Pružná soustava s odporem úměrným výchylce

Transkript

1 .324 STROJNiCKY CASOPS XV, Č. 4 Pružná soustava s odporem úměrným výchylce DOC. NŽ. RUDOLF BREPTA Ústav pro výzkum strojů ČSAV, Praha V některých případech se vyskytnou soustavy, u kterých je silová charakteristika pružiny přetržitá a je ovlivněna smyslem rychlosti. Typickým příkladem je soustava s pružinou a odporem vyvolaným Coulombovým třením; výsledná silová charakteristika pružiny a "tlumiče" je na obr. 1. Smysl "oběhu" po charakteristice je naznačen šipkami. Plocha kosodélníku vyjadřuje práci zmařenou při stálé amplitudě za jeden cykl. Řešení pohybu soustavy s jedním stupněm volnosti a s uvedenou silovou charakteristikou je známé jak pro volné, tak i pro vynucené kmity. Viz např. [1], str. 73-;.-78 a [2], [3], str Kromě soustav ovládaných Coulombovým třením se vyskytují zvláštní případy charakteristik podle obr. 2, kde se podle smyslu rychlosti uplatní horní nebo dolní její větev. Tato charakteristika je složitější než charakteristika předchozí, protože se zde vyskytuje vlastně dvojí tuhost. Jinak lze tvrdit, že se jedná o soustavu s odporem úměrným výchylce. Soustavy s uvedenou silovou charakteristikou byly zjištěny např. u ventilových rozvodů spalovacích motorů (viz [4]) a li vypružení železničních vozidel (viz [5]). Pokud je mi známo, řeší se vynucené kmity takové soustavy jen přibližně, zaváděním energeticky ekvivalentního viskózního tlumení, ovšem bez ověření přesnosti tohoto řešení a bez znalosti mezí jeho platnosti. Z porovnání s přesným řešením uvedeným v této práci poznáme nejen meze použitelnosti přibližného řešení, ale uvidíme také, jak takové řešení zastírá, pro některé frekvence budících kmitů, poměrně komplikované stavy, které se u této soustavy vyskytují. Formulace problému tedy je: Máme vyšetřit volné a hlavně vynucené kmity soustavy s jedním stupněm volnosti, jejíž charakteristika je dána obr. 2 buzené periodickou silou. Než začneme s vlastním řešením, zavedeme některé základní údaje charakteristiky. Obě její větve vztáhneme na střední "ideální" charakteristiku s rovnicí S = CoX, a "větve" skutečného průběhu rozlišíme zavedením "odporové" tuhosti cj' takže bude platit úsek O-;.- a 3 -;.- 4 úsek 1-;.-2 a 4-;.-5 S = (co - CJ) x, S = (co + CJ)X.* * Jednotlivé symboly značí: S - síla pružiny, Co - tuhost, x - výchylka, m... hmota,

2 STROJNCKY CASOPS XV, Č Podle toho zavedeme tři "vlastní" frekvence; střední frekvenci (00 J - Co, (00= m; frekvenci (01 pro méně strmou část charakteristiky (1) (2) frekvenci (02 pro strmější část charakteristiky (3) Obr. 1. Obr. 2. Obr. 3. VOLNÉ KMTY (OBR. 3) Musíme odpovědět na dvě otázky: 1. Jaký je pokles amplitud vyvolaný dissipací energie, 2. jaká je doba kmitu tělesa, Předpokládejme, že počáteční podmínky jsou t = O, x = xo, X = O. Tento stav je charakterizován bodem O. Pohybová rovnice při pohybu k rovnovážné poloze je mx = -(co - cf) x, x = -(O~x. Řešení rovnice pro dané podmínkyje x = X o cos (Olt.

3 326 STROJNCKY CASOPlS XV, č. 4 Rychlost při průchodu polohou je (X)l = - XOW V úseku -;- 2 je pohyb hmoty popsán rovnicí mx = -(co + c,) x, x = -w~x. Řešeni se zřetelem k počátečním podmínkám v bodě je Největší výchylka je Podobně musí platit mezi amplitudami Xl a XO vztah čili wi Xl = Xo -z --+ Xl = Xo Wz (CO - C) Co + C Rozvedenim výsledku dostaneme pro amplitudu x; po n kmitech vztah (4) který vyjadřuje, že amplituda klesá s geometrickou řadou. Rovnici 4 lze také vyjádřit v exponenciálním tvaru Proti tlumení Coulombovým třením, kde je pokles amplitud dán přímkou, je vidět, že se tyto kmity tlumí pomaleji, obdobně jako při viskózním tlumení.** Závislost (5) má ovšem smysl jen pro celistvé hodnoty n! Průběh kmitu je zde složen ze čtvrtvln o dvou různých frekvencích. Na obr. 4 je nakreslen volný kmit pro c/co = 0,5. * Čas t je počítán od průchodu tělesa polohou 1. **) Nesmíme ovšem zapomínat na okolnost, že stejný pokles amplitud ještě neznamená, že charakteristiky soustav jsou stejné, což je v našem případě zřejmé. Záleží ještě na časovém průběhu kmitu, (5)

4 STROJNiCKY CASOPS XV, č, Doba kmitu se rovná kmity jsou tedy izochronní., Obr. 4. VYNUCENÉ KMTY VZBUZENÉ PERODCKY PROMĚNLVOUSLOU Budící síla má jednoduchý harmonický průběh P = 'R sin (Ot + 15), 15 je zatím neurčené fázové pošinutí. Výhodnější bude rozepsat budicí sílu takto Přitom je P = Pl sin Ot + P 2 cos Ot. (6) Naším úkolem je najít periodické řešení (stacionární stav), které bude charakterizováno jistou amplitudou X o a fázovým pošinutím 15. Místo amplitudy Xo zavádíme součinitele naladění XO /ť5 s l, kde statický průhyb ť5s 1 pod silou R se vztahuje na střední tuhost co!

5 328 STROJNCKY CASOPS XV, e. ;1 Pro periodické řešení můžeme rozumně předpokládat, že průběh kmitu je souměrný, totiž že časový průběh kmitu mezi body. 0+2 charakteristiky (obr. 2) je.shodny s průběhem mezi body 3+ 5 (až na znaménko). Postačí tedy vyšetřit pohyb v intervalu Vzhledem k tomu, že charakteristika je v bodech (5-0), resp. (2-3) přetržitá, uplatní se jak vynucené, tak i "vlastní" kmity, které proto v tomto případě nelze od sebe oddělovat. Protože úseky 0+ 1 a 1+ 2 mají rozdílné tuhosti, musíme řešit postupně pro jednotlivé úseky. Pohybová rovnice je Pohyb v úseku 0+ 1 charakteristiky mx = -(co.. cf) x + Pl sin Qt + Pz cos Ot, Řešení.. z Pl' rl Pz rl m m x + (OlX = - Sn ~~t + - cos ~d. této rovnice má pro počáteční podmínlšy x = X o, X = O, t = O tvar r, 1 x = Xo cos (Olt +-. z z (cos Ot - cos (Olt) + m (01 - a Pl 1 (. rl O. ) +-. z z Sn ~d - - Sn (01t. m (01 - a (01 (7) Platnost vztahu (7) končí v okamžiku, kdy x = O, tj. v bodě charakteristiky. Příslušný čas tl musí splňovat rovnici P z 1 Xo cos (Olt l +-. (cos Otl - cos (Olt l) + m (Oi _ OZ + ~. z 1 z (sin Ott - ~ sin (Oltl) = O. m (01 - a (01 v témže okamžiku se rychlost V t rovná Vl = -XO(Ol sin (Oltl +!2. 1 (-a sin Otl + (01 sin (Olt l) + m (Oi _ OZ Pl +-. m (8) (9) Pohyb V úseku 1+ 2 charakteristiky Pro tento úsek pohybu zavedeme nový čas t, počítaný od průchodu rovnovážnou polohou.

6 STROJNCKY CASOPS XV, Č ' Pohybová rovnice je mx = -(co + Cf) X + Pl sinq(t + tl) + P 2 cosq(t + tl), pohybové rovnice pro počáteční podmínky (x = O, X = Vl' t = O) v tomto Řešení úseku je X + co~x =!.!. sin Q(t + tl) +!..3- cos Q(t + tl)' m m (10) ntegrační konstanty CaD jsou Pll. P 2 1 C = sin Qtl cos Qtl, (11) m CO2 - Q m CO 2 _ Q 1 ( Pl Q P 2 Q. ) D=-vl coSQtl+-' 2 2smQtl' CO2 m CO 2 - Q m CO2 _ Q Po dosazení za Vl z rovnice (9) dostáváme (12) Pohyb v tomto intervalu končí za čas t 2 výchylkou x = -Xo a rychlostí x = O. Čas t 2 dosadíme do rovnice (10) a do její první derivace; dostaneme tak dvě rovnice. (13) (14)

7 330 STROJNCKY CASOPS XV, č. 4 S ohledem na periodicitu kmitů musí být Q(tz + tl) = n. (15) V důsledku toho přejdou rovnice (13) a (14) v jednoduchý tvar C D Pl Q O - OJz sm OJztz + OJz cos OJztz - -. Z Z =, m OJz - Q do něhož dosadíme z rovnice (ll) a \12) za konstanty CaD a dostaneme 1 z z - Xo = OJ z -Q (16) (17) Máme tedy k dispozici rovnice (8), (15), (16) a (17). Poslední dvě rovnice před dalším použitím upravíme: Nejprve vynásobíme rovnici (16) faktorem sin OJztz a rovnici (17) faktorem cos OJztz, načež je sečteme; potom násobíme rovnici (16) faktorem -cos OJzt z a rovnici (17) faktorem sin OJzt z a takto upravené rovnice opět sečteme. Tak dostaneme nové dvě rovnice, k nimž připojíme rovnici (8). Po úpravě dostaneme soustavu rovnic:

8 STROJNCKY ČASOPS XV. Č Pl 1 (. ra '1. ) - sm ~dl - - sm W2t2 + m W~ _ '1 2 W2 P (cos '1t l + cos W 2 t 2) - X o cos W2t2 = O. (l8) m w~ _ '1 2 K těmto rovnicím patří ještě vztah (15). rovnic máme pro danou kruhovou frekvenci '1 a danou amplitudu budící Z těchto síly R najít amplitudu X o, fázový posuv fj a čas tl' Soustavu rovnic (18) můžeme považovat za homogenní systém pro veličiny Pdm, P2/m a xo. Protože se současně všechny tyto veličiny nemohou rovnat nule, musí mít příslušný determinant nulovou hodnotu. Po provedení a úpravě dostaneme

9 332 STROJNCKY CASOPS XV, e, 4 Rovnici (19) ještě upravíme dm, že z ni použitím vztahu (15) odstraníme čas t 2 a že do ní zavedeme bezrozměrné činitele Dostaneme nakonec o O 1. q=-=í- W2 wo'rf' 1+ Co (20) -2q(1 - q2)(p2 _ q2) cos '7+ 2q(1 - q2)(1 -l)cos 1t - '7 + q + 2q(p2_ q2)(1 _ p2) cos 1:. '7 - q _ p(l - q2)(1_ p2)(1 + -q2)sin~.sin...f'7'cos 1t - '7 _ p2 q q _ (1 - p2) (p2 _ q2) (1 + q2) sin '1 cos 1:. '7 sin 1t - '1 + q q + (1 - q2)(p2 _ q2) q(~ + p) cos '7. sin 1:. '7. sin n - '7 _ P q q _ q[(1 - p2)2 + (1 _ q2)2 + (p2 _ q2)2j cos '7. cos.l rl. cos n - 11 = O. (21) q q Rovnice (2l) je ústřední rovnicí celého řešení. Pro dané hodnoty p (čili cf/co) a q (vlastně O/wo) musíme jejím řešením najít příslušnou hodnotu pro '1, O tomto řešení uvedeme v dalším více. Nalezením '7. je vlastně celá úloha rozřešena. Pro každou zvolenou frekvenci O budící síly má '7 určitou "charakteristickou" hodnotu. Když známe '7 = Otl' vypočítáme z první a poslední rovnice (18) veličiny P2/Pl a xom/pl: (~l sin wltl - sin Otl) cos W2t2(W~ - (l2) + P2 + (* sin W2 t2 - sin (lll) cos Wltl(W; - (l2) 1'; = (cos Otl - cos Wlt l) cos w2tiw~ _ 0 2) + + (cos Dtl + cos W2t2) cos Wltl(wi _ 0 2) (cos Dtl - cos Wltl)!!- sin W2t2 - (cos Otl + cos W2t2)!!- sin wltl + W 2 Wl xom + sin Otl (cos wltl + cos W2(2) -p;- = - (cos Dt l - cos Wlt l) cos W2t2(W~ _ 0 2)_ - (cos Dtl + cos W2t2) cos Wltl(wi _ D 2) (22)

10 STROJNCKY ČASOPS XV, Č Rovnice (22) upravíme tím, že do nich zavedeme bezrozměrné veličinyp, q, 11 podle vzorců (20), a kromě toho do druhé rovnice (22) zavedeme tuhost Co vztahem (viz rov. (3» 2 Co ( W2=- 1+- Cf), m Co takže tuto rovnici převedeme do tvaru V důsledku toho vytvořímez rovnic (22) dvě nové rovnice (1 2) ( q. p.) n -,., - q - Sn Sn 11 cos p q q + (p2 _ q2)( q sin ~ - sin 11)cos f 11 (1 - q2)(cos 11 - cos : 11) cos n; 11 +, (23) + (p2 _ q2)(cos 11 + cos n ; 11 ) cos : 11 ( p ). n-11 - cos 11 - cos fl 11 q Sn--q- + 1 T=--- 1+~ Co + (cos 11 + cos n - 11!L sin.l 11 - sin 11 cos.l 11 + cos n - 11 q P q q q (1 - q2)(cos 11 - cos : 11)cos n; (p2 _ q2) (cos 11 + cos n; 11 ) cos : 11 (24) Rovnice (23) již určuje fázové pošinutí tj stacionárních kmitů; určíme takto: Podle rovnice (6) platí čili 'J (P2)2 R = Pl 1 + 1';, součinitele naladění

11 334 STROJNCKY CASOPlS XV, Č. 4 a odtud R Xo = ----;====== Co Je zřejmé, že Rjc., značí statický průhyb <5 s l, vztažený na střední tuhost Co, a proto pak výraz (25) je součinitelem naladění. Stručný postup výpočtu tedy je: Z rovnice (21) najdeme '7, s jeho pomocí určíme z rovnic (23) a (24) hodnoty <5 (resp. P2/Pl ) a T a nakonec z rovnic (25) součinitele naladění. Uvedené řešení má omezenou platnost; při pohybu z polohy do polohy 2 na charakteristice musí totiž být vždy x < 0 (viz obr. 2). Naopak, zase při pohybu mezi polohami 3 až 5 musí být x > 0. Jakmile tedy klesne rychlost někde mezi těmito krajními polohami na nulu, přestává řešení platit. Tyto komplikace nastávají, jak dále poznáme, při nízkých frekvencích. Proto se musí při výpočtu postupovat od vyšších frekvenci a k frekvencím nižším. Řešení komplikované rovnice (21) se poněkud usnadní, když určíme meze, ve kterých musí hodnota TJ ležet. Podle rovnice (15) je zřejmé, že bude platit n 2" < '7 < n, protože mezi polohami 0-;-.1 na charakteristice má pružina menší tuhost, čili tl > ' z- Dále můžeme najít hodnotu TJ, když ll, resp. q ->- 00. Z rovnice (2l) limitním přechodemzjistíme, že pak je TJ ->- n/2, bez ohledu na poměr cr/co' Numerické řešeníjsme provedli pro tyto hodnoty poměru Cr/Co: 0,3; 0,5; 0,7 a 0,9. Výsledky jsou znázorněnyna obr. 5,6 a 7. Na prvním obrázku je uveden průběh pomocné veličiny '7 (řešení rov. (21» v závislosti na poměrné frekvenci a/w o pro jednotlivé hodnoty cr/co' Čárkovaně je přikreslena mezná křivka, která omezuje platnost řešení. Z křivek je zřetelně vidět nesouměrnost kmitu, způsobená dvojí tuhostí pružiny, a to hlavně při nižší hodnotě budící frekvence. Na obr. 6 jsou křivky pro fázové pošinutí <5, včetně mezné čárkované křivky. Kromě toho je ještě přikreslena stupnice pro fázové po šinutí ex, vztažené k amplitudě kmitů, jak je to obvyklé u případu s viskózním tlumením. Na obr. 7 je konečně znázorněn průběh součinitele naladění. Zřetelně je zde

12 STROJNCKY ČASOPS XV, Č patrna oblast, kde přestává naše řešení platit. V obrázku jsou přikreslenypříslušné charakteristiky. Dále jsou na tabulkách až 4 uvedeny číselné výsledky řešení pro jednotlivé hodnoty CJ Co. Mezihodnoty pro jiné hodnoty CJ Co lze z těchto tabulek najít snadno interpolací. Na poslední tab. 5 jsou udány číselné hodnoty mezných křivek pro diagramy na obr. 5, 6 a 7. Způsob výpočtu bodů těchto mezných křivek viz dále. Nyní můžeme provéstsrovnánípřibližného a přesného řešení problému. Snažíme se nahradit komplikovanou charakteristiku podle Cf/co-u,3 / Cilce =0,5 C/c. =0.7 C/c. =0.9 Obr ()O, 1800 CleD = 0,5 Cll c =0,3 60 «" D C Qc =0,1 D Cllc D =0,9 900~0::..O ~ _ Obr. 6. obr. 2 jednodušším případem pružiny se střední tuhostí Co a viskózním tlumením o jednotkové tlumící mohutnosti 2u, vztažené na jednotku hmoty.* Z rovnosti ener- * Viz [1], str

13 336 STROJNCKY CASOPS XV. č gie, ztracenézajedencykl, pro obě charakteristiky (rovnost ploch, obr. 8) vyplývá, že 2n = 2el'. mno Ze vztahů pro energii ztracenou za jeden cykl (na obr. 8) je vidět zásadní rozdíl obou druhů tlumení, které srovnáváme: Pro soustavu s viskáznim tlumenim je ztracená energie závislá na frekvence kmitáni, u druhého způsobu tlumeni je ztracená energie neproměnná a neni funkci frekvence. o'------;;';:------;:'=_---~-=_- ;;:'=_--_;;';- Obr. 7. Když tuto hodnotu dosadíme do vztahu pro součinitele naladění při viskózním tlumení, dostaneme 1 1 (26) Tento výraz je přibližným vztahem pro výpočet součinitele naladění. Porovnání přesného řešení a přibližného řešení podle vztahu (26) je provedeno na obr Křivky zjištěné přibližným řešením jsou nakresleny čárkovaně. Ze srovnání vyplývá, že přibližné řešení vyhovuje jen. pro malé hodnoty C/co < 0,3, jinak je lze

14 :STROJNCKY CASOPS XV, e Tabulka 1 cf/co = 0,30 Q/w o 1]0 (x0 15 l.jl + ;P2/Pl )2 0, ' ' 65 35' 1,406 0, ' ' 67 32' 1,425 0, ' -14 ľ 75 59' 1,516 0, ' -7 12' 82 48' 1,617 0, ' -1 27' 88 33' 1,740 0, ' 3 47' 93 47' 1,901 0, ' 8 58' 98 58' 2,114 0, ' ' 2,860 0, ' 45 7' 135 7' 4,205 0, ' 66 52' ' 5,044 0, ' 80 41' ' 5,308 1, ' 95 6' 185 6' 5,132 1, ' ' ' 3,190 1, ' ' ' 1,972 1, ' ' ' 1,001 1, ' ' ' 0,630 1, ' ' ' 0,442 2, ' ' ' 0,332 2, ' ' ' 0,190 Tabulka 2 Cf/CO = 0,50!J/wo 1]0 (x0 15 l.jl +(:2/Pl)2j 0, ' 4 9' 94 9' 1,995 0, ' 6 35' 96 35' 2,027 0, ľ 14 9' 104 9' 2,147 0, ' 30 10' ' 2,501 0, ' 130 2' 2,722 0, ' 51 50' ' 2,951 0, ' ' 3,129 0, ' 81 45' ' 3,178 1, ' ' 3,048 1, ' ' ' 2,318 1, ' ' 1,666 1, ' ' ' 0,939 1, ' ' ' 0,611 1, ' ' ' 0,435 2, ' ' ' 0,328 2, ' ' ' 0,189

15 338 STROJNCKY CASOPS XV, e, " použít nejvýš pro oblast frekvencí Q > 0)0' Přibližné řešení neříká pochopitelně nic o komplikovaném pohybu při nízkých frekvencích. Na dalších obr jsou nakresleny časové průběhy kmitů pro hodnoty cf/co = 0,3, 0,5 a 0,7. Zřetelně je vidět nesouměrný průběh kmitů, který je tím více Tabulka 3 cf/co = 0,70 Q/W O 1)0 (x0 0 1";1 + <:z/p1)zl - 0, ' 46 9' 136 9' 2,310 0, ' 50 14' ' 2,320 0, ' 59 23' ' 2,338 0, ' 69 14' ' 2,336 0, ' 79 40' ' 2,295 0, ' 90 15' ' 2,205 1, ' ' ' 2,067 1, ' ' ' 1,709 1, ' ' ' 1,357 1, ' ' ' 0,862 1, ' 159 5' 249 5' 0,587 1, ' ' ' 0,425 2, ' 168 ' 258 ' 0,324 2, ' ' ' 0, Tabulka 4 cf/co = 0,90 Q/W O 1)0 (x0 0 -J + ;PzP1)zj ; 0, ' 79 40' ' 1,795 0, ' 81 24' ' 1,780. r 0, ' 88 24' ' 1,712! i 0, ' 95 32' ' 1,632 1,00 33' ' ' 1,542 1, ' ' ' 1,337 1, ' ' ' 1,129 1, ' ' ' 0,788 1, ' 154 2' 244 2' 0,557 1, ' ' ' 0,413 2, ' ' ' 0,318 2, ' ' ' 0,187

16 STROJNÍCKY CASOPlS XV, e ' Obr. 8. 5,0 3,0 2, ',,,,,,,,,,,,,, :, \ \ \ \ \ \,,/ \ '" \,'" \ Obr , ,0

17 340 STROJNCKY CASOPS XV, Č. 4 Tabulka 5 Souřadnice bodů na mezných křivkách ll/wa 1)0 (x0 <50 1./1 + ;P2/Pl)21 cf/co 0, ' ' 58 21' 1,117 0,15 0, ' ' 65 35' 1,406 0,30 0, ' ' 76 14' 1,655 0,40 0, ' 4 9' 94 9' 1,995 0,50 0, ľ 24 7' 114 7' 2,281 0,60 0, ' 46 9' 136 9' 2,310 0,70 0, ' 65 10' ' 2,100 0,80 0, ' 79 40' ' 1,795 0,90 3,0 2,0 1,0 o 0,5 1,0 1,5 2,0 Obr. 10. patrný, čím více klesá frekvence budící síly. Obzvláště obr. 14 názorně předvádí značné odchylky kmitů od sinusového průběhu. Tím je vysvětleno, proč lze použít přibližného řešení jen při vyšších "budících" frekvencích.

18 STROJNÍCKY ŮASOPS XV, č o 0,5 1,5 2 Obr. ll. 2 o 0.5 1,5 2 Obr. 12. %-aj... ~.a~ \ z;). / / \ / / l/ \. L> /1- r-, 1/» L <, ~2a.5: +~ ~ / / \ - / V,......'--10-' Obr.B.

19 342 STROJNCKY CASOPS XV, e, T-'- 1/ -, V 1"- r\ ~a'"' J 7 1/ -f- f-- 1\ / \ V / \. V -r ~-a5./ ~, <, -~ -Q75 / \ 1/ / J \ / <, ~ / "1 -Q95 1/ 1\ [1: 1\ J 1\ \ 1/ \ 1/ ~ -, ~ Obr. 14. Ll "\=ai! - 1/ \ \ \ \ J \ / / \ fo- - Obr. 15. MEZE PLATNOST ŘEŠENí Celé naše řešení platí, pokud je splněn předpoklad, že při pohybu v intervalech a 1..;- 2 nezmění rychlost smysl, čili jestliže je x < O. Při každém výpočtu součinitelů naladění a fázového pošinutí musíme kontrolovat, je-li uvedený před-

20 STROJNCKY ČASOPS XV. Č poklad splněn. K tomu potřebujemevýrazy pro rychlost v jednotlivých intervalech. Derivováním vztahů pro výchylku (rov. (7) a (10)) a zavedením bezrozměrnýchveličin XW R/m dostaneme: interval XW = cos D{[ - ( Cf) + -P 2 1 ]. sm -p ( Dt) - R/m Co Pl q2 q 1-- p2 [( ~:) sin O, - cos OJ} < O (27) pro < Dt < 11, interval + 2 ;~~ = ~~o:~ [sin 11 + (;:)cos 11Jsin ~ (Dt) + + cos D{[(!2) 1 - (1 + ~).J p2sin E q/ p cos l! Pl l- q2 Co q 1 _ L q p2 + (1 ~q' 1~/~:_ )[(~:)sinq - cos qj} cos ~ (O,) + pro 11 < Dt + 11 < n. + q: ~O;2D [cos (Dt + 11) - (;:) sin (Dt + 11)J < Na obr. 16 je nakreslen průběh veličiny R XW / pro ~ = 0,7 a D/wo = 0,75; m Co z grafu je zřetelný nesouměrný průběh kmitu. Názorný je obr. 17, kde je nakreslena celá série křivek pro Cf/CO = 0,5 a různé frekvence budící síly. Z průběhů je vidět, jak klesá směrnice tečny ke křivce v počátečním bodě, a lze proto předpokládat, že meze platnosti řešení se dosáhne, když tato směrniceklesne na nulu. Tato směrnice se vyjádří vztahem = cos D d ( XW ) P[( Cf) P 2 J d(dt) Rlm (.Qr=O) q Co Pl' (28)

21 344 STROJNCKY CASOPS XV, Č. 4 ".{ ~J Obr. 16. Obr. 17. a3 -a3 Obr. 18.

22 STROJNCKY ŮASOPS XV, č, Zdá se proto, žl! nejnižší frekvence, pro kterou bude naše řešení podmínku: platit, musí splnit -(1 - -SL)-r +!2 = O. (29) Co Pl Při numerickém řešení však zjistíme, že tato podmínka má jen omezenou platnost, platí totiž jen pro vyšší hodnoty poměru Cf/CO' Na obr. 18 jsou nakresleny průběhy derivace podle vzorce (28) pro různé hodnoty cf/co' a to vždy kolem nulových hodnot. Vidíme, že pro hodnoty cf/co' ležící asi pod 0,45, nemůžeme podmínku (29) vůbec uplatnit a že musíme sledovat průběh veličiny ("bezrozměrné" rychlosti) - (~%;;J -0,5 o 150' 180' nt Obr. 19. (~~ 90' Obr. 20.

23 346 STROJNCKY CASOPlS XV, Č. 4 (~7~)podle rovnice (27). Jakmile tedy neklesne hodnota d(~t) ( ~7~ }Qt=O) na nulu, musíme sledovat celý průběh rychlosti v intervalu To je provedeno na obr. 19 a 20 pro Cf/CO = 0,3, resp. 0,15. Na obr. 19jsou zakresleny průběhy rychlosti také pro hodnoty Q/wo, ležící pod kritickou mezí (Q/wo = 0,30; 0,35 a 0,40); je vidět poněkudoscilativní průběh rychlosti pro hodnoty Q/wo blízké mezné hodnotě (viz Q/wo = 0,45). Ještě více vyniká tato skutečnost na obr. 20, kde hodnota Q/wo = = 0,38 leží těsně pod hledanou mezí. Pomocí rov. (27) + (29) se vypočtou hodnoty pro mezné křivky uvedené na tab. 5. CHOVÁNí SOUSTAVY PRO FREKVENCE BUDíCÍ SÍLY, KTERÉ LEŽÍ POD KRTCKOU MEZÍ Z předchozího je patrné, že pro frekvence nižší, než je hodnota kritická, která závisí jedině na poměrucf/co' dojde běhempoloviny kmitu ke změně smyslu rychlosti. Podle průběhů rychlosti na obr. 19, resp. 20, je nejvýš pravděpodobné, že rychlost klesne na nulu blízko za bodem O na charakteristice (obr. 21) a v dalším intervalu má kladné znaménko. To se projeví na charakteristice skokem z bodu Ol do bodu 02. Po určitém čase se pohyb opět zastaví (bod 03) a nastane pohyb v počátečním smyslu (přeskok do bodu 04). Další pohyb je zřejmý. Na charakteristice je dobře patrna "smyčka", která se vytvoří změnou smyslu rychlosti. Tímto zjevem se ovšem analytické S t řešení nesmírně zkomplikuje. Při předchozím řešení se určovala jen jedna charakteristická hodnota tl (resp. 1]) z rovnice (21). V tomto případě by bylo zapotřebí tří těchto hodnot, které odpovídají časům tol' t 2 3 a (41' Do- -L... stali bychom tedy při analytickém řešení tři./.~ simultánní transcendentní rovnice podobné ~ rovnici (21). Řešení takovéto soustavy rovnic vyžaduje pro svoji složitost výkonný počítací '2 stroj. Z tohoto důvodu jsme řešení v této (b:2f. oblasti nemohli provést. Obr. 21. Je ovšem pravděpodobné, že situací podle obr. 21 nevystihneme chování v celé oblasti pod kritickou mezí "budící" frekvence. Došli bychom asi k další kritické frekvenci, kde končí kmity s jedinou "smyčkou" podle obr. 21 a pak vznikne periodický pohyb s dvěma, resp. více "smyčkami". Je tedy vidět, že pohyb se komplikuje stále více s klesající frekvencí budící síly. Je to patrně způsobeno tím, že "vlastní kmity", které tvoří část "periodického řešení", způsobí několikerou změnu smyslu rychlosti během poloviny kmitu budící síly, která má v této oblasti nízkou frekvenci.

24 STROJNÍCKY ŮASOPS XV, č LTERATURA [1] Timošenko, Kmitání ve strojnictví. SNTL, [2] Trans. ASME, sv. 53, AMP-107, [3] Phi\. Mag., sv. 9, [4] Barkan Ph., Calculation ol High-Speed Valve Motion with a Flexible Overhead Linkage. Transact. SAE, sv. 61, 687, [5] Kmity kolejových vozidel. Výzkumná zpráva M-028/59, Výzkumný ústav kolejových vozidel, Lektor: inž, gor Bal/o, C. Se. Rukopis dodaný YlPyrAR CMCTEMA C lpolopqmohajbhblm OTKJOHEHMEM COlPOTMBJEHMEM CTaTM CO,l:\eplKHT ahajhth'leckoepeureaae CTaQHOHapHblXKOJe6aHHil. yrrpyrož CHCTeMb.n;eMl <!lhpobahholí. nponopunoaansnsnr OTKJOHeHHO corrpothbjehhem. LJ:JJ B036Y'K,lJ;a<>J.J;elí. CRllb CHHYCOH,l:\aJbHOrO xona nposeneao Bbl'lHCJeHHe K03<!l<!lHQHeHToB HaCTpaHBaHW H C,D;BHra rro <!la3e, peaynsrarsr npaseneasr TOlKe B Ta6JHQax TaK, '1TO npoxae saaseaaa 1l0JY'laeMb aarepnonannea. B paěore ej.j;e rrposeneao cpaaneaae TO'lHOrO peureaaa H rrph6jhlkehhoro Bbf'HCJeHW npa rromoj.j;ll 3KBHBaJeHTHOro B1l3Koro,l:\eMl<!lllpoBaHHll onpeneneasr npenensr,l:\jll rrph6jhlkehlloro pemeaaa, ELASTlC PROPORTlONAL-TO-DEFLECTWN RESSTANCE SYSTEM Doc. ng. Rudolf Brepta The article deals with the analytical solution of stationary vibrations of an elastic system damped up by resistance proportional to the deflection. For the exciting force of the sinusoidal course the calculation of tuning factors and those of the phase shifting has been performed. The results are given in tables, too, so that it is possible to get further values by interpolation. n the work some comparison ofthe exact solution with that ofapproximate calculation by means of'equivalent viscous damping is also presented and the limits for approximate solution are determined.