Řízení cílevědomé působení na řízený objekt s cílem dosáhnout předem daného stavu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řízení cílevědomé působení na řízený objekt s cílem dosáhnout předem daného stavu"

Transkript

1 . Defiice ovlááí, říeí regulce říeí e se ětou vou. Záklí veličiy řeosy. Prktické říkly: ymo s ciím ueím, servomechismus, regulce teloty. Ietifikce roximce regulových soustv. Říeí cílevěomé ůsoeí říeý ojekt s cílem osáhout řeem ého stvu Ovlááí říeí e ěté vy, kčí veliči je le žáé hooty, užíváme kyž chceme měit řeos soustvy, jeouché likce křižovtk, jeouché toeí - utá velmi orá lost soustvy, k může y sleovt w. áklí úloh - ele komeovt oruchu. ákl. úloh Regulce říeí se ětou vou, kčí veliči le reg. ochylky, reguje i oruchy ty mohou stt kekoliv - ústřeí čle vlstí lgoritmus říeí - ústř. čle výk. es. kčí org. regulátor Záklí veličiy: - regulová veliči y - výstuí veliči říeého systému - říící veliči, žáá hoot, vstuí veliči w - hoot čsový růěh této roměé určuje jká má ýt hoot čsový růěh regulové veličiy - regulčí ochylk e - roíl mei žáou hootou regulovou veličiou kyž F - vstuí veliči regulátoru esilo to co je o regulátoru kyž řeos ěté vy eí - kčí veliči, regulčí veliči u eo x - vstuí veliči regulové soustvy výstuí veliči regulátoru - oruch v - veliči, která ůsoí uď vstuu, výstuu eo liovolém místě regulové soustvy. V rxi může jeu soustvu ůsoit ěkolik oruch v růých místech. Sigálové oruchy ovykle číme v. Záklí řeosy: - řeos otevřeé smyčky F Fr * Fs * F - řeos říeí Fw FrFs / F jk se řeáší w y, řeokl. ulové oruchy - řeos oruchy Fu Fs / F jk se řeáší u y, řeokl. ulová w oruch je vstuu soustvy - řeos ochylky jk se říící veliči w řeáší regulčí ochylku e Fe / F F Fe F FrFs / F F <> - řeos kčí veličiy F Fr / F jk se říící veliči w řeáší kčí veličiu x Prktické říkly: regulce teloty ejčstějí kost. hootu, úkolem říeí je oue komece oruch, které ůsoí říeý systém. Říme sem i tkové systémy, u kterých se žáá hoot sice čs o čsu měí le mei tím je kosttí telot v oytých rostorech e-oc. Stčí e regulátor s jeím stuěm volosti, rotože řeším ožvek je áklí úlohu.

2 servomechismus sleováí olohy, žáá hoot se měí řeem eámým ůsoem hlvím úkolem říeí je jistit její co ejřesější sleováí regulovou veličiou. Úloh komece oruch je e ovykle ruhořá rimárí je jištěí co ejrychlejší ejvěrější shoy říící říeé veličiy. Užívá se rovětveého reg. ovou: ymo s ciím ueím -???? Ietifikce regulových soustv - kokrétím již reliovém systému, cílem je stoveí oovíjícího mtemtického moelu. Měřeá soustv eí ovykle iolová o ůsoeí oruch, které kreslují výsleek měřeí. - Měřeí řechoové chrkteristiky - vhoé ro soustvy s řeokláými čsovými kosttmi v romeí jeotek ž tisíců seku - Měřeí s oužitím hrmoického sigálu - ro rychlejší soustvy, eoť o kžé měě frekvece je tře očkt, ž oí řechoý ěj vyvolý touto měou. Totéž ltí v říě, ky ejsou ručey ulové očátečí omíky. Nevýhoou je utost řeem ohout frekvečí rosh, ve kterém se ymické vlstosti soustvy rojeví. roximce regulových soustv - hrit řesé hooty jejich řiližým ohem. Proces roximce le oecě ultit kterýkoliv ois vlstostí soustvy: - ifereciálí/iferečí rovici, řesě oisující ymiku soustvy le hrit rovicí ižšího řáu, eo jiého tvru, kterou le sáe řešit - frekvečí chrkteristiku le ve voleém frekvečím ásmu hrit chrkteristikou jeouššího systému - čsovou oevu řechoovou eo imulsí chrkteristiku hríme oevou ěkterého e voleých roximčích systémů soustv - skutečé roložeí ul ólů hríme roložeím, ve kterém uou oue omití óly uly. V rxi se ejčstěji roximuje měřeá řechoová k chrkteristik chrkteristikou voleé roximčí F ex 3 T T soustvy. Je-li o řetlumeé soustvy e kmitvých čleů oužívá se soustv rvího F eo ruhého řáu e F eo se ožěím F3, eo soustv -tého řáu se stejými čsovkmi F4. K rohoutí o tyu vhoé roximce je otřeé át olohu iflexího ou i velikost rmetrů ývých o růthu T u o áěhu T. Pro řeos F ltí TT T u. Přeos F F 3 je vhoý ro výšku iflexího ou meší ež,64. Pro větší hooty je vhoé oužít roximci řeosem tyu F 4.

3 . Strí řeosy ve ětoveím říeí. Ustáleé hooty roměých. Strí struktury regulčích ovoů, chrkteristický olyom. Vliv iskretice loková schémt. Strí řeosy: těchto strích tvrů můžeme určit vlstosti řeosů - řeos otevřeé smyčky F Fr * Fs * F chrkteristik číá v ule, oku oshuje reg. eo soustv itegrátor, ocháí o ekoeč, jik je ustáleé hootě - řeos říeí Fw FrFs / F jk se řeáší w y, řeokl. ulové oruchy oku eí v reg. eo soust. itegrátor je ustál. řeos meší ež, y yl, muselo y ýt ekoečé esíleí - řeos oruchy Fu Fs / F jk se řeáší u y, řeokl. ulová w oruch je vstuu soustvy úlé vyregulováí oruchy je v říě itegrátoru v regulátoru - řeos ochylky jk se říící veliči w řeáší regulčí ochylku e Fe / F F Fe F FrFs / F F <> souvisí s řeosem říeí, oku Fw, k Fe. oku oshuje reg. eo soustv itegrátor, k je řeos ochylky. - řeos kčí veličiy F Fr / F jk se říící veliči w řeáší kčí veličiu x ustáleé hoot říeí oue kyž je itegrátor v soustvě Ustáleé hooty roměých Pro sojité veličiy ltí vět o koečé hootě fukce: Pro iskrétí ltí x lim x T lim X x lim x t lim X t

4 Strí struktury regulčích ovoů Regulčí ovo s jeím stuěm volosti F R řeos regulátoru hruje i řeosy výkoových kčích čleů F S řeos soustvy F Z řeos ve ěté vě řeos měřicího čil. V ěkterých říech je řeos rove jeé Regulčí ovoy se věm stui volosti Teto ty regulátoru jišťuje ároveň srávé sleováí žáé hooty součsě otlčeí oruchy. Náročé uělt logově, le číslicově je to ěžé. Chrkteristický olyom Jmeovtelový olyom e všech strích řeosů: F, většiou ho číme Δ Chrkteristická rovice systému: Δ Stilit: kořey chrkteristické rovice v levé oloroviě komlexí roviy. Vycháí í kriteri stility, ř. Hurwitovo Routh-Schurovo. Vliv iskretice - regulátor eví co se ěje s růěhem mei okmžiky vorkováí, roto filtrujeme vyšší frekvece filtrem - váí o soustvy čsové ožěí.5*tv - růěhy, které eslňují Shoův teorém fv > * fmx, ejsou rekostruovtelé - čím větší fv tím více se lížíme reálému růěhu, le jsme limitováí výočetím výkoem y yl iskretiový PID stejý jko sojitý, musí: - slě Sho teorém - fitrce vyšších frekvecí - mlá Tv - filtrce erivčí složky

5 3. Stilit ovoů se ětou vou. Stilit iskrétích iskretiových systémů. Nyquistovo kriterium stility, lgerická kriteri. Stilit ovoů se ětou vou Stilí systém: o skočeí uícího vstuího sigálu se vrcí o ůvoího stvu oev omeeý uící sigál je rověž omeeá > óly řeosové fukce leží v levé oloroviě roviy Póly řeosové fukce kořey olyomu ve jmeovteli svou olohou určují i chrkter řechoého ěje kmitvý, tlumeý, omlý o. Stilit iskrétích iskretiových systémů Stilí systém: o skočeí uícího vstuího sigálu se vrcí o ůvoího stvu oev omeeý uící sigál je rověž omeeá > óly řeosové fukce leží v jeotkové kružici. Nyquistovo kriterium stility ložeo losti růěhu frekvečí chrkteristiky otevřeého ovou esíleí je většuje měřítko chrkteristiky. Výhoy: - t le jistit lyticky, le stčí i exerimetálě - může ýt oužito i ro regulčí ovoy s orvím ožěím, ke ele oužít lgerických kritérií. - stilitu koumáme i hleisk kvlittivího - jk lece je ovo stilí. Nyquistovo kriterium: Uvřeý ětoveí ovo je stilí, jestliže frekvečí chrkteristik otevřeého ovou v komlexí roviě oíhá ři měě frekvece o if o if o, v klém směru tolikrát, kolik ólů řeosu otevřeé smyčky leží v rvě oloroviě. Zjeoušeé Nyquistovo ro žáé estilí óly: Procháí-li frekvečí chrkteristik roojeého ovou kritickým oem, je ovo hrici stility. lgerická kriteri stility - vycháí chrkteristického olyomu - určují stilitu ro rosh rmetrů, e je ro kokrétí hootu - rcý, složitý výočet ro vyšší řáy Hurwitovo kritérium Všechy koeficiety chrkteristické rovice musí ýt klé žáý koeficietů ž esmí ýt rove ule Všechy suetermity říslušé rvkům hlví igoále Hurwitovy mtice sestveé koeficietů chrkteristické rovice musí ýt klé. Hurwitovu mtici sestvíme le oráku, etermity jsou le k rohové výseky trsoové Hurw. mtice!!!

6 Routh- Schurovo kritérium Schém reukce je ásleující: íšeme koeficiety reukové rovice o řáku o ejvyšší mociy k ejižší možo i ok otrheme sué koeficiety v oří kžý ruhý kžý otržeý koeficiet ásoíme oílem vou ejvyšších koeficietů / - výsleek íšeme o ruhého řáku osuutý o jeo místo vlevo ruhý řáek který má čley vžy o jee rvího řáku oečteme o rvého řáku osteme třetí řáek koeficiety třetího řáku jsou koeficiety rovice o jee stueň ižší, ež yl reuková rovice, eoť místě ejvyššího koeficietu jsme ostli ulu reukci rováíme tímto ůsoem ále ž rovici. stuě tři koeficiety. Nulu čátku řy koeficietů euvžujeme. Koeficiety u všech reukových rovic musí ýt klé. To je omík stility.

7 4. PID regulátory řeosy, relice, vlstosti. Návrh PID regulátorů růými metomi otimálí moul, frekvečí ávrh. PSD regulátory ro iskrétí iskretiové systémy. PID regulátory Přeos ieálího PID regulátoru Přeos reálého PID regulátoru Relice logové říeí je omlu vytlčováo číslicovými regulátory. Jsou všk říy ky je uté ožít logový regulátor: Poku ožujeme široké frekvečí ásmo Poku reliujeme říící lgoritmy ve výušém rostřeí Poku výšeí cey viklé oužitím číslicového řešeí eí komeováo otečými fukcemi sé stveí kostt regulátoru, moitorováí růěhů, Vlstosti P-složk: Proorcioálí regulátor esiluje regulčí ochylku tkto esíleou ejmé výkoově kčí veličiou ůsoí regulovou soustvu. P regulátor mešuje ustáleé ochylky, ejišťuje všk jejich ulovost. P regulátor může ři evhoém stveí ůsoit estilitu uvřeého ovou. I-složk: vee ro otlčeí trvlé ustáleé ochylky. Váší o řeosu otevřeé smyčky sttismus ól v očátku, u iskrétích systémů v oě,, tj. fáový osu o -9 > mešeí ásoy stility. Tké rolužuje eriou kmitů. D-složk: vee ro rychleí regulčího ěje lešeí stility. Velká erivčí složk esiluje šumy rokmitává kčí veličiu tím i regulovou veličiu, mlá erivčí složk se může ůsoovt estilitu. reálá D složk je fitrová íky reličí kosttě ve jmeovteli > erokmitává tolik. Návrh PID regulátorů růými metomi Meto otimálího moulu Přechoý ěj ue otimálí, jestliže mlitu frekvečího řeosu říeí ue mít hootu líkou o co ejvyšších frekv. eue mít reočí řekmit. Přeos říeí řeoklááme ve tvru: Te umocíme ruhou, osíme j*omeg orováme s rovicí: Pomíky otimál. moulu očet omíek je á očtem volitelých kost.: F m m w, j F j F w w,,3... i ro i i...,,, j F m m m m w

8 Meto frekvečích chrkteristik Chrkteristik otevřeého ovou musí ýt v ecielech, k ltí: Sestveí: kžé v čitteli ělá sklo ve jmeovteli - číá ltit of frekvece /T, ke T je čsová kostt. Otimálí je kyž: - chrkteristik rotíá osu co ejvyšších frekvecích ovlivňuje rychlost řech. ěje - rotíá osu o skloem -/ek to co ejále oě stry o omeg řeu fáová eečost

9 PSD regulátory ro iskrétí iskretiové systémy Nejrve sestvíme řeosovou fukci Fw le ožvků. Z řeosové fukce říeí oruchy le vyjářit řeis ro regulátor. Fy. reliovtelost: regulátor musí mít v řeosu ^-, ^-,... jik y regovl uoucí vorky. Nulová ochylk: ke G je liovolý olyom. Koečý ěj: Fw oshuje celý čittelový olyom sojité části silá om., Fw tovří olyom o koečém očet čleů slá om. Diskrétí ekvivlet PID regulátoru PSD regulátor - roorcioálě-sumčě iferečí. K řeosu soustvy řiojíme řeos fiktivího orvího ožěí o velikosti T/. Tímto krokem resektujeme skutečost, že sojité říeí ylo hreo iskrétím.. Pro tkto urveou soustvu vrheme sojitý PID regulátor ole ých ožvků. 3. K vržeému PID regulátoru jeme PSD ekvivlet ole ásleujících řevoích vthů: i i i R i R T T T T k R T T k R,, S F R F F S R v w w

10

11 5. Meto geometrického míst kořeů. Itegrálí kriteri kvlity regulce. Regulce koečý očet kroků. Meto geometrického míst kořeů - Wlter Evs, 5. lét, tké meto kořeového hoogrfu - umožňuje sleovt roložeí kořeů chrkteristického olyomu ři měě esíleí v otevřeé smyčce - vycháí roložeí ul ólů řeosu otevřeé smyčky což čsto áme roíl o kořeů chr. rov. - F určíme óly uly kreslíme je o souřic očet ólů lf kořey, et óly

12 Itegrálí kriteri kvlity regulce Lieárí kritérium Z hleisk výočtu itegrálu je uté, y yl systém erioický. J L [ e t e ] t Usměrěé lieárí kritérium J UL e t e t c Kvrtické kritérium Kritérium řikláá větší váhu větším ochylkám. Nevýhoou kvrtického kritéri je kmitvý výsleek oevy s reltivě vysokým řekmitem. J K [ e t e ] t ITE kritérium Itegrl of Time multilie y solute vlue of Error ITE tří mei váhová kritéri. Váh ochylky růstá lieárě s čsem. lytický výočet rkticky eí možý kvůli řítomosti elieárí fukce solutí hooty. J ITE e t e t t Regulce koečý očet kroků - vol řeosu říeí Fw - koečá o regulčího ěje může ýt: - silá: i mei okmžiky vorkováí, Fw musí oshovt celý čittelový olyom e sojité části - slá: je v okmžicích vork., Fw musí tvořit olyom o koečém očtu čleů - mohou ýt i lší ožvky, říkl určitá hoot v ěkterém kroku o skoku w, o.

13 6. Rovětveé ovoy: s omocou říící veličiou, kčí veličiou, s měřeím oruchy, s moelem ejmé ro soustvy s orvím ožěím. Schmitův regulátor. Víceroměrové říicí systémy. utoomost, ivritost. - více ve mei jeotlivými čley regul. ovou - ůvo: vyšší ožvky kvlitu regulce ovoy s omocou regulovou veličiou - Čsto oužívá ři regulci teloty u servomechismů - Umožňuje ostrěí sttismu v soustvě v říě oužití I,PI,PID jko hlvího regulátoru lešuje stilitu systému - Zveeím omocé regulové veličiy měřeé v líkosti vstuu soustvy le rychlit rekci vik oruchového sigálu Příkly: S terč, ke je cílem ovlát jeho točeí, S motor otáčející terčem, u roklu terče hříeli, R regulátor otáček motoru, R regulátor olohy, kčí vel. jsou otáčky R- regulce teloty v kái, R regulce možství lyu tím i regulce tel oávého o káě ovoy s omocou kčí veličiou - Musí ýt možé ůsoit soustvu ejméě věmi kčími veličimi - řá řeosu eo lesoň čsovky kčích veliči y měly ýt růé. - Hlví regulátor většiou I,PI jištěí co ejmeší ustáleé ochylky, velejší PD rychlost regulce Příkl: regulovou veličiou je telot Č, kčí veličiy jsou možství rotékjící áry hlví oeíré možství voy velejší. c ovoy s měřeím oruchy - oruch ut rocháí člákem s řeosem S u řičítá se k výstuu regulové soustvy - tuto oruchu měříme řes regulátor R řičítáme k kčí veličiě x t u tohoto systému le osáhout úlé ivritosti Příkl: vytáěí velkých uov, oruch je vekoví telot, tu měříme

14 ovoy s moelem regulové soustvy - kčí veliči xt ůsoí jk regulovou soustvu S, tk moel M - řeoklááme, že součástí regulové soustvy je čláek s orvím ožěím o velikosti Δ - moel oshuje stejý čláek, mimo to je všk k isoici eožěý výstu systému Schmitův regulátor Orvu evím jestli je to oo - omocý regulátor ve ěté vě - možé součsě slit ožvek řeos říeí i oruchy ři filtru vstuího sigálu - může lešit ymické vlstosti, ovykle řiává vyšší erivce k hlvímu sigálu - může měit sttismus soustvy Víceroměrové říicí systémy Víceroměrová soustv má výstuích veliči y, v,-,y, stejý očet kčích veliči x, x,-, x, tetýž očet oruch u, u,-, u. Stejý očet oruch emusí ýt, le vžy je možé olit ulovou oruchou y seěly mticové očty. utoomost mě k-té žáé hooty ůsoí měu k-té regulové veličiy osttí se erojeví. utoomost je jeím hlvích ožvků kleých víceroměrové systémy: - úlá - sttická oue v ustáleém stvu - selektiví týká se oue vyrých veliči To y ylo slěo řeoklu, že všechy řeosy, i j, v mtici S y yly ulové t. mtice S y yl igoálí. Ivritost Neměost, oolost roti oruchovým sigálům, sžíme se jí osáhout ejčstěji komecí oruch. U ovou s měřeím oruchy je možé teoreticky osáhout úlé komece oruchového sigálu tv. ivritosti soustvy vůči oruše. Teto stv ste, Su RS je-li slě omík. Su Prktické reliovtelost této omíky je omee říy, ky je řeos S u R S vyššího eo lesoň stejého řáu jko řeos S. S ij

15 7. tiví regulčí ovoy: MRC, STURE, PSC. Použití fuy mtemtiky v říeí. - v reálých reg. systémech se ěhem rovou měí vlstosti říeého ojektu - roces říeí tk trácí ůvoí kvlitu - tiví regulátor se v růěhu řiůsouje měám MRC Moel Referece tive Cotrol - tce ole referečího moelu, který určuje ožové vlstosti otevř. eo uvř. smyčky - srovává se výstu moelu výstu e soustvy le toho se urvují rmetry eo i struktur regulátoru STURE Self-Tuig Regultors - smočiě se stvující regulátory - struktur evě urče, měí se je rmetry, čsto Z-N eo moifiková Z-N - růěžá ietifikce - rolémy se stilitou roustost, ovykle olěo rohoovcími rvily PSC Prmeter Scheulig Cotrol - měřeí ůležitých stvových roměých, tj. určeí rcovího ou kolem kterého systém rov rcuje - ro jeotlivé oolsti jsou ř. forou tulky áy struktury hooty rmetrů regulátorů. Fuy mtemtik ři říeí - rošířeí log. oerátorů fuy možiy rvek má stueň říšlušosti - ligvistická roměá hooty jsou výry jyk - termy horká, telá, vlžá, stueá - kžý term má fukci říslušosti, která určuje ř. jké teloty jk moc řísluší k ojmu stueá Regulce: fuifikce řevo měřeé hooty ojem C -> hoě stueá iferečí mechimus áe rvilel kyž je hoě stueá, či hoě toit 3 efuifikce řevo ojmu výstuí hootu hoě toit -> W Roložeí fukcí říslušosti může ýt erovoměré, ejčstěji jsou fukce říslušosti tvru ily. Velice složité stvováí, vhoé ro systémy s eámým moelem.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

Vytvoření vytyčovací sítě a vytyčení stavby

Vytvoření vytyčovací sítě a vytyčení stavby Vytvořeí vytyčovací ítě a vytyčeí tavby O bo P a ojici TB 89 a RS (roh retarace Slova roviňte bňk ravoúhlé vytyčovací ítě le obrák. V této íti vytyčte tavb aých roměrů a ajitěte olohově i výškově. Vytyčeí

Více

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Mteriál louží ouze jko růvodce k mteriálu odrobějšímu, který je dotuý trákách htt:mi.vb.cz Tm jou

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více

II. METODICKÉ PŘÍKLADY SESTAVENÍ VÝKAZU PAP

II. METODICKÉ PŘÍKLADY SESTAVENÍ VÝKAZU PAP Istituce i zzmeé operce jsou fiktiví. Ukázkové přípy - sezm Příp A Půjčk o ky B Bezúpltý pozemku převo C Bezúpltý kcií převo D Proej kcií fyzickým osoám (ez IČ) E Nákup utomoilů lesig F Drováí mteriálu

Více

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.

Cílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic. temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Rovinné nosníkové soustavy II

Rovinné nosníkové soustavy II Prázý Prázý Prázý Ství sttik,.roík kláského stui Rovié osíkové soustvy II Trojklouový rám (osík) Trojklouový olouk (osík) Trojklouový rám s táhlm Trojklouový olouk s táhlm Ktr ství mhiky Fkult ství, VŠB

Více

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál.

VY_42_Inovace_13_MA_4.01_ Aritmetická posloupnost pracovní list. Jednotlivé snímky lze použít jako studijní materiál. Čílo projektu Čílo mteriálu CZ..07/.5.00/34.0394 VY_4_Iovce_3_MA_4.0_ Aritmetická poloupot prcoví lit Název školy Střeí oborá škol Střeí oboré učiliště, Hutopeče, Mrykovo ám. Autor Temtický celek Mgr.

Více

Jaroslav Hlava. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Jaroslav Hlava. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Jaroslav Hlava THIKÁ UIVZIT V LII Fakulta mechatroniky, informatiky a meioborových stuií Tento materiál vnikl v rámci rojektu F Z..7/../7.47 eflexe ožaavků růmyslu na výuku v oblasti automatického říení

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah

ASYNCHRONNÍ STROJE. Obsah VŠB TU Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra obecé elektrotechiky ASYCHROÍ STROJE Obsah. Výzam a oužití asychroích motorů 2. rici čiosti asychroího motoru 3. Rozděleí asychroích motorů 4.

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

13 Analytická geometrie v prostoru

13 Analytická geometrie v prostoru Anlytická geometrie v rostoru Nyní se změříme n tříimenzionální rostor využijeme vlstností, které ze ltí ozor v rovině neltí.. Poznámk: Okování u = (u,u,u ), v = (v,v,v ) - vektory sklární součin vektorů

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Vektory a matice. P r. P x

Vektory a matice. P r. P x Vektoy tie Vektoy Vekto je lieáí oslouost vků V, kteá oshuje vků. Kždý vek vektou V je řístuý ostředitví idexu k v ozshu [, ]. Vekto řioíá dtový ty ole, le eí to ole. P P P P P Oee s vektoe Pvek ozii oee

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@i.ui.c @i.ui.c,, Keice 3, 4. ptro, dv.č.44.44 INVESTICE Istitut DO iosttistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ lý IX. Z TRANSFORMACE SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Válečkové řetězy. Tiskové chyby vyhrazeny. Obrázky mají informativní charakter.

Válečkové řetězy. Tiskové chyby vyhrazeny. Obrázky mají informativní charakter. Válečkové řetězy Technické úaje IN 8187 Hlavními rvky válečkového řevoového řetězu jsou: Boční tvarované estičky vzálené o sebe o šířku () Čey válečků s růměrem () Válečky o růměru () Vzálenost čeů určuje

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Dvojný integrál. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti

Dvojný integrál. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti Dvojý itegrál Zatímo itegračím oborem jeorozměrého itegrálu bl iterval, u vojého itegrálu je třeba raovat s vojrozměrými obor. Může to být obélíová oblast, ale i složitější útvar jao ař. ruh, ruhová výseč

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

obecné definice, princip tepelného stroje izochorický děj izobarický děj izotermní děj adiabatický děj Joule-Thomsonův koeficient

obecné definice, princip tepelného stroje izochorický děj izobarický děj izotermní děj adiabatický děj Joule-Thomsonův koeficient obeé efiie rii teelého stroje izohoriký ěj izobariký ěj izoterí ěj aiabatiký ěj Joule-hosoův koefiiet říklay a rovičeí Carotův yklus Prii teelého stroje: / éiu o telotě řije telo q o teelého zásobíku a

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

E L E K T R I C K É S T R O J E II Měření synchronního stroje Fázování, V křivky, Potierova reaktance, stanovení buzení

E L E K T R I C K É S T R O J E II Měření synchronního stroje Fázování, V křivky, Potierova reaktance, stanovení buzení 1 TO - ŠB FE Datum měřeí E L E K T C K É S T O J E Měřeí sychroího stroje Fázováí, křivky, Potierova reaktace, staoveí buzeí 1. Zaáí úlohy : Příjmeí Jméo Skupia (hooceí) 1. Proveďte přifázováí sychroího

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

Termodynamický popis chemicky reagujícího systému

Termodynamický popis chemicky reagujícího systému 5. CHEMICKÉ ROVNOVÁHY Všechny chemcké rekce směřují k dynmcké rovnováze, v níž jsou řítomny jk výchozí látky tk rodukty, které všk nemjí jž tendenc se měnt. V řdě řídů je všk oloh rovnováhy tk osunut ve

Více

zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme.

zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, naájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. E ce ω a) Odvoďte řenosovou funkci F(): F( ) ω( )/ u( ) b)

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

Výpočet planetových soukolí pomocí maticových metod

Výpočet planetových soukolí pomocí maticových metod Česé Vysoé Učeí Techcé v ze Fult stojí Techcá 4, h 6, 166 07 Výočet letových souolí omocí mtcových metod Výzumá záv áce byl odoová Výzumým cetem Josef Bož Záv č.: Z 02-07 Auto: Gbel Achteová Se, 2002 1

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úlohy: Iterferece a teké vrstvě Jméo: Petr Luzar Skupia: IT II/ Datum měřeí: 3.říja 007 Obor: Iformačí techologie Hooceí: Přílohy: 0

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Ý Á Í ŘÁ Č Á

Ý Á Í ŘÁ Č Á Ý Á Í ŘÁ Č Á Ř Á úč ř č ě ů Ť é č ě š ř ž š é é š é é Ý ž š é ó ó ť š ž ů é Ť é ž é ů ú š ň ž ě š ž š é é ř š š ě š ó č é ů š ě ř š ť ť é ř ž ó ř š é Ť é ě š ř ě ř š ř ě ó é é ú ů Á ř é é é č š é ř ž ř

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika 02a Racionální čísla. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika 02a Racionální čísla. Text a příklady. Čílo ojektu CZ..07/..00/4.074 Název školy Movké gymnázium Bno..o. Auto Temtiká olt Mg. Mie Chdimová Mg. Vě Jeřáková Mtemtik 0 Rionální číl. Text říkldy. Ročník. Dtum tvoy.. 0 Anote ) o žáky jko text látky,

Více

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa yzikálí praktiku I Úloha č10 Měřeí oporu prouícího zuchu (erze 0/01) Úloha č 10 Měřeí rychloti prouu zuchu Měřeí záiloti íly oporu protřeí a taru tělea 1) Poůcky: Aeroyaický tuel, ikroaoetr, Pratloa trubice,

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Přijímací řízení akademický rok 2011/12 Kompletní znění testových otázek matematický přehled

Přijímací řízení akademický rok 2011/12 Kompletní znění testových otázek matematický přehled řijímí řízení kemiký rok / Kompletní znění testovýh otázek mtemtiký přehle Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď ) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které číslo oplníte

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

VÝPOČET INVERZNÍ TRANSFORMACE D POMOCÍ ALGORITMU ILT

VÝPOČET INVERZNÍ TRANSFORMACE D POMOCÍ ALGORITMU ILT VÝPOČE INVERZNÍ RANSFORMACE D POMOCÍ ALGORIMU IL Do. Ig. Dbor Boe CS. VA Bro er eeroehy eeroy 4 Ig. Ver Boová FEI VU Bro Úv roeeroy rfore D ( J. Her ÚRE ČAV Prh) řeváí ogový gá oouo že jou roí o ého vorováí

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy Příklady k předášce 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 06 9--6 Schurův doplěk - odvozeí Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Obecě ( + l) ( + l) ( + l) ( + m) ( + m) ( + m) I 0

Více

Molekulová fyzika. Reálný plyn. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc.

Molekulová fyzika. Reálný plyn. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc. Molekulová fyzik Reálný lyn Prof. RNDr. Enuel Svood, CSc. Reálný lyn Existence vzájeného silového ůsoení ezi částicei (tzv. vn der Wlsovské síly) Odudivá síl ezi částicei (interkce řekryvová) ři dosttečně

Více

Elektronická podpora výuky pro oblast automatického řízení- Informační systém CAAC; Tématický okruh ANALÝZA

Elektronická podpora výuky pro oblast automatického řízení- Informační systém CAAC; Tématický okruh ANALÝZA Elektroická oor výuky ro olt utomtického řízeí- Iormčí ytém CAAC; Témtický okruh ANALÝZA Electroic uort o euctio or utomtic cotrol re- CAAC Iormtio ytem; Prolem re - ANALYSIS Pvel Soueík Bklářká ráce 8

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06.

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06. VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ ODMÍNKY č CTS..r.., IČ: 272 10 651 : Brc, N Vý 370, SČ 293 06 (á VO ) 1. Vý jů M 1 1.1. y j bch č C S..r.., rc, ý37,s 293 06, IČ: 72 0 51, á ch rjř é ě ý r,, 1 4718. y j á ě ěč Č h čh

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Gibbsova a Helmholtzova energie. Def. Gibbsovy energie G. Def. Helmholtzovy energie A

Gibbsova a Helmholtzova energie. Def. Gibbsovy energie G. Def. Helmholtzovy energie A ibbsova a Helmholtzova energie Def. ibbsovy energie H Def. Helmholtzovy energie U, jsou efinovány omocí stavových funkcí jená se o stavové funkce. ibbsova energie charakterizuje rovnovážný stav (erzibilní

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

9 - Zpětná vazba. Michael Šebek Automatické řízení 2015 16-3-15

9 - Zpětná vazba. Michael Šebek Automatické řízení 2015 16-3-15 9 - Zpětná vz Michel Šeek Atomtické řízení 2015 16-3-15 Atomtické řízení - Kernetik rootik Proč řídit? Řídicí sstém msí zjistit stilit chování Klsické poždvk n chování přípstná stálená reglční odchlk při

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Zlomky závěrečné opakování

Zlomky závěrečné opakování 2.2. Zlomky závěrečné opkování Přepokly: 02022 Př. : Vypočti. ) + b) 8 2 4 0 c) 2 4 2 : : 4 24 ) 2 22 4 2 2 9 + 0 9 ) + = + = = 8 2 8 2 2 24 24 8 = 4 2 2 = 4 4 2 4 2 b) 0 = = = 2 4 8 2 4 4 c) 4 2 4 24

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

litinové dešťové svody

litinové dešťové svody litinové ešťové svoy PAM-TYP R PAM-TYP R ANTIK PAM-SME PAM Estetik U letil mteriál trie itin PAM je tenikou referení Trouy rezienční řy typ R Kompletní ník pro jkákoliv uspořáání. 3 typy kruové, kruové

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Slovní úlohy na sjednocení dvou množin s neprázdným průnikem. II b III

Slovní úlohy na sjednocení dvou množin s neprázdným průnikem. II b III Slovní úlohy n sjenoení vou množin s neprázným průnikem Vennův igrm ( John Venn 1834 (Hull, Anglie) 1923 (Cmrige, Anglie) ) A V Životopis John Venn: http://www-groups.s.st-n..uk/ history/mthemtiins/venn.html

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty Jeokrterálí rozoováí za rzka a estoty U eokrterálíc úlo e vžy pouze eo krtérum optmalty, a to buď maxmalzačí ebo mmalzačí. araty rozoováí sou zaáy mplctě - pomíkam, které musí být splěy (vz úloy leárío

Více

Ú vod... I 7. In te rd is c ip lin á rn í p řís tu p k p ro b le m a tic e u m ír á n í a s m r t i...19 T h a n a to lo g ie...19

Ú vod... I 7. In te rd is c ip lin á rn í p řís tu p k p ro b le m a tic e u m ír á n í a s m r t i...19 T h a n a to lo g ie...19 11 OBSAH Ú vod... I 7 In te rd is c ip lin á rn í p řís tu p k p ro b le m a tic e u m ír á n í a s m r t i...19 T h a n a to lo g ie...19 T h a n a to p s y c h o lo g ie...20 T hanatosociologie... 22

Více