1 Základní pojmy a vlastnosti Význačnéřady Základnívlastnostiřad... 3

Transkript

1 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti Význačnéřady Základnívlastnostiřad Řady s nezápornými členy Kritériakonvergenceadivergence Řady absolutně a relativně konvergentní Kriteriaabsolutníkonvergence Přerovnávánířad Alternujícířady

2 1 Základní pojmy a vlastnosti Definice1.1 Nechť { } jeposloupnostreálnýchčísel.symbol = a 1 + a 2 + a 3 + senazývánekonečnářadareálnýchčísel(stručnějennekonečnářadanebojenřada).čísla, n= 1,2,3,...,senazývajíčlenyřady, sepaknazývá n-týčlenřady; nsenazývásčítacíindex. Pokudnemůžedojítkmýlce,takbudememísto psátzkrácenějen. Definice1.2 Uvažujmeřadu.Posloupnost {s n },kde s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 s n = a 1 + a 2 + = senazýváposloupnostčástečnýchsoučtůřady.dálejestliže lim n s n = s R,pakříkáme,žeřada konvergujeamásoučet s; lim n s n = ±,pakříkáme,žeřada diverguje(k ± )amásoučet ± ; lim n s n neexistuje,pakříkáme,žeřada diverguje(osciluje)anemásoučet. Poznámka: U každé řady nastane právě jedna z výše uvedených možností. n i=1 a i 1.1 Význačné řady Definice1.3 Řada ( a1 +(n 1)d ),kde a 1,d R,senazýváaritmetickářadasprvnímčlenem a 1 adiferencí d. n-týčástečnýsoučetaritmetickéřadyje s n = 1 2 n(a 1+ ) Jestližejealespoňjednozčísel a 1 a drůznéodnuly,aritmetickářadadiverguje;konvergujepouzev případě,že a 1 = d=0. Definice1.4 Řada a 1 q n 1,kde a 1,q R,senazývágeometrickářadasprvnímčlenem a 1 a kvocientem q. n-týčástečnýsoučetgeometrickéřadyje s n = a 1 1 qn 1 q pro q 1as n = n a 1 pro q=1. Geometrická řada konverguje, jestliže q <1amásoučet s=a q a 1 =0(q Rlibovolné)amásoučet0 Geometrickářadadivergujepro q 1(a 1 0). Definice1.5 Řada 1 n senazýváharmonickářada. Harmonická řada diverguje k +. Definice1.6 Řada ( 1)n 1 senazývágrandihořada. Grandiho řada osciluje. 2

3 1.2 Základní vlastnosti řad Věta 1.1(Nutná podmínka konvergence řady) Jestližeřada konverguje,paklim n =0. Poznámka: Obrácená věteplatí. Definice 1.7(Algebraické operace s řadami) Součtem,resp.rozdílemřad a b n rozumímeřadu ( ) ( ) an + b n,resp.řadu an b n. Násobkemřady ačísla c Rrozumímeřadu ( c an ). Věta1.2 Nechťjsoudánydvěřady a b n.nechťexistuje n 0 Ntak,že = b n n n 0.Pak obě řady buď konvergují nebo obě divergují. Věta1.3 Nechťjsoudánydvěkonvergentnířady = a Ra b n = b Račíslo c R.Potom jsoukonvergentnítakéřady ( ± b n )a (c )aplatí (an ± b n ) = ± b n = a ± b (c an ) = c a n = c a Věta1.4 Jestližekonvergujeřada a 1 + a ,pakkonvergujetakéřada(a 1 + a )+( )+(2 +1+ )+ aoběmajístejnýsoučet. Poznámka: Snadno lze sčítat pouze geometrické řady. U ostatních bychom museli postupovat podle definiceazdebyvětšinounastalproblémsnalezenímtvarupro s n.většinounámprotopostačípouze informace o tom, zda daná řada má nebo nemá konečný součet, tj. zjištění, zda řada konverguje nebo diverguje. Na to nám slouží tzv. kritéria konvergence. 2 Řady s nezápornými členy Definice2.1 Řada senazývářadasnezápornými(resp.kladnými)členy,jestliže 0 n N (resp. >0 n N). Věta 2.1 Každá řada s nezápornými členy buď konverguje nebo diverguje k. Věta 2.2 Řada s nezápornými členy konverguje právě tehdy, když je posloupnost jejích částečných součtů(shora) omezená. 2.1 Kritéria konvergence a divergence Následující věty se nazývají kritéria konvergence a divergence řad. Kriteria dávají jak postačující podmínky pro konvergenci a tak i postačující podmínky pro divergenci číselné řady. Není-li ani jedna z postačujících podmínek stanovených v kriteriu splněna, nelze podle tohoto kriteria rozhodnout. Věta 2.3(První srovnávací kritérium) Nechť a b n jsouřadysnezápornýmičlenyanechť b n provšechn N.Potomplatí: jestližeřada b n konverguje,pakkonvergujetakéřada ; jestližeřada diverguje,pakdivergujetakéřada b n. 3

4 Poznámka:Jestliže b n n N,pakseřada b n nazývámajorantnířadakřadě ařada an senazýváminorantnířadoukřadě b n. Věta 2.4(Druhé srovnávací kritérium) Nechť a b n jsouřadyskladnýmičlenyanechť +1 b n+1 b n jestližeřada b n konverguje,pakkonvergujetakéřada ; jestližeřada diverguje,pakdivergujetakéřada b n. Věta 2.5(Podílové- D Alembertovo kritérium) Nechť jeřadaskladnýmičleny.potomplatí: provšechn N.Potomplatí: jestliže +1 jestliže +1 q <1 n N,pakřada konverguje; 1 n N,pakřada diverguje. Věta 2.6(Limitní podílové kritérium) Nechť jeřadaskladnýmičlenyanechťexistujelimita +1 lim = q R. n Potom platí: je-li q <1,pakřada konverguje; je-li q >1,pakřada diverguje. Věta 2.7(Odmocninové- Cauchyovo kritérium) Nechť jeřadasnezápornýmičleny.potomplatí: jestliže n q <1 n N,pakřada konverguje; jestliže n 1pronekonečněmnohoindexů n N,pakřada diverguje. Věta 2.8(Limitní odmocninové kritérium) Nechť jeřadasnezápornýmičlenyanechťexistujelimita Potom platí: lim n je-li q <1,pakřada konverguje; je-li q >1,pakřada diverguje. n an = q R. Věta 2.9(Raabeovo kritérium) Nechť jeřadaskladnýmičleny.potomplatí: ( ) jestliže n 1 +1 q >1pros.v. n N,pakřada konverguje; ( ) jestliže n pros.v. n N,pakřada diverguje. Věta 2.10(Limitní Raabeovo kritérium) Nechť jeřadaskladnýmičlenyanechťexistujelimita ( lim n 1 a ) n+1 = q R. n Potom platí: 4

5 je-li q >1,pakřada konverguje; je-li q <1,pakřada diverguje. Věta 2.11(Integrální kritérium) Nechť fjereálnáfunkcejednéproměnnédefinovanánaintervalu <1, ),kterájenatomtointervalu nezápornáanerostoucí.uvažujmeřadu,kde = f(n) n N.Potomřada konverguje právětehdy,kdyžkonvergujenevlastníintegrál 1 f(x)dx. Poznámka: Všechna kritériejsou stejně silná, tj. nepodaří-li se nám o konvergenci/divergenci řady rozhodnout podle jednoho kritéria, zvolíme jiné. Většinou přitom postupujeme od jednodušších ke složitějším,vždyvšakspřihlédnutímkekonkrétnímutvaru. Poznámka: Existuje celá řada dalších kritérií konvergence pro řady s nezápornými členy. Žádné z nich však není univerzální v tom smyslu, že bychom podle něho mohli rozhodnout o konvergenci/divergenci libovolné řady s nezápornými členy. 3 Řady absolutně a relativně konvergentní Nyníbudemeuvažovatřady slibovolnými(tj.kladnýmiizápornými)členy.kekaždéřadě an mápaksmysluvažovatřadu,tj.řadu Definice 3.1 = a 1 + a Říkáme,žeřada konvergujeabsolutně(nebojeabsolutněkonvergentní),jestližekonverguje řada. Říkáme,žeřada konvergujerelativně(nebojerelativněkonvergentní),jestližeřada konvergujeařada diverguje. Věta3.1(Oabsolutníkonvergenci) Je-liřada absolutněkonvergentní,pakjetakékonvergentní. Věta3.2 Nechťřada konvergujeabsolutně.pakplatí an 3.1 Kriteria absolutní konvergence Vzhledemktomu,že jeřadasnezápornýmičleny,dávajíkriteriazpředchozíkapitolyihned kriteria pro absolutní konvergenci, např.: Věta3.3(Srovnávacíkriterium) Nechť b n jekonvergentnířadasnezápornýmičlenya řada s libovolnými členy. Potom platí: jestliže b n n N,pak konvergujeabsolutně; jestliže +1 b n+1 b n n N,pak konvergujeabsolutně. Věta 3.4(Odmocninové kriterium) Jestliže n q <1 n N,pak konvergujeabsolutně; jestliže n 1pronekonečněmnohoindexů n N,pak diverguje; 5

6 jestližeexistujelimitalim n n =q R,pakpro q <1řada konvergujeabsolutněa pro q >1řada diverguje. Věta 3.5(Podílové kriterium) Jestliže q <1 n N,pak an konvergujeabsolutně; jestliže n N,pak an diverguje; a jestližeexistujelimitalim n+1 =q n R,pakpro q <1řada konvergujeabsolutněa pro q >1řada diverguje. 3.2 Přerovnávání řad Definice3.2 Nechť ječíselnářadaaposloupnost {k n } jepermutacímnožiny N(tj.jeto posloupnost,vnížsekaždépřirozenéčíslovyskytujeprávějednou).potomříkáme,žeřada a kn vzniklapřerovnáním řady. Věta3.6 Nechťřada konvergujeabsolutně.potomabsolutněkonvergujetakéřada a kn vzniklá přerovnánímřady aplatí a kn =. Věta3.7 Nechťřada konvergujerelativněanechť s Rjelibovolnéčíslo.Potom existujepřerovnání a kn řady takové,že a kn konvergujeamásoučet s; existujepřerovnání a pn řady takové,že a pn diverguje; existujepřerovnání a qn řady takové,že a qn osciluje. 3.3 Alternující řady Definice3.3 Nekonečnáčíselnářada b n senazýváalternující(sestřídavýmiznaménky),jestliže sgn b n+1 = sgn b n provšechn N. Alternující řady jsou tedy tvaru ( 1) n 1 = a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 + ( 1) n = a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 5 + a 6 kde { }jeposloupnostkladnýchčísel. Věta3.8 Alternujícířada ( 1) n 1 konvergujeprávětehdy,když { }jenerostoucíposloupnostkladnýchčísela lim n =0. Prosoučet stétořadynavícplatí a 1 a 2 < s < a 1. 6