0. Pak existuje n tak, že Bµ APn

Transkript

1 Euklidovský prostor Základní pojmy: bod, přímka rovina Základní vztahy: bod leží na přímce přímka prochází bodem bod leží v rovině rovina prochází bodem bod inciduje s přímkou přímka inciduje s bodem bod inciduje s rovinou rovina inciduje s bodem přímka leží v rovině přímka inciduje s rovinou (rovina prochází přímkou rovina inciduje s přímkou Základní vlastnosti Axiomy incidence I 1. Dvěma různými body prochází jediná přímka. I 2. Na každé přímce leží alespoň dva body. [ 2;3 ] y = 4x 5 I 3. Existují alespoň tři body, které neleží na jedné přímce. 3= pravda Axiomy uspořádání U 1. Jestliže Cµ AB, pak A; B; C jsou tři navzájem různé body téže přímky a platí také Cµ BA U 2. Ke každým dvěma různým bodům A; B existuje alespoň jeden bod C tak, že Cµ BA U 3. Pro každé tři různé body téže přímky platí, že právě jeden z nich leží mezi zbylými dvěma. U 4. (Paschův: Jsou-li EFG ; ; nekolineární body p je přímka, která neprochází body EFG ; ; a na které leží bod M µ EF. Pak existuje bod N, který leží na p a platí buď Nµ EG, anebo Nµ FG Axiomy shodnosti S 1: Shodnost úseček je reflexivní, symetrická a tranzitivní S 2: Nechť AB je úsečka CD polopřímka. Pak na CD leží právě jeden bod E tak, že AB CE. S 3: Nechť Cµ AB; C' µ A' B' ; AC A' C' ; CB C ' B'. Pak AB A' B'. S4: Shodnost úhlů je reflexivní, symetrická a tranzitivní S5: Pro každý AVB a každou polorovinu A' V ' M existuje jediná polopřímka V ' B ' tak, že AVB A' V ' B' Velikost (délka úsečky, vzdálenost bodů * Délka každé úsečky je kladná * Délky shodných úseček jsou si rovny * Je-li Cµ AB, pak AC + CB = AB * Existuje úsečka délky jedna. A (Archimedův axiom: Nechť A0B 0; AB jsou libovolné úsečky. Na polopřímce AB sestrojme posloupnost P0; P1;...; P;... = { P} tak, že P 0 = A; PkP k + 1 A0B 0. Pak existuje n tak, že Bµ APn. k k k Axiom rovnoběžnosti E (Euklidův axiom: Bodem A neležícím na přímce p prochází právě jedna přímka a, která leží v rovině pa a s přímkou p nemá společný žádný bod.

2 Modely euklidovského prostoru Syntetický euklidovské konstrukce pravítko, kružítko (PK geometrie Konstrukce čtverce analytický (analytická geometrie bod [ a1; a 2] průsečík přímek y = k1x+ q1 y = k x+ q rektifikace kružnice průsečík kružnic ( ( kvadratura kruhu ( ( zdvojení krychle x m + y n = r x m + y n = r

3 Euklidovský prostor Incidence Uspořádání Shodnost Rovnoběžnost Spojitost I1. I2. I3.. U1. U2. U3. U4. S1 S2 S3 S4 S5 S6 A E D (Dedekindův axiom + šest dalších axiomů incidence: I4: Každými třemi body, které neleží na jedné přímce, prochází právě jedna rovina I5: V každé rovině leží alespoň jeden bod I6: Jestliže v rovině leží dva různé body téže přímky, pak v této rovině leží celá přímka I7: Jestliže bod leží na přímce a tato přímka v rovině, pak bod leží v této rovině I8: Existují alespoň čtyři body, které neleží v jedné rovině I9: Jestliže dvě roviny mají společný bod, mají společnou přímku, která tímto bodem prochází.

4 Vektorový prostor Syntetický model množina všech orientovaných úseček se společným počátkem Analytický model množina všech uspořádaných dvojic resp. trojic reálných čísel u = ( u ; u v = ( v; v ( u1; u2 ( v1; v2 ( u1 v1; u2 v2 ( u ; ( ; u + v = + = + + c u = c u = c u c u u = ( u ; u ; u v = ( v; v ; v ( u1; u2; u3 ( v1; v2; v3 ( u1 v1; u2 v2; u3 v3 ( u ; ( ; u + v = + = c u = c u = c u c u Afinní prostor = vektorový prostor, ke kterému se přidá množina bodů Syntetický model Analytický model (axiomy I, U, R, Sp B A B= b; b = a; a + u ; u = a + u ; a + u = +u [ ] [ ] ( [ 1 1 ] B= [ a1; a2; a3] + ( u1; u2; u3 = [ a1+ u1; a2 + u2; a3+ u3] u = B A u = ( u1; u2 = [ b1; b2 ] [ a1; a2 ] = ( b1 a1; b2 a2 u = [ b; b ; b ] [ a; a ; a ] = ( b a; b a ; a b a = A O a = [ a1; a2] [ 0;0 ] = ( a1; a2 u = [ a1; a2; a3] [ 0;0;0 ] = ( a1; a2; a3 p X = A+ t u ; t p [ x1; x2] = [ a1+ t u1; a2 + t u2] x1 = a1+ t u1 x2 = a2 + t u2 p A; u

5 Euklidovský prostor = afinní prostor, který umí měřit úsečky (axiomy I, U, S, R, Sp Syntetický model Analytický model u = ( u1; u2 ; = ( v1; v2 u = ( u ; u ; u ; = ( v; v ; v v ; u v = uv 1 1+ uv v ; u v = uv 1 1+ uv + uv 3 3. uu + uu = u + u u = u u = uu uu uu u u u AB = B A = = ( b a ; b a = ( b a + ( b a = = ( b a ; b a ; b a ( b a ( b a ( b a u v u v =0 Euklidovský prostor - zavedení souřadnic Syntetický model Analytický model u = ( u1; u2 ; = ( v1; v2 u = ( u ; u ; u ; = ( v; v ; v v ; u v = uv 1 1+ uv v ; u v = uv 1 1+ uv + uv 3 3 uu + uu = u + u u = u u = uu uu uu u u u = ( b a + ( b a AB = B A = + + u v u v = ( b a ( b a ( b a p X = A + t u; t p A; u x O; i y O; j O;; i j ( ; u = u i + u j = u u [ ; ] A = O+ a = O+ a i + a j = a a

6 Projektivní rovina - syntetický model Projektivní rovina - syntetický model

7 Projektivní rovina - syntetický model Projektivní rovina - syntetický model

8 Projektivní rovina - analytický model Projektivní bod = množina všech směrových vektorů přímky vlastní body ( 1; 2; A ( 1; 2; B ( A= k a = k a a ω B= k b = k b b ω ω 0 C = k c = k c1; c2; ωc výběr reprezentanta vlastního bodu: ( kc kc kω C = 1; 2; C ; k 0; ω C 0 euklidovský reprezentant C = ( c1; c2;1 E bod s kartézskými souř. C = [ c; c ] v 2 nevlastní body ( 1; 2;0 ( ; ;0 D= k d = k d d ω = 0 E = k e = k e1 e2 Projektivní rovina - analytický model (shrnutí 1. Vlastní bod A= k = k ( a a ω možno reprezentovat euklidovským reprezentantem = ( a ; a ;1 v euklidovské rovině a 1; 2; A ; ωa 0 A homogenní souřadnice mu odpovídá bod A [ a ; a ] = kartézské souřadnice 2. Nevlastní bod = směr, V k k ( v v ω možno reprezentovat libovolným nenulovým vektorem = ( v; v ;0 v euklidovské rovině libovolný = v = 1; 2; V ; ω V = 0 v homogenní souřadnice směrový vektor = ( v; v v kartézské souřadnice Značení: euklidovská rovina E 2 projektivní rovina E 2

9 Podobně: projektivní prostor - analytický model 1. Vlastní bod A= k = k ( a a a ω možno reprezentovat euklidovským reprezentantem = ( a ; a ; a ;1 v euklidovské rovině a 1; 2; 3; A ; ωa 0 A homogenní souřadnice mu odpovídá bod A [ a ; a ; a ] = kartézské souřadnice 2. Nevlastní bod = směr, V k k ( v v v ω možno reprezentovat libovolným nenulovým vektorem = ( v; v ; v ;0 v euklidovské rovině libovolný = v = 1; 2; 3; V ; ω V = 0 v homogenní souřadnice směrový vektor = ( v; v ; v v kartézské souřadnice Značení: euklidovský prostor E 3 projektivní prostor E 3 v afinní rovině (prostoru Bod a vektor v projektivní rovině (prostoru A + u = X X = A + u [ a; a ] + ( u; u = [ a + u ; a + u 1 1 ] = [ x; x ] ( a; a ;1 + ( u ; u ;0 = ( a + u; a + u ;1 1 1 = ( x; x ;1 Součet bodu a vektoru je vektor X A =u A X = u [ x1; x2] [ a1; a2] = ( x1 a1; x2 a2 = ( u1; u2 ( x1; x2;1 ( a1; a2;1 = ( x1 a1; x2 a2;0 = ( u1; u2;0 Rozdíl dvou bodů je vektor c ( a ; a ;1 + c ( a ; a ; c ( a ; a ;1 = ( x; y; c + c c c + c c 1 n = n n1 n2 n c1a1+ c2a2 + c3a ciai cnan= B c + c c 1 n = Afinní kombinací bodů je bod ( (( + (( + + ( ( = ( ( c t a ; a ;1 c t a ; a ;1... c t a ; a ;1 x t ; x t ; n n1 n2 Afinní kombinace bodů určená funkcemi jedné proměnné v CAD systému křivka určená řídicím polygonem. Tři (čtyři projektivní souřadnice rovinná (prostorová křivka. c1( u, v ( a11; a12; a13; cn( u, v ( an 1; an2; an2;1 = ( x1( u, v ; x2( u, v ; x3( u, v ;1 Afinní kombinace bodů určená funkcemi dvou proměnných v CAD systému křivka určená řídicím polygonem