MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná matematika 2010

2 Poděkování: Děkuji velice prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za vstřícnost, trpělivost a příležitost naučit se opět něco nového. Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne 2. června Jana Medková

3 Abstrakt Název práce: Moduly nad okruhy hlavních ideálů Autor: Jana Medková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty, MU Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstrakt: Práce se zabývá odvozením a aplikací vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů. V první kapitole je uvedena definice modulu a pojmy používané v dalším textu. V druhé kapitole se odvozují vlastnosti torzních modulů nad okruhy hlavních ideálů, které se následně použijí v důkazu věty o rozkladu na parciální zlomky. Ve třetí kapitole se zabýváme konečně generovanými moduly nad okruhy hlavních ideálů, pro které, jak dokážeme, platí, že jsou izomorfní vhodnému součtu cyklických modulů. V poslední kapitole se použijí výsledky třetí kapitoly k důkazu, že každá matice je podobná matici v racionálním kanonickém tvaru a k odvození algoritmu na jeho nalezení. Klíčová slova: Modul, okruh hlavních ideálů, torzní modul, racionální kanonický tvar Abstract Title: Modules over principal ideal domain Author: Jana Medková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstract: In this work, we look into properties od modules over principal ideal domain and applications of those. First chapter consist of definition of module and terms used in following text. In second chapter, we derive properties of torsion modules over principal ideal domain, which are used to prove parcial fraction decomposition. In third chapter we study finitely generated modules over principal ideal domain, which, as we prove, are isomorphic to suitable sum of cyclic modules. The results of third chapter are used in the last chapter to show, that every square matrix is similar to matrix in rational canonical form and the algorithm how to find it. Keywords: Module, principal ideal domain, torsion module, rational canonical form

4 Obsah Úvod 6 1 Základní pojmy 7 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů 12 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů 19 4 Racionální kanonický tvar 28 Literatura 42 5

5 Úvod V této bakalářské práci se budeme zabývat odvozením vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů a jejich aplikacemi. Protože budovat celou teorii od začátku by bylo příliš rozsahově náročné, budeme předpokládat, že čtenář má znalosti v rozsahu publikace [6] a pojmy a věty z této publikace už nebudou v textu dále připomínány. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole zavedeme pojem modul nad okruhem a uvedeme některá tvrzení vztahující se k tomu pojmu, která budou potřeba v dalších kapitolách a také několik tvrzení o okruzích hlavních ideálů, která nejsou uvedena v [6] a budou v dalším textu potřeba. V druhé kapitole se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů a jejich rozkladem na součet podmodulů anihilovaných mocninou ireducibilního prvku, který potom použijeme k důkazu věty o rozkladu prvků podílových těles okruhů hlavních ideálů na parciální zlomky. Ve třetí kapitole dokážeme, že každý konečně generovaný modul nad okruhem hlavních ideálů je izomorfní součtu vhodných cyklických modulů. Ve speciálním případě, pokud za okruh hlavních ideálů vezmeme okruh celých čísel, je toto tvrzení ekvivalentní větě o rozkladu konečné komutativní grupy na součin netriviálnách cyklických p-grup. V poslední kapitole pak aplikujeme tento poznatek na vektorové prostory, které uvažujeme jako moduly nad okruhem polynomů nad tělesem, abychom dokázali, že každá matice a lineární transformace má racionální kanonický tvar a ukázali si algoritmus, jak tento tvar najít. Tato bakalářská práce byla vysázena systémem L A TEX. 6

6 Kapitola 1 Základní pojmy Účelem této krátké kapitoly není sdělit nové informace, jako spíše připomenout pojmy, které budou v dalších kapitolách používány již bez vysvětlení. Definice 1.1. Bud R okruh (ne nutně komutativní). Levým R-modulem nazýváme množinu M spolu s: 1. binární operací + na M takovou, že (M, +) je komutativní grupa. 2. akcí R na M tj. zobrazením R M M (obraz dvojice (r, m) značíme rm), která splňuje pro všechna r, s R, m, n M následující podmínky: (a) (r + s)m = rm + sm. (b) (rs)m = r(sm). (c) r(m + n) = rm + rn. (d) pokud má okruh R jedničku, pak 1 R m = m. Pokud se v textu vyskytne pojem R-modul, není pod ním myšleno nic jiného než levý R-modul. Akci R na M často nazýváme násobení prvky z okruhu R. Definice 1.2. Bud M levý R-modul, N M. Pak N se nazývá R-podmodul (nebo jen podmodul) modulu M právě tehdy, když (N, +) je podgrupa grupy (M, +) a pro každé r R, m N je rm N. Pokud uvažujeme okruh R jako levý R-modul, pak jeho podmoduly jsou právě jeho levé ideály. Pokud má okruh jedničku, pak m = ( 1)m a při ověřování, zda podmožina modulu M je podmodul, stačí ověřit uzavřenost vůči sčítání a násobení prvkem z R, protože ta implikuje uzavřenost na inverze vůči sčítání. 7

7 Definice 1.3. Necht M, N jsou levé R-moduly. Pak zobrazení f : M N nazýváme homomorfismus R-modulů, pokud pro libovolná m, n M, r, s R platí f(rm + sn) = rf(m) + sf(n). Jádrem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků m M, které splňují podmínku f(m) = 0, značíme Ker(f). Obrazem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků n N, pro které existuje m M tak, že f(m) = n, značíme Im(f). Bijektivní homomorfismus R-modulů nazýváme izomorfismus R-modulů. Poznámka 1.4. Pro každý homomorfismus R-modulů f : M N je Ker(f) podmodul modulu M a Im(f) podmodul modulu N. Důkaz. Z teorie grup víme, že Ker(f) je podgrupa grupy M, stačí tedy dokázat, že pokud m Ker(f), pak pro libovolné r R je i rm Ker(f). Ale f(rm) = rf(m) = r0 = 0. Tedy jádro homomorfismu f je podmodul modulu M. Stejně tak Im(f) je podgrupa grupy N. Pro libovolné n Im(f) existuje m M tak, že f(m) = n. Ale pak pro libovolné r R platí rn = rf(m) = f(rm), proto rn Im(f). Definice 1.5. Bud R okruh, M levý R-modul, N podmodul modulu M. Pak faktormodulem M/N rozumíme faktorgrupu M/N společně s akcí R na M/N určenou předpisem r(m + N) = rm + N pro všechna r R, m M. Homomorfismus k : M M/N, k(m) = m + N se nazývá kanonická projekce na faktormodul. Definice 1.6. Bud R okruh, M levý R-modul. Řekneme, že množina prvků A generuje modul M, právě když pro libovolné m M existují r i R, m i A tak, že m = n i=1 r im i. Konečně generovaný modul je takový modul, který je generován konečnou množinou. Pokud je modul generován jedním prvkem, nazývá se cyklický. Definice 1.7. Bud R okruh, M levý R-modul. Podmnožina B modulu M se nazývá bází, pokud je libovolná její konečná podmnožina lineárně nezávislá (tj. pro libovolná b 1,..., b n B a a 1,... a n R platí n i=1 a ib i = 0 jedině v případě, kdy všechna a i = 0) a generuje modul M. Řekneme, že R-modul M je volný, pokud má bázi. Definice 1.8. Bud R okruh, M levý R-modul, N i, i I podmoduly modulu M. Pak součtem modulů N i, i I rozumíme množinu všech konečných součtů n N = { m ji m ji N ji i=1 pro i = 1,..., n}, 8

8 značíme N = i I N i. Pokud dále platí, že pro libovolné m i I N i existují jednoznačně určená m i N i tak, že m = i I m i a skoro všechna m i jsou nulová, nazýváme N direktním součtem modulů N i, i I, značíme N = i I N i. Pro direktní součet M dvou modulů N 1, N 2 se používá též značení M = N 1 N 2. Poznámka 1.9. Součet podmodulů N i, i I modulu M je podmodul generovaný sjednocením i I N i. Volný modul je přímý součet modulů izomorfních s R (ne nutně konečný). Definice Rankem volného modulu M rozumíme počet prvků jeho báze. Věta Bud R obor integrity a M volný R-modul ranku n <. Pak libovolných n + 1 prvků je lineárně závislých, tj. pro každé prvky m 1,..., m n+1 M existují r 1,..., r n+1 R, ne všechna nulová tak, že r 1 m r n+1 m n+1 = 0. Důkaz. Modul M je volný ranku n, tedy M = R.... R (n-krát). Vezměme podílové těleso F okruhu R. Pak jistě M F F (n-krát). Toto je ale vektorový prostor jehož vlastnosti dobře známe, tudíž víme, že existují x 1,..., x n+1 F, ne všechna nulová, i, s i, t i R, t i 0 tak, že n+1 i=1 x im i = 0. Všechny tyto koeficienty jsou ve tvaru s i t 1 a vynásobením obou stran prvkem n+1 i=1 t i dostáváme koeficienty r j = s n+1 j i=1,i j t i R do rovnice z tvrzení, které jsou alespoň pro jedno j nenulové (protože R je obor intergity). Rank modulu nad oborem integrity můžeme definovat i jiným způsobem. Povšimněme si, že díky předchozí větě je tato definice ve shodě s definicí ranku volného modulu. Definice Bud R obor integrity. Rankem R-modulu M nazýváme maximální počet lineárně nezávislých prvků modulu M. V textu budeme také využívat některé vlastnosti okruhu hlavních ideálů, které nejsou uvedeny v [6], proto je dokážeme v této kapitole a dále je budeme používat bez důkazu. Další zajímavé vlastnosti okruhů hlavních ideálů, které ovšem nebudeme v textu používat, je možné nalézt např. v [3] nebo [2]. Definice Bud R okruh. Prvek r R nazveme primitivní, pokud je nenulový, není jednotka a pro libovolné s, t R, pro které platí r st, platí, že r s nebo r t. Prvek r R nazveme ireducibilní, pokud je nenulový, není jednotka a neexistují s, t R, které nejsou jednotky, tak, že r = st. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak libovolné dva nenulové prvky a, b mají největšího společného dělitele d, který může být zapsán jako lineární kombinace prvků a, b pro vhodná r, s R. ra + sb = d 9

9 Důkaz. Protože R je okruh hlavních ideálů, je i ideál (a, b) hlavní, to znamená, že (a, b) = (d). Prvek d je pak největší společný dělitel prvků a a b. Protože d (a, b), musí existovat r, s R tak, že ra + sb = d. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, a 1,..., a n prvky okruhu R tak, že (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Bud a = n i=1 a i. Pak R/(a) = n R/(a i ). i=1 Důkaz. Nejdříve dokážeme tvrzení pro dvojici prvků. Bud a = a 1 a 2, (a 1, a 2 ) = R. Uvažujme homomorfismus okruhů f : R R/(a 1 ) R/(a 2 ) daný předpisem f(b) = (b + (a 1 ), b + (a 2 )). Mějme libovolný prvek (b 1 + (a 1 ), b 2 + (a 2 )) R/(a 1 ) R/(a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R a b 2 b 1 R, musí existovat r, s R tak, že b 2 b 1 = ra 1 + sa 2. Úpravou dostáváme b 2 sa 2 = b 1 + ra 1 = x. Je zřejmé, že obrazem prvku x v homomorfismu f bude prvek (b 1 +ra 1 +(a 1 ), b 2 sa 2 +(a 2 )) = (b 1 +(a 1 ), b 2 +(a 2 )). Tedy libovolný prvek R/(a 1 ) R/(a 2 ) má vzor a f je surjektivní homomorfismus. Jádro homomorfismu f tvoří průnik ideálů (a 1 ) (a 2 ). Ukážeme, že (a 1 ) (a 2 ) = (a). Jistě a (a 1 ) (a 2 ), a proto (a) (a 1 ) (a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R, existují s, t R tak, že sa 1 + ta 2 = 1. Nyní bud x (a 1 a 2 ) libovolné. Pak existují u, v R tak, že x = ua 1 = va 2. Pak x = xsa 1 + xta 2 = va 2 sa 1 + ua 1 ta 2 = a 1 a 2 (sv + tu) = a(sv + tu) (a). Tedy (a 1 ) (a 2 ) (a). Proto Ker(f) = (a) a podle první věty o izomorfismu dostáváme R/(a) = R/(a 1 ) R/(a 2 ). Nyní dokážeme indukcí, že toto tvzení platí pro libovolných n prvků a 1,..., a n pro které platí (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Pro dva prvky jsme toto už dokázali. Nyní předpokládejme, že tvzení bylo dokázáno pro libovolných n 1 prvků s touto vlastností. Protože pro libovolné dva prvky (a i, a j ) = R, existují pro každé i, 2 i n prvky r i, s i R tak, že r i a 1 + s i a i = 1. Vynásobením těchto rovností dostaneme Bezoutovu rovnost pro prvky a 1 a n i=2 a i. Platí tedy, že (a 1, n i=2 a i) = R a z výše dokázaného plyne R/( n i=1 a i) = R/(a 1 ) R/( n i=2 a i). Na faktorokruh R/( n předpoklad, a proto R/(a) = R/(a 1 ) n i=2 R/(a i) = n i=2 a i) se ale vztahuje indukční i=1 R/(a i). Věta Bud R okruh hlavních ideálů, 0 = r R. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní 1. (r) je prvoideál, 2. (r) je maximální ideál, 3. r je ireducibilní prvek, 10

10 4. r je primitivní prvek. Důkaz. (1) (4) Bud I = (r) prvoideál. Pak (r) R, tedy r není jednotka (a r 0 z předpokladů věty). Necht s, t R jsou libovolné prvky takové, že r st. Pak st (r) a podle definice prvoideálu musí bud s R nebo t R. To ale znamená, že bud r s nebo r t a prvek r je primitivní. (4) (3) Bud r primitivní prvek. Pak r 0 a r není jednotka. Necht s, t R jsou libovolné prvky tak, že r = st. To ale také znamená, že r st. Protože je r primitivní prvek, musí platit, že r s nebo r t. Pak ale jeden z činitelů s, t musí být asociovaný s prvkem r a druhý musí být jednotka. Tedy r 0, r není jednotka a neexistuje rozklad r na součin dvou prvků tak, aby ani jeden z nich nebyl jednotka. (3) (2) Necht r je ireducibilní prvek. Pak (r) {0}, protože r 0, a (r) R, protože r není jednotka. Dokážeme, že (r) je maximální ideál okruhu R. Kdyby nebyl, tak existuje s R tak, že (r) (s) R, to ale znamená, že r = st a ani s ani t nejsou jednotky, ale to je spor s ireducibilitou r. (4) (3) Protože faktorizací okruhu podle prvoideálu dostáváme obor integrity, faktorizací podle maximálního ideálu těleso a těleso je z definice obor integrity, je vidět, že každý maximální ideál je i prvoideál. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak R je i okruhem s jednoznačným rozkladem. Důkaz. Bud r R libovolné takové, že r 0 a r není jednotka. Nejdříve dokážeme, že r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud je r ireducibilní, jsme hotovi. Nyní předpokládejme, že není. Pak r = r 1 s 1, kde r 1, s 1 nejsou jednotky. Bud jsou r 1, s 1 ireducibilní a jsme hotovi nebo jeden z nich, předpokládejme, že r 1 není ireducibilní a jde dále rozložit na součin r 2 s 2, kde r 2, s 2 nejsou jednotky. Budeme takto pokračovat v rozkládání. Pokud se po konečně mnoha krocích zastavíme, je vše v pořádku a r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud bychom se ale nezastavili, pak lze sestrojit nekonečný rostoucí řetězec ideálů (r) (r 1 ) (r 2 )... to je ale ve sporu s tím, že R je noetherovský okruh (viz. 3.2). Dokážeme nyní, že rozklad na konečný součet ireducibilních prvků je dán jednoznačně až na pořadí a asociovanost. Předpokládejme, že existují dva různé rozklady na ireducibilní prvky r = p 1 p n = q 1 q m, n m. Jistě levá strana je prvkem ideálu (p 1 ), takže musí platit, že p 1 q 1 q m. Prvek p 1 je ireducibilní, tedy i primitivní, to znamená, že musí dělit některý z prvků q 1,..., q m. Změnou pořadí můžeme tento prvek mít na první pozici, a proto můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že p 1 q 1. Protože q 1 je ireducibilní, platí p 1 q 1, tudíž existuje u 1 R, u 1 je jednotka tak, že q 1 = u 1 p 1. Když za q 1 dosadíme zpět do vyjádření, dostáváme p 1 p 2 p n = u 1 p 1 q 2 q m. Protože R je obor integrity můžeme si dovolit krátit p 1. Tedy p 2 p n = u 1 q 2 q m. Opakováním stejného postupu pro p 2,..., p n dostaneme, že p 1 q 1,..., p n q n a 1 = u 1 u n q m n q m. Protože žádné z q m n,..., q m není jednotka, musí být m = n. 11

11 Kapitola 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů Definice 2.1. Bud R okruh, M levý R-modul a x M. Anihilátorem prvku x rozumíme množinu ann(x) = {r R rx = 0} Poznámka 2.2. Anihilátor prvku x je levým ideálem okruhu R a pokud uvažujeme R jako levý R-modul a ann(x) jako jeho podmodul, pak faktormodul R/ ann(x) = (x), kde (x) je podmodul M generovaný prvkem x. Důkaz. Stačí dokázat, že ann(x) obsahuje 0, je uzavřený na sčítání, braní inverze vůči sčítání a násobení prvkem z R zleva. Z definice modulu 0 x = 0, takže 0 ann(x). Necht r, s ann(x) jsou libovolné. Pak (r+s)x = rx+sx = 0 a 0 = (r r)x = rx+( r)x = ( r)x, takže (r +s), r ann(x). Nakonec bud r R, s ann(x) libovolné, pak (rs)x = r(sx) = 0. Uvažujme homomorfismus modulů k : R (x), k(r) = rx. Jistě Im(k) = (x) a Ker(k) = {r R rx = 0} = ann(x). Podle první věty o izomorfismu platí R/ ann(x) = (x). Definice 2.3. Bud R okruh, M levý R-modul, x M. Prvek x se nazývá torzní, pokud ann(x) {0}. Pokud je R obor integrity, nazveme množinu všech torzních prvků modulu M torzní podmodul modulu M a budeme jej značit Tor(M) Bylo by vhodné dokázat, že Tor(M) je opravdu podmodul modulu M. Jistě 0 Tor(M), protože r0 = 0 z definice modulu pro všechna r R. Abychom dokázali, že Tor(M) je podmodul modulu M, stačí už jen ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R (protože R je obor integrity). Bud x, y Tor(M) libovolné torzní prvky, r ann(x), s ann(y), r, s 0 prvky okruhu R. Pak rs(x + y) = rsx + rsy = s(rx) + r(sy) = 0. Součin rs je tedy prvkem ann(x + y) a je nenulový, protože R je obor integrity a r, s jsou nenulové, tedy x + y je torzní prvek a Tor(M) je uzavřený vůči sčítání. Necht r ann(x), r 0, s R libovolné. Pak r(sx) = s(rx) = 0, tudíž ann(sx) není roven nule pro libovolné s R a tedy sx Tor(M), čímž jsme dokázali uzavřenost vůči násobení prvkem z R. 12

12 Definice 2.4. Modul M nazveme torzním, pokud Tor(M) = M. V dalším textu se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů. Danou problematiku nelze zobecnit na libovolný okruh, protože potřebujeme, aby okruh, nad kterým operujeme, byl obor integrity a pro dokázání některých vlastností využíváme vlastnost, že anihilátor libovolného prvku je hlavní ideál, tj. ideál generovaný jedním prvkem. R. Bud R okruh hlavních ideálů. Označme P(R) množinu všech maximálních ideálů okruhu Definice 2.5. Bud R okruh hlavních ideálů, M levý R-modul, (p) P(R). Množinou M (p) nazveme množinu všech prvků m M, pro které existuje n N tak, že p n m = 0. Je potřeba ověřit, zda je M (p) definována korektně, tj. je nezávislá na volbě generátoru ideálu (p). Předpokládejme, že (p) = (q). To ale znamená, že existuje jednotka u R tak, že p = uq. Dokážeme, že libovolný prvek m platí, že m M (p) právě, když m M (q). Jestliže m M (p), existuje n N tak, že p n m = 0. Pak ale 0 = p n m = (uq) n m = u n q n m. Vynásobíme obě strany prvkem u n a dostáváme u n 0 = 0 = u n u n q n m = q n m. Tedy existuje n N tak, že q n m = 0, proto pokud m M (p), pak m M (q). Opačný směr dostaneme analogicky pro q = u 1 p. Poznámka 2.6. M (p) je podmodul modulu M. Důkaz. Pro důkaz stačí ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R, nebot obor integrity má jedničku a 0 M (p). Bud m 1, m 2 M (p). Pak existují n 1, n 2 N tak, že p n 1 m 1 = 0, p n 2 m 2 = 0. Vezmeme n = max{n 1, n 2 }. Potom ale p n (m 1 + m 2 ) = p n m 1 + p n m 2 = 0 tedy M (p) je uzavřeno na součet. Dále pak bud m M (p), r R. Pak existuje n N takové, že p n m = 0. Pak p n (rm) = r(p n m) = 0. Odtud vidíme, že M (p) je uzavřeno i na násobení prvkem z R a je tedy podmodulem modulu M. Věta 2.7. Bud M levý R-modul, M i, i I systém jeho podmodulů. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M = i I M i, 2. pro systém podmodulů M i platí: (a) M je generován i I M i, (b) pro každé j I bud N j N j M j = {0}. podmodul generovaný sjednocením i I,i j M i. Pak 13

13 Důkaz. (1) (2) První část, že M je generovaný sjednocením i I M i plyne z definice součtu. Stačí tedy dokázat, že N j M j = {0}. Bud m N j M j. Protože m N j, musí existovat konečná podmnožina indexů J I {j} tak, že m = i J m i, m i M i pro i J. Vezmeme homomorfismus p : M M j definovaný následovně: pro každé x M, x = x i1 + + x ik, x il M il, je obraz roven tomu sčítanci, který leží v M j, případně 0, není-li tam takový. Tento homomorfismus je definován korektně, protože sčítance jsou z definice direktního součtu určeny jednoznačně. Pak ale p(m) = m, protože m M j, ale p(m) = p( i J m i) = i J p(m i) = 0. Z toho vyplývá, že m = 0. (2) (1) Jelikož je M generováno systémem modulů M i, i I, tak určitě každý prvek M lze zapsat jako konečný součet prvků z M i, i I. Dokážeme, že tento zápis je jednoznačný. Necht m = i I m i = i I m i jsou dvě různá vyjádření prvku m, ve kterých je pouze konečně mnoho sčítanců nenulových. Pak 0 = i I m i i I m i = i I (m i m i). Platí ale, že m i m i M i N i, protože m i m i = j I,j i (m i m i), takže z (2b) plyne, že m i m i = 0, a proto m i = m i. Tedy M = i I M i. Právě dokázané tvrzení bude důležité pro důkaz následující věty. Věta 2.8. Bud R okruh hlavních ideálů, M torzní R-modul. Pak M = (p) P(R) M (p). Důkaz. K důkazu využijeme předchozí větu, takže stačí dokázat, že M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p) a pro každé (p) P(R) je N (p) M (p) = 0, kde N (p) je podmodul generovaný sjednocením (q) P(R),(p) (q) M (q). Bud x M libovolné. Jelikož je M torzní modul, ann(x) je nenulový a ann(x) = (a) pro nějaké a 0. Jak již dříve zaznělo, platí, že R/(a) = (x) jako moduly, takže existuje izomorfismus modulů ψ : R/(a) (x), ψ(r + (a)) = rx. Okruh R je okruh hlavních ideálů a tedy je i okruhem s jednoznačným rozkladem, a prvek a proto můžeme rozložit na konečný součin ireducibilních prvků a jednotky, tedy a = u k i=1 pn i i, kde p i jsou ireducibilní prvky, u jednotka okruhu R. Podle věty 1.15 platí, že R/(a) = k i=1 R/(pn i i ) jako okruhy. Toto ale platí i pokud uvažujeme R/(a) a k i=1 R/(pn i i ) i ), který je dán předpisem jako levé R-moduly a izomorfismus ϕ : R/(a) k i=1 R/(pn i ϕ(r + (a)) = (r + (p n 1 1 ),, r + (p n k k )), je izomorfismus R-modulů R/(a) a k i=1 R/(pn i i ). Označme y i = (0,..., 1 + (p n i i ),... 0) prvky k i=1 R/(pn i i ) s jedničkou na i-té pozici a f = ψϕ 1, f : k i=1 R/(pn i i ) (x). Pak p n i i f(y i ) = f(p n i i y i ) = 0. Dostáváme tedy, že f(y i ) M (pi ). Je také zřejmé, že x = f((1 + (p n 1 1 ),, 1 + (p n k k ))) = k i=1 f(y i), f(y i ) M (pi ), což nám ale dává vyjádření x jako konečný součet prvků z M (pi ). Proto modul M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p). Bud 0 x N (p) M (p) libovolné. Pak existuje n N tak, že p n x = 0 (protože x M (p) ) a také existují x 1,, x k, x i M (pi ), (p i ) (p), x i 0, pro i = 1,, k tak, že x = k i=1 x i (protože x N (p) ). Ke každému x i M (pi ) existují příslušné exponenty n i N tak, že p n i i x i = 0. Označme r = k i=1 pn i i. Pak rx = 0. Protože p n a r jsou nesoudělná, platí, 14

14 že (p n, r) = R, a proto musí existovat a, b R tak, že ar + bp n = 1, tudíž vynásobením rovnosti prvkem x dostáváme arx + bp n x = x. Vzhledem k tomu, že levá strana je rovna nule, dostáváme spor s tím, že x 0. Proto N (p) M (p) = {0}. Věta 2.9. Bud R okruh hlavních ideálů, K podílové těleso okruhu R a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R taková, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Pak pro každé x K existuje konečná podmnožina I množiny I tak, že x lze vyjádřit ve tvaru r i p n i i, v němž r 0 R a pro všechna i I platí: 1. r i R, 2. r i není dělitelné p i v okruhu R, 3. n i N. x = r 0 + i I Navíc množina I a čísla n i jsou jednoznačně určena. Důkaz. Podílové těleso K i okruh R můžeme uvažovat jako R-moduly, přičemž R je podmodulem K. Vezměme faktormodul M = K/R. Tento R-modul je tvořen prvky ve tvaru rs 1 + R, r, s R, s 0. Je zřejmě vidět, že tento modul je torzní (každý prvek rs 1 + R stačí vynásobit s). Lze ho tedy rozložit na součet podmodulů M (p), kde (p) P(R), jak jsme dokázali v předchozí větě. Bud k : K M kanonická projekce na faktormodul. Dokážeme nejdříve, že pro libovolné x K existují r 0, r i R, i I a n i N tak, že r i není dělitelné p i v okruhu R a platí, že x = r 0 + i I r ip n i i. Nejdříve zobrazíme x projekcí k, k(x) = x + R. Protože M je torzní R-modul, existuje podle předchozí věty konečná množina I a nenulové prvky m i + R, m i + R M (pi ), i I tak, že k(x) = i I (m i + R). Pro každý prvek m i + R M (pi ) existuje n N tak, že p n i (m i + R) = R. Vezměme za n i nejmenší n, které toto splňuje. Prvek p n i i m i leží v Ker(k), protože k(p n i i m i ) = p n i i k(m i ) = p n i i (m i + R) = R. Ale jádro tvoří právě prvky modulu R, a proto pro m i existuje r i R tak, že p n i i m i = r i. Prvek m i tedy můžeme vyjádřit jako r i p n i i a jelikož jsme brali n i nejmenší možné, platí, že p i nedělí r i. Stejně tak x i I r i p n i i leží v jádře homomorfismu k, a proto musí existovat r 0 R tak, že x i I r i p n i i = r 0, z čehož už dostáváme kýžené vyjádření prvku x = r 0 + i I r i p n i i. Zbývá tedy dokázat jednoznačnost takového vyjádření. Nejdříve dokážeme, že množina indexů je jednoznačně daná. Bud I, J dvě různé konečné podmnožiny indexů splňující výše uvedené podmínky. Prvek x tak lze vyjádřit dvěma způsoby jako r 0 + i I r i p n i i = s 0 + j J s j p m j j. 15

15 Zobrazíme obě vyjádření projekcí k : K M. Dostáváme rovnost i I r i p n i i + R = j J s j p m j j + R. Bud l I. Pak + R = ( s j q m j j j J M (pl ) r l p n l l i I,i l r i p n i i ) + R N (pl ), kde N (pl ) je modul generovaný sjednocením i I,i l M (p i ) z čehož dle tvrzení 2.7 a 2.8 vyplývá, že r l p n l l + R = 0 + R, tj. r l p n l l R, což je spor s tím, že p l nedělí r l. Podobné to je pro jednoznačnost exponentů. Předpokládejme, že množina indexů je nyní stejná, ale u p l se liší velikost exponentu. Pak úpravami podobně jako v minulém případě dostáváme, že M (pl ) (r l p n l l s l p m l l ) + R = ( r i p n i i s i p m i i ) + R N (pl ). i I,i l i I,i l Z toho dostáváme, že (r l p n l l s l p m l l ) + R = 0 + R. Bud bez újmy na obecnosti n l < m l. Pak vynásobením obou stran p n l dostáváme s l p m l+n l l + R = 0 + R, m l + n l < 0 což je opět spor s tím, že p l nedělí s l. Vyjádření popsané v předchozí větě ale neodpovídá rozkladu, na který jsme zvyklí třeba při rozkladu na parciální zlomky při integraci racionálních funkcí. Proto bude potřeba naše úvahy ještě dále rozvinout. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, K jeho podílové těleso a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R tak, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Dále předpokládejme, že pro každé p i, i I, máme pevně dáno zobrazení s i : R/(p i ) R, 0 Im(s i ) tak, že k i s i = id R/(pi ) pro všechna i I, kde k i je kanonická projekce z R na R/(p i ). Necht x K je libovolný. Pak existuje jednoznačně určená konečná podmnožina I množiny I tak, že prvek x může být zapsán, a to jednoznačně, ve tvaru kde 1. r 0, r i,j jsou prvky z R, x = r 0 + i I 2. skoro všechny prvky r i,j jsou nulové, 3. všechny prvky r i,j Im(s i ). j=1 r i,j p j i, Důkaz. Dokázali jsme, že lze x K rozložit na součet x = r 0 + i I r ip n i i a množina indexů I a exponenty n i jsou určeny jednoznačně. Potřebovali bychom tedy dokázat, že lze r i p n i i dále rozložit na t i + j=1 r i,jp j i, t i, r i,j R. 16

16 Bud p ireducibilní prvek. Uvažujme R jako levý R-modul a k kanonickou projekci na faktormodul R/(p). Vezměme s : R/(p) R zobrazení takové, že k s = id R/(p), dané z předpokladů věty. Dokážeme indukcí, že pro každé r R a každé n N lze najít prvky u i R/(p), i = 0,..., n 1 tak, že r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ). Pokud n = 1, stačí vzít u 0 = k(r), jelikož k(r s(k(r))p 0 ) = k(r) k(s(k(r))) = k(r) k(r) = 0, protože k s = id R/(p). Budeme nyní předpokládat, že už byla dokázána existence u 0,..., u n 1 splňujících podmínku r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ), tzn. r n 1 i=0 s(u i)p i = tp n, kde t R. Položme u n = k(t). Pak t s(u n ) = lp, pro vhodné l R. Když z této rovnice vyjádříme t a dosadíme do pravé strany indukčního předpokladu, dostáváme, že r n 1 i=0 s(u i)p i = (s(u n ) + lp)p n, tedy r n i=0 s(u i)p i = lp n+1, čímž je důkaz indukcí hotov. Nyní dokážeme, že prvky s(u i ) jsou určeny jednoznačně. Mějme dvě různá vyjádření r n i=0 s(u i)p i a r n i=0 s(v i)p i, která leží v (p n+1 ). Protože nejsou stejná, existuje j < n tak, že s(u 0 ) = s(v 0 ),..., s(u j 1 ) = s(v j 1 ), s(u j ) s(v j ). Pak i jejich rozdíl i=j (s(v i) s(u i ))p i = tp n+1 (p n+1 ). V oboru r n i=0 s(u i)p i (r n i=0 s(v i)p i ) = n integrity můžeme nenulovým p krátit, proto n i=j (s(v i) s(u i ))p i j = tp n+1 j pro vhodné t R. Pak ale k(s(u j ) s(v j )) = k( n i=j (s(v i) s(u i ))p i ) = k(tp n+1 j ) = 0. Platí tedy 0 = k(s(u j ) s(v j )) = k(s(u j )) k(s(v j )) = u j v j. Proto u j = v j, tedy i s(u j ) = s(v j ), což je spor s tím, že jsme předpokládali, že s(u j ) s(v j ). Z věty 2.9 víme, že každé x K lze psát ve tvaru x = r + i I r i p n i i, r 0, r i R pro i I. Pro ireducibilní prvek p i, n i N a r i R využijeme výše uvedené úvahy, že existují s(u i,j ), j = 0,..., n i 1 tak, že r i n i 1 j=0 s(u i,j)p j = t i p n i pro vhodné t i R. Dosazením získáváme vztah x = r + i I (t i + n i 1 j=0 s(u i,j)p j n i i ). Označme r 0 = r + i I t i a pro každé i I položme r i,j = s(u i,ni j) pro 1 j n i, r i,j = 0 pro j > n i. Potom x = r 0 + i I j=1 r i,jp j i, což je dokazované vyjádření prvku x. Zbývá tedy dokázat jeho jednoznačnost. Předpokládejme, že nějaké x K lze vyjádřit dvěma způsoby x = r 0 + r i,j p j i = r 0 + r i,jp j i, i I i J j=1 které oba splňují podmínky věty. Obě množiny I, J jsou konečné, proto bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že jsou stejné, protože můžeme vyjádření doplnit nulovými r i,j a nahradit množiny I, J jejich sjednocením I J. Dále víme, že pro každé i I existuje n i N tak, že r i,j = r i,j = 0 pro všechna j > n i. Vynásobením i I p n i i dostaneme r 0 i I p ni i + l I n l j=1 Odtud plyne pro každé l I r l,j p n l j l n l j=1 i I,i l p n i i = r 0 (r l,j r l,j)p n l j l j=1 i I p ni i + l I i I,i l p n i i (p n l ) n l j=1 r l,jp n l j l i I,i l p n i i 17

17 Protože (p n l, i I,i l pn i i ) = R, existují a, b R tak, že ap n l +b a dostáváme n l n l ( r l,j p n l j l ) ( r l,jp n l j l ) (p n l ) j=1 j=1 i I,i l pn i i Všechna r l,j, r l,j Im(s l) a z výše dokázané jednoznačnosti plyne r l,j = r l,j. = 1. Vynásobením Věta Každé x Q lze jednoznačně napsat ve tvaru x = r 0 + p r p,n p n, n=1 kde p jsou prvočísla a 1. r 0, r p,n Z, 2. skoro všechna r p,n jsou nulová, 3. 0 r p,n p 1. Důkaz. Pokud vezmeme za s p : Z/(p) Z takové zobrazení, které třídu t + Z zobrazí na jejího nejmenšího nezáporného reprezentanta, pak k p s p = id Z/(p) a Im(s p ) = {0,..., p 1}. Tvzení pak přímo vyplývá z předchozí věty. 18

18 Kapitola 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů V teorii modulů se často setkáváme se závislostí struktury R-modulu na vlastnostech okruhu R. Např. je-li R těleso, je hned z definice vidět, že pojem R-modulu splývá s pojmem vektorový prostor nad tělesem R. Takovéto obecné vlastnosti lze odvodit i pro konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů, přesněji dokážeme, že jsou izomorfní součtu cyklických modulů. V závěru kapitoly potom ukážeme pěknou aplikaci tohoto tvzení na konečně generované Z-moduly, což jsou právě konečné komutativné grupy. Abychom mohli dokázat nejdůležitější tvrzení této kapitoly, budeme nejdříve potřebovat definovat několik pojmů a jejich vlastností. Prvním takovým pojmem je noetherovský modul. Definice 3.1. Bud R okruh a M levý R-modul. R-modul M nazýváme noetherovský, pokud jeho podmoduly splňují podmínku rostoucích řetězců, tj. pokud pro každý rostoucí řetězec podmodulů modulu M M 1 M 2 M 3 M 4... existuje m N tak, že pro všechna n m platí, M n = M m. Okruh R nazveme noetherovský, pokud je noetherovský jako levý R-modul, tj. neexistuje nekonečný rostoucí řetězec jeho levých ideálů. Věta 3.2. Bud R okruh, M levý R-modul. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M je noetherovský modul, 2. každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek vzhledem k inkluzi, 19

19 3. každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Důkaz Bud M noetherovský modul, S neprázdná množina jeho podmodulů a předpokládejme, že tato množina nemá maximální prvek. Necht M 1 S. Potom ale musí existovat M 2 S tak, že M 1 M 2 (jinak by M 1 byl maximální prvek). Ale M 2 také není z předpokladu maximální prvek, tudíž musí existovat M 3 S tak, že M 1 M 2 M 3. Takto bychom ale mohli zkonstruovat nekonečnou rostoucí posloupnost podmodulů M, což je spor s tím, že M je noetherovský. Tedy S musí obsahovat maximální prvek Nyní necht každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek. Bud N libovolný podmodul modulu M a S množina všech konečně generovaných podmodulů modulu N. Jistě S není prázdná, protože v ní vždy leží prvek {0}. Necht N S je maximální prvek této množiny (který z předpokladu existuje). Dokážeme, že pak N = N. Necht tedy N N. Pak existuje x N tak, že x / N. Označme Ñ = {x} N N. Ale Ñ je konečně generovaný podmodul modulu N, tudíž Ñ S. To je ale spor s maximalitou N. Proto N = N a N je konečně generovaný. Jelikož jsme N volili libovolně, tak každý podmodul modulu M je konečně generovaný Necht každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Uvažujme nekonečný neklesající řetězec podmodulů M M 1 M 2 M 3... Bud N = i=1 M i. Toto je ale podmodul modulu M, a proto je konečně generovaný a existuje množina jeho generátorů {a 1,..., a n }. Bud k i nejmenší index tak, že a i M ki a k = max(k i i = 1,... n). Pak a 1,..., a n M k, proto N M k M l N pro libovolné l k. Tedy M je noetherovský modul. Poznámka 3.3. Tento výsledek koresponduje s faktem, že okruh hlavních ideálů je noetherovský. V minulé kapitole jsme používali pojmy torzního podmodulu a anihilátoru. Nyní ještě zavedeme pojem pro anihilátor modulu. Definice 3.4. Anihilátorem R-modulu M rozumíme množinu všech r R splňujících pro všechna m M podmínku rm = 0. Značíme jej ann(m). Tedy. ann(m) = {r R rm = 0 pro všechna m M} Poznámka 3.5. Anihilátor modulu M tvoří ideál okruhu R, protože 0 ann(m), pro libovolné r, s ann(m) a libovolný prvek m M platí (r + s)m = rm + sm = 0 a 0 = (r r)m = rm + ( r)m = ( r)m, proto (r + s), ( r) ann(m) a nakonec 20

20 pro r R, s ann(m) platí (rs)m = r(sm) = r0 = 0 a (sr)m = s(rm), rm M, proto s(rm) = 0. Pokud je N podmodul modulu M, platí, že ann(n) ann(m). Zvláště pak pro případ, kdy je R okruh hlavních idálů, platí, že ann(n) = (a) ann(m) = (b), a proto a b. Věta 3.6. Bud R okruh hlavních ideálů, M volný R-modul konečného ranku m a N podmodul modulu M. Pak 1. N je volný R-modul ranku n, n m. 2. Existuje báze y 1,..., y m modulu M a nenulová a 1,..., a n R tak, že (a) a 1 y 1,..., a n y n tvoří bázi modulu N a (b) a 1 a 2... a n. Důkaz. Nejdříve dokážeme, že pokud je M volný modul ranku m nad okruhem hlavních ideálů, pak libovolný jeho podmodul N je volný ranku n m. Budeme to dokazovat indukcí vůči ranku modulu M. Bud m = 0. Pak tvrzení triviálně platí. Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny volné moduly ranku nepřevyšujícího m. Bud M volný modul ranku m + 1. Bud x 1,..., x m+1 báze M a f : M R homomorfismus daný předpisem f(x 1 ) = 1, f(x i ) = 0 pro i 2. Jádro tohoto homomorfismu m+1 Ker(f) = { r i x i r i R, r 1 = 0} = Rx 2 Rx m+1 i=1 je volný modul ranku m. Bud nyní g : N R, g = f N homomorfismus vzniklý zúžením f na N. Víme, že Ker(g) = N Ker(f), tedy je podmodulem modulu Ker(N). Na ten se ale vztahuje indukční předpoklad a tak Ker(g) je volný modul ranku k m a existuje nějaká jeho báze B = {u 1,..., u k }. Nyní mohou nastat dvě situace. Bud N = Ker(g), pak jsme hotovi, N je volný modul ranku k m m + 1 s bází B = {u 1,..., u k }. Nebo N Ker(g) a pak {0} Im(g) R. Pak Im(g) = (a), a R, a 0, což je volný modul ranku 1, protože má bázi {a}. Jistě existuje u N tak, že g(u) = a. Dokážeme, že {u} B je báze podmodulu N, tzn. generuje modul N a je lineárně nezávislá. Ukažme, že prvky u, u 1,..., u k jsou lineárně nezávislé. Necht existují r, r 1,..., r n R tak, že ru + k i=1 r iu i = 0. Pak ale 0 = g(0) = g(ru) + g( k i=1 r iu i ) = g(ru) = ra. To je nula jen tehdy, když r = 0 (protože R je obor integrity). Zbývající prvky u 1,..., u k tvoří bázi, takže pokud r = 0, musí být i všechny r i = 0, 1 i k. Prvky u, u 1,..., u k jsou tedy lineárně nezávislé. Necht x N je libovolný. Ukážeme, že existují prvky r, r 1,..., r k R takové, že x = ru + k i=1 r iu i Vezměme homomorfismus R-modulů h : (a) N, určený předpisem h(a) = u. Pak g h = id (a). Protože g(x h(g(x))) = g(x) g(h(g(x))) = g(x) g(x) = 0, je prvek x h(g(x)) Ker(g). Ale Ker(g) je generován prvky u 1,... u k, proto existují r 1,..., r k R tak, že k i=1 r iu i = x h(g(x)). Dále h(g(x)) Im(h). Protože Im(g) = (a) 21

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Lineární (ne)závislost

Lineární (ne)závislost Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Masarykova univerzita

Masarykova univerzita Masarykova univerzita Přírodvědecká fakulta Bakalářská práce Lineární algebra, sbírka příkladů Brno 2007 Lenka Malounková Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky

MPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup

Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více