Metody ešení. Metody ešení

Transkript

1 Mtod šní z hldiska kvalit dosažného výsldku ) p ř sné mtod p ř ímé ř šní difrnciálních rovnic, většinou pro jdnoduché konstrukc nap ř. ř šní ohbu prutu p ř ímou intgrací ) p ř ibližné mtod náhrada hldané funkc nějakou aproximací, s ktrou s lép pracuj. Nap ř.: ř ř šní pomocí nkončných trigonomtrických ad (použij s končný počt člnů) difrnční mtoda, mtoda sítí (funkc j dfinována v diskrétních bodch, drivac funkc jsou vjád ř n pomocí hodnot v okolních bodch a vzdálností těchto bodů) Ritzova mtoda mtoda končných prvků Mtod šní vcházjí: p ř ímo z difrnciálních rovnic sstavných pomocí základních vztahů (statické, fzikální, gomtrické rovnic, pop ř. podmínk kompatibilit), nap ř.: ř ř šní pomocí nkončných ad mtoda sítí z nrgtických principů (vjád ř ní potnciální nrgi, pop ř. virtuální prác), nap ř.: Ritzova mtoda mtoda končných prvků

2 Mtod šní podl primárních nznámých a vužitých rovnic silová mtoda primární nznámé jsou silové vličin vnit ř ní síl nbo napětí vužijí s podmínk kompatibilit, fzikální a statické podmínk nap ř.: stěnová rovnic dformační mtoda primární nznámé jsou p ř místění vužijí s gomtrické, fzikální a statické rovnic nap ř.: dsková rovnic, ohbová čára prutu Mtod šní p ř íklad silové mtod odvozní stěnové rovnic výchozí rovnic: podmínka kompatibilit (), fzikální rovnic (3), statické rovnic () nznámé: dformac (3), napětí(3) výsldná stěnová rovnic F + F F + 0 kd F ( x, ) j tzv. Airho funkc napětí, z ktré lz p ř ímo oddrivovat složk vktoru napětí

3 Mtod šní p ř íklad dformační mtod odvozní ohbu prutu bz vlivu smku výchozí rovnic: statické rovnic () V q M V fzikální rovnic() M EIρ gomtrické podmínk () nznámé: vnit ř ní síl (V,M) dformac prů ř zu (ρ) p ř místění (w,φ) výsldná rovnic ohbové čár ϕ ρ w ϕ ( EIw ) q Mtod šní Kirchhofova tnká dska (bz vlivu smku) dformační mtoda měrné vnit ř ní síl dformac prů ř zu p ř místění podmínk statické podmínk gomtrické podmínk fzikální qx m x m q + mx + mx + + p 0 q x q x 0 0 m x, m, mx, qx, q ρ, ρ, ρ w x x m D [ ρ + νρx ] [ ρ + νρ ] Dosazní podmínk gomtrických. do fzikálních, fzikálních. do statických a druhé a t ř tí statické do první -> dsková rovnic w w w p + + D w ρ w ρx w ρx m m D x x x ( ν ) D ρx 3

4 Enrgtické princip Enrgtické princip princip virtuálních prací princip minima potnciální nrgi Enrgtické princip P ř tvárná prác vnějších sil prác, ktrou koná závaží na protažní táhla n ut F u i i 0 F( u) du Doplňková prác vnějších sil prác, ktrá j konána p ř i p ř souvání závaží na plošinu * n u F Ft i i 0 u( F) df linárně pružný matriál * Ft u + * t Ftu t

5 Enrgtické princip Dformační nrgi nrgi, ktrá s akumuluj v konstrukci p ř i jjí dformaci vlivm zatěžování konstrukc j schopna ji vdat zpět p ř i odtěžování odpovídá p ř tvárné práci vnějších sil Πi obcně pro tělso Πi pro prut Πi Πi { } T ε { σ } V ε N dx + γ V dx + EA ε dx + GAκ γ V dx + dv ρ M dx EI ρ M dx Enrgtické princip Mchanický sstém mchanický sstém konstrukc + zatížní Potnciální nrgi sstému změna clkové nrgi mchanického sstému vlivm zatěžování potnciální nrgi vnit ř ních sil nrgi akumulovaná v konstrukci (kladná) Πi potnciální nrgi vnějších sil ztráta poloh b ř mn (záporná) Π * F u ( + ) Clková potnciální nrgi Π Πi + Π Π * * ( + ) 5

6 Enrgtické princip Princip minima potnciální nrgi Z všch možných dformačních stavů pružného tělsa, ktré nporušují jho spojitost a rspktují vškré kinmatické okrajové podmínk nastan právě tn, p ř i němž j potnciální nrgi sstému minimální. Π min Varia ní mtod Variační mtod matmatické postup k hldání funkc udělující xtrém danému funkcionálu F funkcionál intgrál z oprátoru nad funkcmi a jjich drivacmi ( n) F (,,... ) dx f (x) l variac funkc infinitsimální změna clého pr ůběhu funkc p ř ípustná funkc funkc splňující okrajové podmínk variační mtoda p ř vádí úlohu o nalzní funkc udělující minimum funkcionálu F F xtrém na tvar δf 0 6

7 Varia ní mtod P ř ípad ohbu prutu funkcionál potnciální nrgi Π f ( w, w ) podmínka xtrému Π min hldaná funkc funkc pr ůhbu w(x) p ř ípustná funkc funkc splňující okrajové podmínk. Nap ř.: w(x) w x x l 0 0 Ritzova mtoda aproximac p ř místění n w( x) a i φ( x) i φ(x)... bázová funkc dfinovaná na clé oblasti konstrukc, splňuj okrajové podmínk a i... nznámé koficint: mají pouz matmatický význam dfinují váhu dané bázové funkc Bázové funkc - volí s omzný počt funkcí. - variační princip z nich vbr njlpší možné ř šní z hldiska minima potnciální nrgi - pokud j mzi zvolnými bázovými funkcmi správné ř šní, j variačním principm vbráno 7

8 Ritzova mtoda podmínka minima vjád ř ná Π min δπ 0 vjád ř ní variac parciální drivac podl všch proměnných paramtrů vd na soustavu rovnic Π a i 0 jjíž ř šním jsou nznámé koficint a i. T s zpětně dosadí do původní aproximac a získám rovnici p ř místění. n w( x) a i φ( x) i Mtoda kon ných prvk Aproximac p ř místění Rozdělní konstrukc na prvk a uzl Bázové funkc N i pat ř ící k jdnomu uzlovému paramtru jsou nnulové pouz na okolních prvcích k danému uzlu Uzlové paramtr mají konkrétní fzikální význam hodnota daného p ř místění v uzlu - p ř dstavují primární nznámé, pomocí ktrých s vš ostatní vjad ř uj Vjád ř ní p ř místění po oblasti prvku u( x) [ N]{ } 8

9 Mtoda kon ných prvk Vjád ř ní dformací z gomtrických podmínk { ε} [ ]{ u} [ ][ N]{ } [ B]{ } Vjád ř ní napětí z fzikálních podmínk { σ} [ D]{ ε} [ D][ B]{ } Vjád ř ní potnciální nrgi Πi Π T T T T { ε} { σ} dv { } [ B] [ D][ B] dv { } [ K ]{ } V T { } { F} i Π kd K... matic tuhosti T T Π Π + Π { } [ K ]{ } { } { F}... vktor uzlových paramtrů F... vktor uzlových sil V Mtoda kon ných prvk Vjád ř ní minima potnciální nrgi podl variačního principu [ K ]{ } { F} lz provést - pro každý prvk - pro clou konstrukci soustava s stává ř šitlnou po zavdní okrajových podmínk ř ř ř šním jsou uzlová p místění, pomocí ktrých s zpětně vjád í - p ř místění u - dformac ε - napětí (rsp. vnit ř ní síl) σ na jdnotlivých prvcích 9

10 Mtoda kon ných prvk [ K ]{ } { F} okrajové podmínk homognní, nhomognní dosazní p ř íslušného p ř místění do uzlového paramtru pružné vazb p ř idání tuhosti pružin do matic tuhosti konstrukc na pozici odpovídající dané síl a posunu zatížní prvkové (spojitá zatížní po oblasti prvku) p ř transformuj s do uzlů -> vktor zatížní prvku -> vktor zatížní konstrukc uzlové (osamělá b ř mna p ř ímo v uzlch) dosazují s p ř ímo do vktoru zatížní konstrukc Mtoda kon ných prvk Fáz výpočtu analýza prvku sstavní matic tuhostí prvků (dl gomtri, pr ů ř zových a matriálových charaktristik) sstavní vktorů zatížní prvků (dl zatížní po oblasti prvku) analýza konstrukc sstavní vktoru uzlových paramtrů konstrukc sstavní matic tuhosti konstrukc (z matic tuhostí jdnotlivých prvků) sstavní vktoru zatížní konstrukc (z vktorů zatížní prvků a z b ř mn působících v uzlch) zavdní okrajových podmínk ř šní soustav rovnic -> vktor uzlových paramtrů konstrukc, rakc dokonční analýz prvku sstavní vktoru uzlových paramtrů prvku (z vktoru uzlových paramtrů konstrukc) výpočt dformací (z gomtrických vztahů) výpočt napětí (z fzikálních vztahů) 0

11 Mtoda kon ných prvk dfinic úloh tp prvku dimnz úloh tvar prvku, uzl na prvku uzlové paramtr, kloub na prutch gomtri modlu dfinic uzlů (sou ř adnic) a prvků (dl uzlů) dfinic oblastí + automatické gnrování uzlů a prutů prů ř zové charaktristik + p ř i ř azní k prvkům číslně, z katalogu matriálové charaktristik + p ř i ř azní k prvkům číslně, z katalogu podp ř ní p ř dpsaná p ř místění uzlů, pružné vazb zatížní + kombinac zatěžovacích stavů uzlová, prvková Mtoda kon ných prvk Prvk a jjich stupně volnosti (uzlové paramtr) rovinná p ř íhradovina rovinný rám prostorová p ř íhradovina prostorový rám rošt

12 Mtoda kon ných prvk Prvk a jjich stupně volnosti (uzlové paramtr) stěnový prvk dskostěnový prvk prostorový prvk dskový prvk sko ř pinový prvk