Astronomie (a astrofyzika) tradičně patřila k disciplínám

Transkript

1 č 5 Čs čas fyz 6 (1) Hvězdy v úloá Mezináodní fyzikální olyiády vznik a ovnováa Jan Kříž, Ivo Volf, Bouil Vybíal Ústřední koise Fyzikální olyiády, Univezita Hade Kálové okitanskéo 6, 5 Hade Kálové ředstavujee dvě teoetiké úloy z oslední šesti ezináodní fyzikální olyiád, jejiž solečný jenovatele jsou veli jednodué odely vězd vní úloa oisuje vznik otovězdy Ve dué úloze už soutěžíí odadují ůzné aaety vězdy v ovnováze Astonoie (a astofyzika) tadičně atřila k disilíná veli oulání ezi děti a řiváděla tak studenty ke studiu fyziky O to, že je její oulaita stále vysoká, svědčí i fakt, že jsou úloy s astofyzikální teatikou často zařazovány do fyzikální olyiád Koě too v oslední dvou desetiletí soutěže vznikly také čistě astonoiké a astofyzikální Jenuje Astonoikou olyiádu a dvě její ezináodní nástavby, Mezináodní astonoikou olyiádu (Intenational Astonoy Olyiad) a Mezináodní olyiádu v astonoii a astofyzie (Intenational Olyiad on Astonoy and Astoysis) Víe o těto soutěží se dočtete ve článku [1] V toto řísěvku jse vybali dvě teoetiké úloy ezináodní fyzikální olyiád (MFO) z oslední šesti let, kteé se řío týkají vzniku a následnéo života vězd Jedná se o obleatiku těžko dostunou středoškolskýi ostředky Niéně veli jednodué odely lze vytvořit i s oužití sylabu MFO [] vní z úlo byla zadána na MFO v oe 1 v Estonsku Úloa se zabývá jednotlivýi fázei sšťování řídkéo ezivězdnéo lynu, kteé vede ke vzniku otovězdy Duá úloa už ná ředstavuje vězdu dosělou Studentů byla ředložena na MFO v oe 9 v Mexiku Úkole soutěžíí je odadovat ůzné aaety vězdy, a to nejve zela klasiky, následně s oužití konetu de Boglieo vln Zajíavé je, že výsledky jsou oovnávány s aaety našeo Slune, ož je o studenty jistě veli enné Sai vidí, že i jednodué odely ají ve fyzie eálný sysl Uvádíe zde íně uavené řeklady zadání a řešení zíněný úlo ůvodní texty a řešení, řiavené oganizátoy MFO a následně uavené ři diskusi ezináodní juy, jsou v angliké znění k disozii na webu MFO [] řeklady jsou díle autoů tooto řísěvku FOMOVÁNÍ OTOHVĚZDY ( MFO ESTONSKO) ředstave si odel foování vězdy následovně Sféiký oblak (koule) řídkéo ezivězdnéo lynu, kteý je na očátku v klidu, začne kolabovat vlive vlastní gavitae očáteční oloě koule je a její otnost Telota okolí (kteé je noe řidší než lyn) je všude T lyn ovažujte za ideální ůěná olání otnost lynu je μ a jeo oissonova konstanta je γ > ředokládeje, že GMμ / >> T, kde je olání lynová konstanta a G gavitační konstanta a) Běe značné části obíajíío kolasu je lyn tak ůledný, že jakékoliv geneované telo je okažitě vyzářeno, tzn že koule zůstává v teodynaiké ovnováze se svý okolí Kolikát se zvětší tlak, okud se oloě zenší na olovinu ( 1,5 )? ředokládeje, že ustota lynu zůstává oogenní b) Odadněte (řibližně) čas t otřebný k tou, aby se oloě zenšil z na,95 Zanedbejte zěnu gavitačnío ole na ovu koule vzlede k alé zěně oloěu ) Budee-li ředokládat, že tlak je zanedbatelný, najděte čas t otřebný k tou, aby koule zkolabovala z na noe enší oloě oužití Keleova zákona o elitiké obity d) ři jisté oloěu << začne být lyn dostatečně ustý na to, aby se stal neůledný o teelné záření Vyočtěte nožství tela Q vyzářenéo běe kolasu, kdy se oloě zěnil z na e) o oloěy enší než ůžee zanedbat teelné vyzařování Učete, jak závisí telota T koule na oloěu < f) Nakone již neůžee zanedbávat vliv tlaku na dynaiku lynu a kolas se zastaví na oloěu tt://ffzuz

2 Mládež a fyzika T d) latí stavová ovnie lynu, áe gavitační síly tedy μv je W π V kon T dv T dv ln μ V μ Vza π Telota zůstává konstantní, neění se tedy ani vnitřní enegie lynu odle 1 teodynaikéo zákona je vyzářené telo ovno ái gavitační síly W e) Sšťování okačuje adiabatiky, TV γ 1 konst Tedy T T γ Úsěšná eezentae České eubliky na ezináodní fyzikální olyiádě v Estonsku v oe 1 Zleva: of Ing Bouil Vybíal, CS, vedouí eezentae, Mg Fili Studnička, člen jedné z odnotitelský koisí, Luboí Gund, stříbná edaile, Stanislav Fořt, stříbná edaile, Matin aszyk, bonzová edaile, Jakub Vošea, stříbná edaile, Ondřej Batoš, stříbná edaile, a ND Jan Kříž, D, edagogiký vedouí Foto B Vybíal (kde << ) Záření však ůže být stále zanedbáno a telota ještě není dostatečně vysoká, aby zažela jadenou fúzi Tlak takové otovězdy již není oogenní, ale stále je ožné dělat ubé odady se zanedbání číselný koefiientů Odadněte konečný oloě a říslušnou telotu T Řešení a) odle zadání se neění telota lynu, tedy V konst Jelikož je obje úěný, latí ~ -, tedy ( 1 ) 8 ( ) b) Běe uvažovanéo časovéo intevalu je tlak zanedbatelný lyn se tedy sšťuje volný áde Jelikož se dosud koule říliš nesštila, gavitační ole na její ovu se téěř nezěnilo a zylení nejkajnější vnější vstvy lynu lze tedy ovažovat řibližně za konstantní Tedy f) Běe kolasu se gavitační enegie ěnila na telo Jelikož je <<, lze řeěněnou gavitační enegii odadnout jako ΔΠ G ( ) G / (řesné řešení integaí řidává číselný fakto /5) 1 1 Telo odadnee odle vztau ΔQ V ( T T ) V T T T μ μ γ 1 μ μ o telotu T oužijee výsledek ředozí úloy, γ T T Jelikož očáteční elková enegie byla řibližně nulová, ůžee sát ΔQ + ΔΠ Dostáváe G T μ γ T T T μg T μg γ γ OČ JSOU HVĚZDY TAK VELKÉ? ( MFO MEXIKO) 1 γ Hvězdy jsou koule oký lynů Většina z ni září, otože v jeji vnitřku obíá fúze vodíku na eliu (tj teojadená syntéza) V této úloze oužijee řístu klasiký i kvantově eaniký solečně ( ) t G,1 G ) Nejkajnější vnější vstva koule je gavitačně ovlivněna zbytke lynu stejný zůsobe, jako by elá otnost zbytku byla soustředěna do středu koule Uvažujee tedy keleovský oyb: doba ádu libovolné částie z vnější vstvy odovídá olovině eiody veli výstředné elitiké tajektoie Se zvětšování výstřednosti elisa degeneuje v úsečku sojujíí obě oniska Jedno onisko usí být ve středu lynové koule (odle 1 Keleova zákona), dué je ve vzdálenosti eiodu učíe odle Keleova zákona z velké oloosy elisy Velká oloosa je zřejě / a zajíá nás olovina eiody, π G t t π ( / 8G ) Ob 1 Naše Slune, stejně jako většina vězd, svítí v důsledku teojadené fúze vodíku na eliu ve vnitřní části tt://ffzuz

3 č 5 Čs čas fyz 6 (1) 5 s elektostatikou a teodynaikou, abyo oozuěli tou, oč usejí být vězdy dostatečně velké, aby v ni ol obíat oes fúze Odvodíe, jaká usí být otnost a oloě nejenší vězdy, ve kteé ůže vodík fúzovat 1 Klasiký odad teloty ve středu vězd ředokládejte, že lyn, ze kteéo se vězda skládá, je čistý ionizovaný vodík (tj elektony a otony ve stejné nožství) a že se ová jako ideální lyn Aby dva otony fúzovaly, usejí se (z klasikéo oledu) k sobě řiblížit na vzdálenost 1 15 V této vzdálenosti kátkodosaová silná jadená síla, kteá je řitažlivá, řekoná odudivou Coulobovu sílu Niéně, aby se takto k sobě řiblížily, usejí nejve odudivou sílu řekonat ředokládeje klasiky, že se dva otony (kteé ovažujee za bodové náboje) ři jednoozěné čelní sáže oybují oti sobě, každý střední kvadatikou ylostí v k 1 a) Jaká usí být telota lynu T, aby se k sobě otony řiblížily na vzdálenost d ovnou 1 15? oč je odad teloty šatný? Abyo zkontolovali, zda je ředozí odad teloty ozuný, otřebujee jiný, nezávislý, zůsob, jak zjistit vnitřní telotu vězdy Stuktua vězdy je velie kolikovaná, ale je ožné noé ooit za učitý ředokladů Hvězdy jsou v ovnováze, tedy neozínají se ani nesšťují, otože do středu ůsobíí gavitační sílu vyovnává od středu ůsobíí síla tlaková (viz ob ) o eleent lynu v dané vzdálenosti od středu vězdy ůžee sát ovnii ydostatiké ovnováy Δ G M Δ ρ, (1) kde je tlak lynu, G gavitační konstanta, M otnost vězdy uvnitř koule o oloěu a ρ je ustota lynu v dané ístě Řádový odad velikosti středové teloty vězdy lze získat z odnot aaetů ve středu a na ovu vězdy užití následujíí aoxiaí Δ, kde a jsou tlaky ve středu a na ovu vězdy otože je >>, lze ředokládat, že Δ Ve stejné aoxiai ůžee sát Δ, kde je elkový oloě vězdy a M M M, kde M je elková otnost vězdy Hustotu ůžee odadnout její odnotou ve středu, tedy ρ ρ Můžete ředokládat, že tlak je dán vztae o ideální lyn Užitečné konstanty Gavitační konstanta G 6, kg -1 s Boltzannova konstanta k 1, 1 - J K -1 lankova konstanta 6,6 1 - kg s -1 Hotnost otonu Hotnost elektonu 1,7 1-7 kg e 9,1 1-1 kg Jednotkový elektiký náboj q 1, C eitivita vakua ε 8,9 1-1 C N -1 - oloě Slune Hotnost Slune S 7, 1 8 M S, 1 kg Ob Hvězdy jsou v ydostatiké ovnováze, řičež ozdíl tlaků je vyovnáván gavitaí a) Nalezněte závislost teloty ve středu vězdy T ouze na oloěu a otnosti vězdy a fyzikální konstantá Jako kitéiu latnosti tooto odelu oužijee jeo následujíí důsledky: b) Užití ovnie odvozené v části (a) naište ředokládaný oě M/ o vězdu v závislosti ouze na fyzikální konstantá a T ) ooí odnoty T odvozené v části (1a) číselně vyočtěte odnotu očekávanéo oěu M/ o vězdu d) Vyočtěte nyní oě M(Slune)/(Slune) a ověřte, že tato odnota je noe enší než odnota vyočtená v části () Kvantově eaniký odad teloty středu vězd Velký ozo nalezený v části (d) naznačuje, že klasiký odad T získaný v části (1a) není sávný Uvažujee-li kvantově eaniké efekty, dostanee leší výsledek ředokládeje, že se otony ovají jako vlny a jediný oton je ozazán na úseče velikosti řádu λ de Boglieo vlnové délky Z too vylývá, že délka d, na kteou se usejí otony k sobě řiblížit, je řádu λ ři takovéto řiblížení se v kvantově eaniké syslu otony řekyjí a oou fúzovat a) ředokládejte, že d λ / ½ je odínka nutná o fúzi o oton o ylosti v k nalezněte závislost T ouze na fyzikální konstantá b) Číselně vyočtěte telotu T získanou v části (a) ) Hodnotu T z části (b) dosaďte do ovnie odvozené v části (b) a číselně vyočtěte odnotu ředokládanéo oěu M/ o vězdu Ověřte, že tato odnota je doela blízká ozoovanéu oěu M(Slune)/(Slune) in Δ out Δ out in» ři takovéto řiblížení se v kvantově eaniké syslu otony řekyjí a oou fúzovat «tt://ffzuz

4 6 Mládež a fyzika k jeji sážká a oly fúzovat, kdežto de Boglieo vlny elektonů se nesějí řekývat, aby se ovaly jako ideální lyn Hustota vězd oste sěe ke středu vězd Niéně o tento řádový odad velikosti uvažujte, že je ustota všude stejná Dále užijte fakt, že >> e 5 a) Nalezněte vzta o n e, ůěnou ustotu očtu elektonů uvnitř vězdy 5 b) Nalezněte vzta o d e, tyikou vzdálenost ezi elektony uvnitř vězdy 5 ) Užijte odínku d e λ e / ½ a naište ovnii o oloě nejenší ožné vězdy Uvažujte telotu ve středu vězdy, tyikou o elý vnitřek vězdy Česká eezentae MFO na volu ayské yaidy v Izaalu (Yuatan) dne a čeští klui na volu české yaidy fyzikální vzdělanosti své geneae Zleva: ola, bonzová edaile, M Koutný, stříbná edaile, d J Kříž, edagogiký vedouí, J Hulík, stříbná edaile, yšavý, bonzová edaile, of B Vybíal, vedouí eezentae, a J Sýkoa, bonzová edaile Foto B Vybíal Skutečně, vězdy na tzv lavní oslounosti (tj fúzujíí vodík) řibližně slňují toto kitéiu dané oěe M/ o velký ozsa otností oě otnost/oloě vězd ředozí soda naznačuje, že kvantově eaniký řístu o odad teloty ve středu Slune je sávný a) oužijte ředozí výsledek a ukažte, že o jakoukoli vězdu fúzujíí vodík je oě otnosti M ku oloěu stejný a závisí jen na fyzikální konstantá Odvoďte závislost oěu M/ o vězdy fúzujíí vodík 5 Hotnost a oloě nejenší vězdy Výsledek získaný v části (a) naovídá, že by vězdy oly ít libovolnou otnost, okud bude slněna výše uvedená odínka To ovše není avda O lynu uvnitř noální vězd fúzujíí vodík je znáo, že se řibližně ová jako ideální lyn To znaená, že tyiká vzdálenost ezi elektony d e je v ůěu větší než λ e, tj jeji tyiká de Boglieo vlnová délka Jsou-li blíže, naázejí se elektony v tzv degeneované stavu a vězdy se ak ovají odlišně ovšiněte si ozdílu ve zůsobu, jak oisujee otony a elektony uvnitř vězdy De Boglieo vlny otonů se usejí řekývat, aby doázelo uiny ayské vězdány v Cien Itzá, Mexiko Yuatan Foto B Vybíal tt://ffzuz 5 d) Číselně vyočtěte odnotu oloěu nejenší ožné noální vězdy v ete a v jednotká oloěu Slune 5 e) Číselně vyočtěte odnotu otnosti nejenší ožné noální vězdy v kg a v jednotká otnosti Slune 6 Fúzujíí jáda elia ve staší vězdá Jak vězdy stánou, řeění fúzí většinu vodíku ve svý jáde na eliu (He), takže jsou nueny začít fúzovat eliu na těžší vky, aby oly dále svítit Jádo elia á dva otony a dva neutony, takže á dvojnásobný náboj a řibližně čtyřnásobnou otnost otonu Viděli jse, že d λ / ½ je odínka, aby otony oly fúzovat 6 a) Stanovte ekvivalentní odínku o eliu a nalezněte v k (He), střední kvadatikou ylost jade elia a T(He), telotu nutnou k fúzi elia Řešení 1 Ze zákona zaování enegie lyne 1 q vk π εd Jelikož také latí 1 kt vk, () dostanee q T 5,5 1 9 K () 1π ε d k a) Dosadíe do odínky ydostatiké ovnováy (1) všeny v zadání naznačené odady a dostanee G M ρ o ideální lyn však latí ρ kt Číselný fakto v ředozí ovnosti je nutný, jelikož na každou otnost otonu řiadají dvě částie (oton a elekton), řičež obě tyto částie

5 č 5 Čs čas fyz 6 (1) 7 stejně řisívají k tlaku lynu oovnání obou ovni snad získáe výsledek G M T k b) Z ředozío výsledku áe M kt () G ) Dosazení dostanee odnotu M/ 1, 1 kg -1 a) o de Boglieo vlnovou délku latí λ (5) vk Z této ovnie ůžee dosadit do ovnie (), jelikož odle zadání d λ / -1/ Za střední kvadatikou ylost ak ůžee dosadit z () o úavě dostanee q T π ε k (6) b) Číselně, T 9,7 1 6 K ) Dosazení novéo odadu teloty do () áe M/, 1 1 kg/ o Slune latí M(Slune)/(Slune),9 1 1 kg/ Do vztau () dosadíe výsledek (6), 5 a) latí b) Zřejě d e n M q (7) 1π G ε M / π ne 1/ e M / π 1/ (8) ) odle zadání ředokládáe, že d e λ e / -1/ o elekton latí vztay analogiké ovnií (5) a () Úavou těto ovni solečně s ovniei (6), (7) a (8) dostanee odad Exkuze do střediska ayský aátek v Cien Itzá yaida výšky 5 Foto B Vybíal 1/ ε 1/ / 5 / 1/ qe G d) Číselně 6,9 1 7,1 (Slune) e) Ze vztau (7) a ředozí nueiký výsledků dostanee M 1,7 1 9,8 M (Slune) 6 o eliu íšee q 1/ πε Hevk Hevk Odtud dostanee 1/ q v k, 1 6 s -1 πε Dále vk He T 6,5 1 8 K k Tento výsledek řádově odovídá odadů odelů vězd Liteatua [1] M anda, J Kožuško: Čs čas fyz 6, 91 (1) [] tt://ioyntnuedutw/syllabustl [] tt://ioyntnuedutw/obles-and-solutionstl» Tento výsledek řádově odovídá odadů odelů vězd «Mexiko MFO: Diloy a edaile český soutěžíí tt://ffzuz