Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Maěj Kadavý Lokální gaussovské časy Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D. Sudijní program: Maemaika Sudijní obor: Teorie pravděpodobnosi a náhodných procesů. 9

2 Rád bych na omo mísě poděkoval svému vedoucímu panu Doc. RNDr. Danieli Hlubinkovi, Ph.D. za odborné vedení, ochou a vsřícnos a za o, že mi po celý čas psaní éo práce poskyoval cenné rady a připomínky. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Maěj Kadavý

3 3 Název práce: Lokální časy gaussovských procesů Auor: Maěj Kadavý Kaedra: Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D. vedoucího: Daniel.Hlubinka@mff.cuni.cz Absrak: V éo práce se budeme zabýva brownovským lokálním časem (L (x),, x R) sandardního Brownova pohybu, Brownova mosu a Brownova pohybu s drifem. Ukážeme, že brownovský lokální čas je vhodným násrojem pro vyšeřování někerých vlasnosí rajekorií Brownova pohybu. Pro výše zmíněné procesy odvodíme pravděpodobnosní rozdělení jejich lokálních časů. Vhodně zvolenou náhodnou procházkou aproximujeme Brownův pohyb a Brownův mos a nalezneme vzah mezi pravděpodobnosním rozdělením náhodné procházky a jejího lokálního času. Ukážeme, že s pravděpodobnosí posloupnos lokálních časů konverguje sejnoměrně v k brownovskému lokálnímu času. Na závěr se budeme věnova saisickým aplikacím brownovského lokálního času. Klíčová slova: brownovský lokální čas, Brownův pohyb, Brownův mos. Tile: Local imes of Gaussian processes Auhor: Maěj Kadavý Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: Doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D. Supervisor s address: Daniel.Hlubinka@mff.cuni.cz Absrac: In his paper we inroduce Brownian local ime (L (x),, x R) of a sandard Brownian moion, Brownian bridge and Brownian moion wih non-zerou drif. We show ha Brownian local ime can be used for invesigaing some properies of Brownian moion pahs. We give explici formulas for probabiliy disribuions of he local ime of all he above menioned processes. We approximae Brownian moion and Brownian bridge by suiably chosen random walk and find uniquely deermined relaion beween random walk and is local ime. Then a sequence of local imes of a proper sequence of simple, symmeric random walks uniformly converge on bounded inervals o Brownian local ime, wih probabiliy. Finally we show some saisical applicaions of Brownian local ime. Key words: Brownian local ime, occupaion ime, Brownian moion, Brownian bridge.

4 OBSAH 4 Obsah Úvod 5 Brownovský lokální čas 9. Definice brownovského lokálního času Důkaz Tanakovy formule Moderní definice brownovského lokálního času Vlasnosi lokálního brownovského času Zobecněná Iôova formule pro konvexní funkce Vlasnosi rajekorií Wienerova procesu Rozdělení lokálního brownovského času 4 3. Teorie symerické náhodné procházky a její aplikace Speciální konsrukce náhodné procházky meodou wis Lokální čas zjemňující se náhodné procházky Expliciní výpoče lokálního brownovského času Expliciní vyjádření rozdělení lokálního času pro Brownův mos Rozdělení lokálního brownovského času pomocí Lévyho věy Rozdělení lokálního času pro drifovaný Wienerův proces Lokální čas a esování hypoéz 5 4. Odhad lokálního času Závěr 59 A Dodaek 6 B Dodaek 6 Lieraura 63

5 . Úvod 5 Úvod Tao práce má za cíl prozkouma vlasnosi a možnosi uplanění lokálního času pro gaussovské procesy. Konkréně se zaměříme na brownowský lokální čas, j. lokální čas odvozený od Brownova pohybu, popřípadě Brownova mosu. Nejdříve uvedeme příklad, kerý moivuje zavedení brownovského lokálního času. Chceme-li si vyjádři pravděpodobnosní rozdělení náhodného procesu inegrovaného Brownova pohybu, můžeme použí meodu založenou na vhodně zvolené sousavě lineárních sochasických diferenciálních rovnic. Předpokládejme, že máme sousavu rovnic varu di() = B() d db() = dw () s počáečními podmínkami B() = a I() =, kde W (), F W, je sandardní Wienerův proces. Sousavu lze zapsa ve varu ( ) ( ) ( ) ( ) I() I() d = d + dw () () B() B() Označíme-li si X() = ( ) I() B() A = ( ) σ = ( ), pak lze sousavu () chápa jako lineární sochasickou diferenciální rovnici varu dx() = AX() d + σ dw (), kerou umíme řeši meodou variací konsan pro sochasické diferenciální rovnice. Řešení je varu X() = Φ() X() + kde Φ() = e A je fundamenální maice. Není ěžké ověři, že ( ) e A = Φ (r)σ(r) dw (r) ], () Dále víme, že inverzní maice k exponenciální maici vždy exisuje a je varu ( ) Φ () =.

6 . Úvod 6 Dosadíme-li do () dosaneme ( ) ( ) I() = B() ( r ) ( ) dw (r) = ( ) ( ) r dw (r). W () Je-li počáeční podmínka gaussovská, kde připoušíme i degenerovaný případ, kdy počáeční podmínka je Pr-s.j. konsanní, pak i řešení je gaussovský proces. Pokud edy chceme spočís pravděpodobnosní rozdělení I() = W () r dw (r), sačí spočís první a druhý momen I(). Člen r dw (r) je L -maringal, proo Pak E ] r dw (r) = a E var I() = var W () cov W (), = 3 E dw (r) = 3 E dw (r), = 3 r dr = 3 3. r dw (r) = ] r dw (r) ] r dw (r) r dw (r) r dr = var ] r dw (r) Spojením předchozích výsledků dohromady dosaneme, že pravděpodobnosní rozdělení inegrovaného Brownova pohybu B(s) ds je normální s nulovou sřední hodnoou a rozpylem 3. 3 Předchozí příklad demonsruje, že i výpoče pravděpodobnosního rozdělení B(s) ds vyžaduje určiý rik. Pokud bychom chěli jí dále a spočís pravděpodobnosní rozdělení náhodné veličiny (r, )B s pomocí předchozího posupu, zjisili bychom, že ( ako ) posupova nemůžeme, proože první diferenciální rovnos přejde v di() = (r, ) B(s) ds a o již nelze převés na sousavu lineárních sochasických diferenciálních rovnic. V éo práci zadefinujeme -dimenzionální pole L (x), x R, ), kerý budeme nazýva lokální brownovský čas a mimo jiné bude vhodným násrojem pro vyšeřování chování řady funkcionálů odvozených od Brownova pohybu. V první kapiole ukážeme, že rajekorie Brownova pohybu na omezených inervalech indukují přirozeným způsobem míru, kerá měří čas srávený rajekorií v borelovské množině. Ukážeme, že ao míra je Pr-s.j. absoluně spojiá vzhledem k Lebesgueově míře a definujeme brownovský lokální čas jako jeji spojiou verzi Radon-Nykodímovy derivace. Pak zformulujeme a dokážeme Tanakovu formuli, kerá je speciálním případem

7 . Úvod 7 zobecněné Iôovy formule pro konvexní funkce. V odsavci.3 uvedeme moderní způsob, jak lze definova brownovský lokální čas, kerý je založen na ideniě z Tanakovy formule L (x) = W x + x + sgn(w s x) dw s Pomocí Kolmogorovy-Čencovovy věy A.4 ukážeme, že exisuje verze lokálního času, kerá je spojiá v (, x). V odsavci.4 uvedeme a dokážeme vlasnosi brownovského lokálního času jako funkce času při pevně zvolené hladině. Odsavec.5 je věnován již zmíněné zobecněné Iôovy formuli pro konvexní funkce. V odsavci.6 ukážeme, že brownovský lokální čas je vhodným násrojem pro vyšeřování vlasnosí inegrovaných funkcionálů Brownova pohybu. Cílem druhé kapioly je nají pravděpodobnosní rozdělení brownovského lokálního času odvozeného od sandardního Brownova pohybu, Brownova mosu na inervalu, ] sarujícího i končícího v nule a drifovaného Brownova pohybu. Náš posup bude založen na přechodu od lokálního času definovaného pro symerickou náhodnou procházku k brownovskému lokálnímu času. Nejdříve v odsavci 3. zkonsruujeme speciální yp symerické náhodné procházky meodou Twis and Shrink. Důvodem konsrukce akové speciální náhodné procházky je, že s.j. konverguje k Wienerovu procesu sejnoměrně vůči, ), což je mnohem silnější výsledek než známe Donskerovy věy. V odsavci 3.3 zkonsruujeme posloupnos lokálních časů odpovídající posloupnosi symerických náhodných procházek zkonsruovaných v předchozí čási a uvedeme věu, kerá vrdí, že ao posloupnos vhodně lineárně inerpolovaných lokálních časů konverguje s.j. sejnoměrně v (, x) k brownovskému lokálnímu času. V odsavci 3.4 budeme hleda vzah mezi pravděpodobnosním rozdělením symerické náhodné procházky a jejího lokálního času. Pak oiž aplikací cenrální liminí věy budeme schopni urči pravděpodobnosní rozdělení brownovského lokálního času i jeho momeny. Analogickým posupem odvodíme v odsavci 3.5 pravděpodobnosní rozdělení pro Brownův mos sarující i končící v nule. V odsavci 3.6 pomocí Lévyho věy 3.6 předvedeme další možnos, jak odvodi pravděpodobnosní rozdělení brownovského lokálního času. Navíc získáme několik užiečných podmíněných rozdělení, keré pak použijeme při odvozování pravděpodobnosního rozdělení pro drifovaný Brownův pohyb. Na závěr kapioly pomocí Girsanovovy věy A.6 a znalosi pravděpodobnosního rozdělení brownovského lokálního času pro sandardní Brownův pohyb odvodíme v odsavci 3.7 pravděpodobnosní rozdělení brownovského lokálního času pro drifovaný Brownův pohyb. Ve řeí kapiole se budeme věnova saisickým aplikacím brownovského lokálního času. Nejprve se zaměříme na saisický es, kerý má rozhodnou, zda-li zkoumaná rajekorie pochází z Wienerova procesu. Budeme se zabýva problémem, jak odhadnou lokální čas v případě, kdy máme k dispozici celou rajekorii, i případem, kdy máme pozorování pouze v určiých časech.

8 . Úvod 8 V celé éo práci pracujeme s -dimenzionální Wienerovým procesem W w, F, < definovaným na kanonickém pravděpodobnosním prosoru (Ω, F, Pr w ) w R, kde = C(, ]) a Pr w je Wienerova míra, při keré projekivní zobrazení W w = ω(), <, je sandardní -dimenzionální Wienerův proces splňující Pr w W w Ω def (ω) def = def w = pro w R. Filrace F = σσ(w s ; s ) N w, kde N w je množina všech Pr w -nulových množin a F def = F. Filrace F, splňuje zv. Usual condiions.

9 . Brownovský lokální čas 9 Brownovský lokální čas V éo čási navrhneme způsob, jak měři čas, kerý sráví rajekorie Wienerova procesu v bodě x R. Výsledkem bude definice náhodného pole, keré nazveme brownovský lokální čas. Uvažujme nejprve, že máme Wienerův proces W (s), s na inervalu, ], kde > je pevně dané. Z vlasnosí brownovských rajekorií víme, že exisuje množina Ω F aková, že PrΩ = a pro libovolné pevné ω Ω plaí λ s : W (s, ω) = x = x R. (3) Nech pro zbyek éo čási plaí, že ω Ω je pevně zvoleno. Pak pro dvojici množin T B(, ]), B B(R) definujme množinovou funkci Γ(B, T )(ω) def ( ) = λs T : W (s, ω) B = B W (s, ω) ds. Snadným důsledkem spojiosi rajekorie W (, ω) je, že množinová funkce Γ(, T )(ω) je konečná regulární borelovská míra na (R, B(R)). Pro každé pevně zvolené T B(, ]) plaí, že míra Γ(, T )(ω) je absoluně spojiá vůči Lebesguově míře, což dále budeme zapisova následovně Γ(, T )(ω) λ( ). Proože pro každé T B(, ]) sejnoměrně vzhledem k B B(R) plaí Γ(B, T )(ω) Γ(B,, ])(ω), sačí edy ukáza, že Γ(,, ])(ω) λ( ). Z vlasnosi (3) snadno plyne následující implikace: ɛ > δ > r > akové, že λb(x, r) < δ Γ ( B(x, r),, ] ) < ɛ, což je posačující podmínka pro absoluní spojios míry Γ vzhledem λ, kde B(x, r) je oevřená koule o poloměru r a sředu x. Podle věy A. víme, že pro každé T B(, ]) pevné exisuje husoa míry Γ(, T ) vůči Lebesguově míře, j. borelovsky měřielná, nezáporná funkce f Γ (x, T )(ω) : R R splňující Γ(B, T )(ω) = f Γ (x, T )(ω) dx B B(R), kde B T Γ ( B(x, r), T ) (ω) f Γ (x, T )(ω) = lim r + λb(x, r) x R. (4) Poznámka. Z předchozího výkladu je zřejmé, že absoluní spojios míry Γ vzhledem λ je pro nás klíčová. Pokud bychom však neměli rajekorie Wienerova procesu, ale nějakého

10 . Brownovský lokální čas obecného semimaringalu X, nemusí již plai, že Γ(, T ) λ( ). Sačí oiž, aby exisovala množina A F kladné míry aková, že pro každé ω A exisuje x ω R a inerval a ω, b ω ] akový, že λt a ω, b ω ] > a X ( a ω, b ω ] T, ω ) x ω, pak Γ ( B(x ω, r), T a ω, b ω ] ) (ω) > pro každé r >, a proo lim inf r + Γ ( B(x, r), T a, b] ) (ω) λb(x, r) = ω A. (5) Míra Γ je jako šiá na míru rajekorií Wienerova procesu. Pejme se edy, pro jaké ypy rajekorií je Γ λ. Není ežké ukáza, že jsou-li rajekorie zkoumaného procesu lokálně lipschizovské, pak limia ve výrazu (5) nabývá hodnoy nebo +. Poznamenejme, že do řídy lokálně lischizovských funkcí paří funkce spojiě diferencovaelné i spojié funkce s konečnou oální variací. Zkoumejme nyní řídu všech spojiých lokálním maringalů. Nech M, F, je spojiý lokální maringal, pro kerý plaí, že lim M = Prs.j. Položíme-li T (s) = inf > : M > s, pak DDS věa vrdí, že W s = M ( T (s) ) je F T (s) -Wienerův proces a M = W M. Proo plaí: je-li λs : W s (ω) B =, pak i λs : M s (ω) B = λs : W M s (ω) B =. To znamená, že Γ M λ, je-li M spojiý lokální marinagal s lim M = Pr-s.j. Pro spojié lokální maringaly, pro keré plaí lim M < Pr-s.j., je siuace odlišná. Je-li lim M <, pak exisuje N F s PrN = ak, že ω N C ɛ > (ω), s (ω) je M M s < ɛ. (6) Z věy A. a z (6) víme, že exisuje N F s PrN = ak, že pro každé ω (N N ) C exisují (ω) > a x(ω) R ak, že M(, ω) x(ω) na inervalu (ω), ). Volíme-li inerval T ak, aby λt (ω), ) >, je limia ve výrazu (5) rovna +. Vramě se k rajekoriím Wienerova procesu. Pro každé T B(, ]) pevné je funkce f Γ (x, T )(ω) Radon-Nikodýmovou derivací, kerá je určena jednoznačně až na množinu Lebesgueovy míry nula. Exisuje edy mnoho verzí f Γ (x, T )(ω). Definujme L s (x, ω) = f Γ (x,, s])(ω) s. Doposud víme, že aková funkce L (x, ω) exisuje. Na závěr požadujeme, aby funkce L (x, ω) byla spojiou funkcí proměnných (, x). Tako posupujeme pro všechny ω Ω, neboli při naší definici kanonického pravděpodobnosního prosoru, pro Pr-sk.vš. rajekorie Wienerova procesu na inervalu, ]. Tímo způsobem dosaneme náhodné pole, keré je Pr-s.j. určeno rajekoriemi Wienerova procesu. Předešlé úvahy shrneme v následujícím odsavci při definice brownovského lokálního času.

11 . Brownovský lokální čas. Definice brownovského lokálního času Definice (Lokální brownovský čas). Předpokládejme, že máme -paramerické náhodné pole L = L (x, ω) : R + R Ω R +, keré splňuje následující vlasnosi: (i) (, x) R + R je náhodná veličina L (x) F -měřielná, (ii) Ω F ak, že Pr(Ω ) = a ω Ω je zobrazení (, x) L (x, ω) spojié a plaí Γ (B, ω) = L (x, ω) dx <, B B(R), (7) B kde Γ (B, ω) def = λ s : W s (ω) B, pak -dimenzionální náhodné pole L zveme lokální brownovský čas. Poznámka. Náhodný proces Γ (B) z předchozí definice zveme čas srávený v množině B. Proces Γ (B) je zřejmě adapovaný, neklesající, spojiý, edy proces s konečnou oální variací. Není ěžké ověři, že zobrazení (x, (, ω)) L (x, ω) je B(R) M měřielné, kde M def = M(F ) je σ-algebra F -progresivně měřielných množin. V éo práci eno předpoklad není nikde zapořebí, sejně ho zde uvedeme, proože je nuným předpokladem pro inegrand ve Fubiniho věě pro sochasické inegrály. Poznámka 3. Rovnos (7) v definici brownovského lokálního času lze ekvivalenně nahradi následujícím vzahem. Pro každou nezápornou, borelovsky měřielnou funkci f s kompakním nosičem plaí f(x)γ ( dx, ω) = f(w s (ω)) ds = f(x)l (x, ω) dx. (8) Důvod, proč klademe zrovna akové požadavky na funkci f, pochopíme, až budeme mí k dispozici zobecněnou Iôovu formuli. Doposud jsme se nezabývali, zda-li lokální brownovský čas ve smyslu naší definice vůbec exisuje. Troer ve své práci 7] dokázal, že brownovský lokální čas exisuje a Tanaka navrhnul, jak ho lze počía. Pro zjednodušení zápisu definujme funkci sgn(x) následovně pro x >, sgn(x) = pro x. Věa. (Tanakova formule). Předpokládejme, že exisuje brownovský lokální čas ve smyslu definice. Pak pro každé a R pevné je brownovský lokální čas L(a) = L (a), F ; < nezáporný, spojiý a splňuje následující rovnosi (i) L (a) = (W a) + (w a) + (a, )(W s ) dw s <, R

12 . Brownovský lokální čas (ii) L (a) = (W a) (w a) + (,a](w s ) dw s <, (iii) L (a) = W a w a sgn(w s a) dw s <, kde předchozí rovnosi plaí Pr w -s.j. pro všechna w R. Tanakova formule pro lokální brownovský čas a Doobův-Meyerův rozklad submaringalu nám pomůže idenifikova další vlasnos lokálního brownovského času. Nejdříve ale zavedeme pojem rosoucího procesu. Definice. Adapovaný náhodný proces A, F zveme rosoucí, pokud exisuje Ω F aková, že Pr(Ω ) = a pro ω Ω plaí (i) A (ω) = c, kde c R, (ii) zobrazení A (ω) je neklesající, zprava spojié s E A < pro. Proces (W a) +, F je spojiý, nezáporný submaringal. Doob-Meyerův rozklad vrdí, že exisuje spojiý maringal M (a), F a rosoucí proces A (a), F, ak že lze submaringal (W a) +, F psá ve varu (W a) + = (w a) + + M (a) + A (a) <, (9) kde eno rozklad je Pr w -s.j. jednoznačný. Porovnání Tanakovy formule, případ (i), s (9) dosáváme A (a) = L (a) M (a) = (a, ) (W s ) dw s Pr w -s.j. () V Tanakově formuli se vyskyuje sochasický inegrál Z(, a) := sgn(w s a) dw s. Zřejmě jde o spojiý, adapovaný, L -maringal s kvadraickou variací Z(, a) =, nebo sgn(w s a) dw s = sgn (W s a) d W s = W = ] E sgn(w s a) dw s = E sgn (W s a) ds = < Lévyho věa vrdí, že pro každé a R je Z(, a), F Wienerův proces.

13 . Brownovský lokální čas 3. Důkaz Tanakovy formule Tao čás se skládá pouze z důkazu věy.. Tanakova formule je pro nás klíčová, proože ji v další čási použijeme k definici lokálního brownovského času, kerá je ekvivalenní s definicí, ale lze pohodlně rozšíři na obecnější procesy. Sačí dokáza jen případ (i), nebo případ (ii) snadno plyne ze symerie a případ (iii) dosaneme sečením předchozích dvou vzorců. Důkaz. věy. Na funkci f(x) = (x a) + nemůže použí Iôovu formuli, proože f nemá spojiou první, naož druhou derivaci v bodě a. Definujme funkci f C (R) ako f(x) def c exp < x < (x ) = jinak, kde konsanu c R volím ak, aby f(x) dx =. Dále zkonsruujeme posloupnos R funkcí f n (x) C (R), n =,,..., keré aproximují Diracovu funkci δ v nule. Zavedeme následující ransformaci f n (x) def = nf(nx), edy f n (x) = c n n exp n (x /n) /n ] kde konsany c n volím ak, aby funkce f n byly pravděpodobnosní husoy. Dále definujme posloupnos C (R) funkcí u n (x), n =,,... ako u n (x) def = x y f n (z a) dz dy. Funkce u n (x) jsou voleny ak, aby měly následující vlasnosi lim n u n(x) = δ a (x) lim n u n(x) = (a, ) (x) lim u n(x) = (x a) +, n kde pro následné použií Iôovy formule si vyjádříve derivace, u n(x) = u n(x) = d dx d dx x x y f n (z a) dz dy = x f n (z a) dz = f n (x a). f n (z a) dz

14 . Brownovský lokální čas 4 Na funkce u n (x) již můžeme použí Iôovu formuli a dosáváme u n (W ) u n (w ) = = u n(w s ) dw s + u n(w s ) dw s + u n(w s ) ds f n (W s ) ds Pr x -s.j. Nyní využijeme ideniy (8), kde položíme f(x) := f n (x), pak dosáváme, že f n (W s ) ds = f n (x a)l (x) dx n L (a), R kde jsme využili spojios funkcí f n (x) a L (x) v proměnné x. Dále nám zbývá ukáza, že u n(w s ) dw s Pr-s.j. () (a, ) (W s ) dw s pro. () K omu použijeme Lenglarovu nerovnos A.3. Funkce u n(x) jsou spojié, omezené pro každé n N, proo posloupnos ( u n(w s ) dw s, ) je posloupnos dobře definovaných L -maringalů. Dále položme A = u n(w s ) (a, ) (W s ) dw s C = (u n(w s ) (a, ) (W s )) ds. Zřejmě A, C jsou nezáporné procesy se spojiými rajekoriemi a A = C =. Musíme ukáza, že C dominuje A. Nech edy τ je omezený markovský čas. Pak E A τ = E = E τ τ u n(w s ) (a, ) (W s ) dw s E τ ] ] u n(w s ) (a, ) (W s ) dw s ( u n (W s ) (a, ) (W s ) ) ds ] = E Cτ ]. Lenglarova věa vrdí, že pro každé ɛ > a δ > a pro každý markovský čas γ, kerý může bý i neomezený, plaí γ Pr sup u n(w s ) (a, ) (W s ) dw s > ɛ γ ( Pr sup u n (W s ) (a, ) (W s ) ) ds > δ + δ ɛ γ ( = Pr u n (W s ) (a, ) (W s ) ) ds > δ + δ ɛ. (3)

15 . Brownovský lokální čas 5 Proo sačí dokáza, že γ ( Pr u n (W s ) (a, ) (W s ) ) n ds > ɛ. (4) Z nezápornosi inegrandu v (4) plyne, že sačí ukáza, že druhý momen náhodné veličiny ( u n (W s ) (a, ) (W s ) ) ds konverguje k nule. Tedy E ((u n(w s ) (a, ) (W s )) ds Pr W s a /n ds n, kde poslední nerovnos plyne z oho, že u n(x) je nezáporná disribuce daná husoou f n (x) s koncenrací v bodě a, čili inegrand je nenulový jen na okolí B(a, /n). Q.E.D. Poznámka 4. Předpoklad v Lenglarově věě je přesně formulován ako: nech pro každý omezený markovský čas τ plaí, že E A τ E C τ. My jsme ale jen ukázali, že E A τ E C τ ]. V našem případě o však nevadí, proože používáme slabší čás Lenglarovy nerovnosi..3 Moderní definice brownovského lokálního času Moderní definice brownovského lokálního času spočívá na právě dokázané Tanakově formuli, kerá vně Pr-nulové množiny jednoznačně určuje neklesající, spojiý proces, kerý pak zveme brownovský lokální čas. Teno přísup poskyuje dvě výhody. (i) Víme, že akový proces opravdu exisuje. (ii) Definice lze snadno rozšíři na případ spojiých semimaringalů. Vše zformulujeme v následující věě, kerá se pro nás sane novou definicí lokálního brownovského času. Navíc ukážeme, že brownovský lokální čas exisuje. Je důležié zmíni, že následující definice brownovského lokálního času je ekvivalenní s původní definicí. To však budeme schopni ukáza až v odsavci.5. Věa.. Pro každé x R exisuje náhodný proces L(x) := L (x), R + se spojiými rajekoriemi, kerý je rosoucí ve smyslu definice a splňuje vně Pr-nulové množiny W x = x + sgn(w s x) dw s + L (x). (5) Navíc celé náhodné pole L je spojié ve smyslu (, x) L (x). Proces L (x), R + zveme brownovský lokální čas.

16 . Brownovský lokální čas 6 Důkaz. Planos rovnosi (5) jsme již ukázali. Zbývá ukáza, že ako definovaný proces má spojiou verzi v (, x). Proces W x x je spojiý v (, x). Sačí dokáza spojios procesu sgn(w s x) dw s, R + v (, x). K omu použijeme Kolmogorovu-Čencovovu věu A.4, jejiž znění je uvedeno v dodaku. Pro zjednodušení zápisu položme Z(, x) := sgn(w s x) dw s. Zvolme T > libovolně. Pro každé m, m N, s < T a x < y plaí E Z(, x) Z(s, y) m m E Z(, x) Z(, y) m + m E Z(, y) Z(s, y) m ] m ] m, = m E (x,y] (W s ) dw s + m E sgn(w u x) dw u kde poslední rovnos plyne z oho, že při naší definici je funkce sgn x zleva spojiá, a proo sgn(ws x) sgn(w s y) ] dw s = (x,y] (W s ) dw s. Procesy (x,y](w s ) dw s, a (x,y](w s ) dw s, s jsou L -maringaly se spojiými rajekoriemi, keré začínají v nule. Pak Bulkholderova-Davisova-Gundyho nerovnos vrdí, že exisuje konsana C m > aková, že (6) je shora omezena výrazem s (6) ] m ] m m C m E sgn(w u x) dw u + m C m E (x,y] (W s ) dw s s = m C m E m sgn (W u x) du] ] m + 4 m E (x,y] (W u ) du. Pro první člen plaí, že s (7) m E sgn (W u x) du] ( s) m. s Zaměřme se na druhý člen. Inegrand je nezáporný, omezený. Z Fubiniho věy plyne, že ] m E (x,y] (W u ) du = = = m! E (x,y] (W ) (x,y] (W )... (x,y] (W m ) ] d d... d m Pr(W, W,..., W m ) (x, y] m d d... d m... Pr(W, W,..., W m ) (x, y] m d d... d m. m (8)

17 . Brownovský lokální čas 7 V odhadu předchozího inegrálů pořebujeme, aby se vyskyoval člen y x m. Proo zkusme pro u > PrW u (x, y] W = z Pr W u (x, y] W = x + y = = y x u e v dv π π y π(u ) x e z (u ) dz y x u (9) Využijeme-li odhadu (9), ak posupným podmiňováním můžeme odhadnou (8) výrazem T T T C m y x m... m ( )... ( m m ) d d... d m = K m y x m, kde C ( ) m. m = m! π Pro m > dosáváme, že E Z(, x) Z(s, y) m m maxc m, 4 m K m ( s m + y x m). () Pro m 3 jsou splněny předpoklady Kolmogorovy-Čencovovy věy A.4, proo víme, že exisuje modifikace náhodného pole L aková, že zobrazení (, x) L (x, ω) je spojié pro Pr-sk.vš. ω. Q.E.D. Poznámka 5. Teno posup můžeme použí jen na T <, nebo jinak nám poslední inegrál diverguje. Kdybychom chěli rozumným způsobem definova náhodnou veličinu L (x) pro x R, nezbývá nic jiného, než-li položi L (x) = pro x R, proože pro x = plaí lim L () = lim max W s = + Pr-s.j. Případ x plyne z rekurence s Wienerova procesu a silné markovské vlasnosi. Poznámka 6. Navíc z předchozího důkazu lze usoudi, že rajekorie L(x) jsou γ-hölderovské pro γ (, ), nebo W x x i sgn(w s x) dw s mají γ-hölderovské rajekorie pro γ (, )..4 Vlasnosi lokálního brownovského času V éo čási se budeme věnova dalším vlasnosem lokálního brownovského času L(a) = L (a), F ; < z pohledu časové proměnné. Hladina a R bude pevně daná. Náhodný proces L (a), F je spojiý, rosoucí proces ve smyslu definice, pro kerý plaí L (a, ω) = pro každé ω Ω. Ověření vlasnosi (ii) v definici lze snadno

18 . Brownovský lokální čas 8 nahlédnou přes alernaivní vyjádření brownovského lokálního času dané limiou (4). Nyní pro Pr-sk.vš. ω Ω lze definova inegrál R\a (W ) dl (a, ω) ve Lebesgue- Sieljesově smyslu. Lemma.. Nech a R je libovolné pevné. Nech L (a), F je brownovský lokální čas, pak exisuje Ω F aková, že Pr( Ω Ω ) = a pro každé ω Ω Ω je R\a (W ) dl (a, ω) =. () Důkaz. Nejprve označme L ω (a) = < : W (ω) = a. Pak exisuje množina Ω F s Pr Ω = ak, že pro každé ω Ω Ω je množina L ω (a) je uzavřená, proože je vzorem uzavřené množiny a při spojiém zobrazení W (ω). Navíc je L ω (a) borelovsky měřielná množina s Lebesgueovou mírou nula. Víme edy, že exisuje spočené pokryí oevřené množiny L C ω (a), kde L C ω (a) je komplemen množiny L ω (a). Tedy exisují reálné posloupnosi α j a β j akové, že L C ω (a) = j N (α j, β j ). Sačí ukáza, že j N je dl (α j,β j ) (a, ω) =. Vezmeme libovolné j N pevné, pak pro každé s (α j, β j ) je W s (ω) a >. Víme, že spojiá funkce na kompakním inervalu nabývá svého minima, proo pro každé n > β j α j plaí, že min s α j + n,β j n] W s(ω) a >. Položme ɛ(n) := min s α j + n,β j n] W s(ω) a. Zřejmě plaí, že ɛ(n+) ɛ(n) pro každé n > β j α j. Nerosoucí, omezená posloupnos má limiu. Proože α j, β j L ω (a), ak lim ɛ(n) =. Kdyby exisovalo n > n β j α j akové, ] že pro každé n n je ɛ(n) = ɛ(n ) pak musí exisova s α j + n, β j n akové, že W (s, ω) = a a o je spor s (α j, β j ) L C ω (a). Proo pro dosaečně malé ɛ > plaí, že λ s α j + n : W s(ω) a ɛ = λ s β j n : W s(ω) a ɛ, a edy z (4) plyne, že L αj + (a, ω) = L βj + (a, ω). Z oho plyne, že dl n n α j + n,β j (a, ω) = n ]. K dokončení důkazu sačí již jen n a využí spojiosi lokálního času v časové proměnné. Q.E.D. Není nikerak překvapující, že brownovský lokální čas bude dědi někeré vlasnosi Wienerova procesu. V předchozím jsme ukázali, že zobrazení L (a) je Pr-s.j. singulární vně množiny L ω (a). Nyní se zaměříme na body růsu funkce L (a).

19 . Brownovský lokální čas 9 Lemma.. Pro Pr-sk.vš. ω a a R plaí (i) L (, ω) > >, (ii) L ω (a) q, r R + : q < < r = L q (a, ω) < L r (a, ω). Důkaz.(i) Použijeme Tanakovu formuli (.) případ (iii) pro a =, neboli W = sgn(w s ) dw s + L () Pr-s.j. Proože levá srana je nezáporná, musí bý i pravá srana nezáporná. Nyní využijeme, že jsme ukázali, že náhodný proces Z(, ) := sgn(w s) dw s, F ; < je F - Wienerův proces, pro kerý plaí PrZ(, ) = =. K dokončení důkazu použijeme následující vlasnos Wienerova procesu. Nech W, je F -Wienerův proces, pak pro Pr-sk.vš. ω plaí ɛ > δ > α ɛ j j=, β ɛ j j= (, ɛ) : < α ɛ < β ɛ < α ɛ < β ɛ <... pak musí plai L ɛ (, ω) >. a plaí W ɛ α j (ω) > δ W ɛ β j (ω) < δ, (ii) Ze spojiosi L (a) v proměnné sačí uvažova jen případy q, r Q. Nech máme q < r Q. Položme τ a,q = inf q : W = a. Ze zákona ierovaného logarimu víme, že τ a,q je Pr-s.j. konečný markovský čas a silná markovská vlasnos vrdí, že B = W +τa,q W τa,q = W +τa,q a je opě Wienerův proces s PrB = =. Aplikujeme-li případ (i) na B dosaneme, že plaí-li τ a,q (ω) < r pak L τa,q (a, ω) < L τa,q +(a, ω) pro Pr-sk.vš. ω a >. K dokončení důkazu sačí položi = r τ a,q (ω). Q.E.D..5 Zobecněná Iôova formule pro konvexní funkce U Tanakovy formule se nám podařilo vyjádři si spojiý submaringal jako souče sochasického inegrálu a brownovského lokálního času ak, že jsme funkce (x a) ± a x a, keré nemají spojié první ani druhé derivace, aproximovali dosaečně hladkými funkcemi ak, abychom mohli použí Iôovu formuli. Můžeme edy na ni pohlíže jako na zobecnění Iôovy formule pro funkce (x a) ± a x a. Společným rysem ěcho funkcí, kromě jejich nespojié derivace, je konvexia. Oázkou je, zda-li lze rozšíři Iôovu formuli právě o uo řídu funkcí. Touo problemaikou se zabýval Meyer ve své práci 3]. Důvody, proč jsme si vybrali řídu konvexních funkcí, jsou následující: (i) Exisuje jen spočeně mnoho bodů, kde konvexní funkce f : R R nemá derivaci.

20 . Brownovský lokální čas (ii) Označíme-li D f(x), (resp. D + f(x)) derivaci zleva, (resp. derivaci zprava), pak D f je zleva spojiá, D + f je zprava spojiá a obě jsou neklesající. To umožňuje zavés lokálně konečnou borelovskou míru µ f danou předpisem: µ f (a, b)) def = D f(b) D f(a) < a < b <, () kerou budeme nazýva mírou druhé derivace. Poznámka 7. Míra druhé derivace µ f je konečná, pokud lim D f(x) i lim D f(x) x x jsou konečné. Poznámka 8. Pokud exisuje f v bodě x, musí se přírůsek míry druhé derivace µ v bodě x shodova s f (x). Symbolicky budeme psá, že f (x) dx = µ f ( dx). Příklad. Pro funkci f(x) = (x a) + dosáváme zcela inuiivní výsledek µ f ( dx) = lim h + D f(x + h) D f(x) = lim h + (a, ) (x + h) (a, ) (x) = δ a (x). Věa.3 (Zobecněná Iôova formule pro konvexní funkce). Nech funkce f : R R je konvexní a nech míra druhé derivace µ f je dána předpisem (), pak Pr-s.j. plaí f(w ) = f(w ) + D f(w s ) dw s + L (x)µ f ( dx) <. (3) Pro funkce (x a) ± a x a dosáváme sejný výsledek jako v Tanakově formuli. Z rovnosi (8) a poznámky 8 plyne, že ve věě.3 se jedná opravdu o zobecnění Iôovy formule, edy vzorec (3) je planý pro každou funkci f C (R). Předcházející věa lze zobecni na funkci f, kerá je lineární kombinací konvexních funkcí. Rozdíl je jen v om, že míra druhé derivace µ f se sává lokálně konečnou znaménkovou mírou. Věa.4. Nech funkce f : R R je konečnou lineární kombinací konvexních funkcí a nech míra µ je dána předpisem (), pak míra µ je lokálně konečná znaménková míra a vzorec 3 zůsává v planosi. Příklad. V omo příkladě uvedeme možnos, kdy je možno funkci f : R R zapsa jako lineární kombinaci konvexních funkcí. Předpokládejme, že f AC loc (R). Pak víme, že exisuje f (x) pro λ-sk.vš. x R. Proo můžeme psá x y f (z) dz dy = x Tedy funkci f lze psá jako f (y) f () ] dy = f(x) = f() + f ()x + R x f (y) dy f ()x = f(x) f() f ()x. x y f (z) dz dy.

21 . Brownovský lokální čas Hlavní myšlenka je, že si nyní funkci f (z) napíšeme jako rozdíl dvou nezáporných funkcí a využijeme lineariy inegrálu. Tedy položme f (z) = f (z) +, f (z) = f (z). Pak f a f jsou obě nezáporné a f (z) = f (z) f (z). Položme dále g (x) = f() + f ()x + g (x) = x y x y f (z) dz dy. f (z) dz dy, Funkce u(y) = y f (z) dz je neklesající, a proo funkce v(x) = x u(y) dy je konvexní. Funkce g je edy součem 3 konvexních funkcí. Analogicky posupujeme pro funkci g. Celkově dosáváme, že funkci f lze zapsa jakou souče 4 konvexních funkcí a lze edy použí předchozí věu.4. Na závěr ohoo odsavce splaíme dluh, kerý máme z odsavce.3, kde jsme vrdili, že moderní definice brownovského lokálního času založená na Tanakově formuli je ekvivalenní s definicí. Lemma.3. Nech náhodný proces L (x), je jako ve věě., pak pro každou nezápornou, borelovsky měřielnou funkci f s kompakním nosičem vně Pr-nulové množiny plaí f(w s (ω)) ds = f(x)l (x, ω) dx. (4) Důkaz. Bez újmy na obecnosi předpokládejme, že funkce f C (R), proože pro každou nezápornou borelovsky měřielnou funkci f s kompakním nosičem exisuje posloupnos funkcí f n, n N z C (R) akových, že f w n f, kde w značí slabou konvergenci funkcí. Nech je edy funkce f C (K), kde K R je kompakní. Pak exisuje spojiá, konvexní funkce F : R R, kerá pro každé x K splňuje F (x) = f(x). Funkce F je spojiá a má spojiou první i druhou derivaci, můžeme edy použí klasickou Iôovo formuli, edy plaí F (W ) = F (W ) + R F (W s ) dw s + f(w s ) ds. Dále víme, že funkce F je konvexní a F (x) dx = f(x) dx = µ f ( dx), proo ze zobecněné Iôovy formule víme, že plaí F (W ) = F (W ) + F (W s ) dw s + f(x)l (x) dx. Rovnos (4) ve smyslu Pr-s.j. dosaneme odečením předchozích dvou rovnosí. Q.E.D.

22 . Brownovský lokální čas.6 Vlasnosi rajekorií Wienerova procesu V éo čási ukážeme, že brownovský lokální čas může bý vhodným násrojem pro charakerizaci vlasnosí rajekorií Wienerova procesu. Jako příklad uvedeme následující vrzení. Věa.5. Pro F -Wienerův proces plaí Pr ω Ω : ds < ; < = W s (ω) α α < α (5) Důkaz. K důkazu věy použijeme následující lemma. Lemma.4. Nech funkce f : R, ) je borelovsky měřielná a lokálně inegrovaelná, pak Pr f(w s ) ds < ; < = Důkaz. Vezměme ω Ω, kde Ω je sejná jako v definici a položme M (ω) := max W s(ω) s a m (ω) := min W s(ω). Nejdříve si uvědomíme, že pro pevné (, ω) R Ω plaí, že pokud s x / m (ω), M (ω)], pak W s (ω) x > pro každé s a edy L (x, ω) =. Ukázali jsme, že pro pevná (, ω) je nosičem zobrazení x L (x, ω) uzavřený inerval m (ω), M (ω)]. Pak f(w s (ω)) ds = R f(x)l (x, ω) dx = max L (x, ω) m (ω) x M (ω) M(ω) m (ω) M (ω) m (ω) f(x)l (x, ω) dx f(x) dx <. Poslední nerovnos plyne z lokální inegrovaelnosi funkce f, nebo spojios rajekorií W (ω) nám implikuje, že množina m (ω), M (ω)] je kompakní pro každé a omezenos max L (x, ω) plyne ze spojiosi L. Q.E.D. m (ω) x M (ω) K dokončení důkazu věy.5 sačí použí předcházející lemma na funkci f(x) =. x α Musíme edy zjisi, kdy je funce f lokálně inegrovaelná. Víme, že pro ɛ > je ɛ ɛ x α < α < a ɛ ɛ = α, x α

23 . Brownovský lokální čas 3 což jsou jediné dva krajní případy, proože na inervalu (, ɛ] ɛ, ) je funkce f spojiá a omezená. Q.E.D. Důležiým předpokladem ve věě.4 je, že horní mez je konečná. Pro neomezenou horní mez a dodaečných podmínkách na funkci f naopak plaí, že inegrál bude Pr-s.j. nekonečný. Vše formulujeme v následující věě. Věa.6. Nech f je nezáporná, borelovsky měřielná funkce, kerá navíc splňuje, že exisuje souvislá oevřená množina G B(R), na keré je funkce f kladná. Pak Pr ω Ω : f(w s (ω)) ds = =. Důkaz. V omo důkazu využijeme velmi zajímavé vlasnosi Wienerova procesu a o, že pro Pr-sk.vš. ω Ω je množina L ω () = < : W (ω) = husá v R +. Pak oiž můžeme definova posloupnos τ j j= τ = inf : W =, τ j+ = inf τ j + : W = j. Pak pro každé j N je τ j Pr-s.j. konečný markovský čas, a proo můžeme položi B = W τj + W τj = W τj +. Víme, že B je opě Wienerův proces, kerý začíná v nule. Proože je L ω () = < : W (ω) = husá v R +, ak τ j, j je nekonečná posloupnos markovských časů, pro keré plaí τ j Pr-s.j. Pak bez újmy na obecnosi sačí předpokláda, že exisuje ɛ > ak, že x R : f(x) > ( ɛ, ɛ). Položme = max τ j+ τ j. Ze spojiosi L ( ) a L () > pro >, je min L (x) > po j N x ( ɛ,ɛ) případném zmenšení ɛ. Pak vně Pr-nulové množiny plaí f(w s ) ds = = τj+ j= ɛ j= τ j f(w s ) ds = ɛ j= f(x)l τj+ τ j (x) τj+ τ j j= min x ( ɛ,ɛ) f(b s ) ds f(x) min x ( ɛ,ɛ) L (x) =. Q.E.D.

24 3. Rozdělení lokálního brownovského času 4 3 Rozdělení lokálního brownovského času 3. Teorie symerické náhodné procházky a její aplikace V éo čási uvedeme několik známých věcí z eorie symerické náhodné procházky, keré budeme pořebova v několika následujících odsavcích. Vycházel jsem především z knihy ]. Jde nám zejména o vyjádření pravděpodobnosního rozdělení náhodné veličiny prvního vsupu do zvolené hladiny a pochopení principu reflexe, kerý bude klíčovým násrojem při odvozování pravděpodobnosního rozdělení poču přechodů náhodné procházky přes pevně zvolenou hladinu. Pomocí ěcho násrojů se nám podaří odvodi pravděpodobnosní rozdělení brownovského lokálního času pro Brownův pohyb a Brownův mos. Definice 3 (Symerická náhodná procházka). Nech X n, n N je posloupnos nezávislých sejně rozdělených náhodných veličin akových, že PrX n = = PrX n = =. Položíme-li S = a S n = n j= X j. Pak náhodnou posloupnos S n, n N zveme symerická náhodná procházka. Dále uvedeme vlasnosi ýkající se symerické náhodné procházky, keré budeme dále mlčky používa. (i) Je-li n liché, pak PrS n je liché =. (ii) Je-li n sudé, pak PrS n je sudé =. (iii) Má-li n sejnou pariu jako m, kde n N, m Z, což budeme dále znači n par m, pak plaí ( ) n PrS n = m = n+m m n. (6) n Dále označme P n := card j n : X j = a N n := card j n : X j =, pak P n = (n + S n )/, což plyne ihned po sečení dvojice rovnic S n = P n N n n = P n + N n. Důležié bude odvození rozdělení času prvního vsupu do hladiny a. Označme τ a = infn : S n = a, kde a par n a a n. Odvodíme případ a >. Pak Prτ a = n = PrS n = a, τ a > n = Prτ a > n, S n = a = I(a, n) n,

25 3. Rozdělení lokálního brownovského času 5 kde I(a, n) je poče rajekorií, keré se do času n nedoknou hladiny a a skončí v čase n na hladině a, neboli I(a, n) := card x,..., x n, n : l n x i a l n, x i = a. Označíme-li I (a, n) poče rajekorií, keré se do času n doknou hladiny a a aké skončí v čase n na hladině a, neboli I (a, n) := card x,..., x n, n : l n : Pak plaí i= ( ) n I(a, n) = n+a I (a, n). i= l n x i a, x i = a. Hodnou indexu I (a, n) umíme spočís, proože poče rajekorií, keré se doknou hladiny a a skončí v čase n na hladině a je sejný jako poče rajekorií, keré skončí v čase n na hladině a +, edy Celkově dosáváme, že I (a, n) = a edy ( ) ( n n Prτ a = n = n+a n+a ( ) n n+a. ( ) ( ) n n I(a, n) = n+a n+a )] n = a n i= i= ( ) n n+a = a n n PrS n = a. (7) V další čási budeme aké pořebova zná vzah pro konvoluci náhodných veličin τ a a τ b pro a >, b >. Nejprve položme τb a = infn > τ a : S n = a + b. Pak τ a a τa b jsou nezávislé náhodné veličiny, proo můžeme psá m m b Prτ a+b = m = Prτ a = j, τ a+b = m = Prτ a = j, τb a = m j j=a j=a m b m b = Prτ a = jprτb a = m j = Prτ a = jprτ b = m j. j=a j=a (8)

26 3. Rozdělení lokálního brownovského času 6 3. Speciální konsrukce náhodné procházky meodou wis Cílem ohoo odsavce bude ukáza konsrukci speciální posloupnosi symerických náhodných procházek S m (n), m, n, kde nyní dolní index u S m (n) označuje, že se jedná o m-ý prvek posloupnosi S m (n), m. Pak z posloupnosi S m (n), m, n zkonsruujeme posloupnos vzájemně se zjemňujících náhodných procházek B m (),, m N, kde každá náhodná procházka bude zjemněním předchozí. Zjemňování je definováno podle následujícího vzorce ( ) k B m m = m S m (k). (9) Nech X m (k), m, k jsou nezávislé sejně rozdělené náhodné veličiny nabývající hodno a s pravděpodobnosí. Seřad me je do nekonečné maice ako X () X () X (3)... X () X () X (3)... X () X () X (3)..... Nech pro každé m je S m (n), m, symerická náhodná procházka, kerá vznikla z náhodných veličin X m (k), k =,..., n, j. S m (n) = n i= X m(i). Náhodné procházky S m (n), m, vznikly z různých řádků, keré jsou vzájemně nezávislé, proo i S m (n), m, jsou vzájemně nezávislé. Meoda, kerou použijeme k modifikaci posloupnosi S m (n), m, n, je známa pod názvem wis and shrink a lze se o ní více dočís v práci 6]..... Meoda Twis Nejdříve položíme S (n) = S (n) pro n a S m () = pro m. Pak konsruujeme náhodnou procházku S m (n), m, rekurenně podle následujícího předpisu. Nech Sm () již známe. Definujme náhodnou veličinu T m+ () =, T m+ (k) = inf n > T m+ (k ) : Sm+ (n) S m+ (T m+ (k )) = k. Budeme modifikova náhodnou procházku S m+ (n) ak, aby po zjemnění dané vzorcem (9) náhodná procházka B m+ (n) navšívila v časech 4n, n, sejné hladiny jako zjemněná náhodná procházka B m (n) odvozená od náhodné procházky S m (n). Demonsrujme si o na konkréním příkladě.

27 3. Rozdělení lokálního brownovského času 7 Hladina 3 Hladina Obrázek : Levý graf zobrazuje náhodnou procházku S m (4) a pravý graf zobrazuje náhodnou procházku S m+ (8). Hladina 4 6 T() T() T(3) T(4) Hladina 4 6 T() T() T(3) T(4) Hladina T() T() T(3) T(4) Hladina T() T() T(3) T(4) Obrázek : Na prvních řech grafech (zleva doprava) je zobrazen posup konsrukce náhodné procházky S m+ (8) z náhodné procházky S m+ (8). Na posledním grafu, pravý dolní, je plnou čárou označena původní náhodná procházka S m+ (8) a čárkovanou čárou náhodná procházka S m+ (8).

28 3. Rozdělení lokálního brownovského času 8 Příklad 3. Nech náhodná procházka S m (4), kerá je zobrazena na obrázku, prošla posupně hladinami. Chceme modifikova náhodnou procházku S m+ (8) ak, aby pak S m+ (8) jako první sudé číslo navšívila, jako druhé sudé číslo. Předím než vsoupí do může se do vrái, jen nesmí vsoupi do 4. Jako řeí sudé znovu a jako čvré sudé 4. Vše je parné z obrázku. Pokud první sudé, keré S m+ () navšíví je, pak reflekuji rajekorii až do času T m+ (). Tedy položíme X m+ (k) = X m+ (k) pro < k T m+ (). Je-li první sudé, pak položíme X m+ (k) = X m+ (k) pro < k T m+ (). Dále pokračujeme analogicky úsekem ( T m+ (), T m+ () ], nebo jsme ve sejné siuaci jako v prním kroku. Jen pokud jsme reflekovali první čás rajekorie, ak musíme S m+ (k) o 4 díly posunou nahoru. Vše lze zapsa následujícím algorimem. Pro j =,,... a pro T m+ (j) < k T m+ (j + ) položme X m+ (k) je-li S m+ (T m+ (j + )) S m+ (T m+ (j)) = X m+ (k) = X m (j + ) X m+ (k) jinak a položme S m+ (k) = S m+ (k ) + X m+ (k). Lze ukáza, že pro každé m plaí Xm (), X m (),... jsou nezávislé sejně rozdělené náhodné veličiny a Pr X m (k) = = Pr X m (k) = = pro k. Tedy S m (), m je posloupnos symerických náhodných procházek. Navíc z konsrukce je zřejmé, že mezi náhodnými procházkami S m+ a S m plaí následující vzah S m+ (T m+ (k)) = k S m+ (T m+ (j)) S m+ (T m+ (j )) = j= k X m (j) = S m (k). j= (3) Meoda Shrink Při zjemňování náhodné procházky budeme klás důraz na o, abychom zachovali nulovos sředních hodno, a aby se při každém zjemnění nezměnila vzdálenos daná euklidovskou merikou od počáku vzhledem k původní náhodné procházce S (k). Euklidovskou merikou zde míníme meriku indukovanou L -normou na pravděpodobnosním prosoru (Ω, F, Pr), kde jsou i definovány náhodné veličiny X m (k), m, k. Nejdříve zodpovíme následující oázku. Kolikrá máme změni prosorovou proměnnou, pokud časovou proměnnou na jednokovém inervalu rozdělíme na n sejně velkých dílů.

29 3. Rozdělení lokálního brownovského času 9 K omu si zavedeme náhodné veličiny Z j, j =,..., n, keré nabývají jen dvou hodno x a x se sejnou pravděpodobnosí. Víme, že E X() =. Proo po rozdělení jednokového inervalu na n sejných dílů musí plai n = E j= Z j ] ] = n E Z. Tedy musí plai E Z = n. Dále z definice náhodné veličiny Z snadno spočeme, že E Z = x PrZ = x + PrZ = x ] = x. Spojením předchozích výsledků dosaneme, že x = n. Tedy chceme-li zmenši změnu hladiny na polovinu, musíme rozděli časovou proměnnou na 4 sejné díly. Obecně pro m, zmenšíme-li m-krá změnu hladiny, časovou proměnnou musíme rozděli na m sejných dílů. Proo je zjemňování definováno vzorcem (9). Na závěr provedeme lineární inerpolaci zjemněné náhodné procházky. Důvod, proč jsme konsruovali posloupnos S m (n), m, kerou jsme později použili k vyvoření posloupnosi B m (n),, m je následující věa, kerá vrdí, že posloupnos lineárně inerpolovaných náhodných procházek B m (), m konverguje s.j. k Wienerově procesu sejnoměrně vůči, ), což je mnohem silnější výsledek než známe z Donskerovy věy. Navíc druhá čás věy ukazuje, že rychlos konvergence je velmi vysoká. Důkaz je uveden v již zmíněném článku 6]. Věa 3.. Nech B m (),, m je posloupnos lineárně inerpolovaných náhodných procházek, kerá vznikla meodou wis and shrink. Nech W (), je sandardní Wienerův proces. Pak plaí (i) B m ( ) s.j. W ( ) (ii) C 3 sejnoměrně vzhledem, ), K > m (C, K) m m (C, K) plaí Pr max W () B m() m 6(K m ) C. (3) K m/ Poznámka 9. V předchozí věě v bodě (ii) položme A m = max W () B m() K pro m. Zvolme C = 3, K > pevně libovolně. Pak z předchozí věy víme, že exisuje m (C, K) akové, že plaí následující odhad PrA m m + m= m=m + PrA m = m + 6 K m=m + m m/ = m m + 6 K <. m Borelova-Canelliho věa vrdí, že po odsranění Pr-nulové množiny je nerovnos max B m () m planá jen pro konečně mnoho m. m/ K W ()

30 3. Rozdělení lokálního brownovského času Lokální čas zjemňující se náhodné procházky V éo čási zkonsruujeme posloupnos lokálních časů l m, m odpovídajících posloupnosi symerických náhodných procházek B m (), m zkonsruovaných meodou wis and shrink. Na základě vlasnosí náhodných procházek S m ukážeme vzah, kerý je mezi po sobě jdoucími lokálními časy, což je klíčová úvaha v důkazu sejnoměrné konvergence v proměnných (, x) R + R lineárně inerpolovaných lokálních časů k brownovskému lokálnímu času. Z definice brownovského lokálního času a vzahu (4) víme, že brownovský lokální čas můžeme psá jako λs : x ɛ W x + ɛ L (x) = lim, (3) ɛ + ɛ Dále využijeme silného výsledku z věy 3., ze kerého plyne, že pro dosaečně velké m N můžeme ve (3) s dosaečnou přesnosí použí aproximaci Wienerova procesu W (), K, kde K je kompakní podmnožina R +. K posloupnosi náhodných procházek S m (k), m chceme definova posloupnos lokálních časů l m (k, x), k N, x Z, m, kde k má význam času a x označuje hladinu. Pro k = a m definujme l m (, x) = pro x Z. Pokud v inegrální rovnosi (7) nahradíme Lebesgueovu míru mírou číací, dosaneme pro množinu K Z Γ m (K) = cardj < k : S m (j) K = x K cardj < k : S m (j) = x. Proo pro k definujeme l m (k, x) = cardj : j < k, S m (j) = x x Z. Zajímá nás, zda-li exisuje nějaký vzah mezi veličinami l m a l m+. Z vlasnosi (3) a z definice (9) musí plai následující vzah ( ) Tm (k) B m = S ( m Tm (k) ) = S ( ) m (k) k = B m m m m. (33) (m ) Zajímá nás edy, jaká je vzdálenos mezi časy Tm(k) C > K > m (C, K) N m m (C, K) plaí Pr max T m+ (k) 4k 6CK k (m+) (m+) log m m+ m K kde log K = max, log K. k a = 4k m (m ) m. Lze ukáza, že < (K m ) C m,

31 3. Rozdělení lokálního brownovského času 3 Zde znovu oceníme vlasnosi konsrukce posloupnosi náhodných procházek S m, m, proože kromě oho, že aproximace B m+ navšíví sejné body x = j, j Z, ve sejném m pořadí jako B m, ak i časy, ve kerých yo body navšíví se s rosoucím m přibližují. Toho využijeme v následující úvaze, kde výrazem a m b m označujeme lim a m b m =. m l m (k, x) = cardj : j < k, S m (j) = x = card ( j ) = card j : j < k, B m = x m m = card j : j < T m+ (k), B m+ ( Tm+ (j) (m+) card j : j < T m+ (k), B m+ ( card j : j < 4k, B m+ ( j (m+) = card j : j < 4k, m+ B m+ ( j : j < k, m B m ( j m ) ) = x ) m j = x ) m = x (m+) j (m+) m ) = x = j card : j < 4k, S m+ (j) = x = l m+(4k, x). = x Indukcí podle m snadno získáme následující vyjádření l (k, x) = cardj : j < k, B (j) = x ( ) j card j : j < m k, B m m m = x. m Pro m-ou aproximaci B m je z předchozího přirozené definova lokální čas L m pro k N a x Z ako L m (k, x) = m l m(k m, x m ). (34) V následující čási budeme hleda vzah mezi pravděpodobnosními rozděleními náhodné veličiny l m a náhodné procházky S m. Lépe se nám bude pracova s jednosrannými verzemi lokálních časů l m, keré definujeme ako l ± m(k, x) def = cardj : j < k, S m (j) = x ±, S m (j + ) = x. (35) Zřejmě plaí l m (k, x) = l + m(k, x)+l m(k, x). Pro posloupnos l + m lze provés naproso sejnou úvahu jako pro l m, proo pro m-ou aproximaci B m definujeme jednosranný lokální čas L + m pro k N a x Z ako L + m(k, x) = m l+ m(k m, x m ). (36)

32 3. Rozdělení lokálního brownovského času 3 V éo chvíli máme zadefinován lokální čas L m ve -dimenzionální síi bodů ( ) i j, m, m kde (i, j) N Z. Víme, že brownovský lokální čas je spojiý v (, x), proo provedeme lineární inerpolaci L m a přiom pro zjednodušení zápisu ponecháme označení L m. Pro m se nám rozdělí polorovina R + R na sí obdelníků i, i+ ] x j, x j+ ]. Inerpolaci provádíme posupně po složkách. Vniřní body obdelníku i, i+ ] x j, x j+ ] rozdělíme do dvou skupin. Levý horní rojúhelník, j. množina A = (, x) i, i+ ] x j, x j+ ] : x x j i Pravý dolní rojúhelník, j. množina B = (, x) i, i+ ] x j, x j+ ] : x x j < i Pro (, x) A položíme L m (, x) = L m ( i, x j ) + ] i L m ( i+, x j+ ) L m ( i, x j+ ) i+ i + x x ] j L m ( i, x j+ ) L m ( i, x j ). x j+ x j Pro (, x) B položíme L m (, x) = L m ( i, x j ) + ] i L m ( i+, x j ) L m ( i, x j ) i+ i + x x j L m ( i+, x j+ ) L m ( i+, x j ) x j+ x j Sejně posupujeme při inerpolaci jednosrannéko lokálního času L + m. Na závěr si uvedeme věu, kerá vrdí, že námi zvolená posloupnos inerpolovaných lokálních časů L + m konverguje s.j. sejnoměrně v (, x) k brownovskému lokálnímu času, což bude pro nás klíčové v následujících dvou čásech. Důkaz následující věy je uveden v práci 6]. Věa 3.. Nech L + m(, x), m je posloupnos lokálních časů jako ve (36), pak (i) pro libovolné K > plaí, že posloupnos L + m(, x), m konverguje s.j. pro m sejnoměrně vzhledem (, x), K] R k brownovskému lokálnímu času L (x). (ii) C > K > m (C, K) N ak, že m m plaí Pr L (x) L + m+(, x) 5CK 4 (log K) 3 4 sup (,x),k] R kde K = max, K a log K = max, log K. m 3 4 m ]. 3 4 C ( K m ) C,

33 3. Rozdělení lokálního brownovského času Expliciní výpoče lokálního brownovského času Sejně jako v předchozích odsavci budeme pracova se symerickou náhodnou procházku S n, n N, kerá vznikla konsrukcí wis. Naší cílem bude nají jednoznačný vzah mezi pravděpodobnosním rozdělením jednosranného lokální času náhodné procházky a pravděpodobnosním rozdělením náhodné procházky. Pro kladnou hladinu a zachováme označení jednosrané verze lokálního času z předchozí čási. Pro zápornou hladinu a změníme definici ak, aby byla symerická s kladnou hladinou, edy definujeme l + (n, a) := card j n : S j = a, S j = a a, n N, l + (n, a) := card j n : S j = a +, S j = a a, n N. Dále zaved me jednolivé časy přechodů pomocí η a () := infn : S n = a, S n = a η a () := infn > η a () : S n = a, S n = a. η a (k + ) := infn > η a (k) : S n = a, S n = a, a nakonec doby mezi přechody z a do a označme T (a) := η a (), T (a) := η a () η a (), T 3 (a) := η a (3) η a (),... Věa 3.3. Pro libovolné k N plaí, že za podmínky η (a) <, η (a) <,..., η k (a) <, jsou náhodné veličiny T (a), T (a),..., T k (a) vzájemně nezávislé. Navíc plaí, že náhodné veličiny T (a), T 3 (a),..., T k (a) jsou sejně rozdělené. Věa 3.3 je uvedena a dokázána v 4] na sraně 9. Pro symerickou náhodnou procházku je předpoklad η (a) <, η (a) <,..., η k (a) < splněn pro libovolné a Z. Poznamenejme, že zde je důležié, že pracujeme se symerickou náhodnou procházkou. Z předchozí věy edy víme, že pro libovolné k jsou náhodné veličiny T (a), T (a),..., T k (a) nezávislé. Navíc není ěžké zjisi, že pravděpodobnosní rozdělení náhodných veličin T (a), T (a),..., T k (a) musí splňova T (a) D = τ a T k (a) D = τ k, (37)

34 3. Rozdělení lokálního brownovského času 34 kde sejně jako v odsavci 3. je τ a = infn : S n = a. Druhá rovnos v disribuci v (37) plyne z následujících rovnosí. Bez újmy na obecnosi uvažujme, že a je sudé. Pak PrT k+ (a) = j η a (k) = m = = Pr infn > : S(η a (k) + n ) = a, S(η a (k) + n) = a = j η a (k) = m = Pr infn > : S(m + n ) = a, S(m + n) = a = j η a (k) = m = Pr infn > : S(m + n ) S(m) =, X m+n = = j η a (k) = m = Pr infn > : m+n j=m+ X j =, X m+n = = j, η a (k) = m Prη a (k) = m m+n () = Pr infn > : X j =, X n = = j j=m+ = Pr infn > : S(n ) =, X n = = j = Pr infn > : S(n ) =, X n = = j = Prτ = j, kde rovnos () plyne z nezávislosi náhodného vekoru (X m+, X m+,..., X m+n ) a náhodné veličiny η a (k), proože náhodná veličina η a (k) závisí jen na náhodných veličinách X,..., X m. Dále budeme chí naléz vzah mezi pravděpodobnosními rozděleními náhodných veličin l + (n, a) a S n. Počíejme edy Prl + (n, a) > = PrT (a) + T (a) n = = () = () = n k=a+ j=a n k=a+ j=a n k=a+ n k=a+ k PrT (a) = jprt (a) = k j k Prτ a = jprτ = k j Prτ a+ = k = Prτ a+ n (3) = PrS n a + + PrS n > a +, PrT (a) + T (a) = k (38) kde rovnos () plyne z (37), rovnos () z (8) a rovnos (3) plyne z principu reflexe po prvním vsupu do hladiny a +, a o bud v čase n pro první člen, nebo před časem n pro druhý člen. Nech nyní je k > a označme k-ou konvoluční mocninu náhodných veličin T výrazem