Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym"

Transkript

1 Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj Adama Pªockiego Nowy S cz 2013

2 Komitet Redakcyjny doc. dr Marek Reichel przewodnicz cy; prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki; dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.; dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.; mgr Agata Witrylak-Leszy«ska Redaktor Naczelny doc. dr Marek Reichel Sekretarz Redakcji dr Tamara Bolanowska-Bobrek Redaktor wydania prof. zw. dr hab. Adam Pªocki Skªad komputerowy (LA T EX) dr Marcin Mazur Recenzenci prof. RNDr. Ji i Cihla, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn Usti nad Labem); doc. RNDr. Roman Fri, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok); RNDr. Alena Kopa ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«); prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków); doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski); prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho eská univerzita ƒeské Bud jovice); dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków) Wydano za zgod JM Rektora PWSZ w Nowym S czu prof. dra hab. in». Zbigniewa lipka Autorzy ponosz odpowiedzialno± za poprawno± j zykow tekstu c Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Nowy S cz 2013 ISBN Adres Redakcji Nowy S cz, ul. Staszica 1 tel , Wydawca Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S czu Nowy S cz, ul. Staszica 1 tel , Druk EXPOL P. Rybi«ski, J. D bek Spóªka Jawna Wªocªawek, ul. Brzeska 4 tel , ,

3 Spis tre±ci Wst p 5 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle Albrechta Dürera 7 Eva Bártková, David Nocar, Kv toslav Bártek, Vyuºití algebraických hyperstruktur p i ur ování d di nosti krevních skupin 31 Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej 41 Ivana Macha íková, Josef Molnár, roubovice v p írod a um ní 71 Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie 93 Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja 105 Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja warsztatów 131 Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej 145 Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným námetom 155 Jana P íhonská, Metody teorie graf p i e²ení problém s bludi- ²ti 167 Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii as 177 Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom umení 187 Radka t pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk z genetiky a stochastiky na základní ²kole 203 Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz tku XX wieku 209 Rastislav Telgársky, Mathematics without innity 223 Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd ºnikov 253 Vladimír Van k, Matematika a po así 261 Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um ní inspirace elementární matematiky 273

4 Dzi kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost pnienie nam materiaªów ikonogra cznych zwi zanych z krakowskimi szopkami. Cz ± z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.

5 Wst p Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s obawy matematyków przed wulgaryzacj matematyki, ilekro prezentuje si j w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne. Tymczasem j zyk matematyki, jej poj cia i twierdzenia wykorzystuje si w innych przedmiotach nauczania (idea wspóªrz dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto matematyka rozwijaªa si i nadal rozwija tak»e dzi ki temu,»e jej poj cia i jej metody s narz dziami opisu realnych obiektów i towarzysz cych im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu stosowania matematyki), a przede wszystkim narz dziami rozwi zywania pozamatematycznych problemów. Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci mi dzynarodow konferencj Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w kszta- ªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra, w której znalazªy si wybrane wyst pienia na tej konferencji. W dydaktyce matematyki wyró»nia si zasad integracji zewn trznej, w której chodzi o ekspansj matematycznych poj i twierdze«na inne przedmioty nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki. O integracji zewn trznej mo»na mówi, gdy tworzymy matematyczny model procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest genotyp potomka). Cz ±ci wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany miast, ogrody, czy place) s takie matematyczne obiekty, jak wielok ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce s liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz t, skorupy ±limaków, proporcje czªowieka). Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni i gaª zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie tych spiral pojawiaj si izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.

6 Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej, pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si w malarstwie, rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj ciu symetrii nadaje si dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi w muzyce. W stochastyce pojawiaj si osobliwe wnioskowania przez symetri (i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa«jedno±ci przyrody. Matematyka pojawia si w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj c do aktywno±ci matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn cych z ludowych haftów (Bobowa na S decczy¹nie, Koniaków na l sku Cieszy«skim), czy wycinanek (Kurpie, Šowicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si o± symetrii lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu. W monograi pojawiª si postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª cza do powszechnego ksztaªcenia matematycznego, ucz c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla tradycji naszych maªych ojczyzn, w których»yjemy). S to wi c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki. W monograi zebrano prace komentuj ce matematyk w przyrodzie i sztuce oraz prace dotycz ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk i sztuk. W tym sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel matematyki). Zebrane w niej prace mog (i maj ) u±wiadomi nauczycielowi, a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc,»e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk. Prezentowane w tej monograi prace maj charakter interdyscyplinarny i potwierdzaj tez Hugona Steinhausa,»e matematyka peªni rol po±rednika mi dzy materi a duchem. Adam Pªocki Nowy S cz, w grudniu 2013 r.

7 Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S cz 2013 roubovice v p írod a um ní Ivana Macha íková 1, Josef Molnár 2 1 Gymnázium Zlín Lesní tvr Lesní tvr , Zlín, ƒeská republika 2 Katedra algebry a geometrie P írodov decká fakulta Univerzita Palackého v Olomouci 17. listopadu , Olomouc, ƒeská republika Abstract The article deals with the denition of the concept of Helix and the occurrence of helixes in architecture, biology and chemistry. Abstrakt ƒlánek se zabývá denicí pojmu Helix a výskyt ²roubovic v architektu e, biologie a chemie. 1. roubovice jako trajektorie bodu V kurikulárních materiálech matematiky základních a st edních ²kol se obvykle pojem ²roubovice neobjevuje. Nalezneme ale tuto k ivku v r zných aplikacích v p írod a um ní? D íve neº odpovíme na tuto otázku, uvedeme si n kolik d leºitých pojm. roubový pohyb vzniká sloºením rovnom rného otá ivého pohybu kolem pevné p ímky o (osy ²roubového pohybu) a rovnom rného posuvného pohybu v jejím sm ru.

8 72 Ivana Macha íková, Josef Molnár roubovice je trajektorie bodu p i ²roubovém pohybu. Je to k ivka, kterou opí²e bod p i rovnom rném pohybu po kruºnici k a sou asném rovnom rném posuvu kruºnice k ve sm ru osy ²roubového pohybu, která prochází st edem kruºnice k kolmo k rovin této kruºnice k. Obr. 1 Osa ²roubového pohybu se nazývá osa ²roubovice. Obr. 2

9 roubovice v p írod a um ní 73 Pozn. 1: roubovice leºí na válcové plo²e. Za speciální p ípady ²roubovice lze povaºovat p ímku o, pop ípad téº kruºnici k. Obr. 3 Pozn. 2: P ímka, kruºnice a ²roubovice jsou jediné tzv. po sob posunovatelné k ivky. V praxi se s tímto jevem m ºeme setkat nap íklad p i zasouvání p ímého me e nebo kruhové ²avle do p ímé i kruhové pochvy. Dv po sob posunutelné ²roubovice nenalezneme v podobné situaci, nýbrº v mírumilovném ²roubu a matici. Obr. 4

10 74 Ivana Macha íková, Josef Molnár Závit ²roubovice je stopou bodu ²roubovice p i oto ení o plný úhel. Velikost odpovídajícího posunutí se nazývá vý²ka závitu. Obr. 5 roubovice je jednozna n ur ena polom rem kruºnice k, vý²kou závitu v a to ivostí (obr. 1). Na obr. 2a) je ²roubovice pravoto ivá, na obr. 2b) levoto ivá. Obr. 6

11 roubovice v p írod a um ní roubovice v innosti lov ka a v p irod Te ny ²roubovice svírají s její osou konstantní úhel, tj. ²roubovice je k ivka konstantního spádu. Obr. 7 Pr m tem ²roubovice do roviny m ºe být nap. kruºnice, sinusoida, cykloida (prodlouºená, prostá i zkrácená), spirála, p ípadn jiná k ivka, viz obr. 3 a 4. Obr. 8

12 76 Ivana Macha íková, Josef Molnár roubovice jsou sou ástí architektury a stavitelství (viz obr. 5, 6, 7), fauny (obr. 8) a ory (obr. 9), techniky (obr. 10) i nap. drhání (macramé, obr. 11). Výskytem ²roubovice v chemických slou eninách se budeme podrobn ji zabývat v následující kapitole. Obr roubovice v chemii V molekulách bílkovin se vyskytují ur ité pravideln uspo ádané úseky (tzv. sekundární struktura bílkovin). Pravidelné sekundární struktury lze popsat jako ²roubovice (helixy), li²ící se pr m rem závitu, jeho stoupáním a smyslem otá ení (mohou být pravo- nebo levoto ivé). Z daných geometrických parametr peptidové vazby a aminokyselinových zbytk m ºeme vytvo it jen omezený po et ²roubovicových konformací. V²em sterickým i energetickým poºadavk m nejlépe vyhovuje tzv. α-²roubovice (α-helix). Jeden její závit je tvo en 3,6 aminokyselinovými zbytky. V²echny skupiny CO a NH peptidových vazeb jsou v této ²roubovici orientovány zhruba rovnob ºn s její dlouhou osou a kaºdá skupina

13 roubovice v p írod a um ní 77 NH je vázána vodíkovou vazbou ke skupin CO o t i zbytky vzdálen j²í (obr. 12). Obr. 10 Sloºení bílkovin s p evahou aminokyselin s malým nebo ºádným postranním et zcem umoº ují vznik ²roubovice, jejíº skupiny NH a CO jsou orientovány kolmo na její osu. Polypeptidový et zec uspo ádaný do takové ²roubovice je v ní dále formován v druhou superponovanou ²roubovici s podstatn vy²²ím stoupáním závitu (superhelix). T i polypeptidové et zce tak vytvá ejí jediný velmi kompaktní vláknitý útvar. Tato struktura je typická pro nejroz²í en j²í ºivo i²nou bílkovinu kolagen. Základní strukturní jednotkou kolagen je tropokolagen, který se skládá ze t í vláken, z nichº kaºdé obsahuje asi aminokyselinových zbytk. Tropokolagen je trojvláknový pravoto ivý helikální prut asi 300 nm dlouhý o pr m ru 1,5 nm (obr. 13). Kaºdý ze t í et zc tvo í levoto ivá ²roubovice s NH a CO skupinami sm rovanými zhruba kolmo na její osu. Kaºdé ze t í vláken tropokolagenového superhelixu vytvá í

14 78 Ivana Macha íková, Josef Molnár vodíkové vazby mezi NH skupinami zbytk glycinu a skupinami CO v jiném vláknu. Obr. 11 Dal²ím p íkladem ²roubovice v chemii je prostorové uspo ádání DNA (sekundární struktura DNA). V roce 1953 vytvo ili J. Watson a F. Crick dnes obecn p ijímaný model molekuly DNA. Skládá se ze dvou et zc svinutých do pravoto ivých ²roubovic kolem pomyslné spole né osy za vzniku dvoj²roubovice (dihelixu, obr. 14). et zce v ní mají opa ný sm r (polaritu) a dopl kovou (komplementární) strukturu. Oba et zce jsou p i tom uspo ádány tak, ºe jejich páte e, sestávající z pentosových kruh a fosfátových zbytk, jsou vn a báze mí í dovnit dihelixu, jejich roviny jsou navzájem rovnob ºné a kolmé na osu dvoj²roubovice. Mezi dvojicemi komplementárních bází se p i tom vytvá ejí vodíkové vazby. Molekula DNA m ºe existovat ve více formách (obr. 15): B-DNA (popsaná Watsonem a Crickem) pravoto ivá, na jeden závit p ipadá 10 nukleotidových zbytk, A-DNA pravoto ivá, na jeden závit p ipadá 11 nukleotidových zbytk, dihelix má jiný pr m r, páry bází jsou posunuty od osy dihelixu a jsou k ní jinak naklon ny,

15 roubovice v p írod a um ní 79 Z-DNA levoto ivá helikální forma s 12 nukleotidovými zbytky p ipadajícími na jeden závit, páte et zce má nepravideln j²í tvar neº u forem A a B. Obr. 12. α-helix Se ²roubovicí se setkáváme i u sekundární struktury polysacharid (obr. 16). roubovice (helix) je obvykle levoto ivá, na její stabilizaci se podílejí vodíkové vazby, hydrofobní interakce i interakce s okolními látkami. S touto konformací se setkáváme u amylosy a n kterých polysacharid pojivových tkání. Po et glukosových jednotek na jeden závit m ºe být 6 aº 8. Obr. 13. Tropokolagen

16 80 Ivana Macha íková, Josef Molnár Jiný p íklad ²roubovice v chemii (p ípadn krystalograi) je ²roubová osa jako prvek prostorové symetrie (obr. 17, 18, 19, 20, 21). Operace prostorové symetrie charakterizují soum rnost struktury krystalu. Obr. 14. Model DNA Nejprve uvádíme n kolik základních pojm z krystalograe. Krystal je homogenní anizotropní diskontinuum (denice mineralogická). Obr. 15. A-DNA (pravoto ivá), B-DNA (pravoto ivá), Z-DNA (levoto ivá)

17 roubovice v p írod a um ní 81 Krystal je hmotný systém, ve kterém kaºdému m íºovému bodu náleºí stejná a stejn orientovaná báze (denice krystalogracká). Tyto denice platí pro klasické krystaly, neplatí pro tzv. kvazikrystaly (nap. tekuté krystaly). Kaºdý krystal musí mít pravidelnou vnit ní strukturu. Obr. 16. Amylosa M íº (m íºka) je mnoºina bod mající stejné okolí. Kaºdou m íº charakterizují m íºkové parametry: délky jednotlivých úse ek a, b, c, úhly α, β, γ. M íº je na rozdíl od struktury ktivní. Obr. 17. roubová osa 3 1

18 82 Ivana Macha íková, Josef Molnár Struktura je m íºka spolu s hmotnou bází, skládá se z ástic (atom, iont ). Obr. 18. roubová osa 3 2 Bu ka je elementární rovnob ºnost n s vrcholy v uzlech m íºe. Je základní stavební jednotkou kaºdé m íºe. Obr. 19. roubová osa 4 1 Zásady výb ru základní bu ky: základní bu ka musí mít stejnou soum rnost jako celá struktura,

19 roubovice v p írod a um ní 83 po et stejných hran a úhl mezi hranami musí být maximální, po et pravých úhl musí být maximální, objem základní bu ky musí být minimální. Obr. 20. roubová osa 4 2 Základní bu ky m ºeme rozd lit podle toho, kolik uzl p ipadá na jejich objem: P (R) - primitivní (prostá), A, B, C - jednodu²e (bazáln ) centrovaná, F - plo²n centrovaná, I - prostorov centrovaná. Obr. 21. roubová osa 4 3

20 84 Ivana Macha íková, Josef Molnár Primitivní bu ka obsahuje uzly pouze ve svých osmi vrcholech na objem primitivní bu ky p ipadá jeden uzel. T lesn (prostorov ) centrovaná bu ka obsahuje krom osmi uzl ve vrcholech je²t jeden uzel v pr se íku t lesových úhlop í ek na objem t lesn centrované bu ky p ipadají dva uzly. Bo n (bazáln ) centrovaná bu ka je krom osmi uzl ve vrcholech tvo ena dal²í dvojicí uzl, které leºí ve st edu dvou protilehlých st n na objem bazáln centrované bu ky p ipadají op t dva uzly. Plo²n centrovaná bu ka je tvo ena osmi uzly ve vrcholech a ²esti uzly ve st edech v²ech ²esti st n na objem plo²n centrované bu ky p ipadají ty i uzly. Existuje 14 typ strukturních m íºek, jimº odpovídá 14 základních bun k, které ozna ujeme jako Bravaisovy bu ky (obr. 22). Obr. 22. Bravaisovy bu ky (1 - trojklonná, 2 - jednoklonná, 3 - koso tvere ná, 4 - klencová, 5 - ²estere ná, 6 - tvere ná, 7 - krychlová soustava)

21 roubovice v p írod a um ní 85 Operace symetrie je taková transformace útvaru, aby nový stav (obraz) byl nerozli²itelný od p vodního (vzoru). Prvek symetrie je geometrický prvek (bod, p ímka, rovina), v i n muº provádíme p íslu²nou operaci symetrie. Prvek symetrie je invariantní vzhledem k této operaci symetrie. Mnoºina v²ech operací symetrie dané molekuly spolu s operací skládání tvo í grupu. Tuto grupu nazýváme grupa symetrie. Pokud provádíme operace symetrie s izolovanou molekulou, vºdy z stává n jaký bod beze zm ny (nepohyblivý), operace symetrie dané molekuly tvo í bodovou grupu symetrie. U bodové grupy symetrie z stává alespo jeden bod nezm n n, neuvaºuje se translace. Je vhodná pro popis geometrických t les, molekul. Prostorová grupa symetrie neponechává ºádný bod v identické poloze, uvaºuje se translace (posunutí). Je vhodná k popisu krystalových struktur. operace prvek symbol symbol (Schoenies) (Hermann-Maugin) identita identita E 1 (ponechání beze zm ny) inverze st ed symetrie i 1 rotace o 360 zrcadlení (reexe) rotace + zrcadlení rotace + inverze n n- etná rota ní osa rovina symetrie rota n reexní osa rota n inverzní osa C n σ S n n m ñ C ni n Tab. 1. P ehled operací a prvk bodové symetrie

22 86 Ivana Macha íková, Josef Molnár Prostorová symetrie obsahuje navíc translaci, takºe máme dva dal²í prvky symetrie, a to ²roubovou osu a skluznou rovinu. roubové osy symetrie jsou sloºené prvky symetrie. P íslu²né operace symetrie se skládají z: rotace o úhel α = 360, n translace podél denovaného vektoru ve sm ru této osy. Osa musí být rovnob ºná s libovolnou m íºkovou translací struktury. Sm r rotace ²roubové osy je velmi d leºitý, vychází se z pravoto ivého systému os, takºe pravoto ivá ²roubová osa ve sm ru z má transla ní vektor ve stejném sm ru vzh ru (tj. ve sm ru palce pravé ruky, kdy prsty nazna ují rota ní pohyb od osy x k y). operace prvek symbol rotace + translace ²roubová osa n k zrcadlení + translace skluzná rovina a, b, c, n, d Tab. 2. Operace a prvky prostorové symetrie Máme-li n- etnou rota ní osu symetrie, pak n oto ení o úhel α = 360 n doprovázených n translacemi τ podél ²roubové osy musí vést k transla nímu pohybu výchozího objektu (atom, molekula) o celo íselný násobek (m) m íºové translace t: nτ = mt nebo τ = m n t, kde m, n jsou celá ísla. Obecn lze vyjád it symbol ²roubové osy jako n m. Transla ní sloºky ²roubových os symetrie závisí na etnosti osy a mohou nabývat jen ur itých hodnot (hodnota v závorce ozna uje transla ní sloºku). P ehled ²roubových os (obr. 23): dvoj etná osa 2 0, 2 1 ( 1 2 ), 2 2, troj etná osa 3 0, 3 1 ( 1 3 ), 3 2 ( 2 3 ), 3 3, ty etná osa 4 0, 4 1 ( 1 4 ), 4 2 ( 2 4 ), 4 3 ( 3 4 ), 4 4, ²esti etná osa 6 0, 6 1 ( 1 6 ), 6 2 ( 2 6 ), 6 3 ( 3 6 ), 6 4 ( 4 6 ), 6 5 ( 5 6 ), 6 6.

23 roubovice v p írod a um ní 87 Dolní index zna í hodnotu m z vý²e uvedeného vztahu. Je-li m = 0, jde o istou rotaci, v p ípad, ºe je m = n, jde o istou translaci. Obr. 23. roubové osy Skluzné roviny symetrie (roviny posunutého zrcadlení) jsou prvky symetrie, kdy p íslu²nými operacemi je zrcadlení kombinované s translací podél roviny zrcadlení. Podle sm ru a velikosti translace rozli²ujeme skluzné roviny osní, diagonální a diamantové. Osní skluzné roviny (zna- íme a, b, c podle os) zrcadlení je provázeno posunutím o 1a (p íp. 2 1 b, 1 c). Úhlop í né skluzné roviny (zna ení n) zrcadlení je provázeno 2 2 posunutím o polovinu st nové úhlop í ky plo²n centrované bu ky, tedy o (p íp., ). Diamantové skluzné roviny (zna ení d) zrcadlení a+b b+c a+c 2 2 2

24 88 Ivana Macha íková, Josef Molnár je provázeno posunutím o tvrtinu st nové úhlop í ky plo²n centrované bu ky, tedy o a±b (p íp. b±c, a±c) Obr. 24. Krystalogracké soustavy tvary krystal Operace bodové symetrie a jejich moºné kombinace tvo í celkem 32 bodových grup. Bodovými grupami lze charakterizovat symetrii vn j²ího tvaru krystalu existuje 32 krystalograckých odd lení, která se rozd lují do sedmi krystalograckých soustav (obr. 24). Obr. 25. Struktura krystalu uorit CaF 2

25 roubovice v p írod a um ní 89 V roce 1890 E. S. Fedorov odvodil v²echny moºné kombinace prvk symetrie v prostoru. E. S. Fedorov, A. Schoenies, W. Barlow dokázali, ºe prostorových grup symetrie je 230. Jedná se o kombinaci v²ech moºných transformací krystalové struktury, takºe prostorová grupa charakterizuje soum rnost struktury krystalu (obr. 25 a 26). Celkový po et prostorových grup zahrnuje v²echny kombinace transla ních i beztransla ních operací symetrie, které jsou p ípustné ve 14 Bravaisových bu kách. Existuje tedy 230 moºností, jak se m ºe libovolný motiv opakovat v prostoru. Obr. 26. Struktura krystalu k emen SiO 2 4. Obecná ²roubovice roubovice leºí na rota ní válcové plo²e, tedy vzdálenost vytvá ejícího bodu ²roubovice od osy p íslu²ného rota ního pohybu je konstantní. O obecné ²roubovici mluvíme v p ípad, ºe se vzdálenost tvo-

26 90 Ivana Macha íková, Josef Molnár ícího bodu od osy p íslu²ného rota ního pohybu m ºe spojit m nit, typickým p íkladem je obecná ²roubovice leºící na rota ní kuºelové plo²e (viz obr. 27). Zajímavá ukázka obecné ²roubovice je na obrázku 28. Obr Záv r Ukázali jsme si jen malý zlomek situací, kde se m ºeme se ²roubovicí setkat. Ale i to dle na²eho názoru sta í k tomu, aby se o ²roubovicích

27 roubovice v p írod a um ní 91 a jejich uºití dov d li ºáci (zejména technických) st edních ²kol, by jen ve volitelné i nepovinné matematice nebo v deskriptivní geometrii. Obr. 28 Reference [1] B ezina F. a kol., Stereochemie a n které fyzikáln chemické metody studia anorganických látek. Vydavatelství UP, Olomouc [2] Graf U., Kabaret matematiky. Orbis, Praha 1943.

28 92 Ivana Macha íková, Josef Molnár [3] Macha íková I., Molnár J., Grupy symetrie molekul. In: Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztalceniu powszechnym. Wydawnictwo PWSZ, Nowy S cz 2012, s , ISBN [4] Urban A., Deskriptivní geometrie II. SNTL, Praha [5] Vodráºka Z., Biochemie 1. Academia, Praha 1992, ISBN [6] Vodráºka Z., Biochemie 2. Academia, Praha 1992, ISBN [7] Zimák J., Mineralogie a petrograe. Vydavatelství UP, Olomouc [8] bilko-viny_-_periodicke_motivy.html [9] [10] [11] [12] [13] symet-rie.htm [14] [15] [16] Zpracováno v rámci e²ení projektu CZ 1.07/1.1.0/ "Matematika pro v²echny".

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj Adama Pªockiego Nowy S cz 2013 Komitet Redakcyjny

Více

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

4. KRYSTALOGRAFIE A KRYSTALOCHEMIE 4.1. Geometrie krystalových mříží

4. KRYSTALOGRAFIE A KRYSTALOCHEMIE 4.1. Geometrie krystalových mříží 4. KRYSTALOGRAFIE A KRYSTALOCHEMIE 4.1. Geometrie krystalových mříží Základní pojmy: Struktura krystalu Konkrétní rozmístění stavebních částic (atomů, iontů) krystalických látek v prostoru nazýváme strukturou

Více

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině): Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).

Více

ZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY

ZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY 1 Souřadnice, body 1.1 Prostor prostor můžeme chápat jako nějaké prostředí, ve kterém můžeme mít různé věci na různých místech místo, poloha - tohle potřebujeme nějak popsat abychom mohli změřit nebo říci,

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Kótování na strojnických výkresech 1.část

Kótování na strojnických výkresech 1.část Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických

Více

BÍLKOVINY. Autor: Mgr. Stanislava Bubíková. Datum (období) tvorby: 15. 2. 2013. Ročník: devátý

BÍLKOVINY. Autor: Mgr. Stanislava Bubíková. Datum (období) tvorby: 15. 2. 2013. Ročník: devátý BÍLKOVINY Autor: Mgr. Stanislava Bubíková Datum (období) tvorby: 15. 2. 2013 Ročník: devátý Vzdělávací oblast: Člověk a příroda / Chemie / Organické sloučeniny 1 Anotace: Žáci se seznámí s oblastmi chemického

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 5. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava

Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava na běžeckých lyžích Základními prvky nazýváme prvky elementární přípravy a pohybových dovedností, jejichž zvládnutí

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník

Více

Autodesk Inventor 8 vysunutí

Autodesk Inventor 8 vysunutí Nyní je náčrt posazen rohem do počátku souřadného systému. Autodesk Inventor 8 vysunutí Následující text popisuje vznik 3D modelu pomocí příkazu Vysunout. Vyjdeme z náčrtu na obrázku 1. Obrázek 1: Náčrt

Více

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3) Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech Vypracoval: Michal Drašnar Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že

Více

TÉMATICKÝ PLÁN OSV. čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

TÉMATICKÝ PLÁN OSV. čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti TÉMATICKÝ PLÁN MA 1.ročník Očekávaný výstup /dle RVP/ Žák: Konkretizace výstupu, učivo, návrh realizace výstupu PT Číslo a početní operace používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá

Více

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.

Více

Šroubovice a šroubové plochy

Šroubovice a šroubové plochy Šroubovice a šroubové plochy Mgr. Jan Šafařík Přednáška č. 10 11 přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 Literatura Základní literatura: Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

Integrovaná střední škola, Hlaváčkovo nám. 673, Slaný

Integrovaná střední škola, Hlaváčkovo nám. 673, Slaný Označení materiálu: VY_32_INOVACE_STEIV_FYZIKA1_17 Název materiálu: Kinetická teorie látek. Tematická oblast: Fyzika 1.ročník Anotace: Prezentace slouží k výuce struktury a vlastnosti látek, složení pevných,

Více

Nukleové kyseliny. Struktura DNA a RNA. Milada Roštejnská. Helena Klímová

Nukleové kyseliny. Struktura DNA a RNA. Milada Roštejnská. Helena Klímová ukleové kyseliny Struktura DA a RA Milada Roštejnská elena Klímová bsah Typy nukleových kyselin DA a RA jsou tvořeny z nukleotidů Jaký je rozdíl mezi nukleotidem a nukleosidem? Fosfodiesterová vazba Komplementarita

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo

Více

5. VÝROBNÍ STROJE. 5.1. Dělení výrobních strojů

5. VÝROBNÍ STROJE. 5.1. Dělení výrobních strojů 5. VÝROBNÍ STROJE Ke správnému porozumění obsahu této kapitoly je vhodné připomenout význam některých pojmů: Stroj je obecně mechanické zařízení, které má za cíl usnadnění, zrychlení a zpřesnění lidské

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 4.3 HŘÍDELOVÉ SPOJKY Spojky jsou strojní části, kterými je spojen hřídel hnacího ústrojí s hřídelem ústrojí

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

stavební kostičky, z těch vše sestaví TESELACE chybí měřítko na velikosti kostiček nezáleží krystalografie na vědeckém základě

stavební kostičky, z těch vše sestaví TESELACE chybí měřítko na velikosti kostiček nezáleží krystalografie na vědeckém základě René Hauy otec moderní krystalografie islandský živec stejné částečky (stejné úhly, plochy) 1781 prezentace pro fr. akademii věd hlubší studium i dalších krystalů: krystaly stejného složení mají stejný

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz

doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz doc. Dr. Ing. Elias TOMEH e-mail: elias.tomeh@tul.cz Elias Tomeh / Snímek 1 Nevyváženost rotorů rotačních strojů je důsledkem změny polohy (posunutí, naklonění) hlavních os setrvačnosti rotorů vzhledem

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Opakování z minula Materiál Degradační procesy Vnitřní stavba atomy, vazby Krystalické, amorfní, semikrystalické Vlastnosti materiálů

Více

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数 A absolutní člen 常 量 成 员 absolutní hodnota čísla 绝 对 值 algebraický výraz 代 数 表 达 式 ar 公 亩 aritmetický průměr 算 术 均 数 aritmetika 算 术, 算 法 B boční hrana 侧 棱 boční hrany jehlanu 角 锥 的 侧 棱 boční stěny jehlanu

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Vazebné interakce protein s DNA

Vazebné interakce protein s DNA Vazebné interakce protein s DNA Vazebné možnosti vn jší vazba atmosféra + iont kolem nabité DNA vazba ve žlábku van der Waalsovský kontakt s lé ivem ve žlábku interkalace vmeze ení planárního aromat.

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Plochy stavebně-inženýrské praxe

Plochy stavebně-inženýrské praxe Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent

Více

Symetrie molekul a stereochemie

Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul a stereochemie Symetrie molekul Operace symetrie Bodové grupy symetrie Optická aktivita Stereochemie izomerie Symetrie Prvky a operace symetrie výchozí

Více

Průniky rotačních ploch

Průniky rotačních ploch Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Průniky rotačních ploch Vypracoval: Vojtěch Trnka Třída: 8. M Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Česká pedagogická společnost

Česká pedagogická společnost Česká pedagogická společnost SJEZD ČESKÉ PEDAGOGICKÉ SPOLEČNOSTI - USNESENÍ Praha, Pedagogická fakulta UK 16. 2. 2011 Sjezd České pedagogické společnosti se konal dne 16. února 2011 v Praze na Pedagogické

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita V.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol Téma V.2.5 Karosářské Know how (Vědět jak) Kapitola

Více

Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvíjení klíčových kompetencí žáků

Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu. Výchovné a vzdělávací strategie pro rozvíjení klíčových kompetencí žáků Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení Charakteristika vyučovacího předmětu 1.-2. ročník 4 hodiny týdně 3.-5. ročník 5 hodin týdně Vzdělávací obsah

Více

PROUDĚNÍ V SEPARÁTORU S CYLINDRICKOU GEOMETRIÍ

PROUDĚNÍ V SEPARÁTORU S CYLINDRICKOU GEOMETRIÍ PROUDĚNÍ V SEPARÁTORU S CYLINDRICKOU GEOMETRIÍ Autoři: Ing. Zdeněk CHÁRA, CSc., Ústav pro hydrodynamiku AV ČR, v. v. i., e-mail: chara@ih.cas.cz Ing. Bohuš KYSELA, Ph.D., Ústav pro hydrodynamiku AV ČR,

Více

Základní škola a mateřská škola, Ostrava-Hrabůvka, Mitušova 16, příspěvková organizace Školní vzdělávací program 2. stupeň, Matematika.

Základní škola a mateřská škola, Ostrava-Hrabůvka, Mitušova 16, příspěvková organizace Školní vzdělávací program 2. stupeň, Matematika. Matematika Matematika pro žáky 6. až 9. ročníku napomáhá k rozvoji paměti, logického myšlení, kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím matematických problémů. Žáci si prostřednictvím

Více

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 - Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH

ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH Vypracoval: Jan Vojtíšek Třída: 8.M Školní rok: 2011/2012 Seminář: Aplikace Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou ročníkovou práci napsal samostatně a

Více

1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací.

1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací. 1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací. Skříň rozvodovky spojena s rámem zmenšení neodpružené hmoty. Přenos točivého momentu

Více

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................

Více

KINEMATICKÉ ELEMENTY K 5 PLASTOVÉ. doc. Ing. Martin Hynek, Ph.D. a kolektiv. verze - 1.0

KINEMATICKÉ ELEMENTY K 5 PLASTOVÉ. doc. Ing. Martin Hynek, Ph.D. a kolektiv. verze - 1.0 Katedra konstruování stroj Fakulta strojní K 5 PLASTOVÉ KINEMATICKÉ ELEMENTY doc. Ing. Martin Hynek, Ph.D. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpo

Více

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část Základy sálavého vytápění (2162063) 7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část 30. 3. 2016 Ing. Jindřich Boháč Obsah přednášek ZSV 1. Obecný úvod o sdílení tepla 2. Tepelná pohoda 3. Velkoplošné

Více

Výroba ozubených kol. Použití ozubených kol. Převody ozubenými koly a tvary ozubených kol

Výroba ozubených kol. Použití ozubených kol. Převody ozubenými koly a tvary ozubených kol Výroba ozubených kol Použití ozubených kol Ozubenými koly se přenášejí otáčivé pohyby a kroutící momenty. Přenos je zde nucený, protože zuby a zubní mezery do sebe zabírají. Kola mohou mít vnější nebo

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce ƒeské Bud jovice, 2014 Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod..................................

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Volitelný předmět Matematický seminář ročník 8.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Volitelný předmět Matematický seminář ročník 8. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Volitelný předmět Matematický seminář ročník 8. Výuka matematického semináře bude probíhat jednou týdně v dvouhodinovém bloku.

Více

brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika

brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika P edná²ka. 6 Petr Baudi² pasky@ucw.cz brmlab 2011 Outline 1 Pravd podobnost 2 Um lá inteligence 3 Sloºitost 4 Datové struktury Pravd podobnost Pravd

Více

1.9.5 Středově souměrné útvary

1.9.5 Středově souměrné útvary 1.9.5 Středově souměrné útvary Předpoklady: 010904 Př. 1: V obdélníkových rámech jsou nakresleny tři obrázky. Každý je sestaven z jedné přímky a jednoho obdélníku. Jeden z obrázků je středově souměrný.

Více

TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI. Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót

TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI. Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót KÓTOVÁNÍ Kótování jednoznačné určení rozměrů a umístění všech tvarových podrobností

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

Bod, přímka a rovina. bezrozměrnost, jeden rozměr a dva rozměry

Bod, přímka a rovina. bezrozměrnost, jeden rozměr a dva rozměry Úvod Posvátná geometrie mapuje rozkrývání významu čísel v prostoru. Základní trasa vede z izolovaného bodu do přímky, následuje rozprostření do roviny, poté do třetího rozměru, ba až za jeho hranice, a

Více

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod.................................. 2 1.2 Didaktické zásady.......................... 3 2 Pouºití výukových modul

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita V.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných kompetencí žáků středních škol Téma V.2.5 Karosářské Know how (Vědět jak) Kapitola

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

Dynamika tuhých těles

Dynamika tuhých těles Dynamika tuhých těles V reálných technických aplikacích lze model bodového tělesa použít jen v omezené míře. Mnohem častější je použití modelu tuhého tělesa. Tuhé těleso je definováno jako těleso, u něhož

Více

OSV TLOVACÍ STO ÁR TVS 01, 02

OSV TLOVACÍ STO ÁR TVS 01, 02 OSV TLOVACÍ STO ÁR TVS 01, 02 Specifikace: eská výroba Nízké po izovací náklady Snadná údr ba a ovladatelnost Vysoký komfort obsluhy iroký okruh pou ití Vysoká flexibilita k po adavk m zákazníka Zástavbová

Více

PO ÁRNÍ ZPRÁVA. K projektu na akci: "Prodejní d ev ný stánek firmy KONRÁD, spol. s r.o."

PO ÁRNÍ ZPRÁVA. K projektu na akci: Prodejní d ev ný stánek firmy KONRÁD, spol. s r.o. PROPOS Slabyhoud Sokolská 3720, Chomutov PO ÁRNÍ ZPRÁVA K projektu na akci: "Prodejní d ev ný stánek firmy KONRÁD, spol. s r.o." Chomutov, kv ten 2005 Vypracoval: Ing. P. Slabyhoud Sokolská 3720 Chomutov

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE 1. Přehled možností programu 1.1. Hlavní okno Hlavní okno programu se skládá ze čtyř karet : Projekt, Zadání, Výsledky a Návrhový

Více

ROBOTIKA. univerzální Rozdělení manipulačních zařízení podle způsobu řízení: jednoúčelové manipulátory

ROBOTIKA. univerzální Rozdělení manipulačních zařízení podle způsobu řízení: jednoúčelové manipulátory ROBOTIKA je obor zabývající se teorií, konstrukcí a využitím robotů slovo robot bylo poprvé použito v roce 1920 ve hře Karla Čapka R.U.R (Rossum s Universal Robots pro umělou bytost) Robot je stroj, který

Více

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

účetních informací státu při přenosu účetního záznamu,

účetních informací státu při přenosu účetního záznamu, Strana 6230 Sbírka zákonů č. 383 / 2009 Částka 124 383 VYHLÁŠKA ze dne 27. října 2009 o účetních záznamech v technické formě vybraných účetních jednotek a jejich předávání do centrálního systému účetních

Více

Interní norma 46-108-01/01 Doporučený postup tvorby příčných řezů. Měkké a tvrdé řezy.

Interní norma 46-108-01/01 Doporučený postup tvorby příčných řezů. Měkké a tvrdé řezy. Předmluva Postup tvorby příčných řezů byl vypracován v rámci Výzkumného centra Textil a schválen oponentním řízením dne 16.12. 2002. Předmět normy V interní normě je popsán doporučený postup tvorby měkkých

Více

Definice tolerování. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka

Definice tolerování. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Téma: geometrické tolerance 1) Definice geometrických tolerancí 2) Všeobecné geometrické tolerance 3) Základny geometrických tolerancí 4) Druhy geometrických

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka modern

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka modern St ední pr myslová škola strojnická Olomouc, t. 17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka modern Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 P írodov dné

Více

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace

Více

ROZDĚLENÍ ČERPADEL (viz Osnova: HS-00 /kap.1.1) Hydrodynamická čerpadla. Hydrostatická čerpadla

ROZDĚLENÍ ČERPADEL (viz Osnova: HS-00 /kap.1.1) Hydrodynamická čerpadla. Hydrostatická čerpadla ROZDĚLENÍ ČERPADEL (viz Osnova: HS-00 /kap.1.1) Hydrodynamická čerpadla odstředivá axiální obvodová labyrintová kombinovaná radiální diagonální Hydrostatická čerpadla rotační s kmitavým pohybem peristaltická

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

SPOJE ŠROUBOVÉ. Mezi nejdůleţitější geometrické charakteristiky závitů patří tyto veličiny:

SPOJE ŠROUBOVÉ. Mezi nejdůleţitější geometrické charakteristiky závitů patří tyto veličiny: SPOJE ŠROUBOVÉ Šroubové spoje patří mezi nejstarší a nejpoužívanější rozebíratelné spoje se silovým stykem. Všechny spojovací součástky šroubových i ostatních rozebíratelných spojů jsou normalizované.

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Anemometrické metody Učební text Ing. Bc. Michal Malík Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl v rámci

Více

Fotogrammetrie a DPZ soustava cílů

Fotogrammetrie a DPZ soustava cílů Fotogrammetrie a DPZ soustava cílů obecný cíl Studenti kurzu se seznámí se základy fotogrammetrie se zaměřením na výstupy (produkty) a jejich tvorbu. Výstupy, se kterými by se ve své praxi v oblasti životního

Více

Snímače tlaku a síly. Snímače síly

Snímače tlaku a síly. Snímače síly Snímače tlaku a síly Základní pojmy Síla Moment síly Tlak F [N] M= F.r [Nm] F p = S [ Pa; N / m 2 ] 1 bar = 10 5 Nm -2 1 torr = 133,322 Nm -2 (hydrostatický tlak rtuťového sloupce 1 mm) Atmosférický (barometrický)

Více

Sazba zdrojových kód. Jakub Kadl ík 20. 03. 2014

Sazba zdrojových kód. Jakub Kadl ík 20. 03. 2014 Sazba zdrojových kód Jakub Kadl ík 20. 03. 2014 1 Obsah 1 Základní prost edí verbatim 3 2 Balí ek listings 3 3 Sazba kódu z externího souboru 5 4 Téma Solarized 5 4.1 Solarized light.............................

Více

-1- N á v r h ČÁST PRVNÍ OBECNÁ USTANOVENÍ. 1 Předmět úpravy

-1- N á v r h ČÁST PRVNÍ OBECNÁ USTANOVENÍ. 1 Předmět úpravy -1- I I. N á v r h VYHLÁŠKY ze dne 2009 o účetních záznamech v technické formě vybraných účetních jednotek a jejich předávání do centrálního systému účetních informací státu a o požadavcích na technické

Více

Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny

Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny cvičení Dřevěné konstrukce Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny Úvodní poznámky Styčníkové desky s prolisovanými trny se používají pro spojování dřevěných prvků stejné tloušťky v jedné rovině,

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 7. ročník J.Coufalová : Matematika pro 7.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko, J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 7.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje

Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje Šroubové spoje Šrouby jsou nejčastěji používané strojní součástí a neexistuje snad stroj, kde by se nevyskytovaly. Mimo šroubů jsou u některých šroubových spojů

Více

MECHANIKA TUHÉ TĚLESO

MECHANIKA TUHÉ TĚLESO Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí gymnaziálního vzělávání je spolufinancován Evropským sociálním fonem a státním rozpočtem České republiky. Implementace ŠVP MECHANIKA TUHÉ TĚLESO Učivo - Tuhé těleso

Více

- 1 - Vzdělávací oblast : matematika a její aplikace Vyučovací předmět : : matematika Ročník: 3.

- 1 - Vzdělávací oblast : matematika a její aplikace Vyučovací předmět : : matematika Ročník: 3. - 1 - Vzdělávací oblast : matematika a její aplikace Vyučovací předmět : : matematika Ročník: 3. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Výstup Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Zápis čísel. Čtení a zápisy

Více

ASYNCHRONNÍ STROJ. Trojfázové asynchronní stroje. n s = 60.f. Ing. M. Bešta

ASYNCHRONNÍ STROJ. Trojfázové asynchronní stroje. n s = 60.f. Ing. M. Bešta Trojfázové asynchronní stroje Trojfázové asynchronní stroje někdy nazývané indukční se většinou provozují v motorickém režimu tzn. jako asynchronní motory (zkratka ASM). Jsou to konstrukčně nejjednodušší

Více

MĚSTSKÁ ČÁST PRAHA 3 Rada městské části U S N E S E N Í

MĚSTSKÁ ČÁST PRAHA 3 Rada městské části U S N E S E N Í č.j.: 185/2015 MĚSTSKÁ ČÁST PRAHA 3 Rada městské části U S N E S E N Í č. 160 ze dne 09.03.2015 Smlouva o spolupráci při revitalizaci Kostnického náměstí s Dopravním podnikem hl. m. Prahy, akciová společnost

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ. Moderní způsoby strojního obrábění na frézkách a horizontálních vyvrtávačkách

ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ. Moderní způsoby strojního obrábění na frézkách a horizontálních vyvrtávačkách Projekt: ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ Téma: Moderní způsoby strojního obrábění na frézkách a horizontálních vyvrtávačkách Obor: Nástrojař Ročník: 2. Zpracoval(a): Pavel Rožek Střední průmyslová škola

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět: Období ročník: Učební texty: Matematika 2. období 4. ročník R. Blažková: Matematika pro 3. ročník ZŠ (3. díl) (Alter) R. Blažková: Matematika pro 4. ročník ZŠ (1. díl) (Alter) J. Jurtová:

Více

PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ

PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ Charakteristika a použití Příhradový regál SUPERBUILD je určen pro zakládání všech druhů palet, přepravek a beden všech rozměrů a pro ukládání kusového, volně

Více

Fyzika v lékárničce. Experiment ve výuce fyziky Školská fyzika 2013

Fyzika v lékárničce. Experiment ve výuce fyziky Školská fyzika 2013 Fyzika v lékárničce Josef Trna 1, Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity Brno, Gymnázium Boskovice, ZŠ Lysice Článek je rozšířením příspěvku autora na Veletrhu nápadů učitelů fyziky 6. Sborník příspěvků

Více