MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná matematika 2010

2 Poděkování: Děkuji velice prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za vstřícnost, trpělivost a příležitost naučit se opět něco nového. Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne 2. června Jana Medková

3 Abstrakt Název práce: Moduly nad okruhy hlavních ideálů Autor: Jana Medková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty, MU Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstrakt: Práce se zabývá odvozením a aplikací vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů. V první kapitole je uvedena definice modulu a pojmy používané v dalším textu. V druhé kapitole se odvozují vlastnosti torzních modulů nad okruhy hlavních ideálů, které se následně použijí v důkazu věty o rozkladu na parciální zlomky. Ve třetí kapitole se zabýváme konečně generovanými moduly nad okruhy hlavních ideálů, pro které, jak dokážeme, platí, že jsou izomorfní vhodnému součtu cyklických modulů. V poslední kapitole se použijí výsledky třetí kapitoly k důkazu, že každá matice je podobná matici v racionálním kanonickém tvaru a k odvození algoritmu na jeho nalezení. Klíčová slova: Modul, okruh hlavních ideálů, torzní modul, racionální kanonický tvar Abstract Title: Modules over principal ideal domain Author: Jana Medková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstract: In this work, we look into properties od modules over principal ideal domain and applications of those. First chapter consist of definition of module and terms used in following text. In second chapter, we derive properties of torsion modules over principal ideal domain, which are used to prove parcial fraction decomposition. In third chapter we study finitely generated modules over principal ideal domain, which, as we prove, are isomorphic to suitable sum of cyclic modules. The results of third chapter are used in the last chapter to show, that every square matrix is similar to matrix in rational canonical form and the algorithm how to find it. Keywords: Module, principal ideal domain, torsion module, rational canonical form

4 Obsah Úvod 6 1 Základní pojmy 7 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů 12 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů 19 4 Racionální kanonický tvar 28 Literatura 42 5

5 Úvod V této bakalářské práci se budeme zabývat odvozením vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů a jejich aplikacemi. Protože budovat celou teorii od začátku by bylo příliš rozsahově náročné, budeme předpokládat, že čtenář má znalosti v rozsahu publikace [6] a pojmy a věty z této publikace už nebudou v textu dále připomínány. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole zavedeme pojem modul nad okruhem a uvedeme některá tvrzení vztahující se k tomu pojmu, která budou potřeba v dalších kapitolách a také několik tvrzení o okruzích hlavních ideálů, která nejsou uvedena v [6] a budou v dalším textu potřeba. V druhé kapitole se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů a jejich rozkladem na součet podmodulů anihilovaných mocninou ireducibilního prvku, který potom použijeme k důkazu věty o rozkladu prvků podílových těles okruhů hlavních ideálů na parciální zlomky. Ve třetí kapitole dokážeme, že každý konečně generovaný modul nad okruhem hlavních ideálů je izomorfní součtu vhodných cyklických modulů. Ve speciálním případě, pokud za okruh hlavních ideálů vezmeme okruh celých čísel, je toto tvrzení ekvivalentní větě o rozkladu konečné komutativní grupy na součin netriviálnách cyklických p-grup. V poslední kapitole pak aplikujeme tento poznatek na vektorové prostory, které uvažujeme jako moduly nad okruhem polynomů nad tělesem, abychom dokázali, že každá matice a lineární transformace má racionální kanonický tvar a ukázali si algoritmus, jak tento tvar najít. Tato bakalářská práce byla vysázena systémem L A TEX. 6

6 Kapitola 1 Základní pojmy Účelem této krátké kapitoly není sdělit nové informace, jako spíše připomenout pojmy, které budou v dalších kapitolách používány již bez vysvětlení. Definice 1.1. Bud R okruh (ne nutně komutativní). Levým R-modulem nazýváme množinu M spolu s: 1. binární operací + na M takovou, že (M, +) je komutativní grupa. 2. akcí R na M tj. zobrazením R M M (obraz dvojice (r, m) značíme rm), která splňuje pro všechna r, s R, m, n M následující podmínky: (a) (r + s)m = rm + sm. (b) (rs)m = r(sm). (c) r(m + n) = rm + rn. (d) pokud má okruh R jedničku, pak 1 R m = m. Pokud se v textu vyskytne pojem R-modul, není pod ním myšleno nic jiného než levý R-modul. Akci R na M často nazýváme násobení prvky z okruhu R. Definice 1.2. Bud M levý R-modul, N M. Pak N se nazývá R-podmodul (nebo jen podmodul) modulu M právě tehdy, když (N, +) je podgrupa grupy (M, +) a pro každé r R, m N je rm N. Pokud uvažujeme okruh R jako levý R-modul, pak jeho podmoduly jsou právě jeho levé ideály. Pokud má okruh jedničku, pak m = ( 1)m a při ověřování, zda podmožina modulu M je podmodul, stačí ověřit uzavřenost vůči sčítání a násobení prvkem z R, protože ta implikuje uzavřenost na inverze vůči sčítání. 7

7 Definice 1.3. Necht M, N jsou levé R-moduly. Pak zobrazení f : M N nazýváme homomorfismus R-modulů, pokud pro libovolná m, n M, r, s R platí f(rm + sn) = rf(m) + sf(n). Jádrem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků m M, které splňují podmínku f(m) = 0, značíme Ker(f). Obrazem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků n N, pro které existuje m M tak, že f(m) = n, značíme Im(f). Bijektivní homomorfismus R-modulů nazýváme izomorfismus R-modulů. Poznámka 1.4. Pro každý homomorfismus R-modulů f : M N je Ker(f) podmodul modulu M a Im(f) podmodul modulu N. Důkaz. Z teorie grup víme, že Ker(f) je podgrupa grupy M, stačí tedy dokázat, že pokud m Ker(f), pak pro libovolné r R je i rm Ker(f). Ale f(rm) = rf(m) = r0 = 0. Tedy jádro homomorfismu f je podmodul modulu M. Stejně tak Im(f) je podgrupa grupy N. Pro libovolné n Im(f) existuje m M tak, že f(m) = n. Ale pak pro libovolné r R platí rn = rf(m) = f(rm), proto rn Im(f). Definice 1.5. Bud R okruh, M levý R-modul, N podmodul modulu M. Pak faktormodulem M/N rozumíme faktorgrupu M/N společně s akcí R na M/N určenou předpisem r(m + N) = rm + N pro všechna r R, m M. Homomorfismus k : M M/N, k(m) = m + N se nazývá kanonická projekce na faktormodul. Definice 1.6. Bud R okruh, M levý R-modul. Řekneme, že množina prvků A generuje modul M, právě když pro libovolné m M existují r i R, m i A tak, že m = n i=1 r im i. Konečně generovaný modul je takový modul, který je generován konečnou množinou. Pokud je modul generován jedním prvkem, nazývá se cyklický. Definice 1.7. Bud R okruh, M levý R-modul. Podmnožina B modulu M se nazývá bází, pokud je libovolná její konečná podmnožina lineárně nezávislá (tj. pro libovolná b 1,..., b n B a a 1,... a n R platí n i=1 a ib i = 0 jedině v případě, kdy všechna a i = 0) a generuje modul M. Řekneme, že R-modul M je volný, pokud má bázi. Definice 1.8. Bud R okruh, M levý R-modul, N i, i I podmoduly modulu M. Pak součtem modulů N i, i I rozumíme množinu všech konečných součtů n N = { m ji m ji N ji i=1 pro i = 1,..., n}, 8

8 značíme N = i I N i. Pokud dále platí, že pro libovolné m i I N i existují jednoznačně určená m i N i tak, že m = i I m i a skoro všechna m i jsou nulová, nazýváme N direktním součtem modulů N i, i I, značíme N = i I N i. Pro direktní součet M dvou modulů N 1, N 2 se používá též značení M = N 1 N 2. Poznámka 1.9. Součet podmodulů N i, i I modulu M je podmodul generovaný sjednocením i I N i. Volný modul je přímý součet modulů izomorfních s R (ne nutně konečný). Definice Rankem volného modulu M rozumíme počet prvků jeho báze. Věta Bud R obor integrity a M volný R-modul ranku n <. Pak libovolných n + 1 prvků je lineárně závislých, tj. pro každé prvky m 1,..., m n+1 M existují r 1,..., r n+1 R, ne všechna nulová tak, že r 1 m r n+1 m n+1 = 0. Důkaz. Modul M je volný ranku n, tedy M = R.... R (n-krát). Vezměme podílové těleso F okruhu R. Pak jistě M F F (n-krát). Toto je ale vektorový prostor jehož vlastnosti dobře známe, tudíž víme, že existují x 1,..., x n+1 F, ne všechna nulová, i, s i, t i R, t i 0 tak, že n+1 i=1 x im i = 0. Všechny tyto koeficienty jsou ve tvaru s i t 1 a vynásobením obou stran prvkem n+1 i=1 t i dostáváme koeficienty r j = s n+1 j i=1,i j t i R do rovnice z tvrzení, které jsou alespoň pro jedno j nenulové (protože R je obor intergity). Rank modulu nad oborem integrity můžeme definovat i jiným způsobem. Povšimněme si, že díky předchozí větě je tato definice ve shodě s definicí ranku volného modulu. Definice Bud R obor integrity. Rankem R-modulu M nazýváme maximální počet lineárně nezávislých prvků modulu M. V textu budeme také využívat některé vlastnosti okruhu hlavních ideálů, které nejsou uvedeny v [6], proto je dokážeme v této kapitole a dále je budeme používat bez důkazu. Další zajímavé vlastnosti okruhů hlavních ideálů, které ovšem nebudeme v textu používat, je možné nalézt např. v [3] nebo [2]. Definice Bud R okruh. Prvek r R nazveme primitivní, pokud je nenulový, není jednotka a pro libovolné s, t R, pro které platí r st, platí, že r s nebo r t. Prvek r R nazveme ireducibilní, pokud je nenulový, není jednotka a neexistují s, t R, které nejsou jednotky, tak, že r = st. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak libovolné dva nenulové prvky a, b mají největšího společného dělitele d, který může být zapsán jako lineární kombinace prvků a, b pro vhodná r, s R. ra + sb = d 9

9 Důkaz. Protože R je okruh hlavních ideálů, je i ideál (a, b) hlavní, to znamená, že (a, b) = (d). Prvek d je pak největší společný dělitel prvků a a b. Protože d (a, b), musí existovat r, s R tak, že ra + sb = d. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, a 1,..., a n prvky okruhu R tak, že (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Bud a = n i=1 a i. Pak R/(a) = n R/(a i ). i=1 Důkaz. Nejdříve dokážeme tvrzení pro dvojici prvků. Bud a = a 1 a 2, (a 1, a 2 ) = R. Uvažujme homomorfismus okruhů f : R R/(a 1 ) R/(a 2 ) daný předpisem f(b) = (b + (a 1 ), b + (a 2 )). Mějme libovolný prvek (b 1 + (a 1 ), b 2 + (a 2 )) R/(a 1 ) R/(a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R a b 2 b 1 R, musí existovat r, s R tak, že b 2 b 1 = ra 1 + sa 2. Úpravou dostáváme b 2 sa 2 = b 1 + ra 1 = x. Je zřejmé, že obrazem prvku x v homomorfismu f bude prvek (b 1 +ra 1 +(a 1 ), b 2 sa 2 +(a 2 )) = (b 1 +(a 1 ), b 2 +(a 2 )). Tedy libovolný prvek R/(a 1 ) R/(a 2 ) má vzor a f je surjektivní homomorfismus. Jádro homomorfismu f tvoří průnik ideálů (a 1 ) (a 2 ). Ukážeme, že (a 1 ) (a 2 ) = (a). Jistě a (a 1 ) (a 2 ), a proto (a) (a 1 ) (a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R, existují s, t R tak, že sa 1 + ta 2 = 1. Nyní bud x (a 1 a 2 ) libovolné. Pak existují u, v R tak, že x = ua 1 = va 2. Pak x = xsa 1 + xta 2 = va 2 sa 1 + ua 1 ta 2 = a 1 a 2 (sv + tu) = a(sv + tu) (a). Tedy (a 1 ) (a 2 ) (a). Proto Ker(f) = (a) a podle první věty o izomorfismu dostáváme R/(a) = R/(a 1 ) R/(a 2 ). Nyní dokážeme indukcí, že toto tvzení platí pro libovolných n prvků a 1,..., a n pro které platí (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Pro dva prvky jsme toto už dokázali. Nyní předpokládejme, že tvzení bylo dokázáno pro libovolných n 1 prvků s touto vlastností. Protože pro libovolné dva prvky (a i, a j ) = R, existují pro každé i, 2 i n prvky r i, s i R tak, že r i a 1 + s i a i = 1. Vynásobením těchto rovností dostaneme Bezoutovu rovnost pro prvky a 1 a n i=2 a i. Platí tedy, že (a 1, n i=2 a i) = R a z výše dokázaného plyne R/( n i=1 a i) = R/(a 1 ) R/( n i=2 a i). Na faktorokruh R/( n předpoklad, a proto R/(a) = R/(a 1 ) n i=2 R/(a i) = n i=2 a i) se ale vztahuje indukční i=1 R/(a i). Věta Bud R okruh hlavních ideálů, 0 = r R. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní 1. (r) je prvoideál, 2. (r) je maximální ideál, 3. r je ireducibilní prvek, 10

10 4. r je primitivní prvek. Důkaz. (1) (4) Bud I = (r) prvoideál. Pak (r) R, tedy r není jednotka (a r 0 z předpokladů věty). Necht s, t R jsou libovolné prvky takové, že r st. Pak st (r) a podle definice prvoideálu musí bud s R nebo t R. To ale znamená, že bud r s nebo r t a prvek r je primitivní. (4) (3) Bud r primitivní prvek. Pak r 0 a r není jednotka. Necht s, t R jsou libovolné prvky tak, že r = st. To ale také znamená, že r st. Protože je r primitivní prvek, musí platit, že r s nebo r t. Pak ale jeden z činitelů s, t musí být asociovaný s prvkem r a druhý musí být jednotka. Tedy r 0, r není jednotka a neexistuje rozklad r na součin dvou prvků tak, aby ani jeden z nich nebyl jednotka. (3) (2) Necht r je ireducibilní prvek. Pak (r) {0}, protože r 0, a (r) R, protože r není jednotka. Dokážeme, že (r) je maximální ideál okruhu R. Kdyby nebyl, tak existuje s R tak, že (r) (s) R, to ale znamená, že r = st a ani s ani t nejsou jednotky, ale to je spor s ireducibilitou r. (4) (3) Protože faktorizací okruhu podle prvoideálu dostáváme obor integrity, faktorizací podle maximálního ideálu těleso a těleso je z definice obor integrity, je vidět, že každý maximální ideál je i prvoideál. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak R je i okruhem s jednoznačným rozkladem. Důkaz. Bud r R libovolné takové, že r 0 a r není jednotka. Nejdříve dokážeme, že r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud je r ireducibilní, jsme hotovi. Nyní předpokládejme, že není. Pak r = r 1 s 1, kde r 1, s 1 nejsou jednotky. Bud jsou r 1, s 1 ireducibilní a jsme hotovi nebo jeden z nich, předpokládejme, že r 1 není ireducibilní a jde dále rozložit na součin r 2 s 2, kde r 2, s 2 nejsou jednotky. Budeme takto pokračovat v rozkládání. Pokud se po konečně mnoha krocích zastavíme, je vše v pořádku a r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud bychom se ale nezastavili, pak lze sestrojit nekonečný rostoucí řetězec ideálů (r) (r 1 ) (r 2 )... to je ale ve sporu s tím, že R je noetherovský okruh (viz. 3.2). Dokážeme nyní, že rozklad na konečný součet ireducibilních prvků je dán jednoznačně až na pořadí a asociovanost. Předpokládejme, že existují dva různé rozklady na ireducibilní prvky r = p 1 p n = q 1 q m, n m. Jistě levá strana je prvkem ideálu (p 1 ), takže musí platit, že p 1 q 1 q m. Prvek p 1 je ireducibilní, tedy i primitivní, to znamená, že musí dělit některý z prvků q 1,..., q m. Změnou pořadí můžeme tento prvek mít na první pozici, a proto můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že p 1 q 1. Protože q 1 je ireducibilní, platí p 1 q 1, tudíž existuje u 1 R, u 1 je jednotka tak, že q 1 = u 1 p 1. Když za q 1 dosadíme zpět do vyjádření, dostáváme p 1 p 2 p n = u 1 p 1 q 2 q m. Protože R je obor integrity můžeme si dovolit krátit p 1. Tedy p 2 p n = u 1 q 2 q m. Opakováním stejného postupu pro p 2,..., p n dostaneme, že p 1 q 1,..., p n q n a 1 = u 1 u n q m n q m. Protože žádné z q m n,..., q m není jednotka, musí být m = n. 11

11 Kapitola 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů Definice 2.1. Bud R okruh, M levý R-modul a x M. Anihilátorem prvku x rozumíme množinu ann(x) = {r R rx = 0} Poznámka 2.2. Anihilátor prvku x je levým ideálem okruhu R a pokud uvažujeme R jako levý R-modul a ann(x) jako jeho podmodul, pak faktormodul R/ ann(x) = (x), kde (x) je podmodul M generovaný prvkem x. Důkaz. Stačí dokázat, že ann(x) obsahuje 0, je uzavřený na sčítání, braní inverze vůči sčítání a násobení prvkem z R zleva. Z definice modulu 0 x = 0, takže 0 ann(x). Necht r, s ann(x) jsou libovolné. Pak (r+s)x = rx+sx = 0 a 0 = (r r)x = rx+( r)x = ( r)x, takže (r +s), r ann(x). Nakonec bud r R, s ann(x) libovolné, pak (rs)x = r(sx) = 0. Uvažujme homomorfismus modulů k : R (x), k(r) = rx. Jistě Im(k) = (x) a Ker(k) = {r R rx = 0} = ann(x). Podle první věty o izomorfismu platí R/ ann(x) = (x). Definice 2.3. Bud R okruh, M levý R-modul, x M. Prvek x se nazývá torzní, pokud ann(x) {0}. Pokud je R obor integrity, nazveme množinu všech torzních prvků modulu M torzní podmodul modulu M a budeme jej značit Tor(M) Bylo by vhodné dokázat, že Tor(M) je opravdu podmodul modulu M. Jistě 0 Tor(M), protože r0 = 0 z definice modulu pro všechna r R. Abychom dokázali, že Tor(M) je podmodul modulu M, stačí už jen ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R (protože R je obor integrity). Bud x, y Tor(M) libovolné torzní prvky, r ann(x), s ann(y), r, s 0 prvky okruhu R. Pak rs(x + y) = rsx + rsy = s(rx) + r(sy) = 0. Součin rs je tedy prvkem ann(x + y) a je nenulový, protože R je obor integrity a r, s jsou nenulové, tedy x + y je torzní prvek a Tor(M) je uzavřený vůči sčítání. Necht r ann(x), r 0, s R libovolné. Pak r(sx) = s(rx) = 0, tudíž ann(sx) není roven nule pro libovolné s R a tedy sx Tor(M), čímž jsme dokázali uzavřenost vůči násobení prvkem z R. 12

12 Definice 2.4. Modul M nazveme torzním, pokud Tor(M) = M. V dalším textu se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů. Danou problematiku nelze zobecnit na libovolný okruh, protože potřebujeme, aby okruh, nad kterým operujeme, byl obor integrity a pro dokázání některých vlastností využíváme vlastnost, že anihilátor libovolného prvku je hlavní ideál, tj. ideál generovaný jedním prvkem. R. Bud R okruh hlavních ideálů. Označme P(R) množinu všech maximálních ideálů okruhu Definice 2.5. Bud R okruh hlavních ideálů, M levý R-modul, (p) P(R). Množinou M (p) nazveme množinu všech prvků m M, pro které existuje n N tak, že p n m = 0. Je potřeba ověřit, zda je M (p) definována korektně, tj. je nezávislá na volbě generátoru ideálu (p). Předpokládejme, že (p) = (q). To ale znamená, že existuje jednotka u R tak, že p = uq. Dokážeme, že libovolný prvek m platí, že m M (p) právě, když m M (q). Jestliže m M (p), existuje n N tak, že p n m = 0. Pak ale 0 = p n m = (uq) n m = u n q n m. Vynásobíme obě strany prvkem u n a dostáváme u n 0 = 0 = u n u n q n m = q n m. Tedy existuje n N tak, že q n m = 0, proto pokud m M (p), pak m M (q). Opačný směr dostaneme analogicky pro q = u 1 p. Poznámka 2.6. M (p) je podmodul modulu M. Důkaz. Pro důkaz stačí ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R, nebot obor integrity má jedničku a 0 M (p). Bud m 1, m 2 M (p). Pak existují n 1, n 2 N tak, že p n 1 m 1 = 0, p n 2 m 2 = 0. Vezmeme n = max{n 1, n 2 }. Potom ale p n (m 1 + m 2 ) = p n m 1 + p n m 2 = 0 tedy M (p) je uzavřeno na součet. Dále pak bud m M (p), r R. Pak existuje n N takové, že p n m = 0. Pak p n (rm) = r(p n m) = 0. Odtud vidíme, že M (p) je uzavřeno i na násobení prvkem z R a je tedy podmodulem modulu M. Věta 2.7. Bud M levý R-modul, M i, i I systém jeho podmodulů. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M = i I M i, 2. pro systém podmodulů M i platí: (a) M je generován i I M i, (b) pro každé j I bud N j N j M j = {0}. podmodul generovaný sjednocením i I,i j M i. Pak 13

13 Důkaz. (1) (2) První část, že M je generovaný sjednocením i I M i plyne z definice součtu. Stačí tedy dokázat, že N j M j = {0}. Bud m N j M j. Protože m N j, musí existovat konečná podmnožina indexů J I {j} tak, že m = i J m i, m i M i pro i J. Vezmeme homomorfismus p : M M j definovaný následovně: pro každé x M, x = x i1 + + x ik, x il M il, je obraz roven tomu sčítanci, který leží v M j, případně 0, není-li tam takový. Tento homomorfismus je definován korektně, protože sčítance jsou z definice direktního součtu určeny jednoznačně. Pak ale p(m) = m, protože m M j, ale p(m) = p( i J m i) = i J p(m i) = 0. Z toho vyplývá, že m = 0. (2) (1) Jelikož je M generováno systémem modulů M i, i I, tak určitě každý prvek M lze zapsat jako konečný součet prvků z M i, i I. Dokážeme, že tento zápis je jednoznačný. Necht m = i I m i = i I m i jsou dvě různá vyjádření prvku m, ve kterých je pouze konečně mnoho sčítanců nenulových. Pak 0 = i I m i i I m i = i I (m i m i). Platí ale, že m i m i M i N i, protože m i m i = j I,j i (m i m i), takže z (2b) plyne, že m i m i = 0, a proto m i = m i. Tedy M = i I M i. Právě dokázané tvrzení bude důležité pro důkaz následující věty. Věta 2.8. Bud R okruh hlavních ideálů, M torzní R-modul. Pak M = (p) P(R) M (p). Důkaz. K důkazu využijeme předchozí větu, takže stačí dokázat, že M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p) a pro každé (p) P(R) je N (p) M (p) = 0, kde N (p) je podmodul generovaný sjednocením (q) P(R),(p) (q) M (q). Bud x M libovolné. Jelikož je M torzní modul, ann(x) je nenulový a ann(x) = (a) pro nějaké a 0. Jak již dříve zaznělo, platí, že R/(a) = (x) jako moduly, takže existuje izomorfismus modulů ψ : R/(a) (x), ψ(r + (a)) = rx. Okruh R je okruh hlavních ideálů a tedy je i okruhem s jednoznačným rozkladem, a prvek a proto můžeme rozložit na konečný součin ireducibilních prvků a jednotky, tedy a = u k i=1 pn i i, kde p i jsou ireducibilní prvky, u jednotka okruhu R. Podle věty 1.15 platí, že R/(a) = k i=1 R/(pn i i ) jako okruhy. Toto ale platí i pokud uvažujeme R/(a) a k i=1 R/(pn i i ) i ), který je dán předpisem jako levé R-moduly a izomorfismus ϕ : R/(a) k i=1 R/(pn i ϕ(r + (a)) = (r + (p n 1 1 ),, r + (p n k k )), je izomorfismus R-modulů R/(a) a k i=1 R/(pn i i ). Označme y i = (0,..., 1 + (p n i i ),... 0) prvky k i=1 R/(pn i i ) s jedničkou na i-té pozici a f = ψϕ 1, f : k i=1 R/(pn i i ) (x). Pak p n i i f(y i ) = f(p n i i y i ) = 0. Dostáváme tedy, že f(y i ) M (pi ). Je také zřejmé, že x = f((1 + (p n 1 1 ),, 1 + (p n k k ))) = k i=1 f(y i), f(y i ) M (pi ), což nám ale dává vyjádření x jako konečný součet prvků z M (pi ). Proto modul M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p). Bud 0 x N (p) M (p) libovolné. Pak existuje n N tak, že p n x = 0 (protože x M (p) ) a také existují x 1,, x k, x i M (pi ), (p i ) (p), x i 0, pro i = 1,, k tak, že x = k i=1 x i (protože x N (p) ). Ke každému x i M (pi ) existují příslušné exponenty n i N tak, že p n i i x i = 0. Označme r = k i=1 pn i i. Pak rx = 0. Protože p n a r jsou nesoudělná, platí, 14

14 že (p n, r) = R, a proto musí existovat a, b R tak, že ar + bp n = 1, tudíž vynásobením rovnosti prvkem x dostáváme arx + bp n x = x. Vzhledem k tomu, že levá strana je rovna nule, dostáváme spor s tím, že x 0. Proto N (p) M (p) = {0}. Věta 2.9. Bud R okruh hlavních ideálů, K podílové těleso okruhu R a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R taková, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Pak pro každé x K existuje konečná podmnožina I množiny I tak, že x lze vyjádřit ve tvaru r i p n i i, v němž r 0 R a pro všechna i I platí: 1. r i R, 2. r i není dělitelné p i v okruhu R, 3. n i N. x = r 0 + i I Navíc množina I a čísla n i jsou jednoznačně určena. Důkaz. Podílové těleso K i okruh R můžeme uvažovat jako R-moduly, přičemž R je podmodulem K. Vezměme faktormodul M = K/R. Tento R-modul je tvořen prvky ve tvaru rs 1 + R, r, s R, s 0. Je zřejmě vidět, že tento modul je torzní (každý prvek rs 1 + R stačí vynásobit s). Lze ho tedy rozložit na součet podmodulů M (p), kde (p) P(R), jak jsme dokázali v předchozí větě. Bud k : K M kanonická projekce na faktormodul. Dokážeme nejdříve, že pro libovolné x K existují r 0, r i R, i I a n i N tak, že r i není dělitelné p i v okruhu R a platí, že x = r 0 + i I r ip n i i. Nejdříve zobrazíme x projekcí k, k(x) = x + R. Protože M je torzní R-modul, existuje podle předchozí věty konečná množina I a nenulové prvky m i + R, m i + R M (pi ), i I tak, že k(x) = i I (m i + R). Pro každý prvek m i + R M (pi ) existuje n N tak, že p n i (m i + R) = R. Vezměme za n i nejmenší n, které toto splňuje. Prvek p n i i m i leží v Ker(k), protože k(p n i i m i ) = p n i i k(m i ) = p n i i (m i + R) = R. Ale jádro tvoří právě prvky modulu R, a proto pro m i existuje r i R tak, že p n i i m i = r i. Prvek m i tedy můžeme vyjádřit jako r i p n i i a jelikož jsme brali n i nejmenší možné, platí, že p i nedělí r i. Stejně tak x i I r i p n i i leží v jádře homomorfismu k, a proto musí existovat r 0 R tak, že x i I r i p n i i = r 0, z čehož už dostáváme kýžené vyjádření prvku x = r 0 + i I r i p n i i. Zbývá tedy dokázat jednoznačnost takového vyjádření. Nejdříve dokážeme, že množina indexů je jednoznačně daná. Bud I, J dvě různé konečné podmnožiny indexů splňující výše uvedené podmínky. Prvek x tak lze vyjádřit dvěma způsoby jako r 0 + i I r i p n i i = s 0 + j J s j p m j j. 15

15 Zobrazíme obě vyjádření projekcí k : K M. Dostáváme rovnost i I r i p n i i + R = j J s j p m j j + R. Bud l I. Pak + R = ( s j q m j j j J M (pl ) r l p n l l i I,i l r i p n i i ) + R N (pl ), kde N (pl ) je modul generovaný sjednocením i I,i l M (p i ) z čehož dle tvrzení 2.7 a 2.8 vyplývá, že r l p n l l + R = 0 + R, tj. r l p n l l R, což je spor s tím, že p l nedělí r l. Podobné to je pro jednoznačnost exponentů. Předpokládejme, že množina indexů je nyní stejná, ale u p l se liší velikost exponentu. Pak úpravami podobně jako v minulém případě dostáváme, že M (pl ) (r l p n l l s l p m l l ) + R = ( r i p n i i s i p m i i ) + R N (pl ). i I,i l i I,i l Z toho dostáváme, že (r l p n l l s l p m l l ) + R = 0 + R. Bud bez újmy na obecnosti n l < m l. Pak vynásobením obou stran p n l dostáváme s l p m l+n l l + R = 0 + R, m l + n l < 0 což je opět spor s tím, že p l nedělí s l. Vyjádření popsané v předchozí větě ale neodpovídá rozkladu, na který jsme zvyklí třeba při rozkladu na parciální zlomky při integraci racionálních funkcí. Proto bude potřeba naše úvahy ještě dále rozvinout. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, K jeho podílové těleso a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R tak, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Dále předpokládejme, že pro každé p i, i I, máme pevně dáno zobrazení s i : R/(p i ) R, 0 Im(s i ) tak, že k i s i = id R/(pi ) pro všechna i I, kde k i je kanonická projekce z R na R/(p i ). Necht x K je libovolný. Pak existuje jednoznačně určená konečná podmnožina I množiny I tak, že prvek x může být zapsán, a to jednoznačně, ve tvaru kde 1. r 0, r i,j jsou prvky z R, x = r 0 + i I 2. skoro všechny prvky r i,j jsou nulové, 3. všechny prvky r i,j Im(s i ). j=1 r i,j p j i, Důkaz. Dokázali jsme, že lze x K rozložit na součet x = r 0 + i I r ip n i i a množina indexů I a exponenty n i jsou určeny jednoznačně. Potřebovali bychom tedy dokázat, že lze r i p n i i dále rozložit na t i + j=1 r i,jp j i, t i, r i,j R. 16

16 Bud p ireducibilní prvek. Uvažujme R jako levý R-modul a k kanonickou projekci na faktormodul R/(p). Vezměme s : R/(p) R zobrazení takové, že k s = id R/(p), dané z předpokladů věty. Dokážeme indukcí, že pro každé r R a každé n N lze najít prvky u i R/(p), i = 0,..., n 1 tak, že r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ). Pokud n = 1, stačí vzít u 0 = k(r), jelikož k(r s(k(r))p 0 ) = k(r) k(s(k(r))) = k(r) k(r) = 0, protože k s = id R/(p). Budeme nyní předpokládat, že už byla dokázána existence u 0,..., u n 1 splňujících podmínku r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ), tzn. r n 1 i=0 s(u i)p i = tp n, kde t R. Položme u n = k(t). Pak t s(u n ) = lp, pro vhodné l R. Když z této rovnice vyjádříme t a dosadíme do pravé strany indukčního předpokladu, dostáváme, že r n 1 i=0 s(u i)p i = (s(u n ) + lp)p n, tedy r n i=0 s(u i)p i = lp n+1, čímž je důkaz indukcí hotov. Nyní dokážeme, že prvky s(u i ) jsou určeny jednoznačně. Mějme dvě různá vyjádření r n i=0 s(u i)p i a r n i=0 s(v i)p i, která leží v (p n+1 ). Protože nejsou stejná, existuje j < n tak, že s(u 0 ) = s(v 0 ),..., s(u j 1 ) = s(v j 1 ), s(u j ) s(v j ). Pak i jejich rozdíl i=j (s(v i) s(u i ))p i = tp n+1 (p n+1 ). V oboru r n i=0 s(u i)p i (r n i=0 s(v i)p i ) = n integrity můžeme nenulovým p krátit, proto n i=j (s(v i) s(u i ))p i j = tp n+1 j pro vhodné t R. Pak ale k(s(u j ) s(v j )) = k( n i=j (s(v i) s(u i ))p i ) = k(tp n+1 j ) = 0. Platí tedy 0 = k(s(u j ) s(v j )) = k(s(u j )) k(s(v j )) = u j v j. Proto u j = v j, tedy i s(u j ) = s(v j ), což je spor s tím, že jsme předpokládali, že s(u j ) s(v j ). Z věty 2.9 víme, že každé x K lze psát ve tvaru x = r + i I r i p n i i, r 0, r i R pro i I. Pro ireducibilní prvek p i, n i N a r i R využijeme výše uvedené úvahy, že existují s(u i,j ), j = 0,..., n i 1 tak, že r i n i 1 j=0 s(u i,j)p j = t i p n i pro vhodné t i R. Dosazením získáváme vztah x = r + i I (t i + n i 1 j=0 s(u i,j)p j n i i ). Označme r 0 = r + i I t i a pro každé i I položme r i,j = s(u i,ni j) pro 1 j n i, r i,j = 0 pro j > n i. Potom x = r 0 + i I j=1 r i,jp j i, což je dokazované vyjádření prvku x. Zbývá tedy dokázat jeho jednoznačnost. Předpokládejme, že nějaké x K lze vyjádřit dvěma způsoby x = r 0 + r i,j p j i = r 0 + r i,jp j i, i I i J j=1 které oba splňují podmínky věty. Obě množiny I, J jsou konečné, proto bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že jsou stejné, protože můžeme vyjádření doplnit nulovými r i,j a nahradit množiny I, J jejich sjednocením I J. Dále víme, že pro každé i I existuje n i N tak, že r i,j = r i,j = 0 pro všechna j > n i. Vynásobením i I p n i i dostaneme r 0 i I p ni i + l I n l j=1 Odtud plyne pro každé l I r l,j p n l j l n l j=1 i I,i l p n i i = r 0 (r l,j r l,j)p n l j l j=1 i I p ni i + l I i I,i l p n i i (p n l ) n l j=1 r l,jp n l j l i I,i l p n i i 17

17 Protože (p n l, i I,i l pn i i ) = R, existují a, b R tak, že ap n l +b a dostáváme n l n l ( r l,j p n l j l ) ( r l,jp n l j l ) (p n l ) j=1 j=1 i I,i l pn i i Všechna r l,j, r l,j Im(s l) a z výše dokázané jednoznačnosti plyne r l,j = r l,j. = 1. Vynásobením Věta Každé x Q lze jednoznačně napsat ve tvaru x = r 0 + p r p,n p n, n=1 kde p jsou prvočísla a 1. r 0, r p,n Z, 2. skoro všechna r p,n jsou nulová, 3. 0 r p,n p 1. Důkaz. Pokud vezmeme za s p : Z/(p) Z takové zobrazení, které třídu t + Z zobrazí na jejího nejmenšího nezáporného reprezentanta, pak k p s p = id Z/(p) a Im(s p ) = {0,..., p 1}. Tvzení pak přímo vyplývá z předchozí věty. 18

18 Kapitola 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů V teorii modulů se často setkáváme se závislostí struktury R-modulu na vlastnostech okruhu R. Např. je-li R těleso, je hned z definice vidět, že pojem R-modulu splývá s pojmem vektorový prostor nad tělesem R. Takovéto obecné vlastnosti lze odvodit i pro konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů, přesněji dokážeme, že jsou izomorfní součtu cyklických modulů. V závěru kapitoly potom ukážeme pěknou aplikaci tohoto tvzení na konečně generované Z-moduly, což jsou právě konečné komutativné grupy. Abychom mohli dokázat nejdůležitější tvrzení této kapitoly, budeme nejdříve potřebovat definovat několik pojmů a jejich vlastností. Prvním takovým pojmem je noetherovský modul. Definice 3.1. Bud R okruh a M levý R-modul. R-modul M nazýváme noetherovský, pokud jeho podmoduly splňují podmínku rostoucích řetězců, tj. pokud pro každý rostoucí řetězec podmodulů modulu M M 1 M 2 M 3 M 4... existuje m N tak, že pro všechna n m platí, M n = M m. Okruh R nazveme noetherovský, pokud je noetherovský jako levý R-modul, tj. neexistuje nekonečný rostoucí řetězec jeho levých ideálů. Věta 3.2. Bud R okruh, M levý R-modul. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M je noetherovský modul, 2. každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek vzhledem k inkluzi, 19

19 3. každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Důkaz Bud M noetherovský modul, S neprázdná množina jeho podmodulů a předpokládejme, že tato množina nemá maximální prvek. Necht M 1 S. Potom ale musí existovat M 2 S tak, že M 1 M 2 (jinak by M 1 byl maximální prvek). Ale M 2 také není z předpokladu maximální prvek, tudíž musí existovat M 3 S tak, že M 1 M 2 M 3. Takto bychom ale mohli zkonstruovat nekonečnou rostoucí posloupnost podmodulů M, což je spor s tím, že M je noetherovský. Tedy S musí obsahovat maximální prvek Nyní necht každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek. Bud N libovolný podmodul modulu M a S množina všech konečně generovaných podmodulů modulu N. Jistě S není prázdná, protože v ní vždy leží prvek {0}. Necht N S je maximální prvek této množiny (který z předpokladu existuje). Dokážeme, že pak N = N. Necht tedy N N. Pak existuje x N tak, že x / N. Označme Ñ = {x} N N. Ale Ñ je konečně generovaný podmodul modulu N, tudíž Ñ S. To je ale spor s maximalitou N. Proto N = N a N je konečně generovaný. Jelikož jsme N volili libovolně, tak každý podmodul modulu M je konečně generovaný Necht každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Uvažujme nekonečný neklesající řetězec podmodulů M M 1 M 2 M 3... Bud N = i=1 M i. Toto je ale podmodul modulu M, a proto je konečně generovaný a existuje množina jeho generátorů {a 1,..., a n }. Bud k i nejmenší index tak, že a i M ki a k = max(k i i = 1,... n). Pak a 1,..., a n M k, proto N M k M l N pro libovolné l k. Tedy M je noetherovský modul. Poznámka 3.3. Tento výsledek koresponduje s faktem, že okruh hlavních ideálů je noetherovský. V minulé kapitole jsme používali pojmy torzního podmodulu a anihilátoru. Nyní ještě zavedeme pojem pro anihilátor modulu. Definice 3.4. Anihilátorem R-modulu M rozumíme množinu všech r R splňujících pro všechna m M podmínku rm = 0. Značíme jej ann(m). Tedy. ann(m) = {r R rm = 0 pro všechna m M} Poznámka 3.5. Anihilátor modulu M tvoří ideál okruhu R, protože 0 ann(m), pro libovolné r, s ann(m) a libovolný prvek m M platí (r + s)m = rm + sm = 0 a 0 = (r r)m = rm + ( r)m = ( r)m, proto (r + s), ( r) ann(m) a nakonec 20

20 pro r R, s ann(m) platí (rs)m = r(sm) = r0 = 0 a (sr)m = s(rm), rm M, proto s(rm) = 0. Pokud je N podmodul modulu M, platí, že ann(n) ann(m). Zvláště pak pro případ, kdy je R okruh hlavních idálů, platí, že ann(n) = (a) ann(m) = (b), a proto a b. Věta 3.6. Bud R okruh hlavních ideálů, M volný R-modul konečného ranku m a N podmodul modulu M. Pak 1. N je volný R-modul ranku n, n m. 2. Existuje báze y 1,..., y m modulu M a nenulová a 1,..., a n R tak, že (a) a 1 y 1,..., a n y n tvoří bázi modulu N a (b) a 1 a 2... a n. Důkaz. Nejdříve dokážeme, že pokud je M volný modul ranku m nad okruhem hlavních ideálů, pak libovolný jeho podmodul N je volný ranku n m. Budeme to dokazovat indukcí vůči ranku modulu M. Bud m = 0. Pak tvrzení triviálně platí. Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny volné moduly ranku nepřevyšujícího m. Bud M volný modul ranku m + 1. Bud x 1,..., x m+1 báze M a f : M R homomorfismus daný předpisem f(x 1 ) = 1, f(x i ) = 0 pro i 2. Jádro tohoto homomorfismu m+1 Ker(f) = { r i x i r i R, r 1 = 0} = Rx 2 Rx m+1 i=1 je volný modul ranku m. Bud nyní g : N R, g = f N homomorfismus vzniklý zúžením f na N. Víme, že Ker(g) = N Ker(f), tedy je podmodulem modulu Ker(N). Na ten se ale vztahuje indukční předpoklad a tak Ker(g) je volný modul ranku k m a existuje nějaká jeho báze B = {u 1,..., u k }. Nyní mohou nastat dvě situace. Bud N = Ker(g), pak jsme hotovi, N je volný modul ranku k m m + 1 s bází B = {u 1,..., u k }. Nebo N Ker(g) a pak {0} Im(g) R. Pak Im(g) = (a), a R, a 0, což je volný modul ranku 1, protože má bázi {a}. Jistě existuje u N tak, že g(u) = a. Dokážeme, že {u} B je báze podmodulu N, tzn. generuje modul N a je lineárně nezávislá. Ukažme, že prvky u, u 1,..., u k jsou lineárně nezávislé. Necht existují r, r 1,..., r n R tak, že ru + k i=1 r iu i = 0. Pak ale 0 = g(0) = g(ru) + g( k i=1 r iu i ) = g(ru) = ra. To je nula jen tehdy, když r = 0 (protože R je obor integrity). Zbývající prvky u 1,..., u k tvoří bázi, takže pokud r = 0, musí být i všechny r i = 0, 1 i k. Prvky u, u 1,..., u k jsou tedy lineárně nezávislé. Necht x N je libovolný. Ukážeme, že existují prvky r, r 1,..., r k R takové, že x = ru + k i=1 r iu i Vezměme homomorfismus R-modulů h : (a) N, určený předpisem h(a) = u. Pak g h = id (a). Protože g(x h(g(x))) = g(x) g(h(g(x))) = g(x) g(x) = 0, je prvek x h(g(x)) Ker(g). Ale Ker(g) je generován prvky u 1,... u k, proto existují r 1,..., r k R tak, že k i=1 r iu i = x h(g(x)). Dále h(g(x)) Im(h). Protože Im(g) = (a) 21

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4.

Obsah 1. Základní algebraické pojmy... 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce... 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury... 7 4. Obsah 1. Základní algebraické pojmy........................ 2 2. Monoidové okruhy a některé další základní konstrukce.............. 4 3. Podgrupy a jiné podstruktury....................... 7 4. Kvocientní

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem

Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Metody řešení diofantických rovnic STUDIJNÍ TEXT Vypracoval: Jan Steinsdörfer Ústí nad Labem 2015 Obsah Úvod 2 1 Vznik diofantických

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více