ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil"

Transkript

1 ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Řady c Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil, 3. červa 202 ISBN

3 Předmluva Výsledou podobu těchto skript ovlivili mozí z ašich učitelů, kolegů i studetů. Všem jsme jim upřímě vděčí. Čteáře prosíme o shovívavost a sděleí všech připomíek. Teto i ostatí v rámci projektu Matematika pro ižeýry 2. století připravovaé výukové materiály lze ajít a strákách Podívejte se a ě! V Ostravě, a to v ledu 20 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Všechy připomíky (výhrady, kometáře, doporučeí, výhružky a dary) zasílejte (prosíme) a aše ové adresy: iii

4 Obsah Předmluva iii Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Kritéria absolutí kovergece Kritéria (eabsolutí) kovergece Několik pozámek akoec Poslouposti a řady fukcí Bodová a stejoměrá kovergece Kritéria stejoměré kovergece Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Mocié a Taylorovy řady Literatura 40 Rejstřík 4 iv

5 Kapitola Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Defiice.. Řadou (reálých čísel) rozumíme výraz a + a a +... = a, (.) kde pro každé N je a R. a Číslo a azýváme -tým čleem řady (.), posloupost (s ) defiovaou předpisem s := a + a a = azýváme posloupostí částečých součtů řady (.). Existuje-li limita s := lim s R *, azýváme ji součtem řady (.) a píšeme b a = s; je-li avíc s R, říkáme, že řada (.) koverguje. Nemá-li řada a součet, c ebo je-li k= a {+, }, azýváme (.) divergetí řadou. a Tz. že (a ) je posloupostí reálých čísel. b Zde epřehléděme, že symbolem a začíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale ebojme se, z kotextu bude vždy jasé, o které z těchto dvou možostí právě mluvíme. c Tím rozumíme, že lim s eexistuje. a k

6 2 Řady (reálých) čísel Příklady.2. ) 2) = = +... divergetí (aritmetická) řada. ( s = ( + ) 2 ) +. + ( ) + + ( ) +... = ( ) + ( s = { 0, je-li sudé,... divergetí řada (emá součet)., je-li liché. Zde pozor a umístěí závorek. Platí totiž: 3) Součet (geometrické) řady 4) ( ) + ( ) + ( ) +... = = 0, + ( + ) + ( + ) +... = =. + q + q = ( s = ) q, kde q R, existuje právě tehdy, je-li q >, a platí pro ěj { q +, je-li q, =, je-li < q <. q {, je-li q =, ) = q, je-li q. q = +... divergetí (tzv. harmoická) řada. ( Pokuste se dokázat uvedeou rovost pomocí (zřejmě platícího) tvrzeí k N : 2 k k k k+ 2 k+ ( 2 k+ 2 k) = 2.)

7 . Součet a kovergece číselé řady 3 Věta.3 (Nutá podmíka kovergece). Koverguje-li řada lim a = 0. a, je Důkaz. Podle předpokladu pro posloupost částečých součtů (tj. pro posloupost s := a k ) platí a proto k= s := lim s R (!), lim a = lim(s s ) = lim s lim s = s s = 0. Příklady.4. ) ( ) 2 diverguje, protože lim( ) 2 eexistuje. 2) 2 diverguje, protože lim 2 = +. 3) diverguje, a to přesto, že lim = 0. (Tvrzeí.3 tedy elze obrátit!) Věta.5 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Řada a koverguje právě tehdy, platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : k=m+ a k < ε. Důkaz. Věta je sadým důsledkem zámého tvrzeí, že reálá posloupost je kovergetí právě tehdy, je-li cauchyovská, a pozorováí, že výše uvedeá podmíka je ekvivaletí s tvrzeím, že posloupost s := a k částečých součtů řady je cauchyovská, tz. ( ε R + ) ( 0 N) (, m N;, m 0 ) : s s m < ε. k= a

8 4 Řady (reálých) čísel Věta.6. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Nejdříve defiujme (pro každé N): a + := max{a, 0} = ) a + a 0, 2( a := max{ a, 0} = 2( ) a a 0; s + := a + + a a +, s := a + a a. Máme dokázat, že posloupost částečých součtů s := a k = (a + k a k ) = a + k a k = s+ s k= k= k= k= je kovergetí, tz. že má koečou limitu. K tomu stačí ukázat, že jsou kovergetí poslouposti (s + ) a (s ). Obě tyto poslouposti jsou však zřejmě eklesající a díky předpokladu a =: s R a vztahům s + = a + + a a + a + a a s = a + a a a + a a a = s, a = s, které platí pro každé N, i shora omezeé. Jejich kovergece tak plye přímo ze zámého tvrzeí o limitě mootóí poslouposti. Věta o limitě mootóí poslouposti. Je-li posloupost (α ) eklesající, je lim α = sup {α : N}. Je-li posloupost (β ) erostoucí, je lim β = if {β : N}.

9 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Defiice.7. Koverguje-li řada a, říkáme, že (kovergetí!) řada a koverguje absolutě. Koverguje-li řada a a současě řada a diverguje, azýváme a eabsolutě kovergetí řadou. a a Všiměme si, že součet řady součtů je eklesající), může být však rove +. a existuje vždy (odpovídající posloupost částečých Příklady.8. ) ( )... eabsolutě kovergetí řada. (Důkaz bude provede později pomocí Leibizova kritéria.) 2) ( )... absolutě kovergetí řada. 2 (Důkaz bude provede později pomocí itegrálího kritéria.).2 Kritéria absolutí kovergece Úmluva. Napíšeme-li V () platí pro všecha dost velká N, rozumíme tím, že ( 0 N) ( N, 0 ) : V (). Věta.9 (srovávací kritérium). Nechť a a b jsou takové řady, že i) a b pro všecha dost velká N, ii) b koverguje. Pak a koverguje absolutě.

10 6 Řady (reálých) čísel Důkaz. Z předpokladů plye, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a protože je jak jsme si již uvědomili dříve avíc eklesající, má koečou limitu. Touto limitou je a. Příklad.0. ( ) ( ) 977 koverguje absolutě, protože pro každé N platí a ( ) ( ) ( ) ( ) 977 je kovergetí (geometrická) řada ( < q := < ). 977 Pozorováí (a zřejmý důsledek věty.9.) Nechť a a b jsou takové řady, že 0 a b pro všecha dost velká N a že a = +. Potom platí b = +. Příklad.. l(966 + ) diverguje, protože platí a avíc = +. 0 l(966 + ) (pro každé N) Čteář by si měl předložeý důkaz, pokud mu eí zcela jasý, rozepsat a rozmyslet podrobě!

11 .2 Kritéria absolutí kovergece 7 Věta.2 (podílové kritérium, d Alembertovo). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a + a q pro všecha dost velká N, koverguje řada ii) Je-li Důkaz. tak řada a a absolutě. a + a pro všecha dost velká N, diverguje. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). a + a a 0 + a a a + a a 0 + a 0 + q a 0 + q 2 a = = a + a a 0 + a 0 ( + q + q ) = = a + a a 0 + a 0 q = = a + a a 0 + a 0 q < +. b) I důkaz tvrzeí ii) je sadý. Z předpokladu a + a pro všecha dost velká N plye, že ( 0 N) ( N, 0 ) : a + a > 0,

12 8 Řady (reálých) čísel a proto ( 0 N) ( N, 0 ) : a a 0 > 0. Odtud lze sado usoudit, že eplatí utá podmíka kovergece řady a, tj. tvrzeí lim a = 0 (viz větu.3). Řada a diverguje. Sadým důsledkem věty.2 je ásledující věta. Věta.3 (limití podílové (d Alembertovo) kritérium). i) Je-li koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a + a <, lim a + a >, Důkaz. a) Nejdříve se podívejme, proč platí tvrzeí i). Zvolme (libovolě) ( ) q lim a + a, (0, ). Pak zřejmě platí a + a q pro všecha dost velká N, a dokazovaé tvrzeí proto plye přímo z již dokázaého tvrzeí i) věty.2. b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li lim a + a >, je a + a pro všecha dost velká N.

13 .2 Kritéria absolutí kovergece 9 Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.2. Příklady.4. ) 2) protože protože ( ) 2 koverguje absolutě, 3 + (+)2 ( ) 3 + ( ) 2 = ( + ) <. 3 (+)! 0 +! 0 = 0 ( + )!!! diverguje, 0 3) Pozor! Při vyšetřováí kovergece řady protože > + = ( + ) + >. 0 = +. se podílové kritérium ehodí, Věta.5 (odmociové kritérium, Cauchyho). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li pro ekoečě moho N a, tak řada a diverguje.

14 0 Řady (reálých) čísel Důkaz. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). Z předpokladů plye, že a q pro všecha dost velká N a že řada q koverguje (jedá se o geometrickou řadu s kvocietem q (0, )). Dokazovaé tvrzeí proto plye ze srovávacího kritéria (viz větu.9). b) Nyí dokažme tvrzeí ii). Z předpokladů plye, že pro ekoečě moho N platí a. To však zameá, že eplatí lim a = 0, tj. eí splěa utá podmíka kovergece řady a (viz větu.3). Proto řada a diverguje. I tato věta má svou limití verzi. Věta.6 (limití odmociové (Cauchyho) kritérium). i) Je-li lim a <, koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a >, Důkaz. a) Důkaz tvrzeí i). Zvolme (libovolě) Pak zřejmě platí q ( lim ) a, (0, ). a q pro všecha dost velká N. Dokazovaé tvrzeí plye z prví části věty.5.

15 .2 Kritéria absolutí kovergece b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li je lim a >, a pro všecha dost velká N, a proto a pro ekoečě moho N. Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.5. Příklady.7. ) ( ) koverguje absolutě, protože ( 2 ) + = <. 2) 2 diverguje, 993 protože 2 = ( >. ) 3) Pozor! Ai odmociové kritérium ám při rozhodováí, zda řada koverguje, epomůže. Platí totiž (pro každé N, > ) > =.

16 2 Řady (reálých) čísel Věta.8 (Raabeovo kritérium). Uvažujme řadu a. Pak platí tato tvrzeí: i) Existuje-li q > takové, že ( ) a + a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li tak řada ( a ekoverguje absolutě (tj. tato řada buď koverguje eabsolutě, ebo diverguje). a + a ) pro všecha dost velká N, Důkaz. a) Nejprve dokažme ( tvrzeí i). ) Z podmíky a + a q plye ( a a + ) q a. Předpokládáme tedy, že existuje 0 N takové, že pro každé N, > 0, platí Sečteím těchto erovostí dostaeme 0 ( a 0 a 0 + ) q a 0, ( 0 + )( a 0 + a 0 +2 ) q a 0 +,... ( a a + ) q a. 0 a 0 + ( a a ) a + q a 0 + q( a a ), odkud sado odvodíme (q )( a a ) 0 a 0 a + q a 0 0 a 0. Vzhledem k tomu, že q > 0, dostaeme a a 0 a 0 q pro každé N, > 0. Vidíme, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a proto řada a koverguje absolutě.

17 .2 Kritéria absolutí kovergece 3 b) Nyí ukažme, proč platí tvrzeí ii), tj. proč (jsou-li splěy uvedeé předpoklady) řada a diverguje. ( ) Podmíku a + a lze psát ve tvaru a + a =. Předpokládáme tedy existeci 0 N, 0 2, takového, že pro každé N, 0, platí a 0 + a 0 0, 0 a , a a + a. Vyásobíme-li výše uvedeé erovosti (jsou to erovosti mezi kladými čísly), dostaeme a + a 0 0, a proto a + a 0 ( 0 ) pro každé N, 0. Odtud a z divergece harmoické řady vyplývá, že řada a + (a tedy i a ) diverguje (viz důsledek věty.9). Následující věta je sadým důsledkem věty.8. Věta.9 (limití Raabeovo kritérium). i) Je-li ( lim koverguje řada a absolutě. ii) Je-li ( lim a + a a + a ) >, ) <, řada a ekoverguje absolutě (tj. buď tato řada koverguje eabsolutě, ebo diverguje).

18 4 Řady (reálých) čísel Důkaz. Důkaz lze provést podobým způsobem jako u věty.3. Přeechme jej proto zcela pilému čteáři. Příklady.20. ) Řada lim 2) Řada lim 3 ( koverguje, eboť a + a ) ) = lim ( 3 = ( + ) 3 = lim (( + )3 3 ) ( + ) 3 = lim = 3 >. (2)! 4 (!) 2 je divergetí, eboť ( a + a ) ( = lim ) (2 + 2)(2 + ) = 4( + ) ( 2 = lim 2 + ) 2( + ) = lim = 2 <. O kovergeci této řady bychom podílovým kritériem erozhodli, protože > a +. a Věta.2 (itegrálí kritérium). Nechť fukce f : R R je erostoucí a itervalu, + ) a echť pro každé N platí, že a = f(). Potom řada a koverguje absolutě právě tehdy, koverguje-li evlastí itegrál c c f(x) dx (tz. existuje-li koečá limita lim Důkaz. Nejdříve pro každé N defiujme s := a k a všiměme si, že existují limity c lim c f(x) = lim Otázka čteáři: Proč existují? lim s = k= a R *, f(x) dx = f(x) dx.) f(x) dx R *.

19 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Máme vlastě dokázat ekvivaleci a < + f(x) dx < +. (.2) Z předpokladů plye s = a k = k= f(k) f(x) dx f(k) = a k = s + a. k= k=2 k=2 Odtud limitím přechodem ( ) získáme erovosti a f(x) dx z ichž již sado plye dokazovaá ekvivalece (.2). a a, Příklady.22. ) 2) protože protože ( ) koverguje absolutě, 2 [ x dx = ] = 0 ( ) = < +. 2 x x dx = [l x] diverguje, = + 0 = +. (Čteář by si měl rozmyslet, pro jaká α R koverguje řada Zde je užitečé akreslit si obrázek!.) α

20 6 Řady (reálých) čísel.3 Kritéria (eabsolutí) kovergece Možá bude užitečé upozorit čteáře už teď, že v literatuře běžě užívaý termí kritéria eabsolutí kovergece je poěkud matoucí. V ásledujících větách se etvrdí, že příslušá řada (za jistých předpokladů) koverguje eabsolutě, ale pouze to, že koverguje. Nejdříve si uveďme kritérium týkající se kovergece tzv. alterujících řad (to jsou řady, jejichž čley pravidelě střídají zaméka ). Věta.23 (Leibizovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N a taková, že lim a = 0. a Potom řada koverguje. a a 2 + a 3 a 4 + = ( ) + a a Všiměme si, že pro mootóí posloupost (a ) s ulovou limitou platí jeda z možostí: i) N : 0 a + a, ii) N : 0 a + a. Důkaz. Předpokládejme apříklad, že a vyberme z poslouposti N : 0 a + a, s := ( ) k+ a k k= částečých součtů zkoumaé řady posloupost lichých (vyjma prvího) a posloupost sudých čleů. Tz. uvažujme poslouposti s * := s 2+, s ** := s 2. Protože díky předpokladu ii) víme, že pro každé N platí s * + = s 2+3 = s 2+ a a 2+3 s 2+ = s *, s ** + = s 2+2 = s 2 + a 2+ a 2+2 s 2 = s **, existují limity: lim s * R { }, lim s ** R {+ }. Viz Větu o limitě mootóí poslouposti.

21 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 7 Navíc ale díky předpokladu iii) platí, že a proto lim(s * s ** ) = lim(s 2+ s 2 ) = lim a 2+ = 0, lim s * = lim s ** =: s R! Odtud již sado plye (čteář si laskavě promyslí sám!), že což jsme měli dokázat. ( ) + a = lim s = s R, Příklad.24. Řada = ( ) + je eabsolutě kovergetí, protože platí: N : +, lim = 0; ( ) + = = +. Věta.25 (Dirichletovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N, pro iž platí lim a = 0, a echť posloupost částečých součtů řady b je omezeá. Pak je řada a b kovergetí. Důkaz. Bez újmy a obecosti předpokládejme, že posloupost (a ) je erostoucí (v případě eklesající poslouposti by stačilo uvažovat posloupost ( a )). To (vzhledem k podmíce lim a = 0) zameá, že a 0 pro každé N. Dále z předpokladů vyplývá, že pro posloupost částečých součtů řady b platí s := k= b k ( k R + ) ( N) : s k.

22 8 Řady (reálých) čísel Nyí ukážeme (což díky větě.5 stačí), že pro řadu a b platí Bolzaova Cauchyho podmíka ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : Buď ε > 0 dáo. Z předpokladu lim a = 0 vyplývá, že k=m+ ( 0 N ) ( N; 0 ) : a = a < ε 2k. Zbývá dokázat, že pro každé m, N, 0 m <, platí A to lze udělat přímým výpočtem: a k b k < ε. k=m+ a m+ b m+ + + a b = a m+ (s m+ s m ) + + a (s s ) = a k b k < ε. = a m+ s m + (a m+ a m+2 )s m+ + + (a a )s + a s a m+ s m + (a m+ a m+2 ) s m+ + + (a a ) s + a s ka m+ + k(a m+ a m+2 ) + + k(a a ) + ka = 2ka m+ < ε. Pozámka.26. Věta.23 je yí jedoduchým důsledkem věty.25. Stačí totiž volit b := ( ) +. Je jasé, že posloupost částečých součtů řady je pak omezeá. Příklad.27. Řada b = ( ) + si α je kovergetí pro libovolé α > 0, eboť posloupost ( ) je mootóí a koverguje k ule a řada si má omezeou posloupost částečých součtů α (viz větu.25). Teto fakt eí úplě triviálí. Čteář si může (apř. matematickou idukcí, popř. pomocí komplexích čísel) dokázat, že pro každé N platí s := si k = k= + si 2 si 2 si, a proto s 2 si. 2

23 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 9 Věta.28 (Abelovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí omezeá posloupost defiovaá a N a echť řada b koverguje. Pak je kovergetí i řada a b. Důkaz. Z předpokladů věty plye, že existuje koečá lim a =: a. Pro každé N defiujme a := a a. Pak posloupost (a ) je jistě mootóí a koverguje k ule; avíc, protože je řada b kovergetí, je posloupost částečých součtů této řady omezeá. Odtud a z Dirichletova kritéria (viz větu.25) plye, že je řada a b kovergetí. platí A dál je to sadé, protože pro posloupost (s ) částečých součtů řady a b s := a k b k = (a k + a)b k = a kb k + a b k a kb k + a b k R. k= k= k= k= k= k= Příklady.29. ) Řada ( arctg ) si α je kovergetí pro libovolé α > 0. V příkladu.27 jsme totiž ukázali kovergeci řady si. Dále je zřejmé, že posloupost (arctg ) je mootóí α a omezeá. Tvrzeí tak plye přímo z věty.28. 2) Je-li b libovolá kovergetí řada, tak je (viz větu.28) kovergetí i řada + b, eboť posloupost ( ) + je mootóí a omezeá.

24 20 Řady (reálých) čísel.4 Několik pozámek akoec Pozámka.30 (k odhadu zbytku řady). Uvažujme řadu a a N. Řadu a + + a +2 + a = azýváme zbytkem řady a po -tém čleu. k=+ Často je užitečé odhadout (pro kovergetí řadu) součet tohoto zbytku. 2 To však emusí být sadé. Zde si pro ilustraci alespoň uveďme, že apříklad při splěí předpokladů Leibizova kritéria pro každé N platí 3 ( ) + a ( ) k+ a k = ( ) k+ a k a +. k= k=+ (Můžete se pokusit odhadout zbytek řady i za situace z ěkterého z ostatích kritérií.) Pozámka.3 (k přerováváí řad). Je-li zobrazeí defiovaé a celém N, prosté, a (tz. že φ(n) = N), říkáme, že řada vzikla přerováím řady a. Symbolu =α φ : N N a φ() a, kde < α N, se užívá i pro ozačeí celých řad, eje pro ozačeí zbytku jisté řady (koeckoců zbytek řady je celá řada). Čteář určitě ebude mít problém porozumět, jaké řady jsou míěy, apíšeme-li apříklad 2, l( 7), Nepřehléděme zřejmé tvrzeí: =3 a k 8 Řada koverguje právě tehdy, koverguje-li její zbytek po -tém čleu. 3 Čteář by měl považovat za věc cti, že si příslušý odhad dokáže.

25 .4 Několik pozámek akoec 2 Dá se dokázat, že platí: i) Je-li řada a absolutě kovergetí, koverguje absolutě i řada a má stejý součet. a φ() ii) Jestliže řada a koverguje eabsolutě, lze ji přerovat tak, aby ově získaá řada měla za svůj součet libovolé (předem zadaé) číslo z R *, ebo tak, aby součet řady vziklé přerováím vůbec eexistoval. Pozámka.32 (k řadám komplexích čísel). Řadou komplexích čísel rozumíme výraz a + a a +... = a, kde pro každé N je a C. Ozačme pro každé N: α = Re a, β = Im a, tz. že a = α + β i; α, β R. Existují-li koečé(!) součty řad α =: α R, β =: β R, říkáme, že řada a koverguje, a součtem řady a rozumíme (komplexí) číslo s := α + βi. Více si lze o řadách komplexích čísel přečíst apř. v [2].

26 22 Kapitola 2 Poslouposti a řady fukcí 2. Bodová a stejoměrá kovergece Defiice 2.. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje bodově a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li tj. platí-li x M : lim f (x) = f(x), ( x M) ( ε R +) ( 0 N) ( N, 0 ) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.2. Přirozeé číslo 0 vyskytující se ve výše uvedeé podmíce závisí obecě a volbě x M a ε R +. Jestliže lze číslo 0 zvolit ezávisle a volbě bodu x M, mluvíme o stejoměré kovergeci a M. Řekěme to přesěji: Defiice 2.3. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje stejoměrě a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li [ ] lim sup f (x) f(x) x M = 0, tj. platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( N, 0 ) ( x M) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.4. Rozmysleme si, že zřejmě platí: f f a M f f a M.

27 2. Bodová a stejoměrá kovergece 23 Příklad 2.5. Buď pro každé N fukce f defiovaá předpisem f (x) := x x 2. Rozhoděme, zda je posloupost fukcí (f ) bodově, resp. stejoměrě kovergetí a itervalu 0,. Řešeí. Hledáí bodové limity eí těžké. Stačí si uvědomit, že pro libovolé (ale pevé) x 0, je lim x 2 = lim x = { 0, je-li x 0, ),, je-li x =, a proto lim f (x) = lim(x x 2 ) = 0. To zameá, že posloupost (f ) koverguje bodově a itervalu 0, k fukci f(x) := 0. Zbývá odpovědět a otázku (a to díky předchozí pozámce 2.4 stačí), zda f 0 a 0,, tj. zda platí ( ) ( ) lim sup f (x) f(x) x 0, = lim sup f (x) x 0, = 0. Neí obtížé spočítat, že pro libovolé N je sup f (x) = sup (x x 2 ) = max (x x 2 ) = x 0, x 0, x 0, 4, a proto posloupost (f ) eí a itervalu 0, stejoměrě kovergetí. Ilustrace: Posloupost (f ) je zázorěa a ásledujícím obrázku,

28 24 Poslouposti a řady fukcí z ěhož lze vyčíst, že pro libovolé (ale pevé) x 0 0, se posloupost ( f (x 0 ) ) blíží k 0, tj. že bodovou limitou (f ) je (a 0, ) ulová fukce. Pokud kolem grafu limití (ulové) fukce sestrojíme pás o šířce 0 < ε < 4 (v ašem obrázku jsme volili ε = 0, 05), zjistíme, že žádý z grafů fukcí f v tomto pásu celý eleží. To ovšem zameá, že kovergece poslouposti (f ) k fukci f(x) := 0 eí a itervalu 0, stejoměrá. Defiice 2.6. Buďte pro každé N fukce f a f defiovaé a možiě M R. Řekeme, že řada fukcí f (x) + f 2 (x) + + f (x) +... oz. = f (x) (2.) koverguje bodově (resp. stejoměrě) a možiě M ke svému součtu f, koverguje-li posloupost (s ) částečých součtů řady (2.) a bodově (resp. stejoměrě) a M k fukci f. a s (x) := k= f k (x).

29 2.2 Kritéria stejoměré kovergece Kritéria stejoměré kovergece Důkazy vět uvedeých v této a ásledující kapitole jsou techicky áročější, a ebudeme je zde proto uvádět. Zájemci si je mohou alistovat apř. v [5] a v [6]. Věta 2.7 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Posloupost fukcí (f ) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; m, 0 ) ( x M) : f m (x) f (x) < ε. Věta 2.8 (Bolzaova Cauchyho podmíka pro řady fukcí). Řada fukcí f (x) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) ( x M) : (Porovejte s větou.5.) k=m+ f k (x) < ε. Věta 2.9 (Weierstrassovo kritérium). Nechť M R a echť b a f (x) jsou takové řady, že i) f (x) b pro každé N a pro každé x M, ii) b koverguje. Pak řada f (x) koverguje stejoměrě a M. (Porovejte s větou.9.) Příklad 2.0. Řada stejoměrě koverguje a R, eboť a reálá řada ( N) ( x R) : si x 2 + x 2 si x 2 + x x 2 2 koverguje (apř. podle itegrálího kritéria viz větu.2). 2

30 26 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je mootóí a možiě M R, platí-li jeda z možostí: i) ( N) ( x M) : f (x) f + (x), ii) ( N) ( x M) : f (x) f + (x). Defiice 2.2. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je stejoměrě omezeá a možiě M R, platí-li ( c R + ) ( N) ( x M) : f (x) c. Věta 2.3 (Dirichletovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí posloupost fukcí a možiě M, pro iž platí f 0 a M, a echť posloupost částečých součtů řady g (x) je stejoměrě omezeá a M. a Pak je řada f (x)g (x) stejoměrě kovergetí a M. a Tz. ( c R + ) ( N) ( x M) : g k (x) c. (Porovejte s větou.25.) k= Příklad 2.4. Díky Dirichletovu kritériu 2.3 víme, že řada koverguje stejoměrě a itervalu si x I α = α, 2π α, kde α (0, π). ( ( Posloupost kostatích fukcí ) je mootóí, částečých součtů řady si x 0 a I α a posloupost

31 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 27 je stejoměrě omezeá a I α. ) Pozámka 2.5. V posledím příkladu jsme ukázali, že pro jakkoliv malé α (0, π) je řada fukcí si x stejoměrě kovergetí a α, 2π α. Lze ukázat, že a itervalu 0, 2π tato řada sice koverguje, ale kovergece zde eí stejoměrá. Věta 2.6 (Abelovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí a stejoměrě omezeá posloupost fukcí a možiě M a echť řada g (x) je stejoměrě kovergetí a M. Pak je stejoměrě kovergetí a možiě M i řada f (x)g (x). (Porovejte s větou.28.) 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Věta 2.7. Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu I R. Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha dost velká N, je i fukce f spojitá a I. Z tvrzeí ( x I α ) ( N) : k= si kx = k= ( ) + si 2 x si 2 si x 2 ( 2 x ) které lze dokázat apř. matematickou idukcí, sado obdržíme ( N) ( x I α ) : si kx si x si α =: c R +, 2 což je přesě výše zmíěá stejoměrá omezeost poslouposti částečých součtů řady si x.,

32 28 Poslouposti a řady fukcí Pozámka 2.8. Předpoklad stejoměré kovergece elze ahradit kovergecí bodovou. Uvažujme apříklad posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy f (x) := x. Je zřejmé, že pro každé x I platí lim f (x) = f(x), kde f(x) = { 0 pro x 0, ), pro x =. Všechy fukce f jsou a I spojité, f f a I, ale limití fukce f a I spojitá eí. Důsledek 2.9. Nechť I R je iterval a echť řada fukcí stejoměrě a I ke svému součtu f(x) := f (x). f (x) koverguje Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha N, je i fukce f spojitá a I. Věta 2.7 ám říká, že stejoměrá limita spojitých fukcí je spojitá fukce. Uvidíme, že toto tvrzeí lze (za vhodých dodatečých předpokladů) v jistém smyslu obrátit. Věta 2.20 (Diiho). Nechť a, b R, a < b, a echť i) (f ) je mootóí posloupost spojitých fukcí a itervalu a, b, ii) f f a a, b, iii) fukce f je spojitá a a, b. Pak f f a a, b. Důsledek 2.2. Nechť (f ) je posloupost ezáporých (resp. ekladých) spojitých fukcí a itervalu I = a, b, kde a, b R, a < b, a echť fukce f(x) := f (x) je spojitá a I. Pak řada fukcí f (x) koverguje stejoměrě k fukci f a I.

33 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 29 Věta Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu a, b, kde a, b R, a < b. Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = lim b a f (x) dx. Pozámka Předchozí věta ám říká, že za uvedeých předpokladů můžeme zaměit limitu a itegrál, tj. b a lim f (x) dx = lim b a f (x) dx. Pokud je kovergece pouze bodová, limitu a itegrál obecě zaměit emůžeme, jak je ukázáo v ásledujícím příkladu. Příklad Uvažujme posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy 2 x pro x 0,, 2 f (x) := 2 x pro x ( 2, ), 0 pro x,. Všechy fukce f jsou spojité (a tedy itegrovatelé) a I a eí těžké si uvědomit, že pro každé x I platí lim f (x) = 0. Přímým výpočtem ale zjistíme, že 0 lim f (x) dx = Důsledek Nechť řada fukcí 0 0 dx = 0 4 = lim f (x) dx. 0 f (x) koverguje stejoměrě a itervalu a, b, kde a, b R, a < b, ke svému součtu f(x) := f (x). Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = ( b a ) f (x) dx.

34 30 Poslouposti a řady fukcí Pozámka V předchozím důsledku se tvrdí, že (za uvedeých předpokladů) můžeme zaměit itegrál a sumu, tj. ( b ) ( b ) f (x) dx = f (x) dx. a a Věta Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci, echť posloupost (f ) koverguje (bodově) k fukci f a I a echť posloupost derivací (f ) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí f (x) = lim f (x) pro každé x I, tj. (lim f ) = lim f a I. Důsledek Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci. Dále echť f (x) koverguje (bodově) k f a I a echť řada derivací f (x) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí tj. f (x) = f (x) pro každé x I, ( f (x)) = f (x) a I. 2.4 Mocié a Taylorovy řady Defiice Mociou řadou se středem x 0 R rozumíme řadu fukcí tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + = kde pro každé N {0} je a R. a (x x 0 ), (2.2) Zabývejme se yí kovergecí řady (2.2), tj. zkoumejme, pro jaká x R příslušá číselá řada koverguje. Je zřejmé, že řada (2.2) koverguje pro x = x 0, tj. ve svém středu, a má tam součet a 0. Předpokládejme yí, že řada (2.2) koverguje

35 2.4 Mocié a Taylorovy řady 3 v bodě x x 0, a buď x R takový bod, že x x 0 < x x 0. Pak pro každé N platí a (x x 0 ) = a (x x 0 ) x x 0 x x 0. (2.3) Z předpokladu, že řada a (x x 0 ) koverguje, vyplývá (viz utou podmíku kovergece.3) lim (a (x x 0 ) ) = 0, a proto existuje k R + takové, že pro každé N je a (x x 0 ) k. Navíc, z předpokladu x x 0 x x 0 < plye kovergece (geometrické) řady k x x 0 x x 0 a proto ze vztahu (2.3) (a srovávacího kritéria.9) vyplývá, že řada a (x x 0 ) absolutě koverguje. Toto zjištěí je zobecěo v ásledující větě., Věta 2.30 (Abelova). Nechť řada (2.2) koverguje v bodě x x 0 a ozačme Pak ε = x x 0 > 0. (i) pro každé x (x 0 ε, x 0 + ε) řada (2.2) koverguje absolutě, (ii) mociá řada (2.2) koverguje lokálě stejoměrě a itervalu a (x 0 ε, x 0 + ε). Důsledek. Pokud mociá řada a (x x 0 ) diverguje v bodě x 2 R, diverguje i v každém bodě možiy {x R : x x 0 > x 2 x 0 }. a Lokálě stejoměrou kovergecí a itervalu I R rozumíme stejoměrou kovergeci a každém uzavřeém omezeém itervalu a, b I. Tvrzeí Abelovy věty ás přímo poouká k ásledující defiici.

36 32 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.3. Číslo { R := sup x x 0 : } a (x x 0 ) koverguje azýváme poloměrem kovergece mocié řady (2.2). Pozámka Nepřehléděme tyto zřejmé důsledky Abelovy věty 2.30 a ásledující defiice 2.3 poloměru kovergece R 0, + ) {+ }: (i) je-li R = 0, řada a (x x 0 ) koverguje právě tehdy, platí-li x = x 0 ; (ii) je-li R > 0, koverguje řada (2.2) absolutě a lokálě stejoměrě a itervalu (iii) řada (2.2) diverguje, je-li x x 0 > R. (x 0 R, x 0 + R); Pozámka Předpokládejme, že pro poloměr kovergece R mocié řady (2.2) platí 0 < R < +. Uvědomme si, že obecě elze říci ic o kovergeci této řady v krajích bodech itervalu kovergece, tj. v bodech x 0 R a x 0 + R. Situaci ilustrujme těmito třemi mociými řadami: 2 x, x, x 2. Protože pro každé 0 x R platí x + x x, x + + x x, x + (+) 2 x 2 x, Mluvíme o tzv. itervalu kovergece mocié řady (2.2). 2 Jedá se ve všech třech případech o mocié řady tvaru a (x x 0 ), kde x 0 = 0 a a 0 = 0.

37 2.4 Mocié a Taylorovy řady 33 je každá z uvedeých řad kovergetí, je-li x <, a divergetí, je-li x > (viz d Alembertovo kritérium.3). Proto je (podívejme se zovu a pozámku 2.32) poloměr kovergece každé z těchto mociých řad rove a itervalem kovergece je vždy iterval (, ). Podívejme se, co lze říci o kovergeci uvažovaých řad v bodech a. řada x diverguje pro x = i pro x = (ai v jedom z případů eí splěa utá podmíka kovergece řady viz větu.3); řada x koverguje (eabsolutě) pro x = a diverguje pro x = (viz Leibizovo kritérium.23 a itegrálí kritérium.2); řada x 2 koverguje (absolutě) pro x = i pro x = (i tato tvrzeí plyou sado z itegrálího kritéria.2). Věta Nechť existuje lim a + a = L, resp. lim a oz. = K. oz. Pak pro poloměr kovergece R mocié řady a (x x 0 ) platí, že, je-li 0 < L < +, L R = 0, je-li L = +, +, je-li L = 0,, je-li 0 < K < +, K resp. R = 0, je-li K = +, +, je-li K = 0. Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro x x 0 je lim a + (x x 0 ) + a (x x 0 ) = L x x 0, resp. lim a (x x 0 ) = K x x 0, a užít d Alembertovo.3, resp. Cauchyho.6 kritérium.

38 34 Poslouposti a řady fukcí Příklad Určete obor kovergece mocié řady (se středem v bodě ) 2 (x ). Řešeí. lim 2 = lim 2 = 2, a proto R = 2; daá řada koverguje (absolutě) pro každé x (, 3) a diverguje pro každé x R takové, že x > 2. Pro x = ai pro x = 3 řada (x ) ekoverguje, protože eí ai 2 v jedom z bodů splěa utá podmíka kovergece 2 (viz větu.3). Oborem kovergece daé řady je iterval (, 3). Příklad Určete poloměr kovergece mocié řady (2)! (!) 2 x. Řešeí. a proto R = 4. (2(+))! ((+)!) 2 (2)! (!) 2 = (2 + 2)(2 + ) ( + )( + ) 4, Následující velmi důležitá věta plye z důsledků 2.28, 2.25 a Abelovy věty Tz. určete možiu všech x R, pro ěž daá řada koverguje. 2 Tz. eplatí rovost lim 2 (x ) = 0.

39 2.4 Mocié a Taylorovy řady 35 Věta 2.37 (o derivováí a itegrováí mocié řady čle po čleu). Nechť mociá řada a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + = má poloměr kovergece R > 0. Pak i mocié řady a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 + = a (x x 0 ) (2.4) a (x x 0 ), a 0 (x x 0 ) + a 2 (x x 0) 2 + a 2 3 (x x 0) 3 + = a + (x x 0) + (vziklé derivováím, resp. itegrováím řady (2.4) čle po čleu ) mají poloměr kovergece R a avíc pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí: x S (x) = x 0 S(t) dt = a (x x 0 ) a (x x 0 ), a + (x x 0) +. Pozámka Zovu si prohléděme předcházející větu a epřehléděme, že (za daých předpokladů) platí pro součet S mocié řady a (x x 0 ) ásledující dvě tvrzeí: i) S má a itervalu kovergece všechy derivace a pro každé p N a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí ii) fukce S (p) (x) = ( )... ( p + ) a (x x 0 ) p, =p x x S(t) dt x 0 je a itervalu (x 0 R, x 0 + R) primitiví fukcí k fukci S.

40 36 Poslouposti a řady fukcí Věta 2.39 (Abelova). Nechť 0 < R < + a echť řada a (x x 0 ) koverguje v bodě x = x 0 +R, resp. v bodě x = x 0 R. Pak pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a (x x 0 ) platí, že je spojitá zleva v bodě x = x 0 + R, resp. zprava v bodě x = x 0 R, tz. S(x 0 + R) = lim S(x), resp. S(x 0 R) = lim S(x). x x 0 +R x x 0 R + Příklad Vypočtěme součet řady = ( ). Řešeí. Předě si uvědomme, že Leibizovo kritérium.23 ám poskytuje argumet, že uvedeá řada koverguje. Uvažujme yí fukci S defiovaou předpisem S(x) := ( ) x Pak (protože poloměr kovergece výše uvedeé mocié řady je zřejmě ) z věty 2.37 plye x (, ) : S (x) =. ( ) x = Odtud (a ze zřejmého faktu S(0) = 0) víme, že x (, ) : S(x) = l( + x). A vše ostatí sado vyplývá z Abelovy věty 2.39: ( x) = + x. ( ) = S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2. x x Příklad 2.4. Vyjádřeme v okolí bodu 0 fukci jako součet mocié řady. S(x) := arctg x

41 2.4 Mocié a Taylorovy řady 37 Řešeí. Stačí si uvědomit, že x (, ) : S (x) = + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = a proto (viz větu 2.37 a skutečost, že S(0) = arctg 0 = 0) x (, ) : S(x) = arctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) x 2, ( ) x Všiměme si, že alezeá mociá řada koverguje v bodě x = (viz Leibizovo kritérium.23), a proto můžeme pomocí Abelovy věty 2.39 získat zajímavý bous: π 4 = = ( ) 2 +. Ukočeme aše povídáí o řadách fukcí krátkou zmíkou o speciálím typu mociých řad, o tzv. Taylorových řadách. Defiice Předpokládejme, že existují všechy derivace fukce f : R R v bodě x 0 R. Taylorovou řadou fukce f se středem x 0 pak rozumíme mociou řadu f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + = 2! f () (x 0 ) (x x 0 ). (2.5)! (Nepřehléděme zřejmou souvislost s Taylorovými polyomy fukce f v bodě x 0.) Je zajímavým úkolem zjistit, jak spolu souvisí součet Taylorovy řady (2.5), tz. fukce S defiovaá předpisem a fukce f. S(x) := f () (x 0 ) (x x 0 ),!

42 38 Poslouposti a řady fukcí Příklad Uvažujme součet Taylorovy řady fukce f(x) := e x se středem v bodě x 0 = 0, tj. fukci S(x) := + x! + x2 2! + = x!. (2.6) Protože lim (+)!! = lim + = 0, má uvažovaá Taylorova řada poloměr kovergece R = + (viz větu 2.34), a proto můžeme díky větě 2.37 tvrdit, že pro každé x R je S (x) = ( + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... ) = x! + x2 2! + x3 3! +... = S(x). A to ám ( pokud víme, že jediým řešeím Cauchyho úlohy f (x) = f(x), f(0) = (= S(0)), a R je právě expoeciálí fukce f(x) := e x) dává jistotu, že S(x) = e x pro každé x R. Pozámka Podobě jako v předcházejícím příkladu lze dokázat (či okometovat), proč i pro moho dalších fukcí platí, že jsou součty svých Taylorových řad. Například si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + = ( ) x 2 (2)! l( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = ( ) x... pro každé x R, pro každé x R, pro každé x (,, Výše uvedeý důkaz, že fukce e x je rova součtu své Taylorovy řady, a i samoté sestaveí příslušé Taylorovy řady je poěkud problematické. Neí totiž jasé, co rozumíme (jak defiujeme) fukcí e x. Často se expoeciálí fukce defiuje právě jako součet mocié řady vyskytující se v (2.6).

43 2.4 Mocié a Taylorovy řady 39 Pozor! Nemusí tomu tak být vždy. Vezměme třeba fukci e x 2 pro x 0, f(x) := 0 pro x = 0. Lze ukázat, že všechy derivace fukce f jsou spojité a R a že Taylorovou řadou fukce f se středem v bodě 0 je řada f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + = = 2! s ulovým součtem a R. Fukce f je však ulová pouze v bodě 0. 0

44 40 Literatura [] J. Bouchala: Matematická aalýza, skripta VŠB-TU Ostrava, 998. [2] J. Bouchala: Fukce komplexí proměé, [3] J. Brabec, F. Marta, Z. Rozeský: Matematická aalýza I, SNTL, Praha, 985. [4] B. Budiský, J. Charvát: Matematika I, SNTL, Praha, 987. [5] Z. Došlá, V. Novák: Nekoečé řady, skripta MU Bro, 998. [6] V. Jarík: Difereciálí počet (II), Academia, Praha, 976. [7] K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995. [8] J. Veselý: Matematická aalýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 997.

45 4 Rejstřík iterval kovergece mocié řady, 32 kovergece bodová, 22, 24 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22, 24 kritérium (eabsolutí) kovergece Abelovo, 9 Dirichletovo, 7 Leibizovo, 6 kritérium absolutí kovergece itegrálí, 4 limití odmociové (Cauchyho), 0 limití podílové (d Alembertovo), 8 limití Raabeovo, 3 odmociové (Cauchyho), 9 podílové (d Alembertovo), 7 Raabeovo, 2 srovávací, 5 kritérium stejoměré kovergece Abelovo, 27 Dirichletovo, 26 Weierstrassovo, 25 limita poslouposti fukcí bodová, 22 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22 obor kovergece mocié řady, 34 poloměr kovergece mocié řady, 32 posloupost částečých součtů řady fukcí, 24 reálých fukcí, 22 částečých součtů řady, fukcí mootóí a možiě, 26 stejoměrě omezeá a možiě, 26 řada -tý čle, (reálých) čísel, (reálých) fukcí, 24 absolutě kovergetí, 5 alterující, 6 aritmetická, 2 divergetí, fukcí bodově kovergetí, 24 stejoměrě kovergetí, 24 geometrická, 2 harmoická, 2 komplexích čísel, 2 kovergetí, mociá, 30 iterval kovergece, 32 obor kovergece, 34 poloměr kovergece, 32 eabsolutě kovergetí, 5 posloupost částečých součtů, přerovaá, 20 součet, Taylorova, 37 zbytek, 20 součet řady, střed mocié řady, 30 střed Taylorovy řady, 37

46 42 Rejstřík Taylorova řada, 37 věta Abelova, 3, 36 Abelovo kritérium pro řady fukcí, 27 B C podmíka pro řady fukcí, 25 Bolzaova Cauchyho podmíka, 25 Diiho, 28 Dirichletovo kritérium pro řady fukcí, 26 o derivováí a itegrováí řady čle po čleu, 35 o kovergeci řady Abelovo kritérium, 9 Bolzaova Cauchyho podmíka, 3 Dirichletovo kritérium, 7 itegrálí kritérium, 4 Leibizovo kritérium, 6 limití odmociové (Cauchyho) kritérium, 0 limití podílové (d Alembertovo) kritérium, 8 limití Raabeovo kritérium, 3 utá podmíka, 3 odmociové (Cauchyho) kritérium, 9 podílové (d Alembertovo) kritérium, 7 Raabeovo kritérium, 2 srovávací kritérium, 5 o limitě mootóí poslouposti, 4 o výpočtu poloměru kovergece, 33 o záměosti limity a derivace, 30 o záměosti limity a itegrálu, 29 Weierstrassovo kritérium, 25 zbytek řady po -tém čleu, 20

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019 Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Matematická analýza III (NMUM201)

Matematická analýza III (NMUM201) Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele:

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné

1 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limity - 7 - Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé Spojitost a limity Defiice -okolím bodu a azýváme iterval ( a a ) Redukovaým -okolím bodu a azýváme sjedoceí itervalů a a a a Spojitost

Více