POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ"

Transkript

1 POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 2 Posloupnosti Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Posloupnosti 3 Obsah Posloupnosti a řady... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 7 Varianta A... 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 8 Varianta B... 8 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 9 Varianta C... 9 Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost Varianta A Aritmetická posloupnost Varianta B Aritmetická posloupnost Varianta C Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost Varianta A Geometrická posloupnost Varianta B Geometrická posloupnost Varianta C Limita posloupnosti Limita posloupnosti Varianta A Limita posloupnosti... 31

4 4 Posloupnosti Varianta B Limita posloupnosti Varianta C Nekonečná geometrická řada Nekonečná geometrická řada Varianta A Nekonečná geometrická řada Varianta B Nekonečná geometrická řada Varianta C... 41

5 Posloupnosti 5 Posloupnosti a řady Posloupnosti a jejich vlastnosti Definice funkce Funkce na množině je předpis, který každému číslu z množiny přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina se nazývá definiční obor funkce. Definice posloupnosti Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel, se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel, kde 0 je pevně dané číslo z, se nazývá konečná posloupnost. Rozdílný způsob zápisu u funkce a posloupnosti: Funkce Posloupnosti Hodnota funkce v bodě 3 je 8 hodnota posloupnosti v bodě 3 je (čteme: třetí člen posloupnosti je 8) Hodnota funkce v bodě n je 0 (čteme: n-tý člen posloupnosti je 0) 0 Zápis funkce: : 2 1 Zápis posloupnosti: 21 Zápis posloupnosti 1.) vzorcem pro n-tý člen.. např. 3 1 ; ) rekurentně (v latině recurrere = vraceti se) V posloupnosti jsou dány první člen nebo první členy a vzorec, podle kterého vypočítáme další členy na základě znalosti členů předchozích. Nevýhodou je, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, jestliže známe předcházející členy.

6 6 Posloupnosti Vlastnosti posloupností Posloupnost 1 se nazývá rostoucí, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 se nazývá klesající, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 je rostoucí, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 je klesající, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 se nazývá neklesající, právě když pro všechna přirozená čísla, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 se nazývá nerostoucí, právě když pro všechna přirozená čísla, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 je neklesající, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 je nerostoucí, právě když pro všechna je 1. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo takové, že pro všechna je. Posloupnost 1 se nazývá zdola omezená, právě když existuje reálné číslo takové, že pro všechna je. Posloupnost se nazývá omezená, je-li omezená shora a zároveň zdola.

7 Posloupnosti 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta A Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 5, ; Varianta A Varianta B Varianta C 16 Výsledek řešení: 5; ; 10; ; ; ;16 Příklady k procvičení: 1.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1, 1, ;. Řešení: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1, 2, 8;. Řešení: 1; 2; 4; 1; 2; 4; 1 3.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: 3, 2;. Řešení: 3; 5; 7; 9; 11; 13 4.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: 3, 2 ;. Řešení: 3; 6; 12; 24; 48; 96

8 8 Posloupnosti Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta B Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen vyjádřete rekurentně. 2 ; 2; 2 1 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2; Příklady k procvičení: 1.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 3, 1 2.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2, 2 3.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2, 2 4.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2,

9 Posloupnosti 9 Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta C Rozhodněte, zda je posloupnost 24 rostoucí či klesající Posloupnost je rostoucí, protože pro každé je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Posloupnost je rostoucí. Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, zda je posloupnost 2 3 rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je klesající. 2.) Rozhodněte, zda je posloupnost 44 rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je klesající od druhého členu. 3.) Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je rostoucí. 4.) Rozhodněte, zda je posloupnost Řešení: Posloupnost je klesající. rostoucí či klesající.

10 10 Posloupnosti Aritmetická posloupnost Jde o speciální typ posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo je 1 Číslo se nazývá diference posloupnosti. Platí tedy pro každé, že 1 V aritmetické posloupnosti platí: 1 1 ; š, Pro součet prvních členů aritmetické posloupnosti 1, tedy pro platí 2 1 Vlastnosti aritmetických posloupností Aritmetická posloupnost s diferencí je rostoucí pro 0 a klesající pro 0. Pro aritmetickou posloupnost s diferencí platí: a) je-li 0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená. b) je-li 0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená c) je-li 0, pak je omezená shora i zdola.

11 Posloupnosti 11 Aritmetická posloupnost Varianta A Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 10 : 2 Vyjádříme všechny členy v soustavě rovnic pomocí prvního členu: Po úpravě dostaneme soustavu Z druhé rovnice plyne, že 20, což dosadíme do rovnice první Dopočítáme první člen Řešení úlohy tedy je: 2,0, ,1 20 0,12 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2,0,1.

12 12 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) V aritmetické posloupnosti je 20, 4. Kolikátý člen je roven číslu 100? Řešení: 21. člen 2.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 2 8 Řešení: 3,2 3.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: Řešení:, 2 4.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 6 15 Řešení: NŘ

13 Posloupnosti 13 Aritmetická posloupnost Varianta B Řešte rovnici s neznámou : Na levé straně máme dvě aritmetické posloupnosti (liché členy a sudé členy), obě s diferencí 10. Určíme součet lichých členů Obdobně určíme součet sudých členů a dosadíme do původní rovnice Upravíme , Neznámá musí být z množiny přirozených čísel, takže rovnice má pro nás pouze jedno řešení, přicházející v úvahu 11 Takže je 22. člen na levé straně, což je jedenáctý člen posloupnosti tvořené ze sudých členů, proto Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 106

14 14 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou : Řešení: 32 2.) Řešte rovnici s neznámou : Řešení: 96 3.) Řešte nerovnici s neznámou : Řešení: 26; 27; 28; 4.) Určete součet všech přirozených čísel, která vyhovují nerovnici Řešení:

15 Posloupnosti 15 Aritmetická posloupnost Varianta C V aritmetické posloupnosti známe třetí člen 18. Určete podmínku pro diferenci tak, aby platilo 150. Vyjádříme součet prvních devíti členů První člen vyjádříme pomocí třetího členu Devátý člen vyjádříme pomocí třetího členu Dosadíme do součtu Součet má být menší nebo roven Varianta A Varianta B Výsledek řešení: Varianta C

16 16 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin Určete tato čísla. Řešení: 15; 20; 25 2.) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti. Řešení: 2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 3.) V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, víte-li, že platí: Řešení: 8,2 4.) V aritmetické posloupnosti je první člen 10 a diference 2. Vypočítejte člen, který je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích. Řešení: 4, 30

17 Posloupnosti 17 Geometrická posloupnost Jde o další speciální typ posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo je 1 Číslo se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí tedy pro každé, že V geometrické posloupnosti platí: š, Pro součet prvních členů geometrické posloupnosti 1 s kvocientem platí: a) je-li 1, pak b) je-li 1, pak Vlastnosti geometrických posloupností Geometrická posloupnost 1 s kvocientem je a) rostoucí, právě když 1 0,1 nebo 1 0,1 b) klesající, právě když 1 0; 01 nebo 1 0,1 Geometrická posloupnost 1 s kvocientem a) je omezená, právě když 1 nebo 1 0 b) je zdola omezená, ale není shora omezená, právě když 1 0,1 c) je shora omezená, ale není zdola omezená, právě když 1 0,1 d) není omezená ani shora, ani zdola, právě když 1 0,1

18 18 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta A Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 9 10 Vyjádříme všechny členy v soustavě pomocí prvního členu a dosadíme do soustavy Po úpravě ; Z druhé rovnice vyjádříme neznámou a dosadíme do první rovnice Upravíme Po zkrácení dostáváme

19 Posloupnosti 19 Máme kvadratickou rovnici , Úloha má tedy dvě řešení: ; 81 nebo 9; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; 81 nebo 9; Příklady k procvičení: 1.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 1,5 40,5 Řešení: 0,5;3 2.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: 22; 2 3.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: 3; ; 4.) V geometrické posloupnosti je 64,. Kolikátý člen je roven číslu? Řešení: 12. člen

20 20 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta B Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 16; 4 Určíme kvocient geometrické posloupnosti jako podíl druhého a prvního členu Nyní můžeme použít vzorec pro součet členů geometrické posloupnosti 1 1 do kterého dosadíme Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte součet prvních devíti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 8,1 Řešení: 72 2.) Vypočítejte součet prvních jedenácti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: ,2

21 Posloupnosti 21 3.) Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 6,1 Řešení: 0 4.) V geometrické posloupnosti známe první člen a kvocient 2. Určete tak, aby platilo Řešení: 10

22 22 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta C Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 84 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 64. Označme hrany kvádru,, postupně,,. Objem kvádru je dán vztahem Po dosazení 64 4 Součet všech hran kvádru o stranách,, je Po dosazení Dosadíme 4 Po úpravě , ; 1 4

23 Posloupnosti 23 Hledané délky hran kvádru jsou: 1, 4, 16 Můžeme tedy vypočítat povrch podle vzorce Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 168 Příklady k procvičení: 1.) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti. Řešení: 2; 2 4 ;2 16;4 2;4 8;8 2.) V geometrické posloupnosti s prvním členem 36 určete kvocient tak, aby platilo: Řešení: 3; ) V geometrické posloupnosti platí: 9. Určete,. Řešení: \0, 2 4.) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 38, součet následujících tří členů této posloupnosti je. Vypočítejte,,. Řešení: 18,,

24 24 Posloupnosti Limita posloupnosti Pojem limita posloupnosti je dosti náročný, proto si ho objasníme nejprve na příkladu: Vypište prvních šest členů posloupnosti, 1 2 a vyznačte jejich obrazy v soustavě souřadnic. Určíme prvních šest členů dosazením do předpisu posloupnosti za. 9 5 ; ; ; ; ; Z obrázku vidíme, že prvních šest členů posloupnosti se stále více přibližuje číslu 2. Lze říci, že se postupně zmenšuje vzdálenost obrazu členů posloupnosti od čísla 2. Vypočítáme si 2 pro prvních šest členů posloupnosti:

25 Pokusme se dokázat, že pro všechna přirozená čísla 7 je Vypočítáme tedy všechna, pro která platí 2 Tedy Pro všechna přirozená čísla 7 je 2. Zkusme zvolit ještě menší číslo než, např. 10, a pokusme se najít přirozené číslo takové, aby pro všechna přirozená čísla platilo To znamená, že podmínka je splněna od členu. Je tedy zřejmé, že ať zvolíme jakékoliv kladné reálné číslo ε, vždy najdeme takové, že pro všechna je 2. Říkáme, že posloupnost, 1 2 je konvergentní a číslo 2 nazýváme limita této posloupnosti. Zapisujeme lim Říkáme, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje číslo takové, že platí: Ke každému 0 existuje tak, že pro všechna přirozená čísla je. Číslo se nazývá limita posloupnosti. Zapisujeme lim (čteme: limita pro n jdoucí k nekonečnu je rovna a). Posloupnosti, které nejsou konvergentní, se nazývají divergentní.

26 26 Posloupnosti Definici limity můžeme vyslovit také takto: Číslo se nazývá limita posloupnosti, právě když ke každému kladnému číslu ε existuje tak, že pro všechna přirozená čísla platí. Definici konvergence posloupnosti můžeme zapsat také takto: Říkáme, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje číslo takové, že platí: Ke každému ε 0 existuje tak, že pro všechna přirozená čísla je ;. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Věty o limitách posloupností 1.) Jestliže posloupnosti, jsou konvergentní a přitom lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 2.) Jestliže posloupnost je konvergentní a je divergentní, pak je divergentní i posloupnost. 3.) Jsou-li, konvergentní posloupnosti, a platí lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim

27 Posloupnosti 27 4.) Jestliže posloupnosti, jsou konvergentní a přitom lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 5.) Je-li posloupnost konvergentní a platí lim pak je konvergentní i posloupnost, kde je libovolné reálné číslo a platí lim lim 6.) Jsou-li, konvergentní posloupnosti, a platí lim,lim a přitom 0 a 0 pro všechna, pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 7.) Platí, že je konvergentní posloupnost a 1 lim 0 Konvergence aritmetických a geometrických posloupností Aritmetická posloupnost Aritmetické posloupnosti s diferencí 0 jsou konvergentní, aritmetické posloupnosti s diferencí 0 nejsou omezené, proto jsou divergentní. Geometrická posloupnost

28 28 Posloupnosti Geometrická posloupnost, ve které je 1, není omezená, a proto není konvergentní. Geometrická posloupnost s kvocientem 1 je konvergentní, její limita je 1. Geometrická posloupnost, ve které je 1, je konvergentní a její limita je 0. Nevlastní limita posloupnosti Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo existuje takové, že pro všechna přirozená čísla je. Zapisujeme lim Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu minus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo existuje takové, že pro všechna přirozená čísla je. Zapisujeme lim Posloupnosti, které mají nevlastní limitu nebo, nepatří mezi konvergentní posloupnosti; jsou to posloupnosti divergentní. Pokud tedy používáme pojem limita, máme vždy na mysli vlastní limitu. Pro každou posloupnost nastane právě jeden z těchto případů: 1.) Posloupnost je konvergentní a její limitou je nějaké reálné číslo : lim 2.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu : lim 3.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu : lim 4.) Posloupnost je divergentní a přitom nemá ani nevlastní limitu, ani nevlastní limitu.

29 Posloupnosti 29 Limita posloupnosti Varianta A Je dána posloupnost,. a) vypište prvních devět členů této posloupnosti b) dokažte, že pro všechna je 1; 2. c) ověřte, že pro všechna přirozená čísla 10 je 1 d) je-li posloupnost konvergentní, určete její limitu a) 2; ; 0; ; ; ; ; ; b) c) CBD 1 d) 6 CBD 3 3 lim lim 3 lim lim lim lim Varianta A Varianta B Varianta C

30 30 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Je dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 1 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 2.) J e dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 0,5 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 1 3.) J e dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 5 10 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 19 4.) Je dána posloupnost 0,2. Řešení:, 0,2 10,. Ověřte, že pro všechna přirozená čísla 10 je,

31 Posloupnosti 31 Limita posloupnosti Varianta B Rozhodněte, které z posloupností jsou konvergentní a určete jejich limity. a) b) c) d) a) posloupnost je konvergentní b) posloupnost je divergentní lim lim 0 1 c) posloupnost je konvergentní d) posloupnost je konvergentní 3 57 lim 2 lim lim 7 lim Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) K; 0. b) D. c) K;. d) K; 0.

32 32 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 3 2.) Vypočítejte: Řešení: 0 3.) Vypočítejte: Řešení: 0 4.) Vypočítejte: Řešení: 4 lim 31 lim 7 5 lim 6 lim 1 4

33 Posloupnosti 33 Limita posloupnosti Varianta C Vypočítejte: 12 lim 2 3 V čitateli máme aritmetickou posloupnost s diferencí 1, takže určíme její součet. 2 1 Dosadíme do čitatele lim lim lim Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 3 2.) Vypočítejte: Řešení: lim 1 2 lim 2 1 2

34 34 Posloupnosti 3.)Vypočítejte: lim Řešení: 4.) Vypočítejte: lim Řešení:

35 Posloupnosti 35 Nekonečná geometrická řada Je dána geometrická posloupnost, pro jejíž koeficient platí 1. Vytvořme posloupnost částečných součtů: Lze dokázat, že tato posloupnost je konvergentní. Je-li geometrická posloupnost, pro jejíž kvocient platí 1, pak posloupnost, je konvergentní a platí lim 1. Důkaz: Protože 1, je posloupnost konvergentní a její limita je 0. Vypočítáme tedy limitu posloupnosti. lim lim lim lim Nekonečnou geometrickou řadou se nazývá symbol který se zapisuje též ve tvaru, a čteme suma od rovno jedné do nekonečna. Pokud je posloupnost konvergentní, říkáme, že nekonečná řada je konvergentní, a limitu nazýváme součet nekonečné řady. Jestliže posloupnost je divergentní, říkáme, že nekonečná řada je divergentní.

36 36 Posloupnosti Je-li nekonečná řada konvergentní a je-li její součet roven, pak zapisujeme Symbolem sumy tedy označujeme nejen nekonečnou řadu, ale také její součet, pokud existuje. Nekonečná geometrická řada, ve které 0, je konvergentní, právě když pro její kvocient platí 1. Pro součet konvergentní nekonečné geometrické řady platí 1

37 Posloupnosti 37 Nekonečná geometrická řada Varianta A Periodické číslo 5,487 zapište zlomkem v základním tvaru. Číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru: Uvažujme tedy nekonečnou geometrickou řadu čili řadu Jde o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem 10. Tato řada je konvergentní ( 1) a její součet Takže číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

38 38 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Periodické číslo 0; 8 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 2.) Periodické číslo 0, 370 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 3.) Periodické číslo 1,032 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 4.) Periodické číslo 25,67 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení:

39 Posloupnosti 39 Nekonečná geometrická řada Varianta B Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. 4 Řadu můžeme rozepsat Kvocient tedy je Aby byla řada konvergentní, musí platit Najdeme nulový bod absolutní hodnoty 4 1.) V intervalu ; 4 je výraz v absolutní hodnotě záporný, takže řešíme nerovnici Jmenovatel na levé straně je záporný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem musíme změnit znaménko nerovnosti ; 5 2.) V intervalu 4; je výraz v absolutní hodnotě kladný, takže řešíme nerovnici Jmenovatel na levé straně je kladný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem neměníme znaménko nerovnosti ;

40 40 Posloupnosti Řada je tedy konvergentní pro ; 5 3;. Pak můžeme určit její součet Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; 5 3; ; Příklady k procvičení: 1.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. Řešení: ; ; ) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. 1 2 Řešení: 0; 1; 3.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. Řešení: 0,01; 01; 4.) Řešte rovnici s neznámou Řešení: 0,

41 Posloupnosti 41 Nekonečná geometrická řada Varianta C Nad výškou rovnostranného trojúhelníka je sestrojen rovnostranný trojúhelník, nad jeho výškou je sestrojen rovnostranný trojúhelník atd. Postup se stále opakuje. Jak velký je součet obsahů všech trojúhelníků, má-li strana trojúhelníka délku? Výška v trojúhelníku je Obsah tohoto trojúhelníku tedy je Výška v trojúhelníku je Obsah tohoto trojúhelníku je Určíme kvocient jako podíl obsahů

42 42 Posloupnosti Pak součet řady je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 3 Příklady k procvičení: 1.) Do čtverce o délce strany je vepsána kružnice, do ní je znovu vepsán čtverec, do tohoto čtverce je vepsána opět kružnice atd. Vypočítejte součet obsahů všech takto získaných čtverců. Řešení: 2 2.) Vypočítejte délku nekonečné spirály, která vznikne spojením bodů,,,, čtvrtkružnicemi. Střed první čtvrtkružnice je v bodě 0; 0, krajní body jsou 4; 0; 0; 4. Střed druhé čtvrtkružnice je v bodě 0; 2, krajní body jsou 0; 4, 2; 2. Střed třetí čtvrtkružnice je v bodě 1; 2, krajní body jsou 2; 2; 1; 1. Střed čtvrté čtvrtkružnice je v bodě 1; 1,5, krajní body jsou 1; 1; 0,5; 1,5. Tento postup stále opakujeme. Řešení: 4 3.) Vypočítejte délku nekonečné lomené čáry, která se skládá z úseček,,,,. Souřadnice krajních bodů úseček jsou 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; 0,75; 0,25; 0,75; 0,25; 0,625 Řešení: 4 4.) V daném rovnostranném trojúhelníku o straně 6 sestrojte kolmici z vrcholu na stranu, patu kolmice označte. Bodem veďte rovnoběžku se stranou, průsečík této rovnoběžky se stranou označte. Patu kolmice z bodu na stranu označte, průsečík strany a rovnoběžky se stranou vedené bodem označte. Patu kolmice z bodu na stranu označte, průsečík strany a rovnoběžky s vedené bodem označte. Tento postup stále opakujte. Vypočítejte délku nekonečné lomené čáry, která vznikne uvedeným způsobem. Řešení:

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky

Vzorcem pro n-tý člen posloupnosti, např.:, Rekurentně zadáním prvního členu a rekurentního vzorce, který vyjadřuje, např.: výčtem prvků graficky Posloupnosti Motivace Víš, jaký bude následující člen v řadách 2, 4, 6, 8,? a 2, 4, 8, 16,?? Urči součet řady Jak převedeš číslo na zlomek? 1 Definice posloupnosti Posloupnost je funkce. Definiční obor

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 POSLOUPNOSTI 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 n+1n, d) a n = n! n n 2. 2. Najděte předpis pro n-tý člen

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

CZ.1.07/1.5.00/

CZ.1.07/1.5.00/ Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Sbírka příkladů. Posloupnosti. Mgr. Anna Dravecká. Gymnázium Jihlava

Sbírka příkladů. Posloupnosti. Mgr. Anna Dravecká. Gymnázium Jihlava Sbírka příkladů Posloupnosti Mgr. Anna Dravecká Gymnázium Jihlava Anotace Sbírka příkladů Posloupnosti je vytvořen jakou souhrn příkladů vhodné pro samostatné domácí procvičování základních poznatků z

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

CVIČNÝ TEST 8. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 23 IV. Záznamový list 25

CVIČNÝ TEST 8. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 23 IV. Záznamový list 25 CVIČNÝ TEST 8 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 23 IV. Záznamový list 25 I. CVIČNÝ TEST m 1 Vzorec F = κ 1 m R 2 vyjadřuje velikost gravitační síly, kterou na sebe

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Kristýna Suchanová. Přírodovědná studia, obor Matematika

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Kristýna Suchanová. Přírodovědná studia, obor Matematika ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY POSLOUPNOSTI A ŘADY: ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI, LIMITY: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kristýna Suchanová Přírodovědná

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: 3 + 12 + 27 = n. 1 bod 2 Doplňte

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost 1. Zjistěte vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4;... 2. V aritmetické posloupnosti z daných údajů vypočítejte naznačené hodnoty: a 4 = 11 a (a) 1 =? a 1 = 2 n =? a 5 = 14 d =? (d) d = 3 a

Více

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více