Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Transkript

1 Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj Adama Pªockiego Nowy S cz 2013

2 Komitet Redakcyjny doc. dr Marek Reichel przewodnicz cy; prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki; dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.; dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.; mgr Agata Witrylak-Leszy«ska Redaktor Naczelny doc. dr Marek Reichel Sekretarz Redakcji dr Tamara Bolanowska-Bobrek Redaktor wydania prof. zw. dr hab. Adam Pªocki Skªad komputerowy (LA T EX) dr Marcin Mazur Recenzenci prof. RNDr. Ji i Cihla, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn Usti nad Labem); doc. RNDr. Roman Fri, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok); RNDr. Alena Kopa ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«); prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków); doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski); prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho eská univerzita ƒeské Bud jovice); dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków) Wydano za zgod JM Rektora PWSZ w Nowym S czu prof. dra hab. in». Zbigniewa lipka Autorzy ponosz odpowiedzialno± za poprawno± j zykow tekstu c Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Nowy S cz 2013 ISBN Adres Redakcji Nowy S cz, ul. Staszica 1 tel , briw@pwsz-ns.edu.pl Wydawca Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S czu Nowy S cz, ul. Staszica 1 tel , briw@pwsz-ns.edu.pl Druk EXPOL P. Rybi«ski, J. D bek Spóªka Jawna Wªocªawek, ul. Brzeska 4 tel , , sekretariat@expol.home.pl

3 Spis tre±ci Wst p 5 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle Albrechta Dürera 7 Eva Bártková, David Nocar, Kv toslav Bártek, Vyuºití algebraických hyperstruktur p i ur ování d di nosti krevních skupin 31 Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej 41 Ivana Macha íková, Josef Molnár, roubovice v p írod a um ní 71 Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie 93 Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja 105 Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja warsztatów 131 Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej 145 Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným námetom 155 Jana P íhonská, Metody teorie graf p i e²ení problém s bludi- ²ti 167 Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii as 177 Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom umení 187 Radka t pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk z genetiky a stochastiky na základní ²kole 203 Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz tku XX wieku 209 Rastislav Telgársky, Mathematics without innity 223 Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd ºnikov 253 Vladimír Van k, Matematika a po así 261 Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um ní inspirace elementární matematiky 273

4 Dzi kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost pnienie nam materiaªów ikonogra cznych zwi zanych z krakowskimi szopkami. Cz ± z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.

5 Wst p Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s obawy matematyków przed wulgaryzacj matematyki, ilekro prezentuje si j w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne. Tymczasem j zyk matematyki, jej poj cia i twierdzenia wykorzystuje si w innych przedmiotach nauczania (idea wspóªrz dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto matematyka rozwijaªa si i nadal rozwija tak»e dzi ki temu,»e jej poj cia i jej metody s narz dziami opisu realnych obiektów i towarzysz cych im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu stosowania matematyki), a przede wszystkim narz dziami rozwi zywania pozamatematycznych problemów. Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci mi dzynarodow konferencj Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w kszta- ªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra, w której znalazªy si wybrane wyst pienia na tej konferencji. W dydaktyce matematyki wyró»nia si zasad integracji zewn trznej, w której chodzi o ekspansj matematycznych poj i twierdze«na inne przedmioty nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki. O integracji zewn trznej mo»na mówi, gdy tworzymy matematyczny model procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest genotyp potomka). Cz ±ci wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany miast, ogrody, czy place) s takie matematyczne obiekty, jak wielok ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce s liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz t, skorupy ±limaków, proporcje czªowieka). Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni i gaª zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie tych spiral pojawiaj si izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.

6 Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej, pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si w malarstwie, rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj ciu symetrii nadaje si dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi w muzyce. W stochastyce pojawiaj si osobliwe wnioskowania przez symetri (i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa«jedno±ci przyrody. Matematyka pojawia si w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj c do aktywno±ci matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn cych z ludowych haftów (Bobowa na S decczy¹nie, Koniaków na l sku Cieszy«skim), czy wycinanek (Kurpie, Šowicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si o± symetrii lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu. W monograi pojawiª si postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª cza do powszechnego ksztaªcenia matematycznego, ucz c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla tradycji naszych maªych ojczyzn, w których»yjemy). S to wi c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki. W monograi zebrano prace komentuj ce matematyk w przyrodzie i sztuce oraz prace dotycz ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk i sztuk. W tym sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel matematyki). Zebrane w niej prace mog (i maj ) u±wiadomi nauczycielowi, a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc,»e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk. Prezentowane w tej monograi prace maj charakter interdyscyplinarny i potwierdzaj tez Hugona Steinhausa,»e matematyka peªni rol po±rednika mi dzy materi a duchem. Adam Pªocki Nowy S cz, w grudniu 2013 r.

7 Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S cz 2013 roubovice v p írod a um ní Ivana Macha íková 1, Josef Molnár 2 1 Gymnázium Zlín Lesní tvr Lesní tvr , Zlín, ƒeská republika machacikova@gymzl.cz 2 Katedra algebry a geometrie P írodov decká fakulta Univerzita Palackého v Olomouci 17. listopadu , Olomouc, ƒeská republika josef.molnar@upol.cz Abstract The article deals with the denition of the concept of Helix and the occurrence of helixes in architecture, biology and chemistry. Abstrakt ƒlánek se zabývá denicí pojmu Helix a výskyt ²roubovic v architektu e, biologie a chemie. 1. roubovice jako trajektorie bodu V kurikulárních materiálech matematiky základních a st edních ²kol se obvykle pojem ²roubovice neobjevuje. Nalezneme ale tuto k ivku v r zných aplikacích v p írod a um ní? D íve neº odpovíme na tuto otázku, uvedeme si n kolik d leºitých pojm. roubový pohyb vzniká sloºením rovnom rného otá ivého pohybu kolem pevné p ímky o (osy ²roubového pohybu) a rovnom rného posuvného pohybu v jejím sm ru.

8 72 Ivana Macha íková, Josef Molnár roubovice je trajektorie bodu p i ²roubovém pohybu. Je to k ivka, kterou opí²e bod p i rovnom rném pohybu po kruºnici k a sou asném rovnom rném posuvu kruºnice k ve sm ru osy ²roubového pohybu, která prochází st edem kruºnice k kolmo k rovin této kruºnice k. Obr. 1 Osa ²roubového pohybu se nazývá osa ²roubovice. Obr. 2

9 roubovice v p írod a um ní 73 Pozn. 1: roubovice leºí na válcové plo²e. Za speciální p ípady ²roubovice lze povaºovat p ímku o, pop ípad téº kruºnici k. Obr. 3 Pozn. 2: P ímka, kruºnice a ²roubovice jsou jediné tzv. po sob posunovatelné k ivky. V praxi se s tímto jevem m ºeme setkat nap íklad p i zasouvání p ímého me e nebo kruhové ²avle do p ímé i kruhové pochvy. Dv po sob posunutelné ²roubovice nenalezneme v podobné situaci, nýbrº v mírumilovném ²roubu a matici. Obr. 4

10 74 Ivana Macha íková, Josef Molnár Závit ²roubovice je stopou bodu ²roubovice p i oto ení o plný úhel. Velikost odpovídajícího posunutí se nazývá vý²ka závitu. Obr. 5 roubovice je jednozna n ur ena polom rem kruºnice k, vý²kou závitu v a to ivostí (obr. 1). Na obr. 2a) je ²roubovice pravoto ivá, na obr. 2b) levoto ivá. Obr. 6

11 roubovice v p írod a um ní roubovice v innosti lov ka a v p irod Te ny ²roubovice svírají s její osou konstantní úhel, tj. ²roubovice je k ivka konstantního spádu. Obr. 7 Pr m tem ²roubovice do roviny m ºe být nap. kruºnice, sinusoida, cykloida (prodlouºená, prostá i zkrácená), spirála, p ípadn jiná k ivka, viz obr. 3 a 4. Obr. 8

12 76 Ivana Macha íková, Josef Molnár roubovice jsou sou ástí architektury a stavitelství (viz obr. 5, 6, 7), fauny (obr. 8) a ory (obr. 9), techniky (obr. 10) i nap. drhání (macramé, obr. 11). Výskytem ²roubovice v chemických slou eninách se budeme podrobn ji zabývat v následující kapitole. Obr roubovice v chemii V molekulách bílkovin se vyskytují ur ité pravideln uspo ádané úseky (tzv. sekundární struktura bílkovin). Pravidelné sekundární struktury lze popsat jako ²roubovice (helixy), li²ící se pr m rem závitu, jeho stoupáním a smyslem otá ení (mohou být pravo- nebo levoto ivé). Z daných geometrických parametr peptidové vazby a aminokyselinových zbytk m ºeme vytvo it jen omezený po et ²roubovicových konformací. V²em sterickým i energetickým poºadavk m nejlépe vyhovuje tzv. α-²roubovice (α-helix). Jeden její závit je tvo en 3,6 aminokyselinovými zbytky. V²echny skupiny CO a NH peptidových vazeb jsou v této ²roubovici orientovány zhruba rovnob ºn s její dlouhou osou a kaºdá skupina

13 roubovice v p írod a um ní 77 NH je vázána vodíkovou vazbou ke skupin CO o t i zbytky vzdálen j²í (obr. 12). Obr. 10 Sloºení bílkovin s p evahou aminokyselin s malým nebo ºádným postranním et zcem umoº ují vznik ²roubovice, jejíº skupiny NH a CO jsou orientovány kolmo na její osu. Polypeptidový et zec uspo ádaný do takové ²roubovice je v ní dále formován v druhou superponovanou ²roubovici s podstatn vy²²ím stoupáním závitu (superhelix). T i polypeptidové et zce tak vytvá ejí jediný velmi kompaktní vláknitý útvar. Tato struktura je typická pro nejroz²í en j²í ºivo i²nou bílkovinu kolagen. Základní strukturní jednotkou kolagen je tropokolagen, který se skládá ze t í vláken, z nichº kaºdé obsahuje asi aminokyselinových zbytk. Tropokolagen je trojvláknový pravoto ivý helikální prut asi 300 nm dlouhý o pr m ru 1,5 nm (obr. 13). Kaºdý ze t í et zc tvo í levoto ivá ²roubovice s NH a CO skupinami sm rovanými zhruba kolmo na její osu. Kaºdé ze t í vláken tropokolagenového superhelixu vytvá í

14 78 Ivana Macha íková, Josef Molnár vodíkové vazby mezi NH skupinami zbytk glycinu a skupinami CO v jiném vláknu. Obr. 11 Dal²ím p íkladem ²roubovice v chemii je prostorové uspo ádání DNA (sekundární struktura DNA). V roce 1953 vytvo ili J. Watson a F. Crick dnes obecn p ijímaný model molekuly DNA. Skládá se ze dvou et zc svinutých do pravoto ivých ²roubovic kolem pomyslné spole né osy za vzniku dvoj²roubovice (dihelixu, obr. 14). et zce v ní mají opa ný sm r (polaritu) a dopl kovou (komplementární) strukturu. Oba et zce jsou p i tom uspo ádány tak, ºe jejich páte e, sestávající z pentosových kruh a fosfátových zbytk, jsou vn a báze mí í dovnit dihelixu, jejich roviny jsou navzájem rovnob ºné a kolmé na osu dvoj²roubovice. Mezi dvojicemi komplementárních bází se p i tom vytvá ejí vodíkové vazby. Molekula DNA m ºe existovat ve více formách (obr. 15): B-DNA (popsaná Watsonem a Crickem) pravoto ivá, na jeden závit p ipadá 10 nukleotidových zbytk, A-DNA pravoto ivá, na jeden závit p ipadá 11 nukleotidových zbytk, dihelix má jiný pr m r, páry bází jsou posunuty od osy dihelixu a jsou k ní jinak naklon ny,

15 roubovice v p írod a um ní 79 Z-DNA levoto ivá helikální forma s 12 nukleotidovými zbytky p ipadajícími na jeden závit, páte et zce má nepravideln j²í tvar neº u forem A a B. Obr. 12. α-helix Se ²roubovicí se setkáváme i u sekundární struktury polysacharid (obr. 16). roubovice (helix) je obvykle levoto ivá, na její stabilizaci se podílejí vodíkové vazby, hydrofobní interakce i interakce s okolními látkami. S touto konformací se setkáváme u amylosy a n kterých polysacharid pojivových tkání. Po et glukosových jednotek na jeden závit m ºe být 6 aº 8. Obr. 13. Tropokolagen

16 80 Ivana Macha íková, Josef Molnár Jiný p íklad ²roubovice v chemii (p ípadn krystalograi) je ²roubová osa jako prvek prostorové symetrie (obr. 17, 18, 19, 20, 21). Operace prostorové symetrie charakterizují soum rnost struktury krystalu. Obr. 14. Model DNA Nejprve uvádíme n kolik základních pojm z krystalograe. Krystal je homogenní anizotropní diskontinuum (denice mineralogická). Obr. 15. A-DNA (pravoto ivá), B-DNA (pravoto ivá), Z-DNA (levoto ivá)

17 roubovice v p írod a um ní 81 Krystal je hmotný systém, ve kterém kaºdému m íºovému bodu náleºí stejná a stejn orientovaná báze (denice krystalogracká). Tyto denice platí pro klasické krystaly, neplatí pro tzv. kvazikrystaly (nap. tekuté krystaly). Kaºdý krystal musí mít pravidelnou vnit ní strukturu. Obr. 16. Amylosa M íº (m íºka) je mnoºina bod mající stejné okolí. Kaºdou m íº charakterizují m íºkové parametry: délky jednotlivých úse ek a, b, c, úhly α, β, γ. M íº je na rozdíl od struktury ktivní. Obr. 17. roubová osa 3 1

18 82 Ivana Macha íková, Josef Molnár Struktura je m íºka spolu s hmotnou bází, skládá se z ástic (atom, iont ). Obr. 18. roubová osa 3 2 Bu ka je elementární rovnob ºnost n s vrcholy v uzlech m íºe. Je základní stavební jednotkou kaºdé m íºe. Obr. 19. roubová osa 4 1 Zásady výb ru základní bu ky: základní bu ka musí mít stejnou soum rnost jako celá struktura,

19 roubovice v p írod a um ní 83 po et stejných hran a úhl mezi hranami musí být maximální, po et pravých úhl musí být maximální, objem základní bu ky musí být minimální. Obr. 20. roubová osa 4 2 Základní bu ky m ºeme rozd lit podle toho, kolik uzl p ipadá na jejich objem: P (R) - primitivní (prostá), A, B, C - jednodu²e (bazáln ) centrovaná, F - plo²n centrovaná, I - prostorov centrovaná. Obr. 21. roubová osa 4 3

20 84 Ivana Macha íková, Josef Molnár Primitivní bu ka obsahuje uzly pouze ve svých osmi vrcholech na objem primitivní bu ky p ipadá jeden uzel. T lesn (prostorov ) centrovaná bu ka obsahuje krom osmi uzl ve vrcholech je²t jeden uzel v pr se íku t lesových úhlop í ek na objem t lesn centrované bu ky p ipadají dva uzly. Bo n (bazáln ) centrovaná bu ka je krom osmi uzl ve vrcholech tvo ena dal²í dvojicí uzl, které leºí ve st edu dvou protilehlých st n na objem bazáln centrované bu ky p ipadají op t dva uzly. Plo²n centrovaná bu ka je tvo ena osmi uzly ve vrcholech a ²esti uzly ve st edech v²ech ²esti st n na objem plo²n centrované bu ky p ipadají ty i uzly. Existuje 14 typ strukturních m íºek, jimº odpovídá 14 základních bun k, které ozna ujeme jako Bravaisovy bu ky (obr. 22). Obr. 22. Bravaisovy bu ky (1 - trojklonná, 2 - jednoklonná, 3 - koso tvere ná, 4 - klencová, 5 - ²estere ná, 6 - tvere ná, 7 - krychlová soustava)

21 roubovice v p írod a um ní 85 Operace symetrie je taková transformace útvaru, aby nový stav (obraz) byl nerozli²itelný od p vodního (vzoru). Prvek symetrie je geometrický prvek (bod, p ímka, rovina), v i n muº provádíme p íslu²nou operaci symetrie. Prvek symetrie je invariantní vzhledem k této operaci symetrie. Mnoºina v²ech operací symetrie dané molekuly spolu s operací skládání tvo í grupu. Tuto grupu nazýváme grupa symetrie. Pokud provádíme operace symetrie s izolovanou molekulou, vºdy z stává n jaký bod beze zm ny (nepohyblivý), operace symetrie dané molekuly tvo í bodovou grupu symetrie. U bodové grupy symetrie z stává alespo jeden bod nezm n n, neuvaºuje se translace. Je vhodná pro popis geometrických t les, molekul. Prostorová grupa symetrie neponechává ºádný bod v identické poloze, uvaºuje se translace (posunutí). Je vhodná k popisu krystalových struktur. operace prvek symbol symbol (Schoenies) (Hermann-Maugin) identita identita E 1 (ponechání beze zm ny) inverze st ed symetrie i 1 rotace o 360 zrcadlení (reexe) rotace + zrcadlení rotace + inverze n n- etná rota ní osa rovina symetrie rota n reexní osa rota n inverzní osa C n σ S n n m ñ C ni n Tab. 1. P ehled operací a prvk bodové symetrie

22 86 Ivana Macha íková, Josef Molnár Prostorová symetrie obsahuje navíc translaci, takºe máme dva dal²í prvky symetrie, a to ²roubovou osu a skluznou rovinu. roubové osy symetrie jsou sloºené prvky symetrie. P íslu²né operace symetrie se skládají z: rotace o úhel α = 360, n translace podél denovaného vektoru ve sm ru této osy. Osa musí být rovnob ºná s libovolnou m íºkovou translací struktury. Sm r rotace ²roubové osy je velmi d leºitý, vychází se z pravoto ivého systému os, takºe pravoto ivá ²roubová osa ve sm ru z má transla ní vektor ve stejném sm ru vzh ru (tj. ve sm ru palce pravé ruky, kdy prsty nazna ují rota ní pohyb od osy x k y). operace prvek symbol rotace + translace ²roubová osa n k zrcadlení + translace skluzná rovina a, b, c, n, d Tab. 2. Operace a prvky prostorové symetrie Máme-li n- etnou rota ní osu symetrie, pak n oto ení o úhel α = 360 n doprovázených n translacemi τ podél ²roubové osy musí vést k transla nímu pohybu výchozího objektu (atom, molekula) o celo íselný násobek (m) m íºové translace t: nτ = mt nebo τ = m n t, kde m, n jsou celá ísla. Obecn lze vyjád it symbol ²roubové osy jako n m. Transla ní sloºky ²roubových os symetrie závisí na etnosti osy a mohou nabývat jen ur itých hodnot (hodnota v závorce ozna uje transla ní sloºku). P ehled ²roubových os (obr. 23): dvoj etná osa 2 0, 2 1 ( 1 2 ), 2 2, troj etná osa 3 0, 3 1 ( 1 3 ), 3 2 ( 2 3 ), 3 3, ty etná osa 4 0, 4 1 ( 1 4 ), 4 2 ( 2 4 ), 4 3 ( 3 4 ), 4 4, ²esti etná osa 6 0, 6 1 ( 1 6 ), 6 2 ( 2 6 ), 6 3 ( 3 6 ), 6 4 ( 4 6 ), 6 5 ( 5 6 ), 6 6.

23 roubovice v p írod a um ní 87 Dolní index zna í hodnotu m z vý²e uvedeného vztahu. Je-li m = 0, jde o istou rotaci, v p ípad, ºe je m = n, jde o istou translaci. Obr. 23. roubové osy Skluzné roviny symetrie (roviny posunutého zrcadlení) jsou prvky symetrie, kdy p íslu²nými operacemi je zrcadlení kombinované s translací podél roviny zrcadlení. Podle sm ru a velikosti translace rozli²ujeme skluzné roviny osní, diagonální a diamantové. Osní skluzné roviny (zna- íme a, b, c podle os) zrcadlení je provázeno posunutím o 1a (p íp. 2 1 b, 1 c). Úhlop í né skluzné roviny (zna ení n) zrcadlení je provázeno 2 2 posunutím o polovinu st nové úhlop í ky plo²n centrované bu ky, tedy o (p íp., ). Diamantové skluzné roviny (zna ení d) zrcadlení a+b b+c a+c 2 2 2

24 88 Ivana Macha íková, Josef Molnár je provázeno posunutím o tvrtinu st nové úhlop í ky plo²n centrované bu ky, tedy o a±b (p íp. b±c, a±c) Obr. 24. Krystalogracké soustavy tvary krystal Operace bodové symetrie a jejich moºné kombinace tvo í celkem 32 bodových grup. Bodovými grupami lze charakterizovat symetrii vn j²ího tvaru krystalu existuje 32 krystalograckých odd lení, která se rozd lují do sedmi krystalograckých soustav (obr. 24). Obr. 25. Struktura krystalu uorit CaF 2

25 roubovice v p írod a um ní 89 V roce 1890 E. S. Fedorov odvodil v²echny moºné kombinace prvk symetrie v prostoru. E. S. Fedorov, A. Schoenies, W. Barlow dokázali, ºe prostorových grup symetrie je 230. Jedná se o kombinaci v²ech moºných transformací krystalové struktury, takºe prostorová grupa charakterizuje soum rnost struktury krystalu (obr. 25 a 26). Celkový po et prostorových grup zahrnuje v²echny kombinace transla ních i beztransla ních operací symetrie, které jsou p ípustné ve 14 Bravaisových bu kách. Existuje tedy 230 moºností, jak se m ºe libovolný motiv opakovat v prostoru. Obr. 26. Struktura krystalu k emen SiO 2 4. Obecná ²roubovice roubovice leºí na rota ní válcové plo²e, tedy vzdálenost vytvá ejícího bodu ²roubovice od osy p íslu²ného rota ního pohybu je konstantní. O obecné ²roubovici mluvíme v p ípad, ºe se vzdálenost tvo-

26 90 Ivana Macha íková, Josef Molnár ícího bodu od osy p íslu²ného rota ního pohybu m ºe spojit m nit, typickým p íkladem je obecná ²roubovice leºící na rota ní kuºelové plo²e (viz obr. 27). Zajímavá ukázka obecné ²roubovice je na obrázku 28. Obr Záv r Ukázali jsme si jen malý zlomek situací, kde se m ºeme se ²roubovicí setkat. Ale i to dle na²eho názoru sta í k tomu, aby se o ²roubovicích

27 roubovice v p írod a um ní 91 a jejich uºití dov d li ºáci (zejména technických) st edních ²kol, by jen ve volitelné i nepovinné matematice nebo v deskriptivní geometrii. Obr. 28 Reference [1] B ezina F. a kol., Stereochemie a n které fyzikáln chemické metody studia anorganických látek. Vydavatelství UP, Olomouc [2] Graf U., Kabaret matematiky. Orbis, Praha 1943.

28 92 Ivana Macha íková, Josef Molnár [3] Macha íková I., Molnár J., Grupy symetrie molekul. In: Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztalceniu powszechnym. Wydawnictwo PWSZ, Nowy S cz 2012, s , ISBN [4] Urban A., Deskriptivní geometrie II. SNTL, Praha [5] Vodráºka Z., Biochemie 1. Academia, Praha 1992, ISBN [6] Vodráºka Z., Biochemie 2. Academia, Praha 1992, ISBN [7] Zimák J., Mineralogie a petrograe. Vydavatelství UP, Olomouc [8] bilko-viny_-_periodicke_motivy.html [9] [10] [11] [12] [13] symet-rie.htm [14] [15] [16] Zpracováno v rámci e²ení projektu CZ 1.07/1.1.0/ "Matematika pro v²echny".