ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

Transkript

1 ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Řady c Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil, 3. červa 202 ISBN

3 Předmluva Výsledou podobu těchto skript ovlivili mozí z ašich učitelů, kolegů i studetů. Všem jsme jim upřímě vděčí. Čteáře prosíme o shovívavost a sděleí všech připomíek. Teto i ostatí v rámci projektu Matematika pro ižeýry 2. století připravovaé výukové materiály lze ajít a strákách Podívejte se a ě! V Ostravě, a to v ledu 20 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Všechy připomíky (výhrady, kometáře, doporučeí, výhružky a dary) zasílejte (prosíme) a aše ové adresy: jiri.bouchala@vsb.cz, petr.vodstrcil@vsb.cz iii

4 Obsah Předmluva iii Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Kritéria absolutí kovergece Kritéria (eabsolutí) kovergece Několik pozámek akoec Poslouposti a řady fukcí Bodová a stejoměrá kovergece Kritéria stejoměré kovergece Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Mocié a Taylorovy řady Literatura 40 Rejstřík 4 iv

5 Kapitola Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Defiice.. Řadou (reálých čísel) rozumíme výraz a + a a +... = a, (.) kde pro každé N je a R. a Číslo a azýváme -tým čleem řady (.), posloupost (s ) defiovaou předpisem s := a + a a = azýváme posloupostí částečých součtů řady (.). Existuje-li limita s := lim s R *, azýváme ji součtem řady (.) a píšeme b a = s; je-li avíc s R, říkáme, že řada (.) koverguje. Nemá-li řada a součet, c ebo je-li k= a {+, }, azýváme (.) divergetí řadou. a Tz. že (a ) je posloupostí reálých čísel. b Zde epřehléděme, že symbolem a začíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale ebojme se, z kotextu bude vždy jasé, o které z těchto dvou možostí právě mluvíme. c Tím rozumíme, že lim s eexistuje. a k

6 2 Řady (reálých) čísel Příklady.2. ) 2) = = +... divergetí (aritmetická) řada. ( s = ( + ) 2 ) +. + ( ) + + ( ) +... = ( ) + ( s = { 0, je-li sudé,... divergetí řada (emá součet)., je-li liché. Zde pozor a umístěí závorek. Platí totiž: 3) Součet (geometrické) řady 4) ( ) + ( ) + ( ) +... = = 0, + ( + ) + ( + ) +... = =. + q + q = ( s = ) q, kde q R, existuje právě tehdy, je-li q >, a platí pro ěj { q +, je-li q, =, je-li < q <. q {, je-li q =, ) = q, je-li q. q = +... divergetí (tzv. harmoická) řada. ( Pokuste se dokázat uvedeou rovost pomocí (zřejmě platícího) tvrzeí k N : 2 k k k k+ 2 k+ ( 2 k+ 2 k) = 2.)

7 . Součet a kovergece číselé řady 3 Věta.3 (Nutá podmíka kovergece). Koverguje-li řada lim a = 0. a, je Důkaz. Podle předpokladu pro posloupost částečých součtů (tj. pro posloupost s := a k ) platí a proto k= s := lim s R (!), lim a = lim(s s ) = lim s lim s = s s = 0. Příklady.4. ) ( ) 2 diverguje, protože lim( ) 2 eexistuje. 2) 2 diverguje, protože lim 2 = +. 3) diverguje, a to přesto, že lim = 0. (Tvrzeí.3 tedy elze obrátit!) Věta.5 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Řada a koverguje právě tehdy, platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : k=m+ a k < ε. Důkaz. Věta je sadým důsledkem zámého tvrzeí, že reálá posloupost je kovergetí právě tehdy, je-li cauchyovská, a pozorováí, že výše uvedeá podmíka je ekvivaletí s tvrzeím, že posloupost s := a k částečých součtů řady je cauchyovská, tz. ( ε R + ) ( 0 N) (, m N;, m 0 ) : s s m < ε. k= a

8 4 Řady (reálých) čísel Věta.6. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Nejdříve defiujme (pro každé N): a + := max{a, 0} = ) a + a 0, 2( a := max{ a, 0} = 2( ) a a 0; s + := a + + a a +, s := a + a a. Máme dokázat, že posloupost částečých součtů s := a k = (a + k a k ) = a + k a k = s+ s k= k= k= k= je kovergetí, tz. že má koečou limitu. K tomu stačí ukázat, že jsou kovergetí poslouposti (s + ) a (s ). Obě tyto poslouposti jsou však zřejmě eklesající a díky předpokladu a =: s R a vztahům s + = a + + a a + a + a a s = a + a a a + a a a = s, a = s, které platí pro každé N, i shora omezeé. Jejich kovergece tak plye přímo ze zámého tvrzeí o limitě mootóí poslouposti. Věta o limitě mootóí poslouposti. Je-li posloupost (α ) eklesající, je lim α = sup {α : N}. Je-li posloupost (β ) erostoucí, je lim β = if {β : N}.

9 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Defiice.7. Koverguje-li řada a, říkáme, že (kovergetí!) řada a koverguje absolutě. Koverguje-li řada a a současě řada a diverguje, azýváme a eabsolutě kovergetí řadou. a a Všiměme si, že součet řady součtů je eklesající), může být však rove +. a existuje vždy (odpovídající posloupost částečých Příklady.8. ) ( )... eabsolutě kovergetí řada. (Důkaz bude provede později pomocí Leibizova kritéria.) 2) ( )... absolutě kovergetí řada. 2 (Důkaz bude provede později pomocí itegrálího kritéria.).2 Kritéria absolutí kovergece Úmluva. Napíšeme-li V () platí pro všecha dost velká N, rozumíme tím, že ( 0 N) ( N, 0 ) : V (). Věta.9 (srovávací kritérium). Nechť a a b jsou takové řady, že i) a b pro všecha dost velká N, ii) b koverguje. Pak a koverguje absolutě.

10 6 Řady (reálých) čísel Důkaz. Z předpokladů plye, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a protože je jak jsme si již uvědomili dříve avíc eklesající, má koečou limitu. Touto limitou je a. Příklad.0. ( ) ( ) 977 koverguje absolutě, protože pro každé N platí a ( ) ( ) ( ) ( ) 977 je kovergetí (geometrická) řada ( < q := < ). 977 Pozorováí (a zřejmý důsledek věty.9.) Nechť a a b jsou takové řady, že 0 a b pro všecha dost velká N a že a = +. Potom platí b = +. Příklad.. l(966 + ) diverguje, protože platí a avíc = +. 0 l(966 + ) (pro každé N) Čteář by si měl předložeý důkaz, pokud mu eí zcela jasý, rozepsat a rozmyslet podrobě!

11 .2 Kritéria absolutí kovergece 7 Věta.2 (podílové kritérium, d Alembertovo). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a + a q pro všecha dost velká N, koverguje řada ii) Je-li Důkaz. tak řada a a absolutě. a + a pro všecha dost velká N, diverguje. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). a + a a 0 + a a a + a a 0 + a 0 + q a 0 + q 2 a = = a + a a 0 + a 0 ( + q + q ) = = a + a a 0 + a 0 q = = a + a a 0 + a 0 q < +. b) I důkaz tvrzeí ii) je sadý. Z předpokladu a + a pro všecha dost velká N plye, že ( 0 N) ( N, 0 ) : a + a > 0,

12 8 Řady (reálých) čísel a proto ( 0 N) ( N, 0 ) : a a 0 > 0. Odtud lze sado usoudit, že eplatí utá podmíka kovergece řady a, tj. tvrzeí lim a = 0 (viz větu.3). Řada a diverguje. Sadým důsledkem věty.2 je ásledující věta. Věta.3 (limití podílové (d Alembertovo) kritérium). i) Je-li koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a + a <, lim a + a >, Důkaz. a) Nejdříve se podívejme, proč platí tvrzeí i). Zvolme (libovolě) ( ) q lim a + a, (0, ). Pak zřejmě platí a + a q pro všecha dost velká N, a dokazovaé tvrzeí proto plye přímo z již dokázaého tvrzeí i) věty.2. b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li lim a + a >, je a + a pro všecha dost velká N.

13 .2 Kritéria absolutí kovergece 9 Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.2. Příklady.4. ) 2) protože protože ( ) 2 koverguje absolutě, 3 + (+)2 ( ) 3 + ( ) 2 = ( + ) <. 3 (+)! 0 +! 0 = 0 ( + )!!! diverguje, 0 3) Pozor! Při vyšetřováí kovergece řady protože > + = ( + ) + >. 0 = +. se podílové kritérium ehodí, Věta.5 (odmociové kritérium, Cauchyho). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li pro ekoečě moho N a, tak řada a diverguje.

14 0 Řady (reálých) čísel Důkaz. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). Z předpokladů plye, že a q pro všecha dost velká N a že řada q koverguje (jedá se o geometrickou řadu s kvocietem q (0, )). Dokazovaé tvrzeí proto plye ze srovávacího kritéria (viz větu.9). b) Nyí dokažme tvrzeí ii). Z předpokladů plye, že pro ekoečě moho N platí a. To však zameá, že eplatí lim a = 0, tj. eí splěa utá podmíka kovergece řady a (viz větu.3). Proto řada a diverguje. I tato věta má svou limití verzi. Věta.6 (limití odmociové (Cauchyho) kritérium). i) Je-li lim a <, koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a >, Důkaz. a) Důkaz tvrzeí i). Zvolme (libovolě) Pak zřejmě platí q ( lim ) a, (0, ). a q pro všecha dost velká N. Dokazovaé tvrzeí plye z prví části věty.5.

15 .2 Kritéria absolutí kovergece b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li je lim a >, a pro všecha dost velká N, a proto a pro ekoečě moho N. Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.5. Příklady.7. ) ( ) koverguje absolutě, protože ( 2 ) + = <. 2) 2 diverguje, 993 protože 2 = ( >. ) 3) Pozor! Ai odmociové kritérium ám při rozhodováí, zda řada koverguje, epomůže. Platí totiž (pro každé N, > ) > =.

16 2 Řady (reálých) čísel Věta.8 (Raabeovo kritérium). Uvažujme řadu a. Pak platí tato tvrzeí: i) Existuje-li q > takové, že ( ) a + a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li tak řada ( a ekoverguje absolutě (tj. tato řada buď koverguje eabsolutě, ebo diverguje). a + a ) pro všecha dost velká N, Důkaz. a) Nejprve dokažme ( tvrzeí i). ) Z podmíky a + a q plye ( a a + ) q a. Předpokládáme tedy, že existuje 0 N takové, že pro každé N, > 0, platí Sečteím těchto erovostí dostaeme 0 ( a 0 a 0 + ) q a 0, ( 0 + )( a 0 + a 0 +2 ) q a 0 +,... ( a a + ) q a. 0 a 0 + ( a a ) a + q a 0 + q( a a ), odkud sado odvodíme (q )( a a ) 0 a 0 a + q a 0 0 a 0. Vzhledem k tomu, že q > 0, dostaeme a a 0 a 0 q pro každé N, > 0. Vidíme, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a proto řada a koverguje absolutě.

17 .2 Kritéria absolutí kovergece 3 b) Nyí ukažme, proč platí tvrzeí ii), tj. proč (jsou-li splěy uvedeé předpoklady) řada a diverguje. ( ) Podmíku a + a lze psát ve tvaru a + a =. Předpokládáme tedy existeci 0 N, 0 2, takového, že pro každé N, 0, platí a 0 + a 0 0, 0 a , a a + a. Vyásobíme-li výše uvedeé erovosti (jsou to erovosti mezi kladými čísly), dostaeme a + a 0 0, a proto a + a 0 ( 0 ) pro každé N, 0. Odtud a z divergece harmoické řady vyplývá, že řada a + (a tedy i a ) diverguje (viz důsledek věty.9). Následující věta je sadým důsledkem věty.8. Věta.9 (limití Raabeovo kritérium). i) Je-li ( lim koverguje řada a absolutě. ii) Je-li ( lim a + a a + a ) >, ) <, řada a ekoverguje absolutě (tj. buď tato řada koverguje eabsolutě, ebo diverguje).

18 4 Řady (reálých) čísel Důkaz. Důkaz lze provést podobým způsobem jako u věty.3. Přeechme jej proto zcela pilému čteáři. Příklady.20. ) Řada lim 2) Řada lim 3 ( koverguje, eboť a + a ) ) = lim ( 3 = ( + ) 3 = lim (( + )3 3 ) ( + ) 3 = lim = 3 >. (2)! 4 (!) 2 je divergetí, eboť ( a + a ) ( = lim ) (2 + 2)(2 + ) = 4( + ) ( 2 = lim 2 + ) 2( + ) = lim = 2 <. O kovergeci této řady bychom podílovým kritériem erozhodli, protože > a +. a Věta.2 (itegrálí kritérium). Nechť fukce f : R R je erostoucí a itervalu, + ) a echť pro každé N platí, že a = f(). Potom řada a koverguje absolutě právě tehdy, koverguje-li evlastí itegrál c c f(x) dx (tz. existuje-li koečá limita lim Důkaz. Nejdříve pro každé N defiujme s := a k a všiměme si, že existují limity c lim c f(x) = lim Otázka čteáři: Proč existují? lim s = k= a R *, f(x) dx = f(x) dx.) f(x) dx R *.

19 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Máme vlastě dokázat ekvivaleci a < + f(x) dx < +. (.2) Z předpokladů plye s = a k = k= f(k) f(x) dx f(k) = a k = s + a. k= k=2 k=2 Odtud limitím přechodem ( ) získáme erovosti a f(x) dx z ichž již sado plye dokazovaá ekvivalece (.2). a a, Příklady.22. ) 2) protože protože ( ) koverguje absolutě, 2 [ x dx = ] = 0 ( ) = < +. 2 x x dx = [l x] diverguje, = + 0 = +. (Čteář by si měl rozmyslet, pro jaká α R koverguje řada Zde je užitečé akreslit si obrázek!.) α

20 6 Řady (reálých) čísel.3 Kritéria (eabsolutí) kovergece Možá bude užitečé upozorit čteáře už teď, že v literatuře běžě užívaý termí kritéria eabsolutí kovergece je poěkud matoucí. V ásledujících větách se etvrdí, že příslušá řada (za jistých předpokladů) koverguje eabsolutě, ale pouze to, že koverguje. Nejdříve si uveďme kritérium týkající se kovergece tzv. alterujících řad (to jsou řady, jejichž čley pravidelě střídají zaméka ). Věta.23 (Leibizovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N a taková, že lim a = 0. a Potom řada koverguje. a a 2 + a 3 a 4 + = ( ) + a a Všiměme si, že pro mootóí posloupost (a ) s ulovou limitou platí jeda z možostí: i) N : 0 a + a, ii) N : 0 a + a. Důkaz. Předpokládejme apříklad, že a vyberme z poslouposti N : 0 a + a, s := ( ) k+ a k k= částečých součtů zkoumaé řady posloupost lichých (vyjma prvího) a posloupost sudých čleů. Tz. uvažujme poslouposti s * := s 2+, s ** := s 2. Protože díky předpokladu ii) víme, že pro každé N platí s * + = s 2+3 = s 2+ a a 2+3 s 2+ = s *, s ** + = s 2+2 = s 2 + a 2+ a 2+2 s 2 = s **, existují limity: lim s * R { }, lim s ** R {+ }. Viz Větu o limitě mootóí poslouposti.

21 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 7 Navíc ale díky předpokladu iii) platí, že a proto lim(s * s ** ) = lim(s 2+ s 2 ) = lim a 2+ = 0, lim s * = lim s ** =: s R! Odtud již sado plye (čteář si laskavě promyslí sám!), že což jsme měli dokázat. ( ) + a = lim s = s R, Příklad.24. Řada = ( ) + je eabsolutě kovergetí, protože platí: N : +, lim = 0; ( ) + = = +. Věta.25 (Dirichletovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N, pro iž platí lim a = 0, a echť posloupost částečých součtů řady b je omezeá. Pak je řada a b kovergetí. Důkaz. Bez újmy a obecosti předpokládejme, že posloupost (a ) je erostoucí (v případě eklesající poslouposti by stačilo uvažovat posloupost ( a )). To (vzhledem k podmíce lim a = 0) zameá, že a 0 pro každé N. Dále z předpokladů vyplývá, že pro posloupost částečých součtů řady b platí s := k= b k ( k R + ) ( N) : s k.

22 8 Řady (reálých) čísel Nyí ukážeme (což díky větě.5 stačí), že pro řadu a b platí Bolzaova Cauchyho podmíka ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : Buď ε > 0 dáo. Z předpokladu lim a = 0 vyplývá, že k=m+ ( 0 N ) ( N; 0 ) : a = a < ε 2k. Zbývá dokázat, že pro každé m, N, 0 m <, platí A to lze udělat přímým výpočtem: a k b k < ε. k=m+ a m+ b m+ + + a b = a m+ (s m+ s m ) + + a (s s ) = a k b k < ε. = a m+ s m + (a m+ a m+2 )s m+ + + (a a )s + a s a m+ s m + (a m+ a m+2 ) s m+ + + (a a ) s + a s ka m+ + k(a m+ a m+2 ) + + k(a a ) + ka = 2ka m+ < ε. Pozámka.26. Věta.23 je yí jedoduchým důsledkem věty.25. Stačí totiž volit b := ( ) +. Je jasé, že posloupost částečých součtů řady je pak omezeá. Příklad.27. Řada b = ( ) + si α je kovergetí pro libovolé α > 0, eboť posloupost ( ) je mootóí a koverguje k ule a řada si má omezeou posloupost částečých součtů α (viz větu.25). Teto fakt eí úplě triviálí. Čteář si může (apř. matematickou idukcí, popř. pomocí komplexích čísel) dokázat, že pro každé N platí s := si k = k= + si 2 si 2 si, a proto s 2 si. 2

23 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 9 Věta.28 (Abelovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí omezeá posloupost defiovaá a N a echť řada b koverguje. Pak je kovergetí i řada a b. Důkaz. Z předpokladů věty plye, že existuje koečá lim a =: a. Pro každé N defiujme a := a a. Pak posloupost (a ) je jistě mootóí a koverguje k ule; avíc, protože je řada b kovergetí, je posloupost částečých součtů této řady omezeá. Odtud a z Dirichletova kritéria (viz větu.25) plye, že je řada a b kovergetí. platí A dál je to sadé, protože pro posloupost (s ) částečých součtů řady a b s := a k b k = (a k + a)b k = a kb k + a b k a kb k + a b k R. k= k= k= k= k= k= Příklady.29. ) Řada ( arctg ) si α je kovergetí pro libovolé α > 0. V příkladu.27 jsme totiž ukázali kovergeci řady si. Dále je zřejmé, že posloupost (arctg ) je mootóí α a omezeá. Tvrzeí tak plye přímo z věty.28. 2) Je-li b libovolá kovergetí řada, tak je (viz větu.28) kovergetí i řada + b, eboť posloupost ( ) + je mootóí a omezeá.

24 20 Řady (reálých) čísel.4 Několik pozámek akoec Pozámka.30 (k odhadu zbytku řady). Uvažujme řadu a a N. Řadu a + + a +2 + a = azýváme zbytkem řady a po -tém čleu. k=+ Často je užitečé odhadout (pro kovergetí řadu) součet tohoto zbytku. 2 To však emusí být sadé. Zde si pro ilustraci alespoň uveďme, že apříklad při splěí předpokladů Leibizova kritéria pro každé N platí 3 ( ) + a ( ) k+ a k = ( ) k+ a k a +. k= k=+ (Můžete se pokusit odhadout zbytek řady i za situace z ěkterého z ostatích kritérií.) Pozámka.3 (k přerováváí řad). Je-li zobrazeí defiovaé a celém N, prosté, a (tz. že φ(n) = N), říkáme, že řada vzikla přerováím řady a. Symbolu =α φ : N N a φ() a, kde < α N, se užívá i pro ozačeí celých řad, eje pro ozačeí zbytku jisté řady (koeckoců zbytek řady je celá řada). Čteář určitě ebude mít problém porozumět, jaké řady jsou míěy, apíšeme-li apříklad 2, l( 7), Nepřehléděme zřejmé tvrzeí: =3 a k 8 Řada koverguje právě tehdy, koverguje-li její zbytek po -tém čleu. 3 Čteář by měl považovat za věc cti, že si příslušý odhad dokáže.

25 .4 Několik pozámek akoec 2 Dá se dokázat, že platí: i) Je-li řada a absolutě kovergetí, koverguje absolutě i řada a má stejý součet. a φ() ii) Jestliže řada a koverguje eabsolutě, lze ji přerovat tak, aby ově získaá řada měla za svůj součet libovolé (předem zadaé) číslo z R *, ebo tak, aby součet řady vziklé přerováím vůbec eexistoval. Pozámka.32 (k řadám komplexích čísel). Řadou komplexích čísel rozumíme výraz a + a a +... = a, kde pro každé N je a C. Ozačme pro každé N: α = Re a, β = Im a, tz. že a = α + β i; α, β R. Existují-li koečé(!) součty řad α =: α R, β =: β R, říkáme, že řada a koverguje, a součtem řady a rozumíme (komplexí) číslo s := α + βi. Více si lze o řadách komplexích čísel přečíst apř. v [2].

26 22 Kapitola 2 Poslouposti a řady fukcí 2. Bodová a stejoměrá kovergece Defiice 2.. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje bodově a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li tj. platí-li x M : lim f (x) = f(x), ( x M) ( ε R +) ( 0 N) ( N, 0 ) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.2. Přirozeé číslo 0 vyskytující se ve výše uvedeé podmíce závisí obecě a volbě x M a ε R +. Jestliže lze číslo 0 zvolit ezávisle a volbě bodu x M, mluvíme o stejoměré kovergeci a M. Řekěme to přesěji: Defiice 2.3. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje stejoměrě a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li [ ] lim sup f (x) f(x) x M = 0, tj. platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( N, 0 ) ( x M) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.4. Rozmysleme si, že zřejmě platí: f f a M f f a M.

27 2. Bodová a stejoměrá kovergece 23 Příklad 2.5. Buď pro každé N fukce f defiovaá předpisem f (x) := x x 2. Rozhoděme, zda je posloupost fukcí (f ) bodově, resp. stejoměrě kovergetí a itervalu 0,. Řešeí. Hledáí bodové limity eí těžké. Stačí si uvědomit, že pro libovolé (ale pevé) x 0, je lim x 2 = lim x = { 0, je-li x 0, ),, je-li x =, a proto lim f (x) = lim(x x 2 ) = 0. To zameá, že posloupost (f ) koverguje bodově a itervalu 0, k fukci f(x) := 0. Zbývá odpovědět a otázku (a to díky předchozí pozámce 2.4 stačí), zda f 0 a 0,, tj. zda platí ( ) ( ) lim sup f (x) f(x) x 0, = lim sup f (x) x 0, = 0. Neí obtížé spočítat, že pro libovolé N je sup f (x) = sup (x x 2 ) = max (x x 2 ) = x 0, x 0, x 0, 4, a proto posloupost (f ) eí a itervalu 0, stejoměrě kovergetí. Ilustrace: Posloupost (f ) je zázorěa a ásledujícím obrázku,

28 24 Poslouposti a řady fukcí z ěhož lze vyčíst, že pro libovolé (ale pevé) x 0 0, se posloupost ( f (x 0 ) ) blíží k 0, tj. že bodovou limitou (f ) je (a 0, ) ulová fukce. Pokud kolem grafu limití (ulové) fukce sestrojíme pás o šířce 0 < ε < 4 (v ašem obrázku jsme volili ε = 0, 05), zjistíme, že žádý z grafů fukcí f v tomto pásu celý eleží. To ovšem zameá, že kovergece poslouposti (f ) k fukci f(x) := 0 eí a itervalu 0, stejoměrá. Defiice 2.6. Buďte pro každé N fukce f a f defiovaé a možiě M R. Řekeme, že řada fukcí f (x) + f 2 (x) + + f (x) +... oz. = f (x) (2.) koverguje bodově (resp. stejoměrě) a možiě M ke svému součtu f, koverguje-li posloupost (s ) částečých součtů řady (2.) a bodově (resp. stejoměrě) a M k fukci f. a s (x) := k= f k (x).

29 2.2 Kritéria stejoměré kovergece Kritéria stejoměré kovergece Důkazy vět uvedeých v této a ásledující kapitole jsou techicky áročější, a ebudeme je zde proto uvádět. Zájemci si je mohou alistovat apř. v [5] a v [6]. Věta 2.7 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Posloupost fukcí (f ) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; m, 0 ) ( x M) : f m (x) f (x) < ε. Věta 2.8 (Bolzaova Cauchyho podmíka pro řady fukcí). Řada fukcí f (x) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) ( x M) : (Porovejte s větou.5.) k=m+ f k (x) < ε. Věta 2.9 (Weierstrassovo kritérium). Nechť M R a echť b a f (x) jsou takové řady, že i) f (x) b pro každé N a pro každé x M, ii) b koverguje. Pak řada f (x) koverguje stejoměrě a M. (Porovejte s větou.9.) Příklad 2.0. Řada stejoměrě koverguje a R, eboť a reálá řada ( N) ( x R) : si x 2 + x 2 si x 2 + x x 2 2 koverguje (apř. podle itegrálího kritéria viz větu.2). 2

30 26 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je mootóí a možiě M R, platí-li jeda z možostí: i) ( N) ( x M) : f (x) f + (x), ii) ( N) ( x M) : f (x) f + (x). Defiice 2.2. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je stejoměrě omezeá a možiě M R, platí-li ( c R + ) ( N) ( x M) : f (x) c. Věta 2.3 (Dirichletovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí posloupost fukcí a možiě M, pro iž platí f 0 a M, a echť posloupost částečých součtů řady g (x) je stejoměrě omezeá a M. a Pak je řada f (x)g (x) stejoměrě kovergetí a M. a Tz. ( c R + ) ( N) ( x M) : g k (x) c. (Porovejte s větou.25.) k= Příklad 2.4. Díky Dirichletovu kritériu 2.3 víme, že řada koverguje stejoměrě a itervalu si x I α = α, 2π α, kde α (0, π). ( ( Posloupost kostatích fukcí ) je mootóí, částečých součtů řady si x 0 a I α a posloupost

31 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 27 je stejoměrě omezeá a I α. ) Pozámka 2.5. V posledím příkladu jsme ukázali, že pro jakkoliv malé α (0, π) je řada fukcí si x stejoměrě kovergetí a α, 2π α. Lze ukázat, že a itervalu 0, 2π tato řada sice koverguje, ale kovergece zde eí stejoměrá. Věta 2.6 (Abelovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí a stejoměrě omezeá posloupost fukcí a možiě M a echť řada g (x) je stejoměrě kovergetí a M. Pak je stejoměrě kovergetí a možiě M i řada f (x)g (x). (Porovejte s větou.28.) 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Věta 2.7. Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu I R. Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha dost velká N, je i fukce f spojitá a I. Z tvrzeí ( x I α ) ( N) : k= si kx = k= ( ) + si 2 x si 2 si x 2 ( 2 x ) které lze dokázat apř. matematickou idukcí, sado obdržíme ( N) ( x I α ) : si kx si x si α =: c R +, 2 což je přesě výše zmíěá stejoměrá omezeost poslouposti částečých součtů řady si x.,

32 28 Poslouposti a řady fukcí Pozámka 2.8. Předpoklad stejoměré kovergece elze ahradit kovergecí bodovou. Uvažujme apříklad posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy f (x) := x. Je zřejmé, že pro každé x I platí lim f (x) = f(x), kde f(x) = { 0 pro x 0, ), pro x =. Všechy fukce f jsou a I spojité, f f a I, ale limití fukce f a I spojitá eí. Důsledek 2.9. Nechť I R je iterval a echť řada fukcí stejoměrě a I ke svému součtu f(x) := f (x). f (x) koverguje Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha N, je i fukce f spojitá a I. Věta 2.7 ám říká, že stejoměrá limita spojitých fukcí je spojitá fukce. Uvidíme, že toto tvrzeí lze (za vhodých dodatečých předpokladů) v jistém smyslu obrátit. Věta 2.20 (Diiho). Nechť a, b R, a < b, a echť i) (f ) je mootóí posloupost spojitých fukcí a itervalu a, b, ii) f f a a, b, iii) fukce f je spojitá a a, b. Pak f f a a, b. Důsledek 2.2. Nechť (f ) je posloupost ezáporých (resp. ekladých) spojitých fukcí a itervalu I = a, b, kde a, b R, a < b, a echť fukce f(x) := f (x) je spojitá a I. Pak řada fukcí f (x) koverguje stejoměrě k fukci f a I.

33 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 29 Věta Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu a, b, kde a, b R, a < b. Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = lim b a f (x) dx. Pozámka Předchozí věta ám říká, že za uvedeých předpokladů můžeme zaměit limitu a itegrál, tj. b a lim f (x) dx = lim b a f (x) dx. Pokud je kovergece pouze bodová, limitu a itegrál obecě zaměit emůžeme, jak je ukázáo v ásledujícím příkladu. Příklad Uvažujme posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy 2 x pro x 0,, 2 f (x) := 2 x pro x ( 2, ), 0 pro x,. Všechy fukce f jsou spojité (a tedy itegrovatelé) a I a eí těžké si uvědomit, že pro každé x I platí lim f (x) = 0. Přímým výpočtem ale zjistíme, že 0 lim f (x) dx = Důsledek Nechť řada fukcí 0 0 dx = 0 4 = lim f (x) dx. 0 f (x) koverguje stejoměrě a itervalu a, b, kde a, b R, a < b, ke svému součtu f(x) := f (x). Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = ( b a ) f (x) dx.

34 30 Poslouposti a řady fukcí Pozámka V předchozím důsledku se tvrdí, že (za uvedeých předpokladů) můžeme zaměit itegrál a sumu, tj. ( b ) ( b ) f (x) dx = f (x) dx. a a Věta Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci, echť posloupost (f ) koverguje (bodově) k fukci f a I a echť posloupost derivací (f ) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí f (x) = lim f (x) pro každé x I, tj. (lim f ) = lim f a I. Důsledek Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci. Dále echť f (x) koverguje (bodově) k f a I a echť řada derivací f (x) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí tj. f (x) = f (x) pro každé x I, ( f (x)) = f (x) a I. 2.4 Mocié a Taylorovy řady Defiice Mociou řadou se středem x 0 R rozumíme řadu fukcí tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + = kde pro každé N {0} je a R. a (x x 0 ), (2.2) Zabývejme se yí kovergecí řady (2.2), tj. zkoumejme, pro jaká x R příslušá číselá řada koverguje. Je zřejmé, že řada (2.2) koverguje pro x = x 0, tj. ve svém středu, a má tam součet a 0. Předpokládejme yí, že řada (2.2) koverguje

35 2.4 Mocié a Taylorovy řady 3 v bodě x x 0, a buď x R takový bod, že x x 0 < x x 0. Pak pro každé N platí a (x x 0 ) = a (x x 0 ) x x 0 x x 0. (2.3) Z předpokladu, že řada a (x x 0 ) koverguje, vyplývá (viz utou podmíku kovergece.3) lim (a (x x 0 ) ) = 0, a proto existuje k R + takové, že pro každé N je a (x x 0 ) k. Navíc, z předpokladu x x 0 x x 0 < plye kovergece (geometrické) řady k x x 0 x x 0 a proto ze vztahu (2.3) (a srovávacího kritéria.9) vyplývá, že řada a (x x 0 ) absolutě koverguje. Toto zjištěí je zobecěo v ásledující větě., Věta 2.30 (Abelova). Nechť řada (2.2) koverguje v bodě x x 0 a ozačme Pak ε = x x 0 > 0. (i) pro každé x (x 0 ε, x 0 + ε) řada (2.2) koverguje absolutě, (ii) mociá řada (2.2) koverguje lokálě stejoměrě a itervalu a (x 0 ε, x 0 + ε). Důsledek. Pokud mociá řada a (x x 0 ) diverguje v bodě x 2 R, diverguje i v každém bodě možiy {x R : x x 0 > x 2 x 0 }. a Lokálě stejoměrou kovergecí a itervalu I R rozumíme stejoměrou kovergeci a každém uzavřeém omezeém itervalu a, b I. Tvrzeí Abelovy věty ás přímo poouká k ásledující defiici.

36 32 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.3. Číslo { R := sup x x 0 : } a (x x 0 ) koverguje azýváme poloměrem kovergece mocié řady (2.2). Pozámka Nepřehléděme tyto zřejmé důsledky Abelovy věty 2.30 a ásledující defiice 2.3 poloměru kovergece R 0, + ) {+ }: (i) je-li R = 0, řada a (x x 0 ) koverguje právě tehdy, platí-li x = x 0 ; (ii) je-li R > 0, koverguje řada (2.2) absolutě a lokálě stejoměrě a itervalu (iii) řada (2.2) diverguje, je-li x x 0 > R. (x 0 R, x 0 + R); Pozámka Předpokládejme, že pro poloměr kovergece R mocié řady (2.2) platí 0 < R < +. Uvědomme si, že obecě elze říci ic o kovergeci této řady v krajích bodech itervalu kovergece, tj. v bodech x 0 R a x 0 + R. Situaci ilustrujme těmito třemi mociými řadami: 2 x, x, x 2. Protože pro každé 0 x R platí x + x x, x + + x x, x + (+) 2 x 2 x, Mluvíme o tzv. itervalu kovergece mocié řady (2.2). 2 Jedá se ve všech třech případech o mocié řady tvaru a (x x 0 ), kde x 0 = 0 a a 0 = 0.

37 2.4 Mocié a Taylorovy řady 33 je každá z uvedeých řad kovergetí, je-li x <, a divergetí, je-li x > (viz d Alembertovo kritérium.3). Proto je (podívejme se zovu a pozámku 2.32) poloměr kovergece každé z těchto mociých řad rove a itervalem kovergece je vždy iterval (, ). Podívejme se, co lze říci o kovergeci uvažovaých řad v bodech a. řada x diverguje pro x = i pro x = (ai v jedom z případů eí splěa utá podmíka kovergece řady viz větu.3); řada x koverguje (eabsolutě) pro x = a diverguje pro x = (viz Leibizovo kritérium.23 a itegrálí kritérium.2); řada x 2 koverguje (absolutě) pro x = i pro x = (i tato tvrzeí plyou sado z itegrálího kritéria.2). Věta Nechť existuje lim a + a = L, resp. lim a oz. = K. oz. Pak pro poloměr kovergece R mocié řady a (x x 0 ) platí, že, je-li 0 < L < +, L R = 0, je-li L = +, +, je-li L = 0,, je-li 0 < K < +, K resp. R = 0, je-li K = +, +, je-li K = 0. Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro x x 0 je lim a + (x x 0 ) + a (x x 0 ) = L x x 0, resp. lim a (x x 0 ) = K x x 0, a užít d Alembertovo.3, resp. Cauchyho.6 kritérium.

38 34 Poslouposti a řady fukcí Příklad Určete obor kovergece mocié řady (se středem v bodě ) 2 (x ). Řešeí. lim 2 = lim 2 = 2, a proto R = 2; daá řada koverguje (absolutě) pro každé x (, 3) a diverguje pro každé x R takové, že x > 2. Pro x = ai pro x = 3 řada (x ) ekoverguje, protože eí ai 2 v jedom z bodů splěa utá podmíka kovergece 2 (viz větu.3). Oborem kovergece daé řady je iterval (, 3). Příklad Určete poloměr kovergece mocié řady (2)! (!) 2 x. Řešeí. a proto R = 4. (2(+))! ((+)!) 2 (2)! (!) 2 = (2 + 2)(2 + ) ( + )( + ) 4, Následující velmi důležitá věta plye z důsledků 2.28, 2.25 a Abelovy věty Tz. určete možiu všech x R, pro ěž daá řada koverguje. 2 Tz. eplatí rovost lim 2 (x ) = 0.

39 2.4 Mocié a Taylorovy řady 35 Věta 2.37 (o derivováí a itegrováí mocié řady čle po čleu). Nechť mociá řada a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + = má poloměr kovergece R > 0. Pak i mocié řady a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 + = a (x x 0 ) (2.4) a (x x 0 ), a 0 (x x 0 ) + a 2 (x x 0) 2 + a 2 3 (x x 0) 3 + = a + (x x 0) + (vziklé derivováím, resp. itegrováím řady (2.4) čle po čleu ) mají poloměr kovergece R a avíc pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí: x S (x) = x 0 S(t) dt = a (x x 0 ) a (x x 0 ), a + (x x 0) +. Pozámka Zovu si prohléděme předcházející větu a epřehléděme, že (za daých předpokladů) platí pro součet S mocié řady a (x x 0 ) ásledující dvě tvrzeí: i) S má a itervalu kovergece všechy derivace a pro každé p N a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí ii) fukce S (p) (x) = ( )... ( p + ) a (x x 0 ) p, =p x x S(t) dt x 0 je a itervalu (x 0 R, x 0 + R) primitiví fukcí k fukci S.

40 36 Poslouposti a řady fukcí Věta 2.39 (Abelova). Nechť 0 < R < + a echť řada a (x x 0 ) koverguje v bodě x = x 0 +R, resp. v bodě x = x 0 R. Pak pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a (x x 0 ) platí, že je spojitá zleva v bodě x = x 0 + R, resp. zprava v bodě x = x 0 R, tz. S(x 0 + R) = lim S(x), resp. S(x 0 R) = lim S(x). x x 0 +R x x 0 R + Příklad Vypočtěme součet řady = ( ). Řešeí. Předě si uvědomme, že Leibizovo kritérium.23 ám poskytuje argumet, že uvedeá řada koverguje. Uvažujme yí fukci S defiovaou předpisem S(x) := ( ) x Pak (protože poloměr kovergece výše uvedeé mocié řady je zřejmě ) z věty 2.37 plye x (, ) : S (x) =. ( ) x = Odtud (a ze zřejmého faktu S(0) = 0) víme, že x (, ) : S(x) = l( + x). A vše ostatí sado vyplývá z Abelovy věty 2.39: ( x) = + x. ( ) = S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2. x x Příklad 2.4. Vyjádřeme v okolí bodu 0 fukci jako součet mocié řady. S(x) := arctg x

41 2.4 Mocié a Taylorovy řady 37 Řešeí. Stačí si uvědomit, že x (, ) : S (x) = + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = a proto (viz větu 2.37 a skutečost, že S(0) = arctg 0 = 0) x (, ) : S(x) = arctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) x 2, ( ) x Všiměme si, že alezeá mociá řada koverguje v bodě x = (viz Leibizovo kritérium.23), a proto můžeme pomocí Abelovy věty 2.39 získat zajímavý bous: π 4 = = ( ) 2 +. Ukočeme aše povídáí o řadách fukcí krátkou zmíkou o speciálím typu mociých řad, o tzv. Taylorových řadách. Defiice Předpokládejme, že existují všechy derivace fukce f : R R v bodě x 0 R. Taylorovou řadou fukce f se středem x 0 pak rozumíme mociou řadu f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + = 2! f () (x 0 ) (x x 0 ). (2.5)! (Nepřehléděme zřejmou souvislost s Taylorovými polyomy fukce f v bodě x 0.) Je zajímavým úkolem zjistit, jak spolu souvisí součet Taylorovy řady (2.5), tz. fukce S defiovaá předpisem a fukce f. S(x) := f () (x 0 ) (x x 0 ),!

42 38 Poslouposti a řady fukcí Příklad Uvažujme součet Taylorovy řady fukce f(x) := e x se středem v bodě x 0 = 0, tj. fukci S(x) := + x! + x2 2! + = x!. (2.6) Protože lim (+)!! = lim + = 0, má uvažovaá Taylorova řada poloměr kovergece R = + (viz větu 2.34), a proto můžeme díky větě 2.37 tvrdit, že pro každé x R je S (x) = ( + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... ) = x! + x2 2! + x3 3! +... = S(x). A to ám ( pokud víme, že jediým řešeím Cauchyho úlohy f (x) = f(x), f(0) = (= S(0)), a R je právě expoeciálí fukce f(x) := e x) dává jistotu, že S(x) = e x pro každé x R. Pozámka Podobě jako v předcházejícím příkladu lze dokázat (či okometovat), proč i pro moho dalších fukcí platí, že jsou součty svých Taylorových řad. Například si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + = ( ) x 2 (2)! l( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = ( ) x... pro každé x R, pro každé x R, pro každé x (,, Výše uvedeý důkaz, že fukce e x je rova součtu své Taylorovy řady, a i samoté sestaveí příslušé Taylorovy řady je poěkud problematické. Neí totiž jasé, co rozumíme (jak defiujeme) fukcí e x. Často se expoeciálí fukce defiuje právě jako součet mocié řady vyskytující se v (2.6).

43 2.4 Mocié a Taylorovy řady 39 Pozor! Nemusí tomu tak být vždy. Vezměme třeba fukci e x 2 pro x 0, f(x) := 0 pro x = 0. Lze ukázat, že všechy derivace fukce f jsou spojité a R a že Taylorovou řadou fukce f se středem v bodě 0 je řada f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + = = 2! s ulovým součtem a R. Fukce f je však ulová pouze v bodě 0. 0

44 40 Literatura [] J. Bouchala: Matematická aalýza, skripta VŠB-TU Ostrava, 998. [2] J. Bouchala: Fukce komplexí proměé, [3] J. Brabec, F. Marta, Z. Rozeský: Matematická aalýza I, SNTL, Praha, 985. [4] B. Budiský, J. Charvát: Matematika I, SNTL, Praha, 987. [5] Z. Došlá, V. Novák: Nekoečé řady, skripta MU Bro, 998. [6] V. Jarík: Difereciálí počet (II), Academia, Praha, 976. [7] K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995. [8] J. Veselý: Matematická aalýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 997.

45 4 Rejstřík iterval kovergece mocié řady, 32 kovergece bodová, 22, 24 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22, 24 kritérium (eabsolutí) kovergece Abelovo, 9 Dirichletovo, 7 Leibizovo, 6 kritérium absolutí kovergece itegrálí, 4 limití odmociové (Cauchyho), 0 limití podílové (d Alembertovo), 8 limití Raabeovo, 3 odmociové (Cauchyho), 9 podílové (d Alembertovo), 7 Raabeovo, 2 srovávací, 5 kritérium stejoměré kovergece Abelovo, 27 Dirichletovo, 26 Weierstrassovo, 25 limita poslouposti fukcí bodová, 22 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22 obor kovergece mocié řady, 34 poloměr kovergece mocié řady, 32 posloupost částečých součtů řady fukcí, 24 reálých fukcí, 22 částečých součtů řady, fukcí mootóí a možiě, 26 stejoměrě omezeá a možiě, 26 řada -tý čle, (reálých) čísel, (reálých) fukcí, 24 absolutě kovergetí, 5 alterující, 6 aritmetická, 2 divergetí, fukcí bodově kovergetí, 24 stejoměrě kovergetí, 24 geometrická, 2 harmoická, 2 komplexích čísel, 2 kovergetí, mociá, 30 iterval kovergece, 32 obor kovergece, 34 poloměr kovergece, 32 eabsolutě kovergetí, 5 posloupost částečých součtů, přerovaá, 20 součet, Taylorova, 37 zbytek, 20 součet řady, střed mocié řady, 30 střed Taylorovy řady, 37

46 42 Rejstřík Taylorova řada, 37 věta Abelova, 3, 36 Abelovo kritérium pro řady fukcí, 27 B C podmíka pro řady fukcí, 25 Bolzaova Cauchyho podmíka, 25 Diiho, 28 Dirichletovo kritérium pro řady fukcí, 26 o derivováí a itegrováí řady čle po čleu, 35 o kovergeci řady Abelovo kritérium, 9 Bolzaova Cauchyho podmíka, 3 Dirichletovo kritérium, 7 itegrálí kritérium, 4 Leibizovo kritérium, 6 limití odmociové (Cauchyho) kritérium, 0 limití podílové (d Alembertovo) kritérium, 8 limití Raabeovo kritérium, 3 utá podmíka, 3 odmociové (Cauchyho) kritérium, 9 podílové (d Alembertovo) kritérium, 7 Raabeovo kritérium, 2 srovávací kritérium, 5 o limitě mootóí poslouposti, 4 o výpočtu poloměru kovergece, 33 o záměosti limity a derivace, 30 o záměosti limity a itegrálu, 29 Weierstrassovo kritérium, 25 zbytek řady po -tém čleu, 20