Rotace ve 3D a kvaterniony. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 1 / 16

Transkript

1 Rotace ve 3D a kvaterniony Eva Blažková a Zbyněk Šír MÚ UK Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 1 / 16

2 Eulerovy úhly Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 2 / 16

3 Eulerovy úhly - maticový zápis R(α, β, γ) = cos α sin α 0 cos β 0 sin β sin α cos α cos γ sin γ sin β 0 cos β 0 sin γ cos γ Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 3 / 16

4 Eulerovy úhly - nevýhody závislost na souřadném systému souřadný systém je lokální vůči tělesu závislost na pořadí rotací složitý inverzní problém singularity (gimbal lock)... Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 4 / 16

5 William Rowan Hamilton komplexní čísla zkouší vymyslet něco podobného pro 3D geometrii Every morning on my coming down to breakfast, your little brother William Edwin, and yourself, used to ask me: Well, Papa, can you multiply triplets? Whereto I was always obliged to reply, with a sad shake of the head: No, I can only add and subtract them. 16. října 1843 objev kvaternionů vyryl jejich rovnici do Broughamského mostu po zbytek života se věnoval jejich vlastnostem Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 5 / 16

6 Kvaterniony - definice H = {q q = a + bi + cj + dk, a, b, c, d R, i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1} zápis H q = a + bi + cj + dk = (a, v), kde s R, v = (b, c, d) R 3 Sčítání q 1 + q 2 = (s 1, v 1 ) + (s 2, v 2 ) = (s 1 + s 2, v 1 + v 2 ) Násobení q 1 q 2 = (s 1 + x 1 i + y 1 j + z 1 k) (s 2 + x 2 i + y 2 j + z 2 k) = (s 1 s 2 x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ) + (s 1 x 2 + s 2 x 1 + y 1 z 2 y 2 z 1 )i + (s 1 y 2 + s 2 y 1 + x 2 z 1 x 1 z 2 )j + (s 1 z 2 + s 2 z 1 + x 1 y 2 x 2 y 1 )k q 1 q 2 = (s 1, v 1 ) (s 2, v 2 ) = (s 1 s 2 v 1 v 2, v 1 v 2 + s 1 v 2 + s 2 v 1 ) není komutativní 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 j i k Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 6 / 16

7 Definice skalární kvaternion - nulová vektorová část ryzí kvaternion - nulová skalární část opačný kvaternion ke kvaternionu q = (s, v) je kvaternion q = ( s, v). Mezi kvaterniony existuje jednotkový prvek vůči násobení 1 = (1, (0, 0, 0)), tedy q1 = 1q = q. konjugovaný kvaternion q = (s, v) = (s, v). norma kvaternionu q = (s, v) = (s, (x, y, z)): q = s 2 + x 2 + y 2 + z 2 = qq. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 7 / 16

8 Maticové zápisy kvaternionů Prvky 1, i, j, k můžeme reprezentovat jako komplexní matice ( ) ( ) 1 0 i 0 1 =, i =, i ( ) ( ) i j =, k =. 1 0 i 0 Pro kvaterniony máme maticové zápisy ( g h s + xi + yj + zk = g + hj = h ḡ kde g = s + xi a h = y + zi. ) = s x z y x s y z z y s x y z x s, Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 8 / 16

9 Jednotkové kvaterniony inverzní kvaternion k nenulovému kvaternionu q je kvaternion q 1 = q q 2. jednotkový kvaternion, je každý kvaternion, pro který platí: q = 1 množinu všech jednotkových kvaternionů označujeme H 1 Jedná se o multiplikativní grupu. Pro q, q 1 H 1 platí: qq 1 = 1 a q 1 = q. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 9 / 16

10 Rotace ve 3D Každý jednotkový kvaternion q lze zapsat v následujícím tvaru: q = (cos α, n sin α), kde n je jednotkový vektor v R 3 a α [0, π]. Věta: Pro pevný jednotkový kvaternion q je zobrazení R 3 R 3 r qr q rotací kolem osy n o úhel 2α proti směru hodinových ručiček. Pro nejednotkový kvaternion p máme kde q = p p. prp 1 p = pr p 2 = p p r p p = qr q, Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 10 / 16

11 Rotace ve 3D - Rodriguesova formule Jak spočítáme rotaci kolem jednotkového vektoru r R 3 kolem vektoru n o úhel θ. r = r 1 + r 2 r 1 projekce do n, r 1 = (r n)n r 2 kolmý k n, r 2 = r r 1 v (r )2 θ r2 v kolmý k n, r 2, v = n r 2 = n r r1 = (r )1 (r ) 2 = r 2 cos θ + v sin θ n (r ) 1 = r 1 r = (1 cos θ)(r n)n + r cos θ + (n r) sin θ r r Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 11 / 16

12 Formule pro kvaterniony Co udělá s ryzím kvaternionem r zobrazení r qr q, kde q je jednotkový kvaternion? můžeme psát q = (cos α, n sin α), kde n = 1 využijeme vzorce v 1 (v 2 v 3 ) = (v 1 v 3 )v 2 (v 1 v 2 )v 3 upravíme (s, v)(0, r)(s, v) 1 = (0, (s 2 v v + 2(v r)v + 2s(v r)) provedeme substituci s = cos α and v = n sin α dostáváme (s, v)(0, r)(s, v) 1 = (0, (1 cos 2α)(r n)n + r cos 2α + (n r) sin 2α) Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 12 / 16

13 Rotace pomocí kvaternionů Theorem (Euler) Složení dvou rotací je opět rotace Důkaz. q 2 (q 1 pq 1 1 )q 1 2 = (q 2 q 1 )p(q 2 q 1 ) 1 Theorem Zobrazení, které q přiřadí zobrazení v qvq 1 je 2:1 homomorpfismus mezi grupou jednotkových kvaternionů a SO 3. Důkaz. q dává stejnou rotaci jako q. jednotkové kvaterniony jsou dvojitým nakrytím SO 3 dostaneme z toho Hopfovu fibraci S 3 S 2, kde fíbry jsou S 1. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 13 / 16

14 3D rotace pomocí kvaternionů Jednotkové kvaterniony q = (cos α, n sin α), kde n = 1, α [0, π]. Pro pevné q je r qr q (1) rotace kolem osy n o úhel 2α proti směru hodinových ručiček Zjevně q a q dávají stejnou rotaci Pro nejednotkový kvaternion p máme prp 1 p = pr p 2 = p p r p = qr q, (2) p takže vlastně točíme jednotkovým kvaternionem q = formule (1). p p pomocí Jako cvičeníčko: jak vypadají všechny jednotkové kvaterniony, které rotují vektor [1, 0, 0] na vektor [0, 1, 0]? Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 14 / 16

15 Interpolace poloh objektu ve 3D Máme 2 polohy objektu dané jednotkovými kvaterniony {q 0, q 1 } a chceme přejít spojitě od jedné ke druhé. Nejjednoduší je LERP (linear interpolation), tedy vypočítat q t = (1 t)q 0 + tq 1 a použít formuli (2). Ale to je vlastně rotace pomocí jednotkového kvaternionu (1 t)q 0 + tq 1 (1 t)q 0 + tq 1, což taková krása není. Lepší je SLERP (spherical linar interpolation) q t = sin(1 t)θ sin tθ q 0 + sin θ sin θ q 1, (3) kde θ je úhel mezi q 0 a q 1 (bráno v R 4 ). Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 15 / 16

16 SLERP Věta: Formule (3) je rovnoměrná parametrizace kruhového oblouku mezi q 0 a q 1. SLERP a LERP probíhá stejné polohy, výhoda je SLERP je v rovnoměrnosti. Vždy je třeba případně vzít q 1 místo q 1 tak, aby θ π/2. Jinak by došlo k tomu, že se objekt do té samé polohy bude přesouvat doplňkovým (mnohem delším) způsobem. Pokud se kromě rotace objekt i posouvá, interpolujeme posunutí lineárně v R 3. Pokud máme posloupnost více poloh, interpolujeme každé dvě pozice (lomená sférická čára), nebo globálně pomocí sférického spline. Každá animace rotací je vlastně křivkou v jednotkových kvaternionech, tedy sférickou křivkou na S 3. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 16 / 16