Keith Devlin: Jazyk matematiky 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Keith Devlin: Jazyk matematiky 1"

Transkript

1 Keith Devlin: Jazyk matematiky 1 Keith Devlin Jazyk matematiky Jak zviditelnit neviditelné Argo a Dokořán, Praha, 2002 preklad: Jan Švábenický 11 V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí: matematika je vědou o strukturách. 13 Současné matematické knihy se zdají být symboly přímo zahlceny, ale matematický znak ještě není sám o sobě matematikou, tak jako notový part ještě není hudbou (...). Notový list hudbu jen zapisuje; ovšem samotnou melodii uslyšíme, aˇz kdyˇz ji podle not zazpíváme nebo přehrajeme na hudebním nástroji. Teprve během představení hudba oˇzije a my ji můˇzeme proˇzít. Hudba nevzniká okamˇzikem notového zápisu, ale teprve ve chvíli, kdy pronikne do naší mysli. Totéˇz platí pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhými zástupnými znaky. Pokud se však dostanou do rukou vnímavému čtenáři, jako by obˇzivly. Matematika pak ˇzije a dýchá v jeho mysli jako nějaká abstraktní symfonie. 16 Vysoká úroveň abstrakce v matematice a z toho plynoucí nutnost pouˇzívat symbolické zápisy bohuˇzel znamená, ˇze mnohé oblasti zůstanou laikům navˇzdy nedostupné. Dokonce i ty přístupnější části, popsané v populárně naučných knihách, jakou je i tato, skrývají před laikem většinu své vnitřní krásy. Proto by se měl kaˇzdý, kdo byl obdařen schopností vnímat a ocenit vnitřní krásu matematiky, snaˇzit alespoň něco z její čistoty a elegance předat ostatním. 22 (...) Pojem abstraktního čísla si musí člověk osvojit postupně. Malé děti jej zřejmě začnou chápat ve chvíli, kdy se naučí počítat. Názor, ˇze pojem čísla není vrozený, potvrzují studie kultur, které se vyvíjely izolovaně od moderní společnosti. Když chce například příslušník kmene Vedda ze Srí Lanky spočítat kokosové ořechy, vezme nejprve několik hůlek a ke každému ořechu položí jednu. Pokaždé, když přidává další, řekne: To je jeden.. Ale jestliže se ho zeptáme, kolik vlastní ořechů, jednoduše ukáže na hromadu hůlek a řekne: Tolik.. Tento početní systém má ale k abstraktním číslům daleko; domorodec počítá v pojmech zcela konkrétních hůlek. Veddové pouˇzívají početní systém, který byl objeven jiˇz na úsvitu lidského věku. Jeden soubor předmětů řekněme hůlek nebo oblázků slouží k určení počtu prvků jiného souboru tak, že se hůlky či oblázky spárují s předměty, které je třeba spočítat. 24 (...) V období rozvoje státní byrokracie od roku 3300 př. n. l. do 3250 př. n. l. byly hliněné ˇzetony uchovávány dvěma běˇznými způsoby. Označené ˇzetony se proděravěly, navlékly na šňůrku a navázaly do obdélníkového hliněného rámečku, na němˇz bylo vyznačeno mnoˇzství a druh ˇzetonů. Jednoduché ˇzetony se ukládaly do hliněných nádob dutých koulí o průměru 5 aˇz 7 centimetrů, které byly označeny počtem vloˇzených ˇzetonů a poté zapečetěny. Jak rámečky s navázanými ˇzetony, tak zapečetěná pouzdra slouˇzily k účetním záznamům. Zapečetěná hliněná pouzdra měla jednu zřejmou nevýhodu kdyˇz někdo chtěl prozkoumat jejich obsah, musel pečet porušit. Sumerští účetní proto začali na nádoby ještě před jejich uzavřením vyrývat symbolické značky. Tím se samotné ˇzetony staly nadbytečnými, protoˇze se všechny poˇzadované informace nacházely na vnější straně pouzder. A tak během několika následujících generací ˇzetony zmizely ze světa úplně. Nakonec se začaly pouˇzívat hliněné tabulky s vyrytými symboly. V dnešní terminologii bychom mohli říci, ˇze sumerští účetní nahradili fyzická počítadla psanými číslicemi. Z historického pohledu na vývoj poznání je zajímavé, ˇze Sumerové nepřikročili k označování mnoˇzství na jediné tabulce okamˇzitě, ale poměrně dlouho pouˇzívali označená pouzdra s jiˇz nadbytečnými ˇzetony. Původní ˇzetony vyjadřovaly mnoˇzství zrní, počet ovcí atd., zatímco symbolické znaky na povrchu pouzder nepředstavovaly konkrétní mnoˇzství reálných objektů, ale reprezentovaly počet a typ vloˇzených ˇzetonů. Sumerům trvalo velmi dlouho, neˇz pochopili, ˇze jsou ˇzetony pro vyjádření určitého mnoˇzství v podstatě nadbytečné. Proto můˇzeme povaˇzovat přechod od

2 Keith Devlin: Jazyk matematiky 2 fyzických prostředků k abstraktním symbolům za skutečný pokrok v poznání. Samozřejmě že symbolické vyjádření množství obilí ještě neznamenalo úplné osvojení pojmu čísla tak, jak jej chápeme dnes, kdy na čísla pohlížíme jako na věci či abstraktní předměty. Kdy přesně učinilo lidstvo tento krok, nevíme, stejně tak jako nezjistíme přesně na den, kdy se malé dítě naučilo počítat. Jisté ovšem je, ˇze jakmile sumerská společnost přestala uˇzívat pro vyjádření určitého počtu fyzické předměty, začala se opírat o takové pojmy jako jednonásobek, dvojnásobek nebo trojnásobek, jejichˇz symboly zaznamenávala na tabulkách. 70 Převedením logických struktur do algebraického jazyka se nic podstatného nezmění. Ale co se opravdu změní, je způsob, jakým o těchto strukturách uvaˇzujeme. To, co je v jedné oblasti nepřirozené a těˇzko zvládnutelné, se můˇze jinde jevit jako snadné a přirozené. Nejenom v matematice, ale i v ˇzivotě není často podstatné, co říkáme, ale to, jak to říkáme. 78 Vývoj predikátové logiky poskytl matematikům formální prostředky k zachycení struktur matematického důkazu. Neznamená to však, že je nutné otrocky lpět na pravidlech predikátové logiky. Nikdo netrvá na tom, aby se matematická tvrzení vyjadřovala v predikátové logice nebo aby byly všechny důkazy formulovány pomocí pravidla modus ponens a dedukčních pravidel s kvantifikátory. Kdyby se mělo takto postupovat, pak by se jednalo kromě nejjednodušších důkazů o nesmírně namáhavou práci a výslednému důkazu bychom téměř nerozuměli. Nicméně detailním rozborem struktury predikátové logiky si matematici lépe osvojili koncepci formálního důkazu a navíc se ujistili, ˇze disponují spolehlivými prostředky ke stanovení matematické pravdy. To se ukázalo díky vývoji v jiných oblastech matematiky jako neobyčejně důleˇzité. 79 V matematice se pravdivost neověřuje experimentem, většinovou volbou ani diktátem, i kdyby byl diktátor nejuznávanějším matematikem na světě. Matematická pravda je dána důkazem. 82 (...) Kdykoli stanovíme nějakou množinu axiomů, obvykle se najde více než jedna soustava objektů, která by dané axiomy splňovala. 83 Matematikům nevadí, je-li jejich práce povaˇzovaná za hru, ale popudí je, jestliˇze ji někdo pokládá za nesmyslnou hru. Historie civilizace jim dává za pravdu pro výsledky matematických výzkumů se většinou najde uplatnění více neˇz dost. 84 (...) Posun směrem k vyšší a vyšší abstrakci za posledních asi sto let se netýkal jen matematiky. Ke stejnému vývoji došlo v literatuře, hudbě, malířství či sochařství, a tak i uměleckým dílům často porozumí jen jejich tvůrce. 93 Teorie modelů, kterou vytvořil především americký matematik polského původu Alfred Tarski, zkoumá v matematické struktuře vztah mezi pravdivostí a tvrzením. Věta o teorii modelů popisuje závěry, (...) ˇze jakýkoli axiomatický systém můˇze být pravdivý pro více neˇz jednu strukturu. V 50. letech 20. století pouˇzil americký logik a odborník na aplikovanou matematiku Abraham Robinson postupy teorie modelů k vypracování teorie infinitezimálních veličin (nekonečně malých veličin), a tím ukázal, jak dojít ke zcela odlišnému a v mnoha ohledech dokonalejšímu diferenciálnímu počtu (...). Do teorie množin vneslo nový impuls pouˇzití technik teorie modelů na Zermelovu-Fraenkelovu teorii. Podstatný zlom přišel v roce 1963, kdy mladý americký matematik Paul Cohen nalezl způsob, jak jednoznačně dokázat, ˇze je určitý matematický výrok nerozhodnutelný přesněji řečeno, ˇze u daného výroků nemůˇzeme na základě Zermelových-Fríenkelových axiomů dokázat ani jeho pravdivost, ani nepravdivost. Tento objev měl daleko širší dosah neˇz Gödelova věta, která neříká více neˇz to, ˇze v jakémkoli axiomatickém systému (tedy i v Zermelově-Fraenkelově teorii mnoˇzin) nerozhodnutelná tvrzení existují. Cohenův postup umoˇznil nerozhodnutelnost určitého tvrzení přímo dokázat. Sám Cohen pouˇzil tuto metodu při formulaci hypotézy kontinua, velmi známého problému, který předloˇzil v roce 1900 Hilbert. Cohen ukázal, ˇze hypotéza kontinua je nerozhodnutelná. Ve 30. letech se objevuje teorie vyčíslitelnosti. K rozvoji tohoto oboru významně přispěl sám Gödel. Z dnešního hlediska je zajímavé vrátit se k pojmu vyčíslitelnost, který byl definován asi dvacet let před zavedením prvního skutečného počítače a padesát let před nástupem osobních počítačů. Vůdčí osobností tohoto oboru byl anglický matematik a logik Alan Turing, jenˇz vytvořil teorii abstraktního univerzálního počítače tzv. Turingova stroje, který by byl schopen

3 Keith Devlin: Jazyk matematiky 3 provádět běžné aritmetické operace. Krátce poté americký logik Stephen Cole Kleene přišel s další abstraktní teorií, která dokazovala, že program pro takovýto stroj není podstatně odlišný od samotných dat, která stroj zpracovává. Všechny tyto oblasti matematické logiky měly společný charakter byly skutečně matematické. Matematika nebyla jen nástrojem zkoumání, ale i samým předmětem výzkumu. (...) 102 Je zajímavé, ˇze v době, kdy mnozí lidé prohlašují, ˇze na matematiku nemají buňky, lingvisté a statistici dokládají, ˇze řeč sama obsahuje matematické struktury, aniˇz bychom si to běˇzně uvědomovali. 102 Matematika není jenom jazykem vesmíru, jak tvrdil Galilei, ale můˇze nám pomoci, abychom pochopili sami sebe. 110 Zenonova hádanka je skutečným paradoxem jedině tehdy, pokud předpokládáme, že nekonečná řada musí mít také nekonečný součet. 135 Základní věta diferenciálního a integrálního počtu je zářným příkladem obrovského přínosu, který pramení z hledání hlubšího, obecnějšího a abstraktnějšího modelu. 142 Matematici totiž nikdy nezavrhnou krásnou matematiku, i když popírá všechny jejich dosavadní zkušenosti musí být ovšem postavena na pevných základech. 160 Na první pohled vypadají tři kuˇzelosečky jako zcela rozdílné typy křivek: jedna tvoří uzavřenou smyčku, druhá jednoduchý oblouk a třetí se skládá ze dvou oddělených částí. Teprve když vidíme, jak vznikají řezem dvojitého kužele, uvědomíme si, že všechny mají cosi společného společnou strukturu. Abychom tuto strukturu objevili, musíme vstoupit do vyšší dimenze. Všechny tři kuželosečky leží v dvojrozměrné rovině, zatímco sjednocující struktura je trojrozměrná. 167 Stojí za povšimnutí, že na každé řešení [tří problémů antické geometrie] se přišlo teprve tehdy, když byl původně čistě geometrický problém přeloˇzen do algebry, coˇz umoˇznilo jeho zkoumání jinými metodami. V původní formulaci se tyto tři problémy týkaly struktur (posloupností) geometrických konstrukcí za pouˇzití určitých nástrojů. Jejich konečné řešení spočívalo v transformaci problémů do ekvivalentních algebraických struktur. 176 Zvláště fascinující je, ˇze Einsteinova teorie relativity a astronomická pozorování, která prokázala její nadřazenost nad Newtonovou teorií, se objevily více neˇz půl století po objevu neeukleidovské geometrie. I tato skutečnost dobře ilustruje, jak vývoj matematiky předbíhá poznání našeho světa. První abstrakce geometrických modelů, odvozené z pozorování vnějšího světa, přivedly Řeky k vývoji bohaté matematické teorie eukleidovské geometrie. Během 19. století vedly čistě matematické otázky, které se týkaly axiomů a potřebných důkazů, k objevení dalších geometrických teorií. Původně se zdálo, ˇze tyto alternativní geometrie jsou čistě abstraktními axiomatickými teoriemi, které zdánlivě nemají ˇzádné uplatnění ve skutečném světě. Později se však ukázalo, ˇze pro studium vesmíru s jeho obrovskými dimenzemi jsou daleko vhodnější než eukleidovská geometrie. 185 David Hilbert Stejně tak by platilo, kdyby slova bod a přímka byla nahrazena slovy pivní džbánek a stůl a slovní spojení ležet na přímce a protínat se v jediném bodě by vystřídaly výrazy stát na stejném stole a být pod stejným pivním džbánkem. 190 Dokonce i velmi zkušený matematik se těžko orientuje ve zdlouhavých algebraických postupech, ale každý z nás si v duchu snadno představí obrazy a tvary. Této základní lidské schopnosti vyuˇzíváme, kdyˇz převádíme sloˇzité problémy do oblasti geometrie. 220 Čtenáře, kteří si již zvykli na stále se objevující různé numerické struktury za zdánlivě nesouvisejících okolností, asi mnoho nepřekvapí, ˇze číslo zlatého řezu φ (přibliˇzně 1, 618) se objevuje i (...) [u Penrosova dláˇzdění]. Mají-li všechny strany obou kosočtverců (...) délku 1, pak delší úhlopříčka v kosočtverci na levé straně má délku φ a kratší úhlopříčka v druhém kosočtverci má délku 1/φ. Jestliˇze je celá rovina vydláˇzděna těmito dvěma obrazci, pak poměr počtu širších dlaˇzdic ku počtu zkosenějších dlaˇzdic vyjádřený limitou je právě φ.

4 Keith Devlin: Jazyk matematiky Odborníci na krystalografii si povšimli, ˇze určitá slitina manganu a hliníku má molekulární strukturu, která se vyznačuje lokální pětinásobnou symetrií. Protoˇze krystalová mříˇzka má jen jednonásobnou, dvojnásobnou, trojnásobnou, čtyřnásobnou nebo šestinásobnou symetrii, nemohla být slitina krystalem v obvyklém slova smyslu. Odtud tedy pochází nový pojem kvazikrystal. Obecně je kvazikrystal sloučenina, která sice nemá pravidelnou mřížkovou strukturu obyčejných krystalů, nicméně její atomy jsou velmi organizovaně uspořádány způsobem, který se vyznačuje lokální symetrií. Zda je struktura libovolného kvazikrystalu strukturou Penrosova dláˇzdění, není známo, protoˇze studium kvazikrystalu je dosud v plenkách a závěry nejsou zatím jednoznačné. Fakt, ˇze rovina můˇze být vyplněna vysoce pravidelným, a přesto nemříˇzkovým stylem vyznačujícím se lokální pětinásobnou symetrií, nabízí matematický rámec, který poslouˇzí jako východisko pro porozumění těmto novým materiálům. Nakonec jsme tedy došli k dalšímu příkladu zdánlivě neuˇzitečného vývoje v čisté matematice, na který navazuje praktická aplikace. 223 Proslulá mapa londýnského metra (...) vznikla v roce Jejím autorem byl devětadvacetiletý projektant Henry C. Beck, který příleˇzitostně pracoval pro londýnské metro. Stálo ho dva roky nepřetrˇzitého úsilí, neˇz se mu podařilo přesvědčit nadřízené, aby alespoň na zkoušku vydali nyní všeobecně známý plán sítě jednotlivých tras. I tak vydalo oddělení pro veřejnost mapu jen v malém nákladu zodpovědní úředníci se totiž obávali, že mapa je tak nepřesná, že jí většina cestujících nebude rozumět. Mýlili se. Lidé si mapu přímo zamilovali a po roce užívání byla její zvětšená verze umístěna ve všech stanicích metra. Každý cestující se v tomto ryze topologickém znázornění sítě londýnského metra snadno zorientoval bez jakéhokoli návodu a vysvětlivek, a navíc si většina lidí okamžitě uvědomila výhody tohoto zpracování před klasickým geometrickým zobrazením. 250 Studium uzlů je klasickým případem matematického přístupu k nové oblasti studia. Nejprve se zkoumá určitý jev zde je to způsob, jakým je uzel uvázán. Potom matematici oddělí od zkoumaného pojmu všechny nepodstatné věci, které nemají pro další studium význam, a formulují exaktní definice důležitých pojmů. V tomto případě jsou podstatnými pojmy uzel a uzlová ekvivalence. Další krok spočívá v nalezení způsobu, jak popsat a analyzovat různé druhy uzlů různé uzlové struktury. 268 Matematika je jediná věda, v níž teorie formulované v 17. století na základě poznatků starověkých Řeků mají dodnes stejnou platnost, jakou se vyznačovaly již dříve. Matematika je jedinečná v tom, že během svého vývoje nezpochybňuje již dokázané teorie, ale naopak na nich staví. Od Pythagorovy věty a Diofantovy Aritmetiky vede dlouhá cesta aˇz k Fermatově odkazu a k dnešní bohaté a významné teorii završené Wilesovým konečným důkazem. K tomuto vývoji přispělo mnoho skvělých matematiků. Žili a ˇzijí po celém světě, hovořili a hovoří rozmanitými jazyky. Většina z nich se nikdy nesetkala ani nesetká. To, co je spojuje, je láska k matematice. Navzájem si pomáhají a nové generace matematiků přijímají a dále rozpracovávají myšlenky svých předchůdců. Ačkoli je rozděluje čas, prostor i kultura, všichni se účastní tohoto jedinečného závodu. V tomto směru snad matematika slouˇzí jako příklad celému lidstvu. 270 V čistě náhodné události, kterou posuzujeme izolovaně, ˇzádnou pravidelnost nenajdeme. Abychom nalezli v náhodě nějaký řád, tj. objevili její matematickou strukturu, musíme zkoumat děj, který se mnohokrát opakuje. 276 Tabulky pravděpodobné délky života se koncipují prostřednictvím statistického průzkumu obyvatelstva. První takový průzkum provedl v Londýně roku 1662 obchodník John Graunt. Detailně analyzoval počty narozených a zemřelých obyvatel Londýna v letech a své výsledky publikoval v knize Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality (Přirozené a politické postřehy odvozené z týdenního seznamu zemřelých). Hlavním zdrojem, z nějˇz čerpal informace, byl seznam zemřelých nazvaný Bills of Mortality, který město Londýn začalo shromaˇzd ovat od roku V seznamu zemřelých se po jednotlivých týdnech uváděla všechna hlášená úmrtí ve městě včetně jejich příčin. Seznam byl doplněn o počet pokřtěných dětí. Speciální pozornost věnoval Graunt příčinám úmrtí, mezi nimiˇz převládal mor, který v té době zuřil v celé Evropě. Obyvatele dnešního Londýna by asi překvapilo, ˇze během celého roku 1632, který Graunt také analyzoval, došlo ve městě pouze k sedmi vraˇzdám. V témˇze roce dle Graunta zapříčinilo smrt 1 pokousání vzteklým psem a 1 úlek. Není známo, co vedlo Graunta k jeho výzkumu. Mohlo jít jenom o intelektuální zvídavost. Ve svém díle uvádí, ˇze v analýze opomíjeného týdenního seznamu zemřelých nacházel velké potěšení proto, ˇze přicházel na různé záhadné a neočekávané spojitosti. Na druhé straně se zdá, ˇze sledoval také obchodničil. Píše totiˇz, ˇze mu průzkum umoˇznil

5 Keith Devlin: Jazyk matematiky 5... poznat, kolik zde žilo lidí obou pohlaví, věku, státní příslušnosti, náboženství, postavení a podobně, což by bylo užitečné i pro obchodníky a vládu. Kdyby byly známy počty uvedených lidí, mohla by se odhadnout jejich spotřeba a obchodníci by pak mohli tomu přizpůsobit svou nabídku.. At jiˇz byla jeho motivace jakákoli, stala se Grauntova práce jedním z prvních případů moderního statistického sběru dat a průzkumu trhu. 280 finančný expert Fischer Black Burziáni z Wall Street dobře vědí, ˇze se trh nechová zdaleka tak ideálně, jak se domnívají teoretici z univerzit. 283 Daniel Bernoulli Užitek vyplývající z malého nárůstu bohatství je nepřímo úměrný množství již dříve vlastněného majetku. 286 Uvědomme si, že o muži, který má hlavu v rozpálené troubě a nohy v ledničce, by se dalo říci, že se v průměru cítí dobře. Přesto by asi nikdo z nás nechtěl být na jeho místě vysoká směrodatná odchylka vylučuje pocit tepelné pohody. 299 Přes veškeré technické vymoženosti druhé poloviny 20. století se málokdo dokáže za jasné noci zahledět na oblohu, plnou zářících hvězd, bez jistého záchvěvu bázně. Přestože víme, že jasně blikající světla, která vidíme, jsou přírodními nukleárními reaktory stejnými jako naše Slunce, nijak to nesnižuje náš dojem z tohoto velkolepého představení. Pokud si navíc uvědomíme, ˇze světlo z mnohých hvězd k nám letělo miliony let, náš dojem z neomezené velikosti vesmíru se ještě znásobí. 302 (...) Heliocentrický model se ukazuje jako vhodnější, protože jeho matematický základ je mnohem jednodušší než u geocentrického modelu. Koperníkovská revoluce se trvale zapsala do matematické historie mimo jiné proto, že poprvé v dějinách převážilo prosté matematické vysvětlení nad tím, co vidíme na vlastní oči. 303 Matematický vzorec spojuje dvě nebo více (...) číselných veličin, čímˇz vytváří určitý popis zkoumaného jevu, ale nevysvětluje podstatu ani neodkrývá jeho příčiny. 311 (...) Musíme si připomenout, ˇze se při práci s Maxwellovými rovnicemi pohybujeme v galileovském matematickém světě, který jsme si sami vytvořili. Vztahy mezi různými matematickými veličinami se v našich rovnicích (jestliˇze jsme věci navrhli správně) shodují s odpovídajícími vlastnostmi skutečných jevů, které zkoumáme. Matematika nám tedy podává neobyčejně uˇzitečný popis, ale neposkytuje pravdivé vysvětlení. 330 Ve skutečnosti vlastně ani nemá smysl se ptát, zda je nějaká vědecká teorie správná. Člověk se můˇze pouze zamýšlet nad tím, jestli teorie odpovídá pozorováním a zda poskytuje přesnější odpověd neˇz kterákoli jiná teorie. 336 Kompaktnost je vlastnost topologických prostorů a znamená, že jestliže každý bod prostoru nám poskytuje informace o svém bezprostředním okolí, pak získáme informaci o celém prostoru propojením jednotlivých informací, jež získáme z konečného počtu bodů. 337 Matematické studium kaˇzdého jevu úzce souvisí se studiem jevu jiného. Na začátku provedeme zjednodušení, při kterém pojmenujeme a osamostatníme klíčové pojmy. Ty jsou pak analyzovány do větší a větší hloubky, přitom objevujeme a zkoumáme příslušné struktury a snažíme se stanovit výchozí axiomy. Úroveň abstrakce se zvyšuje. Formulujeme hypotézy, jejichž pravdivost se snažíme dokázat. Odkrývá se spojení s jinými oblastmi matematiky. Teorie je zobecňována, což vede k odhalení dalších souvislostí, které nás přivádějí k jiným matematickým oborům. Stano Krajči, typeset by LATEX

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Co je to matematika? vod. Nejsou to pouze ËÌsla

Co je to matematika? vod. Nejsou to pouze ËÌsla vod Co je to matematika? Nejsou to pouze ËÌsla Co je to matematika? Položíme-li tuto otázku náhodnému kolemjdoucímu, uslyšíme pravděpodobně následující odpově : Matematika to jsou počty. Když ho budeme

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

1.3. Cíle vzdělávání v oblasti citů, postojů, hodnot a preferencí

1.3. Cíle vzdělávání v oblasti citů, postojů, hodnot a preferencí 1. Pojetí vyučovacího předmětu 1.1. Obecný cíl vyučovacího předmětu Základním cílem předmětu Matematický seminář je navázat na získané znalosti a dovednosti v matematickém vzdělávání a co nejefektivněji

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly a algoritmů matematického aparátu Vyjádří a zapíše část celku. Znázorňuje zlomky na číselné ose, převádí zlomky na des. čísla a naopak. Zapisuje nepravé zlomky ve tvaru smíšeného čísla. ZLOMKY Pojem zlomku,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Vesmír je souhrnné označení veškeré hmoty, energie

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

STATISTIKA jako vědní obor

STATISTIKA jako vědní obor STATISTIKA jako vědní obor Cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů. Statistika se zabývá popisem hromadných jevů - deskriptivní, popisná statistika

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Architektura počítačů

Architektura počítačů Architektura počítačů Studijní materiál pro předmět Architektury počítačů Ing. Petr Olivka katedra informatiky FEI VŠB-TU Ostrava email: petr.olivka@vsb.cz Ostrava, 2010 1 1 Architektura počítačů Pojem

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Role experimentu ve vědecké metodě

Role experimentu ve vědecké metodě Role experimentu ve vědecké metodě Erika Mechlová Ostravská univerzita v Ostravě Obsah Úvod 1. Pozorování 2. Uvedení a formulace problému. Sbírání informací 3. Stanovení hypotéz řešení problému 4. Provedení

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 2. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematická analýza I (KMD/MANA1)...2 Úvod do teorie množin (KMD/TMNZI)...4 Algebra 2 (KMD/ALGE2)...6 Konstruktivní geometrie

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

Časové a organizační vymezení

Časové a organizační vymezení Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Vyučovací předmět Týdenní hodinové dotace Časové a organizační vymezení Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Matematika 1. stupeň 2. stupeň 1. ročník

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

"Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110)

Zajisté, odvětí strážce. (Str. 110) "Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110) Kapitola 17 Normální rozdělení Nejdůležitější pravděpodobnostní rozdělení se nazývá normální či Gaussovo. Má zajímavou historii. To druhé jméno dostalo na počest slavného

Více

Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová

Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová Tematický plán učiva Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová 1. Používá čtení a psaní v číselném oboru 0 1 000 000. 2. Rozumí lineárnímu uspořádání

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Matematická témata matematický seminář A

Matematická témata matematický seminář A Vzdělávací oblast: ČLOVĚK A PŘÍRODA Vyučovací předmět: Matematický seminář A rozšiřující učivo Matematický seminář B procvičování základního učiva Ročník: 6. až 9. Cílová skupina: skupina žáků složená

Více

Projekt výzkumu v graduační práci

Projekt výzkumu v graduační práci Projekt výzkumu v graduační práci Základní manuál Prof. PhDr. Beáta Krahulcová, CSc. Fáze výzkumu Přípravná, teoretická fáze (výsledek kumulovaného poznání,precizace výzkumného úkolu, formulace vědecké

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika

Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika Podmínky pro hodnocení žáka v předmětu matematika Společné ustanovení pro všechny třídy čtyřletého studia a 5. až 8. ročníku osmiletého studia: Žákům bude vyučujícími umožněno doplnit chybějící klasifikaci

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY

FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY Filosofie.. Vznik v antickém Řecku - KRITICKÉ, SAMOSTATNÉ myšlení - V SOUVISLOSTECH - sobě vlastní otázky, které neřeší speciální vědy - člověk ve VZTAHU k přírodě, společnosti

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 7. 1. 2013 Pořadové číslo 10 1 Astronomie Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

Testování hypotéz a jeho metodika 2 Jasnovidec?... 4 Pojmy... 6 Postup... 7 Chyby... 8

Testování hypotéz a jeho metodika 2 Jasnovidec?... 4 Pojmy... 6 Postup... 7 Chyby... 8 Testování hypotéz Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

Základní škola a Mateřská škola Třemešná 793 82 Třemešná 341 tel: 554 652 218 IČ: 00852538

Základní škola a Mateřská škola Třemešná 793 82 Třemešná 341 tel: 554 652 218 IČ: 00852538 Jazyk a jazyková komunikace Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Český jazyk a literatura má komplexní charakter a pro přehlednost je rozdělen do tří složek: Komunikační

Více

Rychlost světla. Kapitola 2

Rychlost světla. Kapitola 2 Kapitola 2 Rychlost světla Michael Faraday, syn yorkshirského kováře, se narodil v jižním Londýně roku 1791. Byl samoukem, který školu opustil ve čtrnácti, aby se stal učněm u knihaře. Zajistit si vstup

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Výbor textů k moderní logice

Výbor textů k moderní logice Mezi filosofií a matematikou 5 Logika 20. století: mezi filosofií a matematikou Výbor textů k moderní logice K vydání připravil a úvodními slovy opatřil Jaroslav Peregrin 2006 Mezi filosofií a matematikou

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Příprava podkladů pro přihlášku vynálezu / užitného vzoru, proces přípravy a podání přihlášky

Příprava podkladů pro přihlášku vynálezu / užitného vzoru, proces přípravy a podání přihlášky Příprava podkladů pro přihlášku vynálezu / užitného vzoru, proces přípravy a podání přihlášky Ing. Jiří Sedlák Patentový zástupce Evropský patentový zástupce Soudní znalec v oboru patenty a vynálezy 2006

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ

RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ RENESANCE A OSVÍCENSTVÍ pracovní list Mgr. Michaela Holubová Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Michaela Holubová. RENESANCE A VĚK ROZUMU Renesance kulturní znovuzrození

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Písemná komunikace. PhDr. Libuše Machačová Vědecká knihovna v Olomouci

Písemná komunikace. PhDr. Libuše Machačová Vědecká knihovna v Olomouci Písemná komunikace PhDr. Libuše Machačová Vědecká knihovna v Olomouci Písemná komunikace - 1 Komunikační proces probíhající ve společnosti písemné dorozumívání mezi lidmi. Budeme se zabývat především písemnou

Více

Znalostní báze pro obor organizace informací a znalostí

Znalostní báze pro obor organizace informací a znalostí Znalostní báze pro obor organizace informací a znalostí Představení projektu Programu aplikovaného výzkumu a vývoje národní a kulturní identity (NAKI) DF13P01OVV013 2013 2015 Helena Kučerová ÚISK FF UK

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Redukcionismus a atomismus

Redukcionismus a atomismus Redukcionismus a atomismus ČVUT FEL Filosofie 2 Filip Pivarči pivarfil@fel.cvut.cz Co nás čeká? Co je to redukcionismus Směry redukcionismu Redukcionismus v různých odvětvých vědy Co je to atomismus Směry

Více

Matematika-průřezová témata 6. ročník

Matematika-průřezová témata 6. ročník Matematika-průřezová témata 6. ročník OSV 1: OSV 2 žák umí správně zapsat desetinnou čárku, orientuje se na číselné ose celých čísel, dovede rozpoznat základní geometrické tvary a tělesa, žák správně používá

Více

Posudek oponenta diplomové práce

Posudek oponenta diplomové práce Katedra: Religionistiky Akademický rok: 2012/2013 Posudek oponenta diplomové práce Pro: Studijní program: Studijní obor: Název tématu: Pavlu Voňkovou Filosofie Religionistika Křesťansko-muslimské vztahy

Více

OBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD 16 0.1 Základní pojmy... 18 0.1.1 Formální systémy... 18 0.1.2 Jazyk a metajazyk... 20 0.1.3 Bezesporné aneb konzistentní teorie... 21 0.1.4 Neúplné teorie...

Více

Jak je důležité být fuzzy

Jak je důležité být fuzzy 100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více