GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE"

Transkript

1 GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 00

2 Goniometrie Funkce Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Goniometrie Funkce Obsah Goniometrie... 6 Funkce... 6 Funkce... 7 Varianta A... 7 Funkce... 0 Varianta B... 0 Funkce... Varianta C... Goniometrické funkce... 5 Goniometrické funkce ostrého úhlu... 5 Orientovaný úhel a jeho velikost... 6 Goniometrické funkce... 8 Varianta A Goniometrické funkce... 0 Varianta B... 0 Goniometrické funkce... Varianta C... Goniometrické funkce... 4 Funkce sinus a kosinus... 4 Grafy funkcí sinus a kosinus... 7 Goniometrické funkce... 0 Varianta A... 0 Goniometrické funkce... Varianta B... Goniometrické funkce... 7 Varianta C... 7

4 4 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce... 4 Funkce tangens a kotangens... 4 Grafy funkcí tangens a kotangens Goniometrické funkce Varianta A Goniometrické funkce Varianta B Goniometrické funkce... 5 Varianta C... 5 Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Varianta A Goniometrické rovnice... 6 Varianta B... 6 Goniometrické rovnice Varianta C Goniometrické vzorce Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel Trigonometrie... 7 Další trigonometrické věty... 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie... 7 Varianta A... 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta B... 76

5 Goniometrie Funkce 5 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta C... 78

6 6 Goniometrie Funkce Goniometrie Funkce Definice: Funkce se nazývá periodická funkce, právě když eistuje takové číslo 0, že pro každé platí následující podmínky: a) Je-li, pak ; b). Číslo se nazývá perioda funkce. Pokud v množině čísel, která jsou periodami periodické funkce, eistuje nejmenší kladné číslo, nazýváme ho nejmenší perioda funkce. Definice: Funkce se nazývá funkce složená z funkcí, (v tomto pořadí), právě když platí:.) Definičním oborem funkce je množina všech těch..) Pro každé je. Funkce se označuje.

7 Goniometrie Funkce 7 Funkce Varianta A Příklad: Načrtněte graf funkce,. Řešení: f ( ) Hodnoty funkce se pravidelně opakují: Pro každé číslo, které lze zapsat ve tvaru, kde je celé číslo, je ; pro každé číslo, které lze vyjádřit ve tvaru, kde je celé číslo, je. Hodnoty se pravidelně opakují, funkce je periodická. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

8 8 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Jaká je množina všech period funkce, kde? Má funkce nejmenší periodu? ) Zjistěte, které z daných funkcí jsou periodické, určete jejich nejmenší periodu (pokud eistuje) a načrtněte jejich grafy: a),, b), ) Rozhodněte, zda funkce je periodická. Má tato funkce nejmenší periodu? 4) Zjistěte, které z uvedených funkcí jsou periodické. Určete jejich nejmenší periody (pokud eistují). Načrtněte jejich grafy. a), b), Výsledek řešeník:.) Periodou je, kde je přirozené číslo, nejmenší perioda je..) a)nejmenší perioda, pro všechna,je hodnota funkce b)nejmenší perioda, pro sudá, je hodnota funkce, pro lichá, je hodnota funkce 0. ) Je periodická, nemá nejmenší periodu. 4) a) Je periodická s nejmenší periodou, pro lichá je je, pro sudá je ; b) Je periodická s nejmenší periodou, pro lichá je 0 je, pro sudá je.

9 Goniometrie Funkce 9 a) b) f ():= trunc ( ) + ( ) ( ) trunc f ( ) f ( ) 4 4 4a) f ():= ( ) f ( ) b) f( ) := ( ) + f( ) 4 0 4

10 0 Goniometrie Funkce Funkce Varianta B Příklad: Každé reálné číslo lze zapsat ve tvaru, kde je celé číslo a 0,. Číslo se nazývá celá část čísla a označujeme je. Na obrázku jsou sestrojeny grafy funkcí : a :. Je některá z těchto funkcí periodická? f ( ) 0 g ( ) 0 h ( ) 0 Řešení: není periodická je periodická s nejmenší periodou Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

11 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Načrtněte graf funkce, která je periodická a navíc má ještě tyto vlastnosti: a) Je omezená a sudá, b) Je shora omezená, ale není zdola omezená, c) Má minimum, nemá maimum. ) Zjistěte, zda je daná funkce periodická, určete její nejmenší periodu (pokud eistuje) a načrtněte její graf: ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) 4) Rozhodněte, zda funkce je periodická. Načrtněte její graf..) a.) f ( ) 0 b.).5 g ( ) 0 f ()

12 Goniometrie Funkce Funkce Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :,:. Zapište funkci složenou z funkcí, (v tomto pořadí) pomocí předpisu. Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí a..) \0, ; do patří všechna, pro která je, čili. Tuto podmínku splňuje každé, proto \0..) Pro každé je. Je tedy :. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

13 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Jsou dány funkce :, :. Určete složené funkce ;. ) Jsou dány funkce :, :. Určete složené funkce ; ; ) Máme dány funkce :,:. Určete složené funkce ; a sestrojte jejich grafy. 4) Uvažujte funkce : log, :. Sestrojte grafy funkcí ;..) ;.) ; ;.) 45 4.) ; Grafy k úlohám.a).b) 8 7 f ( ) f ( )

14 4 Goniometrie Funkce 4.a) f ( ) b) g ( )

15 Goniometrie Funkce 5 Goniometrické funkce Goniometrické funkce ostrého úhlu Definice: Sinus α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého trojúhelníku. Kosinus je poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a délky přepony. Tangens je poměr délek odvěsny protilehlé k úhlu a odvěsny přilehlé. Kotangens je poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu a odvěsny protilehlé..

16 6 Goniometrie Funkce Orientovaný úhel a jeho velikost Definice: Uspořádaná dvojice polopřímek, se společným počátkem se nazývá orientovaný úhel. Tento úhel se zapisuje. Polopřímka se nazývá počáteční rameno, polopřímka koncové rameno orientovaného úhlu, bod vrchol orientovaného úhlu. Kladný smysl otáčení- proti směru hodinových ručiček Záporný směr otáčení- po směru hodinových ručiček Definice: Velikost toho z úhlů,, který opíše polopřímka při otočení z počátečního ramene do koncového ramene v kladném smyslu, se nazývá základní velikost orientovaného úhlu. Definice: Velikostí orientovaného úhlu, jehož základní velikost v obloukové míře je, se nazývá každé číslo, kde je libovolné celé číslo. Věta: Je-li jedna z velikostí orientovaného úhlu, pak množina všech čísel, která lze psát ve tvaru, je rovna množině všech velikostí úhlu. Je-li v rovině dána polopřímka a je-li dáno libovolné reálné číslo, pak v této rovině eistuje právě jeden orientovaný úhel, jehož jedna velikost v obloukové míře je. Jednotková kružnice je kružnice se středem a poloměrem. Délka této kružnice je. Ke středovému úhlu 60 tedy přísluší délka oblouku.

17 Goniometrie Funkce 7 Stupňová míra a) Velikost úhlu zapisujeme ve stupních - jeden stupeň, b) Menší jednotky minuta; vteřina, c) ; Oblouková míra a) Velikost úhlu zapisujeme v radiánech, b) Jednotka rad- jeden radián, Definice: Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce. Z přímé úměrnosti:..

18 8 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta A Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny 7cm, cot. Vypočítejte délky zbývajících stran tohoto trojúhelníku. Řešení: Odvěsna 7cm cot 5 4 V trojúhelníku ABC přepona; odvěsna. cot ; ,6cm 7 5,6 8,96cm V daném trojúhelníku je odvěsna 5,6cm a přepona 8,96cm. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

19 Goniometrie Funkce 9 Příklady k procvičení: ) V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepony 0cm, tan. Vypočítejte délky stran,. ) Určete délky všech stran a velikosti ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou : c) 4cm, 0cm d) 0dm, 40dm ) Je dána kružnice o poloměru 0cm a její tětiva, která má délku cm. Vypočítejte velikost středového úhlu, která přísluší této tětivě. 4) Nakládací rampa o délce metrů je na jednom konci o tři metry výše než na druhém konci. Jak velký úhel svírá rampa s vodorovnou rovinou?.) 6cm, 8cm ) a) 8cm, α 5 0, 6 50 ; b) 4,dm, α 4, 76.) ) 4 0

20 0 Goniometrie Funkce. Goniometrické funkce Varianta B Příklad: a) Převod radiánů na stupně: převeďte na stupně. b) Převod stupňů na radiány: 0 převeďte na radiány. Řešení: a) rad Z přímé úměrnosti Obecně. b) 0 Z přímé úměrnosti. Obecně Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

21 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 0, 50, 0, 40, 0 b) 0, 6, 45, 7 ) Velikosti úhlů dané v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové: a),,,,, ) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 4, 5, 9, 0, 5, 8, 40 b) 45, 60, 90, 50, 80, 70, 00, 60 4) Velikosti úhlů dané v obloukové míře vyjádřete v míře stupňové: a),,,,,, b),,,,, a.),,,, b.), 0,,,,76 a.) 40, 44, 4, 5, 6,.) a),,,,,,, b),,,,,,, 4.) a) 80, 60, 6, 0,,, 5, b) 0, 08, 44, 95, 70,

22 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Jedna z velikostí orientovaného úhlu je a) ; b) 86. Určete jeho základní velikost. Řešení: a) Určíme takové celé číslo, pro něž platí, kde 0, : 4. Základní velikost daného orientovaného úhlu je. b) Jako v a) zjistíme, že Základní velikost orientovaného úhlu je 4. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

23 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Na ciferníku hodin se středem označte body dané čísly, 0, 7, 4 postupně písmeny A, B, C, D. Určete ve stupňové i obloukové míře základní velikosti orientovaných úhlů,,,,,,,. ) Určete základní velikost orientovaného úhlu, jehož jedna velikost je a) 800 b) c) 567 d) 87 e) 84 f) 08 5 ) Základní velikost orientovaného úhlu je. Zjistěte, která z následujících čísel jsou velikostmi tohoto orientovaného úhlu: 4, 7, 8,, 5, 0 6 6,, 4) Základní velikost orientovaného úhlu je. Vypište všechny jeho velikosti z intervalu 4, 6..),,,,,,,.) a) 0, b) 7, c), d) 7, e) 76, f) 56 5.),,, 4.),,,,

24 4 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Funkce sinus a kosinus Jednotková kružnice je kružnice s poloměrem j. ( ) V počátek souřadnicového sytému; Orientovaný úhel počáteční rameno koncové rameno Souřadnice bodu : bod, v němž koncové rameno orientovaného úhlu protíná jednotkovou kružnici.

25 Goniometrie Funkce 5 Definice: Funkcí sinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno čísloo. Funkcí kosinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno číslo. ; základní velikost orientovaného úhlu,,,4 kvadranty souřadnicového systému

26 6 Goniometrie Funkce Věta: Pro každé a pro každé sin sin, cos cos. Z obrázku jednotkové kružnice je vidět, že hodnoty funkce sinus jsou kladné v prvním a druhém kvadrantu a záporné ve třetím a čtvrtém kvadrantu. Hodnoty funkce kosinus jsou kladné v prvním a čtvrtém kvadrantu a záporné ve druhém a třetím kvadrantu. Funkce sinus a kosinus jsou periodické Z jednotkové kružnice můžeme také usoudit, ze funkce sin je lichá a funkce cos je sudá. Věta: Pro každé sin sin cos cos

27 Goniometrie Funkce 7 Grafy funkcí sinus a kosinus : sin, 6,8 f ( ) : cos, g ( )

28 8 Goniometrie Funkce Z obrázků je vidět, že cos sin. Graf funkce sinus se nazývá sinusoida, graf funkce kosinus se nazývá kosinusoida. sin cos Definiční obor Obor hodnot,, Rostoucí V každém intervalu, V každém intervalu, Klesající V každém intervalu, V každém intervalu, Parita lichá Sudá Omezenost Shora i zdola omezená Shora i zdola omezená Maimum V každém V každém Minimum V každém V každém Periodicita Periodická, perioda, Periodická, perioda, Hodnoty funkcí sinus a kosinus sin cos 0-0

29 Goniometrie Funkce 9 Při sestrojování grafů funkcí sinus a kosinus je upravujeme vždy na tvar: sin amplituda perioda posun po ose posun po ose

30 0 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) sin b) cos c) sin 90 d) cos 70 Řešení: a) sin sin b) cos cos cos cos c) sin 90 sin60 0 sin 0 d) cos 70 (viz jednotková kružnice) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

31 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Vypočítejte sin, sin7, cos 9 4,sin5,cos9 6 8 ) Vypočítejte cos70, cos 90, sin845, sin 585, cos 585 ) Vypočítejte: a) cos sin cos sin b) cos 5 sin6 cos c) sin 0 7 cos 0 6 sin 70 4) Dokažte, že platí: a) sin 0 sin 740 b) cos 54 cos06.) 0; 0; ; -0,5; ) ; ; ; ;.) a) 0,5, b) -6, c)

32 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta B Příklad: Zakreslete graf funkce : sin Řešení: Předpis funkce upravíme- : sin Postupně sestrojíme grafy funkcí: : sin : sin : sin : sin : sin

33 Goniometrie Funkce sin ; sin ; sin f ( ) g ( ) h ( )

34 4 Goniometrie Funkce sin ; sin i ( ) j ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

35 Goniometrie Funkce 5 Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cos b) cos c) cos d) cos ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin0,5 b) cos Jaké jsou nejmenší periody těchto funkcí? ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin b) sin Zapište jejich obory hodnot. 4) Načrtněte postupně grafy funkcí: sin,0,5 sin,0,5 sin,0,5 sin, 0,5 sin.) a) c) 4 f ( ) f ( ) b) d) f ( ) f ( )

36 6 Goniometrie Funkce.) a), b), f ( ) 4 f ( ) ) sin 0,5 sin f ( ) f ( ) ,5 sin 0,5 sin f ( ) f ( ) ,5 sin f ( )

37 Goniometrie Funkce 7 Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Zakreslete grafy těchto funkcí: a) sin b) sin c) sin d) sin Řešení: a) c) f ( ) 0 f ( ) b) d) f ( ) f ( )

38 8 Goniometrie Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) ) Načrtněte graf funkce ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin b) sin 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cos b) cos c) cos d) cos.) a) b) f ( ) 5 4 f ( )

39 Goniometrie Funkce 9.) 4.) a) 5 4 f ( ) f ( ) ) a) b) f ( ) f ( ) )b) 4.)c) f ( ) f ( )

40 40 Goniometrie Funkce 4d) f ( )

41 Goniometrie Funkce 4 Goniometrické funkce Funkce tangens a kotangens Definice: Funkcí tangens se nazývá funkce daná vztahem. Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem. Tyto funkce zapisujeme

42 4 Goniometrie Funkce Definičním oborem funkce tg je množina všech reálných čísel různých od a, kde je libovolné celé číslo. Jinak řečeno, definičním oborem funkce tg je množina všech, pro něž, kde. Definičním oborem funkce tan je tedy množina, která je sjednocením nekonečně mnoha otevřených intervalů tvaru, ; přitom je libovolné celé číslo. Tuto množinu zapisujeme takto:, Symbol označuje sjednocení příslušných intervalů. Definičním oborem funkce kotangens je množina všech těch, pro která má smysl výraz čili pro něž je sin 0. V intervalu 0, je sin 0 pouze pro čísla 0 a ; dále víme, že funkce sin je periodická s nejmenší periodou. Odtud plyne, že definičním oborem funkce cotg je množina všech těch, pro něž ; přitom je libovolné celé číslo. Definiční obor funkce kotangens lze tedy zapsat v tomto tvaru:,

43 Goniometrie Funkce 4 Věta: a) Pro každé reálné číslo, kde, tg tg b) Pro každé reálné číslo, kde, cotg cotg Věta: Funkce tangens a kotangens jsou liché funkce. Věta: a) Pro každé z definičního oboru funkce tg a pro každé tg tg b) Pro každé z definičního oboru funkce cotg a pro každé cotg cotg tan cot - 0-0

44 44 Goniometrie Funkce Definiční obor tg Množina všech cotg Množina všech Obor hodnot Rostoucí V každém intervalu -, Klesající - V každém intervalu, Parita Lichá Lichá Omezenost Není omezená ani shora, ani zdola Není omezená ani shora, ani zdola Maimum Neeistuje Neeistuje Minimum Neeistuje Neeistuje Periodicita Periodická s periodou, Periodická s periodou,

45 Goniometrie Funkce 45 Grafy funkcí tangens a kotangens : tg, 6,8 5 4 f ( )

46 46 Goniometrie Funkce : cotg 5 4 f ( )

47 Goniometrie Funkce 47 Goniometrické funkce Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) tg b) cotg Řešení: a) tg tg tg tg tg b) cotg cotg cotg Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

48 48 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Určete hodnoty: a) tg, cotg b) tg, cotg ) Určete hodnoty a) tg 00, cotg 00 b) tg945, cotg945 ) Vypočtěte: a) tg 0 cotg 0 sin 0 tg 60 b) cotg tg cotg tg7 4) Vypočítejte: a) b).) a),, b), ) a),, b) -,-.) a), b) 0 4.) a), b)

49 Goniometrie Funkce 49. Goniometrické funkce Varianta B Příklad: Určete definiční obory funkcí: a) b) cotg Řešení: a) b) tg0, cotg 0, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

50 50 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Zapište definiční obory funkcí: a) b) ) Vypočítejte: a) tg0sincos cotg b) tg 0 cotg 0 sin 0 tg 60 ) Vypočítejte: a) 6 cotg 5 sin cos b) cos 4 sin 8 tg 4) Uspořádejte podle velikosti tato čísla: a) sin 0, cos 0, tg 0, cotg 0 b) cos 4, sin5,tg, cotg.) a),, b),.) a) 0, b).) a) -, b) 4 4.) a) sin 0 tg 0 cos 0 cotg 0 b) sin5 cotg cos4tg

51 Goniometrie Funkce 5 Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: a) : tg, : 0,5 tg b) :0,5 tg, :0,5 tg Řešení: a) 5 4 f ( ) g ( )

52 5 Goniometrie Funkce b) 5 4 h ( ) k ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

53 Goniometrie Funkce 5 Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cotg b) cotg 0,5 ) Načrtněte graf těchto funkcí: a) tg b) cotg ) Načrtněte grafy funkcí: a) cotg b) tg 4) Načrtněte graf následující funkce a poté z grafu určete její vlastnosti: tg.) a) 5 4 f ( ) b) 5 4 f ( )

54 54 Goniometrie Funkce.) a) f ( ) b) f ( ).) a) b) f ( ) f ( )

55 Goniometrie Funkce 55 4.) 5 4 f ( )

56 56 Goniometrie Funkce Goniometrické rovnice Definice: Goniometrickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují goniometrické výrazy s neznámou, kde. Dva základní typy goniometrických rovnic:.) sin, cos Je-li: a) 0 nebo, užijeme pro řešení graf nebo jednotkovou kružnici b) 0 a zároveň, pak zjistíme kořeny, 0, pomocí jednotkové kružnice popřípadě grafu, známé tabulkové hodnoty nebo kalkulátoru Množina řešení,. Pozn.: Je-li, pak rovnice nemá řešení..) tg, cotg Pro všechna má rovnice nekonečně mnoho řešení, která určíme: a) Pro 0, užijeme grafu nebo vlastností tg 0 sin 0 cotg 0 cos 0 b) Pro 0, zjistíme právě jeden kořen 0,, přičemž postupujeme jako v případě.). Množina řešení. Složitější goniometrické rovnice řešíme převedením na základní tvar. A to substitucí nebo užitím vzorců pro goniometrické funkce.

57 Jednotková kružnice funkce sinus Goniometrie Funkce 57

58 58 Goniometrie Funkce Jednotková kružnice funkce kosinus

59 Goniometrie Funkce 59 Osy cos() a sin() můžeme zakreslit do jedné kružnice. V obrázku jsou navíc vyznačeny kvadranty.

60 60 Goniometrie Funkce Goniometrické rovnice Varianta A Příklad: Řešte základní goniometrické rovnice: a) sin b) cos c) sin Řešení: a), b), c) Určíme základní úhel, pro něž je sin. 6 sin je záporný ve třetím a čtvrtém kvadrantu, tedy , 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

61 Goniometrie Funkce 6 Příklady k procvičení: ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou : a) sin b) tg c) cos 0 d) cotg 0 ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou 0,4: a) cotg b) tg c) cos 0,5 d) sin ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou : a) sin 0,5 b) cotg Řešte goniometrické rovnice s neznámou 0,4: c) sin 0,5 d) cotg 4) Řešte v rovnice: a) cos 0,5 b) sin 0,86 c) cotg,

62 6 Goniometrie Funkce.) a), b), c), d).) a),,,, b),,, c),,,, d),.) a),, b), c),,,, d),,, 4.) a) , , b) , c)

63 Goniometrie Funkce 6 Goniometrické rovnice Varianta B Příklad: Řešte v : a) sin b) sin Řešení: a) Substituce sin , b) Rovnici budeme řešit substitucí, tj. přejdeme k řešení rovnice sin čili k rovnici sin 0,5 s neznámou.

64 64 Goniometrie Funkce Množinu všech jejích kořenů tvoří čísla tvaru kde Množina všech kořenů původní rovnice se tedy skládá ze všech čísel,, pro která platí právě jeden ze vztahů Odtud dostaneme Neboli Množinu všech kořenů původní rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 8, 5 8 Provedením zkoušky dosazením se přesvědčíme, že jsme se v průběhu řešení nedopustili numerické chyby..) 8 sin 8 sin 6 sin 7 6 sin 6 8

65 Goniometrie Funkce ) 5 8 sin 5 8 sin5 6 sin 6 sin Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

66 66 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) tg 0 b) sin 0 c) cotg 4 ) Řešte rovnice s neznámou : a) sin b) cos 45 c) tg 0 ) Řešte rovnice s neznámou : a) sin 0 b) tg 4) Řešte rovnice s neznámou : a) cos 0,5 b) cotg 0.) a), b) c),.) a), b) c) 5 80.) a), b) 4.) a),, b)

67 Goniometrie Funkce 67 Goniometrické rovnice Varianta C Příklad: Řešte rovnici s neznámou sin cos sin Řešení: Rovnici upravíme takto: sin cos 0 Číslo je kořenem této rovnice, právě když platí sin 0 nebo cos0 Zavedeme substituce: Odtud dostaneme dále: sin 0 cos, kde, kde Množinu všech řešení zadané rovnice tvoří všechna, která lze psát v některém z tvarů, ; přitom, jsou libovolná celá čísla. Tuto množinu lze zapsat ve tvaru Nebo také, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

68 68 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) cos sin cos b) cotg tg cotg ) Řešte rovnice s neznámou : a) cos 7cos0 b) tg tgn0 ž cos ) Řešte rovnice s neznámou : a) cotg cotg0 b) sin sin0 4) Řešte rovnice s neznámou : a) sin cos 0 b) tg cotg 0.) a),, b), 4.) a),, b),,,49..) a),, b) 4.) a), b) prázdná množina

69 Goniometrie Funkce 69 Goniometrické vzorce Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi š š š š, Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: Pro všech na reálná čísla, platí

70 70 Goniometrie Funkce Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel Pro každé reálné číslo platí:

71 Goniometrie Funkce 7 Trigonometrie Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β,γ é,,, í, ě ž úí é Sinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délka jedné strany a velikosti dvou úhlů b) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich.

72 7 Goniometrie Funkce Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β,γ é,,, í Kosinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délky všech tří stran b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. Další trigonometrické věty žé úé úí, ž ří ú í,, é,, í: ší ýč úí ů :, ě ž é ě ž é

73 Goniometrie Funkce 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta A Příklad : a)určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže 0,6 áň, b) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže áň, Řešení: a) 0,6 0,64 0,8 0,6 0,8 4 4 b) tg

74 74 Goniometrie Funkce Příklad : Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno : a) 0, 45, 05 b) 5,, 4,76, 6 Řešení: a) ,6 0 b) 5, 4,76. 5,. 4, ,4 77, 5, 6 0,54 77, 8 47 ý ú Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže: e) 0,6 áň, f),4 áň,

75 Goniometrie Funkce 75 ) Dokažte, že pro všechna, pro která jsou dané výrazy definovány, platí ) Určete délky všech stran a úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno: c) 88,4, 56 8, 95 6 d) 5, 5, 45 4) Tři kružnice s poloměry 5, 4, 6 se dotýkají vně. Vypočítejte velikosti úhlů, které svírají středné. Výsledky: a.) 0,8 ; ; b.) ; ; a.),8, 8 6, 98, b.) 48,, 0, 05 4.) , 70

76 76 Goniometrie Funkce Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta B Příklad: Upravte: Řešení: a) 0 0 sin sin b) c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

77 Goniometrie Funkce 77 Příklady k procvičení: ) Vyjádřete jako součin: a) = b) = ) Řešte v rovnice: a) b ) Zjistěte pro která mají výrazy smysl a pak je zjednodušte: sin. 4) Řešte v rovnice: Výsledky:.) a) b).) a), b),,.) a), b), c),, d), 4.) a), b)

78 78 Goniometrie Funkce Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :,:. Zapište funkci složenou z funkcí, (v tomto pořadí) pomocí předpisu. Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí a. ) \0, ; do patří všechna, pro která je, čili. Tuto podmínku splňuje každé, proto \0. ) Pro každé je. Je tedy :. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

79 Goniometrie Funkce 79 Příklady k procvičení: ) Letadlo letí ve výšce 500 m k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem 8, při druhém měření pod výškovým úhlem 50. Určete vzdálenost, kterou proletělo mezi oběma měřeními. ) Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu 9 5. Přijdeme-li k jeho patě o 50 blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu Jak vysoká je věž? ) Dvě přímé cesty se křižují v úhlu 5 0.Na jedné z nich stojí dva sloupy, jeden na křižovatce, druhý ve vzdálenosti 500 od ní. Jak daleko je třeba jít od křižovatky po druhé cestě, aby byly vidět oba sloupy v zorném úhlu. 4) Na vrcholu hory stojí věž hradu vysoká 0. Křižovatku silnic v údolí vidíme z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech 5, 0 0. Jak vysoko je vrchol hory nad křižovatkou. Výsledky:.) 600.) 8,.) ) 7

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 = /7 GONIOMETRIE Základní pojm: Goniometrické fce v pravoúhlém trojúhelníku Jednotková kružnice, stupňová a oblouková míra, základní velikost úhlu Graf a základní hodnot gon. fcí Goniometrické vzorce Úprav

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory Variace 1 Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory 1. Goniometrie a trigonometrie 2. Orientovaný úhel 2 3 4 3. Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 1. 1617 2. 1611 3. 1622 4. 1614 5.

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá 4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice

4.3.1 Goniometrické rovnice .. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.

Funkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4. ..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia - - Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia ) Pojem funkce, základní pojmy ) Grafy funkcí, druhy funkcí ) Druhy funkcí lineární, lomená ) Kvadratická funkce, mocninné funkce

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

SMART Notebook verze Aug

SMART Notebook verze Aug SMART Notebook verze 10.6.219.2 Aug 5 2010 Pořadové číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3007 Šablona č.: III/2 Datum vytvoření: 8.9.2012 Pro ročník: 9. Vzdělávací obor předmět: Matematika Klíčová slova: funkce,

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

UŽITÍ TRIGONOMETRIE V PRAXI

UŽITÍ TRIGONOMETRIE V PRAXI Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol UŽITÍ

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9.

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9. Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/1.581 VY_4_INOVACE_1NOV40 Autor: Mgr. Jakub Novák Datum: 10. 3. 013 Ročník: 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce 4 Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce Předpoklady: 40 Př : Najdi všechny úhly x 0;π ), pro které platí sin x = Postřeh: Obrácená úloha než dosud Zatím jsme hledali pro úhly hodnoty goniometrických

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD2C0T0 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice I

4.3.1 Goniometrické rovnice I 4.. Goniometrické rovnice I Předpoklady: 4, 4, 46, 47 Pedagogická poznámka: Úspěšnost této hodiny zcela závisí na tom, jak rychle jsou studenti schopni hledat ke známým hodnotám goniometrických funkcí

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více