GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE"

Transkript

1 GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 00

2 Goniometrie Funkce Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Goniometrie Funkce Obsah Goniometrie... 6 Funkce... 6 Funkce... 7 Varianta A... 7 Funkce... 0 Varianta B... 0 Funkce... Varianta C... Goniometrické funkce... 5 Goniometrické funkce ostrého úhlu... 5 Orientovaný úhel a jeho velikost... 6 Goniometrické funkce... 8 Varianta A Goniometrické funkce... 0 Varianta B... 0 Goniometrické funkce... Varianta C... Goniometrické funkce... 4 Funkce sinus a kosinus... 4 Grafy funkcí sinus a kosinus... 7 Goniometrické funkce... 0 Varianta A... 0 Goniometrické funkce... Varianta B... Goniometrické funkce... 7 Varianta C... 7

4 4 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce... 4 Funkce tangens a kotangens... 4 Grafy funkcí tangens a kotangens Goniometrické funkce Varianta A Goniometrické funkce Varianta B Goniometrické funkce... 5 Varianta C... 5 Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Varianta A Goniometrické rovnice... 6 Varianta B... 6 Goniometrické rovnice Varianta C Goniometrické vzorce Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel Trigonometrie... 7 Další trigonometrické věty... 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie... 7 Varianta A... 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta B... 76

5 Goniometrie Funkce 5 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta C... 78

6 6 Goniometrie Funkce Goniometrie Funkce Definice: Funkce se nazývá periodická funkce, právě když eistuje takové číslo 0, že pro každé platí následující podmínky: a) Je-li, pak ; b). Číslo se nazývá perioda funkce. Pokud v množině čísel, která jsou periodami periodické funkce, eistuje nejmenší kladné číslo, nazýváme ho nejmenší perioda funkce. Definice: Funkce se nazývá funkce složená z funkcí, (v tomto pořadí), právě když platí:.) Definičním oborem funkce je množina všech těch..) Pro každé je. Funkce se označuje.

7 Goniometrie Funkce 7 Funkce Varianta A Příklad: Načrtněte graf funkce,. Řešení: f ( ) Hodnoty funkce se pravidelně opakují: Pro každé číslo, které lze zapsat ve tvaru, kde je celé číslo, je ; pro každé číslo, které lze vyjádřit ve tvaru, kde je celé číslo, je. Hodnoty se pravidelně opakují, funkce je periodická. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

8 8 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Jaká je množina všech period funkce, kde? Má funkce nejmenší periodu? ) Zjistěte, které z daných funkcí jsou periodické, určete jejich nejmenší periodu (pokud eistuje) a načrtněte jejich grafy: a),, b), ) Rozhodněte, zda funkce je periodická. Má tato funkce nejmenší periodu? 4) Zjistěte, které z uvedených funkcí jsou periodické. Určete jejich nejmenší periody (pokud eistují). Načrtněte jejich grafy. a), b), Výsledek řešeník:.) Periodou je, kde je přirozené číslo, nejmenší perioda je..) a)nejmenší perioda, pro všechna,je hodnota funkce b)nejmenší perioda, pro sudá, je hodnota funkce, pro lichá, je hodnota funkce 0. ) Je periodická, nemá nejmenší periodu. 4) a) Je periodická s nejmenší periodou, pro lichá je je, pro sudá je ; b) Je periodická s nejmenší periodou, pro lichá je 0 je, pro sudá je.

9 Goniometrie Funkce 9 a) b) f ():= trunc ( ) + ( ) ( ) trunc f ( ) f ( ) 4 4 4a) f ():= ( ) f ( ) b) f( ) := ( ) + f( ) 4 0 4

10 0 Goniometrie Funkce Funkce Varianta B Příklad: Každé reálné číslo lze zapsat ve tvaru, kde je celé číslo a 0,. Číslo se nazývá celá část čísla a označujeme je. Na obrázku jsou sestrojeny grafy funkcí : a :. Je některá z těchto funkcí periodická? f ( ) 0 g ( ) 0 h ( ) 0 Řešení: není periodická je periodická s nejmenší periodou Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

11 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Načrtněte graf funkce, která je periodická a navíc má ještě tyto vlastnosti: a) Je omezená a sudá, b) Je shora omezená, ale není zdola omezená, c) Má minimum, nemá maimum. ) Zjistěte, zda je daná funkce periodická, určete její nejmenší periodu (pokud eistuje) a načrtněte její graf: ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) 4) Rozhodněte, zda funkce je periodická. Načrtněte její graf..) a.) f ( ) 0 b.).5 g ( ) 0 f ()

12 Goniometrie Funkce Funkce Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :,:. Zapište funkci složenou z funkcí, (v tomto pořadí) pomocí předpisu. Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí a..) \0, ; do patří všechna, pro která je, čili. Tuto podmínku splňuje každé, proto \0..) Pro každé je. Je tedy :. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

13 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Jsou dány funkce :, :. Určete složené funkce ;. ) Jsou dány funkce :, :. Určete složené funkce ; ; ) Máme dány funkce :,:. Určete složené funkce ; a sestrojte jejich grafy. 4) Uvažujte funkce : log, :. Sestrojte grafy funkcí ;..) ;.) ; ;.) 45 4.) ; Grafy k úlohám.a).b) 8 7 f ( ) f ( )

14 4 Goniometrie Funkce 4.a) f ( ) b) g ( )

15 Goniometrie Funkce 5 Goniometrické funkce Goniometrické funkce ostrého úhlu Definice: Sinus α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého trojúhelníku. Kosinus je poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a délky přepony. Tangens je poměr délek odvěsny protilehlé k úhlu a odvěsny přilehlé. Kotangens je poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu a odvěsny protilehlé..

16 6 Goniometrie Funkce Orientovaný úhel a jeho velikost Definice: Uspořádaná dvojice polopřímek, se společným počátkem se nazývá orientovaný úhel. Tento úhel se zapisuje. Polopřímka se nazývá počáteční rameno, polopřímka koncové rameno orientovaného úhlu, bod vrchol orientovaného úhlu. Kladný smysl otáčení- proti směru hodinových ručiček Záporný směr otáčení- po směru hodinových ručiček Definice: Velikost toho z úhlů,, který opíše polopřímka při otočení z počátečního ramene do koncového ramene v kladném smyslu, se nazývá základní velikost orientovaného úhlu. Definice: Velikostí orientovaného úhlu, jehož základní velikost v obloukové míře je, se nazývá každé číslo, kde je libovolné celé číslo. Věta: Je-li jedna z velikostí orientovaného úhlu, pak množina všech čísel, která lze psát ve tvaru, je rovna množině všech velikostí úhlu. Je-li v rovině dána polopřímka a je-li dáno libovolné reálné číslo, pak v této rovině eistuje právě jeden orientovaný úhel, jehož jedna velikost v obloukové míře je. Jednotková kružnice je kružnice se středem a poloměrem. Délka této kružnice je. Ke středovému úhlu 60 tedy přísluší délka oblouku.

17 Goniometrie Funkce 7 Stupňová míra a) Velikost úhlu zapisujeme ve stupních - jeden stupeň, b) Menší jednotky minuta; vteřina, c) ; Oblouková míra a) Velikost úhlu zapisujeme v radiánech, b) Jednotka rad- jeden radián, Definice: Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce. Z přímé úměrnosti:..

18 8 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta A Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny 7cm, cot. Vypočítejte délky zbývajících stran tohoto trojúhelníku. Řešení: Odvěsna 7cm cot 5 4 V trojúhelníku ABC přepona; odvěsna. cot ; ,6cm 7 5,6 8,96cm V daném trojúhelníku je odvěsna 5,6cm a přepona 8,96cm. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

19 Goniometrie Funkce 9 Příklady k procvičení: ) V pravoúhlém trojúhelníku je délka přepony 0cm, tan. Vypočítejte délky stran,. ) Určete délky všech stran a velikosti ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou : c) 4cm, 0cm d) 0dm, 40dm ) Je dána kružnice o poloměru 0cm a její tětiva, která má délku cm. Vypočítejte velikost středového úhlu, která přísluší této tětivě. 4) Nakládací rampa o délce metrů je na jednom konci o tři metry výše než na druhém konci. Jak velký úhel svírá rampa s vodorovnou rovinou?.) 6cm, 8cm ) a) 8cm, α 5 0, 6 50 ; b) 4,dm, α 4, 76.) ) 4 0

20 0 Goniometrie Funkce. Goniometrické funkce Varianta B Příklad: a) Převod radiánů na stupně: převeďte na stupně. b) Převod stupňů na radiány: 0 převeďte na radiány. Řešení: a) rad Z přímé úměrnosti Obecně. b) 0 Z přímé úměrnosti. Obecně Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

21 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 0, 50, 0, 40, 0 b) 0, 6, 45, 7 ) Velikosti úhlů dané v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové: a),,,,, ) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 4, 5, 9, 0, 5, 8, 40 b) 45, 60, 90, 50, 80, 70, 00, 60 4) Velikosti úhlů dané v obloukové míře vyjádřete v míře stupňové: a),,,,,, b),,,,, a.),,,, b.), 0,,,,76 a.) 40, 44, 4, 5, 6,.) a),,,,,,, b),,,,,,, 4.) a) 80, 60, 6, 0,,, 5, b) 0, 08, 44, 95, 70,

22 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Jedna z velikostí orientovaného úhlu je a) ; b) 86. Určete jeho základní velikost. Řešení: a) Určíme takové celé číslo, pro něž platí, kde 0, : 4. Základní velikost daného orientovaného úhlu je. b) Jako v a) zjistíme, že Základní velikost orientovaného úhlu je 4. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

23 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Na ciferníku hodin se středem označte body dané čísly, 0, 7, 4 postupně písmeny A, B, C, D. Určete ve stupňové i obloukové míře základní velikosti orientovaných úhlů,,,,,,,. ) Určete základní velikost orientovaného úhlu, jehož jedna velikost je a) 800 b) c) 567 d) 87 e) 84 f) 08 5 ) Základní velikost orientovaného úhlu je. Zjistěte, která z následujících čísel jsou velikostmi tohoto orientovaného úhlu: 4, 7, 8,, 5, 0 6 6,, 4) Základní velikost orientovaného úhlu je. Vypište všechny jeho velikosti z intervalu 4, 6..),,,,,,,.) a) 0, b) 7, c), d) 7, e) 76, f) 56 5.),,, 4.),,,,

24 4 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Funkce sinus a kosinus Jednotková kružnice je kružnice s poloměrem j. ( ) V počátek souřadnicového sytému; Orientovaný úhel počáteční rameno koncové rameno Souřadnice bodu : bod, v němž koncové rameno orientovaného úhlu protíná jednotkovou kružnici.

25 Goniometrie Funkce 5 Definice: Funkcí sinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno čísloo. Funkcí kosinus se nazývá funkce na množině, kterou je každému přiřazeno číslo. ; základní velikost orientovaného úhlu,,,4 kvadranty souřadnicového systému

26 6 Goniometrie Funkce Věta: Pro každé a pro každé sin sin, cos cos. Z obrázku jednotkové kružnice je vidět, že hodnoty funkce sinus jsou kladné v prvním a druhém kvadrantu a záporné ve třetím a čtvrtém kvadrantu. Hodnoty funkce kosinus jsou kladné v prvním a čtvrtém kvadrantu a záporné ve druhém a třetím kvadrantu. Funkce sinus a kosinus jsou periodické Z jednotkové kružnice můžeme také usoudit, ze funkce sin je lichá a funkce cos je sudá. Věta: Pro každé sin sin cos cos

27 Goniometrie Funkce 7 Grafy funkcí sinus a kosinus : sin, 6,8 f ( ) : cos, g ( )

28 8 Goniometrie Funkce Z obrázků je vidět, že cos sin. Graf funkce sinus se nazývá sinusoida, graf funkce kosinus se nazývá kosinusoida. sin cos Definiční obor Obor hodnot,, Rostoucí V každém intervalu, V každém intervalu, Klesající V každém intervalu, V každém intervalu, Parita lichá Sudá Omezenost Shora i zdola omezená Shora i zdola omezená Maimum V každém V každém Minimum V každém V každém Periodicita Periodická, perioda, Periodická, perioda, Hodnoty funkcí sinus a kosinus sin cos 0-0

29 Goniometrie Funkce 9 Při sestrojování grafů funkcí sinus a kosinus je upravujeme vždy na tvar: sin amplituda perioda posun po ose posun po ose

30 0 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) sin b) cos c) sin 90 d) cos 70 Řešení: a) sin sin b) cos cos cos cos c) sin 90 sin60 0 sin 0 d) cos 70 (viz jednotková kružnice) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

31 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Vypočítejte sin, sin7, cos 9 4,sin5,cos9 6 8 ) Vypočítejte cos70, cos 90, sin845, sin 585, cos 585 ) Vypočítejte: a) cos sin cos sin b) cos 5 sin6 cos c) sin 0 7 cos 0 6 sin 70 4) Dokažte, že platí: a) sin 0 sin 740 b) cos 54 cos06.) 0; 0; ; -0,5; ) ; ; ; ;.) a) 0,5, b) -6, c)

32 Goniometrie Funkce Goniometrické funkce Varianta B Příklad: Zakreslete graf funkce : sin Řešení: Předpis funkce upravíme- : sin Postupně sestrojíme grafy funkcí: : sin : sin : sin : sin : sin

33 Goniometrie Funkce sin ; sin ; sin f ( ) g ( ) h ( )

34 4 Goniometrie Funkce sin ; sin i ( ) j ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

35 Goniometrie Funkce 5 Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cos b) cos c) cos d) cos ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin0,5 b) cos Jaké jsou nejmenší periody těchto funkcí? ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin b) sin Zapište jejich obory hodnot. 4) Načrtněte postupně grafy funkcí: sin,0,5 sin,0,5 sin,0,5 sin, 0,5 sin.) a) c) 4 f ( ) f ( ) b) d) f ( ) f ( )

36 6 Goniometrie Funkce.) a), b), f ( ) 4 f ( ) ) sin 0,5 sin f ( ) f ( ) ,5 sin 0,5 sin f ( ) f ( ) ,5 sin f ( )

37 Goniometrie Funkce 7 Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Zakreslete grafy těchto funkcí: a) sin b) sin c) sin d) sin Řešení: a) c) f ( ) 0 f ( ) b) d) f ( ) f ( )

38 8 Goniometrie Funkce Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy funkcí: a) b) ) Načrtněte graf funkce ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) sin b) sin 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cos b) cos c) cos d) cos.) a) b) f ( ) 5 4 f ( )

39 Goniometrie Funkce 9.) 4.) a) 5 4 f ( ) f ( ) ) a) b) f ( ) f ( ) )b) 4.)c) f ( ) f ( )

40 40 Goniometrie Funkce 4d) f ( )

41 Goniometrie Funkce 4 Goniometrické funkce Funkce tangens a kotangens Definice: Funkcí tangens se nazývá funkce daná vztahem. Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem. Tyto funkce zapisujeme

42 4 Goniometrie Funkce Definičním oborem funkce tg je množina všech reálných čísel různých od a, kde je libovolné celé číslo. Jinak řečeno, definičním oborem funkce tg je množina všech, pro něž, kde. Definičním oborem funkce tan je tedy množina, která je sjednocením nekonečně mnoha otevřených intervalů tvaru, ; přitom je libovolné celé číslo. Tuto množinu zapisujeme takto:, Symbol označuje sjednocení příslušných intervalů. Definičním oborem funkce kotangens je množina všech těch, pro která má smysl výraz čili pro něž je sin 0. V intervalu 0, je sin 0 pouze pro čísla 0 a ; dále víme, že funkce sin je periodická s nejmenší periodou. Odtud plyne, že definičním oborem funkce cotg je množina všech těch, pro něž ; přitom je libovolné celé číslo. Definiční obor funkce kotangens lze tedy zapsat v tomto tvaru:,

43 Goniometrie Funkce 4 Věta: a) Pro každé reálné číslo, kde, tg tg b) Pro každé reálné číslo, kde, cotg cotg Věta: Funkce tangens a kotangens jsou liché funkce. Věta: a) Pro každé z definičního oboru funkce tg a pro každé tg tg b) Pro každé z definičního oboru funkce cotg a pro každé cotg cotg tan cot - 0-0

44 44 Goniometrie Funkce Definiční obor tg Množina všech cotg Množina všech Obor hodnot Rostoucí V každém intervalu -, Klesající - V každém intervalu, Parita Lichá Lichá Omezenost Není omezená ani shora, ani zdola Není omezená ani shora, ani zdola Maimum Neeistuje Neeistuje Minimum Neeistuje Neeistuje Periodicita Periodická s periodou, Periodická s periodou,

45 Goniometrie Funkce 45 Grafy funkcí tangens a kotangens : tg, 6,8 5 4 f ( )

46 46 Goniometrie Funkce : cotg 5 4 f ( )

47 Goniometrie Funkce 47 Goniometrické funkce Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) tg b) cotg Řešení: a) tg tg tg tg tg b) cotg cotg cotg Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

48 48 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Určete hodnoty: a) tg, cotg b) tg, cotg ) Určete hodnoty a) tg 00, cotg 00 b) tg945, cotg945 ) Vypočtěte: a) tg 0 cotg 0 sin 0 tg 60 b) cotg tg cotg tg7 4) Vypočítejte: a) b).) a),, b), ) a),, b) -,-.) a), b) 0 4.) a), b)

49 Goniometrie Funkce 49. Goniometrické funkce Varianta B Příklad: Určete definiční obory funkcí: a) b) cotg Řešení: a) b) tg0, cotg 0, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

50 50 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Zapište definiční obory funkcí: a) b) ) Vypočítejte: a) tg0sincos cotg b) tg 0 cotg 0 sin 0 tg 60 ) Vypočítejte: a) 6 cotg 5 sin cos b) cos 4 sin 8 tg 4) Uspořádejte podle velikosti tato čísla: a) sin 0, cos 0, tg 0, cotg 0 b) cos 4, sin5,tg, cotg.) a),, b),.) a) 0, b).) a) -, b) 4 4.) a) sin 0 tg 0 cos 0 cotg 0 b) sin5 cotg cos4tg

51 Goniometrie Funkce 5 Goniometrické funkce Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: a) : tg, : 0,5 tg b) :0,5 tg, :0,5 tg Řešení: a) 5 4 f ( ) g ( )

52 5 Goniometrie Funkce b) 5 4 h ( ) k ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

53 Goniometrie Funkce 5 Příklady k procvičení: ) Načrtněte grafy těchto funkcí: a) cotg b) cotg 0,5 ) Načrtněte graf těchto funkcí: a) tg b) cotg ) Načrtněte grafy funkcí: a) cotg b) tg 4) Načrtněte graf následující funkce a poté z grafu určete její vlastnosti: tg.) a) 5 4 f ( ) b) 5 4 f ( )

54 54 Goniometrie Funkce.) a) f ( ) b) f ( ).) a) b) f ( ) f ( )

55 Goniometrie Funkce 55 4.) 5 4 f ( )

56 56 Goniometrie Funkce Goniometrické rovnice Definice: Goniometrickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují goniometrické výrazy s neznámou, kde. Dva základní typy goniometrických rovnic:.) sin, cos Je-li: a) 0 nebo, užijeme pro řešení graf nebo jednotkovou kružnici b) 0 a zároveň, pak zjistíme kořeny, 0, pomocí jednotkové kružnice popřípadě grafu, známé tabulkové hodnoty nebo kalkulátoru Množina řešení,. Pozn.: Je-li, pak rovnice nemá řešení..) tg, cotg Pro všechna má rovnice nekonečně mnoho řešení, která určíme: a) Pro 0, užijeme grafu nebo vlastností tg 0 sin 0 cotg 0 cos 0 b) Pro 0, zjistíme právě jeden kořen 0,, přičemž postupujeme jako v případě.). Množina řešení. Složitější goniometrické rovnice řešíme převedením na základní tvar. A to substitucí nebo užitím vzorců pro goniometrické funkce.

57 Jednotková kružnice funkce sinus Goniometrie Funkce 57

58 58 Goniometrie Funkce Jednotková kružnice funkce kosinus

59 Goniometrie Funkce 59 Osy cos() a sin() můžeme zakreslit do jedné kružnice. V obrázku jsou navíc vyznačeny kvadranty.

60 60 Goniometrie Funkce Goniometrické rovnice Varianta A Příklad: Řešte základní goniometrické rovnice: a) sin b) cos c) sin Řešení: a), b), c) Určíme základní úhel, pro něž je sin. 6 sin je záporný ve třetím a čtvrtém kvadrantu, tedy , 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

61 Goniometrie Funkce 6 Příklady k procvičení: ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou : a) sin b) tg c) cos 0 d) cotg 0 ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou 0,4: a) cotg b) tg c) cos 0,5 d) sin ) Řešte goniometrické rovnice s neznámou : a) sin 0,5 b) cotg Řešte goniometrické rovnice s neznámou 0,4: c) sin 0,5 d) cotg 4) Řešte v rovnice: a) cos 0,5 b) sin 0,86 c) cotg,

62 6 Goniometrie Funkce.) a), b), c), d).) a),,,, b),,, c),,,, d),.) a),, b), c),,,, d),,, 4.) a) , , b) , c)

63 Goniometrie Funkce 6 Goniometrické rovnice Varianta B Příklad: Řešte v : a) sin b) sin Řešení: a) Substituce sin , b) Rovnici budeme řešit substitucí, tj. přejdeme k řešení rovnice sin čili k rovnici sin 0,5 s neznámou.

64 64 Goniometrie Funkce Množinu všech jejích kořenů tvoří čísla tvaru kde Množina všech kořenů původní rovnice se tedy skládá ze všech čísel,, pro která platí právě jeden ze vztahů Odtud dostaneme Neboli Množinu všech kořenů původní rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 8, 5 8 Provedením zkoušky dosazením se přesvědčíme, že jsme se v průběhu řešení nedopustili numerické chyby..) 8 sin 8 sin 6 sin 7 6 sin 6 8

65 Goniometrie Funkce ) 5 8 sin 5 8 sin5 6 sin 6 sin Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

66 66 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) tg 0 b) sin 0 c) cotg 4 ) Řešte rovnice s neznámou : a) sin b) cos 45 c) tg 0 ) Řešte rovnice s neznámou : a) sin 0 b) tg 4) Řešte rovnice s neznámou : a) cos 0,5 b) cotg 0.) a), b) c),.) a), b) c) 5 80.) a), b) 4.) a),, b)

67 Goniometrie Funkce 67 Goniometrické rovnice Varianta C Příklad: Řešte rovnici s neznámou sin cos sin Řešení: Rovnici upravíme takto: sin cos 0 Číslo je kořenem této rovnice, právě když platí sin 0 nebo cos0 Zavedeme substituce: Odtud dostaneme dále: sin 0 cos, kde, kde Množinu všech řešení zadané rovnice tvoří všechna, která lze psát v některém z tvarů, ; přitom, jsou libovolná celá čísla. Tuto množinu lze zapsat ve tvaru Nebo také, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

68 68 Goniometrie Funkce Příklady k procvičení: ) Řešte rovnice s neznámou : a) cos sin cos b) cotg tg cotg ) Řešte rovnice s neznámou : a) cos 7cos0 b) tg tgn0 ž cos ) Řešte rovnice s neznámou : a) cotg cotg0 b) sin sin0 4) Řešte rovnice s neznámou : a) sin cos 0 b) tg cotg 0.) a),, b), 4.) a),, b),,,49..) a),, b) 4.) a), b) prázdná množina

69 Goniometrie Funkce 69 Goniometrické vzorce Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi š š š š, Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: Pro všech na reálná čísla, platí

70 70 Goniometrie Funkce Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel Pro každé reálné číslo platí:

71 Goniometrie Funkce 7 Trigonometrie Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β,γ é,,, í, ě ž úí é Sinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délka jedné strany a velikosti dvou úhlů b) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich.

72 7 Goniometrie Funkce Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β,γ é,,, í Kosinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délky všech tří stran b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. Další trigonometrické věty žé úé úí, ž ří ú í,, é,, í: ší ýč úí ů :, ě ž é ě ž é

73 Goniometrie Funkce 7 Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta A Příklad : a)určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže 0,6 áň, b) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže áň, Řešení: a) 0,6 0,64 0,8 0,6 0,8 4 4 b) tg

74 74 Goniometrie Funkce Příklad : Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno : a) 0, 45, 05 b) 5,, 4,76, 6 Řešení: a) ,6 0 b) 5, 4,76. 5,. 4, ,4 77, 5, 6 0,54 77, 8 47 ý ú Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: ) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže: e) 0,6 áň, f),4 áň,

75 Goniometrie Funkce 75 ) Dokažte, že pro všechna, pro která jsou dané výrazy definovány, platí ) Určete délky všech stran a úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno: c) 88,4, 56 8, 95 6 d) 5, 5, 45 4) Tři kružnice s poloměry 5, 4, 6 se dotýkají vně. Vypočítejte velikosti úhlů, které svírají středné. Výsledky: a.) 0,8 ; ; b.) ; ; a.),8, 8 6, 98, b.) 48,, 0, 05 4.) , 70

76 76 Goniometrie Funkce Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta B Příklad: Upravte: Řešení: a) 0 0 sin sin b) c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

77 Goniometrie Funkce 77 Příklady k procvičení: ) Vyjádřete jako součin: a) = b) = ) Řešte v rovnice: a) b ) Zjistěte pro která mají výrazy smysl a pak je zjednodušte: sin. 4) Řešte v rovnice: Výsledky:.) a) b).) a), b),,.) a), b), c),, d), 4.) a), b)

78 78 Goniometrie Funkce Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :,:. Zapište funkci složenou z funkcí, (v tomto pořadí) pomocí předpisu. Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí a. ) \0, ; do patří všechna, pro která je, čili. Tuto podmínku splňuje každé, proto \0. ) Pro každé je. Je tedy :. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

79 Goniometrie Funkce 79 Příklady k procvičení: ) Letadlo letí ve výšce 500 m k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem 8, při druhém měření pod výškovým úhlem 50. Určete vzdálenost, kterou proletělo mezi oběma měřeními. ) Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu 9 5. Přijdeme-li k jeho patě o 50 blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu Jak vysoká je věž? ) Dvě přímé cesty se křižují v úhlu 5 0.Na jedné z nich stojí dva sloupy, jeden na křižovatce, druhý ve vzdálenosti 500 od ní. Jak daleko je třeba jít od křižovatky po druhé cestě, aby byly vidět oba sloupy v zorném úhlu. 4) Na vrcholu hory stojí věž hradu vysoká 0. Křižovatku silnic v údolí vidíme z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech 5, 0 0. Jak vysoko je vrchol hory nad křižovatkou. Výsledky:.) 600.) 8,.) ) 7

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Využití matematiky v hodinách ICT

Využití matematiky v hodinách ICT UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie Využití matematiky v hodinách ICT Ing. Jarmila Tomanová celoživotní vzdělávání: MATEMATIKA PRO ZŠ A SŠ vedoucí závěrečné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD15C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 0 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006

MATEMATIKA 2 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006 Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 006 MAACZMZ06DT MATEMATIKA didaktický test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 10 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 VY_32_INOVACE_DUM.M.17 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: duben 2012 Matematika a její aplikace Klíčová slova: Třída: Anotace: Zlomky,

Více