ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil"

Transkript

1 ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Řady c Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil, 3. červa 202 ISBN

3 Předmluva Výsledou podobu těchto skript ovlivili mozí z ašich učitelů, kolegů i studetů. Všem jsme jim upřímě vděčí. Čteáře prosíme o shovívavost a sděleí všech připomíek. Teto i ostatí v rámci projektu Matematika pro ižeýry 2. století připravovaé výukové materiály lze ajít a strákách Podívejte se a ě! V Ostravě, a to v ledu 20 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Všechy připomíky (výhrady, kometáře, doporučeí, výhružky a dary) zasílejte (prosíme) a aše ové adresy: iii

4 Obsah Předmluva iii Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Kritéria absolutí kovergece Kritéria (eabsolutí) kovergece Několik pozámek akoec Poslouposti a řady fukcí Bodová a stejoměrá kovergece Kritéria stejoměré kovergece Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Mocié a Taylorovy řady Literatura 40 Rejstřík 4 iv

5 Kapitola Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Defiice.. Řadou (reálých čísel) rozumíme výraz a + a a +... = a, (.) kde pro každé N je a R. a Číslo a azýváme -tým čleem řady (.), posloupost (s ) defiovaou předpisem s := a + a a = azýváme posloupostí částečých součtů řady (.). Existuje-li limita s := lim s R *, azýváme ji součtem řady (.) a píšeme b a = s; je-li avíc s R, říkáme, že řada (.) koverguje. Nemá-li řada a součet, c ebo je-li k= a {+, }, azýváme (.) divergetí řadou. a Tz. že (a ) je posloupostí reálých čísel. b Zde epřehléděme, že symbolem a začíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale ebojme se, z kotextu bude vždy jasé, o které z těchto dvou možostí právě mluvíme. c Tím rozumíme, že lim s eexistuje. a k

6 2 Řady (reálých) čísel Příklady.2. ) 2) = = +... divergetí (aritmetická) řada. ( s = ( + ) 2 ) +. + ( ) + + ( ) +... = ( ) + ( s = { 0, je-li sudé,... divergetí řada (emá součet)., je-li liché. Zde pozor a umístěí závorek. Platí totiž: 3) Součet (geometrické) řady 4) ( ) + ( ) + ( ) +... = = 0, + ( + ) + ( + ) +... = =. + q + q = ( s = ) q, kde q R, existuje právě tehdy, je-li q >, a platí pro ěj { q +, je-li q, =, je-li < q <. q {, je-li q =, ) = q, je-li q. q = +... divergetí (tzv. harmoická) řada. ( Pokuste se dokázat uvedeou rovost pomocí (zřejmě platícího) tvrzeí k N : 2 k k k k+ 2 k+ ( 2 k+ 2 k) = 2.)

7 . Součet a kovergece číselé řady 3 Věta.3 (Nutá podmíka kovergece). Koverguje-li řada lim a = 0. a, je Důkaz. Podle předpokladu pro posloupost částečých součtů (tj. pro posloupost s := a k ) platí a proto k= s := lim s R (!), lim a = lim(s s ) = lim s lim s = s s = 0. Příklady.4. ) ( ) 2 diverguje, protože lim( ) 2 eexistuje. 2) 2 diverguje, protože lim 2 = +. 3) diverguje, a to přesto, že lim = 0. (Tvrzeí.3 tedy elze obrátit!) Věta.5 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Řada a koverguje právě tehdy, platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : k=m+ a k < ε. Důkaz. Věta je sadým důsledkem zámého tvrzeí, že reálá posloupost je kovergetí právě tehdy, je-li cauchyovská, a pozorováí, že výše uvedeá podmíka je ekvivaletí s tvrzeím, že posloupost s := a k částečých součtů řady je cauchyovská, tz. ( ε R + ) ( 0 N) (, m N;, m 0 ) : s s m < ε. k= a

8 4 Řady (reálých) čísel Věta.6. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Nejdříve defiujme (pro každé N): a + := max{a, 0} = ) a + a 0, 2( a := max{ a, 0} = 2( ) a a 0; s + := a + + a a +, s := a + a a. Máme dokázat, že posloupost částečých součtů s := a k = (a + k a k ) = a + k a k = s+ s k= k= k= k= je kovergetí, tz. že má koečou limitu. K tomu stačí ukázat, že jsou kovergetí poslouposti (s + ) a (s ). Obě tyto poslouposti jsou však zřejmě eklesající a díky předpokladu a =: s R a vztahům s + = a + + a a + a + a a s = a + a a a + a a a = s, a = s, které platí pro každé N, i shora omezeé. Jejich kovergece tak plye přímo ze zámého tvrzeí o limitě mootóí poslouposti. Věta o limitě mootóí poslouposti. Je-li posloupost (α ) eklesající, je lim α = sup {α : N}. Je-li posloupost (β ) erostoucí, je lim β = if {β : N}.

9 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Defiice.7. Koverguje-li řada a, říkáme, že (kovergetí!) řada a koverguje absolutě. Koverguje-li řada a a současě řada a diverguje, azýváme a eabsolutě kovergetí řadou. a a Všiměme si, že součet řady součtů je eklesající), může být však rove +. a existuje vždy (odpovídající posloupost částečých Příklady.8. ) ( )... eabsolutě kovergetí řada. (Důkaz bude provede později pomocí Leibizova kritéria.) 2) ( )... absolutě kovergetí řada. 2 (Důkaz bude provede později pomocí itegrálího kritéria.).2 Kritéria absolutí kovergece Úmluva. Napíšeme-li V () platí pro všecha dost velká N, rozumíme tím, že ( 0 N) ( N, 0 ) : V (). Věta.9 (srovávací kritérium). Nechť a a b jsou takové řady, že i) a b pro všecha dost velká N, ii) b koverguje. Pak a koverguje absolutě.

10 6 Řady (reálých) čísel Důkaz. Z předpokladů plye, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a protože je jak jsme si již uvědomili dříve avíc eklesající, má koečou limitu. Touto limitou je a. Příklad.0. ( ) ( ) 977 koverguje absolutě, protože pro každé N platí a ( ) ( ) ( ) ( ) 977 je kovergetí (geometrická) řada ( < q := < ). 977 Pozorováí (a zřejmý důsledek věty.9.) Nechť a a b jsou takové řady, že 0 a b pro všecha dost velká N a že a = +. Potom platí b = +. Příklad.. l(966 + ) diverguje, protože platí a avíc = +. 0 l(966 + ) (pro každé N) Čteář by si měl předložeý důkaz, pokud mu eí zcela jasý, rozepsat a rozmyslet podrobě!

11 .2 Kritéria absolutí kovergece 7 Věta.2 (podílové kritérium, d Alembertovo). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a + a q pro všecha dost velká N, koverguje řada ii) Je-li Důkaz. tak řada a a absolutě. a + a pro všecha dost velká N, diverguje. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). a + a a 0 + a a a + a a 0 + a 0 + q a 0 + q 2 a = = a + a a 0 + a 0 ( + q + q ) = = a + a a 0 + a 0 q = = a + a a 0 + a 0 q < +. b) I důkaz tvrzeí ii) je sadý. Z předpokladu a + a pro všecha dost velká N plye, že ( 0 N) ( N, 0 ) : a + a > 0,

12 8 Řady (reálých) čísel a proto ( 0 N) ( N, 0 ) : a a 0 > 0. Odtud lze sado usoudit, že eplatí utá podmíka kovergece řady a, tj. tvrzeí lim a = 0 (viz větu.3). Řada a diverguje. Sadým důsledkem věty.2 je ásledující věta. Věta.3 (limití podílové (d Alembertovo) kritérium). i) Je-li koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a + a <, lim a + a >, Důkaz. a) Nejdříve se podívejme, proč platí tvrzeí i). Zvolme (libovolě) ( ) q lim a + a, (0, ). Pak zřejmě platí a + a q pro všecha dost velká N, a dokazovaé tvrzeí proto plye přímo z již dokázaého tvrzeí i) věty.2. b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li lim a + a >, je a + a pro všecha dost velká N.

13 .2 Kritéria absolutí kovergece 9 Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.2. Příklady.4. ) 2) protože protože ( ) 2 koverguje absolutě, 3 + (+)2 ( ) 3 + ( ) 2 = ( + ) <. 3 (+)! 0 +! 0 = 0 ( + )!!! diverguje, 0 3) Pozor! Při vyšetřováí kovergece řady protože > + = ( + ) + >. 0 = +. se podílové kritérium ehodí, Věta.5 (odmociové kritérium, Cauchyho). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li pro ekoečě moho N a, tak řada a diverguje.

14 0 Řady (reálých) čísel Důkaz. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). Z předpokladů plye, že a q pro všecha dost velká N a že řada q koverguje (jedá se o geometrickou řadu s kvocietem q (0, )). Dokazovaé tvrzeí proto plye ze srovávacího kritéria (viz větu.9). b) Nyí dokažme tvrzeí ii). Z předpokladů plye, že pro ekoečě moho N platí a. To však zameá, že eplatí lim a = 0, tj. eí splěa utá podmíka kovergece řady a (viz větu.3). Proto řada a diverguje. I tato věta má svou limití verzi. Věta.6 (limití odmociové (Cauchyho) kritérium). i) Je-li lim a <, koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a >, Důkaz. a) Důkaz tvrzeí i). Zvolme (libovolě) Pak zřejmě platí q ( lim ) a, (0, ). a q pro všecha dost velká N. Dokazovaé tvrzeí plye z prví části věty.5.

15 .2 Kritéria absolutí kovergece b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li je lim a >, a pro všecha dost velká N, a proto a pro ekoečě moho N. Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.5. Příklady.7. ) ( ) koverguje absolutě, protože ( 2 ) + = <. 2) 2 diverguje, 993 protože 2 = ( >. ) 3) Pozor! Ai odmociové kritérium ám při rozhodováí, zda řada koverguje, epomůže. Platí totiž (pro každé N, > ) > =.

16 2 Řady (reálých) čísel Věta.8 (Raabeovo kritérium). Uvažujme řadu a. Pak platí tato tvrzeí: i) Existuje-li q > takové, že ( ) a + a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li tak řada ( a ekoverguje absolutě (tj. tato řada buď koverguje eabsolutě, ebo diverguje). a + a ) pro všecha dost velká N, Důkaz. a) Nejprve dokažme ( tvrzeí i). ) Z podmíky a + a q plye ( a a + ) q a. Předpokládáme tedy, že existuje 0 N takové, že pro každé N, > 0, platí Sečteím těchto erovostí dostaeme 0 ( a 0 a 0 + ) q a 0, ( 0 + )( a 0 + a 0 +2 ) q a 0 +,... ( a a + ) q a. 0 a 0 + ( a a ) a + q a 0 + q( a a ), odkud sado odvodíme (q )( a a ) 0 a 0 a + q a 0 0 a 0. Vzhledem k tomu, že q > 0, dostaeme a a 0 a 0 q pro každé N, > 0. Vidíme, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a proto řada a koverguje absolutě.

17 .2 Kritéria absolutí kovergece 3 b) Nyí ukažme, proč platí tvrzeí ii), tj. proč (jsou-li splěy uvedeé předpoklady) řada a diverguje. ( ) Podmíku a + a lze psát ve tvaru a + a =. Předpokládáme tedy existeci 0 N, 0 2, takového, že pro každé N, 0, platí a 0 + a 0 0, 0 a , a a + a. Vyásobíme-li výše uvedeé erovosti (jsou to erovosti mezi kladými čísly), dostaeme a + a 0 0, a proto a + a 0 ( 0 ) pro každé N, 0. Odtud a z divergece harmoické řady vyplývá, že řada a + (a tedy i a ) diverguje (viz důsledek věty.9). Následující věta je sadým důsledkem věty.8. Věta.9 (limití Raabeovo kritérium). i) Je-li ( lim koverguje řada a absolutě. ii) Je-li ( lim a + a a + a ) >, ) <, řada a ekoverguje absolutě (tj. buď tato řada koverguje eabsolutě, ebo diverguje).

18 4 Řady (reálých) čísel Důkaz. Důkaz lze provést podobým způsobem jako u věty.3. Přeechme jej proto zcela pilému čteáři. Příklady.20. ) Řada lim 2) Řada lim 3 ( koverguje, eboť a + a ) ) = lim ( 3 = ( + ) 3 = lim (( + )3 3 ) ( + ) 3 = lim = 3 >. (2)! 4 (!) 2 je divergetí, eboť ( a + a ) ( = lim ) (2 + 2)(2 + ) = 4( + ) ( 2 = lim 2 + ) 2( + ) = lim = 2 <. O kovergeci této řady bychom podílovým kritériem erozhodli, protože > a +. a Věta.2 (itegrálí kritérium). Nechť fukce f : R R je erostoucí a itervalu, + ) a echť pro každé N platí, že a = f(). Potom řada a koverguje absolutě právě tehdy, koverguje-li evlastí itegrál c c f(x) dx (tz. existuje-li koečá limita lim Důkaz. Nejdříve pro každé N defiujme s := a k a všiměme si, že existují limity c lim c f(x) = lim Otázka čteáři: Proč existují? lim s = k= a R *, f(x) dx = f(x) dx.) f(x) dx R *.

19 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Máme vlastě dokázat ekvivaleci a < + f(x) dx < +. (.2) Z předpokladů plye s = a k = k= f(k) f(x) dx f(k) = a k = s + a. k= k=2 k=2 Odtud limitím přechodem ( ) získáme erovosti a f(x) dx z ichž již sado plye dokazovaá ekvivalece (.2). a a, Příklady.22. ) 2) protože protože ( ) koverguje absolutě, 2 [ x dx = ] = 0 ( ) = < +. 2 x x dx = [l x] diverguje, = + 0 = +. (Čteář by si měl rozmyslet, pro jaká α R koverguje řada Zde je užitečé akreslit si obrázek!.) α

20 6 Řady (reálých) čísel.3 Kritéria (eabsolutí) kovergece Možá bude užitečé upozorit čteáře už teď, že v literatuře běžě užívaý termí kritéria eabsolutí kovergece je poěkud matoucí. V ásledujících větách se etvrdí, že příslušá řada (za jistých předpokladů) koverguje eabsolutě, ale pouze to, že koverguje. Nejdříve si uveďme kritérium týkající se kovergece tzv. alterujících řad (to jsou řady, jejichž čley pravidelě střídají zaméka ). Věta.23 (Leibizovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N a taková, že lim a = 0. a Potom řada koverguje. a a 2 + a 3 a 4 + = ( ) + a a Všiměme si, že pro mootóí posloupost (a ) s ulovou limitou platí jeda z možostí: i) N : 0 a + a, ii) N : 0 a + a. Důkaz. Předpokládejme apříklad, že a vyberme z poslouposti N : 0 a + a, s := ( ) k+ a k k= částečých součtů zkoumaé řady posloupost lichých (vyjma prvího) a posloupost sudých čleů. Tz. uvažujme poslouposti s * := s 2+, s ** := s 2. Protože díky předpokladu ii) víme, že pro každé N platí s * + = s 2+3 = s 2+ a a 2+3 s 2+ = s *, s ** + = s 2+2 = s 2 + a 2+ a 2+2 s 2 = s **, existují limity: lim s * R { }, lim s ** R {+ }. Viz Větu o limitě mootóí poslouposti.

21 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 7 Navíc ale díky předpokladu iii) platí, že a proto lim(s * s ** ) = lim(s 2+ s 2 ) = lim a 2+ = 0, lim s * = lim s ** =: s R! Odtud již sado plye (čteář si laskavě promyslí sám!), že což jsme měli dokázat. ( ) + a = lim s = s R, Příklad.24. Řada = ( ) + je eabsolutě kovergetí, protože platí: N : +, lim = 0; ( ) + = = +. Věta.25 (Dirichletovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N, pro iž platí lim a = 0, a echť posloupost částečých součtů řady b je omezeá. Pak je řada a b kovergetí. Důkaz. Bez újmy a obecosti předpokládejme, že posloupost (a ) je erostoucí (v případě eklesající poslouposti by stačilo uvažovat posloupost ( a )). To (vzhledem k podmíce lim a = 0) zameá, že a 0 pro každé N. Dále z předpokladů vyplývá, že pro posloupost částečých součtů řady b platí s := k= b k ( k R + ) ( N) : s k.

22 8 Řady (reálých) čísel Nyí ukážeme (což díky větě.5 stačí), že pro řadu a b platí Bolzaova Cauchyho podmíka ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : Buď ε > 0 dáo. Z předpokladu lim a = 0 vyplývá, že k=m+ ( 0 N ) ( N; 0 ) : a = a < ε 2k. Zbývá dokázat, že pro každé m, N, 0 m <, platí A to lze udělat přímým výpočtem: a k b k < ε. k=m+ a m+ b m+ + + a b = a m+ (s m+ s m ) + + a (s s ) = a k b k < ε. = a m+ s m + (a m+ a m+2 )s m+ + + (a a )s + a s a m+ s m + (a m+ a m+2 ) s m+ + + (a a ) s + a s ka m+ + k(a m+ a m+2 ) + + k(a a ) + ka = 2ka m+ < ε. Pozámka.26. Věta.23 je yí jedoduchým důsledkem věty.25. Stačí totiž volit b := ( ) +. Je jasé, že posloupost částečých součtů řady je pak omezeá. Příklad.27. Řada b = ( ) + si α je kovergetí pro libovolé α > 0, eboť posloupost ( ) je mootóí a koverguje k ule a řada si má omezeou posloupost částečých součtů α (viz větu.25). Teto fakt eí úplě triviálí. Čteář si může (apř. matematickou idukcí, popř. pomocí komplexích čísel) dokázat, že pro každé N platí s := si k = k= + si 2 si 2 si, a proto s 2 si. 2

23 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 9 Věta.28 (Abelovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí omezeá posloupost defiovaá a N a echť řada b koverguje. Pak je kovergetí i řada a b. Důkaz. Z předpokladů věty plye, že existuje koečá lim a =: a. Pro každé N defiujme a := a a. Pak posloupost (a ) je jistě mootóí a koverguje k ule; avíc, protože je řada b kovergetí, je posloupost částečých součtů této řady omezeá. Odtud a z Dirichletova kritéria (viz větu.25) plye, že je řada a b kovergetí. platí A dál je to sadé, protože pro posloupost (s ) částečých součtů řady a b s := a k b k = (a k + a)b k = a kb k + a b k a kb k + a b k R. k= k= k= k= k= k= Příklady.29. ) Řada ( arctg ) si α je kovergetí pro libovolé α > 0. V příkladu.27 jsme totiž ukázali kovergeci řady si. Dále je zřejmé, že posloupost (arctg ) je mootóí α a omezeá. Tvrzeí tak plye přímo z věty.28. 2) Je-li b libovolá kovergetí řada, tak je (viz větu.28) kovergetí i řada + b, eboť posloupost ( ) + je mootóí a omezeá.

24 20 Řady (reálých) čísel.4 Několik pozámek akoec Pozámka.30 (k odhadu zbytku řady). Uvažujme řadu a a N. Řadu a + + a +2 + a = azýváme zbytkem řady a po -tém čleu. k=+ Často je užitečé odhadout (pro kovergetí řadu) součet tohoto zbytku. 2 To však emusí být sadé. Zde si pro ilustraci alespoň uveďme, že apříklad při splěí předpokladů Leibizova kritéria pro každé N platí 3 ( ) + a ( ) k+ a k = ( ) k+ a k a +. k= k=+ (Můžete se pokusit odhadout zbytek řady i za situace z ěkterého z ostatích kritérií.) Pozámka.3 (k přerováváí řad). Je-li zobrazeí defiovaé a celém N, prosté, a (tz. že φ(n) = N), říkáme, že řada vzikla přerováím řady a. Symbolu =α φ : N N a φ() a, kde < α N, se užívá i pro ozačeí celých řad, eje pro ozačeí zbytku jisté řady (koeckoců zbytek řady je celá řada). Čteář určitě ebude mít problém porozumět, jaké řady jsou míěy, apíšeme-li apříklad 2, l( 7), Nepřehléděme zřejmé tvrzeí: =3 a k 8 Řada koverguje právě tehdy, koverguje-li její zbytek po -tém čleu. 3 Čteář by měl považovat za věc cti, že si příslušý odhad dokáže.

25 .4 Několik pozámek akoec 2 Dá se dokázat, že platí: i) Je-li řada a absolutě kovergetí, koverguje absolutě i řada a má stejý součet. a φ() ii) Jestliže řada a koverguje eabsolutě, lze ji přerovat tak, aby ově získaá řada měla za svůj součet libovolé (předem zadaé) číslo z R *, ebo tak, aby součet řady vziklé přerováím vůbec eexistoval. Pozámka.32 (k řadám komplexích čísel). Řadou komplexích čísel rozumíme výraz a + a a +... = a, kde pro každé N je a C. Ozačme pro každé N: α = Re a, β = Im a, tz. že a = α + β i; α, β R. Existují-li koečé(!) součty řad α =: α R, β =: β R, říkáme, že řada a koverguje, a součtem řady a rozumíme (komplexí) číslo s := α + βi. Více si lze o řadách komplexích čísel přečíst apř. v [2].

26 22 Kapitola 2 Poslouposti a řady fukcí 2. Bodová a stejoměrá kovergece Defiice 2.. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje bodově a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li tj. platí-li x M : lim f (x) = f(x), ( x M) ( ε R +) ( 0 N) ( N, 0 ) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.2. Přirozeé číslo 0 vyskytující se ve výše uvedeé podmíce závisí obecě a volbě x M a ε R +. Jestliže lze číslo 0 zvolit ezávisle a volbě bodu x M, mluvíme o stejoměré kovergeci a M. Řekěme to přesěji: Defiice 2.3. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje stejoměrě a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li [ ] lim sup f (x) f(x) x M = 0, tj. platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( N, 0 ) ( x M) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.4. Rozmysleme si, že zřejmě platí: f f a M f f a M.

27 2. Bodová a stejoměrá kovergece 23 Příklad 2.5. Buď pro každé N fukce f defiovaá předpisem f (x) := x x 2. Rozhoděme, zda je posloupost fukcí (f ) bodově, resp. stejoměrě kovergetí a itervalu 0,. Řešeí. Hledáí bodové limity eí těžké. Stačí si uvědomit, že pro libovolé (ale pevé) x 0, je lim x 2 = lim x = { 0, je-li x 0, ),, je-li x =, a proto lim f (x) = lim(x x 2 ) = 0. To zameá, že posloupost (f ) koverguje bodově a itervalu 0, k fukci f(x) := 0. Zbývá odpovědět a otázku (a to díky předchozí pozámce 2.4 stačí), zda f 0 a 0,, tj. zda platí ( ) ( ) lim sup f (x) f(x) x 0, = lim sup f (x) x 0, = 0. Neí obtížé spočítat, že pro libovolé N je sup f (x) = sup (x x 2 ) = max (x x 2 ) = x 0, x 0, x 0, 4, a proto posloupost (f ) eí a itervalu 0, stejoměrě kovergetí. Ilustrace: Posloupost (f ) je zázorěa a ásledujícím obrázku,

28 24 Poslouposti a řady fukcí z ěhož lze vyčíst, že pro libovolé (ale pevé) x 0 0, se posloupost ( f (x 0 ) ) blíží k 0, tj. že bodovou limitou (f ) je (a 0, ) ulová fukce. Pokud kolem grafu limití (ulové) fukce sestrojíme pás o šířce 0 < ε < 4 (v ašem obrázku jsme volili ε = 0, 05), zjistíme, že žádý z grafů fukcí f v tomto pásu celý eleží. To ovšem zameá, že kovergece poslouposti (f ) k fukci f(x) := 0 eí a itervalu 0, stejoměrá. Defiice 2.6. Buďte pro každé N fukce f a f defiovaé a možiě M R. Řekeme, že řada fukcí f (x) + f 2 (x) + + f (x) +... oz. = f (x) (2.) koverguje bodově (resp. stejoměrě) a možiě M ke svému součtu f, koverguje-li posloupost (s ) částečých součtů řady (2.) a bodově (resp. stejoměrě) a M k fukci f. a s (x) := k= f k (x).

29 2.2 Kritéria stejoměré kovergece Kritéria stejoměré kovergece Důkazy vět uvedeých v této a ásledující kapitole jsou techicky áročější, a ebudeme je zde proto uvádět. Zájemci si je mohou alistovat apř. v [5] a v [6]. Věta 2.7 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Posloupost fukcí (f ) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; m, 0 ) ( x M) : f m (x) f (x) < ε. Věta 2.8 (Bolzaova Cauchyho podmíka pro řady fukcí). Řada fukcí f (x) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) ( x M) : (Porovejte s větou.5.) k=m+ f k (x) < ε. Věta 2.9 (Weierstrassovo kritérium). Nechť M R a echť b a f (x) jsou takové řady, že i) f (x) b pro každé N a pro každé x M, ii) b koverguje. Pak řada f (x) koverguje stejoměrě a M. (Porovejte s větou.9.) Příklad 2.0. Řada stejoměrě koverguje a R, eboť a reálá řada ( N) ( x R) : si x 2 + x 2 si x 2 + x x 2 2 koverguje (apř. podle itegrálího kritéria viz větu.2). 2

30 26 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je mootóí a možiě M R, platí-li jeda z možostí: i) ( N) ( x M) : f (x) f + (x), ii) ( N) ( x M) : f (x) f + (x). Defiice 2.2. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je stejoměrě omezeá a možiě M R, platí-li ( c R + ) ( N) ( x M) : f (x) c. Věta 2.3 (Dirichletovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí posloupost fukcí a možiě M, pro iž platí f 0 a M, a echť posloupost částečých součtů řady g (x) je stejoměrě omezeá a M. a Pak je řada f (x)g (x) stejoměrě kovergetí a M. a Tz. ( c R + ) ( N) ( x M) : g k (x) c. (Porovejte s větou.25.) k= Příklad 2.4. Díky Dirichletovu kritériu 2.3 víme, že řada koverguje stejoměrě a itervalu si x I α = α, 2π α, kde α (0, π). ( ( Posloupost kostatích fukcí ) je mootóí, částečých součtů řady si x 0 a I α a posloupost

31 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 27 je stejoměrě omezeá a I α. ) Pozámka 2.5. V posledím příkladu jsme ukázali, že pro jakkoliv malé α (0, π) je řada fukcí si x stejoměrě kovergetí a α, 2π α. Lze ukázat, že a itervalu 0, 2π tato řada sice koverguje, ale kovergece zde eí stejoměrá. Věta 2.6 (Abelovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí a stejoměrě omezeá posloupost fukcí a možiě M a echť řada g (x) je stejoměrě kovergetí a M. Pak je stejoměrě kovergetí a možiě M i řada f (x)g (x). (Porovejte s větou.28.) 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Věta 2.7. Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu I R. Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha dost velká N, je i fukce f spojitá a I. Z tvrzeí ( x I α ) ( N) : k= si kx = k= ( ) + si 2 x si 2 si x 2 ( 2 x ) které lze dokázat apř. matematickou idukcí, sado obdržíme ( N) ( x I α ) : si kx si x si α =: c R +, 2 což je přesě výše zmíěá stejoměrá omezeost poslouposti částečých součtů řady si x.,

32 28 Poslouposti a řady fukcí Pozámka 2.8. Předpoklad stejoměré kovergece elze ahradit kovergecí bodovou. Uvažujme apříklad posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy f (x) := x. Je zřejmé, že pro každé x I platí lim f (x) = f(x), kde f(x) = { 0 pro x 0, ), pro x =. Všechy fukce f jsou a I spojité, f f a I, ale limití fukce f a I spojitá eí. Důsledek 2.9. Nechť I R je iterval a echť řada fukcí stejoměrě a I ke svému součtu f(x) := f (x). f (x) koverguje Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha N, je i fukce f spojitá a I. Věta 2.7 ám říká, že stejoměrá limita spojitých fukcí je spojitá fukce. Uvidíme, že toto tvrzeí lze (za vhodých dodatečých předpokladů) v jistém smyslu obrátit. Věta 2.20 (Diiho). Nechť a, b R, a < b, a echť i) (f ) je mootóí posloupost spojitých fukcí a itervalu a, b, ii) f f a a, b, iii) fukce f je spojitá a a, b. Pak f f a a, b. Důsledek 2.2. Nechť (f ) je posloupost ezáporých (resp. ekladých) spojitých fukcí a itervalu I = a, b, kde a, b R, a < b, a echť fukce f(x) := f (x) je spojitá a I. Pak řada fukcí f (x) koverguje stejoměrě k fukci f a I.

33 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 29 Věta Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu a, b, kde a, b R, a < b. Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = lim b a f (x) dx. Pozámka Předchozí věta ám říká, že za uvedeých předpokladů můžeme zaměit limitu a itegrál, tj. b a lim f (x) dx = lim b a f (x) dx. Pokud je kovergece pouze bodová, limitu a itegrál obecě zaměit emůžeme, jak je ukázáo v ásledujícím příkladu. Příklad Uvažujme posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy 2 x pro x 0,, 2 f (x) := 2 x pro x ( 2, ), 0 pro x,. Všechy fukce f jsou spojité (a tedy itegrovatelé) a I a eí těžké si uvědomit, že pro každé x I platí lim f (x) = 0. Přímým výpočtem ale zjistíme, že 0 lim f (x) dx = Důsledek Nechť řada fukcí 0 0 dx = 0 4 = lim f (x) dx. 0 f (x) koverguje stejoměrě a itervalu a, b, kde a, b R, a < b, ke svému součtu f(x) := f (x). Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = ( b a ) f (x) dx.

34 30 Poslouposti a řady fukcí Pozámka V předchozím důsledku se tvrdí, že (za uvedeých předpokladů) můžeme zaměit itegrál a sumu, tj. ( b ) ( b ) f (x) dx = f (x) dx. a a Věta Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci, echť posloupost (f ) koverguje (bodově) k fukci f a I a echť posloupost derivací (f ) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí f (x) = lim f (x) pro každé x I, tj. (lim f ) = lim f a I. Důsledek Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci. Dále echť f (x) koverguje (bodově) k f a I a echť řada derivací f (x) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí tj. f (x) = f (x) pro každé x I, ( f (x)) = f (x) a I. 2.4 Mocié a Taylorovy řady Defiice Mociou řadou se středem x 0 R rozumíme řadu fukcí tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + = kde pro každé N {0} je a R. a (x x 0 ), (2.2) Zabývejme se yí kovergecí řady (2.2), tj. zkoumejme, pro jaká x R příslušá číselá řada koverguje. Je zřejmé, že řada (2.2) koverguje pro x = x 0, tj. ve svém středu, a má tam součet a 0. Předpokládejme yí, že řada (2.2) koverguje

35 2.4 Mocié a Taylorovy řady 3 v bodě x x 0, a buď x R takový bod, že x x 0 < x x 0. Pak pro každé N platí a (x x 0 ) = a (x x 0 ) x x 0 x x 0. (2.3) Z předpokladu, že řada a (x x 0 ) koverguje, vyplývá (viz utou podmíku kovergece.3) lim (a (x x 0 ) ) = 0, a proto existuje k R + takové, že pro každé N je a (x x 0 ) k. Navíc, z předpokladu x x 0 x x 0 < plye kovergece (geometrické) řady k x x 0 x x 0 a proto ze vztahu (2.3) (a srovávacího kritéria.9) vyplývá, že řada a (x x 0 ) absolutě koverguje. Toto zjištěí je zobecěo v ásledující větě., Věta 2.30 (Abelova). Nechť řada (2.2) koverguje v bodě x x 0 a ozačme Pak ε = x x 0 > 0. (i) pro každé x (x 0 ε, x 0 + ε) řada (2.2) koverguje absolutě, (ii) mociá řada (2.2) koverguje lokálě stejoměrě a itervalu a (x 0 ε, x 0 + ε). Důsledek. Pokud mociá řada a (x x 0 ) diverguje v bodě x 2 R, diverguje i v každém bodě možiy {x R : x x 0 > x 2 x 0 }. a Lokálě stejoměrou kovergecí a itervalu I R rozumíme stejoměrou kovergeci a každém uzavřeém omezeém itervalu a, b I. Tvrzeí Abelovy věty ás přímo poouká k ásledující defiici.

36 32 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.3. Číslo { R := sup x x 0 : } a (x x 0 ) koverguje azýváme poloměrem kovergece mocié řady (2.2). Pozámka Nepřehléděme tyto zřejmé důsledky Abelovy věty 2.30 a ásledující defiice 2.3 poloměru kovergece R 0, + ) {+ }: (i) je-li R = 0, řada a (x x 0 ) koverguje právě tehdy, platí-li x = x 0 ; (ii) je-li R > 0, koverguje řada (2.2) absolutě a lokálě stejoměrě a itervalu (iii) řada (2.2) diverguje, je-li x x 0 > R. (x 0 R, x 0 + R); Pozámka Předpokládejme, že pro poloměr kovergece R mocié řady (2.2) platí 0 < R < +. Uvědomme si, že obecě elze říci ic o kovergeci této řady v krajích bodech itervalu kovergece, tj. v bodech x 0 R a x 0 + R. Situaci ilustrujme těmito třemi mociými řadami: 2 x, x, x 2. Protože pro každé 0 x R platí x + x x, x + + x x, x + (+) 2 x 2 x, Mluvíme o tzv. itervalu kovergece mocié řady (2.2). 2 Jedá se ve všech třech případech o mocié řady tvaru a (x x 0 ), kde x 0 = 0 a a 0 = 0.

37 2.4 Mocié a Taylorovy řady 33 je každá z uvedeých řad kovergetí, je-li x <, a divergetí, je-li x > (viz d Alembertovo kritérium.3). Proto je (podívejme se zovu a pozámku 2.32) poloměr kovergece každé z těchto mociých řad rove a itervalem kovergece je vždy iterval (, ). Podívejme se, co lze říci o kovergeci uvažovaých řad v bodech a. řada x diverguje pro x = i pro x = (ai v jedom z případů eí splěa utá podmíka kovergece řady viz větu.3); řada x koverguje (eabsolutě) pro x = a diverguje pro x = (viz Leibizovo kritérium.23 a itegrálí kritérium.2); řada x 2 koverguje (absolutě) pro x = i pro x = (i tato tvrzeí plyou sado z itegrálího kritéria.2). Věta Nechť existuje lim a + a = L, resp. lim a oz. = K. oz. Pak pro poloměr kovergece R mocié řady a (x x 0 ) platí, že, je-li 0 < L < +, L R = 0, je-li L = +, +, je-li L = 0,, je-li 0 < K < +, K resp. R = 0, je-li K = +, +, je-li K = 0. Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro x x 0 je lim a + (x x 0 ) + a (x x 0 ) = L x x 0, resp. lim a (x x 0 ) = K x x 0, a užít d Alembertovo.3, resp. Cauchyho.6 kritérium.

38 34 Poslouposti a řady fukcí Příklad Určete obor kovergece mocié řady (se středem v bodě ) 2 (x ). Řešeí. lim 2 = lim 2 = 2, a proto R = 2; daá řada koverguje (absolutě) pro každé x (, 3) a diverguje pro každé x R takové, že x > 2. Pro x = ai pro x = 3 řada (x ) ekoverguje, protože eí ai 2 v jedom z bodů splěa utá podmíka kovergece 2 (viz větu.3). Oborem kovergece daé řady je iterval (, 3). Příklad Určete poloměr kovergece mocié řady (2)! (!) 2 x. Řešeí. a proto R = 4. (2(+))! ((+)!) 2 (2)! (!) 2 = (2 + 2)(2 + ) ( + )( + ) 4, Následující velmi důležitá věta plye z důsledků 2.28, 2.25 a Abelovy věty Tz. určete možiu všech x R, pro ěž daá řada koverguje. 2 Tz. eplatí rovost lim 2 (x ) = 0.

39 2.4 Mocié a Taylorovy řady 35 Věta 2.37 (o derivováí a itegrováí mocié řady čle po čleu). Nechť mociá řada a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + = má poloměr kovergece R > 0. Pak i mocié řady a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 + = a (x x 0 ) (2.4) a (x x 0 ), a 0 (x x 0 ) + a 2 (x x 0) 2 + a 2 3 (x x 0) 3 + = a + (x x 0) + (vziklé derivováím, resp. itegrováím řady (2.4) čle po čleu ) mají poloměr kovergece R a avíc pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí: x S (x) = x 0 S(t) dt = a (x x 0 ) a (x x 0 ), a + (x x 0) +. Pozámka Zovu si prohléděme předcházející větu a epřehléděme, že (za daých předpokladů) platí pro součet S mocié řady a (x x 0 ) ásledující dvě tvrzeí: i) S má a itervalu kovergece všechy derivace a pro každé p N a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí ii) fukce S (p) (x) = ( )... ( p + ) a (x x 0 ) p, =p x x S(t) dt x 0 je a itervalu (x 0 R, x 0 + R) primitiví fukcí k fukci S.

40 36 Poslouposti a řady fukcí Věta 2.39 (Abelova). Nechť 0 < R < + a echť řada a (x x 0 ) koverguje v bodě x = x 0 +R, resp. v bodě x = x 0 R. Pak pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a (x x 0 ) platí, že je spojitá zleva v bodě x = x 0 + R, resp. zprava v bodě x = x 0 R, tz. S(x 0 + R) = lim S(x), resp. S(x 0 R) = lim S(x). x x 0 +R x x 0 R + Příklad Vypočtěme součet řady = ( ). Řešeí. Předě si uvědomme, že Leibizovo kritérium.23 ám poskytuje argumet, že uvedeá řada koverguje. Uvažujme yí fukci S defiovaou předpisem S(x) := ( ) x Pak (protože poloměr kovergece výše uvedeé mocié řady je zřejmě ) z věty 2.37 plye x (, ) : S (x) =. ( ) x = Odtud (a ze zřejmého faktu S(0) = 0) víme, že x (, ) : S(x) = l( + x). A vše ostatí sado vyplývá z Abelovy věty 2.39: ( x) = + x. ( ) = S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2. x x Příklad 2.4. Vyjádřeme v okolí bodu 0 fukci jako součet mocié řady. S(x) := arctg x

41 2.4 Mocié a Taylorovy řady 37 Řešeí. Stačí si uvědomit, že x (, ) : S (x) = + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = a proto (viz větu 2.37 a skutečost, že S(0) = arctg 0 = 0) x (, ) : S(x) = arctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) x 2, ( ) x Všiměme si, že alezeá mociá řada koverguje v bodě x = (viz Leibizovo kritérium.23), a proto můžeme pomocí Abelovy věty 2.39 získat zajímavý bous: π 4 = = ( ) 2 +. Ukočeme aše povídáí o řadách fukcí krátkou zmíkou o speciálím typu mociých řad, o tzv. Taylorových řadách. Defiice Předpokládejme, že existují všechy derivace fukce f : R R v bodě x 0 R. Taylorovou řadou fukce f se středem x 0 pak rozumíme mociou řadu f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + = 2! f () (x 0 ) (x x 0 ). (2.5)! (Nepřehléděme zřejmou souvislost s Taylorovými polyomy fukce f v bodě x 0.) Je zajímavým úkolem zjistit, jak spolu souvisí součet Taylorovy řady (2.5), tz. fukce S defiovaá předpisem a fukce f. S(x) := f () (x 0 ) (x x 0 ),!

42 38 Poslouposti a řady fukcí Příklad Uvažujme součet Taylorovy řady fukce f(x) := e x se středem v bodě x 0 = 0, tj. fukci S(x) := + x! + x2 2! + = x!. (2.6) Protože lim (+)!! = lim + = 0, má uvažovaá Taylorova řada poloměr kovergece R = + (viz větu 2.34), a proto můžeme díky větě 2.37 tvrdit, že pro každé x R je S (x) = ( + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... ) = x! + x2 2! + x3 3! +... = S(x). A to ám ( pokud víme, že jediým řešeím Cauchyho úlohy f (x) = f(x), f(0) = (= S(0)), a R je právě expoeciálí fukce f(x) := e x) dává jistotu, že S(x) = e x pro každé x R. Pozámka Podobě jako v předcházejícím příkladu lze dokázat (či okometovat), proč i pro moho dalších fukcí platí, že jsou součty svých Taylorových řad. Například si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + = ( ) x 2 (2)! l( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = ( ) x... pro každé x R, pro každé x R, pro každé x (,, Výše uvedeý důkaz, že fukce e x je rova součtu své Taylorovy řady, a i samoté sestaveí příslušé Taylorovy řady je poěkud problematické. Neí totiž jasé, co rozumíme (jak defiujeme) fukcí e x. Často se expoeciálí fukce defiuje právě jako součet mocié řady vyskytující se v (2.6).

43 2.4 Mocié a Taylorovy řady 39 Pozor! Nemusí tomu tak být vždy. Vezměme třeba fukci e x 2 pro x 0, f(x) := 0 pro x = 0. Lze ukázat, že všechy derivace fukce f jsou spojité a R a že Taylorovou řadou fukce f se středem v bodě 0 je řada f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + = = 2! s ulovým součtem a R. Fukce f je však ulová pouze v bodě 0. 0

44 40 Literatura [] J. Bouchala: Matematická aalýza, skripta VŠB-TU Ostrava, 998. [2] J. Bouchala: Fukce komplexí proměé, 20. [3] J. Brabec, F. Marta, Z. Rozeský: Matematická aalýza I, SNTL, Praha, 985. [4] B. Budiský, J. Charvát: Matematika I, SNTL, Praha, 987. [5] Z. Došlá, V. Novák: Nekoečé řady, skripta MU Bro, 998. [6] V. Jarík: Difereciálí počet (II), Academia, Praha, 976. [7] K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995. [8] J. Veselý: Matematická aalýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 997.

45 4 Rejstřík iterval kovergece mocié řady, 32 kovergece bodová, 22, 24 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22, 24 kritérium (eabsolutí) kovergece Abelovo, 9 Dirichletovo, 7 Leibizovo, 6 kritérium absolutí kovergece itegrálí, 4 limití odmociové (Cauchyho), 0 limití podílové (d Alembertovo), 8 limití Raabeovo, 3 odmociové (Cauchyho), 9 podílové (d Alembertovo), 7 Raabeovo, 2 srovávací, 5 kritérium stejoměré kovergece Abelovo, 27 Dirichletovo, 26 Weierstrassovo, 25 limita poslouposti fukcí bodová, 22 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22 obor kovergece mocié řady, 34 poloměr kovergece mocié řady, 32 posloupost částečých součtů řady fukcí, 24 reálých fukcí, 22 částečých součtů řady, fukcí mootóí a možiě, 26 stejoměrě omezeá a možiě, 26 řada -tý čle, (reálých) čísel, (reálých) fukcí, 24 absolutě kovergetí, 5 alterující, 6 aritmetická, 2 divergetí, fukcí bodově kovergetí, 24 stejoměrě kovergetí, 24 geometrická, 2 harmoická, 2 komplexích čísel, 2 kovergetí, mociá, 30 iterval kovergece, 32 obor kovergece, 34 poloměr kovergece, 32 eabsolutě kovergetí, 5 posloupost částečých součtů, přerovaá, 20 součet, Taylorova, 37 zbytek, 20 součet řady, střed mocié řady, 30 střed Taylorovy řady, 37

46 42 Rejstřík Taylorova řada, 37 věta Abelova, 3, 36 Abelovo kritérium pro řady fukcí, 27 B C podmíka pro řady fukcí, 25 Bolzaova Cauchyho podmíka, 25 Diiho, 28 Dirichletovo kritérium pro řady fukcí, 26 o derivováí a itegrováí řady čle po čleu, 35 o kovergeci řady Abelovo kritérium, 9 Bolzaova Cauchyho podmíka, 3 Dirichletovo kritérium, 7 itegrálí kritérium, 4 Leibizovo kritérium, 6 limití odmociové (Cauchyho) kritérium, 0 limití podílové (d Alembertovo) kritérium, 8 limití Raabeovo kritérium, 3 utá podmíka, 3 odmociové (Cauchyho) kritérium, 9 podílové (d Alembertovo) kritérium, 7 Raabeovo kritérium, 2 srovávací kritérium, 5 o limitě mootóí poslouposti, 4 o výpočtu poloměru kovergece, 33 o záměosti limity a derivace, 30 o záměosti limity a itegrálu, 29 Weierstrassovo kritérium, 25 zbytek řady po -tém čleu, 20

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

10. Rekurentní vztahy

10. Rekurentní vztahy Diskrétí matematika 0 Rekuretí vztahy phabala 202 Kapitolu uvedeme populárím příkladem 0 Rekuretí vztahy Příklad 0a: Teto problém je zám po ázvem Haojské věže Představte si tři tyčky, a jedé je avlečeo

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více