Matematika Postupnosti

Transkript

1 Matematika 1-06 Postupnosti

2 Definícia: Nekonečnou postupnosťou reálnych čísel nazývame zobrazenie f: N R množiny prirodzených čísel N do množiny reálnych čísel R. Označenie: a n n=1 = a 1, a 2,, a n, Matematika

3 Spôsoby určenia postupnosti: Explicitne t. j. pomocou vyjadrenia člena a n postupnsti. Príklad: a n = n + 2 2n + 3 alebo n+2 2n+3 n=1 3 5, 4 7, 5 9, 6 11, 7 13,... Matematika

4 Matematika

5 Rekurentne t. j. vzorcom na výpočet člena a n pomocou člena a n 1 a zadaním člena a 1 Príklad: a n = 2a n 1 + 3, a 1 = 1 1, 5, 13, 29, 61,... Matematika

6 Opakovanie Definícia: Postupnosť sa nazýva aritmetická (AP) práve vtedy, keď rozdiel dvoch jej susedných členov je konštantný. Tento rozdiel sa nazýva diferencia a označovať ho budeme d. Vlastnosti AP a n+1 = a n + d, kde poznáme a 1 a n = a 1 + n 1 d pre dva ľubovoľné členy a r, a s AP platí: a r = a s + r s d pre súčet s n prvých n členov AP platí: s n = n 2 a 1 + a n Matematika

7 Opakovanie Definícia: Postupnosť sa nazýva geometrická (GP) práve vtedy, keď podiel dvoch jej susedných členov je konštantný. Tento podiel sa nazýva kvocient a označujeme ho q q 1. Vlastnosti GP a n+1 = a n. q, pričom poznáme a 1 a n = a 1 q n 1 pre dva ľubovoľné členy a r, a s GP platí: a r = a s q r s pre súčet s n prvých n členov GP platí: s n = a 1 q n 1 q 1, Matematika

8 Základné vlastnosti postupností Definícia: Postupnosť a n sa nazýva: a) rastúca, ak pre každé n N platí a n < a n+1, b) klesajúca, ak pre každé n N platí a n > a n+1, c) nerastúca, ak pre každé n N platí a n a n+1, d) neklesajúca, ak pre každé n N platí a n a n+1, Matematika

9 Definícia: Postupnosť a n n=1 sa nazýva: zhora ohraničená, ak existuje konštanta K, že pre každé n N platí a n K zdola ohraničená, ak existuje konštanta k, že pre každé n N platí a n k, ohraničená, ak je ohraničená zdola aj zhora. Matematika

10 Definícia: Nech je daná postupnosť a n n=1 a rastúca postupnosť prirodzených čísel k n n=1. Potom postupnosť a k1, a k2,, čiže nazývame vybranou postupnosťou z postupnosti a kn n=1 a n n=1. Matematika

11 Limita postupnosti Definícia: Budeme hovoriť, že číslo L je limitou postupnosti a n a písať lim a n = L ε > 0 n 0 N n N: n > n 0 a n L < ε. Definícia: Postupnosť, ktorá má limitu, sa nazýva konvergentná, ináč sa nazýva divergentná. Matematika

12 Základné vety o limite postupnosti a) Každá postupnosť má najviac jednu limitu b) Konvergentná postupnosť je ohraničená. c) Postupnosť vybraná z konvergentnej postupnosti a n n=1 je tiež konvergentná a má rovnakú limitu ako postupnosť a n n=1. Matematika

13 Veta: a) Ak postupnosť a n n=1 je neklesajúca a zhora ohraničená, potom je konvergentná. b) Ak postupnosť a n n=1 je nerastúca a zdola ohraničená, potom je konvergentná. Veta:(O limite troch postupností, o zovretí) Nech lim a n = A, lim c n = A a nech pre každé prirodzené číslo n platí a n b n c n. Potom aj lim b n = A Matematika

14 Veta: Ak lim a n = 0 a b n je ohraničená, potom lim a n. b n = 0. Veta: Nech lim a n = A, všetky jej členy platí a n < b n. lim b n = B. Ak A < B, tak pre skoro Veta: Nech lim a n = A, skoro všetky členy, tak A B. lim b n = B. Ak platí a n b n pre Matematika

15 Veta (o operáciách s limitami): Nech lim a n = A, lim b n = B. Potom platí: a) lim a n + b n = A + B b) lim a n b n = A B c) lim a n. b n = A. B d) lim c. a n = c. lim a n = c. A a e) lim n = A (za podmienky B 0, b b n B n 0) Matematika

16 Veta: (Bolzano-Weierstrass) Z každej ohraničenej postupnosti sa dá vybrať konvergentná postupnosť. Veta: (Bolzano-Cauchy) Postupnosť a n je konvergentná práve vtedy, keď spĺňa tzv. Bolzano-Cauchyovu podmienku ε > 0 p N n, m N: n > p m > p a n a m < ε. Matematika

17 Príklad: lim 1 n =0 1,2 a n =1/n 1 0,8 0,6 0,4 0, Matematika

18 Definícia: Nevlastná limita Budeme hovoriť, že postupnosť a n n=1 má nevlastnú limitu plus nekonečno a písať lim a n = práve vtedy, keď pre každé reálne číslo A existuje prirodzené číslo n 0 také, že pre všetky prirodzené n > n 0 platí a n > A. Definícia: Budeme hovoriť, že postupnosť a n má nevlastnú limitu mínus nekonečno a písať lim a n = práve vtedy, keď A R n 0 N n N: n > n 0 a n < A. Matematika

19 Veta: Nech lim a n = a postupnosť b n je ohraničená. Potom lim a n + b n =. Symbolické operácie pre + a : a) a + = + a = b) + = c) a = + a = d) = e) a. =. a =, pre a > 0 f) a. =. a =, pre a < 0 g). =,. = h). =. = a i) = a = 0 Matematika

20 Definícia: Limitu postupnosti a n = Eulerovo číslo t. j. lim n n označujeme e a nazývame n n = e 2, Matematika

21 Veta: Nech n N je a n 0 a lim lim a n a n = e. a n =. Potom Matematika

22 Dovidenia za týždeň Matematika