Keith Devlin: Jazyk matematiky 1

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Keith Devlin: Jazyk matematiky 1"

Transkript

1 Keith Devlin: Jazyk matematiky 1 Keith Devlin Jazyk matematiky Jak zviditelnit neviditelné Argo a Dokořán, Praha, 2002 preklad: Jan Švábenický 11 V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí: matematika je vědou o strukturách. 13 Současné matematické knihy se zdají být symboly přímo zahlceny, ale matematický znak ještě není sám o sobě matematikou, tak jako notový part ještě není hudbou (...). Notový list hudbu jen zapisuje; ovšem samotnou melodii uslyšíme, aˇz kdyˇz ji podle not zazpíváme nebo přehrajeme na hudebním nástroji. Teprve během představení hudba oˇzije a my ji můˇzeme proˇzít. Hudba nevzniká okamˇzikem notového zápisu, ale teprve ve chvíli, kdy pronikne do naší mysli. Totéˇz platí pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhými zástupnými znaky. Pokud se však dostanou do rukou vnímavému čtenáři, jako by obˇzivly. Matematika pak ˇzije a dýchá v jeho mysli jako nějaká abstraktní symfonie. 16 Vysoká úroveň abstrakce v matematice a z toho plynoucí nutnost pouˇzívat symbolické zápisy bohuˇzel znamená, ˇze mnohé oblasti zůstanou laikům navˇzdy nedostupné. Dokonce i ty přístupnější části, popsané v populárně naučných knihách, jakou je i tato, skrývají před laikem většinu své vnitřní krásy. Proto by se měl kaˇzdý, kdo byl obdařen schopností vnímat a ocenit vnitřní krásu matematiky, snaˇzit alespoň něco z její čistoty a elegance předat ostatním. 22 (...) Pojem abstraktního čísla si musí člověk osvojit postupně. Malé děti jej zřejmě začnou chápat ve chvíli, kdy se naučí počítat. Názor, ˇze pojem čísla není vrozený, potvrzují studie kultur, které se vyvíjely izolovaně od moderní společnosti. Když chce například příslušník kmene Vedda ze Srí Lanky spočítat kokosové ořechy, vezme nejprve několik hůlek a ke každému ořechu položí jednu. Pokaždé, když přidává další, řekne: To je jeden.. Ale jestliže se ho zeptáme, kolik vlastní ořechů, jednoduše ukáže na hromadu hůlek a řekne: Tolik.. Tento početní systém má ale k abstraktním číslům daleko; domorodec počítá v pojmech zcela konkrétních hůlek. Veddové pouˇzívají početní systém, který byl objeven jiˇz na úsvitu lidského věku. Jeden soubor předmětů řekněme hůlek nebo oblázků slouží k určení počtu prvků jiného souboru tak, že se hůlky či oblázky spárují s předměty, které je třeba spočítat. 24 (...) V období rozvoje státní byrokracie od roku 3300 př. n. l. do 3250 př. n. l. byly hliněné ˇzetony uchovávány dvěma běˇznými způsoby. Označené ˇzetony se proděravěly, navlékly na šňůrku a navázaly do obdélníkového hliněného rámečku, na němˇz bylo vyznačeno mnoˇzství a druh ˇzetonů. Jednoduché ˇzetony se ukládaly do hliněných nádob dutých koulí o průměru 5 aˇz 7 centimetrů, které byly označeny počtem vloˇzených ˇzetonů a poté zapečetěny. Jak rámečky s navázanými ˇzetony, tak zapečetěná pouzdra slouˇzily k účetním záznamům. Zapečetěná hliněná pouzdra měla jednu zřejmou nevýhodu kdyˇz někdo chtěl prozkoumat jejich obsah, musel pečet porušit. Sumerští účetní proto začali na nádoby ještě před jejich uzavřením vyrývat symbolické značky. Tím se samotné ˇzetony staly nadbytečnými, protoˇze se všechny poˇzadované informace nacházely na vnější straně pouzder. A tak během několika následujících generací ˇzetony zmizely ze světa úplně. Nakonec se začaly pouˇzívat hliněné tabulky s vyrytými symboly. V dnešní terminologii bychom mohli říci, ˇze sumerští účetní nahradili fyzická počítadla psanými číslicemi. Z historického pohledu na vývoj poznání je zajímavé, ˇze Sumerové nepřikročili k označování mnoˇzství na jediné tabulce okamˇzitě, ale poměrně dlouho pouˇzívali označená pouzdra s jiˇz nadbytečnými ˇzetony. Původní ˇzetony vyjadřovaly mnoˇzství zrní, počet ovcí atd., zatímco symbolické znaky na povrchu pouzder nepředstavovaly konkrétní mnoˇzství reálných objektů, ale reprezentovaly počet a typ vloˇzených ˇzetonů. Sumerům trvalo velmi dlouho, neˇz pochopili, ˇze jsou ˇzetony pro vyjádření určitého mnoˇzství v podstatě nadbytečné. Proto můˇzeme povaˇzovat přechod od

2 Keith Devlin: Jazyk matematiky 2 fyzických prostředků k abstraktním symbolům za skutečný pokrok v poznání. Samozřejmě že symbolické vyjádření množství obilí ještě neznamenalo úplné osvojení pojmu čísla tak, jak jej chápeme dnes, kdy na čísla pohlížíme jako na věci či abstraktní předměty. Kdy přesně učinilo lidstvo tento krok, nevíme, stejně tak jako nezjistíme přesně na den, kdy se malé dítě naučilo počítat. Jisté ovšem je, ˇze jakmile sumerská společnost přestala uˇzívat pro vyjádření určitého počtu fyzické předměty, začala se opírat o takové pojmy jako jednonásobek, dvojnásobek nebo trojnásobek, jejichˇz symboly zaznamenávala na tabulkách. 70 Převedením logických struktur do algebraického jazyka se nic podstatného nezmění. Ale co se opravdu změní, je způsob, jakým o těchto strukturách uvaˇzujeme. To, co je v jedné oblasti nepřirozené a těˇzko zvládnutelné, se můˇze jinde jevit jako snadné a přirozené. Nejenom v matematice, ale i v ˇzivotě není často podstatné, co říkáme, ale to, jak to říkáme. 78 Vývoj predikátové logiky poskytl matematikům formální prostředky k zachycení struktur matematického důkazu. Neznamená to však, že je nutné otrocky lpět na pravidlech predikátové logiky. Nikdo netrvá na tom, aby se matematická tvrzení vyjadřovala v predikátové logice nebo aby byly všechny důkazy formulovány pomocí pravidla modus ponens a dedukčních pravidel s kvantifikátory. Kdyby se mělo takto postupovat, pak by se jednalo kromě nejjednodušších důkazů o nesmírně namáhavou práci a výslednému důkazu bychom téměř nerozuměli. Nicméně detailním rozborem struktury predikátové logiky si matematici lépe osvojili koncepci formálního důkazu a navíc se ujistili, ˇze disponují spolehlivými prostředky ke stanovení matematické pravdy. To se ukázalo díky vývoji v jiných oblastech matematiky jako neobyčejně důleˇzité. 79 V matematice se pravdivost neověřuje experimentem, většinovou volbou ani diktátem, i kdyby byl diktátor nejuznávanějším matematikem na světě. Matematická pravda je dána důkazem. 82 (...) Kdykoli stanovíme nějakou množinu axiomů, obvykle se najde více než jedna soustava objektů, která by dané axiomy splňovala. 83 Matematikům nevadí, je-li jejich práce povaˇzovaná za hru, ale popudí je, jestliˇze ji někdo pokládá za nesmyslnou hru. Historie civilizace jim dává za pravdu pro výsledky matematických výzkumů se většinou najde uplatnění více neˇz dost. 84 (...) Posun směrem k vyšší a vyšší abstrakci za posledních asi sto let se netýkal jen matematiky. Ke stejnému vývoji došlo v literatuře, hudbě, malířství či sochařství, a tak i uměleckým dílům často porozumí jen jejich tvůrce. 93 Teorie modelů, kterou vytvořil především americký matematik polského původu Alfred Tarski, zkoumá v matematické struktuře vztah mezi pravdivostí a tvrzením. Věta o teorii modelů popisuje závěry, (...) ˇze jakýkoli axiomatický systém můˇze být pravdivý pro více neˇz jednu strukturu. V 50. letech 20. století pouˇzil americký logik a odborník na aplikovanou matematiku Abraham Robinson postupy teorie modelů k vypracování teorie infinitezimálních veličin (nekonečně malých veličin), a tím ukázal, jak dojít ke zcela odlišnému a v mnoha ohledech dokonalejšímu diferenciálnímu počtu (...). Do teorie množin vneslo nový impuls pouˇzití technik teorie modelů na Zermelovu-Fraenkelovu teorii. Podstatný zlom přišel v roce 1963, kdy mladý americký matematik Paul Cohen nalezl způsob, jak jednoznačně dokázat, ˇze je určitý matematický výrok nerozhodnutelný přesněji řečeno, ˇze u daného výroků nemůˇzeme na základě Zermelových-Fríenkelových axiomů dokázat ani jeho pravdivost, ani nepravdivost. Tento objev měl daleko širší dosah neˇz Gödelova věta, která neříká více neˇz to, ˇze v jakémkoli axiomatickém systému (tedy i v Zermelově-Fraenkelově teorii mnoˇzin) nerozhodnutelná tvrzení existují. Cohenův postup umoˇznil nerozhodnutelnost určitého tvrzení přímo dokázat. Sám Cohen pouˇzil tuto metodu při formulaci hypotézy kontinua, velmi známého problému, který předloˇzil v roce 1900 Hilbert. Cohen ukázal, ˇze hypotéza kontinua je nerozhodnutelná. Ve 30. letech se objevuje teorie vyčíslitelnosti. K rozvoji tohoto oboru významně přispěl sám Gödel. Z dnešního hlediska je zajímavé vrátit se k pojmu vyčíslitelnost, který byl definován asi dvacet let před zavedením prvního skutečného počítače a padesát let před nástupem osobních počítačů. Vůdčí osobností tohoto oboru byl anglický matematik a logik Alan Turing, jenˇz vytvořil teorii abstraktního univerzálního počítače tzv. Turingova stroje, který by byl schopen

3 Keith Devlin: Jazyk matematiky 3 provádět běžné aritmetické operace. Krátce poté americký logik Stephen Cole Kleene přišel s další abstraktní teorií, která dokazovala, že program pro takovýto stroj není podstatně odlišný od samotných dat, která stroj zpracovává. Všechny tyto oblasti matematické logiky měly společný charakter byly skutečně matematické. Matematika nebyla jen nástrojem zkoumání, ale i samým předmětem výzkumu. (...) 102 Je zajímavé, ˇze v době, kdy mnozí lidé prohlašují, ˇze na matematiku nemají buňky, lingvisté a statistici dokládají, ˇze řeč sama obsahuje matematické struktury, aniˇz bychom si to běˇzně uvědomovali. 102 Matematika není jenom jazykem vesmíru, jak tvrdil Galilei, ale můˇze nám pomoci, abychom pochopili sami sebe. 110 Zenonova hádanka je skutečným paradoxem jedině tehdy, pokud předpokládáme, že nekonečná řada musí mít také nekonečný součet. 135 Základní věta diferenciálního a integrálního počtu je zářným příkladem obrovského přínosu, který pramení z hledání hlubšího, obecnějšího a abstraktnějšího modelu. 142 Matematici totiž nikdy nezavrhnou krásnou matematiku, i když popírá všechny jejich dosavadní zkušenosti musí být ovšem postavena na pevných základech. 160 Na první pohled vypadají tři kuˇzelosečky jako zcela rozdílné typy křivek: jedna tvoří uzavřenou smyčku, druhá jednoduchý oblouk a třetí se skládá ze dvou oddělených částí. Teprve když vidíme, jak vznikají řezem dvojitého kužele, uvědomíme si, že všechny mají cosi společného společnou strukturu. Abychom tuto strukturu objevili, musíme vstoupit do vyšší dimenze. Všechny tři kuželosečky leží v dvojrozměrné rovině, zatímco sjednocující struktura je trojrozměrná. 167 Stojí za povšimnutí, že na každé řešení [tří problémů antické geometrie] se přišlo teprve tehdy, když byl původně čistě geometrický problém přeloˇzen do algebry, coˇz umoˇznilo jeho zkoumání jinými metodami. V původní formulaci se tyto tři problémy týkaly struktur (posloupností) geometrických konstrukcí za pouˇzití určitých nástrojů. Jejich konečné řešení spočívalo v transformaci problémů do ekvivalentních algebraických struktur. 176 Zvláště fascinující je, ˇze Einsteinova teorie relativity a astronomická pozorování, která prokázala její nadřazenost nad Newtonovou teorií, se objevily více neˇz půl století po objevu neeukleidovské geometrie. I tato skutečnost dobře ilustruje, jak vývoj matematiky předbíhá poznání našeho světa. První abstrakce geometrických modelů, odvozené z pozorování vnějšího světa, přivedly Řeky k vývoji bohaté matematické teorie eukleidovské geometrie. Během 19. století vedly čistě matematické otázky, které se týkaly axiomů a potřebných důkazů, k objevení dalších geometrických teorií. Původně se zdálo, ˇze tyto alternativní geometrie jsou čistě abstraktními axiomatickými teoriemi, které zdánlivě nemají ˇzádné uplatnění ve skutečném světě. Později se však ukázalo, ˇze pro studium vesmíru s jeho obrovskými dimenzemi jsou daleko vhodnější než eukleidovská geometrie. 185 David Hilbert Stejně tak by platilo, kdyby slova bod a přímka byla nahrazena slovy pivní džbánek a stůl a slovní spojení ležet na přímce a protínat se v jediném bodě by vystřídaly výrazy stát na stejném stole a být pod stejným pivním džbánkem. 190 Dokonce i velmi zkušený matematik se těžko orientuje ve zdlouhavých algebraických postupech, ale každý z nás si v duchu snadno představí obrazy a tvary. Této základní lidské schopnosti vyuˇzíváme, kdyˇz převádíme sloˇzité problémy do oblasti geometrie. 220 Čtenáře, kteří si již zvykli na stále se objevující různé numerické struktury za zdánlivě nesouvisejících okolností, asi mnoho nepřekvapí, ˇze číslo zlatého řezu φ (přibliˇzně 1, 618) se objevuje i (...) [u Penrosova dláˇzdění]. Mají-li všechny strany obou kosočtverců (...) délku 1, pak delší úhlopříčka v kosočtverci na levé straně má délku φ a kratší úhlopříčka v druhém kosočtverci má délku 1/φ. Jestliˇze je celá rovina vydláˇzděna těmito dvěma obrazci, pak poměr počtu širších dlaˇzdic ku počtu zkosenějších dlaˇzdic vyjádřený limitou je právě φ.

4 Keith Devlin: Jazyk matematiky Odborníci na krystalografii si povšimli, ˇze určitá slitina manganu a hliníku má molekulární strukturu, která se vyznačuje lokální pětinásobnou symetrií. Protoˇze krystalová mříˇzka má jen jednonásobnou, dvojnásobnou, trojnásobnou, čtyřnásobnou nebo šestinásobnou symetrii, nemohla být slitina krystalem v obvyklém slova smyslu. Odtud tedy pochází nový pojem kvazikrystal. Obecně je kvazikrystal sloučenina, která sice nemá pravidelnou mřížkovou strukturu obyčejných krystalů, nicméně její atomy jsou velmi organizovaně uspořádány způsobem, který se vyznačuje lokální symetrií. Zda je struktura libovolného kvazikrystalu strukturou Penrosova dláˇzdění, není známo, protoˇze studium kvazikrystalu je dosud v plenkách a závěry nejsou zatím jednoznačné. Fakt, ˇze rovina můˇze být vyplněna vysoce pravidelným, a přesto nemříˇzkovým stylem vyznačujícím se lokální pětinásobnou symetrií, nabízí matematický rámec, který poslouˇzí jako východisko pro porozumění těmto novým materiálům. Nakonec jsme tedy došli k dalšímu příkladu zdánlivě neuˇzitečného vývoje v čisté matematice, na který navazuje praktická aplikace. 223 Proslulá mapa londýnského metra (...) vznikla v roce Jejím autorem byl devětadvacetiletý projektant Henry C. Beck, který příleˇzitostně pracoval pro londýnské metro. Stálo ho dva roky nepřetrˇzitého úsilí, neˇz se mu podařilo přesvědčit nadřízené, aby alespoň na zkoušku vydali nyní všeobecně známý plán sítě jednotlivých tras. I tak vydalo oddělení pro veřejnost mapu jen v malém nákladu zodpovědní úředníci se totiž obávali, že mapa je tak nepřesná, že jí většina cestujících nebude rozumět. Mýlili se. Lidé si mapu přímo zamilovali a po roce užívání byla její zvětšená verze umístěna ve všech stanicích metra. Každý cestující se v tomto ryze topologickém znázornění sítě londýnského metra snadno zorientoval bez jakéhokoli návodu a vysvětlivek, a navíc si většina lidí okamžitě uvědomila výhody tohoto zpracování před klasickým geometrickým zobrazením. 250 Studium uzlů je klasickým případem matematického přístupu k nové oblasti studia. Nejprve se zkoumá určitý jev zde je to způsob, jakým je uzel uvázán. Potom matematici oddělí od zkoumaného pojmu všechny nepodstatné věci, které nemají pro další studium význam, a formulují exaktní definice důležitých pojmů. V tomto případě jsou podstatnými pojmy uzel a uzlová ekvivalence. Další krok spočívá v nalezení způsobu, jak popsat a analyzovat různé druhy uzlů různé uzlové struktury. 268 Matematika je jediná věda, v níž teorie formulované v 17. století na základě poznatků starověkých Řeků mají dodnes stejnou platnost, jakou se vyznačovaly již dříve. Matematika je jedinečná v tom, že během svého vývoje nezpochybňuje již dokázané teorie, ale naopak na nich staví. Od Pythagorovy věty a Diofantovy Aritmetiky vede dlouhá cesta aˇz k Fermatově odkazu a k dnešní bohaté a významné teorii završené Wilesovým konečným důkazem. K tomuto vývoji přispělo mnoho skvělých matematiků. Žili a ˇzijí po celém světě, hovořili a hovoří rozmanitými jazyky. Většina z nich se nikdy nesetkala ani nesetká. To, co je spojuje, je láska k matematice. Navzájem si pomáhají a nové generace matematiků přijímají a dále rozpracovávají myšlenky svých předchůdců. Ačkoli je rozděluje čas, prostor i kultura, všichni se účastní tohoto jedinečného závodu. V tomto směru snad matematika slouˇzí jako příklad celému lidstvu. 270 V čistě náhodné události, kterou posuzujeme izolovaně, ˇzádnou pravidelnost nenajdeme. Abychom nalezli v náhodě nějaký řád, tj. objevili její matematickou strukturu, musíme zkoumat děj, který se mnohokrát opakuje. 276 Tabulky pravděpodobné délky života se koncipují prostřednictvím statistického průzkumu obyvatelstva. První takový průzkum provedl v Londýně roku 1662 obchodník John Graunt. Detailně analyzoval počty narozených a zemřelých obyvatel Londýna v letech a své výsledky publikoval v knize Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality (Přirozené a politické postřehy odvozené z týdenního seznamu zemřelých). Hlavním zdrojem, z nějˇz čerpal informace, byl seznam zemřelých nazvaný Bills of Mortality, který město Londýn začalo shromaˇzd ovat od roku V seznamu zemřelých se po jednotlivých týdnech uváděla všechna hlášená úmrtí ve městě včetně jejich příčin. Seznam byl doplněn o počet pokřtěných dětí. Speciální pozornost věnoval Graunt příčinám úmrtí, mezi nimiˇz převládal mor, který v té době zuřil v celé Evropě. Obyvatele dnešního Londýna by asi překvapilo, ˇze během celého roku 1632, který Graunt také analyzoval, došlo ve městě pouze k sedmi vraˇzdám. V témˇze roce dle Graunta zapříčinilo smrt 1 pokousání vzteklým psem a 1 úlek. Není známo, co vedlo Graunta k jeho výzkumu. Mohlo jít jenom o intelektuální zvídavost. Ve svém díle uvádí, ˇze v analýze opomíjeného týdenního seznamu zemřelých nacházel velké potěšení proto, ˇze přicházel na různé záhadné a neočekávané spojitosti. Na druhé straně se zdá, ˇze sledoval také obchodničil. Píše totiˇz, ˇze mu průzkum umoˇznil

5 Keith Devlin: Jazyk matematiky 5... poznat, kolik zde žilo lidí obou pohlaví, věku, státní příslušnosti, náboženství, postavení a podobně, což by bylo užitečné i pro obchodníky a vládu. Kdyby byly známy počty uvedených lidí, mohla by se odhadnout jejich spotřeba a obchodníci by pak mohli tomu přizpůsobit svou nabídku.. At jiˇz byla jeho motivace jakákoli, stala se Grauntova práce jedním z prvních případů moderního statistického sběru dat a průzkumu trhu. 280 finančný expert Fischer Black Burziáni z Wall Street dobře vědí, ˇze se trh nechová zdaleka tak ideálně, jak se domnívají teoretici z univerzit. 283 Daniel Bernoulli Užitek vyplývající z malého nárůstu bohatství je nepřímo úměrný množství již dříve vlastněného majetku. 286 Uvědomme si, že o muži, který má hlavu v rozpálené troubě a nohy v ledničce, by se dalo říci, že se v průměru cítí dobře. Přesto by asi nikdo z nás nechtěl být na jeho místě vysoká směrodatná odchylka vylučuje pocit tepelné pohody. 299 Přes veškeré technické vymoženosti druhé poloviny 20. století se málokdo dokáže za jasné noci zahledět na oblohu, plnou zářících hvězd, bez jistého záchvěvu bázně. Přestože víme, že jasně blikající světla, která vidíme, jsou přírodními nukleárními reaktory stejnými jako naše Slunce, nijak to nesnižuje náš dojem z tohoto velkolepého představení. Pokud si navíc uvědomíme, ˇze světlo z mnohých hvězd k nám letělo miliony let, náš dojem z neomezené velikosti vesmíru se ještě znásobí. 302 (...) Heliocentrický model se ukazuje jako vhodnější, protože jeho matematický základ je mnohem jednodušší než u geocentrického modelu. Koperníkovská revoluce se trvale zapsala do matematické historie mimo jiné proto, že poprvé v dějinách převážilo prosté matematické vysvětlení nad tím, co vidíme na vlastní oči. 303 Matematický vzorec spojuje dvě nebo více (...) číselných veličin, čímˇz vytváří určitý popis zkoumaného jevu, ale nevysvětluje podstatu ani neodkrývá jeho příčiny. 311 (...) Musíme si připomenout, ˇze se při práci s Maxwellovými rovnicemi pohybujeme v galileovském matematickém světě, který jsme si sami vytvořili. Vztahy mezi různými matematickými veličinami se v našich rovnicích (jestliˇze jsme věci navrhli správně) shodují s odpovídajícími vlastnostmi skutečných jevů, které zkoumáme. Matematika nám tedy podává neobyčejně uˇzitečný popis, ale neposkytuje pravdivé vysvětlení. 330 Ve skutečnosti vlastně ani nemá smysl se ptát, zda je nějaká vědecká teorie správná. Člověk se můˇze pouze zamýšlet nad tím, jestli teorie odpovídá pozorováním a zda poskytuje přesnější odpověd neˇz kterákoli jiná teorie. 336 Kompaktnost je vlastnost topologických prostorů a znamená, že jestliže každý bod prostoru nám poskytuje informace o svém bezprostředním okolí, pak získáme informaci o celém prostoru propojením jednotlivých informací, jež získáme z konečného počtu bodů. 337 Matematické studium kaˇzdého jevu úzce souvisí se studiem jevu jiného. Na začátku provedeme zjednodušení, při kterém pojmenujeme a osamostatníme klíčové pojmy. Ty jsou pak analyzovány do větší a větší hloubky, přitom objevujeme a zkoumáme příslušné struktury a snažíme se stanovit výchozí axiomy. Úroveň abstrakce se zvyšuje. Formulujeme hypotézy, jejichž pravdivost se snažíme dokázat. Odkrývá se spojení s jinými oblastmi matematiky. Teorie je zobecňována, což vede k odhalení dalších souvislostí, které nás přivádějí k jiným matematickým oborům. Stano Krajči, typeset by LATEX

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

Příklad z učebnice matematiky pro základní školu:

Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce. Kapitola 7 Limita funkce V této kapitole budeme studovat pojem ita funkce, který lze zařadit mezi základní pojmy matematiky, speciálně pak matematické analýzy Využití ity funkce je široké Pomocí ity lze

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Co je to matematika? vod. Nejsou to pouze ËÌsla

Co je to matematika? vod. Nejsou to pouze ËÌsla vod Co je to matematika? Nejsou to pouze ËÌsla Co je to matematika? Položíme-li tuto otázku náhodnému kolemjdoucímu, uslyšíme pravděpodobně následující odpově : Matematika to jsou počty. Když ho budeme

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

Fyzikální veličiny. - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny. Obecně

Fyzikální veličiny. - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny. Obecně Fyzikální veličiny - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny Obecně Fyzika zkoumá objektivní realitu - hmotu - z určité stránky. Zabývá se její látkovou formou

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Ludwig WITTGENSTEIN: Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 Překlad: Jiří Fiala, Praha: Svoboda, 1993

Ludwig WITTGENSTEIN: Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 Překlad: Jiří Fiala, Praha: Svoboda, 1993 Ludwig WITTGENSTEIN: Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 Překlad: Jiří Fiala, Praha: Svoboda, 1993 l Svět je všechno, co fakticky je. 1.l Svět je celkem faktů a nikoli věcí. l.2 Svět se rozpadá na fakty.

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

Úvod do logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 23

Úvod do logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 23 Úvod do logiky (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 23 Co je logika? Čeho se týkají logické zákony? Tři možnosti: (1) světa (2) myšlení (3) jazyka (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

Školní vzdělávací programy. Praktický seminář z didaktiky matematiky 1

Školní vzdělávací programy. Praktický seminář z didaktiky matematiky 1 Školní vzdělávací programy Praktický seminář z didaktiky matematiky 1 Petr Pupík 18. září 2014 Obsah 1 Rámcový vzdělávací program 2 Školní vzdělávací program 3 Shrnutí 4 Důležité odkazy Rámcové vzdělávací

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 3 Predikátový počet Uvažujme následující úsudek.

Více

Gödelovy věty o neúplnosti

Gödelovy věty o neúplnosti Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk

Více

HYPOTÉZY. Kvantitativní výzkum není nic jiného než testování hypotéz. (Disman 2002, s. 76) DEDUKCE (kvantitativní přístup)

HYPOTÉZY. Kvantitativní výzkum není nic jiného než testování hypotéz. (Disman 2002, s. 76) DEDUKCE (kvantitativní přístup) HYPOTÉZY Hypotéza není ničím jiným než podmíněným výrokem o vztazích mezi dvěma nebo více proměnnými. Na rozdíl od problému, který je formulován v podobě otázky explicitně, nebo implicitně vyjádřené, hypotéza

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná

2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná .8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17 Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy 1.4.6 tavba matematiky, důkazy Předpoklady: 1401, 1404 Pedagogická poznámka: Tato hodina se velmi liší od většiny ostatních neboť jde v podstatě o přednášku. Také ji neprobíráme v prvním ročníku, ale přednáším

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Výroková a predikátová logika - XIII

Výroková a predikátová logika - XIII Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které

Více

Teorie pravěpodobnosti 1

Teorie pravěpodobnosti 1 Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy

Více

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20

Fyzika I. Něco málo o fyzice. Petr Sadovský. ÚFYZ FEKT VUT v Brně. Fyzika I. p. 1/20 Fyzika I. p. 1/20 Fyzika I. Něco málo o fyzice Petr Sadovský petrsad@feec.vutbr.cz ÚFYZ FEKT VUT v Brně Fyzika I. p. 2/20 Fyzika Motto: Je-li to zelené, patří to do biologie. Smrdí-li to, je to chemie.

Více

Matematika. 8. ročník. Číslo a proměnná druhá mocnina a odmocnina (využití LEGO EV3) mocniny s přirozeným mocnitelem. výrazy s proměnnou

Matematika. 8. ročník. Číslo a proměnná druhá mocnina a odmocnina (využití LEGO EV3) mocniny s přirozeným mocnitelem. výrazy s proměnnou list 1 / 7 M časová dotace: 4 hod / týden Matematika 8. ročník M 9 1 01 provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu Číslo a proměnná druhá

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru

Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru Michal Řepík ZS 0/0 Nové výsledky o zlomkových kuželosečkách v rovině a prostoru Michal Řepík Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, BM, ZS 0/0, m.repik@email.cz Abstrakt Tato seminární práce

Více

Logika a jazyk. filosofický slovník, Praha:Svoboda 1966)

Logika a jazyk. filosofický slovník, Praha:Svoboda 1966) Logika a jazyk V úvodu bylo řečeno, že logika je věda o správnosti (lidského) usuzování. A protože veškeré usuzování, odvozování a myšlení vůbec se odehrává v jazyce, je problematika jazyka a jeho analýza

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická

Více

ZÁKLADNÍ METODOLOGICKÁ PRAVIDLA PŘI ZPRACOVÁNÍ ODBORNÉHO TEXTU. Martina Cirbusová (z prezentace doc. Škopa)

ZÁKLADNÍ METODOLOGICKÁ PRAVIDLA PŘI ZPRACOVÁNÍ ODBORNÉHO TEXTU. Martina Cirbusová (z prezentace doc. Škopa) ZÁKLADNÍ METODOLOGICKÁ PRAVIDLA PŘI ZPRACOVÁNÍ ODBORNÉHO TEXTU Martina Cirbusová (z prezentace doc. Škopa) OSNOVA Metodologie vs. Metoda vs. Metodika Základní postup práce Základní vědecké metody METODOLOGIE

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Více

1.3. Cíle vzdělávání v oblasti citů, postojů, hodnot a preferencí

1.3. Cíle vzdělávání v oblasti citů, postojů, hodnot a preferencí 1. Pojetí vyučovacího předmětu 1.1. Obecný cíl vyučovacího předmětu Základním cílem předmětu Matematický seminář je navázat na získané znalosti a dovednosti v matematickém vzdělávání a co nejefektivněji

Více

"Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110)

Zajisté, odvětí strážce. (Str. 110) "Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110) Kapitola 17 Normální rozdělení Nejdůležitější pravděpodobnostní rozdělení se nazývá normální či Gaussovo. Má zajímavou historii. To druhé jméno dostalo na počest slavného

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Úvod do logiky a logického programování.

Úvod do logiky a logického programování. Úvod do logiky a logického programování Luboš Popelínský popel@fi.muni.cz www.fi.muni.cz/~popel Přehled učiva Opakování základů výrokové a predikátové logiky Normální formy ve výrokové a predikátové logice

Více

Výroková logika. p, q, r...

Výroková logika. p, q, r... Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože

Více

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy

Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném

Více

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o...

Logika 5. Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1. Logika je věda o... Logika 5 Základní zadání k sérii otázek: V uvedených tezích doplňte z nabízených adekvátní pojem, termín, slovo. Otázka číslo: 1 Logika je věda o.... slovech správném myšlení myšlení Otázka číslo: 2 Základy

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Umění a věda VY_32_ INOVACE _06_111

Umění a věda VY_32_ INOVACE _06_111 STŘEDNÍ ŠKOLA STAVEBNÍ A TECHNICKÁ Ústí nad Labem, Čelakovského 5, příspěvková organizace Páteřní škola Ústeckého kraje Umění a věda VY_32_ INOVACE _06_111 Projekt MŠMT Název projektu školy Registrační

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

Charakteristika vzdělávacího oboru Seminář z matematiky

Charakteristika vzdělávacího oboru Seminář z matematiky Obsahové, organizační a časové vymezení Charakteristika vzdělávacího oboru Seminář z matematiky a) Obsahové vymezení Předmět seminář z matematiky je volitelný předmět, který úzce navazuje na vzdělávací

Více

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.

Více

1) Spočítejte limitu pomocí l Hospitalova pravidla, pokud selˇze, spočítejte ji klasicky:

1) Spočítejte limitu pomocí l Hospitalova pravidla, pokud selˇze, spočítejte ji klasicky: Příklady k desátému cvičení ) Spočítejte itu pomocí l Hospitalova pravidla pokud selˇze spočítejte ji klasicky:. 2. 3.. 5 + 3 2 8 π π sin 2 + ln(cos(3)) 3 2) Upravte na zlomek a pouˇzijte l Hospitalovo

Více

Modely Herbrandovské interpretace

Modely Herbrandovské interpretace Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Vesmír je souhrnné označení veškeré hmoty, energie

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

STATISTIKA jako vědní obor

STATISTIKA jako vědní obor STATISTIKA jako vědní obor Cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů. Statistika se zabývá popisem hromadných jevů - deskriptivní, popisná statistika

Více

Závěrečná práce. Odborný styl

Závěrečná práce. Odborný styl Závěrečná práce Odborný styl Anotace - abstrakt Anotace je napsána na samostatném listu a má rozsah 10 až 15 řádků.je stručným a komplexním popisem obsahu práce, nově objevených skutečností a z nich plynoucích

Více