Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn refundn matice 7 5 Kvadratick formy 6 Jordanova kanonick forma matice 3 7 Polynomi ln matice 7 8 Minim ln polynom matice 2

2 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC Diagonalizovatelnost matic Denice. Charakteristick matice A (nad C) je matice A = I, kdei je jednotkov matice. Charakteristick polynom matice A je polynom ja ; Ij Charakteristick ko eny matice A jsou ko eny jej ho charakteristick ho polynomu. Charakteristick ko eny line rn transformace ' v unit rn m prostoru U jsou charakteristick ko eny matice transformace ' vzhledem k libovoln b zi. Denice.2 Bu U (n) unit rn prostor, ' line rn transformace v U (n), b nenulov vektor z U (n) 2 C. Kdy 'b = b, pak b se naz v vlastn vektor ', vlastn hodnota (vl. slo) '. k me, e b je vlastn vektor p slu n vlastn hodnot. Denice.3 Nech A je matice du n nad C, b nenulov vektor z C n, 2 C. Kdy Ab = b,pakb nazveme vlastn m vektorem matice A, vlastn hodnotou matice A. k me, e vlastn vektor b p slu vlastn hodnot. Pozn mka.4 Mno ina v ech vlastn ch vektor p slu n ch dan vlastn hodnot je line rn podprostor. Pozn mka.5 Nech ' je line rn transformace v U (n), (e) b ze v U (n), 6= b 2 U (n), 2 C, [b] sloupec sou adnic vektoru b vzhledem k b zi (e). Pak ' b = b, A T [b] = [b], kdea je matice transformace ' vzhledem k b zi (e). D kaz: '(e) = A(e) [b] T (e) = b [b] T A(e) = [b] T 'e = 'b = b = [b] T, [b] T A = [b] T, A T [b] = [b] 2 V ta.6 Nech ' je line rn transformace v U n, (e) b ze v U (n) 6= b 2 U n, 2 C, [b] sloupec sou adnice vektoru b vzhledem k b zi (e). Pak 'b = b () A T [b] = [b], kde A je matice ' vzhledem k b zi (e). V ta.7 Ka d charakteristick ko en matice je jej vlastn hodnotou a obr cen. Denice.8 N sobnost vlastn hodnoty je n sobnost ko ene charakteristick ho polynomu matice A. Mno ina v ech vlastn ch hodnot matice A, kde ka d vl. hodnota se po t tolikr t, jako je jej n sobnost se naz v spektrum matice A. V ta.9 Podobn matice maj tyt vlastn hodnoty v etn n sobnosti. D kaz: Nech A, B jsou matice a S ; AS = B. ja ; Ij = jb ; Ij = js ; AS ; Ij = js ; jja ; IjjSj = ja ; Ij 2

3 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC 2 Denice. tvercov matice se naz v diagonalizovateln, kdy je podobn diagon ln. V ta. Matice A du n je diagonalizovateln, pr v kdy existuje n vz jemn nez visl ch vlastn ch vektor. V ta.2 Nech ::: k jsou navz jem r zn vlastn hodnoty matice A du n (n k). Pak odpov daj c vlastn vektory tvo line rn nez visl syst m. Je-li k = n, matice A je diagonalizovateln. D kaz: ekn me, e x ::: x k jsou vlastn vektory A p slu n vlastn m hodnot m ::: k. P edpokl dejme, e x ::: x k jsou line rn z visl. Pak existuje netrivi ln nulov line rn kombinace t chto vektor, ekn me, e = x () + :::+ r x (r) je nulov netrivi ln kombinace s nejmen m po tem nenulov ch koecient. Aplikujme A na tuto rovnici: = Ax () + :::+ r Ax (r) = x () + :::+ r r x (r) Vyn sobme tuto rovnici r = r x (r) + :::+ r r x (r) ode ten m = ( ; r )x () + :::+ r; ( r; ; r )x (r;) Dostaneme nulovou netrivi ln kombinaci, kter m m n nenulov ch koecient ne r. To jespor. 2 Denice.3 Permuta n matice je tvercov matice, kter m v ka d m dku a v ka d m sloupci jednu jedni ku, ostatn prvky jsou nulov. Permuta n matice P odpov d permutaci p = 2 ::: n i i 2 ::: i n kdy na pozic ch [i ] [i 2 2] ::: [i n n] m jedni ky, jinde nuly. V ta.4 Nech A je matice du m, P permuta n matice p slu n permutaci p = 2 ::: m i i 2 ::: i m Pak AP je matice, jej sloupce se z skaj permutac sloupc A pomoc permutace p (i x -t p ejde na x-tou pozici). P T A je matice, jej dky se z skaj permutac dk A pomoc permutace p. P T AP tedy d sou asn permutaci sloupc i dk. Diagon ln prvky matice P T AP se z skaj permutac p diagon ln ch prvk matice A. :

4 DIAGONALIZOVATELNOST MATIC 3 Lemma.5 Nech A, B jsou matice d m, n, C = A B : Pak C je diagonalizovateln, pr v kdy A i B jsou diagonalizovateln. V ta.6 Schurova v ta o unit rn triangularizaci Nech A je matice du n, ::: n jej vlastn hodnoty (v n jak m po dku). Pak existuje matice U tak, e U AU = T, kde T je horn (doln ) troj heln kov matice s diagon ln mi prvky t ii = i i =:::n. Jinak e eno libovoln matice je unit rn ekvivalentn s troj heln kovou matic, jej diagon ln prvky jsou vlastn hodnoty dan matice v p edem p edpokl dan m po dku. Je-li A re ln a jej vlastn hodnoty jsou re ln, pak U je mo no vybrat jako re lnou a ortogon ln. D kaz: Indukc vzhledem k n. 2 V ta.7 Zobecn n Schurova v ta o triangularizaci (neunit rn ) Nech A je matice du n, nech m navz jem r zn vlastn hodnoty ::: k, i m n sobnost n i (i = ::: k). Potom A je neunit rn podobn matici tvaru T T 2. C A T k Nech T i jsou troj heln kov matice du n i s diagon ln mi prvky i (i = ::: k). Je-li matice A re ln a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln, pak transformuj c matic m e b t re ln matice. Denice.8 Matice du n se naz v norm ln, kdy proniplat AA = A A. Denice.9 Matice A, kter je unit rn ekvivalentn s diagon ln matic, se naz v unit rn diagonalizovateln. V re ln m p pad mluv me o ortogon ln diagonalizovatelnosti. V ta.2 Charakteristick znaky norm ln ch matic Nech A je matice du n, ::: n jej vlastn hodnoty. Pak n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn :. A je norm ln 2. A je unit rn diagonalizovateln 3. P n i= ja ii j 2 = P n i= j i j 2 4. existuje ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice A. D sledek.2 Troj heln kov norm ln matice je diagon ln.

5 2 SYMETRICK TRANSFORMACE 4 2 Symetrick transformace Denice 2. Line rn transformace ' unit rn ho prostoru U (n) (Euklidovsk ho prostoru E (n) ) se naz v symetrick, kdy plat pro libovoln a b 2 U (n) (a b 2 E (n) ) ('(a) b)=(a '(b)). Denice 2.2 tvercov maticeq nad C se naz v hermitovsk resp. symetrick, kdy Q = Q resp. Q T = Q. V ta 2.3 Symetrick transformace unit rn ho prostoru m vzhledem k libovoln ortonorm ln b zi hermitovskou matici. Obr cen, m -li line rn transformace unit rn ho prostoru vzhledem k jedn ortonorm ln b zi hermitovskou matici, pak je tato transformace symetrick. D kaz:. ' je symetrick transformace. Jej matice Q = (q ij ) vzhledem k jedn ortonorm ln b zi fe ::: e n g. ('(e i ) e j )=( P ) k q ik e k e j )=q i j (e i '(e j )) = (e j P =) Q = Q k q ik e k )=q j i 2. Q = (q ij ) hermitovsk matice line rn transformace ' vzhledem k n jak ortonorm ln b zi e ::: e n. M me dok zat, e pro libovoln a, b dan ho prostoru plat ('a b) =(a 'b). a = P i i e i b = P i i e i ('a b) =(a 'b) Pozn mka 2.4 Symetrick transformace Euklidovsk ho prostoru je charakterizov na podobn jako v p edchoz v t. M sto hermitovsk matice je re ln symetrick matice. V ta 2.5 Line rn transformace ' unit rn ho prostoru je symetrick, kdy aspo pro jednu ortonorm ln b zi plat ('e i e j )=(e i 'e j ) 8i j. D kaz: Je ve druh sti d kazu p edchoz v ty. 2 V ta 2.6 V echny charakteristick ko eny (tedy i v echny vlastn hodnoty) hermitovsk matice jsou re ln. D kaz: Nech x je vlastn vektor (normovan - jxj = x) hermitovsk matice A p slu n vlastn hodnot. = x x = x Ax (x Ax) = x A x = x Ax ) x Ax = 2 R 2 D sledek 2.7 V echny charakteristick ko eny a v echny vlastn hodnoty symetrick line rn transformace jsou re ln. V ta 2.8 Line rn transformace ' unit rn ho prostoru U (n) je symetrick, pr v kdy v U (n) existuje ortonorm ln b ze slo en z vlastn ch vektor matice transformace ' a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln. 2

6 3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST 5 3 Hermitovsk matice a kongruentnost V ta 3. Libovoln tvercov matice A se d zapsat jako A = S + it, kde S a T jsou hermitovsk matice. D kaz: S ==2(A + A ) T =(;i=2)(a ; A ) ) A = S + it jednozna nost: A = E +if A F hermitovsk 2S = A +A = E +if +(E i F ) = E +E +if ;if = 2E ) S = E T = F 2 V ta 3.2 Matice A du n je hermitovsk, pr v kdy plat kter koli z n sleduj c ch podm nek:. funkce x Ax je re ln pro v echny x 2 C n. 2. matice A je norm ln (existuje ortonorm ln syst m vektor matice A a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln ). 3. matice S AS je hermitovsk pro libovolnou matici S du n 4. matici A je mo no vyj d it ve tvaru A = UDU, kde U je unit rn a D re ln diagon ln. Pozn mka 3.3 Diagon ln prvky matice D jsou vastn hodnoty matice A, za matici V lze vz t matici, jej sloupce jsou vlastn vektory A atotakov, kter tvo ortonorm ln syst m. V ta 3.4 Re ln matice A je symetrick, pr v kdy A = Q T Q, kde Q je re ln ortogon ln a re ln diagon ln. D kaz:. A je re ln symetrick matice. Podle Schurovy v ty A = Q T TQ, kde Q je ortogon ln re ln, T je re ln troj heln kov. Troj heln kov norm ln matice je diagon ln. 2. A = Q T Q, Q je re ln ortogon ln, je re ln diagon ln. A T = Q T T Q = Q T Q = A 2 Denice 3.5 Nech A, B jsou matice t ho du. Kdy existuje regul rn matice S tak, e B = SAS,pakB se naz v hermitovsky kongruentn s A ( kongruentn ) B = SAS T, pak B se naz v kongruentn s A ( T kongruentn ) Denice 3.6 Nech A je tvercov matice du n. Inercie (setrva nost) matice A je trojice i(a) =(i + (A) i ; (A) i (A)), kde i + (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st kladnou

7 3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST 6 i ; (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st z pornou i (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st nulovou slo i + (A) ; i ; (A) se naz v signatura matice A. Pozn mka 3.7 Pro hermitovsk matice plat i + ; i ; = (signatura) a i + + i ; = r (hodnost) V ta 3.8 (Sylvestrova) v ta o setrva nosti (o inercii) Je-li A hermitovsk nebo re ln symetrick matice a plat -li i(a) =i(b), pak existuje regul rn matice G tak, e A = GBG V ta 3.9 Nech A je matice du n. Pak existuje unit rn matice U a horn troj heln kov matice, ob du n tak, e A = UU T, pr v kdy jsou nez porn vlastn hodnoty matice AA. P i spln n podm nky lze br t jako diagon ln s nez porn mi diagon ln mi prvky. Je-li A (re ln nebo komplexn ) symetrick, pak se matice d br t jako diagon ln, sloupce matice U pak tvo ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice AA, odpov daj c diagon ln prvky matice jsou nez porn druh odmocniny zvlastn ch hodnot matice AA. D kaz: Stoj p li mnoho sil. 2 V ta 3. Nech A, B jsou (re ln nebo komplexn ) matice t ho du. Pak existuje regul rn matice S tak, e A = SBS T pr v tehdy, kdy A, B maj tyt vlastn hodnoty. D kaz:. Kdy A = SBS T, pak A, B maj tut hodnost. 2. P edpokl dejme, e A, B maj tut hodnost. Podle p edchoz v ty existuje A = U U T, U je unit rn, diagon ln. A = diag( ::: n ) = diag(d :::d n ),kde d i = ( p + i i > i = A = U D I(A)D U T = S I(A)S T B = S 2 I(B)S2 T, S, S 2 regul rn. h(a) =h(i(a)) h(b) = h(i(b)), h(a) =h(b) ) h(i(a)) = h(i(b)) ) I(A) =I(B). A = S I(A)S T = S S ; B(S2 T ); S T = SBST I(A) =I(B) =S 2 ; B(S2 T ); a S S 2 ; = S je regul rn. 2

8 4 POZITIVN REFUNDN MATICE 7 4 Pozitivn refundn matice Denice 4. Hermitovsk nebo re ln symetrick matice A se naz v pozitivn denitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn, resp. re ln vektor plat (Ax x) >. Denice 4.2 Hermitovsk nebo re ln symetrick matice A se naz v pozitivn semidenitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn, resp. re ln vektor plat (Ax x). V obou denic ch se m sto (Ax x) d pou t x Ax x = [x ::: x n ] T A = ( ij ) (Ax x) = P i j ij x i x j Denice 4.3 Nech A =( ij ) je matice typu (m n), i <i 2 <:::<i j m, k <k 2 <:::<k l n Pak pod A(i ::: i j jj ::: j l ) rozum me (k l) podmatici v A, kter z A vznikne vynech n m v ech prvk, krom prvk na pozic ch (i k ) = i ::: j = k ::: k l Je-li A tvercov, pak podmatice A(i ::: i j ji ::: i j ) se naz v hlavn podmatice v A. P slu n minor se naz v hlavn minor. Ozna me-li fi ::: i j g jako N j (podobn M l ), pak m sto A(i ::: i j jj ::: j l ) p eme A(N j M l ). V ta 4.4 Nech A =( ij ) je du n, nech m vlastn hodnoty ::: n. Pak plat. P n i= i = P n i= ii 2. ::: n = det(a) 3. E k (x ::: x n )= P det(a(mjm)) card(m) =k, kdee k (x ::: x n ) je k-t element rn symetrick polynom o n neur it ch, toti E k (x ::: x n )= P x " :::x "n n, " i =nebo a P n i= k i = k. V ta 4.5 Hlavn v ta o pozitivn definitn ch matic ch Nech A je hermitovsk resp. re ln symetrick matice du n. Potom n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn.. Matice A je pozitivn denitn. 2. V echna hlavn sla v ech hlavn ch podmatic matice A jsou pozitivn. 3. V echny hlavn minory matice A jsou kladn. 4. det(a(n k jn k )) >, pro k = ::: n, kde N k = f 2 ::: kg (vedouc hlavn minory). 5. (F.. vynechal) 6. Existuje regul rn matice C tak, e A = CC.(C m e b t komplexn i pro A re lnou). 7. Sou ty hlavn ch minor k-t ho du matice A jsou kladn pro k = ::: n. 8. V echny vlastn hodnoty matice A jsou kladn.

9 4 POZITIVN REFUNDN MATICE 8 9. Existuje unit rn (p i re ln A ortogon ln ) matice U a diagon ln matice D s pozitivn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UDU. D kaz: Dokazuje se ) 2 ) 3 ) 4 ), 3 ) 7 ) 8 ) 9 ) 6 ). ( ) 2) A pozitivn denitn, A(MjM) (6= M N), vlastn hodnota matice A(MjM) p slu n vlastn mu vektoru x(m). A(MjM)x(M) = x(m) < (Ax x) = (A(MjM)x(M) x(m) = (x(m) x(m)) > ) > (2 ) 3) 6= M N det(a(mjm)) = sou in v ech vlastn ch hodnot matice A(MjM) >, proto det(a(mjm)) >. (3 ) 7) evidentn (7 ) 8) =ja ; Ij =(;) n + c (;) +:::+ c n > a p edpokl d me, e n pro libovolnou vlastn hodnotu matice A... spor. (8 ) 9) A = UDU, U unit rn, D diagon ln, A hermitovsk. D je re ln, U unit rn, diagon ln prvky D jsou vlastn hodnoty matice A aty jsou podle p edpokladu kladn. (9 ) 6) A = UDU, D = WW, kde W = p A = UWW U =(UW(UW) )...UW je regul rn.... p n (6 ) ) A = CC, C je regul rn, (Ax x) =(CC x ) =(C x C x) >. V ta 4.6 Hlavn v ta o pozitivn semidefinitn ch matic ch Nech A je hermitovsk resp. re ln symetrick matice du n. Potom n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn.. Matice A je pozitivn semidenitn. 2. Matice A + "I je pozitivn denitn pro ka d ">. 3. V echny vlastn hodnoty v ech hlavn ch podmatic matice A jsou nez porn. 4. V echny hlavn minory matice A jsou nez porn. 5. Sou ty hlavn ch minor k-t ho du matice A jsou nez porn pro k = ::: n. 6. V echny vlastn hodnoty matice A jsou nez porn. 7. Existuje unit rn (p i re ln A ortogon ln ) matice U a diagon ln matice D s nez porn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UDU. 8. Existuje tvercov matice C tak, e A = CC. 9. Existuje matice F typu (m n) tak, e A = FF. D kaz: Analogick s p edchoz m d kazem. 2 C A 2

10 4 POZITIVN REFUNDN MATICE 9 V ta 4.7 Pozitivn semidenitn matice je pozitivn denitn, pr v kdy je regul rn. D kaz: Na z klad hlavn ch v t. 2 V ta 4.8 Je-li A pozitivn denitn, pak A ; existuje ajepozitivn denitn. D kaz: A je regul rn, tedy A ; existuje. Vlastn hodnoty od A ; jsou p evr cen vlastn hodnoty od A. 2 V ta 4.9 Je-li A pozitivn denitn a >, paka je pozitivn denitn. Je-li A pozitivn semidenitn a, paka je pozitivn semidenitn. Jsou-li A, B pozitivn semidenitn, pak A + B je pozitivn semidenitn. Je-li A pozitivn denitn a B pozitivn semidenitn, pak A + B je pozitivn denitn. V ta 4. Je-li A pozitivn denitn a G regul rn matice, pak matice GAG je pozitivn denitn. Je-li A pozitivn semidenitn a G vhodn ho typu, pak matice GAG je pozitivn semidenitn. V ta 4.. Mno ina v ech vlastn ch vektor matice vzhledem k t e vlastn hodnot roz en o nulov vektor tvo vektorov podprostor (vlastn podprostor). 2. Vlastn vektory dan hermitovsk matice p slu n r zn m vlastn m hodnot m jsou ortogon ln. 3. Jsou-li v echny vlastn hodnoty hermitovsk matice navz jem r zn, pak jej vlastn podprostory jsou dimenze. Denice 4.2 Singul rn sla matice A lib. typu jsou kladn druh odmocniny nenulov ch vlastn ch hodnot matice A A.

11 4 POZITIVN REFUNDN MATICE V ta 4.3 O singul rn m rozkladu matice Nech A je matice typu (m n), hodnosti r. Pak existuj unit rn (pro re lnou A ortogon ln ) matice U du m, V du n a diagon ln matice S du r s kladn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UTV, kde T = S : Zde nulov bloky dopl uj matici T na matici typu (m n). P itom matice T je t mito podm nkami ur ena (a na po ad prvk v hlavn diagon le) jednozna n. Je-li matice A re ln, matice U a V mohou b t br ny re ln. Diagon ln prvky matice S jsou singul rn sla matice A. Sloupce matice U jsou vlastn vektory matice AA. Sloupce matice V jsou vlastn vektory matice A A (uspo dan jako u AA ). Jsou-li vlastn hodnoty matice AA navz jem r zn, je matice U ur ena jednozna n a na prost diagon ln faktor = diag( ::: n ) j i j =8i. Je-li r = m = n, pak p i pevn m U je matice V ur ena jednozna n. V ta 4.4 O pol rn m rozkladu tvercov matice A se d vyj d it ve tvaru A = PU, kde P je pozitivn semidenitn a U unit rn. D kaz: Zv ty o singul rn m rozkladu A = U S S V = U U UV {z } = PU {z } U P. 2

12 5 KVADRATICK FORMY 5 Kvadratick formy Denice 5. Hermitovsk (kvadratick ) forma f (x) n komplexn ch (re ln ch) neur it ch [x ::: x n ] T = x je polynom o t chto neur it ch nad C (R) tvaru f (x) = P n i= ij x i x j.vkomplexn m (re ln m) p pad jsou sla ij komplexn (re ln ) a neur it mohou nab vat komplexn ch (re ln ch) hodnot. Matice A = ( ij ) n i j= je matice formy f (x), p edpokl d se hermitovsk, v re ln m p pad symetrick. Hodnost formy denujeme jako hodnost matice A. V ta 5.2 Jestli e na kvadratickou formu f (x) = x Ax aplikujeme line rn transformaci x = Qy, pak f (y) =y Q AQy, to jest kvadratick forma f v neur it ch x p ejde v kvadratickou formu v neur it ch y a jej matice bude Q AQ. Denice 5.3 ekneme, e forma f (x) je v kanonick m tvaru, kdy f (x) = P n i= d i x i x i, kde d i i = ::: n jsou re ln sla. V ta 5.4 Ke kvadratick form f (x) =x Ax existuje unit rn transformace (s matic U) vektoru neur it ch x tak, e transformovan kvadratick forma je vkanonick m tvaru. Pro re lnou kvadratickou formu existuje re ln unit rn (t.j. ortogon ln ) transformace uveden ch vlastnost. P itom v obou p padech koecienty kanonick formy budouvlastn hodnoty matice A. D kaz: Pro A hermitovskou existuje unit rn U tak, e A = U DU, kde D je diagon ln s re ln mi prvky x = U y je dan transformace, f (y) = y U DUy = x Dx, A a D maj stejn vlastn hodnoty, tedy na hlavn diagon le D jsou vlastn hodnoty matice A. 2 V ta 5.5 O inercii (setrva nosti) kvadratick ch forem Nech f (x) je kvadratick forma (komplexn nebo re ln ) s matic A, nech P a Q jsou matice regul rn ch line rn ch transformac, p ev d j c ch f (x) na kanonick tvar. Pak pro matice P AP a Q AQ kanonick ch forem plat : inercie In(P AP ) = In(Q AQ) = In(A), t.j. ob kanonick formy maj t po et kladn ch koecient, t po et z porn ch a t po et nulov ch koecient. D kaz: Plyne bezprost edn ze Sylvesterovy v ty. 2 D sledek 5.6 Dv kanonick formy (ob komplexn nebo re ln ) se daj line rn mi transformacemi p ev st jedna na druhou, pr v kdy maj stejn hodnosti a stejn signatury. Denice 5.7 Kvadratick forma o n neur it ch se naz v pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), kdy se d p ev st na kanonick tvar s n kladn mi (n nez porn mi) koecienty. V ta 5.8 Kvadratick forma f (x) =x Ax je pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), pr v kdy pro libovoln vektor x 6= plat x Ax > (x Ax ). D kaz: Plyne z hlavn v ty o pozitivn denitn ch (resp. semidenitn ch) matic ch. 2

13 5 KVADRATICK FORMY 2 Pozn mka 5.9 Praktick v po et matice U unit rn transformace, kter p ev d kvadratickou formu f (x) = x Ax k hlavn m os m. P slu n kanonick tvar m za koecienty vlastn hodnoty matice A. U AU = D = diag( ::: n ) AU = UD AU i = U i D, AU i = i U i Ax = i x, (A ; i I)x = je fundament ln syst m. e en tohoto syst mu ortonormalizujeme, obdr me ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice A, p slu n hodnoty jsou i. U i K i je ortonorm ln syst m vektor matice A i U.

14 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 3 6 Jordanova kanonick forma matice Denice 6. Jordan v blok J k () je horn troj heln kov matice du k, tvaru... J k () = C A Jordanova matice (matice v jordanov tvaru, jordanova kanonick forma, jordanova norm ln forma matice) J je blokov diagon ln matice du n, jej bloky jsou jordanovy bloky: J n ( ) J J = n2 ( 2 ) C. A J ns ( s ) kde n + :::+ n s = n, ::: s jsou komplexn sla. V ta 6.2 Jordanova v ta Nech A je komplexn matice du n. Pak existuje regul rn matice du n tak, e A = S J n ( ) J n2 ( 2 )... J nk ( k ) C A S; kde n + :::+ n k = n, ::: k jsou komplexn sla. Jordanova matice J je denov na jednozna n a na po ad blok. Je-li matice A re ln, pak podobnost m e b t zprost edkov na re lnou matic S. D kaz: Podle Schurovy v ty je A = U TU, U unit rn, T horn troj heln kov matice, jej hlavn diagon la je tvo ena vlastn mi hodnotami matice A. Zobecn n m Schurovy v ty plyne, et je podobn s blokov diagon ln matic, diagon ly blok maj stejn prvky. Lemma 6.3 Pro k aprojordan v blok... J k () = C A 2

15 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 4 plat J T k ()J k() = I k; [J k ()] p = pro p k, J k ()l i+ = l i i = ::: b ; I k; je jednotkov matice du k ;, [I k ; J T k ()J k()]x =(x T e )e pro libovoln x 2 C k D kaz: P m m v po tem. 2 Denice 6.4 Horn ost e troj heln kov matice je horn troj heln kov matice, jej hlavn diagon la je nulov. V ta 6.5 Nech A je horn ost e troj heln kov matice du n. Pak existuje regul rn matice S du n a cel sla n n 2 ::: n m n + :::+ n m = n, A = S J n ()... J nm () C A S; : D kaz: Indukc vzhledem k n. 2 D sledek 6.6 Dv matice v jordanov tvaru jsou podobn, pr v kdy se li pouze po ad m blok. V ta 6.7 Nech A je matice du n, " 6= slo. Pak existuje regul rn matice S = S(") du n tak, e A = S J n ( ")... J nk ( k ") C A S; kde i ".. J ni ( i. i ")= " Je-li A re ln a " re ln slo, lze vybrat S(") re lnou. i : C A V ta 6.8 Nech matice A, B jsou podobn v komplexn m oboru. Pak jsou podobn i v re ln m oboru. D kaz: A, B jsou re ln matice, B = TAT ;, T je regul rn komplexn, T = P + iq, kde P, Q jsou re ln. BT = TA, BP = PA, BQ = QA, det(p + iq) 6=. det(p + Q) je polynom prom nn, kter nen toto n rovn nule, to znamen, e m pouze kone n po et ko en. Potom existuje re ln slo tak, e det(p + Q) 6=,t.j.P + Q je regul rn matice. T = P + Q, B = T AT ;, T je re ln matice. 2

16 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 5 V ta 6.9 Plat [J m ()] k = k k k; k 2 k k. k;2 k; k m ; k m ; 2 k. k;m+ k;m+2 : C A Je-li jj <, je lim [J m()] k =: k D kaz: Indukc az k j + k j + = k + j + 2 V ta 6. Nech A je matice du n, f (x) polynom. Jsou-li ::: n vlastn hodnoty matice A, pak matice f (A) m vlastn hodnoty f ( ) ::: f( n ). Je-li g(x) polynom, pro kter g( i ) 6=, i = ::: n, pak matice f (A) je regul rn a f (A)[g(A)] ; m jako svoje vlastn hodnoty pr v sla f ( )=g( ) ::: f( n )=g( n ). Je-li x vlastn vektor matice A p slu n vlastn hodnot, je vlastn m vektorem tak matic f (A) f (A)g(A) ; odpov daj c vlastn hodnot f (), f ()=g(). Denice 6. Spektr ln polom r (A) tvercov matice A denujeme (A) =maxfjj je vlastn hodnota matice Ag. V ta 6.2 Oldenburgerova v ta Nech A je tvercov matice. Pak plat pr v kdy (A) <. D kaz:. lim A k =, m me dok zat (A) <. lim k Ak = lim k Ak =) lim A k k j =) lim k k = pro v echny vlastn hodnoty matice A )jj < ) (A) <.

17 6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 6 2. (A) < )jj < pro v echny vlastn hodnoty matice A ) lim k [J n ()] k =) lim k A k =: 2 V ta 6.3 Je-li A tvercov matice, kter spl uje podm nku (A) <, potom konverguje geometrick ada I + A + A 2 + ::: a jej sou et je (I ; A) ;. D kaz: (A) < ) I ;A je regul rn. I +A+A 2 +:::+A k =(I ;A k+ )(I ;A) ; P k= A k =(I ;A) ; lim k =(podle Oldenburgerovy v ty) 2

18 7 POLYNOMI LN MATICE 7 7 Polynomi ln matice Denice 7. Matice, jej prvky jsou polynomy jedn prom nn (zpravidla zna en, odtud -matice), se naz v polynomi ln matice. Koecienty polynom bebreme v C nebo v R. -matice pova ujeme za tvercov. -matici, jej prvky jsou sla, nazveme skal rn matice. Denice 7.2 Element rn mi transformacemi -matice naz v me n sleduj c zobrazen : N soben n kter ho dku slem 6=. K i-t mu dku p i teme f ()-n sobek j-t ho dku (i 6= j, f () je polynom). Analogicky denujeme sloupcov transformace. Denice 7.3 Dv -matice jsou ekvivalentn, kdy se jedna v druhou d p ev st kone n m po tem element rn ch transformac. Denice 7.4 ekneme, e -matice je v kanonick m tvaru, kdy m tvar f ()... f n () kde 8if i () je d litelem f i+() a v echny nenulov polynomy maj vedouc koecienty. V ta 7.5 Ka d -matice se d kone n m po tem element rn ch transformac p ev st na kanonick tvar. C A D kaz: Bu G-matice. Pro G =nen co dokazovat. f () f n () G = B A f n() f nn () P edpokl dejme, e f () m nejmen stupe mezi v emi maticemi ekvivalentn mi s G. Potom f () je d litelem v ech prvk v prvn m dku i v prvn m sloupci. Lze tedy G p ev st na tvar f () f 22 () f 2n () C... A f n2() f nn () atd. D kaz pod v metodu na p eveden -matice na kanonick diagon ln tvar. 2

19 7 POLYNOMI LN MATICE 8 Pozn mka 7.6 d F k () budeme zna it nejv t spole n d litel v ech minor stupn k v -matici F. V ta 7.7 Ekvivalentn -matice maj stejn nejv t spole n d litele minor stupn k (k = 2 ::: n). V ta 7.8 Bu d i D k () (k = 2 ::: n) nejv t spole n d litel kanonick diagon ln formy dv () :::dv k () =M, v <v 2 <:::<v k.pak d () je d litelem dv ()...d i () je d litelem dv i (). Nejv t spole n d litel D k () =d () :::d n (). Denice 7.9 Polynomy d F () ::: df n () se naz vaj invariantn faktory -matice F (jsou jednozna n stanoveny). V ta 7. Prvn podm nka ekvivalence -matic Podm nkou ekvivalence -matic je shoda invariantn ch faktor d k () t chto matic. V ta 7. Druh podm nka ekvivalence -matic Dv -matice jsou ekvivalentn, pr v kdy existuj matice P a Q tak, e G = PFQ, p i em P a Q jsou matice, jejich determinanty jsou konstantn nenulov. Denice 7.2 V razy [" ()] k ::: [" m ()] km se naz vaj element rn d litel invariantn ho faktoru d k () a sou et element rn ch d litel v ech invariantn ch faktor d () ::: d n (), -matice F se naz v soubor element rn ch d litel -matice F. V ta 7.3 d, hodnost a syst m v ech element rn ch d litel -matice F pln ur uje syst m invariantn ch faktor matice F a tud ur uje F a na ekvivalentnost. Lemma 7.4 Syst m element rn ch d litel libovoln diagon ln -matice je soubor element rn ch d litel jednotliv ch diagon ln ch prvk t to matice. V ta 7.5 Syst m element rn ch d litel blokov diagon ln -matice je souhrn element rn ch d litel jej ch blok. V ta 7.6 Weierstrassova Je-li ( ; a ) k ( ; a 2 ) k 2 ::: ( ; a s ) ks soubor v ech element rn ch d litel -matice I ; A (kde A je dan matice), pak jordan v kanonick tvar matice A je P n i= J ki (a i ).

20 7 POLYNOMI LN MATICE 9 D kaz: A je seln matice du n, J je jordanova norm ln forma matice A. SAS ; = J, S(I ; A)S ; = I ; SAS ; = I ; J I ; A I ; J I ; J k (a) = ; a ; ; a ;... ; ; a C A Nejv t spole n d litel od J k (a) du k je ( ; a) k. Matice I ; J je ( ; a ) k ::: ( ; a n ) kn. 2

21 8 MINIM LN POLYNOM MATICE 2 8 Minim ln polynom matice Denice 8. Bu A matice du n. Pak polynom () =a p +:::+a p (a 6=)senaz v minim ln polynom matice A, kdy je to polynom nejmen ho stupn, pro n j (A) =. V ta 8.2 Cayley-Hamiltonova Pro libovolnou matici A du n a jej charakteristick polynom '() plat '(A) =. V ta 8.3 Je-li A matice du n a g() spl uje g(a) =, pak () je d litelem polynomu g(). D kaz: g() = '()q() +r(), r() = nebo st() < st('()). = g(a) = '(A)g(A) +r(a), r() = 2 D sledek 8.4 Minim ln polynom je ur en jednozna n a na konstantn faktor.

22 LITERATURA 2 Literatura [] marda, B.: Line rn algebra. SPN, Praha 985 [2] Musilov, J., Krupka, D.: Line rn a multiline rn algebra. SPN, Praha 989

MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

V. VYBRAN METODY MATEMATICK STATISTIKY Neoci ln u ebn text pro Matematiku V, FS,FM TUL, { st.. Volf, b ezen 1999 D se ci, e p edm tem teorie pravd podobnosti je tvorba a studium matematick ch model pro

Více

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ.

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS SYSTÉMU: NA ÚSTŘEDÍ FIRMY NEBO NA PRONAJATÉM SERVERU JE NAINSTALOVANÝ

Více

LUBO MOTL motl@physics.rutgers.edu MILO ZAHRADN K mzahrad@karlin.mff.cuni.cz P S T U J E M E L I N E R N A L G E B R U MATEMATICKO-FYSIK LN FAKULTA UK 994 2 Obsah I Zimn semestr 3 Prvn sezn men s p edm

Více

INFORMATIKA Soustavy line rn ch rovnic a po ta e ANTON N JAN A K Pedagogick fakulta UK, Praha vod e en soustav line rn ch rovnic pat mezi lohy, s nimi se seznamuj ci ji na z kladn ch kol ch. N sledn na

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1) CHCEME, ABY RADNICE - M

1) CHCEME, ABY RADNICE - M petice-za-zmenu-pravidel_050509.doc PETICE A POŽADAVKY ob an M stské ásti Praha 3 za zm nu pravidel prodeje byt ve IV. etap privatizace byt a na podporu prohlášení Ob anského sdružení ŽIŽKOV (NEJEN) SOB

Více

Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí

Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Determinanty

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

l. 1 Úvodní ustanovení

l. 1 Úvodní ustanovení OBEC V EMYSLICE Obecn závazná vyhlá ka. 1 / 2015 o stanovení systému shroma ování, sb ru, p epravy, t íd ní, vyu ívání a odstra ování komunálních odpad a nakládání se stavebním odpadem na území obce V

Více

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola )

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád d sledn vychází ze zákona. 561/2004 Sb., o p ed kolním, základním, st edním, vy ím odborné a jiném vzd

Více

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení. 7/2000 V Y H L Á K A.7/2000 Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení Obecní zastupitelstvo v Plavsku schválilo dne 21.7.2000 tuto obecn závaznou

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Zpracov n v decko v zkumn ch dat trubka Znojil zpracoval Ale K enek nor duben 1995 Obsah 1 Z kladn pojmy 1 2 Momenty a rozd len 1 3 Testovac krit ria 2 4 Optimalizace 2 5 Anal za variance 3 6 Zp tn anal

Více

o místním poplatku za provoz systému shromaž ování, sb ru, p epravy, t íd ní, využívání a odstra ování komunálních odpad

o místním poplatku za provoz systému shromaž ování, sb ru, p epravy, t íd ní, využívání a odstra ování komunálních odpad OBEC ÚSTÍ Obecn závazná vyhláška. 1/ 2012 o místním poplatku za provoz systému shromaž ování, sb ru, p epravy, t íd ní, využívání a odstra ování komunálních odpad Zastupitelstvo obce Ústí se na svém zasedání

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV Obecn závazná vyhlá ka obce Bludov íslo 3 /2003 Obec Bludov na základ usnesení zastupitelstva obce ze dne 29.9.2003, podle 29 odst. 1 písm. O) bod 1. zákona. 133/1985 Sb. o po ární ochran, ve zn ní pozd

Více

Í é čá í á ř í á ó ř é ď ň í á é č é ř á í á á á í í á á á á ď á é č á ó ů č á í ů č é é í Í é ů é ř í í ů í ď é ř é é í é í é é é á č é á á á é í ů í é á é Á Í Š Í É é á é í íčí ů Í ů é á á í ř é á é

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

oprávn ného: eská spo itelna, a. s., se sídlem Olbrachtova 1929/62, 14000, Praha, I 45244782 proti povinným:

oprávn ného: eská spo itelna, a. s., se sídlem Olbrachtova 1929/62, 14000, Praha, I 45244782 proti povinným: .j. 024 EX 5023/13-237 U s n e s e n í o na ízení dražebního jednání - elektronická dražba Soudní exekutor Mgr. Pavla Fu íková, Exekutorský ú ad Ostrava, se sídlem Slévárenská 410/14, Ostrava Mariánské

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA"

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní TOP VÍNO SLOVÁCKA - 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA" VIII. ro ník 2015 - Slovácko, Zlínský kraj Ocen ní výrobku z odv tví zem d lství a potraviná ství Okresní agrární komora pro okres Uh. Hradi t a Zem

Více

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy ke standardu ISA 720 ODPOV DNOST AUDITORA VE VZTAHU K OSTATNÍM INFORMACÍM V DOKUMENTECH OBSAHUJÍCÍCH AUDITOVANOU Ú ETNÍ ZÁV RKU Aplika ní doložku mezinárodního

Více

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala

Více

t a k t o : I. Na izuje se další elektronická dražba, která se koná prost ednictvím elektronického systému dražeb na adrese portálu www.exdrazby.

t a k t o : I. Na izuje se další elektronická dražba, která se koná prost ednictvím elektronického systému dražeb na adrese portálu www.exdrazby. .j. 024 EX 807/12-187 U s n e s e n í o na ízení dalšího dražebního jednání - elektronická dražba Soudní exekutor Mgr. Pavla Fu íková, Exekutorský ú ad Ostrava, se sídlem Slévárenská 410/14, Ostrava Mariánské

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

... 4. 2 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í

... 4. 2 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í 2 0 0 9 / 2 0 1 0 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í r o k 2 0 0 9 / 2 0 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d, o vm ág r. D a g m a r V l a d y k o v á D o k u m

Více

t a k t o : I. Na izuje se další elektronická dražba, která se koná prost ednictvím elektronického systému dražeb na adrese portálu www.exdrazby.

t a k t o : I. Na izuje se další elektronická dražba, která se koná prost ednictvím elektronického systému dražeb na adrese portálu www.exdrazby. .j. 024 EX 4817/10-842 U s n e s e n í o na ízení dalšího dražebního jednání - elektronická dražba Soudní exekutor Mgr. Pavla Fu íková, Exekutorský ú ad Ostrava, se sídlem Slévárenská 410/14, Ostrava Mariánské

Více

č Ú ť é á č š é ň č á é á č á ňí á ň á é č á Š š ň Í áč ť ň áž á é á á á á ň é á č é é ň š č Ť é ňí é Ž ň š é á č á é á č á ň á á é á é é á é č é Ó ň é é é é é á é á ů č š š š Ť é é á á é áň á Ť á č š

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

Sm rnice o pracovní dob

Sm rnice o pracovní dob Sm rnice o pracovní dob Pracovní doba je op t na po adu jednání a Evropská komise pravd podobn zve ejní nové návrhy na související sm rnici za átkem roku 2015. Dopady na EPSU a její lenské organizace budou

Více

SMLOUVA O POSKYTOVÁNÍ SLUŽEB

SMLOUVA O POSKYTOVÁNÍ SLUŽEB SMLOUVA O POSKYTOVÁNÍ SLUŽEB Dnešního dne, m síce a roku tyto smluvní strany, tj.: zájmové sdružení právnických osob Technologické inova ní centrum KD Praha se sídlem Praha 9, Kle ákova 5/347, PS : 190

Více

M stská ást Praha 22 Ú ad m stské ásti

M stská ást Praha 22 Ú ad m stské ásti M stská ást Praha 22 Ú ad m stské ásti odbor výstavby Nové nám stí 1250, 104 00 Praha 114.j.: P22 8123/2015 OV 10 V Uh ín vsi dne: 3.9.2015 Sp.zn.: MC22 1090/2014 OV 10 Vy izuje: Ing. František Roder Telefon:

Více

Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba

Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba Charakteristika p edm tu Vzd lávací obsah: Základem vzd lávacího obsahu p edm tu Výtvarná tvorba je vzd lávací

Více

č č Úč ě č ě č č č ů ů Č č Č š č č ů č ů Ú Š Ť č Ž Ž č Ž š š ě é ůž č Ž č ůž Ž é š ě č š é ůž é č é č é é č ůž č é ě š é č ůž š č š ů ě č Ž š ě č é ě č č ě ě š ě ů ůž š ě ž Ž é Ž ůž ž é š ě č š é Ž ě é

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

O jednom mučedníkovi nebo mučednici

O jednom mučedníkovi nebo mučednici 1. nešpory spočné texty O dnom mučedníkov nebo mučednc Jkub Pvlík 1. nt. - VI.F (Žlm 118-I.II) já Ke kž dé mu, př znám před svým kdo cem v neb. ke mně j. př zná před ld m, 2. nt. - VI.F (Žlm 118-III) ž

Více

edm t a p sobnost vyhlášky

edm t a p sobnost vyhlášky O b e c S v i t á v k a Obecn závazná vyhláška. 2/2004 kterou se stanoví provoz systému shromaž ování, sb ru, p epravy, íd ní, využívání a odstra ování komunálních odpad a místní poplatek za provoz tohoto

Více

>4. PŘÍJEM Z MANAŽERSKÝCH PROVIZÍ. 4.a. Manažerská provize I. 4.b. Manažerská provize II. 4.c. Manažerská provize III. Průvodce

>4. PŘÍJEM Z MANAŽERSKÝCH PROVIZÍ. 4.a. Manažerská provize I. 4.b. Manažerská provize II. 4.c. Manažerská provize III. Průvodce jdoucích nomina ních m síc struktura poradce musí mít v první linii min. jednu 15% v tev, jednu 12% v tev a jednu 9% v tev. >4. PŘÍJEM Z MANAŽERSKÝCH PROVIZÍ náleží poradci 1% manažerská provize p i spln

Více

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š...

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š... 2 0 1 2 / 2 01 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í k r2o0 1 2 / 2 01 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d o v á D o k u m e n t : I I V O S / I / S M 9 8 8 S c h v

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny.

Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny. Pojišt ní D&O Allianz Protect Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny. Pojišt ní D&O poskytuje pojistnou ochranu p ipravenou na míru len m výkonného vedení spole nosti. Kdekoliv na sv t. Allianz - stojíme

Více

SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI

SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI Proto e Vy víte, e jsou velice nákladné na provo Šet et votní prost edí Sní ení stresu a zlepšení vzt Redukce pr kováním Menší pot kovacích míst, znamená v dy úsporu jak

Více

Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným.

Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným. Pokyny k vypln ní formulá e pro podání návrhu na zápis nebo zápis zm ny zapsaných údaj do obchodního rejst íku u spole nosti s ru ením omezeným. I. Rejst íkový soud 1 Adresa rejst íkového soudu, jemuž

Více

Obsah: 2. Tematický plán pro 2. ro ník

Obsah: 2. Tematický plán pro 2. ro ník Obsah: 2. Tematický plán pro 2. ro ník 2. 1. Tematický plán pro 2. ro ník 2. 2. Tematický plán - Nám ty 2. 3. Seznam doporu ených inovativních pom cek 2. 4. Doporu ená odborná literatura 2. 5. erpáno z

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

GRAPE SC IPTV. více než televize

GRAPE SC IPTV. více než televize GRAPE SC IPTV více než televize Uz ivatelska pr i rucka TELEVIZE IPTV je digita lni televize, ktera je vzdy o krok napred. Tato televize Va m prina s i nadstandartni funkce a ten nejve ts i komfort pri

Více

STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE

STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE ST PRVN V EOBECN USTANOVEN l. I. Z kladn ustanoven (1) Spole enstv vlastn k bytov ch jednotek

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1. FRANTIŠEK BAUER, bytem PANENSKÁ 33, 67531, JEMNICE, nar.20.12.1973, 2. DOMINIKA BAUEROVÁ, bytem PANENSKÁ 33, 67531, JEMNICE, nar.04.08.

1. FRANTIŠEK BAUER, bytem PANENSKÁ 33, 67531, JEMNICE, nar.20.12.1973, 2. DOMINIKA BAUEROVÁ, bytem PANENSKÁ 33, 67531, JEMNICE, nar.04.08. .j. 024 EX 1682/12-259 U s n e s e n í o na ízení dalšího dražebního jednání - elektronická dražba Mgr. Helena Strouhalová, exekutorský kandidát, pov ený soudním exekutorem: Mgr. Pavla Fu íková, Exekutorský

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV Zadání pro programátory ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2013, i nasazení verze zpracující p ehled o p íjmech a výdajích za rok 2013 upozornit na projetí dávkového programu v N_UDRZBA pro vy len

Více

Do pisni ce z ghet ta do pro tek to rá tu z 21. 8. 1944 s po moc ným ra zít kem ŽRS v Pra ze. /Sou kro má sbír ka, SRN/

Do pisni ce z ghet ta do pro tek to rá tu z 21. 8. 1944 s po moc ným ra zít kem ŽRS v Pra ze. /Sou kro má sbír ka, SRN/ Do pisni ce z ghet ta do pro tek to rá tu s no vým po moc ným ra zít kem po pře jme no vá ní Ži dov ské ná bo žen ské ob ce na Ži dov skou ra du star ších v Pra ze. /ŽM/ Do pisni ce z ghet ta do pro tek

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání Základní kola pro t lesn posti ené, Opava, Dostojevského 12 Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání (sou ást VP kola pro ivot, dodatek k 1. 9. 2012) A/ Pravidla pro hodnocení a klasifikaci ák Z Hodnocení

Více

Š í ú ň ě ší í žá í ř í ý Íí á í á žá í ě á í á žé ě ě í ř ů á á žá í ě í Í í ý á í á ž ý ý á ě í ý ě ší á ň ě í í Žá ř í í á á á í í ě ž í ů á á á éž á Ť ě Žá ř í í á ý řá á í éží á ě í í ížá í ř í í

Více

Akademické gymnázium, škola hl. m. Prahy, Št pánská 22, Praha 1

Akademické gymnázium, škola hl. m. Prahy, Št pánská 22, Praha 1 Akademické gymnázium, škola hl. m. Prahy, Št pánská 22, Praha 1 ijímací zkouška z ESKÉHO JAZYKA A VŠEOBECNÉHO P EHLEDU pond lí 23. 4. 2012 Dopl te vynechané pravopisné jevy v etn interpunkce. Na n která

Více

historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926

historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926 historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926 Pono te se do velkoleposti minulosti, která o ívá ve paletových oknech a historických dve ích. Tato díla starých truhlá ských mistr zdobí

Více

Finan ní ízení projekt

Finan ní ízení projekt Finan ní ízení projekt Jaká témata budou probrána v rámci prezentace: Jak pracovat s rozpo tem projektu Jak sledovat harmonogram projektu Jak na finan ní plán projektu Zdroje informací P íru ka pro adatele

Více

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra speciální pedagogiky RADKA BENEŠOVÁ III. roč ník prezenč ní studium obor: speciální pedagogika př edškolního vě ku MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM

Více

Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s.

Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s. Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s. 1. Obecná ujednání 1.1. Tyto V eobecné obchodní podmínky pro dodávku ti t ných periodik formou p edplatného upravují

Více

VÝKAZ ZISKU A ZTRÁTY, druhové len n v plném rozsahu ke dni 31.12.214 (v celych tiscch Kc) ˇ I 453117 Název a sdlo ú etn jednotky SPOJPROJEKT PRAHA a.s. Bystricka ˇ 179/9 Praha 14 Ozna en TEXT a b c I.

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Číslo materiálu v sad :8

Číslo materiálu v sad :8 St ední pr myslová škola strojnická Olomouc, t. 17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka modern Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 P írodov dné

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Exekutorský ú ad Praha 7, pracovišt Jankovcova 13, 170 00 Praha 7 Soudní exekutor JUDr. Vladimír Plášil

Exekutorský ú ad Praha 7, pracovišt Jankovcova 13, 170 00 Praha 7 Soudní exekutor JUDr. Vladimír Plášil Exekutorský ú ad Praha 7, pracovišt Jankovcova 13, 170 00 Praha 7 Soudní exekutor JUDr. Vladimír Plášil tel: 266 713 022, fax: 266 713 031, mobil: 602 857 061 e-mail: podatelna@exekutor-plasil.cz web site:

Více

ZNALECKÝ POSUDEK . 547/021/2011

ZNALECKÝ POSUDEK . 547/021/2011 ZNALECKÝ POSUDEK. 547/021/2011 o cen obvyklé rodinného domu.p. 53, na pozemku. parc. St. 86. p íslušenství a pozemk. parc. St. 86,. parc. 335/1,. parc. 336/1, k.ú. Ho in ves, obec Ho in ves, zapsáno na

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

B ETISLAV PAT Základní škola, Palachova 337, 250 01 Brandýs nad Labem

B ETISLAV PAT Základní škola, Palachova 337, 250 01 Brandýs nad Labem Pokusy s kyvadly II B ETISLAV PAT Základní škola, Palachova 337, 250 01 Brandýs nad Labem Soubor pokus voln navazuje na p ísp vek Pokusy s kyvadly, uvedený na druhém ro níku Veletrhu nápad, Plze 1997.

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Prospekt All Property Ltd.

Prospekt All Property Ltd. 1 Prospekt All Property Ltd. 2 All Property Limited Dubai (APL) 1. Spojené arabské emiráty (SAE) Dubaj 2. All Property Ltd., všeobecné obchodní a investiční podmínky 2.1. Založení a sídlo APL 2.2. Předmět

Více

PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTOVÝCH DOM

PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTOVÝCH DOM PRAVIDLA PRO PRODEJ BYTOVÝCH DOM ve vlastnictví eské republiky - p íslušnosti hospoda ení Ministerstva obrany eské republiky a p ísp vkové organizace Správa vojenského bytového fondu Praha (dále jen Pravidla

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Chebu. reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Chebu. reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02. METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Chebu reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0007 Sada metodických listů: KABINET 1. STUPNĚ ZŠ Název metodického

Více

VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU

VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU OBEC TY KOLY ÁST I Úvodní ustanovení LÁNEK 1 edm t úpravy Tato sm rnice upravuje zp sob a postup

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA VE EJNÁ NABÍDKA POZEMK UR ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA. 95/1999 Sb., O PODMÍNKÁCH P EVODU ZEM D LSKÝCH A LESNÍCH POZEMK Z VLASTNICTVÍ STÁTU NA JINÉ OSOBY, VE ZN NÍ POZD JŠÍCH P EDPIS (DÁLE JEN ZÁKON

Více

Obsah: 3. Tematický plán pro 3. ro ník

Obsah: 3. Tematický plán pro 3. ro ník Obsah: 3. Tematický plán pro 3. ro ník 3. 1. Tematický plán pro 3. ro ník 3. 2. Tematický plán - Nám ty 3. 3. Seznam doporu ených inovativních pom cek 3. 4. Doporu ená odborná literatura 3. 5. erpáno z

Více

Nabídka na firemní akce

Nabídka na firemní akce Nabídka na firemní akce S K Y D I V E A R E N A P R A H A Konference Teambuildingové aktivity Firemní večírky Ostatní firemní akce Dárek pro obchodní partnery a klienty Rozšíření benefitního programu pro

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth

Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth Michal Opatřil ICZ a. s. Michal Opatřil ICZ a.s. 2012 www.i.cz 1 Zdravotní registry v C R bud me na ne hrdí FAKTA Souc a st NZIS (Na rodního zdravotnicke

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více