ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil"

Transkript

1 ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Řady c Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil, 3. červa 202 ISBN

3 Předmluva Výsledou podobu těchto skript ovlivili mozí z ašich učitelů, kolegů i studetů. Všem jsme jim upřímě vděčí. Čteáře prosíme o shovívavost a sděleí všech připomíek. Teto i ostatí v rámci projektu Matematika pro ižeýry 2. století připravovaé výukové materiály lze ajít a strákách Podívejte se a ě! V Ostravě, a to v ledu 20 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Všechy připomíky (výhrady, kometáře, doporučeí, výhružky a dary) zasílejte (prosíme) a aše ové adresy: iii

4 Obsah Předmluva iii Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Kritéria absolutí kovergece Kritéria (eabsolutí) kovergece Několik pozámek akoec Poslouposti a řady fukcí Bodová a stejoměrá kovergece Kritéria stejoměré kovergece Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Mocié a Taylorovy řady Literatura 40 Rejstřík 4 iv

5 Kapitola Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Defiice.. Řadou (reálých čísel) rozumíme výraz a + a a +... = a, (.) kde pro každé N je a R. a Číslo a azýváme -tým čleem řady (.), posloupost (s ) defiovaou předpisem s := a + a a = azýváme posloupostí částečých součtů řady (.). Existuje-li limita s := lim s R *, azýváme ji součtem řady (.) a píšeme b a = s; je-li avíc s R, říkáme, že řada (.) koverguje. Nemá-li řada a součet, c ebo je-li k= a {+, }, azýváme (.) divergetí řadou. a Tz. že (a ) je posloupostí reálých čísel. b Zde epřehléděme, že symbolem a začíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale ebojme se, z kotextu bude vždy jasé, o které z těchto dvou možostí právě mluvíme. c Tím rozumíme, že lim s eexistuje. a k

6 2 Řady (reálých) čísel Příklady.2. ) 2) = = +... divergetí (aritmetická) řada. ( s = ( + ) 2 ) +. + ( ) + + ( ) +... = ( ) + ( s = { 0, je-li sudé,... divergetí řada (emá součet)., je-li liché. Zde pozor a umístěí závorek. Platí totiž: 3) Součet (geometrické) řady 4) ( ) + ( ) + ( ) +... = = 0, + ( + ) + ( + ) +... = =. + q + q = ( s = ) q, kde q R, existuje právě tehdy, je-li q >, a platí pro ěj { q +, je-li q, =, je-li < q <. q {, je-li q =, ) = q, je-li q. q = +... divergetí (tzv. harmoická) řada. ( Pokuste se dokázat uvedeou rovost pomocí (zřejmě platícího) tvrzeí k N : 2 k k k k+ 2 k+ ( 2 k+ 2 k) = 2.)

7 . Součet a kovergece číselé řady 3 Věta.3 (Nutá podmíka kovergece). Koverguje-li řada lim a = 0. a, je Důkaz. Podle předpokladu pro posloupost částečých součtů (tj. pro posloupost s := a k ) platí a proto k= s := lim s R (!), lim a = lim(s s ) = lim s lim s = s s = 0. Příklady.4. ) ( ) 2 diverguje, protože lim( ) 2 eexistuje. 2) 2 diverguje, protože lim 2 = +. 3) diverguje, a to přesto, že lim = 0. (Tvrzeí.3 tedy elze obrátit!) Věta.5 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Řada a koverguje právě tehdy, platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : k=m+ a k < ε. Důkaz. Věta je sadým důsledkem zámého tvrzeí, že reálá posloupost je kovergetí právě tehdy, je-li cauchyovská, a pozorováí, že výše uvedeá podmíka je ekvivaletí s tvrzeím, že posloupost s := a k částečých součtů řady je cauchyovská, tz. ( ε R + ) ( 0 N) (, m N;, m 0 ) : s s m < ε. k= a

8 4 Řady (reálých) čísel Věta.6. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Nejdříve defiujme (pro každé N): a + := max{a, 0} = ) a + a 0, 2( a := max{ a, 0} = 2( ) a a 0; s + := a + + a a +, s := a + a a. Máme dokázat, že posloupost částečých součtů s := a k = (a + k a k ) = a + k a k = s+ s k= k= k= k= je kovergetí, tz. že má koečou limitu. K tomu stačí ukázat, že jsou kovergetí poslouposti (s + ) a (s ). Obě tyto poslouposti jsou však zřejmě eklesající a díky předpokladu a =: s R a vztahům s + = a + + a a + a + a a s = a + a a a + a a a = s, a = s, které platí pro každé N, i shora omezeé. Jejich kovergece tak plye přímo ze zámého tvrzeí o limitě mootóí poslouposti. Věta o limitě mootóí poslouposti. Je-li posloupost (α ) eklesající, je lim α = sup {α : N}. Je-li posloupost (β ) erostoucí, je lim β = if {β : N}.

9 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Defiice.7. Koverguje-li řada a, říkáme, že (kovergetí!) řada a koverguje absolutě. Koverguje-li řada a a současě řada a diverguje, azýváme a eabsolutě kovergetí řadou. a a Všiměme si, že součet řady součtů je eklesající), může být však rove +. a existuje vždy (odpovídající posloupost částečých Příklady.8. ) ( )... eabsolutě kovergetí řada. (Důkaz bude provede později pomocí Leibizova kritéria.) 2) ( )... absolutě kovergetí řada. 2 (Důkaz bude provede později pomocí itegrálího kritéria.).2 Kritéria absolutí kovergece Úmluva. Napíšeme-li V () platí pro všecha dost velká N, rozumíme tím, že ( 0 N) ( N, 0 ) : V (). Věta.9 (srovávací kritérium). Nechť a a b jsou takové řady, že i) a b pro všecha dost velká N, ii) b koverguje. Pak a koverguje absolutě.

10 6 Řady (reálých) čísel Důkaz. Z předpokladů plye, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a protože je jak jsme si již uvědomili dříve avíc eklesající, má koečou limitu. Touto limitou je a. Příklad.0. ( ) ( ) 977 koverguje absolutě, protože pro každé N platí a ( ) ( ) ( ) ( ) 977 je kovergetí (geometrická) řada ( < q := < ). 977 Pozorováí (a zřejmý důsledek věty.9.) Nechť a a b jsou takové řady, že 0 a b pro všecha dost velká N a že a = +. Potom platí b = +. Příklad.. l(966 + ) diverguje, protože platí a avíc = +. 0 l(966 + ) (pro každé N) Čteář by si měl předložeý důkaz, pokud mu eí zcela jasý, rozepsat a rozmyslet podrobě!

11 .2 Kritéria absolutí kovergece 7 Věta.2 (podílové kritérium, d Alembertovo). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a + a q pro všecha dost velká N, koverguje řada ii) Je-li Důkaz. tak řada a a absolutě. a + a pro všecha dost velká N, diverguje. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). a + a a 0 + a a a + a a 0 + a 0 + q a 0 + q 2 a = = a + a a 0 + a 0 ( + q + q ) = = a + a a 0 + a 0 q = = a + a a 0 + a 0 q < +. b) I důkaz tvrzeí ii) je sadý. Z předpokladu a + a pro všecha dost velká N plye, že ( 0 N) ( N, 0 ) : a + a > 0,

12 8 Řady (reálých) čísel a proto ( 0 N) ( N, 0 ) : a a 0 > 0. Odtud lze sado usoudit, že eplatí utá podmíka kovergece řady a, tj. tvrzeí lim a = 0 (viz větu.3). Řada a diverguje. Sadým důsledkem věty.2 je ásledující věta. Věta.3 (limití podílové (d Alembertovo) kritérium). i) Je-li koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a + a <, lim a + a >, Důkaz. a) Nejdříve se podívejme, proč platí tvrzeí i). Zvolme (libovolě) ( ) q lim a + a, (0, ). Pak zřejmě platí a + a q pro všecha dost velká N, a dokazovaé tvrzeí proto plye přímo z již dokázaého tvrzeí i) věty.2. b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li lim a + a >, je a + a pro všecha dost velká N.

13 .2 Kritéria absolutí kovergece 9 Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.2. Příklady.4. ) 2) protože protože ( ) 2 koverguje absolutě, 3 + (+)2 ( ) 3 + ( ) 2 = ( + ) <. 3 (+)! 0 +! 0 = 0 ( + )!!! diverguje, 0 3) Pozor! Při vyšetřováí kovergece řady protože > + = ( + ) + >. 0 = +. se podílové kritérium ehodí, Věta.5 (odmociové kritérium, Cauchyho). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li pro ekoečě moho N a, tak řada a diverguje.

14 0 Řady (reálých) čísel Důkaz. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). Z předpokladů plye, že a q pro všecha dost velká N a že řada q koverguje (jedá se o geometrickou řadu s kvocietem q (0, )). Dokazovaé tvrzeí proto plye ze srovávacího kritéria (viz větu.9). b) Nyí dokažme tvrzeí ii). Z předpokladů plye, že pro ekoečě moho N platí a. To však zameá, že eplatí lim a = 0, tj. eí splěa utá podmíka kovergece řady a (viz větu.3). Proto řada a diverguje. I tato věta má svou limití verzi. Věta.6 (limití odmociové (Cauchyho) kritérium). i) Je-li lim a <, koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a >, Důkaz. a) Důkaz tvrzeí i). Zvolme (libovolě) Pak zřejmě platí q ( lim ) a, (0, ). a q pro všecha dost velká N. Dokazovaé tvrzeí plye z prví části věty.5.

15 .2 Kritéria absolutí kovergece b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li je lim a >, a pro všecha dost velká N, a proto a pro ekoečě moho N. Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.5. Příklady.7. ) ( ) koverguje absolutě, protože ( 2 ) + = <. 2) 2 diverguje, 993 protože 2 = ( >. ) 3) Pozor! Ai odmociové kritérium ám při rozhodováí, zda řada koverguje, epomůže. Platí totiž (pro každé N, > ) > =.

16 2 Řady (reálých) čísel Věta.8 (Raabeovo kritérium). Uvažujme řadu a. Pak platí tato tvrzeí: i) Existuje-li q > takové, že ( ) a + a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li tak řada ( a ekoverguje absolutě (tj. tato řada buď koverguje eabsolutě, ebo diverguje). a + a ) pro všecha dost velká N, Důkaz. a) Nejprve dokažme ( tvrzeí i). ) Z podmíky a + a q plye ( a a + ) q a. Předpokládáme tedy, že existuje 0 N takové, že pro každé N, > 0, platí Sečteím těchto erovostí dostaeme 0 ( a 0 a 0 + ) q a 0, ( 0 + )( a 0 + a 0 +2 ) q a 0 +,... ( a a + ) q a. 0 a 0 + ( a a ) a + q a 0 + q( a a ), odkud sado odvodíme (q )( a a ) 0 a 0 a + q a 0 0 a 0. Vzhledem k tomu, že q > 0, dostaeme a a 0 a 0 q pro každé N, > 0. Vidíme, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a proto řada a koverguje absolutě.

17 .2 Kritéria absolutí kovergece 3 b) Nyí ukažme, proč platí tvrzeí ii), tj. proč (jsou-li splěy uvedeé předpoklady) řada a diverguje. ( ) Podmíku a + a lze psát ve tvaru a + a =. Předpokládáme tedy existeci 0 N, 0 2, takového, že pro každé N, 0, platí a 0 + a 0 0, 0 a , a a + a. Vyásobíme-li výše uvedeé erovosti (jsou to erovosti mezi kladými čísly), dostaeme a + a 0 0, a proto a + a 0 ( 0 ) pro každé N, 0. Odtud a z divergece harmoické řady vyplývá, že řada a + (a tedy i a ) diverguje (viz důsledek věty.9). Následující věta je sadým důsledkem věty.8. Věta.9 (limití Raabeovo kritérium). i) Je-li ( lim koverguje řada a absolutě. ii) Je-li ( lim a + a a + a ) >, ) <, řada a ekoverguje absolutě (tj. buď tato řada koverguje eabsolutě, ebo diverguje).

18 4 Řady (reálých) čísel Důkaz. Důkaz lze provést podobým způsobem jako u věty.3. Přeechme jej proto zcela pilému čteáři. Příklady.20. ) Řada lim 2) Řada lim 3 ( koverguje, eboť a + a ) ) = lim ( 3 = ( + ) 3 = lim (( + )3 3 ) ( + ) 3 = lim = 3 >. (2)! 4 (!) 2 je divergetí, eboť ( a + a ) ( = lim ) (2 + 2)(2 + ) = 4( + ) ( 2 = lim 2 + ) 2( + ) = lim = 2 <. O kovergeci této řady bychom podílovým kritériem erozhodli, protože > a +. a Věta.2 (itegrálí kritérium). Nechť fukce f : R R je erostoucí a itervalu, + ) a echť pro každé N platí, že a = f(). Potom řada a koverguje absolutě právě tehdy, koverguje-li evlastí itegrál c c f(x) dx (tz. existuje-li koečá limita lim Důkaz. Nejdříve pro každé N defiujme s := a k a všiměme si, že existují limity c lim c f(x) = lim Otázka čteáři: Proč existují? lim s = k= a R *, f(x) dx = f(x) dx.) f(x) dx R *.

19 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Máme vlastě dokázat ekvivaleci a < + f(x) dx < +. (.2) Z předpokladů plye s = a k = k= f(k) f(x) dx f(k) = a k = s + a. k= k=2 k=2 Odtud limitím přechodem ( ) získáme erovosti a f(x) dx z ichž již sado plye dokazovaá ekvivalece (.2). a a, Příklady.22. ) 2) protože protože ( ) koverguje absolutě, 2 [ x dx = ] = 0 ( ) = < +. 2 x x dx = [l x] diverguje, = + 0 = +. (Čteář by si měl rozmyslet, pro jaká α R koverguje řada Zde je užitečé akreslit si obrázek!.) α

20 6 Řady (reálých) čísel.3 Kritéria (eabsolutí) kovergece Možá bude užitečé upozorit čteáře už teď, že v literatuře běžě užívaý termí kritéria eabsolutí kovergece je poěkud matoucí. V ásledujících větách se etvrdí, že příslušá řada (za jistých předpokladů) koverguje eabsolutě, ale pouze to, že koverguje. Nejdříve si uveďme kritérium týkající se kovergece tzv. alterujících řad (to jsou řady, jejichž čley pravidelě střídají zaméka ). Věta.23 (Leibizovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N a taková, že lim a = 0. a Potom řada koverguje. a a 2 + a 3 a 4 + = ( ) + a a Všiměme si, že pro mootóí posloupost (a ) s ulovou limitou platí jeda z možostí: i) N : 0 a + a, ii) N : 0 a + a. Důkaz. Předpokládejme apříklad, že a vyberme z poslouposti N : 0 a + a, s := ( ) k+ a k k= částečých součtů zkoumaé řady posloupost lichých (vyjma prvího) a posloupost sudých čleů. Tz. uvažujme poslouposti s * := s 2+, s ** := s 2. Protože díky předpokladu ii) víme, že pro každé N platí s * + = s 2+3 = s 2+ a a 2+3 s 2+ = s *, s ** + = s 2+2 = s 2 + a 2+ a 2+2 s 2 = s **, existují limity: lim s * R { }, lim s ** R {+ }. Viz Větu o limitě mootóí poslouposti.

21 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 7 Navíc ale díky předpokladu iii) platí, že a proto lim(s * s ** ) = lim(s 2+ s 2 ) = lim a 2+ = 0, lim s * = lim s ** =: s R! Odtud již sado plye (čteář si laskavě promyslí sám!), že což jsme měli dokázat. ( ) + a = lim s = s R, Příklad.24. Řada = ( ) + je eabsolutě kovergetí, protože platí: N : +, lim = 0; ( ) + = = +. Věta.25 (Dirichletovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N, pro iž platí lim a = 0, a echť posloupost částečých součtů řady b je omezeá. Pak je řada a b kovergetí. Důkaz. Bez újmy a obecosti předpokládejme, že posloupost (a ) je erostoucí (v případě eklesající poslouposti by stačilo uvažovat posloupost ( a )). To (vzhledem k podmíce lim a = 0) zameá, že a 0 pro každé N. Dále z předpokladů vyplývá, že pro posloupost částečých součtů řady b platí s := k= b k ( k R + ) ( N) : s k.

22 8 Řady (reálých) čísel Nyí ukážeme (což díky větě.5 stačí), že pro řadu a b platí Bolzaova Cauchyho podmíka ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : Buď ε > 0 dáo. Z předpokladu lim a = 0 vyplývá, že k=m+ ( 0 N ) ( N; 0 ) : a = a < ε 2k. Zbývá dokázat, že pro každé m, N, 0 m <, platí A to lze udělat přímým výpočtem: a k b k < ε. k=m+ a m+ b m+ + + a b = a m+ (s m+ s m ) + + a (s s ) = a k b k < ε. = a m+ s m + (a m+ a m+2 )s m+ + + (a a )s + a s a m+ s m + (a m+ a m+2 ) s m+ + + (a a ) s + a s ka m+ + k(a m+ a m+2 ) + + k(a a ) + ka = 2ka m+ < ε. Pozámka.26. Věta.23 je yí jedoduchým důsledkem věty.25. Stačí totiž volit b := ( ) +. Je jasé, že posloupost částečých součtů řady je pak omezeá. Příklad.27. Řada b = ( ) + si α je kovergetí pro libovolé α > 0, eboť posloupost ( ) je mootóí a koverguje k ule a řada si má omezeou posloupost částečých součtů α (viz větu.25). Teto fakt eí úplě triviálí. Čteář si může (apř. matematickou idukcí, popř. pomocí komplexích čísel) dokázat, že pro každé N platí s := si k = k= + si 2 si 2 si, a proto s 2 si. 2

23 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 9 Věta.28 (Abelovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí omezeá posloupost defiovaá a N a echť řada b koverguje. Pak je kovergetí i řada a b. Důkaz. Z předpokladů věty plye, že existuje koečá lim a =: a. Pro každé N defiujme a := a a. Pak posloupost (a ) je jistě mootóí a koverguje k ule; avíc, protože je řada b kovergetí, je posloupost částečých součtů této řady omezeá. Odtud a z Dirichletova kritéria (viz větu.25) plye, že je řada a b kovergetí. platí A dál je to sadé, protože pro posloupost (s ) částečých součtů řady a b s := a k b k = (a k + a)b k = a kb k + a b k a kb k + a b k R. k= k= k= k= k= k= Příklady.29. ) Řada ( arctg ) si α je kovergetí pro libovolé α > 0. V příkladu.27 jsme totiž ukázali kovergeci řady si. Dále je zřejmé, že posloupost (arctg ) je mootóí α a omezeá. Tvrzeí tak plye přímo z věty.28. 2) Je-li b libovolá kovergetí řada, tak je (viz větu.28) kovergetí i řada + b, eboť posloupost ( ) + je mootóí a omezeá.

24 20 Řady (reálých) čísel.4 Několik pozámek akoec Pozámka.30 (k odhadu zbytku řady). Uvažujme řadu a a N. Řadu a + + a +2 + a = azýváme zbytkem řady a po -tém čleu. k=+ Často je užitečé odhadout (pro kovergetí řadu) součet tohoto zbytku. 2 To však emusí být sadé. Zde si pro ilustraci alespoň uveďme, že apříklad při splěí předpokladů Leibizova kritéria pro každé N platí 3 ( ) + a ( ) k+ a k = ( ) k+ a k a +. k= k=+ (Můžete se pokusit odhadout zbytek řady i za situace z ěkterého z ostatích kritérií.) Pozámka.3 (k přerováváí řad). Je-li zobrazeí defiovaé a celém N, prosté, a (tz. že φ(n) = N), říkáme, že řada vzikla přerováím řady a. Symbolu =α φ : N N a φ() a, kde < α N, se užívá i pro ozačeí celých řad, eje pro ozačeí zbytku jisté řady (koeckoců zbytek řady je celá řada). Čteář určitě ebude mít problém porozumět, jaké řady jsou míěy, apíšeme-li apříklad 2, l( 7), Nepřehléděme zřejmé tvrzeí: =3 a k 8 Řada koverguje právě tehdy, koverguje-li její zbytek po -tém čleu. 3 Čteář by měl považovat za věc cti, že si příslušý odhad dokáže.

25 .4 Několik pozámek akoec 2 Dá se dokázat, že platí: i) Je-li řada a absolutě kovergetí, koverguje absolutě i řada a má stejý součet. a φ() ii) Jestliže řada a koverguje eabsolutě, lze ji přerovat tak, aby ově získaá řada měla za svůj součet libovolé (předem zadaé) číslo z R *, ebo tak, aby součet řady vziklé přerováím vůbec eexistoval. Pozámka.32 (k řadám komplexích čísel). Řadou komplexích čísel rozumíme výraz a + a a +... = a, kde pro každé N je a C. Ozačme pro každé N: α = Re a, β = Im a, tz. že a = α + β i; α, β R. Existují-li koečé(!) součty řad α =: α R, β =: β R, říkáme, že řada a koverguje, a součtem řady a rozumíme (komplexí) číslo s := α + βi. Více si lze o řadách komplexích čísel přečíst apř. v [2].

26 22 Kapitola 2 Poslouposti a řady fukcí 2. Bodová a stejoměrá kovergece Defiice 2.. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje bodově a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li tj. platí-li x M : lim f (x) = f(x), ( x M) ( ε R +) ( 0 N) ( N, 0 ) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.2. Přirozeé číslo 0 vyskytující se ve výše uvedeé podmíce závisí obecě a volbě x M a ε R +. Jestliže lze číslo 0 zvolit ezávisle a volbě bodu x M, mluvíme o stejoměré kovergeci a M. Řekěme to přesěji: Defiice 2.3. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje stejoměrě a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li [ ] lim sup f (x) f(x) x M = 0, tj. platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( N, 0 ) ( x M) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.4. Rozmysleme si, že zřejmě platí: f f a M f f a M.

27 2. Bodová a stejoměrá kovergece 23 Příklad 2.5. Buď pro každé N fukce f defiovaá předpisem f (x) := x x 2. Rozhoděme, zda je posloupost fukcí (f ) bodově, resp. stejoměrě kovergetí a itervalu 0,. Řešeí. Hledáí bodové limity eí těžké. Stačí si uvědomit, že pro libovolé (ale pevé) x 0, je lim x 2 = lim x = { 0, je-li x 0, ),, je-li x =, a proto lim f (x) = lim(x x 2 ) = 0. To zameá, že posloupost (f ) koverguje bodově a itervalu 0, k fukci f(x) := 0. Zbývá odpovědět a otázku (a to díky předchozí pozámce 2.4 stačí), zda f 0 a 0,, tj. zda platí ( ) ( ) lim sup f (x) f(x) x 0, = lim sup f (x) x 0, = 0. Neí obtížé spočítat, že pro libovolé N je sup f (x) = sup (x x 2 ) = max (x x 2 ) = x 0, x 0, x 0, 4, a proto posloupost (f ) eí a itervalu 0, stejoměrě kovergetí. Ilustrace: Posloupost (f ) je zázorěa a ásledujícím obrázku,

28 24 Poslouposti a řady fukcí z ěhož lze vyčíst, že pro libovolé (ale pevé) x 0 0, se posloupost ( f (x 0 ) ) blíží k 0, tj. že bodovou limitou (f ) je (a 0, ) ulová fukce. Pokud kolem grafu limití (ulové) fukce sestrojíme pás o šířce 0 < ε < 4 (v ašem obrázku jsme volili ε = 0, 05), zjistíme, že žádý z grafů fukcí f v tomto pásu celý eleží. To ovšem zameá, že kovergece poslouposti (f ) k fukci f(x) := 0 eí a itervalu 0, stejoměrá. Defiice 2.6. Buďte pro každé N fukce f a f defiovaé a možiě M R. Řekeme, že řada fukcí f (x) + f 2 (x) + + f (x) +... oz. = f (x) (2.) koverguje bodově (resp. stejoměrě) a možiě M ke svému součtu f, koverguje-li posloupost (s ) částečých součtů řady (2.) a bodově (resp. stejoměrě) a M k fukci f. a s (x) := k= f k (x).

29 2.2 Kritéria stejoměré kovergece Kritéria stejoměré kovergece Důkazy vět uvedeých v této a ásledující kapitole jsou techicky áročější, a ebudeme je zde proto uvádět. Zájemci si je mohou alistovat apř. v [5] a v [6]. Věta 2.7 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Posloupost fukcí (f ) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; m, 0 ) ( x M) : f m (x) f (x) < ε. Věta 2.8 (Bolzaova Cauchyho podmíka pro řady fukcí). Řada fukcí f (x) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) ( x M) : (Porovejte s větou.5.) k=m+ f k (x) < ε. Věta 2.9 (Weierstrassovo kritérium). Nechť M R a echť b a f (x) jsou takové řady, že i) f (x) b pro každé N a pro každé x M, ii) b koverguje. Pak řada f (x) koverguje stejoměrě a M. (Porovejte s větou.9.) Příklad 2.0. Řada stejoměrě koverguje a R, eboť a reálá řada ( N) ( x R) : si x 2 + x 2 si x 2 + x x 2 2 koverguje (apř. podle itegrálího kritéria viz větu.2). 2

30 26 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je mootóí a možiě M R, platí-li jeda z možostí: i) ( N) ( x M) : f (x) f + (x), ii) ( N) ( x M) : f (x) f + (x). Defiice 2.2. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je stejoměrě omezeá a možiě M R, platí-li ( c R + ) ( N) ( x M) : f (x) c. Věta 2.3 (Dirichletovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí posloupost fukcí a možiě M, pro iž platí f 0 a M, a echť posloupost částečých součtů řady g (x) je stejoměrě omezeá a M. a Pak je řada f (x)g (x) stejoměrě kovergetí a M. a Tz. ( c R + ) ( N) ( x M) : g k (x) c. (Porovejte s větou.25.) k= Příklad 2.4. Díky Dirichletovu kritériu 2.3 víme, že řada koverguje stejoměrě a itervalu si x I α = α, 2π α, kde α (0, π). ( ( Posloupost kostatích fukcí ) je mootóí, částečých součtů řady si x 0 a I α a posloupost

31 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 27 je stejoměrě omezeá a I α. ) Pozámka 2.5. V posledím příkladu jsme ukázali, že pro jakkoliv malé α (0, π) je řada fukcí si x stejoměrě kovergetí a α, 2π α. Lze ukázat, že a itervalu 0, 2π tato řada sice koverguje, ale kovergece zde eí stejoměrá. Věta 2.6 (Abelovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí a stejoměrě omezeá posloupost fukcí a možiě M a echť řada g (x) je stejoměrě kovergetí a M. Pak je stejoměrě kovergetí a možiě M i řada f (x)g (x). (Porovejte s větou.28.) 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Věta 2.7. Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu I R. Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha dost velká N, je i fukce f spojitá a I. Z tvrzeí ( x I α ) ( N) : k= si kx = k= ( ) + si 2 x si 2 si x 2 ( 2 x ) které lze dokázat apř. matematickou idukcí, sado obdržíme ( N) ( x I α ) : si kx si x si α =: c R +, 2 což je přesě výše zmíěá stejoměrá omezeost poslouposti částečých součtů řady si x.,

32 28 Poslouposti a řady fukcí Pozámka 2.8. Předpoklad stejoměré kovergece elze ahradit kovergecí bodovou. Uvažujme apříklad posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy f (x) := x. Je zřejmé, že pro každé x I platí lim f (x) = f(x), kde f(x) = { 0 pro x 0, ), pro x =. Všechy fukce f jsou a I spojité, f f a I, ale limití fukce f a I spojitá eí. Důsledek 2.9. Nechť I R je iterval a echť řada fukcí stejoměrě a I ke svému součtu f(x) := f (x). f (x) koverguje Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha N, je i fukce f spojitá a I. Věta 2.7 ám říká, že stejoměrá limita spojitých fukcí je spojitá fukce. Uvidíme, že toto tvrzeí lze (za vhodých dodatečých předpokladů) v jistém smyslu obrátit. Věta 2.20 (Diiho). Nechť a, b R, a < b, a echť i) (f ) je mootóí posloupost spojitých fukcí a itervalu a, b, ii) f f a a, b, iii) fukce f je spojitá a a, b. Pak f f a a, b. Důsledek 2.2. Nechť (f ) je posloupost ezáporých (resp. ekladých) spojitých fukcí a itervalu I = a, b, kde a, b R, a < b, a echť fukce f(x) := f (x) je spojitá a I. Pak řada fukcí f (x) koverguje stejoměrě k fukci f a I.

33 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 29 Věta Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu a, b, kde a, b R, a < b. Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = lim b a f (x) dx. Pozámka Předchozí věta ám říká, že za uvedeých předpokladů můžeme zaměit limitu a itegrál, tj. b a lim f (x) dx = lim b a f (x) dx. Pokud je kovergece pouze bodová, limitu a itegrál obecě zaměit emůžeme, jak je ukázáo v ásledujícím příkladu. Příklad Uvažujme posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy 2 x pro x 0,, 2 f (x) := 2 x pro x ( 2, ), 0 pro x,. Všechy fukce f jsou spojité (a tedy itegrovatelé) a I a eí těžké si uvědomit, že pro každé x I platí lim f (x) = 0. Přímým výpočtem ale zjistíme, že 0 lim f (x) dx = Důsledek Nechť řada fukcí 0 0 dx = 0 4 = lim f (x) dx. 0 f (x) koverguje stejoměrě a itervalu a, b, kde a, b R, a < b, ke svému součtu f(x) := f (x). Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = ( b a ) f (x) dx.

34 30 Poslouposti a řady fukcí Pozámka V předchozím důsledku se tvrdí, že (za uvedeých předpokladů) můžeme zaměit itegrál a sumu, tj. ( b ) ( b ) f (x) dx = f (x) dx. a a Věta Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci, echť posloupost (f ) koverguje (bodově) k fukci f a I a echť posloupost derivací (f ) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí f (x) = lim f (x) pro každé x I, tj. (lim f ) = lim f a I. Důsledek Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci. Dále echť f (x) koverguje (bodově) k f a I a echť řada derivací f (x) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí tj. f (x) = f (x) pro každé x I, ( f (x)) = f (x) a I. 2.4 Mocié a Taylorovy řady Defiice Mociou řadou se středem x 0 R rozumíme řadu fukcí tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + = kde pro každé N {0} je a R. a (x x 0 ), (2.2) Zabývejme se yí kovergecí řady (2.2), tj. zkoumejme, pro jaká x R příslušá číselá řada koverguje. Je zřejmé, že řada (2.2) koverguje pro x = x 0, tj. ve svém středu, a má tam součet a 0. Předpokládejme yí, že řada (2.2) koverguje

35 2.4 Mocié a Taylorovy řady 3 v bodě x x 0, a buď x R takový bod, že x x 0 < x x 0. Pak pro každé N platí a (x x 0 ) = a (x x 0 ) x x 0 x x 0. (2.3) Z předpokladu, že řada a (x x 0 ) koverguje, vyplývá (viz utou podmíku kovergece.3) lim (a (x x 0 ) ) = 0, a proto existuje k R + takové, že pro každé N je a (x x 0 ) k. Navíc, z předpokladu x x 0 x x 0 < plye kovergece (geometrické) řady k x x 0 x x 0 a proto ze vztahu (2.3) (a srovávacího kritéria.9) vyplývá, že řada a (x x 0 ) absolutě koverguje. Toto zjištěí je zobecěo v ásledující větě., Věta 2.30 (Abelova). Nechť řada (2.2) koverguje v bodě x x 0 a ozačme Pak ε = x x 0 > 0. (i) pro každé x (x 0 ε, x 0 + ε) řada (2.2) koverguje absolutě, (ii) mociá řada (2.2) koverguje lokálě stejoměrě a itervalu a (x 0 ε, x 0 + ε). Důsledek. Pokud mociá řada a (x x 0 ) diverguje v bodě x 2 R, diverguje i v každém bodě možiy {x R : x x 0 > x 2 x 0 }. a Lokálě stejoměrou kovergecí a itervalu I R rozumíme stejoměrou kovergeci a každém uzavřeém omezeém itervalu a, b I. Tvrzeí Abelovy věty ás přímo poouká k ásledující defiici.

36 32 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.3. Číslo { R := sup x x 0 : } a (x x 0 ) koverguje azýváme poloměrem kovergece mocié řady (2.2). Pozámka Nepřehléděme tyto zřejmé důsledky Abelovy věty 2.30 a ásledující defiice 2.3 poloměru kovergece R 0, + ) {+ }: (i) je-li R = 0, řada a (x x 0 ) koverguje právě tehdy, platí-li x = x 0 ; (ii) je-li R > 0, koverguje řada (2.2) absolutě a lokálě stejoměrě a itervalu (iii) řada (2.2) diverguje, je-li x x 0 > R. (x 0 R, x 0 + R); Pozámka Předpokládejme, že pro poloměr kovergece R mocié řady (2.2) platí 0 < R < +. Uvědomme si, že obecě elze říci ic o kovergeci této řady v krajích bodech itervalu kovergece, tj. v bodech x 0 R a x 0 + R. Situaci ilustrujme těmito třemi mociými řadami: 2 x, x, x 2. Protože pro každé 0 x R platí x + x x, x + + x x, x + (+) 2 x 2 x, Mluvíme o tzv. itervalu kovergece mocié řady (2.2). 2 Jedá se ve všech třech případech o mocié řady tvaru a (x x 0 ), kde x 0 = 0 a a 0 = 0.

37 2.4 Mocié a Taylorovy řady 33 je každá z uvedeých řad kovergetí, je-li x <, a divergetí, je-li x > (viz d Alembertovo kritérium.3). Proto je (podívejme se zovu a pozámku 2.32) poloměr kovergece každé z těchto mociých řad rove a itervalem kovergece je vždy iterval (, ). Podívejme se, co lze říci o kovergeci uvažovaých řad v bodech a. řada x diverguje pro x = i pro x = (ai v jedom z případů eí splěa utá podmíka kovergece řady viz větu.3); řada x koverguje (eabsolutě) pro x = a diverguje pro x = (viz Leibizovo kritérium.23 a itegrálí kritérium.2); řada x 2 koverguje (absolutě) pro x = i pro x = (i tato tvrzeí plyou sado z itegrálího kritéria.2). Věta Nechť existuje lim a + a = L, resp. lim a oz. = K. oz. Pak pro poloměr kovergece R mocié řady a (x x 0 ) platí, že, je-li 0 < L < +, L R = 0, je-li L = +, +, je-li L = 0,, je-li 0 < K < +, K resp. R = 0, je-li K = +, +, je-li K = 0. Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro x x 0 je lim a + (x x 0 ) + a (x x 0 ) = L x x 0, resp. lim a (x x 0 ) = K x x 0, a užít d Alembertovo.3, resp. Cauchyho.6 kritérium.

38 34 Poslouposti a řady fukcí Příklad Určete obor kovergece mocié řady (se středem v bodě ) 2 (x ). Řešeí. lim 2 = lim 2 = 2, a proto R = 2; daá řada koverguje (absolutě) pro každé x (, 3) a diverguje pro každé x R takové, že x > 2. Pro x = ai pro x = 3 řada (x ) ekoverguje, protože eí ai 2 v jedom z bodů splěa utá podmíka kovergece 2 (viz větu.3). Oborem kovergece daé řady je iterval (, 3). Příklad Určete poloměr kovergece mocié řady (2)! (!) 2 x. Řešeí. a proto R = 4. (2(+))! ((+)!) 2 (2)! (!) 2 = (2 + 2)(2 + ) ( + )( + ) 4, Následující velmi důležitá věta plye z důsledků 2.28, 2.25 a Abelovy věty Tz. určete možiu všech x R, pro ěž daá řada koverguje. 2 Tz. eplatí rovost lim 2 (x ) = 0.

39 2.4 Mocié a Taylorovy řady 35 Věta 2.37 (o derivováí a itegrováí mocié řady čle po čleu). Nechť mociá řada a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + = má poloměr kovergece R > 0. Pak i mocié řady a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 + = a (x x 0 ) (2.4) a (x x 0 ), a 0 (x x 0 ) + a 2 (x x 0) 2 + a 2 3 (x x 0) 3 + = a + (x x 0) + (vziklé derivováím, resp. itegrováím řady (2.4) čle po čleu ) mají poloměr kovergece R a avíc pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí: x S (x) = x 0 S(t) dt = a (x x 0 ) a (x x 0 ), a + (x x 0) +. Pozámka Zovu si prohléděme předcházející větu a epřehléděme, že (za daých předpokladů) platí pro součet S mocié řady a (x x 0 ) ásledující dvě tvrzeí: i) S má a itervalu kovergece všechy derivace a pro každé p N a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí ii) fukce S (p) (x) = ( )... ( p + ) a (x x 0 ) p, =p x x S(t) dt x 0 je a itervalu (x 0 R, x 0 + R) primitiví fukcí k fukci S.

40 36 Poslouposti a řady fukcí Věta 2.39 (Abelova). Nechť 0 < R < + a echť řada a (x x 0 ) koverguje v bodě x = x 0 +R, resp. v bodě x = x 0 R. Pak pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a (x x 0 ) platí, že je spojitá zleva v bodě x = x 0 + R, resp. zprava v bodě x = x 0 R, tz. S(x 0 + R) = lim S(x), resp. S(x 0 R) = lim S(x). x x 0 +R x x 0 R + Příklad Vypočtěme součet řady = ( ). Řešeí. Předě si uvědomme, že Leibizovo kritérium.23 ám poskytuje argumet, že uvedeá řada koverguje. Uvažujme yí fukci S defiovaou předpisem S(x) := ( ) x Pak (protože poloměr kovergece výše uvedeé mocié řady je zřejmě ) z věty 2.37 plye x (, ) : S (x) =. ( ) x = Odtud (a ze zřejmého faktu S(0) = 0) víme, že x (, ) : S(x) = l( + x). A vše ostatí sado vyplývá z Abelovy věty 2.39: ( x) = + x. ( ) = S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2. x x Příklad 2.4. Vyjádřeme v okolí bodu 0 fukci jako součet mocié řady. S(x) := arctg x

41 2.4 Mocié a Taylorovy řady 37 Řešeí. Stačí si uvědomit, že x (, ) : S (x) = + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = a proto (viz větu 2.37 a skutečost, že S(0) = arctg 0 = 0) x (, ) : S(x) = arctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) x 2, ( ) x Všiměme si, že alezeá mociá řada koverguje v bodě x = (viz Leibizovo kritérium.23), a proto můžeme pomocí Abelovy věty 2.39 získat zajímavý bous: π 4 = = ( ) 2 +. Ukočeme aše povídáí o řadách fukcí krátkou zmíkou o speciálím typu mociých řad, o tzv. Taylorových řadách. Defiice Předpokládejme, že existují všechy derivace fukce f : R R v bodě x 0 R. Taylorovou řadou fukce f se středem x 0 pak rozumíme mociou řadu f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + = 2! f () (x 0 ) (x x 0 ). (2.5)! (Nepřehléděme zřejmou souvislost s Taylorovými polyomy fukce f v bodě x 0.) Je zajímavým úkolem zjistit, jak spolu souvisí součet Taylorovy řady (2.5), tz. fukce S defiovaá předpisem a fukce f. S(x) := f () (x 0 ) (x x 0 ),!

42 38 Poslouposti a řady fukcí Příklad Uvažujme součet Taylorovy řady fukce f(x) := e x se středem v bodě x 0 = 0, tj. fukci S(x) := + x! + x2 2! + = x!. (2.6) Protože lim (+)!! = lim + = 0, má uvažovaá Taylorova řada poloměr kovergece R = + (viz větu 2.34), a proto můžeme díky větě 2.37 tvrdit, že pro každé x R je S (x) = ( + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... ) = x! + x2 2! + x3 3! +... = S(x). A to ám ( pokud víme, že jediým řešeím Cauchyho úlohy f (x) = f(x), f(0) = (= S(0)), a R je právě expoeciálí fukce f(x) := e x) dává jistotu, že S(x) = e x pro každé x R. Pozámka Podobě jako v předcházejícím příkladu lze dokázat (či okometovat), proč i pro moho dalších fukcí platí, že jsou součty svých Taylorových řad. Například si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + = ( ) x 2 (2)! l( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = ( ) x... pro každé x R, pro každé x R, pro každé x (,, Výše uvedeý důkaz, že fukce e x je rova součtu své Taylorovy řady, a i samoté sestaveí příslušé Taylorovy řady je poěkud problematické. Neí totiž jasé, co rozumíme (jak defiujeme) fukcí e x. Často se expoeciálí fukce defiuje právě jako součet mocié řady vyskytující se v (2.6).

43 2.4 Mocié a Taylorovy řady 39 Pozor! Nemusí tomu tak být vždy. Vezměme třeba fukci e x 2 pro x 0, f(x) := 0 pro x = 0. Lze ukázat, že všechy derivace fukce f jsou spojité a R a že Taylorovou řadou fukce f se středem v bodě 0 je řada f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + = = 2! s ulovým součtem a R. Fukce f je však ulová pouze v bodě 0. 0

44 40 Literatura [] J. Bouchala: Matematická aalýza, skripta VŠB-TU Ostrava, 998. [2] J. Bouchala: Fukce komplexí proměé, 20. [3] J. Brabec, F. Marta, Z. Rozeský: Matematická aalýza I, SNTL, Praha, 985. [4] B. Budiský, J. Charvát: Matematika I, SNTL, Praha, 987. [5] Z. Došlá, V. Novák: Nekoečé řady, skripta MU Bro, 998. [6] V. Jarík: Difereciálí počet (II), Academia, Praha, 976. [7] K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995. [8] J. Veselý: Matematická aalýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 997.

45 4 Rejstřík iterval kovergece mocié řady, 32 kovergece bodová, 22, 24 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22, 24 kritérium (eabsolutí) kovergece Abelovo, 9 Dirichletovo, 7 Leibizovo, 6 kritérium absolutí kovergece itegrálí, 4 limití odmociové (Cauchyho), 0 limití podílové (d Alembertovo), 8 limití Raabeovo, 3 odmociové (Cauchyho), 9 podílové (d Alembertovo), 7 Raabeovo, 2 srovávací, 5 kritérium stejoměré kovergece Abelovo, 27 Dirichletovo, 26 Weierstrassovo, 25 limita poslouposti fukcí bodová, 22 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22 obor kovergece mocié řady, 34 poloměr kovergece mocié řady, 32 posloupost částečých součtů řady fukcí, 24 reálých fukcí, 22 částečých součtů řady, fukcí mootóí a možiě, 26 stejoměrě omezeá a možiě, 26 řada -tý čle, (reálých) čísel, (reálých) fukcí, 24 absolutě kovergetí, 5 alterující, 6 aritmetická, 2 divergetí, fukcí bodově kovergetí, 24 stejoměrě kovergetí, 24 geometrická, 2 harmoická, 2 komplexích čísel, 2 kovergetí, mociá, 30 iterval kovergece, 32 obor kovergece, 34 poloměr kovergece, 32 eabsolutě kovergetí, 5 posloupost částečých součtů, přerovaá, 20 součet, Taylorova, 37 zbytek, 20 součet řady, střed mocié řady, 30 střed Taylorovy řady, 37

46 42 Rejstřík Taylorova řada, 37 věta Abelova, 3, 36 Abelovo kritérium pro řady fukcí, 27 B C podmíka pro řady fukcí, 25 Bolzaova Cauchyho podmíka, 25 Diiho, 28 Dirichletovo kritérium pro řady fukcí, 26 o derivováí a itegrováí řady čle po čleu, 35 o kovergeci řady Abelovo kritérium, 9 Bolzaova Cauchyho podmíka, 3 Dirichletovo kritérium, 7 itegrálí kritérium, 4 Leibizovo kritérium, 6 limití odmociové (Cauchyho) kritérium, 0 limití podílové (d Alembertovo) kritérium, 8 limití Raabeovo kritérium, 3 utá podmíka, 3 odmociové (Cauchyho) kritérium, 9 podílové (d Alembertovo) kritérium, 7 Raabeovo kritérium, 2 srovávací kritérium, 5 o limitě mootóí poslouposti, 4 o výpočtu poloměru kovergece, 33 o záměosti limity a derivace, 30 o záměosti limity a itegrálu, 29 Weierstrassovo kritérium, 25 zbytek řady po -tém čleu, 20

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

3. Limity posloupností

3. Limity posloupností 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více