Matematika 2 (BMA2 + KMA2)

Transkript

1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Maemaika BMA KMA Auoři eu: Prof RNDr Fraišek Melkes, CSc Mgr Mari Řeáč

2

3 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Úvod a ařaeí předměu ve sudijím programu Úvod Předložeý elekroický e je urče především sudeům bakalářského sudia a FEKT VUT v Brě a o jak preečího, kombiovaého ak i disačího ypu Obsahuje ejprve úvod do eorie fukce více proměých, pakákladí kapioly oblasi řešeí difereciálích rovic, a poé ebyé pojedáí o fukci kompleí proměé jako maemaickém ákladu pro avaující kapioly o iegrálích rasformacích Veškerá láka je vhledem k rosahu a aměřeí eů probíráa ak, aby jedak v roumé míře a sroumielých působem popisovala ákladí problemaiku uvedeých maemaických disciplí a hlavě, aby umožňovala využií v prai Vážeí sudei, omluve prosím edosaky ohoo eu, keré časových důvodů ebylo možé upravi Jeho auor profesor Melkes emřel doslova při práci ad úpravami ohoo eu Je možé, že ěkeré ukáky, defiice ebo odkay a ě jsou uvedey s esprávým číslem kapioly Omluve epříomos shruí a oáek v kapiolách 7 a 8 Také ěkeré hypereové úpravy ebyly dokočey Předmě BMA je maemaických kursů ejěžší, ale ásledující e i ak v ěkerých pariích daleka překračuje jeho rámec Proo pro přípravu ke koušce jsou směrodaé pokyy koušejícího Na procvičeí kapiol -6 je ákladím doporučeým eem sbírka příkladů RNDr E Kolářové vi elekroické ey FEKT Příklady 6 až vsupího esu jsou i se svým vorovým řešeím dobrým úvodem ke kapiole 4 do problemaiky kompleích čísel Úvod do předměu Předmě Maemaika je ařae do druhého semesru bakalářského sudia a FEKT K jeho úspěšému vláduí je apořebí, aby sude byl v dosaečé míře seáme se ákladími maemaické pojmy, se áklady lieárí algebry a geomerie, s difereciálím a iegrálím počem jedé a eveuálě i více proměých a o v rosahu prerekviiího předměu Maemaika Do předměu Maemaika jsou ahruy dvě výamé maemaické disciplíy, keré velice ěsě souvisejí s čeými prakickými aplikacemi, a o jak echického ak i eechického charakeru Těmio disciplíami jsou difereciálí rovice a iegrálí rasformace Difereciálí rovice se vyskyují všude am, kde modelujeme působeí ějaké měy, pohybu, vývoje či růsu Sekáme se s imi apř při avrhováí elekrických obvodů, při aalýe fyikálích polí, při sledováí pohybu ěles, při vyšeřováí kocerace chemických reakcí, při sudiu ekoomických procesů, při popisu oku drojů v rží ekoomice, při modelováí růsu populace, při simulováí biologických pochodů a pod Při řešeí každého akového problému je ué, a o a ákladě vlasosí uvažovaé problemaiky, příslušou difereciálí rovici eveuálě sousavu difereciálích rovic ejprve sesavi a poé vhodým působem vyřeši V omo předměu se sesavováím difereciálích rovic, až a ě-

4 FEKT Vysokého učeí echického v Brě kolik málo výjimek, abýva ebudeme Zaměříme se je a vysvěleí a aplikováí ěkerých ákladích meod jejich řešeí V prai se ukauje, že moho kokréích úloh, vlášě úloh spojeých s lieárími difereciálími rovicemi, le úspěšě řeši aké pomocí řady formálích operací V případě éo v meody iegrálí rasformace posupujeme ásledově: adaý problém ejprve vhodým působem rasformujeme, rasformovaou a pravidla jedodušší úlohu vyřešíme a pěou rasformací pak ískáme řešeí původího problému Uvedeý posup se s výhodou aplikuje apř ve sdělovací echice, auomaiaci, eorii sysémů, eergeice, elekrických obvodech apod Eisuje řada roličých iegrálí rasformací V ěcho skripech se aměříme ejméa a Fourierovu a Laplaceovu rasformaci a a v a e plě iegrálí rasformaci Z S ohledem a aplikačí aměřeí eů budeme věšiu vreí formulova be příslušého důkau V ěkolika málo případech si však sručě aačíme, jak by se uvedeé vreí dokaovalo Přiom, pokud o bude možé, se budeme vyhýba složiým eoreickým úvahám Zaměříme se spíše a využií formulovaých vě při řešeí romaiých úloh Proo e doplňuje velké možsví řešeých úloh umísěých beprosředě a probraou lákou, keré se ýkají Tyo úlohy jsou dvojího druhu Úlohy s iulkem Ukáka mají ilusrova využií právě probíraé problemaiky a proo ejsou obvykle příliš složié Je u ich uvede dosaečě podrobý posup řešeí Někeré ěcho úloh budeme řeši více působy a o proo, abychom důraili romaios přísupu k řešeí adaého problému, což se může v prai projevi jako velice užiečé Úlohy s iulkem Ukáka aačují, že se jedá o poěkud obížější úlohu, kerou je možé při prvím čeí pomiou Proože se však i yo úlohy ýkají probíraé láky, je vhodé je při dalším čeí alespoň běžě projí Další řešeé i eřešeé příklady určeé k samosaé práci sudeů jsou uvedey v [ 7 ] eveuelě pro áročé čeáře i v [ 7 ] a příslušá počíačová cvičeí v [ ] Pokud se ěkerým čeářům budou dá jisé parie ěcho eů poěkud absrakí, je o je proo, abychom si připravili áklad pro případé prohloubeí láky vhledem k aplikacím Před vlasím čeím skrip bychom rádi upoorili a ěkerou užiou symboliku, kerá by mohla vés k edorouměí Symbolem C budeme v dalším roumě prosor všech spojiých fukcí, přičemž a eo symbol uvedeme, eveuelě v ávorkách, defiičí obor ěcho fukcí Tedy apř C<a, b> oačuje prosor všech spojiých fukcí jedé proměé defiovaých a iervalu <a, b> ebo CΩ je prosor spojiých fukcí defiovaých a oblasi Ω Podobě je o se symbolem C, kerý oačuje prosor všech fukcí, jejichž derivace - ého řádu jsou v příslušé oblasi spojié Na rodíl od ohoo oačeí budeme symbolem C oačova možiu všech kompleích čísel Pro jedodušeí ápisu ěkerých vahů budeme využíva v Kroeckerova symbolu Jedá se o dvouhodoovou veličiu, kerá je rova jedé, pokud i j a vymií, pokud i j Dá se aké vyjádři pomocí jedé relací δ ij ma i j, mi i j, Z hlediska úpravy eu se při práci s epoeciálí fukcí přidržíme ovějšího ápisu ep míso původího e

5 Maemaika Vsupí es Příklad Vysvělee výam symbolů,,!,,,,,,,,, výsledek Příklad Neguje ásledující složeý výrok a rohoděe o jeho pravdivosi: R: abc,, R, R: a b c výsledek Příklad Vysvělee výam oačeí číselých říd N, I, Q, R, C a C výsledek Příklad 4 Vyjádřee možiu M { R : a< < b} jedodušším ápisem výsledek Příklad 5 Jak je defiováa imagiárí jedoka? výsledek Příklad 6 Napiše algebraický, rigoomerický a epoeciálí var kompleího čísla výsledek Příklad 7 Záorěe v Gaussově kompleí roviě velikos modul a argume kompleího čísla a číslo kompleě sdružeé výsledek Příklad 8 Příklad 9 Jak í Moivrova věa? výsledek Popiše působ odmocňováí kompleího čísla výsledek Příklad Vypočěe a v Gaussově roviě áorěe řešeí algebraické rovice 6 pro C výsledek Příklad Určee, pro keré hodoy parameru c R je přímka p vyjádřeá rovici y c a ečou, b sečou, c vější přímkou kružice k se sředem S [,-] a poloměrem r výsledek Příklad Uveďe defiici derivace fukce jedé proměé a aače její geomerický a fyikálí výam výsledek Příklad Popiše, co roumíe pod pojmem úplý oálí difereciál výsledek Příklad 4 Vyšeřee průběh fukce f e výsledek Příklad 5 Vysvělee rodíl mei určiým a eurčiým iegrálem výsledek Příklad 6 Meodou per pares ajděe iegrál e d výsledek Příklad 7 5d Vypočěe eurčiý iegrál výsledek 5 Příklad 8 Proud v elekrickém obvodu je dá vahem i 4 5 e b, kde b je kladá kosaa Určee celkový áboj Q i d výsledek

6 4 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Fukce více proměých Cíle kapioly: V éo kapiole se sručě seámíme se ákladími pojmy, keré se ýkají fukcí více proměých a jsou ebyé pro výklad dalších émaických celků probíraých v rámci předměu BMA To ameá, že i áplň kapioly je ak poameáa a eobsahuje proo i ěkeré sadardě probíraé pasáže a řešeí ěkerých ypických příkladů Dalším omeeím je aměřeí se ejméa při geomerických ierpreacích a fukce poue dvou proměých Too je moivováo achováím áorosi, eboť při omo omeeí budou aše úvahy probíha v rojroměrém Euklidovském prosoru Zavedeí pojmu fukce dvou proměých je doplěo pojmy globálích charakerisik, jako jsou vrsevice a obecě hladiy Po ebyém seámeí se s pojmy limia a spojios fukce více proměých, je pooros aměřea a problemaiku parciálích derivací a difereciálů spolu s jejich využiím A o jak ke sudiu lokálích vlasosí fukcí gradie fukce a derivace ve směru, ak i pro přibližý výpoče fukčích hodo a saoveí ečé roviy a ormálové přímky Dále jsou uvedey ěkeré ámé difereciálí operáory Závěrem je využio parciálích derivací k uvedeí ěkerých kvaliaivích vlasosí řešeí rovic o dvou a řech proměých Defiice a ákladí pojmy Reálou fukcí reálých proměých roumíme obraeí f možiy D f a možiu H f, j f : D f H f, kde D f R aýváme defiičím oborem a H f R oborem hodo fukce f Fukci obvykle apisujeme ve varu y f,,, ebo kráceě f,, V případě fukce dvou proměých resp ří proměých obvykle preferujeme ápis f, y resp u f, y, Příklady akovýcho fukcí mohou bý ámé jedoduché vorce Objem V roačího válce je fukcí poloměru R podsavy a výšky v, což apíšeme V V R, v π R v Aalogicky objem V komolého roačího kužele je fukcí ří proměých výšky v a poloměrů R, r jeho spodí a horí podsavy, což apíšeme π v V V Rvr,, R Rr r Fukci dvou proměých f, y obvykle áorňujeme pomocí grafu jako možiu bodů [, y, f, y] v v Euklidovském prosoru dimee E Pro grafické á- orěí v dvouroměrém vyjádřeí obráek využíváme časo v meodu roviých řeů Speciálím případem ěcho křivek jsou vrsevice, což jsou průsečice grafu fukce s roviami ypu Ierpreujeme-li emský povrch lokálě jako fukci dvou proměých, kdy dvojici čísel, chápaých jako eměpisá šířka a délka bodu emského povrchu, 4

7 Maemaika 5 přiřadíme jeho admořskou výšku, je ako avedeá křivka vrsevicí a mapě Pro fukce proměých defiujeme hladiu fukce y f,,, a úrovi c R jako možiu bodů {[,, ] D f f,, c} V ásledujících obracích je pro výše uvedeou fukci objemu roačího válce v ávislosi a poloměru podsavy R [,] a výšky ělesa v [,] áorě graf a vrsevice: Poameejme, že volba iervalů R [,], v [,] eávisle proměých byla dáa rohoduím auora Pokud eí součásí adáí fukce saoveí defiičího oboru D f, apř u míěého příkladu je vhodé požadova D f [, [, ve shodě s geomerickým výamem proměých R, v, má se a o, že jím je maimálě přípusá možia Naleeí D f a vymeeí oboru hodo je H f a vrsevic je ypickým příkladem Ukáka : Pro fukci y určee defiičí obor, obor hodo a vrsevice Defiičí obor je dá splěím erovosi y, čemuž odpovídá kruh se sředem v počáku o poloměru, ebo-li D f {[ y, ] y } Výra pod odmociou abývá maimálí hodoy a přípusé miimum je Z oho vyplývá obor hodo H f [,] Při určováí vrsevic hledáme možiy bodů [ y, ] R, jejíž souřadice vyhovují rovici y c, pro vrsevici výšky c j průsečici grafu fukce s roviou c Řešeími ěcho rovic jsou kružice se sředem v počáku o poloměru c 5

8 6 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Pro fukce, keré mají eprádý průik defiičích oborů, avádíme aalogicky jako u fukce jedé reálé proměé algebraické operace, což jsou fukce defiovaé a omo průiku vahy: f ± g X f X ± g X, α f X α f X, α R f f X fg X f X g X, X, jeli g X, g g X kde X [,, ] R Při operaci skládáí fukcí více proměých je siuace složiější Pro fukci y f u, u m proměých, kerá je vější složkou složeé fukce, požadujeme m eiseci m -ice fukcí ui ui,, proměých což kráceě apisujeme U X, u,,,, keré mají eprádý průik defiičích oborů i m m D I Du a avíc pro jejich obory hodo plaí Hu Hu i Hu m D f pro i,,m Poom defiujeme složeou fukci f U X f u,, um,, f u,,,, um,,, kerá je defiováa a možiě D i i Bodové možiy Při sudiu lokálích vlasosí fukcí více proměých je vhodé avés ěkeré pojmy popisující vlasosi podmoži v R Základím pojmem je vdáleos dvou bodů : v X, Y v[,, ],[ y,, y ] y y δ -okolím bodu X aýváme možiu U X, δ { X R v X, X < δ}, případě redu- kovaýmδ -okolím bodu X aýváme možiu U X, δ { X R < v X, X < δ} Dále řekeme, že bod X je viřím bodem možiy A, jesliže eisuje δ akové,že U X, δ A, dále jej avememe hromadým bodem možiy A, jesliže v každém δ - okolím bodu X, eisuje bod X akový, že X A, aveme jej hraičím bodem možiy A, jesliže v každém δ -okolím bodu X, eisují body X, X akové, že X Aasoučasě X A a koečě X aveme bodem uávěru A možiy A, jesliže pro každé δ -okolí bodu X plaí, že U X, δ A Možiu A aveme oevřeou možiou, jesliže každý její bod je viřím bodem možiy, aveme uavřeou, jesliže A A Hraicí A možiy A aveme možiu všech jejích hraičích bodů 6

9 Maemaika 7 Limia, spojios Při aváděí pojmů limiy a spojiosi posupujeme aalogicky jako u fukce jedé proměé Řekeme, že fukce f má v bodě A, kerý je hromadým bodem D f, limiu L, jesliže U L U A: f U A U L, j ke každému ε >, eisuje δ > akové, že pro každý bod X U A, δ plaí f X U L, ε, což apisujeme lim f X L Podobě jako u fukce jedé proměé, X A le defiice limiy přímo dokáa mohá vreí Například fukce f X má v bodě A ejvýše jedu limiu, dálším je v věa o erovosech: Jesliže plaí pro každé X UA g X f X h X a avíc lim g X lim h X b, pak aké plaí lim f X b X A X A X A Pro algebraické operace fukcí plaí ásledující rovosi, přičemž eisece výraů vpravo plye eisece výraů vlevo: lim f X g X lim f X lim g X, X A lim X A lim αf X α lim f X, f X g X lim f X X A f X g X lim f X lim g X, lim, je li lim g X X A X A X A X A X A X A lim g X X A X A α R Řekeme, že fukce f X je spojiá v bodě A, pro kerý A D f, jesliže má v omo bodě limiu a plaí X A lim f X X A f A Poameejme, že vhledem eiseci limi fukcí, keré jsou výsledky s algebraickými operacemi s fukcemi majících limiu, plaí aké, že výsledekem algebraické operace se spojiými fukcemi je spojiá fukce Pro složeou fukci plaí: Eisuje-li kompoice f g, lim g X b X A a avíc je obraeí f spojié v bodě b, poom aké lim f g X X A f b Tao věa spolu s předcháející poámkou umožňuje vrdi: elemeárí fukce jsou spojié am kde jsou defiovaé, přičemž a elemeárí fukce považujeme mociou fukci, fukce goiomerické, epoeciálí, hyperbolické dále fukce k im iverí a fukce, keré vikly koečým počem algebraických operací a operací skládáí ěcho fukcí Tao skuečos je podsaá při saoveí posupu při výpoču limiy, kdy ejdříve u školích příkladů kusíme vypočís fukčí hodou elemeárí v bodě, v ěmž jišťujeme limiu, a eisuje-li ao fukčí hodoa poom eisuje i limia a jsou si rovy V úvahách o eiseci limi je vhodé užíva speciálího pojmu limiy fukce f vhledem k možiě Řekeme, že fukce f X má v bodě A, kerý je hromadým bodem D f, limiu L vhledem 7

10 8 FEKT Vysokého učeí echického v Brě k možiě M, pro íž M D f a avíc je bod A jejím hromadým bodem, jesliže Ub U A: f U A M Ub, j ke každému ε >, eisuje δ > akové, že pro každý bod X U A, δ M plaí f X U L, ε, což apisujeme lim f X L Z eisece lim f X L, plye pro každou podmožiu M Df X A X M X A, jejímž hromadým bodem je bod A aké eisece lim f X lim f X Speciálí volbou možiy M {[,, ] I} X A X A X, kde i M jsou spojié fukce a eisuje I ak, že plaí A [,, ], je možé při výpoču limiy fukce více proměých vhledem k možiě M využí posupů výpoču limi eurčiých výraů pro fukci jedé proměé Plaí: lim f X lim f,, X A X M Tao skuečos se s výhodou použije při dokaováí eeisece limiy Vi ásledující ukáka y Ukáka : Vyšeřee limiu lim y,, y Vyšeříme všechy limiy vhledem k přímkám pk procháejícím počákem y k Poom y y k k lim lim lim Proože hodoa limiy y,, y [ y, ] [,] y k k a plaí [ y, ] pk v bodě [,] vhledem k přímce pk ávisí a volbě k, edy je pro růá k odlišá, vyšeřovaá limia eeisuje Vi ásledující obráek V uvedeé ukáce je poměrě sado ukááo, že limia eeisuje Pro opačý výsledek, že limia eisuje, je řeba ukáa, že po všech křivkách má limia vhledem k éo křivce sejou hodou Ověři uo skuečos poue pro určiou řídu křivek apř přímek esačí, jak je paro ásledující ukáky Ukáka : Rohoděe o eiseci limiy y lim, y, 4 y 8

11 Maemaika 9 V omo případě eisují všechy limiy vhledem k přímkám pk procháejícím počákem y k y k a jsou rovy, eboť lim lim Tao skuečos ovšem [ y, ] [,] 4 y k [ y, ] pk eiseci limiy earučuje, eboť volbou možiy P, kerá je parabolou lim 4 y lim Vi ásledující obráek y [ y, ] [,] [ y, ] P y dosáváme Obecě při výpoču limiy je ué vycháe defiice limiy a pracova s okolími V případě fukce dvou proměých je možé okolí bodu, ] vhodě popsa pomocí v polárích souřadic ve varu [ y ρ cos ϕ, y ρ si ϕ [, y [, y] [, y y, kdy bod ] aýváme pólem Výhodou ohoo popisu je, že poom limií přechod ] le ahradi limiím přechodem ρ Uvedeý posup ilusruje ásledující ukáka Ukáka 4: Vypočěe limiu cos y lim y,, y Proože v omo případě fukčí hodoa eeisuje po dosaeí je ve jmeovaeli, použijeme rasformaci do polárích souřadic ve varu ρcos ϕ, y ρsi ϕ Po ahraeí proměých, y má fukce var: cos y cos ρ y ρ 4 proo výpoče uvedeé limiy ahradíme výpočem limiy fukce jedé proměé a při výpoču můžeme použí apará fukce jedé proměé, v omo případě L Hospialovo pravidlo cos cos ρ 4ρsi ρ cos ρ lim lim lim y,, ρ 4 ρ y y si ρ lim limcos ρ ρ ρ ρ ρ, 4ρ 9

12 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Poameejme, že v případě kdy výsledek ávisí a ϕ limia eeisuje vi ukáka Dále je ué uvědomi si, že limií přechod pro ρ musí obecě ohledi i možou ávislos ϕ ρ, vi ukáka 4 Parciálí derivace, derivace ve směru Pro fukce více proměých se avádí pojem parciálí derivace, kerý využívá pojem derivace fukce jedé proměé Parciálí derivací fukce y f,,, v bodě A [ a,, a ] podle proměé i roumíme derivací fukce jedé proměé y f a,, ai,, ai,, a v bodě a i Tuo derivaci apisujeme dvěma možými působy: f f i A ebo A i [ y Tedy všechy proměé kromě proměé i afiujeme,j aíráme a ě při derivováí jako a kosay a derivujeme poue podle proměé i Pro grafické vyjádřeí pojmu parciálí derivace se omeíme poue a fukce dvou proměých v bodě, ] V omo případě afiováí proměé, resp y ačí omei se a roviu, resp y y Poom ve shodě s geomerickým výamem derivace fukce jedé proměé je derivace, y f ' rova směrici ečy v bodě [, y ] k průsečici fukce f, y s roviou Aalogické úvahy plaí i pro, y Siuace je áorěa a ásledujícím obráku f ' y Jesliže fukce y f,,, má defiovaou parciálí derivaci podle proměé i v každém bodě možiy M, je fukce přiřaující každému bodu éo možiy hodou éo parciálí derivace aýváa parciálí derivací fukce y f,,, podle proměé f i, což apisujeme f i,,, ebo,,, Jedá se o fukci proměých, pro iž jsou sudováy další vlasosi apř i spojios

13 Maemaika r Zobecěím pojmu parciálí derivace je derivace ve směru vekoru s s,, s Derivací r fukce y f,,, v bodě A a,, a ] ve směru s s,, s roumíme derivaci [ f a s,, a s fukce jedé proměé y pro, což apisujeme f s r A Volíme-li oiž vekor s r,,,, vořeý ulami s výjimkou i-é poice kde je, derivace s,, s fukce y f,,, v bodě A a,, a ] ve směru s r,,,, je rova parciálí f,,, [ derivaci fukce y v bodě A [ a,, a ] podle proměé i Abychom uvedli i souvislos parciálích derivací s derivací ve směru, je vhodé avés pojem gradieu fukce y f,,, Jesliže má fukce y f,,, parciálí derivace v bodě f,,, A podle všech proměých i, řekeme, že fukce y má v bodě A gradie grad f, kerý je rove vekoru parciálích derivací v omo bodě podle jedolivých proměých: f f grad f A A,, A Eisuje-li ějaké okolí bodu A, v ěmž má fukce y f,,, spojié parciálí derivace podle všech proměých r i, poom pro libovolý vekor s s,, s eisuje derivace fukce y f,,, ve směru s r a plaí: r grad f A s f s f s fr s A r A r A r, s s s r kde výra grad f A s oačuje skalárí souči ěcho vekorů Poameejme, že pro vekor s r s opačou orieací dosáváme výra s opačým amékem a hodoa směrové derivace f s r A eávisí a velikosi s r vekoru s r Z vlasosí skalárího součiu plye fak, že ejvěší hodoy abývá f s r A pro vekor grad f Gradie fukce f je edy směrem ejvěšího růsu fukce f Pro geomerickou ierpreaci derivace ve směru s r se podobě jako u parciálích derivací omeíme a fukce dvou proměých Možia bodů [ a s, a s, f a s, a s ], R voří průsečici roviy rovoběžé s osou, kerá má sopu v roviě y přímku určeou bodem [ a, a ] a vekorem s, s, spolu s grafem fukce f Derivace ve směru vekoru je poom ageou úhlu, kerý svírají vekor s r spolu s ečým vekorem Vi obráek

14 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Jiou možou ierpreací je předsava, že fukce f lokálě popisuje admořskou výšku emského povrchu Posavíme-li se s lyžemi a svah v bodě [ a, a, f a, a ] ak, že lyže se ám při rovoběžém promíáí ve směru osy, promíou do vekoru s, s, poom podíl rodílu admořských výšek špiček a pa lyží ku délce lyží je rove derivaci fukce f v bodě A ve směru s r Jak jsme již výše uvedli, le parciálí derivace chápa jako fukci více proměých a možiě M Jesliže fukce f má a éo možiě parciálí derivaci,,,, kerá má f v bodě A M parciálí derivaci podle proměé i, aveme uo parciálí derivaci parciálí derivací druhého řádu fukce f podle j, i : f f f A a, a,, a a, a,, a f j j i j i i Opakováím uvedeého posupu defiujeme rekureě i parciálí derivace vyšších řádů Pro parciálí derivace vyšších řádů plaí v Schwarova věa o áměě pořadí derivováí Nechť v ějakém okolí UA bodu A eisují parciálí derivace f, f y a f y je spojiá v bodě A Poom eisuje i smíšeá parciálí derivace f y a plaí: j f y f y Závěrem uvedeme důležié difereciálí operáory Pro jedoduchý ápis gradieu se používá symbolického vekoru abla,,, kerý ejčasěji používáme pro dimei r r proměých j,, Gradie grad f apisujeme poom jako souči symbo- y

15 Maemaika r lického vekoru,, a skaláru f: grad f A,, f A Dalším důležiým operáorem Laplaceův operáor, kerý můžeme symbolicky vyjádři: r, kerý je ejčasěji používá pro dimee, j y ebo y 5 Difereciál fukce Difereciál fukce jedé proměé vímáme jako ahraeí fukce ečou a jeho eisece je rovoceá eiseci derivace Siuace v případě fukcí více proměých je komplikovaější, i když budeme posupova formálě sejě Nechť je fukce y f,,, defiováa v ějakém okolí bodu A [ a,, a ] Nechť eisují kosay D,, D R a fukce τ h,, h τ H, pro kerou plaí lim τ H a okolí UA bodu A ak, že v ěm plaí: H a h, a h,, a h f a, a,, a Di hi τ h,, h h h i f Poom řekeme, že fukce y f,,, je bodě A [ a,, a ] diferecovaelá ebo, že v omo bodě má oálí difereciál Plaí, že diferecovaelos fukce y f,,, aručuje spojios éo fukce a aké eiseci všech parciálí derivací prvího řádu spolu se splěím rovosi f A Di i pro i,, Proo avádíme pojem difereciálu Nechť je fukce y f,,, diferecovaelá v bodě A Poom oálím difereciálem fukce f v bodě A s diferecemi h i aýváme výra f f df A Ah Ah Výray f Ah i, pro i,, aýváme parciálími difereciály i Při geomerické ierpreaci se opě omeíme poue a fukci dvou proměých V omo případě difereciál fukce f,y v bodě, ] obvykle apisujeme ve kráceé podobě [ y f f d, y h, y h f, y d f y, y dy y

16 4 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Vyjádříme-li difereciály d, dy y y, d a dosadíme do výše uvedeé rovice vike ám pro proměé, y, lieárí rovice, kerá popisuje ečou roviu k fukci f,y v bodě, ] Siuace je áorěa a ásledujícím obráku [ y Ukáka 4: Napiše rovici ečé roviy a ormálové kolmé k ečé roviě přímky y k fukci arcg v bodě T [,,?] Nejdříve vypočeme řeí souřadici ečého bodu vypočeme parciálí derivace prvího řádu y y arcg y y y Nyí dosadíme do výše uvedeého vahu: π π arcg Tedy T [,, ] Dále 4 4 y arcg y y y 4 π π y y r Normálový vekor ečé roviy,, je směrovým vekorem ormálové přímky což spolu se alosí jedoho bodu ormály T umožňuje apsa apř kaoickou rovici ormálové přímky π y y 4 Kromě popisu ečé roviy můžeme využí oálího difereciálu k symbolickému odvoováí vorců pro parciálí derivováí složeých fukcí Uvažujme fukci f U f u,, u m m proměých jako vější složku s m-icí viřích složek, ui ui,,, U X fukcí proměých Poé f U X f u,, um,, f u,,,, um,, 4

17 Maemaika 5 oačuje složeou fukci více proměých Při avedeí symbolického vyjádřeí parciálí f df derivace, keré je aalogické s fukcí jedé proměé, dosáváme: d i i f du j m f U X df U uj f duj f uj d d u d u i i i j i j j i Podobě le posupova i u parciálích derivací vyšších řádů Ukáka 5: Trasformuje Laplaceův operáor souřadic r y do polárích Uvažujme eámou fukci,y a polárí souřadice ve varu dvojice fukcí dvou proměých ρcosϕ, y ρsiϕ Iverí ávislos proměých,y, ρϕ, je popsáa vahy: ρ y, ϕ arcg Začeme pomocým výpočem, kerý je přímým použiím vorce y uvedeého výše dosáváme: ρ ϕ y y ρ ϕ ρ ϕ y y ρ ϕ y y y y ρ ϕ ρ ϕ y Při výpoču vyšší derivace posupujeme podle defiice vyšší derivace: y ρ ϕ y ρ ϕ ρ y y y y y y y y ϕ ρρ ρϕ ρ y y y y y y y y ϕρ ϕϕ ϕ y y y y y y y y ρρ ρϕ ϕϕ ρ ϕ y y y y y Aalogicky dosáváme i parciálí derivaci: y y y y y y y y y ρρ ρϕ ϕϕ ρ ϕ Po dosaeí do Laplaciáu a úpravě ρ y dosaeme: yy y y ρ ρ ρρ ϕϕ ρ ρρ ϕϕ ρ 5

18 6 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Dalším možým užiím difereciálu je přibližý výpoče fukčí hodoy fukce více proměých Plaí oiž f B df Úpravou daého vahu a dosaeím di i ai dosáváme f a,, a f,, f X f A df A f a,, a a i i i i 9,9 Ukáka 6: Užiím oálího difereciálu přibližě vypočěe fukčí hodou 99 Při volbě fukce a bodu A, v ěmž je uvedeý výra rove fa, je vhodé uplai požadavek a miimaliováí difereciálů d, eboť jejich velikos je úměrá velikosi chyby V omo i y případě volíme fukci f y, a bod A,, proože d, dy a avíc le přesě urči fukčí hodou y y y y Dále přibližě vypočeme y y Vypočeme obě parciálí derivace l l B, přičemž přesá hodoa je,95 a 6 Někeré aplikace pro řešeí rovic Uvažme jedoduchou rovici y Řešeí éo rovice můžeme popsa pomocí fukcí jedé proměé, a o dvěma působy y ± ebo y ± Uvážíme-li oo řešeí poue v okolí ějakého bodu, kerý je řešeím daé rovice je ao fukce lokálě určea jedoačě Too plaí s výjimkou jediého bodu, Obecě plaí: Nechť má fukce y f,,, v ějakém okolí bodu A a,, a ],pro kerý plaí [ f A, spojié parciálí derivace prvího řádu je diferecovaelá je spojiá v omo f bodě Jesliže A poom eisuje fukce i g,, i, i,, aková, že i i i i a ga,, a, a,, a a graf éo fukce je řešeím daé rovice, j f,, i, g,, i, i,,, i,, Navíc má fukce i g,, i, i,, spojié parciálí derivace prvího řádu v ějakém okolí bodu [ a,, ai, ai,, a] je spojiá a plaí g j f f j i pro j,,i-,i,, Tuo skuečos můžeme sado íska parciálím derivováím uvedeé rovice Plaí oiž m f,, i, g,, i, i,,, i,, f k f g f f g j k k j i j j i j k i 6

19 Maemaika 7 Poameejme, že rovice f y, y má jediý bod řešeí, kdy v jeho okolí ele řešeí popsa jako graf fukce jedé proměé, je jím [,] Plaí u f, f, To povruje obráku parý fak, že oo řešeí ele popsa jako y g ebo g y y Nejjedodušším příkladem užií je případ jedé rovice o dvou proměých, kerý v ásledující kapiole je v ěkerých případech výsledkem příkladu, kdy řešeí difereciálí rovice je dáo v v impliciím varu, j je adáo rovicí Geomerická ierpreace ohoo řešeí je křivka ležící v roviě Jesliže avíc je fukce f ylevé, sray rovice f y, má spojié parciálí derivace až do řádu má i fukce y daá impliciě ouo rovicí má derivace až do řádu Tyo derivace můžeme urči rovic, keré vikou posupým derivováím daé rovice s ím, že její levou srau chápeme jako složeou fukci f y, y Geomerickou ierpreací řešeí rovice f y,, je plocha v prosoru Eisují-li parciálí derivace prvího řádu poom eisece eulového vekoru f, f y, f je dosaečou r podmíkou eisece ečé roviy v bodě řešeí éo rovice a vekor f, f, f je ormálovým vekorem j je kolmý k ečé roviě Uvažme možiu řešeí popsaé dvěmi rovicemi o řech eámých f y,,, f,, y Jesliže obě rovice mají a řešeí plochy, ke kerým eisují ečé roviy popsaé eulovými ormálovými vekory r, r, keré jsou lieárě eávislé, mají yo plochy průsečici, kerá je křivkou v prosoru a eisuje je k í eča Tečý vekor r k éo křivce je kolmý k oběma ormálovým vekorům r, r a je možé jej urči jako vekorový souči r r r 7 Shruí Fukce více proměých a speciálí případy fukce resp proměých: y f,,, f X f, y u f, y, Geomerická ierpreace fukce proměých graf a vrsevice: možiabodů [ y,, f y, ] ve plocha 7

20 8 FEKT Vysokého učeí echického v Brě body řešeí rovice f y, c průmě průsečice grafu sroviou c Vdáleos a okolí bodu, limia a spojios: v X, Y v[,, ],[ y,, y ] y y U X, δ { X R v X, X < δ} U X, δ { X R < v X, X < δ} U L U A: f U A U L lim f X L X A lim f X f A f X jespojiávbodě A X A Parciálí derivace, gradie, derivace ve směru: f a,, a, a,,, a f a,, a, a, a,, a f,,, i i i i i lim f A A a i i ai i Difereciál: Derivace složeé fukce: f f grad f A A,, A r grad f A s f s f s f A r A r A r s s s r s f,,, df A A h f,,, A h m f U X df U f u d u i i j j i Derivace fumkce daé impliciě rovicí f,, i, g,, i, i,,, i,, : j g j f f j i 8

21 Maemaika 9 8 Korolí oáky Je každá ávislos proměých ierpreovaelá jako fukce proměých? Jakou plochu v rojroměrém prosoru můžeme chápa jako graf vhodé fukce dvou proměých? Musí bý vrsevice grafu fukce dvou proměých křivka? 4 Jaké áe algebraické operace s fukcemi více proměých? 5 Jaký je defiičí obor fukce, kerá je výsledkem algebraické operace s fukcemi více proměých? 6 Vysvělee skládáí fukcí více proměých Kolik viřích složek musí bý obsažeo ve složeé fukci, kde vější složkou je fukce proměých? 7 Popiše posup při výpoču parciálí derivace a parciálích derivací vyšších řádů 8 Co je o gradie fukce a jak souvisí s derivací fukce ve směru 9 Kdy áleží a pořadí derivováí u parciálích derivací vyšších řádů? Vysvělee pojem oálího difereciálu fukce více proměých a jeho souvislos s parciálími derivacemi Jaká je geomerická ierpreace oálího difereciálu fukce dvou proměých? Jak je možé využí oálího difereciálu k přibližému výpoču fukčí hodoy fukce více proměých? Vysvělee jak je možé vuží oálího difereciálu při parciálím derivováí složeých fukcí více proměých 4 Za jakých podmíek je řešeí rovice F,y v okolí bodu [,y ] možo urči jako fukci yf, j plaí F,f? 5 Kdy má ao fukce derivace a jak je možé je urči? 6 Jak je možé geomericky ierpreova řešeí rovice F,y,? 7 Vysvělee geomerickou ierpreaci gradieu fukce F,y, ve vahu k řešeí výše uvedeé rovice 9 Příklady ke kapiole Příklad : Určee defiičí obor fukce l y y Příklad : Určee vrsevici fukce y y procháející bodem X [,5] a uo ačrěevypočěe gradie daé fukce v bodě a rohoděe o jejich vájemé relaci 9

22 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Příklad : Příklad 4: Ukaže, že fukce y vyhovuje rovici y y Ukaže, že fukce adaá impliciě rovicí ϕ, kde ϕ je diferecovaelá fukce, [/,] má v omo bodě lokálí maimum y a bodem Výsledky vi kap 9 Obyčejé difereciálí rovice Cíle kapioly: V prví kapiole se sručě seámíme s ebyými pojmy, keré se ýkají eakího řešeí obyčejých difereciálích rovic Pro rovici prvího řádu popíšeme dvě ákladí eakí meody řešeí a o meodu separace proměých a posup pro řešeí lieárí rovice U rovic vyššího řádu se omeíme je a lieárí případ, kdy se obecé řešeí ehomogeí rovice skládá obecého řešeí rovice homogeí a parikulárího řešeí rovice ehomogeí K určeí parikulárího řešeí obecé lieárí rovice uvedeme meodu variace kosa Pro aleeí parikulárího řešeí lieárí rovice s kosaími koeficiey připojíme ješě meodu eurčiých koeficieů a poé pro i popíšeme posup k aleeí obecého řešeí rovice homogeí Základí pojmy Obyčejou difereciálí rovicí roumíme rovici obsahující eávisle proměou a eámou fukci y y jedé proměé včeě jejích derivací Ve speciálích případech mohou ěkeré ěcho veliči chybě, avšak alespoň jeda derivací se v difereciálí rovici vyskyou musí Ukáka : Příklady obyčejých difereciálích rovic: y y y y y y y y y y y y iv e /, si, a, e si Poameejme a okraj, že míso derivací může difereciálí rovice obsahova éž difereciály eávisle proměé a eámé fukce Tak apř prví rovici uvedeých ukáek y můžeme apsa i ako: dy e d Řádem difereciálí rovice roumíme řád ejvyšší derivace, kerá se v rovici vyskyuje Tedy rovice uvedeé ukáky jsou posupě prvího, druhého, řeího a čvrého řádu Obecý var rovice můžeme uvés v impliciím ebo epliciím j vyřešeém vhledem k ejvyšší derivaci varu Tedy

23 Maemaika,,,, f y y y je obecý implicií var difereciálí rovice -ého řádu, y f, y, y,, y je obecý eplicií var difereciálí rovice -ého řádu Abychom oo obecě pojaé vyjádřeí poěkud kokreiovali, le speciálě pro rovici prvího a druhého řádu psá: f, y, y, y f, y, f, y, y, y, y f, y, y Prví dvě rovice v ukáce jsou apsáy v epliciím varu, druhé dvě ve varu impliciím Poameejme ješě, že v uvedeých relacích vyačuje symbol f v geerickou fukci, kerá je aačuje, že se jedá o fukčí ávislos, emusí o bý však aáž fukce Řešeím obyčejé difereciálí rovice roumíme každou fukci, kerá v ějakém iervalu daé rovici ideicky vyhovuje Nesačí edy splěí rovice v ěkolika iolovaých bodech Křivku, kerá řešeí áorňuje, aýváme iegrálí křivkou Řešeí vyšeřovaé difereciálí rovice emusí v ěkerých případech vůbec eisova, aímco v jiých případech jich může eisova více, i ekoečě moho Rovici považujeme a vyřešeou, určíme-li všecha její řešeí Každé kokréí řešeí aýváme parikulárím řešeím Naleeme-li uiverálí vorec, kerý ahruje všecha parikulárí řešeí, mluvíme o obecém řešeí Too obecé řešeí obsahuje avájem eávislých iegračích kosa c,, c, přičemž oačuje řád rovice Tyo kosay se de objevují proo, že jsme v průběhu řešeí museli a o ať již skryě ebo jevě provés iegrací Obecé řešeí y y vlasě předsavuje -paramerickou řídu fukcí a můžeme je íska v jedom ásledujících varů: implicií var Φ, y, c,, c eplicií var y Ψ, c,, c paramerický var, c,, c, y y, c,, c, α β Ne každá -ice kosa vyskyujících se v uvedeých relacích však vede a obecé řešeí Tyo kosay musí bý eávislé v om smyslu, že jejich kokréími volbami pokryjeme všecha parikulárí řešeí daé rovice Přípusé jsou je akové kosay, že jejich vyloučeím impliciího varu řešeí a relací ískaých posupým derivováím až do řádu dosaeme adaou difereciálí rovici Dále poameejme, že a iegračí kosay ele vždy voli libovolá čísla Ilusrujme si předchoí vreí a dvou ukákách V ěcho i ěkerých dalších ukákách budeme uvádě výsledá řešeí vyšeřovaých rovic i když jsme se s popisem meodiky jejich řešeí ješě eseámili O správosi se vždy můžeme přesvědči dosaeím preeovaého řešeí do příslušé rovice Ukáka : Fukce y cep c eí obecým řešeím rovice y y i když éo rovici vyhovuje a jako řešeí rovice druhého řádu obsahuje dvě kosay Uvedeé kosay ejsou oiž eávislé Řešeí le upravi a var y cep, kde c cep c a jedá se edy ve skuečosi je o jedoparamerickou řídu fukcí Obecým řešeím je fuk- y c ep c ep Vskuku, eboť vyelimiujeme-li éo relace a relace ce y c ep c ep obě iegračí kosay, obdržíme vyšeřovaou rovici

24 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Ukáka : Povšiměme si yí rovice yy Iegrací éo rovice podle proměé můžeme íska řešeí v impliciím varu y c, ěhož pro iegračí kosau vyplývá omeeí c > Difereciálí rovice může mí ješě sigulárí řešeí, keré je jisým působem výjimečé V maemaické lierauře eisují dokoce ři defiice sigulárího řešeí, avšak žádé dvě ich ejsou ekvivaleí Podle ěcho defiic aýváme řešeí sigulárím jesliže: a buď eí obsažeo v obecém řešeí b ebo je v každém jeho bodě porušea jedoačos c ebo jsou všechy jeho přímkové elemey sigulárí Podle prví defiice sigulárí řešeí eí speciálím případem obecého řešeí pro žádou kokréí -ici iegračích kosa Podle druhé defiice každým bodem sigulárího řešeí procháí alespoň dvě iegrálí křivky daé rovice Podle řeí defiice sigulárí řešeí vyhovuje apř pro implicií rovici prvího řádu sousavě dvou difereciálích rovic f, y, y, f,, y y Uvedeá homoymia působuje, že vyšeřovaá y fukce může podle ěkeré defiic předsavova sigulárí řešeí, aímco podle jié defiice e To demosrují ásledující ukáky Ukáka 4: Vyšeřujme ejprve rovici y y Její obecé řešeí je y c e ± Zabývejme se yí kokréí fukcí y Tao fukce je obsažea v obecém řešeí a o pro c, žádým jejím bodem eprocháí jié řešeí uvedeé rovice, avšak všechy její přímkové elemey jsou sigulárí, eboť uvedeé řešeí vyhovuje sousavě rovic f yy,, y y, f yy,, y Podle prvích dvou defiic se edy ejedá o sigulárí řešeí, podle řeí defiice však ao y Ukáka 5: Nyí sudujme rovici obecém řešeí sg Fukce y eí obsažea v y y y y c c Žádým jejím bodem eprocháí další řešeí sudovaé rovice Fukce y sice vyhovuje rovici f yy,, y y y, avšak evyhovuje druhé rovici, eboť fy yy,, Podle prví defiice se edy jedá o sigulárí řešeí, podle bývajících dvou však e Ukáka 6: Nakoec vyšeřeme elieárí rovici y 4 y, y > Fukce y eí obsažea v obecém řešeí y - c daé rovice pro žádou hodou c, jejím libovolým bodem procháí ješě jedo další řešeí y a vyhovuje sousavě rovic,, 4, y,, f yy y y f yy y V omo případě se všechy ři defiice shodují, eboť fukce y je sigulárím řešeím podle každé ich Průběhy řešeí uvedeých ukáek áorňuje ve sejém pořadí Obr Červeě je de vyačeo sigulárí řešeí, keré ve všech řech případech splývá s osou

25 Maemaika Obr : Ukáky sigulárího řešeí Uvedli jsme, že řešeí difereciálí rovice ávisí obecě a iegračích kosaách Abychom yo kosay určili a ískali ak jedoačé řešeí, musíme k difereciálí rovici přida ješě avájem eávislých vedlejších podmíek Jsou-li yo podmíky adáy v jedom bodě, aývají se počáečími, jsou-li adáy ve více bodech, aývají se okrajovými Jako echická ierpreace počáečích a okrajových podmíek ám může poslouži jedosraě a dvousraě vekuý osík či jaýčková píšťala a houslová srua Difereciálí rovici spolu s počáečími či okrajovými podmíkami aýváme počáečí či okrajovou úlohou Vedlejší podmíky hrají při řešeí difereciálích úloh důležiou roli, eboť mohou velice ovlivi eiseci i var výsledého řešeí, jak aačuje ásledující ukáka Ukáka 7: Uvažujme rovici druhého řádu y y, kerou pro dosažeí jedoačosi řešeí doplíme dvěma vedlejšími podmíkami Vyberme sedm možosí: a počáečí podmíky y, y vedou a řešeí y si, b okrajové podmíky y, y π dávají oéž řešeí y si, c okrajové podmíky y, y π implikují ulové řešeí y, d okrajové podmíky y, y π dávají y c si, kde c je libovolé, π e počáečí podmíky y, y vedou a řešeí y si 4, f okrajové podmíky y, y π poskyují řešeí y cos, g okrajové podmíky y, y π edávají žádé řešeí Z uvedeé ukáky vyplývá, že růou volbou počáečích podmíek můžeme dosáhou oho, že daá úloha pro uéž rovici buď emá žádé řešeí ebo poskyuje ekoečě moho řešeí ebo dává jedoačé řešeí růých varů Nebyos aleeí obecého řešeí, keré pokrývá všecha řešeí vyšeřovaé rovice, ilusrujme a ukáce: Ukáka 8: Řešme počáečí úlohu y y, y, y Považujme ejprve a obecé řešeí ak jak je o aačeo v ukáce fukci y cep, kerá sice obsahuje ekoečě moho řešeí daé rovice, ale daleka eobsahuje její řešeí všecha Pak žádou volbou kosay c edosáheme splěí adaých počáečích podmíek Tao kosaa by oiž musela vyhovova sousavě dvou rovic y c a y c, což je emožé Vememe-li však v úvahu správé obecé řešeí y cep cep, jisíme, že při c 5, c 5 jsou daé počáečí podmíky splěy Hledaým parikulárím řešeím je ámá fukce y ep ep sih

26 4 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Vysupuje-li v rovici eámá fukce y včeě všech svých derivací ejvýše v prvím supi, mluvíme o lieárí difereciálí rovici Příkladem lieárí rovice druhého řádu jsou rovice předchoích dvou ukáek Lieárím rovicím, vhledem k jejich časému výskyu v prai, věujeme íže dosaek poorosi Rovice, kerá eí lieárí, je elieárí Příkladem elieárích rovic jsou všechy čyři rovice ukáky Eisece a jedoačos řešeí Již jsme se míili, že adaá difereciálí úloha emusí mí žádé řešeí Např počáečí úloha y y, y v reálém oboru žádé řešeí emá, v kompleím oboru však má řešeí dvě y ± j kde j - Pro prakické aplikace je však žádoucí, aby řešeí bylo jedié Musíme edy ejprve saovi ějaké podmíky, a ichž řešeí daé úlohy vůbec eisuje a podmíky, a ichž je oo řešeí jedié Eisuje řada vě, keré a yo oáky odpovídají Vybereme je dvě ich S ohledem a další probíraou láku pojmeme uo kapiolu poměrě obecě a budeme se proo abýva počáečí úlohou rovice -ého řádu Za ím účelem předpokládejme, že máme dáu -roměrou oblas Ω a v í pevý bod [,,,, y y y ] Ω Všechy souřadice ohoo bodu jsou, i přes oačeí připomíající derivace, předem daá čísla Teo obec- ý bod repreeuje asaveí počáečích podmíek, eboť obsahuje jak polohu počáečího bodu ak i hodoy, jež musejí příslušé derivace hledaého řešeí v omo bodě abýva Počáečí úlohu, kerou budeme vyšeřova, formulujeme ako: y f yy,,,, y, y y,, y y Ukáka 9: Pro,, má uvedeá formulace kokréí var: y f y,, y y, y f y,, y, y y, y y, y f y,, y, y, y y, y y, y y Tvreí ásledujících vě apíšeme ejprve přehledým maemaickým ápisem a eo ápis beprosředě vysvělíme Věa : f C Ω řešeí úlohy v okolí, j je-li fukce f v oblasi Ω spojiou fukcí všech svých argumeů, pak v okolí bodu řešeí úlohy eisuje Ukáka : Uvažme ejprve velice jedoduchou úlohu y, y Fukce f, y je pro všecha, y spojiá, akže řešeí úlohy eisuje Abychom je ískali, iegrujme obě sray daé rovice podle proměé Dosaeme y c Hodou iegračí kosay c ískáme počáečí podmíky, eboť y c Hledaé řešeí má edy var y Ukáka : Zabývejme se yí formálě málo poměěou úlohou y, y Fukce f y, eí v omo případě v bodě spojiá a proo věa earučuje eiseci řešeí Ukážeme, že řešeí aší úlohy ai emůže eisova Iegrací obou sra rovice 4

27 Maemaika 5 dospějeme k relaci y l c, což je obecé řešeí vyšeřovaé rovice Vhledem k adaé počáečí podmíce však emůžeme pro žádou hodou iegračí kosay c dosáhou oho, aby v bodě plailo y Řešeí adaé počáečí úlohy edy eeisuje K ajišěí jedoačosi řešeí úlohy však samoá spojios fukce f esačí a proo musíme předpoklad esíli Budeme požadova avíc, aby fukce měla spojié i prví derivace podle všech argumeů, j aby byla hladká Věa : f C Ω! řešeí úlohy v okolí, j je-li fukce f v oblasi Ω hladkou fukcí všech svých argumeů, pak v okolí bodu eisuje právě jedo řešeí úlohy Ukáka : Jako proipříklad uveďme počáečí úlohu y, y, kerá má ekoečě moho řešeí vhledem k omu, že fukce y c vyhovuje daé úloe pro libovolou hodou kosay c Průběh ěcho řešeí pro růá c je uvede a Obr Všecha řešeí vycháejí počáku j splňují daou počáečí podmíku a o se sejou směricí áorěou červeě Uvedeá skuečos však předchoí věě eodporuje, y eboť fukce f y, eí v počáku hladkou fukcí prvího argumeů y Obr : Nejedoačos řešeí počáečí úlohy Povšiměme si ješě vlivu počáečích podmíek a řešeí aší úlohy Jedá se o formulaci vhodých předpokladů pro o, aby při spojié měě počáečích podmíek evykaovalo příslušé řešeí skokové měy Věa : f C Ω, [, y,, y ] Ω! řešeí y φ,, y,, y φ C I Ω, j je-li fukce f v oblasi Ω spojiá a eisuje-li pro každé počáečí podmíky éo oblasi právě jedo řešeí úlohy, pak oo řešeí ávisí spojiě a počáečích podmíkách Ukáka : Plaos předchoí věy si ilusrujme a počáečí úloe y y, y α, y β, jejímž řešeím je fukce y α β α β ϕ,, αβ, 5

28 6 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Proože fukce f y, y je spojiá v celé roviě s výjimkou počáku, je i řešeí, edy fukce φ, spojiou fukcí všech svých čyř argumeů,, αβ, s výjimkou případů a Rovice prvího řádu Geomerická ierpreace V omo odsavci se budeme abýva difereciálí rovicí prvího řádu v epliciím varu Obecé řešeí éo rovice obsahuje jedu iegračí kosau, akže můžeme předepsa je jedu vedlejší podmíku, j podmíku počáečí Budeme edy vyšeřova počáečí úlohu y f, y, y y Proveďme ejprve geomerickou ierpreaci úlohy Každému bodu [,y] roviy, y le přiřadi hodou fukce f, y a uo hodou můžeme chápa jako směrici ečy ke grafu řešeí iegrálí křivce v bodě [,y] Trojici čísel, y, f, y aveme lieárím elemeem rovice a možiu všech lieárích elemeů jejím směrovým polem Rovici můžeme roloži a dvě rovice f, y k a y k, kde k je ějaká kosaa Prví ěcho rovic je impliciím vyjádřeím rovié křivky, kerou aýváme ioklia Druhá rovice říká, že každé řešeí proíá iokliu se sejou směricí k Hledaé řešeí sudovaé úlohy je repreeováo iegrálí křivkou procháející bodem [,y ] Ukáka 4: Siuaci si ilusrujme a rovici y y Zvolme pevě kosau k Pak odpovídající ioklia, a íž graf každého řešeí má směrici y k, má var y k Obr áorňuje odpovídající iokliy červeé čáry a iegrálí křivky modré čáry pro růě voleé kosay k Obr : Průběh iokli a iegrálích křivek 6

29 Maemaika 7 Ukáka 5: Sudujme yí rovici 4y y Fukce f y, 4 y je v celé roviě spojiá Směrové pole je áorěo a Obr 4 Vedlejší obráek achycuje oéž směrové pole s průběhy pěi řešeí s růou počáečí podmíkou Na Obr 5 je pak ješě áorěo směrové pole příslušející rovici y si y Obr 4: Směrové pole samoé a s iegrálími křivkami Obr 5: Směrové pole rovice y si y Z vě uvedeých v kapiole vyplývá věa o jedoačé eiseci řešeí aší úlohy Věa 4: Nechť jsou fukce f a f y spojié v celé roviě, y Pak pro libovolé počáečí podmíky eisuje právě jedo řešeí počáečí úlohy, keré je buď defiováo a celé číselé ose ebo má jedu či dvě asympoy be směrice Ukáka 6: Vyšeřeme počáečí problém y y, y Pravá sraa rovice f, y y řejmě splňuje předpoklady předchoí věy jedá se o polyom, akže eisuje právě jedo řešeí adaého problému Dosaeím se přesvědčíme, že ímo řešeím je fukce y a π π, kerá je defiováa v iervalu, a má edy v bodech ± dvě asympoy be směrice Iegrálí křivka je áorěa a Obr 6 vlevo π 7

30 8 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Obr 6: Iegrálí křivky ukáek 6 a 7 Ukáka 7: Povšiměme si yí počáečí úlohy y epy, y Již e samoé rovice vyplývá, že řešeí je rosoucí fukcí, eboť y > Proo y l Too řešeí je defiováo a iervalu, a má edy v bodě jedu asympou be směrice Iegrálí křivku uvádí Obr 6 vpravo červeá křivka Pokud bychom aměili počáečí podmíku a volili y, pak by řešeím byla fukce y l Tao fukce má sejou asympou be směrice, je však defiováa a iervalu,, vi Obr 6 vpravo eleá křivka Ukáka 8: Počáečí úloha y y si, y má řešeí y si cos defiovaé a celé číselé ose Pro prai je velice důležié urči obecé řešeí daé rovice Proože eeisuje uiverálí meoda řešeí difereciálích rovic, omeíme se je a dva ejdůležiější ypy rovic a pro ě uvedeme působ vhodého eakího řešeí Separace proměých Difereciálí rovicí se separovaými proměými roumíme rovici Abychom uvedeou rovici vyřešili, upravme a var y f g y y d g y f d Zvážíme-li, že y y, y d dy, dosadíme do předchoí relace a obě sray iegrujeme, dosaeme obecý iegrál vyšeřovaé rovice ve varu: dy f d c g y 4 Posup při řešeí rovice edy spočívá v om, že a jedu srau rovice převedeme čley se ávisle proměou a a druhou srau čley s eávisle proměou Tím obě 8

31 Maemaika 9 proměé separujeme a můžeme proo obě sray rovice iegrova Uspějeme-li ve výpoču obou iegrálů, obdržíme řešeí v impliciím varu Podaří-li se ám avíc osamosai proměou y, ískáme řešeí v epliciím varu Nesmíme apomeou, že se fukce gy vyskyuje ve jmeovaeli a proo musíme při prakickém řešeí případ gy vyšeři vlášť, eboť může poskyou sigulárí řešeí Obecější rovice f g y y f g y se a rovici se separovaými proměými sado převede Ukáka 9: Máme alé obecé řešeí rovice upravíme a var dy d y Rovici ejprve y y a o je již rovice se separovaými proměými Iegrací obou jejích sra ískáme l y l c, což je implicií var řešeí Odlogarimováím dosaeme y c ep a odsud, ahreme-li absoluí hodou do iegračí kosay, pak obecé řešeí y cep v epliciím varu Nesmíme apomeou a mlčky provedeý předpoklad, že y, eboť fukce y éž vyhovuje adaé rovici Too řešeí je však již obsažeo v obecém řešeí pro c Průběh iegrálích křivek pro růá c áorňuje Obr 7 vlevo Případ c je vykresle červeě Ukáka : Hledáme všecha řešeí rovice y y y Tuo rovici ele přímo separova Zavedeme proo ovou eámou pomocí relace y a ískáme ak po úpravě rovici, kerou již separova le Z éo rovice vyplývá d d a odsud l l c l c, eboť,, a kosau c volíme ak, aby c> Přechodem k původí eámé ískáme akoec obecé řešeí ve varu y Během úprav jsme dělili l c dvojčleem -, kerý abývá ulové hodoy pro a o odpovídá fukci y% Tao fukce adaé rovici éž vyhovuje, avšak eí obsažea v obecém řešeí pro žádou hodou iegračí kosay c Jedoparamerický sysém fukcí y a fukce y% předsavují všecha řešeí výchoí rovice Průběh iegrálích křivek áorňuje Obr 7 uprosřed Jediě fukce y%, áorěá červeě, je defiováa a celé číselé ose Jedolivá parikulárí řešeí jsou při c > či při c < defiováa je a poloose,, případě -, Tao řešeí jsou espojiá v bodě / c Ukáka : V RL obvodu je apojea elieárí cívka s charakerisikou i k Φ, kde k je adaá kosaa Saove proudovou odevu i i, je-li v čase sepu vypíač Uvedeý obvod je popsá počáečí úlohou d Φ d Ri U, i Po dosaeí a proud dospějeme k rovici d Φ d krφ U Jejím separováím dosaeme dφ κ Φ kr U d, kde κ U 9

32 FEKT Vysokého učeí echického v Brě Iegrací ískáme argah κφ κu c Z počáečí podmíky pro proud vyplývá, že aké Φ, což implikuje c Proo Φ ah κu / κ a dosaeím do charakerisiky i ah κ U Průběh proudové odevy v případě U R preeuje pro ěkeré U R hodoy κ Obr 7 vpravo 9 Obr 7: Průběhy iegrálích křivek ukáek 9, a Lieárí rovice Lieárí rovice se v prai velice časo vyskyuje Má var y f y g, I 5 Plaí-li f, g CI, j jsou-li obě fukce f a g a iervalu I spojié, pak v důsledku věy 4 má lieárí rovice pro každou počáečí podmíku y y, I právě jedo řešeí, keré eisuje a celém iervalu I V případě homogeí rovice, kdy g, le 5 sado vyřeši separací proměých, eboť dy y fd Oačíme-li iegračí kosau symbolem c, dosaeme 6 y cep f d c/ F, kde F F ep f d V případě rovice ehomogeí, kdy g, aleeme řešeí pomocí meody variace kosay Tao meoda spočívá v om, že míěé řešeí hledáme ve varu 6 je s ím rodílem, že veličia c eí kosaí, ale ávisí ějakým působem a proměé, j že je vlasě fukcí c c Předpokládáme edy y c / F Abychom fukci c určili dosaďme předpokládaé řešeí do 5 Obdržíme c cf c F f g c f c gf F F F F Vhledem k defiici fukce F je výra v ávorce posledí rovosi ulový a proo Obecé řešeí lieárí rovice je pak dáo relací c gf c gfd c

33 Maemaika 7 y [ g F d c ]/ F Řešeí lieárí rovice edy vyžaduje v obecém případě provedeí dvou kvadraur Souhrě řečeo posup řešeí lieárí rovice spočívá v om, že pomocí separace proměých aleeme ejprve obecé řešeí rovice homogeí V ako ískaém řešeí považujeme iegračí kosau a fukci eávisle proměé a dosadíme do výchoí ehomogeí lieárí rovice Po úpravě ískáme jedoduchou rovici, íž iegrací obdržíme fukci c Dosaeím do předpokládaého varu pak dospějeme k výsledému řešeí ehomogeí lieárí rovice Ukáka : Máme alé všecha řešeí rovice y y 4 Vidíme ihed, že obě fukce f - a g 4 jsou a celé číselé ose spojié Řešeí příslušé homogeí rovice y y je y c ep Řešeí ehomogeí rovice edy předpokládejme ve varu y c ep a dosaďme do adaé rovice Získáme posupě ep ep ep 4 c c c c ep 4 c 4 ep d Pro určeí iegrálu ejprve avedeme subsiuci a rasformovaý iegrál vypočeme meodou per pares Po meších úpravách ískáme akoec jedoparamerický sysém fukcí y c ep kerý obsahuje všecha řešeí daé rovice Ukáka : Lieárí RL obvod se sřídavým bueím je popsá difereciálí rovicí di d L Ri E si ω, v íž všechy koeficiey jsou kladé Máme urči proudovou odevu i i, plaí-li R L E L i Obě fukce f a g siω v daé rovici jsou spojié a celé číselé ose Řešeím homogeí rovice ískáme i cep Řešeí ehomogeí rovice edy budeme předpokláda ve varu i c ep Dosaeím do adaé rovice dosaeme po vyloučeí čleů s opačým amékem a úpravě E R c ep L siωd L Po dvojí iegraci per pares dospějeme k relaci E i ep R si cos ep R L R ω ωl ω c E Lsi ω δ c, R ω L ω L E kde a δ R, E R ω R L L Obecé řešeí má var i Esi ω δ cep Iegračí kosau určíme počáečí podmíky, eboť c E si δ Proudová odeva i i E si ω δ E ep siδ R L R L R L

34 FEKT Vysokého učeí echického v Brě edy obsahuje periodickou složku a lumeou složku, kerá po určiém čase prakicky aike Veličia τ se aývá časovou kosaou L R Ukáka 4: Jako ukáku si uveďme ješě jede, formálě mírě odlišý posup při řešeí lieárí rovice Vyásobeím 5 aím blíže eurčeou fukcí F ískáme Fy Ffy Fg K úpravě éo relace využijme ámého pravidla pro výpoče derivace součiu Fy Fy F y Po malé úpravě dosaeme Fy Ff F y Fg Nyí volme F ak, aby se posledí rovice maimálě jedodušila K omu sačí, aby výra v ávorce vymiel, j aby pro fukci F plailo F e p f d Tao volba F implikuje rovici Fy Fg a udíž Fy gfd c, což je v podsaě 7 V kapiole jsme popsali je dvě ákladí meody eakího řešeí obyčejé difereciálí rovice prvího řádu Meody pro řešeí ěkerých dalších ypů rovic le alé apř v [ 9 ], [ 6 ], [ 7 ], [ 8 ] Zvlášě [ 6 ] je vhodá pro použií v prai, eboť obsahuje velké možsví kokréích difereciálích rovic a o eje prvího řádu, keré jsou buď přímo vyřešey ebo je de uvede podrobý posup, jak řešeí íska 4 Rovice -ého řádu 4 Obecý var rovice Obecý var rovice -ého řádu, a o jak v implicií ak i eplicií formě, jsme uvedli již v kapiole Pro ěkeré ypy obecých rovic eisují posupy, jak yo rovice vyřeši ebo alespoň jedoduši, apř pomocí sížeí řádu vyšeřovaé rovice Těmio posupy se ebudeme blíže abýva Případé ájemce odkaujeme apř a [ 8 ] Nejpodroběji je propracováa problemaika lieárích rovic Proože se yo rovice v prai vyskyují ejčasěji, omeíme další úvahy je a ě Poameejme, že vhledem k výhodým vlasosem le pomocí lieárích rovic s výhodou aproimova i mohou elieárí rovici V echické prai je lieariace elieárích rovic aplikováa mohdy poměrě epřesě a o může vés k esprávým ávěrům Je řeba si ejméa uvědomi, že e všechy vlasosi elieárích rovic se dají přeés a příslušé lieariovaé rovice Před vlasím použiím pricipu lieariace je proo apořebí prosudova vlasosi difereciálích rovic podroběji, specielě se o ýká ávislosi řešeí a počáečích podmíkách, vi apř [ 8 ], [ ] Ukáka 5: Příkladem epřeosielých vlasosí mei elieárími a lieárími rovicemi mohou poslouži již rovice druhého řádu Zaímco lieárí rovice s kosaími koeficiey emá buď žádé periodické řešeí ebo všecha jeho řešeí jsou periodická, elieárí rovice může mí periodické řešeí je jedo Kokréími případy jsou obecá Liéardova rovice y f y y g y a její důležiý speciálí případ va der Polova rovice y y y y ε používaé při vyšeřováí elieárích kmiů