TECHNICKÉ OSVĚTLENÍ. Jan Šafařík

Transkript

1 Vysoké učení technické Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE TECHNICKÉ OSVĚTLENÍ Jan Šafařík BRNO 2006

2 Tento studijní materiál byl zpracován v rámci projektu Multimediální podpora studia matematiky a deskriptivní geometrie na FAST VUT v Brně. c Jan Šafařík 2006

3 Jan Šafařík Ústav matematiky a deskriptivní geometrie Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Žižkova17,60200Brno safarik.j@fce.vutbr.cz

4 Obsah 1 Obsah 1 Úvod 3 2 Základní pojmy 4 3 Úvod do technického osvětlení Zobrazenístínubodu Redukčníúhel Základní konstrukce Kružnice,kruh Pilletovarovina Rotačníválec Kuželováplocha Kulováplocha Anuloid(kruhovýprstenec) Vnějšíčástanuloidu Vnitřníčástanuloidu Obecnárotačníplocha Vržené stíny hranolu na tělesa Dvasouoséhranoly Hranolarotačníválcováplocha Hranolarotačníkužel Hranolaanuloid Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Vrženýstínvodorovnékružnicenavodorovnoukružnici Dvasouosérotačníválce Vrženýstínvodorovnékružnicenavnitřnídutinuválce Vrženýstínnaanuloid Vrženýstínkružnicenavnitřníčástanuloidu VrženýstínanuloidunaPilletovurovinu Vrženýstínkružnicenavnějšíčástanuloidu Osvětlenívýklenku(niky) Osvětlenískupinytěles-praktickýpříklad Rotační tělesa s vodorovnou osou 31 8 Vržený stín na šikmou rovinu Osvětlenístřech Vrženýstínvěžičky Vrženýstínválcovéhokomínu

5 Obsah 2 9 Osvětlení schodišť Technické osvětlení v zobrazovacích metodách Kolmépromítánínadvěksoběkolméprůmětny Axonometricképromítání Lineárníperspektiva Užití technického osvětlení 45

6 1. Úvod 3 1 Úvod Mezi základní podmínky kladené na různé zobrazovací metody v deskriptivní geometrii patří měřitelnost a názornost. V mnohých případech se však setkáváme s průměty útvarů, které nejsou dostatečně názorné. Abychom alespoň částečně tento nedostatek odstranili, zobrazujeme jednotlivé předměty i s jejich osvětlením. Jsou-li útvary doplněné o své osvětlení, působí na nás přirozenějším dojmem, neboť vše, co kolem sebe pozorujeme, je osvětlené. Ze správně sestrojeného osvětlení se dají navíc vyčíst různé údaje o zobrazovaném útvaru, neboť například vyšší útvary vrhají delší stíny atd. Tato práce se zabývá tzv. technickým osvětlením, což je jeden ze způsobů osvětlování, který se v současné technické praxi používá nejčastěji. Nauka o technickém osvětlení náležela od dávných dob do látky probírané v deskriptivní geometrii jako příklad použití geometrie v praxi. V kapitole 3. a 4. se seznámíme se základními principy a vlastnostmi technického osvětlení. V následujících kapitolách si pak ukážeme sestrojování stínů skupin těles o společné ose. S konstrukcí vržených stínů na šikmou rovinu se seznámíme v kapitole 8. V 10. kapitole si přiblížíme konstrukce stínů v jednotlivých zobrazovacích metodách( Mongeovo promítání, axonometrické promítání a lineární perspektiva). V poslední 11. kapitole se zmíníme o využití technického osvětlení v současné stavební a architektonické praxi. Tento text předpokládá znalost Mongeovy projekce, axonometrického promítání, lineární perspektivy a osové afinity. Technické osvětlení je konstruktivně jednoduché, výsledky jsou i pro laika snadno představitelné a jeho metoda je dobrým cvičením v aplikování deskriptivní geometrie.

7 2. Základní pojmy 4 2 Základní pojmy Hlavní význam osvětlování útvarů spočívá v tom, že zvyšuje názornost jejich průmětů. Chceme-li, aby konstrukce byly co nejjednodušší, předpokládáme, že světelné paprsky jsou paprsky geometrické, že tělesa a plochy, které osvětlujeme, jsou neprůhledné, absolutně černé a pohlcují světelné paprsky. Nenastává tedy jejich odraz.takové osvětlení pak nazýváme geometrální. Vychází-li světelné paprsky z vlastního bodu S (tvoří trs), nazývá se toto osvětlení středové(centrální), jsou-li světelné paprsky navzájem rovnoběžné (se směrem s), jedná se o tzv. osvětlení rovnoběžné(paralelní). Častěji používáme rovnoběžné osvětlení, neboť se podobá osvětlení slunečními paprsky. Speciálním případem takovéhoto osvětlení se budeme zabývat v další části. V následujících úvahách předpokládejme vždy rovnoběžné osvětlení. s p κ. A s m = m p s A.. m ρ A Obr.1 Nechťjedánavlastnírovina ρasměrsvětelnýchpaprsků s,kterýnenísrovinou ρrovnoběžný.zvolmevlastníbod A(obr.1),kterýležívtémžepoloprostoru, vzhledem k dané rovině ρ, jako zdroj světla. Bodem A prochází světelnýpaprsek s A,kterýjesesměremosvětlenírovnoběžný.Průsečík A světelného paprsku s A srovinou ρjevrženýmstínembodu Anarovinu ρ. Vezměme přímku p, která není se světelnými paprsky rovnoběžná(obr. 1), pak světelné paprsky jejich jednotlivých bodů vytvářejí světelnou rovinu κ této přímky. Rovina κ je určena přímkou p a rovnoběžkou se směrem s, která je spřímkourůznoběžná.jejíprůsečnice p srovinou ρjevrženýmstínempřímky p na rovinu ρ. Je-li přímka m rovnoběžná se světelnými paprsky(obr. 1), je jejím vrženým stínem na rovinu ρ bod. Mez vlastního stínu m plochy(tělesa) Φ je množina bodů dotyku jeho tečných světelných rovin, tj. tečných rovin procházejících středem osvětlení S (v našem případě je S nevlastní bod). Vrženýstín m mezevlastníhostínu mplochy(tělesa)φnarovinu ρnazýváme mez vrženého stínu plochy(tělesa) Φ na rovinu ρ.

8 3. Úvod do technického osvětlení 5 3 Úvod do technického osvětlení V technické praxi se nejvíce používá zvláštního druhu rovnoběžného osvětlení, které se nazývá technické osvětlení. Určujeme ho takto: Nechť je dán pravoúhlý souřadnicovýsystémoosách x, y, započátku P.Vezměmekrychli,jejížhrany leží na kladných poloosách x, y, z. Přímka s, na které leží tělesová úhlopříčka krychle, protínající osu x v bodě různém od P, udává směr technického osvětlení. Kladnouorientacina szvolímeodboduvroviněos y, zdobodunaose x(obr.2). z ν s 2 s 2 s 3 P s ψ ψ x x 1,2 45 O 45 O s 1 π s 1 y Obr.2 Přímka ssvírásesouřadnicovýmirovinamiúhel,prokterýplatí tgψ= 2 2, cožodpovídáúhlu ψ. = Takéobaprůměty s 1, s 2 svírajísosousouřadnic xúhlytéževelikosti45.tato skutečnost má za následek zjednodušení řady konstrukcí ve srovnání s obecným rovnoběžným osvětlením. Mezi jinými umožňuje zobrazování rovnoběžného osvětlení jen v jednom pravoúhlém průmětu, zpravidla na nárysnu ν. Vržené stíny na ν budeme označovat čárkou. Základní konstrukce budeme zpočátku ještě odvozovat v Mongeově promítání, ale výsledky budeme aplikovat v promítání na jednu průmětnu.

9 3. Úvod do technického osvětlení Zobrazení stínu bodu Technickéosvětleníbodu Ananárysnuukazujeobrázek3a).Hledanýstín A bodu Avrženýnanárysnuležívnárysnémstopníkusvětelnéhopaprsku sbodu A. Trojúhelníky A 1 A x A 1, A 2AA jsoushodné, pravoúhlé, rovnoramenné, oodvěsně y A.Znárysubodu A 2 dostanemepřímovrženýstín A takto:odnárysu A 2 bodu Ananesemejehosouřadnici y A nejprvevpravodobodu Aapaksvisledolů dobodu A. Určujeme-livrženéstínyvícebodů,používámeredukčníhoúhluvelikosti45 apomocíněhostanovujemebody A přímo(viz.obr.3b)). A 2 y A s 2 A _ y A d A 45 O y A A x A 1 45 O x 1,2 A 2 d y A s 1 A 1 A Obr.3a) Obr.3b) Při osvětlování rotačních ploch otáčíme často směr světla s kolem osy rotace plochy do průčelné polohy vzhledem k nárysně, případně přímo do nárysny, je-li osarotacevnárysně(cožbývánejčastěji).naobr.4a)vmongeověpromítáníje nárysnýmstopníkem Npřímky sproloženapřímka o πa sjekolem ootočena donárysnydopřímky s 0 pomocídalšíhobodu M s.jestližeoznačíme1,2 pomocné body v obr. 4 a) pak podle definice technického osvětlení dostáváme, žetrojúhelníky N 1 1M 1, N 2 2M 2 jsoushodné.ztohoplyne, M 2 N 2 = M 1 N 1 = = N 1 M 0 1 = 2M 0 2,cožumožňujezjednodušenoukonstrukcipřímky s 0 naobr4b).

10 3. Úvod do technického osvětlení 7 Obr.4a) Obr.4b) 3.2 Redukční úhel Často bude zapotřebí úsečku délky k= l 2zkrátit(redukovat)vpoměru 1: 2naúsečkudélky l.ktomusvýhodou použijeme redukčního úhlu (obr.5):ramenapravéhoúhlu AV B protneme z bodu V kruhovým obloukemopoloměru r vbodech AaB. Poloměrem R= AB = r 2opíšeme obloukostře-du V,kterýprocházíbodem Cnapolopřímce V A.Tentoobloukprotnemezbodu Cpoloměrem r vbodě D,přímka V Djedruhérameno redukčního úhlu ψ. Platítotiž: V C : CD = 2:1. Obr.5 Máme-likúsečcevelikosti k=l 2určit úsečku velikosti l, opíšeme kružnici ostředu V apoloměru kaurčímeprůsečíky E, F sramenyredukčníhoúhlu (obr.5).pakje EF = l.jevhodné,kdyžjednouprovždytentoúhelnarýsujeme na papír a pak při konstrukcích používáme této šablony. Jestliže se v dalším budeme zmiňovat o redukci úsečky, pak to bude vždy užitím této konstrukce.

11 4. Základní konstrukce 8 4 Základní konstrukce 4.1 Kružnice, kruh Přitechnickémosvětleníkružnice k,kterámástřed Ovνajerovnoběžná s π(obr.6),sestrojímeněkoliknejdůležitějšíchbodůjejíhoeliptickéhostínu k vrženéhonanárysnu ν.body A, Bležívnárysně,protoje A = A 2, B = B 2 a tečnyva, B ke k jsourovnoběžnéspřímkou s 2.Nejvzdálenějšímbodemod nárysnyjebod C,jehovrženýstínjepodleobr.3a)(y C napravoadolů)pod bodem B 2 vevzdálenosti rvbodě C.Vbodě C jetečnaelipsy k vodorovná a O 2 A, O 2 C jsoujejísdruženépoloměry.poloměry OMa ONsvírajísνúhel 45.Zeshodných,rovnoramenných,pravoúhlýchtrojúhelníků O 1 M 1 1aK 1 M 1 1 plyne,ževnáryseje O 2 M 2 = M 2 K 2 = O 2 N 2 = N 2 L 2 = r rovnoredukované délcepoloměru r(r = 2 r=y 2 M = y N ).Opětpodleobr.3a)určímevržené stíny M, N apřímky K 2 M, L 2 N jsoutečnyvm, N ke k. s 2 K2 A = A k O 2 B = B 2 2 =C 2 2 M N 2 2 L 2 M k C N x 1,2 A 1 1 O 1 2 B 1 K L1 1 M 1 k 1 N 1 C 1 s Pilletova rovina Obr.6 V mnoha konstrukcích technického osvětlení se často užívá vrženého stínu na Pilletovurovinu 1.Jetosvislárovinaprcházejícíosourotace,kterájekolmána půdoryssměrutechnickéhoosvětlení s 1.Stínynanivrženébudemeoznačovat +. 1 Pilletova rovinabylanazvánapodlefrancouzskéhogeometrajulesapilleta,kterýji poprvé užil ve svém díle: Traite de perspective linéaire précédé du tracé des ombres usuelles (Rayons à 45 degrés), Paris 1901.

12 4. Základní konstrukce 9 Účelnost jejího zavedení se projeví při technickém osvětlení kružnice k ležící v rovině λ π(obr.7).hledejmejejístín k + vrženýnapilletovurovinu µ,která jdejejímstředem O.Rovina µprotíná kvprůměru AB,kněmujesdruženprůměrjdoucíbodem C.Platí O 2 A 2 = O 2 B 2 =r,kde r jeredukovanýpoloměr kružnice k.nárysy A 2, C 2 splývají.zobr.7jezřejmé,žestín C + bodu Cvržený na µležípodstředem Ovevzdálenosti r.úsečky O 2 A 2, O 2 C + jsouvrženéstíny sdruženýchpoloměrů( O 2 A 2 = O 2 C + = r )ajsouprotosdruženépoloměry nárysu k + vrženéhostínukružnice kna µ.ztétokonstrukcejepatrné,ženárys vrženého stínu vodorovné kružnice na Pilletovu rovinu je opět kružnice, avšak o redukovaném poloměru. D A 2 = s 2 O 2 2 C k B λ n µ 2 D + C + k + x 1,2 A 1 s 1 D 1 O 1 C 1 k 1 B 1 µ p = 1 µ 1 Obr.7 V architektuře a technické praxi se zpravidla zobrazuje jen přední viditelná polovina stínu. Proto budeme v dalších příkladech volit svislou osu rotace o vždy vnárysněasestrojímevlastnístínistínvrženýnanárysnujenpropolovinu rotační plochy ležící před nárysnou. Na tvar vlastního stínu nemá vliv, jak osu o (o π)volíme,přivrženémstínubybylotřebajehotvardoplnit.

13 4. Základní konstrukce Rotační válec Technické osvětlení rotačního válce o svislé ose ležící v ν nám ukazuje obr. 8. Vrženýmstínempodstavnékružnice kjeelipsa k,kterousestrojímepodleobr.6. Mezevlastníhostínu m 2, n 2 ležívpilletověrovině µ.dáleplatí d(o 2, m 2 ) = = d(o 2, n 2 )=d(n 2, n )=r,kde r jeredukovanýpoloměr rrotačníhoválce. Nárys m 2 neviditelnémezevlastníhostínujesoučasněnárysmaximálněosvětlené přímkypoloženévesvětelnémmeridiánu Kuželová plocha Obr.8 Naobrázku9jedánarotačníkuželováplochasosourotace oležícívν. Podstavnákružnice kležívpůdorysně π.sklopímejejíkladnoučástnadosu x. Paprsek s 1 námsplynesnárysem s 2.Sestrojímekulovouplochu,kterásedotýká danékuželovéplochypodél k.střed Sležínaose o, A 2 S 2 A 2 V 2.Bodem S vedeme p λ n λ s 2,kteréjsoupůdorysnouanárysnoustopourovinyvlastního stínupomocnékulovéplochy.průsečíky Ma N p λ s kjsoužádanémezevlastníhostínudanéhokužele.nanesme N 1 N 2 = N 2 1 N = 1 NN. N V jevržený stínkužele.přímka PV ( O 2 P 2 jerovnaredukovanémupoloměruzákladny k)je maximálně osvětlená. 2 Rovinnoukřivkurotačníplochyležícívroviněproloženéosourotačníplochynazýváme meridiánem nebo též poledníkem rotační plochy.meridián ležící ve světelné rovině procházející osou rotace se nazývá světelný meridián.

14 4. Základní konstrukce 11 Druhý způsob nám ukazuje obr. 10. Nejdříve sestrojíme vržený stín kružnice k napilletovurovinu µ:opíšeme k + okolo O 2 redukovanýmpoloměremkružnice k. Bodem V 2 vedemeobětečnyke k +.Nárysypaprskůvedenéjejichtečnýmibody s k + vytínajína k 2 nárysybodů Ma N,kteréjsoužádanýmibodymezevlastního stínu.spádroviny µkdruhéprůmětnějejednotkový,protoje 2 NN + rovna vzdálenostibodu N + odprůmětny.nanesením 2 NN + = N +1 N = 1 NN dostávámevrženýstínbodu N + nadruhouprůmětnu ν,kterýjetéžvrženým stínem bodu N. 4.5 Kulová plocha Obr. 9 Obr. 10 ZvolmesikulovouplochuΦsestředem Ovnárysně νapoloměrem r(obr.11). Mez vlastního stínu plochy Φ je kružnice l, která leží v rovině procházející středem Okoulekolmonasměrsvětla.Naobryse m 2 dostávámedvabodymeze vlastníhostínu AaB,platí A 2 B 2 s 2.Podélrovníku ksedotýkákulovéplochy svislýválec.položíme-li O 2 P 2 rovnuredukovanémupoloměrubuďzapomoci redukčníhoúhlu,nebospuštěnímkolmice B 2 P 2 z B 2 na k 2,je P 2 dalšímbodem mezevlastníhostínu.nárys l 2 tétomeze(elipsa)jesouměrnýpodle s 2,protoi pata N 2 kolmicespuštěnéza 2 na o 2 jedalšímbodemmeze l 2.Obrys m 2 a l 2 jsou kolmoafinní,osouafinityjeprůměr A 2 B 2.Trojúhelníky O 2 B 2 P 2 a O 2 B 2 (P),mající své vrcholy v afinně sdružených bodech, jsou trojúhelník pravoúhlý, rovnoramennýatrojúhelníkrovnostranný.charakteristikadanéafinityjerovna 3:1.

15 4. Základní konstrukce 12 Spojíme-linyní(P)sA 2,dostanemevprůsečíkuss 2 bod C 2,prokterýplatí (C)O 2 : C 2 O 2 = 3:1. C 2 jeprotovrcholem l 2. Obr. 11 Vrženýstíndanékulovéplochyvycházízbodů A 2, B 2 vesměru s 2.Nanesením O 2 P 2 = P 1 2 P = 1 PP dostanemebod P vrženéhostínu l,vněmžjetečna svislá.jetovrženýstínválce,kterýsedotýkádanékulovéplochypodélrovníku k, proto se jeho vržený stín dotýká vrženého stínu kulové plochy ve vrženém stínu průsečíku P mezevlastníhostínukulovéplochyaválce.položíme-li N 2 1 = = 1N,je N dalšímbodemvrženéhostínu l stečnou1n,neboť1jevrchol dotykového kužele podél vodorovné kružnice, obsahující body A, N. Při určování nejnížepoloženéhobodu M 2 meze l 2 siukážemekonstrukci,kteroulzeužít,je-li kulová plocha příliš veliká. Světelný meridián dané kulové plochy otočíme kolem o do ν.zdenámsplynesobrysem m 2.Nynísestrojímetečnýbod M 0 tečnyvedené rovnoběžněspaprskem s 0.Tentobodlzezískattak,ževedemevkoncovémbodě3 nárysurovníkutečnukobrysu m 2 apoložíme-li 34 = 35 =2r,pakspojnice O 2 4vytínávobryseotočenýnejnižšíbodmezevlastníhostínu l 2.Nanesením redukovanédélky 2M 2 úsečky2m 0 odbodu2nakolmiciko 2 dostanemenárys hledanéhobodu M.Je-li 2M 2 = M 2 6,jebod6stopnkíkemtečnymezevbodě M,protoplatí,že6M jetečnou l vbodě M.Naneseme O 1 2 F = 1 FF = r.bod F jeohniskemelipsy l.excentricita (výstřednost) elipsy l jerovna e=r 2,odtudplyne,žehlavnípoloosajerovna r 3atrojúhelník A 2 B 2 C jerovnostranný.bod C lzetedynajíttéžjakoprůsečíkkružniceopsanékolem

16 4. Základní konstrukce 13 bodu A 2 opoloměru A 2 B 2 spaprskem s 2 jdoucím O 2.Křivky l 2 a l jsoupodobné, jejichpoloosyjsouvtémžepoměru 3:1.Poloměrkřivostivhlavníchvrcholech těchto elips měří třetinu hlavní poloosy, poloměr křivosti ve vedlejších vrcholech je trojnásobkem vedlejší poloosy příslušné elipsy. 4.6 Anuloid(kruhový prstenec) Vnější část anuloidu Obr. 12 Na obrázku 12 máme sestrojeno osvětlení vnější části anuloidu. Obrazem danéhoanuloiduvnárysejehlavnímeridián m 2 3.Opíšemedanémuanuloidutečnou válcovou plochu podél hlavního meridiánu. Pak přímky této plochy jsou kolmé k nárysně ν. Přímky meze vlastního stínu užité válcové plochy se promítají do bodů A, B na stopách tečných světelných rovin k hlavnímu meridiánu. Body A 2, B 2 jsoubodymezevlastníhostínunameridiánu m 2 astopytečných světelných rovin jsou současně tečnami meze vlastního stínu v nárysu. Meridián vroviněkolmék νahlavnímeridiánjsoukolmosymetricképodlesvětelnéroviny κ, jdoucí osou. Tedy u jakékoliv ratační plochy z bodů meze vlastního stínu na jednom z obou těchto meridiánů lze kolmou symetrií získat body meze vlastního stínu na druhém meridiánu. Přímky kolmé ke světelné rovině κ, jdoucí osou, sejevívnárysnějakokolmicekose o 2.Tedybod C 2 nameridiánukolmémkν 3 Meridiánležícívnárysně νnazývámehlavnímeridián.jezřejmé,žetvořínárysnýobrys zadané rotační plochy.

17 4. Základní konstrukce 14 obdržíme,kdyžbodem A 2 vedemekolmicikose o 2.Vrženýstín C sestrojíme podleobr.3a)(y C jevzdálenost A 2 C 2 ).Tečnamezevrženéhostínuvbodě C jekolmákose o 2. Abychom určili body meze vlastního stínu na světelném meridiánu(tedy vrcholy meze vlastního stínu), otočíme rovinu tohoto meridiánu i paprskem s do nárysny. Otočení paprsku s procházejícího bodem 1 provedeme podle obr. 4 b). Dostanemeotočenýpaprsek s 0.Vedeme-liss 0 rovnoběžnoutečnukmeridiánu m 2, dotknesevbodě D 0 aosurotaceprotnevevrženémstínu D.Přiotáčenízpět zůstane D pevný,kdežto D 0 seotočídopolohy D 2 nadruhémprůmětusvětelnéhopaprskujdoucíhobodem D.Tečnabodu D ( D 2 2 = 2D = 3D 2 )jde bodem3.přihledáníbodu Dlzetaképostupovatjakopřihledáníbodu Mna kulovéplošeφ(viz.obr.11).nárysviditelnéhobodu Enarovníku r 4 ležívevzdálenosti,rovnéredukovanémupoloměrurovníku rostředu O.Probod E platí: O 2 E 2 = E 1 2 E = 1 EF 1 =r atečnavtomtobodějerovnoběžnásosou o 2. Ke konstrukci obecného bodu F použijeme pomocné kulové plochy dotýkající se anuloidupodél f (viz.4.4,obr.9).tečnakmezivrženéhostínu F jenárysná stopatečnérovinyrotačníplochyvbodě F.Tečnárovinaseztotožňujestečnou rovinoupoužitépomocnékulovéplochy,aprotojekolmáksf.jelikožnáryskolmicekrovinějekolmýknárysnéstopětečnéroviny,budenaopaknárysnástopa tečnérovinykolmákpoloměru F 2 S 2.Stejnýmzpůsobempostupujemeudalšího bodu G. Takto lze sestrojit dostatečný počet bodů meze vlastního stínu anuloidu a bodů s tečnou meze vrženého stínu Vnitřní část anuloidu Pro osvětlení vnitřní části anuloidu(trochilu s hyperbolický- mi body)(obr. 13) vyhledáme nejprve body A, B meze vlastního stínu mnaobryse.platí: A 2 1 B 2 2 S 2.Zbodu A 2 spustíme kolmici k 2 na osu o 2. V průsečíkudostanemenárys C 2 bodu C meze stínu na meridiánu v rovině kolméknárysně ν.bod Dnahrdle h 5 má nárys D 2 h 2 od o 2 vpravovevzdálenostiredukovaného poloměru hrdla. Nejvýše Obr Rovník:Je-livjistémokolíbodu Anařídícíkřivce krotačníplochyvzdálenostbodu A od osy o největší, pak se rovnoběžka bodu A nazývá rovník. 5 Hrdlo:Je-livjistémokolíbodu Anařídícíkřivce krotačníplochyvzdálenostbodu Aod osy rotace o nejmenší,pak se rovnoběžka bodu A nazývá hrdlo.

18 4. Základní konstrukce 15 položený bod E, ležící ve světelném meridiánu, získáme např. stejným způsobem jakovpředešléúlozebod D 2 (viz ,obr.12).platí E 0 3 o 2,přičemž E 2 3 jerovnoredukciúsečky E 0 3.Vrženýstíndanéhotělesanasebeanadruhouprůmětnu zatím provádět nebudeme, konstrukci těchto stínů si ukážeme až později. 4.7 Obecná rotační plocha Osvětlení obecné rotační plochy(obr. 14) provádíme obdobně jako v předcházejících příkladech. Vyšetříme body meze vlastního stínu na rovnících a hrdlech(v obrázku leží body E a F narovnících eaf).pomocítečenkhlavnímumeridiánurovnoběžnýchsesměrem s 2 dostanemebody A, B.Jejichotočenímo90 kolem odo meridiánu kolmého k ν dostaneme další body meze vlastního stínu(na obrázku bod Cvzniklotočenímbodu A).Sestrojenímtečnyrovnoběžnésesměrem s 0 otočeného paprsku k hlavnímu meridiánu vyšetříme otočený nejvyšší, resp. nejnižší bodmezevlastníhostínu(vnašempřípaděsestrojímenejnižšíbod D 0 azněho odvodíme D 2 ).Nestačí-listanovenébodyknarýsováníkřivky,určímedalšíbody na jednotlivých rovnoběžkách.(např. body G, H). Z určených bodů meze vlastníhostínu murčímemezvrženéhostínu m nanárysnuistečnamivjednotlivých bodech. Obr. 14

19 5. Vržené stíny hranolu na tělesa 16 5 Vržené stíny hranolu na tělesa Vdalšíčástisiukážemepříklady,kdyjedánsvislýhranolarotačníčinerotační těleso o společné ose, a budeme vyšetřovat jejich meze vlastního a vrženého stínu. Při popisu konstrukcí stínů se zameříme více na nové, ještě nepopsané konstrukce či na některé jejich důležité vlastnosti. Zbylé konstrukce již většinou lehce doplníme podle výše probraných konstrukcí. 5.1 Dva souosé hranoly Vezměmesidvasouoséhranolyočtvercovépodstavě(obr.15).Bod AtělesaΦ, kterýležívesvětelnérovinějdoucíosou o,vrhástín A 2 nahranu b 2tělesaΨ. Vrženýstín a 2hrany ajerovnoběžnýsa 2 aprocházíbodem A 2. Na obrázku 16 je těleso Ψ pravidelný osmiboký hranol. Vržený stín hrany b νvederovnoběžněss 2 ažkvrženémustínu A naψ,kterýležínastřední příčce ppříslušnéstěnyψ.odbodu A 2 jdenárysvrženéhostínukolmoks 2 aodhrany q 2 postupujeva 2 vodorovně. Obr. 15 Obr Hranol a rotační válcová plocha Sestrojme nyní technické osvětlení válce Ψ krytého souosou čtvercovou deskou. (obr. 17). Válec osvětlíme podle 4.3, obr. 8. Dolní průčelnou hranu desky označme a.jejívrženýstín a na νsestrojímenapř.pomocíbodu A a,ležícího vesvětelnémmeridiánu.vrženýstín A bodu AnaΨležínapřímce n(n=ψ κ;

20 5. Vržené stíny hranolu na tělesa 17 κ... světelná rovina obsahující A a o). Vržený stín celé desky snadno doplníme. Hrana avrhástín a naválec,kterýječástířezusvětelnéroviny η proložené přímkou aspříslušnouválcovouplochou.křivka a jetedyčástíelipsy.rovina η máodprůmětny νodchylku45,jejíspádjetedyjednotkový.platíproto,žepravoúhléprůmětykřivky a dopromítacírovinypřímkyidonárysnyjsoushodné křivky.ztohoplyne,že a 2 je částí kružnice. Její poloměr je rovný poloměru válcovéplochyψastřed S 2 ležína o 2 podnárysem a 2 vtéževzdálenosti,vkteréje vprostorupřímka avzdálenáodosy o.počátečníbodkřivky a jevrženýstín A bodu Anaválecakoncovýbodjebod H vlastníhostínu.průsečnice ttečné roviny τvbodě H kválcisrovinou ηjetečnakekřivce a.protožeoběroviny jsousvětelné,platí t saproto t 2 s 2.Přímka bprocházejícíbodem Aakolmá k νvrhánaválecstín b,kterýjeopětčástíelipsy(řezsvětelnérovinyproložené přímkou bsválcovouplochou).nárys b 2 jeúsečka. Na obrázku 18 je vyřešen nárys vrženého stínu průměru d základny dutého poloválceopoloměru rnavnitřníoblinu.jetokružnice d 2 ostředu S 2apoloměru r. Dále sestrojme mez vlastního stínu k a přímku l nejvíce osvětlenou (d(k 2, o 2 )=d(o 2 l 2 )=r ).Mezvrženéhostínuhrany anámsplývásnárysem osy orotačníhoválce(a 2 = o 2). Obr. 17 Obr Hranol a rotační kužel Předešlé konstrukce zčásti využijeme při konstrukci vrženého stínu hranolu narotačníkužel(obr.19).hledejmebody B, C,donichžvrháhrana astín na kružnici k(k je vodorovná kružnice ležící na rotačním kuželi). Kružnicí k

21 5. Vržené stíny hranolu na tělesa 18 proložímesvislouválcovuplochuψ.nanárys o 2 jejíosynanesemeod a 2 do O 2 vdálenost aodosy ovprostoru.jakjsmesiukázaliv5.2,jekružnice a Ψ 2,opsaná kolem O 2 opoloměrukružnice k,nárysemvrženéhostínupřímkyjdoucíhranou a narotačníplochuψ.jejíprůsečíky B 2, C 2 s k 2jsouhledanébody,donichž a vrhá stín na kružnici k. Opakováním této konstrukce získáme další body vrženéhostínu.nejvyššíbod D ležínakružniciprocházejícíbodem(d),vněmž protínánáryssvětelnéhopaprsku s 2,jdoucíbodem O 2,obryskuželovéplochyΦ. Vodorovnákružnice,jejížrovinaprocházíbodem O,obsahujebodykřivky a, které náleží obrysu plochy Φ. 5.4 Hranol a anuloid Obr. 19 Sestrojme vržený stín obdelníkové desky Φ na rotační anuloid Ψ(obr. 20). Průčelnáhrana ajevzdálenaoddruhéprůmětny νodélku A I.Mez mvlastního stínu rotační plochy je určena podle úlohy , obr. 12. Jednotlivé body meze vrženého stínu na rotační plochu sestrojíme pomocí úlohy 5.3., obr. 19: Rovnoběžkou k plochy proložíme pomocnou válcovou plochu s osou o a sestrojíme vržený stín a Φ přímky aobsahujícídolníhranudeskynatutoválcovouplochu.podle 5.2.je a Φ kružniceostředu A stejnéhopoloměrujako k.průsečíky C 2, D 2kružnice a Φ 2 s k 2jsounárysybodůvrženéhostínupřímky anakružnici k.křivka a Φ 2 jesouměrnápodleosy o 2,nanížležíjejívrchol V 2.Vedeme-libodem paprsek s 2,protnehlavnímeridiánvbodě(V),zněhožspuštěnákolmicenaosu o A 2

22 5. Vržené stíny hranolu na tělesa 19 mápatuvhledanémvrcholu V 2.Voboubodech G, H,kdepřecházívržený stín do vlastního stínu, je tečna k vrženému stínu rovnoběžná se světelným paprskem s 2.Vrženýstínpřímky bkolméknárysněaprocházejícíbodem Bleží vpromítacírovině,aprotosenámjejínárysjevíjakopřímka b 2.Křivky a a b jsou v prostoru kolmo souměrné podle roviny světelného meridiánu procházejícího společnýmbodem B oboukřivek. Obr. 20 Vevrcholu V 2 nárysukřivky a můžeme sestrojit oskulační kružnici (obr.21). Veďmebodem A 2 rovnoběžku1 snárysemsvětelnéhopaprsku s 2.Dostaneme tak body I, II v průsečících sobrysem m 2 aosou o 2.Bodem I proložímepřímku2 o 2.Spojnice3 bodu Ia středu S 2 poledníkuprotínáosu o 2 vbodě III.Tímtobodem vedenákolmice4na1protnepřímku 2vbodě IV.Spustíme-liztohoto bodukolmici5naosu o 2,dostaneme hledaný střed křivosti V. Zdůvodnění této konstrukce lze nalézt např. v[7], str Obr. 21

23 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa 20 6 Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa 6.1 Vržený stín vodorovné kružnice na vodorovnou kružnici Dříve než si naznačíme sestrojování vržených stínů na různé plochy, ukažme si dvě konstrukce, které budeme v pozdějších úvahách často využívat. Mějme dvě vodorovné kružnice a hledejme body, v nichž se vržené stíny obou kružnic protínají. Úlohu lze vyřešit dvěma způsoby. V prvním způsobu, viz. obr. 22, postupujeme podle úlohy z odstavce 4.1., obr.6.sestrojímevrženéstínydanýchkružnic k, ldonárysny ν.vrženéstíny k, l danýchkružnicseprotínajívbodech A, B.Zpětnépaprskyproloženétěmitobodynámurčína kbody 1 A, 1 Bana lbody A, B,kteréjsouvrženými stínybodů 1 A, 1 Bnarovinukružnice l.jakjevidět,takkvyhledánídvou,respektive jediného viditelného bodu v náryse, rýsujeme dvě elipsy, což je úloha složitější, požadujeme-li přesné sestrojení hledaných průsečíků. Proto si ukážeme ještě jeden způsob(obr. 23) užívající Pilletovy roviny µ(viz. 4.2, obr. 7). Vrženýmstínemkružnic k, ldopilletovyrovinyjsouelipsy k +, l +,jejichžnárysyjsou kružnice o redukovaném poloměru křivek k, l. Zpětné paprsky vedené průsečíky A +, B + těchtokružnicnámna l 2 určínárysyhledanýchbodů A 2, B 2,ježjsou nárysyvrženýchstínůbodů 1 A, 1 Bkružnice kna l. Obr. 22 Obr. 23

24 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Dva souosé rotační válce Mějmedánydvasouosérotačníválce(obr.24).Mezevlastníhostínu m, n, 1 m, 1 nplochφ,ψležívpilletověrovině,atedyjejichvzdálenostodosy ojerovna redukovanému poloměru podstav k, l. Nyní určíme vržené stíny kružnice knaplochuψ.nárysvrženého stínu kružnice k na Pilletovurovinujekružnice k +.Zvolme si libovolnou vodorovnou kružnici rnaválciψ.tatokružnice vrhánapilletovurovinustín r +, dotýkajícísepřímek m 2, n 2.Průsečíkykružnic k + a r + jsounárysy vržených stínů na Pilletovu rovinudvoubodůnaválci,vekterýchvrženýstínkružnice knaválec protíná jeho povrchovou kružnici r.nárysytěchtobodůnapovrchu válce leží v průsečíku nárysůzpětnýchpaprskůsr 2 (vobrázku je zobrazen pouze viditelný bod R).Vprůsečíkupřímky m 2 s k + obdržímebod P 2.Jetobod, vekterémkončíoblouk k 2 vrženéhostínukružnice knaválecψ. Tečnouke k 2v P 2jeobrazsvětelnéhopaprskuprocházejícího P 2. Obr. 24 Nejvyššíbod C vrženéhostínu k leží v rovině κ světelného meridiánu a určíme ho pomocí otočení tohoto meridiánu do nárysny. Volíme-li různé polohy vodorovné kružnice r daného válce, obdržíme opakovánímvýšepopsanéhopostupurůznébodynárysuvrženéhostínu k na válec,kterýtaklzeurčitsdostatečnoupřesností.průsečíkem B 2 vrženéhostínu k 2 s o 2vedenákolmicena o 2 protínáhlavnímeridiánvbodě A 2,vekterémse oblouk k 2 dotýká hlavního meridiánu a kde končí jeho viditelnost. Vržený stín do nárysny již lehce doplníme podle dříve popsaných konstrukcí.

25 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Vržený stín vodorovné kružnice na vnitřní dutinu válce Mějme dánu polovinu rotační válcové plochy Ψ ležící za průmětnou ν(obr. 25). ZvolmesinaplošeΨkružnici k, kteránámomezujekruh,ahledejmejehostínnadutinuψ. Vrženým stínem kružnice k na Ψjeelipsa k.nejdřívesestrojíme mez vlastního stínu m a nejosvětlenější přímku n. Na kružnici k si vyznačme body A, B ležící v Pilletově rovině µ abody C, D ležící ve světelnémmeridiánu κ.body A, B splývají se svými stíny na vnitřníoblinuválce,bod Cse námzobrazídobodu C.Platí proněj: C 2 D 2 = D 2 C 2.Tímtojsmezískaliprokřivku k 2 průměr A 2 B 2 akněmusdružený poloměr O 2 C 2.Tečny vbodech A 2, B 2 jsoutedyrovnoběžnéspoloměrem O 2 C 2. Bod C 2 jenejnižšíbodatečna vněmjerovnoběžnásprůměrem A 2 B 2.Nynísestrojímevrženýstínbodu E,kterýjenejvzdálenějším bodem kružnice k Obr. 25 odnárysny ν(e 2 o 2 ).Bod Evrhásvůjstínnapravouobrysovoupřímku pdo bodu E.Bod Fkružnice kležícínalevémobrysu lvrhásvůjstíndobodu F, pronějžplatí: F 2 O 2 = O 2 F 2.Tečnavtomtobodějerovnoběžnásesměrem s 2. Naobrázkujeještěsestrojenvrženýstín 1 k vrchníkružnice 1 knaplochuψ.

26 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Vržený stín na anuloid Vržený stín kružnice na vnitřní část anuloidu Obr. 26 Obrázek 26 nám zobrazuje vnitřní část anuloidu Φ, obsahující hrdlo h, horní kružnici kadolní l,ježjsouoběkráterové 6.Mezvlastníhostínu msestrojíme podle , obr. 13. Dále hledejme mez vrženého stínu kružnice k na Φ. Nejvyšší bodkřivky k ležívroviněsvětelnéhomeridiánu κ.otočením V 2 dorovinyhlavníhomeridiánudostanemebod V 0.Bodem V 0 veďmeotočenýsvětelnýpaprsek s 0. Jehoprůsečíkspoledníkemjebod V 0,kterýjeotočenývejvyššíbodvrženého stínu k.jehootočenímzpětdorovinysvětelnéhomeridiánudostanemehledaný bod V 2.Lzedokázat,žebod V ležínarovnoběžkovékružniciplochyφ,která jevevzdálenosti 1 rodhrdla(viz.[1],str.28-29).kvyhledánídalšíchdůležitých 3 bodů využijeme s výhodou Pilletovu rovinu µ. Nárysy vržených stínů kružnic k, l narovinu µjsoukružnice k +, l +,jejichžpoloměryjsourovnyredukovanýmdélkámpoloměrůkružnic k, l.vedeme-libodem P + (P k + l + )světelnýpaprsek, dostanemena l 2 bod P 2,doněhožvedehledanývrženýstín.Pomocívrženého stínu h + hrdlazískámedalšíbod Rstínunahrdle.Tutokonstrukcimůžemeopa- 6 Kráterovákružnice:Rovnoběžka,podélnížtečnymeridiánůvytvořírovinu,senazývá kráterová kružnice.

27 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa 24 kovatprodalšírovnoběžky.kprůsečíku U křivky k spoledníkemkolmýmkν sestrojímesouměrněsdruženýbod T naobryse. Tento příklad lze vyřešit též za pomoci vržených stínů do nárysny ν, které jsou prokružnice k, lelipsami.průsečíkem P křivek k, l veďmezpětnýpaprsek,který na lurčíkrajníbod P stínu k.bod T,vněmž k protínáhlavnímeridián,je druhýmkrajnímbodemvrženéhostínu.jehootočenímkolemosy odobodu U dostanemedalšíbod.tytobodyspolusnejvyššímbodem V dostatečněurčují křivku k. Směr pravé větve vrženého stínujezávislýnapoměruvýškykšířce tělesa. V praxi mohou nastat tyto tři případy: a) Vržený stín horní základny dopadne na dolní základnu a odtud přechází do druhé průmětny; b) Vržený stín protíná obrys tělesa a nedotýká se přiton ani dolní základny, ani vlastního stínu tělesa; c) Vržený stín horní základny se protíná s vlastním stínem tělesadříve,nežsedotknejehoobrysu. Obr. 27 Vržený stín v levé polovině tělesa sestrojíme podle předešlého postupu. Pravou větev vrženého stínu lze sestrojit takto: ad a) Postupujeme stejně jako v předešlém případě(obr. 26). Vyšetříme vržený stín horní i dolní základny do nárysny ν(viz. 4.1., obr. 6). Obě elipsy vrženého stínu seprotínajívbodě P 2.Vedemeli jím zpětný paprsek, vytne nám na l Obr bod P 2,jímžprocházíkřivka vrženého stínu. adb)bodpřechoduvrženéhostínuztělesanaprůmětnujejižurčenprůsečíkemvrženéhostínu k 2 sobrysemtělesa(obr.27). adc)vrženéstínyobouzákladenseneprotínají(obr.28).zdeičásttělesa, která je ve vlastním stínu, vrhá stín na průmětnu. Vržený stín tělesa na druhou průmětnu prochází bodem B, kde se mez vlastního stínu dotýká obrysu tělesa.

28 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa 25 Další bod vrženého stínu sestrojíme, vyšetříme-li např. vržený stín bodu D na hrdle.vrženýstín m mezevlastníhostínu mnámprotínávrženýstín K horní základnyvbodě P.Jímvedemezpětnýpaprsek,kterýnámnamezivlastního stínuurčíhledanýbodpřechodu P.Víceinformacíovlastnostechvrženéhostínu lzenaléstv[1],str Stejným způsobem řešíme vržené stíny různých rotačních těles na jiná rotační tělesa Vržený stín anuloidu na Pilletovu rovinu Než vyřešíme konstrukci vrženého stínu kružnice na anuloid, ukažme si konstrukci vrženého stínu anuloidu na Pilletovu rovinu, kterou lze později s výhodou využít v dalších úlohách. NechťjedánanuloidΨ o ose o(obr. 29). Abychom mohli snadno vyřešit vržený stín anuloidu Ψ na Pilletovu rovinu µ, opíšeme kolem středu O kulovou plochu Φ opoloměru r,rovnémpoloměru meridianních kružnic. Vzdálenost středů meridiánůodosy ooznačme. Libovolná vodorovná rovina λ oprotínáanuloidψ vkružnici kakulovouplochuφknísoustřednékružnici 1 k.rozdíljejichpoloměrů,jakjevidětzobrázku, jerovnýdélce.vrženéstíny obou kružnic na Pilletovu rovinu µsevnárysejevíjako Obr. 29 dvěsoustřednékružnice,jejichžpoloměryjsouredukcepoloměrůkružnic ka 1 k, aprotojejichvzdálenostjerovnaredukciúsečky ajeprovšechnyroviny λ stejná.kružnice 1 k + obalujeeliptickýnárysvrženého stínukulovéplochyφ, druhákružnice k + protoobalujeekvidistantu e +7 tétoelipsy,vzdálenouodní oredukciúsečky.nárys d + vrženéhostínukružnice,nesoucívrcholmezevlastníhostínu,jeoskulačníkružnicíkřivky e + vevrcholu D +.Druhývrchol E + = E 2 ležínanárysurovníku r 2,jehostředkřivostiležívS2 rna r 2,přičemž S2 ro 2 =2 ( je redukovaná délka poloměru ). 7 Ekvidistantakřivky:Ekvidistantoukřivkyrozumímeekvidistantní(rovnoběžnou) křivku mající od dané křivky na společných normálách stejnou vzdálenost.

29 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Vržený stín kružnice na vnější část anuloidu Naobrázku30jevyřešenvrženýstín k kružnice knavnějšíčástanuloiduψ. Nejdříve sestrojíme vržený stín bodu V k ležícího ve světelném meridiánu, pomocí otočení do roviny hlavního meridiánu. Postupujeme stejně jako v předešlé kapitole(viz. obr. 26). Opět užijeme Pilletovy roviny k určení dalších bodů vrženého stínu. Sestrojme vržené stíny kružnic k a r do Pilletovy roviny. Průsečíkem R + (R + k + r + )vedenýzpětnýpaprsekprotíná rvdalšímbodě R. Průsečíkem U 2 nárysukřivky k 2s o 2 vedemekolmiciko 2,kteránámnaobryse určíbod T 2 vněmžsekřivka K 2 dotýkáobrysuanuloiduψ. Dalšímožnostíjepostupovattak,žesestrojímevrženéstíny k a m kružnice k amezevlastníhostínuanuloiduψnanárysnu νjdoucíosou o.nárys k 2křivky k vycházízprůsečíku T 2 křivky sobrysemanuloidu.kbodu T určímeopět k souměrněsdruženýbod U nameridiánukolmémkν.nárys P 2 přechodového boduodvodímepomocísvětelnéhopaprskuvedenéhoprůsečíkem P křivek k a m. Obr. 30 Bodpřechodu P lzenalézttéžtak,žesestrojímevrženéstínykružnice k a anuloidu Ψ do Pilletovy roviny. K sestrojení vrženého stínu anuloidu na Pilletovu rovinu použijeme , obr. 29. Touto konstrukcí se však zde nebudeme zabývat.lzejinaléztv [1],str.16,31nebov[7],str

30 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Osvětlení výklenku(niky) Nikou rozumíme polovinu dutého svislého rotačního válce ukončeného čtvrtinou duté kulové plochy. Naobrázku31jezobrazenanikaoose o ležící v nárysně ν, která obsahuje hrany a, bválceφakruhovouhranu mkulové plochy Ψ. Nejdříve sestrojíme mez vlastního stínu. K jejímu určení použijeme konstrukcí z kapitol 4.3., obr. 8 a 4.5., obr. 11. Čára APQ bude vrhat stín do osvětlené části výklenku. Ke konstrukci jejího vrženého stínu užijemesvýhodouvrženéhostínu k pomocnépřímky k=po,jehožprůmětem je kružnice k 2 = m 2 (viz. 5.2., obr. 18). Nárys vrženého stínu hrany PQ=asplývásnárysemosyválcové plochy (a 2 o 2 ),bod P 2 přejde do bodu P 2.Nyníužijemevětuoincidenci útvarů a jejich průmětů a sestrojíme vržený stín kružnice m. Zvolíme-li svislou přímku c, která protíná kružnici m vbodě Bapřímku kvbodě C,platí c 2 c 2, C 2 c 2 k 2.Bod B 2 vrženého stínukružnice mležína c 2 vevzdálenosti B 2 C 2 odbodu C 2.Zvláštnídůležitostmábod D k 2.Jetobod, Obr. 31 v němž vržený stín kružnice m přechází zválcovéplochynaplochukulovou.podlekonstrukcebodu B 2 platí B 2C 2 = = B 2 C 2 ac 2C 2 B 2B 2 s 2.Budetedytaképlatit D 2 E 2 = D 2 E 2,přičemž 2.Protožesměrsvětla D 2 D 2 E 2 E 2 svírásespolečnouosou o 2 obouplochúhel45,platí: D 2 E 2 = E 2 D 2 = D 2 E 2 a O 2 E 2 : E 2 D 2 =1:2.Naneseme-litedynahranu a=pqdélku2r=p 1 E, D 2 m 2, D 2 k 2, E 2 k 2, E 2 m 2 = k protínáspojnice O 1 Ekružnici mvbodě D,jehožvrženýstín D jevrženým stínem bodu D na osvětlenou část kulové plochy. Protože kulová plocha Ψ a světelný válec(s, m) mají společnou kružnici m, je vrženým stínem kružnice m dovnitř kulové plochy opět kružnice, jejímž průmětemjeelipsa m 2,kterájeurčenahlavnípoloosou O 2A 2 abodem D 2.Průmět vrženéhostínu m 2kruhovéhrany mnakulovouplochuψjeafinněsdruženýsobrysovoukružnicí m 2 vesměruprůmětusvětelnéhopaprsku s 2 scharakteristikou afinity1:3.

31 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa Osvětlení skupiny těles- praktický příklad Obdobně jako v předešlých kapitolách můžeme s výhodou užít pomocné Pilletovy roviny µ k určování vrženého stínu jedné(obecné) rotační plochy na druhou souosou rotační plochu. K sestrojení těchto vržených stínů lze též užít vržených stínůdanýchplochnadruhouprůmětnujdoucíosou orotace.tatocestabyvšak v mnohých případech byla pracnější a výsledek méně přesný. Navíc mnohdy uvažujeme pouze o samotném rotačním tělese v prostoru, a proto ani jeho vržený stín na druhou průmětnu nepotřebujeme. Na obrázku 32 je zobrazena váza. Při jejím osvětlování je užito konstrukcí, kteréjsmesivpředchozíchkapitoláchpopsali.bod V získámepomocíotočení světelnéhomeridiánudonárysny ν.vrženýstín k kružnice kprotínáobrysdané vázyvbodě P,kterýjekoncovýmbodemnárysuvrženéhostínukružnice k navázu.otočenímbodu U,vněmžvrženýstínkružnice lprotínánárysosy o, o90,získámedalšíbodmezevrženéhostínunaobryse. Chceme-li vyřešit vržený stín nejakého rotačního tělesa na rovinu rovnoběžnou snárysnou νvevzdálenosti y,posunemevrženýstínnanárysnu vpravoadolů odélku y(obr.33). Nejdříve sestrojíme vlastní stíny jednotlivých těles a dále pak vržené stíny tělesa na těleso skupiny. Použijeme přitom metody, které jsme odvodili pro skupiny tělessosouležícívnárysně ν.dálepaksestrojímevrženýstín o osy onanárysnu a na něm stíny středů podstav daných těles. Vržené stíny těles mají vzhledem kestínu o tutéžvzájemnoupolohu,jakoumělystínysouosýchrotačníchtěles sosou oležícívnárysně,vzhledemktétonárysně.nanárysnuvšakbudounavíc vrhat svůj stín i body ležící na zadní polovině těles. Tyto stíny musíme nalézt. Jelikož celá skupina je souměrná podle osy o, bude i vržený stín zadní poloviny těles mít mez vrženého stínu souměrnou s již obdrženou mezí podle vrženého stínu o osy o.jednáseošikmousouměrnost,jejížsměrsestrojímejakovržený stínúsečky OE,kterásvírásnárysnouúhel45 ajevodorovná. O E jetedysměr šikmé osové souměrnosti obou částí meze vrženého stínu soustavy na nárysnu, jejížosouje o.lzeukázat,žeproúhel ϕplatí tgϕ=2:1.

32 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa 29 Obr. 32

33 6. Vržené stíny vodorovné kružnice na tělesa 30 Obr. 33

34 7. Rotační tělesa s vodorovnou osou 31 7 Rotační tělesa s vodorovnou osou Prozatím jsme sestrojovali vlastní a vržené stíny rotačních těles se svislou osou rotace. Kdybychom některé z těchto těles sklonilitak,abyosarotacetělesapřešla do vodorovné polohy, musíme také daný paprsek přizpůsobit tétopoloze.paprsek s 2 jestejnýjako v předešlých příkladech (dopadázlevéhohorníhorohupod úhlem45.prvníobrazpaprsku s 1 kněmuvedemenaobrazeopět, ale z pravé stranyklevé(viz. Obr. 34 obr.34).otočímepaprsek s 1 kolem vrcholu V světelného kužele. Rovina otáčení každého bodu tohoto paprsku jekolmákoserotace(vtomtopřípadějesvislá).otočenýpaprsek,t.j.obrazpovrchové přímky světelného kužele, vytvářeného otáčením paprsku, přejde do polohy s 0 (odchylujeseod s 2 vpravo). Vlastní a vržené stíny vyšetřujeme v tomto případě pro stanovené směry paprsků s 2 a s 0.Ostatníkonstrukcezůstávajístejné.Jsoujasnézobrázku35. Obr. 35

35 8. Vržený stín na šikmou rovinu 32 8 Vrženýstínnašikmourovinu V této kapitole si ukážeme, jakým způsobem se sestrojují vržené stíny na šikmou rovinu se spádem α. S těmito příklady se setkáváme v technické praxi, jestliže sestrojujeme technické osvětlení budov a zjišťujeme vržené stíny různých komínů, vykýřů atd. na šikmou střechu. 8.1 Osvětlení střech Zvolme si střešní rovinu ε s vodorovnou římsovou hranou h(obr. 36). Spád roviny εvzhledemkvodorovnérovinějeroven tgα.dálenechťjedánsvislý hranol,jehoždvěstěnyjsouprůčelnéadvěkolméknárysně ν.kroměnárysu použijemetéžbokorysu.pomocíněhovidíme,že A 1 2 A 2 A 2a A 1 3 A 3 A 3jsou shodné.bod A jenárysvrženéhostínubodu A,ležícíhonasvisléhraně a,směremsvětelnéhopaprsku snarovinu ε.vrženýmstínemsvisléhrany anarovinu ε jeúsečka 1 A 2 A 2. Z výše uvedených shodných trojúhelníků je vidět, že nárysy vrženýchstínůsvislýchpřímeknarovinyrovnoběžnésosou xasvírajícíspůdorysnou úhel α, procházejí nárysy průsečíků těchto přímek s danými rovinami, atovtémžúhlu αkose x.zobrázkujepatrné,že 1 A12 = 1 A 3 h 3 2;platí h 3 2 = 12 na h 2.Vodorovnouvzdálenostbodu 1 A 2 roviny εodhrany hurčíme tak,ženárysem 1 A 2 vedemekolmici 1 A 2 2 h 2 adálepakpřímku 1 A 2 1vúhlu α. Tyto přímky vytknou na h úsečku, která je hledaným intervalem. Současně je vidět, že 45 je rovno tloušťce svislého hranolu. Obr. 36

36 8. Vržený stín na šikmou rovinu Vržený stín věžičky Mějme dánu úhlovou střechu, rovinastřechy εzdesvíráspůdorysnou πanárysnou νúhel45. V tomto případě budou intervaly, okterých jsmese zmínilivpředešlém odstavci(obr. 36), rovny přímo vzdálenostem nárysů průsečných hran průčelných svislých rovinsestřešnírovinou ε.ztoho je patrné, že při úhlových střechách nárys střešní roviny se svislými tělesy postavenými na ní nám zobrazuje příslušný půdorys na afinně zkreslený(viz. obr. 36), ale ve skutečném tvaru. Naobrázku37jedánavížka, jejíž podstavu tvoří čtvercový hranolanadnímjestanovástřecha ovrcholu V.Hrana bprotínající ε vbodě Bvrhástín b 2jdoucíbodem B 2 podúhlem45 vpravo. Obr. 37 Sestrojmevrženýstín k hrany k na přední stěnu σ vížky, koncový bod Kpřevedemesvětelnýmpaprskemna b dobodu K.Bodem K 2 jdevržený stínhrany krovnoběžnésh(h...římsováhrana, h x)ajeukončenvrženým stínembodu 1 B.Bod 2 Bležínasvisléhraně b,protojehovrženýstín 2 B leží na b.sestrojmestřed Oobdélníka,jímždosedádanávížkana ε.bodem O 2 pakprocházínárys o 2vrženéhostínusvislépřímky o,nanížležíbody 1 V, 2 V. Průsečíkynárysůsvětelnýchpaprskůjdoucíchbody 1 V a 2 V snárysemosy o námurčípříslušnévrženéstíny 1 V, 2 V. Z obrázku je patrné, že světelná rovina κ procházející hranou a obsahuje bod A,svisloupřímku oihrany C 2 C, 2 C 2 V.Společnývrženýstínjepřímka o, kterásvýmnárysem o 2procházíbodem A 2.Nakonecdoplnímevrženýstínstínem hrany 2 D 2 V. 8.3 Vržený stín válcového komínu Mějmedánustřešní rovinu εsespádem tgα(obr.38).válcováplochaφ osvisléose oapoloměru r protíná εvelipse e.jejímnárysem e 2 jeelipsa, jejížjednaosajerovnoběžnásřímsovouhranou h 2 ajerovna2r.poměrobou

37 8. Vržený stín na šikmou rovinu 34 polooselipsy e 2 jedánhodnotou tgα.vrženýmistíny 1 A, 1 B, 1 C, 1 D bodů 1 A, 1 B, 1 C, 1 Dkružnice 1 eplochyφna εjeurčenvrženýstín 1 e na ε. Je-li tgα=1(obr.39),jekřivka e 2 kružnicí.vobrázkubylsestrojenbod 1 M,vněmžsedotýkávrženýstín 1 e kružnice evrženéhostínuválcovéplochy ε. Bod 1 MležívPilletověrovině µ. Obr. 38 Obr. 39

38 9. Osvětlení schodišť 35 9 Osvětlení schodišť Na obrázku 40 je dáno schodiště se zábradlím. Máme-li provést jeho osvětlení, proložíme si předními hranami schodů rovinu ε. V obrázku si vyznačíme ipomocnýbokorys,zněhojepatrné,žerovina ωzábradlíjerovnoběžnásrovinou ε.vrženýstínhran a, bzábradlínarovinu εsezobrazídopřímek a a b. Vrženýstín A B jerovnoběžnýsb,spojnice B C námdávánárys b vrženého stínuhrany bdonárysny ν.nynízapomociafinitymezistínynarovinu εana jednotlivé průčelné roviny schodů sestrojíme vržený stín zábradlí na jednotlivé stupněvnárysu.nárysyvrženéhostínunarovinu εaprůčelnourovinu τurčitého stupně daného schodiště jsou ve vztahu afinity, jejíž osou je nárys hrany příslušnéhostupně(vnašempřípaděhrana I), s 2 jejejímsměrem. Svislýmpřímkámatěm,kterésvírajísosou xúhel αvnárysuroviny ε,odpovídajívnárysuprůčelnéstěnystupněpřímkysměru b asvislépřímky. Obr. 40

39 10. Technické osvětlení v zobrazovacích metodách Technické osvětlení v zobrazovacích metodách V předešlých kapitolách jsme si ukázali konstrukce stínů při technickém osvětlení, ale skoro ve všech případech jsme užili zobrazení na jednu průmětnu(nejčastěji nárysnu ν). Vlastnosti technického osvětlení nám umožňují použití pouze jedné průmětny. Při výuce jednotlivých zobrazovacích metod se však často setkáváme s úlohou sestrojit technické osvětlení daného tělesa nebo skupiny těles v daném druhu promítání a je jedno, jedná-li se o promítání rovnoběžné(paralelní) či středové. V následujících několika kapitolách si ukážeme na jednotlivých příkladech sestrojování technického osvětlení v Mongeově promítání, axonometrickém promítání a lineární perspektivě. U jednotlivých konstrukcí se předpokládá základní znalost daných druhů zobrazení. Popis konstrukcí proto nebude příliš podrobný a jednotlivé příklady slouží spíše jako ukázka sestrojování technického osvětlení v dané zobrazovací metodě Kolmé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny Nejjednodušší a nejlehčí zobrazení užívané v deskriptivní geometrii je pravoúhlé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny, které též stručně nazýváme Mongeovopromítání 8. Úloha 1: V Mongeově promítání sestrojte technické osvětlení přímky a pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou v půdorysně(obr. 41). Nejdřívesestrojímevrženýstínjehlanunapůdorysnu.Určímevrženýstín V vrcholu jehlanu. Protože podstava jehlanu leží v půdorysně, splývá její vržený stín sjejímpůdorysem(a 1 = A, B 1 = B,...).Obrysvrženéhostínunapůdorysnuje tedyurčenvrcholy V, C, D, A.Podobněbychomsestrojilivrženýstínjehlanu na nárysnu. Z vrženého stínu na půdorysnu rýsujeme zpravidla jen tu část, která leží před nárysnou, protože jenom ta ve skutečnosti vzniká. Stejně se rýsuje z vrženého stínu na nárysnu jen část, ležící nad půdorysnou. Vržené stíny jednotlivých hran na půdorysnu a nárysnu se protínají na základnici, stačí tedy, stanovíme-li jen vrženýstín V vrcholu V nanárysnu.tenpakspojímesprůsečíkyúseček V A, V C sosou x.tímjevrženýstínjehlanuvyřešen.zobrázkujepatrné,žemeze vlastníhostínunapláštijsoupobočnéhrany V A, V C. 8 GaspardMonge:( ),francouzskýmatematik.Vesvémdíle Geometriedescriptive(Leçons données aux Ecoles normales,ľan III de la république), Journal des Ecoles Normales, t. I.-IV., Paris 1799 toto promítání přesně vyložil a zároveň ukázal jeho užití k soustavnému řešení prostorových konstrukčních úloh.

40 10. Technické osvětlení v zobrazovacích metodách 37 Obr. 41

41 10. Technické osvětlení v zobrazovacích metodách 38 Nyní ještě sestrojíme osvětlení přímky r. Jelikož přímka je blíže světelnému zdroji než jehlan, vrhá část této přímky svůj stín na jehlan. Světelná rovina ηjdoucípřímkou rnámprotínápůdorysnuvprůsečnici r,kterájevrženým stínemprímky r napůdorysnu.přímka r vrhánajehlanstín,kterýječástí průsečného mnohoúhelníka v němž světelná rovina η protíná jehlan. Jednotlivé vrcholy M 1, N 1, P 1 určímepomocízpětnýchpaprsků,vedenýchzprůsečíkůvrženýchstínůpobočnýchhranspřímkou r Axonometrické promítání Mongeova projekce je jedna z nejjednodušších zobrazovacích metod. Nevýhodou však je provádění dvou sdružených průmětů a ztráta názornosti při speciálních polohách útvarů. Vhodným názorným zobrazením, které poskytuje možnost přímých, snadno proveditelných konstrukcí je tzv. axonometrické zobrazení. Ukažeme si nyní dva příklady. První bude řešen v kolmé axonometrii a druhý ve zvlaštním případě axonometrického promítání, tzv. kosoúhlém promítání. Úloha 2: V izometrii sestrojte technické osvětlení pláště pravidelného pětibokého jehlanu, jehož podstava je v rovině rovnoběžné s π (xy), hrana AB ležívrovině(yz)ajehovrchol V ležívrovině π(obr.42). Protože se jedná o osvětlení dutého jehlanu, je nutno vyšetřit kromě jeho vlastního a vrženého stínu také jeho vržený stín do dutiny. Mez vlastního stínu navnějšímpovrchupláštějeurčenavrcholy V, E, D, C, B.Můžemejistanovit například pomocí meze vrženého stínu do půdorysny. Světelné roviny, jdoucí jednotlivými pobočnými hranami jehlanu, tvoří svazek rovin, jehož osou je světelný paprsek jdoucí vrcholem V. Světelné roviny, jejichž průsečnice s rovinou podstavy procházejí bodem R(průsečíkem světelného paprsku, jdoucího vrcholem jehlanu, srovinoupodstavy)abody E, Bpodstavy,jsourovinamistyčnýmiatedyhrany EV a BV tvořímezvlastníhostínunaplášti. Vrženýstín A bodu Aležíuvnitřvrženéhostínu,tudížhrany EAaABvrhají stínnajehlanovouplochu.vrženýstín A 1 bodu Anaplochujeurčenpomocí zpětnéhopaprsku.vrženýstín A B hrany ABprotínávrženýstín V C vbodě 2,stín V D hrany V Dvbodě1 (poprodloužení).vedemetedybody2 a1 zpětnésvětelnépapskyazjistímeprůsečíky2 1,1 1 těchtopaprskůspříslušnými hranamiplochy.lomenáčára B jevrženýmstínemprodlouženéhrany AB nastěny BCVa CDVplochy.Musítedynatétočářeležetivrženýstín A 1 bodu A.Bodem A vedemeprotozpětnýpaprsek,kterýlomenoučáru B protne vbodě A 1.Bod3 1 získámeopětpomocízpětnéhopaprskuzbodu3. Body A 1,2 1,3 1 můžemevšakurčittakébezpoužitízpětnýchpaprsků,totiž jakoprůsečíkysvětelnýchpaprskůbodů A,2,3hran EA, ABspláštěmjehlanu. Vrcholové roviny, obsahující uvedené světelné paprsky, tvoří svazek rovin, jehož osou je světelný paprsek jdoucí vrcholem V. Průsečnice tohoto svazku rovin s ro-

42 10. Technické osvětlení v zobrazovacích metodách 39 Obr. 42

43 10. Technické osvětlení v zobrazovacích metodách 40 vinou podstavy tvoří svazek paprsků, jehož středem je již dříve popsaný bod R. Chceme-litedyurčitnapř.bod3,kterývrhástínnahranu V D,proložímesvětelnourovinutoutohranouajejíprůsečíkshranou AEjehledanýbod3,který vrhástíndobodu3 1. Výšepopsanýmizpůsobydostanemelomenoučáru B2 1 A E,kterájemezí vrženého stínu plochy na vnitřní část jehlanové plochy. Úloha 3: V technickém kosoúhlém promítání sestrojte technické osvětlení pravidelného trojbokého jehlanu s podstavou v rovině rovnoběžné s π a pravidelného šestibokého jehlanu s podstavou v π(obr. 43). Meze vlastního a vrženého stínu pro oba jehlany sestrojíme stejným způsobem jako v předešlých příkladech. Jelikož trojboký jehlan je blíže světelnému zdroji než jehlan šestiboký, je část jeho vrženého stínu zachycena na tomto jehlanu. Zbytek vrženého stínu pak leží v půdorysně π. Mezvlastníhostínunatrojbokémjehlanujeurčenavrcholy L, M, V.Jelikož platí, že mez vrženého stínu je vrženým stínem meze vlastního stínu, bude obrys vrženého stínu na druhý jehlan tvořen částmi průseků světelných rovin proložených hranami LM, MV a V L meze vlastního stínu. Jednotlivé vrcholy obrysu sestrojíme například pomocí zpětných paprsků. Obrys tohoto vrženého stínu lze považovat též za část průniku šestibokého jehlanusesvětelnýmhranolem,kterýjetvořenstyčnýmirovinami 9 trojbokého jehlanu. 9 Styčnárovinajehlanovéplochymásníspolečnoujenhranunebostěnu.