GEOMETRICKÉ PROJEKCE. Petra Surynková, Yulianna Tolkunova
|
|
- Denis Zeman
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 GEOMETRICKÉ PROJEKCE S VYUŽITÍM 3D POČÍTAČOVÉHO MODELOVÁNÍ Petra Surynková, Yulianna Tolkunova Článek ojednává o realizovaných metodách inovace výuky deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Základní ideou modernizace výuky této klasické discilíny je oužití očítačového modelování a rozšíření deskritivní geometrie o oznatky z očítačové grafiky a očítačové geometrie. Využití očítačového modelování ředvedeme na říkladech tyických úloh z deskritivní geometrie, kterými jsou rovnoběžné a středové rojekce. Zde se seciálně zaměříme na rojekce loch užívaných v geometrii a inženýrské raxi. V rámci zlešování výuky deskritivní geometrie neustále rozšiřujeme elektronické sbírky úloh a řiravujeme nové studijní materiály. Do ráce s očítačovými rogramy se v rámci svých bakalářských a dilomových rací úsěšně zaojují i naši studenti. 1 Úvod a motivace Deskritivní geometrie, jedna z klasických discilín matematické vědy, se zabývá rerezentací trojrozměrných objektů omocí dvojrozměrného obrazu. Tyickou úlohou, kterou deskritivní geometrie řeší, je rojekce trojrozměrného objektu na rovinu a zětná rekonstrukce trojrozměrného objektu z tohoto obrazu. Abychom uměli s rojekcí srávně racovat, je nutné orozumět geometrickým rinciům, vlastnostem geometrických objektů v rovině i v rostoru a vztahům mezi nimi. V tomto širším ohledu se tedy deskritivní geometrie zabývá také seciálními technicky významnými křivkami a lochami. Mohlo by se zdát, že s nástuem moderních očítačových rogramů jsou metody deskritivní geometrie řežitkem. V dnešní době je ve výrobních rocesech, kde dříve měla deskritivní geometrie své nenahraditelné místo, samozřejmostí ráce s okročilými grafickými softwary. Deskritivní geometrie, jejíž součástí bylo vždy klasické rýsování a črtání, však ani řes tento fakt neztrácí na svém významu. I ři oužití grafických a modelovacích očítačových rogramů je otřeba metody deskritivní geometrie ovládat, neboť i když se jedná o rojekci, technický výkres nebo vymodelovanou rostorovou situaci, které jsou vytvořené na očítači, ro srávnou interretaci takového výstuu se bez znalosti geometrie neobejdeme. V oborech, ve kterých je srávná vizualizace a názorné zobrazení rostoru a rostorových objektů rozhodující, má roto geometrie a seciálně i deskritivní geometrie stále své místo. Klasické rýsování a črtání není na rvní ohled v raxi užíváno, ovšem je zřejmé, že se na tyto ostuy soléháme ve fázi rozvíjení náadů či rvotního hledání řešení geometrických roblémů a to samozřejmě nejen v raxi, ale i ve výuce a ři studiu geometrie. 1
2 2 Geometrie se všemi svými odobory je součástí mnoha moderních raktických alikací a zasahuje tak do řady odvětví. Všeobecně atří geometrie mezi velmi náročné vědní oblasti vyžadující logické myšlení a současně její studium široce rozvíjí rostorovou ředstavivost. Studium geometrie a seciálně deskritivní geometrie ředstavuje roto skutečnou výzvu ro výzkum i raxi. V článku se věnujeme možným inovativním zůsobům výuky deskritivní geometrie založených ředevším na využití očítačového 3D modelování a ředstavujeme nově vznikající studijní materiály a webovou odoru deskritivní geometrie. Využití modelovacích a grafických rogramů ve výuce geometrie rovněž zvyšuje zájem studentů o danou roblematiku, což vylývá z témat závěrečných rací. Rovněž zaznamenáváme úsěchy našich studentů v soutěžích SVOČ rávě s geometrickými tématy zracovanými s využitím očítačového modelování. 2 Výuka deskritivní geometrie na MFF UK Při výuce deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě UK se snažíme o výraznější roojení s raxí (zejména v ředmětech Deskritivní geometrie III, Geometrické lochy, Plochy stavební raxe, Alikace deskritivní geometrie) a také o rozšíření deskritivní geometrie o oznatky z očítačové grafiky a očítačové geometrie (ředměty Počítačová geometrie I a II). Při oužívání modelovacího softwaru ve výuce deskritivní geometrie se tato snaha ukazuje jako řirozený krok. Pokud chceme sledovat trend, který je běžný v technické raxi, na niž chceme řiravovat naše absolventy, je nezbytné řizůsobit se moderní době. Ve výrobních rocesech jsou v raxi ři konstruování, navrhování či modelování nejrůznějších objektů dnes již běžně užívány moderní CAD (Comuter Aided Design) systémy [1]. Podobný software lze oužít ve výuce všech klasických geometrických témat i deskritivní geometrie. Deskritivní geometrii tak můžeme cháat ve zcela novém světle. Pokud kromě klasického (a nezbytného) ručního rýsování a črtání zařazujeme do výuky také oužití 3D očítačového modelování, může být deskritivní geometrie cháána znovu jako moderní discilína. Díky tomu, že naši studenti absolvují také očítačovou geometrii, je možné zdůrazňovat, na jakém rinciu takový grafický software funguje. Nejedná se tedy v žádném říadě o ouhé užívání grafického softwaru, vždy je naším cílem dojít k hlubšímu orozumění ozadí daného rogramu. Výhodou je, že rávě v rámci ředmětů Počítačové geometrie I a II se studenti setkávají s geometrickými algoritmy a diferenciální geometrií křivek a loch užívaných v očítačové grafice. 3D modelování a rýsování na očítači ve výuce deskritivní geometrie Ve výuce zmiňovaných ředmětů na Matematicko-fyzikální fakultě využíváme ro tvorbu 3D modelů a modelování rostorových situací komerční 3D modelovací software Rhinoceros (NURBS modeling for Windows). Rhinoceros
3 je levný a dostuný software obsahující množství rofesionálních modelovacích nástrojů a funkcí a je v raxi běžně užíván. Program Rhinoceros využíváme rovněž k tvorbě rysů, tedy k rýsování v rovině. V žádném říadě neoouštíme klasické ruční rýsování. Počítačovou tvorbu okládáme za odůrnou a moderní metodu rýsování. Kromě rogramu Rhinoceros oužíváme ve výuce také dynamický software GeoGebra a to ředevším k tvorbě rovinných konstrukcí říadně k demonstraci latnosti geometrických zákonitostí. GeoGebra je uživatelsky velice říjemná a i úlný začátečník si její ovládání rychle osvojí. Navíc je GeoGebra běžně užívána ve výuce matematiky a geometrie na mnoha našich základních a středních školách. Jak již bylo zdůrazněno, orozumění složitějším geometrickým úlohám bývá často velmi obtížné. K ochoení rostorové situace, vztahů mezi rostorovými objekty či k nalezení řešení rovinné nebo rostorové geometrické úlohy může naomoci rávě očítačové 3D modelování nebo vhodný dynamický geometrický software. Samozřejmě není nutné racovat ve výuce rávě se zmiňovanými grafickými rogramy. Na trhu existuje celá řada levných nebo dokonce volně dostuných rogramů ro geometrii a matematiku. Rozšiřování sbírky říkladů, tvorba nových studijních materiálů a webová odora ro deskritivní geometrii na MFF UK Počítačové rogramy neulatňujeme ouze ve výuce, ale využíváme je také k tvorbě sbírek říkladů, nových studijních materiálů a k webové odoře výuky deskritivní geometrie. V letošním roce jsme (i díky rojektu FRVŠ) výrazně rozšířili sbírku říkladů ro deskritivní geometrii a zaočali jsme s tvorbou nových studijních materiálů, které se týkají různých geometrických témat. Sbírky říkladů k ředmětům Deskritivní geometrie III, Plochy stavební raxe, Geometrické lochy a Alikace deskritivní geometrie jsou k disozici v elektronické formě na stránkách htt://surynkova.info/mff.h. Příklady jsou rozděleny odle témat a seřazeny chronologicky do jednotlivých řednášek a cvičení. Sbírky říkladů již několik let neustále rozšiřujeme, říadně řidáváme k některým říkladům i jejich řešení. Za výrazné osílení výuky a studia deskritivní geometrie ovažujeme tvorbu nových studijních materiálů a říkladů ro samostudium, které jsou k disozici na stránkách htt://surynkova.info/toics.h. Jedná se o oisy a návody k různým konstrukcím, očítačové modely, ukázky rysů a studentských rací aod. Jmenujme naříklad konstrukce kuželoseček jako obrazů kružnice ve středové kolineaci či říklady konstrukcí kuželoseček z daných rvků omocí středové kolineace. Webové stránky jsou neustále růběžně aktualizovány a jsou určeny nejen studentům naší fakulty, ale všem zájemcům o geometrii (některé odkazy jsou v anglickém jazyce). 3
4 4 3 Geometrické rojekce Využití očítačového modelování a rýsování na očítači ředvedeme na říkladech klasických úloh z deskritivní geometrie, kterými jsou rovnoběžné a středové rojekce. Zaměříme se zde na rojekce loch užívaných v geometrii a v inženýrské raxi, které jsou na MFF UK vyučovány ve vyšších ročnících. Ukažme si zadání a řešení tyické úlohy z deskritivní geometrie. Nechť je dána šroubová locha tvořicí křivkou (zde seciálně úsečkou) a šroubovým ohybem (šroubový ohyb je zadán osou, smyslem a výškou závitu). Aby měla tato úloha smysl, ředokládáme, že tvořicí úsečka neleží na ose šroubového ohybu a není s ní ani rovnoběžná. Dále ředokládejme, že je dána libovolná rovina, která rotíná šroubovou lochu vzniklou šroubováním tvořicí úsečky. Úkolem studentů je sestrojit (ručně nebo rýsováním na očítači) několik oloh šroubující se úsečky, zdánlivý obrys části lochy (naříklad jednoho závitu) a řez části lochy zadanou rovinou vše v daném romítání. Úlohu řešíme nejrve v rovnoběžném romítání a to v ravoúhlé axonometrii. Zadání úlohy, tj. osa šroubového ohybu, oloha tvořicí úsečky a rovina řezu v ravoúhlé axonometrii, je znázorněno na obrázku 1 vlevo. Na obrázku 1 urostřed vidíme výsledek dané úlohy (již bez omocných čar), řičemž se jedná o rys vytvořený na očítači. 3D modelovací software lze ale využít také k vymodelování rostorové situace, kterou můžeme vidět na obrázku 1 vravo. Nutno odotknout, že ři ráci římo se softwarem lze s rostorovým objektem hýbat, rostorovou situaci je možné různě natáčet, řibližovat či oddalovat. Díky tomu je možné lée orozumět rostorovým vztahům a ráce v rovině, tedy s výslednou rojekcí, je tak snazším úkolem. Na obrázku 1 vravo je řitom ohled na 3D model lochy nastavený tak, aby řesně odovídal zadané rovnoběžné rojekci. Složitější situace nastává ři řešení té samé úlohy ve středovém romítání. Na obrázku 2 vlevo je znázorněno oět zadání úlohy. Na obrázku 2 urostřed můžeme vidět očítačový rys s řešením úlohy (oět bez omocných čar) a na obrázku 2 vravo očítačový 3D model. Oět je ohled na 3D model nastavený tak, aby řesně odovídal zadanému středovému romítání. Zde se můžeme setkat s obtížemi již ři zadávání úlohy. Obrazy rostorových objektů se v obecném středovém romítání mohou velmi výrazně zkreslovat, řičemž míra tohoto zkreslení se ředem velmi těžko odhaduje. Pomoci nám může ři tvorbě takového zadání úlohy samozřejmě zkušenost nebo oět 3D očítačové modelování. Po vymodelování rostorové situace v rogramu Rhinoceros je možné s objektem hýbat a nastavit tak ohled na rostorový objekt, který nám vyhovuje. Většina grafických softwarů odobných rogramu Rhinoceros umožňuje rostorovou situaci ve zvoleném ohledu romítnout do roviny, tj. vytvořit výslednou rojekci (rovnoběžnou i středovou). Tuto funkci hojně využíváme rávě k tvorbě zadávání odobných úloh a rovněž ke kontrole výsledné rojekce rostorových objektů vytvořených buď ručně, nebo rýsováním na očítači v rovině.
5 5 z = osa rovina 1 x y Obr. 1: Šroubová locha v ravoúhlé axonometrii: zadání (vlevo), výsledek rovnoběžné rojekce (urostřed), 3D model (vravo) osa horizont H rovina 1 základnice Obr. 2: Šroubová locha ve středovém romítání: zadání (vlevo), výsledek středové rojekce (urostřed), 3D model (vravo) 4 Studentské ráce Využití očítačového modelování a rýsování na očítači ve výuce deskritivní geometrie výrazně zvyšuje zájem studentů o danou roblematiku a zajišťuje jejich aktivní zaojení do výuky. To vylývá z reakcí studentů a také ze zájmu věnovat se geometrickým tématům v rámci semestrálních, bakalářských a dilomových rací. Uveďme říklad bakalářské ráce Geometrie stínu [3] studentky Yulianny Tolkunové, která se v roce 2014 umístila na druhém místě na mezinárodní soutěži SVOČ v didaktice matematiky v kategorii bakalářských rací. Bakalářská ráce Geometrie stínu se věnuje geometrickému osvětlení elementárních těles a metodám sestrojení jejich stínů v různých rojekcích. Práce je zaměřena zejména na rovnoběžné osvětlení těles v rovnoběžných rojekcích. Obsahuje řehled základních ojmů a vlastností geometrického osvětlení a je dolněna vlastními názornými ilustracemi, které vznikly s oužitím modelovacích nástrojů v rogramu Rhinoceros. Součástí ráce je sada řešených i neřešených říkladů, které mohou sloužit jako sbírka úloh ro studenty v hodinách deskritivní geometrie.
6 6 5 Shrnutí a závěr V článku jsme rezentovali realizované metody inovace výuky deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze. Modernizace výuky je založena ředevším na oužití očítačového modelování a rýsování na očítači a také na rozšíření deskritivní geometrie o oznatky z očítačové grafiky a očítačové geometrie. Počítačové modelování využíváme nejen ři výuce, ale také ři říravě materiálů ro cvičení a řednášky a ro tvorbu sbírek říkladů a nových studijních materiálů ublikovaných na webových stránkách [2]. Při výuce se nám osvědčuje, že studenti ovažují rýsování a modelování na očítači za vhodnou omůcku a vnímají geometrii skutečně jako moderní discilínu. Insiraci v našem řístuu ři výuce geometrie snad naleznou i učitelé a studenti na nižších stuních vzdělávání. Literatura [1] G. Farin et al., Handbook of Comuter Aided Geometric Design, Elsevier Science, [2] P. Surynková, Academic website Petra Surynková, htt:// [3] Y. Tolkunova, Geometrie stínu, bakalářská ráce, MFF UK, Praha, RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská Praha 8 etra.surynkova@mff.cuni.cz Bc. Yulianna Tolkunova Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská Praha 8 kataulta.yul@gmail.com
VÝUKA DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA MFF UK
VÝUKA DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA MFF UK Jana Hromadová, Petra Surynková Katedra didaktiky matematiky, MFF UK Abstrakt: V článku je představen projekt Inovace předmětů Deskriptivní geometrie I a III na MFF
VíceGEOMETRICKÉ MODELOVÁNÍ PETRA SURYNKOVÁ, RADKA MATĚKOVÁ, JANA VLACHOVÁ
GEOMETRICKÉ MODELOVÁNÍ PETRA SURYNKOVÁ, RADKA MATĚKOVÁ, JANA VLACHOVÁ V příspěvku pojednáváme o použití počítačového modelování ve výuce geometrie. Naším cílem je zvýšit zájem o studium geometrie na všech
VíceInteraktivní modely pro Konstruktivní geometrii
Interaktivní modely pro Konstruktivní geometrii Jakub Makarovský Abstrakt V příspěvku jsou prezentovány interaktivní modely základních úloh z Konstruktivní geometrie (1. ročník, zimní semestr) zaměřující
Více3.1.1 Přímka a její části
3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a
Více2.3.6 Práce plynu. Předpoklady: 2305
.3.6 Práce lynu Předoklady: 305 Děje v lynech nejčastěji zobrazujeme omocí diagramů grafů závislosti tlaku na objemu. Na x-ovou osu vynášíme objem a na y-ovou osu tlak. Př. : Na obrázku je nakreslen diagram
VíceSystémové struktury - základní formy spojování systémů
Systémové struktury - základní formy sojování systémů Základní informace Při řešení ať již analytických nebo syntetických úloh se zravidla setkáváme s komlikovanými systémovými strukturami. Tato lekce
VíceSingularity rotačních obalových ploch
Singularity rotačních obalových ploch Ivana Linkeová ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav technické matematiky Karlovo nám. 13, 121 35 Praha 2 Nové Město Ivana.Linkeova@fs.cvut.cz Abstrakt. V příspěvku
VíceTechnická univerzita v Liberci. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická. Katedra matematiky a didaktiky matematiky PLOCHY PŘÍMKOVÉ
Technická univerzita v Liberci Fakulta řírodovědně-humanitní a edagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky PLOCHY PŘÍMKOÉ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, leden 04 Přímková locha je
VíceZpůsobilost. Data a parametry. Menu: QCExpert Způsobilost
Zůsobilost Menu: QExert Zůsobilost Modul očítá na základě dat a zadaných secifikačních mezí hodnoty různých indexů zůsobilosti (caability index, ) a výkonnosti (erformance index, ). Dále jsou vyočítány
Více7.5.13 Rovnice paraboly
7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,
VícePodíl pohybových aktivit na vnímání identity osobnosti vozíčkářů a jejich inkluze do běžného tělovýchovného prostředí
Podíl ohybových aktivit na vnímání identity osobnosti vozíčkářů a jejich inkluze do běžného tělovýchovného rostředí Brůžková Lucie, Pacholík Viktor Masarykova univerzita, Fakulta sortovních studií, Katedra
VíceBibliografický popis elektronických publikací v síti knihoven ČR
Bibliografický ois elektronických ublikací v síti knihoven ČR Edita Lichtenbergová, Marie Balíková, Ludmila Benešová, Jarmila Přibylová, Jaroslava Svobodová Publikace vznikla na základě úkolu řešeného
VícePočítačová grafika RHINOCEROS
Počítačová grafika RHINOCEROS Ing. Zuzana Benáková Základní otázkou grafických programů je způsob zobrazení určitého tvaru. Existují dva základní způsoby prezentace 3D modelů v počítači. První využívá
VíceZákladní konvenční technologie obrábění SOUSTRUŽENÍ
Tento materiál vznikl jako součást rojektu, který je solufinancován Evroským sociálním fondem a státním rozočtem ČR. Základní konvenční technologie obrábění SOUSTRUŽENÍ Technická univerzita v Liberci Technologie
Více1.3.3 Přímky a polopřímky
1.3.3 římky a olořímky ředoklady: 010302 edagogická oznámka: oslední říklad je oakování řeočtu řes jednotku. okud hodina robíhá dobře, dostanete se k němu řed koncem hodiny. edagogická oznámka: Nakreslím
VíceVýuka planimetrie, stereometrie i klasické deskriptivní geometrie
Výuka planimetrie, stereometrie i klasické deskriptivní geometrie Petra Surynková Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 email:
VíceNÁVRH A OVĚŘENÍ BETONOVÉ OPŘENÉ PILOTY ZATÍŽENÉ V HLAVĚ KOMBINACÍ SIL
NÁVRH A OVĚŘENÍ BETONOVÉ OPŘENÉ PILOTY ZATÍŽENÉ V HLAVĚ KOMBINACÍ SIL 1. ZADÁNÍ Navrhněte růměr a výztuž vrtané iloty délky L neosuvně ořené o skalní odloží zatížené v hlavě zadanými vnitřními silami (viz
VíceUniverzita Pardubice FAKULTA CHEMICKO TECHNOLOGICKÁ
Univerzita Pardubice FAKULA CHEMICKO ECHNOLOGICKÁ MEODY S LAENNÍMI PROMĚNNÝMI A KLASIFIKAČNÍ MEODY SEMINÁRNÍ PRÁCE LICENČNÍHO SUDIA Statistické zracování dat ři kontrole jakosti Ing. Karel Dráela, CSc.
VíceHledání parabol
7.5.1 Hledání arabol Předoklad: 751, 7513 Pedagogická oznámka: Studenti jsou o řekonání očátečních roblémů s aměti vcelku úsěšní, všichni většinou zvládnou alesoň rvních ět říkladů. Hodinu organizuji tak,
VíceKonstrukční úlohy metodická řada pro konstrukci trojúhelníku Irena Budínová Pedagogická fakulta MU
Konstruční úlohy metodicá řada ro onstruci trojúhelníu Irena udínová Pedagogicá faulta MU irena.budinova@seznam.cz Konstruční úlohy tvoří jednu z důležitých součástí geometrie, neboť obsahují mnoho rozvíjejících
VíceGONIOMETRICKÉ ROVNICE -
1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:
VíceMĚŘENÍ VÝKONU V SOUSTAVĚ MĚNIČ - MOTOR. Petr BERNAT VŠB - TU Ostrava, katedra elektrických strojů a přístrojů
MĚŘENÍ VÝKONU V SOUSAVĚ MĚNIČ - MOOR Petr BERNA VŠB - U Ostrava, katedra elektrických strojů a řístrojů Nástu regulovaných ohonů s asynchronními motory naájenými z měničů frekvence řináší kromě nesorných
VíceLaplaceova transformace.
Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci
VícePARAMETRICKÉ MODELOVÁNÍ A KONSTRUOVÁNÍ ÚVOD DO PARAMETRICKÉHO MODELOVÁNÍ A KONSTRUOVÁNÍ
PARAMETRICKÉ MODELOVÁNÍ A KONSTRUOVÁNÍ ÚVOD DO PARAMETRICKÉHO MODELOVÁNÍ A KONSTRUOVÁNÍ Ing. Zdeněk Hodis, Ph.D. Úvod S rozvojem nových poznatků v oblasti technické grafiky je kladen důraz na jejich začlenění
VícePočítačová geometrie I
0 I RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Osnova předmětu Pojem výpočetní geometrie, oblasti
VíceRoviny. 3.) MP O[5;7] Rovina je dána body A[-2;3;3], B[-4;1;5] a C[-7;4;1]. Zobrazte stopy roviny.
Roviny.) MP O 6 Zobrazte stoy rovin 6 ;3) a (-5;45 ;0 )..) MP O[9;5] Zobrazte stoy rovin (-4;h;4) a (5;;h). 3.) MP O[5;7] Rovina je dána body A[-;3;3], B[-4;;5] a C[-7;4;]. Zobrazte stoy roviny. 4.) MP
VíceV p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :
Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku
Více7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.
75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV VODNÍCH STAVEB FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF WATER STRUCTURES VYUŽITÍ INTEGRAČNÍ METODY PRO MĚŘENÍ PRŮTOKU
VíceSpojitá náhodná veličina
Lekce 3 Sojitá náhodná veličina Příad sojité náhodné veličiny je komlikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní Je to dáno ředevším tím, že jednotková ravděodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně
VícePOČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ. Petra SurynkovÁ
POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ Petra SurynkovÁ Geometrie je základem mnoha oborů, její výuce je tedy nutno věnovat patřičnou pozornost. Syntetická geometrie však dnes bohužel nepatří mezi oblíbené partie školské
VíceMĚŘENÍ PLANCKOVY KONSTANTY
MĚŘENÍ PLANCKOVY KONSTANTY Pomůcky: voltmetr DVP-BTA, amérmetr DCP-BTA, sektrometr SectroVis Plus s otickým vláknem SectroVis Otical Fiber, několik různých LED, zdroj naětí, reostat, sojovací vodiče, LabQuest,
VíceOPTIMALIZACE PLÁŠTĚ BUDOV
OPTIMALIZACE PLÁŠTĚ BUDOV Jindřiška Svobodová Úvod Otimalizace je ostu, jímž se snažíme dosět k co nejlešímu řešení uvažovaného konkrétního roblému. Mnohé raktické otimalizace vycházejí z tak jednoduché
Více1. série. Různá čísla < 1 44.
série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q 6+ 9 9 6 ¾º ÐÓ `5+ 6 998 není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení
Více7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU
7. Výrobní činnost odniku Ekonomika odniku - 2009 7. VÝROBNÍ ČINNOST PODNIKU 7.1. Produkční funkce teoretický základ ekonomiky výroby 7.2. Výrobní kaacita Výrobní činnost je tou činností odniku, která
VíceISŠT Mělník. Integrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 2566, 276 01 Mělník Ing.František Moravec
SŠT Mělník Číslo rojektu Označení materiálu ázev školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace CZ..07/.5.00/34.006 VY_3_OVACE_H..05 ntegrovaná střední škola technická Mělník, K učilišti 566, 76 0 Mělník
VíceSměrová kalibrace pětiotvorové kuželové sondy
Směrová kalibrace ětiotvorové kuželové sondy Matějka Milan Ing., Ústav mechaniky tekutin a energetiky, Fakulta strojní, ČVUT v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6, milan.matejka@fs.cvut.cz Abstrakt: The
VíceCVIČENÍ Z ELEKTRONIKY
Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97
VíceVýpočet svislé únosnosti osamělé piloty
Inženýrský manuál č. 13 Aktualizace: 04/2016 Výočet svislé únosnosti osamělé iloty Program: Soubor: Pilota Demo_manual_13.gi Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit oužití rogramu GEO 5 PILOTA ro
VíceZákladní konvenční technologie obrábění SOUSTRUŽENÍ
EduCom Tento materiál vznikl jako součást rojektu EduCom, který je solufinancován Evroským sociálním fondem a státním rozočtem ČR. Základní konvenční technologie obrábění SOUSTRUŽENÍ Jan Jersák Technická
VícePARALELNÍ PROCESY A PROGRAMOVÁNÍ
PARALELNÍ PROCESY A PROGRAMOVÁNÍ 6 Analýza složitosti algoritmů - cena, ráce a efektivita Ing. Michal Bližňák, Ph.D. Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční odory Evroského sociálního fondu
VíceVYUŽITÍ TRANSIMPEDANČNÍCH ZESILOVAČŮ V AKTIVNÍCH FILTRECH
VYŽITÍ TRANSIMPEDANČNÍCH ZESILOVAČŮ V ATIVNÍCH FILTRECH sing Transimedance Amlifiers in Active Filters Vladimír Axman * Abstrakt Článek ojednává o možnostech využití transimedančních zesilovačů s vyvedenou
VícePRŮTOK PLYNU OTVOREM
PRŮTOK PLYNU OTVOREM P. Škrabánek, F. Dušek Univerzita Pardubice, Fakulta chemicko technologická Katedra řízení rocesů a výočetní techniky Abstrakt Článek se zabývá ověřením oužitelnosti Saint Vénantovavy
VíceVýpočet svislé únosnosti osamělé piloty
Inženýrský manuál č. 13 Aktualizace: 06/2018 Výočet svislé únosnosti osamělé iloty Program: Soubor: Pilota Demo_manual_13.gi Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit oužití rogramu GEO 5 PILOTA ro
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon
VíceČEŠTINA V KOMUNIKACI NESLYŠÍCÍCH
ČEŠTINA V KOMUNIKACI NESLYŠÍCÍCH (jednooborové bakalářské studium) B 731 Čeština v komunikaci neslyšících (Platnost akreditace: 13.1. 007 31.1. 015) Student je ovinen získat 130 kreditů z ovinných ředmětů
VíceNázev: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel
Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její
Více5.1.7 Vzájemná poloha přímky a roviny
5..7 Vzájemná oloha římky a roviny Předoklady: 506 Pedagogická oznámka: Tato a následující hodina je obtížně řiditelná. ni jedna z těchto hodin neobsahuje nic zásadního, v říadě časového skluzu je možné
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceTéma 7: Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet POPV
Téma 7: Přímý Otimalizovaný Pravděodobnostní Výočet POPV Přednáška z ředmětu: Pravděodobnostní osuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola
VíceZáklady elektrických pohonů, oteplování,ochlazování motorů
Základy elektrických ohonů, otelování,ochlazování motorů Určeno ro studenty kombinované formy FS, ředmětu Elektrotechnika II an Dudek únor 2007 Elektrický ohon Definice (dle ČSN 34 5170): Elektrický ohon
VíceModulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/ Brožura dobré praxe
Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Brožura dobré praxe Informatika 1 Brožura dobré praxe informatika Materiál shrnuje
VíceBc. Martin Sládek, Chudenín 31, 340 22 Nýrsko Česká republika
NÁVRH A VÝPOČET SPECIÁLNÍHO FRÉZOVACÍHO ZAŘÍZENÍ IFVW 113 SVOČ FST 2010 Bc. Martin Sládek, Chudenín 31, 340 22 Nýrsko Česká reublika ABSTRAKT Práce se zabývá konstrukčním návrhem seciálního frézovacího
VíceGeometrie pro počítačovou grafiku - PGR020
Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 18 O čem předmět bude Chceme podat teoretický základ nezbytný
Více3.2 Metody s latentními proměnnými a klasifikační metody
3. Metody s latentními roměnnými a klasifikační metody Otázka č. Vyočtěte algoritmem IPALS. latentní roměnnou z matice A[řádek,slouec]: A[,]=, A[,]=, A[3,]=3, A[,]=, A[,]=, A[3,]=0, A[,3]=6, A[,3]=4, A[3,3]=.
VíceKonstrukce kružnic
3.4.10 Konstruce ružnic Předolady: 3404 Př. 1: Jsou dány body K, L a M. Narýsuj všechny ružnice, teré rochází těmito třemi body. Kružnice - množina bodů, teré mají stejnou vzdálenost od středu ružnice
VíceTechnická dokumentace
Technická dokumentace Obor studia: 23-45-L / 01 Mechanik seřizovač VY_32_inovace_FREI10 : Zásady kreslení průřezů a průniků Datum vypracování: 26.11.2012 Vypracoval: Ing. Bohumil Freisleben Motto: průřez
VíceZkoušení a dimenzování chladicích stropů
Větrání klimatizace Ing. Vladimír ZMRHAL, Ph.D. ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav techniky rostředí Zkoušení a dimenzování chladicích stroů Ústav techniky rostředí Chilled Ceilings Testing and Dimensioning
VíceNakloněná rovina III
6 Nakloněná rovina III Předoklady: 4 Pedagogická oznáka: Následující říklady oět atří do kategorie vozíčků Je saozřejě otázkou, zda tyto říklady v takové nožství cvičit Osobně se i líbí, že se studenti
VíceNumerické výpočty proudění v kanále stálého průřezu při ucpání kanálu válcovou sondou
Konference ANSYS 2009 Numerické výočty roudění v kanále stálého růřezu ři ucání kanálu válcovou sondou L. Tajč, B. Rudas, a M. Hoznedl ŠKODA POWER a.s., Tylova 1/57, Plzeň, 301 28 michal.hoznedl@skoda.cz
VíceStandard studijního programu Deskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání
Standard studijního Deskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání A. Specifika a obsah studijního : Typ bakalářský Oblast/oblasti vzdělávání Matematika/Učitelství 60 % /40 % 1 Základní tematické okruhy
VíceROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva Vypracoval: Zdeněk Ovečka Třída: 4. C Školní rok: 2011/2012 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlášení Prohlašuji,
VíceGEOMETRICKÉ KONSTRUKCE V PŘÍPRAVĚ UČITELŮ MATEMATIKY
GEOMETRICKÉ KONSTRUKCE V PŘÍPRAVĚ UČITELŮ MATEMATIKY HODAŇOVÁ Jitka, CZ Resumé Studenti oboru Učitelství matematiky pro 2. stupeň základní školy budou u žáků základních škol rozvíjet prostorovou představivost
VíceTeplovzdušné motory motory budoucnosti
Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra energetiky Telovzdušné motory motory budoucnosti Text byl vyracován s odorou rojektu CZ.1.07/1.1.00/08.0010 Inovace odborného vzdělávání
VíceUčitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika
Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)
VícePříloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE
Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné
Více1.5.2 Mechanická práce II
.5. Mechanická ráce II Předoklady: 50 Př. : Jakou minimální ráci vykonáš ři řemístění bedny o hmotnosti 50 k o odlaze o vzdálenost 5 m. Příklad sočítej dvakrát, jednou zanedbej třecí sílu mezi bednou a
VíceOddělení technické elektrochemie, A037. LABORATORNÍ PRÁCE č.9 CYKLICKÁ VOLTAMETRIE
ÚSTV NORGNIKÉ THNOLOGI Oddělení technické elektrochemie, 037 LBORTORNÍ PRÁ č.9 YKLIKÁ VOLTMTRI yklická voltametrie yklická voltametrie atří do skuiny otenciodynamických exerimentálních metod. Ty doznaly
Více3. Silové působení na hmotné objekty
SÍL OENT SÍLY - 10-3. Silové ůsobení na hmotné objekty 3.1 Síla a její osuvné účinky V této kaitole si oíšeme vlastnosti silových účinků ůsobících na konstrukce a reálné mechanické soustavy. Zavedeme kvantitativní
VíceII. MOLEKULOVÁ FYZIKA 1. Základy termodynamiky IV
II. MOLEKLOÁ FYZIKA 1. Základy termodynamiky I 1 Obsah Princi maxima entroie. Minimum vnitřní energie. D otenciály vnitřní energie entalie volná energie a Gibbsova energie a jejich názorný význam ři některých
VíceDynamické programování
ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5
Vícemůžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.
RAVDĚODOBNOST - matematická discilína, která se zabývá studiem zákonitostí, jimiž se řídí hromadné náhodné jevy - vytváří ravděodobnostní modely, omocí nichž se snaží ostihnout náhodné rocesy. Náhodné
VíceE-LEARNING V OBORU ZDRAVOTNICKÁ TECHNIKA NA 1.LF UK
E-LEARNING V OBORU ZDRAVOTNICKÁ TECHNIKA NA 1.LF UK MUDr.Jaroslava Kymplová, Ph.D. Ing. Petr Honzík Univerzita Karlova v Praze, 1.lékařská fakulta, Ústav biofyziky a informatiky Bakalářský obor Zdravotnická
VíceLata, Jandačka, Kopecký, Sikorová, Závacká, Volná, Zářický, Malura, Plevová, Drozd, Chytil, Skýpala
Záis ze zasedání Rady ro vnitřní hodnocení ze dne 29. října 2018 Č. j.: OU86335/902018 Přítomni: Omluveni: Hosté: Lata, Jandačka, Koecký, Sikorová, Závacká, Volná, Zářický, Malura, Plevová, Drozd, Chytil,
VíceStudijní obory akademický rok 2010/2011
s univerzitními středisky v Plzni, Liberci, Hradci Králové Studijní obory akademický rok 2010/2011 Bc. Mgr. PhDr. Ph.D. Asijská studia a mezinárodní vztahy Anglohone Studies Mezinárodní vztahy a evroská
VíceMinia D14 SVODIČE PŘEPĚTÍ SVC, SVM SVC, SVM. Výměnné moduly
SVC, SVM SVODIČE PŘEPĚTÍ SVC, SVM K ochraně elektrických sítí a zařízení řed řeětím vzniklým neřímým úderem blesku. K ochraně řed řeětím vzniklým atmosferickými oruchami a od sínacích ochodů v sítích.
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VíceStřední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy parametrického modelování Skicovací nástroje
VíceTermodynamické základy ocelářských pochodů
29 3. Termodynamické základy ocelářských ochodů Termodynamika ůvodně vznikla jako vědní discilína zabývající se účinností teelných (arních) strojů. Později byly termodynamické zákony oužity ři studiu chemických
Více5.1.8 Vzájemná poloha rovin
5.1.8 Vzájemná oloha rovin Předoklady: 5107 Př. 1: Kolik solečných bodů mohou mít dvě roviny? Každou možnost dokumentuj omocí dvou rovin určených vrcholy krychle a urči vzájemnou olohu rovin. Mohou nastat
VíceVolitelné semináře ve 3. ročníku
Volitelné semináře ve 3. ročníku Seminář českého jazyka a literatury (3. ročník) - dvouhodinový Výuka zahrnuje literární výchovu a jazykovou a komunikační výchovu, které se vzájemně doplňují a prolínají.
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceZávislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky
Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceVyužití programu GeoGebra v Matematické analýze
Využití programu GeoGebra v Matematické analýze Zuzana Morávková, KMDG, VŠB-TUO 29.3.2012 Obsah přednášky všeobecné informace o programu GeoGebra vybrané problematické pojmy z Matematické analýzy - interaktivní
VícePZP (2011/2012) 3/1 Stanislav Beroun
PZP (0/0) 3/ tanislav Beroun Výměna tela mezi nální válce a stěnami, telotní zatížení vybraných dílů PM elo, které se odvádí z nálně válce, se ředává stěnám ve válci řevážně řestuem, u vznětových motorů
VíceMATEMATIKA II. období (4. 5. ročník)
MATEMATIKA II. období (4. 5. ročník) Charakteristika předmětu Při vyučování matematice v druhém období základního vzdělávání při probírání určitého učiva: - využíváme matematické poznatky a dovednosti
VíceStandard studijního programu Informatika se zaměřením na vzdělávání
Standard studijního Informatika se zaměřením na vzdělávání A. Specifika a obsah studijního : Typ bakalářský Oblast/oblasti vzdělávání Informatika/Učitelství 60 % / 40 % 1 Základní tematické okruhy Diskrétní
VíceADC (ADS) AIR DATA COMPUTER ( AIR DATA SYSTEM ) Aerometrický počítač, Aerometrický systém. V současné době se používá DADC Digital Air data computer
ADC (ADS) AIR DATA COPUTER ( AIR DATA SYSTE ) Aerometrický očítač, Aerometrický systém V současné době se oužívá DADC Digital Air data comuter Slouží ke snímání a komlexnímu zracování aerometrických a
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 10. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 2013 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
Více4. cvičení. 15. října 2014
4. cvičení 15. října 2014 Petra Hrochová petra.hrochova@fsv.cvut.cz D 1035 Konzultační hodiny: Pondělí 15:45 16:45 Po dohodě e-mailem kdykoliv jindy Obsah CAD systémy a jejich rozdělení Rastrová a vektorová
VíceLineární binární bezpečnostní kódy
Lineární binární bezečnostní kódy Linear binary saety codes Jakub Kučík Bakalářská ráce 27 Předkládaná bakalářská ráce sadá tématicky do oblasti lineárních binárních bezečnostních kódů a zároveň do multimediální
Více- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů
- 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně
VíceAplikace 3D grafiky ve výuce na ZŠ
Aplikace 3D grafiky ve výuce na ZŠ Martin Kučera, Petr Šavelka Pedagogická fakulta MU m.kucera@ped.muni.cz, 256243@mail.muni.cz Využití 3D grafiky a zájem o ni v posledních letech významně vzrůstá. Z velké
VíceMATEMATIKA. Z pohledu psychologů jsou pro rozvoj geometrické představivosti důležitá
MATEMATIKA Stavby z kostek OLDŘICH ODVÁRKO JARMILA ROBOVÁ Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Při výuce budoucích učitelů matematiky se řadu let setkáváme s tím, že studenti mívají problémy s pochopením
Více1.5.5 Potenciální energie
.5.5 Potenciální energie Předoklady: 504 Pedagogická oznámka: Na dosazování do vzorce E = mg není nic obtížnéo. Problém nastává v situacíc, kdy není zcela jasné, jakou odnotu dosadit za. Hlavním smyslem
VíceMNOŽINY BODŮ. Základní informace o materiálu
MNOŽINY BODŮ S množinami bodů se žáci středních škol poprvé setkávají v tematickém celku Planimetrie. Pro potřeby konstrukční geometrie se zpravidla učí postup vlastní konstrukce dané množiny, aniž přesně
VíceMYCÍ ZAŘÍZENÍ PRO UŽITKOVÁ VOZIDLA SÍLA A VÝKON. MaxiWash
MYCÍ ZAŘÍZENÍ PRO UŽITKOVÁ VOZIDLA SÍLA A VÝKON MaxiWash Mycí linky určené ro mytí a ošetřování všech užitkových vozidel MaxiWash WashTec nabízí linku ro mytí užitkových vozidel odle vašich otřeb. Pro
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy
VíceMACHINE OF THE YEAR 2014 COMPACT
MERLO 1964-2014 MACHINE OF THE YEAR 2014 COMACT CZ 2 3 SKUINA MERLO SKUINA MERLO růlomové technologie Bezečnost, ohodlí a maximální výkon Značka Merlo je od samého zrodu synonymem okročilých technologií
Více