MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Studijní program: matematika Studijní obor: obecná matematika 2010

2 Poděkování: Děkuji velice prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za vstřícnost, trpělivost a příležitost naučit se opět něco nového. Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne 2. června Jana Medková

3 Abstrakt Název práce: Moduly nad okruhy hlavních ideálů Autor: Jana Medková Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty, MU Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstrakt: Práce se zabývá odvozením a aplikací vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů. V první kapitole je uvedena definice modulu a pojmy používané v dalším textu. V druhé kapitole se odvozují vlastnosti torzních modulů nad okruhy hlavních ideálů, které se následně použijí v důkazu věty o rozkladu na parciální zlomky. Ve třetí kapitole se zabýváme konečně generovanými moduly nad okruhy hlavních ideálů, pro které, jak dokážeme, platí, že jsou izomorfní vhodnému součtu cyklických modulů. V poslední kapitole se použijí výsledky třetí kapitoly k důkazu, že každá matice je podobná matici v racionálním kanonickém tvaru a k odvození algoritmu na jeho nalezení. Klíčová slova: Modul, okruh hlavních ideálů, torzní modul, racionální kanonický tvar Abstract Title: Modules over principal ideal domain Author: Jana Medková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Abstract: In this work, we look into properties od modules over principal ideal domain and applications of those. First chapter consist of definition of module and terms used in following text. In second chapter, we derive properties of torsion modules over principal ideal domain, which are used to prove parcial fraction decomposition. In third chapter we study finitely generated modules over principal ideal domain, which, as we prove, are isomorphic to suitable sum of cyclic modules. The results of third chapter are used in the last chapter to show, that every square matrix is similar to matrix in rational canonical form and the algorithm how to find it. Keywords: Module, principal ideal domain, torsion module, rational canonical form

4 Obsah Úvod 6 1 Základní pojmy 7 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů 12 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů 19 4 Racionální kanonický tvar 28 Literatura 42 5

5 Úvod V této bakalářské práci se budeme zabývat odvozením vlastností modulů nad okruhy hlavních ideálů a jejich aplikacemi. Protože budovat celou teorii od začátku by bylo příliš rozsahově náročné, budeme předpokládat, že čtenář má znalosti v rozsahu publikace [6] a pojmy a věty z této publikace už nebudou v textu dále připomínány. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole zavedeme pojem modul nad okruhem a uvedeme některá tvrzení vztahující se k tomu pojmu, která budou potřeba v dalších kapitolách a také několik tvrzení o okruzích hlavních ideálů, která nejsou uvedena v [6] a budou v dalším textu potřeba. V druhé kapitole se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů a jejich rozkladem na součet podmodulů anihilovaných mocninou ireducibilního prvku, který potom použijeme k důkazu věty o rozkladu prvků podílových těles okruhů hlavních ideálů na parciální zlomky. Ve třetí kapitole dokážeme, že každý konečně generovaný modul nad okruhem hlavních ideálů je izomorfní součtu vhodných cyklických modulů. Ve speciálním případě, pokud za okruh hlavních ideálů vezmeme okruh celých čísel, je toto tvrzení ekvivalentní větě o rozkladu konečné komutativní grupy na součin netriviálnách cyklických p-grup. V poslední kapitole pak aplikujeme tento poznatek na vektorové prostory, které uvažujeme jako moduly nad okruhem polynomů nad tělesem, abychom dokázali, že každá matice a lineární transformace má racionální kanonický tvar a ukázali si algoritmus, jak tento tvar najít. Tato bakalářská práce byla vysázena systémem L A TEX. 6

6 Kapitola 1 Základní pojmy Účelem této krátké kapitoly není sdělit nové informace, jako spíše připomenout pojmy, které budou v dalších kapitolách používány již bez vysvětlení. Definice 1.1. Bud R okruh (ne nutně komutativní). Levým R-modulem nazýváme množinu M spolu s: 1. binární operací + na M takovou, že (M, +) je komutativní grupa. 2. akcí R na M tj. zobrazením R M M (obraz dvojice (r, m) značíme rm), která splňuje pro všechna r, s R, m, n M následující podmínky: (a) (r + s)m = rm + sm. (b) (rs)m = r(sm). (c) r(m + n) = rm + rn. (d) pokud má okruh R jedničku, pak 1 R m = m. Pokud se v textu vyskytne pojem R-modul, není pod ním myšleno nic jiného než levý R-modul. Akci R na M často nazýváme násobení prvky z okruhu R. Definice 1.2. Bud M levý R-modul, N M. Pak N se nazývá R-podmodul (nebo jen podmodul) modulu M právě tehdy, když (N, +) je podgrupa grupy (M, +) a pro každé r R, m N je rm N. Pokud uvažujeme okruh R jako levý R-modul, pak jeho podmoduly jsou právě jeho levé ideály. Pokud má okruh jedničku, pak m = ( 1)m a při ověřování, zda podmožina modulu M je podmodul, stačí ověřit uzavřenost vůči sčítání a násobení prvkem z R, protože ta implikuje uzavřenost na inverze vůči sčítání. 7

7 Definice 1.3. Necht M, N jsou levé R-moduly. Pak zobrazení f : M N nazýváme homomorfismus R-modulů, pokud pro libovolná m, n M, r, s R platí f(rm + sn) = rf(m) + sf(n). Jádrem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků m M, které splňují podmínku f(m) = 0, značíme Ker(f). Obrazem homomorfismu f nazýváme množinu všech prvků n N, pro které existuje m M tak, že f(m) = n, značíme Im(f). Bijektivní homomorfismus R-modulů nazýváme izomorfismus R-modulů. Poznámka 1.4. Pro každý homomorfismus R-modulů f : M N je Ker(f) podmodul modulu M a Im(f) podmodul modulu N. Důkaz. Z teorie grup víme, že Ker(f) je podgrupa grupy M, stačí tedy dokázat, že pokud m Ker(f), pak pro libovolné r R je i rm Ker(f). Ale f(rm) = rf(m) = r0 = 0. Tedy jádro homomorfismu f je podmodul modulu M. Stejně tak Im(f) je podgrupa grupy N. Pro libovolné n Im(f) existuje m M tak, že f(m) = n. Ale pak pro libovolné r R platí rn = rf(m) = f(rm), proto rn Im(f). Definice 1.5. Bud R okruh, M levý R-modul, N podmodul modulu M. Pak faktormodulem M/N rozumíme faktorgrupu M/N společně s akcí R na M/N určenou předpisem r(m + N) = rm + N pro všechna r R, m M. Homomorfismus k : M M/N, k(m) = m + N se nazývá kanonická projekce na faktormodul. Definice 1.6. Bud R okruh, M levý R-modul. Řekneme, že množina prvků A generuje modul M, právě když pro libovolné m M existují r i R, m i A tak, že m = n i=1 r im i. Konečně generovaný modul je takový modul, který je generován konečnou množinou. Pokud je modul generován jedním prvkem, nazývá se cyklický. Definice 1.7. Bud R okruh, M levý R-modul. Podmnožina B modulu M se nazývá bází, pokud je libovolná její konečná podmnožina lineárně nezávislá (tj. pro libovolná b 1,..., b n B a a 1,... a n R platí n i=1 a ib i = 0 jedině v případě, kdy všechna a i = 0) a generuje modul M. Řekneme, že R-modul M je volný, pokud má bázi. Definice 1.8. Bud R okruh, M levý R-modul, N i, i I podmoduly modulu M. Pak součtem modulů N i, i I rozumíme množinu všech konečných součtů n N = { m ji m ji N ji i=1 pro i = 1,..., n}, 8

8 značíme N = i I N i. Pokud dále platí, že pro libovolné m i I N i existují jednoznačně určená m i N i tak, že m = i I m i a skoro všechna m i jsou nulová, nazýváme N direktním součtem modulů N i, i I, značíme N = i I N i. Pro direktní součet M dvou modulů N 1, N 2 se používá též značení M = N 1 N 2. Poznámka 1.9. Součet podmodulů N i, i I modulu M je podmodul generovaný sjednocením i I N i. Volný modul je přímý součet modulů izomorfních s R (ne nutně konečný). Definice Rankem volného modulu M rozumíme počet prvků jeho báze. Věta Bud R obor integrity a M volný R-modul ranku n <. Pak libovolných n + 1 prvků je lineárně závislých, tj. pro každé prvky m 1,..., m n+1 M existují r 1,..., r n+1 R, ne všechna nulová tak, že r 1 m r n+1 m n+1 = 0. Důkaz. Modul M je volný ranku n, tedy M = R.... R (n-krát). Vezměme podílové těleso F okruhu R. Pak jistě M F F (n-krát). Toto je ale vektorový prostor jehož vlastnosti dobře známe, tudíž víme, že existují x 1,..., x n+1 F, ne všechna nulová, i, s i, t i R, t i 0 tak, že n+1 i=1 x im i = 0. Všechny tyto koeficienty jsou ve tvaru s i t 1 a vynásobením obou stran prvkem n+1 i=1 t i dostáváme koeficienty r j = s n+1 j i=1,i j t i R do rovnice z tvrzení, které jsou alespoň pro jedno j nenulové (protože R je obor intergity). Rank modulu nad oborem integrity můžeme definovat i jiným způsobem. Povšimněme si, že díky předchozí větě je tato definice ve shodě s definicí ranku volného modulu. Definice Bud R obor integrity. Rankem R-modulu M nazýváme maximální počet lineárně nezávislých prvků modulu M. V textu budeme také využívat některé vlastnosti okruhu hlavních ideálů, které nejsou uvedeny v [6], proto je dokážeme v této kapitole a dále je budeme používat bez důkazu. Další zajímavé vlastnosti okruhů hlavních ideálů, které ovšem nebudeme v textu používat, je možné nalézt např. v [3] nebo [2]. Definice Bud R okruh. Prvek r R nazveme primitivní, pokud je nenulový, není jednotka a pro libovolné s, t R, pro které platí r st, platí, že r s nebo r t. Prvek r R nazveme ireducibilní, pokud je nenulový, není jednotka a neexistují s, t R, které nejsou jednotky, tak, že r = st. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak libovolné dva nenulové prvky a, b mají největšího společného dělitele d, který může být zapsán jako lineární kombinace prvků a, b pro vhodná r, s R. ra + sb = d 9

9 Důkaz. Protože R je okruh hlavních ideálů, je i ideál (a, b) hlavní, to znamená, že (a, b) = (d). Prvek d je pak největší společný dělitel prvků a a b. Protože d (a, b), musí existovat r, s R tak, že ra + sb = d. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, a 1,..., a n prvky okruhu R tak, že (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Bud a = n i=1 a i. Pak R/(a) = n R/(a i ). i=1 Důkaz. Nejdříve dokážeme tvrzení pro dvojici prvků. Bud a = a 1 a 2, (a 1, a 2 ) = R. Uvažujme homomorfismus okruhů f : R R/(a 1 ) R/(a 2 ) daný předpisem f(b) = (b + (a 1 ), b + (a 2 )). Mějme libovolný prvek (b 1 + (a 1 ), b 2 + (a 2 )) R/(a 1 ) R/(a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R a b 2 b 1 R, musí existovat r, s R tak, že b 2 b 1 = ra 1 + sa 2. Úpravou dostáváme b 2 sa 2 = b 1 + ra 1 = x. Je zřejmé, že obrazem prvku x v homomorfismu f bude prvek (b 1 +ra 1 +(a 1 ), b 2 sa 2 +(a 2 )) = (b 1 +(a 1 ), b 2 +(a 2 )). Tedy libovolný prvek R/(a 1 ) R/(a 2 ) má vzor a f je surjektivní homomorfismus. Jádro homomorfismu f tvoří průnik ideálů (a 1 ) (a 2 ). Ukážeme, že (a 1 ) (a 2 ) = (a). Jistě a (a 1 ) (a 2 ), a proto (a) (a 1 ) (a 2 ). Protože (a 1, a 2 ) = R, existují s, t R tak, že sa 1 + ta 2 = 1. Nyní bud x (a 1 a 2 ) libovolné. Pak existují u, v R tak, že x = ua 1 = va 2. Pak x = xsa 1 + xta 2 = va 2 sa 1 + ua 1 ta 2 = a 1 a 2 (sv + tu) = a(sv + tu) (a). Tedy (a 1 ) (a 2 ) (a). Proto Ker(f) = (a) a podle první věty o izomorfismu dostáváme R/(a) = R/(a 1 ) R/(a 2 ). Nyní dokážeme indukcí, že toto tvzení platí pro libovolných n prvků a 1,..., a n pro které platí (a i, a j ) = R pro libovolné i j. Pro dva prvky jsme toto už dokázali. Nyní předpokládejme, že tvzení bylo dokázáno pro libovolných n 1 prvků s touto vlastností. Protože pro libovolné dva prvky (a i, a j ) = R, existují pro každé i, 2 i n prvky r i, s i R tak, že r i a 1 + s i a i = 1. Vynásobením těchto rovností dostaneme Bezoutovu rovnost pro prvky a 1 a n i=2 a i. Platí tedy, že (a 1, n i=2 a i) = R a z výše dokázaného plyne R/( n i=1 a i) = R/(a 1 ) R/( n i=2 a i). Na faktorokruh R/( n předpoklad, a proto R/(a) = R/(a 1 ) n i=2 R/(a i) = n i=2 a i) se ale vztahuje indukční i=1 R/(a i). Věta Bud R okruh hlavních ideálů, 0 = r R. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní 1. (r) je prvoideál, 2. (r) je maximální ideál, 3. r je ireducibilní prvek, 10

10 4. r je primitivní prvek. Důkaz. (1) (4) Bud I = (r) prvoideál. Pak (r) R, tedy r není jednotka (a r 0 z předpokladů věty). Necht s, t R jsou libovolné prvky takové, že r st. Pak st (r) a podle definice prvoideálu musí bud s R nebo t R. To ale znamená, že bud r s nebo r t a prvek r je primitivní. (4) (3) Bud r primitivní prvek. Pak r 0 a r není jednotka. Necht s, t R jsou libovolné prvky tak, že r = st. To ale také znamená, že r st. Protože je r primitivní prvek, musí platit, že r s nebo r t. Pak ale jeden z činitelů s, t musí být asociovaný s prvkem r a druhý musí být jednotka. Tedy r 0, r není jednotka a neexistuje rozklad r na součin dvou prvků tak, aby ani jeden z nich nebyl jednotka. (3) (2) Necht r je ireducibilní prvek. Pak (r) {0}, protože r 0, a (r) R, protože r není jednotka. Dokážeme, že (r) je maximální ideál okruhu R. Kdyby nebyl, tak existuje s R tak, že (r) (s) R, to ale znamená, že r = st a ani s ani t nejsou jednotky, ale to je spor s ireducibilitou r. (4) (3) Protože faktorizací okruhu podle prvoideálu dostáváme obor integrity, faktorizací podle maximálního ideálu těleso a těleso je z definice obor integrity, je vidět, že každý maximální ideál je i prvoideál. Věta Bud R okruh hlavních ideálů. Pak R je i okruhem s jednoznačným rozkladem. Důkaz. Bud r R libovolné takové, že r 0 a r není jednotka. Nejdříve dokážeme, že r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud je r ireducibilní, jsme hotovi. Nyní předpokládejme, že není. Pak r = r 1 s 1, kde r 1, s 1 nejsou jednotky. Bud jsou r 1, s 1 ireducibilní a jsme hotovi nebo jeden z nich, předpokládejme, že r 1 není ireducibilní a jde dále rozložit na součin r 2 s 2, kde r 2, s 2 nejsou jednotky. Budeme takto pokračovat v rozkládání. Pokud se po konečně mnoha krocích zastavíme, je vše v pořádku a r lze rozložit na konečný součin ireducibilních prvků. Pokud bychom se ale nezastavili, pak lze sestrojit nekonečný rostoucí řetězec ideálů (r) (r 1 ) (r 2 )... to je ale ve sporu s tím, že R je noetherovský okruh (viz. 3.2). Dokážeme nyní, že rozklad na konečný součet ireducibilních prvků je dán jednoznačně až na pořadí a asociovanost. Předpokládejme, že existují dva různé rozklady na ireducibilní prvky r = p 1 p n = q 1 q m, n m. Jistě levá strana je prvkem ideálu (p 1 ), takže musí platit, že p 1 q 1 q m. Prvek p 1 je ireducibilní, tedy i primitivní, to znamená, že musí dělit některý z prvků q 1,..., q m. Změnou pořadí můžeme tento prvek mít na první pozici, a proto můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že p 1 q 1. Protože q 1 je ireducibilní, platí p 1 q 1, tudíž existuje u 1 R, u 1 je jednotka tak, že q 1 = u 1 p 1. Když za q 1 dosadíme zpět do vyjádření, dostáváme p 1 p 2 p n = u 1 p 1 q 2 q m. Protože R je obor integrity můžeme si dovolit krátit p 1. Tedy p 2 p n = u 1 q 2 q m. Opakováním stejného postupu pro p 2,..., p n dostaneme, že p 1 q 1,..., p n q n a 1 = u 1 u n q m n q m. Protože žádné z q m n,..., q m není jednotka, musí být m = n. 11

11 Kapitola 2 Torzní moduly nad okruhy hlavních ideálů Definice 2.1. Bud R okruh, M levý R-modul a x M. Anihilátorem prvku x rozumíme množinu ann(x) = {r R rx = 0} Poznámka 2.2. Anihilátor prvku x je levým ideálem okruhu R a pokud uvažujeme R jako levý R-modul a ann(x) jako jeho podmodul, pak faktormodul R/ ann(x) = (x), kde (x) je podmodul M generovaný prvkem x. Důkaz. Stačí dokázat, že ann(x) obsahuje 0, je uzavřený na sčítání, braní inverze vůči sčítání a násobení prvkem z R zleva. Z definice modulu 0 x = 0, takže 0 ann(x). Necht r, s ann(x) jsou libovolné. Pak (r+s)x = rx+sx = 0 a 0 = (r r)x = rx+( r)x = ( r)x, takže (r +s), r ann(x). Nakonec bud r R, s ann(x) libovolné, pak (rs)x = r(sx) = 0. Uvažujme homomorfismus modulů k : R (x), k(r) = rx. Jistě Im(k) = (x) a Ker(k) = {r R rx = 0} = ann(x). Podle první věty o izomorfismu platí R/ ann(x) = (x). Definice 2.3. Bud R okruh, M levý R-modul, x M. Prvek x se nazývá torzní, pokud ann(x) {0}. Pokud je R obor integrity, nazveme množinu všech torzních prvků modulu M torzní podmodul modulu M a budeme jej značit Tor(M) Bylo by vhodné dokázat, že Tor(M) je opravdu podmodul modulu M. Jistě 0 Tor(M), protože r0 = 0 z definice modulu pro všechna r R. Abychom dokázali, že Tor(M) je podmodul modulu M, stačí už jen ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R (protože R je obor integrity). Bud x, y Tor(M) libovolné torzní prvky, r ann(x), s ann(y), r, s 0 prvky okruhu R. Pak rs(x + y) = rsx + rsy = s(rx) + r(sy) = 0. Součin rs je tedy prvkem ann(x + y) a je nenulový, protože R je obor integrity a r, s jsou nenulové, tedy x + y je torzní prvek a Tor(M) je uzavřený vůči sčítání. Necht r ann(x), r 0, s R libovolné. Pak r(sx) = s(rx) = 0, tudíž ann(sx) není roven nule pro libovolné s R a tedy sx Tor(M), čímž jsme dokázali uzavřenost vůči násobení prvkem z R. 12

12 Definice 2.4. Modul M nazveme torzním, pokud Tor(M) = M. V dalším textu se budeme zabývat torzními moduly nad okruhy hlavních ideálů. Danou problematiku nelze zobecnit na libovolný okruh, protože potřebujeme, aby okruh, nad kterým operujeme, byl obor integrity a pro dokázání některých vlastností využíváme vlastnost, že anihilátor libovolného prvku je hlavní ideál, tj. ideál generovaný jedním prvkem. R. Bud R okruh hlavních ideálů. Označme P(R) množinu všech maximálních ideálů okruhu Definice 2.5. Bud R okruh hlavních ideálů, M levý R-modul, (p) P(R). Množinou M (p) nazveme množinu všech prvků m M, pro které existuje n N tak, že p n m = 0. Je potřeba ověřit, zda je M (p) definována korektně, tj. je nezávislá na volbě generátoru ideálu (p). Předpokládejme, že (p) = (q). To ale znamená, že existuje jednotka u R tak, že p = uq. Dokážeme, že libovolný prvek m platí, že m M (p) právě, když m M (q). Jestliže m M (p), existuje n N tak, že p n m = 0. Pak ale 0 = p n m = (uq) n m = u n q n m. Vynásobíme obě strany prvkem u n a dostáváme u n 0 = 0 = u n u n q n m = q n m. Tedy existuje n N tak, že q n m = 0, proto pokud m M (p), pak m M (q). Opačný směr dostaneme analogicky pro q = u 1 p. Poznámka 2.6. M (p) je podmodul modulu M. Důkaz. Pro důkaz stačí ověřit uzavřenost na sčítání a násobení prvkem z R, nebot obor integrity má jedničku a 0 M (p). Bud m 1, m 2 M (p). Pak existují n 1, n 2 N tak, že p n 1 m 1 = 0, p n 2 m 2 = 0. Vezmeme n = max{n 1, n 2 }. Potom ale p n (m 1 + m 2 ) = p n m 1 + p n m 2 = 0 tedy M (p) je uzavřeno na součet. Dále pak bud m M (p), r R. Pak existuje n N takové, že p n m = 0. Pak p n (rm) = r(p n m) = 0. Odtud vidíme, že M (p) je uzavřeno i na násobení prvkem z R a je tedy podmodulem modulu M. Věta 2.7. Bud M levý R-modul, M i, i I systém jeho podmodulů. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M = i I M i, 2. pro systém podmodulů M i platí: (a) M je generován i I M i, (b) pro každé j I bud N j N j M j = {0}. podmodul generovaný sjednocením i I,i j M i. Pak 13

13 Důkaz. (1) (2) První část, že M je generovaný sjednocením i I M i plyne z definice součtu. Stačí tedy dokázat, že N j M j = {0}. Bud m N j M j. Protože m N j, musí existovat konečná podmnožina indexů J I {j} tak, že m = i J m i, m i M i pro i J. Vezmeme homomorfismus p : M M j definovaný následovně: pro každé x M, x = x i1 + + x ik, x il M il, je obraz roven tomu sčítanci, který leží v M j, případně 0, není-li tam takový. Tento homomorfismus je definován korektně, protože sčítance jsou z definice direktního součtu určeny jednoznačně. Pak ale p(m) = m, protože m M j, ale p(m) = p( i J m i) = i J p(m i) = 0. Z toho vyplývá, že m = 0. (2) (1) Jelikož je M generováno systémem modulů M i, i I, tak určitě každý prvek M lze zapsat jako konečný součet prvků z M i, i I. Dokážeme, že tento zápis je jednoznačný. Necht m = i I m i = i I m i jsou dvě různá vyjádření prvku m, ve kterých je pouze konečně mnoho sčítanců nenulových. Pak 0 = i I m i i I m i = i I (m i m i). Platí ale, že m i m i M i N i, protože m i m i = j I,j i (m i m i), takže z (2b) plyne, že m i m i = 0, a proto m i = m i. Tedy M = i I M i. Právě dokázané tvrzení bude důležité pro důkaz následující věty. Věta 2.8. Bud R okruh hlavních ideálů, M torzní R-modul. Pak M = (p) P(R) M (p). Důkaz. K důkazu využijeme předchozí větu, takže stačí dokázat, že M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p) a pro každé (p) P(R) je N (p) M (p) = 0, kde N (p) je podmodul generovaný sjednocením (q) P(R),(p) (q) M (q). Bud x M libovolné. Jelikož je M torzní modul, ann(x) je nenulový a ann(x) = (a) pro nějaké a 0. Jak již dříve zaznělo, platí, že R/(a) = (x) jako moduly, takže existuje izomorfismus modulů ψ : R/(a) (x), ψ(r + (a)) = rx. Okruh R je okruh hlavních ideálů a tedy je i okruhem s jednoznačným rozkladem, a prvek a proto můžeme rozložit na konečný součin ireducibilních prvků a jednotky, tedy a = u k i=1 pn i i, kde p i jsou ireducibilní prvky, u jednotka okruhu R. Podle věty 1.15 platí, že R/(a) = k i=1 R/(pn i i ) jako okruhy. Toto ale platí i pokud uvažujeme R/(a) a k i=1 R/(pn i i ) i ), který je dán předpisem jako levé R-moduly a izomorfismus ϕ : R/(a) k i=1 R/(pn i ϕ(r + (a)) = (r + (p n 1 1 ),, r + (p n k k )), je izomorfismus R-modulů R/(a) a k i=1 R/(pn i i ). Označme y i = (0,..., 1 + (p n i i ),... 0) prvky k i=1 R/(pn i i ) s jedničkou na i-té pozici a f = ψϕ 1, f : k i=1 R/(pn i i ) (x). Pak p n i i f(y i ) = f(p n i i y i ) = 0. Dostáváme tedy, že f(y i ) M (pi ). Je také zřejmé, že x = f((1 + (p n 1 1 ),, 1 + (p n k k ))) = k i=1 f(y i), f(y i ) M (pi ), což nám ale dává vyjádření x jako konečný součet prvků z M (pi ). Proto modul M je generovaný sjednocením (p) P(R) M (p). Bud 0 x N (p) M (p) libovolné. Pak existuje n N tak, že p n x = 0 (protože x M (p) ) a také existují x 1,, x k, x i M (pi ), (p i ) (p), x i 0, pro i = 1,, k tak, že x = k i=1 x i (protože x N (p) ). Ke každému x i M (pi ) existují příslušné exponenty n i N tak, že p n i i x i = 0. Označme r = k i=1 pn i i. Pak rx = 0. Protože p n a r jsou nesoudělná, platí, 14

14 že (p n, r) = R, a proto musí existovat a, b R tak, že ar + bp n = 1, tudíž vynásobením rovnosti prvkem x dostáváme arx + bp n x = x. Vzhledem k tomu, že levá strana je rovna nule, dostáváme spor s tím, že x 0. Proto N (p) M (p) = {0}. Věta 2.9. Bud R okruh hlavních ideálů, K podílové těleso okruhu R a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R taková, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Pak pro každé x K existuje konečná podmnožina I množiny I tak, že x lze vyjádřit ve tvaru r i p n i i, v němž r 0 R a pro všechna i I platí: 1. r i R, 2. r i není dělitelné p i v okruhu R, 3. n i N. x = r 0 + i I Navíc množina I a čísla n i jsou jednoznačně určena. Důkaz. Podílové těleso K i okruh R můžeme uvažovat jako R-moduly, přičemž R je podmodulem K. Vezměme faktormodul M = K/R. Tento R-modul je tvořen prvky ve tvaru rs 1 + R, r, s R, s 0. Je zřejmě vidět, že tento modul je torzní (každý prvek rs 1 + R stačí vynásobit s). Lze ho tedy rozložit na součet podmodulů M (p), kde (p) P(R), jak jsme dokázali v předchozí větě. Bud k : K M kanonická projekce na faktormodul. Dokážeme nejdříve, že pro libovolné x K existují r 0, r i R, i I a n i N tak, že r i není dělitelné p i v okruhu R a platí, že x = r 0 + i I r ip n i i. Nejdříve zobrazíme x projekcí k, k(x) = x + R. Protože M je torzní R-modul, existuje podle předchozí věty konečná množina I a nenulové prvky m i + R, m i + R M (pi ), i I tak, že k(x) = i I (m i + R). Pro každý prvek m i + R M (pi ) existuje n N tak, že p n i (m i + R) = R. Vezměme za n i nejmenší n, které toto splňuje. Prvek p n i i m i leží v Ker(k), protože k(p n i i m i ) = p n i i k(m i ) = p n i i (m i + R) = R. Ale jádro tvoří právě prvky modulu R, a proto pro m i existuje r i R tak, že p n i i m i = r i. Prvek m i tedy můžeme vyjádřit jako r i p n i i a jelikož jsme brali n i nejmenší možné, platí, že p i nedělí r i. Stejně tak x i I r i p n i i leží v jádře homomorfismu k, a proto musí existovat r 0 R tak, že x i I r i p n i i = r 0, z čehož už dostáváme kýžené vyjádření prvku x = r 0 + i I r i p n i i. Zbývá tedy dokázat jednoznačnost takového vyjádření. Nejdříve dokážeme, že množina indexů je jednoznačně daná. Bud I, J dvě různé konečné podmnožiny indexů splňující výše uvedené podmínky. Prvek x tak lze vyjádřit dvěma způsoby jako r 0 + i I r i p n i i = s 0 + j J s j p m j j. 15

15 Zobrazíme obě vyjádření projekcí k : K M. Dostáváme rovnost i I r i p n i i + R = j J s j p m j j + R. Bud l I. Pak + R = ( s j q m j j j J M (pl ) r l p n l l i I,i l r i p n i i ) + R N (pl ), kde N (pl ) je modul generovaný sjednocením i I,i l M (p i ) z čehož dle tvrzení 2.7 a 2.8 vyplývá, že r l p n l l + R = 0 + R, tj. r l p n l l R, což je spor s tím, že p l nedělí r l. Podobné to je pro jednoznačnost exponentů. Předpokládejme, že množina indexů je nyní stejná, ale u p l se liší velikost exponentu. Pak úpravami podobně jako v minulém případě dostáváme, že M (pl ) (r l p n l l s l p m l l ) + R = ( r i p n i i s i p m i i ) + R N (pl ). i I,i l i I,i l Z toho dostáváme, že (r l p n l l s l p m l l ) + R = 0 + R. Bud bez újmy na obecnosti n l < m l. Pak vynásobením obou stran p n l dostáváme s l p m l+n l l + R = 0 + R, m l + n l < 0 což je opět spor s tím, že p l nedělí s l. Vyjádření popsané v předchozí větě ale neodpovídá rozkladu, na který jsme zvyklí třeba při rozkladu na parciální zlomky při integraci racionálních funkcí. Proto bude potřeba naše úvahy ještě dále rozvinout. Věta Bud R okruh hlavních ideálů, K jeho podílové těleso a {p i } i I podmnožina ireducibilních prvků R tak, že každý ireducibilní prvek R je asociovaný s právě jedním prvkem množiny {p i } i I. Dále předpokládejme, že pro každé p i, i I, máme pevně dáno zobrazení s i : R/(p i ) R, 0 Im(s i ) tak, že k i s i = id R/(pi ) pro všechna i I, kde k i je kanonická projekce z R na R/(p i ). Necht x K je libovolný. Pak existuje jednoznačně určená konečná podmnožina I množiny I tak, že prvek x může být zapsán, a to jednoznačně, ve tvaru kde 1. r 0, r i,j jsou prvky z R, x = r 0 + i I 2. skoro všechny prvky r i,j jsou nulové, 3. všechny prvky r i,j Im(s i ). j=1 r i,j p j i, Důkaz. Dokázali jsme, že lze x K rozložit na součet x = r 0 + i I r ip n i i a množina indexů I a exponenty n i jsou určeny jednoznačně. Potřebovali bychom tedy dokázat, že lze r i p n i i dále rozložit na t i + j=1 r i,jp j i, t i, r i,j R. 16

16 Bud p ireducibilní prvek. Uvažujme R jako levý R-modul a k kanonickou projekci na faktormodul R/(p). Vezměme s : R/(p) R zobrazení takové, že k s = id R/(p), dané z předpokladů věty. Dokážeme indukcí, že pro každé r R a každé n N lze najít prvky u i R/(p), i = 0,..., n 1 tak, že r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ). Pokud n = 1, stačí vzít u 0 = k(r), jelikož k(r s(k(r))p 0 ) = k(r) k(s(k(r))) = k(r) k(r) = 0, protože k s = id R/(p). Budeme nyní předpokládat, že už byla dokázána existence u 0,..., u n 1 splňujících podmínku r n 1 i=0 s(u i)p i (p n ), tzn. r n 1 i=0 s(u i)p i = tp n, kde t R. Položme u n = k(t). Pak t s(u n ) = lp, pro vhodné l R. Když z této rovnice vyjádříme t a dosadíme do pravé strany indukčního předpokladu, dostáváme, že r n 1 i=0 s(u i)p i = (s(u n ) + lp)p n, tedy r n i=0 s(u i)p i = lp n+1, čímž je důkaz indukcí hotov. Nyní dokážeme, že prvky s(u i ) jsou určeny jednoznačně. Mějme dvě různá vyjádření r n i=0 s(u i)p i a r n i=0 s(v i)p i, která leží v (p n+1 ). Protože nejsou stejná, existuje j < n tak, že s(u 0 ) = s(v 0 ),..., s(u j 1 ) = s(v j 1 ), s(u j ) s(v j ). Pak i jejich rozdíl i=j (s(v i) s(u i ))p i = tp n+1 (p n+1 ). V oboru r n i=0 s(u i)p i (r n i=0 s(v i)p i ) = n integrity můžeme nenulovým p krátit, proto n i=j (s(v i) s(u i ))p i j = tp n+1 j pro vhodné t R. Pak ale k(s(u j ) s(v j )) = k( n i=j (s(v i) s(u i ))p i ) = k(tp n+1 j ) = 0. Platí tedy 0 = k(s(u j ) s(v j )) = k(s(u j )) k(s(v j )) = u j v j. Proto u j = v j, tedy i s(u j ) = s(v j ), což je spor s tím, že jsme předpokládali, že s(u j ) s(v j ). Z věty 2.9 víme, že každé x K lze psát ve tvaru x = r + i I r i p n i i, r 0, r i R pro i I. Pro ireducibilní prvek p i, n i N a r i R využijeme výše uvedené úvahy, že existují s(u i,j ), j = 0,..., n i 1 tak, že r i n i 1 j=0 s(u i,j)p j = t i p n i pro vhodné t i R. Dosazením získáváme vztah x = r + i I (t i + n i 1 j=0 s(u i,j)p j n i i ). Označme r 0 = r + i I t i a pro každé i I položme r i,j = s(u i,ni j) pro 1 j n i, r i,j = 0 pro j > n i. Potom x = r 0 + i I j=1 r i,jp j i, což je dokazované vyjádření prvku x. Zbývá tedy dokázat jeho jednoznačnost. Předpokládejme, že nějaké x K lze vyjádřit dvěma způsoby x = r 0 + r i,j p j i = r 0 + r i,jp j i, i I i J j=1 které oba splňují podmínky věty. Obě množiny I, J jsou konečné, proto bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že jsou stejné, protože můžeme vyjádření doplnit nulovými r i,j a nahradit množiny I, J jejich sjednocením I J. Dále víme, že pro každé i I existuje n i N tak, že r i,j = r i,j = 0 pro všechna j > n i. Vynásobením i I p n i i dostaneme r 0 i I p ni i + l I n l j=1 Odtud plyne pro každé l I r l,j p n l j l n l j=1 i I,i l p n i i = r 0 (r l,j r l,j)p n l j l j=1 i I p ni i + l I i I,i l p n i i (p n l ) n l j=1 r l,jp n l j l i I,i l p n i i 17

17 Protože (p n l, i I,i l pn i i ) = R, existují a, b R tak, že ap n l +b a dostáváme n l n l ( r l,j p n l j l ) ( r l,jp n l j l ) (p n l ) j=1 j=1 i I,i l pn i i Všechna r l,j, r l,j Im(s l) a z výše dokázané jednoznačnosti plyne r l,j = r l,j. = 1. Vynásobením Věta Každé x Q lze jednoznačně napsat ve tvaru x = r 0 + p r p,n p n, n=1 kde p jsou prvočísla a 1. r 0, r p,n Z, 2. skoro všechna r p,n jsou nulová, 3. 0 r p,n p 1. Důkaz. Pokud vezmeme za s p : Z/(p) Z takové zobrazení, které třídu t + Z zobrazí na jejího nejmenšího nezáporného reprezentanta, pak k p s p = id Z/(p) a Im(s p ) = {0,..., p 1}. Tvzení pak přímo vyplývá z předchozí věty. 18

18 Kapitola 3 Konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů V teorii modulů se často setkáváme se závislostí struktury R-modulu na vlastnostech okruhu R. Např. je-li R těleso, je hned z definice vidět, že pojem R-modulu splývá s pojmem vektorový prostor nad tělesem R. Takovéto obecné vlastnosti lze odvodit i pro konečně generované moduly nad okruhy hlavních ideálů, přesněji dokážeme, že jsou izomorfní součtu cyklických modulů. V závěru kapitoly potom ukážeme pěknou aplikaci tohoto tvzení na konečně generované Z-moduly, což jsou právě konečné komutativné grupy. Abychom mohli dokázat nejdůležitější tvrzení této kapitoly, budeme nejdříve potřebovat definovat několik pojmů a jejich vlastností. Prvním takovým pojmem je noetherovský modul. Definice 3.1. Bud R okruh a M levý R-modul. R-modul M nazýváme noetherovský, pokud jeho podmoduly splňují podmínku rostoucích řetězců, tj. pokud pro každý rostoucí řetězec podmodulů modulu M M 1 M 2 M 3 M 4... existuje m N tak, že pro všechna n m platí, M n = M m. Okruh R nazveme noetherovský, pokud je noetherovský jako levý R-modul, tj. neexistuje nekonečný rostoucí řetězec jeho levých ideálů. Věta 3.2. Bud R okruh, M levý R-modul. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. M je noetherovský modul, 2. každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek vzhledem k inkluzi, 19

19 3. každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Důkaz Bud M noetherovský modul, S neprázdná množina jeho podmodulů a předpokládejme, že tato množina nemá maximální prvek. Necht M 1 S. Potom ale musí existovat M 2 S tak, že M 1 M 2 (jinak by M 1 byl maximální prvek). Ale M 2 také není z předpokladu maximální prvek, tudíž musí existovat M 3 S tak, že M 1 M 2 M 3. Takto bychom ale mohli zkonstruovat nekonečnou rostoucí posloupnost podmodulů M, což je spor s tím, že M je noetherovský. Tedy S musí obsahovat maximální prvek Nyní necht každá neprázdná množina podmodulů modulu M obsahuje maximální prvek. Bud N libovolný podmodul modulu M a S množina všech konečně generovaných podmodulů modulu N. Jistě S není prázdná, protože v ní vždy leží prvek {0}. Necht N S je maximální prvek této množiny (který z předpokladu existuje). Dokážeme, že pak N = N. Necht tedy N N. Pak existuje x N tak, že x / N. Označme Ñ = {x} N N. Ale Ñ je konečně generovaný podmodul modulu N, tudíž Ñ S. To je ale spor s maximalitou N. Proto N = N a N je konečně generovaný. Jelikož jsme N volili libovolně, tak každý podmodul modulu M je konečně generovaný Necht každý podmodul modulu M je konečně generovaný. Uvažujme nekonečný neklesající řetězec podmodulů M M 1 M 2 M 3... Bud N = i=1 M i. Toto je ale podmodul modulu M, a proto je konečně generovaný a existuje množina jeho generátorů {a 1,..., a n }. Bud k i nejmenší index tak, že a i M ki a k = max(k i i = 1,... n). Pak a 1,..., a n M k, proto N M k M l N pro libovolné l k. Tedy M je noetherovský modul. Poznámka 3.3. Tento výsledek koresponduje s faktem, že okruh hlavních ideálů je noetherovský. V minulé kapitole jsme používali pojmy torzního podmodulu a anihilátoru. Nyní ještě zavedeme pojem pro anihilátor modulu. Definice 3.4. Anihilátorem R-modulu M rozumíme množinu všech r R splňujících pro všechna m M podmínku rm = 0. Značíme jej ann(m). Tedy. ann(m) = {r R rm = 0 pro všechna m M} Poznámka 3.5. Anihilátor modulu M tvoří ideál okruhu R, protože 0 ann(m), pro libovolné r, s ann(m) a libovolný prvek m M platí (r + s)m = rm + sm = 0 a 0 = (r r)m = rm + ( r)m = ( r)m, proto (r + s), ( r) ann(m) a nakonec 20

20 pro r R, s ann(m) platí (rs)m = r(sm) = r0 = 0 a (sr)m = s(rm), rm M, proto s(rm) = 0. Pokud je N podmodul modulu M, platí, že ann(n) ann(m). Zvláště pak pro případ, kdy je R okruh hlavních idálů, platí, že ann(n) = (a) ann(m) = (b), a proto a b. Věta 3.6. Bud R okruh hlavních ideálů, M volný R-modul konečného ranku m a N podmodul modulu M. Pak 1. N je volný R-modul ranku n, n m. 2. Existuje báze y 1,..., y m modulu M a nenulová a 1,..., a n R tak, že (a) a 1 y 1,..., a n y n tvoří bázi modulu N a (b) a 1 a 2... a n. Důkaz. Nejdříve dokážeme, že pokud je M volný modul ranku m nad okruhem hlavních ideálů, pak libovolný jeho podmodul N je volný ranku n m. Budeme to dokazovat indukcí vůči ranku modulu M. Bud m = 0. Pak tvrzení triviálně platí. Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny volné moduly ranku nepřevyšujícího m. Bud M volný modul ranku m + 1. Bud x 1,..., x m+1 báze M a f : M R homomorfismus daný předpisem f(x 1 ) = 1, f(x i ) = 0 pro i 2. Jádro tohoto homomorfismu m+1 Ker(f) = { r i x i r i R, r 1 = 0} = Rx 2 Rx m+1 i=1 je volný modul ranku m. Bud nyní g : N R, g = f N homomorfismus vzniklý zúžením f na N. Víme, že Ker(g) = N Ker(f), tedy je podmodulem modulu Ker(N). Na ten se ale vztahuje indukční předpoklad a tak Ker(g) je volný modul ranku k m a existuje nějaká jeho báze B = {u 1,..., u k }. Nyní mohou nastat dvě situace. Bud N = Ker(g), pak jsme hotovi, N je volný modul ranku k m m + 1 s bází B = {u 1,..., u k }. Nebo N Ker(g) a pak {0} Im(g) R. Pak Im(g) = (a), a R, a 0, což je volný modul ranku 1, protože má bázi {a}. Jistě existuje u N tak, že g(u) = a. Dokážeme, že {u} B je báze podmodulu N, tzn. generuje modul N a je lineárně nezávislá. Ukažme, že prvky u, u 1,..., u k jsou lineárně nezávislé. Necht existují r, r 1,..., r n R tak, že ru + k i=1 r iu i = 0. Pak ale 0 = g(0) = g(ru) + g( k i=1 r iu i ) = g(ru) = ra. To je nula jen tehdy, když r = 0 (protože R je obor integrity). Zbývající prvky u 1,..., u k tvoří bázi, takže pokud r = 0, musí být i všechny r i = 0, 1 i k. Prvky u, u 1,..., u k jsou tedy lineárně nezávislé. Necht x N je libovolný. Ukážeme, že existují prvky r, r 1,..., r k R takové, že x = ru + k i=1 r iu i Vezměme homomorfismus R-modulů h : (a) N, určený předpisem h(a) = u. Pak g h = id (a). Protože g(x h(g(x))) = g(x) g(h(g(x))) = g(x) g(x) = 0, je prvek x h(g(x)) Ker(g). Ale Ker(g) je generován prvky u 1,... u k, proto existují r 1,..., r k R tak, že k i=1 r iu i = x h(g(x)). Dále h(g(x)) Im(h). Protože Im(g) = (a) 21

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Základy teorie grup. Martin Kuřil

Základy teorie grup. Martin Kuřil Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Bakalářská práce. Cliffordovy algebry. Oldřich Spáčil. Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.

Bakalářská práce. Cliffordovy algebry. Oldřich Spáčil. Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce Cliffordovy algebry Oldřich Spáčil Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Brno Květen 2007 Prohlášení Prohlašuji, že bakalářskou

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více