Deskriptivní geometrie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Deskriptivní geometrie"

Transkript

1 Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1

2 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké škole technické a ekonomické v Českých Budějovicích" s registračním číslem CZ.1.07./2.2.00/ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1. vydání ISBN Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 2013 Vydala: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, Okružní 10, České Budějovice Za obsahovou a jazykovou správnost odpovídají autoři a garanti příslušných předmětů. 2

3 OBSAH 1. Úvod... 8 Klíčové pojmy... 8 Cíle kapitoly... 8 Čas potřebný ke studiu kapitoly... 8 Výklad Průměty bodů V Mongeově projekci V kosoúhlém promítání V pravoúhlé axonometrii Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Průměty přímek a úseček Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Stopník přímky Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky Vzájemná poloha přímek Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Rovina Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Rovina zadaná pomocí úseků na osách Určenost roviny Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci

4 3.4 Vzájemná poloha rovin Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Vzájemná poloha přímky a roviny Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Průsečík přímky s rovinou Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Kuželosečky Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Elipsa Hyperbola Parabola Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Průměty rovinných obrazců v Mongeově projekci Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci Obrazce ležící v některé z průměten

5 6.1.2 Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten Otáčení roviny v obecné poloze Osová afinita Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze Průměty kružnice v Mongeově projekci Kružnice ležící v některé z průměten Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten Kružnice ležící v rovině v obecné poloze Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Průměty rovinných obrazců ležících v půdorysně a průměty jednoduchých těles s podstavou v půdorysně v pravoúhlé axonometrii Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad n-úhelníky ležící v půdorysně Kružnice ležící v půdorysně Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Rozdělení ploch, rotační plochy a jejich tečná rovina. Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Analytické plochy Tečná rovina Plochy rotační Plochy nerotační Přímkové plochy Studijní materiály

6 Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha a konoid Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Nerozvinutelné přímkové plochy Nerozvinutelné přímkové plochy rotační Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Základy kótovaného promítání Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Skutečná velikost úsečky Stupňování přímky, stopník přímky Stopa roviny, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Průsečnice různoběžných rovin Spád přímky, spád roviny, interval roviny Řešení násypů a výkopů v rovinném terénu Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Topografie Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Vrstevnicový plán

7 Interkalární vrstevnice Rovinný řez topografickou plochou Řešení výkopů a násypů vodorovné komunikace Řešení výkopů a násypů stoupající komunikace Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Teoretické řešení střech Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Typy střech Střechy s volnými okapy (bez zastavěných částí) Řešení střech se dvory Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Teoretické řešení střech se zastavěnými částmi Klíčové pojmy Cíle kapitoly Čas potřebný ke studiu kapitoly Výklad Střechy s rovnými zastavěnými částmi Střechy se zastavěnými rohy Studijní materiály Otázky a úkoly Klíč k řešení otázek Použitá literatura

8 1. Úvod KLÍČOVÉ POJMY promítání, středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání, šikmé promítání, Mongeovo promítání, půdorysna, nárysna, půdorys bodu, nárys bodu, bokorysna, pravoúhlá axonometrie, e, izometrie CÍLE KAPITOLY Získat úvodní informace o promítání. Seznámit se s druhy rovnoběžného promítání. Seznámit se s průměty bodů v Mongeově promítání. Seznámit se s průměty bodů v kosoúhlém promítání. Seznámit se s průměty bodů v pravoúhlé axonometrii. 8 hodiny ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Deskriptivní geometrie zobrazuje prostorové předměty útvary rovinnými. Pomocí těchto rovinných útvarů pak řeší úlohy prostorové. Zmíněné zobrazení prostorových útvarů do roviny provádí pomocí promítání.. Princip promítání třech různých bodů A,B a C je znázorněn na následujícím obrázku č. 1. 8

9 Obrázek č. 1 π - průmětna S( S π) střed promítání A 1 - průmět bodua SA - promítací paprsek V obrázku č. 1 je střed promítání vlastní (v konečnu), hovoříme o středovém promítání. Je-li střed promítání nevlastní (bod v nekonečnu v následujících obrázcích č. 2 a 3 je jeho poloha naznačena šipkou), jsou promítací paprsky jednotlivých bodů rovnoběžné a hovoříme o promítání rovnoběžném. 9

10 Obrázek č. 2 Obrázek č. 3 Je-li směr promítacích paprsků rovnoběžného promítání kosý k průmětně π, potom hovoříme o kosoúhlém nebo šikmém promítání, je-li tento směr kolmý k průmětně π, jedná se o pravoúhlé nebo kolmé promítání. Promítání středové není náplní tohoto textu. Nejznámějšími druhy rovnoběžných promítání jsou: - Mongeovo promítání - kosoúhlé promítání - pravoúhlá axonometrie - kótované promítání. 1.1 Průměty bodů V Mongeově projekci Mongeovo promítání je pravoúhlé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny vodorovnou, kterou značíme π a nazýváme půdorysna a svislou, značenou ν s názvem 10

11 nárysna. Kolmý průmět bodua do půdorysny značíme A 1 a nazýváme jej půdorys bodu A, kolmý průmět bodu A do nárysnya 2 nazýváme nárys bodu A. Obrázek č. 4 Soustava třírozměrných Kartézských souřadnic je zvolena tak, že průsečnice průměten π a ν tvoří osu x, počátkem O na této ose jsou pak proloženy kolmo osa y ležící v půdorysně a osa z ležící v nárysně. V obrázku č. 4 je zobrazena i orientace os kladné části jsou označeny x +, y + a z +, záporné x -,y - a z -. Z obrázku č. 4 je také patrné, že zobrazený bod A má souřadnice x, y a z kladné. Zobrazený bod B má záporné souřadnice x a z, kladnou souřadnici y. Bod C ležící v π má zápornou souřadnici x, kladnou y a souřadnici z=0. 11

12 Nárysna nechť nyní tvoří naši nákresnu, půdorysnu otočme tak, že její přední část se otočí podle osy x do spodní části nárysny a zadní část do horní části nárysny (otočení je v obrázku č. 4 naznačeno šipkami). Po tomto otočení zřejmě splynou osy y a z, jejich orientace ale bude opačná. Situaci z obrázku pak představuje následný obrázek č. 5, půdorys a nárys konkrétního bodu se nazývají sdružené průměty. Obrázek č. 5 Příklad č. 1: Sestrojte sdružené průměty bodů: A =[2;3;4], B =[-5;2;-3], C =[-2;5;0], D =[0;-3;2], E =[4;0;3]. Řešení: V Mongeově promítání nebývá zvykem zakreslovat osy y a z ani orientaci osy x. Obrázek č. 6 12

13 1.1.2 V kosoúhlém promítání Kosoúhlé promítání je kosé (šikmé) rovnoběžné promítání na některou průmětnu. V tomto textu bude touto průmětnou výhradně průmětna určená osami y a z, kterou značíme µ a nazýváme ji bokorysna - viz obrázek č. 7. Obrázek č. 7 13

14 Průměty útvarů ležících v bokorysně budou tedy při tomto promítání totožné samy se sebou. Podle směru promítacích paprsků rozlišujeme 4 základní druhy kosoúhlého promítání viz následné čtyři obrázky č. 8. Obrázek č. 8 nadhled zprava nadhled zleva podhled zleva podhled zprava 14

15 Obrázek č. 9 nadhled zprava nadhled zleva podhled zleva podhled zprava Ve směru osy xse délky mohou zkracovat, zachovávat případně prodlužovat. Kosoúhlé promítání je tedy zadáváno dvěma prvky: úhlem ω a koeficientem q, který je poměrem délky průmětu a skutečné délky úsečky ve směru osy x (koeficient zkrácení prodloužení). Zobrazení bodu je dáno průmětem bodu a jeho půdorysu. Příklad č. 2: V kosoúhlém promítání ω =135 0, q=2/3 zobrazte průměty bodůa=[3;0;4], B=[6;5;4], C =[5;8;0], D=[-5;-2;2]. Řešení: Jak již bylo řečeno, souřadnice y a z se zobrazují nezkrácené, x-ové souřadnice je nutno zkracovat poměrem 2/3. V obrázku č. 10 byl na prodlouženou osu z vynesen trojnásobek jmenovatele koeficientu q a na průmět osy x trojnásobek čitatele koeficientu q (q= = - koeficient zkrácení byl pro přesnější konstrukci rozšířen číslem 3) Spojnice takto získaných bodů určuje směr zkrácení. Nezkrácené souřadnice jsou v obrázku č. 10 naznačeny pouze u bodů A a B (A=[x A ;y A ;z A ], B=[x B ; y B ;z B ]). Obrázek č

16 1.1.3 V pravoúhlé axonometrii Pravoúhlá neboli kolmá axonometrie je pravoúhlé promítání do axonometrické průmětny θ,, která je v obecné poloze vzhledem k půdorysně, nárysně i bokorysně viz obrázek č. 11. Obrázek č. 11 Axonometrická průmětna protíná půdorysnu, nárysnu a bokorysnu v axonometrickém trojúhelníkuxyz.. Pravoúhlé průměty os x, y a zdo axonometrické průmětny pak leží ve výškách tohoto trojúhelníku. 16

17 Chceme-li získat velikost jednotek na osách, provedeme otočení podle následujícího obrázku č. 12. Úhly XOY, YOZ a ZOX jsou ve skutečnosti pravé. Obrázek č. 12 Pokud je axonometrický trojúhelník XYZ rovnostranný, tento druh nazýváme izometrie, je zkrácení na všech osách stejné a jednotky 0, Ve většině příkladů tohoto textu budu používat jednotky zaokrouhlené, což na obecnosti nijak neubere. Příklad č. 3: Zobrazte v izomerii (j x =j y =j z =0,8) průměty bodů a určete polohu těchto bodů vzhledem k průmětnám: A = [ 5 ;4;3], B = [ 6;1;5 ], C = [ 3; 4;1 ], D = [ 4;2; 2 ], E = [ 0;5;2 ], F = [ 2;4;0], G = [ 6;0;3]. Řešení: 17

18 Obrázek č. 13 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. 18

19 SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co znamená středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání. 2. Jaký je rozdíl mezi půdorysem bodu a nárysem bodu? 3. Co označujeme pravoúhlou axonomitrií? 4. Co je to izometrie? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 19

20 2. Průměty přímek a úseček KLÍČOVÉ POJMY stopník přímky, půdorysný stopník přímky, nárysný stopník přímky, bokorysný stopník přímky, sklopené body, přímky rovnoběžné, přímky různoběžné, přímky mimoběžné CÍLE KAPITOLY Získat informace o průmětech přímek a úseček. Znát pojem stopník přímky. Seznámit se s průmětem úseček v Mongeově projekci. Seznámit se se vzájemnými polohami přímek. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Průmětem přímky je přímka, ve zvláštním případě (je-li tato přímka rovnoběžná se směrem promítání) je jím bod. Pro všechna rovnoběžná promítání dále platí: Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou dvě rovnoběžky (různé nebo totožné) nebo dva body. Vzhledem k průmětnám může být přímka p v obecné poloze, rovnoběžná s některou průmětnou nebo kolmá k některé z průměten. 20

21 V axonometrickém promítání je zobrazena přímka průmětnám v obecné poloze. p = AB, která je vůči Obrázek č. 14 V dalším obrázku č. 15 jsou zakresleny v kosoúhlém promítání průměty přímek a//π, b// µ a c//ν. Obrázek č

22 V Mongeově projekci jsou zobrazeny sdružené průměty přímky p =AB, A = [ 0;3;5 ], B = [ 5;7; 4] ;. Obrázek č

23 Na obrázku č. 17 jsou v Mongeově projekci zobrazeny průměty přímek a// π, c//ν, q π. Obrázek č Stopník přímky Stopníkem přímky nazýváme průsečík této přímky s průmětnou. Průsečík přímky s půdorysnou nazýváme půdorysný stopník přímky a obvykle jej značíme P, průsečík přímky s nárysnou nazýváme nárysný stopník přímky a obvykle jej značíme N, případně průsečík přímky s bokorysnou nazýváme bokorysný stopník přímky, který obvykle značíme M. Pokud se v daném příkladu vyskytuje více půdorysných nebo nárysných případně bokorysných stopníků, přidáváme na rozlišení k jejich označení jméno přímky např. P a, P b, N p,.. 23

24 V obrázku č. 18 v izomerii, který obsahuje přímky p a q, jsou vyznačeny půdorysné stopníky p P a q P, nárysný stopník q N (nárysný stopník přímky (nárysný stopník přímky p neexistuje) a bokorysné stopníky p M a q M. Obrázek č. 18 Obdobně v Mongeově projekci, která zobrazuje přímky p a q, jsou vyznačeny půdorysné stopníky p P a P q q a nárysný stopník N. Obrázek č

25 Příklad č. 4: V izomerii (j x =j y =j z =0,8) sestrojte průměty přímek p = AB, q = AC, A = [ 1;4;2 ], B = [ 5;4;6 ], C = [ 5;0;2]. Určete jejich polohu vzhledem k průmětnám a určete jejich stopníky. Řešení: Obrázek č

26 2.1 Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky Průmětem úsečky v Mongeově projekci je buď úsečka s délkou kratší (viz obr.). Obrázek č

27 Průmětem úsečky v Mongeově projekci může také být úsečka s délkou stejnou (viz obr.) v uvedeném případě je úsečka rovnoběžná s průmětnou π. Obrázek č. 22 Nebo je jejím průmětem bod (viz obr.) v uvedeném případě je úsečka kolmá k průmětně π. Obrázek č

28 Skutečnou velikost úsečky AB v prvém případě můžeme určovat sklápěním do půdorysny viz obr., body (A) a (B) nazýváme sklopené body A a B. Obrázek č. 24 Pokud jsou z-ové souřadnice bodů A a B rozdílného znaménka, sklopení bodů se provádí na opačné strany viz obr. Obrázek č

29 2.2 Vzájemná poloha přímek Rozeznáváme tři vzájemné polohy přímek. 1) Přímky rovnoběžné Obrázek č. 26 Obrázek č

30 2) Přímky různoběžné Obrázek č. 28 Obrázek č

31 3) Přímky mimoběžné Obrázek č. 30 Obrázek č

32 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN

33 OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to stopník přímky? 2. Co může být průmětem úsečky v Mongeově projekci? 3. Jak určit skutečnou velikost úsečky? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být přímky? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 33

34 3. Rovina KLÍČOVÉ POJMY průmětna, stopy roviny, průsečnice CÍLE KAPITOLY Seznámit se s rovinou zadanou pomocí úseků na osách. Získat informace o tom, jak se určuje rovina. Seznámit se se vzájemnými polohami rovin. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Průmětem roviny je celá průmětna,, ve zvláštním případě (je-li rovina rovnoběžná se směrem promítacích paprsků) pak je jím přímka. Stopami roviny nazýváme průsečnice roviny s průmětnami. Průsečnici roviny s půdorysnou nazýváme půdorysná stopa roviny a obvykle ji značíme označení dané roviny. Průsečnici ρ s nárysnou nazýváme nárysná stopa roviny a ρ značíme ji n, případně průsečnici roviny ρ s bokorysnou nazýváme bokorysná stopa a značíme ji ρ m. ρ p, kde, kde ρ je Obrázek č

35 3.1 Rovina zadaná pomocí úseků na osách V předchozím obrázku č 32 jsou úseky, které daná rovina vytíná na osách označeny ρ [ x ; y ; z ] ρ =. ρ ρ ρ ρ x, y, z x, y, z. Tyto úseky pak jsou jedním ze způsobů zadání roviny - ρ Příklad č. 5: Sestrojte stopy rovin α = [ 3;3;2 ] a β = [ 4; 3;2] a) v kosoúhlém promítání 135, Obrázek č

36 b) v Mongeově projekci Obrázek č. 34 Je zřejmé, že roviny α a β mají vzhledem k průmětnám obecnou polohu. Příklad č. 6: Sestrojte stopy rovin γ = [ 3;4; ], δ = [ ;2;3 ], ε = [ ; ;1] a) v kosoúhlém promítání 135, Obrázek č

37 b) v Mongeově projekci Obrázek č. 36 Polohy rovin γ, δ, ε jsou γ π, δ µ, ε // π. 3.2 Určenost roviny Rovina je obvykle určena jedním ze čtyř následujících způsobů: a) Třemi body, které neleží v přímce 37

38 b) Přímkou a bodem, který na ní neleží c) Dvěma různoběžkami d) Dvěma různými rovnoběžkami. Pro práci s rovinou používáme velmi důležitou následující větu: Leží-li přímka v rovině, potom její půdorysný stopník leží na půdorysné stopě roviny, nárysný stopník leží na nárysné stopě roviny, případně bokorysný stopník leží na bokorysné stopě roviny. Obrázek č. 37 Příklad č. 7: Sestrojte stopy roviny = ABC a) v kosoúhlém promítání ρ. A = [ 1; 2;4 ], B = [ 2;4;1 ], C = [ 4;5;3] Řešení: Byly zvoleny přímky c = AB a a = CB a určeny stopníky. Obrázek č

39 b) v Mongeově projekci Obrázek č

40 3.3 Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci Úkol, kdy k danému půdorysu bodu máme určit jeho nárys, obvykle řešíme pomocí zvláštních přímek roviny, tzv. hlavních přímek 1. případně 2. osnovy. Hlavní přímky 1. osnovy jsou rovnoběžné s půdorysnou, hlavní přímky 2. osnovy jsou rovnoběžné s nárysnou. Obrázek č osnovy 2. osnovy Příklad č. 8: V Mongeově projekci sestrojte chybějící průměty bodů A = [ 1;2; za ], B = [ 1; 0,8; z B ] pomocí hlavních přímek 1. osnovy tak, aby A, B ρ = [ 4;3;5]. Řešení: Obrázek č

41 3.4 Vzájemná poloha rovin Dvě různé roviny v prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. Rovnoběžné roviny nemají žádný společný bod, různoběžné roviny mají společnou přímku průsečnici. Rovnoběžné roviny Vzhledem k tomu, že nemají žádný společný bod, jsou jejich odpovídající stopy, které existují, rovnoběžné. Obrázek č

42 Různoběžné roviny Vzhledem k tomu, že tyto roviny mají společnou přímku, hledáme při řešení průsečnice q dva různé společné body těchto rovin. V obrázku č. 43 je v Mongeově projekci užito průsečíku Ppůdorysných stop rovin a průsečíku N nárysných stop rovin. Obrázek č

43 V obrázku č. 44 v kosoúhlém promítání užito průsečíku P půdorysných stop rovin a průsečíku M bokorysných stop rovin. Obrázek č. 44 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 43

44 VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětna? 2. Co nazýváme stopami roviny a jaké známe stopy roviny? 3. Jakými způsoby může být určena rovina? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být roviny? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 44

45 4. Vzájemná poloha přímky a roviny průsečík KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průsečíkem přímky s rovinou. Seznámit se s průmětem přímky k rovině. Určit vzdálenost bodu k rovině. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Přímka, která v rovině neleží, může být s rovinou rovnoběžná nebo různoběžná. Přímka rovnoběžná s rovinou s ní nemá žádný společný bod, přímka různoběžná má s rovinou jeden společný bod průsečík.. Určení, kdy přímka je s rovinou rovnoběžná bez společného bodu, je složitější. Proto budeme řešit případ hledání průsečíku přímky s rovinou, pokud pak zjistíme, že žádný neexistuje, jedná se o přímku s rovinou rovnoběžnou. 45

46 4.1 Průsečík přímky s rovinou Při určování průsečíku přímky p s rovinou ρ volíme následující postup znázorněný v obrázku č. 45 v Mongeově projekci. Danou přímkou p proložíme libovolnou rovinu δ (její půdorysná stopa musí procházet půdorysným stopníkem nárysná stopa nárysným stopníkem pak na přímce p vytíná hledaný bod Q. p P a p N ), sestrojíme průsečnici qrovin ρ, přímka q Obrázek č

47 Pro jednodušší řešení tohoto problému bývá ve většině případů vhodné volit rovinu δ kolmou k některé průmětně. V obrázku č. 46 je se stejným zadáním předchozího příkladu volena rovina δ kolmá k půdorysně. Obrázek č. 46 V obrázku č. 47 je řešen v kosoúhlém promítání průsečík přímky p s rovinou ρ. Rovina δ je opět volena kolmá k půdorysně. Obrázek č

48 4.2 Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci Průmětem přímky kolmé k rovině ρ v Mongeově projekci je v půdoryse přímka k 1 kolmá k půdorysné stopě roviny ρ a v nárysně přímka k 2 kolmá k nárysné stopě roviny ρ. V obrázku č. 48 jsou průměty přímky k kolmé k rovině ρ proloženy daným bodem A. Obrázek č

49 4.3 Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci Při určování vzdálenosti bodu A od roviny ρ postupujeme následovně: 1. Bodem A proložíme přímku k kolmou k rovině ρ. 2. Sestrojíme průsečík přímky k s rovinou ρ - Q. 3. Určíme skutečnou velikost úsečky AQ. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. 49

50 SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to průsečík? 2. Jak postupujeme při určování vzdálenosti bodu od roviny? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 50

51 5. Kuželosečky KLÍČOVÉ POJMY elipsa, ohnisko, oskulační kružnice elipsy, tečna elipsy, vrcholová kružnice, řídící kružnice, hyperbola, asymptoty, oskulační kružnice, parabola CÍLE KAPITOLY Seznámit se s elipsou. Seznámit se s hyperbolou. Seznámit se s parabolou. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Jednoduché kuželosečky jsou rovinné křivky vzniklé řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy. Pokud rovina řezu protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy, získáme elipsu, je-li rovina řezu rovnoběžná s jednou povrchovou přímkou, získáme parabolu. Je-li rovina řezu rovnoběžná se dvěma povrchovými přímkami, jedná se o hyperbolu. 51

52 5.1 Elipsa Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý součet vzdáleností. Obrázek č. 49 A, B hlavní vrcholy elipsy C, D vedlejší vrcholy elipsy - hlavní osa elipsy - vedlejší osa elipsy S střed elipsy, - ohniska elipsy - hlavní poloosy elipsy - vedlejší poloosy elipsy =e excentricita (výstřednost) elipsy, - průvodiče bodu M =2a 52

53 Bodová konstrukce elipsy Obrázek č. 50 Body 1, 2, 3 jsou libovolně zvoleny na hlavní ose mezi středem a ohniskem, bod má od vzdálenost 1 a od vzdálenost 1. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy. Oskulační kružnice elipsy Oskulační kružnice přibližně nahrazují křivost v určitém bodě. V následujícím obrázku č. 51 je znázorněna konstrukce těchto kružnic pro hlavní a vedlejší vrcholy. Obrázek č

54 Tečna elipsy Tečna elipsy půlí úhel průvodičů bodu dotyku. Obrázek č

55 V předchozím obrázku č. 52 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu elipsy leží na kružnici se středem S a poloměrem a - vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen elipsy leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice. Proužková konstrukce elipsy Obrázek č

56 5.2 Hyperbola Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý rozdíl vzdáleností. Obrázek č. 54 A, B hlavní vrcholy hyperboly C, D vedlejší vrcholy hyperboly 56

57 - hlavní osa hyperboly - vedlejší osa hyperboly S střed hyperboly, - ohniska hyperboly - hlavní poloosy hyperboly - vedlejší poloosy hyperboly =e excentricita (výstřednost) hyperboly, - průvodiče bodu M =2a Bodová konstrukce, asymptoty, oskulační kružnice a tečna hyperboly Bodová konstrukce bod 1 libovolně zvolený na prodloužení hlavní osy ve vzdálenosti větší než e od bodu S, bod M má od vzdálenost 1 a od vzdálenost 1. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy. Asymptoty tečny, ke kterým se hyperbola nekonečně přibližuje. V obrázku č. 55 jsou označeny a a sestrojíme je jako úhlopříčky obdélníka, jehož strany procházejí hlavními a vedlejšími vrcholy rovnoběžně s osami. Oskulační kružnice v obrázku č. 55 je zobrazena konstrukce oskulační kružnice pro vrchol B. Její střed vytíná na hlavní ose kolmice k asymptotě sestrojené ve vrcholu výše zmíněného obdélníka. Oskulační kružnice v A má stejný poloměr. Tečna hyperboly půlí úhel průvodičů bodu dotyku. Obrázek č

58 V předchozím obrázku č. 55 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu hyperboly leží na kružnici se středem S a poloměrem a vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen hyperboly leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice. 5.3 Parabola Parabola je množina bodů v rovině, které mají od přímky zvané řídící přímka a od pevného bodu - ohniska, stejnou vzdálenost. d - řídící přímka paraboly F ohnisko paraboly o - osa paraboly V vrchol paraboly 58

59 - parametr paraboly, - průvodiče bodu M Bodová konstrukce, oskulační kružnice a tečna paraboly Bodová konstrukce - bod 1 libovolně zvolený na polopřímce, bodem 1 sestrojíme přímku rovnoběžnou s řídící přímkou a její průsečík s kružnicí se středem v bodě F a poloměrem 1 je bodem paraboly. Další body sestrojíme podobně užitím bodů 2.3,... Oskulační kružnice - v bodě V má poloměr p. Tečna paraboly - půlí úhel průvodičů bodu dotyku. Obrázek č

60 V předchozím obrázku č. 56 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohniska na tečnu paraboly leží na tečně sestrojené ve vrcholu V - vrcholová tečna. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen paraboly leží na řídící přímce. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké jednoduché kuželosečky (rovinné křivky) vzniknou řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy? 2. Co to je ohnisko? 3. Charakterizujte elipsu. 60

61 4. Charakterizujte hyperbolu. 5. Co představují asymptoty? 6. Charakterizujte parabolu. KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 6. viz. výklad 61

62 6. Průměty rovinných obrazců v Mongeově projekci osová afinita KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průměty n-úhelníků v Mongeově projekci. Znát pojem osová afinita. Seznámit se s průměty kružnic v Mongeově projekci. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD 6.1 Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci Obrazce ležící v některé z průměten Obrázek č. 57 znázorňuje průmět čtverce ležícího v půdorysně π. Jeho půdorys vidíme ve skutečné podobě, nárysem je úsečka. Obrázek č

63 Čtenář jistě usoudí na průměty obrazce ležícího v nárysně υ Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten V obrázku č. 58 je řešen následující Příklad č. 9. Příklad č. 9: Sestrojte průměty čtverce ABCD ležícího v rovině ρ = [ 2; ;1 ], A = [ 1;1,3; z ], C = [ 1;5 ; ] A z C Řešení: Byly sestrojeny nárysy bodů A a C, které v této rovině leží. Protože se jedná o rovinu ρ kolmou k nárysně, leží A 2 a C 2 na n 2 = ρ2. Rovina ρbyla otočena podle půdorysné stopy do půdorysny. Při otáčení se body A a C pohybují po kružnici, roviny těchto kružnic jsou kolmé ke stopě ρ p. V půdoryse jsou otočené body A 0 a C 0 na přímkách procházejících body A 1 a C 1, kolmých k p 1. Nárysem kružnic otáčení jsou kružnice (v obrázku č. 58 zakresleny čárkovanou čarou). V otočení je čtverec ve skutečné velikosti, A 0 a C0bylo doplněno na čtverec A 0B0C0D0 a provedeno zpětné otočení do nárysu a půdorysu. ρ Obrázek č

64 Student jistě sám objeví princip otáčení roviny kolmé k půdorysně podle nárysné stopy do nárysny Otáčení roviny v obecné poloze V obrázku č. 59 je znázorněno otáčení roviny ρ v obecné poloze podle půdorysné stopy do půdorysny. Poloměr otáčení bodu A lze získat z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří vzdálenost půdorysu A 1 od ρ p a z-ová souřadnice z A bodu A. Obrázek č

65 Příklad č. 10: Je dána rovina = [ 7;7,8;6,5] ρ a body S ρ A,, A [ 5 ;9; z ], S = [ 2,5;4,5; ] otočení těchto bodů podle půdorysné stopy roviny ρ do půdorysny. =. Proveďte A z S Řešení: Viz obrázek č. 60. K půdorysům bodů A, S byly pomocí hlavních přímek určeny jejich nárysy A 2 a S 2. Roviny otáčení bodů A, S jsou kolmé k sklopením bodů A, S. ρ p, poloměr otáčení byl určen Obrázek č

66 Opět vyzývám studenta, aby si promyslel případné otáčení roviny podle nárysné stopy do nárysny Osová afinita Osová afinita je geometrická příbuznost mezi dvěma obrazci v rovině, pro kterou platí: a) Spojnice odpovídajících bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity. b) Přímky, které si odpovídají, se protínají na ose afinity. Na obrázku č. 61 byla zadána osa afinity o a dvojice odpovídajících bodů A a Úkolem je k daným bodům B a / A. / C nalézt jejich odpovídající obrazy. Z vlastnosti a) vyplývá, že dvojice A a / A zadává směr afinity, pro body / B a C tedy musí platit BB / / / // CC // AA. Přímce AB v afinitě odpovídá přímka protínat na ose afinity o. Obdobně přímce znázorněna i přímka B / C /, jíž odpovídá přímka BC. A / B / a tyto se podle b) musí A / C / odpovídá AC. Na obrázku č. 61 je 66

67 Obrázek č Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze Uveďme si velmi důležitou vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny: Pro půdorys (nárys) rovinného obrazce a jeho otočenou polohu podle půdorysné (nárysné) stopy do půdorysny (nárysny) platí vztah osové afinity. Osou afinity je stopa, podle které je rovina otáčena. Příklad č. 11: Sestrojte průměty pravidelného šestiúhelníku ABCDEF se středem v bodě S, ležícího = 7;7,8;6,5 A = 5 ;9; z, S = 2,5;4,5; ) v rovině ρ ( ρ [ ], [ ] [ ] A z S Řešení: Viz obrázek č. 62. Zadání roviny ρ a bodů A, S je shodné se zadáním předchozího příkladu. 1. K bodům A, S byly určeny nárysy A 2 a S 2hlavními přímkami. 2. Otočen bod S. ρ 3. Otočený bod A 0 sestrojen pomocí osové afinity. Osou afinity je p 1, dvojici odpovídajících bodů tvoří S 1a S 0. 67

68 4. V otočení sestrojen pravidelný šestiúhelník A 0B0C0D0E0F0. 5. Pomocí osové afinity sestrojeny body B 1, C1, D1, E1, F1. 6. Pomocí hlavních přímek sestrojeny body B 2, C2, D2, E2, F2 Obrázek č

69 6.2 Průměty kružnice v Mongeově projekci nebo úsečka. V rovnoběžném promítání je průmětem kružnice elipsa (sem patří i kružnice) Kružnice ležící v některé z průměten V následujícím obrázku č. 63 je znázorněn průmět kružnice k ležící v půdorysně π. Obrázek č Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten Využijeme znalostí o skutečné velikosti úsečky v Mongeově projekci. Průmětem úsečky je úsečka (ve zvláštním případě bod). Délka průmětu je menší nebo rovná skutečné délce úsečky. K rovnosti dochází v případě, že úsečka je rovnoběžná s průmětnou. Ze všech průměrů kružnice se tedy promítá jako nejdelší ten, který je rovnoběžný s průmětnou. Je-li tedy průmětem kružnice elipsa, potom její hlavní osa 69

70 v půdoryse leží na hlavní přímce 1. osnovy procházející středem kružnice a má délku rovnou průměru kružnice, v náryse leží na hlavní přímce 2. osnovy procházející středem kružnice a má opět délku rovnou průměru kružnice. Příklad č. 12: Sestrojte průměty kružnice k = ( S; 3 ), S = [ 0;5; ] ležící v rovině = [ 3; ;4] z S ρ. Řešení: Sestrojeno zadání příkladu. Vzhledem k tomu, že se jedná o rovinu kolmou k nárysně, je nárysem roviny přímka totožná s nárysnou stopou a nárys bodu S tedy na ní leží. ρ 1. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p 1 a na ní od bodu S 1 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v půdorysu). 2. Nárysem je úsečka 2. r = 6, která v půdoryse vymezuje vedlejší osu elipsy. Obrázek č

71 6.2.3 Kružnice ležící v rovině v obecné poloze Půdorysem i nárysem je elipsa. Příklad. 13: Sestrojte průměty kružnice k = ( S; 3 ), S = [ 3;2; ] ležící v rovině = [ 2;3;4] z S ρ. Řešení: Viz obrázek č Sestrojeno zadání příkladu. Pomocí hlavní přímky 1. osnovy sestrojen nárys bodu S. ρ 2. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p 1 a na ní od bodu S 1 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v půdorysu). 3. Na rovnoběžce s nárysnou stopou v bodě S 2 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v nárysu). 4. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v půdorysu označen jako G a určen jeho nárys. Tento bod je obecným bodem nárysné elipsy a tuto je možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. 5. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v nárysu označen jako H a určen jeho půdorys. Tento bod je obecným bodem půdorysné elipsy a tuto je stejně možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. Obrázek č

72 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 72

73 VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to osová afinita? 2. Definujte vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny. 3. Co může být průmětem kružnice? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 73

74 7. Průměty rovinných obrazců ležících v půdorysně a průměty jednoduchých těles s podstavou v půdorysně v pravoúhlé axonometrii KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s n-úhelníky ležícími v půdorysně. Seznámit se s kružnicemi ležícími v půdorysně. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD 7.1 n-úhelníky ležící v půdorysně Provedeme otočení půdorysny π podle strany XY trojúhelníka tak, jak bylo popsáno v 1. kapitole. Pro otočené body a jejich průměty opět platí vztah osové afinity, přičemž osou afinity je strana XY trojúhelníka, směr afinity je kolmý k ose afinity (dvojicí odpovídajících si bodů je např. O 0 O). axonometrického axonometrického 74

75 Příklad č. 14: Sestrojte průměty čtverce ABCD se středem S ležícího v půdorysně π, A = 2 ;1;0, S = 4;4;0 v pravoúhlé axonometrii, XY = XZ = 10a YZ = 12. [ ] [ ] Řešení: 1. Sestrojen axonometrický trojúhelník XYZpodle zadání a průměty os xyz ležící ve výškách tohoto trojúhelníku. 2. Otočen trojúhelník XYO, sestrojeny osy x0a y Byly sestrojeny body A 0 a S 0 vynesením skutečných souřadnic v osách x 0 a y V otočení sestrojen čtverec A 0B0C0D0. 5. Afinitou, jejíž osou je přímka XY, dvojicí odpovídajících bodů O 0, O byly sestrojeny body A = A B = B, C = C, D = D, S =. Obrázek č. 66 1, S1 Příklad č. 15: V izometrii sestrojte průmět pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou v π. A = 2 ;6;0, C = 5;1;0, v = 8 [ ] [ ]. 75

76 Řešení: 1. Jako axonometrický trojúhelník XYZ zvolíme libovolný rovnostranný trojúhelník a sestrojíme podstavu podle předchozího. 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku (protože zkrácení na všech osách je stejné, můžeme ji zkrátit např. na ose x). Obrázek č Kružnice ležící v půdorysně Průmětem kružnice ležící v půdorysně je elipsa. Její hlavní osa leží na rovnoběžce se stranou XY axonometrického trojúhelníku a má délku rovnou průměru kružnice. 76

77 Vedeme-li takto sestrojenými hlavními vrcholy elipsy rovnoběžky s osami x a y, protnou se (podle Thaletovy věty) v bodě, náležejícímu průmětu bodu na kružnici. Příklad č. 16: V pravoúhlé axonometrii XY = 12, XZ = 11, YZ = 10 sestrojte průměty kružnice ( S; 5), = [ 6;5;0] k = S. Řešení: Viz obrázek č Sestrojen průmět bodu S. 2. Bodem S sestrojena hlavní osa označená 1, 2, rovnoběžná se stranou XY délky 2 *5 = Body 1, 2 vedeny rovnoběžky s osami x a y s průsečíkem Proužkovou konstrukcí byla určena velikost vedlejší osy elipsy a následně celá elipsa. Obrázek č

78 V následujícím učivu se u příkladů řešených v axonometrii omezím na izometrii. Jednotku na všech osách pak zaokrouhlíme na 0,8j (správná hodnota je 0,81649 j). Příklad č. 17: V izometrii (j x =j y =j z =0,8) sestrojte průmět rotačního válce s podstavou v πo středu S = 6 ;7;0, r = 5, v = 8 [ ]. Řešení: 1. Postupem předchozího příkladu sestrojíme podstavu rotačního válce (vzhledem k tomu, že se jedná o izometrii, je bod 3 vedlejším vrcholem elipsy). 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku. Získáme střed horní podstavy. 3. Do získaného středu horní podstavy posuneme elipsu shodnou s dolní podstavou. 78

79 Obrázek č. 69 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 79

80 VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětem kružnice ležící v půdorysně? 2. V jakém případě platí vztah osové afinity? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 80

81 8. Rozdělení ploch, rotační plochy a jejich tečná rovina. Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné KLÍČOVÉ POJMY analytická plocha, empirická plocha, stupeň plochy, tečná rovina, osa rotace, plocha, meridián, nerotační plochy rotační CÍLE KAPITOLY Znát rozdělení ploch. Seznámit se s tečnou rovinou. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Rozlišujeme plochy: Analytické vytvořené podle určitého zákona (rovina, kulová plocha,.) Empirické žádná zákonitost (topografická plocha) 8.1 Analytické plochy Stupeň plochy maximální počet průsečíků obecné přímky s plochou (rovina stupeň 1, válcová plocha stupeň 2). 81

82 Plochy přímkové na jejich povrchu leží nekonečně přímek (rovina, válcová plocha, ). Plochy nepřímkové na jejich povrchu leží konečně přímek nebo žádná (kulová plocha, ). 8.2 Tečná rovina Vedeme-li určitým bodem T na ploše různé roviny, v bodě T ke vzniklým řezům, leží v tečné rovině této plochy.,,. tečny,,,,. a sestrojíme-li,., pak všechny tyto tečny Obrázek č Plochy rotační plocha,.). Rotační plochy vznikají rotací křivky podél osy o (válcová plocha, kulová 82

83 Obrázek č. 71 Pojmy: o osa rotace rovnoběžka kružnice, vzniklá rotací konkrétního bodu rotující křivky rovník rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí největší hrdlo rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí nejmenší k meridián (poledník), rotující křivka v jednotlivých fázích rotace hlavní meridián meridián, rovnoběžný s průmětnou, která je rovnoběžná s osou o 8.3 Plochy nerotační Přímkové plochy Rozvinutelné lze je bez deformace rozvinout do roviny (válcová plocha, kuželová plocha). Pro všechny body povrchové přímky plochy jsou tečné roviny totožné. Nerozvinutelné neboli zborcené nelze je bez deformace rozvinout do roviny (plochy, které budou náplní následného učiva hyperbolický paraboloid, 83

84 jednodílný hyperboloid, konoid, šroubová plocha). Tečné roviny se podél povrchové přímky plochy mění. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké rozlišujeme plochy? 2. Jak rozdělujeme analytické plochy? 3. Co znamená stupeň plochy? 4. Co je tečná rovina? 5. Pojmenujte rotační a nerotační plochy. 84

85 KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 85

86 9. Jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha a konoid KLÍČOVÉ POJMY jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha, konoid CÍLE KAPITOLY Seznámit se s plochami přímkovými nerozvinutelnými. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU KAPITOLY VÝKLAD 9.1 Nerozvinutelné přímkové plochy Nerozvinutelné přímkové plochy můžeme definovat pomocí 3 prostorových křivek (řídící křivky plochy), které každá tvořící přímka plochy tyto tři křivky protíná Nerozvinutelné přímkové plochy rotační Rotační jednodílný hyperboloid U této plochy máme několik způsobů vzniku: 1. Pomocí výše zmíněných 3 křivek. Pro jednoznačné určení zborceného hyperboloidu postačují 3 kružnice s různými poloměry, ležící ve vzájemně 86

87 různých rovnoběžných rovinách, jejichž středy leží na téže přímce, která je kolmá k těmto rovinám. Podmínkou je, aby tyto kružnice neležely na jedné kuželové ploše. 2. Vyplývá z názvu. Tato plocha vzniká rotací hyperboly kolem své vedlejší osy. 3. Další možností je rotací přímky kolem osy s ní mimoběžné. Příklad č. 18: V Mongeově projekci sestrojte obrys jednodílného hyperboloidu vytvořeného rotací p = PQ, P = 4;2;0, Q = 4;2;8 kolem osy o π ( o 1 = [ 0;5;0]). Plochu omezte přímky [ ] [ ] rovinami π a / / π - π, je souměrná k π podle středu plochy S. Řešení: Zadání plochy je třetí z výše uvedených možností, tj. roací přímky kolem osy s ní mimoběžné. 1. Vzhledem k tomu, že rotující přímka je rovnoběžná s nárysnou, je její nejbližší bod k ose o (střed hrdla S) průsečíkem nárysu p a o. 2. Půdorys hrdla je kružnice dotýkající se. Nárysem hrdla je úsečka rovnoběžná s x délky průměru hrdla. 3. / je souměrná k podle S. 4. Půdorysem průsečnice plochy s a / je kružnice procházející stopníkem P přímky p. Nárysem jsou úsečky rovnoběžné s x. 5. Necháme-li bodem S rotovat přímku rovnoběžnou s p, obdržíme tzv. asymptotický kužel plochy. Jeho obrys tvoří v náryse přímky (a) a /, které jsou současně asymptotami nárysného obrysu plochy. 6. Pro nakreslení nárysu už byly sestrojeny pouze oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly. Obrázek č

88 88

89 9.1.2 Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační Hyperbolický paraboloid Řídícími křivkami, které definují tuto plochu, budou v tomto případě dvě vlastní mimoběžky a jedna nevlastní přímka. Touto nevlastní přímkou rozumíme rovinu, v níž tato přímka v pomyslném nekonečnu leží. Plochu tvoří přímky, které protínají dané mimoběžky a jsou rovnoběžné s danou rovinou. Nejjednodušší zadání bývá pomocí tzv. zborceného čtyřúhelníku. Na ploše existují dva systémy přímek reguly, kdy každá přímka jednoho regulu je různoběžná se všemi přímkami druhého regulu. Příklad č. 19: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD, A = [ 3;9;5 ], B = [ 0;1;1 ], C = [ 5; 2;7 ], D = [ 8;6;2]. Sestrojte po třech přímkách 1. a 2. regulu. Řešení: 1. Sestrojen zborcený čtyřúhelník ABCD, jehož půdorysem je rovnoběžník. 2. K průsečíkům rovnoběžek s se stranami a jsou nalezeny jim odpovídající průměty na stranách BC a AD. Tímto způsobem získáváme tvořící přímky jednoho regulu. 3. Přímky druhého regulu se získávají obdobným způsobem. Obrázek č

90 Konoid Konoidy jsou určené jednou vlastní přímkou, jednou nevlastní přímkou (rovinou) a vlastní křivkou. Podlé této křivky získávají jednotlivé konoidy svůj název. Body křivky spojujeme s body vlastní přímky přímkami rovnoběžnými s řídící rovinou. Příklad č. 20: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) zobrazte kruhový konoid a 4 jeho tvořící přímky s řídící půlkružnicí ležící v µ se středem S = O, r = 5. Řídící rovinou je nárysna, řídící přímkou [ 8;0;0] / / y // y, M y, M =. Řešení: 1. Sestrojen průmět půlkružnice ležící v µnad půdorysnou. Tato konstrukce je obdobou konstrukce kružnice ležící v půdorysně viz kapitola 7. tohoto textu. Její 90

91 hlavní osa je kolmá k ose x a má délku 2r, rovnoběžkami s osou y případně z je získán bod elipsy. 2. Tvořící přímky mají být rovnoběžné s nárysnou, tzn. dvě tvoří přímo rovnoběžky s osou x krajními body půlkružnice. 3. Další obdržíme sestrojením libovolné rovnoběžky s osou x, přičemž tvořící / přímku sestrojíme jako spojnici průsečíku této přímky s y a bodu na kružnici, který odpovídá průsečíku zmíněné rovnoběžky s osou x. Obrázek č. 74 Šroubová plocha Řídícími křivkami jsou jedna vlastní přímka, jedna nevlastní přímka a šroubovice, kde vlastní přímka je osou šroubovice a rovina nevlastní přímky je kolmá na tuto osu. Poté spojujeme body osy s body šroubovice a to rovnoběžně s rovinou nevlastní přímky. 91

92 Pod pojmem šroubovice si představujeme prostorovou křivku obdobnou konci závitu šroubu. Rozlišujeme pravotočivé a levotočivé šroubovice. Pravotočivá šroubovice je ta, u které při pohybu shora dolů zatáčíme vůči ose doprava viz obrázek č. 75. Obrázek č. 75 Příklad č. 21: V Mongeově projekci zobrazte průmět jednoho závitu pravotočivé šroubové plochy o π, o1 = 1;3;0, výška závitu v = 12, počáteční bod je A = [ 1;5;0 ]. s osou [ ] Řešení: 1. Nejprve je sestrojována šroubovice. Jejím půdorysem je kružnice se středem v, procházející bodem. Kružnice je rozdělena na 12 dílů, body 1,2,.12 jako půdorysy dvanácti bodů šroubovice. Při pootočení šroubovice z bodu n do bodu n+1 vystoupá šroubovice o jednu dvanáctinu výšky závitu, tj. o jednu jednotku. Takto sestrojíme nárysy 1,2,.12 a jejich spojením s bodem A získáme nárys šroubovice. 2. Půdorysem šroubové plochy pak jsou spojnice bodů,1,2,.12 s bodem. 3. Nárysem šroubové plochy jsou rovnoběžky s osou x body,1,2,.12. Obrázek č

93 93

94 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, s. SETZER, O. a K. KŮLA, Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN OTÁZKY A ÚKOLY 1. Pomocí čeho definujeme nerozvinuté přímkové plochy? 2. Jak rozdělujeme nerozvinuté přímkové plochy? 3. Charakterizujte šroubovou plochu. 4. Co je to konoid? 5. Co znamená slovo regul? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 94

95 4. viz. výklad 5. viz. výklad 95

96 10. Základy kótovaného promítání KLÍČOVÉ POJMY kótované promítání, kóta, stopník přímky, stupňovaní přímky, interval přímky, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko, průsečnice, spád přímky, spád roviny, interval roviny CÍLE KAPITOLY Seznámit se s kótovaným promítáním. Seznámit se se stupňováním přímky. Znát pojmy vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Seznámit s řešením výkopů a násypů v rovinném terénu. 8 hodin ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY VÝKLAD Kótované promítání je pravoúhlé promítání na jednu průmětnu. Tuto průmětnu si představujeme jako vodorovnou obdoba půdorysny z Mongeovy projekce. Pro jednoznačné určení bodu je k jeho průmětu přidávána vzdálenost od průmětny kóta, přičemž body nad průmětnou mají kótu kladnou, pod průmětnou mají kótu zápornou. Obrázek č

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

AXONOMETRIE - 2. část

AXONOMETRIE - 2. část AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;

Více

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura

Více

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy. strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60

Axonometrie KG - L ZS MZLU v Brně. KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS / 60 Axonometrie KG - L MZLU v Brně ZS 2008 KG - L (MZLU v Brně) Axonometrie ZS 2008 1 / 60 Obsah 1 Úvod 2 Typy axonometrií 3 Pravoúhlá axonometrie Zobrazení přímky Zobrazení roviny Polohové úlohy KG - L (MZLU

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ 2.KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ Označíme: s...směr promítání, s p k c...kóta bodu C C 1 (k c )...kótovaný průmět bodu C. pokud k c 0 (k c 0), potom bod C leží nad (pod) průmětnou p. jednotka j=1cm

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný

Více

Další plochy technické praxe

Další plochy technické praxe Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch

Více

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava 1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Literatura: (1)Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní

Více

Test č. 9. Zborcené plochy

Test č. 9. Zborcené plochy Test č. 9 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr Zborcené plochy Při vypracování úloh se využijí následující poučky: a) u plochy jednodílného hyperboloidu a hyperbolického

Více

Pravoúhlá axonometrie. tělesa

Pravoúhlá axonometrie. tělesa Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout

Více

Deskriptivní geometrie 0A5

Deskriptivní geometrie 0A5 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah

Více

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:

Více

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Více

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Mongeovo promítání 1 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ 1.1 Základní pojmy V Mongeově promítání promítáme na dvě navzájem kolmé průmětny. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se, svislá průmětna se nazývá

Více

Test č. 9. Zborcené plochy

Test č. 9. Zborcené plochy Test č. 9 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2002/2003 Zborcené plochy Při vypracování úloh se využijí následující poučky: a) u plochy jednodílného hyperboloidu

Více

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2 Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1 Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová...

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Deskriptivní geometrie 1

Deskriptivní geometrie 1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

Další servery s elektronickým obsahem

Další servery s elektronickým obsahem Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU

JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat

Více

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ŠROUBOVICE Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ZÁKLADNÍ POJMY osa šroubovice o nosná válcová plocha (r poloměr řídicí kružnice

Více

Shodná zobrazení v rovině

Shodná zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech

Více

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70).

A[ 20, 70, 50] a výška v = 70, volte z V > z S ; R[ 40, 20, 80], Q[60, 70, 10]. α(90, 60, 70). Úkoly k zápočtu z BA008 Všechny úkoly jsou povinné. Úkoly číslo 4, 7, 12, 14 budou uznány automaticky, pokud poslední den semestru, tj. 3. 5. 2019, budou všechny ostatní úkoly odevzdané a uznané. 1. Je

Více

II. TOPOGRAFICKÉ PLOCHY

II. TOPOGRAFICKÉ PLOCHY II. TOPOGRAFICKÉ PLOCHY 1. Základní úlohy 1.1 Základní pojmy Topografická plocha je omezující plocha části zjednodušeného zemského povrchu. Při jejím zobrazování se obvykle používá kótované promítání.

Více

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat. Šroubové plochy Šroubová plocha Φ(k) vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý, resp. pravotočivý je i plocha Φ levotočivá, resp. pravotočivá.

Více

Deskriptivní geometrie BA03

Deskriptivní geometrie BA03 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie BA03 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 Určeno pro studenty studijních

Více

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace Test č. 1 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2006-2007 Kuželosečky, afinita a kolineace (1) (a) Je dána elipsa E(F 1, F 2, a), F 1 F 2 < 2a. Sestrojte několik bodů

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text

Více

Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m

Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m Deskriptivní geometrie I Prezentace a podklady k pr edna s ka m Geometrická zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině: identita, posunutí, rotace, středová souměrnost osová souměrnost posunutá souměrnost

Více

Zářezová metoda Kosoúhlé promítání

Zářezová metoda Kosoúhlé promítání Zářezová metoda Kosoúhlé promítání Mgr. Jan Šafařík Přednáška č. 6 přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 Základní literatura Jan Šafařík: příprava na přednášku Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Fotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012

Fotogrammetrie. zpracovala Petra Brůžková. Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie zpracovala Petra Brůžková Fakulta Architektury ČVUT v Praze 2012 Fotogrammetrie je geometrický postup, který nám umožňuje určení tvaru, velikosti a polohy reálných objektů na základě fotografického

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Konstruktivní geometrie BA008

Konstruktivní geometrie BA008 Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Konstruktivní geometrie BA008 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2017 Určeno pro studenty studijních

Více

Gymnázium, Brno, Elgartova 3

Gymnázium, Brno, Elgartova 3 Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie

Více

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace Test č. 1 Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST, letní semestr 2008-2009 Kuželosečky, afinita a kolineace (1) (a) Je dána elipsa E(F 1, F 2, a), F 1 F 2 < 2a. Sestrojte několik bodů

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Elementární plochy-základní pojmy

Elementární plochy-základní pojmy -základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru

SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE. Polohové vlastnosti útvarů v prostoru SÍR ÚO STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru Sbírka úloh STROTRI Polohové vlastnosti útvarů v prostoru gr. arie hodorová, Ph.. rafická úprava a sazba: arcel Vrbas OS SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 5. ZÁY STROTRI

Více