POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ"

Transkript

1 POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010

2 2 Posloupnosti Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Posloupnosti 3 Obsah Posloupnosti a řady... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 7 Varianta A... 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 8 Varianta B... 8 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 9 Varianta C... 9 Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost Varianta A Aritmetická posloupnost Varianta B Aritmetická posloupnost Varianta C Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost Varianta A Geometrická posloupnost Varianta B Geometrická posloupnost Varianta C Limita posloupnosti Limita posloupnosti Varianta A Limita posloupnosti... 31

4 4 Posloupnosti Varianta B Limita posloupnosti Varianta C Nekonečná geometrická řada Nekonečná geometrická řada Varianta A Nekonečná geometrická řada Varianta B Nekonečná geometrická řada Varianta C... 41

5 Posloupnosti 5 Posloupnosti a řady Posloupnosti a jejich vlastnosti Definice funkce Funkce na množině je předpis, který každému číslu z množiny přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina se nazývá definiční obor funkce. Definice posloupnosti Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel, se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel, kde 0 je pevně dané číslo z, se nazývá konečná posloupnost. Rozdílný způsob zápisu u funkce a posloupnosti: Funkce Posloupnosti Hodnota funkce v bodě 3 je 8 hodnota posloupnosti v bodě 3 je (čteme: třetí člen posloupnosti je 8) Hodnota funkce v bodě n je 0 (čteme: n-tý člen posloupnosti je 0) 0 Zápis funkce: : 2 1 Zápis posloupnosti: 21 Zápis posloupnosti 1.) vzorcem pro n-tý člen.. např. 3 1 ; ) rekurentně (v latině recurrere = vraceti se) V posloupnosti jsou dány první člen nebo první členy a vzorec, podle kterého vypočítáme další členy na základě znalosti členů předchozích. Nevýhodou je, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, jestliže známe předcházející členy.

6 6 Posloupnosti Vlastnosti posloupností Posloupnost 1 se nazývá rostoucí, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 se nazývá klesající, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 je rostoucí, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 je klesající, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 se nazývá neklesající, právě když pro všechna přirozená čísla, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 se nazývá nerostoucí, právě když pro všechna přirozená čísla, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 je neklesající, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 je nerostoucí, právě když pro všechna je 1. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo takové, že pro všechna je. Posloupnost 1 se nazývá zdola omezená, právě když existuje reálné číslo takové, že pro všechna je. Posloupnost se nazývá omezená, je-li omezená shora a zároveň zdola.

7 Posloupnosti 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta A Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 5, ; Varianta A Varianta B Varianta C 16 Výsledek řešení: 5; ; 10; ; ; ;16 Příklady k procvičení: 1.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1, 1, ;. Řešení: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1, 2, 8;. Řešení: 1; 2; 4; 1; 2; 4; 1 3.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: 3, 2;. Řešení: 3; 5; 7; 9; 11; 13 4.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: 3, 2 ;. Řešení: 3; 6; 12; 24; 48; 96

8 8 Posloupnosti Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta B Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen vyjádřete rekurentně. 2 ; 2; 2 1 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2; Příklady k procvičení: 1.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 3, 1 2.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2, 2 3.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2, 2 4.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2,

9 Posloupnosti 9 Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta C Rozhodněte, zda je posloupnost 24 rostoucí či klesající Posloupnost je rostoucí, protože pro každé je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Posloupnost je rostoucí. Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, zda je posloupnost 2 3 rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je klesající. 2.) Rozhodněte, zda je posloupnost 44 rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je klesající od druhého členu. 3.) Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je rostoucí. 4.) Rozhodněte, zda je posloupnost Řešení: Posloupnost je klesající. rostoucí či klesající.

10 10 Posloupnosti Aritmetická posloupnost Jde o speciální typ posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo je 1 Číslo se nazývá diference posloupnosti. Platí tedy pro každé, že 1 V aritmetické posloupnosti platí: 1 1 ; š, Pro součet prvních členů aritmetické posloupnosti 1, tedy pro platí 2 1 Vlastnosti aritmetických posloupností Aritmetická posloupnost s diferencí je rostoucí pro 0 a klesající pro 0. Pro aritmetickou posloupnost s diferencí platí: a) je-li 0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená. b) je-li 0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená c) je-li 0, pak je omezená shora i zdola.

11 Posloupnosti 11 Aritmetická posloupnost Varianta A Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 10 : 2 Vyjádříme všechny členy v soustavě rovnic pomocí prvního členu: Po úpravě dostaneme soustavu Z druhé rovnice plyne, že 20, což dosadíme do rovnice první Dopočítáme první člen Řešení úlohy tedy je: 2,0, ,1 20 0,12 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2,0,1.

12 12 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) V aritmetické posloupnosti je 20, 4. Kolikátý člen je roven číslu 100? Řešení: 21. člen 2.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 2 8 Řešení: 3,2 3.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: Řešení:, 2 4.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 6 15 Řešení: NŘ

13 Posloupnosti 13 Aritmetická posloupnost Varianta B Řešte rovnici s neznámou : Na levé straně máme dvě aritmetické posloupnosti (liché členy a sudé členy), obě s diferencí 10. Určíme součet lichých členů Obdobně určíme součet sudých členů a dosadíme do původní rovnice Upravíme , Neznámá musí být z množiny přirozených čísel, takže rovnice má pro nás pouze jedno řešení, přicházející v úvahu 11 Takže je 22. člen na levé straně, což je jedenáctý člen posloupnosti tvořené ze sudých členů, proto Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 106

14 14 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou : Řešení: 32 2.) Řešte rovnici s neznámou : Řešení: 96 3.) Řešte nerovnici s neznámou : Řešení: 26; 27; 28; 4.) Určete součet všech přirozených čísel, která vyhovují nerovnici Řešení:

15 Posloupnosti 15 Aritmetická posloupnost Varianta C V aritmetické posloupnosti známe třetí člen 18. Určete podmínku pro diferenci tak, aby platilo 150. Vyjádříme součet prvních devíti členů První člen vyjádříme pomocí třetího členu Devátý člen vyjádříme pomocí třetího členu Dosadíme do součtu Součet má být menší nebo roven Varianta A Varianta B Výsledek řešení: Varianta C

16 16 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin Určete tato čísla. Řešení: 15; 20; 25 2.) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti. Řešení: 2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 3.) V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, víte-li, že platí: Řešení: 8,2 4.) V aritmetické posloupnosti je první člen 10 a diference 2. Vypočítejte člen, který je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích. Řešení: 4, 30

17 Posloupnosti 17 Geometrická posloupnost Jde o další speciální typ posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo je 1 Číslo se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí tedy pro každé, že V geometrické posloupnosti platí: š, Pro součet prvních členů geometrické posloupnosti 1 s kvocientem platí: a) je-li 1, pak b) je-li 1, pak Vlastnosti geometrických posloupností Geometrická posloupnost 1 s kvocientem je a) rostoucí, právě když 1 0,1 nebo 1 0,1 b) klesající, právě když 1 0; 01 nebo 1 0,1 Geometrická posloupnost 1 s kvocientem a) je omezená, právě když 1 nebo 1 0 b) je zdola omezená, ale není shora omezená, právě když 1 0,1 c) je shora omezená, ale není zdola omezená, právě když 1 0,1 d) není omezená ani shora, ani zdola, právě když 1 0,1

18 18 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta A Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 9 10 Vyjádříme všechny členy v soustavě pomocí prvního členu a dosadíme do soustavy Po úpravě ; Z druhé rovnice vyjádříme neznámou a dosadíme do první rovnice Upravíme Po zkrácení dostáváme

19 Posloupnosti 19 Máme kvadratickou rovnici , Úloha má tedy dvě řešení: ; 81 nebo 9; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; 81 nebo 9; Příklady k procvičení: 1.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 1,5 40,5 Řešení: 0,5;3 2.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: 22; 2 3.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: 3; ; 4.) V geometrické posloupnosti je 64,. Kolikátý člen je roven číslu? Řešení: 12. člen

20 20 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta B Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 16; 4 Určíme kvocient geometrické posloupnosti jako podíl druhého a prvního členu Nyní můžeme použít vzorec pro součet členů geometrické posloupnosti 1 1 do kterého dosadíme Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte součet prvních devíti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 8,1 Řešení: 72 2.) Vypočítejte součet prvních jedenácti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: ,2

21 Posloupnosti 21 3.) Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 6,1 Řešení: 0 4.) V geometrické posloupnosti známe první člen a kvocient 2. Určete tak, aby platilo Řešení: 10

22 22 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta C Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 84 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 64. Označme hrany kvádru,, postupně,,. Objem kvádru je dán vztahem Po dosazení 64 4 Součet všech hran kvádru o stranách,, je Po dosazení Dosadíme 4 Po úpravě , ; 1 4

23 Posloupnosti 23 Hledané délky hran kvádru jsou: 1, 4, 16 Můžeme tedy vypočítat povrch podle vzorce Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 168 Příklady k procvičení: 1.) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti. Řešení: 2; 2 4 ;2 16;4 2;4 8;8 2.) V geometrické posloupnosti s prvním členem 36 určete kvocient tak, aby platilo: Řešení: 3; ) V geometrické posloupnosti platí: 9. Určete,. Řešení: \0, 2 4.) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 38, součet následujících tří členů této posloupnosti je. Vypočítejte,,. Řešení: 18,,

24 24 Posloupnosti Limita posloupnosti Pojem limita posloupnosti je dosti náročný, proto si ho objasníme nejprve na příkladu: Vypište prvních šest členů posloupnosti, 1 2 a vyznačte jejich obrazy v soustavě souřadnic. Určíme prvních šest členů dosazením do předpisu posloupnosti za. 9 5 ; ; ; ; ; Z obrázku vidíme, že prvních šest členů posloupnosti se stále více přibližuje číslu 2. Lze říci, že se postupně zmenšuje vzdálenost obrazu členů posloupnosti od čísla 2. Vypočítáme si 2 pro prvních šest členů posloupnosti:

25 Pokusme se dokázat, že pro všechna přirozená čísla 7 je Vypočítáme tedy všechna, pro která platí 2 Tedy Pro všechna přirozená čísla 7 je 2. Zkusme zvolit ještě menší číslo než, např. 10, a pokusme se najít přirozené číslo takové, aby pro všechna přirozená čísla platilo To znamená, že podmínka je splněna od členu. Je tedy zřejmé, že ať zvolíme jakékoliv kladné reálné číslo ε, vždy najdeme takové, že pro všechna je 2. Říkáme, že posloupnost, 1 2 je konvergentní a číslo 2 nazýváme limita této posloupnosti. Zapisujeme lim Říkáme, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje číslo takové, že platí: Ke každému 0 existuje tak, že pro všechna přirozená čísla je. Číslo se nazývá limita posloupnosti. Zapisujeme lim (čteme: limita pro n jdoucí k nekonečnu je rovna a). Posloupnosti, které nejsou konvergentní, se nazývají divergentní.

26 26 Posloupnosti Definici limity můžeme vyslovit také takto: Číslo se nazývá limita posloupnosti, právě když ke každému kladnému číslu ε existuje tak, že pro všechna přirozená čísla platí. Definici konvergence posloupnosti můžeme zapsat také takto: Říkáme, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje číslo takové, že platí: Ke každému ε 0 existuje tak, že pro všechna přirozená čísla je ;. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Věty o limitách posloupností 1.) Jestliže posloupnosti, jsou konvergentní a přitom lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 2.) Jestliže posloupnost je konvergentní a je divergentní, pak je divergentní i posloupnost. 3.) Jsou-li, konvergentní posloupnosti, a platí lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim

27 Posloupnosti 27 4.) Jestliže posloupnosti, jsou konvergentní a přitom lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 5.) Je-li posloupnost konvergentní a platí lim pak je konvergentní i posloupnost, kde je libovolné reálné číslo a platí lim lim 6.) Jsou-li, konvergentní posloupnosti, a platí lim,lim a přitom 0 a 0 pro všechna, pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 7.) Platí, že je konvergentní posloupnost a 1 lim 0 Konvergence aritmetických a geometrických posloupností Aritmetická posloupnost Aritmetické posloupnosti s diferencí 0 jsou konvergentní, aritmetické posloupnosti s diferencí 0 nejsou omezené, proto jsou divergentní. Geometrická posloupnost

28 28 Posloupnosti Geometrická posloupnost, ve které je 1, není omezená, a proto není konvergentní. Geometrická posloupnost s kvocientem 1 je konvergentní, její limita je 1. Geometrická posloupnost, ve které je 1, je konvergentní a její limita je 0. Nevlastní limita posloupnosti Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo existuje takové, že pro všechna přirozená čísla je. Zapisujeme lim Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu minus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo existuje takové, že pro všechna přirozená čísla je. Zapisujeme lim Posloupnosti, které mají nevlastní limitu nebo, nepatří mezi konvergentní posloupnosti; jsou to posloupnosti divergentní. Pokud tedy používáme pojem limita, máme vždy na mysli vlastní limitu. Pro každou posloupnost nastane právě jeden z těchto případů: 1.) Posloupnost je konvergentní a její limitou je nějaké reálné číslo : lim 2.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu : lim 3.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu : lim 4.) Posloupnost je divergentní a přitom nemá ani nevlastní limitu, ani nevlastní limitu.

29 Posloupnosti 29 Limita posloupnosti Varianta A Je dána posloupnost,. a) vypište prvních devět členů této posloupnosti b) dokažte, že pro všechna je 1; 2. c) ověřte, že pro všechna přirozená čísla 10 je 1 d) je-li posloupnost konvergentní, určete její limitu a) 2; ; 0; ; ; ; ; ; b) c) CBD 1 d) 6 CBD 3 3 lim lim 3 lim lim lim lim Varianta A Varianta B Varianta C

30 30 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Je dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 1 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 2.) J e dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 0,5 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 1 3.) J e dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 5 10 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 19 4.) Je dána posloupnost 0,2. Řešení:, 0,2 10,. Ověřte, že pro všechna přirozená čísla 10 je,

31 Posloupnosti 31 Limita posloupnosti Varianta B Rozhodněte, které z posloupností jsou konvergentní a určete jejich limity. a) b) c) d) a) posloupnost je konvergentní b) posloupnost je divergentní lim lim 0 1 c) posloupnost je konvergentní d) posloupnost je konvergentní 3 57 lim 2 lim lim 7 lim Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) K; 0. b) D. c) K;. d) K; 0.

32 32 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 3 2.) Vypočítejte: Řešení: 0 3.) Vypočítejte: Řešení: 0 4.) Vypočítejte: Řešení: 4 lim 31 lim 7 5 lim 6 lim 1 4

33 Posloupnosti 33 Limita posloupnosti Varianta C Vypočítejte: 12 lim 2 3 V čitateli máme aritmetickou posloupnost s diferencí 1, takže určíme její součet. 2 1 Dosadíme do čitatele lim lim lim Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 3 2.) Vypočítejte: Řešení: lim 1 2 lim 2 1 2

34 34 Posloupnosti 3.)Vypočítejte: lim Řešení: 4.) Vypočítejte: lim Řešení:

35 Posloupnosti 35 Nekonečná geometrická řada Je dána geometrická posloupnost, pro jejíž koeficient platí 1. Vytvořme posloupnost částečných součtů: Lze dokázat, že tato posloupnost je konvergentní. Je-li geometrická posloupnost, pro jejíž kvocient platí 1, pak posloupnost, je konvergentní a platí lim 1. Důkaz: Protože 1, je posloupnost konvergentní a její limita je 0. Vypočítáme tedy limitu posloupnosti. lim lim lim lim Nekonečnou geometrickou řadou se nazývá symbol který se zapisuje též ve tvaru, a čteme suma od rovno jedné do nekonečna. Pokud je posloupnost konvergentní, říkáme, že nekonečná řada je konvergentní, a limitu nazýváme součet nekonečné řady. Jestliže posloupnost je divergentní, říkáme, že nekonečná řada je divergentní.

36 36 Posloupnosti Je-li nekonečná řada konvergentní a je-li její součet roven, pak zapisujeme Symbolem sumy tedy označujeme nejen nekonečnou řadu, ale také její součet, pokud existuje. Nekonečná geometrická řada, ve které 0, je konvergentní, právě když pro její kvocient platí 1. Pro součet konvergentní nekonečné geometrické řady platí 1

37 Posloupnosti 37 Nekonečná geometrická řada Varianta A Periodické číslo 5,487 zapište zlomkem v základním tvaru. Číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru: Uvažujme tedy nekonečnou geometrickou řadu čili řadu Jde o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem 10. Tato řada je konvergentní ( 1) a její součet Takže číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

38 38 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Periodické číslo 0; 8 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 2.) Periodické číslo 0, 370 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 3.) Periodické číslo 1,032 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 4.) Periodické číslo 25,67 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení:

39 Posloupnosti 39 Nekonečná geometrická řada Varianta B Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. 4 Řadu můžeme rozepsat Kvocient tedy je Aby byla řada konvergentní, musí platit Najdeme nulový bod absolutní hodnoty 4 1.) V intervalu ; 4 je výraz v absolutní hodnotě záporný, takže řešíme nerovnici Jmenovatel na levé straně je záporný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem musíme změnit znaménko nerovnosti ; 5 2.) V intervalu 4; je výraz v absolutní hodnotě kladný, takže řešíme nerovnici Jmenovatel na levé straně je kladný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem neměníme znaménko nerovnosti ;

40 40 Posloupnosti Řada je tedy konvergentní pro ; 5 3;. Pak můžeme určit její součet Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; 5 3; ; Příklady k procvičení: 1.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. Řešení: ; ; ) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. 1 2 Řešení: 0; 1; 3.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. Řešení: 0,01; 01; 4.) Řešte rovnici s neznámou Řešení: 0,

41 Posloupnosti 41 Nekonečná geometrická řada Varianta C Nad výškou rovnostranného trojúhelníka je sestrojen rovnostranný trojúhelník, nad jeho výškou je sestrojen rovnostranný trojúhelník atd. Postup se stále opakuje. Jak velký je součet obsahů všech trojúhelníků, má-li strana trojúhelníka délku? Výška v trojúhelníku je Obsah tohoto trojúhelníku tedy je Výška v trojúhelníku je Obsah tohoto trojúhelníku je Určíme kvocient jako podíl obsahů

42 42 Posloupnosti Pak součet řady je Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 3 Příklady k procvičení: 1.) Do čtverce o délce strany je vepsána kružnice, do ní je znovu vepsán čtverec, do tohoto čtverce je vepsána opět kružnice atd. Vypočítejte součet obsahů všech takto získaných čtverců. Řešení: 2 2.) Vypočítejte délku nekonečné spirály, která vznikne spojením bodů,,,, čtvrtkružnicemi. Střed první čtvrtkružnice je v bodě 0; 0, krajní body jsou 4; 0; 0; 4. Střed druhé čtvrtkružnice je v bodě 0; 2, krajní body jsou 0; 4, 2; 2. Střed třetí čtvrtkružnice je v bodě 1; 2, krajní body jsou 2; 2; 1; 1. Střed čtvrté čtvrtkružnice je v bodě 1; 1,5, krajní body jsou 1; 1; 0,5; 1,5. Tento postup stále opakujeme. Řešení: 4 3.) Vypočítejte délku nekonečné lomené čáry, která se skládá z úseček,,,,. Souřadnice krajních bodů úseček jsou 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; 0,75; 0,25; 0,75; 0,25; 0,625 Řešení: 4 4.) V daném rovnostranném trojúhelníku o straně 6 sestrojte kolmici z vrcholu na stranu, patu kolmice označte. Bodem veďte rovnoběžku se stranou, průsečík této rovnoběžky se stranou označte. Patu kolmice z bodu na stranu označte, průsečík strany a rovnoběžky se stranou vedené bodem označte. Patu kolmice z bodu na stranu označte, průsečík strany a rovnoběžky s vedené bodem označte. Tento postup stále opakujte. Vypočítejte délku nekonečné lomené čáry, která vznikne uvedeným způsobem. Řešení:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Autor Mgr. Lenka Střelcová Tematický celek Posloupnosti Cílová skupina 3. ročník SŠ Anotace Materiál má podobu výkladového a pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci osvojí a procvičí využití geometrické

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD15C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MAT-2003 Úloha 4 Posloupnost je zadána pro všechna přirozená čísla n rekurentním vztahem a n+1

MAT-2003 Úloha 4 Posloupnost je zadána pro všechna přirozená čísla n rekurentním vztahem a n+1 MAT-2003 Úloha 4 Posloupnost je zadána pro všechna přirozená čísla n rekurentním vztahem a n+1 =a n 4 a 1 =50. Pro jaké nejmenší přirozené číslo n bude součet prvních n členů záporný? max. 4b, kde Úloha

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole MATEMATIKA MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Maximální Hranice úspěšnosti:

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE 1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol FUNKCE

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více