Pružná soustava s odporem úměrným výchylce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pružná soustava s odporem úměrným výchylce"

Transkript

1 .324 STROJNiCKY CASOPS XV, Č. 4 Pružná soustava s odporem úměrným výchylce DOC. NŽ. RUDOLF BREPTA Ústav pro výzkum strojů ČSAV, Praha V některých případech se vyskytnou soustavy, u kterých je silová charakteristika pružiny přetržitá a je ovlivněna smyslem rychlosti. Typickým příkladem je soustava s pružinou a odporem vyvolaným Coulombovým třením; výsledná silová charakteristika pružiny a "tlumiče" je na obr. 1. Smysl "oběhu" po charakteristice je naznačen šipkami. Plocha kosodélníku vyjadřuje práci zmařenou při stálé amplitudě za jeden cykl. Řešení pohybu soustavy s jedním stupněm volnosti a s uvedenou silovou charakteristikou je známé jak pro volné, tak i pro vynucené kmity. Viz např. [1], str. 73-;.-78 a [2], [3], str Kromě soustav ovládaných Coulombovým třením se vyskytují zvláštní případy charakteristik podle obr. 2, kde se podle smyslu rychlosti uplatní horní nebo dolní její větev. Tato charakteristika je složitější než charakteristika předchozí, protože se zde vyskytuje vlastně dvojí tuhost. Jinak lze tvrdit, že se jedná o soustavu s odporem úměrným výchylce. Soustavy s uvedenou silovou charakteristikou byly zjištěny např. u ventilových rozvodů spalovacích motorů (viz [4]) a li vypružení železničních vozidel (viz [5]). Pokud je mi známo, řeší se vynucené kmity takové soustavy jen přibližně, zaváděním energeticky ekvivalentního viskózního tlumení, ovšem bez ověření přesnosti tohoto řešení a bez znalosti mezí jeho platnosti. Z porovnání s přesným řešením uvedeným v této práci poznáme nejen meze použitelnosti přibližného řešení, ale uvidíme také, jak takové řešení zastírá, pro některé frekvence budících kmitů, poměrně komplikované stavy, které se u této soustavy vyskytují. Formulace problému tedy je: Máme vyšetřit volné a hlavně vynucené kmity soustavy s jedním stupněm volnosti, jejíž charakteristika je dána obr. 2 buzené periodickou silou. Než začneme s vlastním řešením, zavedeme některé základní údaje charakteristiky. Obě její větve vztáhneme na střední "ideální" charakteristiku s rovnicí S = CoX, a "větve" skutečného průběhu rozlišíme zavedením "odporové" tuhosti cj' takže bude platit úsek O-;.- a 3 -;.- 4 úsek 1-;.-2 a 4-;.-5 S = (co - CJ) x, S = (co + CJ)X.* * Jednotlivé symboly značí: S - síla pružiny, Co - tuhost, x - výchylka, m... hmota,

2 STROJNCKY CASOPS XV, Č Podle toho zavedeme tři "vlastní" frekvence; střední frekvenci (00 J - Co, (00= m; frekvenci (01 pro méně strmou část charakteristiky (1) (2) frekvenci (02 pro strmější část charakteristiky (3) Obr. 1. Obr. 2. Obr. 3. VOLNÉ KMTY (OBR. 3) Musíme odpovědět na dvě otázky: 1. Jaký je pokles amplitud vyvolaný dissipací energie, 2. jaká je doba kmitu tělesa, Předpokládejme, že počáteční podmínky jsou t = O, x = xo, X = O. Tento stav je charakterizován bodem O. Pohybová rovnice při pohybu k rovnovážné poloze je mx = -(co - cf) x, x = -(O~x. Řešení rovnice pro dané podmínkyje x = X o cos (Olt.

3 326 STROJNCKY CASOPlS XV, č. 4 Rychlost při průchodu polohou je (X)l = - XOW V úseku -;- 2 je pohyb hmoty popsán rovnicí mx = -(co + c,) x, x = -w~x. Řešeni se zřetelem k počátečním podmínkám v bodě je Největší výchylka je Podobně musí platit mezi amplitudami Xl a XO vztah čili wi Xl = Xo -z --+ Xl = Xo Wz (CO - C) Co + C Rozvedenim výsledku dostaneme pro amplitudu x; po n kmitech vztah (4) který vyjadřuje, že amplituda klesá s geometrickou řadou. Rovnici 4 lze také vyjádřit v exponenciálním tvaru Proti tlumení Coulombovým třením, kde je pokles amplitud dán přímkou, je vidět, že se tyto kmity tlumí pomaleji, obdobně jako při viskózním tlumení.** Závislost (5) má ovšem smysl jen pro celistvé hodnoty n! Průběh kmitu je zde složen ze čtvrtvln o dvou různých frekvencích. Na obr. 4 je nakreslen volný kmit pro c/co = 0,5. * Čas t je počítán od průchodu tělesa polohou 1. **) Nesmíme ovšem zapomínat na okolnost, že stejný pokles amplitud ještě neznamená, že charakteristiky soustav jsou stejné, což je v našem případě zřejmé. Záleží ještě na časovém průběhu kmitu, (5)

4 STROJNiCKY CASOPS XV, č, Doba kmitu se rovná kmity jsou tedy izochronní., Obr. 4. VYNUCENÉ KMTY VZBUZENÉ PERODCKY PROMĚNLVOUSLOU Budící síla má jednoduchý harmonický průběh P = 'R sin (Ot + 15), 15 je zatím neurčené fázové pošinutí. Výhodnější bude rozepsat budicí sílu takto Přitom je P = Pl sin Ot + P 2 cos Ot. (6) Naším úkolem je najít periodické řešení (stacionární stav), které bude charakterizováno jistou amplitudou X o a fázovým pošinutím 15. Místo amplitudy Xo zavádíme součinitele naladění XO /ť5 s l, kde statický průhyb ť5s 1 pod silou R se vztahuje na střední tuhost co!

5 328 STROJNCKY CASOPS XV, e. ;1 Pro periodické řešení můžeme rozumně předpokládat, že průběh kmitu je souměrný, totiž že časový průběh kmitu mezi body. 0+2 charakteristiky (obr. 2) je.shodny s průběhem mezi body 3+ 5 (až na znaménko). Postačí tedy vyšetřit pohyb v intervalu Vzhledem k tomu, že charakteristika je v bodech (5-0), resp. (2-3) přetržitá, uplatní se jak vynucené, tak i "vlastní" kmity, které proto v tomto případě nelze od sebe oddělovat. Protože úseky 0+ 1 a 1+ 2 mají rozdílné tuhosti, musíme řešit postupně pro jednotlivé úseky. Pohybová rovnice je Pohyb v úseku 0+ 1 charakteristiky mx = -(co.. cf) x + Pl sin Qt + Pz cos Ot, Řešení.. z Pl' rl Pz rl m m x + (OlX = - Sn ~~t + - cos ~d. této rovnice má pro počáteční podmínlšy x = X o, X = O, t = O tvar r, 1 x = Xo cos (Olt +-. z z (cos Ot - cos (Olt) + m (01 - a Pl 1 (. rl O. ) +-. z z Sn ~d - - Sn (01t. m (01 - a (01 (7) Platnost vztahu (7) končí v okamžiku, kdy x = O, tj. v bodě charakteristiky. Příslušný čas tl musí splňovat rovnici P z 1 Xo cos (Olt l +-. (cos Otl - cos (Olt l) + m (Oi _ OZ + ~. z 1 z (sin Ott - ~ sin (Oltl) = O. m (01 - a (01 v témže okamžiku se rychlost V t rovná Vl = -XO(Ol sin (Oltl +!2. 1 (-a sin Otl + (01 sin (Olt l) + m (Oi _ OZ Pl +-. m (8) (9) Pohyb V úseku 1+ 2 charakteristiky Pro tento úsek pohybu zavedeme nový čas t, počítaný od průchodu rovnovážnou polohou.

6 STROJNCKY CASOPS XV, Č ' Pohybová rovnice je mx = -(co + Cf) X + Pl sinq(t + tl) + P 2 cosq(t + tl), pohybové rovnice pro počáteční podmínky (x = O, X = Vl' t = O) v tomto Řešení úseku je X + co~x =!.!. sin Q(t + tl) +!..3- cos Q(t + tl)' m m (10) ntegrační konstanty CaD jsou Pll. P 2 1 C = sin Qtl cos Qtl, (11) m CO2 - Q m CO 2 _ Q 1 ( Pl Q P 2 Q. ) D=-vl coSQtl+-' 2 2smQtl' CO2 m CO 2 - Q m CO2 _ Q Po dosazení za Vl z rovnice (9) dostáváme (12) Pohyb v tomto intervalu končí za čas t 2 výchylkou x = -Xo a rychlostí x = O. Čas t 2 dosadíme do rovnice (10) a do její první derivace; dostaneme tak dvě rovnice. (13) (14)

7 330 STROJNCKY CASOPS XV, č. 4 S ohledem na periodicitu kmitů musí být Q(tz + tl) = n. (15) V důsledku toho přejdou rovnice (13) a (14) v jednoduchý tvar C D Pl Q O - OJz sm OJztz + OJz cos OJztz - -. Z Z =, m OJz - Q do něhož dosadíme z rovnice (ll) a \12) za konstanty CaD a dostaneme 1 z z - Xo = OJ z -Q (16) (17) Máme tedy k dispozici rovnice (8), (15), (16) a (17). Poslední dvě rovnice před dalším použitím upravíme: Nejprve vynásobíme rovnici (16) faktorem sin OJztz a rovnici (17) faktorem cos OJztz, načež je sečteme; potom násobíme rovnici (16) faktorem -cos OJzt z a rovnici (17) faktorem sin OJzt z a takto upravené rovnice opět sečteme. Tak dostaneme nové dvě rovnice, k nimž připojíme rovnici (8). Po úpravě dostaneme soustavu rovnic:

8 STROJNCKY ČASOPS XV. Č Pl 1 (. ra '1. ) - sm ~dl - - sm W2t2 + m W~ _ '1 2 W2 P (cos '1t l + cos W 2 t 2) - X o cos W2t2 = O. (l8) m w~ _ '1 2 K těmto rovnicím patří ještě vztah (15). rovnic máme pro danou kruhovou frekvenci '1 a danou amplitudu budící Z těchto síly R najít amplitudu X o, fázový posuv fj a čas tl' Soustavu rovnic (18) můžeme považovat za homogenní systém pro veličiny Pdm, P2/m a xo. Protože se současně všechny tyto veličiny nemohou rovnat nule, musí mít příslušný determinant nulovou hodnotu. Po provedení a úpravě dostaneme

9 332 STROJNCKY CASOPS XV, e, 4 Rovnici (19) ještě upravíme dm, že z ni použitím vztahu (15) odstraníme čas t 2 a že do ní zavedeme bezrozměrné činitele Dostaneme nakonec o O 1. q=-=í- W2 wo'rf' 1+ Co (20) -2q(1 - q2)(p2 _ q2) cos '7+ 2q(1 - q2)(1 -l)cos 1t - '7 + q + 2q(p2_ q2)(1 _ p2) cos 1:. '7 - q _ p(l - q2)(1_ p2)(1 + -q2)sin~.sin...f'7'cos 1t - '7 _ p2 q q _ (1 - p2) (p2 _ q2) (1 + q2) sin '1 cos 1:. '7 sin 1t - '1 + q q + (1 - q2)(p2 _ q2) q(~ + p) cos '7. sin 1:. '7. sin n - '7 _ P q q _ q[(1 - p2)2 + (1 _ q2)2 + (p2 _ q2)2j cos '7. cos.l rl. cos n - 11 = O. (21) q q Rovnice (2l) je ústřední rovnicí celého řešení. Pro dané hodnoty p (čili cf/co) a q (vlastně O/wo) musíme jejím řešením najít příslušnou hodnotu pro '1, O tomto řešení uvedeme v dalším více. Nalezením '7. je vlastně celá úloha rozřešena. Pro každou zvolenou frekvenci O budící síly má '7 určitou "charakteristickou" hodnotu. Když známe '7 = Otl' vypočítáme z první a poslední rovnice (18) veličiny P2/Pl a xom/pl: (~l sin wltl - sin Otl) cos W2t2(W~ - (l2) + P2 + (* sin W2 t2 - sin (lll) cos Wltl(W; - (l2) 1'; = (cos Otl - cos Wlt l) cos w2tiw~ _ 0 2) + + (cos Dtl + cos W2t2) cos Wltl(wi _ 0 2) (cos Dtl - cos Wltl)!!- sin W2t2 - (cos Otl + cos W2t2)!!- sin wltl + W 2 Wl xom + sin Otl (cos wltl + cos W2(2) -p;- = - (cos Dt l - cos Wlt l) cos W2t2(W~ _ 0 2)_ - (cos Dtl + cos W2t2) cos Wltl(wi _ D 2) (22)

10 STROJNCKY ČASOPS XV, Č Rovnice (22) upravíme tím, že do nich zavedeme bezrozměrné veličinyp, q, 11 podle vzorců (20), a kromě toho do druhé rovnice (22) zavedeme tuhost Co vztahem (viz rov. (3» 2 Co ( W2=- 1+- Cf), m Co takže tuto rovnici převedeme do tvaru V důsledku toho vytvořímez rovnic (22) dvě nové rovnice (1 2) ( q. p.) n -,., - q - Sn Sn 11 cos p q q + (p2 _ q2)( q sin ~ - sin 11)cos f 11 (1 - q2)(cos 11 - cos : 11) cos n; 11 +, (23) + (p2 _ q2)(cos 11 + cos n ; 11 ) cos : 11 ( p ). n-11 - cos 11 - cos fl 11 q Sn--q- + 1 T=--- 1+~ Co + (cos 11 + cos n - 11!L sin.l 11 - sin 11 cos.l 11 + cos n - 11 q P q q q (1 - q2)(cos 11 - cos : 11)cos n; (p2 _ q2) (cos 11 + cos n; 11 ) cos : 11 (24) Rovnice (23) již určuje fázové pošinutí tj stacionárních kmitů; určíme takto: Podle rovnice (6) platí čili 'J (P2)2 R = Pl 1 + 1';, součinitele naladění

11 334 STROJNCKY CASOPlS XV, Č. 4 a odtud R Xo = ----;====== Co Je zřejmé, že Rjc., značí statický průhyb <5 s l, vztažený na střední tuhost Co, a proto pak výraz (25) je součinitelem naladění. Stručný postup výpočtu tedy je: Z rovnice (21) najdeme '7, s jeho pomocí určíme z rovnic (23) a (24) hodnoty <5 (resp. P2/Pl ) a T a nakonec z rovnic (25) součinitele naladění. Uvedené řešení má omezenou platnost; při pohybu z polohy do polohy 2 na charakteristice musí totiž být vždy x < 0 (viz obr. 2). Naopak, zase při pohybu mezi polohami 3 až 5 musí být x > 0. Jakmile tedy klesne rychlost někde mezi těmito krajními polohami na nulu, přestává řešení platit. Tyto komplikace nastávají, jak dále poznáme, při nízkých frekvencích. Proto se musí při výpočtu postupovat od vyšších frekvenci a k frekvencím nižším. Řešení komplikované rovnice (21) se poněkud usnadní, když určíme meze, ve kterých musí hodnota TJ ležet. Podle rovnice (15) je zřejmé, že bude platit n 2" < '7 < n, protože mezi polohami 0-;-.1 na charakteristice má pružina menší tuhost, čili tl > ' z- Dále můžeme najít hodnotu TJ, když ll, resp. q ->- 00. Z rovnice (2l) limitním přechodemzjistíme, že pak je TJ ->- n/2, bez ohledu na poměr cr/co' Numerické řešeníjsme provedli pro tyto hodnoty poměru Cr/Co: 0,3; 0,5; 0,7 a 0,9. Výsledky jsou znázorněnyna obr. 5,6 a 7. Na prvním obrázku je uveden průběh pomocné veličiny '7 (řešení rov. (21» v závislosti na poměrné frekvenci a/w o pro jednotlivé hodnoty cr/co' Čárkovaně je přikreslena mezná křivka, která omezuje platnost řešení. Z křivek je zřetelně vidět nesouměrnost kmitu, způsobená dvojí tuhostí pružiny, a to hlavně při nižší hodnotě budící frekvence. Na obr. 6 jsou křivky pro fázové pošinutí <5, včetně mezné čárkované křivky. Kromě toho je ještě přikreslena stupnice pro fázové po šinutí ex, vztažené k amplitudě kmitů, jak je to obvyklé u případu s viskózním tlumením. Na obr. 7 je konečně znázorněn průběh součinitele naladění. Zřetelně je zde

12 STROJNCKY ČASOPS XV, Č patrna oblast, kde přestává naše řešení platit. V obrázku jsou přikreslenypříslušné charakteristiky. Dále jsou na tabulkách až 4 uvedeny číselné výsledky řešení pro jednotlivé hodnoty CJ Co. Mezihodnoty pro jiné hodnoty CJ Co lze z těchto tabulek najít snadno interpolací. Na poslední tab. 5 jsou udány číselné hodnoty mezných křivek pro diagramy na obr. 5, 6 a 7. Způsob výpočtu bodů těchto mezných křivek viz dále. Nyní můžeme provéstsrovnánípřibližného a přesného řešení problému. Snažíme se nahradit komplikovanou charakteristiku podle Cf/co-u,3 / Cilce =0,5 C/c. =0.7 C/c. =0.9 Obr ()O, 1800 CleD = 0,5 Cll c =0,3 60 «" D C Qc =0,1 D Cllc D =0,9 900~0::..O ~ _ Obr. 6. obr. 2 jednodušším případem pružiny se střední tuhostí Co a viskózním tlumením o jednotkové tlumící mohutnosti 2u, vztažené na jednotku hmoty.* Z rovnosti ener- * Viz [1], str

13 336 STROJNCKY CASOPS XV. č gie, ztracenézajedencykl, pro obě charakteristiky (rovnost ploch, obr. 8) vyplývá, že 2n = 2el'. mno Ze vztahů pro energii ztracenou za jeden cykl (na obr. 8) je vidět zásadní rozdíl obou druhů tlumení, které srovnáváme: Pro soustavu s viskáznim tlumenim je ztracená energie závislá na frekvence kmitáni, u druhého způsobu tlumeni je ztracená energie neproměnná a neni funkci frekvence. o'------;;';:------;:'=_---~-=_- ;;:'=_--_;;';- Obr. 7. Když tuto hodnotu dosadíme do vztahu pro součinitele naladění při viskózním tlumení, dostaneme 1 1 (26) Tento výraz je přibližným vztahem pro výpočet součinitele naladění. Porovnání přesného řešení a přibližného řešení podle vztahu (26) je provedeno na obr Křivky zjištěné přibližným řešením jsou nakresleny čárkovaně. Ze srovnání vyplývá, že přibližné řešení vyhovuje jen. pro malé hodnoty C/co < 0,3, jinak je lze

14 :STROJNCKY CASOPS XV, e Tabulka 1 cf/co = 0,30 Q/w o 1]0 (x0 15 l.jl + ;P2/Pl )2 0, ' ' 65 35' 1,406 0, ' ' 67 32' 1,425 0, ' -14 ľ 75 59' 1,516 0, ' -7 12' 82 48' 1,617 0, ' -1 27' 88 33' 1,740 0, ' 3 47' 93 47' 1,901 0, ' 8 58' 98 58' 2,114 0, ' ' 2,860 0, ' 45 7' 135 7' 4,205 0, ' 66 52' ' 5,044 0, ' 80 41' ' 5,308 1, ' 95 6' 185 6' 5,132 1, ' ' ' 3,190 1, ' ' ' 1,972 1, ' ' ' 1,001 1, ' ' ' 0,630 1, ' ' ' 0,442 2, ' ' ' 0,332 2, ' ' ' 0,190 Tabulka 2 Cf/CO = 0,50!J/wo 1]0 (x0 15 l.jl +(:2/Pl)2j 0, ' 4 9' 94 9' 1,995 0, ' 6 35' 96 35' 2,027 0, ľ 14 9' 104 9' 2,147 0, ' 30 10' ' 2,501 0, ' 130 2' 2,722 0, ' 51 50' ' 2,951 0, ' ' 3,129 0, ' 81 45' ' 3,178 1, ' ' 3,048 1, ' ' ' 2,318 1, ' ' 1,666 1, ' ' ' 0,939 1, ' ' ' 0,611 1, ' ' ' 0,435 2, ' ' ' 0,328 2, ' ' ' 0,189

15 338 STROJNCKY CASOPS XV, e, " použít nejvýš pro oblast frekvencí Q > 0)0' Přibližné řešení neříká pochopitelně nic o komplikovaném pohybu při nízkých frekvencích. Na dalších obr jsou nakresleny časové průběhy kmitů pro hodnoty cf/co = 0,3, 0,5 a 0,7. Zřetelně je vidět nesouměrný průběh kmitů, který je tím více Tabulka 3 cf/co = 0,70 Q/W O 1)0 (x0 0 1";1 + <:z/p1)zl - 0, ' 46 9' 136 9' 2,310 0, ' 50 14' ' 2,320 0, ' 59 23' ' 2,338 0, ' 69 14' ' 2,336 0, ' 79 40' ' 2,295 0, ' 90 15' ' 2,205 1, ' ' ' 2,067 1, ' ' ' 1,709 1, ' ' ' 1,357 1, ' ' ' 0,862 1, ' 159 5' 249 5' 0,587 1, ' ' ' 0,425 2, ' 168 ' 258 ' 0,324 2, ' ' ' 0, Tabulka 4 cf/co = 0,90 Q/W O 1)0 (x0 0 -J + ;PzP1)zj ; 0, ' 79 40' ' 1,795 0, ' 81 24' ' 1,780. r 0, ' 88 24' ' 1,712! i 0, ' 95 32' ' 1,632 1,00 33' ' ' 1,542 1, ' ' ' 1,337 1, ' ' ' 1,129 1, ' ' ' 0,788 1, ' 154 2' 244 2' 0,557 1, ' ' ' 0,413 2, ' ' ' 0,318 2, ' ' ' 0,187

16 STROJNÍCKY CASOPlS XV, e ' Obr. 8. 5,0 3,0 2, ',,,,,,,,,,,,,, :, \ \ \ \ \ \,,/ \ '" \,'" \ Obr , ,0

17 340 STROJNCKY CASOPS XV, Č. 4 Tabulka 5 Souřadnice bodů na mezných křivkách ll/wa 1)0 (x0 <50 1./1 + ;P2/Pl)21 cf/co 0, ' ' 58 21' 1,117 0,15 0, ' ' 65 35' 1,406 0,30 0, ' ' 76 14' 1,655 0,40 0, ' 4 9' 94 9' 1,995 0,50 0, ľ 24 7' 114 7' 2,281 0,60 0, ' 46 9' 136 9' 2,310 0,70 0, ' 65 10' ' 2,100 0,80 0, ' 79 40' ' 1,795 0,90 3,0 2,0 1,0 o 0,5 1,0 1,5 2,0 Obr. 10. patrný, čím více klesá frekvence budící síly. Obzvláště obr. 14 názorně předvádí značné odchylky kmitů od sinusového průběhu. Tím je vysvětleno, proč lze použít přibližného řešení jen při vyšších "budících" frekvencích.

18 STROJNÍCKY ŮASOPS XV, č o 0,5 1,5 2 Obr. ll. 2 o 0.5 1,5 2 Obr. 12. %-aj... ~.a~ \ z;). / / \ / / l/ \. L> /1- r-, 1/» L <, ~2a.5: +~ ~ / / \ - / V,......'--10-' Obr.B.

19 342 STROJNCKY CASOPS XV, e, T-'- 1/ -, V 1"- r\ ~a'"' J 7 1/ -f- f-- 1\ / \ V / \. V -r ~-a5./ ~, <, -~ -Q75 / \ 1/ / J \ / <, ~ / "1 -Q95 1/ 1\ [1: 1\ J 1\ \ 1/ \ 1/ ~ -, ~ Obr. 14. Ll "\=ai! - 1/ \ \ \ \ J \ / / \ fo- - Obr. 15. MEZE PLATNOST ŘEŠENí Celé naše řešení platí, pokud je splněn předpoklad, že při pohybu v intervalech a 1..;- 2 nezmění rychlost smysl, čili jestliže je x < O. Při každém výpočtu součinitelů naladění a fázového pošinutí musíme kontrolovat, je-li uvedený před-

20 STROJNCKY ČASOPS XV. Č poklad splněn. K tomu potřebujemevýrazy pro rychlost v jednotlivých intervalech. Derivováním vztahů pro výchylku (rov. (7) a (10)) a zavedením bezrozměrnýchveličin XW R/m dostaneme: interval XW = cos D{[ - ( Cf) + -P 2 1 ]. sm -p ( Dt) - R/m Co Pl q2 q 1-- p2 [( ~:) sin O, - cos OJ} < O (27) pro < Dt < 11, interval + 2 ;~~ = ~~o:~ [sin 11 + (;:)cos 11Jsin ~ (Dt) + + cos D{[(!2) 1 - (1 + ~).J p2sin E q/ p cos l! Pl l- q2 Co q 1 _ L q p2 + (1 ~q' 1~/~:_ )[(~:)sinq - cos qj} cos ~ (O,) + pro 11 < Dt + 11 < n. + q: ~O;2D [cos (Dt + 11) - (;:) sin (Dt + 11)J < Na obr. 16 je nakreslen průběh veličiny R XW / pro ~ = 0,7 a D/wo = 0,75; m Co z grafu je zřetelný nesouměrný průběh kmitu. Názorný je obr. 17, kde je nakreslena celá série křivek pro Cf/CO = 0,5 a různé frekvence budící síly. Z průběhů je vidět, jak klesá směrnice tečny ke křivce v počátečním bodě, a lze proto předpokládat, že meze platnosti řešení se dosáhne, když tato směrniceklesne na nulu. Tato směrnice se vyjádří vztahem = cos D d ( XW ) P[( Cf) P 2 J d(dt) Rlm (.Qr=O) q Co Pl' (28)

21 344 STROJNCKY CASOPS XV, Č. 4 ".{ ~J Obr. 16. Obr. 17. a3 -a3 Obr. 18.

22 STROJNCKY ŮASOPS XV, č, Zdá se proto, žl! nejnižší frekvence, pro kterou bude naše řešení podmínku: platit, musí splnit -(1 - -SL)-r +!2 = O. (29) Co Pl Při numerickém řešení však zjistíme, že tato podmínka má jen omezenou platnost, platí totiž jen pro vyšší hodnoty poměru Cf/CO' Na obr. 18 jsou nakresleny průběhy derivace podle vzorce (28) pro různé hodnoty cf/co' a to vždy kolem nulových hodnot. Vidíme, že pro hodnoty cf/co' ležící asi pod 0,45, nemůžeme podmínku (29) vůbec uplatnit a že musíme sledovat průběh veličiny ("bezrozměrné" rychlosti) - (~%;;J -0,5 o 150' 180' nt Obr. 19. (~~ 90' Obr. 20.

23 346 STROJNCKY CASOPlS XV, Č. 4 (~7~)podle rovnice (27). Jakmile tedy neklesne hodnota d(~t) ( ~7~ }Qt=O) na nulu, musíme sledovat celý průběh rychlosti v intervalu To je provedeno na obr. 19 a 20 pro Cf/CO = 0,3, resp. 0,15. Na obr. 19jsou zakresleny průběhy rychlosti také pro hodnoty Q/wo, ležící pod kritickou mezí (Q/wo = 0,30; 0,35 a 0,40); je vidět poněkudoscilativní průběh rychlosti pro hodnoty Q/wo blízké mezné hodnotě (viz Q/wo = 0,45). Ještě více vyniká tato skutečnost na obr. 20, kde hodnota Q/wo = = 0,38 leží těsně pod hledanou mezí. Pomocí rov. (27) + (29) se vypočtou hodnoty pro mezné křivky uvedené na tab. 5. CHOVÁNí SOUSTAVY PRO FREKVENCE BUDíCÍ SÍLY, KTERÉ LEŽÍ POD KRTCKOU MEZÍ Z předchozího je patrné, že pro frekvence nižší, než je hodnota kritická, která závisí jedině na poměrucf/co' dojde běhempoloviny kmitu ke změně smyslu rychlosti. Podle průběhů rychlosti na obr. 19, resp. 20, je nejvýš pravděpodobné, že rychlost klesne na nulu blízko za bodem O na charakteristice (obr. 21) a v dalším intervalu má kladné znaménko. To se projeví na charakteristice skokem z bodu Ol do bodu 02. Po určitém čase se pohyb opět zastaví (bod 03) a nastane pohyb v počátečním smyslu (přeskok do bodu 04). Další pohyb je zřejmý. Na charakteristice je dobře patrna "smyčka", která se vytvoří změnou smyslu rychlosti. Tímto zjevem se ovšem analytické S t řešení nesmírně zkomplikuje. Při předchozím řešení se určovala jen jedna charakteristická hodnota tl (resp. 1]) z rovnice (21). V tomto případě by bylo zapotřebí tří těchto hodnot, které odpovídají časům tol' t 2 3 a (41' Do- -L... stali bychom tedy při analytickém řešení tři./.~ simultánní transcendentní rovnice podobné ~ rovnici (21). Řešení takovéto soustavy rovnic vyžaduje pro svoji složitost výkonný počítací '2 stroj. Z tohoto důvodu jsme řešení v této (b:2f. oblasti nemohli provést. Obr. 21. Je ovšem pravděpodobné, že situací podle obr. 21 nevystihneme chování v celé oblasti pod kritickou mezí "budící" frekvence. Došli bychom asi k další kritické frekvenci, kde končí kmity s jedinou "smyčkou" podle obr. 21 a pak vznikne periodický pohyb s dvěma, resp. více "smyčkami". Je tedy vidět, že pohyb se komplikuje stále více s klesající frekvencí budící síly. Je to patrně způsobeno tím, že "vlastní kmity", které tvoří část "periodického řešení", způsobí několikerou změnu smyslu rychlosti během poloviny kmitu budící síly, která má v této oblasti nízkou frekvenci.

24 STROJNÍCKY ŮASOPS XV, č LTERATURA [1] Timošenko, Kmitání ve strojnictví. SNTL, [2] Trans. ASME, sv. 53, AMP-107, [3] Phi\. Mag., sv. 9, [4] Barkan Ph., Calculation ol High-Speed Valve Motion with a Flexible Overhead Linkage. Transact. SAE, sv. 61, 687, [5] Kmity kolejových vozidel. Výzkumná zpráva M-028/59, Výzkumný ústav kolejových vozidel, Lektor: inž, gor Bal/o, C. Se. Rukopis dodaný YlPyrAR CMCTEMA C lpolopqmohajbhblm OTKJOHEHMEM COlPOTMBJEHMEM CTaTM CO,l:\eplKHT ahajhth'leckoepeureaae CTaQHOHapHblXKOJe6aHHil. yrrpyrož CHCTeMb.n;eMl <!lhpobahholí. nponopunoaansnsnr OTKJOHeHHO corrpothbjehhem. LJ:JJ B036Y'K,lJ;a<>J.J;elí. CRllb CHHYCOH,l:\aJbHOrO xona nposeneao Bbl'lHCJeHHe K03<!l<!lHQHeHToB HaCTpaHBaHW H C,D;BHra rro <!la3e, peaynsrarsr npaseneasr TOlKe B Ta6JHQax TaK, '1TO npoxae saaseaaa 1l0JY'laeMb aarepnonannea. B paěore ej.j;e rrposeneao cpaaneaae TO'lHOrO peureaaa H rrph6jhlkehhoro Bbf'HCJeHW npa rromoj.j;ll 3KBHBaJeHTHOro B1l3Koro,l:\eMl<!lllpoBaHHll onpeneneasr npenensr,l:\jll rrph6jhlkehlloro pemeaaa, ELASTlC PROPORTlONAL-TO-DEFLECTWN RESSTANCE SYSTEM Doc. ng. Rudolf Brepta The article deals with the analytical solution of stationary vibrations of an elastic system damped up by resistance proportional to the deflection. For the exciting force of the sinusoidal course the calculation of tuning factors and those of the phase shifting has been performed. The results are given in tables, too, so that it is possible to get further values by interpolation. n the work some comparison ofthe exact solution with that ofapproximate calculation by means of'equivalent viscous damping is also presented and the limits for approximate solution are determined.

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Tlumené a vynucené kmity

Tlumené a vynucené kmity Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš Mechanické kmitání Vojtěch Beneš Výstup RVP: Klíčová slova: žák užívá základní kinematické vztahy při řešení problémů a úloh o pohybech mechanické kmitání, kinematika, harmonický oscilátor Sexta Příprava

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: V/2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny

Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ.1.07/2.3.00/45.0029 V

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

Výkon střídavého proudu, účiník

Výkon střídavého proudu, účiník ng. Jaromír Tyrbach Výkon střídavého proudu, účiník odle toho, kterého prvku obvodu se výkon týká, rozlišujeme u střídavých obvodů výkon činný, jalový a zdánlivý. Ve střídavých obvodech se neustále mění

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Spojité regulátory Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012. Spojité regulátory. Jednoduché regulátory

Spojité regulátory Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012. Spojité regulátory. Jednoduché regulátory Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Mechanické kmitání (oscilace)

Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory

DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory DUM označení: VY_32_INOVACE_... Jméno autora výukového materiálu: Ing. Jitka Machková Škola: Základní škola a mateřská škola Josefa Kubálka Všenory Karla Majera 370, 252 31 Všenory. Datum (období) vytvoření:

Více

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Vzpěr,

Více

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš KVANTOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ NÍZKÉ ÚROVNĚ Abstrakt Quantization of acoustic low level signals David Bursík, Miroslav Lukeš Při testování kvality A/D převodníků se používají nejrůznější testovací signály.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Úloha č.: XVIII Název: Přechodové jevy v RLC obvodu Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12 dne 24.10.2008

Více

Mechatronické systémy s krokovými motory

Mechatronické systémy s krokovými motory Mechatronické systémy s krokovými motory V současné technické praxi v oblasti řídicí, výpočetní a regulační techniky se nejvíce používají krokové a synchronní motorky malých výkonů. Nejvíce máme možnost

Více

PROSTŘEDKY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

PROSTŘEDKY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ NS / PROSTŘEDKY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ Úloha č. - Dvoupolohová regulace teploty Vypracoval: Ha Minh.. Spolupracoval: Josef Dovrtěl I. Zadání ) Zapojte laboratorní úlohu dle schématu. ) Zjistěte a zhodnoťte

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

d p o r o v t e p l o m ě r, t e r m o č l á n k

d p o r o v t e p l o m ě r, t e r m o č l á n k d p o r o v t e p l o m ě r, t e r m o č l á n k Ú k o l : a) Proveďte kalibraci odporového teploměru, termočlánku a termistoru b) Určete teplotní koeficienty odporového teploměru, konstanty charakterizující

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Zesilovače. Ing. M. Bešta

Zesilovače. Ing. M. Bešta ZESILOVAČ Zesilovač je elektrický čtyřpól, na jehož vstupní svorky přivádíme signál, který chceme zesílit. Je to tedy elektronické zařízení, které zesiluje elektrický signál. Zesilovač mění amplitudu zesilovaného

Více

ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka Automatizace Dynamické vlastnosti členů členy a regulátory

ISŠ Nova Paka, Kumburska 846, 50931 Nova Paka Automatizace Dynamické vlastnosti členů členy a regulátory Regulátory a vlastnosti regulátorů Jak již bylo uvedeno, vlastnosti regulátorů určují kvalitu regulace. Při volbě regulátoru je třeba přihlížet i k přenosovým vlastnostem regulované soustavy. Cílem je,

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit.

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit. Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Hydromechanické procesy Obtékání těles

Hydromechanické procesy Obtékání těles Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS EEKTŘINA A MAGNETIZMUS XII Střídavé obvody Obsah STŘÍDAÉ OBODY ZDOJE STŘÍDAÉHO NAPĚTÍ JEDNODUHÉ STŘÍDAÉ OBODY EZISTO JAKO ZÁTĚŽ 3 ÍKA JAKO ZÁTĚŽ 5 3 KONDENZÁTO JAKO ZÁTĚŽ 6 3 SÉIOÝ OBOD 7 3 IMPEDANE 3

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Numerické řešení proudění stupněm experimentální vzduchové turbíny a budících sil na lopatky

Numerické řešení proudění stupněm experimentální vzduchové turbíny a budících sil na lopatky Konference ANSYS 2009 Numerické řešení proudění stupněm experimentální vzduchové turbíny a budících sil na lopatky J. Štěch Západočeská univerzita v Plzni, Katedra energetických strojů a zařízení jstech@kke.zcu.cz

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Pevnostní výpočty náprav pro běžný a hnací podvozek vozu M 27.0

Pevnostní výpočty náprav pro běžný a hnací podvozek vozu M 27.0 Strana: 1 /8 Výtisk č.:.../... ZKV s.r.o. Zkušebna kolejových vozidel a strojů Wolkerova 2766, 272 01 Kladno ZPRÁVA č. : Z11-065-12 Pevnostní výpočty náprav pro běžný a hnací podvozek vozu M 27.0 Vypracoval:

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Technisches Lexikon (cz.) 16/10/14

Technisches Lexikon (cz.) 16/10/14 Technický lexikon Pojmy z techniky měření sil a točivých momentů a d a tových listů GTM Technisches Lexikon (cz.) 16/10/14 Úvod V tomto Technickém lexikonu najdete vysvětlení pojmů z techniky měření síly

Více

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY Ing. Petr VAVŘIŇÁK 2013 2.7 VOLBA VELIKOSTI MOTORU Vlastní volba elektrického motoru pro daný pohon vychází z druhu zatížení a ze způsobu řízení otáček. Potřebný výkon motoru

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

Flyback converter (Blokující měnič)

Flyback converter (Blokující měnič) Flyback converter (Blokující měnič) 1 Blokující měnič patří do rodiny měničů se spínaným primárním vinutím, což znamená, že výstup je od vstupu galvanicky oddělen. Blokující měniče se používají pro napájení

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24

Více

PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE

PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE PROTOKOL O PROVEDENÍ LABORATORNÍ PRÁCE Jméno: Třída: Úloha: F-VI-1 Izotermický děj Spolupracovník: Hodnocení: Datum měření: Úkol: Experimentálně ověřte platnost Boyle-Mariottova zákona. Pomůcky: Teorie:

Více

1 Zdroj napětí náhradní obvod

1 Zdroj napětí náhradní obvod 1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita

Více

Obrázek č. 7.0 a/ regulační smyčka s regulátorem, ovladačem, regulovaným systémem a měřicím členem b/ zjednodušené schéma regulace

Obrázek č. 7.0 a/ regulační smyčka s regulátorem, ovladačem, regulovaným systémem a měřicím členem b/ zjednodušené schéma regulace Automatizace 4 Ing. Jiří Vlček Soubory At1 až At4 budou od příštího vydání (podzim 2008) součástí publikace Moderní elektronika. Slouží pro výuku předmětu automatizace na SPŠE. 7. Regulace Úkolem regulace

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Úloha č.: II Název: Měření odporů Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12 dne 28.11.2008 Odevzdal

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Signál v čase a jeho spektrum

Signál v čase a jeho spektrum Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Fyzikální praktikum...

Fyzikální praktikum... Kabinet výuky obecné fyziky, UK MFF Fyzikální praktikum... Úloha č.... Název úlohy:... Jméno:...Datum měření:... Datum odevzdání:... Připomínky opravujícího: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při

Více

( ) ( ) ( ) 2.9.24 Logaritmické nerovnice I. Předpoklady: 2908, 2917, 2919

( ) ( ) ( ) 2.9.24 Logaritmické nerovnice I. Předpoklady: 2908, 2917, 2919 .. Logaritmické nerovnice I Předpoklady: 08, 7, Pedagogická poznámka: Pokud mají studenti pracovat samostatně budou potřebovat na všechny příklady minimálně jeden a půl vyučovací hodiny. Pokud není čas,

Více

VYVAŽOVÁNÍ ROTOROVÝCH SOUSTAV - 1. část

VYVAŽOVÁNÍ ROTOROVÝCH SOUSTAV - 1. část 1 Úvod VYVAŽOVÁNÍ ROTOROVÝCH SOUSTAV - 1 část Prof Ing Miroslav Balda, DrSc Ústav termomechaniky AVČR, Veleslavínova 11, 301 14 Plzeň, tel: 019-7236584, fax: 019-7220787, mbalda@ufyzcucz Rotor při svém

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem

Mechanické kmitání - určení tíhového zrychlení kyvadlem I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 9 Mechanické kmitání - určení

Více