Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov"

Transkript

1 Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: Název sady DUM: Název a adresa školy: Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura: VY_4_INOVACE_MA_1 Geometrie Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov CZ.1.07/1.5.00/ IV/ Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ 6-41-M/01 Elektrotechnika, 3-41-M/01 Strojírenství Počítačové řídicí systémy Planimetrie, Stereometrie, Vektorová algebra a analytická geometrie lineárních útvarů Výrobní a informační systémy - Planimetrie, Stereometrie, Vektorová algebra a analytická geometrie lineárních útvarů Matematika, ročník Mgr. Lucie Pošvářová RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN , RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN , RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Datum vytvoření: leden říjen 013 Anotace Sada obsahuje prezentace, pracovní listy a hry - křížovku, osmisměrku a šibenice. Využití ve výuce Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech. Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka 1 z 1

2 VY_4_INOVACE_MA_1_01 VY_4_INOVACE_MA_1_01 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Vrcholy a hrany Stěny 3 4 1

3 Podstavy Plášť 5 6 Krychle Kvádr stěny tvoří 6 shodných čtverců Protější stěny jsou shodné obdélníky (popř. čtverce) 7 8

4 Hranol Podstavy jsou shodné mnohoúhelníky Boční stěny jsou rovnoběžníky Pravidelný n-boký hranol Podstavy jsou pravidelné n-úhelníky Boční stěny jsou shodné obdélníky nebo čtverce Jehlan Podstavou je mnohoúhelník Boční stěny jsou trojúhelníky Pravidelný jehlan Podstavou je pravidelný n- úhelník Boční stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky 9 10 Čtyřstěn Všechny stěny jsou trojúhelníky Pravidelný čtyřstěn Všechny stěny jsou shodné rovnostranné trojúhelníky Rotační válec vznikne rotací obdélníku nebo čtverce kolem jedné jeho strany

5 vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jeho jedné odvěsny Rotační kužel Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 13 4

6 VY_4_INOVACE_MA_1_0 VY_4_INOVACE_MA_1_0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení 1

7 Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení

8 Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle. Řešení Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení 3

9 Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení 4

10 Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle. Řešení Pojmenujte tělesa, kterými je vytvořený panáček. Řešení: Kvádr Krychle Válec Polovina válce Trojboký hranol Trojboký hranol Polovina válce Polovina válce Válec Kvádr Kvádr Krychle Krychle 5

11 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 6

12 VY_4_INOVACE_MA_1_03 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_03 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

13 VY_4_INOVACE_MA_1_03 Stereometrie vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin Pracovní list zadání, záznamový arch Ve všech následujících příkladech máme dánu krychli ABCDEFGH. Body jsou středy úseček AB, BC apod. 1. Určete vzájemnou polohu dvou přímek: a. AB, S S DH CG b. BC, ES DH c. AB, S S BC DC d. FC, S S AB BC S AB, S BC apod.

14 VY_4_INOVACE_MA_1_03. Určete vzájemnou polohu přímky a roviny: a. S S, ACH AB BC b. BH, EBC c. EC, AFH 3

15 VY_4_INOVACE_MA_1_03 3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin: a. ABS CG, S ABS DH S DG b. BDE, CFH c. BFH, ABS CG 4

16 VY_4_INOVACE_MA_1_03 Stereometrie vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin Pracovní list řešení 1.a rovnoběžné různé 1.b mimoběžné 1.c - různoběžné 1.d - mimoběžné.a rovnoběžné.b přímka leží v rovině 5

17 VY_4_INOVACE_MA_1_03.c - různoběžné 3.a rovnoběžné totožné 3.b rovnoběžné různé 3.c různoběžné 6

18 VY_4_INOVACE_MA_1_03 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7

19 VY_4_INOVACE_MA_1_04 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Analytická geometrie v prostoru VY_4_INOVACE_MA_1_04 Využití v úlohách ze stereometrie AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Příklad některé metrické úlohy ve stereometrii se pomocí trigonometrických vztahů počítají špatně pokud vhodně zvolíme soustavu souřadnic a využijeme analytické geometrie, můžeme si značně usnadnit práci Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany a = 4cm. Jaká je vzdálenost bodu F od roviny S BF GE? 1

20 Naznačení řešení pomocí trigonometrie Řešení pomocí analytické geometrie nejprve vhodně zvolíme soustavu souřadnic F E G [ 4;4;4] [ 4;0;4] [ 0;4;4] [ 4;4;] S BF napíšeme rovnici roviny S BF GE S S BF BF G = E = (- 4;0;) ( 0; 4;) ( a; b c) n = ; S S BF BF G n = 0 E n = 0 4a + c = 0 4b + c = 0 4 a + 4b = 0 a + b = 0 normálový vektor roviny : n = ( 1;1; ) / ( 1) zvolíme: a = 1 dopočítáme b a c: b = a b = 1 c = 4a c = a c = obecná rovnice roviny : x + y + z + d = 0 dosadíme bod d = 1 E : d = 0 obecná rovnice roviny : x + y + z + 1 = 0 vypočítáme vzdálenost bodu od roviny x = x = x = x = 6 x = 3 cm

21 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

22 VY_4_INOVACE_MA_1_05 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_05 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

23 VY_4_INOVACE_MA_1_05 Analytická geometrie v prostoru využití v úlohách ze stereometrie Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Je dána krychle ABCDEFGH : A [ 10; 0; 0], B [ 10; 10; 0] a C [ 0; 10; 0] odchylku přímky CS od roviny ABC, S je střed EH.. Určete

24 VY_4_INOVACE_MA_1_05. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu F od roviny BEG procházející vrcholy kvádru ABCDEFGH, kde AB = 3cm, BC = 4cm a AE = 5cm. 3

25 VY_4_INOVACE_MA_1_05 3. Krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1cm. Bod M je střed GH. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu A od přímky BM. 4

26 VY_4_INOVACE_MA_1_05 Analytická geometrie v prostoru využití v úlohách ze stereometrie Pracovní list řešení 1. Je dána krychle ABCDEFGH : A [ 10; 0; 0], B [ 10; 10; 0] a C [ 0; 10; 0] odchylku přímky CS od roviny ABC, S je střed EH.. Určete CS = ( 5; 10;10 ) : n u = ( 0;0;1) ABC = z Odchylka ABC a CS je odchylka n a CS : CS n cosϕ = CS n = = 10 = = 15 3 ϕ = ɺ α = 90 ϕ = ɺ Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu F od roviny BEG procházející vrcholy kvádru ABCDEFGH, kde AB = 3cm, BC = 4cm a AE = 5cm. ρ = BEG = BE u ρ v ρ = ( 0; 3;5) ( 4;0;5) ( a; b c) = BG = n = ; n ρ ρ u ρ nρ u ρ = 0 0a 3b + 5c = 0 n ρ vρ nρ vρ = 0 4a + 0b + 5c = 0 4 a + 3b = 0 4a = 3b volíme b = 4, pak a = 3, 1 dopočítáme c = 5 1 n ρ = 3;4; 5 1 ρ : 3x + 4y + z + d = 0 5 5

27 VY_4_INOVACE_MA_1_05 dosadíme například bod B a dopočítáme d = 4 1 ρ : 3x + 4y + z 4 = v F; BEG = = = ( ) = = cm Krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1cm. Bod M je střed GH. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu A od přímky BM. ( A; BM ) AX [ x; y; z] BM v = X 1 BM = 1; ; 1 BM : x = 1 t 1 y = 1 t z = t 1 X 1 t;1 t; t 1 AX = t; 1 t; t AX BM AX BM = t + t + t = t = 4 t = 9 8 AX = ; ; v AX = ( A; BM ) = cm = 7 81 = 3 6

28 VY_4_INOVACE_MA_1_05 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7

29 VY_4_INOVACE_MA_1_06 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_06 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

30 VY_4_INOVACE_MA_1_06 Analytická geometrie v prostoru roviny se zvláštní polohou vůči soustavě souřadnic Pracovní list zadání, záznamový arch Zakreslete následující roviny dané obecnou rovnicí do soustavy souřadnic pomozte si krychlí o hraně délky a = x + z 10 = 0. x y = 0 3. x + y 5 = 0

31 VY_4_INOVACE_MA_1_06 4. x 5 = 0 5. x = 0 6. y = 0 7. z = 0 3

32 VY_4_INOVACE_MA_1_06 Analytická geometrie v prostoru roviny se zvláštní polohou vůči soustavě souřadnic Pracovní list řešení

33 VY_4_INOVACE_MA_1_06 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 5

34 VY_4_INOVACE_MA_1_07 VY_4_INOVACE_MA_1_07 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 013 Odchylka dvou přímek V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímek AC, AH. Najdeme vhodný trojúhelník. Všechny strany trojúhelníku ACH jsou tvořeny úhlopříčkami ve čtvercích. Trojúhelník ACH je tedy rovnostranný.všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku mají velikost 60 1

35 Odchylka dvou přímek V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímek BD, BH. Najdeme vhodný trojúhelník. Trojúhelník DBH je pravoúhlý s odvěsnami dlouhými DB = a DH = a Použijeme goniometrickou funkci: a a) a b) tg ϕ = tg ϕ = a c) a sinϕ = a ϕ ϕ Zkrátíme a na kalkulačce vypočítáme: 1 tgϕ = ϕ = Odchylka přímky a roviny V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímky HB a roviny ABC. V rovině ABC zvolíme vhodnou přímku a úlohu počítáme jako odchylku dvou přímek. Náhodou se jedná o stejné přímky jako v předchozím příkladě. Pro zapomnětlivé: DB = a DH = a Použijeme goniometrickou funkci: a a) a b) tg ϕ = tg ϕ = a c) a sinϕ = a ϕ ϕ Zkrátíme a na kalkulačce vypočítáme: 1 tgϕ = ϕ = 16 35

36 Odchylka dvou rovin V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku rovin ADH, DBH. Nejprve najdeme rovinu kolmou k oběma daným rovinám. Najdeme její průsečnice se zadanými rovinami. Hledaná odchylka je odchylka těchto průsečnic. ϕ ϕ = 45 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

37 VY_4_INOVACE_MA_1_08 VY_4_INOVACE_MA_1_08 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 013 Vypočítejte, kolik gramů váží panáček z kostiček. spočítáme objemy jednotlivých dílků skládanky tyto objemy sečteme zjistíme hustotu dřeva vypočítáme hmotnost podle vzorce: ρ m = V hmotnost objem hustota Kostičky mají následující rozměry: Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. Boty jsou krychle s délkou hrany,5 cm. Obě ruce dohromady jsou stejně velké jako jedna noha. Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou,5 cm. Čepička je trojboký hranol, jehož výška je,5 cm a podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3, cm. 1

38 Objem hranolu - noha Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. Objem válce - tělo Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. V 1 = a b c V1 =,5,5 5 cm 3 V = π r v V 3 = π 1,5 5 cm a =,5 cm b =,5 cm c = 5 cm V1 = 31,5 cm 3 d =,5 cm r = d = 1,5 cm v = 5 cm V = 7,815π cm 3 3 V 3 = a a =,5 cm Objem krychle - bota Boty jsou krychle s délkou hrany,5 cm. V =,5 cm V3 = 15,65 cm 3 V = 4 π r Objem válce - hlava Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou,5 cm. v d = 4,5 cm r = d =,5 cm v =,5 cm V 3 4 = π,5,5 cm V4 = 1,6565π cm 3

39 V = S 5 p v a = 3, cm v =,5 cm Objem hranolu - čepice Čepička je trojboký hranol, jehož podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3, cm. Jeho výška je,5 cm. 1 S p = a 1 = 3, S p S p = 5,1 cm cm V5 = 5,1,5 cm V5 = 1,8 cm 3 3 Objem celého panáčka sečteme jednotlivé objemy x nohu, 1x tělo, x botu, 1x hlavu, 1x čepici, 1x nohu (dvě ruce) V = V V + V + V + V 1 + V + V = 0,1cm Vypočítáme, kolik gramů váží panáček z kostiček. ρ m = V na si zjistíme hustotu dosušeného dubového dřeva: V = 0,1cm ρ = 660 kg m 3-3 objem převedeme na m 3 Pro kontrolu zvážíme V 3 = 0,00001m dosadíme a spočítáme: m = 0,1334 kg výsledek převedeme na gramy: m = 133,4 g 3

40 Jak je možné, že to nevyšlo? Nezapočítali jsme hmotnost barvy! Co s tím? Jak to provést? Vypočítáme ještě povrch všech kostiček a zjistíme si spotřebu barvy. Povrch hranolu - noha Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. S1 = ( a b + b c + a c) a =,5 cm b =,5 cm c = 5 cm S1 = 6,5 cm Povrch válce - tělo Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. Povrch krychle - bota Boty jsou krychle s délkou hrany,5 cm. S = π r + π r v d =,5 cm r = d = 1,5 cm v = 5 cm S = 49,065 cm S3 = 6 a a =,5 cm S3 = 37,5 cm 4

41 S Povrch válce - hlava Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou,5 cm. Nesmíme zapomenout připočítat obsah dvou obdélníků na průřezu válce. = π r + r v + d v 4 π d = 4,5 cm r = d =,5 cm v =,5 cm S 4 = 89,6175 cm Povrch hranolu - čepice Čepička je trojboký hranol, jehož podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3, cm. Jeho výška je,5 cm. Povrch je tvořen dvěma stejnými obdélníky, jedním odlišným obdélníkem a dvěma stejnými rovnoramennými pravoúhlými trojúhelníky, které dohromady vytvoří čtverec. a = 3, cm v =,5 cm S v + a 5 = a v + a S5 = 37,554 cm Povrch kvádru - ruka Obě ruce dohromady jsou stejně velké jako jedna noha. Nohy jsou tvořeny kvádrem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=,5 cm. A jeho výška je 5 cm. S6 = ( a b + b c + a c) a =,5 cm b = 1,5 cm c = 5 cm S6 = 43,75 cm Povrch všech kostiček sečteme jednotlivé povrchy x nohu, 1x tělo, x botu, 1x hlavu, 1x čepici, x ruku S = S S 1 + S + S3 + S 4 + S5 + S = 463,734 cm 6 5

42 Vypočítáme, kolik gramů váží použitá barva. Po poradě s malířem bylo zjištěno, že průměrná spotřeba netoxické barvy na dřevo je S = 463,734 cm S = 0,046 m m = 0, g m - povrch převedeme na m a spočítáme hmotnost použité barvy: Vypočítáme, kolik gramů váží nabarvený panáček. m = 133,4 + 6,9 m = 140,3 g Rozdíl ve výpočtu a vážení je způsoben zaokrouhlováním při počítání a přibližným odhadem spotřeby barvy. m = 6,9 g 6

43 7

44 Ahoj! Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN Dřevo [online]. [cit ]. Dostupný na WWW: Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 8

45 VY_4_INOVACE_MA_1_09 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 013 VY_4_INOVACE_MA_1_09 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Kružnice VY_4_INOVACE_MA_1_09 1

46 Kružnice Kružnice množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost STŘED KRUŽNICE POLOMĚR KRUŽNICE Jak se kreslí kružnice - video Kružnice množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost libovolný bod kružnice střed kružnice poloměr kružnice XS = r X [ x; y] [ m n] r S ; ( x m) + ( y n) = r ( x m) + ( y n) = r středová rovnice kružnice x + y = r středová rovnice kružnice S[0;0]

47 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

48 VY_4_INOVACE_MA_1_10 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 013 VY_4_INOVACE_MA_1_10 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Elipsa VY_4_INOVACE_MA_1_10 1

49 kužel protneme rovinou, která: není kolmá k jeho ose není s jeho osou rovnoběžná není rovnoběžná s jeho stranou Elipsa Elipsa množina bodů, které mají od dvou daných bodů konstantní součet vzdáleností OHNISKA ELIPSY Elipsa množina bodů, které mají od dvou daných bodů konstantní součet vzdáleností ( x m) ( y n) a + b osová rovnice elipsy = 1 x a AS x + b y = 1 osová rovnice elipsy S[0;0] libovolný bod elipsy hlavní poloosa vedlejší poloosa excentricita střed elipsy hlavní vrcholy vedlejší vrcholy ohniska elipsy a = AS = [ x y] [ m n] X ; S ; b = CS = e = ES = e = a A, B C, D E, F BS DS FS b Elipsa ( x m) ( y n) x b b + a y + a = 1 osová rovnice elipsy = 1 osová rovnice elipsy S[0;0] AS y

50 Elipsy ve vesmíru všechny planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách Sluneční soustava obíhá kolem středu Mléčné dráhy po eliptické trajektorii umělé družice kolem Země obíhají také po elipse úsečky, které spojují libovolný bod elipsy s ohnisky, svírají s tečnou v tomto bodě stejný úhel přímka procházející ohniskem po odražení se od elipsoidu prochází druhým ohniskem dva lidé stojící v bodech, které jsou v ohniscích elipsoidu, se mohou dorozumívat šeptem Šeptací sály Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.13) Šeptání v Mohyle míru Prameny a literatura šeptání v Mohyle míru jste mohli vidět v seriálu Četnické humoresky v díle Medovina, kde Toníček prosí Andělu o ruku RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.13) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

51 VY_4_INOVACE_MA_1_11 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_11 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

52 VY_4_INOVACE_MA_1_11 Kuželosečky - kružnice Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Napište středovou i obecnou rovnici dané kuželosečky. a) b) c) d). Zakreslete do soustavy souřadnic: a) + ( y + 5) 9 x b) ( x 3) + y < 5

53 VY_4_INOVACE_MA_1_11 Kuželosečky - kružnice Pracovní list řešení 1.a) střed má souřadnice [ 0;0] S, poloměr je r = 5 Středová rovnice kružnice je x + y = 5 Obecná rovnice kružnice má tvar x + y 5 = 0 1.b) střed má souřadnice [ 6;0] S, poloměr je r = 4 Středová rovnice kružnice je ( x + 6) + y = 16 Obecnou rovnici vypočítáme jako x + 1x y 16 = 0 1.c) střed má souřadnice [ 4;5] x + y + 1x + 0 = 0 S, poloměr je r = 3 Středová rovnice kružnice je ( x + 4) + ( y 5) = 9 Obecnou rovnici vypočítáme jako x + 8x y 10y = 0 1.d) střed má souřadnice [ 3;] x + y + 8x 10y + 3 = 0 S, poloměr je r = 4 Středová rovnice kružnice je ( x 3) + ( y ) = 16 Obecnou rovnici vypočítáme jako x 6x y 4y = 0 x + y 6x 4y 3 = 0.a).b) 3

54 VY_4_INOVACE_MA_1_11 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 4

55 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

56 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Kuželosečky elipsa Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Napište osovou i obecnou rovnici dané kuželosečky. a) b) c) d)

57 VY_4_INOVACE_MA_1_1. Zakreslete do soustavy souřadnic danou kuželosečku, určete velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, souřadnice středu, hlavních a vedlejších vrcholů a ohnisek. Všechny tyto body znázorněte v obrázku. a) 16x + 9y = 144 b) 4( x + 3) + 5( y ) = 100 3

58 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Kuželosečky - elipsa Pracovní list řešení 1.a) střed má souřadnice [ 0;0] je rovnoběžná s osou y S, hlavní poloosa a = 8, vedlejší poloosa b = 3, hlavní poloosa Osová rovnice elipsy je x + y = Obecná rovnice elipsy má tvar 64x + 9y = b) střed má souřadnice [ 0; 1] 64x + 9y 576 = 0 S, hlavní poloosa a = 6, vedlejší poloosa b = 3, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x Osová rovnice elipsy je x 36 ( + 1) + y = 1 9 x + 4 y + y + 1 Obecná rovnice elipsy má tvar ( ) = 36 1.c) střed má souřadnice [ 3;4] je rovnoběžná s osou y Osová rovnice elipsy je ( x 3) x + 4y + 8y 3 = 0 S, hlavní poloosa a = 3, vedlejší poloosa b = 1, hlavní poloosa + ( y 4) = 1 9 6x Obecná rovnice elipsy má tvar 9( x ) ( y 8y + 16) = 9 1.d) střed má souřadnice [ 6; 4] 9x + y 54x 8y + 88 = 0 S, hlavní poloosa a = 3, vedlejší poloosa b =, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x x + 6 y x + 1x y + 8y + 16 Osová rovnice elipsy je ( ) + ( ) = 1 Obecná rovnice elipsy má tvar ( ) ( ) = 36 4x + 9y x + 7y + 5 = 0 4

59 VY_4_INOVACE_MA_1_1.a) 16x + 9y = 144 x 9 + y = 1 16 [ 0;0] S, hlavní poloosa a = 4, vedlejší poloosa b = 3, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y e = e = e = a b A [ 0;4] B C [ 0; 4] [ 0; 3] D [ 0;3] E [ 0; 7] F [ 0; 7] 5

60 VY_4_INOVACE_MA_1_1.b) 4( x + 3) + 5( y ) = 100 ( x + 3) ( y ) 5 [ 3;] + 4 = 1 S, hlavní poloosa a = 5, vedlejší poloosa b =, hl. poloosa je rovnoběžná s osou x e = e = e = a b A [ 8;] B [ ;] C [ 3;4] D [ 3;0] E [ 3 1;] F [ 3 + 1;] 6

61 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7

62 VY_4_INOVACE_MA_1_13 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 VY_4_INOVACE_MA_1_13 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Hyperbola VY_4_INOVACE_MA_1_13 1

63 Hyperbola Hyperbola množina bodů, pro které je XE - XF konstantní ( x m) ( y n) a b = 1 osová rovnice hyperboly EF x x a b y = 1 libovolný bod hyperboly hlavní poloosa vedlejší poloosa osová rovnice hyperboly S[0;0] XE XF = a excentricita [ x y] [ ] X ; S m; n A, B E, F a = AS = BS střed hyperboly hlavní vrcholy ohniska hyperboly b = CS = e = ES = e = a + DS FS b Hyperbola ( y n) ( x m) b y b a x a = 1 osová rovnice hyperboly = 1 Asymptoty y n = k ( x m) b k = ± a osová rovnice hyperboly S[0;0] EF y

64 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

65 VY_4_INOVACE_MA_1_14 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 VY_4_INOVACE_MA_1_14 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Kuželosečky AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 013 Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly. Parabola VY_4_INOVACE_MA_1_14 1

66 Parabola Parabola množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky jako od daného bodu libovolný bod paraboly vrchol paraboly [ x y] X ; řídící přímka ohnisko paraboly parametr d p [ m n] V ; F ( y n) = p ( x m) o x y = p x VF = p vrcholová rovnice paraboly vrcholová rovnice paraboly V[0;0] Parabola ( y n) = p ( x m) vrcholová rovnice paraboly Parabola ( x m) = p ( y n) vrcholová rovnice paraboly y = p x vrcholová rovnice paraboly V[0;0] x = p y vrcholová rovnice paraboly V[0;0] o x o y

67 Parabola o y ( x m) = p ( y n) vrcholová rovnice paraboly x = p y vrcholová rovnice paraboly V[0;0] Využití vlastností paraboly úsečka, která spojuje libovolný bod paraboly s ohniskem, svírá s tečnou v tomto bodě stejný úhel jako přímka, která je rovnoběžná s osou paraboly a prochází týmž bodem paprsky vstupující do paraboly rovnoběžně s její osou se odrážejí do ohniska a naopak využití: satelitní antény, radioteleskopy, sluneční pece, reflektory Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.13) Sluneční pece Sluneční pece v Himalájích soustřeďuje sluneční paprsky v ohnisku zrcadla dosahuje teploty až 3800 o C -a takto ve vesnici Kagbeni (.776 m n.m.) -takto si ohřívají vodu nedaleko Muktinathu (3.800 m n.m.) -v pozadí Dhaulaghiri m n.m. - použity soukromé fotografie 3

68 Kuželosečky ve vesmíru komety se pohybují po drahách tvaru elipsy, paraboly nebo hyperboly nejčastěji po eliptických drahách po nějaké době se vracejí zpět Hallyova kometa po 76 letech komety s drahami tvaru hyperboly a paraboly nepocházejí ze Sluneční soustavy navštíví nás pouze jednou Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.13) Sluneční pec [online]. [cit ]. Dostupný na WWW: Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.13) 4

69 VY_4_INOVACE_MA_1_15 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_15 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

70 VY_4_INOVACE_MA_1_15 Kuželosečky hyperbola Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Určete velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, souřadnice středu, ohnisek, hlavních a vedlejších vrcholů, rovnice asymptot. Vše znázorněte v obrázku. a) 36x 4y = 144 b) 4( y + 3) 5( x ) = 100

71 VY_4_INOVACE_MA_1_15 Kuželosečky - hyperbola Pracovní list řešení 1.a) 36x 4y = 144 x y = [ 0;0] S, hlavní poloosa a =, vedlejší poloosa b = 6, hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x e = a + e = e = e = b A [ ;0] B [ ;0] C [ 0;6] D [ 0; 6] E [ 10;0] F [ 10;0] b k = ± a 6 k = ± k = ±3 Asymptoty mají rovnice: y = ± 3x 3

72 VY_4_INOVACE_MA_1_15 1.b) 4( y + 3) 5( x ) = 100 ( y + 3) ( x ) 5 [ ; 3] 4 = 1 S, hlavní poloosa a = 5, vedlejší poloosa b =, hl. poloosa je rovnoběžná s osou y e = a + e = e = A [ ;] B C D E F b [ ; 8] [ 0; 3] [ 4; 3] [ ; 3 + 9] [ ; 3 9] a k = ± b 5 k = ± 5 y, Asymptoty mají rovnice: + 3 = ± ( x ) 5 5 tedy y = x 8 a y = x + 4

73 VY_4_INOVACE_MA_1_15 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 5

74 VY_4_INOVACE_MA_1_16 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_16 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

75 VY_4_INOVACE_MA_1_16 Kuželosečky parabola Pracovní list zadání, záznamový arch 1. Rozhodněte, o kterou kuželosečku se jedná: x + 10x + 18y 11 = 0 a) b) c) d)

76 VY_4_INOVACE_MA_1_16. Zakreslete do soustavy souřadnic danou kuželosečku a její řídící přímku, určete souřadnice vrcholu a ohniska. a) ( y + 6) = 8( x 3) b) ( x 6) = 8( y + 3) 3

77 VY_4_INOVACE_MA_1_16 Kuželosečky - parabola Pracovní list řešení 1. x + 10x + 18y 11 = 0 ( x + 5) y 11 = 0 ( x + 5) = 18y + 36 ( x + 5) = 18( y ) V [ 5;] p = 18 p = 9 p 9 = 5 F 5; Řídící přímka má rovnici: 13 d : y = 4

78 VY_4_INOVACE_MA_1_16.a) ( y + 6) = 8( x 3) [ 3; 6] V, osa paraboly je rovnoběžná s osou x p = 8 p = 4 p = F [ 1; 6] Řídící přímka d : x = 5 5

79 VY_4_INOVACE_MA_1_16.b) ( x 6) = 8( y + 3) [ 6; 3] V, osa paraboly je rovnoběžná s osou y p = 8 p = 4 p = F [ 6; 1] Řídící přímka d : y = 5 6

80 VY_4_INOVACE_MA_1_16 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 7

81 VY_4_INOVACE_MA_1_17 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910 VY_4_INOVACE_MA_1_17 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

82 VY_4_INOVACE_MA_1_17 Planimetrie základní pojmy Pracovní list zadání, záznamový arch V tajence se skrývá jedna ze zásad Doc. RNDr. Emila Caldy, CSc. pro řešení matematických úloh, kterou uvádí ve své příručce Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F 1. Do okének vepisujte písmena slov podle legendy pod tabulkou. Písmeno ch pište vždy do jednoho okénka CALDA, Emil. Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F, 1. vyd. Praha: Prometheus, 003, s.. ISBN

83 VY_4_INOVACE_MA_1_ Dvěma různými body prochází právě jedna.. Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné. 3. Označení AB znamená. 4. Označení CD AB znamená, že usečka AB je s úsečkou CD. 5. Pokud mají dvě úsečky stejnou délku jsou. 6. Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné. 7. Polopřímky VA a VB se nazývají. 8. Bod V se nazývá. 3

84 VY_4_INOVACE_MA_1_17 9. Úhel AVB, který vznikne průnikem polorovin VAB a VBA, se nazývá. 10. Úhel AVB, který vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám VAB a VBA, se nazývá. 11. Jsou-li polopřímky VA a VB navzájem opačné, nazývá se úhel AVB. 1. Jsou-li polopřímky VA a VB totožné, nazývá se úhel AVB 13. nebo. 14. Daný pětiúhelník ABCDE je. 15. Daný pětiúhelník ABCDE je. 16. Polopřímka, která má počátek ve vrcholu úhlu a dělí úhel na dva shodné úhly se nazývá. 17. Úhly α a β se nazývají a platí pro ně α + β = Úhly α a β se nazývají a platí pro ně α = β. 4

85 VY_4_INOVACE_MA_1_ Úhel, který je shodný se svým vedlejším úhlem se nazývá. 0. Konvexní úhel, který je menší než pravý, se nazývá. 1. Konvexní úhel, který je větší než pravý, se nazývá.. Ostré a tupé úhly dohromady nazýváme. 3. Dvě přímky, které nemají žádný společný bod se nazývají různé. 4. Dvě přímky, které mají právě jeden společný bod se nazývají. 5. Dvě přímky, které mají celou přímku společných bodů se nazývají rovnoběžky. 6. Část roviny, která je ohraničena dvěma různými rovnoběžkami se nazývá. 7. Úhly α a β se nazývají a v případě, že přímky p a q jsou rovnoběžné, platí pro ně α = β. 8. Úhly α a β se nazývají a v případě, že přímky p a q jsou rovnoběžné, platí pro ně α = β. 9. Přímka, která prochází středem úsečky a je k této úsečce kolmá se nazývá. 30. a 31. Součet dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí. Tato poučka se nazývá. 3. a 33. Úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku se nazývá, je rovnoběžná se stranou třetí a její velikost je poloviční než velikost této strany. 34. Úsečka, která vede z vrcholu trojúhelníku kolmo na protější stranu se nazývá. 35. Průsečík výšek v trojúhelníku se nazývá. 36. Úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany se nazývá. 37. Těžnice se protínají v. 38. Střed kružnice opsané trojúhelníku je v průsečíku. 39. Střed kružnice vepsané trojúhelníku je v průsečíku. 40. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je stupňů. 41. Trojúhelník, ve kterém platí Pythagorova věta se nazývá. 4. Trojúhelník, ve kterém jsou všechny úhly menší než 90 je. 43. Trojúhelník, ve kterém je jeden úhel větší než 90 je. 44. Trojúhelník, ve kterém jsou všechny těžnice zároveň výškami, se nazývá. 45. Trojúhelník, ve kterém jsou právě dva úhly shodné je. 46. Čtyřúhelník, ve kterém nejsou žádné dvě strany rovnoběžné, nazýváme. 47. Čtyřúhelník, ve kterém jsou právě dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě, které nejsou rovnoběžné, jsou stejně dlouhé, nazýváme. 48. Jak nazýváme čtyřúhelník, ve kterém jsou právě dvě protější strany rovnoběžné a jedna ze dvou zbývajících je k nim kolmá? 49. Množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost se nazývá. 50. Úsečka, která spojuje dva body ležící na kružnici se nazývá. 51. Tětiva je úsečka, která dělí kružnici na dva. 5. Prochází-li tětiva středem kružnice, nazývá se. 53. Průměr dělí kružnici na dvě. 5

86 VY_4_INOVACE_MA_1_ Tětiva dělí kruh na dvě. 55. Tětiva procházející středem dělí kruh na dva. 56. Dva poloměry dělí kruh na dvě. 57. Na obrázku je. 58. Kružnice na obrázku jsou. 59. Přímka, která má s kružnicí dva společné body se nazývá. 60. Přímka, která má s kružnicí jeden společný bod se nazývá. 61. Přímka, která nemá s kružnicí společný bod se nazývá. 6. Úhel ASB je úhel příslušný k oblouku kružnice. 63. Úhel AVB je úhel příslušný k oblouku kružnice. 6

87 VY_4_INOVACE_MA_1_17 Planimetrie základní pojmy Pracovní list řešení 3 d é l k a ú s e č k y 1 t u p ý 1 p ř í m k a 9 k o n v e x n í k o s é 6 p o l o r o v i n y 8 s t ř í d a v é 5 s h o d n é 9 o s a ú s e č k y p o l o p ř í m k a 13 p l n ý 10 n e k o n v e x n í 8 v r ch o l ú h l u 4 r ů z n o b ě ž k y 17 v e d l e j š í 30 t r o j ú h e l n í k o v á 6 s t ř e d o v á 36 t ě ž n i c e 4 s h o d n á 3 r o v n o b ě ž k y 7 r a m e n a ú h l u 61 v n ě j š í p ř í m k a 0 o s t r ý 59 s e č n a 48 p r a v o ú h l ý l i ch o b ě ž n í k 41 p r a v o ú h l ý 14 k o n v e x n í 58 s o u s t ř e d n é 38 o s s t r a n 11 p ř í m ý 35 o r t o c e n t r u m 50 t ě t i v a 51 o b l o u k y 34 v ý š k a 16 o s a ú h l u 33 p ř í č k a 44 r o v n o s t r a n n ý 63 o b v o d o v ý 19 p r a v ý 5 p r ů m ě r 7

88 VY_4_INOVACE_MA_1_17 4 o s t r o ú h l ý 39 o s ú h l ů 5 t o t o ž n é 56 v ý s e č e 45 r o v n o r a m e n n ý 57 m e z i k r u ž í 46 r ů z n o b ě ž n í k 15 n e k o n v e x n í 40 s t o o s m d e s á t 18 v r ch o l o v é 3 s t ř e d n í 6 r o v i n n ý p á s 55 p ů l k r u h y 47 r o v n o r a m e n n ý l i ch o b ě ž n í k 49 k r u ž n i c e 43 t u p o ú h l ý 54 ú s e č e 53 p ů l k r u ž n i c e 37 t ě ž i š t i 60 t e č n a 31 n e r o v n o s t 7 s o u h l a s n é 1 n u l o v ý S příkladem nevyjednávejte; vlídným a laskavým slovem nedosáhnete ničeho. 8

89 VY_4_INOVACE_MA_1_17 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Doc. RNDr. CALDA, CSc., Emil. Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F, 1. vyd. Praha: Prometheus, 003, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 9

90 VY_4_INOVACE_MA_1_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ VY_4_INOVACE_MA_1_18 Shodnost trojúhelníků AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 ABC KLM trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem KLM trojúhelník ABC můžeme přemístit na trojúhelník KLM bod A přejde do bodu K bod B přejde do bodu L bod C přejde do bodu M strana AB přísluší straně KL úhel CAB přísluší úhlu MKL C M Věty o shodnosti trojúhelníků VY_4_INOVACE_MA_1_18 A K každé dvě k sobě příslušné strany a každé dva k sobě příslušné úhly jsou shodné B L 1

91 Věta sss: Věta usu: dva trojúhelníky, které se shodují v délkách všech tří stran, jsou shodné dva trojúhelníky, které se shodují v délce jedné strany a ve velikostech úhlů k této straně přilehlých, jsou shodné C C C C A A B B B B A A Věta sus: Věta Sus: dva trojúhelníky, které se shodují v délce dvou stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeném, jsou shodné dva trojúhelníky, které se shodují v délce dvou stran a ve velikosti úhlu naproti větší z nich, jsou shodné C C C C A A B B B B A A

92 Příklad: Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky p a q. Na přímce q leží body A, B. Na přímce p leží bod C. Bod S je střed úsečky AC. Průnikem přímek p a BS je bod D. Dokažte, že bod S je také středem úsečky BD. Dokážeme, že trojúhelníky ABS a CDS jsou shodné. Délka strany AS je shodná s délkou strany CS. Velikost úhlu BAS je shodná s velikostí úhlu DCS. Jedná se o střídavé úhly. Velikost úhlu ASB je shodná s velikostí úhlu CSD. Jedná se o vrcholové úhly. Podle věty usu je trojúhelník ABS shodný s trojúhelníkem CDS. Délky strany BS je tedy shodná s délkou strany DS. Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. Bod S je střed úsečky BD. 3

93 VY_4_INOVACE_MA_1_19 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ VY_4_INOVACE_MA_1_19 Podobnost trojúhelníků AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 ABC KLM trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku KLM trojúhelník KLM je zmenšením trojúhelníku ABC KL = k AB LM = k BC MK = k CA C M Věty o podobnosti trojúhelníků VY_4_INOVACE_MA_1_19 kladné číslo k se nazývá koeficient podobnosti je-li k > 1 jedná se o zvětšení je-li k < 1 jedná se o zmenšení je-li k = 1 jedná se o shodnost A B K L 1

94 Věta sss: Věta uu: dva trojúhelníky, jejichž délky příslušných stran jsou ve stejném poměru, jsou podobné dva trojúhelníky, které se shodují ve velikostech dvou úhlů, jsou podobné C C A A C C B B B B A A Věta sus: dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeném, jsou podobné C Příklad: Rozdělte danou úsečku AB bodem X v poměru 7 : 3. první způsob: Využíváme podobnost trojúhelníků AXM a BXN podle věty uu. Úhel AXM a BXN jsou vrcholové úhly. Úhel XAM a XBN jsou střídavé úhly. A C B B A

95 Příklad: Rozdělte danou úsečku AB bodem X v poměru 7 : 3. druhý způsob: Využíváme podobnost trojúhelníků AXM a MPN podle věty uu. Úhly XAM a PMN jsou souhlasné úhly. Úhly AMX a MNP jsou souhlasné úhly. Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

96 VY_4_INOVACE_MA_1_0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Pythagorova věta VY_4_INOVACE_MA_1_0 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 c = a + Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahu čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami. b Důkaz Pythagorovy věty ( a b) S = + a b S = 4 + c 1

97 ( a b) S = + a b S = 4 + c a b ( a + b) = 4 + c a + ab + b = ab + c Ještě jednou, trochu jinak c = a + b a + b = c Příklad Příklad Sestrojte úsečku dlouhou 5 cm. a + b = c a + b = c Sestrojte úsečku dlouhou 3 cm. c a = b c a = b + 1 = 5 1 = 3

98 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 3

99 VY_4_INOVACE_MA_1_1 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 013 VY_4_INOVACE_MA_1_1 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Eukleidovy věty AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Duben 013 podle věty uu platí: APC CPB příslušné strany jsou ve stejném poměru c b = v v c b = v v c a Eukleidova věta o výšce Druhá mocnina výšky k přeponě pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu délek obou úseků přepony. v = c a c b v = c a c b 1

100 podle věty uu platí: CBP ABC Eukleidova věta o odvěsně příslušné strany jsou ve stejném poměru a ca c = a ca = c a Druhá mocnina odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku se rovná součinu přepony a úseku přepony přilehlého k této odvěsně. a b = c = c c a c b a = c c a Příklady c b = v v a ca c =

101 Sestrojte úsečku dlouhou 13 cm. ca cb = v ca cb = v 13 1 = 13 Příklad 1 S 1 x S = = a b Příklad Je dán obdélník s délkami stran a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu. Délku strany hledaného čtverce označíme jako x. x = a b Eukleidova věta o výšce Eukleidova věta o odvěsně x výška = a b odvěsna má délku a+b Eukleidova věta o výšce 1. AB ; AB = a + b. P ; P AB, AP = a, BP = b ( S; r) ; S AB, AS = SB ; r AB 3. k = 4. p; Thaletova kružnice p AB, P p 5. C ; C p k 6. x ; x = CP x = a b odvěsna přepona úsek přepony přilehlý k x a > b Eukleidova věta o odvěsně 1. AB ; AB = a. P ; P AB, BP = b ( S; r) ; S AB, AS = SB ; r AB 3. k = 4. p; Thaletova kružnice p AB, P p 5. C ; C p k 6. x ; x = CP 3

102 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 00, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora. 4

103 VY_4_INOVACE_MA_1_ Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Květen 013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz.1.07/1.5.00/ Z.1.07/1.5.00/ Tečna ke kružnici VY_4_INOVACE_MA_1_ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Květen 013 Tečna ke kružnici Tečna ke kružnici v bodě Narýsujte tečnu ke kružnici k se středem S a poloměrem r v bodě T, který leží na dané kružnici. 1. V BODĚ T k 1. Rozbor. BODEM P k tečna je kolmá na poloměr 1

104 1. k. ST 3. Popis konstrukce ( S; r), T; T k 3. t; T t, t ST. Konstrukce 1. Rozbor Tečna ke kružnici bodem Narýsujte tečnu ke kružnici k se středem S a poloměrem r bodem P, který neleží na dané kružnici. -tečna je kolmá na poloměr -narýsujeme Thaletovu kružnici s průměrem SP Úloha má jedno řešení. -bod dotyku T bude ležet na průniku obou kružnic. Konstrukce 3. Popis konstrukce ( S; r), P; P k, SP r 1. k >. SP 3. O ; O SP, SO = OP ( O; r OP ) 4. l = PS > r Dvě řešení PS = r Jedno řešení 5. T1, T; T1, T 1, t; t1 = PT1, Počet řešení závisí na vzdálenosti bodu P od středu kružnice. k l 6. t t = PT Jak? PS < r Nemá řešení

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Gymnázium, Brno, Elgartova 3

Gymnázium, Brno, Elgartova 3 Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol STEREOMETRIE

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114 STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy. strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13* STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

GEODETICKÉ VÝPOČTY I. SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Úvod. Cílová skupina: 2 Planimetrie

Úvod. Cílová skupina: 2 Planimetrie PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matemati ky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování

Více

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (III/2)

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (III/2) Projekt: Příjemce: Digitální učební materiál ve škole, registrační číslo projektu CZ..07/.5.00/3.057 Střední zdravotnická škola a Všší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 37 60 České Budějovice Název

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Shodná zobrazení v rovině osová a středová souměrnost Mgr. Martin Mach

Shodná zobrazení v rovině osová a středová souměrnost Mgr. Martin Mach Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117 STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_3_INOVACE_M3r0117 ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH

STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH RNDr. Milada Rezková RNDr. Vlasta Sudzinová Mgr. Eva Valentová 2016 Předmluva Tento učební text je určen studentům 4. ročníku čtyřletých gymnázií,

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU

JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více