Deskriptivní geometrie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Deskriptivní geometrie"

Transkript

1 Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1

2 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké škole technické a ekonomické v Českých Budějovicích" s registračním číslem CZ.1.07./2.2.00/ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1. vydání ISBN Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 2013 Vydala: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, Okružní 10, České Budějovice Za obsahovou a jazykovou správnost odpovídají autoři a garanti příslušných předmětů. 2

3 OBSAH 1. Úvod... 8 Klíčové pojmy... 8 Cíle kapitoly... 8 Čas potřebný ke studiu kapitoly... 8 Výklad Průměty bodů V Mongeově projekci V kosoúhlém promítání V pravoúhlé axonometrii Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Průměty přímek a úseček Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Stopník přímky Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky Vzájemná poloha přímek Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Rovina Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Rovina zadaná pomocí úseků na osách Určenost roviny Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci

4 3.4 Vzájemná poloha rovin Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Vzájemná poloha přímky a roviny Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Průsečík přímky s rovinou Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Kuželosečky Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Elipsa Hyperbola Parabola Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Průměty rovinných obrazců v Mongeově projekci Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci Obrazce ležící v některé z průměten

5 6.1.2 Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten Otáčení roviny v obecné poloze Osová afinita Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze Průměty kružnice v Mongeově projekci Kružnice ležící v některé z průměten Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten Kružnice ležící v rovině v obecné poloze Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Průměty rovinných obrazců ležících v půdorysně a průměty jednoduchých těles s podstavou v půdorysně v pravoúhlé axonometrii Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad n-úhelníky ležící v půdorysně Kružnice ležící v půdorysně Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Rozdělení ploch, rotační plochy a jejich tečná rovina. Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Analytické plochy Tečná rovina Plochy rotační Plochy nerotační Přímkové plochy Studijní materiály

6 Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha a konoid Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Nerozvinutelné přímkové plochy Nerozvinutelné přímkové plochy rotační Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Základy kótovaného promítání Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Skutečná velikost úsečky Stupňování přímky, stopník přímky Stopa roviny, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Průsečnice různoběžných rovin Spád přímky, spád roviny, interval roviny Řešení násypů a výkopů v rovinném terénu Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Topografie Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Vrstevnicový plán

7 Interkalární vrstevnice Rovinný řez topografickou plochou Řešení výkopů a násypů vodorovné komunikace Řešení výkopů a násypů stoupající komunikace Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Teoretické řešení střech Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Typy střech Střechy s volnými okapy (bez zastavěných částí) Řešení střech se dvory Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Teoretické řešení střech se zastavěnými částmi Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Střechy s rovnými zastavěnými částmi Střechy se zastavěnými rohy Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Použitá literatura

8 1. Úvod KLÍČOVÉ POJMY promítání, středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání, šikmé promítání, Mongeovo promítání, půdorysna, nárysna, půdorys bodu, nárys bodu, bokorysna, pravoúhlá axonometrie, e, izometrie CÍLE KAPITOLY Získat úvodní informace o promítání. Seznámit se s druhy rovnoběžného promítání. Seznámit se s průměty bodů v Mongeově promítání. Seznámit se s průměty bodů v kosoúhlém promítání. Seznámit se s průměty bodů v pravoúhlé axonometrii. 8 hodiny ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Deskriptivní geometrie zobrazuje prostorové předměty útvary rovinnými. Pomocí těchto rovinných útvarů pak řeší úlohy prostorové. Zmíněné zobrazení prostorových útvarů do roviny provádí pomocí promítání.. Princip promítání třech různých bodů A,B a C je znázorněn na následujícím obrázku č. 1. 8

9 Obrázek č. 1 π - průmětna S( S π) střed promítání A 1 - průmět bodua SA - promítací paprsek V obrázku č. 1 je střed promítání vlastní (v konečnu), hovoříme o středovém promítání. Je-li střed promítání nevlastní (bod v nekonečnu v následujících obrázcích č. 2 a 3 je jeho poloha naznačena šipkou), jsou promítací paprsky jednotlivých bodů rovnoběžné a hovoříme o promítání rovnoběžném. 9

10 Obrázek č. 2 Obrázek č. 3 Je-li směr promítacích paprsků rovnoběžného promítání kosý k průmětně π, potom hovoříme o kosoúhlém nebo šikmém promítání, je-li tento směr kolmý k průmětně π, jedná se o pravoúhlé nebo kolmé promítání. Promítání středové není náplní tohoto textu. Nejznámějšími druhy rovnoběžných promítání jsou: - Mongeovo promítání - kosoúhlé promítání - pravoúhlá axonometrie - kótované promítání. 1.1 Průměty bodů V Mongeově projekci Mongeovo promítání je pravoúhlé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny vodorovnou, kterou značíme π a nazýváme půdorysna a svislou, značenou ν s názvem 10

11 nárysna. Kolmý průmět bodua do půdorysny značíme A 1 a nazýváme jej půdorys bodu A, kolmý průmět bodu A do nárysnya 2 nazýváme nárys bodu A. Obrázek č. 4 Soustava třírozměrných Kartézských souřadnic je zvolena tak, že průsečnice průměten π a ν tvoří osu x, počátkem O na této ose jsou pak proloženy kolmo osa y ležící v půdorysně a osa z ležící v nárysně. V obrázku č. 4 je zobrazena i orientace os kladné části jsou označeny x +, y + a z +, záporné x -,y - a z -. Z obrázku č. 4 je také patrné, že zobrazený bod A má souřadnice x, y a z kladné. Zobrazený bod B má záporné souřadnice x a z, kladnou souřadnici y. Bod C ležící v π má zápornou souřadnici x, kladnou y a souřadnici z=0. 11

12 Nárysna nechť nyní tvoří naši nákresnu, půdorysnu otočme tak, že její přední část se otočí podle osy x do spodní části nárysny a zadní část do horní části nárysny (otočení je v obrázku č. 4 naznačeno šipkami). Po tomto otočení zřejmě splynou osy y a z, jejich orientace ale bude opačná. Situaci z obrázku pak představuje následný obrázek č. 5, půdorys a nárys konkrétního bodu se nazývají sdružené průměty. Obrázek č. 5 Příklad č. 1: Sestrojte sdružené průměty bodů: A =[2;3;4], B =[-5;2;-3], C =[-2;5;0], D =[0;-3;2], E =[4;0;3]. Řešení: V Mongeově promítání nebývá zvykem zakreslovat osy y a z ani orientaci osy x. Obrázek č. 6 12

13 1.1.2 V kosoúhlém promítání Kosoúhlé promítání je kosé (šikmé) rovnoběžné promítání na některou průmětnu. V tomto textu bude touto průmětnou výhradně průmětna určená osami y a z, kterou značíme µ a nazýváme ji bokorysna - viz obrázek č. 7. Obrázek č. 7 13

14 Průměty útvarů ležících v bokorysně budou tedy při tomto promítání totožné samy se sebou. Podle směru promítacích paprsků rozlišujeme 4 základní druhy kosoúhlého promítání viz následné čtyři obrázky č. 8. Obrázek č. 8 nadhled zprava nadhled zleva podhled zleva podhled zprava 14

15 Obrázek č. 9 nadhled zprava nadhled zleva podhled zleva podhled zprava Ve směru osy xse délky mohou zkracovat, zachovávat případně prodlužovat. Kosoúhlé promítání je tedy zadáváno dvěma prvky: úhlem ω a koeficientem q, který je poměrem délky průmětu a skutečné délky úsečky ve směru osy x (koeficient zkrácení prodloužení). Zobrazení bodu je dáno průmětem bodu a jeho půdorysu. Příklad č. 2: V kosoúhlém promítání ω =135 0, q=2/3 zobrazte průměty bodůa=[3;0;4], B=[6;5;4], C =[5;8;0], D=[-5;-2;2]. Řešení: Jak již bylo řečeno, souřadnice y a z se zobrazují nezkrácené, x-ové souřadnice je nutno zkracovat poměrem 2/3. V obrázku č. 10 byl na prodlouženou osu z vynesen trojnásobek jmenovatele koeficientu q a na průmět osy x trojnásobek čitatele koeficientu q (q= = - koeficient zkrácení byl pro přesnější konstrukci rozšířen číslem 3) Spojnice takto získaných bodů určuje směr zkrácení. Nezkrácené souřadnice jsou v obrázku č. 10 naznačeny pouze u bodů A a B (A=[x A ;y A ;z A ], B=[x B ; y B ;z B ]). Obrázek č

16 1.1.3 V pravoúhlé axonometrii Pravoúhlá neboli kolmá axonometrie je pravoúhlé promítání do axonometrické průmětny θ,, která je v obecné poloze vzhledem k půdorysně, nárysně i bokorysně viz obrázek č. 11. Obrázek č. 11 Axonometrická průmětna protíná půdorysnu, nárysnu a bokorysnu v axonometrickém trojúhelníkuxyz.. Pravoúhlé průměty os x, y a zdo axonometrické průmětny pak leží ve výškách tohoto trojúhelníku. 16

17 Chceme-li získat velikost jednotek na osách, provedeme otočení podle následujícího obrázku č. 12. Úhly XOY, YOZ a ZOX jsou ve skutečnosti pravé. Obrázek č. 12 Pokud je axonometrický trojúhelník XYZ rovnostranný, tento druh nazýváme izometrie, je zkrácení na všech osách stejné a jednotky 0, Ve většině příkladů tohoto textu budu používat jednotky zaokrouhlené, což na obecnosti nijak neubere. Příklad č. 3: Zobrazte v izomerii (j x =j y =j z =0,8) průměty bodů a určete polohu těchto bodů vzhledem k průmětnám: A = [ 5 ;4;3], B = [ 6;1;5 ], C = [ 3; 4;1 ], D = [ 4;2; 2 ], E = [ 0;5;2 ], F = [ 2;4;0], G = [ 6;0;3]. Řešení: 17

18 Obrázek č. 13 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. 18

19 SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co znamená středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání. 2. Jaký je rozdíl mezi půdorysem bodu a nárysem bodu? 3. Co označujeme pravoúhlou axonomitrií? 4. Co je to izometrie? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 19

20 2. Průměty přímek a úseček KLÍČOVÉ POJMY stopník přímky, půdorysný stopník přímky, nárysný stopník přímky, bokorysný stopník přímky, sklopené body, přímky rovnoběžné, přímky různoběžné, přímky mimoběžné CÍLE KAPITOLY Získat informace o průmětech přímek a úseček. Znát pojem stopník přímky. Seznámit se s průmětem úseček v Mongeově projekci. Seznámit se se vzájemnými polohami přímek. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Průmětem přímky je přímka, ve zvláštním případě (je-li tato přímka rovnoběžná se směrem promítání) je jím bod. Pro všechna rovnoběžná promítání dále platí: Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou dvě rovnoběžky (různé nebo totožné) nebo dva body. Vzhledem k průmětnám může být přímka p v obecné poloze, rovnoběžná s některou průmětnou nebo kolmá k některé z průměten. 20

21 V axonometrickém promítání je zobrazena přímka průmětnám v obecné poloze. p = AB, která je vůči Obrázek č. 14 V dalším obrázku č. 15 jsou zakresleny v kosoúhlém promítání průměty přímek a//π, b// µ a c//ν. Obrázek č

22 V Mongeově projekci jsou zobrazeny sdružené průměty přímky p =AB, A = [ 0;3;5 ], B = [ 5;7; 4] ;. Obrázek č

23 Na obrázku č. 17 jsou v Mongeově projekci zobrazeny průměty přímek a// π, c//ν, q π. Obrázek č Stopník přímky Stopníkem přímky nazýváme průsečík této přímky s průmětnou. Průsečík přímky s půdorysnou nazýváme půdorysný stopník přímky a obvykle jej značíme P, průsečík přímky s nárysnou nazýváme nárysný stopník přímky a obvykle jej značíme N, případně průsečík přímky s bokorysnou nazýváme bokorysný stopník přímky, který obvykle značíme M. Pokud se v daném příkladu vyskytuje více půdorysných nebo nárysných případně bokorysných stopníků, přidáváme na rozlišení k jejich označení jméno přímky např. P a, P b, N p,.. 23

24 V obrázku č. 18 v izomerii, který obsahuje přímky p a q, jsou vyznačeny půdorysné stopníky p P a q P, nárysný stopník q N (nárysný stopník přímky (nárysný stopník přímky p neexistuje) a bokorysné stopníky p M a q M. Obrázek č. 18 Obdobně v Mongeově projekci, která zobrazuje přímky p a q, jsou vyznačeny půdorysné stopníky p P a P q q a nárysný stopník N. Obrázek č

25 Příklad č. 4: V izomerii (j x =j y =j z =0,8) sestrojte průměty přímek p = AB, q = AC, A = [ 1;4;2 ], B = [ 5;4;6 ], C = [ 5;0;2]. Určete jejich polohu vzhledem k průmětnám a určete jejich stopníky. Řešení: Obrázek č

26 2.1 Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky Průmětem úsečky v Mongeově projekci je buď úsečka s délkou kratší (viz obr.). Obrázek č

27 Průmětem úsečky v Mongeově projekci může také být úsečka s délkou stejnou (viz obr.) v uvedeném případě je úsečka rovnoběžná s průmětnou π. Obrázek č. 22 Nebo je jejím průmětem bod (viz obr.) v uvedeném případě je úsečka kolmá k průmětně π. Obrázek č

28 Skutečnou velikost úsečky AB v prvém případě můžeme určovat sklápěním do půdorysny viz obr., body (A) a (B) nazýváme sklopené body A a B. Obrázek č. 24 Pokud jsou z-ové souřadnice bodů A a B rozdílného znaménka, sklopení bodů se provádí na opačné strany viz obr. Obrázek č

29 2.2 Vzájemná poloha přímek Rozeznáváme tři vzájemné polohy přímek. 1) Přímky rovnoběžné Obrázek č. 26 Obrázek č

30 2) Přímky různoběžné Obrázek č. 28 Obrázek č

31 3) Přímky mimoběžné Obrázek č. 30 Obrázek č

32 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN

33 OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to stopník přímky? 2. Co může být průmětem úsečky v Mongeově projekci? 3. Jak určit skutečnou velikost úsečky? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být přímky? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 33

34 3. Rovina KLÍČOVÉ POJMY průmětna, stopy roviny, průsečnice CÍLE KAPITOLY Seznámit se s rovinou zadanou pomocí úseků na osách. Získat informace o tom, jak se určuje rovina. Seznámit se se vzájemnými polohami rovin. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Průmětem roviny je celá průmětna,, ve zvláštním případě (je-li rovina rovnoběžná se směrem promítacích paprsků) pak je jím přímka. Stopami roviny nazýváme průsečnice roviny s průmětnami. Průsečnici roviny s půdorysnou nazýváme půdorysná stopa roviny a obvykle ji značíme označení dané roviny. Průsečnici ρ s nárysnou nazýváme nárysná stopa roviny a ρ značíme ji n, případně průsečnici roviny ρ s bokorysnou nazýváme bokorysná stopa a značíme ji ρ m. ρ p, kde, kde ρ je Obrázek č

35 3.1 Rovina zadaná pomocí úseků na osách V předchozím obrázku č 32 jsou úseky, které daná rovina vytíná na osách označeny ρ [ x ; y ; z ] ρ =. ρ ρ ρ ρ x, y, z x, y, z. Tyto úseky pak jsou jedním ze způsobů zadání roviny - ρ Příklad č. 5: Sestrojte stopy rovin α = [ 3;3;2 ] a β = [ 4; 3;2] a) v kosoúhlém promítání 135, Obrázek č

36 b) v Mongeově projekci Obrázek č. 34 Je zřejmé, že roviny α a β mají vzhledem k průmětnám obecnou polohu. Příklad č. 6: Sestrojte stopy rovin γ = [ 3;4; ], δ = [ ;2;3 ], ε = [ ; ;1] a) v kosoúhlém promítání 135, Obrázek č

37 b) v Mongeově projekci Obrázek č. 36 Polohy rovin γ, δ, ε jsou γ π, δ µ, ε // π. 3.2 Určenost roviny Rovina je obvykle určena jedním ze čtyř následujících způsobů: a) Třemi body, které neleží v přímce 37

38 b) Přímkou a bodem, který na ní neleží c) Dvěma různoběžkami d) Dvěma různými rovnoběžkami. Pro práci s rovinou používáme velmi důležitou následující větu: Leží-li přímka v rovině, potom její půdorysný stopník leží na půdorysné stopě roviny, nárysný stopník leží na nárysné stopě roviny, případně bokorysný stopník leží na bokorysné stopě roviny. Obrázek č. 37 Příklad č. 7: Sestrojte stopy roviny = ABC a) v kosoúhlém promítání ρ. A = [ 1; 2;4 ], B = [ 2;4;1 ], C = [ 4;5;3] Řešení: Byly zvoleny přímky c = AB a a = CB a určeny stopníky. Obrázek č

39 b) v Mongeově projekci Obrázek č

40 3.3 Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci Úkol, kdy k danému půdorysu bodu máme určit jeho nárys, obvykle řešíme pomocí zvláštních přímek roviny, tzv. hlavních přímek 1. případně 2. osnovy. Hlavní přímky 1. osnovy jsou rovnoběžné s půdorysnou, hlavní přímky 2. osnovy jsou rovnoběžné s nárysnou. Obrázek č osnovy 2. osnovy Příklad č. 8: V Mongeově projekci sestrojte chybějící průměty bodů A = [ 1;2; za ], B = [ 1; 0,8; z B ] pomocí hlavních přímek 1. osnovy tak, aby A, B ρ = [ 4;3;5]. Řešení: Obrázek č

41 3.4 Vzájemná poloha rovin Dvě různé roviny v prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. Rovnoběžné roviny nemají žádný společný bod, různoběžné roviny mají společnou přímku průsečnici. Rovnoběžné roviny Vzhledem k tomu, že nemají žádný společný bod, jsou jejich odpovídající stopy, které existují, rovnoběžné. Obrázek č

42 Různoběžné roviny Vzhledem k tomu, že tyto roviny mají společnou přímku, hledáme při řešení průsečnice q dva různé společné body těchto rovin. V obrázku č. 43 je v Mongeově projekci užito průsečíku Ppůdorysných stop rovin a průsečíku N nárysných stop rovin. Obrázek č

43 V obrázku č. 44 v kosoúhlém promítání užito průsečíku P půdorysných stop rovin a průsečíku M bokorysných stop rovin. Obrázek č. 44 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 43

44 VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětna? 2. Co nazýváme stopami roviny a jaké známe stopy roviny? 3. Jakými způsoby může být určena rovina? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být roviny? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 44

45 4. Vzájemná poloha přímky a roviny průsečík KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průsečíkem přímky s rovinou. Seznámit se s průmětem přímky k rovině. Určit vzdálenost bodu k rovině. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Přímka, která v rovině neleží, může být s rovinou rovnoběžná nebo různoběžná. Přímka rovnoběžná s rovinou s ní nemá žádný společný bod, přímka různoběžná má s rovinou jeden společný bod průsečík.. Určení, kdy přímka je s rovinou rovnoběžná bez společného bodu, je složitější. Proto budeme řešit případ hledání průsečíku přímky s rovinou, pokud pak zjistíme, že žádný neexistuje, jedná se o přímku s rovinou rovnoběžnou. 45

46 4.1 Průsečík přímky s rovinou Při určování průsečíku přímky p s rovinou ρ volíme následující postup znázorněný v obrázku č. 45 v Mongeově projekci. Danou přímkou p proložíme libovolnou rovinu δ (její půdorysná stopa musí procházet půdorysným stopníkem nárysná stopa nárysným stopníkem pak na přímce p vytíná hledaný bod Q. p P a p N ), sestrojíme průsečnici qrovin ρ, přímka q Obrázek č

47 Pro jednodušší řešení tohoto problému bývá ve většině případů vhodné volit rovinu δ kolmou k některé průmětně. V obrázku č. 46 je se stejným zadáním předchozího příkladu volena rovina δ kolmá k půdorysně. Obrázek č. 46 V obrázku č. 47 je řešen v kosoúhlém promítání průsečík přímky p s rovinou ρ. Rovina δ je opět volena kolmá k půdorysně. Obrázek č

48 4.2 Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci Průmětem přímky kolmé k rovině ρ v Mongeově projekci je v půdoryse přímka k 1 kolmá k půdorysné stopě roviny ρ a v nárysně přímka k 2 kolmá k nárysné stopě roviny ρ. V obrázku č. 48 jsou průměty přímky k kolmé k rovině ρ proloženy daným bodem A. Obrázek č

49 4.3 Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci Při určování vzdálenosti bodu A od roviny ρ postupujeme následovně: 1. Bodem A proložíme přímku k kolmou k rovině ρ. 2. Sestrojíme průsečík přímky k s rovinou ρ - Q. 3. Určíme skutečnou velikost úsečky AQ. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. 49

50 SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to průsečík? 2. Jak postupujeme při určování vzdálenosti bodu od roviny? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 50

51 5. Kuželosečky KLÍČOVÉ POJMY elipsa, ohnisko, oskulační kružnice elipsy, tečna elipsy, vrcholová kružnice, řídící kružnice, hyperbola, asymptoty, oskulační kružnice, parabola CÍLE KAPITOLY Seznámit se s elipsou. Seznámit se s hyperbolou. Seznámit se s parabolou. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Jednoduché kuželosečky jsou rovinné křivky vzniklé řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy. Pokud rovina řezu protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy, získáme elipsu, je-li rovina řezu rovnoběžná s jednou povrchovou přímkou, získáme parabolu. Je-li rovina řezu rovnoběžná se dvěma povrchovými přímkami, jedná se o hyperbolu. 51

52 5.1 Elipsa Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý součet vzdáleností. Obrázek č. 49 A, B hlavní vrcholy elipsy C, D vedlejší vrcholy elipsy - hlavní osa elipsy - vedlejší osa elipsy S střed elipsy, - ohniska elipsy - hlavní poloosy elipsy - vedlejší poloosy elipsy =e excentricita (výstřednost) elipsy, - průvodiče bodu M =2a 52

53 Bodová konstrukce elipsy Obrázek č. 50 Body 1, 2, 3 jsou libovolně zvoleny na hlavní ose mezi středem a ohniskem, bod má od vzdálenost 1 a od vzdálenost 1. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy. Oskulační kružnice elipsy Oskulační kružnice přibližně nahrazují křivost v určitém bodě. V následujícím obrázku č. 51 je znázorněna konstrukce těchto kružnic pro hlavní a vedlejší vrcholy. Obrázek č

54 Tečna elipsy Tečna elipsy půlí úhel průvodičů bodu dotyku. Obrázek č

55 V předchozím obrázku č. 52 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu elipsy leží na kružnici se středem S a poloměrem a - vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen elipsy leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice. Proužková konstrukce elipsy Obrázek č

56 5.2 Hyperbola Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý rozdíl vzdáleností. Obrázek č. 54 A, B hlavní vrcholy hyperboly C, D vedlejší vrcholy hyperboly 56

57 - hlavní osa hyperboly - vedlejší osa hyperboly S střed hyperboly, - ohniska hyperboly - hlavní poloosy hyperboly - vedlejší poloosy hyperboly =e excentricita (výstřednost) hyperboly, - průvodiče bodu M =2a Bodová konstrukce, asymptoty, oskulační kružnice a tečna hyperboly Bodová konstrukce bod 1 libovolně zvolený na prodloužení hlavní osy ve vzdálenosti větší než e od bodu S, bod M má od vzdálenost 1 a od vzdálenost 1. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy. Asymptoty tečny, ke kterým se hyperbola nekonečně přibližuje. V obrázku č. 55 jsou označeny a a sestrojíme je jako úhlopříčky obdélníka, jehož strany procházejí hlavními a vedlejšími vrcholy rovnoběžně s osami. Oskulační kružnice v obrázku č. 55 je zobrazena konstrukce oskulační kružnice pro vrchol B. Její střed vytíná na hlavní ose kolmice k asymptotě sestrojené ve vrcholu výše zmíněného obdélníka. Oskulační kružnice v A má stejný poloměr. Tečna hyperboly půlí úhel průvodičů bodu dotyku. Obrázek č

58 V předchozím obrázku č. 55 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu hyperboly leží na kružnici se středem S a poloměrem a vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen hyperboly leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice. 5.3 Parabola Parabola je množina bodů v rovině, které mají od přímky zvané řídící přímka a od pevného bodu - ohniska, stejnou vzdálenost. d - řídící přímka paraboly F ohnisko paraboly o - osa paraboly V vrchol paraboly 58

59 - parametr paraboly, - průvodiče bodu M Bodová konstrukce, oskulační kružnice a tečna paraboly Bodová konstrukce - bod 1 libovolně zvolený na polopřímce, bodem 1 sestrojíme přímku rovnoběžnou s řídící přímkou a její průsečík s kružnicí se středem v bodě F a poloměrem 1 je bodem paraboly. Další body sestrojíme podobně užitím bodů 2.3,... Oskulační kružnice - v bodě V má poloměr p. Tečna paraboly - půlí úhel průvodičů bodu dotyku. Obrázek č

60 V předchozím obrázku č. 56 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohniska na tečnu paraboly leží na tečně sestrojené ve vrcholu V - vrcholová tečna. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen paraboly leží na řídící přímce. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké jednoduché kuželosečky (rovinné křivky) vzniknou řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy? 2. Co to je ohnisko? 3. Charakterizujte elipsu. 60

61 4. Charakterizujte hyperbolu. 5. Co představují asymptoty? 6. Charakterizujte parabolu. KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 6. viz. výklad 61

62 6. Průměty rovinných obrazců v Mongeově projekci osová afinita KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průměty n-úhelníků v Mongeově projekci. Znát pojem osová afinita. Seznámit se s průměty kružnic v Mongeově projekci. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD 6.1 Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci Obrazce ležící v některé z průměten Obrázek č. 57 znázorňuje průmět čtverce ležícího v půdorysně π. Jeho půdorys vidíme ve skutečné podobě, nárysem je úsečka. Obrázek č

63 Čtenář jistě usoudí na průměty obrazce ležícího v nárysně υ Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten V obrázku č. 58 je řešen následující Příklad č. 9. Příklad č. 9: Sestrojte průměty čtverce ABCD ležícího v rovině ρ = [ 2; ;1 ], A = [ 1;1,3; z ], C = [ 1;5 ; ] A z C Řešení: Byly sestrojeny nárysy bodů A a C, které v této rovině leží. Protože se jedná o rovinu ρ kolmou k nárysně, leží A 2 a C 2 na n 2 = ρ2. Rovina ρbyla otočena podle půdorysné stopy do půdorysny. Při otáčení se body A a C pohybují po kružnici, roviny těchto kružnic jsou kolmé ke stopě ρ p. V půdoryse jsou otočené body A 0 a C 0 na přímkách procházejících body A 1 a C 1, kolmých k p 1. Nárysem kružnic otáčení jsou kružnice (v obrázku č. 58 zakresleny čárkovanou čarou). V otočení je čtverec ve skutečné velikosti, A 0 a C0bylo doplněno na čtverec A 0B0C0D0 a provedeno zpětné otočení do nárysu a půdorysu. ρ Obrázek č

64 Student jistě sám objeví princip otáčení roviny kolmé k půdorysně podle nárysné stopy do nárysny Otáčení roviny v obecné poloze V obrázku č. 59 je znázorněno otáčení roviny ρ v obecné poloze podle půdorysné stopy do půdorysny. Poloměr otáčení bodu A lze získat z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří vzdálenost půdorysu A 1 od ρ p a z-ová souřadnice z A bodu A. Obrázek č

65 Příklad č. 10: Je dána rovina = [ 7;7,8;6,5] ρ a body S ρ A,, A [ 5 ;9; z ], S = [ 2,5;4,5; ] otočení těchto bodů podle půdorysné stopy roviny ρ do půdorysny. =. Proveďte A z S Řešení: Viz obrázek č. 60. K půdorysům bodů A, S byly pomocí hlavních přímek určeny jejich nárysy A 2 a S 2. Roviny otáčení bodů A, S jsou kolmé k sklopením bodů A, S. ρ p, poloměr otáčení byl určen Obrázek č

66 Opět vyzývám studenta, aby si promyslel případné otáčení roviny podle nárysné stopy do nárysny Osová afinita Osová afinita je geometrická příbuznost mezi dvěma obrazci v rovině, pro kterou platí: a) Spojnice odpovídajících bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity. b) Přímky, které si odpovídají, se protínají na ose afinity. Na obrázku č. 61 byla zadána osa afinity o a dvojice odpovídajících bodů A a Úkolem je k daným bodům B a / A. / C nalézt jejich odpovídající obrazy. Z vlastnosti a) vyplývá, že dvojice A a / A zadává směr afinity, pro body / B a C tedy musí platit BB / / / // CC // AA. Přímce AB v afinitě odpovídá přímka protínat na ose afinity o. Obdobně přímce znázorněna i přímka B / C /, jíž odpovídá přímka BC. A / B / a tyto se podle b) musí A / C / odpovídá AC. Na obrázku č. 61 je 66

67 Obrázek č Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze Uveďme si velmi důležitou vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny: Pro půdorys (nárys) rovinného obrazce a jeho otočenou polohu podle půdorysné (nárysné) stopy do půdorysny (nárysny) platí vztah osové afinity. Osou afinity je stopa, podle které je rovina otáčena. Příklad č. 11: Sestrojte průměty pravidelného šestiúhelníku ABCDEF se středem v bodě S, ležícího = 7;7,8;6,5 A = 5 ;9; z, S = 2,5;4,5; ) v rovině ρ ( ρ [ ], [ ] [ ] A z S Řešení: Viz obrázek č. 62. Zadání roviny ρ a bodů A, S je shodné se zadáním předchozího příkladu. 1. K bodům A, S byly určeny nárysy A 2 a S 2hlavními přímkami. 2. Otočen bod S. ρ 3. Otočený bod A 0 sestrojen pomocí osové afinity. Osou afinity je p 1, dvojici odpovídajících bodů tvoří S 1a S 0. 67

68 4. V otočení sestrojen pravidelný šestiúhelník A 0B0C0D0E0F0. 5. Pomocí osové afinity sestrojeny body B 1, C1, D1, E1, F1. 6. Pomocí hlavních přímek sestrojeny body B 2, C2, D2, E2, F2 Obrázek č

69 6.2 Průměty kružnice v Mongeově projekci nebo úsečka. V rovnoběžném promítání je průmětem kružnice elipsa (sem patří i kružnice) Kružnice ležící v některé z průměten V následujícím obrázku č. 63 je znázorněn průmět kružnice k ležící v půdorysně π. Obrázek č Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten Využijeme znalostí o skutečné velikosti úsečky v Mongeově projekci. Průmětem úsečky je úsečka (ve zvláštním případě bod). Délka průmětu je menší nebo rovná skutečné délce úsečky. K rovnosti dochází v případě, že úsečka je rovnoběžná s průmětnou. Ze všech průměrů kružnice se tedy promítá jako nejdelší ten, který je rovnoběžný s průmětnou. Je-li tedy průmětem kružnice elipsa, potom její hlavní osa 69

70 v půdoryse leží na hlavní přímce 1. osnovy procházející středem kružnice a má délku rovnou průměru kružnice, v náryse leží na hlavní přímce 2. osnovy procházející středem kružnice a má opět délku rovnou průměru kružnice. Příklad č. 12: Sestrojte průměty kružnice k = ( S; 3 ), S = [ 0;5; ] ležící v rovině = [ 3; ;4] z S ρ. Řešení: Sestrojeno zadání příkladu. Vzhledem k tomu, že se jedná o rovinu kolmou k nárysně, je nárysem roviny přímka totožná s nárysnou stopou a nárys bodu S tedy na ní leží. ρ 1. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p 1 a na ní od bodu S 1 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v půdorysu). 2. Nárysem je úsečka 2. r = 6, která v půdoryse vymezuje vedlejší osu elipsy. Obrázek č

71 6.2.3 Kružnice ležící v rovině v obecné poloze Půdorysem i nárysem je elipsa. Příklad. 13: Sestrojte průměty kružnice k = ( S; 3 ), S = [ 3;2; ] ležící v rovině = [ 2;3;4] z S ρ. Řešení: Viz obrázek č Sestrojeno zadání příkladu. Pomocí hlavní přímky 1. osnovy sestrojen nárys bodu S. ρ 2. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p 1 a na ní od bodu S 1 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v půdorysu). 3. Na rovnoběžce s nárysnou stopou v bodě S 2 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v nárysu). 4. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v půdorysu označen jako G a určen jeho nárys. Tento bod je obecným bodem nárysné elipsy a tuto je možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. 5. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v nárysu označen jako H a určen jeho půdorys. Tento bod je obecným bodem půdorysné elipsy a tuto je stejně možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. Obrázek č

72 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 72

73 VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to osová afinita? 2. Definujte vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny. 3. Co může být průmětem kružnice? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 73

74 7. Průměty rovinných obrazců ležících v půdorysně a průměty jednoduchých těles s podstavou v půdorysně v pravoúhlé axonometrii KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s n-úhelníky ležícími v půdorysně. Seznámit se s kružnicemi ležícími v půdorysně. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD 7.1 n-úhelníky ležící v půdorysně Provedeme otočení půdorysny π podle strany XY trojúhelníka tak, jak bylo popsáno v 1. kapitole. Pro otočené body a jejich průměty opět platí vztah osové afinity, přičemž osou afinity je strana XY trojúhelníka, směr afinity je kolmý k ose afinity (dvojicí odpovídajících si bodů je např. O 0 O). axonometrického axonometrického 74

75 Příklad č. 14: Sestrojte průměty čtverce ABCD se středem S ležícího v půdorysně π, A = 2 ;1;0, S = 4;4;0 v pravoúhlé axonometrii, XY = XZ = 10a YZ = 12. [ ] [ ] Řešení: 1. Sestrojen axonometrický trojúhelník XYZpodle zadání a průměty os xyz ležící ve výškách tohoto trojúhelníku. 2. Otočen trojúhelník XYO, sestrojeny osy x0a y Byly sestrojeny body A 0 a S 0 vynesením skutečných souřadnic v osách x 0 a y V otočení sestrojen čtverec A 0B0C0D0. 5. Afinitou, jejíž osou je přímka XY, dvojicí odpovídajících bodů O 0, O byly sestrojeny body A = A B = B, C = C, D = D, S =. Obrázek č. 66 1, S1 Příklad č. 15: V izometrii sestrojte průmět pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou v π. A = 2 ;6;0, C = 5;1;0, v = 8 [ ] [ ]. 75

76 Řešení: 1. Jako axonometrický trojúhelník XYZ zvolíme libovolný rovnostranný trojúhelník a sestrojíme podstavu podle předchozího. 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku (protože zkrácení na všech osách je stejné, můžeme ji zkrátit např. na ose x). Obrázek č Kružnice ležící v půdorysně Průmětem kružnice ležící v půdorysně je elipsa. Její hlavní osa leží na rovnoběžce se stranou XY axonometrického trojúhelníku a má délku rovnou průměru kružnice. 76

77 Vedeme-li takto sestrojenými hlavními vrcholy elipsy rovnoběžky s osami x a y, protnou se (podle Thaletovy věty) v bodě, náležejícímu průmětu bodu na kružnici. Příklad č. 16: V pravoúhlé axonometrii XY = 12, XZ = 11, YZ = 10 sestrojte průměty kružnice ( S; 5), = [ 6;5;0] k = S. Řešení: Viz obrázek č Sestrojen průmět bodu S. 2. Bodem S sestrojena hlavní osa označená 1, 2, rovnoběžná se stranou XY délky 2 *5 = Body 1, 2 vedeny rovnoběžky s osami x a y s průsečíkem Proužkovou konstrukcí byla určena velikost vedlejší osy elipsy a následně celá elipsa. Obrázek č

78 V následujícím učivu se u příkladů řešených v axonometrii omezím na izometrii. Jednotku na všech osách pak zaokrouhlíme na 0,8j (správná hodnota je 0,81649 j). Příklad č. 17: V izometrii (j x =j y =j z =0,8) sestrojte průmět rotačního válce s podstavou v πo středu S = 6 ;7;0, r = 5, v = 8 [ ]. Řešení: 1. Postupem předchozího příkladu sestrojíme podstavu rotačního válce (vzhledem k tomu, že se jedná o izometrii, je bod 3 vedlejším vrcholem elipsy). 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku. Získáme střed horní podstavy. 3. Do získaného středu horní podstavy posuneme elipsu shodnou s dolní podstavou. 78

79 Obrázek č. 69 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 79

80 VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětem kružnice ležící v půdorysně? 2. V jakém případě platí vztah osové afinity? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 80

81 8. Rozdělení ploch, rotační plochy a jejich tečná rovina. Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné KLÍČOVÉ POJMY analytická plocha, empirická plocha, stupeň plochy, tečná rovina, osa rotace, plocha, meridián, nerotační plochy rotační CÍLE KAPITOLY Znát rozdělení ploch. Seznámit se s tečnou rovinou. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Rozlišujeme plochy: Analytické vytvořené podle určitého zákona (rovina, kulová plocha,.) Empirické žádná zákonitost (topografická plocha) 8.1 Analytické plochy Stupeň plochy maximální počet průsečíků obecné přímky s plochou (rovina stupeň 1, válcová plocha stupeň 2). 81

82 Plochy přímkové na jejich povrchu leží nekonečně přímek (rovina, válcová plocha, ). Plochy nepřímkové na jejich povrchu leží konečně přímek nebo žádná (kulová plocha, ). 8.2 Tečná rovina Vedeme-li určitým bodem T na ploše různé roviny, v bodě T ke vzniklým řezům, leží v tečné rovině této plochy.,,. tečny,,,,. a sestrojíme-li,., pak všechny tyto tečny Obrázek č Plochy rotační plocha,.). Rotační plochy vznikají rotací křivky podél osy o (válcová plocha, kulová 82

83 Obrázek č. 71 Pojmy: o osa rotace rovnoběžka kružnice, vzniklá rotací konkrétního bodu rotující křivky rovník rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí největší hrdlo rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí nejmenší k meridián (poledník), rotující křivka v jednotlivých fázích rotace hlavní meridián meridián, rovnoběžný s průmětnou, která je rovnoběžná s osou o 8.3 Plochy nerotační Přímkové plochy Rozvinutelné lze je bez deformace rozvinout do roviny (válcová plocha, kuželová plocha). Pro všechny body povrchové přímky plochy jsou tečné roviny totožné. Nerozvinutelné neboli zborcené nelze je bez deformace rozvinout do roviny (plochy, které budou náplní následného učiva hyperbolický paraboloid, 83

84 jednodílný hyperboloid, konoid, šroubová plocha). Tečné roviny se podél povrchové přímky plochy mění. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké rozlišujeme plochy? 2. Jak rozdělujeme analytické plochy? 3. Co znamená stupeň plochy? 4. Co je tečná rovina? 5. Pojmenujte rotační a nerotační plochy. 84

85 KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 85

86 9. Jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha a konoid KLÍČOVÉ POJMY jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha, konoid CÍLE KAPITOLY Seznámit se s plochami přímkovými nerozvinutelnými. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU KAPITOLY VÝKLAD 9.1 Nerozvinutelné přímkové plochy Nerozvinutelné přímkové plochy můžeme definovat pomocí 3 prostorových křivek (řídící křivky plochy), které každá tvořící přímka plochy tyto tři křivky protíná Nerozvinutelné přímkové plochy rotační Rotační jednodílný hyperboloid U této plochy máme několik způsobů vzniku: 1. Pomocí výše zmíněných 3 křivek. Pro jednoznačné určení zborceného hyperboloidu postačují 3 kružnice s různými poloměry, ležící ve vzájemně 86

87 různých rovnoběžných rovinách, jejichž středy leží na téže přímce, která je kolmá k těmto rovinám. Podmínkou je, aby tyto kružnice neležely na jedné kuželové ploše. 2. Vyplývá z názvu. Tato plocha vzniká rotací hyperboly kolem své vedlejší osy. 3. Další možností je rotací přímky kolem osy s ní mimoběžné. Příklad č. 18: V Mongeově projekci sestrojte obrys jednodílného hyperboloidu vytvořeného rotací p = PQ, P = 4;2;0, Q = 4;2;8 kolem osy o π ( o 1 = [ 0;5;0]). Plochu omezte přímky [ ] [ ] rovinami π a / / π - π, je souměrná k π podle středu plochy S. Řešení: Zadání plochy je třetí z výše uvedených možností, tj. roací přímky kolem osy s ní mimoběžné. 1. Vzhledem k tomu, že rotující přímka je rovnoběžná s nárysnou, je její nejbližší bod k ose o (střed hrdla S) průsečíkem nárysu p a o. 2. Půdorys hrdla je kružnice dotýkající se. Nárysem hrdla je úsečka rovnoběžná s x délky průměru hrdla. 3. / je souměrná k podle S. 4. Půdorysem průsečnice plochy s a / je kružnice procházející stopníkem P přímky p. Nárysem jsou úsečky rovnoběžné s x. 5. Necháme-li bodem S rotovat přímku rovnoběžnou s p, obdržíme tzv. asymptotický kužel plochy. Jeho obrys tvoří v náryse přímky (a) a /, které jsou současně asymptotami nárysného obrysu plochy. 6. Pro nakreslení nárysu už byly sestrojeny pouze oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly. Obrázek č

88 88

89 9.1.2 Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační Hyperbolický paraboloid Řídícími křivkami, které definují tuto plochu, budou v tomto případě dvě vlastní mimoběžky a jedna nevlastní přímka. Touto nevlastní přímkou rozumíme rovinu, v níž tato přímka v pomyslném nekonečnu leží. Plochu tvoří přímky, které protínají dané mimoběžky a jsou rovnoběžné s danou rovinou. Nejjednodušší zadání bývá pomocí tzv. zborceného čtyřúhelníku. Na ploše existují dva systémy přímek reguly, kdy každá přímka jednoho regulu je různoběžná se všemi přímkami druhého regulu. Příklad č. 19: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD, A = [ 3;9;5 ], B = [ 0;1;1 ], C = [ 5; 2;7 ], D = [ 8;6;2]. Sestrojte po třech přímkách 1. a 2. regulu. Řešení: 1. Sestrojen zborcený čtyřúhelník ABCD, jehož půdorysem je rovnoběžník. 2. K průsečíkům rovnoběžek s se stranami a jsou nalezeny jim odpovídající průměty na stranách BC a AD. Tímto způsobem získáváme tvořící přímky jednoho regulu. 3. Přímky druhého regulu se získávají obdobným způsobem. Obrázek č

90 Konoid Konoidy jsou určené jednou vlastní přímkou, jednou nevlastní přímkou (rovinou) a vlastní křivkou. Podlé této křivky získávají jednotlivé konoidy svůj název. Body křivky spojujeme s body vlastní přímky přímkami rovnoběžnými s řídící rovinou. Příklad č. 20: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) zobrazte kruhový konoid a 4 jeho tvořící přímky s řídící půlkružnicí ležící v µ se středem S = O, r = 5. Řídící rovinou je nárysna, řídící přímkou [ 8;0;0] / / y // y, M y, M =. Řešení: 1. Sestrojen průmět půlkružnice ležící v µnad půdorysnou. Tato konstrukce je obdobou konstrukce kružnice ležící v půdorysně viz kapitola 7. tohoto textu. Její 90

91 hlavní osa je kolmá k ose x a má délku 2r, rovnoběžkami s osou y případně z je získán bod elipsy. 2. Tvořící přímky mají být rovnoběžné s nárysnou, tzn. dvě tvoří přímo rovnoběžky s osou x krajními body půlkružnice. 3. Další obdržíme sestrojením libovolné rovnoběžky s osou x, přičemž tvořící / přímku sestrojíme jako spojnici průsečíku této přímky s y a bodu na kružnici, který odpovídá průsečíku zmíněné rovnoběžky s osou x. Obrázek č. 74 Šroubová plocha Řídícími křivkami jsou jedna vlastní přímka, jedna nevlastní přímka a šroubovice, kde vlastní přímka je osou šroubovice a rovina nevlastní přímky je kolmá na tuto osu. Poté spojujeme body osy s body šroubovice a to rovnoběžně s rovinou nevlastní přímky. 91

92 Pod pojmem šroubovice si představujeme prostorovou křivku obdobnou konci závitu šroubu. Rozlišujeme pravotočivé a levotočivé šroubovice. Pravotočivá šroubovice je ta, u které při pohybu shora dolů zatáčíme vůči ose doprava viz obrázek č. 75. Obrázek č. 75 Příklad č. 21: V Mongeově projekci zobrazte průmět jednoho závitu pravotočivé šroubové plochy o π, o1 = 1;3;0, výška závitu v = 12, počáteční bod je A = [ 1;5;0 ]. s osou [ ] Řešení: 1. Nejprve je sestrojována šroubovice. Jejím půdorysem je kružnice se středem v, procházející bodem. Kružnice je rozdělena na 12 dílů, body 1,2,.12 jako půdorysy dvanácti bodů šroubovice. Při pootočení šroubovice z bodu n do bodu n+1 vystoupá šroubovice o jednu dvanáctinu výšky závitu, tj. o jednu jednotku. Takto sestrojíme nárysy 1,2,.12 a jejich spojením s bodem A získáme nárys šroubovice. 2. Půdorysem šroubové plochy pak jsou spojnice bodů,1,2,.12 s bodem. 3. Nárysem šroubové plochy jsou rovnoběžky s osou x body,1,2,.12. Obrázek č

93 93

94 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Pomocí čeho definujeme nerozvinuté přímkové plochy? 2. Jak rozdělujeme nerozvinuté přímkové plochy? 3. Charakterizujte šroubovou plochu. 4. Co je to konoid? 5. Co znamená slovo regul? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 94

95 4. viz. výklad 5. viz. výklad 95

96 10. Základy kótovaného promítání KLÍČOVÉ POJMY kótované promítání, kóta, stopník přímky, stupňovaní přímky, interval přímky, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko, průsečnice, spád přímky, spád roviny, interval roviny CÍLE KAPITOLY Seznámit se s kótovaným promítáním. Seznámit se se stupňováním přímky. Znát pojmy vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Seznámit s řešením výkopů a násypů v rovinném terénu. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Kótované promítání je pravoúhlé promítání na jednu průmětnu. Tuto průmětnu si představujeme jako vodorovnou obdoba půdorysny z Mongeovy projekce. Pro jednoznačné určení bodu je k jeho průmětu přidávána vzdálenost od průmětny kóta, přičemž body nad průmětnou mají kótu kladnou, pod průmětnou mají kótu zápornou. Obrázek č

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Princip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L

Princip a vlastnosti promítání. Konstruktivní geometrie a technické kresleni - L Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů ve dvojrozměrné rovině. Vlastnosti promítání Úkolem konstruktivní geometrie je zobrazení trojrozměrných předmětů

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Menší stavby (zejména obytné domy) se z většinou zastřešují pomocí rovin, mluvíme pak o. nebo zborcených ploch.

Menší stavby (zejména obytné domy) se z většinou zastřešují pomocí rovin, mluvíme pak o. nebo zborcených ploch. TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH Menší stavby (zejména obytné domy) se z většinou zastřešují pomocí rovin, mluvíme pak o tzv. střešních rovinách. Velké stavby se často zastřešují pomocí

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny

Mongeovo zobrazení. Konstrukce stop roviny Mongeovo zobrazení Konstrukce stop roviny Způsoby určení roviny Způsoby určení roviny při provádění konstrukcí v Mongeově zobrazení je výhodné pracovat s rovinami, které náme určeny pomocí stop; Způsoby

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Lucie Zrůstová HISTORIE DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA VUT V BRNĚ. 1 Deskriptivní geometrie na VUT do 2. světové války

Lucie Zrůstová HISTORIE DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA VUT V BRNĚ. 1 Deskriptivní geometrie na VUT do 2. světové války 25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Lucie Zrůstová HISTORIE DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA VUT V BRNĚ Abstrakt Příspěvek se zabývá historií výuky deskriptivní geometrie na Vysokém učení technickém.

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Tvorba technická dokumentace

Tvorba technická dokumentace Tvorba technická dokumentace Základy zobrazování na technických výkresech Zobrazování na technických výkresech se provádí dle normy ČSN 01 3121. Promítací metoda - je soubor pravidel, pro dvourozměrné

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE

TECHNICKÁ DOKUMENTACE VŠB-TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra elektrických strojů a přístrojů KAT 453 TECHNICKÁ DOKUMENTACE (přednášky pro hodiny cvičení) Zobrazování Petr Šňupárek, Martin Marek 1 Co je

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI

ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI Pravoúhlé rovnoběžné promítání na několik vzájemně kolmých průměten Použití pomocné průmětny Čistě ploché předměty Souměrné součásti Čistě rotační součásti

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ V Úžlabině 320, Praha 10 Sbírka úloh z technického kreslení pracovní listy I. Praha 2011 Ing. Gabriela Uhlíková Sbírka úloh z technického kreslení Tato sbírka

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0556 III / 2 = Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity

CZ.1.07/1.5.00/34.0556 III / 2 = Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0556 III / 2 = Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Tematická oblast ZÁSADY TVORBY VÝKRESŮ POZEMNÍCH STAVEB I. Autor :

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

BA03 Deskriptivní geometrie pro kombinované studium

BA03 Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03 Deskriptivní geometrie pro kombinované studium RNDr. Jana Slaběňáková Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-BK1VS1 učebna D185 letní semestr 2014-2015 Kontakt: Deskriptivní geometrie pro kombinované

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění ..4 Huygensův princip, odraz vlnění Předpoklady: 0 Izotropní prostředí: prostředí, které je ve všech bodech a směrech stejné vlnění se všech směrech šíří stejnou rychlostí ve všech směrech urazí za čas

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Popis základního prostředí programu AutoCAD

Popis základního prostředí programu AutoCAD Popis základního prostředí programu AutoCAD Popis základního prostředí programu AutoCAD CÍL KAPITOLY: CO POTŘEBUJETE ZNÁT, NEŽ ZAČNETE PRACOVAT Vysvětlení základních pojmů: Okno programu AutoCAD Roletová

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata)

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Číslo a početní operace - využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost

Více

Prázdninová škola pro učitele matematiky a fyziky

Prázdninová škola pro učitele matematiky a fyziky Prázdninová škola pro učitele matematiky a fyziky Geometrické modely a základy dynamické geometrie Petra Surynková Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Tento text je doplňkovým materiálem

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP SKETCHUP SketchUp je program pro tvorbu trojrozměrných modelů. Je to jednoduchý, intuitivní a silný nástroj pro modelování. Není žádný problém

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 5. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace Využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Emil Skříšovský ČESKÉ BUDĚJOVICE 2012 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: Matematika a statistika (1) Transformace

Více

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: OSOVÁ SOUMĚRNOST Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: EVOKACE Metoda: volné psaní Každý žák obdrží obrázek zámku Červená Lhota. Obrázek je také možné promítnout na interaktivní

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006 MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více