Keith Devlin: Jazyk matematiky 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Keith Devlin: Jazyk matematiky 1"

Transkript

1 Keith Devlin: Jazyk matematiky 1 Keith Devlin Jazyk matematiky Jak zviditelnit neviditelné Argo a Dokořán, Praha, 2002 preklad: Jan Švábenický 11 V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí: matematika je vědou o strukturách. 13 Současné matematické knihy se zdají být symboly přímo zahlceny, ale matematický znak ještě není sám o sobě matematikou, tak jako notový part ještě není hudbou (...). Notový list hudbu jen zapisuje; ovšem samotnou melodii uslyšíme, aˇz kdyˇz ji podle not zazpíváme nebo přehrajeme na hudebním nástroji. Teprve během představení hudba oˇzije a my ji můˇzeme proˇzít. Hudba nevzniká okamˇzikem notového zápisu, ale teprve ve chvíli, kdy pronikne do naší mysli. Totéˇz platí pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhými zástupnými znaky. Pokud se však dostanou do rukou vnímavému čtenáři, jako by obˇzivly. Matematika pak ˇzije a dýchá v jeho mysli jako nějaká abstraktní symfonie. 16 Vysoká úroveň abstrakce v matematice a z toho plynoucí nutnost pouˇzívat symbolické zápisy bohuˇzel znamená, ˇze mnohé oblasti zůstanou laikům navˇzdy nedostupné. Dokonce i ty přístupnější části, popsané v populárně naučných knihách, jakou je i tato, skrývají před laikem většinu své vnitřní krásy. Proto by se měl kaˇzdý, kdo byl obdařen schopností vnímat a ocenit vnitřní krásu matematiky, snaˇzit alespoň něco z její čistoty a elegance předat ostatním. 22 (...) Pojem abstraktního čísla si musí člověk osvojit postupně. Malé děti jej zřejmě začnou chápat ve chvíli, kdy se naučí počítat. Názor, ˇze pojem čísla není vrozený, potvrzují studie kultur, které se vyvíjely izolovaně od moderní společnosti. Když chce například příslušník kmene Vedda ze Srí Lanky spočítat kokosové ořechy, vezme nejprve několik hůlek a ke každému ořechu položí jednu. Pokaždé, když přidává další, řekne: To je jeden.. Ale jestliže se ho zeptáme, kolik vlastní ořechů, jednoduše ukáže na hromadu hůlek a řekne: Tolik.. Tento početní systém má ale k abstraktním číslům daleko; domorodec počítá v pojmech zcela konkrétních hůlek. Veddové pouˇzívají početní systém, který byl objeven jiˇz na úsvitu lidského věku. Jeden soubor předmětů řekněme hůlek nebo oblázků slouží k určení počtu prvků jiného souboru tak, že se hůlky či oblázky spárují s předměty, které je třeba spočítat. 24 (...) V období rozvoje státní byrokracie od roku 3300 př. n. l. do 3250 př. n. l. byly hliněné ˇzetony uchovávány dvěma běˇznými způsoby. Označené ˇzetony se proděravěly, navlékly na šňůrku a navázaly do obdélníkového hliněného rámečku, na němˇz bylo vyznačeno mnoˇzství a druh ˇzetonů. Jednoduché ˇzetony se ukládaly do hliněných nádob dutých koulí o průměru 5 aˇz 7 centimetrů, které byly označeny počtem vloˇzených ˇzetonů a poté zapečetěny. Jak rámečky s navázanými ˇzetony, tak zapečetěná pouzdra slouˇzily k účetním záznamům. Zapečetěná hliněná pouzdra měla jednu zřejmou nevýhodu kdyˇz někdo chtěl prozkoumat jejich obsah, musel pečet porušit. Sumerští účetní proto začali na nádoby ještě před jejich uzavřením vyrývat symbolické značky. Tím se samotné ˇzetony staly nadbytečnými, protoˇze se všechny poˇzadované informace nacházely na vnější straně pouzder. A tak během několika následujících generací ˇzetony zmizely ze světa úplně. Nakonec se začaly pouˇzívat hliněné tabulky s vyrytými symboly. V dnešní terminologii bychom mohli říci, ˇze sumerští účetní nahradili fyzická počítadla psanými číslicemi. Z historického pohledu na vývoj poznání je zajímavé, ˇze Sumerové nepřikročili k označování mnoˇzství na jediné tabulce okamˇzitě, ale poměrně dlouho pouˇzívali označená pouzdra s jiˇz nadbytečnými ˇzetony. Původní ˇzetony vyjadřovaly mnoˇzství zrní, počet ovcí atd., zatímco symbolické znaky na povrchu pouzder nepředstavovaly konkrétní mnoˇzství reálných objektů, ale reprezentovaly počet a typ vloˇzených ˇzetonů. Sumerům trvalo velmi dlouho, neˇz pochopili, ˇze jsou ˇzetony pro vyjádření určitého mnoˇzství v podstatě nadbytečné. Proto můˇzeme povaˇzovat přechod od

2 Keith Devlin: Jazyk matematiky 2 fyzických prostředků k abstraktním symbolům za skutečný pokrok v poznání. Samozřejmě že symbolické vyjádření množství obilí ještě neznamenalo úplné osvojení pojmu čísla tak, jak jej chápeme dnes, kdy na čísla pohlížíme jako na věci či abstraktní předměty. Kdy přesně učinilo lidstvo tento krok, nevíme, stejně tak jako nezjistíme přesně na den, kdy se malé dítě naučilo počítat. Jisté ovšem je, ˇze jakmile sumerská společnost přestala uˇzívat pro vyjádření určitého počtu fyzické předměty, začala se opírat o takové pojmy jako jednonásobek, dvojnásobek nebo trojnásobek, jejichˇz symboly zaznamenávala na tabulkách. 70 Převedením logických struktur do algebraického jazyka se nic podstatného nezmění. Ale co se opravdu změní, je způsob, jakým o těchto strukturách uvaˇzujeme. To, co je v jedné oblasti nepřirozené a těˇzko zvládnutelné, se můˇze jinde jevit jako snadné a přirozené. Nejenom v matematice, ale i v ˇzivotě není často podstatné, co říkáme, ale to, jak to říkáme. 78 Vývoj predikátové logiky poskytl matematikům formální prostředky k zachycení struktur matematického důkazu. Neznamená to však, že je nutné otrocky lpět na pravidlech predikátové logiky. Nikdo netrvá na tom, aby se matematická tvrzení vyjadřovala v predikátové logice nebo aby byly všechny důkazy formulovány pomocí pravidla modus ponens a dedukčních pravidel s kvantifikátory. Kdyby se mělo takto postupovat, pak by se jednalo kromě nejjednodušších důkazů o nesmírně namáhavou práci a výslednému důkazu bychom téměř nerozuměli. Nicméně detailním rozborem struktury predikátové logiky si matematici lépe osvojili koncepci formálního důkazu a navíc se ujistili, ˇze disponují spolehlivými prostředky ke stanovení matematické pravdy. To se ukázalo díky vývoji v jiných oblastech matematiky jako neobyčejně důleˇzité. 79 V matematice se pravdivost neověřuje experimentem, většinovou volbou ani diktátem, i kdyby byl diktátor nejuznávanějším matematikem na světě. Matematická pravda je dána důkazem. 82 (...) Kdykoli stanovíme nějakou množinu axiomů, obvykle se najde více než jedna soustava objektů, která by dané axiomy splňovala. 83 Matematikům nevadí, je-li jejich práce povaˇzovaná za hru, ale popudí je, jestliˇze ji někdo pokládá za nesmyslnou hru. Historie civilizace jim dává za pravdu pro výsledky matematických výzkumů se většinou najde uplatnění více neˇz dost. 84 (...) Posun směrem k vyšší a vyšší abstrakci za posledních asi sto let se netýkal jen matematiky. Ke stejnému vývoji došlo v literatuře, hudbě, malířství či sochařství, a tak i uměleckým dílům často porozumí jen jejich tvůrce. 93 Teorie modelů, kterou vytvořil především americký matematik polského původu Alfred Tarski, zkoumá v matematické struktuře vztah mezi pravdivostí a tvrzením. Věta o teorii modelů popisuje závěry, (...) ˇze jakýkoli axiomatický systém můˇze být pravdivý pro více neˇz jednu strukturu. V 50. letech 20. století pouˇzil americký logik a odborník na aplikovanou matematiku Abraham Robinson postupy teorie modelů k vypracování teorie infinitezimálních veličin (nekonečně malých veličin), a tím ukázal, jak dojít ke zcela odlišnému a v mnoha ohledech dokonalejšímu diferenciálnímu počtu (...). Do teorie množin vneslo nový impuls pouˇzití technik teorie modelů na Zermelovu-Fraenkelovu teorii. Podstatný zlom přišel v roce 1963, kdy mladý americký matematik Paul Cohen nalezl způsob, jak jednoznačně dokázat, ˇze je určitý matematický výrok nerozhodnutelný přesněji řečeno, ˇze u daného výroků nemůˇzeme na základě Zermelových-Fríenkelových axiomů dokázat ani jeho pravdivost, ani nepravdivost. Tento objev měl daleko širší dosah neˇz Gödelova věta, která neříká více neˇz to, ˇze v jakémkoli axiomatickém systému (tedy i v Zermelově-Fraenkelově teorii mnoˇzin) nerozhodnutelná tvrzení existují. Cohenův postup umoˇznil nerozhodnutelnost určitého tvrzení přímo dokázat. Sám Cohen pouˇzil tuto metodu při formulaci hypotézy kontinua, velmi známého problému, který předloˇzil v roce 1900 Hilbert. Cohen ukázal, ˇze hypotéza kontinua je nerozhodnutelná. Ve 30. letech se objevuje teorie vyčíslitelnosti. K rozvoji tohoto oboru významně přispěl sám Gödel. Z dnešního hlediska je zajímavé vrátit se k pojmu vyčíslitelnost, který byl definován asi dvacet let před zavedením prvního skutečného počítače a padesát let před nástupem osobních počítačů. Vůdčí osobností tohoto oboru byl anglický matematik a logik Alan Turing, jenˇz vytvořil teorii abstraktního univerzálního počítače tzv. Turingova stroje, který by byl schopen

3 Keith Devlin: Jazyk matematiky 3 provádět běžné aritmetické operace. Krátce poté americký logik Stephen Cole Kleene přišel s další abstraktní teorií, která dokazovala, že program pro takovýto stroj není podstatně odlišný od samotných dat, která stroj zpracovává. Všechny tyto oblasti matematické logiky měly společný charakter byly skutečně matematické. Matematika nebyla jen nástrojem zkoumání, ale i samým předmětem výzkumu. (...) 102 Je zajímavé, ˇze v době, kdy mnozí lidé prohlašují, ˇze na matematiku nemají buňky, lingvisté a statistici dokládají, ˇze řeč sama obsahuje matematické struktury, aniˇz bychom si to běˇzně uvědomovali. 102 Matematika není jenom jazykem vesmíru, jak tvrdil Galilei, ale můˇze nám pomoci, abychom pochopili sami sebe. 110 Zenonova hádanka je skutečným paradoxem jedině tehdy, pokud předpokládáme, že nekonečná řada musí mít také nekonečný součet. 135 Základní věta diferenciálního a integrálního počtu je zářným příkladem obrovského přínosu, který pramení z hledání hlubšího, obecnějšího a abstraktnějšího modelu. 142 Matematici totiž nikdy nezavrhnou krásnou matematiku, i když popírá všechny jejich dosavadní zkušenosti musí být ovšem postavena na pevných základech. 160 Na první pohled vypadají tři kuˇzelosečky jako zcela rozdílné typy křivek: jedna tvoří uzavřenou smyčku, druhá jednoduchý oblouk a třetí se skládá ze dvou oddělených částí. Teprve když vidíme, jak vznikají řezem dvojitého kužele, uvědomíme si, že všechny mají cosi společného společnou strukturu. Abychom tuto strukturu objevili, musíme vstoupit do vyšší dimenze. Všechny tři kuželosečky leží v dvojrozměrné rovině, zatímco sjednocující struktura je trojrozměrná. 167 Stojí za povšimnutí, že na každé řešení [tří problémů antické geometrie] se přišlo teprve tehdy, když byl původně čistě geometrický problém přeloˇzen do algebry, coˇz umoˇznilo jeho zkoumání jinými metodami. V původní formulaci se tyto tři problémy týkaly struktur (posloupností) geometrických konstrukcí za pouˇzití určitých nástrojů. Jejich konečné řešení spočívalo v transformaci problémů do ekvivalentních algebraických struktur. 176 Zvláště fascinující je, ˇze Einsteinova teorie relativity a astronomická pozorování, která prokázala její nadřazenost nad Newtonovou teorií, se objevily více neˇz půl století po objevu neeukleidovské geometrie. I tato skutečnost dobře ilustruje, jak vývoj matematiky předbíhá poznání našeho světa. První abstrakce geometrických modelů, odvozené z pozorování vnějšího světa, přivedly Řeky k vývoji bohaté matematické teorie eukleidovské geometrie. Během 19. století vedly čistě matematické otázky, které se týkaly axiomů a potřebných důkazů, k objevení dalších geometrických teorií. Původně se zdálo, ˇze tyto alternativní geometrie jsou čistě abstraktními axiomatickými teoriemi, které zdánlivě nemají ˇzádné uplatnění ve skutečném světě. Později se však ukázalo, ˇze pro studium vesmíru s jeho obrovskými dimenzemi jsou daleko vhodnější než eukleidovská geometrie. 185 David Hilbert Stejně tak by platilo, kdyby slova bod a přímka byla nahrazena slovy pivní džbánek a stůl a slovní spojení ležet na přímce a protínat se v jediném bodě by vystřídaly výrazy stát na stejném stole a být pod stejným pivním džbánkem. 190 Dokonce i velmi zkušený matematik se těžko orientuje ve zdlouhavých algebraických postupech, ale každý z nás si v duchu snadno představí obrazy a tvary. Této základní lidské schopnosti vyuˇzíváme, kdyˇz převádíme sloˇzité problémy do oblasti geometrie. 220 Čtenáře, kteří si již zvykli na stále se objevující různé numerické struktury za zdánlivě nesouvisejících okolností, asi mnoho nepřekvapí, ˇze číslo zlatého řezu φ (přibliˇzně 1, 618) se objevuje i (...) [u Penrosova dláˇzdění]. Mají-li všechny strany obou kosočtverců (...) délku 1, pak delší úhlopříčka v kosočtverci na levé straně má délku φ a kratší úhlopříčka v druhém kosočtverci má délku 1/φ. Jestliˇze je celá rovina vydláˇzděna těmito dvěma obrazci, pak poměr počtu širších dlaˇzdic ku počtu zkosenějších dlaˇzdic vyjádřený limitou je právě φ.

4 Keith Devlin: Jazyk matematiky Odborníci na krystalografii si povšimli, ˇze určitá slitina manganu a hliníku má molekulární strukturu, která se vyznačuje lokální pětinásobnou symetrií. Protoˇze krystalová mříˇzka má jen jednonásobnou, dvojnásobnou, trojnásobnou, čtyřnásobnou nebo šestinásobnou symetrii, nemohla být slitina krystalem v obvyklém slova smyslu. Odtud tedy pochází nový pojem kvazikrystal. Obecně je kvazikrystal sloučenina, která sice nemá pravidelnou mřížkovou strukturu obyčejných krystalů, nicméně její atomy jsou velmi organizovaně uspořádány způsobem, který se vyznačuje lokální symetrií. Zda je struktura libovolného kvazikrystalu strukturou Penrosova dláˇzdění, není známo, protoˇze studium kvazikrystalu je dosud v plenkách a závěry nejsou zatím jednoznačné. Fakt, ˇze rovina můˇze být vyplněna vysoce pravidelným, a přesto nemříˇzkovým stylem vyznačujícím se lokální pětinásobnou symetrií, nabízí matematický rámec, který poslouˇzí jako východisko pro porozumění těmto novým materiálům. Nakonec jsme tedy došli k dalšímu příkladu zdánlivě neuˇzitečného vývoje v čisté matematice, na který navazuje praktická aplikace. 223 Proslulá mapa londýnského metra (...) vznikla v roce Jejím autorem byl devětadvacetiletý projektant Henry C. Beck, který příleˇzitostně pracoval pro londýnské metro. Stálo ho dva roky nepřetrˇzitého úsilí, neˇz se mu podařilo přesvědčit nadřízené, aby alespoň na zkoušku vydali nyní všeobecně známý plán sítě jednotlivých tras. I tak vydalo oddělení pro veřejnost mapu jen v malém nákladu zodpovědní úředníci se totiž obávali, že mapa je tak nepřesná, že jí většina cestujících nebude rozumět. Mýlili se. Lidé si mapu přímo zamilovali a po roce užívání byla její zvětšená verze umístěna ve všech stanicích metra. Každý cestující se v tomto ryze topologickém znázornění sítě londýnského metra snadno zorientoval bez jakéhokoli návodu a vysvětlivek, a navíc si většina lidí okamžitě uvědomila výhody tohoto zpracování před klasickým geometrickým zobrazením. 250 Studium uzlů je klasickým případem matematického přístupu k nové oblasti studia. Nejprve se zkoumá určitý jev zde je to způsob, jakým je uzel uvázán. Potom matematici oddělí od zkoumaného pojmu všechny nepodstatné věci, které nemají pro další studium význam, a formulují exaktní definice důležitých pojmů. V tomto případě jsou podstatnými pojmy uzel a uzlová ekvivalence. Další krok spočívá v nalezení způsobu, jak popsat a analyzovat různé druhy uzlů různé uzlové struktury. 268 Matematika je jediná věda, v níž teorie formulované v 17. století na základě poznatků starověkých Řeků mají dodnes stejnou platnost, jakou se vyznačovaly již dříve. Matematika je jedinečná v tom, že během svého vývoje nezpochybňuje již dokázané teorie, ale naopak na nich staví. Od Pythagorovy věty a Diofantovy Aritmetiky vede dlouhá cesta aˇz k Fermatově odkazu a k dnešní bohaté a významné teorii završené Wilesovým konečným důkazem. K tomuto vývoji přispělo mnoho skvělých matematiků. Žili a ˇzijí po celém světě, hovořili a hovoří rozmanitými jazyky. Většina z nich se nikdy nesetkala ani nesetká. To, co je spojuje, je láska k matematice. Navzájem si pomáhají a nové generace matematiků přijímají a dále rozpracovávají myšlenky svých předchůdců. Ačkoli je rozděluje čas, prostor i kultura, všichni se účastní tohoto jedinečného závodu. V tomto směru snad matematika slouˇzí jako příklad celému lidstvu. 270 V čistě náhodné události, kterou posuzujeme izolovaně, ˇzádnou pravidelnost nenajdeme. Abychom nalezli v náhodě nějaký řád, tj. objevili její matematickou strukturu, musíme zkoumat děj, který se mnohokrát opakuje. 276 Tabulky pravděpodobné délky života se koncipují prostřednictvím statistického průzkumu obyvatelstva. První takový průzkum provedl v Londýně roku 1662 obchodník John Graunt. Detailně analyzoval počty narozených a zemřelých obyvatel Londýna v letech a své výsledky publikoval v knize Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality (Přirozené a politické postřehy odvozené z týdenního seznamu zemřelých). Hlavním zdrojem, z nějˇz čerpal informace, byl seznam zemřelých nazvaný Bills of Mortality, který město Londýn začalo shromaˇzd ovat od roku V seznamu zemřelých se po jednotlivých týdnech uváděla všechna hlášená úmrtí ve městě včetně jejich příčin. Seznam byl doplněn o počet pokřtěných dětí. Speciální pozornost věnoval Graunt příčinám úmrtí, mezi nimiˇz převládal mor, který v té době zuřil v celé Evropě. Obyvatele dnešního Londýna by asi překvapilo, ˇze během celého roku 1632, který Graunt také analyzoval, došlo ve městě pouze k sedmi vraˇzdám. V témˇze roce dle Graunta zapříčinilo smrt 1 pokousání vzteklým psem a 1 úlek. Není známo, co vedlo Graunta k jeho výzkumu. Mohlo jít jenom o intelektuální zvídavost. Ve svém díle uvádí, ˇze v analýze opomíjeného týdenního seznamu zemřelých nacházel velké potěšení proto, ˇze přicházel na různé záhadné a neočekávané spojitosti. Na druhé straně se zdá, ˇze sledoval také obchodničil. Píše totiˇz, ˇze mu průzkum umoˇznil

5 Keith Devlin: Jazyk matematiky 5... poznat, kolik zde žilo lidí obou pohlaví, věku, státní příslušnosti, náboženství, postavení a podobně, což by bylo užitečné i pro obchodníky a vládu. Kdyby byly známy počty uvedených lidí, mohla by se odhadnout jejich spotřeba a obchodníci by pak mohli tomu přizpůsobit svou nabídku.. At jiˇz byla jeho motivace jakákoli, stala se Grauntova práce jedním z prvních případů moderního statistického sběru dat a průzkumu trhu. 280 finančný expert Fischer Black Burziáni z Wall Street dobře vědí, ˇze se trh nechová zdaleka tak ideálně, jak se domnívají teoretici z univerzit. 283 Daniel Bernoulli Užitek vyplývající z malého nárůstu bohatství je nepřímo úměrný množství již dříve vlastněného majetku. 286 Uvědomme si, že o muži, který má hlavu v rozpálené troubě a nohy v ledničce, by se dalo říci, že se v průměru cítí dobře. Přesto by asi nikdo z nás nechtěl být na jeho místě vysoká směrodatná odchylka vylučuje pocit tepelné pohody. 299 Přes veškeré technické vymoženosti druhé poloviny 20. století se málokdo dokáže za jasné noci zahledět na oblohu, plnou zářících hvězd, bez jistého záchvěvu bázně. Přestože víme, že jasně blikající světla, která vidíme, jsou přírodními nukleárními reaktory stejnými jako naše Slunce, nijak to nesnižuje náš dojem z tohoto velkolepého představení. Pokud si navíc uvědomíme, ˇze světlo z mnohých hvězd k nám letělo miliony let, náš dojem z neomezené velikosti vesmíru se ještě znásobí. 302 (...) Heliocentrický model se ukazuje jako vhodnější, protože jeho matematický základ je mnohem jednodušší než u geocentrického modelu. Koperníkovská revoluce se trvale zapsala do matematické historie mimo jiné proto, že poprvé v dějinách převážilo prosté matematické vysvětlení nad tím, co vidíme na vlastní oči. 303 Matematický vzorec spojuje dvě nebo více (...) číselných veličin, čímˇz vytváří určitý popis zkoumaného jevu, ale nevysvětluje podstatu ani neodkrývá jeho příčiny. 311 (...) Musíme si připomenout, ˇze se při práci s Maxwellovými rovnicemi pohybujeme v galileovském matematickém světě, který jsme si sami vytvořili. Vztahy mezi různými matematickými veličinami se v našich rovnicích (jestliˇze jsme věci navrhli správně) shodují s odpovídajícími vlastnostmi skutečných jevů, které zkoumáme. Matematika nám tedy podává neobyčejně uˇzitečný popis, ale neposkytuje pravdivé vysvětlení. 330 Ve skutečnosti vlastně ani nemá smysl se ptát, zda je nějaká vědecká teorie správná. Člověk se můˇze pouze zamýšlet nad tím, jestli teorie odpovídá pozorováním a zda poskytuje přesnější odpověd neˇz kterákoli jiná teorie. 336 Kompaktnost je vlastnost topologických prostorů a znamená, že jestliže každý bod prostoru nám poskytuje informace o svém bezprostředním okolí, pak získáme informaci o celém prostoru propojením jednotlivých informací, jež získáme z konečného počtu bodů. 337 Matematické studium kaˇzdého jevu úzce souvisí se studiem jevu jiného. Na začátku provedeme zjednodušení, při kterém pojmenujeme a osamostatníme klíčové pojmy. Ty jsou pak analyzovány do větší a větší hloubky, přitom objevujeme a zkoumáme příslušné struktury a snažíme se stanovit výchozí axiomy. Úroveň abstrakce se zvyšuje. Formulujeme hypotézy, jejichž pravdivost se snažíme dokázat. Odkrývá se spojení s jinými oblastmi matematiky. Teorie je zobecňována, což vede k odhalení dalších souvislostí, které nás přivádějí k jiným matematickým oborům. Stano Krajči, typeset by LATEX

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Matematická témata matematický seminář A

Matematická témata matematický seminář A Vzdělávací oblast: ČLOVĚK A PŘÍRODA Vyučovací předmět: Matematický seminář A rozšiřující učivo Matematický seminář B procvičování základního učiva Ročník: 6. až 9. Cílová skupina: skupina žáků složená

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Redukcionismus a atomismus

Redukcionismus a atomismus Redukcionismus a atomismus ČVUT FEL Filosofie 2 Filip Pivarči pivarfil@fel.cvut.cz Co nás čeká? Co je to redukcionismus Směry redukcionismu Redukcionismus v různých odvětvých vědy Co je to atomismus Směry

Více

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Vesmír je souhrnné označení veškeré hmoty, energie

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Učební texty : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 2. ročník Mgr. M. Novotný, F. Novák: Matýskova matematika 4.,5.,6.díl

Více

Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích

Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích Pravidla pro hodnocení a klasifikaci v jednotlivých předmětech a seminářích Povinností žáka je napsat seminární práci nejpozději ve 3.ročníku (septima) v semináři (dle zájmu žáka). Práce bude ohodnocena

Více

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly a algoritmů matematického aparátu Vyjádří a zapíše část celku. Znázorňuje zlomky na číselné ose, převádí zlomky na des. čísla a naopak. Zapisuje nepravé zlomky ve tvaru smíšeného čísla. ZLOMKY Pojem zlomku,

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I.

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky STATISTIKA I. pro kombinované a distanční studium Radim Briš Martina Litschmannová

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY. postupné segmentace věty

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY. postupné segmentace věty Ð Û Å«Æ ±²³ µ ¹º»¼½¾ Ý MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Syntaktická analýza s vyuˇzitím postupné segmentace věty DIPLOMOVÁ PRÁCE Vojtěch Kovář Brno, podzim 2008 Prohlášení Prohlašuji, ˇze tato

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Dodatek k ŠVP ZV č. 1

Dodatek k ŠVP ZV č. 1 Dodatek k ŠVP ZV č. 1 Název školního vzdělávacího programu: Škola dobré pohody Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Ředitelka školy: Mgr. Dagmar Bičová Koordinátor ŠVP ZV: Mgr. Magdalena Krausová

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Výbor textů k moderní logice

Výbor textů k moderní logice Mezi filosofií a matematikou 5 Logika 20. století: mezi filosofií a matematikou Výbor textů k moderní logice K vydání připravil a úvodními slovy opatřil Jaroslav Peregrin 2006 Mezi filosofií a matematikou

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

k a p i t O l a 1 Záhada existence

k a p i t O l a 1 Záhada existence Kapitola 1 Záhada existence Všichni existujeme jen krátkou chvíli a během ní prozkoumáme jen malou část celého vesmíru. Ale lidé jsou zvídavý druh. Žasneme a hledáme odpovědi. Žijíce v tomto obrovském

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Geometrie a zlatý řez

Geometrie a zlatý řez Geometrie a zlatý řez Pythagorova věta Podívejme se na několik geometrických důkazů Pythagorovy věty využívajících různých druhů myšlení. Úvaha o začátku vyučování, je nutná a prospěšná rytmická část na

Více

OBSAH VZDĚLÁVÁNÍ, UČIVO

OBSAH VZDĚLÁVÁNÍ, UČIVO OBSAH VZDĚLÁVÁNÍ, UČIVO Vzdělání Učivo patří mezi jeden ze tří hlavních činitelů výuky. Za dva zbývající prvky se řadí žák a učitel. Každé rozhodování o výběru učiva a jeho organizaci do kurikula vychází

Více

Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová

Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová Tematický plán učiva Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová 1. Používá čtení a psaní v číselném oboru 0 1 000 000. 2. Rozumí lineárnímu uspořádání

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Obchodní akademie, Náchod, Denisovo nábřeží 673

Obchodní akademie, Náchod, Denisovo nábřeží 673 Název vyučovacího předmětu: MATEMATICKÁ CVIČENÍ (MAC) Obor vzdělání: 63-41-M/02 Obchodní akademie Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 154 (5 hodin týdně) Platnost: od 1. 9.

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Metody přírodních věd aplikované na vědy sociální: předpoklad, že lidské chování můžeme do jisté míry měřit a předpovídat.

Metody přírodních věd aplikované na vědy sociální: předpoklad, že lidské chování můžeme do jisté míry měřit a předpovídat. 3. Kvalitativní vs kvantitativní výzkum Kvantitativní výzkum Metody přírodních věd aplikované na vědy sociální: předpoklad, že lidské chování můžeme do jisté míry měřit a předpovídat. Kvantitativní výzkum

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

II. MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

II. MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE II. MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Charakteristika vzdělávací oblasti Tato oblast je v našem vzdělávání zastoupena jedním předmětem matematikou, od 1. do 9. ročníku. Podle vývoje dětské psychiky a zejména

Více

Diplomový seminář 1. Akademický rok 2008/2009. 17.9.2009 Ing. Václav Křivohlávek, CSc.

Diplomový seminář 1. Akademický rok 2008/2009. 17.9.2009 Ing. Václav Křivohlávek, CSc. Diplomový seminář 1 Akademický rok 2008/2009 Vybrané metodologické otázky 1. Hierarchie pojmů 2. Věcná a formální struktura práce 3. Základní metody zkoumání a výkladu 4. Etika Hierarchie pojmů Pojmy (resp.

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Davidova (Betlémská) hvězda

Davidova (Betlémská) hvězda Davidova (Betlémská) hvězda P.A.Semi, 2014-02-12 Seskupení planet do Davidovy hvězdy se čas od času stává... Uvádíme zde nejvýraznější výskyty v antickém období, s centrem na Zemi nebo na Slunci, řazené

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Pedagogika. Cíle vzdělávání, 4. část 23.10.2013 1

Pedagogika. Cíle vzdělávání, 4. část 23.10.2013 1 Pedagogika Cíle vzdělávání, 4. část 23.10.2013 1 Obsah: 1. Vztah cíle a výsledku vzdělávání 2. Konkretizace cílů v rámcových vzdělávacích programech: očekávané výstupy 3. Konkretizace cílů vzdělávání na

Více

I ÚVOD DO PEDAGOGIKY...

I ÚVOD DO PEDAGOGIKY... Obsah 5 OBSAH PŘEDMLUVA............................................ 7 I ÚVOD DO PEDAGOGIKY.............................. 9 II PEDAGOGIKA VOLNÉHO ČASU....................... 25 III PŘEDŠKOLNÍ PEDAGOGIKA..........................

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Aplikace Pattern Constructor je navržena pro tvorbu osové souměrnosti tak, aby odpovídala úrovni dovedností dětí. Tím, že mohou jednoduše

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

4. úprava 26.8.2010 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH

4. úprava 26.8.2010 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH 4. úprava 26.8.2010 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH PŘEDMĚTECH 1 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH PŘEDMĚTECH Projednáno pedagogickou radou dne: 26. 8. 2010 Schválila ředitelka školy: 26. 8. 2010 Platnost od: 1. 9. 2010 Podpis

Více

F-1 Fyzika hravě. (Anotace k sadě 20 materiálů) ROVNOVÁŽNÁ POLOHA ZAPOJENÍ REZISTORŮ JEDNODUCHÝ ELEKTRICKÝ OBVOD

F-1 Fyzika hravě. (Anotace k sadě 20 materiálů) ROVNOVÁŽNÁ POLOHA ZAPOJENÍ REZISTORŮ JEDNODUCHÝ ELEKTRICKÝ OBVOD F-1 Fyzika hravě ( k sadě 20 materiálů) Poř. 1. F-1_01 KLID a POHYB 2. F-1_02 ROVNOVÁŽNÁ POLOHA Prezentace obsahuje látku 1 vyučovací hodiny. materiál slouží k opakování látky na téma relativnost klidu

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Gymnázium, Český Krumlov

Gymnázium, Český Krumlov Gymnázium, Český Krumlov Vyučovací předmět Fyzika Třída: 6.A - Prima (ročník 1.O) Úvod do předmětu FYZIKA Jan Kučera, 2011 1 Organizační záležitosti výuky Pomůcky související s výukou: Pracovní sešit (formát

Více

zcela převažující druh průměru, který má uplatnění při řešení téměř všech úloh statistiky široké využití: v ekonomických

zcela převažující druh průměru, který má uplatnění při řešení téměř všech úloh statistiky široké využití: v ekonomických STŘEDNÍ HODNOTY VÝZNAM Rozdělení četností poskytuje užitečnou informaci a přehled o zkoumaném statistickém souboru. Porovnávat několik souborů pomocí tabulek rozděleni četností by však bylo.a. Proto se

Více

Podpora výuky a vzd lávání na GVN J. Hradec Kružnice

Podpora výuky a vzd lávání na GVN J. Hradec Kružnice Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec CZ.1.07/1.5.00/34.0766 Klíčová aktivita: IV/2 Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S2.01 Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka Název

Více

Da -Přehled předmětů nabízených k vytvoření studijních plánů a návrh témat prací

Da -Přehled předmětů nabízených k vytvoření studijních plánů a návrh témat prací Da -Přehled předmětů nabízených k vytvoření studijních plánů a návrh témat prací Vysoká škola: Slezská univerzita v Opavě Součást vysoké školy: Matematický ústav v Opavě Název studijního programu: Matematika

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MANUÁL K DIDAKTICKÉMU TESTU Z MATEMATIKY PŘIJÍMAČKY MSK 2011

MANUÁL K DIDAKTICKÉMU TESTU Z MATEMATIKY PŘIJÍMAČKY MSK 2011 MANUÁL K DIDAKTICKÉMU TESTU Z MATEMATIKY PŘIJÍMAČKY MSK 2011 Didaktickým testem z matematiky budou ověřovány matematické dovednosti, které nepřesahují rámec dřívějších osnov ZŠ a jsou definované v Rámcovém

Více

JOHANN RADON a počítačová tomografie

JOHANN RADON a počítačová tomografie JOHANN RADON a počítačová tomografie Alena Šolcová 26. listopadu 2013 Dětství Narodil se 16. prosince 1887 v Děčíně. Rodiče: Anton a Anna, otec bankovní úředník. Vyrůstal s dcerami otce z prvního manželství.

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

Určení předmětů, jejich formy a témata pro profilovou část maturitní zkoušky v roce 2011/12 v jarním i podzimním termínu

Určení předmětů, jejich formy a témata pro profilovou část maturitní zkoušky v roce 2011/12 v jarním i podzimním termínu Pokyn ředitele č. 9/2011 č. j. 495/2011/SSUP Určení předmětů, jejich formy a témata pro profilovou část maturitní zkoušky v roce 2011/12 v jarním i podzimním termínu Ředitel Střední školy uměleckoprůmyslové

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Vyučovací předmět probíhá ve všech ročnících. V 1. ročníku se vyučují 4 hodiny matematiky týdně, v 2. 5. ročníku po 5 hodinách.

Vyučovací předmět probíhá ve všech ročnících. V 1. ročníku se vyučují 4 hodiny matematiky týdně, v 2. 5. ročníku po 5 hodinách. 5.2 Oblast: Předmět: Matematika 5.2.1 Obor: Charakteristika předmětu matematika 1. stupeň Matematika tvoří základ vzdělávacího působení v základní škole. Vede žáky k získávání matematických pojmů, algoritmů,

Více

Okruhy profilových předmětů maturitní zkoušky třída 4. A, školní rok 2014/2015. Ekonomika

Okruhy profilových předmětů maturitní zkoušky třída 4. A, školní rok 2014/2015. Ekonomika Okruhy profilových předmětů maturitní zkoušky třída 4. A, školní rok 2014/2015 Ekonomika 1. Management 2. Oběžný majetek 3. Finanční trh 4. Bankovní soustava ČR 5. Marketing 6. Podnikání základ tržní ekonomiky

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více

Nabídka seminářů pro 7.A a 3.B ve školním roce 2015/2016

Nabídka seminářů pro 7.A a 3.B ve školním roce 2015/2016 Nabídka seminářů pro 7.A a 3.B ve školním roce 2015/2016 Studenti si volí semináře s celkovou dotací 4 hodiny týdně. Nabízené semináře mají dotaci 1 hodinu, resp. 2 hodiny týdně. Student si tedy může navolit

Více