OBR. 5: AMBROGIO DI BONDONE (GIOTTO), Vyhnání ďáblů z Areza

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "OBR. 5: AMBROGIO DI BONDONE (GIOTTO), Vyhnání ďáblů z Areza"

Transkript

1 Renesance Malíři objevují nebo znovuobjevují realistickou malbu, která není již tak svázaná náboženskou symbolikou a jejími kánony. Samozřejmě, že náboženská tematika je stále hlavním námětem, ale je zpracována světským realistickým způsobem, kdy jako by se zobrazovaly výjevy z běžného života. Většinou tomu tak opravdu je; náboženská symbolika jen celé dílo posvěcuje. Někdy vznikají díla plně světská, např. když je zadavatelem bohatý měšťan nebo samo město. Šíří se nová optimistická víra v možnosti člověka a poznatelnost světa. Tento nový životní názor vzniká v Itálii, kde jsou také nejlepší podmínky k navázání na antický historický odkaz. Jeho název je příznačný: renesance. Nejlépe ho charakterizuje nová architektura, která použitím jednoduchých geometrických tvarů a symetrie usiluje o jasné definování a ovládnutí prostoru. O totéž se v zobrazení prostoru pokouší také malířství. Od prvních nesmělých pokusů se během krátké doby jednoho století podařilo převážně florentským malířům nalézt všechny důležité zákonitosti lineární perspektivy, jejichž použití jim umožnilo malovat zcela bezchybné perspektivní obrazy. Přitom toto hledání nemohlo stavět na stávajícich znalostech matematiky a geometrie. Bylo převážně intuitivní, odvozené od přímého pozorování a stálých pokusů. Úspěch tohoto hledání se stal symbolem nové doby. Schopnost namalovat obraz, který jako zrcadlo odráží reálný svět nebo dokonce vytváří dokonalou iluzi reálného světa, který se ve skutečnosti nalézá pouze v hlavě svého tvůrce, jako by člověku umožňovala svět pochopit, měnit ho, nebo dokonce tvořit. To ho naplňovalo velikou nadějí do budoucna. Jedním z prvních malířů, který usiloval o realistické zobrazení skutečnosti, je Ambrogio di Bondone ( ) zvaný Giotto. Jeho životopisec Vasari o něm v knize Život umělců píše, že "vytlačil těžkopádné byzantské malířství a nastolil znovu realismus a dobrý způsob malování." Zobrazování prostoru však u něho není výsledkem nějaké geometrické konstrukce, ale intuice a pozorování. Proto je jeho postup těžké obecně popsat. Např. na obraze Vyhnání ďáblů z Areza (obr. 5) zobrazuje architekturu (měšťanské domy) odvážně v neprůčelné poloze (tedy tak, že žádná ze stěn není rovnoběžná s rovinou obrazu). Rovnoběžné přímky na domech se na obraze jednou zobrazí jako rovnoběžky, podruhé jako různoběžky sbíhající se nebo dokonce rozbíhající se do dálky. Přibližné pravidlo formuloval na základě Giottova postupu kolem roku 1400 teoretik malířství Cennino Cennini: "Architektonické články u soklu stavby se musejí naklánět nahoru v opačném směru než horní články, které se naklánějí dolů." Tato definice je však příliš volná a k představě o způsobu zobrazení prostoru nevede. To další Giottův obraz, Sen biskupův(obr. 6), již působí realističtěji: Prodloužíme-li si obrazy rovnoběžných přímek podlahy, vidíme, že se sbíhají do jednoho bodu. Uděláme-li totéž s rovnoběžnými spárami na stropě, sbíhají se též do jednoho bodu, ale jiného než ty na podlaze. Giottovo umění realistické malby dále rozvíjí jeho velký obdivovatel a žák Ambrogio Lorenzetti (činný ). V obraze Následky dobré vlády radnice v Sienně (obr. 7) ještě zůstává ve stínu svého mistra. Dokonce si situaci ulehčil tím, že domy zobrazuje průčelně, to znamená, že jedna stěna domů je rovnoběžná s rovinou obrazu a zobrazí se proto v nezměněném tvaru jako obdélník či čtverec. Jeho obraz Zvěstování (1344; obr. 8) však už přináší úplně novou hodnotu. Všechny hloubkové přímky (tak budeme říkat rovnoběžným přímkám, které jsou kolmé na rovinu obrazu) se sbíhají v jediném úběžném bodě. 9

2 OBR. 5: AMBROGIO DI BONDONE (GIOTTO), Vyhnání ďáblů z Areza 10

3 OBR. 6: AMBROGIO DI BONDONE (GIOTTO), Sen biskupův 11

4 OBR. 7: AMBROGIO LORENZETTI, Následky dobré vlády radnice v Sienně 12

5 OBR. 8: AMBROGIO LORENZETTI, Zvěstování 13

6 Lorenzetti si ještě není jist jeho správným umístěním, proto obraz maluje jako čtvercový a tento úběžný bod umísťuje do průniku úhlopříček takového čtverce. Projevuje se tu jakási víra středověkého umělce v automatickou správnost souměrné kompozice, která měla ve středověkém malířství velkou váhu. Jak dále uvidíme, dodržovali ji i umělci, kteří dokázali kreslit správně i obrazy nesymetrické. Dodržuje ji i Leonardo, a to přes své uštěpačné poznámky, že symetrie je nudná. Lorenzetti tuto symetrii dokonce ještě zdůrazní dvěma stejnými výklenky i symetrií postav. Zřejmě již tušíte, že takovéto řešení, to jest obrazy rovnoběžných přímek sbíhající se do jednoho bodu, je správné. Ostatně, Lorenzettiho obraz působí velmi přesvědčivě. Zkusme však uvažovat, proč tomu tak je. V našich úvahách vyjdeme z funkce lidského oka. Chceme-li totiž na obraze, tedy v ploše, vyvolat iluzi trojrozměrného prostoru a předmětů, musíme vyjít právě z jeho vlastností. Funkci oka a lidského vidění známe ještě ze střední školy (obr. 9). OBR. 9 Paprsek světla odražený od předmětu (uvažujme jeden jeho bod) prochází okem a dopadá na sítnici, kde vyvolá vjem vidění. Ostatní paprsky, které se od bodu odrazily jiným směrem a okem neprocházejí, nás samozřejmě nezajímají. Tak svazek příslušných paprsků odražených od bodů tělesa a procházející čočkou oka promítá na sítnici oka obraz celého pozorovaného tělesa. Uvažujme však teď pouze jeden paprsek, tj. přímku určenou zobrazovaným bodem a středem oční čočky, a celý proces zobrazování pozpátku (obr. 9a). OBR. 9a Máme tedy na sítnici bod, místo, kam dopadl zobrazovací paprsek. Který bod v prostoru však zobrazuje? Z obrázku snadno vidíme, že není jeden. Naopak, takových bodů je nekonečně mnoho. Jsou to všechny body prostoru, kterými prochází zorný paprsek, všechny body takto určené polopřímky. Oko tedy není schopno rozeznat, jak daleko je viděný bod v prostoru umístěn, pouze na kterém paprsku leží. 14

7 Celá situace je zřejmější při pozorování bodových světelných zdrojů ve tmě, např. oblohy v noci. Pomineme-li barvu, orientaci a případný pohyb, nerozeznáme, zda světýlko, které vidíme, je pár metrů vzdálená malá žárovka, několik stovek metrů vzdálené světlo okna z domu na kopci, několik kilometrů vzdálená poziční světla letícího letounu či několik světelných let vzdálená hvězda nad obzorem. Tato nevýhoda lidského vidění, v běžném životě korigovaná při malých vzdálenostech stereometrickým viděním dvěma očima a na větší vzdálenosti zkušeností a očekáváním viděného, je naopak pro malířství výhodou. Hned uvidíme proč. Představme si, že mezi oko a zobrazovaný předmět umístíme rovinnou průmětnu (obr. 10). OBR. 10 Promítací paprsek zobrazovaného bodu protne tuto rovinu v jednom bodě. Dodáme-li tomuto bodu stejnou barvu a světlo, vyvolá v oku stejný vjem jako původní bod zobrazovaného předmětu. Toto můžeme udělat s celým promítacím svazkem paprsků. Tak získáme na průmětně množinu bodů, rovinný obraz, který vyvolá v oku vjem přímého pozorování trojrozměrného předmětu, a to i tehdy, kdy už ho dávno zpoza průmětny odstraníme. Zobecněme si celou situaci pro nejčastější způsob zobrazování (obr.11). Mějme základní rovinu (vždy vodorovná), označme ji π, na ní kolmou rovinu ν. Obě se protínají v přímce, kterou nazýváme základnice a značíme z. Zobrazované předměty umísťujeme za průmětnu ν a zpravidla pokládáme na základní rovinu. Pozorovatel stojí na základní rovině π před průmětnou ve vzdálenosti, kterou označujeme jako distanci. Jeho oko si označme bodem O. Patu kolmice spuštěné z oka O na základní rovinu π nazveme stanoviště a označíme S. Druhou kolmici z oka O spustíme na průmětnu ν a získáme tak tzv. hlavní bod, označíme ho H. Distance je tedy d= OH. Dále zkonstruujeme přímku ležící v průmětně, rovnoběžnou se základnicí a procházející hlavním bodem H. Nazveme ji horizont a označíme h. Brzy pochopíme její význam. Vzdálenost horizontu a základnice je rovna vzdálenosti oka O a stanoviště S, je tedy rovna výšce pozorovatele. S takto zavedenou terminologií se již snadno domluvíme. 15

8 OBR. 11 Umíme už pomocí promítacích paprsků zobrazit bod. Uvažujme nyní, jak se zobrazí přímka (obr. 12). OBR. 12 Zobrazíme-li několik bodů této přímky, vzniklý svazek promítacích paprsků procházejících okem O leží v jedné rovině, určené právě promítanou přímkou a a okem O. Této rovině můžeme říkat promítací rovina, např. α a její průnik a' s průmětnou je obrazem zobrazované přímky, tedy opět přímka (nebo bod - pokud prochází středem promítání O). To, že obrazem přímky v takovém promítání je opět přímka nebo bod, je samozřejmě velmi příjemné. Budeme-li hledat dále obraz nějaké přímky, stačí najít obrazy pouze dvou jejích bodů a obraz celé přímky je určen. 16

9 Které dva body si vybereme? Přestože na výběr máme nekonečné množství bodů, jsou tu dva, kterým bychom měli dát z pádných důvodů přednost (obr. 13). OBR. 13 Prvním je bod zobrazované přímky, ve kterém protíná průmětnu. Je zřejmé, že je sám sobě středovým průmětem. Budeme mu říkat stopník přímky a označíme ho N. Tak jsme si ušetřili hledání jednoho průmětu. Hledání dalšího důležitého bodu bude náročnější na abstrakci. Představme si, že postupně zobrazujeme řadu bodů A 1, A 2..., které leží na přímce a a vzdalují se od stopníku N směrem za průmětnu. Jejich rozteč je stále stejná, ale rozteč jejich obrazů A' 1, A' 2...se zmenšuje a obrazy se blíží jednomu bodu. Úhel, který svírá promítaná přímka a s přímkami promítacími, se tak stále zmenšuje. Představíme-li si, že zobrazovaný bod se vzdálí nade všechny meze do nekonečna, z promítací přímky se stane rovnoběžka se zobrazovanou přímkou a procházející středem promítání O. Této přímce budeme říkat směrová přímka přímky a a označovat ji budeme 'a. Nekonečně vzdálenému bodu na přímce budeme říkat úběžný bod. Bod, který vytne na průmětně jeho zobrazovací přímka, rovnoběžná s přímkou a a procházející středem promítání O, je jeho obraz a budeme mu říkat obraz úběžněho bodu, krátce úběžník přímky a a značit U. Pomocí takto jednoduše získaných bodů můžeme snadno nalézt obraz kterékoli přímky. Využijeme této vymoženosti a nalezneme obraz přímky b rovnoběžné s a (obr. 14). Jejich stopníky jsou různé, N a / N b, ale úběžníky obou přímek jsou totožné, U a U b. Není divu, jejich úběžníkem je stopník jejich společné směrové přímky procházející středem O. Z toho docházíme k poznatku, že obrazy rovnoběžných přímek jsou různoběžky, které procházejí jedním společným úběžníkem. Můžeme proto potvrdit větší správnost Lorenzettiho konstrukce v jeho obraze Zvěstování, kde se obrazy rovnoběžných přímek protínají v jediném bodě. 17

10 OBR. 14 Seznámili jsme se s principy perspektivního zobrazování, jak ale tyto konstrukce provádět prakticky? Jak konstruovat zorné paprsky a jejich průniky s průmětnou, tj. s rovinou obrazu? Jednou možností je zůstat v prostoru a celý perspektivní obraz konstruovat pomocí speciálních pomůcek. Jeden z prvních návodů nám dává samotný Leonardo da Vinci: "Vezmi sklo velké jako kreslicí papír. Upevni sklo dobře před očima tak, aby bylo mezi očima a věcí, kterou chceš nakreslit. Sedni si na 2/3 lokte (36-40 cm) před tímto sklem a upevni svoji hlavu nějakým zařízením tak, aby se nemohla ani hnouti (tím zajistil, aby průmět byl konstruován opravdu pouze z jediného nepohyblivého bodu, pozorovatelova oka). Potom zavři jedno oko. Štětcem nebo tužkou vyznač na skle, co na něm vidíš v prostoru. Potom to okopíruj na papír." Uvedený citát popisu metody neznamená, že by byl Leonardo jejím původcem Tato metoda byla nejspíše běžně používána jeho současníky. Vlastně jde o doslovné technické provedení Albertiho teoretické úvahy o novém požadavku na obraz jako pohled otevřeným oknem: "Načrtnu si čtyřúhelník o pravých úhlech tak velký, jak si přeji, který si představuji tak, jako by byl oknem otevřeným, jímž patřím na to, co bude vymalováno." Dokonalou ilustrací této raněrenesanční představy obrazu jako pohledu otevřeným oknem je olej Antonello da Messiny Sv. Jeroným v pracovně (kol.1475; obr. 15). Součástí obrazu je iluzionistická kamená šembrána a okenní římsa. Dokonce v pozadí zobrazené místnosti je velké čtvercové okno s výhledem na krajinu. (detail obr.16) Uvedenou metodu skleněné desky přenesl do střední Evropy norimberský malíř Albrecht Dürer ( ; obr. 17). Byl to malíř mimořádného talentu, jehož příroda obdařila fantazií a ohromným pozorovacím talentem (obr. 18). Přesto nebyl spokojen, měl pocit, že umění by mělo mít správné základy. Podnikl dvě studijní cesty do Itálie. Jednu z nich v roce 1506, kdy navštívil Bolognu, aby se naučil umění "tajné perspektivy". Nabyté vědomosti ze studia italského renesančního umění uveřejnil v pro evropské malířství velmi významné práci nazvané Pojednání o měření ( ), kterou opatřil nádhernými dřevoryty. 18

11 OBR. 16: ANTONELLO DA MESSINA, Sv. Jeroným v pracovně 19

12 OBR. 15: ANTONELLO DA MESSINA, Sv. Jeroným v pracovně detail 20

13 OBR. 17: ALBRECHT DÜRER, Autoportrét 21

14 OBR. 18: ALBRECHT DÜRER, Zajíc 22

15 Na jednom z obrázků (obr. 19) vidíme zmíněnou metodu skleněné desky, kterou Dürer vylepšil o to, že desku upevnil na stůl vybavený speciálním okulárem (vzniklým úpravou soudobých zeměměřičských pomůcek), který pohodlně zajišťoval promítání z jediného bodu. Pomocí šroubů ho bylo možno vyregulovat do potřebné polohy. OBR. 19 Metoda mu však zřejmě plně nevyhovovala, a proto je dále vylepšil. OBR

16 Ve druhém dřevorytu (obr. 20) pozoruje malíř průmět ležící ženy opět na svislé průmětně, ve které je vyznačena čtvercová síť. Stejnou nebo zvětšenou síť si narýsuje na stole a pozorovaný průmět do ní přenáší. Tím vyřešil hned dva problémy, a to omezení distance a rozměrů obrazu délkou malířovy paže při přímém malování na skleněnou desku. Takovéto užití sítě pro kreslení perspektivy znal už Alberti, který píše ve svém traktátu Della pittura libri tre (O malířství), že užívá jemného závoje, ve kterém je vetkána barevná čtvercová síť. Závoj se sítí staví mezi předmět a oko a pomocí sítě přenáší viděné na nákresnu. Dále připomíná, že zručný malíř nemusí používat skutečnou síť, stačí, když si takovou síť pouze představí. OBR. 21 Zorný paprsek nahradil provázkem provlečeným skobou ve zdi a stále napínaným olůvkem. Nyní stačilo ukazovátkem upevněným na druhém konci provázku ukázat na libovolný bod zobrazovaného tělesa a pomocník na "Dürerově okénku" pomocí průsečíku dvou provázků upevněných na rámu označil výsledný perspektivní průmět bodu na průmětně. Ten se po sklopení skutečné nákresny přenesl na papír. Takto velmi namáhavě, ale přesně mohli zobrazit bod po bodu i složitý předmět, např. právě loutnu, která byla oblíbeným cvičením renesančních malířů. Je třeba upozornit, že v tomto případě středem promítání je bod, ve kterém je provlečen provázek skobou ve zdi. Dürer ve svém díle také popsal dále vylepšenou verzi předchozích metod, kterou vynalezl Jacob de Keyser (obr. 22). Na konec provázku umístil okulár, kterým jako hledím pušky zaměřil příslušný bod předmětu a pomocí rysky v přední části okuláru přenesl na skleněnou průmětnu. Obešel se tak bez pomocníků. Napnutý provázek udržoval okulár v patřičné poloze. Skoba ve zdi je tedy opět středem takového promítání a její vzdálenost od průmětny je distancí. 24

17 OBR. 22 Všechny popsané metody ale mají jednu velkou nevýhodu, umožňují totiž konstruovat pouze existující předměty a prostředí, a to ještě za pomoci složitých technických prostředků, které někteří malíři nepovažují za hodné umělce. OBR

18 Tyto problémy, to jest zobrazování i neexistujících nebo přímo nepřístupných předmětů a přenesení konstrukce z prostoru na plochu a její řešení pomocí jednodušších pomůcek, jako jsou například pravítko a kružítko, vyřešil jako první florentský architekt (ale i malíř a sochař) Filippo Brunelleschi ( ). Můžeme ho proto právem považovat za objevitele nebo vynálezce perspektivy. Jaké byly okolnosti jeho objevu? Brunelleschi ve svých 45 letech, již jako věhlasný architekt, vypracovával skici a plány budoucí slavné kopule florentského dómu, která se stala symbolem renesance a je některými kritiky označována za jedno z nejuniverzálnějších děl lidského ducha. Přitom asi jako jeden z prvních důsledně používal systému půdorysu, nárysu a bokorysu. Přitom ho napadlo, jak z těchto jednotlivých pohledů zkonstruovat správný perspektivní obraz (obr. 23). Vzhledem k tomu, že z obrázku by nemusela být konstrukce každému jasná, osvětlíme si ji na jednodušším případě (obr. 24). OBR

19 Mějme opět základní rovinu, průmětnu, oko pozorovatele, tj. střed promítání a zobrazované těleso, jímž bude kvádr v průčelné poloze, to jest s jednou stěnou rovnoběžnou s průmětnou. Teď si celou situaci zobrazíme v půdorysu, to je jako bychom celou situaci pozorovali shora z veliké výšky. Základní rovina nám přejde do roviny papíru. Průmětna se zobrazí jako přímka, střed promítání O splyne se stanovištěm S. Kvádr se zobrazí jako obdélník, jehož jedna strana je rovnoběžná s obrazem průmětny. V takovémto pohledu snadno zkonstruujeme půdorysy promítacích paprsků z bodu O k jednotlivým důležitým bodům zobrazovaného tělesa, zde tedy k jeho vrcholům. V místech, kde se půdorysy promítacích paprsků protínají s obrazem průmětny ν jsou také půdorysy skutečných průniků promítacích paprsků s průmětnou. Stejně konstruujeme bokorys - jako bychom se na celou situaci dívali z "boku", z veliké dálky ve směru základnice z. Můžeme si představit, že se celá situace promítne na rovinu kolmou na π a ν, procházející bodem H (říkáme jí hlavní vertikální rovina). V tomto případě se základní a promítací rovina zobrazí jako na sebe kolmé přímky. Opět zkonstruujeme bokorysné průměty promítacích paprsků a získáme kolmé bokorysné průměty obrazů vrcholů kvádru v průmětně ν. Obrazy průmětny v obou případech můžeme brát jako souřadnou osu s počátkem v obraze hlavního bodu, na níž kolmým průmětům středových průmětů zobrazovaného předmětu přísluší určitá číselná souřadnice, ty pak můžeme zaznamenat na papírovou mírku nebo přenést kružítkem na průmětnu ν do souřadného systému, jehož osy tvoří horizont a hlavní vertikála jako průnik hlavní vertikální roviny s průmětnou. Počátkem je tedy hlavní bod H. Takovýmto zkonstruováním perspektiv důležitých bodů, zde vrcholů kvádru, a jejich spojením obrazy úseček, zde hran krychle, získáme správný perspektivní obraz tělesa. Kvádr je jednoduché těleso, ale můžeme jej nebo skupinu kvádrů použít jako obálku složitějšího tělesa, perspektivně je zobrazit a složitější těleso do jejich perspektivního obrazu s trochou citu pro věc zakreslit. Této Brunelleschiově objevné metodě říkáme průsečná metoda. Brunelleschi si údajně její správnost ihned ověřil. Jeho životopisec Antonello Manetti píše, že Brunelleschi "svůj systém dokázal použitím čtvercového obrazu o straně asi 30 cm, na který namaloval Plaza de San Giovanni, viděné z chrámového portálu ve Florencii. Pracoval s takovou precizností, že ani malíř miniatur by to neuměl lépe. Místo oblohy použil leštěné stříbro, takže se v něm odrážela i s oblaky.... Po dokončení obrazu vyřízl v jeho středu díru, která souhlasila se středem promítání, na to vyzval Brunelleschi okolostojící, aby se podívali otvorem a obraz drželi v jedné a zrcadlo ve druhé ruce ve výši očí tak, aby v něm obraz viděli. Divák měl potom dojem, že se dívá na skutečnou scénu a stál-li v místě, odkud byl obraz pracován, mohl přímo porovnat jeho působení s realitou." Vasari potvrzuje, že Brunelleschi namaloval tento obraz, ale o experimentu se nezmiňuje. Říká: "Vynález perspektivy uspokojil Filippa natolik, že rychle namaloval Plaza de San Giovanni a reprodukoval krásu černobílých mramorových dlaždic, které ubíhaly do vnitřku chrámu". To by znamenalo, že Brunelleschi věděl, jak v perspektivě zobrazit čtvercovou podlahu. Brunelleschi údajně namaloval několik deskových obrazů s užitím průsečné metody, žádný se však nedochoval. Dokonce zřejmě ani svou metodu nepopsal formou traktátu, natož učebnice. To za něj učinil až jeho žák Alberti v díle O malířství, které Brunelleschimu jako svému učiteli věnoval. Přesto máme k dispozici malířské dílo, jehož je Brunelleschi autorem alespoň duchovním. Při vypracování návrhu kopule florentského dómu Brunelleschi jako architekt vedl dlouhé diskuse o umění se svým přítelem Donatellem, sochařem, který obnovoval ve Florencii tradici antického sochařství. Tito dva uznávaní umělci se seznámili se začínajícím malířem Masacciem ( ). Přes jeho značné mládí (do Florencie přišel ve svých 17 letech a když se seznámil s Brunelleschim, bylo mu sotva 20) 27

20 oba umělci pochopili, že mají před sebou neobyčejný talent. Nabídli mu proto své přátelství a dovolili mu podílet se na svých úvahách a dílech. Masaccio tak byl zřejmě první, kdo se seznámil s Brunelleschiho metodou konstrukce perspektivního obrazu. Tu potom použil při perspektivní konstrukci fresky Nejsvětější trojice (1427; obr. 25, 26) v chrámu Santa Maria Novella ve Florencii. Historici umění tvrdí, že Brunelleschi Masacciovi s perspektivou obrazu nejspíš hodně pomohl. V každém případě je to dokonalá perspektivní konstrukce. Obraz znázorňuje imaginární architekturu, výklenek, v němž je Kristus na kříži a pod ním klečí modlící se postavy donátorů (obrazy těch, kteří dílo financovali), dále pod nimi jakoby ze zdi vystupuje Adamův hrob s kostrou, jako symbol lidské pomíjivosti v kontrastu s věčností Nejsvětější trojice. Po odhalení díla byli údajně současníci zaskočeni jeho dokonalostí. Prý v prvních okamžicích při vstupu do chrámu věřili, že vidí skutečný výklenek nebo alespoň dokonalý reliéf. Vasari napsal: "Ale to nejkrásnější, když pomineme postavy, je perspektivní obraz tabulové valené klenby z pohledu zdola. Optické zkrácení je tak umně namalované, že strop působí jako reliéf." Obraz svou působivostí podnítil zájem o perspektivní metody u ostatních malířů a umělců té doby. Jeho perspektiva je tak dokonalá, že současní historici umění podle něj provedli přesnou rekonstrukci celého architektonického prostoru (vycházeli z předpokladu, že stropní kazety zobrazené v podhledu valené klenby jsou čtvercové). Bohužel, Masaccio už další takovýto perspektivně dokonalý obraz ve spolupráci s Brunelleschim nevytvořil. Zemřel velmi mlád ve věku 28 let, jak pěkně píše Kadeřávek: "jsa oplakáván svými učiteli i celou obcí malířskou." Přes svoji dokonalost a vzrůstající zájem o perspektivní zobrazení není Brunelleschiho metoda ostatními malíři přijata. Důvody byly tyto: Metoda pro ně byla příliš složitá. To, co bylo snadné pro Brunelleschiho jako architekta, to je práce s půdorysem, bokorysem a nárysem, přece jen dělalo běžným malířům asi problémy. Je třeba si uvědomit, že to byli lidé, kteří vyrůstali v jiných podmínkách než my, kteří se s tímto promítáním setkáváme již od dětství. Další nevýhodou je nutnost každou zamýšlenou věc nejprve namalovat v kolmých průmětech a z nich teprve konstruovat perspektivu, což může být zdlouhavé. Tím spíše, nemá-li malíř jasnou představu o zobrazovaném a upravuje ji během práce pro dosažení požadovaného dojmu a kompozice. Pro uvedené potřeby byly vymyšleny jiné, takzvané přímé metody. Dvě z nejdůležitějších zaznamenal jež zmíněný Leone Battista Alberti ( ), žák Brunelleschiův, ve svém díle O malířství. Nastolme si problém, který vlastně vedl ke vzniku takových metod. Jednou z největších ctižádostí renesančních malířů bylo správně perspektivně zobrazit pavimentum - pravidelnou čtvercovou podlahu v základní rovině v průčelné poloze, to znamená tak, že jedny spáry byly rovnoběžné s průmětnou, druhé na ni kolmé. Takové perspektivní pavimentum působilo velmi efektně, ať už v interiéru v místnostech, nebo interiéru městském, to je dlážděná ulice či náměstí. Pavimentum však nebylo pouze efektní demonstrací malířova umu v zobrazování prostoru, ale mělo i jinou funkci. Jak později uvidíme, byl to základ sítě, který sloužil k umísťování dalších předmětů v perspektivě a určení jejich správných rozměrů v perspektivním zkrácení. O zobrazení takové podlahy se pokusil již Lorenzetti ve zmíněném obraze Zvěstování. Jak již víme, obrazy neprůčelných spár podlahy jako rovnoběžných přímek kolmých na průmětnu (budeme jim říkat hloubkové přímky) se protnou ve svém úběžníku. Zkonstruujeme-li jejich směrovou přímku, to jest rovnoběžnou s nimi a procházející středem promítání O, protne průmětnu v hlavním bodě (obr. 27). Úběžníkem těchto spár a vlastně všech přímek kolmých na průmětnu (přímek hloubkových) je proto hlavní hod. Ten je na horizontu ve výšce pozorovatele. 28

21 OBR. 25: TOMMASO MASACCIO, Nejsvětější trojice 29

22 OBR. 26: TOMMASO MASACCIO, Nejsvětější trojice 30

23 OBR. 27 To by na Lorenzettiho obraze znamenalo, že pozorovatel je ještě níž než klečící postava anděla a sedící Marie. To naznačuje, že si Lorenzetti funkci úběžníku ještě plně neuvědomoval. Druhou skupinu spár rovnoběžných s průmětnou zobrazil opět jako rovnoběžky. Snadno nahlédneme, že to je správné, protože jejich směrová přímka je také rovnoběžná s průmětnou. Jejich úběžník je tedy v nekonečnu a zobrazí se jako rovnoběžky. Jak však ustupují do hloubky, jejich vzdálenost v obraze se zmenšuje. Správné určení míry tohoto zmenšování bylo dalším velkým problémem. Vzdálenosti spár v obraze byly buď odhadovány nebo určeny na základě nějakého pravidla či řemeslné konstrukce, někdy i velmi složité, tradované v té které malířské škole. Většina byla sice nesprávná, ale nepůsobily tak rušivě, aby byly hledány lepší. Kadeřávek k tomuto poznamenává, že pečlivé proměření obrazu a určení metody, kterou bylo zkracování prováděno, by bylo možno použít jako doplňkovou metodu k určení, k jaké malířské škole dílo patří, a k odhalení vzájemných kontaktů a ovlivňování škol. Jednou z těchto metod byla takzvaná Florentská metoda (obr. 28), OBR

24 která říká: postupujeme-li od základnice k horizontu, vzdálenost obrazu dvou sousedních průčelných spár je rovna dvěma třetinám vzdálenosti obrazů spár předchozího pásu podlahy. Snadno se přesvědčíme, je-li popsaný postup správný. Víme už, že přímka se v perspektivním promítání zobrazí opět jako přímka (vyjma promítací přímky, jejíž úběžník i stopník splynou a tak se tedy zobrazí jako bod). Diagonála tvořená úhlopříčkami čtvercové podlahy by se proto měla opět zobrazit jako přímka. Pospojujeme-li ale úhlopříčky v obrazech čtverců podlahy získaných předchozí konstrukcí (obr), nebo např. v Lorenzettiho Zvěstování, zjistíme, že se diagonála nezobrazí jako přímka, ale jako část paraboly. Jsou to tedy nesprávné postupy. Jak už však bylo řečeno, nepůsobily tak rušivě a úhlopříčky samozřejmě malíři nezdůrazňovali. Přesto tu byla snaha nalézt postup ke správému zobrazení. Pomineme-li lidskou touhu přijít věcem na kloub, pak to bylo proto, že pavimentum nebyla jen pouhá podlaha, ale osnova, do které se umísťovaly další předměty, a její špatná konstrukce by se tak zřetelněji projevila. Jak jsme si již řekli, dvě správné konstrukce uvedl ve svém díle O malířství Leone Battista Alberti. První z nich se nazývá construzione legitima, metoda, která je Albertimu připisována, ač nebyl jejím autorem a byla všeobecně známá jeho současníkům. Její princip popisuje Alberti takto (obr. 29): OBR. 29 Malíř si vytkne obdélník, který bude tvořit plochu obrazu. Spodní okraj obrazu ztotožní s první spárou průčelně zobrazovaného pavimenta. Tato první průčelná spára se mu proto zobrazí ve skutečné velikosti. Určí skutečnou velikost dlaždic zobrazované podlahy v daném měřítku a jím rozdělí spáru na stejné díly. Ze získaných bodů zkonstruuje spojnice s hlavním úběžným bodem, který si umístil do středu obrazu ve výšce tři braccia (paže, renesanční míra délky), což odpovídá výšce dospělého muže. Tím splnil první část úkolu najít obrazy neprůčelných spár podlahy, to je přímek kolmých na průmětnu a ležících v základní rovině. Z toho, že Alberti umístil úběžník těchto přímek do hlavního bodu, můžeme soudit, že si plně uvědomoval jeho význam a to, jak je závislý na poloze oka pozorovatele. Albertiho popis metody je sice nepřesný a mnohdy nejasný, ostatně šlo o návod pro malíře a ne o vědecké pojednání, ale to, že by správné umístění úběžníku ve výšce pozorovatele zvolil náhodně, je málo pravděpodobné. Druhou částí úkolu bylo nalézt obrazy průčelných spár podlahy. Víme, že jejich úběžník je v nekonečnu a že se zobrazí jako rovnoběžky. Ty však už nebudou mít konstantní vzdálenost, jako mají spáry podlahy, ale s jejich větší hloubkou v obraze se jejich vzdálenosti zmenšují. Jde tedy o to, nalézt správnou míru tohoto zmenšování. Alberti to vyřešil tak, že si zvlášť mimo plochu obrazu nakreslil boční pohled na celou situaci. Můžeme si opět představit, že se díváme z velké vzdálenosti ve směru základnice z a vše se nám rovnoběžně promítne do hlavní horizontální roviny kolmé na ν a π a procházející 32

25 hlavním bodem H. Máme zde znázorněno i stanoviště S a hlavně oko O pozorovatele. Průčelné spáry se zobrazí jako body. Proložíme-li jimi přímky procházející okem pozorovatele, spojnice budou vlastně obrazy promítacích rovin průčelných spár. Ty protnou promítací rovinu v systému rovnoběžek, které se v tomto pohledu zobrazí také jako body. Jejich vzájemná vzdálenost je samozřejmě totožná se vzdáleností hledaných obrazů rovnoběžek. Vzdálenosti pomocí papírové mírky nebo kružítka přeneseme na boční okraje obrazu a spojíme je vodorovnými přímkami. Tak jsme získali obrazy průčelných spár a správný perspektivní obraz pavimenta. Boční pohled, který Alberti pro názornost kreslí zvlášť, potom spojuje do jednoho obrazu tak, jako by jedna z bočních stran obdélníku, do něhož zakreslujeme, byla zároveň obrazem průmětny v bokorysu a základnice obrazem základní roviny (obr. 30). OBR. 30 Po zakreslení pozorovatele a zorných paprsků získáme požadované průměty přímo v jedné straně obrazového obdélníku a můžeme přímo konstruovat rovnoběžky. Nakonec Alberti doporučuje provést kontrolu správnosti celé konstrukce zakreslením obrazu jedné diagonály tvořené úhlopříčkami obrazů čtverců pavimenta. Již víme, že pokud jsme postupovali správně, musí být obrazem takto získané diagonály opět přímka. Možná, že někoho z vás při této kontrole napadla další možná metoda konstrukce pavimenta. Stačilo by zkonstruování obrazů neprůčelných spár sbíhajících se v hlavním bodě a nalezení obrazu jedné z diagonál tvořené úhlopříčkami čtverců pavimenta. Ta protne obrazy neprůčelných spár v bodech, které jsou vrcholy hledaných obrazů čtverců pavimenta. Stačí těmito průsečíky vést horizontální přímky rovnoběžné se základnicí a celý obraz pavimenta jsme získali daleko snáz bez konstruování bočního pohledu (obr. 31). Jak ale nalézt potřebný obraz diagonály? OBR

Středové promítání. Středové promítání E ~ ~ 3. dané průmětnou r a bodem S (S r) je zobrazení prostoru...

Středové promítání. Středové promítání E ~ ~ 3. dané průmětnou r a bodem S (S r) je zobrazení prostoru... Středové promítání Středové promítání dané průmětnou r a bodem S (S r) je zobrazení prostoru... E ~ 3 (bez S) na r takové, že obrazem bodu A je bod A =SA r. rozšířená euklidovská přímka E ~ 1 E1 U E ~

Více

Lineární perspektiva

Lineární perspektiva Lineární perspektiva Mgr. Jan Šafařík Konzultace č. 4 přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 Literatura Základní literatura: Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně:

Více

5.1.2 Volné rovnoběžné promítání

5.1.2 Volné rovnoběžné promítání 5.1.2 Volné rovnoběžné promítání Předpoklady: 5101 Základní stereometrický problém: zabýváme se trojrozměrnými objekty, ale k práci používáme dvojrozměrný papír musíme najít způsob, jak trojrozměrné objekty

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE. Užití lineární perspektivy

ROČNÍKOVÁ PRÁCE. Užití lineární perspektivy Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Užití lineární perspektivy Vypracoval: Michal Černý Třída: 4. C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

NÁVOD NA VYROBENÍ PERSPEKTIVNÍ KRABIČKY

NÁVOD NA VYROBENÍ PERSPEKTIVNÍ KRABIČKY NÁVOD NA VYROBENÍ PERSPEKTIVNÍ KRABIČKY 1. PERSPEKTIVNÍ KRABIČKA Perspektivní krabička je krabička, většinou bez víka, s malým otvorem na jedné straně, uvnitř pomalovaná různými obrazci. Když se do krabičky

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umění

Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umění Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umění Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Výtvarné umění malířství, sochařství a architektura Lineární perspektiva

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Zákon odrazu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu.

Zákon odrazu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu. 1. ZÁKON ODRAZU SVĚTLA, ODRAZ SVĚTLA, ZOBRAZENÍ ZRCADLY, Dívejme se skleněnou deskou, za kterou je tmavší pozadí. Vidíme v ní vlastní obličej a současně vidíme předměty za deskou. Obojí však slaběji než

Více

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy Lineární perspektiva Lineární perspektiva je významnou aplikací středového promítání. V technické praxi se používá především k zobrazování objektů větších rozměrů, napodobuje tak lidské vidění. Ze středu

Více

11 Zobrazování objektů 3D grafiky

11 Zobrazování objektů 3D grafiky 11 Zobrazování objektů 3D grafiky Studijní cíl Tento blok je věnován základním algoritmům zobrazení 3D grafiky. Postupně budou probrány základní metody projekce kolmé promítání, rovnoběžné promítání a

Více

5.1.3 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání I

5.1.3 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání I 5.1.3 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání I Předpoklady: 5102 Pedagogická poznámka: K obrazům těles ve volném rovnoběžném promítání je možné přistoupit dvěma způsoby: Látku v podstatě přeskočit

Více

5.2.8 Zobrazení spojkou II

5.2.8 Zobrazení spojkou II 5.2.8 Zobrazení spojkou II Předpoklady: 5207 Př. 1: Najdi pomocí význačných paprsků obraz svíčky, jejíž vzdálenost od spojky je menší než její ohnisková vzdálenost. Postupujeme stejně jako v předchozích

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE PERSPEKTIVA V OBRAZECH

ROČNÍKOVÁ PRÁCE PERSPEKTIVA V OBRAZECH Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE PERSPEKTIVA V OBRAZECH Vypracovala: Hana Minaříková Třída: 8.J Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Perspektiva v obrazech

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Perspektiva v obrazech Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Perspektiva v obrazech Vypracovala: Tamara Salajová Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář : Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že

Více

VŠB-Technická univerzita Ostrava

VŠB-Technická univerzita Ostrava Úvod do promítání Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 6. 2. 2012 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Úvod do promítání 6. 2. 2012 1 / 15 osnova 1 Semestr 2 Historie 3 Úvod do promítání

Více

Sférická a Cylindrická perspektiva

Sférická a Cylindrická perspektiva Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Sférická a Cylindrická perspektiva Vypracoval: Sebastián Náse Třída: 4. C Školní rok: 2011/2012 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlášení

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

VÝVOJ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVY VE VÝTVARNÉM UMĚNÍ

VÝVOJ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVY VE VÝTVARNÉM UMĚNÍ VÝVOJ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVY VE VÝTVARNÉM UMĚNÍ PETRA SURYNKOVÁ Abstract: This contribution deals with the major development steps in using of the linear perspective in painting during the history. We describe

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Aplikace lineární perspektivy

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Aplikace lineární perspektivy Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Aplikace lineární perspektivy Vypracoval: Jiří Koucký Třída: 8. M Školní rok: 2014/2015 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji,

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Předmět poskytuje základní vědomosti o normalizaci pro zobrazování, kótování, kreslení řezů a detailů, značení materiálů výrobků na výkresech.

Předmět poskytuje základní vědomosti o normalizaci pro zobrazování, kótování, kreslení řezů a detailů, značení materiálů výrobků na výkresech. 1. ÚVOD DO PŘEDMĚTU Předmět poskytuje základní vědomosti o normalizaci pro zobrazování, kótování, kreslení řezů a detailů, značení materiálů výrobků na výkresech. Cílem je čtení, kreslení jednoduchých

Více

Rozvoj prostorové představivosti

Rozvoj prostorové představivosti Rozvoj prostorové představivosti Rozvoj prostorové představivosti začínáme již v 1. ročníku základní školy, rozvojem vnějšní a vnitřní orientace ve čtvercové síti. Vnější orientace ve čtvercové síti je

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva Vypracoval: Adam Protivanský Třída: 8.M Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlášení Prohlašuji,

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.)

pomocný bod H perspektivního obrázku zvolte 10 cm zdola a 7 cm zleva.) Teoretické řešení střech Zastřešení daného půdorysu rovinami různého spádu vázaná ptačí perspektiva Řešené úlohy Příklad: tačí perspektivě vázané na Mongeovo promítání zobrazte řešení střechy nad daným

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umění

Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umění Vývoj lineární perspektivy ve výtvarném umění RNDr. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Výtvarné umění malířství, sochařství a architektura Lineární

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení konstrukce kvádr a jejích součástí. Konstrukce kvádru

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení konstrukce kvádr a jejích součástí. Konstrukce kvádru METODICKÝ LIST DA58 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Prostorová tělesa II. - kvádr Astaloš Dušan Matematika šestý frontální,

Více

2.1 Zobrazování prostoru do roviny

2.1 Zobrazování prostoru do roviny 43 2.1 Zobrazování prostoru do roviny br. 1 o x 1,2 V běžném životě se často setkáváme s instruktážními obrázky, technickými výkresy, mapami i uměleckými obrazy. Většinou jde o zobrazení prostorových útvarů

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI

ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI Pravoúhlé rovnoběžné promítání na několik vzájemně kolmých průměten Použití pomocné průmětny Čistě ploché předměty Souměrné součásti Čistě rotační součásti

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva

ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva Vypracoval: Zdeněk Ovečka Třída: 4. C Školní rok: 2011/2012 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlášení Prohlašuji,

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

5.2.1 Odchylka přímek I

5.2.1 Odchylka přímek I 5..1 Odchylka přímek I Předpoklady: 5110 Metrické vlastnosti určování měřitelných veličin (délky a velikosti úhlů) Výhoda metrické vlastnosti jsme už určovali v planimetrii můžeme si brát inspiraci Všechny

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE

TECHNICKÁ DOKUMENTACE TECHNICKÁ DOKUMENTACE Jan Petřík 2013 Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace didaktických metod a inovace výuky technických předmětů. Obsah přednášek 1. Úvod do problematiky tvorby technické dokumentace

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

Topografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56

Topografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Topografické plochy KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Obsah 1 Úvod 2 Křivky a body na topografické ploše 3 Řez topografické plochy rovinou 4 Příčný a podélný profil KG - L (MENDELU)

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

7.ročník Optika Lom světla

7.ročník Optika Lom světla LOM SVĚTLA. ZOBRAZENÍ ČOČKAMI 1. LOM SVĚTLA NA ROVINNÉM ROZHRANÍ DVOU OPTICKÝCH PROSTŘEDÍ Sluneční světlo se od vodní hladiny částečně odráží a částečně proniká do vody. V čisté vodě jezera vidíme rostliny,

Více

Mgr. Blanka Šteindlerová

Mgr. Blanka Šteindlerová Identifikátor materiálu EU: ICT 3 42 Anotace Žák se seznámí s pojmem renesance, získá základní informace. Autor Jazyk Vzdělávací oblast Vzdělávací obor ICT =Předmět /téma Očekávaný výstup Speciální vzdělávací

Více

Perspektiva. In: Emil Kraemer (author): Perspektiva. (Czech). Praha: Přírodovědecké nakladatelství, pp

Perspektiva. In: Emil Kraemer (author): Perspektiva. (Czech). Praha: Přírodovědecké nakladatelství, pp Perspektiva Úvod In: Emil Kraemer (author): Perspektiva. (Czech). Praha: Přírodovědecké nakladatelství, 1951. pp. 7 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402924 Terms of use: Jednota českých matematiků

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení konstrukce krychle a jejích součástí. Konstrukce krychle

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení konstrukce krychle a jejích součástí. Konstrukce krychle METODICKÝ LIST DA57 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Prostorová tělesa I. - krychle Astaloš Dušan Matematika šestý frontální,

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

12. VYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV

12. VYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV 12. VYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV Geometrie je specifickou oblastí matematiky, která může být pro děti, které mají poruchy v oblasti numerace a operací s přirozenými čísly, záchranou. Učitel sleduje

Více

2.1.7 Zrcadlo I. Předpoklady: Pomůcky: zrcadla, laser, rozprašovač, bílý a černý papír, velký úhloměr

2.1.7 Zrcadlo I. Předpoklady: Pomůcky: zrcadla, laser, rozprašovač, bílý a černý papír, velký úhloměr 2.1.7 Zrcadlo I ředpoklady: 020106 omůcky: zrcadla, laser, rozprašovač, bílý a černý papír, velký úhloměr edagogická poznámka: K pokusům používám obyčejné velké, které si beru z pánských záchodů, aby bylo

Více

Tvorba technická dokumentace

Tvorba technická dokumentace Tvorba technická dokumentace Základy zobrazování na technických výkresech Zobrazování na technických výkresech se provádí dle normy ČSN 01 3121. Promítací metoda - je soubor pravidel, pro dvourozměrné

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

Lidé a jejich míry Kánon lidské postavy podle Leonarda da V. kresba tužkou Leonardo da V. video (dokument BBC) beseda

Lidé a jejich míry Kánon lidské postavy podle Leonarda da V. kresba tužkou Leonardo da V. video (dokument BBC) beseda smyslové citlivosti IX. Lidé a jejich míry Kánon lidské postavy podle Leonarda da V. kresba tužkou Leonardo da V. video (dokument BBC) beseda Odvodí na živém modelu základní proporce lidské postavy. Zjistí

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Zobrazení čočkou

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Zobrazení čočkou Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zobrazení čočkou Čočky, stejně jako zrcadla, patří pro mnohé z nás do běžného života. Někdo nosí brýle, jiný

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

Zobrazení prostoru a optické iluze

Zobrazení prostoru a optické iluze Zobrazení prostoru a optické iluze Perspektiva - definice Perspektiva je geometrická transformace, spočívající v projekci trojrozměrného prostoru do prostoru dvojrozměrného (do rovné plochy) podle určitých

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

Název. Řešení střech. Jméno a ová adresa autora. Obsah. Pomůcky. Poznámky

Název. Řešení střech. Jméno a  ová adresa autora. Obsah. Pomůcky. Poznámky Název Tematický celek Jméno a e-mailová adresa autora Cíle Obsah Pomůcky Poznámky Řešení střech Geometrie Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová josef.molnar@upol.cz Rozvíjet prostorovou představivost,

Více

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II

5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II 5.1.4 Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání II Předpoklady: 5103 tejně jako minule začneme opakováním pravidel. Pravidla uvádíme od nejvíce a nejsnáze používaných k méně a hůře použitelným. Útvary

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Další servery s elektronickým obsahem

Další servery s elektronickým obsahem Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202 5.2.3 Duté zrcadlo I Předpoklady: 520, 5202 Dva druhy dutých zrcadel: Kulové zrcadlo = odrazivá plocha zrcadla je částí kulové plochy snazší výroba, ale horší zobrazení (pro přesné zobrazení musíme použít

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Popis výukového materiálu

Popis výukového materiálu Popis výukového materiálu Číslo šablony III/2 Číslo materiálu VY_32_INOVACE_TD.21.1 Autor Petr Škapa Datum vytvoření 01.09.2013 Předmět, ročník Tematický celek Téma Druh učebního materiálu Anotace (metodický

Více

Zrak II. - Slepá skvrna, zrakové iluze a klamy

Zrak II. - Slepá skvrna, zrakové iluze a klamy I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Pracovní list č. 18 Zrak II. - Slepá skvrna, zrakové

Více

Další polohové úlohy

Další polohové úlohy 5.1.16 alší polohové úlohy Předpoklady: 5115 Průniky přímky s tělesem Př. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj průnik přímky s krychlí pokud platí: leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, =. Příklad

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více