ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil"

Transkript

1 ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Řady c Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil, 3. červa 202 ISBN

3 Předmluva Výsledou podobu těchto skript ovlivili mozí z ašich učitelů, kolegů i studetů. Všem jsme jim upřímě vděčí. Čteáře prosíme o shovívavost a sděleí všech připomíek. Teto i ostatí v rámci projektu Matematika pro ižeýry 2. století připravovaé výukové materiály lze ajít a strákách Podívejte se a ě! V Ostravě, a to v ledu 20 Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Všechy připomíky (výhrady, kometáře, doporučeí, výhružky a dary) zasílejte (prosíme) a aše ové adresy: iii

4 Obsah Předmluva iii Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Kritéria absolutí kovergece Kritéria (eabsolutí) kovergece Několik pozámek akoec Poslouposti a řady fukcí Bodová a stejoměrá kovergece Kritéria stejoměré kovergece Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Mocié a Taylorovy řady Literatura 40 Rejstřík 4 iv

5 Kapitola Řady (reálých) čísel. Součet a kovergece číselé řady Defiice.. Řadou (reálých čísel) rozumíme výraz a + a a +... = a, (.) kde pro každé N je a R. a Číslo a azýváme -tým čleem řady (.), posloupost (s ) defiovaou předpisem s := a + a a = azýváme posloupostí částečých součtů řady (.). Existuje-li limita s := lim s R *, azýváme ji součtem řady (.) a píšeme b a = s; je-li avíc s R, říkáme, že řada (.) koverguje. Nemá-li řada a součet, c ebo je-li k= a {+, }, azýváme (.) divergetí řadou. a Tz. že (a ) je posloupostí reálých čísel. b Zde epřehléděme, že symbolem a začíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale ebojme se, z kotextu bude vždy jasé, o které z těchto dvou možostí právě mluvíme. c Tím rozumíme, že lim s eexistuje. a k

6 2 Řady (reálých) čísel Příklady.2. ) 2) = = +... divergetí (aritmetická) řada. ( s = ( + ) 2 ) +. + ( ) + + ( ) +... = ( ) + ( s = { 0, je-li sudé,... divergetí řada (emá součet)., je-li liché. Zde pozor a umístěí závorek. Platí totiž: 3) Součet (geometrické) řady 4) ( ) + ( ) + ( ) +... = = 0, + ( + ) + ( + ) +... = =. + q + q = ( s = ) q, kde q R, existuje právě tehdy, je-li q >, a platí pro ěj { q +, je-li q, =, je-li < q <. q {, je-li q =, ) = q, je-li q. q = +... divergetí (tzv. harmoická) řada. ( Pokuste se dokázat uvedeou rovost pomocí (zřejmě platícího) tvrzeí k N : 2 k k k k+ 2 k+ ( 2 k+ 2 k) = 2.)

7 . Součet a kovergece číselé řady 3 Věta.3 (Nutá podmíka kovergece). Koverguje-li řada lim a = 0. a, je Důkaz. Podle předpokladu pro posloupost částečých součtů (tj. pro posloupost s := a k ) platí a proto k= s := lim s R (!), lim a = lim(s s ) = lim s lim s = s s = 0. Příklady.4. ) ( ) 2 diverguje, protože lim( ) 2 eexistuje. 2) 2 diverguje, protože lim 2 = +. 3) diverguje, a to přesto, že lim = 0. (Tvrzeí.3 tedy elze obrátit!) Věta.5 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Řada a koverguje právě tehdy, platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : k=m+ a k < ε. Důkaz. Věta je sadým důsledkem zámého tvrzeí, že reálá posloupost je kovergetí právě tehdy, je-li cauchyovská, a pozorováí, že výše uvedeá podmíka je ekvivaletí s tvrzeím, že posloupost s := a k částečých součtů řady je cauchyovská, tz. ( ε R + ) ( 0 N) (, m N;, m 0 ) : s s m < ε. k= a

8 4 Řady (reálých) čísel Věta.6. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Nejdříve defiujme (pro každé N): a + := max{a, 0} = ) a + a 0, 2( a := max{ a, 0} = 2( ) a a 0; s + := a + + a a +, s := a + a a. Máme dokázat, že posloupost částečých součtů s := a k = (a + k a k ) = a + k a k = s+ s k= k= k= k= je kovergetí, tz. že má koečou limitu. K tomu stačí ukázat, že jsou kovergetí poslouposti (s + ) a (s ). Obě tyto poslouposti jsou však zřejmě eklesající a díky předpokladu a =: s R a vztahům s + = a + + a a + a + a a s = a + a a a + a a a = s, a = s, které platí pro každé N, i shora omezeé. Jejich kovergece tak plye přímo ze zámého tvrzeí o limitě mootóí poslouposti. Věta o limitě mootóí poslouposti. Je-li posloupost (α ) eklesající, je lim α = sup {α : N}. Je-li posloupost (β ) erostoucí, je lim β = if {β : N}.

9 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Defiice.7. Koverguje-li řada a, říkáme, že (kovergetí!) řada a koverguje absolutě. Koverguje-li řada a a současě řada a diverguje, azýváme a eabsolutě kovergetí řadou. a a Všiměme si, že součet řady součtů je eklesající), může být však rove +. a existuje vždy (odpovídající posloupost částečých Příklady.8. ) ( )... eabsolutě kovergetí řada. (Důkaz bude provede později pomocí Leibizova kritéria.) 2) ( )... absolutě kovergetí řada. 2 (Důkaz bude provede později pomocí itegrálího kritéria.).2 Kritéria absolutí kovergece Úmluva. Napíšeme-li V () platí pro všecha dost velká N, rozumíme tím, že ( 0 N) ( N, 0 ) : V (). Věta.9 (srovávací kritérium). Nechť a a b jsou takové řady, že i) a b pro všecha dost velká N, ii) b koverguje. Pak a koverguje absolutě.

10 6 Řady (reálých) čísel Důkaz. Z předpokladů plye, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a protože je jak jsme si již uvědomili dříve avíc eklesající, má koečou limitu. Touto limitou je a. Příklad.0. ( ) ( ) 977 koverguje absolutě, protože pro každé N platí a ( ) ( ) ( ) ( ) 977 je kovergetí (geometrická) řada ( < q := < ). 977 Pozorováí (a zřejmý důsledek věty.9.) Nechť a a b jsou takové řady, že 0 a b pro všecha dost velká N a že a = +. Potom platí b = +. Příklad.. l(966 + ) diverguje, protože platí a avíc = +. 0 l(966 + ) (pro každé N) Čteář by si měl předložeý důkaz, pokud mu eí zcela jasý, rozepsat a rozmyslet podrobě!

11 .2 Kritéria absolutí kovergece 7 Věta.2 (podílové kritérium, d Alembertovo). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a + a q pro všecha dost velká N, koverguje řada ii) Je-li Důkaz. tak řada a a absolutě. a + a pro všecha dost velká N, diverguje. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). a + a a 0 + a a a + a a 0 + a 0 + q a 0 + q 2 a = = a + a a 0 + a 0 ( + q + q ) = = a + a a 0 + a 0 q = = a + a a 0 + a 0 q < +. b) I důkaz tvrzeí ii) je sadý. Z předpokladu a + a pro všecha dost velká N plye, že ( 0 N) ( N, 0 ) : a + a > 0,

12 8 Řady (reálých) čísel a proto ( 0 N) ( N, 0 ) : a a 0 > 0. Odtud lze sado usoudit, že eplatí utá podmíka kovergece řady a, tj. tvrzeí lim a = 0 (viz větu.3). Řada a diverguje. Sadým důsledkem věty.2 je ásledující věta. Věta.3 (limití podílové (d Alembertovo) kritérium). i) Je-li koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a + a <, lim a + a >, Důkaz. a) Nejdříve se podívejme, proč platí tvrzeí i). Zvolme (libovolě) ( ) q lim a + a, (0, ). Pak zřejmě platí a + a q pro všecha dost velká N, a dokazovaé tvrzeí proto plye přímo z již dokázaého tvrzeí i) věty.2. b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li lim a + a >, je a + a pro všecha dost velká N.

13 .2 Kritéria absolutí kovergece 9 Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.2. Příklady.4. ) 2) protože protože ( ) 2 koverguje absolutě, 3 + (+)2 ( ) 3 + ( ) 2 = ( + ) <. 3 (+)! 0 +! 0 = 0 ( + )!!! diverguje, 0 3) Pozor! Při vyšetřováí kovergece řady protože > + = ( + ) + >. 0 = +. se podílové kritérium ehodí, Věta.5 (odmociové kritérium, Cauchyho). Uvažujme řadu Pak platí tato tvrzeí: a. i) Existuje-li q (0, ) takové, že a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li pro ekoečě moho N a, tak řada a diverguje.

14 0 Řady (reálých) čísel Důkaz. a) Nejdříve dokažme tvrzeí i). Z předpokladů plye, že a q pro všecha dost velká N a že řada q koverguje (jedá se o geometrickou řadu s kvocietem q (0, )). Dokazovaé tvrzeí proto plye ze srovávacího kritéria (viz větu.9). b) Nyí dokažme tvrzeí ii). Z předpokladů plye, že pro ekoečě moho N platí a. To však zameá, že eplatí lim a = 0, tj. eí splěa utá podmíka kovergece řady a (viz větu.3). Proto řada a diverguje. I tato věta má svou limití verzi. Věta.6 (limití odmociové (Cauchyho) kritérium). i) Je-li lim a <, koverguje řada ii) Je-li tak řada a a diverguje. absolutě. lim a >, Důkaz. a) Důkaz tvrzeí i). Zvolme (libovolě) Pak zřejmě platí q ( lim ) a, (0, ). a q pro všecha dost velká N. Dokazovaé tvrzeí plye z prví části věty.5.

15 .2 Kritéria absolutí kovergece b) Důkaz tvrzeí ii). Je-li je lim a >, a pro všecha dost velká N, a proto a pro ekoečě moho N. Dokazovaá divergece řady a tak plye přímo z tvrzeí ii) věty.5. Příklady.7. ) ( ) koverguje absolutě, protože ( 2 ) + = <. 2) 2 diverguje, 993 protože 2 = ( >. ) 3) Pozor! Ai odmociové kritérium ám při rozhodováí, zda řada koverguje, epomůže. Platí totiž (pro každé N, > ) > =.

16 2 Řady (reálých) čísel Věta.8 (Raabeovo kritérium). Uvažujme řadu a. Pak platí tato tvrzeí: i) Existuje-li q > takové, že ( ) a + a q pro všecha dost velká N, tak řada a koverguje absolutě. ii) Je-li tak řada ( a ekoverguje absolutě (tj. tato řada buď koverguje eabsolutě, ebo diverguje). a + a ) pro všecha dost velká N, Důkaz. a) Nejprve dokažme ( tvrzeí i). ) Z podmíky a + a q plye ( a a + ) q a. Předpokládáme tedy, že existuje 0 N takové, že pro každé N, > 0, platí Sečteím těchto erovostí dostaeme 0 ( a 0 a 0 + ) q a 0, ( 0 + )( a 0 + a 0 +2 ) q a 0 +,... ( a a + ) q a. 0 a 0 + ( a a ) a + q a 0 + q( a a ), odkud sado odvodíme (q )( a a ) 0 a 0 a + q a 0 0 a 0. Vzhledem k tomu, že q > 0, dostaeme a a 0 a 0 q pro každé N, > 0. Vidíme, že posloupost částečých součtů řady a je shora omezeá, a proto řada a koverguje absolutě.

17 .2 Kritéria absolutí kovergece 3 b) Nyí ukažme, proč platí tvrzeí ii), tj. proč (jsou-li splěy uvedeé předpoklady) řada a diverguje. ( ) Podmíku a + a lze psát ve tvaru a + a =. Předpokládáme tedy existeci 0 N, 0 2, takového, že pro každé N, 0, platí a 0 + a 0 0, 0 a , a a + a. Vyásobíme-li výše uvedeé erovosti (jsou to erovosti mezi kladými čísly), dostaeme a + a 0 0, a proto a + a 0 ( 0 ) pro každé N, 0. Odtud a z divergece harmoické řady vyplývá, že řada a + (a tedy i a ) diverguje (viz důsledek věty.9). Následující věta je sadým důsledkem věty.8. Věta.9 (limití Raabeovo kritérium). i) Je-li ( lim koverguje řada a absolutě. ii) Je-li ( lim a + a a + a ) >, ) <, řada a ekoverguje absolutě (tj. buď tato řada koverguje eabsolutě, ebo diverguje).

18 4 Řady (reálých) čísel Důkaz. Důkaz lze provést podobým způsobem jako u věty.3. Přeechme jej proto zcela pilému čteáři. Příklady.20. ) Řada lim 2) Řada lim 3 ( koverguje, eboť a + a ) ) = lim ( 3 = ( + ) 3 = lim (( + )3 3 ) ( + ) 3 = lim = 3 >. (2)! 4 (!) 2 je divergetí, eboť ( a + a ) ( = lim ) (2 + 2)(2 + ) = 4( + ) ( 2 = lim 2 + ) 2( + ) = lim = 2 <. O kovergeci této řady bychom podílovým kritériem erozhodli, protože > a +. a Věta.2 (itegrálí kritérium). Nechť fukce f : R R je erostoucí a itervalu, + ) a echť pro každé N platí, že a = f(). Potom řada a koverguje absolutě právě tehdy, koverguje-li evlastí itegrál c c f(x) dx (tz. existuje-li koečá limita lim Důkaz. Nejdříve pro každé N defiujme s := a k a všiměme si, že existují limity c lim c f(x) = lim Otázka čteáři: Proč existují? lim s = k= a R *, f(x) dx = f(x) dx.) f(x) dx R *.

19 .2 Kritéria absolutí kovergece 5 Máme vlastě dokázat ekvivaleci a < + f(x) dx < +. (.2) Z předpokladů plye s = a k = k= f(k) f(x) dx f(k) = a k = s + a. k= k=2 k=2 Odtud limitím přechodem ( ) získáme erovosti a f(x) dx z ichž již sado plye dokazovaá ekvivalece (.2). a a, Příklady.22. ) 2) protože protože ( ) koverguje absolutě, 2 [ x dx = ] = 0 ( ) = < +. 2 x x dx = [l x] diverguje, = + 0 = +. (Čteář by si měl rozmyslet, pro jaká α R koverguje řada Zde je užitečé akreslit si obrázek!.) α

20 6 Řady (reálých) čísel.3 Kritéria (eabsolutí) kovergece Možá bude užitečé upozorit čteáře už teď, že v literatuře běžě užívaý termí kritéria eabsolutí kovergece je poěkud matoucí. V ásledujících větách se etvrdí, že příslušá řada (za jistých předpokladů) koverguje eabsolutě, ale pouze to, že koverguje. Nejdříve si uveďme kritérium týkající se kovergece tzv. alterujících řad (to jsou řady, jejichž čley pravidelě střídají zaméka ). Věta.23 (Leibizovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N a taková, že lim a = 0. a Potom řada koverguje. a a 2 + a 3 a 4 + = ( ) + a a Všiměme si, že pro mootóí posloupost (a ) s ulovou limitou platí jeda z možostí: i) N : 0 a + a, ii) N : 0 a + a. Důkaz. Předpokládejme apříklad, že a vyberme z poslouposti N : 0 a + a, s := ( ) k+ a k k= částečých součtů zkoumaé řady posloupost lichých (vyjma prvího) a posloupost sudých čleů. Tz. uvažujme poslouposti s * := s 2+, s ** := s 2. Protože díky předpokladu ii) víme, že pro každé N platí s * + = s 2+3 = s 2+ a a 2+3 s 2+ = s *, s ** + = s 2+2 = s 2 + a 2+ a 2+2 s 2 = s **, existují limity: lim s * R { }, lim s ** R {+ }. Viz Větu o limitě mootóí poslouposti.

21 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 7 Navíc ale díky předpokladu iii) platí, že a proto lim(s * s ** ) = lim(s 2+ s 2 ) = lim a 2+ = 0, lim s * = lim s ** =: s R! Odtud již sado plye (čteář si laskavě promyslí sám!), že což jsme měli dokázat. ( ) + a = lim s = s R, Příklad.24. Řada = ( ) + je eabsolutě kovergetí, protože platí: N : +, lim = 0; ( ) + = = +. Věta.25 (Dirichletovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí posloupost defiovaá a N, pro iž platí lim a = 0, a echť posloupost částečých součtů řady b je omezeá. Pak je řada a b kovergetí. Důkaz. Bez újmy a obecosti předpokládejme, že posloupost (a ) je erostoucí (v případě eklesající poslouposti by stačilo uvažovat posloupost ( a )). To (vzhledem k podmíce lim a = 0) zameá, že a 0 pro každé N. Dále z předpokladů vyplývá, že pro posloupost částečých součtů řady b platí s := k= b k ( k R + ) ( N) : s k.

22 8 Řady (reálých) čísel Nyí ukážeme (což díky větě.5 stačí), že pro řadu a b platí Bolzaova Cauchyho podmíka ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) : Buď ε > 0 dáo. Z předpokladu lim a = 0 vyplývá, že k=m+ ( 0 N ) ( N; 0 ) : a = a < ε 2k. Zbývá dokázat, že pro každé m, N, 0 m <, platí A to lze udělat přímým výpočtem: a k b k < ε. k=m+ a m+ b m+ + + a b = a m+ (s m+ s m ) + + a (s s ) = a k b k < ε. = a m+ s m + (a m+ a m+2 )s m+ + + (a a )s + a s a m+ s m + (a m+ a m+2 ) s m+ + + (a a ) s + a s ka m+ + k(a m+ a m+2 ) + + k(a a ) + ka = 2ka m+ < ε. Pozámka.26. Věta.23 je yí jedoduchým důsledkem věty.25. Stačí totiž volit b := ( ) +. Je jasé, že posloupost částečých součtů řady je pak omezeá. Příklad.27. Řada b = ( ) + si α je kovergetí pro libovolé α > 0, eboť posloupost ( ) je mootóí a koverguje k ule a řada si má omezeou posloupost částečých součtů α (viz větu.25). Teto fakt eí úplě triviálí. Čteář si může (apř. matematickou idukcí, popř. pomocí komplexích čísel) dokázat, že pro každé N platí s := si k = k= + si 2 si 2 si, a proto s 2 si. 2

23 .3 Kritéria (eabsolutí) kovergece 9 Věta.28 (Abelovo kritérium). Nechť (a ) je mootóí omezeá posloupost defiovaá a N a echť řada b koverguje. Pak je kovergetí i řada a b. Důkaz. Z předpokladů věty plye, že existuje koečá lim a =: a. Pro každé N defiujme a := a a. Pak posloupost (a ) je jistě mootóí a koverguje k ule; avíc, protože je řada b kovergetí, je posloupost částečých součtů této řady omezeá. Odtud a z Dirichletova kritéria (viz větu.25) plye, že je řada a b kovergetí. platí A dál je to sadé, protože pro posloupost (s ) částečých součtů řady a b s := a k b k = (a k + a)b k = a kb k + a b k a kb k + a b k R. k= k= k= k= k= k= Příklady.29. ) Řada ( arctg ) si α je kovergetí pro libovolé α > 0. V příkladu.27 jsme totiž ukázali kovergeci řady si. Dále je zřejmé, že posloupost (arctg ) je mootóí α a omezeá. Tvrzeí tak plye přímo z věty.28. 2) Je-li b libovolá kovergetí řada, tak je (viz větu.28) kovergetí i řada + b, eboť posloupost ( ) + je mootóí a omezeá.

24 20 Řady (reálých) čísel.4 Několik pozámek akoec Pozámka.30 (k odhadu zbytku řady). Uvažujme řadu a a N. Řadu a + + a +2 + a = azýváme zbytkem řady a po -tém čleu. k=+ Často je užitečé odhadout (pro kovergetí řadu) součet tohoto zbytku. 2 To však emusí být sadé. Zde si pro ilustraci alespoň uveďme, že apříklad při splěí předpokladů Leibizova kritéria pro každé N platí 3 ( ) + a ( ) k+ a k = ( ) k+ a k a +. k= k=+ (Můžete se pokusit odhadout zbytek řady i za situace z ěkterého z ostatích kritérií.) Pozámka.3 (k přerováváí řad). Je-li zobrazeí defiovaé a celém N, prosté, a (tz. že φ(n) = N), říkáme, že řada vzikla přerováím řady a. Symbolu =α φ : N N a φ() a, kde < α N, se užívá i pro ozačeí celých řad, eje pro ozačeí zbytku jisté řady (koeckoců zbytek řady je celá řada). Čteář určitě ebude mít problém porozumět, jaké řady jsou míěy, apíšeme-li apříklad 2, l( 7), Nepřehléděme zřejmé tvrzeí: =3 a k 8 Řada koverguje právě tehdy, koverguje-li její zbytek po -tém čleu. 3 Čteář by měl považovat za věc cti, že si příslušý odhad dokáže.

25 .4 Několik pozámek akoec 2 Dá se dokázat, že platí: i) Je-li řada a absolutě kovergetí, koverguje absolutě i řada a má stejý součet. a φ() ii) Jestliže řada a koverguje eabsolutě, lze ji přerovat tak, aby ově získaá řada měla za svůj součet libovolé (předem zadaé) číslo z R *, ebo tak, aby součet řady vziklé přerováím vůbec eexistoval. Pozámka.32 (k řadám komplexích čísel). Řadou komplexích čísel rozumíme výraz a + a a +... = a, kde pro každé N je a C. Ozačme pro každé N: α = Re a, β = Im a, tz. že a = α + β i; α, β R. Existují-li koečé(!) součty řad α =: α R, β =: β R, říkáme, že řada a koverguje, a součtem řady a rozumíme (komplexí) číslo s := α + βi. Více si lze o řadách komplexích čísel přečíst apř. v [2].

26 22 Kapitola 2 Poslouposti a řady fukcí 2. Bodová a stejoměrá kovergece Defiice 2.. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje bodově a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li tj. platí-li x M : lim f (x) = f(x), ( x M) ( ε R +) ( 0 N) ( N, 0 ) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.2. Přirozeé číslo 0 vyskytující se ve výše uvedeé podmíce závisí obecě a volbě x M a ε R +. Jestliže lze číslo 0 zvolit ezávisle a volbě bodu x M, mluvíme o stejoměré kovergeci a M. Řekěme to přesěji: Defiice 2.3. Řekeme, že posloupost reálých fukcí (f ) koverguje stejoměrě a možiě M R k fukci f, a píšeme f f a M, platí-li [ ] lim sup f (x) f(x) x M = 0, tj. platí-li ( ε R + ) ( 0 N) ( N, 0 ) ( x M) : f (x) f(x) < ε. Pozámka 2.4. Rozmysleme si, že zřejmě platí: f f a M f f a M.

27 2. Bodová a stejoměrá kovergece 23 Příklad 2.5. Buď pro každé N fukce f defiovaá předpisem f (x) := x x 2. Rozhoděme, zda je posloupost fukcí (f ) bodově, resp. stejoměrě kovergetí a itervalu 0,. Řešeí. Hledáí bodové limity eí těžké. Stačí si uvědomit, že pro libovolé (ale pevé) x 0, je lim x 2 = lim x = { 0, je-li x 0, ),, je-li x =, a proto lim f (x) = lim(x x 2 ) = 0. To zameá, že posloupost (f ) koverguje bodově a itervalu 0, k fukci f(x) := 0. Zbývá odpovědět a otázku (a to díky předchozí pozámce 2.4 stačí), zda f 0 a 0,, tj. zda platí ( ) ( ) lim sup f (x) f(x) x 0, = lim sup f (x) x 0, = 0. Neí obtížé spočítat, že pro libovolé N je sup f (x) = sup (x x 2 ) = max (x x 2 ) = x 0, x 0, x 0, 4, a proto posloupost (f ) eí a itervalu 0, stejoměrě kovergetí. Ilustrace: Posloupost (f ) je zázorěa a ásledujícím obrázku,

28 24 Poslouposti a řady fukcí z ěhož lze vyčíst, že pro libovolé (ale pevé) x 0 0, se posloupost ( f (x 0 ) ) blíží k 0, tj. že bodovou limitou (f ) je (a 0, ) ulová fukce. Pokud kolem grafu limití (ulové) fukce sestrojíme pás o šířce 0 < ε < 4 (v ašem obrázku jsme volili ε = 0, 05), zjistíme, že žádý z grafů fukcí f v tomto pásu celý eleží. To ovšem zameá, že kovergece poslouposti (f ) k fukci f(x) := 0 eí a itervalu 0, stejoměrá. Defiice 2.6. Buďte pro každé N fukce f a f defiovaé a možiě M R. Řekeme, že řada fukcí f (x) + f 2 (x) + + f (x) +... oz. = f (x) (2.) koverguje bodově (resp. stejoměrě) a možiě M ke svému součtu f, koverguje-li posloupost (s ) částečých součtů řady (2.) a bodově (resp. stejoměrě) a M k fukci f. a s (x) := k= f k (x).

29 2.2 Kritéria stejoměré kovergece Kritéria stejoměré kovergece Důkazy vět uvedeých v této a ásledující kapitole jsou techicky áročější, a ebudeme je zde proto uvádět. Zájemci si je mohou alistovat apř. v [5] a v [6]. Věta 2.7 (Bolzaova Cauchyho podmíka). Posloupost fukcí (f ) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; m, 0 ) ( x M) : f m (x) f (x) < ε. Věta 2.8 (Bolzaova Cauchyho podmíka pro řady fukcí). Řada fukcí f (x) je stejoměrě kovergetí a možiě M R právě tehdy, když ( ε R + ) ( 0 N) ( m, N; 0 m < ) ( x M) : (Porovejte s větou.5.) k=m+ f k (x) < ε. Věta 2.9 (Weierstrassovo kritérium). Nechť M R a echť b a f (x) jsou takové řady, že i) f (x) b pro každé N a pro každé x M, ii) b koverguje. Pak řada f (x) koverguje stejoměrě a M. (Porovejte s větou.9.) Příklad 2.0. Řada stejoměrě koverguje a R, eboť a reálá řada ( N) ( x R) : si x 2 + x 2 si x 2 + x x 2 2 koverguje (apř. podle itegrálího kritéria viz větu.2). 2

30 26 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je mootóí a možiě M R, platí-li jeda z možostí: i) ( N) ( x M) : f (x) f + (x), ii) ( N) ( x M) : f (x) f + (x). Defiice 2.2. Řekeme, že posloupost fukcí (f ) je stejoměrě omezeá a možiě M R, platí-li ( c R + ) ( N) ( x M) : f (x) c. Věta 2.3 (Dirichletovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí posloupost fukcí a možiě M, pro iž platí f 0 a M, a echť posloupost částečých součtů řady g (x) je stejoměrě omezeá a M. a Pak je řada f (x)g (x) stejoměrě kovergetí a M. a Tz. ( c R + ) ( N) ( x M) : g k (x) c. (Porovejte s větou.25.) k= Příklad 2.4. Díky Dirichletovu kritériu 2.3 víme, že řada koverguje stejoměrě a itervalu si x I α = α, 2π α, kde α (0, π). ( ( Posloupost kostatích fukcí ) je mootóí, částečých součtů řady si x 0 a I α a posloupost

31 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 27 je stejoměrě omezeá a I α. ) Pozámka 2.5. V posledím příkladu jsme ukázali, že pro jakkoliv malé α (0, π) je řada fukcí si x stejoměrě kovergetí a α, 2π α. Lze ukázat, že a itervalu 0, 2π tato řada sice koverguje, ale kovergece zde eí stejoměrá. Věta 2.6 (Abelovo kritérium pro řady fukcí). Nechť (f ) je mootóí a stejoměrě omezeá posloupost fukcí a možiě M a echť řada g (x) je stejoměrě kovergetí a M. Pak je stejoměrě kovergetí a možiě M i řada f (x)g (x). (Porovejte s větou.28.) 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí Věta 2.7. Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu I R. Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha dost velká N, je i fukce f spojitá a I. Z tvrzeí ( x I α ) ( N) : k= si kx = k= ( ) + si 2 x si 2 si x 2 ( 2 x ) které lze dokázat apř. matematickou idukcí, sado obdržíme ( N) ( x I α ) : si kx si x si α =: c R +, 2 což je přesě výše zmíěá stejoměrá omezeost poslouposti částečých součtů řady si x.,

32 28 Poslouposti a řady fukcí Pozámka 2.8. Předpoklad stejoměré kovergece elze ahradit kovergecí bodovou. Uvažujme apříklad posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy f (x) := x. Je zřejmé, že pro každé x I platí lim f (x) = f(x), kde f(x) = { 0 pro x 0, ), pro x =. Všechy fukce f jsou a I spojité, f f a I, ale limití fukce f a I spojitá eí. Důsledek 2.9. Nechť I R je iterval a echť řada fukcí stejoměrě a I ke svému součtu f(x) := f (x). f (x) koverguje Jsou-li fukce f spojité a I pro všecha N, je i fukce f spojitá a I. Věta 2.7 ám říká, že stejoměrá limita spojitých fukcí je spojitá fukce. Uvidíme, že toto tvrzeí lze (za vhodých dodatečých předpokladů) v jistém smyslu obrátit. Věta 2.20 (Diiho). Nechť a, b R, a < b, a echť i) (f ) je mootóí posloupost spojitých fukcí a itervalu a, b, ii) f f a a, b, iii) fukce f je spojitá a a, b. Pak f f a a, b. Důsledek 2.2. Nechť (f ) je posloupost ezáporých (resp. ekladých) spojitých fukcí a itervalu I = a, b, kde a, b R, a < b, a echť fukce f(x) := f (x) je spojitá a I. Pak řada fukcí f (x) koverguje stejoměrě k fukci f a I.

33 2.3 Vlastosti stejoměrě kovergetích posloupostí a řad fukcí 29 Věta Nechť posloupost fukcí (f ) stejoměrě koverguje k fukci f a itervalu a, b, kde a, b R, a < b. Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = lim b a f (x) dx. Pozámka Předchozí věta ám říká, že za uvedeých předpokladů můžeme zaměit limitu a itegrál, tj. b a lim f (x) dx = lim b a f (x) dx. Pokud je kovergece pouze bodová, limitu a itegrál obecě zaměit emůžeme, jak je ukázáo v ásledujícím příkladu. Příklad Uvažujme posloupost fukcí (f ) defiovaých a itervalu I = 0, předpisy 2 x pro x 0,, 2 f (x) := 2 x pro x ( 2, ), 0 pro x,. Všechy fukce f jsou spojité (a tedy itegrovatelé) a I a eí těžké si uvědomit, že pro každé x I platí lim f (x) = 0. Přímým výpočtem ale zjistíme, že 0 lim f (x) dx = Důsledek Nechť řada fukcí 0 0 dx = 0 4 = lim f (x) dx. 0 f (x) koverguje stejoměrě a itervalu a, b, kde a, b R, a < b, ke svému součtu f(x) := f (x). Jsou-li všechy fukce f (Riemaovsky) itegrovatelé a a, b, je i fukce f itegrovatelá a a, b a platí b a f(x) dx = ( b a ) f (x) dx.

34 30 Poslouposti a řady fukcí Pozámka V předchozím důsledku se tvrdí, že (za uvedeých předpokladů) můžeme zaměit itegrál a sumu, tj. ( b ) ( b ) f (x) dx = f (x) dx. a a Věta Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci, echť posloupost (f ) koverguje (bodově) k fukci f a I a echť posloupost derivací (f ) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí f (x) = lim f (x) pro každé x I, tj. (lim f ) = lim f a I. Důsledek Nechť (f ) je posloupost fukcí, které mají a otevřeém itervalu I R derivaci. Dále echť f (x) koverguje (bodově) k f a I a echť řada derivací f (x) je stejoměrě kovergetí a I. Pak fukce f má a I derivaci a platí tj. f (x) = f (x) pro každé x I, ( f (x)) = f (x) a I. 2.4 Mocié a Taylorovy řady Defiice Mociou řadou se středem x 0 R rozumíme řadu fukcí tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + = kde pro každé N {0} je a R. a (x x 0 ), (2.2) Zabývejme se yí kovergecí řady (2.2), tj. zkoumejme, pro jaká x R příslušá číselá řada koverguje. Je zřejmé, že řada (2.2) koverguje pro x = x 0, tj. ve svém středu, a má tam součet a 0. Předpokládejme yí, že řada (2.2) koverguje

35 2.4 Mocié a Taylorovy řady 3 v bodě x x 0, a buď x R takový bod, že x x 0 < x x 0. Pak pro každé N platí a (x x 0 ) = a (x x 0 ) x x 0 x x 0. (2.3) Z předpokladu, že řada a (x x 0 ) koverguje, vyplývá (viz utou podmíku kovergece.3) lim (a (x x 0 ) ) = 0, a proto existuje k R + takové, že pro každé N je a (x x 0 ) k. Navíc, z předpokladu x x 0 x x 0 < plye kovergece (geometrické) řady k x x 0 x x 0 a proto ze vztahu (2.3) (a srovávacího kritéria.9) vyplývá, že řada a (x x 0 ) absolutě koverguje. Toto zjištěí je zobecěo v ásledující větě., Věta 2.30 (Abelova). Nechť řada (2.2) koverguje v bodě x x 0 a ozačme Pak ε = x x 0 > 0. (i) pro každé x (x 0 ε, x 0 + ε) řada (2.2) koverguje absolutě, (ii) mociá řada (2.2) koverguje lokálě stejoměrě a itervalu a (x 0 ε, x 0 + ε). Důsledek. Pokud mociá řada a (x x 0 ) diverguje v bodě x 2 R, diverguje i v každém bodě možiy {x R : x x 0 > x 2 x 0 }. a Lokálě stejoměrou kovergecí a itervalu I R rozumíme stejoměrou kovergeci a každém uzavřeém omezeém itervalu a, b I. Tvrzeí Abelovy věty ás přímo poouká k ásledující defiici.

36 32 Poslouposti a řady fukcí Defiice 2.3. Číslo { R := sup x x 0 : } a (x x 0 ) koverguje azýváme poloměrem kovergece mocié řady (2.2). Pozámka Nepřehléděme tyto zřejmé důsledky Abelovy věty 2.30 a ásledující defiice 2.3 poloměru kovergece R 0, + ) {+ }: (i) je-li R = 0, řada a (x x 0 ) koverguje právě tehdy, platí-li x = x 0 ; (ii) je-li R > 0, koverguje řada (2.2) absolutě a lokálě stejoměrě a itervalu (iii) řada (2.2) diverguje, je-li x x 0 > R. (x 0 R, x 0 + R); Pozámka Předpokládejme, že pro poloměr kovergece R mocié řady (2.2) platí 0 < R < +. Uvědomme si, že obecě elze říci ic o kovergeci této řady v krajích bodech itervalu kovergece, tj. v bodech x 0 R a x 0 + R. Situaci ilustrujme těmito třemi mociými řadami: 2 x, x, x 2. Protože pro každé 0 x R platí x + x x, x + + x x, x + (+) 2 x 2 x, Mluvíme o tzv. itervalu kovergece mocié řady (2.2). 2 Jedá se ve všech třech případech o mocié řady tvaru a (x x 0 ), kde x 0 = 0 a a 0 = 0.

37 2.4 Mocié a Taylorovy řady 33 je každá z uvedeých řad kovergetí, je-li x <, a divergetí, je-li x > (viz d Alembertovo kritérium.3). Proto je (podívejme se zovu a pozámku 2.32) poloměr kovergece každé z těchto mociých řad rove a itervalem kovergece je vždy iterval (, ). Podívejme se, co lze říci o kovergeci uvažovaých řad v bodech a. řada x diverguje pro x = i pro x = (ai v jedom z případů eí splěa utá podmíka kovergece řady viz větu.3); řada x koverguje (eabsolutě) pro x = a diverguje pro x = (viz Leibizovo kritérium.23 a itegrálí kritérium.2); řada x 2 koverguje (absolutě) pro x = i pro x = (i tato tvrzeí plyou sado z itegrálího kritéria.2). Věta Nechť existuje lim a + a = L, resp. lim a oz. = K. oz. Pak pro poloměr kovergece R mocié řady a (x x 0 ) platí, že, je-li 0 < L < +, L R = 0, je-li L = +, +, je-li L = 0,, je-li 0 < K < +, K resp. R = 0, je-li K = +, +, je-li K = 0. Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro x x 0 je lim a + (x x 0 ) + a (x x 0 ) = L x x 0, resp. lim a (x x 0 ) = K x x 0, a užít d Alembertovo.3, resp. Cauchyho.6 kritérium.

38 34 Poslouposti a řady fukcí Příklad Určete obor kovergece mocié řady (se středem v bodě ) 2 (x ). Řešeí. lim 2 = lim 2 = 2, a proto R = 2; daá řada koverguje (absolutě) pro každé x (, 3) a diverguje pro každé x R takové, že x > 2. Pro x = ai pro x = 3 řada (x ) ekoverguje, protože eí ai 2 v jedom z bodů splěa utá podmíka kovergece 2 (viz větu.3). Oborem kovergece daé řady je iterval (, 3). Příklad Určete poloměr kovergece mocié řady (2)! (!) 2 x. Řešeí. a proto R = 4. (2(+))! ((+)!) 2 (2)! (!) 2 = (2 + 2)(2 + ) ( + )( + ) 4, Následující velmi důležitá věta plye z důsledků 2.28, 2.25 a Abelovy věty Tz. určete možiu všech x R, pro ěž daá řada koverguje. 2 Tz. eplatí rovost lim 2 (x ) = 0.

39 2.4 Mocié a Taylorovy řady 35 Věta 2.37 (o derivováí a itegrováí mocié řady čle po čleu). Nechť mociá řada a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + = má poloměr kovergece R > 0. Pak i mocié řady a + 2a 2 (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) 2 + = a (x x 0 ) (2.4) a (x x 0 ), a 0 (x x 0 ) + a 2 (x x 0) 2 + a 2 3 (x x 0) 3 + = a + (x x 0) + (vziklé derivováím, resp. itegrováím řady (2.4) čle po čleu ) mají poloměr kovergece R a avíc pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí: x S (x) = x 0 S(t) dt = a (x x 0 ) a (x x 0 ), a + (x x 0) +. Pozámka Zovu si prohléděme předcházející větu a epřehléděme, že (za daých předpokladů) platí pro součet S mocié řady a (x x 0 ) ásledující dvě tvrzeí: i) S má a itervalu kovergece všechy derivace a pro každé p N a pro každé x (x 0 R, x 0 + R) platí ii) fukce S (p) (x) = ( )... ( p + ) a (x x 0 ) p, =p x x S(t) dt x 0 je a itervalu (x 0 R, x 0 + R) primitiví fukcí k fukci S.

40 36 Poslouposti a řady fukcí Věta 2.39 (Abelova). Nechť 0 < R < + a echť řada a (x x 0 ) koverguje v bodě x = x 0 +R, resp. v bodě x = x 0 R. Pak pro fukci S defiovaou předpisem S(x) := a (x x 0 ) platí, že je spojitá zleva v bodě x = x 0 + R, resp. zprava v bodě x = x 0 R, tz. S(x 0 + R) = lim S(x), resp. S(x 0 R) = lim S(x). x x 0 +R x x 0 R + Příklad Vypočtěme součet řady = ( ). Řešeí. Předě si uvědomme, že Leibizovo kritérium.23 ám poskytuje argumet, že uvedeá řada koverguje. Uvažujme yí fukci S defiovaou předpisem S(x) := ( ) x Pak (protože poloměr kovergece výše uvedeé mocié řady je zřejmě ) z věty 2.37 plye x (, ) : S (x) =. ( ) x = Odtud (a ze zřejmého faktu S(0) = 0) víme, že x (, ) : S(x) = l( + x). A vše ostatí sado vyplývá z Abelovy věty 2.39: ( x) = + x. ( ) = S() = lim S(x) = lim l( + x) = l 2. x x Příklad 2.4. Vyjádřeme v okolí bodu 0 fukci jako součet mocié řady. S(x) := arctg x

41 2.4 Mocié a Taylorovy řady 37 Řešeí. Stačí si uvědomit, že x (, ) : S (x) = + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = a proto (viz větu 2.37 a skutečost, že S(0) = arctg 0 = 0) x (, ) : S(x) = arctg x = x x3 3 + x5 5 x7 7 + = ( ) x 2, ( ) x Všiměme si, že alezeá mociá řada koverguje v bodě x = (viz Leibizovo kritérium.23), a proto můžeme pomocí Abelovy věty 2.39 získat zajímavý bous: π 4 = = ( ) 2 +. Ukočeme aše povídáí o řadách fukcí krátkou zmíkou o speciálím typu mociých řad, o tzv. Taylorových řadách. Defiice Předpokládejme, že existují všechy derivace fukce f : R R v bodě x 0 R. Taylorovou řadou fukce f se středem x 0 pak rozumíme mociou řadu f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + = 2! f () (x 0 ) (x x 0 ). (2.5)! (Nepřehléděme zřejmou souvislost s Taylorovými polyomy fukce f v bodě x 0.) Je zajímavým úkolem zjistit, jak spolu souvisí součet Taylorovy řady (2.5), tz. fukce S defiovaá předpisem a fukce f. S(x) := f () (x 0 ) (x x 0 ),!

42 38 Poslouposti a řady fukcí Příklad Uvažujme součet Taylorovy řady fukce f(x) := e x se středem v bodě x 0 = 0, tj. fukci S(x) := + x! + x2 2! + = x!. (2.6) Protože lim (+)!! = lim + = 0, má uvažovaá Taylorova řada poloměr kovergece R = + (viz větu 2.34), a proto můžeme díky větě 2.37 tvrdit, že pro každé x R je S (x) = ( + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... ) = x! + x2 2! + x3 3! +... = S(x). A to ám ( pokud víme, že jediým řešeím Cauchyho úlohy f (x) = f(x), f(0) = (= S(0)), a R je právě expoeciálí fukce f(x) := e x) dává jistotu, že S(x) = e x pro každé x R. Pozámka Podobě jako v předcházejícím příkladu lze dokázat (či okometovat), proč i pro moho dalších fukcí platí, že jsou součty svých Taylorových řad. Například si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + = ( ) x 2+ (2 + )! cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + = ( ) x 2 (2)! l( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + = ( ) x... pro každé x R, pro každé x R, pro každé x (,, Výše uvedeý důkaz, že fukce e x je rova součtu své Taylorovy řady, a i samoté sestaveí příslušé Taylorovy řady je poěkud problematické. Neí totiž jasé, co rozumíme (jak defiujeme) fukcí e x. Často se expoeciálí fukce defiuje právě jako součet mocié řady vyskytující se v (2.6).

43 2.4 Mocié a Taylorovy řady 39 Pozor! Nemusí tomu tak být vždy. Vezměme třeba fukci e x 2 pro x 0, f(x) := 0 pro x = 0. Lze ukázat, že všechy derivace fukce f jsou spojité a R a že Taylorovou řadou fukce f se středem v bodě 0 je řada f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + = = 2! s ulovým součtem a R. Fukce f je však ulová pouze v bodě 0. 0

44 40 Literatura [] J. Bouchala: Matematická aalýza, skripta VŠB-TU Ostrava, 998. [2] J. Bouchala: Fukce komplexí proměé, 20. [3] J. Brabec, F. Marta, Z. Rozeský: Matematická aalýza I, SNTL, Praha, 985. [4] B. Budiský, J. Charvát: Matematika I, SNTL, Praha, 987. [5] Z. Došlá, V. Novák: Nekoečé řady, skripta MU Bro, 998. [6] V. Jarík: Difereciálí počet (II), Academia, Praha, 976. [7] K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995. [8] J. Veselý: Matematická aalýza pro učitele, Matfyzpress, Praha, 997.

45 4 Rejstřík iterval kovergece mocié řady, 32 kovergece bodová, 22, 24 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22, 24 kritérium (eabsolutí) kovergece Abelovo, 9 Dirichletovo, 7 Leibizovo, 6 kritérium absolutí kovergece itegrálí, 4 limití odmociové (Cauchyho), 0 limití podílové (d Alembertovo), 8 limití Raabeovo, 3 odmociové (Cauchyho), 9 podílové (d Alembertovo), 7 Raabeovo, 2 srovávací, 5 kritérium stejoměré kovergece Abelovo, 27 Dirichletovo, 26 Weierstrassovo, 25 limita poslouposti fukcí bodová, 22 lokálě stejoměrá, 3 stejoměrá, 22 obor kovergece mocié řady, 34 poloměr kovergece mocié řady, 32 posloupost částečých součtů řady fukcí, 24 reálých fukcí, 22 částečých součtů řady, fukcí mootóí a možiě, 26 stejoměrě omezeá a možiě, 26 řada -tý čle, (reálých) čísel, (reálých) fukcí, 24 absolutě kovergetí, 5 alterující, 6 aritmetická, 2 divergetí, fukcí bodově kovergetí, 24 stejoměrě kovergetí, 24 geometrická, 2 harmoická, 2 komplexích čísel, 2 kovergetí, mociá, 30 iterval kovergece, 32 obor kovergece, 34 poloměr kovergece, 32 eabsolutě kovergetí, 5 posloupost částečých součtů, přerovaá, 20 součet, Taylorova, 37 zbytek, 20 součet řady, střed mocié řady, 30 střed Taylorovy řady, 37

46 42 Rejstřík Taylorova řada, 37 věta Abelova, 3, 36 Abelovo kritérium pro řady fukcí, 27 B C podmíka pro řady fukcí, 25 Bolzaova Cauchyho podmíka, 25 Diiho, 28 Dirichletovo kritérium pro řady fukcí, 26 o derivováí a itegrováí řady čle po čleu, 35 o kovergeci řady Abelovo kritérium, 9 Bolzaova Cauchyho podmíka, 3 Dirichletovo kritérium, 7 itegrálí kritérium, 4 Leibizovo kritérium, 6 limití odmociové (Cauchyho) kritérium, 0 limití podílové (d Alembertovo) kritérium, 8 limití Raabeovo kritérium, 3 utá podmíka, 3 odmociové (Cauchyho) kritérium, 9 podílové (d Alembertovo) kritérium, 7 Raabeovo kritérium, 2 srovávací kritérium, 5 o limitě mootóí poslouposti, 4 o výpočtu poloměru kovergece, 33 o záměosti limity a derivace, 30 o záměosti limity a itegrálu, 29 Weierstrassovo kritérium, 25 zbytek řady po -tém čleu, 20

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s.

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s. Základí údaje Vzik společosti 29.9.1997 Obchodí ázev HYDRA a.s. Sídlo: Na Zámecké 1518, 140 00 Praha 4 IČO/DIČ 25610562 / CZ25610562 Předmět podikáí Výroba kodezátorů Provozovy: Průmyslová 1110, Jičí Hradecká

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více