Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn refundn matice 7 5 Kvadratick formy 6 Jordanova kanonick forma matice 3 7 Polynomi ln matice 7 8 Minim ln polynom matice 2

2 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC Diagonalizovatelnost matic Denice. Charakteristick matice A (nad C) je matice A = I, kdei je jednotkov matice. Charakteristick polynom matice A je polynom ja ; Ij Charakteristick ko eny matice A jsou ko eny jej ho charakteristick ho polynomu. Charakteristick ko eny line rn transformace ' v unit rn m prostoru U jsou charakteristick ko eny matice transformace ' vzhledem k libovoln b zi. Denice.2 Bu U (n) unit rn prostor, ' line rn transformace v U (n), b nenulov vektor z U (n) 2 C. Kdy 'b = b, pak b se naz v vlastn vektor ', vlastn hodnota (vl. slo) '. k me, e b je vlastn vektor p slu n vlastn hodnot. Denice.3 Nech A je matice du n nad C, b nenulov vektor z C n, 2 C. Kdy Ab = b,pakb nazveme vlastn m vektorem matice A, vlastn hodnotou matice A. k me, e vlastn vektor b p slu vlastn hodnot. Pozn mka.4 Mno ina v ech vlastn ch vektor p slu n ch dan vlastn hodnot je line rn podprostor. Pozn mka.5 Nech ' je line rn transformace v U (n), (e) b ze v U (n), 6= b 2 U (n), 2 C, [b] sloupec sou adnic vektoru b vzhledem k b zi (e). Pak ' b = b, A T [b] = [b], kdea je matice transformace ' vzhledem k b zi (e). D kaz: '(e) = A(e) [b] T (e) = b [b] T A(e) = [b] T 'e = 'b = b = [b] T, [b] T A = [b] T, A T [b] = [b] 2 V ta.6 Nech ' je line rn transformace v U n, (e) b ze v U (n) 6= b 2 U n, 2 C, [b] sloupec sou adnice vektoru b vzhledem k b zi (e). Pak 'b = b () A T [b] = [b], kde A je matice ' vzhledem k b zi (e). V ta.7 Ka d charakteristick ko en matice je jej vlastn hodnotou a obr cen. Denice.8 N sobnost vlastn hodnoty je n sobnost ko ene charakteristick ho polynomu matice A. Mno ina v ech vlastn ch hodnot matice A, kde ka d vl. hodnota se po t tolikr t, jako je jej n sobnost se naz v spektrum matice A. V ta.9 Podobn matice maj tyt vlastn hodnoty v etn n sobnosti. D kaz: Nech A, B jsou matice a S ; AS = B. ja ; Ij = jb ; Ij = js ; AS ; Ij = js ; jja ; IjjSj = ja ; Ij 2

3 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC 2 Denice. tvercov matice se naz v diagonalizovateln, kdy je podobn diagon ln. V ta. Matice A du n je diagonalizovateln, pr v kdy existuje n vz jemn nez visl ch vlastn ch vektor. V ta.2 Nech ::: k jsou navz jem r zn vlastn hodnoty matice A du n (n k). Pak odpov daj c vlastn vektory tvo line rn nez visl syst m. Je-li k = n, matice A je diagonalizovateln. D kaz: ekn me, e x ::: x k jsou vlastn vektory A p slu n vlastn m hodnot m ::: k. P edpokl dejme, e x ::: x k jsou line rn z visl. Pak existuje netrivi ln nulov line rn kombinace t chto vektor, ekn me, e = x () + :::+ r x (r) je nulov netrivi ln kombinace s nejmen m po tem nenulov ch koecient. Aplikujme A na tuto rovnici: = Ax () + :::+ r Ax (r) = x () + :::+ r r x (r) Vyn sobme tuto rovnici r = r x (r) + :::+ r r x (r) ode ten m = ( ; r )x () + :::+ r; ( r; ; r )x (r;) Dostaneme nulovou netrivi ln kombinaci, kter m m n nenulov ch koecient ne r. To jespor. 2 Denice.3 Permuta n matice je tvercov matice, kter m v ka d m dku a v ka d m sloupci jednu jedni ku, ostatn prvky jsou nulov. Permuta n matice P odpov d permutaci p = 2 ::: n i i 2 ::: i n kdy na pozic ch [i ] [i 2 2] ::: [i n n] m jedni ky, jinde nuly. V ta.4 Nech A je matice du m, P permuta n matice p slu n permutaci p = 2 ::: m i i 2 ::: i m Pak AP je matice, jej sloupce se z skaj permutac sloupc A pomoc permutace p (i x -t p ejde na x-tou pozici). P T A je matice, jej dky se z skaj permutac dk A pomoc permutace p. P T AP tedy d sou asn permutaci sloupc i dk. Diagon ln prvky matice P T AP se z skaj permutac p diagon ln ch prvk matice A. :

4 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC 3 Lemma.5 Nech A, B jsou matice d m, n, C = A B : Pak C je diagonalizovateln, pr v kdy A i B jsou diagonalizovateln. V ta.6 Schurova v ta o unit rn triangularizaci Nech A je matice du n, ::: n jej vlastn hodnoty (v n jak m po dku). Pak existuje matice U tak, e U AU = T, kde T je horn (doln ) troj heln kov matice s diagon ln mi prvky t ii = i i =:::n. Jinak e eno libovoln matice je unit rn ekvivalentn s troj heln kovou matic, jej diagon ln prvky jsou vlastn hodnoty dan matice v p edem p edpokl dan m po dku. Je-li A re ln a jej vlastn hodnoty jsou re ln, pak U je mo no vybrat jako re lnou a ortogon ln. D kaz: Indukc vzhledem k n. 2 V ta.7 Zobecn n Schurova v ta o triangularizaci (neunit rn ) Nech A je matice du n, nech m navz jem r zn vlastn hodnoty ::: k, i m n sobnost n i (i = ::: k). Potom A je neunit rn podobn matici tvaru T T 2. C A T k Nech T i jsou troj heln kov matice du n i s diagon ln mi prvky i (i = ::: k). Je-li matice A re ln a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln, pak transformuj c matic m e b t re ln matice. Denice.8 Matice du n se naz v norm ln, kdy proniplat AA = A A. Denice.9 Matice A, kter je unit rn ekvivalentn s diagon ln matic, se naz v unit rn diagonalizovateln. V re ln m p pad mluv me o ortogon ln diagonalizovatelnosti. V ta.2 Charakteristick znaky norm ln ch matic Nech A je matice du n, ::: n jej vlastn hodnoty. Pak n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn :. A je norm ln 2. A je unit rn diagonalizovateln 3. P n i= ja ii j 2 = P n i= j i j 2 4. existuje ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice A. D sledek.2 Troj heln kov norm ln matice je diagon ln.

5 2 SYMETRICK TRANSFORMACE 4 2 Symetrick transformace Denice 2. Line rn transformace ' unit rn ho prostoru U (n) (Euklidovsk ho prostoru E (n) ) se naz v symetrick, kdy plat pro libovoln a b 2 U (n) (a b 2 E (n) ) ('(a) b)=(a '(b)). Denice 2.2 tvercov maticeq nad C se naz v hermitovsk resp. symetrick, kdy Q = Q resp. Q T = Q. V ta 2.3 Symetrick transformace unit rn ho prostoru m vzhledem k libovoln ortonorm ln b zi hermitovskou matici. Obr cen, m -li line rn transformace unit rn ho prostoru vzhledem k jedn ortonorm ln b zi hermitovskou matici, pak je tato transformace symetrick. D kaz:. ' je symetrick transformace. Jej matice Q = (q ij ) vzhledem k jedn ortonorm ln b zi fe ::: e n g. ('(e i ) e j )=( P ) k q ik e k e j )=q i j (e i '(e j )) = (e j P =) Q = Q k q ik e k )=q j i 2. Q = (q ij ) hermitovsk matice line rn transformace ' vzhledem k n jak ortonorm ln b zi e ::: e n. M me dok zat, e pro libovoln a, b dan ho prostoru plat ('a b) =(a 'b). a = P i i e i b = P i i e i ('a b) =(a 'b) Pozn mka 2.4 Symetrick transformace Euklidovsk ho prostoru je charakterizov na podobn jako v p edchoz v t. M sto hermitovsk matice je re ln symetrick matice. V ta 2.5 Line rn transformace ' unit rn ho prostoru je symetrick, kdy aspo pro jednu ortonorm ln b zi plat ('e i e j )=(e i 'e j ) 8i j. D kaz: Je ve druh sti d kazu p edchoz v ty. 2 V ta 2.6 V echny charakteristick ko eny (tedy i v echny vlastn hodnoty) hermitovsk matice jsou re ln. D kaz: Nech x je vlastn vektor (normovan - jxj = x) hermitovsk matice A p slu n vlastn hodnot. = x x = x Ax (x Ax) = x A x = x Ax ) x Ax = 2 R 2 D sledek 2.7 V echny charakteristick ko eny a v echny vlastn hodnoty symetrick line rn transformace jsou re ln. V ta 2.8 Line rn transformace ' unit rn ho prostoru U (n) je symetrick, pr v kdy v U (n) existuje ortonorm ln b ze slo en z vlastn ch vektor matice transformace ' a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln. 2

6 3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST 5 3 Hermitovsk matice a kongruentnost V ta 3. Libovoln tvercov matice A se d zapsat jako A = S + it, kde S a T jsou hermitovsk matice. D kaz: S ==2(A + A ) T =(;i=2)(a ; A ) ) A = S + it jednozna nost: A = E +if A F hermitovsk 2S = A +A = E +if +(E i F ) = E +E +if ;if = 2E ) S = E T = F 2 V ta 3.2 Matice A du n je hermitovsk, pr v kdy plat kter koli z n sleduj c ch podm nek:. funkce x Ax je re ln pro v echny x 2 C n. 2. matice A je norm ln (existuje ortonorm ln syst m vektor matice A a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln ). 3. matice S AS je hermitovsk pro libovolnou matici S du n 4. matici A je mo no vyj d it ve tvaru A = UDU, kde U je unit rn a D re ln diagon ln. Pozn mka 3.3 Diagon ln prvky matice D jsou vastn hodnoty matice A, za matici V lze vz t matici, jej sloupce jsou vlastn vektory A atotakov, kter tvo ortonorm ln syst m. V ta 3.4 Re ln matice A je symetrick, pr v kdy A = Q T Q, kde Q je re ln ortogon ln a re ln diagon ln. D kaz:. A je re ln symetrick matice. Podle Schurovy v ty A = Q T TQ, kde Q je ortogon ln re ln, T je re ln troj heln kov. Troj heln kov norm ln matice je diagon ln. 2. A = Q T Q, Q je re ln ortogon ln, je re ln diagon ln. A T = Q T T Q = Q T Q = A 2 Denice 3.5 Nech A, B jsou matice t ho du. Kdy existuje regul rn matice S tak, e B = SAS,pakB se naz v hermitovsky kongruentn s A ( kongruentn ) B = SAS T, pak B se naz v kongruentn s A ( T kongruentn ) Denice 3.6 Nech A je tvercov matice du n. Inercie (setrva nost) matice A je trojice i(a) =(i + (A) i ; (A) i (A)), kde i + (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st kladnou

7 3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST 6 i ; (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st z pornou i (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st nulovou slo i + (A) ; i ; (A) se naz v signatura matice A. Pozn mka 3.7 Pro hermitovsk matice plat i + ; i ; = (signatura) a i + + i ; = r (hodnost) V ta 3.8 (Sylvestrova) v ta o setrva nosti (o inercii) Je-li A hermitovsk nebo re ln symetrick matice a plat -li i(a) =i(b), pak existuje regul rn matice G tak, e A = GBG V ta 3.9 Nech A je matice du n. Pak existuje unit rn matice U a horn troj heln kov matice, ob du n tak, e A = UU T, pr v kdy jsou nez porn vlastn hodnoty matice AA. P i spln n podm nky lze br t jako diagon ln s nez porn mi diagon ln mi prvky. Je-li A (re ln nebo komplexn ) symetrick, pak se matice d br t jako diagon ln, sloupce matice U pak tvo ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice AA, odpov daj c diagon ln prvky matice jsou nez porn druh odmocniny zvlastn ch hodnot matice AA. D kaz: Stoj p li mnoho sil. 2 V ta 3. Nech A, B jsou (re ln nebo komplexn ) matice t ho du. Pak existuje regul rn matice S tak, e A = SBS T pr v tehdy, kdy A, B maj tyt vlastn hodnoty. D kaz:. Kdy A = SBS T, pak A, B maj tut hodnost. 2. P edpokl dejme, e A, B maj tut hodnost. Podle p edchoz v ty existuje A = U U T, U je unit rn, diagon ln. A = diag( ::: n ) = diag(d :::d n ),kde d i = ( p + i i > i = A = U D I(A)D U T = S I(A)S T B = S 2 I(B)S2 T, S, S 2 regul rn. h(a) =h(i(a)) h(b) = h(i(b)), h(a) =h(b) ) h(i(a)) = h(i(b)) ) I(A) =I(B). A = S I(A)S T = S S ; B(S2 T ); S T = SBST I(A) =I(B) =S 2 ; B(S2 T ); a S S 2 ; = S je regul rn. 2

8 4 POZITIVN REFUNDN MATICE 7 4 Pozitivn refundn matice Denice 4. Hermitovsk nebo re ln symetrick matice A se naz v pozitivn denitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn, resp. re ln vektor plat (Ax x) >. Denice 4.2 Hermitovsk nebo re ln symetrick matice A se naz v pozitivn semidenitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn, resp. re ln vektor plat (Ax x). V obou denic ch se m sto (Ax x) d pou t x Ax x = [x ::: x n ] T A = ( ij ) (Ax x) = P i j ij x i x j Denice 4.3 Nech A =( ij ) je matice typu (m n), i <i 2 <:::<i j m, k <k 2 <:::<k l n Pak pod A(i ::: i j jj ::: j l ) rozum me (k l) podmatici v A, kter z A vznikne vynech n m v ech prvk, krom prvk na pozic ch (i k ) = i ::: j = k ::: k l Je-li A tvercov, pak podmatice A(i ::: i j ji ::: i j ) se naz v hlavn podmatice v A. P slu n minor se naz v hlavn minor. Ozna me-li fi ::: i j g jako N j (podobn M l ), pak m sto A(i ::: i j jj ::: j l ) p eme A(N j M l ). V ta 4.4 Nech A =( ij ) je du n, nech m vlastn hodnoty ::: n. Pak plat. P n i= i = P n i= ii 2. ::: n = det(a) 3. E k (x ::: x n )= P det(a(mjm)) card(m) =k, kdee k (x ::: x n ) je k-t element rn symetrick polynom o n neur it ch, toti E k (x ::: x n )= P x " :::x "n n, " i =nebo a P n i= k i = k. V ta 4.5 Hlavn v ta o pozitivn definitn ch matic ch Nech A je hermitovsk resp. re ln symetrick matice du n. Potom n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn.. Matice A je pozitivn denitn. 2. V echna hlavn sla v ech hlavn ch podmatic matice A jsou pozitivn. 3. V echny hlavn minory matice A jsou kladn. 4. det(a(n k jn k )) >, pro k = ::: n, kde N k = f 2 ::: kg (vedouc hlavn minory). 5. (F.. vynechal) 6. Existuje regul rn matice C tak, e A = CC.(C m e b t komplexn i pro A re lnou). 7. Sou ty hlavn ch minor k-t ho du matice A jsou kladn pro k = ::: n. 8. V echny vlastn hodnoty matice A jsou kladn.

9 4 POZITIVN REFUNDN MATICE 8 9. Existuje unit rn (p i re ln A ortogon ln ) matice U a diagon ln matice D s pozitivn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UDU. D kaz: Dokazuje se ) 2 ) 3 ) 4 ), 3 ) 7 ) 8 ) 9 ) 6 ). ( ) 2) A pozitivn denitn, A(MjM) (6= M N), vlastn hodnota matice A(MjM) p slu n vlastn mu vektoru x(m). A(MjM)x(M) = x(m) < (Ax x) = (A(MjM)x(M) x(m) = (x(m) x(m)) > ) > (2 ) 3) 6= M N det(a(mjm)) = sou in v ech vlastn ch hodnot matice A(MjM) >, proto det(a(mjm)) >. (3 ) 7) evidentn (7 ) 8) =ja ; Ij =(;) n + c (;) +:::+ c n > a p edpokl d me, e n pro libovolnou vlastn hodnotu matice A... spor. (8 ) 9) A = UDU, U unit rn, D diagon ln, A hermitovsk. D je re ln, U unit rn, diagon ln prvky D jsou vlastn hodnoty matice A aty jsou podle p edpokladu kladn. (9 ) 6) A = UDU, D = WW, kde W = p A = UWW U =(UW(UW) )...UW je regul rn.... p n (6 ) ) A = CC, C je regul rn, (Ax x) =(CC x ) =(C x C x) >. V ta 4.6 Hlavn v ta o pozitivn semidefinitn ch matic ch Nech A je hermitovsk resp. re ln symetrick matice du n. Potom n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn.. Matice A je pozitivn semidenitn. 2. Matice A + "I je pozitivn denitn pro ka d ">. 3. V echny vlastn hodnoty v ech hlavn ch podmatic matice A jsou nez porn. 4. V echny hlavn minory matice A jsou nez porn. 5. Sou ty hlavn ch minor k-t ho du matice A jsou nez porn pro k = ::: n. 6. V echny vlastn hodnoty matice A jsou nez porn. 7. Existuje unit rn (p i re ln A ortogon ln ) matice U a diagon ln matice D s nez porn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UDU. 8. Existuje tvercov matice C tak, e A = CC. 9. Existuje matice F typu (m n) tak, e A = FF. D kaz: Analogick s p edchoz m d kazem. 2 C A 2

10 4 POZITIVN REFUNDN MATICE 9 V ta 4.7 Pozitivn semidenitn matice je pozitivn denitn, pr v kdy je regul rn. D kaz: Na z klad hlavn ch v t. 2 V ta 4.8 Je-li A pozitivn denitn, pak A ; existuje ajepozitivn denitn. D kaz: A je regul rn, tedy A ; existuje. Vlastn hodnoty od A ; jsou p evr cen vlastn hodnoty od A. 2 V ta 4.9 Je-li A pozitivn denitn a >, paka je pozitivn denitn. Je-li A pozitivn semidenitn a, paka je pozitivn semidenitn. Jsou-li A, B pozitivn semidenitn, pak A + B je pozitivn semidenitn. Je-li A pozitivn denitn a B pozitivn semidenitn, pak A + B je pozitivn denitn. V ta 4. Je-li A pozitivn denitn a G regul rn matice, pak matice GAG je pozitivn denitn. Je-li A pozitivn semidenitn a G vhodn ho typu, pak matice GAG je pozitivn semidenitn. V ta 4.. Mno ina v ech vlastn ch vektor matice vzhledem k t e vlastn hodnot roz en o nulov vektor tvo vektorov podprostor (vlastn podprostor). 2. Vlastn vektory dan hermitovsk matice p slu n r zn m vlastn m hodnot m jsou ortogon ln. 3. Jsou-li v echny vlastn hodnoty hermitovsk matice navz jem r zn, pak jej vlastn podprostory jsou dimenze. Denice 4.2 Singul rn sla matice A lib. typu jsou kladn druh odmocniny nenulov ch vlastn ch hodnot matice A A.

11 4 POZITIVN REFUNDN MATICE V ta 4.3 O singul rn m rozkladu matice Nech A je matice typu (m n), hodnosti r. Pak existuj unit rn (pro re lnou A ortogon ln ) matice U du m, V du n a diagon ln matice S du r s kladn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UTV, kde T = S : Zde nulov bloky dopl uj matici T na matici typu (m n). P itom matice T je t mito podm nkami ur ena (a na po ad prvk v hlavn diagon le) jednozna n. Je-li matice A re ln, matice U a V mohou b t br ny re ln. Diagon ln prvky matice S jsou singul rn sla matice A. Sloupce matice U jsou vlastn vektory matice AA. Sloupce matice V jsou vlastn vektory matice A A (uspo dan jako u AA ). Jsou-li vlastn hodnoty matice AA navz jem r zn, je matice U ur ena jednozna n a na prost diagon ln faktor = diag( ::: n ) j i j =8i. Je-li r = m = n, pak p i pevn m U je matice V ur ena jednozna n. V ta 4.4 O pol rn m rozkladu tvercov matice A se d vyj d it ve tvaru A = PU, kde P je pozitivn semidenitn a U unit rn. D kaz: Zv ty o singul rn m rozkladu A = U S S V = U U UV {z } = PU {z } U P. 2

12 5 KVADRATICK FORMY 5 Kvadratick formy Denice 5. Hermitovsk (kvadratick ) forma f (x) n komplexn ch (re ln ch) neur it ch [x ::: x n ] T = x je polynom o t chto neur it ch nad C (R) tvaru f (x) = P n i= ij x i x j.vkomplexn m (re ln m) p pad jsou sla ij komplexn (re ln ) a neur it mohou nab vat komplexn ch (re ln ch) hodnot. Matice A = ( ij ) n i j= je matice formy f (x), p edpokl d se hermitovsk, v re ln m p pad symetrick. Hodnost formy denujeme jako hodnost matice A. V ta 5.2 Jestli e na kvadratickou formu f (x) = x Ax aplikujeme line rn transformaci x = Qy, pak f (y) =y Q AQy, to jest kvadratick forma f v neur it ch x p ejde v kvadratickou formu v neur it ch y a jej matice bude Q AQ. Denice 5.3 ekneme, e forma f (x) je v kanonick m tvaru, kdy f (x) = P n i= d i x i x i, kde d i i = ::: n jsou re ln sla. V ta 5.4 Ke kvadratick form f (x) =x Ax existuje unit rn transformace (s matic U) vektoru neur it ch x tak, e transformovan kvadratick forma je vkanonick m tvaru. Pro re lnou kvadratickou formu existuje re ln unit rn (t.j. ortogon ln ) transformace uveden ch vlastnost. P itom v obou p padech koecienty kanonick formy budouvlastn hodnoty matice A. D kaz: Pro A hermitovskou existuje unit rn U tak, e A = U DU, kde D je diagon ln s re ln mi prvky x = U y je dan transformace, f (y) = y U DUy = x Dx, A a D maj stejn vlastn hodnoty, tedy na hlavn diagon le D jsou vlastn hodnoty matice A. 2 V ta 5.5 O inercii (setrva nosti) kvadratick ch forem Nech f (x) je kvadratick forma (komplexn nebo re ln ) s matic A, nech P a Q jsou matice regul rn ch line rn ch transformac, p ev d j c ch f (x) na kanonick tvar. Pak pro matice P AP a Q AQ kanonick ch forem plat : inercie In(P AP ) = In(Q AQ) = In(A), t.j. ob kanonick formy maj t po et kladn ch koecient, t po et z porn ch a t po et nulov ch koecient. D kaz: Plyne bezprost edn ze Sylvesterovy v ty. 2 D sledek 5.6 Dv kanonick formy (ob komplexn nebo re ln ) se daj line rn mi transformacemi p ev st jedna na druhou, pr v kdy maj stejn hodnosti a stejn signatury. Denice 5.7 Kvadratick forma o n neur it ch se naz v pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), kdy se d p ev st na kanonick tvar s n kladn mi (n nez porn mi) koecienty. V ta 5.8 Kvadratick forma f (x) =x Ax je pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), pr v kdy pro libovoln vektor x 6= plat x Ax > (x Ax ). D kaz: Plyne z hlavn v ty o pozitivn denitn ch (resp. semidenitn ch) matic ch. 2

13 5 KVADRATICK FORMY 2 Pozn mka 5.9 Praktick v po et matice U unit rn transformace, kter p ev d kvadratickou formu f (x) = x Ax k hlavn m os m. P slu n kanonick tvar m za koecienty vlastn hodnoty matice A. U AU = D = diag( ::: n ) AU = UD AU i = U i D, AU i = i U i Ax = i x, (A ; i I)x = je fundament ln syst m. e en tohoto syst mu ortonormalizujeme, obdr me ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice A, p slu n hodnoty jsou i. U i K i je ortonorm ln syst m vektor matice A i U.

14 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 3 6 Jordanova kanonick forma matice Denice 6. Jordan v blok J k () je horn troj heln kov matice du k, tvaru... J k () = C A Jordanova matice (matice v jordanov tvaru, jordanova kanonick forma, jordanova norm ln forma matice) J je blokov diagon ln matice du n, jej bloky jsou jordanovy bloky: J n ( ) J J = n2 ( 2 ) C. A J ns ( s ) kde n + :::+ n s = n, ::: s jsou komplexn sla. V ta 6.2 Jordanova v ta Nech A je komplexn matice du n. Pak existuje regul rn matice du n tak, e A = S J n ( ) J n2 ( 2 )... J nk ( k ) C A S; kde n + :::+ n k = n, ::: k jsou komplexn sla. Jordanova matice J je denov na jednozna n a na po ad blok. Je-li matice A re ln, pak podobnost m e b t zprost edkov na re lnou matic S. D kaz: Podle Schurovy v ty je A = U TU, U unit rn, T horn troj heln kov matice, jej hlavn diagon la je tvo ena vlastn mi hodnotami matice A. Zobecn n m Schurovy v ty plyne, et je podobn s blokov diagon ln matic, diagon ly blok maj stejn prvky. Lemma 6.3 Pro k aprojordan v blok... J k () = C A 2

15 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 4 plat J T k ()J k() = I k; [J k ()] p = pro p k, J k ()l i+ = l i i = ::: b ; I k; je jednotkov matice du k ;, [I k ; J T k ()J k()]x =(x T e )e pro libovoln x 2 C k D kaz: P m m v po tem. 2 Denice 6.4 Horn ost e troj heln kov matice je horn troj heln kov matice, jej hlavn diagon la je nulov. V ta 6.5 Nech A je horn ost e troj heln kov matice du n. Pak existuje regul rn matice S du n a cel sla n n 2 ::: n m n + :::+ n m = n, A = S J n ()... J nm () C A S; : D kaz: Indukc vzhledem k n. 2 D sledek 6.6 Dv matice v jordanov tvaru jsou podobn, pr v kdy se li pouze po ad m blok. V ta 6.7 Nech A je matice du n, " 6= slo. Pak existuje regul rn matice S = S(") du n tak, e A = S J n ( ")... J nk ( k ") C A S; kde i ".. J ni ( i. i ")= " Je-li A re ln a " re ln slo, lze vybrat S(") re lnou. i : C A V ta 6.8 Nech matice A, B jsou podobn v komplexn m oboru. Pak jsou podobn i v re ln m oboru. D kaz: A, B jsou re ln matice, B = TAT ;, T je regul rn komplexn, T = P + iq, kde P, Q jsou re ln. BT = TA, BP = PA, BQ = QA, det(p + iq) 6=. det(p + Q) je polynom prom nn, kter nen toto n rovn nule, to znamen, e m pouze kone n po et ko en. Potom existuje re ln slo tak, e det(p + Q) 6=,t.j.P + Q je regul rn matice. T = P + Q, B = T AT ;, T je re ln matice. 2

16 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 5 V ta 6.9 Plat [J m ()] k = k k k; k 2 k k. k;2 k; k m ; k m ; 2 k. k;m+ k;m+2 : C A Je-li jj <, je lim [J m()] k =: k D kaz: Indukc az k j + k j + = k + j + 2 V ta 6. Nech A je matice du n, f (x) polynom. Jsou-li ::: n vlastn hodnoty matice A, pak matice f (A) m vlastn hodnoty f ( ) ::: f( n ). Je-li g(x) polynom, pro kter g( i ) 6=, i = ::: n, pak matice f (A) je regul rn a f (A)[g(A)] ; m jako svoje vlastn hodnoty pr v sla f ( )=g( ) ::: f( n )=g( n ). Je-li x vlastn vektor matice A p slu n vlastn hodnot, je vlastn m vektorem tak matic f (A) f (A)g(A) ; odpov daj c vlastn hodnot f (), f ()=g(). Denice 6. Spektr ln polom r (A) tvercov matice A denujeme (A) =maxfjj je vlastn hodnota matice Ag. V ta 6.2 Oldenburgerova v ta Nech A je tvercov matice. Pak plat pr v kdy (A) <. D kaz:. lim A k =, m me dok zat (A) <. lim k Ak = lim k Ak =) lim A k k j =) lim k k = pro v echny vlastn hodnoty matice A )jj < ) (A) <.

17 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 6 2. (A) < )jj < pro v echny vlastn hodnoty matice A ) lim k [J n ()] k =) lim k A k =: 2 V ta 6.3 Je-li A tvercov matice, kter spl uje podm nku (A) <, potom konverguje geometrick ada I + A + A 2 + ::: a jej sou et je (I ; A) ;. D kaz: (A) < ) I ;A je regul rn. I +A+A 2 +:::+A k =(I ;A k+ )(I ;A) ; P k= A k =(I ;A) ; lim k =(podle Oldenburgerovy v ty) 2

18 7 POLYNOMI LN MATICE 7 7 Polynomi ln matice Denice 7. Matice, jej prvky jsou polynomy jedn prom nn (zpravidla zna en, odtud -matice), se naz v polynomi ln matice. Koecienty polynom bebreme v C nebo v R. -matice pova ujeme za tvercov. -matici, jej prvky jsou sla, nazveme skal rn matice. Denice 7.2 Element rn mi transformacemi -matice naz v me n sleduj c zobrazen : N soben n kter ho dku slem 6=. K i-t mu dku p i teme f ()-n sobek j-t ho dku (i 6= j, f () je polynom). Analogicky denujeme sloupcov transformace. Denice 7.3 Dv -matice jsou ekvivalentn, kdy se jedna v druhou d p ev st kone n m po tem element rn ch transformac. Denice 7.4 ekneme, e -matice je v kanonick m tvaru, kdy m tvar f ()... f n () kde 8if i () je d litelem f i+() a v echny nenulov polynomy maj vedouc koecienty. V ta 7.5 Ka d -matice se d kone n m po tem element rn ch transformac p ev st na kanonick tvar. C A D kaz: Bu G-matice. Pro G =nen co dokazovat. f () f n () G = B A f n() f nn () P edpokl dejme, e f () m nejmen stupe mezi v emi maticemi ekvivalentn mi s G. Potom f () je d litelem v ech prvk v prvn m dku i v prvn m sloupci. Lze tedy G p ev st na tvar f () f 22 () f 2n () C... A f n2() f nn () atd. D kaz pod v metodu na p eveden -matice na kanonick diagon ln tvar. 2

19 7 POLYNOMI LN MATICE 8 Pozn mka 7.6 d F k () budeme zna it nejv t spole n d litel v ech minor stupn k v -matici F. V ta 7.7 Ekvivalentn -matice maj stejn nejv t spole n d litele minor stupn k (k = 2 ::: n). V ta 7.8 Bu d i D k () (k = 2 ::: n) nejv t spole n d litel kanonick diagon ln formy dv () :::dv k () =M, v <v 2 <:::<v k.pak d () je d litelem dv ()...d i () je d litelem dv i (). Nejv t spole n d litel D k () =d () :::d n (). Denice 7.9 Polynomy d F () ::: df n () se naz vaj invariantn faktory -matice F (jsou jednozna n stanoveny). V ta 7. Prvn podm nka ekvivalence -matic Podm nkou ekvivalence -matic je shoda invariantn ch faktor d k () t chto matic. V ta 7. Druh podm nka ekvivalence -matic Dv -matice jsou ekvivalentn, pr v kdy existuj matice P a Q tak, e G = PFQ, p i em P a Q jsou matice, jejich determinanty jsou konstantn nenulov. Denice 7.2 V razy [" ()] k ::: [" m ()] km se naz vaj element rn d litel invariantn ho faktoru d k () a sou et element rn ch d litel v ech invariantn ch faktor d () ::: d n (), -matice F se naz v soubor element rn ch d litel -matice F. V ta 7.3 d, hodnost a syst m v ech element rn ch d litel -matice F pln ur uje syst m invariantn ch faktor matice F a tud ur uje F a na ekvivalentnost. Lemma 7.4 Syst m element rn ch d litel libovoln diagon ln -matice je soubor element rn ch d litel jednotliv ch diagon ln ch prvk t to matice. V ta 7.5 Syst m element rn ch d litel blokov diagon ln -matice je souhrn element rn ch d litel jej ch blok. V ta 7.6 Weierstrassova Je-li ( ; a ) k ( ; a 2 ) k 2 ::: ( ; a s ) ks soubor v ech element rn ch d litel -matice I ; A (kde A je dan matice), pak jordan v kanonick tvar matice A je P n i= J ki (a i ).

20 7 POLYNOMI LN MATICE 9 D kaz: A je seln matice du n, J je jordanova norm ln forma matice A. SAS ; = J, S(I ; A)S ; = I ; SAS ; = I ; J I ; A I ; J I ; J k (a) = ; a ; ; a ;... ; ; a C A Nejv t spole n d litel od J k (a) du k je ( ; a) k. Matice I ; J je ( ; a ) k ::: ( ; a n ) kn. 2

21 8 MINIM LN POLYNOM MATICE 2 8 Minim ln polynom matice Denice 8. Bu A matice du n. Pak polynom () =a p +:::+a p (a 6=)senaz v minim ln polynom matice A, kdy je to polynom nejmen ho stupn, pro n j (A) =. V ta 8.2 Cayley-Hamiltonova Pro libovolnou matici A du n a jej charakteristick polynom '() plat '(A) =. V ta 8.3 Je-li A matice du n a g() spl uje g(a) =, pak () je d litelem polynomu g(). D kaz: g() = '()q() +r(), r() = nebo st() < st('()). = g(a) = '(A)g(A) +r(a), r() = 2 D sledek 8.4 Minim ln polynom je ur en jednozna n a na konstantn faktor.

22 LITERATURA 2 Literatura [] marda, B.: Line rn algebra. SPN, Praha 985 [2] Musilov, J., Krupka, D.: Line rn a multiline rn algebra. SPN, Praha 989

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat. KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

Matematika I Lineární závislost a nezávislost

Matematika I Lineární závislost a nezávislost Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace

Více

4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les

4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les 4 Stromy a les Jedn m ze z kladn ch, a patrn ї nejjednodu 0 8 0 8 m, typem graf 0 1 jsou takzvan і stromy. Jedn se o souvisl і grafy bez kru 0 6nic. P 0 0es svou (zd nlivou) jednoduchost maj stromy bohatou

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

1 3Statistika I (KMI/PSTAT)

1 3Statistika I (KMI/PSTAT) 1 3Statistika I (KMI/PSTAT) Cvi 0 0en prvn aneb Suma 0 0n symbolika, vod do popisn statistiky Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 17 1 3Obsah hodiny Po dne 0 8n hodin byste m li b 0 5t schopni: spr vn pou 0 6

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

Obchodní podmínky pro spolupráci se společností Iweol EU s.r.o.

Obchodní podmínky pro spolupráci se společností Iweol EU s.r.o. Obchodní podmínky pro spolupráci se společností Iweol EU s.r.o. 1. ÚVODNÍ USTANOVENÍ 1.1. Tyto obchodní podmínky (dále jen obchodní podmínky ) obchodní společnosti Iweol EU s.r.o., se sídlem Kovářská 140/10,

Více

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA č. 722-DD/15

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA č. 722-DD/15 DRAŽEBNÍ SPOLEČNOST MORAVA s.r.o. DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA č. 722-DD/15 vyhotovená dle 20 zákona č. 26/2000 Sb., o veřejných dražbách Dražebník: Dražební společnost MORAVA s.r.o. se sídlem: Zlín, Dlouhá 4433,

Více

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek

Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek Kamila Fa 0 0evicov, Karel Hron Katedra matematick anal 0 5zy a aplikac ͺ matematiky, Univerzita Palack ho v Olomouci Od kontingen 0 0n ͺch ke kompozi 0 0n

Více

Příloha č. 2 k zadávací dokumentaci - Tisk publikací a neperiodických tiskovin vydaných Ústavem pro studium totalitních režimů

Příloha č. 2 k zadávací dokumentaci - Tisk publikací a neperiodických tiskovin vydaných Ústavem pro studium totalitních režimů Příloha č. 2 k zadávací dokumentaci - Tisk publikací a neperiodických tiskovin vydaných Ústavem pro studium totalitních režimů Rámcová smlouva na poskytování služeb uzavřená podle ustanovení 11 zákona

Více

vydává DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKU o provedení elektronické dražby nemovitých věcí

vydává DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKU o provedení elektronické dražby nemovitých věcí Číslo jednací: 120 EX 35695/13-61 v. s. oprávněný: 1116010106 č.j. oprávněný: 1116010106 U S N E S E N Í JUDr. Dalimil Mika, LL. M., soudní exekutor, Exekutorský úřad Klatovy se sídlem Za Beránkem 836,

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

RÁMCOVÁ SMLOUVA Dodávka renovovaných tonerů

RÁMCOVÁ SMLOUVA Dodávka renovovaných tonerů RÁMCOVÁ SMLOUVA Dodávka renovovaných tonerů uzavřená níže uvedeného dne, měsíce roku dle ustanovení 1746 odst. 2, 2079 a násl. zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník, v platném znění mezi: František Skácel,

Více

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.

Operace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU

POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Do vlastních rukou akcionářů DEK a.s. POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Představenstvo společnosti DEK a.s., se sídlem Tiskařská 10/257, PSČ 108 00, IČ: 276 36 801, zapsané v obchodním rejstříku, vedeném

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek

EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek Rychtaříkova 1, 326 00 Plzeň Tel: +420 377 464 009, fax: +420 377 464 223, E-mail: info@exekutors.cz Spisová značka: 134 EX 16018/13-192

Více

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q.

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 7. průzkum bojem 1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 2)Jsou dány vektory u = (5;-3), v = (-6;4), f = (53;-33). Určete čísla k,l R taková, že k.u + l.v

Více

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201 .. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali

Více

Zákon č. 21/2006 Sb.,

Zákon č. 21/2006 Sb., Zákon č. 21/2006 Sb., o ověřování shody opisu nebo kopie s listinou a o ověřování pravosti podpisu a o změně některých zákonů (zákon o ověřování) ve znění zákona č. 165/2006 Sb., zákona č. 189/2008 Sb.

Více

EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek

EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek Dominikánská 8, 301 00 Plzeň Tel: +420 377 464 009, E-mail: info@exekutors.cz, datova schranka: pvwg8xd Spisová značka: 134 EX 09632/13-410

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika

Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz Metodika k použití počítačové prezentace A Z kvíz Mgr. Martin MOTYČKA 2013 1 Metodika

Více

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA č. 664-DD/14

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA č. 664-DD/14 DRAŽEBNÍ SPOLEČNOST MORAVA s.r.o. DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA č. 664-DD/14 vyhotovená dle 20 zákona č. 26/2000 Sb., o veřejných dražbách Dražebník: Navrhovatel: Dražební společnost MORAVA s.r.o. se sídlem: Zlín,

Více

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

Smlouva na dodávku pitné vody

Smlouva na dodávku pitné vody Smlouva na dodávku pitné vody níže uvedené smluvní strany uzavírají tuto smlouvu na dodávku a prodej pitné vody z veřejného vodovodu dle zákona č. 274/2001 Sb., o vodovodech a kanalizacích, a prováděcí

Více

Usnesení. r o z h o d l t a k t o :

Usnesení. r o z h o d l t a k t o : EXEKUTORSKÝ ÚŘAD CHEB MGR. DAVID KONCZ SOUDNÍ EXEKUTOR 26. dubna 10, Cheb 35002 tel., fax: +420 355 318 111, +420 355 318 110 e-mail: podatelna@eucheb.cz www.eucheb.cz IDDS: 9u8g8ka č.j. : 074 EX 08818/08-124

Více

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině): Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).

Více

C) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR

C) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR Správní právo dálkové studium VIII. Územní samospráva A) Historický vývoj na území ČR - po roce 1918 při vzniku ČSR zpočátku převzala předchozí uspořádání rakousko uherské - samosprávu představovaly obce,

Více

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA VEŘEJNÉ DOBROVOLNÉ DRAŽBY podle zák. č. 26/2000 Sb., o veřejných dražbách, ve znění pozdějších předpisů

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA VEŘEJNÉ DOBROVOLNÉ DRAŽBY podle zák. č. 26/2000 Sb., o veřejných dražbách, ve znění pozdějších předpisů DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA VEŘEJNÉ DOBROVOLNÉ DRAŽBY podle zák. č. 26/2000 Sb., o veřejných dražbách, ve znění pozdějších předpisů Dražebník, navrhovatel a vlastník předmětu dražby: Město Louny, IČ: 00265209, Mírové

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

5 Výměník tepla. 5.1 Cíle měření

5 Výměník tepla. 5.1 Cíle měření 5 Výměník tepla Výměník tepla je zařízení sloužící k přenosu tepla z jedné proudící tekutiny do druhé. Ve větracích a klimatizačních zařízeních se často používají výměníky voda - vzduch (ohřívače a chladiče).

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

Věc: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce s názvem: VÚ a ŠJ PŠOV, Nákup nového osmimístného vozidla

Věc: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce s názvem: VÚ a ŠJ PŠOV, Nákup nového osmimístného vozidla VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA PŠOV PŠOV 1 Podbořany 441 01 Tel. ředit: 415 211 297, Mobil ředit.: 736 633 595, Tel. ústředna: 415 214 615, e - mail: a.sava@seznam.cz, Fax: 415 211529, www.vupsov.cz Věc:

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek

EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek EXEKUTORSKÝ ÚŘAD PLZEŇ-MĚSTO Soudní exekutor Mgr. Ing. Jiří Prošek Rychtaříkova 1, 326 00 Plzeň Tel: +420 377 464 009, fax: +420 377 464 223, E-mail: info@exekutors.cz Spisová značka: 134 EX 14996/13-167

Více

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKU o provedení elektronické dražby nemovitých věcí

DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKU o provedení elektronické dražby nemovitých věcí Číslo jednací: 120 EX 11206/13-175 v. s. oprávněný: 5807099593 č.j. oprávněný: 5807099593 U S N E S E N Í JUDr. Dalimil Mika, LL. M., soudní exekutor, Exekutorský úřad Klatovy se sídlem Za Beránkem 836,

Více

ČEZ Prodej, s.r.o., sídlem Duhová 425/1, 14053, Praha, IČ 27232433, zast. David Jünger, Mgr., sídlem 28. října 438/219, 70900, Ostrava

ČEZ Prodej, s.r.o., sídlem Duhová 425/1, 14053, Praha, IČ 27232433, zast. David Jünger, Mgr., sídlem 28. října 438/219, 70900, Ostrava U s n e s e n í o nařízení dražebního jednání - elektronická dražba č.j. 024 EX 2227/09-177 VS opr.: 07-016585 Mgr. Helena Strouhalová, exekutorský kandidát, pověřený soudním exekutorem: Mgr. Pavla Fučíková,

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Česká basketbalová federace

Česká basketbalová federace Česká basketbalová federace Zátopkova 100/2, 160 17 Praha 6 Dokument je průběžně aktualizován! R O Z P I S turnajů o titul Mistr České republiky staršího minižactva sezóny 2010/2011 1. Všeobecná ustanovení:

Více

Smlouvu o uskutečnění programu celoživotního vzdělávání (dále jen jako Smlouva ) I. Předmět Smlouvy

Smlouvu o uskutečnění programu celoživotního vzdělávání (dále jen jako Smlouva ) I. Předmět Smlouvy Smlouva o uskutečnění programu celoživotního vzdělávání doplňující a rozšiřující studium Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta se sídlem M. D. Rettigové 4, 116 39 Praha 1 zastoupená děkankou

Více

SMLOUVA NA ZABEZPEČENÍ SLUŽBY čj ZÁVODNÍHO STRAVOVÁNÍ PRO VOJENSKÉ ZAŘÍZENÍ 1484 Libavá FORMOU STRAVOVACÍCH POUKÁZEK

SMLOUVA NA ZABEZPEČENÍ SLUŽBY čj ZÁVODNÍHO STRAVOVÁNÍ PRO VOJENSKÉ ZAŘÍZENÍ 1484 Libavá FORMOU STRAVOVACÍCH POUKÁZEK Vojenské zařízení 1484 Libavá V Libavé dne Čj. Výtisk číslo : Počet listů : 7 SMLOUVA NA ZABEZPEČENÍ SLUŽBY čj ZÁVODNÍHO STRAVOVÁNÍ PRO VOJENSKÉ ZAŘÍZENÍ 1484 Libavá FORMOU STRAVOVACÍCH POUKÁZEK I. Smluvní

Více

4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod

4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod 4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod Předpoklady: 040215 Postřeh z minulých měření: Při sestavování obvodů jsme používali stále stejnou plochou baterku. Přesto se její napětí po zapojení do obvodu měnilo.

Více

V Černošicích dne 30. 9. 2014. Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ.

V Černošicích dne 30. 9. 2014. Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ. Město Černošice IČ: 00241121 Riegrova 1209 252 28 Černošice V Černošicích dne 30. 9. 2014 Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ. Město Černošice

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)

Více

DOMOVNÍ ŘÁD BYTOVÉHO DRUŽSTVA ZÁZVORKOVA 2007, 2008, 2009

DOMOVNÍ ŘÁD BYTOVÉHO DRUŽSTVA ZÁZVORKOVA 2007, 2008, 2009 DOMOVNÍ ŘÁD BYTOVÉHO DRUŽSTVA ZÁZVORKOVA 2007, 2008, 2009 Úvodní ustanovení 1. V návaznosti na příslušné zákony a stanovy družstva obsahuje domovní řád pravidla užívání bytů, nebytových a společných částí

Více

VYHLÁŠKA ČÁST PRVNÍ STÁTNÍ ZKOUŠKY Z GRAFICKÝCH DISCIPLÍN. Předmět úpravy

VYHLÁŠKA ČÁST PRVNÍ STÁTNÍ ZKOUŠKY Z GRAFICKÝCH DISCIPLÍN. Předmět úpravy 58 VYHLÁŠKA ze dne 10. února 2016 o státních zkouškách z grafických disciplín a o změně vyhlášky č. 3/2015 Sb., o některých dokladech o vzdělání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy stanoví podle

Více

K U P N Í S M L O U V A

K U P N Í S M L O U V A K U P N Í S M L O U V A č.j. OLP/1508/2014 uzavřená dle ustanovení 2079 a násl. zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník, ve znění pozdějších právních předpisů (dále jen obč. zák.) mezi těmito smluvními

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vydání občanského průkazu

Vydání občanského průkazu Vydání občanského průkazu 01. Identifikační kód 02. Kód 03. Pojmenování (název) životní situace Vydání občanského průkazu 04. Základní informace k životní situaci Občanský průkaz je povinen mít občan,

Více

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část Základy sálavého vytápění (2162063) 7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část 30. 3. 2016 Ing. Jindřich Boháč Obsah přednášek ZSV 1. Obecný úvod o sdílení tepla 2. Tepelná pohoda 3. Velkoplošné

Více

ORGANIZAČNÍ ŘÁD Městský úřad Úvaly

ORGANIZAČNÍ ŘÁD Městský úřad Úvaly MEUV 6228/2013 ORGANIZAČNÍ ŘÁD Městský úřad Úvaly Organizační řád městského úřadu vychází ze zákona č. 128/2000 Sb., o obcích (obecní zřízení) v platném znění. Tento vnitřní předpis schválila Rada města

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

t a k t o : I. Nařizuje se další elektronická dražba, která se koná prostřednictvím elektronického systému dražeb na adrese portálu www.exdrazby.

t a k t o : I. Nařizuje se další elektronická dražba, která se koná prostřednictvím elektronického systému dražeb na adrese portálu www.exdrazby. č.j. 024 EX 871/12-289 U s n e s e n í o nařízení dalšího dražebního jednání - elektronická dražba Mgr. Helena Strouhalová, exekutorský kandidát, pověřený soudním exekutorem: Mgr. Pavla Fučíková, Exekutorský

Více

CELNÍ ÚŘAD PRO PARDUBICKÝ KRAJ Palackého 2659, 530 02 Pardubice DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA

CELNÍ ÚŘAD PRO PARDUBICKÝ KRAJ Palackého 2659, 530 02 Pardubice DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA Stránka 1 z 6 CELNÍ ÚŘAD PRO PARDUBICKÝ KRAJ Palackého 2659, 530 02 Pardubice Č.j.: 14342-2/2015-590000-42 V Pardubicích dne 10. 3. 2015 Vyřizuje/telefon: Pešinová L./731 879 783 DRAŽEBNÍ VYHLÁŠKA Celní

Více

veřejnoprávní smlouvu o poskytnutí účelové dotace z rozpočtu Libereckého kraje Článek I. Předmět a účel smlouvy

veřejnoprávní smlouvu o poskytnutí účelové dotace z rozpočtu Libereckého kraje Článek I. Předmět a účel smlouvy S m l o u v a o p o s k y t n u t í účelové dotace z Dotačního fondu Libereckého kraje podprogram 2.5 Podpora regionálních výrobků, výrobců a tradičních řemesel č. OLP/1873/2015 schválená Zastupitelstvem

Více

Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina

Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA NOVÁ ROLE Školní 9, Nová Role, PSČ: 362 25, Tel: 353 851 179 Dodavatel: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina 1. Zadavatel Výchovný

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická

Více

úzkým propojením se rozumí stav, kdy jsou dvě nebo více fyzických či právnických osob spojeny:

úzkým propojením se rozumí stav, kdy jsou dvě nebo více fyzických či právnických osob spojeny: Příloha č. 1 Srovnávací tabulka k návrhu zákona o finančních konglomerátech s legislativou ES Ustanovení zákona Navrhovaný předpis ČR 36 Změna zákona o bankách 4 V 4 odst. 5 písm. g) se slova s úzkým propojením,

Více

oprávněného: Komerční banka, a.s., se sídlem Na Příkopě 33 čp. 969, 11407, Praha 1, IČ 45317054 proti povinnému:

oprávněného: Komerční banka, a.s., se sídlem Na Příkopě 33 čp. 969, 11407, Praha 1, IČ 45317054 proti povinnému: č.j. 024 EX 1999/09-145 U s n e s e n í o nařízení dalšího dražebního jednání - elektronická dražba Soudní exekutor Mgr. Pavla Fučíková, Exekutorský úřad Ostrava, se sídlem Slévárenská 410/14, Ostrava

Více

Uchazečům o veřejnou zakázku

Uchazečům o veřejnou zakázku MĚSTO KOPŘIVNICE MĚSTSKÝ ÚŘAD KOPŘIVNICE Oddělení soukromoprávní VÁŠ DOPIS ZN.: ZE DNE: Č. J.: SPIS. ZN.: VYŘIZUJE / ÚTVAR: Mgr. Irena Hanáková/OSP TELEFON: 556 879 749 E-MAIL: Irena.hanakova@koprivnice.cz

Více

OBECNĚ ZÁVAZNÁ VYHLÁŠKA

OBECNĚ ZÁVAZNÁ VYHLÁŠKA ÚŘAD MĚSTA ČESKÉ BUDĚJOVICE OBECNĚ ZÁVAZNÁ VYHLÁŠKA č. 4/2000 Změněna vyhláškou č. 13/2005 s účinností od 15.12.2005!!! Změněna vyhláškou č. 2/2006 s účinností od 2.5.2006!!! Změněna vyhláškou č. 12/2006

Více

Všeobecné obchodní podmínky společnosti OT Energy Services a.s. platné od 23. 4. 2014

Všeobecné obchodní podmínky společnosti OT Energy Services a.s. platné od 23. 4. 2014 Všeobecné obchodní podmínky společnosti OT Energy Services a.s. platné od 23. 4. 2014 pro dodávky zboží a výrobků (nákup) 1. VŠEOBECNÁ USTANOVENÍ 1.1 Tyto všeobecné obchodní podmínky (dále jen Podmínky

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více