Počítačová simulace a analýza vybraných frontových systémů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Počítačová simulace a analýza vybraných frontových systémů"

Transkript

1 Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Počítačová simulace a analýza vybraných frontových systémů BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vypracovala: Vedoucí práce: Markéta Temkovičová RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Studijní program: Studijní obor: Aplikovaná informatika Informační systémy ÚSTÍ NAD LABEM 2014

2

3 zde vložte zadání!!!

4

5 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a použila jen pramenů, které cituji a uvádím v přiloženém seznamu literatury. Byla jsem seznámena s tím, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona c. 121/2000 Sb., ve znění zákona c. 81/2005 Sb., autorský zákon, zejména se skutečností, že Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona, a s tím, že pokud dojde k užití této práce mnou nebo bude poskytnuta licence o užití jinému subjektu, je Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem oprávněna ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, které na vytvoření díla vynaložila, a to podle okolností až do jejich skutečné výše. V Teplicích dne 30. dubna 2014 Podpis:

6

7 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucímu práce RNDr. Jiřímu Škvorovi, Ph.D. za neocenitelné rady, věcné připomínky, nápady, trpělivost a pomoc při tvorbě této bakalářské práce. Dále bych také chtěla poděkovat svým kamarádům za jejich rady při řešení některých problémů, které se vyskytly během zpracovávání této práce.

8

9 Abstrakt Tématem předložené práce jsou vybrané kapitoly z teorie front, která nachází uplatnění při řešení řady manažerských i technických úloh. Díky technickému pokroku se počítačové simulace frontových systémů stávají stále vyhledávanějším nástrojem pro tyto typy úloh. V úvodní části práce je prezentována rešerše systémů hromadné obsluhy a existujícího programového vybavení. V praktické části práce jsou představeny vybrané modely, jejich programová implementace a statistická analýza simulačních dat. Porovnání těchto dat s teoretickým předpokladem poukázalo na správnou funkčnost aplikací přiložených na CD. Za hlavní praktický přínos práce lze pokládat případovou studii provedenou pro pobočku České pošty v Ústí nad Labem. Na základě analýzy poskytnutých dat bylo provedeno zhodnocení celého systému včetně jeho nedostatků. Klíčová slova: Markovovy řetězce, stochastické modelování, systémy hromadné obsluhy, Kendallova klasifikace Abstract The thesis is focused on selected chapters from queuing theory, which can be applied for solving various managerial or technical problems. Due to the technological progress, computer simulations of queueing systems are constantly becoming sought-after tool for these tasks. The research of queueing systems and existing software is presented in the introductory part of the thesis. The practical part introduces selected models, their software implementations and the statistical analysis of simulation data. The comparison between these data and theoretical assumptions pointed to the correct functionality of applications on the enclosed CD. As the main contribution of the thesis can be considered the case study performed for the branch of Czech Post in Ústí nad Labem. Based on the analysis of the data provided, an evaluation of the entire system was executed, including its imperfections. Key words: Markov chains, stochastic modelling, queueing systems, Kendall classification

10

11 Obsah Úvod Teoretická část Stochastické modely Markovovy řetězce Poissonův proces Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti Statistická analýza Popisná statistika Matematická statistika Systémy hromadné obsluhy Charakteristika SHO Kendallova klasifikace SHO Jednotlivé modely SHO Exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/ Exponenciální model vícenásobné obsluhy M/M/c Model M/D/ Model D/M/ Model jednoduché obsluhy s omezenou kapacitou M/M/1/K Uzavřený exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/1/./N Exponenciální model vícenás. obsluhy s omezenou kapacitou M/M/c/K Optimalizace SHO Generování náhodných čísel a simulace metodou Monte Carlo Simulační software Simul Witness Arena Free software Simulace vybraných modelů systémů hromadné obsluhy Simulace modelu M/M/ Simulace modelu M/D/ Simulace modelu D/M/ Simulace modelu M/M/c

12 Obsah 2.5. Simulace modelu M/M/1/K Simulace modelu M/M/c/K Simulace modelu M/M/1/./N Případová studie Analýza příchodu zákazníků Test dobré shody na Poissonovo rozložení Test dobré shody na exponenciální rozdělení Další hypotézy Analýza využití služeb Analýza obsluhy Test rozdělení doby obsluhy Čekání ve frontě Analýza přepážek Výsledky analýzy Závěr 77 Seznam obrázků 81 Seznam tabulek 84 A. Obsah přiloženého CD 85 12

13 Úvod Tématem této bakalářské práce je analýza a modelování systému hromadné obsluhy. Se systémy hromadné obsluhy se setkáváme v každodenním životě neustále. Čekáme v bankách, na úřadech nebo na světelných křižovatkách. Každý z nás si někdy položil otázku, proč v tom supermarketu mají tolik pokladen, ale obsluhuje jen část z nich. Pro zákazníka by bylo přeci výhodnější, kdyby obsluhovalo více pokladen, nejlépe všechny. To však nemusí platit pro provozovatele, který má na situaci zcela jiný pohled. Pro něj je nejdůležitější, aby měl co největší zisky, tedy co největší počet obsloužených zákazníků, ale zároveň se snaží dostat provozní náklady na minimum. Proto je nutné systémy hromadné obsluhy navrhnout tak, aby vyhovoval oběma stranám. U jednoduchých modelů můžeme využívat i analytické řešení. To spočívá v tom, že na základě známých vstupních parametrů modelu odhadneme pomocí teorie pravděpodobnosti jeho charakteristiky, které nás zajímají (např. průměrnou čekací dobu ve frontě). Při analýze chování složitějších systémů se neobejdeme bez simulace. V simulačních modelech můžeme zkoumat, jak se systém bude v čase vyvíjet, a lze tak navrhnout optimální řešení bez potřeby testovat chod systému v reálném experimentu. Teoreticky se touto problematikou zabývá teorie front. Jako cíle práce si klademe následující body: provést rešerši modelů systémů hromadné obsluhy vybrané modely naprogramovat testovat funkčnost těchto programů analýzou vybraných charakteristik daných modelů ve smyslu porovnání simulačních dat s analytickým řešením v rámci testování demonstrovat chování daných modelů prostřednictvím řešení modelových úloh realizovat případovou studii pro reálný systém provést statistickou analýzu dat zhodnotit chování daného systému V úvodní části práce jsou představeny základní poznatky o stochastických modelech, některých speciálních náhodných procesech a jsou v ní popsány obecné vlastnosti systémů 13

14 Úvod hromadné obsluhy. Dále jsou popsány jednotlivé modely se svými charakteristikami, je nastíněna problematika optimalizace těchto systémů a je provedena rešerše existujícího programového vybavení. V praktické části je práce zaměřena na simulaci jednotlivých modelů a jejich analýzu. V poslední části práce je provedena analýza časového pokrytí přepážek a služeb spolu s hodnocením vyvolávacího systému na pobočce České pošty, s.p., jakožto složitého systému hromadné obsluhy. 14

15 1. Teoretická část 1.1. Stochastické modely Stochastické modely jsou založeny na teorii pravděpodobnosti - rozsáhlé matematické disciplíně, jejíž hlavním cílem je studium zákonů popisujících náhodu. Základním pojmem, s kterým pracuje teorie pravděpodobnosti, je pravděpodobnostní prostor. Dalším důležitým pojmem je náhodná veličina (též nazývaná náhodná proměnná či stochastická veličina). Se zkoumáním množiny těchto náhodných veličin souvisí pojem náhodný proces. Obecně lze náhodný proces definovat jako množinu náhodných veličin, závislých na určitém počtu parametrů. [1] Pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) představuje trojici pojmů [1]: Ω neprázdná množina, tzv. prostor elementárních jevů A systém vytvořený z podmnožin prostoru elementárních jevů Ω, tzv. systém náhodných jevů P normovaná míra definovaná na A, tzv. pravděpodobnostní míra (pravděpodobnost) Náhodná veličina X je veličina [1], která může obecně nabývat více hodnot {x}, a to každou s nějakou pravděpodobností. Jakou hodnotu z {x} náhodná veličina X bude mít, je ovlivněno náhodnými vlivy. Stochastický proces X = {X (t), t T } je soubor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Tedy pro každé t z indexové množiny T je X (t) náhodná veličina. Obvykle t označuje čas. Každá realizace náhodného procesu X se nazývá trajektorie. X (t) popisuje stav procesu v čase t. Stochastickým procesem můžeme obecně rozumět posloupnost náhodných proměnných. [2] Definiční obor T definovaného stochastické procesu budeme chápat jako množinu časových okamžiků (časových indexů). Na základě charakteru této množiny lze rozdělit stochastické procesy na dva typy. Jestliže je množina T konečnou nebo spočetnou množinou, mlu- 15

16 1. Teoretická část víme o tzv. stochastickém procesu s diskrétním časem. V případě, kdy definiční obor T je nespočetnou množinou, se jedná o stochastické procesy se spojitým časem. Stochastické procesy můžeme rozdělit dle charakteru stavového prostoru, neboli oboru hodnot stochastického procesu, na dva typy. Stavově diskrétním stochastickým procesem se rozumí proces, jehož obor hodnot je spočetná (diskrétní) množina, v opačném případě se jedná o stavově spojitý stochastický proces. [3] 1.2. Markovovy řetězce Markovovy řetězce jsou speciálním případem stochastických procesů. Markovovým řetězcem (nebo též markovský řetězec) nazveme takový stochastický proces, kde výskyt stavu v určitém časovém okamžiku t T je závislý pouze na předchozím časovém okamžiku (t 1) T a zároveň je množina T diskrétní. Jestliže je množina T spojitá, hovoří se o Markovově procesu se spojitým časem. Tyto dva procesy jsou užitečným nástrojem pro zkoumání stochastických systémů, tedy i pro systémy hromadné obsluhy. Definice: [4] Uvažujme o stochastickém procesu {X n,n = 0,1,2,...} se spočetnou nebo konečnou množinou hodnot. 1 Jestliže X n = i, pak se proces nachází ve stavu i v čase n. Předpokládáme, že pokud je proces ve stavu i, tak se s určitou pravděpodobností P i j dostane do stavu j : P{X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 } = P i j (1.1) pro všechny stavy i 0,i 1,...,i n 1,i, j a pro všechna n 0. Takovýto stochastický proces nazveme Markovovým řetězcem. Hodnota P i j vyjadřuje pravděpodobnost toho, že se proces ze stavu i dostane do stavu j. Vzhledem k tomu, že pravděpodobnosti jsou nezáporné a proces musí provést přechod do nějakého stavu tak platí: Poznámky: [1] P i j 0, i, j 0; P i j = 1, i = 0,1,... j =0 okamžik (n 1), ve kterém nastal stav X n 1 = i a v němž se stochastický proces ted nachází, představuje současnost okamžiky (n 2),...,1, ve kterých nastaly stavy X n 2 = k,..., X 1 a jimiž proces prošel, představují minulost okamžik 0 je okamžikem startu pro proces, a to z počátečního stavu X 0 = m, patří do minulosti 1 Pokud není uvedeno jinak, rozumíme tím množinu nezáporných celých čísel. 16

17 1. Teoretická část okamžik n představuje budoucnost pro proces, a to bezprostředně následnou budoucnost, ve která nastane stav X n = j právě podle uvedené podmíněné pravděpodobnosti Markovovův řetězec je diskrétní náhodná posloupnost, u které výskyt stavu v bezprostředně následné budoucnosti dané podmíněnou pravděpodobností závisí na stavu, ve kterém se tento stochastický proces nalézá v současnosti podmíněná pravděpodobnost výskytu stavu j v okamžiku n závisí jen na stavu, který se vyskytuje v okamžiku (n-1), neboli nezávisí na tom, ve kterých stavech proces byl v krocích předcházejících můžeme tedy říct, že Markovovův řetězec udává budoucnost jen na základě současnosti a nezná minulost podmíněná pravděpodobnost splňuje Markovovu podmínku (vlastnost), když platí: Je-li Markovovův řetězec ve stavu n, tak jeho budoucí vývoj stavů je určen pouze jeho okamžitým stavem n a nezáleží na tom, jak se do tohoto stavu dostal. [3] 1.3. Poissonův proces Poissonův proces je speciální stochastický proces, při němž jsou změny možné pouze přechodem do nejblíže vyššího stavu. Za určitých předpokladů vyjadřuje například pravděpodobnost jistého počtu událostí, které se odehrají během fixního časového intervalu, známeli intenzitu výskytů těchto událostí a je-li tento počet nezávislý na délce časového intervalu. V praxi vyvstává také při zkoumání takzvaných poissonovských procesů a modeluje množství přirozených jevů, které za určitých předpokladů nastávají vícekrát během jistého časového intervalu, nebo prostorového výseku. Může se jednat například o počet klientů, kteří přijdou do banky za den nebo počet přístupů k webovému serveru za hodinu. [5] Definice: Uvažujme událost, která se vyskytuje v krátkém čase (t; t + t) (např. počet přístupů k danému serveru za nějaký časový okamžik). V časovém intervalu (t; t + t) nastane právě jedna událost s pravděpodobností λ t + o( t) a více než jedna s pravděpodobností o( t) nezávisle na t a na počtu událostí nastalých v intervalu (0; t). Necht náhodná veličina X t je počet výskytu určitých událostí (např. počet přístupů) v časovém intervalu (0; t), pak {X t } t 0 je spočetný Markovovův proces s množinou stavů S = {0,1,2,...} a s počátečním rozdělením p 0 (0) = 1 a p i (0) = 0 pro stav i 0. Poissonův proces představuje například příchody zákazníků do nějakého systému obsluhy, tok poruch zařízení atd. [3] Pro Poissonův proces jsou charakteristické následující znaky: 1. Nezávislost počet jevů připadající na určitý časový interval nezávisí na počtu jevů v libovolném jiném časovém intervalu. 17

18 1. Teoretická část 2. Intenzity pravděpodobnosti přechodu (nezávisí na čase) µ i j = λ pro j = i + 1 µ i j = 0 pro j i,i + 1 µ i j = λ pro j = i (1.2) 3. Při dostatečně malém a konstantní hodnotě λ se pravděpodobnosti přechodu ze stavu n do stavu n + 1 v intervalu (t; t + t) rovnají p n,n+1 (t; t + t) = λ t + o( t) (1.3) Pro pravděpodobnost setrvání ve stejném stavu v časovém intervalu (t; t + t) platí p n,n (t; t + t) = 1 λ t + o( t) (1.4) Pravděpodobnost ostatních přechodů je v porovnání s předešlými zanedbatelná a je j =i+2 p i j (t + t) = o( t) (1.5) 1.4. Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti Řekneme, že diskrétní náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení [6] s parametrem λ > 0, nabývá-li hodnot k = 0, 1, 2,..., každou z nich s pravděpodobností Distribuční funkce je λ λk f k = P(X = k) = e k! k = 0,1,2,... (1.6) F (x) = f k (1.7) k<x Střední hodnota náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením je E(x) = λ (1.8) a rozptyl D 2 (X ) je D 2 (X ) = λ (1.9) Hustota spojité náhodné veličiny X s exponenciálním rozdělením s parametrem λ > 0, je dána předpisem: 0 prox 0 f (x) = (1.10) λ e λ(x) prox > 0 18

19 1. Teoretická část Distribuční funkce F je dána vztahem F (x) = 0 prox 0 1 e λ(x) prox 0 (1.11) Střední hodnota je: E(X ) = 1 λ (1.12) rozptyl je pak roven D 2 (X ) = 1 λ 2 (1.13) Tato dvě rozdělení se v systémech hromadné obsluhy vyskytují nejčastěji. Pro další podrobnosti a jiná rozdělení je možno nahlédnout například do kapitoly 3 v [6] Statistická analýza Popisná statistika Popisná statistika se zabývá popisem stavu nebo vývojem hromadných jevů. Nejprve se vymezí soubor prvků, na nichž se bude uvažovaný jev zkoumat. Následně se všechny prvky vyšetří z hlediska studovaného jevu. Výsledky šetření, vyjádřeny především číselným popisem, tvoří obraz studovaného hromadného jevu vzhledem k vyšetřovanému souboru. Pro zpracování velkého množství dat je vhodné využívat nástroje popisné statistiky. Především se jedná o grafy četností, histogramy, tabulky a číselné charakteristiky, například průměr a rozptyl. Četnosti dělíme na absolutní a relativní. Absolutní četnosti udávají počet výskytů daného prvku a jejich součet je roven počtu dat. Relativní četnosti odkazují na relativní zastoupení prvku vzhledem k celkovému množství dat (tj. jedná se o četnosti prvků dělených počtem dat), suma těchto četností je rovna jedné. Histogram je sloupcový graf, kde se na vodorovné ose x vyskytují tzv. třídy (intervaly), do kterých třídíme data a na svislé ose y zachycuje četnosti výskytů prvků. Takovýto graf znázorňuje rozložení dané veličiny Matematická statistika Máme-li statisticky zpracovat velký soubor existujících, resp. možných výsledků nějakého náhodného pokusu (pro nějž přijmeme nějaký pravděpodobnostní model), zjistíme poměry 19

20 1. Teoretická část jen v relativně malé části souboru výsledků, tzv. výběrovém souboru, a získanou informaci zobecníme na původní velký soubor.[7] Jednou z důležitých statistik je výběrový průměr: X = 1 n n x i i=1 Testování statistických hypotéz Pro srovnání získaných dat s předpoklady slouží mimo jiné statistické hypotézy a jejich testování. Postup je následující: 1. stanovení nulové a alternativní hypotézy, 2. provedení náhodného výběru, 3. zvolení hladiny významnosti α, která udává pravděpodobnost, že nesprávně zamítneme nulovou hypotézu (tzv. chyba prvního druhu), 4. volba testovacího kritéria, 5. výpočet hodnoty testovacího kritéria, 6. určení kritické hodnoty testovacího kritéria, 7. rozhodnutí zamítnutí či nezamítnutí nulové hypotézy Pro další statistické metody je možno nahlédnout do odborné literatury, například do [6] nebo [7] Systémy hromadné obsluhy Systémem hromadné obsluhy (SHO) můžeme obecně chápat takový systém, ve kterém existují jistá zařízení (kanály), na kterých dochází k obsluze vstupního proudu požadavků (zákazníků) vstupujících do systému v náhodných okamžicích (tzv. stochastický vstupní proud). Možnosti obsluhy mohou být omezeny, např. počtem kanálů, dochází tak k hromadění požadavků. Následně se bud tvoří fronty požadavků nebo požadavek odejde ze systému bez obsloužení (rezignuje na obsluhu).[1] Místo pojmu teorie hromadné obsluhy se lze setkat s pojmem teorie front. Protože existují i systémy hromadné obsluhy, které frontu neobsahují, je první termín obecnější. Teorie hromadné obsluhy si klade za cíl analýzu a následnou optimalizaci SHO s ohledem na jeho efektivní fungování, tzn. aby se před obslužnými linkami nevytvářely příliš velké fronty čekajících požadavků a na druhé straně nedocházelo k neefektivním prostojům při práci obslužných linek. [8] Se systémy hromadné obsluhy se setkáváme denně v běžném životě. Typickými příklady jsou zákazníci v supermarketech čekající u pokladen, světelná signalizace 20

21 1. Teoretická část na křižovatce, či komunikace počítačů po síti poslání paketu a čekání paketu na volný komunikační kanál. Obrázek 1.1.: Schéma základních pojmů systému hromadné obsluhy (vlastní zpracování) Charakteristika SHO Základní pojmy Základními prvky, které charakterizují SHO jsou (viz také obr. 1.1): [1] Vstupní proud požadavků intenzita vstupu požadavků společně s intenzitou jejich obsluhy určují základní charakteristiky SHO. Nejjednodušší modely předpokládají, že vstupní proud charakterizovaný počtem požadavků vstupujících do systému za jistý časový interval vyhovuje Poissonově procesu. Exponenciální systém je takový systém, u kterého platí tvrzení: Mají-li počty požadavků, které vstupují do SHO během doby t Poissonovo rozdělení, pak mají doby mezi dvěma po sobě následujícími vstupujícími požadavky (chápané jako náhodné veličiny) exponenciální rozdělení. Vstupní proud může být popsán i jinými procesy, u nichž doby mezi příchody dvou následných požadavků mají jiná rozdělení. Zdroje požadavků určují, zda se jedná o systém otevřený či uzavřený. Jestliže máme neomezený zdroj požadavků, jedná se o systém otevřený. Uzavřený systém má zdroje s konečným resp. omezeným počtem požadavků. V praxi považujeme za otevřený systém i takový případ, kdy jsou zdroje v principu omezené, avšak nelze přesně určit, kolik požadavků z takového zdroje bude požadovat obsluhu. Fronta - množina čekajících požadavků na obsluhu. Doba obsluhy - neboli intenzita obsluhy. Nejjednodušší modely opět předpokládají dobu obsluhy za náhodnou veličinu s exponenciální rozdělením. Existují i modely SHO s dobou obsluhy řídící se jinými rozděleními. 21

22 1. Teoretická část Disciplína čekání ve frontě typ chování požadavků po nějaké době čekání ve frontě. Nejjednodušším typem je trpělivé čekání na obsluhu, tedy čekání s nekonečnou mírou trpělivosti. Jestliže nejsou z jakéhokoli důvodu obslouženy všechny požadavky, pak v SHO vznikají ztráty. Důvodem může být netrpělivost požadavků na obsluhu nebo omezený počet míst v SHO, a to bud celkový v systému nebo ve frontě. Speciálním případem jsou systémy bez čekání. Pokud je obsluha plně obsazena, tak požadavek do systému ani nevstoupí. Režim fronty určuje typ řazení požadavků do fronty. FIFO First In, First Out nejčastější výskyt, založena na principu "kdo dřív přijde, ten bude dříve obsloužen." LIFO Last In, First Out první bude obsloužen požadavek, který přišel do systému jako poslední. SIRO Selection In Random Order dochází k náhodnému výběru požadavků na obsluhu. PRIO Priority obsluha řízená prioritou požadavků. Priorita může být absolutní nebo relativní. Absolutní priorita znamená, že požadavek je obsloužen okamžitě, bez ohledu na eventuální probíhající obsluhu jiného požadavku, zatímco relativní může mít obecně i několik stupňů, umožňuje nastoupit obsluhu jakmile se uvolní nějaké místo v obsluze. Pokud známe prioritu požadavku před vstupem do SHO, pak jde o tzv. apriorní prioritu. Jestliže je priorita stanovena během čekání na obsluhu, mluvíme o aposteriorní prioritě. Režimy SIRO a PRIO jsou systémy s neuspořádanou frontou. Režim obsluhy popisuje uspořádání a počet obslužných míst. V nejjednodušším případě je jen jedno uspořádání. Podle počtu obslužných míst se rozlišují SHO na tzv. jednokanálové (s jednoduchou) a vícekanálové (s vícenásobnou obsluhou), popř. adaptabilní, u kterých je počet aktivních obslužných míst určován během fungování SHO, např. délkou fronty. Podle uspořádání se rozlišují paralelně nebo sériově uspořádané obsluhy. U paralelních systémů se předpokládá, že každé místo je stejné jako jiné v témže systému, tzn. každé místo je schopné plně poskytnout požadovanou obsluhu, zatímco sériové uspořádání vzniká u tzv. vícefázové obsluhy, kdy požadavek může či dokonce musí projít jednotlivými fázemi obsluhy v nějakém pořadí Kendallova klasifikace SHO V roce 1951 vytvořil D. G. Kendall klasifikaci pro jednotný systematický popis systémů hromadné obsluhy a jejich roztřídění. Klasifikace má ve zkratce zakódované základní informace o systému hromadné obsluhy. Obvykle se uvádějí tři typy standardního označování SHO - 22

23 1. Teoretická část Obrázek 1.2.: SHO s paralelním uspořádáním obslužných linek a netrpělivostí zákazníků, zdroj [9] tří-, pěti- a šestisymbolové. Tří- a pětisymbolové jsou jen zvláštními případy šestisymbolového značení. A/B/C/D/E/F A charakterizuje vstupní tok, označuje rozdělení intervalů mezi příchody požadavků, B charakterizuje pravděpodobnostní rozdělení dob trvání obsluhy Symboly A a B mohou nabývat různých znakových hodnot: D deterministický proud vstupních požadavků, tj. příchody jsou konstantní, M exponenciální rozdělení mající Markovovu vlastnost, E k Erlangovo k-fázové rozdělení, G obecné rozdělení, doba mezi příchody je dána svou distribuční funkcí, C počet paralelně uspořádaných obslužných míst, D kapacita, tj. celkový počet míst v systému (není-li řečeno jinak, předpokládáme, tedy neomezenou kapacitu), E početnost zdroje požadavků, není-li dána, předpokládá se, že je a jde o tzv. otevřený systém, v opačném případě, je-li dána konečným číslem, pak jde o uzavřený (cyklický) systém, F režim fronty Nejjednodušším označením je třísymbolové A/B/C a nejjednodušším stochastickým modelem je M/M/1 (viz. kapitola 1.7.1). Jestliže nejsou uvedeny další symboly, předpokládá se, že D a E jsou a F charakterizuje FIFO, tj. přirozené pořadí. [1] 23

24 1. Teoretická část 1.7. Jednotlivé modely SHO V této kapitole jsou převzaté a upravené vztahy podle [1, 12, 13]. Pro popis jednoduchých modelů systémů hromadné obsluhy nám postačí následující základní charakteristiky: 1. λ (intenzita vstupního procesu, tj. průměrný počet vstupujících požadavků za jednotku času), resp. 1 λ (průměrná délka časového intervalu mezi vstupy požadavků) 2. µ (intenzita obsluhy, tj. průměrný počet požadavků, které mohou být obslouženy za jednotku času), resp. 1 (průměrný čas strávený požadavkem v obsluze) µ Níže uvedená tabulka zavádí značení dalších základních charakteristik a vztahů mezi nimi za obvykle splněných podmínek. průměrný čas strávený požadavkem počet požadavků v obsluze T o = 1 µ N o = λt o ve frontě T f N f = λt f v systému T s = T o + T f N s = λt s = N o + N f Tabulka 1.1.: Vztahy mezi některými charakteristikami systémů hromadné obsluhy. Pravděpodobnost, že v systému není žádný požadavek označme p 0 (resp. pravděpodobnosti p n vyjadřují, že v systému je právě n požadavků). Jestliže limitní (čas t ) neboli stacionární pravděpodobnost p 0 existuje a je konečná, pak říkáme, že je splněna podmínka stabilizace systému a systém se tak nezahlcuje čekajícími požadavky. V odborné literatuře zabývající se pravděpodobnostními modely nebo teorií front je možno najít různé vztahy (např. pro průměrný počet požadavků v systému) a jejich analytické odvození Exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/1 Systém M/M/1 je základní a také nejdůležitější model systémů hromadné obsluhy, který se často využívá ve srovnání s modely ostatními. Jedná se zároveň o nejjednodušší a nejobecnější model SHO, kde rozdělení dob mezi příchody a dob obsluhy mají charakter exponenciálního rozdělení. Jedná se o otevřený systém, tzn. zdroj požadavků je neomezený. Velikost fronty není nijak omezena a zároveň všechny požadavky trpělivě čekají ve frontě na obsluhu, i když nedostačuje kapacita systému. Požadavky do systému vstupují v přirozeném pořadí, tzn. systém pracuje v režimu FIFO. Podmínka stabilizace systému má tvar λ < µ. Označíme-li podíl λ jako intenzitu provozu ρ, µ 24

25 1. Teoretická část Obrázek 1.3.: Exponenciální model M/M/1 lze podmínku stabilizace systému vyjádřit ve tvaru ρ < 1 (1.14) Potom platí p 0 = 1 ρ (1.15) a λ T f = (1.16) µ(µ λ) K výpočtům některých dalších užitečných veličin lze snadno použít vztahy v tabulce Exponenciální model vícenásobné obsluhy M/M/c Jedná se o model s paralelně uspořádanými kanály. U takového modelu předpokládáme[8]: v systému se nachází c stejných obslužných kanálů intervaly mezi příchody požadavků lze popsat exponenciálním rozdělením s parametrem λ doba obsluhy na každém kanálu je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem µ systém má neomezenou kapacitu, neomezený zdroj požadavků a funguje v režimu FIFO požadavky mají nekonečnou trpělivost, tzn. čekají ve frontě až do momentu obsloužení Celková intenzita provozu celého systému je rovna výrazu λ. Tato charakteristika představuje zároveň průměrné využití všech obslužných kanálů v systému. Aby fronta neomezeně cµ nenarůstala nad všechny meze, je potřeba splnit podmínku stabilizace systému, podobně jako u jednoduchého exponenciálního modelu. V tomto případě musí platit: cµ > λ, tedy: λ cµ = ρ c < 1 (1.17) 25

26 1. Teoretická část Obrázek 1.4.: Přechodový graf systému M/M/c, převzato z [12, str.419] Potom platí a p 0 = ( c 1 i=0 ρ i T f = p 0 λ i! + ρc c! ( ρ ) c+1 c c! 1 1 ρ c c c ( 1 ρ c ) 1 (1.18) ) 2 (1.19) Model M/D/1 Jedná se o jednoduchý model, kde intervaly mezi příchody požadavků pocházejí z exponenciální rozdělení a doba obsluhy je dána deterministicky, tedy je pro všechny požadavky stejná. Podmínka stabilizace systému má tvar ρ = λ µ < 1 (1.20) Potom platí p 0 = 1 ρ (1.21) a λ T f = 2µ(µ λ) (1.22) Model D/M/1 V tomto modelu jsou intervaly mezi příchody požadavků do systému konstantní, tj. mají deterministický charakter. Podmínka stabilizace systému má tvar ρ = λ µ < 1 (1.23) Potom platí p 0 = 1 ρ (1.24) 26

27 1. Teoretická část a x T f = µ(1 x) kde x je kořen rovnice ( ) x 1 x = exp ρ hledaný na intervalu ( 0,1 + ρ lnρ ), kde ρ (0,1). (1.25) (1.26) Model jednoduché obsluhy s omezenou kapacitou M/M/1/K V tomto případě se jedná o exponenciální model s jedním kanálem obsluhy a omezenou kapacitou požadavků v systému. Jejich maximální počet je roven číslu K, z toho jeden požadavek je obsluhován a ve frontě je maximálně (K 1) požadavků. V případě, že se do plně obsazeného systému snaží dostat další požadavek, je odmítnut a dochází ke ztrátám. Systém je stabilní pro libovolné kladné λ a µ, což platí pro jakýkoli systém s omezenou kapacitou systému, protože se nemůže zahltit čekajícími požadavky. Opět označíme ρ = λ µ. Potom platí, že 1 ρ pro ρ 1 1 ρ p 0 = K +1 (1.27) 1 pro ρ = 1 K +1 a Dále platí, že N f = p n = p 0 ρ n ρ 2 (1 ρ K ) (1 ρ)k ρ K +1 (1 ρ)(1 ρ K +1 ) pro ρ 1 K (K 1) 2(K +1) pro ρ = 1 (1.28) Nezapomínejme, že v tomto modelu s omezenou kapacitou se nám vyskytují dvě intenzity příchodů, poněvadž požadavku, který se snaží vstoupit do systému v době, kdy je naplněna jeho kapacita K, není dovoleno vstoupit. λ značí intenzitu, s jakou se požadavky do systému snaží vstoupit, λ pak označuje intenzitu, s jakou požadavky do systému skutečně vstupují. Platí, že λ = λ(1 p K ) Ve vztazích v tabulce 1.1 je třeba dosazovat intenzitu skutečných příchodů do systému, tedy λ. Jednoduchý exponenciální model M/M/1/1 Jedná se o speciální případ systému M/M/1/K, kde k = 1. V takovém systému neexistuje fronta a vyskytuje se v něm maximálně jeden požadavek, a to v obslužném kanále. Pro popis SHO slouží také tzv. graf přechodů mezi stavy systému. Za stav systému považujeme počet 27

28 1. Teoretická část požadavků nacházejících se v daném okamžiku v systému. Příchod nového požadavku zvýší počet požadavků o jeden a realizuje přechod systému do vyššího stavu. Naopak ukončení obsluhy snižuje počet požadavků v systému a představuje přechod do nižšího stavu SHO. Jinak SHO zůstává v aktuálním stavu. Graf přechodů v tomto systému obsahuje pouze dva stavy - prázdný systém (stav 0) nebo obsazený obslužný kanál (stav 1).[11] Obrázek 1.5.: Graf přechodů systému M/M/1/1, zdroj: [11, str. 57] Graf přechodů je charakterizován maticí přechodů P (t, t + ( t)). P(t, t + ( t)) = 1 λ t µ t λ t 1 µ t S využitím této matice lze odvodit například rozložení pravděpodobností stavů SHO pro libovolný čas, matici intenzity přechodů nebo pravděpodobnost odmítnutí. Více například v [11, str. 57] Uzavřený exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/1/./N V tomto modelu charakterizuje N maximální počet požadavků ve zdroji vstupních požadavků. Po ukončení obsluhy požadavky systém opouštějí a stávají se znovu prvky množiny potenciálních požadavků ve zdroji, jde tedy o uzavřený (cyklický) SHO. Intenzita obsluhy v tomto případě ovlivňuje intenzitu vstupů požadavků. V rámci uzavřeného systému není velikost fronty omezena a všechny požadavky v ní trpělivě čekají na obsluhu, i když nedostačuje kapacita obslužné linky. V tomto modelu se tedy celkově nachází N požadavků, z nichž každý je bud v systému (čeká na obsluhu, nebo je obsluhován), nebo mimo něj (ve zdroji vstupních požadavků). λ je v tomto případě parametr exponenciálního rozdělení, ze kterého pochází časové intervaly, po kterou je každý z požadavků mimo systém. Opět tedy platí, že toto λ není tím ve vztazích v tabulce 1.1. Namísto něj je tak třeba dosazovat λ, které má požadovaný význam 28

29 1. Teoretická část průměrného počtu vstupujících požadavků za jednotku času a pro které platí λ = µ(1 p 0 ) kde ( ) N ρ i 1 N! p 0 = (1.29) (N i )! i=0 přičemž jsme opět označili ρ = λ. Potom platí µ N f = N ( 1 p 0 ) ( ρ ) (1.30) Exponenciální model vícenásobné obsluhy s omezenou kapacitou M/M/c/K Jedná se o systém hromadné obsluhy, ve kterém je kapacita SHO omezena počtem požadavků. V systému se jich vyskytuje maximálně K, přičemž může být současně obsluhováno nejvýše c požadavků a zbývajících maximálně (K c) čeká ve frontě na obsluhu. Jedná se tedy o systém se ztrátami. Každá obslužná linka má stejnou intenzitu obsluhy µ, požadavky, které vstoupily do fronty, trpělivě čekají na obsluhu, do které postupují v přirozeném pořadí (FIFO). Pro tento model platí stejně jako pro jeho výše uvedený speciální případ, kdy c = 1, že systém je stabilní pro libovolné kladné λ a µ. Stejně pak také ze stejných důvodů platí, že ve vztazích v tabulce 1.1 je třeba dosazovat λ = λ(1 p K ) namísto λ. Tentokrát označíme ρ průměrnou intenzitu provozu λ. Potom platí µc p 0 = ( ( ) c 1 i cρ i=0 i! + K ( cρ ) i i=c c!c i c ) 1 (1.31) a Dále platí N f = p 0 c c ρ c+1 c! ( 1 ρ ) 2 c c ρ K p K = p 0 c! (1.32) [ 1 ρ K c+1 (1 ρ)(k c + 1)ρ K c] (1.33) Modelů hromadné obsluhy existuje celá řada. Z ostatních můžeme jmenovat například systém M/E r /1/. Jedná se o systém s jedním obslužným kanálem, kde příchody jsou řízeny Poissonovým procesem s parametrem λ a doba obsluhy je náhodná veličina s Erlangovo rozdělením s parametry k a µ. V naší práci jsme popsali pouze takové modely, které mají analytické řešení a zároveň je budeme v další kapitole simulovat. 29

30 1. Teoretická část 1.8. Optimalizace SHO Modely SHO mají za úkol, kromě popisu chování celého systému, sloužit jako nástroj pro rozhodování a optimalizaci celého systému podle určených kritérií. Abychom systém mohli optimalizovat, je nutné mít možnost ovlivnit některé jeho prvky a současně s tím i základní charakteristiky efektivnosti. Vedle toho ještě předpokládáme, že můžeme explicitně formulovat kvantitativní kriteriální funkci, která vyjadřuje jistý zamýšlený cíl. Budeme-li uvažovat o jednoduchém exponenciálním modelu, zjistíme, že zmenšováním intenzity obsluhy bude narůstat fronta, průměrný čas ve frontě se prodlouží a může docházet ke ztrátám u požadavků s netrpělivostí. Jestliže intenzitu obsluhy příliš zvýšíme, bude docházet k prostojům linky. Vznikají zde náklady na provoz, ale bezprostředně jim neodpovídají žádné tržby. Z pohledu zákazníka může být cílem optimalizace zkrácení čekací doby, avšak z pohledu provozovatele systému je důležité mít co nejmenší ztráty na zákaznících, případně optimalizovat vytížení a počet obslužných linek. V rozhodovacích úlohách je tedy nutné najít kompromis, který bude vyhovovat oběma stranám. Kriteriální funkce může být orientována nákladově, ziskově nebo tak, že kritérium bude představovat kritickou hodnotu některé ze základních charakteristik efektivnosti systému obsluhy, kterou nelze překročit (např. omezení průměrné čekací doby, průměrné využití či prostoje obslužných kanálů). Jestliže cílem optimalizace je dosažení minima očekávaných celkových nákladů na provoz SHO, pak kriteriální funkce zpravidla zahrnuje následující druhy ztrát [13]: 1. Náklady prostoje obslužné linky v hodnotovém vyjádření vztažené na jednotku času. 2. Náklady čekání na obsluhu, popř. náklady setrvání požadavku v systému, vztažené na jeden požadavek za jednotku času. 3. Náklady na obsluhu jednoho požadavku za časovou jednotku. 4. Náklady vyvolané ztrátou jednoho požadavku v SHO se ztrátami. V případě stabilizovaného exponenciálního systému M/M/c můžeme vyjádřit kriteriální funkci takto: N (S) = c n N f + c z S, (1.34) kde c n hodnotově vyjádřené náklady čekání jednoho požadavku na obsluhu za zvolenou časovou jednotku, c z ztráty v peněžních jednotkách vznikající v důsledku nevyužití jednoho zařízení obsluhy za jednotku času, N f průměrná délka fronty, S - průměrný počet nevyužitých zařízení obsluhy. 30

31 1. Teoretická část Ze vztahu 1.34 plyne, že hodnota kriteriální funkce závisí při konstantních c n a c z na počtu zařízení obsluhy S, popř. na provozních podmínkách systému. Při optimalizaci uvedeného systému je zpravidla cílem určit takový počet obslužných kanálů, abychom minimalizovali celkově očekávané náklady. Více například v [1, kapitola 7.12] nebo [13, kapitola 9.10] Generování náhodných čísel a simulace metodou Monte Carlo Základní charakteristiky reálných systémů hromadné obsluhy zpravidla nelze analyticky odvodit. Toto řešení je dostupné jen pro nejjednodušší modely. Vytvoření simulačního modelu je tak jediným způsobem, jakým můžeme tyto charakteristiky daného systému získat, resp. odhadnout. Simulace se charakterizuje jako experimentování s modelem reálného systému, tedy napodobování jeho chování v čase. V operačním výzkumu se často význam termínu "simulace" zužuje na simulaci chování stochastických (někdy však i deterministických) systémů (modelů) metodou Monte Carlo (MC). Tato simulace probíhá tak, že reálný systém nahradíme jeho simulačním modelem se stejnými pravděpodobnostními charakteristikami, a chování reálného systému mnohonásobně simulujeme na zkonstruovaném modelu. K přesnému odhadu dané pravděpodobnostní charakteristiky potřebujeme obvykle velmi mnoho pokusů. Čím více pokusů provedeme, tím přesnější odhad získáme. [6] Generování náhodných čísel Základem pro naší simulaci je generování náhodných čísel 2, resp. při simulaci metodou MC slouží vygenerované hodnoty náhodných čísel ke generování hodnot náhodných veličin s daným rozdělením. Metod pro transformaci náhodných čísel na hodnoty náhodných veličin s daným rozdělením existuje několik, např. vylučovací(zamítací) metoda, metoda inverzní transformace, tabulková metoda. Metoda inverzní transformace V našem případě potřebujeme generovat dobu mezi příchody jednotlivých požadavků a dobu trvání obsluhy. V obou případech se bude jednat o náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením s příslušným parametrem. Pro generování hodnot této veličiny použijeme metodu inverzní funkce (transformace). 2 mechanismy pro generování náhodných čísel jsou popsány např. v kapitole 5.4 v [6] 31

32 1. Teoretická část K aplikaci této metody musíme znát distribuční funkci F náhodné veličiny X. Přitom distribuční funkce F musí být rostoucí na intervalu a, b, a musí zobrazovat interval a, b na interval 0, 1 [6]. Postup je následující: vygenerujeme náhodné číslo y z rovnoměrného rozdělení na intervalu 0,1 a číslo y považujeme za hodnotu distribuční funkce v dosud neznámém bodě x: F (x) = y. Z tohoto vztahu vypočteme hodnotu x: x = F 1 (y) (1.35) kde F 1 označuje inverzní funkci k funkci F. Pokud máme náhodnou veličinu X s exponenciálním rozdělením, pak její distribuční funkce je dána vztahem: F (x) = 1 e λx (1.36) Vztah pro generování náhodných hodnot s exponenciálním rozdělením pak můžeme odvodit následovně: y = F (x) = 1 e λx e λx = 1 y λx = ln(1 y) x = 1 λ ln(1 y) = ln y λ (1.37) Zachycení času v simulacích Při simulačních experimentech je nutné rozhodnout, jak vyjádříme dynamické vlastnosti modelu, tj. jakou strategii zvolíme pro zachycení času. Existují dvě možnosti metoda pevného časového kroku a metoda proměnného časového kroku. V prvním případě se vždy po uplynutí pevného časového intervalu zjišt uje, k jakým změnám došlo. V metodě proměnného časového kroku hranice časových kroků představují právě ty okamžiky, kdy dojde ke změně v systému, např. přijde nový požadavek do systému nebo se ukončí obsluha požadavku a požadavek systém opustí. [9] Simulační software Simulační software pro dynamickou diskrétní simulaci procesů je v dnešní době schopen předpovědět chování systému dle předem stanovených podmínek. Software zahrnuje návrh 2 Jestliže y je náhodné číslo z rovnoměrného rozdělení, pak i (1-y) je náhodné číslo z rovnoměrného rozdělení a vztah 1.37 lze takto upravit. 32

33 1. Teoretická část a modelování s nejrůznějšími aspekty výroby, včetně plánování, výběru vybavení, strategie řízení, manipulaci s materiálem atd. V závislosti na zvolených cílech může být simulační model složitý a datově náročný. Na druhé straně, simulační software je pouze analytický nástroj, optimalizovat nebo racionalizovat široký rozsah výrobních systémů vyžaduje odborný zásah. Výstupní parametry, jako například celková produkce, prostoje a využití přístroje, následně využívají odborníci pro hodnocení chování systému a určují oblasti pro možná zdokonalení. Základem simulování je generování náhodných čísel. [14] K výhodám patří jednoduché grafické rozhraní a intuitivní ovládání programu. K prezentaci výsledků modelování slouží řada grafických výstupů, at už jednotlivé grafy, tabulky nebo celý model. Největším záporem je vysoká pořizovací cena. Ta se pohybuje v řádech desetitisíců, někdy i statisíců. K nejpoužívanějšímu softwaru patří Simul8, Witness a Arena Simul8 Simul8 je jedním z nejrozšířenějších softwarových produktů pro dynamickou diskrétní simulaci podnikových procesů. Lze ho použít například pro modelování výrobních systémů, logistických systémů či systémů obsluhy zákazníků nebo poskytování služeb, zvláště pak pro modely obsluhy klientů na bankovních přepážkách, volajících klientů v call-centrech nebo zákazníků u pokladen v supermarketu. Generátor v Simul8 obsahuje sekvencí náhodných čísel. Od roku 2006 podporuje software nahrazení vestavěného generátoru generátorem vlastním, vytvořeným v dynamické knihovně Witness Witness je simulační balíček pro simulaci diskrétních událostí společnosti Lanner Group Ltd. Modelovací prostředí je objektově orientované a je založené na teorii front. Ke generování náhodných čísel využívá šesti sekvencí, které se dají uživatelem změnit. Witness využívá vygenerované číslo mezi 0 a 1 jako vzorek ze statistického rozložení pro časování a členění činnosti apod Arena Arena využívá implementaci simulačního prostředí SIMAN, které je zaměřeno především na modelování výrobních procesů. Největší předností tohoto softwaru je jednoduchý grafický vzhled modelu. Model se vytváří pomocí umístění jednotlivých ikon na kreslící plochu a pomocí propojení ikon nebo bloků uživatel definuje vztahy mezi nimi. Pro generování náhodných čísel lze použít přednastavenou sekvenci čísel, nebo si uživatel může vybrat z dalších 10 sekvencí. Všechny distribuce programu generují čísla pomocí rovnoměrného rozložení 33

34 1. Teoretická část v rozsahu 0 až 1. Studentská verze Areny je dostupná na webových stránkách vydavatele V tomto softwaru si ukážeme příklad jednoduché fronty s jedním rozhodovacím procesem. Obrázek 1.6.: Prostředí simulačního programu Arena Model bude generovat příchody zákazníků jako náhodnou veličinu s exponenciálním rozdělením a průměrem 0,5 zákazníka za minutu. Následně se zákazník rozhodne, zda-li půjde do fronty, nebo ze systému odejde bez obsloužení. Jako podmínku stanovíme například délku fronty o velikosti 4, tzn. pokud ve frontě bude menší počet lidí jak 5, zákazník si stoupne do fronty. Pokud ve frontě bude 5 a více lidí, zákazník odejde neobsloužen. Toto budeme simulovat po dobu 8 hodin. Statistickou analýzu modelu nám software vytvoří sám do formátu pdf. Obrázek 1.7.: Vývojový diagram modelu 34

35 1. Teoretická část Obrázek 1.8.: Nastavení generování příchodů zákazníků Obrázek 1.9.: Nastavení rozhodovacího procesu 35

36 1. Teoretická část Obrázek 1.10.: Nastavení obsluhy Obrázek 1.11.: Výsledky simulace 36

37 1. Teoretická část Obrázek 1.12.: Analýza simulace - obsluha Obrázek 1.13.: Analýza simulace - fronta 37

38 1. Teoretická část Free software Simulačního softwaru lze najít poměrně velké množství, málokterý z nich je ovšem volně dostupný. Jednou z dalších možností je také využití doplňků ve standardních kancelářských balících. Například pro tabulkový kalkulátor Calc v sadě OpenOffice existuje volně šiřitelný doplněk QtdPlus4Calc (ke stažení zde: Obsahuje několik modelů, kde si uživatel může vyzkoušet, jak se projeví změna parametrů v různých modelech na výsledcích zkoumaných veličin. Na druhé straně, některé z modelů ještě nemají 100% funkčnost, stejně jako simulace. Obrázek 1.14.: Náhled na simulaci v doplňku QtdPlus4Calc Storm Systém STORM (Simulation TOol for Real-time Multiprocessor scheduling) je soubor programů, který obsahuje několik modelů, včetně modelu Queueing Analysis. Lze v něm zpracovávat jednoduché úlohy z teorie front, které mají analytické řešení a jejichž charakteristiky lze získat dosazením do odpovídajících vztahů. Konkrétně se jedná o modely: M/M/c, 38

39 1. Teoretická část M/M/c/K, M/M/c/K /K, M/D/c a M/G/c. STORM umožňuje i optimalizace systémů hromadné obsluhy. [13] Ovládá se pomocí jazyka Java, samotná simulace se provádí pomocí souborů XML. Její výsledky jsou zpracovány do diagramů, tabulek a dalších souborů pro následnou analýzu. STORM je volně šiřitelný software pod licencí Creative Commons, je dostupný na webových stránkách 39

40

41 2. Simulace vybraných modelů systémů hromadné obsluhy Všechny simulační modely, které budou představeny na následujících stránkách práce, jsou napsány v jazyce C#. Každý model má v sobě obsažené výpočty důležitých charakteristik systému, které se počítají jak ze samotné simulace, tak analyticky dle zavedených vzorců v teoretické části. Výsledkem simulace je právě srovnání takto získaných hodnot. V simulacích nejsou zavedeny podmínky stabilizace jednotlivých modelů. Ukončovací podmínkou pro každý model je určený čas, po jehož uplynutí požadavky nejsou vpuštěny do systému. V tabulkách s výsledky je používáno značení zavedené v teoretické části Simulace modelu M/M/1 Jak bylo zmíněno v teoretické části práce, model M/M/1 značí jeden kanál obsluhy, který pracuje v režimu FIFO a fronta požadavků je neomezená. Intenzitu příchodů představuje Poissonův proces s parametrem λ, v tomto případě doby mezi jednotlivými příchody mají exponenciální rozdělení s parametrem 1 λ a doba obsluhy je také náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem µ. V systému jsou pouze dvě hlavní události - příchod nového požadavku do systému a odchod požadavku, který dokončil obsluhu. Listing 2.1: Ukázkový kód pro model M/M/1 Random rnd = new Random(DateTime.Now.Millisecond); / / g e n e r a t o r nahodnych c i s e l double tgen; / / generovany c a s double lambda =1.0; / / i n t e n z i t a p r i c h o d u double lambda_rec=1/lambda; / / p r e v r a c e n a hodnota i n t e n z i t y p r i c h o d u = s t r e d n i doba mezi p r i c h o d y double mu=1.25; / / i n t e n z i t a o b s l u h y double mu_rec=1/mu; / / p r e v r a c e n a hodnota i n t e n z i t y o b s l u h y = s t r e d n i doba o b s l u h y double tp=0; / / c a s p r i c h o d u d a l s i h o z a k a z n i k a ( uvazujeme, ze do systemu v s t u p u j e 1. z a k a z n i k v ~ c a s e 0 ) double to; / / c a s odchodu p o s l e d n i h o obsluhovaneho z a k a z n i k a 41

42 2. Simulace vybraných modelů systémů hromadné obsluhy int i=1; / / p o c e t o b s l o u z e n y c h z a k a z n i k u double tp_sum=0, to_sum=0, tf_sum=0, te_sum=0; / / pro v y p o c e t prumerne doby mezi p r i c h o d y, doby obsluhy, doby c e k a n i ve f r o n t e a doby, po k t e r o u j e system prazdny / / generujeme c a s odchodu 1. z a k a z n i k a tgen=- Math. Log( rnd. NextDouble())* mu_rec; to_sum += tgen; to=tgen; while(true){ / / generujeme c a s p r i c h o d u d a l s i h o z a k a z n i k a tgen=- Math. Log( rnd. NextDouble())* lambda_rec; tp_sum += tgen; tp+= tgen; if(tp > ) break; i++; } if(tp<to){ / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k, k t e r y s e r a d i do f r o n t y ( p r e p a z k a j e obsazena ) a ceka ( generujeme c a s j e h o odchodu ) tf_sum+=to-tp; / / v y p o c e t doby c e k a n i ve f r o n t e tgen=- Math. Log( rnd. NextDouble())* mu_rec; to_sum += tgen; to+=tgen; } else{ / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k, k t e r y j d e o k a m z i t e k~ volne prepazce ( generujeme cas jeho odchodu) te_sum+=tp-to; / / v y p o c e t doby, po k t e r o u j e system prazdny tgen=- Math. Log( rnd. NextDouble())* mu_rec; to_sum += tgen; to=tp+tgen; } Model jsme otestovali se vstupními parametry λ = 1,0 a µ = 1,25 s konečnými časy 1 000, , , Výsledky jsou v tabulce 2.1. Se zvyšující se hodnotou konečného času je vidět, že se výsledky v souladu s předpokladem přibližují analytickému řešení. Další výsledky s jinými testovanými vstupními parametry jsou v tabulce 2.2. Klasickým příkladem tohoto modelu může být například fronta u lékaře. Pacienti jsou obsluhováni jeden po druhém a trpělivě čekají, až přijdou na řadu. 42

43 2. Simulace vybraných modelů systémů hromadné obsluhy Testovaný čas Obslouženo λ 1 T o T f p ,9709 0,8141 3,8666 0, ,9937 0,8067 3,3043 0, ,9972 0,8027 3,2298 0, ,0022 0,7997 3,1695 0, ,9997 0,7999 3,2030 0,1997 Analyticky: 1,0 0,8 3,2 0,2 Tabulka 2.1.: Porovnání analytického a simulačního řešení modelu M/M/1 Čas simulace λ = 1,5 λ = 1,1 λ = µ = 3 µ = 1,5 µ = 1,1 Výsledky: simulace analyt. simulace analyt. simulace analyt. Obslouženo: λ 1 : 0, , , , , ,00000 T o : 0, , , , , ,90909 T f : 0, , , , , ,09091 p 0 : 0, , , , , ,09091 Tabulka 2.2.: Testování modelu M/M/ Simulace modelu M/D/1 Tento model se liší od předchozího jen v tom, že negenerujeme dobu obsluhy pro jednotlivé požadavky, ale přiřadíme jim konstantu. Všechny požadavky budou obsluhovány stejnou dobu. Volíme µ = 1.75, doba obsluhy každého požadavku je µ 1. Test. čas Obslouženo λ 1 T f T p ,6620 1,7938 2,3653 0, ,6758 1,4115 1,9830 0, ,6655 1,8429 2,4143 0, ,6667 1,6830 2,2544 0, ,6667 1,7003 2,2717 0,1432 Analyticky: 0,6667 1,7143 2,2857 0,1429 Tabulka 2.3.: Porovnání analytického a simulačního řešení modelu M/D/1 43

Teorie front. Systém hromadné obsluhy

Teorie front. Systém hromadné obsluhy Teorie front Pokouší se analyzovat a řešit procesy, ve kterých se vyskytují proudy objektů procházejících určitými zařízeními, od nichž vyžadují obsluhu. Vlivem omezené kapacity obsluhy může docházet k

Více

Exponenciální modely hromadné obsluhy

Exponenciální modely hromadné obsluhy Exponenciální modely hromadné obsluhy Systém s čekáním a neohraničeným zdrojem požadavků Na základě předchozích informací je potřeba probrat, jaké informace jsou dostupné v počtu pravděpodobnosti řešícím

Více

4EK201 Matematické modelování. 8. Modely hromadné obsluhy

4EK201 Matematické modelování. 8. Modely hromadné obsluhy 4EK201 Matematické modelování 8. Modely hromadné obsluhy 8. Modely hromadné obsluhy Systém, ve kterém dochází k realizaci obsluhy příchozích požadavků = systém hromadné obsluhy Vědní disciplína zkoumající

Více

Kendallova klasifikace

Kendallova klasifikace Kendallova klasifikace Délka obsluhy, frontový režim, Littleovy vzorce Parametry obsluhy Trvání obsluhy - většinou předpokládáme, že trvání obsluhy jsou nezávisl vislé náhodné proměnné, se stejným rozdělením

Více

SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY. Teorie front

SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY. Teorie front SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY Teorie front Systémy hromadné obsluhy (SHO) Teorie hromadné obsluhy (THO) se zabývá kvantitativním hodnocením soustav schopných uspokojiť požadavky hromadného charakteru na nejakou

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekanálové čekací systémy Stanice obsluhy sestává z několika kanálů obsluhy, pracujících paralelně a navzájem nezávisle. Vstupy i výstupy systému mají poissonovský charakter. Jednotky vstupující do systému

Více

Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Algoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických

Více

4EK311 Operační výzkum. 8. Modely hromadné obsluhy

4EK311 Operační výzkum. 8. Modely hromadné obsluhy 4EK311 Operační výzkum 8. Modely hromadné obsluhy 8. Modely hromadné obsluhy Systém, ve kterém dochází k realizaci obsluhy příchozích požadavků = systém hromadné obsluhy Vědní disciplína zkoumající tyto

Více

SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY. Michal Dorda. VŠB - TU Ostrava, Fakulta strojní, Institut dopravy

SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY. Michal Dorda. VŠB - TU Ostrava, Fakulta strojní, Institut dopravy SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY Michal Dorda VŠB - TU Ostrava Fakulta strojní Institut dopravy 1 Úvod V běžné technické praxi se velice často setkáváme s tzv. systémy hromadné obsluhy aniž

Více

U Úvod do modelování a simulace systémů

U Úvod do modelování a simulace systémů U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory)

Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory) Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory) Mgr. Šárka Voráčová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky voracova @ fd.cvut.cz http://www.fd.cvut.cz/department/k611/pedagog/k611tho.html Literatura Š. Voráčová,

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Simulační modely. Kdy použít simulaci?

Simulační modely. Kdy použít simulaci? Simulační modely Simulace z lat. Simulare (napodobení). Princip simulace spočívá v sestavení modelu reálného systému a provádění opakovaných experimentů s tímto modelem. Simulaci je nutno považovat za

Více

Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory)

Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory) Teorie hromadné obsluhy (Queuing Theory) Mgr. Šárka Voráčov ová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky voracova @ fd.cvut..cvut.czcz http://www.fd fd.cvut.cz/department/k611/pedagog/k611tho. /department/k611/pedagog/k611tho.html

Více

Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce

Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce Jan Zouhar Katedra ekonometrie, FIS VŠE v Praze, zouharj@vse.cz 10. února 2015 Průběh zkoušky. Zkouška je ústní s přípravou na potítku. Každý si vylosuje

Více

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Generování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci

Více

zpravidla předpokládá, že hodnoty intenzity poruch a oprav jsou konstantní.

zpravidla předpokládá, že hodnoty intenzity poruch a oprav jsou konstantní. Pohotovost a vliv jednotlivých složek na číselné hodnoty pohotovosti Systém se může nacházet v mnoha různých stavech. V praxi se nejčastěji vyskytují případy, kdy systém (nebo prvek) je charakterizován

Více

1 Teorie hromadné obsluhy

1 Teorie hromadné obsluhy 1 Teorie hromadné obsluhy Teorie hromadné obsluhy zkoumá modely, v nichž do nějakého systému obsluhy, kerý může mít jeden či více linek obsluhy vstupují jednotky, které mají být těmito linkami obslouženy.

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Stochastické procesy - pokračování

Stochastické procesy - pokračování Stochastické procesy - pokračování Úvodní pojmy: Stochastické procesy jsou to procesy (funkce) jejichž hodnoty jsou náhodné veličiny závislé na parametru t stav systému souhrn vlastností a charakteristik,

Více

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat

Bayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu 4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:

Více

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití

2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití 2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE. 2006 Kateřina Slámová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE. 2006 Kateřina Slámová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2006 Kateřina Slámová VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Matematické

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Úvod do SHO. Výkonnost a spolehlivost programových systémů KIV/VSS. Richard Lipka

Úvod do SHO. Výkonnost a spolehlivost programových systémů KIV/VSS. Richard Lipka Úvod do SHO Výkonnost a spolehlivost programových systémů KIV/VSS Richard Lipka Systémy hromadné obsluhy (Queueing theory) Modelování systémů, které obsluhují větší množství požadavků Telekomunikační systémy

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

13. cvičení z PSI ledna 2017

13. cvičení z PSI ledna 2017 cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:

Více

STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák

STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Chyby měření 210DPSM

Chyby měření 210DPSM Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

VYUŽITÍ SIMULACE PŘI MODELOVÁNÍ PROVOZU NA SVÁŽNÉM PAHRBKU SEŘAĎOVACÍ STANICE

VYUŽITÍ SIMULACE PŘI MODELOVÁNÍ PROVOZU NA SVÁŽNÉM PAHRBKU SEŘAĎOVACÍ STANICE VYUŽITÍ SIMULACE PŘI MODELOVÁNÍ PROVOZU NA SVÁŽNÉM PAHRBKU SEŘAĎOVACÍ STANICE 1 Úvod Michal Dorda, Dušan Teichmann VŠB - TU Ostrava, Fakulta strojní, Institut dopravy Seřaďovací stanice jsou železniční

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

Počítačová simulace logistických procesů II 10. přednáška Simulační experimentování

Počítačová simulace logistických procesů II 10. přednáška Simulační experimentování Počítačová simulace logistických procesů II 10. přednáška Simulační experimentování Jan Fábry 28.10.2017 Počítačová simulace logistických procesů II Obsah předmětu I. Úvod, organizace, semestrální projekty,

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

intenzitu příchodů zákazníků za čas t intenzitu obsluhy (průměrný počet obsloužených) za čas t

intenzitu příchodů zákazníků za čas t intenzitu obsluhy (průměrný počet obsloužených) za čas t Ukázka - Systémy hromadné obsluhy Příklad: Pan Pumpička se rozhodl postavit samoobslužnou čerpací stanici u obce Česká Bříza. Na základě průzkumu ví, že by čerpací stanici mohlo průměrně navštívit 32,

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Úvod do modelování a simulace. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Úvod do modelování a simulace. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Úvod do modelování a simulace systémů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Základní pojmy Systém systémem rozumíme množinu prvků (příznaků) a vazeb (relací) mezi nimi, která jako celek má určité vlastnosti. Množinu

Více

Náhodné chyby přímých měření

Náhodné chyby přímých měření Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik

STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik STATISTICKÉ ODHADY Odhady populačních charakteristik Jak stanovit charakteristiky rozložení sledované veličiny v základní populaci? Populaci většinou nemáme celou k dispozici, musíme se spokojit jen s

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Základy teorie hromadné obsluhy

Základy teorie hromadné obsluhy 454-304/1: Spojovací soustavy Základy teorie hromadné obsluhy Miroslav Vozňák VŠB - Technical University of Ostrava Department of Telecommunications Faculty of Electrical Engineering and Computer Science

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0. 11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více