Statistika. Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

Transkript

1 Variace 1 Statistika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

2 1. Statistika Statistika je odvětví matematiky, které se zabývá zpracováním hromadných jevů. Setkáváme se s ní v denním tisku, v televizních zprávách, v rozhlase, v různých informacích. Tvoří základ pro plánování, organizaci a vedení ekonomiky vůbec. Dává návod, jak zpracovávat rozsáhlé číselné údaje o věcech a lidech. Je základem různých propočtů a z nich vyplývajících rozhodnutí. Přibližuje nám zákonitosti života - od domácnosti až po světovou politiku. Je možno říci, že statistika je souhrn metod, které nám umožňují činit rozumná rozhodnutí, založená na porovnání, posouzení a zhodnocení informací. Základní pojmy statistiky statistický soubor statistická jednotka (prvek statistického souboru) statistický znak statistické šetření Při provádění šetření se budeme zabývat např. souborem všech žáků jedné konkrétní třídy a sledovat, jakou mají hmotnost, výšku, barvu očí, ve kterých sportovních družstvech jsou zapojeny, apod. Hmotnost nebo výška jsou znaky kvantitativní. Barva očí, druh sportu jsou znaky kvalitativní. Další příklady statistických souborů: a) soubor - všichni pacienti jedné zubní kliniky ve městě znak - počet plombovaných zubů b) soubor - všichni občané našeho města starší 18-ti let znak - průměrný měsíční výdělek c) soubor - všichni žáci školy znak - známka z matematiky d) soubor - všechna auta v ulici, kde bydlíte znak - barva auta Pozn.: Statistické průzkumy a statistická šetření se často neprovádějí na celém základním souboru, ale pouze na jeho části, tzv. výběrovém souboru. Úkolem statistiky je pak propočítat, jaké rozdělení určitého znaku v celém souboru je možné očekávat, jestliže známe rozdělení určitého znaku ve výběrovém souboru. Příklad 1: Statistický soubor tvoří členové rodiny Novákových (celkem 8 osob), žijící společně v rodinném domku. U každého člena rodiny jsme sledovali, jakou má hmotnost, výšku, věk, jestli rád sportuje, čte, luští křížovky, umí vařit. Získané údaje jsme zapsali do tabulky: 2

3 Položme si otázky: a) Kolik členů rodiny rádo sportuje? b) Kolik členů rodiny rádo čte? c) Kolik členů rodiny luští křížovky? d) Kolik členů rodiny umí vařit? e) Kolik členů rodiny má výšku 165 cm? f) Kolik členů rodiny má hmotnost 75 kg? a) 5; b) 4; c) 4; d) 4; e) 3; f) 1 Počet těch členů rodiny, kteří rádi sportují, je 5. Ve statistice říkáme, že znak "rád sportuje" má četnost (frekvenci) 5. Poznali jsme tak další základní prvek statistiky, a to četnost. Příklad 2: V jedné třídě školy zjistili při průzkumu velikosti bot, které žáci nosí, toto: Které číslo bot má největší četnost? Kolik bylo ve třídě celkem žáků? Nejvyšší četnost má číslo 25. Ve třídě je celkem 34 žáků. Závěr: Součet jednotlivých četností sledovaného znaku je roven počtu prvků statistického souboru. Hodnotu s nejvyšší četností nazýváme modus daného statistického souboru. 3

4 Pozn.: Všimněme si výhodné čárkovací metody, kterou jsme použili v předchozím příkladu. Zvláště při zpracování velkých souborů se často oddělují čárky po pěti tím, že se škrtnou. Příklad 3: V jedné chráněné oblasti zpracovávali statistický soubor stromů podle jednotlivých druhů. Z vypracované tabulky určete četnosti jednotlivých druhů a celkový počet stromů zahrnutých do šetření. Javor - 38; lípa - 59; smrk - 30; dub - 47; modřín - 83; olše - 29; Celkem šetřeno stromů = 286 Závěr: Celkový počet jednotek souboru nazýváme rozsah souboru. 2. Statistika - procvičovací příklady Proveďte anketu oblíbenosti jednotlivých populárních hudebních skupinu vás ve škole a určete četnosti obliby jednotlivých z nich Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete četnost jednotlivých čísel bot. 3. Vyberte 10 žáků ze třídy a sestavte pro ně tabulku obdobnou tabulce pro rodinu Novákových, která je zde: 2742 Určete četnost jednotlivých znaků. 4

5 4. Zpracujte přehled stromů a keřů podle druhů v parku u vás před školou nebo na návsi/náměstí Proveďte statistické šetření na vzorku lidí vcházejících do supermarketu, kde budete sledovat statistické znaky: muž; žena; má deštník; má brýle; kouří cigaretu; vede psa; má klobouk; má batoh; má s sebou dítě Proveďte statistické šetření na vzorku lidí jedoucích s vámi v autobuse/tramvaji, kde budete sledovat statistické znaky: muž; žena; má deštník; má brýle; kouří cigaretu; vede psa; má klobouk; má batoh; má s sebou dítě Radka pomáhala kamarádovi v podchodu prodávat noviny. Začala si všímat kupujících a sepsala si takovouto tabulku údajů o lidech, kteří si kupovali noviny. Z tabulky vyčtěte alespoň pět informací o jednotlivých osobách Zpracujte tabulku aut parkujících v blízkosti vaší školy (případně v ulici, kde bydlíte) podle značky a barvy Aritmetický průměr Aritmetický průměr se vypočítá tak, že sečteme jednotlivé hodnoty a získaný součet dělíme jejich počtem. Výsledek spočítáme tak, aby obsahoval o jedno desetinné místo více, než měly jednotlivé sčítané členy a zaokrouhlíme na počet desetinných míst odpovídající členu, který měl nejmenší přesnost. Příklad 1: Vypočítejte průměrný plat pana Nováka v roce 1992, jestliže víte, že jeho čisté měsíční výdělky (zaokrouhlené na stovky) v jednotlivých měsících byly: Měsíc Plat [Kč] Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec

6 ( ) : 12 = 720 : 12 = 60 Průměrný měsíční plat pana Nováka v roce 1992 byl Kč. Příklad 2: Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu 5,5 km; za třetí a čtvrtou hodinu 0 km; za pátou hodinu 4,5 km; za šestou hodinu 4 km; za sedmou hodinu 3 km a za osmou hodinu ušel pouze 1 km. Určete jeho průměrnou rychlost za hodinu. Průměrnou rychlost označíme v p. Milan šel průměrnou rychlostí 3 km/h. Příklad 3: (po zaokrouhlení) Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech): Pořadové číslo Výška [m] 1 1,30 2 1,35 3 1,32 4 1,50 5 1,40 6 1,50 7 1,32 8 1,54 9 1, , , , , , , , ,48 Zapište do tabulky tyto údaje a to tak, že je srovnáte od nejmenší do největší hodnoty naměřené výšky a do vedlejšího sloupce tabulky zapíšete četnost jednotlivých hodnot. Vypočítejte aritmetický průměr tohoto souboru. Určete modus. Výška [m] Četnost 1,30 1 1,32 5 1,35 2 6

7 1,40 2 1,42 2 1,48 1 1,50 3 1,54 1 Průměrnou výšku člena sportovního oddílu označíme x p. Pak platí: x p = (1, , , , , , , ,54. 1) : 17 = 1,40 Aritmetický průměr je přibližně 1,40 m. Modus je 1,32 m. Poznámka: V našem případě jsme využili k výpočtu průměru četností jednotlivých hodnot. Nesčítali jsme tedy např. pětkrát číslo 1,32, ale vynásobili jsme 1,32 pěti, což je četnost hodnoty 1,32. Obecně můžeme tento postup vyjádřit takto: kde x 1, x 2,..., x n jsou jednotlivé hodnoty daného znaku (např. výšky členů sportovního oddílu), f 1, f 2,..., f n jsou jejich příslušné četnosti x p je průměr těchto hodnot. 4. Aritmetický průměr - procvičovací příklady Určete aritmetický průměr a modus známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí. 2. Vypočtěte průměrný počet žáků, který připadá na jednu třídu ve vaší škole. Určete odchylky počtu žáků v jednotlivých třídách od vypočítaného průměru. Určete modus. 3. Určete průměrnou výšku a modus měsíčního kapesného, které dostávají spolužáci ve vaší třídě Pan Novák jel 3 hodiny autobusem (průměrná rychlost 40 km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále 5 hodin pěšky (průměrná rychlost 4 km/h) do cíle své cesty. Jaká byla průměrná rychlost pana Nováka na celé cestě? 18 km/h 5. Určete aritmetický průměr a modus výšky děvčat ve vaší třídě Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6:00 do 20:00 hodin večer a určete průměrnou teplotu tohoto dne z vašich naměřených hodnot Medián Aritmetický průměr je často nereálná hodnota. Mají-li například dva kamarádi dohromady průměrně 50 Kč, mohli jsme tuto hodnotu získat také tak, že jeden z nich má 100 Kč a druhý 0 Kč. Jestliže je ve statistice uvedeno, že během roku sní každý občan naší republiky jednu husu, může sníst někdo pět hus a někdo jiný žádnou!!! 7

8 Proto se ve statistice určují ještě další hodnoty, které charakterizují daný soubor. Jednou z nich je modus, se kterým jsme se již seznámili, další je medián. Příklad 1: Na jedné 15-ti třídní škole mají tyto počty žáků ve třídách: Tří da Poč et žáků 1A 18 1B A 28 5B 29 6A 31 6B 33 7A 32 7B 33 8A 26 8B 28 8C Sestavte tabulku seřazenou od nejmenšího počtu žáků ve třídě k největšímu. Ve druhém sloupci této tabulky uveďte označení třídy odpovídající danému počtu žáků. Určete modus a vypočtěte aritmetický průměr počtu žáků ve třídě. Modus (nejvyšší četnost) je 33 žáků. Průměr počtu žáků v jednotlivých třídách označíme x p. Platí: x p = 430 : 15 = 29 (po zaokrouhlení) Poče Třída t žáků 17 1B 18 1A 26 8A 26 8C A 28 8B 29 5B 31 6A 32 7A B 33 7B 8

9 35 9 Další charakteristikou souboru je údaj, který leží uprostřed tabulky počtu žáků v jednotlivých třídách dané školy sestavené od nejmenšího počtu k nejvyššímu. Je to třída s počtem žáků 29. (Před tímto údajem je uveden počet žáků sedmi tříd a za ním je uveden rovněž počet žáků sedmi tříd.) Hodnota ležící ve středu tabulky uspořádané od nejmenší do nejvyšší hodnoty šetřeného znaku, se nazývá medián. Tabulku počtu žáků ve třídě a označení příslušné třídy uspořádáme ještě tak, že ke každému počtu žáků ve třídě přiřadíme místo označení třídy četnost tříd, které mají tyto počty žáků. Počet žáků ve třídě Četnost takových tříd I z této tabulky snadno určíme medián. Tabulku rozdělíme na tři části tak, aby v prvé i ve třetí části tabulky byl stejný počet tříd (prvků daného statistického souboru). Při lichém počtu prvků statistického souboru leží ve druhé části tabulky jediná hodnota - medián. Závěr: Zjistili jsme, že průměrný počet žáků ve třídě je 29, medián též 29 a modus 33. Příklad 2: Na 1. stupni základní školy mají tyto počty žáků ve třídách: Určete medián tohoto statistického souboru. Tabulku uspořádáme podle počtu od nejmenšího k největšímu. 9

10 Na rozdíl od předchozího příkladu vidíme, že zde máme sudý počet prvků. V případě sudého počtu prvků statistického souboru určíme medián tak, že sečteme poslední hodnotu horní části tabulky a první hodnotu dolní části tabulky (uspořádané od nejmenší do největší hodnoty znaku) a tento součet dělíme dvěma. V našem případě: Medián daného statistického souboru je Medián - procvičovací příklady Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6:00 do 20:00 hodin večer a určete medián tohoto dne z vašich naměřených hodnot. 2. Určete medián výšky děvčat ve vaší třídě. 3. Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech): Pořadové číslo Výška [m] 1 1,30 2 1,35 3 1,32 4 1,50 5 1,40 6 1,50 7 1,32 8 1,54 9 1, , , , , , , , ,48 Určete medián daného statistického souboru. 1,40 m 10

11 4. Pan Novák jel 3 hodiny autobusem (průměrná rychlost 40 km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále 5 hodin pěšky (průměrná rychlost 4 km/h) do cíle své cesty. Jaký byl medián průměrných rychlostí pana Nováka na celé cestě? 4 km/h 5. Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu 5,5 km; za třetí a čtvrtou hodinu 0 km; za pátou hodinu 4,5 km; za šestou hodinu 4 km; za sedmou hodinu 3 km a za osmou hodinu ušel pouze 1 km. Určete rychlost za hodinu odpovídající mediánu. 3,5 km/h žáků třídy 9B psalo písemnou práci z matematiky, za kterou mohl každý žák dostat nejvýše 20 bodů. Získali tyto výsledky: Sestavte tabulku četností jednotlivých výsledků od nejnižšího počtu dosažených bodů k nejvyššímu. Určete průměr, medián a modus tohoto souboru. 17,2; 17; Určete medián měsíčního kapesného, které dostávají spolužačky ve vaší třídě Škola má celkem 12 tříd. Průměrný počet žáků na třídu je 29. Medián je 29,5. Modus je 36. Nejvyšší počet žáků ve třídě je 36, nejnižší 19. S počtem 36 žáků jsou ve škole dvě třídy. Určete celkový počet žáků ve škole a charakterizujte tento statistický soubor podrobněji podle zadaných údajů. 348 žáků; podmínky splňuje např. tato tabulka: V šetřeném souboru je 7 jablek o hmotnostech 120 g, 100 g, 200 g, 80 g, 130 g, 160 g, 140 g. Určete jablko, které reprezentuje medián tohoto souboru. 130 g Určete medián známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícím pololetí Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete medián souboru Určete medián počtu žáků jednotlivých tříd vaší školy Rozptyl Pozor na průměrné hodnoty! "Ne nadarmo koluje o statisticích tento vtip: Kdyby někdo stál jednou nohou ve sněhu a druhou na rozžhaveném uhlí, statistik řekne, že je mu průměrně teplo." Rozptyl je statistická veličina, která charakterizuje rozložení četností kolem aritmetického průměru. Jako statistická veličina je rozptyl definován jako součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot znaku od průměru dělený počtem hodnot. 11

12 Rozptyl značíme (řecké písmeno sigma). x 1, x 2,..., x n jsou jednotlivé hodnoty, x p n je jejich průměr, je počet prvků daného souboru Příklad 1: Během jednoho deštivého dne byla naměřena teplota vzduchu v Praze ráno (v 6:00 hodin) 8 C, v poledne (ve 12:00 hodin) 12 C a večer (v 19:00 hodin) 10 C. Během slunečního jarního dne (s ranním ostrým chladem) byla naměřena teplota vzduchu ráno (v 6:00 hodin) 3 C, v poledne (ve 12:00 hodin) 18 C a večer (v 19:00 hodin) 9 C. Vypočítejte aritmetický průměr teplot v uvedených dnech a odchylky naměřených teplot od tohoto aritmetického průměru. Tabulka 1. den Teplota [ C] Odchylka od průměru naměřených teplot Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia): Tabulka 2. den Teplota [ C] Odchylka od průměru naměřených teplot Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia): V obou sledovaných dnech je aritmetický průměr naměřených hodnot teplot stejný, a to 10 C. Odchylky od průměrné teploty v prvním a ve druhém dni nám však ukazují, že jde o dva velmi rozdílné statistické soubory. V prvním případě jsou odchylky nevýrazné (hodnoty mají nevýrazný rozptyl); ve druhém případě jsou odchylky výrazné (hodnoty mají výrazný rozptyl). Veličinu "rozptyl" si můžeme velmi názorně předvést na střeleckém terči: 12

13 Příklad 2: Zakreslete do střeleckého terče zásahy podle odchylky. Odchylka jednotlivých zásahů od středu: Pořadové číslo znaku Odchylka od středu Příklad 3: Žáci 9A jedné základní školy mají toto rozložení dat narození: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Rok Počet žáků Určete průměrný počet narozených v jednom měsíci a odchylky od průměru v jednotlivých měsících, modus, medián a rozsah tohoto souboru. Měsíc Počet narozených Průměr Odchylka IX X XI XII I II III IV V VI VII VIII Průměrný počet: 13

14 Rozsah souboru je 36. Počet narozených Četnost Modus souboru je 4. Medián souboru je 3,5. Příklad 4: Žáci 9A jedné základní školy mají toto rozložení dat narození: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Rok Počet žáků Vypočítejte rozptyl statistického souboru. Měs íc Počet narozených Průměr Odchylka Druhá mocnina odchylky IX X XI XII I II III IV V VI VII VIII Výpočet rozptylu: Pozn.: Čím je číslo menší, tím menší jsou rozdíly jednotlivých hodnot od průměru, tím "blíže" jsou jednotlivé hodnoty rozmístěny kolem průměrné hodnoty. 8. Rozptyl - procvičovací příklady 14

15 1. V tabulce je uveden počet vyrobených aut (v tisících kusech) v roce 1989 ve státech s nejvyšším počtem tohoto výrobku: Stát Osobní automobily Nákladní automobily Japonsko USA SRN Francie Itálie Španělsko Velká Británie SSSR Kanada Vypočtěte aritmetický průměr a medián těchto souborů, porovnejte průměr s výrobou automobilů v Československu v roce 1989 (osobní auta 188, nákladní auta 45). Určete nejnižší odchylku od průměru u obou souborů. Osob. auta: 3 371,4; 1 970; Francie +42,6; nákladní auta: 1 324,4; 724; Kanada -375,4 2. Na ulici ve městě pravidelně parkují auta. Během jednoho týdne jsme zjistili tyto údaje o jejich počtu: Den Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Sobota Neděle Počet parkujících aut Určete průměrný počet a odchylky v jednotlivých dnech, vypočtěte rozptyl. Průměr: 47; rozptyl: 306,43 3. Při rovnání své knihovny zjistil pan Novák, že má celkem 780 knih, z toho má 82 knih básní, 264 detektivky, 102 cestopisy, 145 klasických románů, 38 naučných knih, 69 dobrodružných příběhů, 72 knihy současné prózy a 8 knih povídek. Zapište tabulku tohoto souboru, určete průměr a odchylky jednotlivých druhů knih od tohoto průměru. Vypočtěte rozptyl. 97,5 4. V tabulce je uveden podíl jaderných elektráren na výrobě elektrické energie v některých státech světa v roce 1991: Stát Podíl elektrické energie z jaderných elektráren [%] ČSFR 28,7 Francie 72,7 Belgie 59,3 Švédsko 51,6 Maďarsko 48,4 Švýcarsko 40,0 Španělsko 35,9 Bulharsko 34,0 Finsko 33,3 Německo 27,6 Japonsko 23, Určete aritmetický průměr a medián tohoto vzorku. Stanovte odchylky jednotlivých hodnot od průměru. Vypočtěte rozptyl. Aritmetický průměr: 41,4; Medián: 35,9; Rozptyl: 206,11 15

16 5. Při zjišťování počtu psů v jednom domě na sídlišti byly získány tyto údaje: Byt č Počet psů Určete průměrný počet a odchylky v jednotlivých dnech. Průměr: 1; Odchylky: -1; 0; +1; 0; 0; -1; +2; -1; 0; -1; +1; 0; -1; -1; 0 6. V tabulce je uveden roční přirozený přírůstek obyvatelstva a střední délka života občanů v jednotlivých světadílech v roce Světadíl Roční přirozený přírůstek na 1000 Střední délka života (počet let) obyvatel Evropa 2 74 Asie Afrika Severní Amerika 8 76 Latinská Amerika Austrálie a Oceánie Určete aritmetický průměr, medián a rozptyl těchto dvou statistických souborů. Roční přírůstek: 16; 16; 81,5; Střední délka života: 67; 68; Diagramy ve statistice Diagramy ve statistice nám slouží k přehlednému znázornění výstupu ze statistického šetření. Ke tvorbě diagramů můžeme výhodně využít i počítačového programu - např. Excelu. Příklad 1: Cizí jazyky se učí 150 žáků 7. a 8. tříd jedné základní školy v rozložení, které je znázorněné na tomto kruhovém diagramu: Určete počty žáků, kteří se učí jednotlivým jazykům. 100 % žáků 40 % : = 60 žáků 32 % : = 48 žáků 14 % : = 21 žáků Anglicky se učí 60 žáků, německy se učí 48 žáků, francouzsky 21 žáků, španělsky rovněž 21 žáků. 16

17 Příklad 2: Narýsujte kruhový diagram příslušný k této tabulce: Sportovní odvětví Hokej Tenis Kopaná Házená Karate Sportovní gymnastika Počet žáků, kteří se mu věnují Základní soubor této tabulky tvoří 40 žáků dvou devátých tříd školy (7 žáků nepěstuje žádný sport) % 0, % : 0,4 %= 20 % : 0,4 % = 25 % : 0,4 % = 12,5 % : 0,4 % = 15 % : 0,4 % = 5 % % %... 3,6 Příklad 3: Zapište do tabulky přibližné hektarové výnosy cukrovky v ČR, které jsou zaznamenány na tomto diagramu: 17

18 Diagram, z kterého jsme snadno přečetli údaje a který názorně ukazuje, ve kterém roce byla sklizeň cukrovky největší, ve kterém nejnižší a v jakém rozpětí se pohybuje, nazýváme sloupkový diagram nebo též histogram. Příklad 4: Narýsujte sloupkový diagram celkového prospěchu žáků 9. ročníku v 1. pololetí podle následující tabulky. Nakreslete příslušný kruhový diagram. Prospěch Prospěl s vyznamenání m Prospěl Neprospěl Nebyl klasifikován Celkem Četnost Četnost %

19 10. Diagramy ve statistice - procvičovací příklady 1. Lucka dostala z písemek z matematiky 8, 7, 9, 6 bodů. Kolik bodů musí získat z poslední písemky, aby aritmetický průměr byl 8 bodů potřebných na známku "chvalitebně"? Narýsujte příslušný sloupkový diagram Každé z pěti žákovských družstev sehrálo s ostatními deset zápasů. Za výhru vždy získalo dva body, za remízu jeden bod a za prohru nula bodů. Vypočítejte celkové bodové zisky družstev, narýsujte sloupkový diagram. Mužstvo Počet výher Počet remíz Počet proher Celkový počet bodů A B C D E ; 12; 13; 11; Krasobruslařka při volné jízdě získala od rozhodčích tato ocenění: 5,5; 5,5; 5,7; 5,2; 5,4; 5,6. Narýsujte sloupkový diagram souboru jejích ocenění. Určete aritmetický průměr, odchylky od něho, modus a medián. Aritmetický průměr: 5,5; Modus: 5,5; Medián: 5,5 4. Určete v procentech počet jednotlivých druhů zvířat v ZOO podle kruhového diagramu:

20 Obsah 1. Statistika 2. Statistika - procvičovací příklady 3. Aritmetický průměr 4. Aritmetický průměr - procvičovací příklady 5. Medián 6. Medián - procvičovací příklady 7. Rozptyl 8. Rozptyl - procvičovací příklady 9. Diagramy ve statistice 10. Diagramy ve statistice - procvičovací příklady