SBÍRKA ÚLOH STEREOMETRIE

Transkript

1 SÍR ÚO STROTRI

2 OS seznm používných symbolů 7. Zákldy stereometrie 9.1 Zákldní stereometrické pojmy Zobrzování prostorových útvrů v rovině Polohové vlstnosti útvrů v prostoru 15.1 Vzájemná poloh čtyř bodů Vzájemná poloh dvou přímek Průnik roviny těles Vzájemná poloh dvou rovin Vzájemná poloh tří rovin Vzájemná poloh přímky roviny Průnik přímky s hrnicí těles etrické vlstnosti útvrů v prostoru 33.1 Odchylk přímek rovin Vzdálenost bodů přímek rovin Sbírk úloh STROTRI utoři: RNr. g rubý, gr. rie hodorová, Ph.. Přiložené : RNr. enk Juklová, Ph.. rfická úprv szb: rcel Vrbs. nohostěny 41.1 Terminologie Zákldní vzorce rnoly Jehlny Pltonov těles Rotční těles 51.1 Terminologie Zákldní vzorce Válec užel oule výsledky úloh 59

3 PŘUV ilé kolegyně, vážení kolegové, studenti, dostáváte do rukou sbírku úloh ze stereometrie. utoři sbírky se n zákldě svých zkušeností přiklání k názoru, že stereometrie předstvuje ve výuce mtemtiky prtii, která ptří k méně oblíbeným. Čsto se zdůrzňuje, že pro úspěšné studium stereometrie je nezbytná dobrá prostorová předstvivost, která je u některých studentů méně rozvinut bez které nelze učivo ze stereometrie pochopit. Tuto schopnost je všk možné zdokonlovt rozvíjet. Vedle tohoto, jistě důležitého předpokldu, jsou zde důvody dlší. těm ptří zejmén změny v učebních plánech středních škol v posledních desetiletích, které vedly k omezování výuky geometrie. eometrie je dotován menším počtem hodin nvíc z učebních plánů skoro vymizel deskriptivní geometrie. utoři sbírky by rádi povzbudili nejen své kolegy učitele, le i jejich studenty v hledání cesty ke stereometrii, která je krásnou disciplinou s bohtou historií. Právě prostřednictvím stereometrie se mtemtik velmi výrzně přibližuje k řešení celé řdy prktických problémů. Upřímně děkujeme RNr. ence Juklové, Ph.. z kontrolu výsledků u polohových úloh z pomoc při tvorbě. PŘUV 5

4 SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ, body,, b přímky, b přímk, polopřímk úsečk ρ,σ roviny ρ,σ rovin p rovin p (rovin určená bodem přímkou p) pq rovin pq (rovin určená přímkmi pq) S střed úsečky V konvexní úhel V b přímk je rovnoběžná s přímkou b b přímk není rovnoběžná s přímkou b b = P průsečík P přímek, b α β = p průsečnice p rovin α, β vzdálenost bodů, ; délk úsečky p vzdálenost bodu od přímky p α vzdálenost bodu od roviny α b vzdálenost rovnoběžných přímek, b αβ vzdálenost rovnoběžných rovin α, β V velikost konvexního úhlu V b odchylk přímek, b pα odchylk přímky p roviny α αβ odchylk rovin α, β V objem těles S povrch těles SZN POUŽÍVNÝ SYOŮ 7

5 . ZÁY STROTRI.1 Zákldní stereometrické pojmy Stereometrie, neboli geometrie v prostoru se zbývá řešením prostorových geometrických úloh. by student byl schopen řešit úlohy n dné tém musí se seznámit s některými stereometrickými pojmy větmi. Z zákldní útvry ve stereometrii povžujeme body, přímky roviny. ále uvedeme jejich vlstnosti vzthy. určení přímky dvěm různými body je určen jediná přímk. určení roviny přímkou bodem, který neleží n této přímce, třemi body, které neleží n jedné přímce, dvěm různoběžkmi, dvěm různými rovnoběžkmi. vzájemná poloh přímek, b rovnoběžné:, b leží v téže rovině součsně b = různé, rovnoběžné splývjící: = b různoběžné: b = R, R průsečík, mimoběžné:, b neleží v téže rovině součsně b =. vzájemná poloh dvou rovin α, β rovnoběžné: α β = různé, rovnoběžné splývjící: α = β, různoběžné: α β = r, r průsečnice. vzájemná poloh tří rovin Všechny tři roviny jsou nvzájem rovnoběžné. zákldy stereometrie 9

6 vě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných přímkách. ždé dvě roviny jsou různoběžné všechny tři průsečnice jsou nvzájem rovnoběžné různé. ždé dvě roviny jsou různoběžné všechny průsečnice splývjí v jedinou přímku. ždé dvě roviny jsou různoběžné, jejich průsečnice jsou nvzájem různoběžné protínjí se v jednom společném bodě. vzájemná poloh přímky roviny ρ rovnoběžné: ρ = různé, přímk leží v rovině ρ: ρ, různoběžné: ρ = R, R průsečík. některé dlší vlstnosti bodů, přímek rovin: odem lze vést právě jednu přímku rovnoběžnou s přímkou b. eží-li dv různé body přímky v rovině ρ, pk kždý bod přímky leží v rovině ρ. jí-li dvě různé roviny α β společný bod, pk mjí i společnou přímku, která prochází bodem. Přímk je rovnoběžná s rovinou ρ, právě když v rovině ρ existuje přímk rovnoběžná s přímkou. vě roviny jsou rovnoběžné, právě když jedn z nich obshuje dvě různoběžky, z nichž kždá je rovnoběžná s druhou rovinou. ným bodem lze vést jedinou rovinu α rovnoběžnou s dnou rovinou ρ. 10 zákldy stereometrie.2 Zobrzování prostorových útvrů v rovině Rovinu, do níž geometrické útvry rovnoběžně promítáme, nzýváme průmětnou. Tuto průmětnu ztotožňujeme s nákresnou, tj. s rovinou tbule nebo sešitu. názornému zobrzování prostorových geometrických útvrů k ilustrci řešení některých stereometrických úloh užíváme volné rovnoběžného promítání. Při zobrzování prostorových geometrických útvrů ve VRP dodržujeme jednoduchá prvidl: 1. ody zobrzujeme jko body. 2. Přímky zobrzujeme jko přímky nebo jko body. 3. Zchováváme incidenci bodů přímek. 4. Rovnoběžné přímky zobrzujeme jko rovnoběžky nebo jko body. 5. Zchováváme poměr velikostí rovnoběžných úseček. 6. Obrzce ležící v rovinách rovnoběžných s průmětnou zobrzujeme ve skutečné velikosti. Při volném rovnoběžném promítání se jedná o zobrzení, ve kterém jsou bodům prostoru přiřzeny jisté body nákresny. Pro názornost obrzů má prktický význm připojit následující úmluvy, které budeme respektovt: 7. Obrzy přímek kolmých k průmětně (tyto přímky budeme nzývt hloubkové) kreslíme tk, by svírly s vodorovnou přímkou zvolený úhel, tzv. úhel zkosení. Většinou volíme úhel o velikosti Obrzy úseček n hloubkových přímkách zkrcujeme n polovinu jejich skutečné velikosti. pro názornost zobrzíme několik útvrů těles: čtverec krychle zákldy stereometrie 11

7 rovnostrnný trojúhelník prvidelný šestiúhelník prvidelný čtyřstěn (e konstrukci prvidelného čtyřstěnu je nutné určit jeho výšku, to tk, že sklopíme rovinu, která obshuje výšku těles hrnu, do roviny podstvy.) v 45 v 2 S S 45 T v ( ) v prvidelný osmiúhelník T prvidelný osmistěn prvidelný čtyřboký jehln V kružnice (obrzem kružnice je elips) v v 2 b v b b 2 S S ZÁY STROTRI ZÁY STROTRI 13

8 . POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Vzájemná poloh čtyř bodů 1. Je dán krychle. ) zjistěte, zd body,,, X leží v jedné rovině. od X je střed hrny b) zjistěte, zd body,,, leží v jedné rovině. ody, jsou středy hrn, c) zjistěte, zd body,,, X leží v jedné rovině. od je střed hrny, bod je střed hrny bod X leží n hrně pltí X = 2 X. d) zjistěte, zd v krychli leží uvedené body,,, S v jedné rovině. od je střed hrny, bod je střed hrny, bod je střed hrny bod S je střed krychle 2. Je dán prvidelný osmistěn. Zjistěte, zd uvedené body,,, leží v jedné rovině. od leží n úhlopříčce pltí 3 =..2 Vzájemná poloh dvou přímek 3. Je dán krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze přímek: ) S S b) P S, bod P je střed stěny c) P S S, bod P je střed stěny d) S e) S S f) S g) S h) S S 4. V prvidelném čtyřbokém jehlnu V rozhodněte o vzájemné poloze přímek: ) S V S V 14 ZÁY STROTRI POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 15

9 b) S V S V c) V d) V S S V e) V S S V 5. V prvidelném osmistěnu rozhodněte o vzájemné poloze přímek: ) S S b) S S S c) S.3 Průnik roviny těles Při konstrukci řezů n tělesech se řídíme těmito třemi prvidly: prvidlo č. 1: strny řezu tvoří body, které leží v jedné stěně těles, (lze spojit body ležící v téže rovině stěny těles), prvidlo č. 2: strny řezu, které leží v rovnoběžných rovinách jsou nvzájem rovnoběžné, prvidlo č. 3: jestliže dvě průsečnice tří rovin procházejí jedním bodem, musí jím procházet tké třetí průsečnice. Poznámk: V zdání příkldů nebude výslovně uváděno, kde body určující rovinu řezu leží, tudíž čtenář se bude orientovt podle obrázku. 6. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: Rovin řezu je určen body. Protože bod leží n hrně, bod leží n hrně body určují rovinu, ve které leží horní podstv krychle, proto v této rovině musí ležet i přímk, proto spojíme body úsečk tk určuje jednu strnu řezu. nlogicky totéž provedeme s body, tedy podle prvidl č. 1 spojíme body,, čímž je řez sestrojený. 7. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: Y l I 1. ody leží v téže rovině stěny podle prvidl č. 1 tvoří strnu řezu. 2. Roviny jsou rovnoběžné, tkže podle prvidl č. 2 vedeme bodem rovnoběžku m s. 3. Průnik přímky m hrny je bod X. 4. lší body řezu sestrojíme užitím prvidl č. 3. Roviny, se protínjí v jednom bodě I, kterým procházejí všechny průsečnice těchto rovin. se protínjí v přímce n ní bude ležet bod I, jímž procházejí dlší dvě průsečnice. Tento bod I určíme jko průsečík přímek m. Přímk I je průsečnice rovin. 5. od řezu Y je průsečíkem přímky I s hrnou. 6. odem vedeme rovnoběžku l s XY. 7. Průnik přímky l hrny je bod Z. 8. Řez je určen body ZXY. X Z m 16 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 17

10 = I X Z Y POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 8. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. Řešení: 1. Nemůžeme využít žádné prvidlo. Sestrojíme průsečík přímky s rovinou podstvy, to tk, že sestrojíme prvoúhlý průmět této přímky do roviny stěny, což je přímk. Průsečík přímky s je bod I, což je průsečík přímky s rovinou podstvy. 2. Sestrojíme přímku I její průsečík s hrnou je dlší bod řezu X. 3. Spojíme X. 4. odem vedeme rovnoběžku m s přímkou X její průsečík s hrnou je bod řezu Y. 5. Spojíme Y. 6. ále bodem vedeme rovnoběžku l s přímkou X. 7. od Z, který je průsečíkem přímky l hrny, je bodem řezu spojíme ho s bodem. 9. Sestrojte řez krychle rovinou určenou body. ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

11 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z) ) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

12 k) l) m) 11. Sestrojte řez prvidelného čtyřbokého jehlnu V rovinou. ) b) V V 10. Sestrojte řez krychle rovinou určenou bodem P přímkou p, jestliže přímk p leží v rovině ) b) p 12. Sestrojte řez prvidelného čtyřbokého jehlnu V rovinou bodem P přímkou p, jestliže přímk p leží v rovině. V P P p P c) p 13. Sestrojte řez prvidelného šestibokého hrnolu rovinou. ) b) P p 22 POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU 23

13 V V P Q R S T U POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU POOOVÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU c) d) 14. Sestrojte řez prvidelného šestibokého jehlnu V rovinou. ) b) 15. Sestrojte řez prvidelného osmistěnu rovinou. ) b) c) d) 16. Sestrojte řez prvidelného čtyřstěnu rovinou. ) b) 17. Sestrojte řez krychle součsně řez prvidelného osmistěnu PQRSTU rovinou.

14 .4 Vzájemná poloh dvou rovin 18. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dán krychle, v přípdě různoběžných rovin sestrojte jejich průsečnici. S S S Roviny jsou různé mjí společný bod, tedy průsečnice těchto rovin musí procházet bodem. ále pltí pro různoběžné přímky, které leží v rovině stěny krychle, že leží v rovině leží v rovině, proto bod S = náleží součsně oběm rovinám je dlším bodem průsečnice p. Protože je S, je přímk p = S hlednou průsečnicí rovin. 19. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin S S, je-li dán krychle, v přípdě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. Ukážeme, že rovin S je rovnoběžná s rovinou S. V rovině S si vybere npř. přímky S ukážeme, že tyto přímky jsou rovnoběžné s rovinou S. Přímk je rovnoběžná s přímkou S S přímk S je rovnoběžná s přímkou S, tedy v rovině S existují dvě různoběžné přímky rovnoběžné s rovinou S, proto jsou roviny S S rovnoběžné. 20. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dán krychle, v přípdě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. ) S, S b), c), S d) S, S S S e), f) S, g), S h), S i), j), S k), S S S l) S S, S m), S S S n) S S, S S o) S, S S p) S, S 21. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, je-li dán jehln V, v přípdě různoběžných rovin určete jejich průsečnici. ) VS, S S V b) V, S V c) V, V d) S V, VS S e) V, S S V, = 3 f), S V S V, V V = 3 g) V, S V, = Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin S S S S, je-li dán prvidelný osmistěn. 26 polohové vlstnosti útvrů v prostoru polohové vlstnosti útvrů v prostoru 27

15 .5 Vzájemná poloh tří rovin.6 Vzájemná poloh přímky roviny 23. Je dán krychle. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin. ),, b),, S S S c), S, S S S d),, S S S e), S S S, S S S f), S S S, S S S. 24. Je dán prvidelný čtyřboký jehln V. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin. ) V, V, S V S V S V b) V, S S S V, S S S V c) V, S S V, S S V 25. Je dán prvidelný osmistěn. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin. ),, b) S, S, S S 26. Je dán krychle. Určete průsečík přímky s rovinou. r X Přímkou proložíme vhodnou rovinu, v tomto přípdě to bude rovin. Sestrojíme průsečnici r těchto rovin. ledný průsečík přímky roviny je bod X, který je průsečíkem přímek r. 27. Je dán krychle, rozhodněte o vzájemné poloze roviny přímky, v přípdě různoběžnosti určete průsečík. ), b), c), d), S 28. V krychli jsou body P, Q, R, S po řdě středy stěn,,,. Určete vzájemnou polohu: ) přímky PQ roviny b) přímky RS roviny c) přímky QR roviny d) přímky PR roviny 28 polohové vlstnosti útvrů v prostoru 29. Je dán krychle, rozhodněte o vzájemné poloze přímky roviny, v přípdě různoběžnosti určete průsečík. ) přímky PR roviny S S S, body P, R jsou po řdě středy stěn, polohové vlstnosti útvrů v prostoru 29

16 b) přímky roviny, bod leží n pltí = 2, bod leží n pltí = 2 c) přímky S S roviny S S d) přímky S roviny S S S 30. Je dán krychle. Zjistěte, zd leží: ) přímk v rovině, bod leží n pltí = 2 b) přímk v rovině c) přímk v rovině d) přímk PR v rovině, body P, R jsou po řdě středy stěn, 31. Je dán krychle. Zjistěte, zd body, přímk leží v jedné rovině. 32. Je dán prvidelný čtyřboký jehln V. Sestrojte průsečík přímky s rovinou ) přímky S V s rovinou V, leží n pltí = 3, leží n pltí = 3 b) přímky VS s rovinou S S V c) přímky VS s rovinou S S V d) přímky S V s rovinou, leží n pltí = 3, leží n V pltí = 2 V, leží n V pltí V = 3 e) přímky V s rovinou J, J leží n pltí J = 3 J, leží n V pltí V = 3, leží n V pltí = 3 V f) přímky VS s rovinou S S V S.7 Průnik přímky s hrnicí těles 33. Je dán krychle. Určete průsečíky přímky N s hrnicí krychle. od leží n, bod N leží n N V X T Y S U Přímkou N proložíme rovinu rovnoběžnou se svislými hrnmi krychle (tzv. směrovou rovinu) určíme její řez STUV s krychlí. Přímk N protíná hrnici tohoto řezu (tj. hrnici krychle) v bodech XY. 34. Je dán krychle. Určete průsečíky přímky PQ s hrnicí krychle. Pro body P, Q pltí: ) = S P, = S Q b) P leží n pltí P = 1,5, = S Q c) P leží n pltí P = 1,5, Q leží n pltí Q = 1,5 d) P leží n pltí P = 1,25, Q leží n pltí Q = 1, Je dán prvidelný šestiboký hrnol. Určete průsečíky přímky N s hrnicí hrnolu. Pro body, N pltí: ) = S, N leží n pltí N = 1,25 b) = S, N leží n pltí N = 1,25 30 polohové vlstnosti útvrů v prostoru polohové vlstnosti útvrů v prostoru 31

17 36. Je dán prvidelný čtyřboký jehln V. Určete průsečíky přímky N s hrnicí jehlnu. Pro body, N pltí: = S, N = S SV, bod S je střed podstvy.. TRIÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Odchylky přímek rovin V odchylk různoběžných přímek X N Y 39. Je dán krychle. Určete odchylku přímek ), b), c), U S T Přímkou N proložíme rovinu, která prochází vrcholem jehlnu ( tzv. vrcholovou rovinu) určíme její řez UTV s jehlnem. Přímk N protíná hrnici tohoto řezu (tj. hrnici jehlnu) v bodech XY. 37. Je dán prvidelný čtyřboký jehln V. Určete průsečíky přímky PQ s hrnicí jehlnu. Pro body P, Q pltí: ) P = S V, = S Q b) P leží n V pltí VP = 1,5 V, Q = S V c) P = S V, Q leží n pltí Q = 1,5 38. Je dán prvidelný osmistěn. Určete průsečíky přímky N s hrnicí osmistěnu. Pro body, N pltí: leží n pltí = 1,5, N leží n pltí N = 1, Určete odchylku přímek, v kvádru, je-li dáno = 3 cm, = 2 cm, = 4 cm. 41. od je střed hrny tetredru. Určete odchylku přímek,. odchylk mimoběžných přímek 42. Je dán krychle. Určete odchylku přímek ), b), c), 32 polohové vlstnosti útvrů v prostoru metrické vlstnosti útvrů v prostoru 33

18 43. V prvidelném trojbokém hrnolu je =, = v. Vypočtěte odchylku φ přímek, 44. od je střed hrny V prvidelného čtyřbokého jehlnu V. Určete odchylku φ přímek V,, je-li dáno =, V = b. odchylk rovin 50. Je dán krychle. Určete odchylku rovin ), b), c), odchylk přímky roviny 45. Je dán krychle. Určete odchylku přímky roviny ), b), c), 51. V tetredru určete odchylku rovin,. 52. ody, jsou středy hrn, prvidelného čtyřbokého jehlnu V. Určete odchylku rovin V,, je-li dán výšk v jehlnu velikost podstvné hrny. 46. Odchylk tělesové úhlopříčky kvádru od roviny jeho podstvy je 45. Určete vzth mezi délkmi hrn kvádru. 47. Jká musí být odchylk φ úsečky roviny, by kolmý průmět úsečky do této roviny měl poloviční velikost? 48. Přímk n je kolmá k rovině ρ. okžte, že pro kždou přímku m pltí: mρ = 90 mn. 49. Je dán kvádr, =, = b, = c. Vypočtěte odchylku φ přímky roviny, je-li = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm..2 Vzdálenosti bodů, přímek rovin vzdálenost bodů 53. V krychli o hrně délky je bod S průsečík úhlopříček,. Vypočtěte vzdálenost bodů: ), b), c), S S 34 metrické vlstnosti útvrů v prostoru metrické vlstnosti útvrů v prostoru 35

19 54. V kvádru s délkmi hrn =, = b, = c vypočtěte vzdálenost d bodů,. 55. ody P, Q jsou středy hrn, prvidelného čtyřstěnu s délkou hrny. Vypočtěte vzdálenost d bodů P, Q. vzdálenost bodu od přímky 56. V krychli o hrně délky vypočtěte vzdálenost bodu od přímky ) b) c) 57. V prvidelném čtyřbokém jehlnu V výšky v podstvnou hrnou délky vypočtěte vzdálenost d bodu od přímky V. 58. V kvádru s délkmi hrn =, = b, = c vypočtěte vzdálenost d bodu od tělesové úhlopříčky. vzdálenost bodu od roviny 59. V krychli o hrně délky vypočtěte vzdálenost bodu od roviny ) b) c) 60. Vypočtěte výšku prvidelného čtyřstěnu s délkou hrny. 61. V prvidelném čtyřbokém jehlnu V je bod S středem podstvy. Vypočtěte vzdálenost d bodu S od roviny jeho pobočné stěny, je-li dáno = SV =. vzdálenost přímek 62. V krychli o hrně délky je bod průsečík přímek,, bod N je průsečík přímek, bod O je střed hrny. Vypočtěte vzdálenost přímek: ), b), N c), O N 63. V prvidelném čtyřbokém jehlnu V jsou body, po řdě vnitřní body hrn V V tkové, že. Vyjádřete vzdálenost d přímky od roviny pomocí její vzdálenosti x od přímky, je-li =, V = b. O 36 metrické vlstnosti útvrů v prostoru metrické vlstnosti útvrů v prostoru 37

20 64. Je dán krychle, body, N jsou po řdě středy hrn,. Vypočtěte vzdálenost d přímek N,, je-li = 6 cm. vzdálenost přímky roviny 65. V krychli o hrně délky jsou body,, po řdě středy hrn,, bod N je průsečík úhlopříček,. Vypočtěte vzdálenost přímky roviny ), b) N, c) N, 67. V krychli s hrnou délky jsou body P, Q, R po řdě středy hrn,,. Vypočtěte vzdálenost d rovin, PQR. 68. V kvádru s hrnmi délek =, = b, = c vypočtěte vzdálenost rovin,. N N vzdálenost dvou rovin 66. V krychli jsou body,,, O, P po řdě středy hrn,,,,. Vypočtěte vzdálenost rovin ), b), c), PO P O 38 metrické vlstnosti útvrů v prostoru metrické vlstnosti útvrů v prostoru 39

21 . NOOSTĚNY.1 Terminologie RNO podstv hrnolu OÝ RNO podstvné hrny hrnolu OSÝ RNO boční hrny hrnolu ROVNOĚŽNOSTĚN boční stěny hrnolu PRVINÝ n-oý RNO vrcholy hrnolu VÁR stěny hrnolu RY hrnice hrnolu ONVXNÍ NOOSTĚN plášť hrnolu výšk hrnolu tělesové úhlopříčky hrnolu stěnové úhlopříčky JN podstv jehlnu OÝ JN podstvné hrny jehlnu OSÝ JN boční hrny jehlnu PRVINÝ n-oý JN boční stěny hrnolu OOÝ JN vrcholy jehlnu stěny jehlnu hrnice jehlnu plášť jehlnu výšk jehlnu rnoly jehlny ptří mezi NOOSTĚNY. 40 TRIÉ VSTNOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU OJ TĚS Objem těles T je kldné číslo V(T). 1. Shodná těles mjí stejné objemy T 1 T 2 V(T 1 ) = V(T 2 ) 2. Objem těles složeného ze dvou nepronikjících se těles je roven součtu objemu těchto těles. T = T 1 T 2, T 1 T 2 = V(T 1 T 2 ) = V(T 1 ) + V(T 2 ) 3. Objem krychle o hrně velikosti 1 je roven 1. NOOSTĚNY 41

22 povrch těles Povrch těles je obsh jeho hrnice..2 Zákldní vzorce krychle u.3 rnoly 69. Vypočtěte objem povrch krychle, je-li dán velikost hrny = 2,5 cm. 70. Vypočtěte objem povrch krychle, je-li dán velikost tělesové úhlopříčky u = 6 cm. 71. Vypočtěte objem krychle, je-li dán její povrch S = 150 cm Vypočtěte povrch krychle, je-li dán její objem V = cm 3. kvádr u c 73. Určete délku hrny železné krychle, která má hmotnost kg. ustot želez je ρ = 7,8 g cm rychli je opsán koule o poloměru r. Vypočtěte objem povrch krychle. Jehln v b 75. Je dán krychle o hrně délky. Určete délku hrny krychle, která má vzhledem k dné krychli ) dvojnásobný objem b) dvojnásobný povrch komolý Jehln Poznámk. Úloh určit hrnu krychle, která má dvojnásobný objem než dná krychle, byl znám již ve strověku. Zdvojení neboli reduplikce krychle, ptří mezi slvné úlohy strověku. V litertuře se s ní setkáme pod názvem delský problém. Vedle delského problému ptří mezi slvné úlohy tké kvdrtur kruhu trisekce úhlu. ze ukázt, že úsečku délky, kde je velikost dné úsečky, nelze sestrojit pouze pomocí prvítk kružítk. v 76. Vypočtěte objem povrch kvádru, jsou-li dány délky jeho hrn = 4 cm, b = 2 cm, c = 6 cm. 42 mnohostěny mnohostěny 43

23 77. élky hrn kvádru jsou v poměru 2 : 3 : 6 tělesová úhlopříčk má délku 14 cm. Vypočtěte objem povrch kvádru. 78. élky hrn kvádru jsou v poměru 2 : 3 : 4, povrch kvádru je 13 dm 2. Vypočtěte objem kvádru. 79. Vypočtěte povrch kvádru, je-li dán součet velikostí jeho hrn + b + c = 19 cm velikost tělesové úhlopříčky u = 13 cm. 80. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li dány obsh podstvy S 1 obshy bočních stěn S 2, S Povrch kvádru je 136 cm 2, délky jeho hrn jsou v poměru 1 : 2 : 5. Vypočtěte objem kvádru. 82. Vypočtěte objem kvádru, je-li dáno = =, = u. 83. élky hrn kvádru jsou kořeny rovnice x 3 12x x 60 = 0 Vypočtěte objem povrch kvádru. Poznámk. Úlohu je možné tké řešit s využitím Viétovy věty týkjící se vzthů mezi kořeny koeficienty dné rovnice. V nšem přípdě je x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 47, x 1 x 2 x 3 = Vypočtěte objem povrch prvidelného trojbokého hrnolu výšky v podstvnou hrnou délky. 85. Podstvou kolmého čtyřbokého hrnolu je kosočtverec, jehož strn má délku. vypočtěte objem hrnolu, mjí-li jeho tělesové úhlopříčky od roviny podstvy odchylky φ, ψ. Řešte obecně potom pro hodnoty = 3 cm, φ = 30, ψ = NOOSTĚNY 86. Prvidelný šestiboký hrnol je dán tělesovými úhlopříčkmi o velikostech u 1 = 12 cm, u 2 = 13 cm. Vypočtěte povrch objem hrnolu. 87. Vypočtěte objem povrch prvidelného n-bokého hrnolu, je-li dán výšk hrnolu v podstvná hrn. 88. Vypočtěte povrch kosého hrnolu s hrnmi =, = b, = c. Podstvou hrnolu je obdélník, odchylk boční hrny roviny podstvy je φ odchylk boční stěny roviny podstvy je ψ. 89. V krychli o hrně délky je veden hrnou rovin ρ tk, že rozdělí krychli n dv kolmé hrnoly, čtyřboký trojboký, jejichž objemy j sou v poměru 3 : 2. V jkém poměru je touto rovinou rozdělen hrn?.4 Jehlny 90. Prvidelný čtyřboký jehln výšky v má délku podstvné hrny délku boční hrny b. Vypočtěte objem povrch jehlnu, je-li dáno: ), b b), v c) b, v 91. Prvidelný trojboký jehln výšky v má délku podstvné hrny délku boční hrny b. Vypočtěte objem povrch jehlnu, je-li dáno: ), b b), v c) b, v 92. Vypočtěte objem povrch prvidelného čtyřbokého jehlnu V, je-li dáno = V = u. 93. Vypočtěte objem čtyřstěnu, je-li dáno = 2, = = = = 3, = 5. NOOSTĚNY 45

24 94. Vypočtěte objem prvidelného trojbokého jehlnu, je-li dán jeho výšk v odchylk boční stěny od roviny podstvy φ. 95. Je dán krychle. Rovin odděluje od krychle jehln, jehož povrch je S. Vypočtěte povrch krychle. 96. Vypočtěte objem prvidelného pětibokého jehlnu, je-li dán délk boční hrny odchylk φ této hrny od roviny podstvy. 97. Povrch prvidelného čtyřbokého jehlnu je S = 360 cm 2, objem jehlnu je V = 400 cm 3. Vypočtěte délku podstvné hrny výšku jehlnu v..5 Pltonov těles Prvidelným mnohostěnem rozumíme konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné prvidelné mnohoúhelníky z kždého jeho vrcholu vychází stejný počet hrn. xistuje právě pět prvidelných těles, která nzýváme Pltonov těles. Jsou to tetredr (prvidelný čtyřstěn), hexedr (prvidelný šestistěn, krychle), oktedr (prvidelný osmistěn), ikosedr (prvidelný dvcetistěn) dodekedr (prvidelný dvnáctistěn). tetredr 98. V jké vzdálenosti od vrcholu jehlnu je třeb rozříznout jehln výšky v řezem rovnoběžným s podstvou, by se odřízl objemu dného jehlnu? 99. Podstvy komolého jehlnu jsou rovnostrnné trojúhelníky o strnách velikostí, b. Vypočtěte objem jehlnu, jeli odchylk boční hrny od větší podstvy φ. hexedr 100. Výšk prvidelného čtyřbokého komolého jehlnu je v, odchylk boční hrny od roviny podstvy je φ, odchylk tělesové úhlopříčky od roviny podstvy je ψ. Vypočtěte obsh pláště komolého jehlnu omolý jehln má podstvy S 1, S 2 Vypočtěte obsh řezu S, který je určen rovinou vedenou středy bočních hrn. oktedr ikosedr 46 mnohostěny mnohostěny 47

25 dodekedr Poznámk Pod pojmem tetredrická máme n mysli, že tom uhlíku je v těžišti tetredru tomy vodíků jsou ve vrcholech tetredru Vypočtěte objem povrch krychle vepsné kouli o poloměru r Vypočtěte objem povrch oktedru o hrně velikosti. Poznámk V kždém prvidelném mnohostěnu existuje bod, který má stejnou vzdálenost od všech vrcholů, stejnou vzdálenost od všech stěn stejnou vzdálenost od všech hrn. Je to střed kulové plochy mnohostěnu opsné i vepsné. N opsné kulové ploše leží všechny vrcholy mnohostěnu. Je to nlogie kružnice opsné vepsné prvidelným mnohoúhelníkům v plnimetrii. Všechny prvidelné mnohostěny jsou součsně konvexní mnohostěny pltí tedy pro ně ulerov vět o mnohostěnech. Teorií mnohostěnů je do znčné míry motivován terminologie teorie grfů. ždý mnohostěn určuje grf tím způsobem, že vrcholy grfu odpovídjí vrcholům mnohostěnu hrny grfu odpovídjí hrnám mnohostěnu. ze ukázt, že stěny libovolného rovinného nkreslení vzniklého grfu odpovídjí stěnám mnohostěnu. hrkteristik grfů mnohostěnů je jednoduchá. rf je grfem mnohostěnu, právě když je rovinný 3-souvislý grf Určete počty hrn vrcholů tetredru, hexedru, oktedru, dodekedru ikosedru Vypočtěte objem povrch tetredru o hrně velikosti Vypočtěte poloměr ρ kulové plochy vepsné tetredru poloměr r kulové plochy opsné tetredru o hrně velikosti Vypočtěte velikost úhlu mezi vzbmi v molekule metnu z předpokldu, že molekul metnu je tetredrická. tom uhlíku je v hybridním stvu sp mnohostěny 108. Vypočtěte objem povrch oktedru, je-li dán poloměr ρ koule oktedru vepsné rychli o hrně velikosti vepište těleso, jehož všechny vrcholy jsou středy stěn dné krychle. Určete, o jké těleso se jedná vypočtěte jeho objem povrch okžte, že pro počet hrn kždého prvidelného mnohostěnu pltí kde p je počet strn kždé stěny mnohostěnu q je počet hrn stýkjících se v jednom vrcholu Je-li p je počet strn kždé stěny mnohostěnu q je počet hrn stýkjících se v jednom vrcholu potom pltí okžte. Návod. Uvžte, že součet velikostí úhlů, které svírjí hrny při společném vrcholu mnohostěnu, musí být menší než 2π. Odtud plyne Poznámk Prvidelné mnohostěny byly známy již ve strověku. V souvislosti s Pltonem ( př. n. l.) se čsto uvádí jejich přiřzení ke čtyřem řeckým živlům, kterými byly oheň (tetredr), země (hexedr), vzduch (oktedr), vod (ikosedr). V knize Timios vyslovil Plton myšlenku, že čtyři prvky povžovné z zákldní složky svět oheň, země, mnohostěny 49

26 vzduch, vod jsou ve skutečnosti seskupením neptrných pevných částic. Nvíc tvrdil, že tyto částice mjí tvr prvidelných mnohostěnů, protože svět mohl být stvořen pouze z dokonlých těles. Poslední mnohostěn, který byl objeven, dodekedr, předstvovl jsoucno. Jistý Jmblichos ( př. n. l.) zznmenl, že dodekedr objevil yppsos z etpontu ( př. n. l) z Pythgorovy školy. Z to, že svůj objev zveřejnil, prý zhynul v moři. Problém je smozřejmě složitější, k hlubšímu seznámení bychom se museli seznámit s názory dlších řeckých filosofů. Pro nás by byli nejvýznmnější nximndros ( př. n. l.), Pythgors (okolo 570 po 510 př. n. l.), mpedokles ( , př. n. l., teorie mepedokleov o čtyřech živlech) nxgors ( př. n. l.). Pěti prvidelným mnohostěnům se ve své knize O božském poměru věnuje i jeden z nejvýznmnějších mtemtiků své doby uc Pcioli ( ). nih nzvná podle zltého řezu byl věnován rchitektuře, pěti Pltonovým tělesům tké proporcím lidského těl. Vyobrzení mnohostěnů n 59 tbulkách pro svého přítele zhotovil eonrdo d Vinci ( ), který si s oblibou vyráběl dřevěné kostry mnohostěnů. yšlenk, že prvidelné mnohostěny hrjí zásdní roli ve struktuře vesmíru, byl brán vážně ještě v století, kdy Johnnes epler zčl hledt v reálném světě mtemtický řád. Přehled prvidelných mnohostěnů s počet stěn mnohostěnu, v počet vrcholů mnohostěnu, h počet hrn mnohostěnu p q s v h nohostěn Tetredr exedr Oktedr odekedr Ikosedr O krychli osmistěnu říkáme, že jsou duální mnohostěny. Všimněte si, že středy stěn krychle jsou vrcholy prvidelného osmistěnu nopk středy stěn prvidelného osmistěnu jsou vrcholy krychle. Podobně jsou nvzájem duální i prvidelný dvnáctistěn prvidelný dvcetistěn. Prvidelný čtyřstěn je duální sám se sebou.. Rotční těles.1 Terminologie VÁ postv válce OÝ VÁ strn válce OSÝ VÁ plášť válce UTÝ ROTČNÍ VÁ výšk válce VÁ ŠIO SŘÍZNUTÝ hrnice válce osový řez válce UŽl podstv kužele OOÝ UŽ podstvná hrn kužele podstvy komolého kužele strny kužele podstvné hrny komolého kužele vrchol kužele strny komolého kužele hrnice kužele hrnice komolého kužele plášť kužele plášť komolého kužele výšk kužele výšk komolého kužele osový řez kužele ROVNOSTRNNÝ UŽ OSÝ UŽ chrkteristický trojúhelník kosého kužele OU střed koule poloměr koule průměr koule kulová ploch (hrnice koule) kulová úseč kulová vrstv kulová výseč kulový vrchlík kulový pás nuloid středový úhel osového řezu kulové výseče 50 NOOSTĚNY ROTČNÍ TĚS 51

27 .2 Zákldní vzorce kulová výseč válec v ρ ρ poloměr podstvy kulové úseče r S v kulová úseč, kulový vrchlík válec Šikmo seříznutý r ρ poloměr podstvy kulové úseče v ρ v 1 r v 2 S r obsh kulového vrchlíku kužel kulová vrstv, kulový pás ρ 1 v v ρ 2 r r S komolý kužel v r 1.3 Válec r Jké množství vody proteče z hodinu potrubím kruhového průřezu s průměrem 16 cm, teče-li vod rychlostí 2,5 m s 1? koule r 113. vě stejná válcová potrubí s vnitřním průměrem 10 cm byl nhrzen jedním potrubím se stejným průtokem. Vypočtěte vnitřní průměr nového potrubí léko ze tří litrových krbic bylo přelito do válcového hrnce s vnitřím průměrem 20 cm. Jk vysoko byl hldin mlék v hrnci? 52 rotční těles rotční těles 53

28 115. O kolik se zvýší hldin kávy v šálku tvru válce o průměru 7 cm, jestliže do něj ponoříme 3 kostky cukru o rozměrech 11 mm, 18 mm, 22 mm? 116. Určete poměr objemů dvou válců V 1 : V 2, jsou-li jejich pláště shodné obdélníky rozměrů b Plášť rotčního válce je čtverec. Určete odchylku α úhlopříčky osového řezu tohoto válce s rovinou podstvy Jký je průměr d měděného drátu délky l = 200 m, je-li jeho hmotnost m = 80 kg hustot mědi je ρ = 8,9 g cm 3? 119. Válcová rour má délku d, světlost s tloušťku t. Jk velký je její povrch? 120. Nádob tvru válce o poloměru podstvy r výškou v, je nplněn vodou. olik vody zůstne v nádobě, jestliže ji nkloníme o úhel velikosti α? Řešte obecně potom pro hodnoty r = 5 cm, v = 20 cm α = 45. Návod. Zbývjící vod předstvuje rotční válec seříznutý rovinou nerovnoběžnou s podstvou, pro jehož objem V pltí: 121. Nádob tvru kosého válce s poloměrem r, jehož strn svírá s podstvou úhel velikosti φ, se plní vodou. Při jkém objemu vody se válec právě převrhne?.4 užel 122. Prvoúhlý trojúhelník s přeponou c = 5 cm obshem S = 6 cm 2 se otáčí kolem přepony. Určete objem povrch vzniklého rotčního těles. 54 ROTČNÍ TĚS 123. Povrch rotčního kužele je 30 cm 2, obsh jeho pláště je 20 cm 2. Vypočtěte odchylku φ strny tohoto kužele od roviny podstvy Vypočtěte objem povrch rovnostrnného kužele výšky v Vypočtěte středový úhel φ kruhové výseče, ve kterou se rozvine plášť rotčního kužele s poloměrem r = 3,5 cm strnou s = 5 cm užel, výšky v, plve ve vodě vrcholem dolů. Jk hluboko je ponořen, je-li jeho hustot ρ Rotční komolý kužel má poloměry podstv r 1 = 17 cm, r 2 = 5 cm jeho strn má od roviny podstvy odchylku φ = 60. Určete jeho objem povrch Objem kmene tvru komolého kužele se počítá prkticky tk, že se ritmetický průměr obou podstv vynásobí výškou. Určete velikost chyby, které se při tkovém výpočtu dopustíme. Návod. Od objemu válce odečtěte objem komolého kužele. hyb je tím menší, čím menší je rozdíl obou poloměrů Povrch rotčního komolého kužele s poloměry podstv r 1 = 28 cm, r 2 = 21 cm je S = π cm 2. Vypočtěte výšku dného komolého kužele V jké vzdálenosti od vrcholu je třeb rozříznout kužel výšky v řezem rovnoběžným s podstvou, by se odřízl objemu? 131. Je-li do rotčního kužele o poloměru podstvy r výšce v vepsán rotční válec o poloměru podstvy ρ výšce u pk pltí: okžte. ROTČNÍ TĚS 55

29 .5 oule 132. Tři olověné koule o poloměrech r 1 = 3 cm, r 2 = 4 cm, r 3 = 5 cm byly slity v jedinou kouli. ) Vypočítejte poloměr r odlité koule. b) Zobecněte úlohu pro n koulí s poloměry r 1, r 2,, r n. c) Jký je vzth mezi objem odlité koule objemy původních koulí? d) Jký je vzth mezi povrchem odlité koule povrchy původních koulí? 133. olik olověných koulí s poloměrem 1 cm lze odlít z olověné koule s poloměrem 10 cm? 134. Určete poloměr železné koule, jejíž hmotnost je 10 kg. ustot želez je ρ e = 7,8 g cm okžte, že povrch koule, která se dotýká všech hrn krychle o hrně délky, se rovná rozdílu povrchů koule krychli opsné vepsné oule krychle mjí stejný povrch. Určete poměr jejich objemů Válcová nádob, jejíž podstv má poloměr r = 8 cm je zčásti nplněná vodou. O kolik cm vystoupí vod v nádobě, hodíme-li do ní kouli o poloměru r = 6 cm? 138. ouli o poloměru r je opsán rotční kužel o výšce v = 6r. V jkém poměru jsou povrchy obou těles? 139. Jkou tloušťku stěny musí mít dutá měděná koule 1 kg těžká, by se vznášel ve vodě? ustot mědi je ρ u = 8,9 g cm 3, hustot vody je ρ 0 = 1 g cm utá kovová koule má vnější průměr d = 40 cm. Určete její tloušťku t, má-li koule hmotnost 25 kg. ustot kovu je ρ = 8,45 g cm o koule je vepsán rotční kužel, jehož výšk je středem koule dělen v poměru zltého řezu. Určete poměr objemů obou těles Nádob tvru polokoule o poloměru r = 15 cm je nplněn vodou. olik vody v ní zůstne, nkloní-li se o úhel velikosti φ = 30? 143. řevěná koule plve ve vodě tk, že dřev, z něhož je koule zhotoven. průměru vyčnívjí z vody. Určete hustotu 144. Jk velkou část Země lze shlédnout z výšky h km? Řešte obecně potom pro hodnoty h = 300 km, poloměr Země r = km oule o poloměru r je osvětlen z bodu, který má od středu koule vzdálenost d. Jkou hodnotu musí mít poměr d : r, by byl osvětlen třetin povrchu koule? 146. Střed jedné ze dvou shodných koulí leží n ploše druhé koule. Vypočtěte objem společné části obou koulí Vypočtěte objem kulové výseče, je-li dán středový úhel 2φ poloměr koule r Vypočtěte objem kulové výseče, je-li dán středový úhel 2φ poloměr podstvy úseče ρ Povrch kulové úseče se rovná příslušného úseči. povrchu koule. Určete velikost středového úhlu 56 ROTČNÍ TĚS ROTČNÍ TĚS 57

30 150. Objem kulové výseče se rovná výseče, je-li poloměr koule r. objemu koule, z níž výseč vznikl. Určete povrch 151. ulová vrstv je omezen hlvním kruhem o poloměru r kruhem, jehož obsh je roven obshu hlvního kruhu. Vypočtěte objem povrch kulové vrstvy. Poznámk. lvní kruh je kruh, který obshuje střed koule. VÝSY ÚO 1. ) neleží b) leží c) neleží X X d) leží 2. leží 3. ) mimoběžky S S b) různoběžky c) rovnoběžky d) mimoběžky S S S P S P S e) rovnoběžky f) mimoběžky g) různoběžky S S S S 58 ROTČNÍ TĚS VÝSY ÚO 59

31 V S S V S V S V V S V S V V S V S V S V S S S S S S S VÝSY ÚO VÝSY ÚO h) různoběžky 4. ) různoběžky b) rovnoběžky c) mimoběžky d) mimoběžky e) rovnoběžky 5. ) rovnoběžky b) různoběžky c) mimoběžky 9. ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)

32 VÝSY ÚO VÝSY ÚO p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z) ) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

33 k) l) m) 13. ) b) 10. ) b) c) d) c) 11. ) 14. ) b) b) VÝSY ÚO VÝSY ÚO 65

34 15. ) b) c) 20. ) různoběžné: b)rovnoběžné d) 16. ) b) c) různoběžné d) splývjí 17. e) různoběžné f) různoběžné g) různoběžné h) různoběžné i) různoběžné 66 výsledky úloh výsledky úloh 67

35 j) různoběžné k) různoběžné l) různoběžné 21. ) rovnoběžné b) různoběžné c) různoběžné d) různoběžné e) různoběžné f) různoběžné m) rovnoběžné n) různoběžné g) různoběžné 22. různoběžné o) různoběžné p) různoběžné 23. ) společný právě b) protínjí se jeden bod v jedné přímce 68 výsledky úloh výsledky úloh 69

36 c) protínjí se ve třech nvzájem d) protínjí se ve třech nvzájem rovnoběžných přímkách rovnoběžných přímkách 25. ) společný právě jeden bod, b) roviny S S to střed jsou nvzájem rovnoběžné, tedy třetí rovin je protíná ve dvou nvzájem rovnoběžných přímkách e) roviny S S S S S S f) roviny S S S S S S jsou nvzájem rovnoběžné, tedy jsou nvzájem rovnoběžné, tedy třetí rovin je protíná ve dvou třetí rovin je protíná ve dvou nvzájem rovnoběžných přímkách nvzájem rovnoběžných přímkách 27. ) různoběžné b) rovnoběžné c) 24. ) společný právě b) nvzájem c) protínjí se jeden bod rovnoběžné v jedné přímce d) S 28. ) rovnoběžné b) rovnoběžné 70 výsledky úloh výsledky úloh 71

37 c) různoběžné d) rovnoběžné 29. ) různoběžné 32. ) b) c) b) různoběžné c) rovnoběžné d) různoběžné d) e) f) rovnoběžné 30. ) leží b) neleží c) neleží 34. ) b) d) leží 31. neleží c) d) 72 VÝSY ÚO VÝSY ÚO 73

38 35. ) b) 39. ) 35,26 ; b) 60 ; c) 70,53 ; 40. φ = 33,85 ; 41. φ = 54,74 ; 42. ) 90 ; b) 45 ; c) 90 ; 43. ; 44. ; 45. ) 35,26 ; b) 54,73 ; c) 45 ; 46. ; 47. φ = 60 ; 49. ; 50. ) 45 ; b) 54,73 ; c) 70,53 ; 51. ; 52. ; 53. ) ; b) ; c) ; 54. ; 55. ; 56. ) ; b) ; c) ; 37. ) b) 57. ; 58. ; 59. ) ; b) ; c) ; 60. ; 61. ; 62. ) ; b) ; c) ; 63. ; 64. ; 65. ) ; b) ; c) ; 66. ) ; b) ; c) ; 67. ; 68. ; 69. V = 15,625 cm 3 ; S = 37,5 cm 2 ; 70. ; ; c) ; 72. ; 73. = 50,42 cm; 74. ; ; 75. ) ; b) ; 76. V = 48 cm 3 ; S = 88 cm 2 ; 77. V = 288 cm 3 ; S = 288 cm 2 ; 78. V = 3 dm 3 ; 79. S = 192 cm 2 ; 80. ; 81. V = 80 cm 3 ; 82. ; 83. V = 60; S = 94; 84. ; ; 85. ; 86. ; ; 87. ; ; 88. ; 89. rovin rozdělí hrnu v poměru 1: 4; 90. ) ; 74 VÝSY ÚO VÝSY ÚO 75

39 ; b) ; ; c) ; ; 91. ) ; ; b) ; ; c) ; ; 92. ; ; 93. ; 94. ; 95. ; 96. ; = 10 ; v 1 = 12 ; 2 = ; v 2 = 15; 98. ; 99. ; 100. ; 101. ; 102. ) počet 137. ; 138. S koule : S kužele = 4 : 9 ; 139. Δ = 2,4 mm; ; 140. ; 141. V kužele : V koule = 1 : 4 ; 142. ; si 2,2 l 143. ; 144. ; si 2,2 % povrchu Země; 145. ; 146. ; 147. ; 148. ; φ = 120 ; 150. ; 151. ; hrn: 6; 12; 12; 30; 30; b) počet vrcholů: 4; 8; 6; 20; 12; 103. ; ; 104. ; ; 105. ; ; 106. ; ; 107. ; ; 108. ; ; 109. ; ; ,956 m 3 ; 113. ; 114. si 9,5 cm ; ,4 mm ; 116. V 1 : V 2 = : b ; 117. α = ; 118. ; 119. S = 2π (s t) (d t) ; 120. ; ; 121. V = 2πr 3 tg φ ; 122. V = 30,16 cm 3 ; S = 52,78 cm 2 ; 123. φ = 60 ; 124. ; ; 125. φ = 252 ; 126. ; 127. ; ; ; ; 128. ; 129. v = 24 cm ; 130. ; 132. r = 6 cm ; ; ; 134. ; 136. ; 76 VÝSY ÚO VÝSY ÚO 77