π) π λ λx f(x, λ) = e x! = exp {ln(λ)x λ ln(x!)} Normální (µ i σ neznámé) = exp f(x, [µ, σ ]) = { exp πσ { [ σ, µ σ ] [ x x ] ( µ ( ) } x µ = σ σ + ln(σ ) ) ln(π) } Exponenciální f(x, δ) = { δ exp x } = exp { } δ δ x ln(δ) 5

6 4.3 Metoda maximální věrohodnosti Exponenciální třída Podmínka extrému Ověření maxima f(x, θ) = exp{q(θ)u(x) + R(θ) + V (x)} Q S + nr = 0 kde S = Q S + nr < 0 n U(x i ) i= 4.4 Metoda momentů Porovnáme obecné momenty souboru E[X k ] = x k f(x, θ)dx θ a výběru M k = n x k, n i= pro k =,,... podle toho, kolik parametrů odhadujeme. Většinou odhadujeme jeden parametr, potom použijeme prvé momenty, tj. E[X] = x. 4.5 Příklad (exponenciální rozdělení) Zkonstruujte odhadovou statistiku pro odhad parametru δ exponenciálního rozdělení. Ř e š e n í: Maximální věrohodnost Exponenciální třída f(x, δ) = exp { } δ x ln(δ) Odtud je U = x S = n i= x i Q = δ Q = Q δ = δ 3 R = ln(δ) R = δ R = δ Podmínka n δ x i n δ = 0 ˆδ = x. Ověření Momenty i= δ 3 E[X] = δ, Poznámka: Udělat spíše pro a = /δ. n i= x i + n δ < 0 <. n n x i = x, ˆδ = x i= 6

7 4.6 Příklad (alternativní rozdělení) Proved te konstrukci odhadu parametru π náhodné veličiny s alternativním rozdělením. Ř e š e n í: Maximální věrohodnost: Exponenciální třída Odtud je U = x ( ) Q = ln π π R = ln( π) Podmínka { ( ) } π f(x, θ) = exp ln x + ln( π) π S = n i= x i Q = π( π) Q = π π ( π) R = π R = ( π) π( π) Ověření (dosadíme x i = nπ) Momenty Odtud porovnáním ˆπ = p. n i= n π = 0 ˆπ = x = p π π ( π) nπ n ( π) < 0 π <. E[X] = xπ x ( π) x = 0π 0 ( π) + π ( π) 0 = π, i=0 n x i = x = p n i= 4.7 Vlastnosti bodových odhadů Obecně označíme: T je odhadová statistika, θ je odhadovaný parametr. Nestrannost Konzistence Kriterium: E[T ] = θ lim P ( T n θ > ɛ) = 0 n - asymptotická nestrannost E[T n ] = θ, pro n, - limita rozptylu jde k nule D(T n ) = 0, pro n. Vydatnost Vyjadřuje přesnost bodového odhadu. Pro nestranné odhady se vydatnost měří rozptylem D[T ]. Pro odhady, které nejsou nestranné je měřítkem vydatnosti M SE MSE = E[(T θ) ] = D[T ] + B(θ). 7

8 4.8 Příklad (nestrannost a konzistence pro Alt(π)) Je dán výběr o rozsahu n z náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí f(x) = π x ( π) x, x = 0,. Ukažte, že statistika T = p = n ni= X i je nestranným a konzistentním odhadem parametru π. Ř e š e n í: E[X] = π, D[X] = π( π). Nestrannost E[T ] = E [ n ] n X i = n X i = π. n i= i= Konzistence D[X] π( π) lim P ( p π > ɛ) lim n n nɛ = lim n nɛ = 0 Cvičení: totéž, ale pro T = n + = X i. (Je nestraný, není konzistentní). 4.9 Příklad (vydatnost) Z náhodné veličiny byl učiněn výběr o rozsahu 3000 a vypočteny průměry x i z první poloviny dat, x ze dvou třetin druhé poloviny a x 3 ze zbytku. Pro odhad střední hodnoty byly použity dvě statistiky T = X + X a) Ověřte nestrannost obou statistik. b) Zjistěte, která ze statistik ve vydatnější. Ř e š e n í: a) Jsou nestranné b) T je vydatnější. E[T ] = µ + µ a T = X + X 3. = µ, E[T ] = µ + µ 3 [ ] D[T ] = D X + X = 4 (D[X ] + D[X ]) = ( σ 4 = µ. ) σ 000 ) [ ] D[T ] = D X + X 3 = 4 (D[X ] + D[X 3 ]) = ( σ σ 500 Poznámka: Rozptyl součtu je zde součet rozptylů. Proč? = σ 400. = σ Příklady cv03 a cv04 8

9 Cvičení 3 6 Intervaly spolehlivosti 6. Funkce MATLAB z int t int t int s t int n t int p prop int prop int var int interval pro střední hodnotu (známý rozptyl) interval pro střední hodnotu (neznámý rozptyl) interval pro dvě střední hodnoty (sdružený) interval pro dvě střední hodnoty (nesdružený) interval pro dvě střední hodnoty (párové výběry) interval pro podíl interval pro dva podíly interval pro rozptyl 6. Příklady p04, p04, p043 7 Testy parametrických hypotéz 7. Funkce MATLAB z test z test t test t test s t test n t test p prop test prop test var test var test test střední hodnoty (známé sig) test dvou středních hodnot (známé sig) test střední hodnoty (neznámé sig) test dvou středních hodnot (sdružený) test dvou středních hodnot (nesdružený) test dvou středních hodnot (párový) test podílu test dvou podílů test rozptylu test dvou rozptylů 7. Příklady p05, p05, p053, p054, p055, p056, p057 8 Příklady cv05, cv06 a cv07 9

10 Cvičení 4 9 Chi testy hypotéz 9. Funkce MATLAB chisquare test chisquare test homogeneity chisquare test independence vzdálenost O a E dobrá shoda nezávislost 9. Příklady p06, p06, p063 0 Další neparametrické testy 0. Funkce MATLAB sign test wztest cor test kolmogorov smirnov test test dvou mediánů test nezávislosti prvků výběru test nezávislosti výběrů test typu rozdělení 0. Příklady p07, p07, p073, p074 Cvičení 5 Regresní analýza. Funkce MATLAB reg desc reg info lin reg exp reg pol reg popisná lin. regrese lin. regrese (soubor charakteristik) lineární regrese exponenciální regrese polynomická regrese 0

11 . Příklady Korelační analýza. Funkce MATLAB reg infe t test reg f test reg inferenční lin. regrese t-test lin. regrese f-test lin. regrese. Příklady 3 Analýza rozptylu (ANOVA) 3. Funkce MATLAB Cvičení 6 anova anova analýza rozptylu - jednoduchá analýza rozptylu - dvojná 3. Příklady Cvičení 7 4 Analýza hlavních komponent 4. Příklady p0, p0 4. Funkce MATLAB pca eig pca svd rozklad kovarianční matice rozklad datové matice

12 5 Příklady řešené pomocí MATLAB 5. Popisná statistika ****************** p0 ****************** % P0 - Popisná statistika % % - char. polohy a variability pro prosta data % - char. polohy a variability pro tříděná data % Měřením jsme získali dva náhodné výběry "x" a "y" a % uložili je do datového souboru "data0". % % Určete: % a) střední hodnotu, rozptyl, směrodatnou odchylku, modus, % medián, variační rozpětí, a mezikvartilové rozpětí pro "x" % b) kovarianci a korelační koeficient pro "x" a "y". % % Soubor "x" roztřidte do pěti intervalů a % c) určete vážený průměr a rozptyl, % d) určete modus a medián tříděných dat. load data0; disp( Priklad P0 ); disp( a) prosta data ); mx = mean(x); vx = var(x); sd = std(x); mo = mode(x,00); me = median(x); rr = max(x)-min(x); kr = iqr(x); fprintf( stredni hodnota: %g\n,mx) fprintf( rozptyl: %g\n,vx) fprintf( smerodatna odchylka: %g\n,sd) fprintf( modus: %g\n,mo) fprintf( median: %g\n,me) fprintf( variacni rozpeti: %g\n,rr) fprintf( mezikvartilove rozpeti: %g\n,kr) disp( b) ); cxy = cov(x,y); rxy = cor(x,y); fprintf( kovariance: %g\n,cxy) fprintf( korelacni koeficient: %g\n,rxy)

13 disp( c) tridena data ); [ff xx]=hist(x,5); xn.d=xx ; xn.n=ff ; mxs = mean(xn); vxs = var(xn); fprintf( stredni hodnota: %g\n,mxs) fprintf( rozptyl: %g\n,vxs) disp( d) ); [a k]=max(xn.n); mos = xn.d(k); mes = median(unsorted(xn)); fprintf( modus: %g\n,mos) fprintf( median: %g\n,mes) ****************** p0 ****************** % P0 - Popisná statistika % % - trídeni dat % - char. tridenych a netridenych dat % Měřením jsme získali dva náhodné výběry "x" a "y" a % uložili je do datového souboru "data0". % Soubor "x" roztřidte intervalů s hranicemi h = [ ]; % a % a) určete vážený průměr a rozptyl takto tříděných dat, % b) porovnejte s průměrem a rozptylem stejných dat, % tříděných rovnoměrně do pěti skupin. load data0; disp( Priklad P0 ); disp( a) trideni do predapsanych intervalu ); intervaly=h f = zeros(5,); g = f; for j=:4 f(j)=sum(x>h(j) & x<=h(j+)); g(j)=(h(j+)+h(j))/; end%for f()=f()+; xn.d=g; xn.n=f; 3

14 mx = mean(xn) vx = var(xn) disp( b) trideni do 5 ekvidistantnich intervalu ); [f g]=hist(x,5); intervaly=g xn.d=g; xn.n=f; mx = mean(xn) vx = var(xn) 5. Intervaly spolehlivosti ****************** p04 ****************** % P04 - Intervaly spolehlivosti (pravděpodobnost že..) % % Předpokládáme, že velký ročník va VŠ má % výskedky testu rozděleny normálně, se střední % hodnotou 7 bodů a směrodatnou odchylkou % 9 bodů. % a) Určete pravěpodobnost, že náhodně vybraný student % bude mít výsledek nad 80 bodů. % b) Provedeme výběr o rozsahu n=4 a n=9. Jaká je % pravděpodobnost, že výběrový průměr z těhto výběrů % bude větší než 80? % zadané hodnoty m = 7; % střední hodnota s = 9; % směrodatná odchylka h = 80; % hranice bodů n = 4; % velikost výběru % a) z=(h-m)/s; pv=-normal_cdf(z); % b) z=(h-m)/s*sqrt(n); pv=-normal_cdf(z); % normování pro veličinu % pravděpodobnost % normování pro výběr % pravděpodobnost fprintf( Test velkeho rocniku na VS ()\n\n ); fprintf( Pr. nad %g pro studenta je: %g\n,h,pv); fprintf( Pr. nad %g pro vyber n=%g je: %g\n,h,n,pv); 4

15 % Řešeni b) je pro n=4. Pro n=9 se hodnota n přepíše. % Tak je možno měnit i dakší hodnoty, případně upravit % celý m-file. % Funkce normal_cdf(x) je totéž jako % normal_cdf(x,0,) což je stdnormal_cdf(x) % => std na začátku funkce je tedy možno vynechat! ****************** p04 ****************** % P04 - Intervaly spolehlivosti (výpočet hranice intervalu) % % Velký ročník na VŠ psal test. Ze zkušenosti víme, že % výsledky testu jsou rozděleny normálně, se směrodatnou % odchylkou 9 bodů. Střední hodnotu, danou konkrétní % obtížností testu, neznáme. Provedli jsme výběr x = [64, 66, 89, 77]; % a) Určete interval, ve kterém leží střední hodnota mí % s pravděpodobností 0.95 (nebo, ve kterém leží % 95% všech odhadů střední hodnoty - což je totéž). % b) Totéž, ale pro neznámý rozptyl. % c) Totéž, ale pro rozptyl. % zadané hodnoty sig = 9; % směrodatná odchylka al =.05; % pravděpodobnost % a) n=length(x); mx=mean(x); z_kr=-normal_inv(al/); del=sig/sqrt(n)*z_kr; is=[mx-del, mx+del]; % b) s=std(x); t_kr=-t_inv(al/,n-); del=s/sqrt(n)*t_kr; is=[mx-del, mx+del]; % rozsah výběru % průměr x % krit. hodnota % poloměr IS % IS % směrodatná odchylka % krit. hodnota % poloměr IS % IS % c) ch_krl=chisquare_inv(-al/,n-); % kr. hod. levá ch_krr=chisquare_inv(al/,n-); % kr. hod. pravá s=var(x); % rozptyl 5

16 is3()=(n-)*s/ch_krl; is3()=(n-)*s/ch_krr; % IS levá hranice % IS pravá hranice fprintf( Test velkeho rocniku na VS ()\n\n ); fprintf( IS pro mi (sig zname) je: (%g, %g)\n,is); fprintf( IS pro mi (sig nezname) je: (%g, %g)\n,is); fprintf( IS pro sig je: (%g, %g)\n,is3); % lze použít funkce pro IS % z_int(x,sig**,.95); % t_int(x,.95); % var_int(x,.95); ****************** p043 ****************** % P043 - Intervaly spolehlivosti (pro mí, rozsah IS) % % Náhodná veličina X má normální rozdělení se střední % hodnotou mí a rozptylem sig. Provedli jsme náhodný % výběr x = [5, 7, -5, -4, 0,,,, 5, ]; % Určete % a) 95% IS pro střední hodnotu, % b) maximální chybu oboustranného intervalu, % c) rozsah výběru pro pro maximální chybu 0.. % zadané hodnoty al =.05; del0 =.; % a) is=t_int(x, al, <> ); is=t_int(x, al, > ); is3=t_int(x, al, < ); % b) n=length(x); s=std(x); t_kr=-t_inv(al/,n-); del=s/sqrt(n)*t_kr; % IS obou.. % IS pravo.. % IS levo.. % rozsah výběru % směrodatná odchylka % kritická hodnota % poloměr intervalu % c) nn=s/del0*t_kr; % rozsah výběru (zlomek) n0=fix(nn)+; % - - (zaokrouhleno) 6

17 disp( a) ); fprintf( IS pro mi a rozsah vyberu\n\n ); fprintf( IS obou.. je: (%g, %g)\n,is); fprintf( IS pravo.. je: (%g, %g)\n,is); fprintf( IS levo.. je: (%g, %g)\n,is3); disp( b) ); fprintf( maximalni chyba: %g\n,del); disp( c) ); fprintf( rozsah vyberu: %g\n,n0); ****************** p044 ****************** % PO44 - Interval spolehlivosti pro rozdíl dvou mí % % Sledovali jsme účinek dvou protikorozních látek. % První jsme použili ve 0 případech, druhou ve 5 % případech. Po stanovené době jsme zjistili stupeň % poškození s výsledky mx=8.4; sx=; mx=80; sx=0; % Určete 95% IS pro shodu středních hodnot obou testů % za předpokladu normality obou rozdělení. Rozptyly % považujte a) za stejné, b) za různé. Výsledky % porovnejte. % zadané hodnoty al =.05; n = 0; n = 5; alt = <> ; % konstrukce dat (jsou zadány již vypočtené momenty) x.n=n; x.m=mx; x.v=sx; x.n=n; x.m=mx; x.v=sx; % a) sdružený test is_s = t_int_s(x,x,al,alt); 7

18 % b) nesdružený test is_n = t_int_n(x,x,al,alt); fprintf( Dve stredni hodnoty\n\n ); fprintf( interval spolehlivosti: fprintf( interval spolehlivosti: (%g, %g)\n, is_s); (%g, %g)\n, is_n); % Protože výběrové rozptyly jsou blízké, jsou blízké i % IS pro sdružený a nesdružený výběr % Protože 0 neleží v intervalech, lze učinit závěr (s % pravděpodobností 0.95), že metody nejsou shodné. ****************** p045 ****************** % P045 - Interval pro podíl % % Na dálničním úseku s rychlostí omezenou na 80 km/h % byla náhodným výběrem u 0 automobilů změřena % rychlost s výsledky x=[ ]; % Určete levo, pravo i oboustranný 0.95-IS pro podíl % automobilů, překračujících povolenou rychlost. % Návod: počet překračujících je sum(x>80) % zadané hodnoty al =.05; n = 0; alt_l = > ; alt_p = < ; alt_o = <> ; n=sum(x>80); p=n/n; is_l= prop_int(p,n,al,alt_l); is_p= prop_int(p,n,al,alt_p); is_o= prop_int(p,n,al,alt_o); fprintf( Dva podily\n\n ); fprintf( levostranný IS: fprintf( pravostranný IS: (%6.4g, %g)\n, is_l); (%g, %6.4g)\n, is_p); 8

19 fprintf( oboustranný IS: (%6.4g, %6.4g)\n, is_o); % V testu lze zadat bud podíl p nebo počet n. Výsledek % je stejný. 5.3 Testy hypotéz ****************** p05 ****************** % P05 - Test hypotézy pro střední hodnotu % % Byl proveden výběr o rozsahu 6 z normálního rozdělení a % byl vypočten výběrový průměr 458 a výběrová směrodatná % odchylka 5. Testujte hypotézu H0: mi0=4500 proti % alternativě HA: mi>mi0 na hladině významnosti % zadané hodnoty n = 6; % rozsah výběru mi0 = 4500; % H0 mx = 458; % průměr sx = 5; % směrodatná odchylka al =.05; % pravděpodobnost t_kr=-t_inv(al,n-); t_r=(mx-mi0)/sx*sqrt(n); W=[t_kr, inf]; pval=-t_cdf(t_r,n-); % kritická hodnota % realizovaná statistika % kritický obor % p-hodnota fprintf( Test stredni hodnoty\n\n ); fprintf( statistika: %g\n,t_r); fprintf( krit. obor: (%g, %g)\n,w); fprintf( p-hodnota: %g\n,pval); if t_r>t_kr disp( => H0 zamítáme ); else disp( => H0 nezamítáme ); end%if % m-file je připraven pro změnu zadání. Proto je závěr % formulován obecně (i pro zamítnutí H0) % Ověření pomocí funkce: disp( ); 9

20 disp( Overeni ); % konstrukce výběru (momenty) x.n = n; x.m = mx; x.v = sx^; [pval, t, df]=t_test(x, mi0, > ) ****************** p05 ****************** % P05 - Test pro střední hodnotu % % Provedli jsme náhodný výběr o rozsahu 0 z normálního % rozdělení se směrodatnou odchylkou 3 a vypočetli % průměr 5.5. Na hladině 0.05 testujte nulovou hypotézu % H0: mi0=4 proti alternativě % HA: a) mi!= mi0; b) mi > mi0; c) mi < mi0. % zadané hodnoty n = 0; sx = 3; mx = 5.5; mi0 = 4; al =.05; % konstrukce výběru (momenty) x.n = n; x.m = mx; x.v = sx^; % a) disp( Oboustranny test ); pval=t_test(x, mi0) disp( ); % b) disp( Levostranny test ); pval=t_test(x, mi0, < ) disp( ); % c) disp( Pravostranny test ); pval=t_test(x, mi0, > ) 0

21 % Lze také využít vnitřních tisků (zadání bez výstupu). ****************** p053 ****************** % P053 - Test pro střední hodnotu % % Výrobce tvrdí, že jím vyráběné kuličky do ložisek mají % střední hodnotu průměru 0 mm a ne větší. Ne hladině % významnosti 0.05 testujte uvedenou hypotézu, jestliže ve % výběru 6 kuliček byl průměr 0.3 a a) sig=, b) s=.. % zadané hodnoty alt = > ; mi0 = 0; mx = 0.3; n = 6; sig = ; s =.; % konstrukce výběru (momenty) x.n = n; x.m = mx; x.v = s; % a) pvala=z_test(x, mi0, sig, alt); % b) pvalb=t_test(x, mi0, alt); fprintf( Test stredni hodnoty\n\n ); fprintf( pval pro sig: %g\n, pvala); fprintf( pval pro s: %g\n, pvalb); ****************** p054 ****************** % P054 - Test pro rozptyl % % Nová metoda měření délky součástek byla ověřována na % etalonu. Disperze určená z 0 měření byla 00. Je tento % výsledek ve shodě s tvrzením, že disperze výsledků nové

22 % metody není větší než 50? Testujte na hladině % zadané hodnoty n = 0; s = 00; s0 = 50; alt = > ; % konstrukce výběru (momenty) x.n = n; x.v = s; var_test(x, s0, alt); ****************** p055 ****************** % P055 - Test pro dvě střední hodnoty % % Zjištoval se vliv dvou katalizátorů na konverzi plynu. % Výsledky (v procentech) jsou x = [ ]; y = [ ]; % Ověřte hypotézu, že vysledky obou katalyzátorů jsou na % hladině významnosti 0.05 stejné. Testujte pro % a) stejné rozptyly, b) různé rozptyly. % zadané hodnoty al =.05; alt = <> ; % a) stejné rozptyly (sdružený test) [pvala, ta, dfa] = t_test_s (x, y, alt); % b) různé rozptyly (nesdružený test) [pvalb, tb, dfb] = t_test_n (x, y, alt); disp( Sdruzeny t-test ) fprintf( pval: %g\n, pvala); if pvala<al disp( H0 zamitame ); else

23 disp( H0 nezamitame ); end%if disp( ); disp( Nesdruzeny t-test ) fprintf( pval: %g\n, pvalb); if pvalb<al disp( H0 zamitame ); else disp( H0 nezamitame ); end%if ****************** p056 ****************** % P056 - Test dvou středních hodnot - párové výběry % % Dvěma laboratoními metodami se zjištoval obsah chemické % látky v roztoku (v %). Předpokládáme. že výsledky mají % normální rozdělení. Bylo provedeno měření 5 vzorků (každý % vzorek byl měřen oběma metodami) s výsledky x = [ ]; y = [ ]; % Ověřte, zda existuje na hladině významnosti 0.05 podstatný % rozdíl mezi metodami. % zadané hodnoty al =.05; n=length(x); if length(y)~=n, disp( Delky x a y musi byt stejne ); return end%if [pval, t, df] = t_test_p (x, y); fprintf( Parovy t-test\n\n ); fprintf( p-hodnota: %g\n, pval); fprintf( statistika: %g\n, t); fprintf( stupne vol.: %g\n, df); ****************** p057 ****************** 3

24 % P057 - IS a TH pro dva podíly % % Na dvou pracovištích sledujeme pracovní prostoje. % Pracoviště A bylo sledováno v 800 časových okamžicích a % bylo zaznamenáno 6 prostojů. Kontrola pracovište B % probíhala v 00 okamžicích a bylo zjištěno 78 prostojů. % a) Stanovte 95% IS pro rozdíl středních podílů. % b) Na hladině významnosti 0.05 testujte hypotézu o % rovnosti středních podílů. % zadané hodnoty x = 6; n = 800; x = 78; n = 00; al =.05; % a) is=prop_int_(x,n,x,n,al); % b) [pval, z] = prop_test_ (x, n, x, n); fprintf( Dva podily\n\n ); fprintf( interval spolehlivosti: fprintf( p-hodnota testu: (%g, %g)\n, is); %g\n, pval); % Souvislost mezi IS a TH: nula není v IS => H0 se zamítá. 5.4 Chi testy hypotéz ****************** p06 ****************** % P06 - Test dobré shody pro rovnoměrné rozdělení % % Testujte tvrzení, že ve Svédsku se děti rodí rovnoměrně po % celý rok. K dispozici jsou údaje z náhodného výběru 88 % porodů, sdružené do čtyř (různě dlohuhých) obdobi. % Délky období ve dnech jsou: d = [ ]; % Počty porodů za jednotlivá období: 4

25 x = [ ]; n = length(x); % Pozorované četnosti jsou zadány o = x; % Teoretické četnosti určíme tak, aby % ) byl stejný počet porodů (tj. 88), % ) porody byly rozděleny rovnoměrně, tj. úměrně délce % období. Tedy e = d/sum(d)*sum(x); % Statistika: ch = sum((o-e).^./e); % p-hodnota pval = -chisquare_cdf(ch,n-); % Ověření pomocí funkce chisquare_test [pv ch]=chisquare_test(o,e); fprintf( Test dobre shody rovnomerneho rozdeleni\n\n ); fprintf( p-hodnota: %g\n, pval); fprintf( p-hodnota (funkce): %g\n, pv); ****************** p06 ****************** % P06 - Test dobré shody pro normální rozdělení % % V souboru data je uložen datový vzorek x. % a) Určete bodový odhad jeho střední hodnoty a rozptylu. % b) Testujte, zda pochází z normálního rozdělení s % odhadnutými charakteristikami. load data0; n = length(x); m = 30; % data % rozsah výběru % počet intervalů pro četnosti % a) odhady mx = mean(x); vx = var(x); 5

26 % b) test dobré shody % Pozorované četnosti (na m intervalech) [o xx]=hist(x, m); s=xx+(xx()-xx())/; % Teoretické četnosti f=normal_cdf(s, mx, vx); ff=[0 f]; ee=ff(:end)-ff(:end-); e=sum(o)*ee; % Test [pval ch] = chisquare_test(o, e); fig plot(xx,o, bo,xx,e, rx ); title( Dobra shoda pro norm. rozd. (blue=o, red=e) ) fprintf( Test dobre shody pro normalni rozdeleni\n\n ); fprintf( p-hodnota testu: %g\n, pval); fprintf( (pozri tiez graf)\n ); ****************** p063 ****************** % P063 - Test nezávislosti % % Bylo dotázáno 400 osob na bydliště a platovou skupinu. Z % odpovědí byla sestavena kontingenční tabulka T = [ ; ]; % kde řádky odpovídají bydlišti a sloupce platovým třídám. % Testujte hypotézu H0: bydliště a platy jsou nezávislé. % a) podle vzorců [nr nc]=size(t); % rozměry tabulky ss=sum(sum(t)); % celkový součet t=t/ss; % normování sc=sum(t); % norm. součet přes řádky (svisle) sr=sum(t ); % norm. součet přes sloupce (vodorovně) tt=sr *sc; % nezávislá normovaná tabulka TT=tt*ss; % nazávislá tabulka absolutní 6

27 o=t(:); e=tt(:); n=(nr-)*(nc-); % pozorované četnosti % teoretické četnosti % stupně volnosti [pval ch]=chisquare_test(o,e,n); % b) ověření funkcí [pv ch df] = chisquare_test_i (T); fprintf( Test nezávislosti\n\n ); fprintf( stat. (vzorce): %g\n, ch); fprintf( pval (vzorce): %g\n\n, pval); fprintf( stat. (funkce): %g\n, ch); fprintf( pval (funkce): %g\n, pval); % Kontingenční tabulka obsahuje absolutní četnosti dvou % znaků: bydlište,; plat,,3,4. Potom např. 30 lidí % odpovědělo, že bydlí v a mají plat Další neparametrické testy hypotéz ****************** p07 ****************** % P07 - Znaménkový test mediánů % % Generujte dva vzorky dat délky n. Oba s rozdělením chi, % první s 5 a druhý s 8 stupni volnosti. Pomocí % zanaménlového tesu ověřte shodu mediánů těchto vzorků. n = 00; % generování vzorků x=chisquare_rnd(5,, n); y=chisquare_rnd(8,, n); % chi s 5 stupni volnosti % chi s 8 stupni volnosti % výpočet mediánů med_x=median(x); med_y=median(y); % znaménkový test pval=sign_test(x, y, <> ); fprintf( Znamenkovy test medianu\n ); 7

28 fprintf( (H0: jsou stejné)\n\n ); fprintf( p-hodnota testu: %g\n, pval); % vykreslení průběhů datových vzorků fig plot(:n,x,:n,y); title( Testovana data ) ****************** p07 ****************** % P07 - Test nezávislosti prvků výběru (reziduí) % % V následujícím příkladě generujeme data pomocí diferenční % rovnice. řádu. Data modelujeme pomocí diferenční rovnice %. řádu jejíž koeficienty odhadujeme metodou nejmenších % čtverců. Odečtením změřených dat a dat generovaných z % odhadnuté diferenční rovnice získáme rezidua. Pokud je % odhad dobrý, musí být rezidua nezávislá. Testujte! k = ; % řad odhadu ( nebo ) n = 00; % počet dat ni = 3; % začátek generování dat if k==, nv = 5; % počet odhadovaných parametrů + else nv = 6; end%if y=zeros(,n); e=randn(,n); u=randn(,n); v=eye(nv)*e-5; % statistika pro odhad for t=ni:n % simulace regr. modelu druhého řádu y(t)=.9*y(t-)-.5*y(t-)+.3*u(t)+.*u(t-)+.*e(t); % identifikace regr. modelu prvního řádu if k==, d=[y(t) y(t-) u(t) u(t-) ]; else d=[y(t) y(t-) y(t-) u(t) u(t-) ]; end%if v=v+d *d; end vy=v(,); vfy=v(:nv,); vf=v(:nv,:nv); p=inv(vf)*vfy; % výpočet odhadu ze statistiky for t=ni:n % predikce identifikovaným modelem prvního řádu if k==, yp(t)=p()*y(t-)+p()*u(t)+p(3)*u(t-)+p(4); else yp(t)=p()*y(t-)+p()*y(t-)+p(3)*u(t)+p(4)*u(t-)+p(5); end%if end 8

29 % chyby predikce ep=y(ni:n)-yp(ni:n); % test na bělost (nezávislost) chyb predikce pval=wztest(ep); fprintf( Test nezavislosti rezidui\n ); fprintf( (H0: jsou nezavisla)\n\n ); fprintf( p-hodnota testu: %g\n, pval); ****************** p073 ****************** % P073 - Test nezávislosti výběrů (Pearson, Spearman, Kendal) % % Měřením jsme získali dva výběry x a y x=[ ]; y=[ ]; % Testujte, zda pocházejí z nezávislých rozdělení. Pro test % použijte % a) Pearsonův test, % b) Spearmanův test, % c) Kendalův test. % Výsledky srovnejte! disp( a) Pearsonuv test ) sp=cor_test(x,y, <>, p ) disp( a) Spearmanuv test ) ss=cor_test(x,y, <>, s ) disp( a) Kendalv test ) sk=cor_test(x,y, <>, k ) disp( *** H0: jsou nezavisle *** ); ****************** p074 ****************** % P074 - Kolmogorov-Smirnovův test typu rozdělení % % Generujte data z a) normálního, b) rovnoměrného rozdělení 9

30 % a testujte, zda generátor skutečně představuje tato % rozdělení n = 000; % počet dat % a) test rovnoměrného rozdělení na intervalu (,4) x=uniform_rnd(, 4,, n); pv=kolmogorov_smirnov_test(x, uniform,, 4); % test normálního rozdělení se stř. h. 5 a rozpt. 9 y=normal_rnd(5, 9,, n); pv=kolmogorov_smirnov_test(y, normal, 5, 9); fprintf( Kolmogorov-Smirnov test\n\n ); fprintf( p-hodnota pro rovnomerna data: fprintf( p-hodnota pro normalni data: %g\n, pv); %g\n, pv); % Další typy rozdělení. % Zadání je stejné % generátor: Rozdělení_rnd(Parametry, řádky, sloupce) % test: kolmogorov_smirnov_test(data, Rozdělení, Parametry) % Rozdělení Parametry % % binomial n,p % poisson lambda % geometric p % hypergeometric m,t,n % uniform a,b % exponential lambda % lognormal a,v % stdnormal % normal m,v % t df % chisquare df % f df_num,df_den % Příklady dalších rozdělení % x=exponential_rnd(,,n); % pv_e=kolmogorov_smirnov_test(x, exponential,) % x=binomial_rnd(0,.6,,n); % pv_b=kolmogorov_smirnov_test(x, binomial,0,.6) 30

31 % x3=poisson_rnd(4,,n); % pv_p=kolmogorov_smirnov_test(x3, poisson,4) % x4=lognormal_rnd(0,9); % pv_l=kolmogorov_smirnov_test(x4, lognormal,0,9) 5.6 Regresní analýza ****************** p08 ****************** % P08 - Regresní přímka % % Generujte datové dvojice [x,y], pro x=,,...,0 tak, aby % splnovali rovnici y = ax + b + e, kde e je normální náhodná % veličina s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou s. % Volte: a = ; b = ; s = ; x = :0; % a) Určete koeficienty regresní přímky. % b) Určete korelační koeficient. % c) Vypočtěte predikce ve všech bodech x. % d) Body [x,y] i regresní přímku zobrazte. % e) Určete předpovídanou hodnotu ya pro xa=.5. % f) Odhadněte, pro které xb bude platit yb=6. % g) Doporučené experimenty: %. Měnte a na -, -.,.,.5,, 5, 5 %. Měnte s na 0,., 0, 00 % 3. Provedte předpověd yc pro xc=5, 5 n=length(x); % počet dat e=s*randn(,n); % šum y=a*x+b+e; % hodnoty y mx=mean(x); % průměr x my=mean(y); % průměr y sx=var(x)*(n-); % součet čtverců pro x sxy=cov(x,y)*(n-); % součet čtverců pro x,y sy=var(y)*(n-); % součet čtverců pro y % a) disp( Koeficienty regresni primky ) b=sxy/sx % směrnice b0=my-b*mx % absolutní člen 3

32 % b) disp( Korelacni koeficient ) r=sxy/sqrt(sx*sy) % korelační koeficient % c) yp=b*x+b0; % predikce % d) if, axis([0,,0,30]); % osy else axis([min(x)-,max(x)+,min(y)-,max(y)+]); end fig plot(x,y, o,x,yp, +-g ); % graf title( Regesni analyza pro testovana data ) % e) disp( Predikce y pro dane x ) xa=.5; ya=b0+b*xa % y pro dané x % f) disp( Predukce x pro dane y ) yb=6; xb=(yb-b0)/b % x pro dané y ****************** p08 ****************** % P08 - Odlehlá a vlivná pozorování % % Provedte regresní analýzu pro data x = [ 3]; y = [.3.8]; % Přidejte další měření [x4,y4] a výsledek porovnejte % s původním výsledkem. % REŠENÍ ii=3; % ii= - odlehlá pozorování if ii==, x(4)=4; y(4)=5; end % přidané měření % ii=3 - vlivná pozorování if ii==3, x(4)=9; y(4)=0; end disp( Koeficienty regrese ) [b b0 r]=reg_desc(x,y) yp=b0+b*x; fig plot(x,y, o,x,yp); axis([min(x)-.,max(x)+.,min(y)-.,max(y)+.]) % klíč, která data se přidají % ii= (nic), ii= (odlehlé), ii=3 (vlivné) % přidaný outlier (správně y=8.33) 3

33 ****************** p083 ****************** % P083 - Míra vhodnosti dat pro regresi % % Generujte data na elipse a provedte jejich regresní analýzu. % Při experimentech měnte velikosti poloos a otočení elipsy. % Sledujte hodnotu korelačního koeficientu r. s=0; % amplituda šumu přidaného k elipse a=0; b=; % poloosy elipsy % stejné - nevhodná, různé - vhodná d=[]; for f=0:.:*pi % polární souřadnice xf=a*cos(f)+s*randn; yf=b*sin(f)+s*randn; d=[d; [xf yf]]; end d=d*[cos(.) sin(.); -sin(.) cos(.)]; % otočení souřadnic x=d(:,); y=d(:,); [b b0 r]=reg_desc(x,y); % regrese yp=b0+b*x; % predikce fig plot(x,y, o,x,yp) title( Data vhodna / nevhodna pro regresi ) axis([min(x)-,max(x)+,min(y)-,max(y)+]); fprintf( Korelacni koeficient je: %5.3g\n,r); 5.7 Korelační analýza ****************** p09 ****************** % P09 - Korelační analýza (linearni a exponencialni regrese) % % Sledujeme vývoj počtu automobilů na jednoho obyvatele % v nasi republice ve vybraných rocích. Zjištěné údaje % jsou (x - rok, y - počet/hlavu) x = [ ]; y = [ ]; 33

34 % a) Provedte lineární regresní ananýzu těchto dat a testujte % vhodnost lineární regrese. % b) Provedte exponenciální regresní analýzu a její výsledky % porovnejte s s výsledky lineární regrese. Pro porovnání % použijte koeficient determinace. % a) xp = 99; al =.05; [b,b0,r]=reg_desc(x,y); [ie,ip,pa,pr]=reg_infe(x,y,xp,al); pv=f_test_reg(x,y); disp( ) disp( a) Linearni regrese ); disp( **************** ); fprintf( Koeficienty regresni primky: %g a %g\n,b,b0); fprintf( Korelacni koeficient: %g\n,r); fprintf( Interval str. h. pro xp=%d je: (%g, %g)\n,xp,ie); fprintf( Interval predikce pro xp=%d je: (%g, %g)\n,xp,ip); fprintf( p-hodnota pro t-test b: %g\n,pa); fprintf( p-hodnota pro t-test r: %g\n,pr); fprintf( p-hodnota pro F-test: %g\n,pv); % b) p=exp_reg(x,y); yp=exp_pred(x,p); p_exp=f_test_pred(y,yp); disp( ) disp( b) Exponencialni regrese ); disp( ********************* ); fprintf( Koeficienty exp. regrese: %g a %g\n,p); fprintf( p-hodnota pro F-test: %g\n,p_exp); % graf linearni a exponencialni regrese yy=lin_pred(x,[b b0]); fig plot(x,y, kx,x,yy, r,x,yp, b ); title( Linearni a exponencialni regrese ) % Pro toto zadání je exponenciální regrese lepší % (má menší p-hodnotu - ideální je ph=0) ****************** p09 ****************** 34

35 % P09 - Základní inference v lineární regresi % % Generujte datové dvojice [x,y], pro x=,,...,0 tak, aby % splnovali rovnici y = ax + b + e, kde e je normální náhodná % veličina s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou s. % Volte: a = ; b = ; s = 3; x = :0; % a) Provedte lineární regresní analýzu. % b) Body [x,y] i regresní přímku zobrazte. % c) Stanovte 0.05-interval pro směrnici reg. přímky. % d) Stanovte 0.05-interval pro regresní přímku v xp=6. % e) Testem korelačního koeficientu ověřte vhodnost regrese. % f) Provedte F-test regrese a porovnejte t-testem. n=length(x); e=s*randn(,n); y=a*x+b+e; % počet dat % šum % hodnoty y [b b0 r]=reg_desc(x,y); yp=lin_pred(x,[b b0]); if, axis([0,,0,30]); % osy else axis([min(x)-,max(x)+,min(y)-,max(y)+]); end fig plot(x,y, o,x,yp, +-g ); % graf hold on xp=6; alpha=.05; alt= <> ; disp( is_e interval spolehlivosti pro stredni hodnotu ) disp( is_r interval spolehlivosti pro predikci ) disp( pval_a p-hodnota pro test "smernice reg. pr."=0 ) disp( pval_p p-hodnota pro test "korelacni koef."=0 ) disp( ) [is_a,is_e,pval_a,pval_r]=reg_infe(x,y,xp,alpha,alt) plot(xp,is_e(), xb,xp,is_e(), xb ); title( Linearni regrese ) hold off 35

36 ****************** p093 ****************** % P093 - Pás spolehlivosti % % Generujte datové dvojice [x,y], pro x=,,...,0 tak, aby % splnovali rovnici y = ax + b + e, kde e je normální náhodná % veličina s nulovou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou s. % Volte: a = ; b = ; s = 0; x = :0; % Určete pás spolehlivosti pro regresné přímku. % ŘESENÍ n=length(x); % počet dat e=s*randn(,n); % šum y=a*x+b+e; % hodnoty y mx=mean(x); % průměr x my=mean(y); % průměr y sx=var(x)*(n-); % součet čtverců pro x sxy=cov(x,y)*(n-); % součet čtverců pro x,y sy=var(y)*(n-); % součet čtverců pro y disp( Koeficienty regrese ) b=sxy/sx % směrnice b0=my-b*mx % absolutní člen r=sxy/sqrt(sx*sy) % korelační koeficient se=sqrt(sy-b*sxy)/(n-); % standard error t_kr=t_inv(.95,n-); % kritická t-hodnota yp=[]; y=[]; y=[]; for xi=x ypi=b0+b*xi; % predikce yp=[yp ypi]; del=t_kr*se*sqrt(/n+(xi-mx)^/sx); y=[y ypi-del]; % intervaly y=[y ypi+del]; % spolehlivosti end if, axis([0,,0,30]); % osy else axis([min(x)-,max(x)+,min(y)-,max(y)+]); end fig plot(x,y, o,x,yp, +-g ); % graf hold on plot(x,y,x,y); title( Pas spolehlivosti ) hold off 36

37 ****************** p0 ***************** % P0 - Regresní analýza % % V letech 999, 000, 00, 00 a 003 byl zaznamenáván % počet obyvatel, využívající pražké metro. Změřené údaje % byly přepočítány na realtivní hodnoty (počet obyvatel % přepravených za vteřinu) a jsou y = [ ]; % Vypočtěte % a) lineární regresi, % b) polynomickou regresi stupně a 3 a % c) exponenciální regresi, % d) pro všechny regrese určete predikci osob přepravených % za jeden den pro rok 00. x = [- 0 3]; % a) disp( Koeficienty linearni regrese ) p_lin=lin_reg(x,y) % b) disp( Koeficienty polynomialni regrese radu ) p_pol_=pol_reg(x,y,) disp( Koeficienty polynomialni regrese radu 3 ) p_pol_3=pol_reg(x,y,3) % c) disp( Koeficienty exponencialni regrese ) p_exp=exp_reg(x,y) % d) xp = 0; k = 60*60*4; disp( Predikce s linearni regresi ) y_lin= k*lin_pred(xp,p_lin) disp( Predikce s polynomialni regresi radu ) y_pol_=k*pol_pred(xp,p_pol_) disp( Predikce s polynomialni regresi radu 3 ) y_pol_3=k*pol_pred(xp,p_pol_3) disp( Predikce s exponencialni ) y_exp= k*exp_pred(xp,p_exp) ****************** p0 ***************** % P0 - Vícenásobná regrerse pro reálná data 37

38 % % V strahovském tunelu nyly měřeny hustoty a intenzity % dopravního proudu na 0 vybraných místech. Měření % se provádělo každých 5 min. Změřená data jsou v souboru % data5. % a) Provedte regresi první měřené veličiny v závislosti % na třech dalších veličinách. % b) Testujte vhodnost této regrese. load data5 % 000=současnost a my ii=000:-:600; % bereme 400 vzorků id=0; % zpoždění mezi y a x y=x(,ii) ; % nezávisle proměnná x=x(:4,ii-id) ; % závisle proměnné p=lin_reg_n(x,y); % odhad parametrů yp=lin_pred_n(x,p); % predikce np=length(p); % počet odhadnutých parametrů f_test_pred(y,yp,np); wztest(y-yp); % F-test regrese % test na nezávislost reziduí fig plot(:length(y),y, ro,:length(yp),yp, cx ); title( Vicenasobna regrese pro realna data ) ylabel( data (r), predikce (b) ) xlabel( cas vzorkovani ) ****************** p03 ***************** % P03 - Vícenásobná regrerse pro simulovaná data % % Generujte 4 nezávislé, normálně rozložené náhodné % veličiny x a na nich lineárně závislou náhodnou % veličinu y s koeficienty ps=[ ] ; % kde ps(5)=8 je absolutní člen. Tj. generující rovnice % je y=p()*x+..+p(4)*x4+p(5)+e. % a) Provedte lineární regresi y v závislosti x. % b) Testujte vhodnost této regrese. 38

39 n=000; a=0; np=length(ps); x=randn(n,np-); d=[x ones(n,)]; y=d*ps+a*randn(n,); p=lin_reg_n(x,y); yp=lin_pred_n(x,p); f_test_pred(y,yp,np); wztest(y-yp); % velikost výběru % směr. odch. poruchy % počet parametrů simulace % nezávisle proměnné % data % závisle proměnná % odhad parametrů % predikce % F-test regrese % test nezávislosti reziduí fig plot(:length(y),y, ro,:length(yp),yp, cx ); title( Vicenasobna regrese pro simulovana data ) ylabel( data (r), predikce (b) ) xlabel( cas vzorkovani ) ****************** p04 ***************** % P04 - Vícenásobná regrerse pro simulovaná data % % Generujte nezávislé veličiny x a na nich lineárně % závislou náhodnou veličinu y s koeficienty ps=[. 3 5] ; % kde ps(3) je absolutní člen. Tj. generující rovnice % je y=p()*x+p()*x+p(3)+e. % a) Provedte lineární regresi y v závislosti x. % b) Testujte vhodnost této regrese. %!!! nebezpecí kolinearity x!!! n=00; a=.; b=.0000; np=length(ps); x=(:n) +b*rand(n,); x=(n:-:) *.; x=[x x]; d=[x ones(n,)]; y=d*ps+a*randn(n,); p=lin_reg_n(x,y); yp=lin_pred_n(x,p); % počet dat % směr. odch. šumu % nezávislost x a x % (daná šumem s amplitudou b) % počet parametrů % první nezávisle proměnná % druhá nezávisle proměnná % nezávisle proměnné % data (do regrese) % závisle proměnná % odhad parametrů % predikce 39

40 f_test_pred(y,yp,np); wztest(y-yp); % F-test regrese % test nezávislosti reziduí fig plot(:length(y),y, ro,:length(yp),yp, cx ); title( Vicenasobna regrese s linearni vabou v regresnim vektoru ) ylabel( data (r), predikce (b) ) xlabel( cas vzorkovani ) 5.8 ANOVA ****************** p ***************** % P - Analýza rozptylu ANOVA (jednoduché třídění) % % Pro automobily určitého typu byla zjištována minimální % spotřeba pohonných hmot. Na třech vybraných automobilech bylo % provedeno pět měření s výsledky x=[ ]; % první soubor x=[ ]; % druhý soubor x3=[ ]; % třetí soubor % Testujte tvrzení všechny automobily jsou na tom se spotřebou % stejně. x=[x x x3 ]; [n,a]=size(x); m=mean(x); s=var(x); sx=var(m); sp=sum(s)/a; F=n*sx/sp; pv=-f_cdf(f,a-,a*(n-)); % datová matice % počet měření / automobilů % stření hodnoty souborů x,x,x3 % rozptyly souborů % rozptyl střeních hodnot % normování % statistika % p-hodnota fprintf( Testovani spotreby automobilu\n ); fprintf( H0: spotreby jsou stejne\n\n ) fprintf( p-hodnota testu: %g\n,pv); % Hotové funkce jsou: 40

41 %% ekvivalentní zadání % pv=anova(x) %% zadání vhodné pro různě dlouhé soubory % y=[x x x3]; % g=[ones(n,); *ones(n,); 3*ones(n,)]; % [PVAL, F, DF_B, DF_W] = anova (y,g) ****************** p ***************** % P - Analýza rozptylu ANOVA (dvojné třídění) % % Na třech strojích pracuje pět operátorů. Byl zjištován hodninový % výkon strojů při obsluze jednotlivými operátory. Naměřené % hodnoty jsou uvedeny v tabulce (sloupce - stroje, řádky - % operátoři) V=[ ; ; ; ; ]; % Zjistěte, zda na hladině 0,05 existují rozdíly mezi % stroji a mezi operátory. anova_(v); % Pro zobrazení výsledků jsme využili vnitřní tisk. % Stroje (sloupce): je-li první p-hodnota (pro sloupce) % menší než 0.05, jsou podtatné rozdíly % mezy stroji % Operátoři (řádky): je-li druhá p-hodnota (pro řádky) % menší než 0.05, jsou podtatné rozdíly % mezy operátory ****************** p3 ***************** % P3 - Predikce simulovaných dat z lineární regrese %

42 % Ověřte kvalitu predikce pomocí lineární regrse. Data % simulujte pomocí statického regresniho modelu s deseti % nezávisle proměnnými, generovanými jako standardní bílý % šum. Koeficienty regrese jsou p = [ ]; % a směrodatná odchylka šumu s = 0.; % Vytiskněte výsledky F-testu a predikci zobrazte v grafu. nt=000; % počet dat Y=[]; F=[]; for t=:nt % simulace e=s*randn; % šum x=randn(,0); % nezáv. proměnná y=p*x +e; % záv. proměnná % datová matice Y=[Y; y]; % výstup F=[F; x]; % datová matice end Fi=F(:,[ 5 6]); % data pro odhad disp( Odhad parametru ) ps=inv(fi *Fi)*Fi *Y % odhad parametrů Yp=Fi*ps; % predikce ep=y-yp; % chyba predikce disp( Hodnata kriteria nejmensich ctvercu ) J=ep *ep/nt % kriterium f_test_pred(y,yp,length(ps)); % f-test fig plot(:nt,y, r.,:nt,yp, c. ) title( Predikce (b) realnych dat (r) ) ****************** p4 ***************** % P4 - Predikce reálných dat z lineární regrese % % Ověřte kvalitu predikce pomocí lineární regrse. Pro regresi % použijte reálná data ze souboru "data5" - obsazenosti a intenzity % ze strahovského tunelu. Jako závisle proměnnos volte data z prvého % řádku a za nezávisle proměnné vezměte data z až 5 řádku. Zobrazte % výsledky F-testu a predikci ukažte v grafu. nt=000; load data5 % počet dat % data z disku 4

43 Y=x(,:nt) ; Fi=x(:5,:nt) ; % datová matice disp( Odhad parametru ) ps=inv(fi *Fi)*Fi *Y % parametry Yp=Fi*ps; % predikce ep=y-yp; % chyba predikce disp( Hodnata kriteria nejmensich ctvercu ) J=ep *ep/nt % kriterium f_test_pred(y,yp,length(ps)); % f-test regrese fig plot(:nt,y, r.,:nt,yp, c. ) % grag title( Predikce (b) realnych dat (r) ) 5.9 Analýza hlavních komponent ****************** p ***************** % P - Redukce datovych velicin pomoci rozkladu % kovariancni matice (vlastni cisla a vektory) % % V souboru data5 jsou v matici x uložena % data (hustoty a intenzity dopravního proudu - po řádcích) % ze strahovského tunelu. Provedte redukci pomocí rozkladu % kovarianční maice pro prvních pět veličin souboru. load data5 al=.95; n=5; nd=000; D=x(:n,:nd); pca_eig(d,al); % podil zachovaneho rozptylu % pocet velicin % pocet dat % datova matice % redukce ****************** p ***************** % P - Redukce datovych velicin pomoci rozkladu % datove matice (svd rozklad) % % V souboru data5 jsou v matici x uložena % data (hustoty a intenzity dopravního proudu - po řádcích) % ze strahovského tunelu. Provedte redukci pomocí SVD 43

44 % rozkladu datové matice pro prvních pět veličin souboru. load data5 al=.9; n=00; y=x(,:n); d=x(:6,:n); D=[y d ]; pca_svd(d,al); % podil zachovaneho rozptylu % pocet dat % nezavisle promenna % zavisle promenne % rozsirena datova matice % redukce ****************** p3 ***************** % P3 - Redukce řádu regresního modelu % a ověření pomocí predikce % % a) Generujte data regresním modelem % y(t)=b()*u(t)+a()*y(t-)+b()*u(t-)+a()*y(t-)+ % +b(3)*u(t-)+a(3)*y(t-3)+b(4)*u(t-3)+k+e(t) % kde a=[ ]; b=[ ]; k=.3; % b) Provedte redukci dat pomocí rozkladu datové matice % a utčete transformační matici pro tuto redukci. % c) Dalších 000 vzorků generovaných ze stejného % regresního modelu redukujte pomocí nalezené % transformační matice a odhadujte redukované regresní % koeficienty. % d) Kvalitu odhadu z redukovaných dat ověřte porovnáním % predikce redukovným modelem a simulovaných dat z % regresního modelu. na=length(a); nb=length(b)-; ns=max(na,nb); n=(:na+nb+)+; ps=[a b k]; al=.9; ni=00; 44

45 y=zeros(,ni); u=y; e=randn(,ni); % datová matice z prvních 00 vzorků a jejich redukce D=[]; for t=ns+:ni u(t)=rand; f=[y(t-:-:t-na) u(t:-:t-nb) ]; y(t)=ps*f +.*e(t); D=[D; [y(t) f]]; end%for [i,dd,sn,dd,p]=pca_svd(d,al); n=000; y=zeros(,n); u=y; e=randn(,n); % odhad parametrů z redukovaných dat (q) Dr=[]; for t=ns+:n u(t)=rand; f=[y(t-:-:t-na) u(t:-:t-nb) ]; y(t)=ps*f +.*e(t); Dr=[Dr; [y(t) f*dd]]; end%for w=dd *DD+Dr *Dr; n=:length(w); q=inv(w(n,n))*w(n,); % predikce z redukovaného modelu Dry=Dr(:,); Drf=Dr(:,n); yp=zeros(,n-ns); for t=:n-ns yp(t)=q *Drf(t,:) ; end%for % porovnání predikce s daty disp( Normovany soucet ctvercu chyb predikce ) ep=dr(:,) -yp; pe=ep*ep /n fig plot(:length(dry),dry,:length(yp),yp) title( Data a jejich predikce ) 45

46 cv0.doc Čebyševova nerovnost Nechť X je náhodná veličina se střední hodnotou E [X ] = µ a rozptylem D[ X ] P ( X E[ X] ε). ε Pro výběrový průměr X : σ P ( X µ ε). nε D [ X ] = σ. Pak platí. Příklad Jak velký musí být rozsah náhodného výběru, z náhodné veličiny se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ, aby se výběrový průměr x nelišil od střední hodnoty µ o více než σ / s pravděpodobností 0,9. Řešení: P X σ σ µ σ n = 0,9 = 0,9 n = 40 n Poznámka: Z Čebyševovy nerovnosti nás zajímá jen pravá strana.. Příklad Počet aut přijíždějících na křižovatku v určitém časovém okamžiku má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 0. Určete dolní hranici pravděpodobnosti, že skutečný počet aut, která do křižovatky v tomto intervalu přijedou, bude větší než 00 a menší než 40. Řešení: X počet aut, µ = σ = 0. P ( X µ 0 0) 0, 7 0 =. 3. Příklad Průměrná spotřeba masa v jedné domácnosti za rok je 60 kg. Jaká je pravděpodobnost, že spotřeba přesáhne 30 kg, jestliže směrodatná odchylka spotřeby je 40 kg? Řešení: X spotřeba masa. Pro symetrické rozdělení je P ( X 60) = 6

47 cv0a.doc Pravděpodobnosti kvantily a kritické hodnoty Definice kvantilu ζ α : P ( X < ζ α ) = α, kritické hodnoty α Zobrazení pomocí hustoty pravděpodobnosti z : P( X z ) = α > α α α ζ α zα z α ζ α Z obrázku je patrné, že platí (jen pro symetrické rozdělení) α = ζ α, zα = z = z, z = ζ ζ α ζ α α α α Pomocí těchto vzorečků lze v tabulkách kvantilů (kde jsou jen kladné hodnoty) hledat i záporné kvantily, nebo kritické hodnoty. Pravděpodobnost normované náhodné veličiny Z. P( Z <,8) =? [0,96]. P( Z >,8) =? [ = P( Z <,8 ) = 0,96 = 0,04] 3. P( Z <,8) =? [ = P( Z <,8 ) = 0,04] 4. P( Z >,8) =? [ = P( Z <,8 ) = 0,96] Pravděpodobnost nenormované náhodné veličiny X, E[ X ] = µ, D[ X ] = σ Normování µ Z = X σ 47 Je dána náhodná veličina X se střední hodnotou µ = 5 a rozptylem σ = 9. Určete následující pravděpodobnosti

48 cv0a.doc Pravděpodobnosti a kritické hodnoty. Příklad Nechť Z je normálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotou 0 a rozptylem. Určete. ( Z >,96) =? P [0,05]. ( Z >,96) =? P [.0,05 = 0,05] 3. P ( Z,96) =? [ ( Z >,96 ) = 0, ( Z >?) = 0, 05 P [,645] 5. ( Z >?) = 0, 05 P [,96] 6. ( Z?) = 0, 05 P [-,645] Řešení: Excel Výpočet pravděpodobnosti a.96 P(Z>a)=? =-NORMSDIST(B) =-NORMDIST(B;0;;) Určení kritické hodnoty p 0.05 P(Z>?)=p =-NORMSINV(B5) =-NORMINV(0.05;0;) P ]. Příklad Nechť X je normálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotou µ = 5 a směrodatnou odchylkou σ = 3. Určete ( X >0.88) =? P [0,05] Řešení: X µ Z = =,96 σ p = 0,05 Excel m 5 Z.96 =(B3-B)/B s 3 p =-NORMSDIST(E) a =-NORMDIST(B3;B;B;) 3. Příklad Uvažujme výběr X o velikosti 50 z náhodné veličiny X N ( µ = 5, σ = 84) S je výběrový součet. Určete 48. ( X >0 ) =? ( ) [0,] P [0,000]. X je výběrový průměr a

49 cv0b.doc Pravděpodobnost, že. Příklad Z lékařských šetření je známo, že výška chlapců ve věku 9-0 let má normální rozdělení N ( µ,σ ) kde µ =39, a σ = 40,. Změřili jsme výšku u 5 chlapců a vypočetli její průměr. S jakou pravděpodobností bude tento průměr větší než 40? Řešení: X výška vybraného chlapce X výběrový průměr z výšek 40 µ ( X > 40 ) = P Z > n P( Z > 0,55) = 0, 9 P σ = Excel: a 40 n 5 mi 39. sig 40. E[mX] 39. =B3 D[mX].68 =B4/B P(mX>a)=? 0.94 =-NORMDIST(B;B5;ODMOCNINA(B6);). Příklad Hmotnost výrobků v gramech má normální rozdělení N ( µ = 000, σ = 6). Jaká je pravděpodobnost, že průměrná hmotnost n náhodně vybraných výrobků bude větší, než 00g, je-li počet vybraných výrobků: a) 8, b), c) 6? Řešení: X hmotnost výrobku X hmotnost výběrového průměru P a) n = 8, P( Z > ) = 0, 079 b) n =, P( Z > 3 ) = 0, 04 c) n = 6, P( Z > ) = 0, 03 Excel (ad ) a 00 n 8 mi 000 sig 6 00 µ n ( X > 00) = P Z > n = P Z > σ E[mX] 000 =B3 D[mX] =B4/B 49 P(mX>a)=? =-NORMDIST(B;B6;ODMOCNINA(B7);)