Pružná soustava s odporem úměrným výchylce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pružná soustava s odporem úměrným výchylce"

Transkript

1 .324 STROJNiCKY CASOPS XV, Č. 4 Pružná soustava s odporem úměrným výchylce DOC. NŽ. RUDOLF BREPTA Ústav pro výzkum strojů ČSAV, Praha V některých případech se vyskytnou soustavy, u kterých je silová charakteristika pružiny přetržitá a je ovlivněna smyslem rychlosti. Typickým příkladem je soustava s pružinou a odporem vyvolaným Coulombovým třením; výsledná silová charakteristika pružiny a "tlumiče" je na obr. 1. Smysl "oběhu" po charakteristice je naznačen šipkami. Plocha kosodélníku vyjadřuje práci zmařenou při stálé amplitudě za jeden cykl. Řešení pohybu soustavy s jedním stupněm volnosti a s uvedenou silovou charakteristikou je známé jak pro volné, tak i pro vynucené kmity. Viz např. [1], str. 73-;.-78 a [2], [3], str Kromě soustav ovládaných Coulombovým třením se vyskytují zvláštní případy charakteristik podle obr. 2, kde se podle smyslu rychlosti uplatní horní nebo dolní její větev. Tato charakteristika je složitější než charakteristika předchozí, protože se zde vyskytuje vlastně dvojí tuhost. Jinak lze tvrdit, že se jedná o soustavu s odporem úměrným výchylce. Soustavy s uvedenou silovou charakteristikou byly zjištěny např. u ventilových rozvodů spalovacích motorů (viz [4]) a li vypružení železničních vozidel (viz [5]). Pokud je mi známo, řeší se vynucené kmity takové soustavy jen přibližně, zaváděním energeticky ekvivalentního viskózního tlumení, ovšem bez ověření přesnosti tohoto řešení a bez znalosti mezí jeho platnosti. Z porovnání s přesným řešením uvedeným v této práci poznáme nejen meze použitelnosti přibližného řešení, ale uvidíme také, jak takové řešení zastírá, pro některé frekvence budících kmitů, poměrně komplikované stavy, které se u této soustavy vyskytují. Formulace problému tedy je: Máme vyšetřit volné a hlavně vynucené kmity soustavy s jedním stupněm volnosti, jejíž charakteristika je dána obr. 2 buzené periodickou silou. Než začneme s vlastním řešením, zavedeme některé základní údaje charakteristiky. Obě její větve vztáhneme na střední "ideální" charakteristiku s rovnicí S = CoX, a "větve" skutečného průběhu rozlišíme zavedením "odporové" tuhosti cj' takže bude platit úsek O-;.- a 3 -;.- 4 úsek 1-;.-2 a 4-;.-5 S = (co - CJ) x, S = (co + CJ)X.* * Jednotlivé symboly značí: S - síla pružiny, Co - tuhost, x - výchylka, m... hmota,

2 STROJNCKY CASOPS XV, Č Podle toho zavedeme tři "vlastní" frekvence; střední frekvenci (00 J - Co, (00= m; frekvenci (01 pro méně strmou část charakteristiky (1) (2) frekvenci (02 pro strmější část charakteristiky (3) Obr. 1. Obr. 2. Obr. 3. VOLNÉ KMTY (OBR. 3) Musíme odpovědět na dvě otázky: 1. Jaký je pokles amplitud vyvolaný dissipací energie, 2. jaká je doba kmitu tělesa, Předpokládejme, že počáteční podmínky jsou t = O, x = xo, X = O. Tento stav je charakterizován bodem O. Pohybová rovnice při pohybu k rovnovážné poloze je mx = -(co - cf) x, x = -(O~x. Řešení rovnice pro dané podmínkyje x = X o cos (Olt.

3 326 STROJNCKY CASOPlS XV, č. 4 Rychlost při průchodu polohou je (X)l = - XOW V úseku -;- 2 je pohyb hmoty popsán rovnicí mx = -(co + c,) x, x = -w~x. Řešeni se zřetelem k počátečním podmínkám v bodě je Největší výchylka je Podobně musí platit mezi amplitudami Xl a XO vztah čili wi Xl = Xo -z --+ Xl = Xo Wz (CO - C) Co + C Rozvedenim výsledku dostaneme pro amplitudu x; po n kmitech vztah (4) který vyjadřuje, že amplituda klesá s geometrickou řadou. Rovnici 4 lze také vyjádřit v exponenciálním tvaru Proti tlumení Coulombovým třením, kde je pokles amplitud dán přímkou, je vidět, že se tyto kmity tlumí pomaleji, obdobně jako při viskózním tlumení.** Závislost (5) má ovšem smysl jen pro celistvé hodnoty n! Průběh kmitu je zde složen ze čtvrtvln o dvou různých frekvencích. Na obr. 4 je nakreslen volný kmit pro c/co = 0,5. * Čas t je počítán od průchodu tělesa polohou 1. **) Nesmíme ovšem zapomínat na okolnost, že stejný pokles amplitud ještě neznamená, že charakteristiky soustav jsou stejné, což je v našem případě zřejmé. Záleží ještě na časovém průběhu kmitu, (5)

4 STROJNiCKY CASOPS XV, č, Doba kmitu se rovná kmity jsou tedy izochronní., Obr. 4. VYNUCENÉ KMTY VZBUZENÉ PERODCKY PROMĚNLVOUSLOU Budící síla má jednoduchý harmonický průběh P = 'R sin (Ot + 15), 15 je zatím neurčené fázové pošinutí. Výhodnější bude rozepsat budicí sílu takto Přitom je P = Pl sin Ot + P 2 cos Ot. (6) Naším úkolem je najít periodické řešení (stacionární stav), které bude charakterizováno jistou amplitudou X o a fázovým pošinutím 15. Místo amplitudy Xo zavádíme součinitele naladění XO /ť5 s l, kde statický průhyb ť5s 1 pod silou R se vztahuje na střední tuhost co!

5 328 STROJNCKY CASOPS XV, e. ;1 Pro periodické řešení můžeme rozumně předpokládat, že průběh kmitu je souměrný, totiž že časový průběh kmitu mezi body. 0+2 charakteristiky (obr. 2) je.shodny s průběhem mezi body 3+ 5 (až na znaménko). Postačí tedy vyšetřit pohyb v intervalu Vzhledem k tomu, že charakteristika je v bodech (5-0), resp. (2-3) přetržitá, uplatní se jak vynucené, tak i "vlastní" kmity, které proto v tomto případě nelze od sebe oddělovat. Protože úseky 0+ 1 a 1+ 2 mají rozdílné tuhosti, musíme řešit postupně pro jednotlivé úseky. Pohybová rovnice je Pohyb v úseku 0+ 1 charakteristiky mx = -(co.. cf) x + Pl sin Qt + Pz cos Ot, Řešení.. z Pl' rl Pz rl m m x + (OlX = - Sn ~~t + - cos ~d. této rovnice má pro počáteční podmínlšy x = X o, X = O, t = O tvar r, 1 x = Xo cos (Olt +-. z z (cos Ot - cos (Olt) + m (01 - a Pl 1 (. rl O. ) +-. z z Sn ~d - - Sn (01t. m (01 - a (01 (7) Platnost vztahu (7) končí v okamžiku, kdy x = O, tj. v bodě charakteristiky. Příslušný čas tl musí splňovat rovnici P z 1 Xo cos (Olt l +-. (cos Otl - cos (Olt l) + m (Oi _ OZ + ~. z 1 z (sin Ott - ~ sin (Oltl) = O. m (01 - a (01 v témže okamžiku se rychlost V t rovná Vl = -XO(Ol sin (Oltl +!2. 1 (-a sin Otl + (01 sin (Olt l) + m (Oi _ OZ Pl +-. m (8) (9) Pohyb V úseku 1+ 2 charakteristiky Pro tento úsek pohybu zavedeme nový čas t, počítaný od průchodu rovnovážnou polohou.

6 STROJNCKY CASOPS XV, Č ' Pohybová rovnice je mx = -(co + Cf) X + Pl sinq(t + tl) + P 2 cosq(t + tl), pohybové rovnice pro počáteční podmínky (x = O, X = Vl' t = O) v tomto Řešení úseku je X + co~x =!.!. sin Q(t + tl) +!..3- cos Q(t + tl)' m m (10) ntegrační konstanty CaD jsou Pll. P 2 1 C = sin Qtl cos Qtl, (11) m CO2 - Q m CO 2 _ Q 1 ( Pl Q P 2 Q. ) D=-vl coSQtl+-' 2 2smQtl' CO2 m CO 2 - Q m CO2 _ Q Po dosazení za Vl z rovnice (9) dostáváme (12) Pohyb v tomto intervalu končí za čas t 2 výchylkou x = -Xo a rychlostí x = O. Čas t 2 dosadíme do rovnice (10) a do její první derivace; dostaneme tak dvě rovnice. (13) (14)

7 330 STROJNCKY CASOPS XV, č. 4 S ohledem na periodicitu kmitů musí být Q(tz + tl) = n. (15) V důsledku toho přejdou rovnice (13) a (14) v jednoduchý tvar C D Pl Q O - OJz sm OJztz + OJz cos OJztz - -. Z Z =, m OJz - Q do něhož dosadíme z rovnice (ll) a \12) za konstanty CaD a dostaneme 1 z z - Xo = OJ z -Q (16) (17) Máme tedy k dispozici rovnice (8), (15), (16) a (17). Poslední dvě rovnice před dalším použitím upravíme: Nejprve vynásobíme rovnici (16) faktorem sin OJztz a rovnici (17) faktorem cos OJztz, načež je sečteme; potom násobíme rovnici (16) faktorem -cos OJzt z a rovnici (17) faktorem sin OJzt z a takto upravené rovnice opět sečteme. Tak dostaneme nové dvě rovnice, k nimž připojíme rovnici (8). Po úpravě dostaneme soustavu rovnic:

8 STROJNCKY ČASOPS XV. Č Pl 1 (. ra '1. ) - sm ~dl - - sm W2t2 + m W~ _ '1 2 W2 P (cos '1t l + cos W 2 t 2) - X o cos W2t2 = O. (l8) m w~ _ '1 2 K těmto rovnicím patří ještě vztah (15). rovnic máme pro danou kruhovou frekvenci '1 a danou amplitudu budící Z těchto síly R najít amplitudu X o, fázový posuv fj a čas tl' Soustavu rovnic (18) můžeme považovat za homogenní systém pro veličiny Pdm, P2/m a xo. Protože se současně všechny tyto veličiny nemohou rovnat nule, musí mít příslušný determinant nulovou hodnotu. Po provedení a úpravě dostaneme

9 332 STROJNCKY CASOPS XV, e, 4 Rovnici (19) ještě upravíme dm, že z ni použitím vztahu (15) odstraníme čas t 2 a že do ní zavedeme bezrozměrné činitele Dostaneme nakonec o O 1. q=-=í- W2 wo'rf' 1+ Co (20) -2q(1 - q2)(p2 _ q2) cos '7+ 2q(1 - q2)(1 -l)cos 1t - '7 + q + 2q(p2_ q2)(1 _ p2) cos 1:. '7 - q _ p(l - q2)(1_ p2)(1 + -q2)sin~.sin...f'7'cos 1t - '7 _ p2 q q _ (1 - p2) (p2 _ q2) (1 + q2) sin '1 cos 1:. '7 sin 1t - '1 + q q + (1 - q2)(p2 _ q2) q(~ + p) cos '7. sin 1:. '7. sin n - '7 _ P q q _ q[(1 - p2)2 + (1 _ q2)2 + (p2 _ q2)2j cos '7. cos.l rl. cos n - 11 = O. (21) q q Rovnice (2l) je ústřední rovnicí celého řešení. Pro dané hodnoty p (čili cf/co) a q (vlastně O/wo) musíme jejím řešením najít příslušnou hodnotu pro '1, O tomto řešení uvedeme v dalším více. Nalezením '7. je vlastně celá úloha rozřešena. Pro každou zvolenou frekvenci O budící síly má '7 určitou "charakteristickou" hodnotu. Když známe '7 = Otl' vypočítáme z první a poslední rovnice (18) veličiny P2/Pl a xom/pl: (~l sin wltl - sin Otl) cos W2t2(W~ - (l2) + P2 + (* sin W2 t2 - sin (lll) cos Wltl(W; - (l2) 1'; = (cos Otl - cos Wlt l) cos w2tiw~ _ 0 2) + + (cos Dtl + cos W2t2) cos Wltl(wi _ 0 2) (cos Dtl - cos Wltl)!!- sin W2t2 - (cos Otl + cos W2t2)!!- sin wltl + W 2 Wl xom + sin Otl (cos wltl + cos W2(2) -p;- = - (cos Dt l - cos Wlt l) cos W2t2(W~ _ 0 2)_ - (cos Dtl + cos W2t2) cos Wltl(wi _ D 2) (22)

10 STROJNCKY ČASOPS XV, Č Rovnice (22) upravíme tím, že do nich zavedeme bezrozměrné veličinyp, q, 11 podle vzorců (20), a kromě toho do druhé rovnice (22) zavedeme tuhost Co vztahem (viz rov. (3» 2 Co ( W2=- 1+- Cf), m Co takže tuto rovnici převedeme do tvaru V důsledku toho vytvořímez rovnic (22) dvě nové rovnice (1 2) ( q. p.) n -,., - q - Sn Sn 11 cos p q q + (p2 _ q2)( q sin ~ - sin 11)cos f 11 (1 - q2)(cos 11 - cos : 11) cos n; 11 +, (23) + (p2 _ q2)(cos 11 + cos n ; 11 ) cos : 11 ( p ). n-11 - cos 11 - cos fl 11 q Sn--q- + 1 T=--- 1+~ Co + (cos 11 + cos n - 11!L sin.l 11 - sin 11 cos.l 11 + cos n - 11 q P q q q (1 - q2)(cos 11 - cos : 11)cos n; (p2 _ q2) (cos 11 + cos n; 11 ) cos : 11 (24) Rovnice (23) již určuje fázové pošinutí tj stacionárních kmitů; určíme takto: Podle rovnice (6) platí čili 'J (P2)2 R = Pl 1 + 1';, součinitele naladění

11 334 STROJNCKY CASOPlS XV, Č. 4 a odtud R Xo = ----;====== Co Je zřejmé, že Rjc., značí statický průhyb <5 s l, vztažený na střední tuhost Co, a proto pak výraz (25) je součinitelem naladění. Stručný postup výpočtu tedy je: Z rovnice (21) najdeme '7, s jeho pomocí určíme z rovnic (23) a (24) hodnoty <5 (resp. P2/Pl ) a T a nakonec z rovnic (25) součinitele naladění. Uvedené řešení má omezenou platnost; při pohybu z polohy do polohy 2 na charakteristice musí totiž být vždy x < 0 (viz obr. 2). Naopak, zase při pohybu mezi polohami 3 až 5 musí být x > 0. Jakmile tedy klesne rychlost někde mezi těmito krajními polohami na nulu, přestává řešení platit. Tyto komplikace nastávají, jak dále poznáme, při nízkých frekvencích. Proto se musí při výpočtu postupovat od vyšších frekvenci a k frekvencím nižším. Řešení komplikované rovnice (21) se poněkud usnadní, když určíme meze, ve kterých musí hodnota TJ ležet. Podle rovnice (15) je zřejmé, že bude platit n 2" < '7 < n, protože mezi polohami 0-;-.1 na charakteristice má pružina menší tuhost, čili tl > ' z- Dále můžeme najít hodnotu TJ, když ll, resp. q ->- 00. Z rovnice (2l) limitním přechodemzjistíme, že pak je TJ ->- n/2, bez ohledu na poměr cr/co' Numerické řešeníjsme provedli pro tyto hodnoty poměru Cr/Co: 0,3; 0,5; 0,7 a 0,9. Výsledky jsou znázorněnyna obr. 5,6 a 7. Na prvním obrázku je uveden průběh pomocné veličiny '7 (řešení rov. (21» v závislosti na poměrné frekvenci a/w o pro jednotlivé hodnoty cr/co' Čárkovaně je přikreslena mezná křivka, která omezuje platnost řešení. Z křivek je zřetelně vidět nesouměrnost kmitu, způsobená dvojí tuhostí pružiny, a to hlavně při nižší hodnotě budící frekvence. Na obr. 6 jsou křivky pro fázové pošinutí <5, včetně mezné čárkované křivky. Kromě toho je ještě přikreslena stupnice pro fázové po šinutí ex, vztažené k amplitudě kmitů, jak je to obvyklé u případu s viskózním tlumením. Na obr. 7 je konečně znázorněn průběh součinitele naladění. Zřetelně je zde

12 STROJNCKY ČASOPS XV, Č patrna oblast, kde přestává naše řešení platit. V obrázku jsou přikreslenypříslušné charakteristiky. Dále jsou na tabulkách až 4 uvedeny číselné výsledky řešení pro jednotlivé hodnoty CJ Co. Mezihodnoty pro jiné hodnoty CJ Co lze z těchto tabulek najít snadno interpolací. Na poslední tab. 5 jsou udány číselné hodnoty mezných křivek pro diagramy na obr. 5, 6 a 7. Způsob výpočtu bodů těchto mezných křivek viz dále. Nyní můžeme provéstsrovnánípřibližného a přesného řešení problému. Snažíme se nahradit komplikovanou charakteristiku podle Cf/co-u,3 / Cilce =0,5 C/c. =0.7 C/c. =0.9 Obr ()O, 1800 CleD = 0,5 Cll c =0,3 60 «" D C Qc =0,1 D Cllc D =0,9 900~0::..O ~ _ Obr. 6. obr. 2 jednodušším případem pružiny se střední tuhostí Co a viskózním tlumením o jednotkové tlumící mohutnosti 2u, vztažené na jednotku hmoty.* Z rovnosti ener- * Viz [1], str

13 336 STROJNCKY CASOPS XV. č gie, ztracenézajedencykl, pro obě charakteristiky (rovnost ploch, obr. 8) vyplývá, že 2n = 2el'. mno Ze vztahů pro energii ztracenou za jeden cykl (na obr. 8) je vidět zásadní rozdíl obou druhů tlumení, které srovnáváme: Pro soustavu s viskáznim tlumenim je ztracená energie závislá na frekvence kmitáni, u druhého způsobu tlumeni je ztracená energie neproměnná a neni funkci frekvence. o'------;;';:------;:'=_---~-=_- ;;:'=_--_;;';- Obr. 7. Když tuto hodnotu dosadíme do vztahu pro součinitele naladění při viskózním tlumení, dostaneme 1 1 (26) Tento výraz je přibližným vztahem pro výpočet součinitele naladění. Porovnání přesného řešení a přibližného řešení podle vztahu (26) je provedeno na obr Křivky zjištěné přibližným řešením jsou nakresleny čárkovaně. Ze srovnání vyplývá, že přibližné řešení vyhovuje jen. pro malé hodnoty C/co < 0,3, jinak je lze

14 :STROJNCKY CASOPS XV, e Tabulka 1 cf/co = 0,30 Q/w o 1]0 (x0 15 l.jl + ;P2/Pl )2 0, ' ' 65 35' 1,406 0, ' ' 67 32' 1,425 0, ' -14 ľ 75 59' 1,516 0, ' -7 12' 82 48' 1,617 0, ' -1 27' 88 33' 1,740 0, ' 3 47' 93 47' 1,901 0, ' 8 58' 98 58' 2,114 0, ' ' 2,860 0, ' 45 7' 135 7' 4,205 0, ' 66 52' ' 5,044 0, ' 80 41' ' 5,308 1, ' 95 6' 185 6' 5,132 1, ' ' ' 3,190 1, ' ' ' 1,972 1, ' ' ' 1,001 1, ' ' ' 0,630 1, ' ' ' 0,442 2, ' ' ' 0,332 2, ' ' ' 0,190 Tabulka 2 Cf/CO = 0,50!J/wo 1]0 (x0 15 l.jl +(:2/Pl)2j 0, ' 4 9' 94 9' 1,995 0, ' 6 35' 96 35' 2,027 0, ľ 14 9' 104 9' 2,147 0, ' 30 10' ' 2,501 0, ' 130 2' 2,722 0, ' 51 50' ' 2,951 0, ' ' 3,129 0, ' 81 45' ' 3,178 1, ' ' 3,048 1, ' ' ' 2,318 1, ' ' 1,666 1, ' ' ' 0,939 1, ' ' ' 0,611 1, ' ' ' 0,435 2, ' ' ' 0,328 2, ' ' ' 0,189

15 338 STROJNCKY CASOPS XV, e, " použít nejvýš pro oblast frekvencí Q > 0)0' Přibližné řešení neříká pochopitelně nic o komplikovaném pohybu při nízkých frekvencích. Na dalších obr jsou nakresleny časové průběhy kmitů pro hodnoty cf/co = 0,3, 0,5 a 0,7. Zřetelně je vidět nesouměrný průběh kmitů, který je tím více Tabulka 3 cf/co = 0,70 Q/W O 1)0 (x0 0 1";1 + <:z/p1)zl - 0, ' 46 9' 136 9' 2,310 0, ' 50 14' ' 2,320 0, ' 59 23' ' 2,338 0, ' 69 14' ' 2,336 0, ' 79 40' ' 2,295 0, ' 90 15' ' 2,205 1, ' ' ' 2,067 1, ' ' ' 1,709 1, ' ' ' 1,357 1, ' ' ' 0,862 1, ' 159 5' 249 5' 0,587 1, ' ' ' 0,425 2, ' 168 ' 258 ' 0,324 2, ' ' ' 0, Tabulka 4 cf/co = 0,90 Q/W O 1)0 (x0 0 -J + ;PzP1)zj ; 0, ' 79 40' ' 1,795 0, ' 81 24' ' 1,780. r 0, ' 88 24' ' 1,712! i 0, ' 95 32' ' 1,632 1,00 33' ' ' 1,542 1, ' ' ' 1,337 1, ' ' ' 1,129 1, ' ' ' 0,788 1, ' 154 2' 244 2' 0,557 1, ' ' ' 0,413 2, ' ' ' 0,318 2, ' ' ' 0,187

16 STROJNÍCKY CASOPlS XV, e ' Obr. 8. 5,0 3,0 2, ',,,,,,,,,,,,,, :, \ \ \ \ \ \,,/ \ '" \,'" \ Obr , ,0

17 340 STROJNCKY CASOPS XV, Č. 4 Tabulka 5 Souřadnice bodů na mezných křivkách ll/wa 1)0 (x0 <50 1./1 + ;P2/Pl)21 cf/co 0, ' ' 58 21' 1,117 0,15 0, ' ' 65 35' 1,406 0,30 0, ' ' 76 14' 1,655 0,40 0, ' 4 9' 94 9' 1,995 0,50 0, ľ 24 7' 114 7' 2,281 0,60 0, ' 46 9' 136 9' 2,310 0,70 0, ' 65 10' ' 2,100 0,80 0, ' 79 40' ' 1,795 0,90 3,0 2,0 1,0 o 0,5 1,0 1,5 2,0 Obr. 10. patrný, čím více klesá frekvence budící síly. Obzvláště obr. 14 názorně předvádí značné odchylky kmitů od sinusového průběhu. Tím je vysvětleno, proč lze použít přibližného řešení jen při vyšších "budících" frekvencích.

18 STROJNÍCKY ŮASOPS XV, č o 0,5 1,5 2 Obr. ll. 2 o 0.5 1,5 2 Obr. 12. %-aj... ~.a~ \ z;). / / \ / / l/ \. L> /1- r-, 1/» L <, ~2a.5: +~ ~ / / \ - / V,......'--10-' Obr.B.

19 342 STROJNCKY CASOPS XV, e, T-'- 1/ -, V 1"- r\ ~a'"' J 7 1/ -f- f-- 1\ / \ V / \. V -r ~-a5./ ~, <, -~ -Q75 / \ 1/ / J \ / <, ~ / "1 -Q95 1/ 1\ [1: 1\ J 1\ \ 1/ \ 1/ ~ -, ~ Obr. 14. Ll "\=ai! - 1/ \ \ \ \ J \ / / \ fo- - Obr. 15. MEZE PLATNOST ŘEŠENí Celé naše řešení platí, pokud je splněn předpoklad, že při pohybu v intervalech a 1..;- 2 nezmění rychlost smysl, čili jestliže je x < O. Při každém výpočtu součinitelů naladění a fázového pošinutí musíme kontrolovat, je-li uvedený před-

20 STROJNCKY ČASOPS XV. Č poklad splněn. K tomu potřebujemevýrazy pro rychlost v jednotlivých intervalech. Derivováním vztahů pro výchylku (rov. (7) a (10)) a zavedením bezrozměrnýchveličin XW R/m dostaneme: interval XW = cos D{[ - ( Cf) + -P 2 1 ]. sm -p ( Dt) - R/m Co Pl q2 q 1-- p2 [( ~:) sin O, - cos OJ} < O (27) pro < Dt < 11, interval + 2 ;~~ = ~~o:~ [sin 11 + (;:)cos 11Jsin ~ (Dt) + + cos D{[(!2) 1 - (1 + ~).J p2sin E q/ p cos l! Pl l- q2 Co q 1 _ L q p2 + (1 ~q' 1~/~:_ )[(~:)sinq - cos qj} cos ~ (O,) + pro 11 < Dt + 11 < n. + q: ~O;2D [cos (Dt + 11) - (;:) sin (Dt + 11)J < Na obr. 16 je nakreslen průběh veličiny R XW / pro ~ = 0,7 a D/wo = 0,75; m Co z grafu je zřetelný nesouměrný průběh kmitu. Názorný je obr. 17, kde je nakreslena celá série křivek pro Cf/CO = 0,5 a různé frekvence budící síly. Z průběhů je vidět, jak klesá směrnice tečny ke křivce v počátečním bodě, a lze proto předpokládat, že meze platnosti řešení se dosáhne, když tato směrniceklesne na nulu. Tato směrnice se vyjádří vztahem = cos D d ( XW ) P[( Cf) P 2 J d(dt) Rlm (.Qr=O) q Co Pl' (28)

21 344 STROJNCKY CASOPS XV, Č. 4 ".{ ~J Obr. 16. Obr. 17. a3 -a3 Obr. 18.

22 STROJNCKY ŮASOPS XV, č, Zdá se proto, žl! nejnižší frekvence, pro kterou bude naše řešení podmínku: platit, musí splnit -(1 - -SL)-r +!2 = O. (29) Co Pl Při numerickém řešení však zjistíme, že tato podmínka má jen omezenou platnost, platí totiž jen pro vyšší hodnoty poměru Cf/CO' Na obr. 18 jsou nakresleny průběhy derivace podle vzorce (28) pro různé hodnoty cf/co' a to vždy kolem nulových hodnot. Vidíme, že pro hodnoty cf/co' ležící asi pod 0,45, nemůžeme podmínku (29) vůbec uplatnit a že musíme sledovat průběh veličiny ("bezrozměrné" rychlosti) - (~%;;J -0,5 o 150' 180' nt Obr. 19. (~~ 90' Obr. 20.

23 346 STROJNCKY CASOPlS XV, Č. 4 (~7~)podle rovnice (27). Jakmile tedy neklesne hodnota d(~t) ( ~7~ }Qt=O) na nulu, musíme sledovat celý průběh rychlosti v intervalu To je provedeno na obr. 19 a 20 pro Cf/CO = 0,3, resp. 0,15. Na obr. 19jsou zakresleny průběhy rychlosti také pro hodnoty Q/wo, ležící pod kritickou mezí (Q/wo = 0,30; 0,35 a 0,40); je vidět poněkudoscilativní průběh rychlosti pro hodnoty Q/wo blízké mezné hodnotě (viz Q/wo = 0,45). Ještě více vyniká tato skutečnost na obr. 20, kde hodnota Q/wo = = 0,38 leží těsně pod hledanou mezí. Pomocí rov. (27) + (29) se vypočtou hodnoty pro mezné křivky uvedené na tab. 5. CHOVÁNí SOUSTAVY PRO FREKVENCE BUDíCÍ SÍLY, KTERÉ LEŽÍ POD KRTCKOU MEZÍ Z předchozího je patrné, že pro frekvence nižší, než je hodnota kritická, která závisí jedině na poměrucf/co' dojde běhempoloviny kmitu ke změně smyslu rychlosti. Podle průběhů rychlosti na obr. 19, resp. 20, je nejvýš pravděpodobné, že rychlost klesne na nulu blízko za bodem O na charakteristice (obr. 21) a v dalším intervalu má kladné znaménko. To se projeví na charakteristice skokem z bodu Ol do bodu 02. Po určitém čase se pohyb opět zastaví (bod 03) a nastane pohyb v počátečním smyslu (přeskok do bodu 04). Další pohyb je zřejmý. Na charakteristice je dobře patrna "smyčka", která se vytvoří změnou smyslu rychlosti. Tímto zjevem se ovšem analytické S t řešení nesmírně zkomplikuje. Při předchozím řešení se určovala jen jedna charakteristická hodnota tl (resp. 1]) z rovnice (21). V tomto případě by bylo zapotřebí tří těchto hodnot, které odpovídají časům tol' t 2 3 a (41' Do- -L... stali bychom tedy při analytickém řešení tři./.~ simultánní transcendentní rovnice podobné ~ rovnici (21). Řešení takovéto soustavy rovnic vyžaduje pro svoji složitost výkonný počítací '2 stroj. Z tohoto důvodu jsme řešení v této (b:2f. oblasti nemohli provést. Obr. 21. Je ovšem pravděpodobné, že situací podle obr. 21 nevystihneme chování v celé oblasti pod kritickou mezí "budící" frekvence. Došli bychom asi k další kritické frekvenci, kde končí kmity s jedinou "smyčkou" podle obr. 21 a pak vznikne periodický pohyb s dvěma, resp. více "smyčkami". Je tedy vidět, že pohyb se komplikuje stále více s klesající frekvencí budící síly. Je to patrně způsobeno tím, že "vlastní kmity", které tvoří část "periodického řešení", způsobí několikerou změnu smyslu rychlosti během poloviny kmitu budící síly, která má v této oblasti nízkou frekvenci.

24 STROJNÍCKY ŮASOPS XV, č LTERATURA [1] Timošenko, Kmitání ve strojnictví. SNTL, [2] Trans. ASME, sv. 53, AMP-107, [3] Phi\. Mag., sv. 9, [4] Barkan Ph., Calculation ol High-Speed Valve Motion with a Flexible Overhead Linkage. Transact. SAE, sv. 61, 687, [5] Kmity kolejových vozidel. Výzkumná zpráva M-028/59, Výzkumný ústav kolejových vozidel, Lektor: inž, gor Bal/o, C. Se. Rukopis dodaný YlPyrAR CMCTEMA C lpolopqmohajbhblm OTKJOHEHMEM COlPOTMBJEHMEM CTaTM CO,l:\eplKHT ahajhth'leckoepeureaae CTaQHOHapHblXKOJe6aHHil. yrrpyrož CHCTeMb.n;eMl <!lhpobahholí. nponopunoaansnsnr OTKJOHeHHO corrpothbjehhem. LJ:JJ B036Y'K,lJ;a<>J.J;elí. CRllb CHHYCOH,l:\aJbHOrO xona nposeneao Bbl'lHCJeHHe K03<!l<!lHQHeHToB HaCTpaHBaHW H C,D;BHra rro <!la3e, peaynsrarsr npaseneasr TOlKe B Ta6JHQax TaK, '1TO npoxae saaseaaa 1l0JY'laeMb aarepnonannea. B paěore ej.j;e rrposeneao cpaaneaae TO'lHOrO peureaaa H rrph6jhlkehhoro Bbf'HCJeHW npa rromoj.j;ll 3KBHBaJeHTHOro B1l3Koro,l:\eMl<!lllpoBaHHll onpeneneasr npenensr,l:\jll rrph6jhlkehlloro pemeaaa, ELASTlC PROPORTlONAL-TO-DEFLECTWN RESSTANCE SYSTEM Doc. ng. Rudolf Brepta The article deals with the analytical solution of stationary vibrations of an elastic system damped up by resistance proportional to the deflection. For the exciting force of the sinusoidal course the calculation of tuning factors and those of the phase shifting has been performed. The results are given in tables, too, so that it is possible to get further values by interpolation. n the work some comparison ofthe exact solution with that ofapproximate calculation by means of'equivalent viscous damping is also presented and the limits for approximate solution are determined.

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární

Více

6 Algebra blokových schémat

6 Algebra blokových schémat 6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

Tlumené a vynucené kmity

Tlumené a vynucené kmity Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT Evropský sociální fond Praha & U: Е Investujeme do vaší budoucnosti Problémová úloha 1: Laplaceova transformace Pomocí Laplaceovy transformace vlastností

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2

Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

Systém vykonávající tlumené kmity lze popsat obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řadu s nulovou pravou stranou:

Systém vykonávající tlumené kmity lze popsat obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řadu s nulovou pravou stranou: Pracovní úkol: 1. Sestavte obvod podle obr. 1 a změřte pro obvod v periodickém stavu závislost doby kmitu T na velikosti zařazené kapacity. (C = 0,5-10 µf, R = 0 Ω). Výsledky měření zpracujte graficky

Více

5. Pro jednu pružinu změřte závislost stupně vazby na vzdálenosti zavěšení pružiny od uložení

5. Pro jednu pružinu změřte závislost stupně vazby na vzdálenosti zavěšení pružiny od uložení 1 Pracovní úkoly 1. Změřte dobu kmitu T 0 dvou stejných nevázaných fyzických kyvadel.. Změřte doby kmitů T i dvou stejných fyzických kyvadel vázaných slabou pružnou vazbou vypouštěných z klidu při počátečních

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D19_Z_OPAK_KV_Mechanicke_kmitani_T Člověk a příroda Fyzika Mechanické kmitání Opakování

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

ω=2π/t, ω=2πf (rad/s) y=y m sin ωt okamžitá výchylka vliv má počáteční fáze ϕ 0

ω=2π/t, ω=2πf (rad/s) y=y m sin ωt okamžitá výchylka vliv má počáteční fáze ϕ 0 Kmity základní popis kmitání je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou mechanický oscilátor zařízení vykonávající kmity Základní veličiny Perioda T [s], frekvence f=1/t

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny

Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny Určení hlavních geometrických, hmotnostních a tuhostních parametrů železničního vozu, přejezd vozu přes klíny Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ.1.07/2.3.00/45.0029 V

Více

Testovací příklady MEC2

Testovací příklady MEC2 Testovací příklady MEC2 1. Určete, jak velká práce se vykoná při stlačení pružiny nárazníku železničního vagónu o w = 5 mm, když na její stlačení o w =15 mm 1 je zapotřebí síla F = 3 kn. 2. Jaké musí být

Více

Mechanické kmitání a vlnění

Mechanické kmitání a vlnění Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání

Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání Počítačová podpora statických výpočtů Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání 1) Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni ) Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Katedra konstrukcí

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS

MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš Mechanické kmitání Vojtěch Beneš Výstup RVP: Klíčová slova: žák užívá základní kinematické vztahy při řešení problémů a úloh o pohybech mechanické kmitání, kinematika, harmonický oscilátor Sexta Příprava

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496

Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: V/2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití:

Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití: Truhlář Michal 6.. 5 Laboratorní práce č.4 Úloha č. VII Operační zesilovač, jeho vlastnosti a využití: Úkol: Zapojte operační zesilovač a nastavte jeho zesílení na hodnotu přibližně. Potvrďte platnost

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Logaritmické a exponenciální funkce

Logaritmické a exponenciální funkce Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II

Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II Úkoly měření: 1. Seznámení s měřením na přenosném dataloggeru LabQuest 2 základní specifikace přístroje, způsob zapojení přístroje, záznam dat a práce se senzory, vyhodnocování

Více

Výkon střídavého proudu, účiník

Výkon střídavého proudu, účiník ng. Jaromír Tyrbach Výkon střídavého proudu, účiník odle toho, kterého prvku obvodu se výkon týká, rozlišujeme u střídavých obvodů výkon činný, jalový a zdánlivý. Ve střídavých obvodech se neustále mění

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš KVANTOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ NÍZKÉ ÚROVNĚ Abstrakt Quantization of acoustic low level signals David Bursík, Miroslav Lukeš Při testování kvality A/D převodníků se používají nejrůznější testovací signály.

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Mechanické kmitání (oscilace)

Mechanické kmitání (oscilace) Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje

Více

Měření času, periody, šíře impulsu a frekvence osciloskopem

Měření času, periody, šíře impulsu a frekvence osciloskopem http://www.coptkm.cz/ Měření času, periody, šíře impulsu a frekvence osciloskopem Měření času S měřením času, neboli se stanovením doby, která uběhne při zobrazení určité části průběhu, při kontrole časové

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více