Zákony bilance. Bilance hmotnosti Bilance hybnosti Bilance momentu hybnosti Bilance mechanické energie

Transkript

1 Zákony bilance Bilance hmonosi Bilance hybnosi Bilance momenu hybnosi Bilance mechanické energie

2 Koninuum ermodynamický sysém Pené ěleso = ěšinou uzařený sysém Konsanní hmonos - nezáisí na čase ochází k ýměně energie mezi sysémem a okolím přesupem epla a prací porchoých a objemoých sil Saoé eličiny: lak, objem, eploa, enropie exensiní (adiiní jsou úměrné množsí hmonosi sousaě : enropie, energie apod. ) a inensiní (nezáislé na množsí hmonosi: lak, eploa apod.)

3 X x Bilancoaná eličina X, x, Bilance eličiny má husou, maeriáloém a, prosoroém popisu. Celkoá hodnoa eličiny je dána inegrálem d d Časoá změna (přírůsek) eličiny může bý způsoben: 1. Příokem /odokem eličiny přes hranici ělesa J(Φ). znikem (zdrojem) / zánikem (propadem) eličiny uniř ělesa P(Φ) To yjadřuje bilanční ronice: d J d P, J da da,, husoy oku maer. a pros. popisu S s P d d,, husoy produkce eličiny

4 Reynoldsů ransporní eorém I. RTT má jméno po Osborne Reynoldsoi ( ) RTT se použíá při deriaci eličin inegrálech Použíá se při formulaci základních zákonů zachoání mechanice koninua ronicích Naier-Sokes

5 Reynoldsů ransporní eorém II. Časo pořebujeme maeriáloou deriaci inegrálů ypu: x I, d, Kde inegroaná funkce i inegrační oblas jsou prosoroé konfiguraci Oblasí inegrace je objem, kerý se mění s časem a edy nelze prohodi derioání a inegroání Inegrál přeedeme do maeriáloé konfigurace: I I, d,, J, d x X X Nyní se oblas inegrace nemění a lze prohodi inegraci a deriaci nejpre derioa za inegr. symbolem

6 Reynoldsů ransporní eorém III. I,, J, d X X X,, J X, X,, J X, d J X, X,, X,, J X, d. J, X Nyní lze inegrál přeés zpě do prosoroé konfigurace: J J X, X, X x x x I,, di, d, di x,, J, d d, d di d.

7 Reynoldsů ransporní eorém I. Budiž T liboolná skalární, ekoroá, nebo enzoroá funkce x X T,,, Plaí: ůkaz: x, X, X, T d, T d d Jd d Xkons X, X, d d T d J T d T d.

8 Bilance hmonosi ronice koninuiy Předpokládáme, že během pohybu ělesa hmonos noě nezniká aniž by zanikala. Celkoá hmonos nějakého objemu je konsanní během pohybu. Předp., že ěleso čase = má husou ρ a objem a zaujímá oblas Ω, čase má husou ρ a objem a zaujímá oblas Ω. Z principu zachoání hmonosi yplýá: X x X X X X d d, d, kde J d J,, d globální ar, J,, = lokální ar. X J X,, X,, J, J di J ronice koninuiy di

9 Bilance hybnosi prosoroé konfiguraci objem yjmuý z deformoaného ělesa, S jeho porch. Na jednoku objemu působí spojiá objemoá síla b(x,), na porch oblasi působí ekor napěí (x,). ýsledná síla na yjmuou oblas,, f b x d x ds Hybnos oblasi: p x, d X, d p f x, d bx x Bilance hybnosi - maeriáloý časoý přírůsek hybnosi je roen ýsledné síle S, d, ds. a x, d b x, d x, ds prosoroé konfig. S S

10 Bilance hybnosi maeriáloých souřadnicích B=objemoá síla maeriáloém popisu (pseudo-síla) [N/m 3 ] T=napěťoý ekor maeriáloém popisu ) [N/m ] bx b X X BX, d,, J, d, d, S x, ds T X,, N ds, S d B X, d T X,, N ds. S 1. Cauchyho pohyboá ronice prosoroém a maeriáloém popisu: x,, n ds x, n ds di x, d, S S x, d ( b x, di x, ) d 1. Cauchy pohyb. ro. b di d ip B d ab ab di b ba a ip B Ba a xb XB P.

11 Bilance momenu hybnosi, symerie Cauchy napěťoého enzoru ýsledný momen sil působících na yjmuou oblas,, M r b x d r x ds S niřní momen hybnosi oblasi: J r x, d r X, d Bilance momenu hybnosi - maeriál. deriace mom. hybn. je rona ýsled. momenu J M, d, d, ds r x r b x r x T r x r x n r ε, ds, ds di : d, S S T T T r di b d ε : d ε :. S abc cb Pokud ělese nepůsobí objemoé síly podobě ronoměrně rozložených momenů (nepolární koninuum), je Cauchyho napěťoý enzor symerický. Cauchyho pohyboá ronice. yplýá z oho, že.p-k enzor napěí S a Kirchhoff. enz. nap. τ=jσ jsou roněž symerické.

12 Bilance mechanické energie = důsledek Cauchyho prní pohyboé ronice Předpokládáme dynamický proces daný Cauchyho enzorem napěí (x,) a pohybem x=χ(x,), kerý deformuje oblas Ω na Ω s hranicí δω nější mechanický ýkon P ex (), kineická energie K() a ýkon napěí P in () ýkon nějších sil : ýkon niřních sil : ex in ex b d ds, T : 1 1 Kineická energie : Bilance mechanické energie prosoroém popisu : in d d. d d r d d, Souče časoého přírůsku kineické energie a ýkonu niřních sil (ýkonu napěí) je roen ýkonu nějších sil (hmooých sil a porchoých sil). Je-li P ex =, pak se jedná o lasní kmiy. Pokud je roen časoý přírůsek K(), pak se jedná o kazisaický problém.,

13 niřní energie Zaeďme niřní energii - ermodynamická saoá eličina husoa niřní energie u(x,) na jednoku objemu deformoané konfiguraci. Pokud bereme úahu pouze mechanickou energii, pak časoý přírůsek niřní energie U() je roen ýkonu napěí P in (): u x, d, in Celkoá energie je souče kineické a niřní energie u d 1 1 ex u d b d d,

14 Bilance mechanické energie maeriáloém popisu ýkon nějších sil : B d T ds, ex 1 1 Kineická energie : d d, -1 FF ýkon niřních sil : : d d : d in -T -T T F : Fd JF : Fd P : Fd r P F d Bilance mechanické energie maeriáloém popisu: 1 d P : Fd B d T ds.

15 Konjugoané dojice = jejich skalární součin (dojí konrakce (:) napěťoého enzoru a sdruženého enzoru rychlosi deformace) předsauje skuečný fyzikální ýkon časoý přírůsek práce niřních sil (ýkon napěí) na jednoku objemu

16 in in in in in Alernainí yjádření pro ýkon napěí konjugoané dojice σ : d d, Cauchy enzor napěí : grad Jσ : d d, Finger enzor napěí : grad P : F d, 1. Piola-Kirch. enzor napěí : F 1 S : E d S : C d,. Piola-Kirch. : E T 1 T 1 1 : C Cd, Mandel enzor napěí J R σr : R d R d Jσ : d, in r r rooané σa d in symt : U d. Bio enzor napěí : U B