8. Slovní úlohy na extrémy
|
|
- Marie Marešová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 8. Slovní úlohy na extrémy Vtétokapitolenaznačíme,jakřešitněkteré praktické (většinougeometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve matematicky modelovat, tedy převést do matematickéřeči.teprvepaklzeproblémřešitbuďmetodamivyloženýmivkapitole7, nebo metodami zcela elementárními, které nejsou založeny na poznatcích diferenciálním počtu. Jako vždy bychom měli dát přednost jednoduššímu řešení. Připomeňme dvě jednoduchá, ale velmi užitečná tvrzení diferenciálního počtu: Věta8.1.Nechťfunkce f definovanávintervalu Iskrajnímibody a < bmá vbodě c (a,b)extrém 1 ).Pakjebuď f (c)=0,nebotatoderivaceneexistuje. Věta 8.2. Nechť funkce f spojitá v intervalu(a, b) splňuje tyto podmínky: 1. f(a+)=f(b ); 2.existujebod c (a,b)tak,že f 0všudev(a,c) (c,b). 2 ) Pak nastane právě jedna z těchto situací: A. f(c) > f(a+), frostev(a,c,klesáv c,b),avbodě cmámaximum; B. f(c) < f(a+), fklesáv(a,c,rostev c,b),avbodě cmáminimum. Příklad8.1.Existuje-limeziobdélníkyoobvodu4c R + obdélníksmaximálním obsahem 3 ),najdětedélkyjehostran. 4 ) Řešení: Jsou-li x, ydélkystranobdélníka,jejehoobvod2(x+y);protože totočíslomábýtrovno4c,musíbýt y=2c x.mámetedyrozřešitproblém,zdali máfunkce f(x):= x(2c x)maximum;zpovahyproblémuovšemplyne,ženejde omaximumvcelém R,alevintervalu I:=(0,2c) jindetotižneníbuď x,nebo ykladnéčíslo.v.7.3 nelzeužít,protože Ineníkompaktníinterval;hodísevšak V.8.2:Protože f(0+)=f(2c )=0,protože f (x)=2(c x) 0provšechna x Irůznáod caprotože f(c)=c 2 >0,jetatohodnotamaximální hodnotou funkce fv I. Problémmátedyprávějednořešení:Obdélníksdanýmobvodem4casmaximálním obsahem je čtverec o straně c. Dodejme, že obdélník s daným obvodem a minimálním obsahem zřejmě neexistuje. Příklad8.2.Z1m 3 betonumáme pokudjetomožné odlítconejvyššítěleso buď ve tvaru krychle, nebo koule, nebo koule postavené na krychli. 1 )tj.maximumnebominimum 2 )Všimněmesi,žesenepředpokládákonečnostžádnéhozčísel a, b, f(a+), f(b ).Je-livšak a R(resp. b R)aje-li fspojitávbodě azprava(resp.vbodě bzleva),lzelimitu f(a+)(resp. f(b ))nahradithodnotou f(a)(resp. f(b)).existencederivace f (c)senepředpokládá. 3 )Bylobyhruboulogickouchybouignorovatvpodobnýchpřípadechproblémexistence. 4 )Meziobdélníkypočítámeovšemičtverce,jinakbyúlohanemělařešení. 124
2 Řešení: Předpokládejme,žesetělesoskládázkrychleodélcehrany x azkouleopoloměru r.připustíme-li x=0ar=0,budouzahrnutyipřípady, žejednoztěchtotěleschybí,ajezřejmé,žesepakmámezabývatčísly x 0,1. Krychleohraně xmáobjem x 3,takžeprokoulizbýváobjem1 x 3 = 4 3 πr3.odtud plyne,žepoloměr racelkovávýška f(x)tělesajsoudányrovnostmi Derivace r= 3 3 4π (1 x3 ) resp. f(x)=x+2r=x+ 3 f (x)= π x 2 3 (1 x3 ) 2 6 π 3 1 x3. sev(0,1)anuluje,právěkdyž 3 (1 x 3 ) 2 = x 23 6/π,tj.právěkdyž 3 1 x 3 = x 6 6/π.Jaksnadnozjistíme,ječíslo π x 0 := 3. = π jediným řešením této rovnice; průměr příslušné koule je roven 6 2r 0 := 3 π(. 6+ =1.0348, π) cožvedekúhrnnévýšce x 0 +2r 0. =1.7836mtělesa Obrázek k příkladu 8.2 Protožejetotočíslovětšínež f(0)= 3 6/π. =1.24atakénež f(1)=1,je řešenímnašehoproblému:nakrychliohraně x 0 jetřebapostavitkouliopoloměru r 0.Zároveňjepatrné,žekdybynámšlooútvarsminimálnívýškou,odlilibychom krychliovýšce1. 125
3 Příklad 8.3. Dokažme, že na každé přímce v trojrozměrném eukleidovském prostoru R 3 ležíprávějedenbodnejbližšípočátku(0,0,0). Řešení:Předpokládejme,žepřímka Ljeurčenabodem(A,B,C)a(nenulovým)vektorem(u,v,w);toznamená,žepřímku Ltvoříprávěvšechnybodytvaru X(t)=(A+tu,B+tv,C+tw),kde t R.Mámerozřešitproblémexistenceprávě jednoho t, pro něž je vzdálenost bodů X(t) a(0, 0, 0) minimální. Protože vzdálenosti jsou nezáporná čísla, je to totéž jako rozřešit analogický problém pro čtverec této vzdálenosti, tj. pro funkci f(t):=(a+tu) 2 +(B+tv) 2 +(C+tw) 2. Nabývá-li fvněkterémbodě t 0 Rsvéhominima,jepodleV.8.1 f (t 0 )=2 ( u(a+t 0 u)+v(b+t 0 v)+w(c+t 0 w) ) =0. Tato podmínka je splněna, právě když je t 0 = Au+Bv+Cw u 2 +v 2 +w 2. AplikujmenyníV.8.2:Obělimityf(± )jsourovny+ at t 0 f (t) 0; vdůsledkutohomáfunkce fvbodě t 0 opravduminimum.mezivšemibody X(t) mátedyjediněbod X(t 0 )=(A,B,C) Au+Bv+Cw u 2 +v 2 +w 2 (u,v,w) nejmenší vzdálenost od počátku; snadno ověříme, že její čtverec je roven (A+t 0 u) 2 +(B+t 0 v) 2 +(C+t 0 w) 2 =(A 2 +B 2 +C 2 ) (Au+Bv+Cw)2 u 2 +v 2 +w 2. Poznamenejmeještě,žeskalárnísoučinvektorů X(t 0 )a(u,v,w)jeroven0.je-li (0,0,0) L,jecelýnášproblémtriviální;je-li(0,0,0) L,jepřímkaprocházející počátkemabodem X(t 0 )kolmákl(cožjedobřeznámozelementárnígeometrie). Příklad 8.4. Rozsáhlý les je z jihu ohraničen přímou cestou vedoucí od západu kvýchodu.zvýchozíhomístanatétocestěsemámedostatnamísto,kteréjeod násvzdáleno5kmvýchodněa2kmseverně.jistoudobupůjdemepocestěrychlostí 5kmzahodinu,pak(šikmo)lesemrychlostí3kmzahodinu.Jakdlouhomámejít po cestě, abychom se do cíle dostali co nejdříve? Kolik při tom ujdeme kilometrů ajakdlouhonámcestabudetrvat? Řešení: Ktomu,abychompocestěušli x( 0,5 )km,potřebujeme 1 5 x hodin;dalšícestalesembudepakměřit y:= 2 2 +(5 x) 2 = x 2 10x+29km aujdemejiza 1 3 yhodin.celkemtedybudecestatrvat f(x):= 1 5 x+1 3 x2 10x
4 hodin. Jak snadno zjistíme, je jediným kořenem derivace f (x)= 1 x x2 10x+29 číslo 7 2.Protože f( )= 15 = ,zatímco f(0)= =1.795, f(5)= 5 3 = ,jezřejmé,že fnabývávbodě 7 2 svéhominima.hodnotatohotominima je hodin,neboli1hodinaa32minut.pocestěpůjdeme3.5km(a42minut), lesem2.5km(a50minut);celkemtedyujdeme6km. Příklad 8.5. Dokažme, že mezi obdélníky, jejichž strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami a které jsou vepsány do elipsy ( x a ) 2+ ( y b ) 2=1, kde a R +, b R +,existujeprávějedensmaximálnímobsahem. b -a 0 a -b Obrázek k příkladu 8.5 Řešení:Elipsajegeometrickýmobrazemkřivky 5 ) ϕ(t):=(acost, bsint), kde t π,π, avrcholyvepsanéhoobdélníkajsoubody ϕ(±α), ϕ(±(π α)),kde α (0, 1 2 π)je úhel, který svírá průvodič pravého horního vrcholu s kladným směrem osy x. Obsah f(t):=2acosα 2bsinα=2absin2α takovéhoobdélníkajezřejmě(sr.sv.8.2)maximálnípři α= 1 4 πarovnáse2ab. Obdobný obdélník s minimálním obsahem samozřejmě neexistuje. 5 )Křivkou sezderozumí(jakékoli)spojitézobrazení ω(jakéhokoli)kompaktníhointervalu I Rdoroviny R 2.Jejígeometrickýobrazjemnožina ω(i). 127
5 Cvičení Řešte následující slovní úlohy; u některých z nich vystačíte s elementárními metodami, nevyžadujícími znalost diferenciálního počtu Zobdélníkovéhoplechuovelikosti80cm 50cmsemápoodstřiženístejně velkých čtverců v rozích plechu vyrobit krabice bez víka. Jak velké čtverce je třeba odstřihnout, aby vzniklá krabice měla maximální objem, a jak velký bude tento objem? 50 cm 80 cm Obrázek ke cvičení Úkolemjevyrobitplechovékonzervyvetvaruválcesobjemem V ( R + ) tak,abybylyconejlehčí.najdětepříslušnýpoměrvýšky hválceapoloměru rjeho podstavy,atonejdříveproobecnýobjem V,pakpro V =1000cm Válcovénádobysobjemem20litrůsebudouvyrábětzdvojíhoplechu:na oběpodstavyválceseužijemateriáldvakrátdražšínežnajehoplášť.jaksemá zvolitpoměrvýšky hválceapoloměru rjehopodstav,abycenacelénádobybylaco nejmenší?stojí-li1m 2 materiáluužitéhonaplášť360kč,kolikbudestátmateriál na celou nádobu? C voda A D B Obrázek ke cvičení Přímývodníkanálje150mširoký.Místa AaBležícínajednomzbřehů majívzdálenost1km,místo Cjenadruhémbřehupřesněnaprotimístu B.ZA semádo Cvéstpotrubí,jehožprvní(přímý)úsekpovedezAdojistéhomísta D naspojnici ABajehoždruhý(taképřímý)úsekspojí Ds C.Položení1mpotrubí nabřehustojí800kč,přeskanáljecenadvojnásobná.jakdalekomábýt Dod A, aby cena celého potrubí byla co nejmenší? Jaká bude jeho délka zaokrouhlená na 128
6 decimetry a cena zaokrouhlená na celé koruny? Jaký úhel budou svírat úsečky DB a DC? 8.05.Hodlámekoupitobdélníkovouparceluorozloze200m 2,jejížjednastrana bude ohraničena již hotovou zdí, zatímco ze zbývajících tří stran bude nutné parcelu oplotit. Dokažte, že obdélník lze zvolit tak, aby plot měl minimální délku, a najděte délky příslušných stran. plot 200 m 2 plot plot Obrázek ke cvičení Dokažte, že do trojúhelníka, jehož nejdelší stranou je strana c, lze vepsat obdélník se základnou obsaženou v c a s maximálním obsahem; najděte vztah mezi obsahem trojúhelníka a vepsaného obdélníka. b v c a c Obrázek ke cvičení Existujemezitrojúhelníkyvepsanýmidokruhuodanémpoloměru r R +, jejichž jednou stranou je průměr kruhu, trojúhelník s maximálním obsahem resp. obvodem? Pokud ano, jaký bude tento obsah resp. obvod? 2r Obrázek ke cvičení
7 8.08. Dokažte, že mezi všemi(pravoúhlými) trojúhelníky T s vrcholem v počátku, jejichž odvěsny jsou částí souřadnicových os a jejichž přepona je částí tečny oblouku paraboly y= x 2 4x+3,0 x 1,existujeprávějedentrojúhelníksminimálním resp. maximálním obsahem. Zjistěte, ve kterých bodech se příslušné tečny dotýkají paraboly a najděte oba extrémní obsahy. 3 2 parabola 2 hyperbola 1 T 1 T Obrázky ke cvičením 8.08 a Mezi všemi(pravoúhlými) trojúhelníky T, které jsou ohraničeny osami souřadnicovýmiatečnouobloukuhyperboly y = 2/x 1,1 x 2,najděte trojúhelníky s extrémními obsahy a příslušné obsahy vypočtěte Meziobdélníky,jejichždvavrcholyležínaosexadalšídvanaparabole y=8 2x 2,najděteobdélníksmaximálnímobsahem.Určetetentoobsah. 8 B (2,4) A Obrázky ke cvičením 8.10 a Najdětekladnáčísla a,btak,abybody A:=(a,0), B:=(0,b), C:=(2,4) leželynajednépřímceaabyvzdálenostbodů AaBbylaminimální.Vypočtěte tuto vzdálenost Obdélníkováparcelaorozměrech5a bsemáoplotitapakještěploty kolmými na první stranu rozdělit na 5(shodných) parcel o rozměrech a b. Dokažte, žepřidanécelkovédélce cplotůlze aabzvolittak,žerozloha P =5abparcely 130
8 y x Obrázek ke cvičení 8.12 jemaximální.čísla a, bapříslušné Pnajdětenejdříveproobecné c R +,pakpro c=600m Drátdélky Dserozdělínadvěčástiodélkách D 1, D 2 ;prvníčástseohne tak, aby vytvořila kružnici, druhá tak, aby vytvořila obvod čtverce. Lze to provést tak, aby součet S obsahů vzniklého kruhu a čtverce byl minimální(maximální)? Pokudano,jakémupoměru D 1 : D 2 tobudeodpovídatobecněačemusebudou čísla D 1, D 2, Srovnatpro D=2m? Je některý bod paraboly, která leží v souřadnicové rovině xy trojrozměrného prostoru R 3 ajepopsánarovnicemi y=x 2, z=0,nejblížebodu A=(1,2,2) R 3? Pokud ano, jak velká je příslušná vzdálenost? 8.15.Body A, Bsepohybujívrovině R 2 tak,ževčase t Rmajípolohy a+tu, b+tv,kde a=(6,4), u=(2,4), b=(5,2), v=( 2,1).Dokažte,žeexistujeprávě jedno t R,proněžjevzdálenostbodů A, Bminimální;najdětejeavypočtěte příslušnou vzdálenost Vyřešteobdobnýproblémvprostoru R 3 zapředpokladu,že a=(1, 1, 3), u=( 1,1,2), b=( 2,3,2), v=(2, 2, 1) Dokažte,žeprokaždýbod(a,b),kde a 2 > b,existujíprávědvětečny parabolyy= x 2,odnichžmátentobodminimálnívzdálenost;najdětejejichrovnice apříslušnouvzdálenost,atonejdříveobecně,pakpro(a,b)=(2,3) Existujínaparabole y=x 2 6x+5bodysminimálnívzdálenostíodbodu B=(3,4)?Pokudano,kterétojsouavjakévzdálenostileží? A B C S U D Obrázek ke cvičení
9 8.19.Body A,Bsepohybujípoelipsáchtak,žejejichpolohavčase t Rje (2+2cos8t,sin8t)resp.(4cos2t,2sin2t).Najdětevšechnačísla t R,proněžje vzdálenost bodů A, B minimální resp. maximální Napřímésilnici Sodstartujevčase t=0zmísta Achodec Bacyklista C; obasebudoupohybovatodbodu Atýmžsměrem,atorychlostmi5kma15kmza hodinu.nakolmicikpřímce Svedenébodem Astojívevzdálenosti300modbodu ApozorovatelDaměřízornýúhel Uúsečky BC.Dokažte,ževjistém(jednoznačně určeném)okamžikut 0 >0budeúhel Umaximální,apopištevlastnostitrojúhelníka BCD v tomto okamžiku. Řešení cm h:r=2;při V =1000cm 3 je r=5 3 4/π. =5.42cm, h=20/ 3 2π. = cm h:r=4;materiálnacelounádobubudestát185kč Vzdálenost AD:( )m. =913.4m;délkaceléhopotrubí: m. =1086.6m;výlohy: Kč;úhel:60stupňů )20mstranapřiléhajícíkezdi,10mstranakníkolmá )Obsahobdélníkajerovenpoloviněobsahutrojúhelníka Voboupřípadechjeřešenímrovnoramennýtrojúhelník;máobsah r 2, obvod2( 2+1)r Jsoutotečnyvbodech1aa:= 1 3 (4 7). = ;příslušnéobsahy jsou1a 4 27 (7 7 10). = Obsahjeklesajícífunkcíproměnnéx 1,2,takžeřešenímjsoutečnyvbodech2(minimumrovné1)a1(maximumrovné 9 4 ) Základnadélky4/ 3. =2.3094,výška 16 3,obsah64/(3 3). = a=2(1+ 3 4). = , b=2(2+ 3 2). = ,vzdálenost = )Vobecnémpřípadějeřešenímdvojicečísel a=c/20, b=c/12,takže P= c 2 /48.Hodnotě c=600modpovídá a=30m, b=50m, P=7500m Minimumexistujeaodpovídápoměru D 1 /D 2 = π/4;při D=2mbude proto D 1 = 2π/(4+π)m. = 87.98cm, D 2 = 8/(4+π)m. = cmaS = 1/(4+π)m 2. = cm 2. Maximum neexistuje, musí-li se drát skutečně rozstřihnout; kdyby bylo dovoleno udělatzceléhodrátubuďkružnici,nebočtverec(cožbyodpovídalovolbě D 2 =0 resp. D 1 =0aopoměrubychomnemluvili),byloby Smaximálnípři D 2 =0. 6 )Problémlzeřešitelementárně,bezužitídiferenciálníhopočtu. 132
10 PříslušnýkruhbypakmělobsahD 2 /4πobecně,tedy1/πm 2. =3183cm 2 při D=2. Při D 1 =0bybylo S= D 2 /16,tedy S=2500cm 2 pro D=2m,cožvžádném případě není extrémní hodnota Nejbližšíbodje ( x 0, x 2 0,0),kde x 0 := 1 2 (1+ 3). = (takže x 2 0 = = ));příslušnávzdálenostjerovna(f(x0 )) 1/2,kde f(x):=(x 1) 2 +(x 2 2) 2 +4=x 4 3x 2 2x+9, takže(f(x 0 )) 1/2 = 1 2( 3(9 2 3) ) 1/2. = ) t= 2 5,minimálnívzdálenostje ) t= 4 3,minimálnívzdálenostje Přímkyorovnicích y=(a+c)(2x a c)ay=(a c)(2x a+c),kde c:=(a 2 b) 1/2,jsoujedinédvětečny,kteréprocházejíbodem(a,b),amajítedy odnějvzdálenost0.při(a,b)=(2,3)jsoutopřímky y=6x 9ay=2x A B Obrázky k řešením cvičení 8.17 a Na parabole leží právě dva body, které mají minimální vzdálenost od bodu B=(3,4).Jejichprvnísouřadnicejsou 1 2 (6 30). = a 1 2 (6+ 30). = ,jejichdruhésouřadniceserovnají 7 2.Hledanávzdálenostje d:= = ) )Přiřešenítohotopříkladunenívhodnéhledatstacionárníbodyvzdálenosti d(t)bodů A, B,protožejejichivintervalu 0,π)značnémnožství(10)aaž na dva nemají s extrémy funkce d(t) nic společného. Trajektoriebodů A, Bjsouelipsymajícíjedinýspolečnýbod a:=(4,0);mezi všemibodydruhéelipsymázřejměnejvětšívzdálenostodbodu abod b:=( 4,0). 7 )Kružniceostředu(3,4)apoloměru djedoparabolyvepsána;jejístředjeprůsečíkemnormál paraboly v uvedených bodech. 133
11 Stačí tedy rozřešit rovnice (cos8t=1) (cos2t=1) resp. (cos8t=1) (cos2t= 1). Řešení:Vzdálenostjeminimální,rovná0,právěkdyž t 0mod π,amaximální, rovná8,právěkdyž t 1 2πmod π. b a Obrázek k řešení cvičení t 0 = 3/50. = hodiny,tj.cca2minutya4.7sekundy. BCDje rovnoramennýtrojúhelníkozákladně CDdélky600maramenech BCa BDdélky 200 3m;úhlyuvrcholů B, C, Djsoupořaděrovny 2 3 π,1 6 π,1 6 π,takže U=1 6 π. 134
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceDerivace. 1. Užitím definice derivace vypočtěte derivaci funkce v daném bodě x 0.
Derivace 1. Užitím definice derivace vypočtěte derivaci funkce v daném bodě x 0. a) f(x) = 2x 2 x + 5, x 0 = 3 b) f(x) = x 2 4x, x 0 = 1 c) f(x) = sin x, x 0 = 0 d) f(x) = cos x, x 0 = π 6 e) f(x) = 1
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceSOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Vícef(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =
Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Více9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
VícePetr Hasil
Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
Vícec jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.
Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceMANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Více1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceObrázek 101: Podobné útvary
14 Podobná zobrazení Obrázek 101: Podobné útvary Definice 10. [Podobné zobrazení] Geometrické zobrazení f se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro každé dva body
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceInternetová matematická olympiáda listopadu 2008
Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceCVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceMATEMATIKA 9 M9PID15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky
MATEMATIKA 9 M9PID15C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
VíceMaturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Více10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )
Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina
VícePřípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro
Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceGlobální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008
10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,
Více49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Víceod zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem
Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
VíceUkázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů
Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů 1) Zapiš matematickými symboly: bod A leží na přímce p bod M leží v průsečíku přímek k, m 2) Je dána přímka p, bod K
VíceKreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2
Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1 Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová...
VíceMay 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková
Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA 9 M9PID15C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
Více