MATN1. Výrazy a jejich úpravy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"
|
|
- Ivo Mašek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Výrazy a jejich úpravy MATN1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1
2 Výrazy a jejich úpravy 1. Výrazy Již ze základní školy víme, že pro mocniny platí: a a a 1 Za předpokladu, že a je reálné číslo a r,s jsou čísla přirozená. Co však vzorec (1) znamená? Vždyť se v něm nevyskytuje žádné konkrétní číslo a přesto říkáme, že je to pravidlo pro počítání s mocninami. Tento vzorec popisuje celou řadu početních výkonů, které se řídí stejným pravidlem; znamená např., že 5 5 5,, π π π atd. Písmeno a ve vzorci (1) zastupuje libovolné reálné číslo, písmena r, s libovolná přirozená čísla. Takovým písmenům, která v daném zápisu zastupují čísla z určité číselné množiny, říkáme proměnné. Oborem proměnné a je ve vzorci (1) množina všech nenulových reálných čísel, oborem proměnných r, s je množina všech celých čísel. Domluvíme se na tom, že v případech, kdy obor proměnné nebude uveden nebo nebude patrný z textu úlohy, budeme za něj považovat množinu všech reálných čísel takových, pro něž má smysl za proměnné dosazovat. S celou řadou vzorců podobných vzorci (1) jste pracovali již dříve v geometrii, fyzice, chemii a budete s nimi pracovat i v odborných předmětech. V geometrii jsou to např. vzorce: 2 r vzorec pro výpočet obvodu kružnice.(2) c a b... vzorec pro výpočet předpony pravoúhlého trojúhelníka.(3) v πr v... vzorec pro výpočet objemu kužele..(4) V těchto vzorcích jsou proměnné o, r, a, b, c, v, V. Jejich oborem je množina všech kladných reálných čísel (víte, že číselná hodnota obvodu, poloměru, délky strany v trojúhelníku, objemu, výšky může být jen kladné reálné číslo). Ve vzorcích (2) a (4) je písmeno π, které jsme neoznačili jako proměnnou. Toto písmeno totiž na rozdíl od ostatních písmen v těchto vzorcích nezastupuje libovolné číslo z určitého oboru, ale jedno určité číslo ( = 3,14 ). Taková písmena, která nahrazují určitá čísla, nazýváme konstanty. 2
3 Ausdrücke und ihre Behandlungen 1. Ausdrücke Schon aus der Grundschule wissen wir, dass für Potenzen Folgendes gilt: a a a 1 Unter der Voraussetzung, dass a eine reale Zahl ist und r, s natürliche Zahlen sind. Was bedeutet aber die Formel (1)? Es enthält ja keine konkrete Zahl, und trotzdem sagen wir, dass es die Regel für die Berechnung mit Potenzen ist. Diese Formel beschreibt eine ganze Reihe von Rechenleistungen, die durch die gleiche Regel geregelt werden; es bedeutet zum Beispiel, dass: 5 5 5,, π π π usw. Der Buchstabe a in der Formel (1) vertritt eine beliebige reale Zahl und die Buchstaben r, s vertreten beliebige natürliche Zahlen. Solche Buchstaben, die in der gegebenen Eintragung Zahlen von einer bestimmten Zahlmenge vertreten, nennt man veränderliche. Der Bereich der Veränderlichen a ist in der Formel (1) eine Menge aller nullfreien realen Zahlen, der Bereich der Veränderlichen r, s ist eine Menge aller Ganzzahlen. Wir einigen uns darauf, dass in den Fällen, wann der Bereich der Veränderlichen nicht angeführt wird oder nicht aus dem Text der Aufgabe sichtlich wird, werden wir ihn als die Menge aller solchen realen Zahlen betrachten, für die es Sinn hat, für die Veränderlichen einzusetzen. Mit einer ganzen Reihe von Formeln, die der Formel (1) ähnlich sind, habt ihr schon früher in der Geometrie, Physik, Chemie gearbeitet und ihr werdet mit ihnen auch in fachgerechten Fächern arbeiten. In der Geometrie sind das z.b. folgende Formeln: 2 r die Formel für die Berechnung des Kreisumfanges (2) c a b die Formel für die Berechnung der Hypotenuse des winkelrechten Dreiecks (3) v πr v die Formel für die Berechnung des Kegelrauminhaltes... (4) In diesen Formeln sind die Veränderlichen o, r, a, b, c, v, V. Ihr Bereich ist die Menge aller positiven realen Zahlen (sie wissen, dass der Zahlenwert des Umfanges, des Halbmessers, der Seitenlänge im Dreieck, des Rauminhaltes, der Höhe nur eine positive reale Zahl sein kann). In den Formeln (2) und (4) ist die Buchstabe π, die wir nicht als die Veränderliche bezeichnet haben. Dieser Buchstabe im Unterschied zu anderen Buchstaben in diesen Formeln vertritt nämlich nicht eine beliebige Zahl von einem bestimmten Bereich, aber einen bestimmte Zahl ( = 3,14 ). Solche Buchstaben, die bestimmte Zahlen vertreten, nennt man Konstanten. 3
4 Ve vzorcích (2), (3), (4), se vyskytují výrazy 2 r, a b, v πr v. Na základní škole jste se domluvili, že za výraz budete považovat každý zápis, který je správně utvořen podle dohod o zápisech čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. S tímto vymezením vystačíme i v této kapitole. Jinak slovo výraz používáme často i v širším slova smyslu než jsme si vymezili na základní škole. Probíráme-li teorii množin, pak např. pracujeme s výrazem ( ) C apod. Výrazy, v nichž se vyskytovala pouze reálná čísla, např. 2, 3, 11, 3 4,,, jste nazývali číselné výrazy. Výrazy, ve kterých se vyskytuje alespoň jedna proměnná, např. 4, 5 3, 3,,,, jste nazývali výrazy s proměnou. Ty výrazy, ve kterých je proměnná ve jmenovateli, jste někdy nazývali lomené výrazy. Z předcházejících příkladů jsou lomené výrazy např. výrazy,. U lomených výrazů nebo u výrazů, v nichž je proměnná pod odmocninou apod., musíme vždy udat takové podmínky pro proměnnou, aby výraz měl smysl (tzn. definiční obor výrazu). Tak např. má smysl jedině za předpokladu 0, protože zlomky se jmenovatelem nula nejsou definovány. Výraz 1, má smysl pouze za předpokladu 1, protože druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla. Mezi jednotlivými výrazy, se kterými jste se již setkali, byly i mnohočleny. Mnohočleny jsou např. výrazy 2 3 2, , 5 1.Obecně bychom si mohli mnohočlen s jednou proměnou (viz předcházející příklady) definovat následujícím způsobem. Mnohočlen n-tého stupně o proměnné x je výraz., kde je proměnná, jsou konstanty, n je celé nezáporné číslo a. Číslo n udává stupeň mnohočlenů. Tak např je mnohočlen pátého stupně o proměnné x; 5 2 je mnohočlen šestého stupně o proměnné x. Podle počtu nenulových členů mnohočlenu mluvíme o jednočlenu 3, dvojčlenu 2 2, trojčlenu 3 4 apod., mnohočleny mohou obsahovat i více proměnných např , , kde x, y, z jsou proměnné. 4
5 In den Formeln (2), (3), (4), treten die Ausdrücke 2 r, a b, v πr v auf. In der Grundschule verabredetet ihr euch, dass ihr als Ausdruck jede Eintragung, die richtig nach dem Übereinkommen über Zahleintragungen, Veränderlichen, Operationsergebnissen und Funktionswerten gebildet ist, betrachten. Mit dieser Abgrenzung kommen wir auch in diesem Kapitel aus. Anders benutzt man das Wort Ausdruck oft auch in einem weiteren Sinn als wir in der Grundschule begrenzt haben. Wenn wir die Mengentheorie behandeln, arbeiten wir dann mit den Ausdrücken ( ) C u.ä. Die Ausdrücke, in denen nur reale Zahlen auftreten, z.b. 2, 3, 11, 3 4,,, habt ihr als Zahlausdrücke bezeichnet. Die Ausdrücke, in denen mindestens eine Veränderliche auftritt, z.b. 4, 5 3, 3,,,, habt ihr als Ausdrücke mit der Veränderlichen bezeichnet. Die Ausdrücke, in denen die Veränderliche in dem Nenner ist, habt ihr als Bruchausdrücke bezeichnet. Von den vorigen Beispielen sind Bruchausdrücke z.b. Ausdrücke:,. Bei den gebrochenen Ausdrücken oder bei den Ausdrücken, bei denen ist die Veränderliche unter der Wurzel u.ä. ist muss man immer solche Bedingungen für die Veränderliche eingeben, damit der Ausdruck den Sinn hat (d.h. Ausdrucksdefinitionsbereich). So hat z.b. Sinn nur unter der Voraussetzung, dass 0, weil Bruchzahlen mit dem Nenner Null nicht definiert sind. Der Ausdruck 1 hat Sinn nur unter Voraussetzung, dass 1, weil der Quadratwurzel nur für nichtnegative reale Zahlen definiert ist. Zwischen den Ausdrücken, die sie schon getroffen haben, sind auch Polynome gewesen. Polynome sind z.b. Ausdrücke 2 3 2, , 5 1. Allgemein könnten wir Polynom mit einer Veränderlichen (sieh vorige Beispiele) in folgender Weise definieren. Polynom n-ten Grades der Veränderlichen x ist Ausdruck., wo die Veränderliche ist, Konstanten sind, n ganze nichtnegative Zahl ist und. Die Zahl n gibt den Grad der Polynome an. So z.b ist Polynom des fünften Grades der Veränderlichen x; 5 2 ist Polynom des sechsten Grades der Veränderlichen x. Nach der Zahl der nullfreien Glieder des Polynoms spricht man von einem Monom 3, einem Binom 2 2, einem Trinom 3 4 u.ä. Polynome können auch mehrere Veränderliche enthalten, z.b. 2x y 2xy xy + 5x 3,6x y 5xy z + 5xy 3x + 3z + 2, wo x, y, z die Veränderlichen sind. 5
6 Cvičení 1. Zapište pomocí proměnné x : a) součet trojnásobku libovolného čísla a čísla 2; b) trojnásobek součtu libovolného čísla a čísla 2; c) druhou mocninu součtu dvojnásobku libovolného čísla a čísla 8; d) třetí odmocninu rozdílu libovolného čísla a trojnásobku čísla Zapište pomocí proměnné n v oboru celých čísel : a) libovolné sudé číslo; b) libovolné liché číslo; c) součet dvou sudých čísel za sebou bezprostředně následujících; d) součin dvou sudých čísel za sebou bezprostředně následujících; e) součet dvou lichých čísel za sebou bezprostředně následujících; f) součin dvou lichých čísel za sebou bezprostředně následujících; 3. Zapište výrazy; a) součet druhých mocnin proměnných a, b; b) druhá mocnina součtu proměnných a, b; c) k proměnné x přičtu číslo 4 a výsledek násobím číslem, které je o 4 menší než daná proměnná; k tomu součtu přičtu 15 a výsledek dělíme číslem o 1menší než je daná proměnná. 4. Udejte, kdy mají smysl následující výrazy: a) b) c) d) e) f) 7 g) 3 6
7 Übungen: 1. Schreiben Sie mit der Hilfe der Veränderlichen x ein: a) die Summe des Dreifachen einer beliebigen Zahl und der Zahl 2; b) das Dreifache der Summe einer beliebigen Zahl und der Zahl 2; c) die Quadratzahl der Summe des Zweifachen einer beliebigen Zahl und der Zahl 8; d) die Kubikzahl des Unterschiedes einer beliebigen Zahl und des Dreifachen der Zahl Schreiben Sie mit Hilfe der Veränderlichen n im Bereich der Ganze Zahlen ein: a) eine beliebige gerade Zahl; b) eine beliebige ungerade Zahl; c) die Summe von zwei geraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; d) das Produkt von zwei geraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; e) die Summe von zwei ungeraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; f) das Produkt von zwei ungeraden, in einer Reihe direkt nachfolgenden Zahlen; 3. Schreiben Sie folgende Ausdrücke ein; a) die Summe der Quadratzahlen der Veränderlichen a, b; b) die Quadratzahl der Summe der Veränderlichen a, b; c) zu der Veränderlichen x rechne ich die Zahl 4 zu und das Ergebnis multipliziere ich mit der Zahl, die um 4 kleiner als die gegebene Veränderliche ist; zu dem Ergebnis rechne ich 15 zu und das Ergebnis dividiere ich mit der Zahl, die um 1 kleiner als die gegebene Veränderliche ist. 4. Geben Sie an, wann folgende Ausdrücke Sinn haben: a) b) c) d) e) f) 7 g) 3 7
8 2. Počítání s mnohočleny Nejdřív obrátíme svoji pozornost na zopakování operací s mnohočleny. Připomeňme si na několika příkladech, jak se mnoho členy sčítají, odčítají, násobí a jak se dělí mnohočlen jednočlenem. Příklad 1 Sečti mnohočleny , 7a 3b 3a Příklad 2 Od mnohočlenu odečtěte mnohočlen Příklad 3 Násobte mnohočlen jednočlenem
9 2. Rechnung mit Polynomen Zuerst kehren wir unsere Aufmerksamkeit auf das Wiederholen der Operationen mit Polynomen um. Erinnern wir uns auf ein Paar Beispielen daran, wie man Polynome addieren, abnehmen, multiplizieren, und wie man Polynom mit einem Monom dividiert. Beispiel 1 Addieren Sie folgende Polynome , 7a 3b 3a Beispiel 2 Von dem Polynom nehmt den Polynom 3 ab Beispiel 3 Multiplizieren Sie den Polynom mit dem Monom
10 Příklad 4 Násobte mnohočleny 2 3, Příklad 5 Dělte mnohočleny jednočlenem 9. Dělení má smysl za předpokladu Při násobení mnohočlenu jste se na základní škole naučili pro zkrácení výpočtů počítat se vzorci 2, 2, ve kterých písmena A, B představovala obvykle jednočleny. V následujících dvou příkladech si zopakujeme počítání podle těchto vzorců. Příklad 6 Vypočítejte
11 Beispiel 4 Multiplizieren Sie die Polynome 2 3, Beispiel 5 Dividieren Sie die Polynome durch den Monom 9. Division hat Sinn unter der Voraussetzung, dass Bei der Multiplikation eines Polynoms habt ihr in der Grundschule gelernt, für Kürzung der Rechnungen mit Formeln rechnen, 2, 2, in denen die Buchstaben A, B gewöhnlich Monome dargestellt haben. In zwei folgenden Beispielen wiederholen wir Rechnung nach diesen Formeln. Beispiel 6 Berechnen Sie
12 Příklad 7 Vypočítej 2 0, , ,05 0,05 4 0,2 0,0025 Dále si odvodíme vzorce pro výpočet třetí mocniny dvojčlenů, Platí tedy: V dalších příkladech počítání podle těchto vzorců procvičíme. si Příklad 8 Vypočítejte 0, ,2 10 0,2 3 0, , ,008 1, Příklad 9 Vypočítejte 2. 12
13 Beispiel 7 Berechnen Sie 2 0, , ,05 0,05 4 0,2 0,0025 Weiter leiten wir Formeln für die Rechnung der Kubikzahl von Binomen, ab Es gilt also: In weiteren Beispielen üben wir die Rechnung nach diesen Formeln. Beispiel 8 Berechnen Sie 0, ,2 10 0,2 3 0, , ,008 1, Beispiel 9 Berechnen Sie 2. 13
14 Cvičení 1. Vypočítejte: a) b) 2 c) Násobte: a) b) c) d) 2 e) f) g) Vypočítejte: a) b) c)
15 d) Übungen 1. Berechnen Sie: a) b) 2 c) Multiplizieren Sie: a) b) c) d) 2 e) f) g) Berechnen Sie: a) b) c)
16 d) Dělte (a nezapomeňte udat, kdy má dělení smysl): a) b) c) d) c) Vypočtěte s využitím probraných vzorců: a) b) 0,2 3 c) 2 d) 2 5 e) 0,1 0,2 f) g) h) 3. Dělení mnohočlenů mnohočleny Dělit mnohočlen jednočlenem už umíte; zbývá ještě naučit se dělit mnohočlen mnohočlenem. Pro potřeby střední školy stačí se omezit na mnohočleny s jednou proměnnou. Při dělení mnohočlenu mnohočlenem postupujeme podle návodu, který je popsán v následujícím příkladu. Příklad 10 Vypočtěte Postupujeme podle tohoto návodu: 16
17 4. Dividieren Sie (und vergesset nicht anzugeben, wann die Division Sinn hat): a) b) c) d) Berechnen Sie mit Hilfe der gelernten Formeln: a) b) 0,2 3 c) 2 d) 2 5 e) 0,1 0,2 f) g) h) 3. Division der Polynome durch Polynome Sie können schon ein Polynom durch ein Monom dividieren; es bleibt noch zu lernen, ein Polynom durch ein Polynom zu dividieren. Für den Bedarf der Mittelschule reicht es sich auf Polynome mit einer Veränderlichen zu beschränken. Bei der Division eines Polynoms durch ein Polynom verfahren wir nach der Anleitung, die in folgendem Beispiel beschrieben ist. Beispiel 10 Berechnen Sie Wir verfahren nach dieser Anleitung: 17
18 1. Oba mnohočleny uspořádáme sestupně podle klesajících mocnin proměnné a: Dělíme: a) První člen dělence dělíme prvním členem dělitele 7 7. Získaný podílem násobíme všechny členy dělitele, tj Tento dílčí výsledek odečteme od dělence. Zápis: b) Postup opakujeme, a to tak, že prvním členem dělitele dělíme první člen zbytku, který je uspořádán sestupně Získaným podílem 3 násobíme dělitele, tj a tento další dílčí výsledek odečteme od zbytku. Zápis: c) Opět zopakujme postup z předcházejících dvou kroků, tj , a tento dílčí výsledek odečteme od zbytku. 18
19 1. Beide Polynome ordnen wir abwärts nach den sinkenden Potenzen der Veränderlichen a: Wir dividieren: a) Den ersten Mitglied des Dividenden dividieren wir durch das erste Mitglied des Teilers 7 7. Mit dem gewonnenen Teilwert multiplizieren wir alle Mitglieder des Teilers, d.h Dieses Teilergebnis ziehen wir von dem Dividenden ab. Eintragung: b) Wir wiederholen den Vorgang und zwar so, dass wir durch das erste Mitglied das erste Mitglied des Restes, das abwärts geordnet ist, dividieren Mit dem gewonnenen Ergebnis 3 multiplizieren wir den Teiler, d.h und dieses Teilergebnis ziehen wir von dem Rest ab. Eintragung: c) Noch mal wiederholen wir den Vorgang der vorherigen Schritte, d.h.: , und dieses Teilergebnis ziehen wir von dem Rest ab. 19
20 Zápis: a O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou, kdy zjistíme, zda součin dělitele a podílu je roven dělenci: Příklad 11 Vypočtěte
21 0 Eintragung: a Von der Richtigkeit des Ergebnisses können wir uns so überzeugen, dass wir eine Probe machen. Wir erfinden, ob das Produkt des Teilers und des Teilwertes dem Dividenden gleich ist: Beispiel 11 Berechnen Sie:
22 0 Výsledek: , Zkouška: Příklad 12 Vypočtěte x 3x x 3x Výsledek: x 3x 5 22
23 5, 2x 3x 5 0 Ergebnis: , Probe: Beispiel 12 Berechnen Sie: x 3x x 3x x 3x 5 5, 2x 3x
24 Zkouška: Příklad 13 Vypočtěte : : Jednočlen -1 (tj. - 1 ) má nižší stupeň než mnohočlen 7 1. Proto v dělení dále pokračujeme. Mnohočlen se nazývá částečný podíl, jednočlen -1 se nazývá zbytek. Výsledek:
25 Probe: Beispiel 13 Berechnen Sie: : : Das Monom -1 (d.h. - 1 ) hat niedrigeren Grad als das Polynom 7 1. Deswegen setzen wir im Dividieren fort. Das Polynom nennt man teilweiser Teilwert, das Monom -1 nennt man Rest. Ergebnis:
26 Zkouška: Příklad 14 Dělte , Výsledek: ; Zkouška:
27 Probe: Beispiel 14 Dividieren Sie: , Ergebnis: ; Probe: 27
28 : Cvičení: 1. Vypočítejte: a) b) c) Vypočítejte: a) b) 2 1 c) d) Rozklad pomocí vytýkání Ze základní školy umíte najít společný násobek a společného dělitele dvou či více celých čísel. Znalost určování společného násobku celých čísel využíváme např. při sčítání zlomků. Tak při sčítání
29 je nutné určit jejich společného jmenovatele. Tím může být např. číslo jako součin jednotlivých jmenovatelů Protože si však jistě nechce komplikovat výpočet zbytečně velkými čísly, zvolte jako společný jmenovatel číslo 24, které je nejvhodnějším společným násobkem těchto tří čísel. Übungen: 1. Berechnen Sie: a) b) c) Berechnen Sie: a) b) 2 1 c) d) Die Zerlegung mit Hilfe von Vorsetzen Aus der Grundschule können wir die gemeinsame Vielfache und den gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Ganzzahlen finden. Die Kenntnis der Bestimmung der gemeinsamen Vielfachen von Ganzzahlen nutzen wir z.b. beim Addieren von Bruchzahlen. So ist es beim Addieren 29
30 nötig, den gemeinsamen Nenner zu bestimmen. Das kann z.b. die Nummer als das Produkt der einzelnen Nenner sein. Da wir sicher nicht wollen, die Rechnung mit vergeblich großen Zahlen zu komplizieren, wählen wir als den gemeinsamen Nenner die Nummer 24, die geeignetste gemeinsame Vielfache dieser drei Zahlen ist. Při hledání rozkladu daného výrazů v součin používáme různé druhy úprav. Jednou z nich je vytýkání společného činitele z daného výrazu. Máme např. rozložit v součin výraz Protože , , , je nejvhodnějším společným dělitelem těchto tří sčítanců výraz 2ab. Je tedy Po vytknutí výrazu 2ab dostaneme původní výraz ve tvaru součinu dvou výrazů Platí tedy Příklad 15 Rozložte v součinu výraz Protože nejvhodnějším společný dělitel všech tří sčítanců je jednočlen 9, platí
31 V následujícím příkladu si ukážeme dva postupy při počítání s výrazy; jednak bez rozkladu výrazu v součin, jednak s rozkladem výrazu v součin. Sami posuďte, který z nich je namáhavější a zdlouhavější. Příklad 16 Vypočtěte povrch válce o průměru 24 mm a výšce 9mm. Bei dem Suchen der Zerlegung des gegebenen Ausdruckes in das Produkt nutzen wir verschiedene Arten von Bearbeitungen. Einen von ihnen ist das Vorsetzen des gemeinsamen Multiplikators aus dem gegebenen Ausdruck. Wir sollen z.b. den Ausdruck in das Produkt zerlegen. Da , , , der geeignetste gemeinsame Teiler dieser drei Summanden der Ausdruck 2ab ist. Es gilt also: Nach dem Vorsetzen des Ausdruckes 2ab bekommen wir den ursprünglichen Ausdruck in der Form vom Produkt von zwei Ausdrücken Es gilt also Beispiel 15 Zerlegen Sie im Produkt den Ausdruck Da der geeignetste gemeinsame Teiler aller drei Summanden das Monom 9 ist, gilt
32 Im folgenden Beispiel zeigen wir uns zwei Vorgänge beim Addieren mit Ausdrücken; einerseits ohne Zerlegung des Ausdruckes ins Produkt, anderseits mit Zerlegung des Ausdruckes ins Produkt. Bewertet selbst, welcher von ihnen mühsamer und zeitaufwendiger ist. Beispiel 16 Berechnen Sie die Oberfläche des Zylinders vom Durchmesser 24 mm und von der Höhe 9 mm. 1. způsob: dosazeni do vzorce 2 2 dostaneme: 2 3, , , , , , ,32 678, ,56 1, Způsob: upravíme-li vzorec 2 2 na tvar 2, je numerický výpočet jednodušší: 2 3, , , , Vytýkání společného násobku ze všech členů výrazu je pouze jedním z možných způsobů, jak rozložit výraz v součinu. Např. úlohu rozložit v součin výraz tímto způsobem nevyřešíme (můžeme vytknout pouze 1nebo -1). Zkusíme, zda lze tento výraz rozložit jiným způsobem. Můžeme si např. všimnout, že první dva členy mají společného dělitele 5, poslední dva 4. Vytkneme: 32
33 Po této úpravě jsme dostali dva sčítance, jejichž společným dělitelem je výraz 3, který vytkneme Dostali jsme tedy: Tomuto způsobu rozkladu výrazu v součin říkáme postupné vytýkání. 1. Form: durch die Einsetzung in die Formel 2 2 bekommen wir: 2 3, , , , , , ,32 678, ,56 1, Form: wenn wir die Formel 2 2 an die Form 2 bearbeiten, ist die numerische Rechnung einfacher: 2 3, , , , Das Vorsetzen der gemeinsamen Vielfachen aus allen Gliedern des Ausdruckes ist nur eine von mehreren möglichen Formen, wie man den Ausdruck im Produkt zerlegen kann. Z.B. die Aufgabe, den Ausdruck ins Produkt zu zerlegen, Lösen wir in dieser Weise nicht (wir können nur 1 oder -1 vorsetzen). Wir versuchen, ob es möglich ist, diesen Ausdruck auf einer anderen Weise zu zerlegen. Wir können z.b. merken, dass die ersten zwei Glieder den gemeinsamen Teiler 5 haben. Die letzten zwei haben 4. Wir setzen vor: 33
34 Nach dieser Bearbeitung haben wir zwei Summanden bekommen, deren gemeinsame Teiler der Ausdruck 3, den wir vorsetzen, ist: Wir haben also bekommen: Diese Weise der Zerlegung des Ausdruckes ins Produkt nennt man Stufen Vorsetzen. Příklad 17 Rozložte v součinu výraz 7 7. Zdůvodněte jednotlivé kroky v následujícím výpočtu: Dostáváme tak: Zkouška: Příklad 18 Rozložte v součin výraz. 34
35 Zkouška: Beispiel 17 Zerlegen Sie im Produkt den Ausdruck 7 7. Begründen Sie die einzelnen Schritte in der folgenden Berechnung: Wir bekommen so: Probe: Beispiel 18 Zerlegen Sie ins Produkt den Ausdruck. 35
36 Probe: Cvičení 1. Rozložte v součin: a) b) 6 3 c) d) Rozložte v součin: a) b) Rozložte v součin: a) 9 9 b) 2 c) d) 2 4. Rozložte v součin: a) b)
37 c) d) e) f) 4 5. Rozklad výrazů pomocí vzorců Dalším z možných postupů, které lze při rozkladu výrazů v součin použít, je rozklad pomocí vzorců. Zatím známe vzorce : 2 2 Übungen 1. Zerlegen Sie ins Produkt: a) b) 6 3 c) d) Zerlegen Sie ins Produkt: a) b) Zerlegen Sie ins Produkt: a) 9 9 b) 2 c) d) 2 4. Zerlegen Sie ins Produkt: a) b)
38 c) d) e) f) 4 5. Zerlegung der Ausdrücke mit Hilfe von Formeln Eine weitere Weise von möglichen Vorgängen, die man bei der Zerlegung von Ausdrücken ins Produkt nutzen kann, ist die Zerlegung mit Hilfe von Formeln. Wie kennen jetzt Formeln: Doplníme si tyto vzorce ještě dalšími: O jejich správnosti se můžeme přesvědčit vynásobením mnohočlenů na pravých stranách. Příklad 19 Rozložte v součin. Použijeme vzorec, v němž položíme,. Dostaneme:
39 Příklad 20 Rozložte v součin Užitím vzorce 2, kde 3, 2, dostaneme: Wir ergänzen diese Formeln noch mit anderen Formeln: Von ihrer Richtigkeit können wir uns so überzeugen, dass wir die Polynome auf den rechten Seiten multiplizieren. Beispiel 19 Zerlegen Sie ins Produkt. Wie nutzen die Formel, in der wir, geben. Wir bekommen:
40 Beispiel 20 Zerlegen Sie ins Produkt Mit Hilfe der Formel 2, wo 3, 2, bekommen wir: Příklad 21 Rozložte v součin 0,25 2. Ze vzorce =, kde 0,5, 2, máme:, 0,25-2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 Příklad 22 Rozložte v součin Použijeme vzorec 3 3, kde, 2, a dostaneme: = (x+2y 40
41 Příklad 23 Rozložte v součin K rozkladu použijeme vzorec, 3, 2 : = =(3-2x Beispiel 21 Zerlegen Sie ins Produkt 0,25 2. Aus der Formel =, wo 0,5, 2, haben wir:, 0,25-2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 0,5 2 Beispiel 22 Zerlegen Sie ins Produkt Wir nutzen die Formel 3 3, wo, 2, und wir bekommen: =(x+2y
42 Beispiel 23 Zerlegen Sie ins Produkt Für die Zerlegung benutzen wir die Formel, 3, 2 : = =(3-2x Příklad 24 Rozložte v součin 81. Použijeme vzorec, 9, Použijeme-li na dvojčlen 9 3 znovu vzorec pro Rozdíl druhých mocnin, dostáváme: Cvičení 1. Rozložte v součin : a) 4 b) 36 1 c) 16 d) e) 4 f) 1 g) h) 42
43 2. Rozložte v součin : a) 4 4 b) c) 2 d) e) Literatura:doc. RNDr. Emil Calda a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část Beispiel 24 Zerlegen Sie ins Produkt 81. Wir nutzen die Formel, 9, Wenn wir für das Polynom 9 3 wieder die Formel für Differenz der Quadratzahlen, bekommen wir: Übungen 1. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 4 b) 36 1 c) 16 d) e) 4 f) 1 g) h) 43
44 2. Zerlegen Sie ins Produkt: a) 4 4 b) c) 2 d) e) Literatur:doc. RNDr. Calda, Emil und Kol.:Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1.Teil 44
ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE
ROEDL & PARTNER ERSTES BÜRO IN PRAG MATERIÁLY PRO UČITELE Roedl & Partner: Erstes Büro in Prag A: So und Sie haben sich vorgestellt, dass Sie hier in Prag ein Büro haben werden, ist das richtig? B: Wir
Vícea jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2
Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů
Více3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
VíceMATN2. Trigonometrie. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Trigonometrie MATN2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Trigonometrie Trigonometrie je oblastí matematiky,
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Více3. Cvi ení. Matematická analýza pro fyziky I ZS 2016/17, MFF UK. 1. Ukaºte, ºe pro kladná ísla x 1,..., x n platí. x 1 = 1
Matematická analýza pro fyziky I ZS 06/7, MFF UK. Cvi ení. Ukaºte, ºe pro kladná ísla x,..., x n platí x... x n x +... + x n n Návod: Abyste dokázali výrok pro x,..., x n+, p edpokládejte, ºe x n < a x
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceAlgebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
VíceROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE
ROEDL & PARTNER SIE WOLLEN EXPANDIEREN MATERIÁLY PRO UČITELE Roedl & Partner: Sie wollen expandieren... A: Also, haben Sie schon mal ein bisschen den Markt sondiert, oder? B: Ich habe den Markt ein wenig
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceDIESES LERNTAGEBUCH GEHÖRT
Learning Diaries at the Österreich Institut Learning diaries help to reflect and record the individual growth in language proficiency, special learning strategies and interests. Thus, autonomous learning
VíceProjekt MŠMT ČR: EU peníze školám
Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
VíceSTŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
VíceAlgebraické výrazy pro učební obory
Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy
VíceRozklad na součin vytýkáním
Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceČtvrtek 27.9. 2012 Donnerstag 27.9. 2012
Čtvrtek 27.9. 2012 Donnerstag 27.9. 2012 Co jsme dělali ve čtvrtek? Was wir am Donnerstag gemacht haben? Poznávací hry Prezentace Nástěnku na chodbě Výuku češtiny Viděli jsme převoz lebky do kostela a
VíceProjekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. die Adventszeit. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent
Wir leben und sprechen Deutsch II die Adventszeit Předmět Německý jazyk Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Kód sady NJ/ZA/03+04/02 Kód DUM NJ/ZA/03+04/02/16-20 Autor Mgr. Eva Gapková Datum
VíceMATN3. Aritmetická posloupnost. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Aritmetická posloupnost MATN3 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Aritmetická posloupnost 1. Aritmetická
VíceMgr. Jakub Lukeš. Praha (pracovní list) Ročník: 1. 4. Datum vytvoření: listopad 2013 VY_32_INOVACE_09.2.16.NEJ
Autor: Mgr. Jakub Lukeš Předmět/vzdělávací oblast: Německý jazyk Tematická oblast: Téma: Poznatky o zemích Praha (pracovní list) Ročník: 1. 4. Datum vytvoření: listopad 2013 Název: VY_32_INOVACE_09.2.16.NEJ
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceNěmecký jazyk. Jaroslav Černý
P S N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Jaroslav Černý nj9-kat-cer-psa-02 rbeitsagentur Unsere gentur sucht für einen ausländisch 1 Klienten neu 1 rbeitskräfte auf dem tschechisch
VíceMATN4. Derivace funkce. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Derivace funkce MATN4 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1 Derivace funkce Pojem derivace vznikl v 17.
VíceNázev školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Soňa Novotná
Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Soňa Novotná Název materiálu: VY_32_INOVACE_08_NĚMECKÝ JAZYK_P1 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077
VíceTÉMA: Časování sloves ZPŮSOBOVÁ SLOVESA
TÉMA: Časování sloves ZPŮSOBOVÁ SLOVESA Pracovní list č. 2 1. Přiřaď český význam modálních sloves: dürfen - sollen - können - wollen - mögen - + wissen müssen - chtít moci, umět muset smět mít povinnost
VíceNěmčina pro knihovníky a galerijní pracovníky
Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Lekce 21 Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován
VíceSaurer Regen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dozvědí se základní informace o kyselém dešti.
NĚMČINA Saurer Regen V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dozvědí se základní informace o kyselém dešti. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace
VíceTKGN4. Ložiska a těsnění. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Ložiska a těsnění TKGN4 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Ložiska a těsnění Ložiska jsou součásti, které
VíceAlgebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.
Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s
VíceDEMATECH PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA
PREISANGEBOT / CENOVÁ NABÍDKA Maschinenart / Druh stroje: Anlage zum Pelletieren / Pellet line / Peletovací linka Marke und Typ / Značka a typ: MGL 400 Baujahr / Rok výroby: 2011 Hersteller / Výrobce:
VíceImplementace finanční gramotnosti. ve školní praxi. Sparen, sparen, sparen. Irena Erlebachová
Implementace finanční gramotnosti Výuková část ve školní praxi Digitální podoba e-learningové aplikace (vyuka.iss-cheb.cz) Sparen, sparen, sparen Irena Erlebachová 3 Výuková část Obsah Výuková část...
VíceSpojky podřadné - procvičování
N Ě M E C K Ý J A Z Y K Spojky podřadné - procvičování Zpracovala: Mgr. Miroslava Vokálová Zdroje: vlastní Ergänzen Sie die angegebenen Konjunktionen in die Sätze! als, dass, obwohl, weil, wenn Du kannst
VíceSPSN1. Hřídele a hřídelové čepy. Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Hřídele a hřídelové čepy SPSN1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR Wellen und Wellenbolzen Charakteristik
VíceGeocaching. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o geocachingu.
NĚMČINA Geocaching V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o geocachingu. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace autor:
VíceAufgabe 1. Úloha 1. V druhé početnici (1522) Adama Riese jsou úlohy o nákupu hospodářských zvířat (viz přiložený obrázek).
Aufgabe 1 Úloha 1 In seinem zweiten Rechenbuch (1522) stellte Adam Ries Aufgaben zum Kauf von Tieren, Viehkauf genannt (siehe nebenstehende Abbildung). V druhé početnici (1522) Adama Riese jsou úlohy o
VíceRozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162. Dělnická.
Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Dělnická 6.roč.
VíceNěmecký jazyk. Mgr. Hana Staňová. Z á k l a d o v ý t e x t :
Č T E N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-cte-04 Z á k l a d o v ý t e x t : den 5. ezember 2013, in München Hallo Sabine! anke für deinen netten rief,
VíceSpinnen. V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o pavoucích.
NĚMČINA V rámci následujícího úkolu se studenti seznámí s odborným textem v němčině. Dovědí se základní informace o pavoucích. Gymnázium Frýdlant, Mládeže 884, příspěvková organizace autor: Lenka Měkotová
VíceJak bude testování probíhat? Úplně jednoduše. Z nabízených variant vyberete tu, která je podle Vás gramaticky správná.
TEST 1 Milí přátelé, řada z Vás nám píše, že vlastně neví, jak na tom objektivně s němčinou je. Proto jsme pro Vás připravili tento Velký test německé gramatiky. Jedná se o test základní německé gramatiky.
VíceIm 11. und 12. Jahrhundert, wohnten nur wenige Menschen in Böhmen (Čechy) und Mähren (Morava).
Im 11. und 12. Jahrhundert, wohnten nur wenige Menschen in Böhmen (Čechy) und Mähren (Morava). Es gab viele Sümpfe (der Sumpf - močál) und wilde Tiere und keine festen Straßen. Die Premysliden schickten
VíceJméno, třída: In der Stadt Wiederholung. VY_32_INOVACE_111_In der Stadt_PL. Pracovní list Š2 / S6/ DUM 111
In der Stadt Wiederholung VY_32_INOVACE_111_In der Stadt_PL Pracovní list Š2 / S6/ DUM 111 Autor: Mgr. Jana Zachrlová SOŠ a SOU, Česká Lípa Materiál je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a
VíceDělení celku na části v poměru
Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto
VíceEasy-6 Pivottür mit Seitenwand / Otočné dveře s boční stěnou
Easy-6 Pivottür mit Seitenwand / Otočné dveře s boční stěnou Lesen Sie die Bedienungsanleitung sorgfältig durch und bewahren Sie diese für den späteren Gebrauch auf. Wir empfehlen die Montage unseres Produktes
VíceVyužití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/
Využití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/34.0448 Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tématický celek Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0448 CZJ - NJ - 1_20 Infinitiv s zu Střední
VíceSTTN2. Obrábění paprskem elektronů. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Obrábění paprskem elektronů STTN2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR OBRÁBĚNÍ PAPRSKEM ELEKTRONŮ Obrábění
VíceVýukový materiál VY_32_INOVACE_63. Ověření ve výuce: Třída: 9. Datum:
Výukový materiál Název projektu: Číslo projektu: Šablona: Sada: Škola pro život CZ.1.07/1.4.00/21.2701 III/2 VY_32_INOVACE_63 Ověření ve výuce: Třída: 9. Datum: 20.6.2012 Předmět: Německý jazyk Ročník:
VíceMAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
VíceMODELOVÁ ŘADA A CENÍK KOČÁRKŮ KOLOFOGO OD 1. 7. 2015
Tschechische & Deutsche Version / FAQs auf Deutsch MODELOVÁ ŘADA A CENÍK KOČÁRKŮ KOLOFOGO OD 1. 7. 2015 MODEL / KOMPONENTY JENDA SOUČÁST VÝBAVY STANDA SOUČÁST VÝBAVY TONDA SOUČÁST VÝBAVY Tlumič Brzda Sklápěcí
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera
VíceVyužití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/
Využití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/34.0448 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0448 Číslo materiálu CZJ - NJ - 1_14 Odborná slovní zásoba - Elektrotechnik Název školy Autor Tématický
VíceLomené výrazy sčítání a odčítání lomených výrazů
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.15 Lomené výrazy sčítání a odčítání lomených výrazů Anotace: Prezentace připomene sčítání a odčítání zlomků. Žák použije poznatky zopakované při počítání se zlomky u zjišťování
VíceAlgebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceTranskript vom 15. Oktober. Interaktion
Transkript vom. Oktober Interaktion 0 0 A B D E F G H Akteur Text Interaktion L/S-G L/E-S S-G/L E-S/L S/S L Guten Tag. S Guten Tag, Frau Kalábek. L Das war heute schön. Setzt euch. Und gleich zählen wir
VíceProjekt MŠMT ČR: EU peníze školám
Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na
VíceTÉMA: Časování sloves. PERFEKTUM 1. část
TÉMA: Časování sloves PERFEKTUM 1. část PRACOVNÍ LIST č. 9 PRAVIDELNÁ SLOVESA 1. Jak se tvoří perfektum pravidelných sloves? 2. Dosaď slovesa v perfektu: a) Ich in Bonn. (leben) b) Peter seinem Vater.
VícePracovní list slouží k procvičování a upevnění slovní zásoby na téma V restauraci.
Označení materiálu: Název materiálu: Tematická oblast: Anotace: Očekávaný výstup: Klíčová slova: Metodika: Obor: VY_ 32_INOVACE_NEMCINA3_06 V restauraci Německý jazyk 3.ročník Pracovní list slouží k procvičování
VíceProjekt MŠMT ČR: EU peníze školám
Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na
VíceJarník, Vojtěch: Scholarly works
Jarník, Vojtěch: Scholarly works Vojtěch Jarník O jistém problému minimálním. (Z dopisu panu O. Borůvkovi) Práce moravské přírodovědecké společnosti 6, fasc. 4, 1930, pp. 57--63 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/500726
VíceNěmčina pro knihovníky a galerijní pracovníky
Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Lekce 4 Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován
VíceMezinárodní závody Zpívající fontány
Plavecký klub Mariánské Lázně Vás srdečně zve na Mezinárodní závody Zpívající fontány Internationales Jugendwettschwimmen VI. ročník / V. Jahrgang Memoriál Jiřího Urbance Datum konání / Datum: 01.10. 2011
VíceDeutschland Bundesländer
Výukový materiál v rámci projektu OPVK 1.5 Peníze středním školám Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0883 Název projektu: Rozvoj vzdělanosti žáků s využitím Šablon Číslo šablony: II/2 Datum vytvoření: 3.
VíceM e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :
P S N Í Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-psa-01 Z á k l a d o v ý t e x t : Was macht ihr in der Freizeit? So lautete das Thema in der Zeitschrift IH.
VíceEFFECTIVITY HILFE BEI DER ZEITORGANISATION MATERIÁLY PRO UČITELE
EFFECTIVITY HILFE BEI DER ZEITORGANISATION MATERIÁLY PRO UČITELE Die Procrastination ist sehr oft ein Problem. Ich habe ein Ziel, aber ich weiß nicht, wie ich dieses Ziel erfüllen kann. Man hat Probleme
VíceNěmčina pro knihovníky a galerijní pracovníky
Němčina pro knihovníky a galerijní pracovníky Lekce 14 Výukový materiál vzdělávacích kurzů v rámci projektu Zvýšení adaptability zaměstnanců organizací působících v sekci kultura Tento materiál je spolufinancován
VíceCITACE: POUŽITÉ ZDROJE:
Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09, Karlovy Vary Autor: Markéta Volková Název materiálu: VY_32_INOVACE_ 04_TEST 7 LEKCE_E2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077
VícePOSLECH. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :
POSLEH Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Jitka Svobodová nj9-kap-svo-pos-10 Z á k l a d o v ý t e x t : m Morgen, 7 Uhr, auf der Straße Peter: Hallo, Monika, wieder zur Schule,
VíceVýukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0229 Šablona: II/2 č. materiálu: VY_22_INOVACE_41 Jméno autora: Mgr. Michaela Václavíková Třída/ročník:
VíceEINBAUANWEISUNG FÜR SCHALLDÄMM-SET BWS/DWS MONTÁŽNÍ NÁVOD PRO ZVUKOVĚ IZOLAČNÍ SOUPRAVY BWS/DWS
EINUNWEISUNG FÜR SCHLLÄMM-SET WS/WS MONTÁŽNÍ NÁVO PRO ZVUKOVĚ IZOLČNÍ SOUPRVY WS/WS Wichtige Hinweise - unbedingt beachten! ůležitá upozornění bezpodmínečně dodržujte! Schalldämm-Set muss vollständig und
VíceMocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.
Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat
VíceRozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/ Předmět.
Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) Mendelova 9.
VíceVariace. Mocniny a odmocniny
Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených
VíceVariace. Číselné výrazy
Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty
VíceBildungssystem in Deutschland
Wir leben und sprechen Deutsch II Bildungssystem in Deutschland Předmět Německý jazyk Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Kód sady NJ/ZA/03+04/02 Kód DUM NJ/ZA/03+04/02/10-20 Autor Mgr.
Více(1) Uveď během 30 sekund tolik řek, kolik jich znáš. Zähle in 30 Sekunden alle Flüsse auf, die du kennst.
(1) Uveď během 30 sekund tolik řek, kolik jich znáš. Zähle in 30 Sekunden alle Flüsse auf, die du kennst. (2) Uveď během 1 minuty tolik přísloví na téma VODA, kolik jich znáš. Nenne in 1 Minute alle Sprichwörter
VíceČTENÍ. Německý jazyk. Mgr. Jitka Svobodová. Z á k l a d o v ý t e x t : MEINE TRAUMWOHNUNG
ČTENÍ Jazyk Úroveň Autor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Jitka Svobodová nj9-kap-svo-cte-04 Z á k l a d o v ý t e x t : MEINE TRAUMWOHNUNG Ich möchte auf einer Insel leben. Die Insel hat ihren
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
VíceCITACE: POUŽITÉ ZDROJE:
Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09, Karlovy Vary Autor: Markéta Volková Název materiálu: VY_32_INOVACE_02_TEST 11-12 LEKCE_ET3 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077
VíceUNTERKUNFT IN EINEM HOTEL
UNTERKUNFT IN EINEM HOTEL MATERIÁLY PRO UČITELE A: Hallo B: Guten Tag. A: Haben Sie ein freies Zimmer, bitte? B: Ja, hätten Sie gerne ein Ein-, Zwei- oder Mehrbettzimmer? A: Ein Einbettzimmer, bitte. B:
VíceNĚKTERÁ ZPŮSOBOVÁ SLOVESA
NĚKTERÁ ZPŮSOBOVÁ SLOVESA MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_37_20 Tématický celek: Gramatika
Více1. ČÍSELNÉ OBORY
ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.
VíceSpojky souřadné - procvičování
N Ě M E C K Ý J A Z Y K Spojky souřadné - procvičování Zpracovala: Mgr. Miroslava Vokálová Zdroje: vlastní Ergänzen Sie die angegebenen Konjunktionen in die Sätze! aber, au3erdem, denn, deshalb, oder,
VíceProjekt EU peníze středním školám. Wir leben und sprechen Deutsch II. Dienstleistungen. Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent
Wir leben und sprechen Deutsch II Dienstleistungen Předmět Německý jazyk Ročník a obor 3. a 4. ročník, Zdravotnický asistent Kód sady NJ/ZA/03+04/02 Kód DUM NJ/ZA/03+04/01/20-20 Autor Mgr. Eva Gapková
VíceIV. Systém jmenování soudců správních soudů či senátů v České republice
International and Comparative Law Review No. 13/2005 IV. Systém jmenování soudců správních soudů či senátů v České republice Mgr. Alena Hálková, JUDr. Václav Novotný V České republice existuje soustava
VíceKTS - SCHORNSTEINZUGSYSTEM KTS - KOMÍNOVÝ TAHOVÝ SYSTÉM
KTS - KOMÍNOVÝ TAHOVÝ SYSTÉM První český tahový systém Ve spolupráci s kamnářskou firmou Janča krby byl vyvinut nový tahový systém. Všechny tvarovky tohoto systému jsou vyrobeny z certifikovaného materiálu
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceProjekt MŠMT ČR: EU peníze školám
Projekt MŠMT ČR: EU peníze školám Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.1094 Název projektu Učíme se trochu jinak moderně a zábavněji Číslo a název šablony II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na
VíceANLAGEN. Anlage Nr. 1A
ANLAGEN Anlage Nr. 1A Vorbereitende Übung: Endlich Ferien! Spieler A Es ist der letzte Schultag vor den großen Ferien. Was machen die Schüler und Lehrer der Anne Frank-Schule in den Ferien? Vieles weißt
VíceKatrin: Das gefällt mir. Nun, die erste Frage: Was bedeutet der Begriff Umwelt?
P O S L E H Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Hana Staňová nj9-kap-sta-pos-08 Z á k l a d o v ý t e x t : Katrin: Robert, wie stellst du dir also unsere Hausaufgabe vor? Robert:
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePOSLECH. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u :
POSLEH Jazyk Úroveň utor Kód materiálu Německý jazyk 9. třída Mgr. Jitka Svobodová nj9-kap-svo-pos-06 Z á k l a d o v ý t e x t : Kathi: Hallo Julian, kann ich mir bitte von dir ein paar Sachen ausleihen?
VíceČíslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0514 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Časování a skloňování v němčině, vy_32_inovace_ma_25_14
VíceVyužití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/
Využití ICT pro rozvoj klíčových kompetencí CZ.1.07/1.5.00/34.0448 Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tématický celek Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0448 CZJ - NJ - 1_25 Předložkové vazby s přídavnými
VíceROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN
ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin
VíceStammesheimat Sudetenland
Stammesheimat Sudetenland Pán Bůh buď pozdraven, vážení čeští vystavovatelé Buďte vítáni; Vystavovatelé z České republiky, těší nás, že zde v Augsburgu ukazujete krásy našeho domova na Sudetoněmeckém dnu.
VíceVolitelné předměty Matematika a její aplikace
Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky
VíceGymnázium. Přípotoční Praha 10
Gymnázium Přípotoční 1337 101 00 Praha 10 led 3 20:53 Přípravný kurz Matematika led 3 21:56 1 Datum Téma 9.1.2019 Číselné výrazy-desetinná čísla, zlomky, počítání se zlomky, zaokrouhlování, druhá mocnina
VícePostup pro objednání jízdenek pomocí internetových stránek
Postup pro objednání jízdenek pomocí internetových stránek http://jizdenky.ligneta.cz ANLEITUNG ZUM BESTELLEN VON FAHRKARTEN ÜBER DIE SEITE HTTP://JIZDENKY.LIGNETA.CZ Spusťte internetový prohlížeč a do
Více